:: wikimiki.org ::

Kubus

Kubus

right Der Würfel (auch Hexaeder (nach griech. hexáedron = Sechsflächner) oder Kubus (nach lat. cubus = Würfel)) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (ein Vielflächner) mit
- sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
- zwölf (gleichlangen) Kanten und
- acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped (Parallelflach), ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma.

Symmetrie

Prisma Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat
- drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten),
- vier dreizählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken),
- sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) und
- neun Symmetrieebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte) und ist
- punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch). Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels – die Würfel- oder Oktaedergruppe – 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden. Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
- den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
- das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
- das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und
- das Rhombendodekaeder mit 6+8 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Seiten als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder. Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln

Hexaeder in der Chemie

Eine organische Verbindung, die wie ein Würfel aufgebaut ist, ist das nach dem englischen Cube (engl. für Würfel) benannte Cuban.

Verallgemeinerung

Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Würfel hat

2^n

Ecken und

2n

(n–1)-dimensionale Würfel als (n–1)-dimensionale Seiten (Facetten). Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenflächen und 8 Seitenwürfel. (Der eindimensionale Würfel ist eine Strecke, der zweidimensionale Würfel ist das Quadrat.) Ein Modell für den n-dimensionalen Würfels ist der Einheitswürfel Iⁿ im Vektorraum Rⁿ. Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel
-

I^n = \left\

I^n = [0,1] \times \cdots \times [0,1]

, das n-fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls
- die konvexe Hülle der 2ⁿ Eckpunkte mit den Koordinaten 0 und 1
- der Durchschnitt der 2n Halbräume

x_i \ge 0

und

x_i \le 1

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im Rⁿ, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen. Kategorie:Raumgeometrie ja:正六面体 ko:정육면체 simple:Cube

Platonischer Körper

Die platonischen Körper sind eine nach Platon (
- 428/427 v. Chr.; † 348/347 v. Chr.) benannte Gruppe von fünf besonders regelmäßigen konvexen Polyedern, die dadurch charakterisiert sind, dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Sie werden deswegen auch reguläre oder regelmäßige Körper genannt. Ihre Namen stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen: Tetraeder (vier Dreiecke), Hexaeder (das ist der Kubus oder Würfel) (sechs Quadrate), Oktaeder (acht Dreiecke), Dodekaeder (zwölf Fünfecke) und Ikosaeder (zwanzig Dreiecke). Eine etwas allgemeinere Gruppe sind die 13 so genannten semiregulären oder archimedischen Körper. In diesem Artikel liegt der Schwerpunkt hauptsächlich auf den gemeinsamen Eigenschaften und den Beziehungen der Körper untereinander. Eingehender werden die einzelnen Körper bei ihren jeweiligen Einträgen behandelt.

Die fünf platonischen Körper

Grundlegende Eigenschaften

Anzahl der platonischen Körper

Je zwei platonische Körper vom selben Typ sind zueinander ähnlich, d.h., ein platonischer Körper ist durch die Angabe seiner Größe (z.B. durch die Länge seiner Kanten) eindeutig bestimmt. Es ist also gerechtfertigt von dem Tetraeder, dem Hexaeder, dem Oktaeder, dem Dodekaeder und dem Ikosaeder zu sprechen. Es gibt auch nur genau diese fünf Typen von platonischen Körpern. Den Grund dafür zeigen die folgenden Überlegungen: Bei einem konvexen Polyeder ist die Summe der Innenwinkel der an einer Ecke aufeinandertreffenden Flächen kleiner als 360°. Sonst würden sie in einer Ebene liegen, oder es gäbe einwärtsgerichtete Kanten. Andererseits müssen sich an jeder Ecke eines Polyeders mindestens drei Flächen treffen. Sind also bei einem Körper alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können daher an einer Ecke drei, vier oder fünf Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen. Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°) oder regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können davon jeweils drei zusammentreffen (Winkelsumme 270° bei Quadraten bzw. 324° bei Fünfecken). Sechs gleichseitige Dreiecke, vier Quadrate und drei regelmäßige Sechsecke (Innenwinkel 120°) ergeben jeweils genau 360°, sodass keine Ecke im Raum entsteht – es entstehen "nur" reguläre Parkettierungen der Ebene –, und alle anderen Möglichkeiten (vier regelmäßige Fünfecke, drei regelmäßige Siebenecke, etc.) überschreiten diesen Winkel bereits. Bei drei bzw. vier gleichseitigen Dreiecken und bei drei Quadraten pro Ecke ist leicht zu sehen, dass es entsprechende Körper tatsächlich gibt. Beim Ikosaeder und Dodekader ist nicht unmittelbar klar, dass die Vielecke sich lückenlos zusammenschließen. Um dies zu belegen, dienen noch folgende Überlegungen: Ein Ikosaeder - bei dem fünf gleichseitige Dreiecke in einer Ecke zusammenstoßen - kann man wie folgt konstruieren: Man verbindet bei zwei Fünfecken, die parallel zueinander liegen und die gegeneinander verdreht sind, jeweils die verdrehten Ecken so miteinander, dass zehn gleichseitige Dreiecke entstehen (formal ausgedrückt: Man bildet zu einem Fünfeck ein Antiprisma). Setzt man auf die Basis und auf die Deckfläche jeweils eine fünfseitige Pyramide (mit fünf gleichseitigen Dreiecken als Mantel) auf, so erhält man einen Körper mit 12 Ecken und 20 gleichseitigen Dreiecken. Es zeigt sich (z.B. durch Nachrechnen), dass die beiden den Pyramidenspitzen entsprechenden Ecken und die zehn Ecken des Antiprismas kongruent (mit gleichen Flächenwinkeln) sind, also tatsächlich ein völlig regelmäßiges (ein reguläres) Polyeder vorliegt. Das Dodekaeder ergibt sich dann als duales Polyeder. (Ohne diese Überlegung ist es nicht selbstverständlich, dass das Dodekaeder tatsächlich durch ebene Fünfecke realisiert werden kann.) Die fünf oben gezeigten platonischen Körper sind also (bis auf Ähnlichkeit) tatsächlich die einzigen konvexen Körper dieser Art (kongruente regelmäßige Seitenflächen, kongruente Ecken – die Regularität muss nicht vorausgesetzt werden). (Ein vollständiger Beweis unter noch etwas schwächeren Voraussetzungen – für sphärische Polyeder – kann mit der eulerschen Polyederformel geführt werden.) Kurz zusammengefasst: An einer Ecke können drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke zusammenkommen. Auch drei Quadrate oder drei regelmäßige Fünfecke sind möglich. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Weitere Polyeder mit regelmäßigen Vielecken als Seitenflächen ergeben sich nur, wenn Vielecke mit unterschiedlicher Eckenzahl zugelassen werden – dazu gehören unter anderem die archimedischen Körper, sowie Körper, bei denen nicht an jeder Ecke gleich viele Vielecke zusammentreffen.

Dualität

Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen eines platonischen Körpers, so erhält man (mit den Verbindungslinien als Kanten) wieder einen platonischen Körper, und zwar mit demselben Mittelpunkt. Dieser Körper wird als Dualkörper zum Ausgangskörper bezeichnet. :Auf Grund der Konstruktion ist klar, dass jeder Fläche des Ursprungskörpers jeweils eine Ecke des dualen Körpers entspricht. Außerdem entspricht jeder Kante, die zwei Flächen trennt, eine Kante, die zwei Ecken verbindet. Daraus ergibt sich, dass auch jeder Ecke des Ursprungskörpers jeweils eine Fläche des dualen Körpers entspricht. (Man kann sich das so verbildlichen, dass jede Fläche eine Ecke des Ursprungskörpers "abschneidet".) Wiederholt man diese Konstruktion (konstruiert man also den zum Dualkörper dualen Körper), so erhält man einen (verkleinerten) platonischen Körper des Ausgangstyps mit gleichem Mittelpunkt. Dabei bilden Hexaeder und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in (verkleinerter) zentralsymmetrischer Lage befindet (d.h., er "steht auf dem Kopf").

