Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Pi (wiskunde)

Pi (wiskunde)

In de wiskunde wordt de Griekse kleine letter π als symbool gebruikt voor het getal dat de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter aangeeft. Deze wiskundige constante wordt ook wel de constante van Archimedes genoemd. De numerieke waarde van π is bij benadering : π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 375... ---- In de wiskunde wordt Π (hoofdletter) gebruikt om een vermenigvuldiging van een aantal gelijksoortige factoren verkort op te schrijven, bijvoorbeeld: :\Pi_^6 n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6

Formules uit de meetkunde met π

:Omtrek van een cirkel met straal r: C = 2 π r :Oppervlakte van een cirkel met straal r: A = π r2 :Oppervlakte van een ellips met halfassen a en b: A = π a b :Inhoud van een bol met straal r: V = (4/3) π r3 :Oppervlakte van een bol met straal r: A = 4 π r2 :Hoeken: 180 graden = π radialen :Inhoud van een kegel met grondvlakstraal r en hoogte h: V = (1/3) πr2 h :Oppervlakte van een kegel met grondvlakstraal r en hoogte h: A = π r (r + √ (h2 + r2) )

Formules uit de analyse met π

Formules om π te benaderen

Reeksen

#\frac = \arctan(1) (formule van Leibniz) #\frac = \frac - \frac + \frac - \frac + \cdots # \frac = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots (formule van Euler) #\frac = 1+\frac + \frac + \frac + \frac + \cdots #\frac = \arcsin(\frac) #\frac = 4 \arctan(\frac) - \arctan(\frac) (formule van Machin) waarin: \arctan (x) = x -\frac+\frac - \dots =\sum_^\infty (-1)^n \frac (Taylorreeks) en: \arcsin (x) = x + \frac\frac+\frac\frac+\dots =\sum_^\infty\frac\frac. We onderzoeken de nauwkeurigheid van deze reeksen, na 10 en 1000 gesommeerde termen: De snelheid van convergentie van de eerste 4 reeksen is dus bedroevend laag! Van de 5e reeks zijn 13 termen voldoende voor een nauwkeurigheid van 9 decimalen, van de 6e reeks 6 termen. Bij deze laatste twee reeksen is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen in absolute waarde kleiner dan 1, wat een snelle convergentie garandeert. Met deze eigenschap in gedachten zijn reeksen ontwikkeld die nog sneller convergeren, zoals: :\frac=\frac\sum_^\infty (\frac+n)\frac\frac. Per extra term bij de sommatie wordt de benadering 14 cijfers nauwkeuriger.

Het product van Wallis

:\frac = \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdots Ook dit is meer een curiositeit dan een bruikbare formule om π te berekenen. Nemen we van beide zijden de logaritme, dan wordt de rechterzijde een reeks. Nemen we hiervan steeds twee termen samen dan is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen 1.

Formules waar π in voorkomt

:n! \approx (2 \pi n)^ \left(\frac\right)^n (benadering van Stirling voor n-faculteit) :\!e^ + 1 = 0 (identiteit van Euler) :\pi^ = \int_^ e^ dx

Enkele voorbeeldprogramma's

Berekening van π met behulp van de formule van Euler

Het volgende programma in C gebruikt een iteratie om de waarde van π te berekenen volgens de bovenstaande van Euler afkomstige formule, en laat per miljoen berekende waarden een tussenresultaat zien. #include #include #define JUIST 1 int main()

Berekening van π met behulp van de formule van Wallis

Dit is een versimpelde variant van de formule van Wallis; iedere twee breuken worden samen genomen. Deze berekening is niet precies, omdat er na een tijd afronding in de berekening plaatsvindt. #include int main ()

Berekening van π met behulp van de formule van Leibniz

Het volgende programma in C berekent de waarde van π steeds nauwkeuriger volgens de formule van Leibniz en laat telkens als er een nauwkeurigere boven- en ondergrens zijn gevonden zien tussen welke 2 waarden π ligt. #include int main()

Berekening van π met behulp van een toevalsmethode (Monte Carlo-methode)

In een vierkant tekenen we een kwart cirkel met het middelpunt op een hoekpunt, en de straal gelijk aan een zijde. De kans dat een willekeurig punt binnen het vierkant ook binnen de cirkel ligt is π/4. Zo'n willekeurig punt heeft twee willekeurige coördinaten. Om te kijken of een punt binnen de cirkel ligt vergelijkt het programma, in Pascal, de afstand tot het middelpunt van de cirkel met de straal. program pi; var i, punten, binnen: integer; begin randomize; write ('Geef het aantal punten: '); readln (punten); binnen := 0; for i := 1 to punten do if sqr (random) + sqr (random) < 1 then binnen := binnen + 1; writeln ('Pi is ongeveer ', binnen / punten
- 4:9:7) end. Formules uit de getaltheorie met π

:De kans dat twee willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn, is 6/\pi^2. :Het gemiddelde aantal manieren om een positief, geheel getal te schrijven als de som van twee perfecte kwadraten (volgorde is van belang) is π/4.

Irrationaliteit, transcendentie en de kwadratuur van de cirkel

Johann Heinrich Lambert bewees in 1761 dat π een irrationaal getal is. Dat wil zeggen dat het niet als de ratio van twee gehele getallen kan worden geschreven. In 1882 bewees Ferdinand Lindemann zelfs dat