Symmetrie

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:
- Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d.h. jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Symmetrie des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden. Man sagt dazu:
- Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken, Kanten und Flächen. Es gilt sogar:
- Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.) Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen (und ihre Untergruppen) gehören zu den diskreten Raumgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper (z.B. der archimedischen Körper). Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle. Aufgrund ihrer symmetrischen Eigenschaften erfüllen alle platonischen Körper die Eigenschaft eines kubischen Kristalls. Ferner haben sie die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können.

Deltaeder

Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosader auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat
- eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
- eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
- eine Kugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen. Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (oder das Zentrum) des platonischen Körpers.

Weitere mathematische Eigenschaften

Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt (z.B. auf die Umkugel), so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten (unter gleichen Winkeln) zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. (In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.) Jede reguläre Parkettierung kann durch das Paar

(p,q)

beschrieben werden, wobei

p

für die Anzahl der Kanten eines Steines und

q

für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper ergeben daher die dualen Paare

(3,4)

und

(4,3)

(3,5)

und

(5,3)

, sowie das selbstduale Paar

(3,3)

. Es sind dies (genau) alle Lösungen der Ungleichung :

\frac + \frac > \frac\ (p,q \in \mathbb N)

Diese Beziehung folgt aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug stellt: : Flächen + Ecken = Kanten + 2 wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist. (Die Anzahl der Flächen ist (2 mal Kanten durch p), die der Ecken (2 mal Kanten durch q) In der Ebene gilt (bei geeigneter Interpretation, nämlich asymptotisch) : Flächen + Ecken = Kanten oder :

\frac + \frac = \frac\ 
(p,q \in \mathbb N)

mit den Lösungen :

(4,4)

(selbstdual), sowie

(3,6)

und dual dazu

(3,6)

, welche für die drei regulären Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, Dreiecke und Sechsecke) stehen, die daher (in diesem Sinn) als Verallgemeinerung der platonischen Körper gelten können, Die Lösungen von :

\frac + \frac < \frac\ (p,q \in \mathbb N)

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Ebene.

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder

Wegen der starken Regelmäßigkeit der platonischen Körper kann man leicht andere Körper von ihnen ableiten, die auch wieder sehr regelmäßig sind. Man muss dazu nur die gleichen Konstruktionen symmetrisch auf Flächen, Kanten oder Ecken anwenden. Ein Beispiel dafür sind die dualen Körper, die sich ja dadurch ergeben, dass man den Mittelpunkt jeder Fläche mit den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen verbindet.

Einbeschreibungen

Es bestehen durchaus noch andere Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubauen. Zum Beispiel erhält man ein Tetraeder, wenn man die Diagonale einer Würfelfläche als eine Kante verwendet, die dazu windschiefe Diagonale auf der gegenüberliegende Fläche als eine andere, und als die anderen vier Kanten die Diagonalen benutzt, die die Enden der beiden verbinden. Ein Oktaeder erhält man, wenn man Flächen durch die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders legt.

Abgestumpfte platonische Körper

Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen halbregulären (archimedischen) Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten Dualkörper. Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen zwar regelmäßige Polygone, aber von unterschiedlicher Seitenzahl, verwendet werden.

Sternkörper

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper. Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.

Geschichtliches

Den Pythagoräern (6.Jh.v.Chr.) waren Tetraeder, Würfel, und Dodekaeder bekannt. Theaitetos (4.Jh.v.Chr.) kannte auch Oktaeder und Dodekaeder, wobei das Oktaeder vermutlich vorher nur deshalb nicht beachtet wurde, weil er als Doppelpyramide gesehen wurde. Der griechische Philosoph Platon (um 300 v.Chr.) hat die Körper später in seinem Werk "Timaios" ausführlich beschrieben und sie den Elementen des platonischen Weltbildes zugeordnet. Sie wurden in Platons Akademie intensiv untersucht und galten dort als Repräsentanten der Elemente, denen sie wie folgt zugeordnet wurden:
- Feuer: Tetraeder
- Wasser: Ikosaeder
- Luft: Oktaeder
- Erde: Würfel
- Geist / Quintessenz oder Äther: Dodekaeder Davon leitet sich auch die alternative Bezeichnung kosmische Körper her. Euklid (um 300 v.Chr.) konstruiert die platonischen Körper im XIII. Buch seiner Elemente. Das "XIV. Buch" (aus dem 2.Jh.v.Chr., Hypsikles) enthält einige Volumenberechnungen, und das "XV. Buch" (aus dem 6.Jh.n.Chr.) enthält weiteres Material zu ihnen. Mit dem Aufkommen der Perspektive beschäftigten sich auch Künstler mit den platonischen Körper (neben anderen regelmäßigen Körpern) und verwendeten sie dazu, ihre Fähigkeiten zu zeigen: u.a. Piero della Francesca, Leonardo da Vinci (Illustrationen zu Divina Proportione von Luca Pacioli), Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer (Perspectiva Corporum Regularium, 1568). Johannes Kepler gelang es (Mysterium Cosmographicum, 1596), die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Diese Interpretation stimmt zwar ziemlich gut mit den damals bekannten ungenauen Werten überein, ihr entspricht aber keine astronomische Gesetzmäßigkeit. Bei der Suche nach solchen Harmonien studiert Kepler in seinem Werk Harmonices Mundi (Weltharmonik) auch systematisch regelmäßige Körper und beschreibt neben den platonischen Körpern unter anderem auch die archimedischen Körper, sowie zwei nichtkonvexe regelmäßige Polyeder, sogenannte Sternkörper.

Platonische Körper jenseits der Mathematik

Die auffällige Regelmäßigkeit macht die platonischen Körper auf vielerlei Art für den Menschen interessant.
- Zusätzlich zum Würfel, der leicht herzustellen ist und der schon seit Jahrtausenden für Glücksspiele verwendet wurde, finden heute auch die anderen platonischen Körper eine Anwendung im Fantasy-Rollenspiel. Dazu sind physikalisch allerdings gleichmäßige Dichteverteilung - also homogenes Material - sowie die gleichartige Beschaffenheit aller Ecken und Kanten die Voraussetzungen.
- Platonische Körper sind seit langem beliebte Objekte für darstellende Künstler. In der modernen Kunst hat sich vor allem M. C. Escher mit ihnen und ähnlichen regelmäßigen Körpern beschäftigt, auch Werke von Salvador Dali thematisieren einige Werke platonische Körper oder ihre Entfaltung.
- Schachteln in regelmäßiger Form werden auch gerne als Verpackung und zum Basteln verwendet. Auch in der Natur können sich vorhandene Regelmäßigkeiten als platonische Körper ausprägen.
- Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Dodekaeder kommen in der Natur als (idealisierte) Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich bei Quasikristallen.
Zum Beispiel bilden Kochsalz und Alaun, das beim Ausfällen mit gewissen anderen Stoffen dotiert ist, Würfelkristalle. Reines Alaun kristallisiert als Oktaeder.
Dabei ist die Abgrenzung zwischen den einzelnen Formen nicht absolut, sondern die interne Symmetrie kann sich in unterschiedlichen Ausprägungen äußern. In der Mineralogie fallen alle platonischen Körper, Pentagondodekaeder, Rhombendodekaeder, Kuboktaeder und ihre Mischformen unter den Begriff kubisch. Nicht wenige Mineralien können dementsprechend mehrere dieser kubischen Formen annehmen. Dazu gehört zum Beispiel Pyrit, das sowohl als Würfel als auch als Oktaeder oder Dodekaeder vorkommt.

Weblinks

- [http://www.walter-fendt.de/m11d/platon.htm Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets]
- [http://www.3quarks.com/GIF-Animations/PlatonicSolids/index-de.html]
- [http://www.saar.de/~luci/Raumzahl/PlatonischesMobile.html]
- [http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/ Platonische Körper aus Flechtstreifen]
- [http://www.hom.shuttle.de/hom/spg/roep-032.htm Pentagondodekaeder bei den Kelten und Römern]
- [http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/~rockstroh/Platon.htm Platonische Körper, LernUmgebung vom Lehrstuhl für Mathematik und ihrer Didaktik, Universität Bayreuth]
- [http://www.polytope.de/plat4.html Vierdimensionale Platonische Polychora]
- [http://www.niclasundco.de/index.php?id=66 Bastelbögen für platonische Körper zum Ausdrucken]
- [http://www.polyedergarten.de Polyedergarten] Kategorie:Raumgeometrie ko:정다면체

Polyeder

] Ein Polyeder, auch Vielflächner oder Ebenflächner genannt, ist ein Körper, der durch ebene Polygone begrenzt wird. Die wichtigsten Polyeder sind Prismen, Pyramiden, Pyramidenstümpfe und Prismatoide. Bekannte Ebenflächner aus dem Alltag sind Schränke und Regale (in der üblichen Bauweise), Fenster und Türen, Radiergummis, etc. Keine Polyeder sind Kugel, Kegel, Flaschen, Stifte, Tortenstücke, etc. Für konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz: e + f = k + 2, wobei e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flächen und k die Anzahl der Kanten ist. Ein Polyeder heißt regelmäßig oder regulär, wenn es durch lauter deckungsgleiche (=kongruente) regelmäßige Polygone begrenzt wird; dann treffen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Polygonen zusammen, d.h. auch die Ecken sind deckungsgleich. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder. Diese heißen auch platonische Körper. Siehe auch: Planarer Graph, Archimedischer Körper Kategorie:Raumgeometrie ja:多面体 ko:다면체

Quadrat (Geometrie)

In der Geometrie ist ein Quadrat ein (ebenes und konvexes) Viereck, nämlich
- das regelmäßige Viereck (siehe Vieleck). Für Quadrate gilt daher:
- die vier Seiten sind gleich lang: es ist gleichseitig
- die vier (Innen-)Winkel sind gleich: es ist gleichwinkelig (alle Winkel 90°)
- es hat vier Symmetrieachsen: die beiden Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten) und die beiden Diagonalen
- es ist 4-zählig drehsymmetrisch (und daher auch punktsymmetrisch)
- die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen aufeinander senkrecht
- der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und Inkreismittelpunkt: es ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, es ist sowohl Rechteck als auch Rhombus (Raute). Quadrate sind die Begrenzungsflächen eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich des Hexaeders (Würfels). Das Quadrat ist Stein einer regulären Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Würfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe (z.B. Länge der Seite oder der Diagonale). ---- Kategorie:Vierecksgeometrie ja:正方形 ko:정사각형 simple:Square th:รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

Parallelflach

Unter einem Parallelflach (Synonyme: Spat, Parallelepiped, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) und in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Kalzit, chemisch: CaCO₃) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelflachs aufweisen. Parallelflach Ein Parallelflach hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind. Stellt man drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren

\vec a, \vec b, \vec c

dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt)

V = \left|\vec a \cdot ( \vec b \times \vec c )\right|

. Die Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen:

A_O = 2 \cdot \left(\left| \vec a \times \vec b \right|+\left| \vec a \times \vec c \right|+\left| \vec b \times \vec c \right|\right)

Quader und Würfel sind Sonderformen des Parallelflachs. Das Parallelflach ist ein spezielles (schiefes) Prisma, nämlich ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist. Jedes Parallelflach ist ein Raumfüller. Kategorie:Raumgeometrie

Quader

Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper mit sechs rechteckigen Flächen, deren Winkel alle rechte Winkel sind. Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind kongruent (deckungsgleich). Im Sonderfall gleicher Kantenlängen a = b = c, bei dem alle Flächen des Quaders Quadrate sind, ergibt sich ein Würfel. Ein dreidimensionaler Körper mit sechs paarweise parallelen Flächen heißt Parallelflach oder Spat, unabhängig von der Rechtwinkligkeit. Somit ist jeder Quader ein Spat. Kategorie:Raumgeometrie ja:直方体

Prisma (Geometrie)

Gerades und schiefes Prisma
A: gerades; B: schiefes Prisma

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung einer ebenen Fläche (der Grundfläche) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur Fläche, spricht man von einem geraden Prisma, andernfalls von einem schiefen Prisma. Ist die Grundfläche ein Kegelschnitt, so spricht man von einem Zylinder. Oft betrachtet man nur Prismen, deren Grundfläche ein Vieleck ist. Dessen Mantel (noch zu definieren) besteht aus Parallelogrammen, beim geraden Prisma aus Rechtecken. Ein solches Prisma ist ein spezieller Polyeder. Eine besondere Form des Prismas ist, neben dem Zylinder, der Hexaeder (Würfel). Er ist von jeder Seite betrachtet ein Prisma. Das Volumen V eines Prismas ist gegeben durch :

V = G  -  h

wobei G den Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe des Prismas bezeichnet.

Bipyramide

Markiert man alle Seitenmitten eines Polyeders, verbindet diejenigen durch Kanten, deren Flächen gemeinsame Kanten haben, und verbindet diejenigen Seitenmitten durch Flächen, deren Flächen gemeinsame Eckpunkte haben, dann erhält man den zum Polyeder dualen Körper. Der duale Körper eines geraden Prismas mit polygonaler Grundfläche ist eine Bipyramide; diese besteht aus zwei spiegelbildlichen Pyramiden, die sich eine gemeinsame Grundfläche teilen. Eine Bipyramide besteht also aus einer Pyramide und der an ihrer Grundfläche gespiegelten Pyramide.

Antiprisma

Im Gegensatz zu einem Prisma liegen beim Antiprisma Ober- und Unterseite, die aus einem regelmäßigen n-Eck bestehen, parallel, aber um

\frac

verdreht zueinander Ecke an Kante. Den Mantel bilden 2n gleichseitige Dreiecke. Ein einfaches Beispiel eines Antiprismas ist das Oktaeder, mit dreieckiger Grundfläche. Das Oktaeder ist auch eine Bipyramide mit quadratischer Grundfläche. Kategorie:Raumgeometrie

Polytop

Der Begriff Polytop stammt aus der Geometrie. Ein Polytop ist ein verallgemeinertes Polygon. Wie das Polygon besteht auch das Polytop aus mehreren Punkten im Raum (Ecken), die durch Kanten verbunden sein können. Mehrere Kanten wiederum spannen die Seitenflächen des Polytops auf, die planare Polygone sind, wie etwa ein Quadrat (Hexaeder) oder ein Dreieck (Tetraeder).

Beispiele

Einige Polytope mit regelmäßigen Polygonen als Seitenflächen haben besondere Namen, entsprechend dem griechischen Wort für die Anzahl ihrer Seitenflächen: Hier am Beispiel der Polyeder, die ja Polytope im dreidimensionalen Fall darstellen:
- Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke)
- Hexaeder (6 Quadrate, also ein Würfel)
- Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke)
- Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke)
- Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke) An jeder Ecke stoßen die gleiche Anzahl von Seitenflächen aneinander. Diese Gebilde werden auch als Platonische Körper bezeichnet.

Konvexe Polytope

Ein konvexes Polytop (oft auch nur Polytop) ist die konvexe Hülle einer endlichen Menge von Punkten. Formal ist also eine Menge

M\subseteq \R^n

ein konvexes Polytop, wenn sie sich in der Form :

M=\mathrm(\)

mit

x_1,\dots,x_k\in\R^n

darstellen läßt. Konvexe Polytope spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der linearen Optimierung.

Weblinks

- [http://www-user.tu-chemnitz.de/~nduev/Projekte/PolytopDB/polytope_fs.php Polytop Datenbank der TU Chemnitz] Siehe auch:
- Polygon
- Polyeder
- Platonischer Körper Kategorie:Geometrie

Punktsymmetrie

Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (von griechisch syn (=zusammen) und metron (=Maß)) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch bestimmte Umwandlungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selber abbildet, heißt Symmetrieoperation. Zwei verschiedene geometrische Objekte können zueinander symmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Symmetrieoperation existiert, die das eine Objekt in das andere überführt. Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es unterschiedliche Symmetrien.

Symmetrien im Eindimensionalen

Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie bezüglich eines einzelnen Punktes sowie die Symmetrie bezüglich Translation (Verschiebung).

Symmetrien im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt-, Achsen-, Rotationssymmetrie und Radiärsymmetrie (Drehsymmetrie) unterschieden werden.

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie, axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, die bei Dingen auftritt, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt sind. gespiegelt Verschiedenes:
- Dreiecke können eine oder drei Symmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten zur Basis. Gleichseitige Dreiecke haben drei Symmetrieachsen.
- Vierecke können eine, zwei oder sogar vier Symmetrieachsen besitzen:
- Mindestens eine Symmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale).
- Mindestens zwei Symmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen).
- Das Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist somit vier Symmetrieachsen auf.
- Kreise weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie bezüglich jedes Durchmessers symmetrisch sind.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen

Kreise Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie bezüglich der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Es muss nur die Gültigkeit der Beziehung

f(-x) = f(x)

gezeigt werden. Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente

x

und

-x

übereinstimmen müssen. Als Beispiel soll die Gleichung einer einfachen quadratischen Funktion dienen:

f(x) \, = \, x^2-1

Anwendung des genannten Kriteriums ergibt:

f(-x) \, = \, (-x)^2-1 = x^2-1 = f(x)

Der Graph (eine Parabel) ist also tatsächlich symmetrisch bezüglich der y-Achse. Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung

x = a

, wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist: :

f(2a-x) \, = \, f(x)

Beispiel einer achsensymmetrischen Funktion

Graph der Funktion f mit der Gleichung

y = f(x) = x^2 - 4x + 3

; Achsensymmetrie bezüglich der Geraden mit der Gleichung

x = 2

f(2a-x) = f(2 \cdot 2 - x) = f(4-x) = (4-x)^2 - 4(4-x) + 3

\; = (16-8x+x^2) - (16-4x) + 3 = 16-8x+x^2-16+4x+3

\; = x^2-4x+3 = f(x)

Damit ist die Vermutung der Achsensymmetrie bestätigt.

Punktsymmetrie

Koordinatensystem Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft geometrischer Objekte. Ein geometrisches Objekt (z.B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Gelegentlich spricht man auch von einer zentralen Symmetrie. Obwohl eine solche Spiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie. Die folgende Abbildung zeigt einige punktsymmetrische Figuren. Zwei verschiedene Objekte können zueinander punktsymmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Punktspiegelung existiert, die das eine Objekt in das andere überführt. Verschiedenes:
- Ein Dreieck kann nicht in sich punktsymmetrisch sein, wohl aber zwei Dreiecke zueinander.
- Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
- Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
- Zwei Kreise mit identischem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Quadrat Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden: :

f(2a-x) \, = \, 2b - f(x)

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt

P = (a|b)

vor. Die genannte Bedingung ist gleichwertig zu :

f(a+h) + f(a-h) \, = \, 2 b \quad

(für beliebiges h). Im Spezialfall

P = (0|0)

vereinfacht sich diese Gleichung: :

f(-x) \, = \, -f(x)

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor, das heißt

f

ist eine gerade Funktion.

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

gerade Funktion geg.:

f(x) = 2 x^5

f(-x) = 2 \cdot -x^5

f(-x) = -2x^5\qquad | \cdot (-1)

-f(-x) = 2x^5 = f(x)

→ Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0|0)

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Punkt P = (0|2)

gerade Funktion geg.:

f(x) = 2 x^5 + 2

P = (a|b) = (0|2)

also

a = 0

und

b = 2

- f(-x+2a) + 2b = - f(-x) + 4 = - ( 2(-x)^5 + 2) + 4

- f(-x+2a) + 2b = 2x^5+2 = f(x)

→ Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zu

P = (0|2)

Symmetrien im Dreidimensionalen

Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht die Flächensymmetrie im Dreidimensionalen, der Punktsymmetrie die Achsensymmetrie (Drehsymmetrie um 180°).

Natur

Der Aufbau der meisten höheren Lebewesen ist mehr oder weniger annähernd spiegelsymmetrisch (bei niederen Lebensformen findet sich oft Achsensymmetrie, diese bilden somit einen angenäherten Rotationskörper). Auch der Mensch verfügt über eine vertikale Symmetrieebene. Diese Symmetrie ist dabei jedoch nicht vollständig, so ist der Aufbau der inneren Organe nicht spiegelsymmetrisch. Auch die scheinbar zueinander symmetrischen Körperteile wie Augen, Ohren, Arme, Beine, Brüste etc. weisen untereinander immer mehr oder weniger große Lage-, Form- und Größenunterschiede auf.

Symmetrien in mehr als drei Dimensionen

In Räumen mit n Dimensionen gibt es entsprechend den obigen Beispielen n verschiedene Symmetrien.

Translationssymmetrie

Symmetrie gegenüber einer (Parallel-)Verschiebung (Translationssymmetrie)

Rotationssymmetrie

Ein Objekt ist rotationssymmetrisch, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine Achse, bzw. im Zweidimensionalen einen Punkt, das Objekt auf sich selbst abbildet. Solche Objekte sind Rotationskörper. Rotationssymmetrie um jede beliebige Achse durch den selben Punkt wird auch als Kugelsymmetrie bezeichnet, z. B. sind Sterne annähernd kugelsymmetrisch, da deren Eigenschaften (wie z. B. die Dichte) zwar nicht überall gleich sind, aber nur vom Abstand zum Mittelpunkt abhängen.

Kombinationen

Aus der Möglichkeit Symmetrieoperationen zu kombinieren lassen sich die symmetrischen Grundoperationen herleiten: # Identität (Null-Operation, keine Veränderung) # Rotation (Drehung) # Rotation - Inversion (Drehspiegelung) # Translation (Verschiebung) # Gleitspiegelung

Siehe auch

Symmetriegruppe

Weblinks

Kategorie:Geometrie ja:対称性

Tetraeder

Ein Tetraeder (v. griech.: tetráedron = Vierflächner) ist ein Körper mit vier Seitenflächen. Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während das allgemeine Tetraeder als dreiseitige Pyramide oder dreidimensionaler Simplex bezeichnet wird.

Regelmäßiges Tetraeder

Das (oft auch: der) regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer: ein (dreidimensionales) Polyeder (ein Vielflächner) mit
- vier (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
- sechs (gleichlangen) Kanten und
- vier Ecken, in denen jeweils drei Flächen zusammentreffen Das Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

right Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Tetraeder ein reguläres Polytop. Es hat
- vier dreizählige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen),
- drei zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) sowie
- sechs Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht (normal) zur gegenüberliegenden Kante) und ist
- punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch). Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S₄ und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist Untergruppe der Oktaedergruppe (Würfelgruppe). Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe
- 12 Drehungen (gerade Permutationen), nämlich
- die identische Abbildung,
- 8 Drehungen um 120° (4 mögliche Drehachsen durch jeweils eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche, 2 Möglichkeiten für den Drehsinn) und
- 3 Drehungen um 180° (Drehachsen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten) sowie
- 12 ungerade Permutationen, nämlich
- 6 Ebenenspiegelungen (an Ebenen, die jeweils zu einer Kante senkrecht sind und durch den Mittelpunkt dieser Kante gehen) und
- 6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert mit einer nachfolgenden 90°-Drehung). Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe

A_4

. Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.

Weitere Eigenschaften

alternierende Gruppe Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder. Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Die Seitenlänge des neuen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge. Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
- das abgestumpfte Tetraeder mit 4 Sechsecken und 4 Dreiecken (siehe archimedische Körper),
- das Oktaeder mit 4+4 = 8 Dreiecken und 6 Ecken (mit höherer Symmetrie) als Durchschnitt zweier Tetraeder, und
- einen Sternkörper (ein Oktaeder mit 8 aufgesetzten Tetraedern) mit höherer Symmetrie als Vereinigung zweier Tetraeder sowie
- den Würfel mit 4+4 = 8 Ecken (und mit höherer Symmetrie) als konvexe Hülle dieses Sternkörpers. (Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.) ---- Würfel Das Tetraeder kann in einen Würfel so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine sechs Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. (Die acht Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.) Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens.
Dual dazu kann das Tetraeder einem Oktaeder so umbeschrieben werden, dass vier der Oktaederflächen in den Begrenzungsflächen des Tetraeders liegen und die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten sind. (Die acht Flächen des Oktaeders bilden zwei disjunkte Mengen, die den beiden Lagen für das dem Oktaeder umbeschriebene Tetraeder entsprechen.) Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist. Die Teile sind kongruent. ---- right Der Winkel zwischen zwei Begrenzungsflächen des regelmäßigen Tetraeders (in der Zeichnung mit

\alpha

bezeichnet) beträgt etwa 70,53°. Eine Kante bildet mit einer Fläche, welche diese Kante nicht enthält, einen Winkel (

\beta

) von ungefähr 54,74°. Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zwei Ecken schließen jeweils einen Winkel von rund 109,47° ein. Der zuletzt genannte Winkel (

\tau

) wird als Tetraederwinkel bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Chemie, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls. Die Größen der angegebenen Winkel lassen sich durch Anwendung trigonometrischer Funktionen ermitteln. Man betrachtet dazu die Schnittfigur des Tetraeders mit einer seiner sechs Symmetrieebenen. Daraus ergibt sich exakt:

\cos\alpha \, = \, \frac; \quad \tan\beta\, = \, \sqrt; \quad \cos\tau \, = \, -\frac.

---- Beispiel Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit A,B,C, und D, sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit E,F,G und H, so bilden A,C,F und H, sowie B,D,E und G jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z.B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel dessen Ecken die Koordinaten +1 und -1 haben, so erhält man für den ersten Tetraeder die Ecken
- A(1,1,-1), C(-1,-1,-1), F(-1,1,1) und H(1,-1,1). Die Kanten sind: AC, AF, AH, CF, CH und FH. Die Seitenflächen sind die Dreiecke ACF, ACH, AFH und CFH. Der zweite Tetraeder hat die Ecken
- B(-1,1,-1), D(1,-1,-1), E(1,1,1) und G(-1,-1,1). Der Durchschnitt dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) (0,-1,0), (0,0,1) und (0,0,-1) bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigung ist ein Sternkörper mit 8 Spitzen (in jeder Ecke des Würfels eine). Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

Formeln

Anwendungen

Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es (siehe oben) im kubischen Kristallsystem auf. In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. So sind beispielsweise die Kohlenstoffatome im Diamantgitter tetraedisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Auch das Methan bildet, aufgrund der sp³-Hybridisierung des Kohlenstoff-Atoms, ein Tetraeder. Auch die Form der Tetrapoden, die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden, leitet sich vom Tetraeder ab.

Allgemeines Tetraeder (dreidimensionaler Simplex)

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache (dreidimensionaler) Simplex genannt. (Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke.)
- Jeder Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel.
- Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1.
- Jeder Simplex ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken.

Analogien in höheren Dimensionen

Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) gleichseitige Simplizes bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Simplex hat

n+1

Ecken und wird von

n+1

(n-1)-dimensionalen Simplizes (als Facetten) begrenzt. Der vierdimensionale Simplex hat 5 Ecken, 10 gleichlange Kanten, 10 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten. (Der eindimensionale Simplex ist eine Strecke, der zweidimensionale Simplex ist das gleichseitige Dreieck.) In Koordinaten kann man ein reguläres n-Simplex beispielsweise durch :

\

beschreiben. Beispielsweise ergibt sich für

n=2

das gleichseitige Dreieck, das von den Punkten

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.

Weblinks

- [http://www.mathe-formeln.de/index.php?site=teraeder Online-Berechnungen am Tetraeder] Kategorie:Raumgeometrie ja:三角錐 ko:정사면체

Kuboktaeder

Ein Kuboktaeder (auch Kubooktaeder, Kubo-Oktaeder) ist ein archimedischer Körper, der durch die Schnittmenge der Durchdringung eines Hexaeders (Kubus) und Oktaeders beschrieben wird. In dem Namen stecken die Wörter Kubus und Oktaeder. Der zum Kuboktaeder duale Körper ist das Rhombendodekaeder. Mit 14 Flächen (6 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken), 12 Ecken und 24 Kanten gleicher Länge wird der eulersche Polyedersatz F + E - K = 2 erfüllt. Für das Kuboktaeder gilt die Besonderheit, dass sich von jeder Ecke zum Mittelpunkt des Kuboktaeder 12 "Streben" - mit der Länge der Kanten - ziehen lassen, sodass die dichteste Packung und damit die größte Stabilität erreicht wird. Jeweils 6 Kanten des Kuboktaeders bilden die Kanten eines regelmäßigen Sechsecks. Es handelt sich um die gleichen Sechsecke, die man als Schnittflächen erhalten kann, wenn man Hexaeder auf eine bestimmte Weise in zwei Teile zerschneidet. Insgesamt gibt es 4 solcher unabhängiger, gleichseitiger Sechsecke in einem Kuboktaeder.

Links:

- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle03/kubokta.htm]
- [http://www.mathematische-basteleien.de/kuboktaeder.htm Mathematische Basteleien - Kuboktaeder]
- [http://mathworld.wolfram.com/Cuboctahedron.html] Kategorie:Raumgeometrie ja:立方八面体

Dimension (Mathematik)

In der Mathematik wird mit der Dimension ein Konzept bezeichnet, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.

Definitionen

Der Begriff der Dimension tritt in einer Vielzahl von Zusammenhängen auf. Kein einzelnes mathematisches Konzept vermag es, die Dimension für alle Situationen zufriedenstellend zu definieren, darum existieren für verschiedene Räume auch unterschiedliche Dimensionsbegriffe.

Hamel-Dimension

Am bekanntesten ist die Dimension eines Vektorraums, auch Hamel-Dimension genannt. Sie ist gleich der Anzahl der Basisvektoren des Vektorraumes, also gleich der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems. Beispielsweise besitzt der geometrisch anschauliche Euklidische 3-Raum die Dimension 3 (Länge, Breite, Höhe). Das entspricht dem Raum, in dem wir selbst uns bewegen und ist die höchste Dimension, die wir uns noch anschaulich vorstellen können. Die Euklidische Ebene hat die Dimension 2; die Zahlengerade die Dimension 1, der Punkt die Dimension 0. Vektorräumen, die kein endliches Erzeugendensystem besitzen, kann man ebenfalls die Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems als Dimension zuordnen; es handelt sich dabei dann um eine unendliche Kardinalzahl.

Schauder-Dimension

Entsprechend kann man die Mächtigkeit einer Schauderbasis eines topologischen Vektorraums (insbesondere eines Hilbertraums) auch als Dimension bezeichnen.

Mannigfaltigkeiten

Daneben ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit ebenfalls anschaulich einsichtig. Per Definition hat jeder Punkt einer Mannigfaltigkeit eine Umgebung, die homöomorph zum n-dimensionalen Euklidischen Raum ist; dieses n heißt Dimension der Mannigfaltigkeit. Um zu verhindern, dass die Dimension von der Wahl des Punktes abhängt, wird der Dimensionsbegriff üblicherweise nur für zusammenhängende Mannigfaltigkeiten verwendet. Bekannte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten sind die Oberfläche einer Kugel oder das Möbiusband.

Kettenlänge als Dimension (topologische Dimension)

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der maximalen Länge (Anzahl von Inklusionen) einer Kette von ineinander enthaltenen Unterräumen. Die Sichtweise der Dimension als Kettenlänge lässt eine Verallgemeinerung auf andere Strukturen zu. So ist etwa die Krulldimension eines kommutativen Rings als maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Primidealen definiert. Ebenso ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit die maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Mannigfaltigkeiten, bei der jedes Glied der Kette Rand einer Teilmenge des vorigen ist. Zum Beispiel ist der Rand der Erdkugel die Erdoberfläche; Rand von deren Teilmenge Deutschland ist die Staatsgrenze; Rand eines bestimmten Grenzabschnitts sind die beiden Endpunkte - da es keine längere Kette gibt, hat die Erdkugel Dimension 3. Da Inklusion und Randbildung immer definiert sind, liefert dies einen Dimensionsbegriff für jeden topologischen Raum (sog. induktive Dimension).

Hausdorff-Dimension

Neben den bislang angegebenen ganzzahligen Dimensionen kennt man auch verallgemeinerte, rational- oder reell-zahlige Dimensionen, mit deren Hilfe die so genannten Fraktale quantifiziert werden. Ein Beispiel ist die Hausdorff-Dimension. ---- Siehe auch: Dimension (Physik) ja:次元 simple:Dimension Kategorie:Mathematik Kategorie:Dynamik

Hyperwürfel

Unter einem Hyperwürfel versteht man einen regulären Würfel mit 4 oder mehr Dimensionen. Der 4-dimensionale Hyperwürfel wird als Tesserakt bezeichnet.

Konstruktion regulärer Würfel

Reguläre Würfel der Kantenlänge a lassen sich wie folgt erzeugen:

Bild:040111_hw1.png

- Wenn ein Punkt um die Distanz a geradlinig verschoben wird, entsteht eine Strecke, eine 1-dimensionale Strecke, erste Voraussetzung eines Würfels.
- Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein Quadrat bzw. eine Fläche
- Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein 3-dimensionaler Würfel.
- Allgemein: Wenn ein n-dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen n Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein (n+1)-dimensionaler Würfel.

Grenzelemente

Der 3-dimensionale Würfel wird von Punkten, Kanten und Flächen begrenzt.
Allgemein: Der n-dimensionale Würfel wird von 0-dimensionalen Punkten, ..., (n-1)-dimensionalen Elementen begrenzt. Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente läßt sich aus folgenden Überlegungen ableiten.
- Wenn ein (n+1)-dimensionaler Würfel aus einem n-dimensionalen Würfel erzeugt wird, werden durch dessen Verschiebung alle k-dimensionalen Elemente ( k <= n ) verdoppelt.
- Gleichzeitig wird jedes (k-1)-dimensionales Grenzelement zu einem k-dimensionalen erweitert. Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen n-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem k-dimensionalen Grenzelement k Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von k Koordinatenachsen nicht nur ein k-dimensionales Grenzelement, sondern 2^n-k, weil man durch jede der n-k zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt die selben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, k Achsen aus den n Achsen auszuwählend (Binomialkoeffizient

), mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit

\cdot 2^

Beispiel: Der 3-dimensionale Würfel wird durch Verschiebung eines Quadrats erzeugt.
- Die 4 Kanten des Quadrats werden dadurch verdoppelt.
- Die 4 Eckpunkte des Quadrats werden zu Kanten erweitert. Der 3-dimensionale Würfel besitzt damit 2
- 4 + 4 = 12 Kanten. Binomialkoeffizient Alle 0- bis 5-dimensionalen Hyperwürfel in der Parallelprojektion: Bild:WUERFEL5 0- bis 5-dimensionale Wuerfelanaloge.jpg

Weblinks

- Marcus Gossler (1986): [http://www.uni-graz.at/~gossler/pers/aufs/066-wuerfel.html Zur Elementargeometrie höherdimensionaler Würfel]
- [http://www.math.unibas.ch/~walser/Vortraege/Vortrag39/Skript/Hyperwuerfel.pdf Der n-dimensionale Hyperwürfel ( pdf, 900kB )]
- [http://www.rneumann.name/index.php?content=hyper Hyperwürfel und Hyperkugeln ]
- [http://home.arcor.de/wzwz.de/wiki/einzel/hypw.htm Erweiterte Grenzelemente-Tabelle] Kategorie:Geometrie

Tesserakt

Ein Tesserakt ist ein 4-dimensionaler Würfel oder genauer ein Hyperwürfel. Er hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate, und wird durch 8 dreidimensionale Würfel begrenzt. Ein exaktes Modell des Tesserakts ist weder innerhalb unseres dreidimensionalen Raumes, noch auf einer zweidimensionalen (Bildschirm-)Fläche darstellbar. Daher sind die folgenden Bilder nur als Parallelprojektionen zu verstehen. Rechts im ersten Bild erkennt man einen blauen und einen gelben Würfel, die durch sechs weitere rhomboedrisch verzerrte Begrenzungswürfel verbunden sind. Beim dreidimensionalen Netz des Tesserakts (links im ersten Bild) sind alle acht Begrenzungswürfel in den dreidimensionalen Raum gefaltet. Im folgenden Bild ist das Netz des Tesserakts links zu sehen, und rechts unten die Parallelprojektion des Tesserakts. Bild:WUERFEL7 Netz des Tesseraktes und Tesserakt.jpg Alle null- bis fünfdimensionalen Würfelanaloga als Parallelprojektionen, siehe die Dimensions-Nummern. Bild:WUERFEL5 0- bis 5-dimensionale Wuerfelanaloge.jpg Bei der Zentralprojektion eines Tesserakts entsteht das Bild eines Würfels, der konzentrisch innerhalb eines größeren Würfels hängt, wobei die einander entsprechenden Ecken (radial) durch acht Kanten verbunden sind. Neben diesen beiden Würfeln enthält dieses Bild noch sechs Pyramidenstümpfe, die die verzerrten Abbilder von weiteren sechs Begrenzungswürfeln sind. Das folgende zweidimensionale Bild ist streng genommen die Parallelprojektion eines dreidimensionalen Modells, das die Zentralprojektion eines Tesserakts aus dem vierdimensionalen Abstand seiner einfachen Kantenlänge darstellt. Parallelprojektion auf die Bildschirmfläche der Zentralprojektion des Tesserakts auf den dreidimensionalen Raum.
Bild:WUERFEL9 Zentralprojektion des Tesseraktes.jpg Zentralprojektion (links) und Parallelprojektion (rechts) eines Würfels auf seine Auflagefläche. Bild:WUERFEL3 Zentralprojektion und Parallelprojektion.jpg Wenn man beim Tesserakt dessen acht gegenüber liegende Begrenzungs-Würfel paarweise mit einander verheftet, dann entsteht ein 4-Torus.

Siehe auch

Vierte Dimension.

Weblinks

- http://www.geocities.com/hjsmithh/WireFrame4/tesseract.html - Animation
- http://www.mathematische-basteleien.de/hyperkubus.htm
- http://www.polytope.de/plat4.html - Platonische Polychora
- http://www.hammondgallery.co.uk/view_pic.php3?aid=44&pid=578 - Crucifixion (Corpus Hypercubus) von Salvador Dalí enthält das Netz des Tesserakts. Kategorie:Geometrie

Vektorraum

Ein Vektorraum ist eine mathematische Struktur und stellt das fundamentale Konzept der Linearen Algebra dar. Vektorräume werden in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet. Ein Vektorraum besteht aus einzelnen Vektoren, die addiert oder mit einer skalaren Zahl multipliziert werden können. Das Ergebnis ist jeweils wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Mit dem Begriff Vektor bezeichnet man nicht nur die aus der Geometrie bekannten Vektoren, sondern auch Objekte wie Funktionen oder Matrizen. Da die skalaren Zahlen, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, einem Körper entstammen, ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. In den meisten Anwendungen legt man diesen oder den Körper der komplexen Zahlen zugrunde, ohne dies explizit zu erwähnen. Als Basis eines Vektorraums bezeichnet man eine Menge von Vektoren, aus denen sich alle anderen Elemente des Vektorraums mittels Addition und Skalarmultiplikation konstruieren lassen. Die Anzahl der Basisvektoren, die man dafür benötigt, ist nicht von der Wahl dieser Vektoren abhängig und wird Dimension des Vektorraums genannt. Der Anschauungsraum

\R^3

hat beispielsweise die Dimension

3

. Es gibt aber auch Vektorräume mit unendlicher Dimension.

Formale Definition

Ein Vektorraum über einem Körper

K

(oder kurz K-Vektorraum) ist eine abelsche Gruppe

(V,+,0)

zusammen mit einer Verknüpfung :

\cdot:K \times V \to V

(Skalarmultiplikation), so dass folgende Bedingungen für alle

u,v\in V

und

\alpha,\beta\in K

erfüllt sind: #

\alpha \cdot (\beta \cdot v) = (\alpha \cdot \beta) \cdot v

(Assoziativität) #

\alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v

und

(\alpha + \beta) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v

(Distributivgesetze). #

1 \cdot v = v

(Neutralität der 1 des Körpers

K

als Skalar). Anders ausgedrückt ist ein K-Vektorraum nichts anderes als ein K-Linksmodul, dessen Grundring

K

sogar ein Körper ist.

Bemerkungen

- Die Addition der abelschen Gruppe

(V,+,0)

heißt Vektoraddition, das neutrale Element

0

der Nullvektor.
- Die Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
- Obwohl die Multiplikation im Körper

K

und die Skalarmultiplikation nicht verwechselt werden dürfen, werden sie üblicherweise beide mit dem selben Zeichen „

\cdot

“ bezeichnet, und oft lässt man das Multiplikationszeichen sogar ganz weg.

Erste Eigenschaften

Für alle

\alpha \in K

und

v,w \in V

gilt:
-

(-\alpha) \cdot v = - (\alpha \cdot v) = \alpha \cdot (-v)

.
- Die Gleichung

v+x =w

ist für alle

v,w \in V

eindeutig lösbar; die Lösung ist

x = w + (-v)

.
-

\alpha \cdot v = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha =0

oder

v = 0

Beispiele

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die 2-dimensionale Euklidische Ebene

\R^2

mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. :

\mathbf = ( 2 , 3 )

ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben, :

\mathbf = ( 3 ,-5 )

ist die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung: :

\mathbf + \mathbf = ( 5 ,-2 )

, d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Der Nullvektor

\mathbf = ( 0 , 0 )

entspricht keiner Verschiebung. Durch die Streckung der Verschiebung

\mathbf

mit einem Skalar

a = 3

aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung: :

a \cdot \mathbf = 3 \cdot ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 )

Raum der linearen Funktionen

Ein schon etwas abstrakterer Vektorraum ist der Raum der linearen Funktionen auf den reellen Zahlen. Dies sind die Funktionen der Form :

f:\R\to\R,\;x\mapsto a\cdot x + b

mit reellen Zahlen

a

und

b

. Anschaulich gesprochen sind dies alle Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. In dieser Anschauung erzeugt unser Raum alle Geraden bis auf die genau senkrecht stehenden. Wählen wir beispielhaft zwei lineare Funktionen :

f(x) = 2x + 3

g(x) = 3x - 5

, so sehen wir, wie deren Summe wieder eine lineare Funktion ergibt: :

f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2

Der Nullvektor ist die konstante Funktion :

0 = 0x + 0

, die alle Punkte auf die Null abbildet. Mit einem Skalar

a = 3

aus der Menge der reellen Zahlen ergibt die Skalarmultiplikation :

a \cdot f(x) = 3 \cdot (2x + 3) = (3 \cdot 2)x + (3 \cdot 3) = 6x + 9

Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich 4

Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4

(a + b \cdot x + c \cdot x^2 + d \cdot x^3 + e \cdot x^4)

ist ein Vektorraum der Dimension 5. Eine Basis ist

\

Spezielle Vektorräume

;Euklidischer Vektorraum: Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums. ;Prähilbertraum: Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt oder hermitesche Form) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren. ;Topologischer Vektorraum: Ein topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper

K

ist ein topologischer Raum

V

mit einer kompatiblen

K

-Vektorraumstruktur, d.h. die Vektorraumoperationen

\colon V\times V\to V

und

\colon K\times V\to V

sind stetig. ;Unitärer Vektorraum: Ein unitärer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums. In vielen Vektorräumen ist es möglich, die Länge eines Vektors anzugeben, die etwas abstrakter seine Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann ein normierter Raum. Eine Norm induziert stets eine Metrik und damit auch eine Topologie. In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbert-Raum. Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen, deren Elemente Wellenfunktionen sind. Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder Faktorraum, konstruieren.

Untervektorraum

Sei

V

ein

K

-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge

U\subseteq V

heißt ein Untervektorraum (oder auch Teilvektorraum) von

V

, falls die folgenden Bedingungen gelten:
- Für alle Elemente

x,y\in U

gilt auch

x + y\in U

(Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
- Für alle Elemente

x\in U

liegt auch jedes skalare Vielfache

a \cdot x

mit einem

a\in K

U

(Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation) Damit ist

U

selbst wieder ein

K

-Vektorraum.

Eigenschaften

Jeder Untervektorraum ist mit den induzierten Operationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation auch selbst wieder ein Vektorraum: Wegen der Abgeschlossenheit sind Vektoraddition und Skalarmultiplikation wohldefinierte Verknüpfungen auf

U

. Wegen

U \ne \empty

gibt es mindestens einen Vektor

u \in U

, und mit

u

liegt auch das skalare Vielfache

0\cdot u = 0

U

, d.h.

U

enthält den Nullvektor von

V

. Mit

u

liegt auch das additive Inverse

-u = (-1_K) \cdot u

U

. Die restlichen Vektorraumaxiome folgen aus der Teilmengenrelation

U \subseteq V

. Jeder Vektorraum

V

enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den kleinsten Untervektorraum

\

, der nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

Es sei

V=\R^2

der Vektorraum der Paare reeller Zahlen. Ein Untervektorraum ist z.B.

M = \R \times \left\

, wie man leicht nachrechnen kann. Anschaulich ist

V

eine Ebene, und

M

ist die mit der x-Achse zusammenfallende Gerade.

Verallgemeinerungen

- Wenn man an Stelle eines Körpers

K

einen Ring zugrunde legt, erhält man ein Modul. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe (für den Ring der ganzen Zahlen) und Vektorraum (für Körper).
- Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser etwas unglücklichen Vorgehensweise, so müssen K-links-Vektorräume und K-rechts-Vektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen K-links-Vektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. K-rechts-Vektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert.
- Wenn man an Stelle eines Körpers

K

einen Halbkörper zugrunde legt, erhält man einen Halbvektorraum.

Siehe auch

Hierarchie mathematischer Strukturen, Raum (Mathematik) Kategorie:Lineare Algebra ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간

Durchschnitt

Durchschnitt (Symbol: Ø) bezeichnet
- in der Mathematik :
- einen aus mehreren vergleichbaren Werten errechneten Mittelwert :
- das Ergebnis des arithmetischen Mittels :
- die Schnittmenge zweier Mengen, siehe Mengenlehre
- in anderen Feldern :
- eine leicht negative Wertung ("das war nur/bestenfalls durchschnittlich") :
- unterm durchschnitt ist eine Musik-Plattenfirma. :
- einen Querschnitt :
- die Trennung eines Metalls in der Blechbearbeitung, zum Beispiel mit Hilfe einer Lochmaschine

Koordinatenursprung

Mit Hilfe eines Koordinatensystems lassen sich die Positionen von Punkten im Raum angeben. Die Position im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, Koordinaten genannt, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Abstände, Flächen, Körper) angeben. Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf. Der Punkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über Normalnull (genauer: Ortsabhängigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten wie (Längengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Während sich in solchen Fällen die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anbietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt. variabel Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensystemen orthogonal. Beispiele:
- geradlinige Koordinatensysteme: ::Vektorraum
- geradlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::Kartesisches Koordinatensystem
- krummlinige Koordinatensysteme: ::Elliptische Koordinaten
- krummlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten ::räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) ::Toruskoordinaten

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Null Null Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie. Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden. Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig. Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten. Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:
- Geographisches Koordinatensystem
- Soldner Koordinatensystem
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
- Baryzentrische Koordinaten
- bewegte Koordinatensysteme
- rotierende Koordinatensysteme

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen. Da eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

Weblinks

- http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/i.html - Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
- http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/lexikon/K/koordinatensystem.html - Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln) Kategorie:Geometrie ja:座標 ko:좌표계

Mehrdimensionale Analysis

Mehrdimensionale Analysis ist die Verallgemeinerung der (eindimensionalen) Analysis. Diese mathematische Disziplin betrachtet Funktionen mehrerer Variablen, die oft als ein Vektor dargestellt werden. Diese Funktionen sind z.B. definiert als Abbildungen aus dem

\mathbb^n

in die reellen Zahlen

\mathbb

: :

f : \mathbb^n \rightarrow \mathbb

. In der Analysis ist vor allem die Verallgemeinerung der eindimensionalen Differential- und Integralrechnung auf höherdimensionale Funktionen im Blickfeld. Am gebräuchlichsten ist die Analysis in zwei und drei Dimensionen, da hier von der geometrischen Intuition Gebrauch gemacht werden kann. Viele der Ergebnisse der mehrdimensionalen Analysis bilden heute einen unabdingbaren theoretischen Grundstock für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Integralrechnung Als Beispiel für eine Funktion, die dreidimensional darstellbar und dadurch vorstellbar ist, diene

z:= f(x,y) := sin(x^2)\cdot y

mit

\mathbb^2 \rightarrow \mathbb^1

. Hier wird ein zweidimensionaler Raum auf einen eindimensionalen Raum abgebildet. allgemein gilt:

\mathbb^n \rightarrow \mathbb^m

Für m+n> 3 ist die Darstellung in einem dreidimension Diagramm nicht möglich. siehe auch: Differentialgeometrie -- Vektoranalysis Kategorie:Analysis

Kategorie:Raumgeometrie

Kategorie:Euklidische Geometrie Kategorie:Raum

Eastern Fleet

The British Eastern Fleet (also known as the East Indies Fleet) was a fleet of the Royal Navy during World War II. It operated in the Indian Ocean and was based in Trincomalee in Ceylon.

List of ships

Ships attached to the Eastern Fleet include:
- HMS Hermes - Sunk 9 April 1942
- HMS Victorious
- HMS Illustrious
- HMS Indomitable
- HMS Newcastle
- HMS Prince Of Wales - Sunk 10 December 1941
- HMS Repulse - Sunk 10 December 1941
- HMS Electra - Sunk 27 February 1942
- HMS Express
- HMS Cornwall - Sunk 5 April 1942
- HMS Dorsetshire - Sunk 5 April 1942
- HMAS Vampire - Sunk 9 April 1942 The USS Saratoga also served with the Eastern Fleet.

Singapore

Before the fall of Singapore, the naval base there was part of the British Far East Command. Admiral Sir Geoffrey Layton was appointed to command the Eastern Fleet there following the sinking of Prince of Wales and Repulse. He then retreated to Java. Following the Fall of Singapore, he handed over command to Admiral Sir James Somerville.

Indian Ocean retreat

Following the Japanese capture of the Andaman Islands, the main elements of the Fleet retreated to Addu Atoll in Maldives. Then, following Chuichi Nagumo's Indian Ocean raid in early 1942, the Fleet moved its operational base to Kilindini near Mombasa in Kenya, as their more forward fleet anchorages could not be adequately protected from Japanese attack. The fleet in the Indian Ocean was then gradually reduced to little more than a convoy escort force as other commitments called for the more powerful ships. From May 1942, it was also used in the invasion of Madagascar, an operation aimed at thwarting any attempt by Japan to use bases on the Vichy French controlled territory.

Indian Ocean strike

During late 1944, as more British aircraft carriers came into the area, a series of strikes were flown against oil targets in Sumatra to prepare British carriers for the upcoming operations in the Pacific. The USS Saratoga was lent for the first attack by the United States. The oil installations were heavily damaged by the attacks, aggravating the Japanese fuel shortages due to the American blockade. The final attack was flown as the carriers were heading for Sydney, Australia, to become the British Pacific Fleet. After the departure of the main battle forces, the Indian Ocean was left with escort carriers and older battleships as the mainstay of its naval forces. Nevertheless, during those months, important operations were launched in the recapture of Burma, including landings on Ramree and Akyab and near Rangoon.

Directly correlated benefits of smoke-free restaurants

- Research suggests that th

Biography

Sokratis Malamas was born on September 29, 1957 in Sykia in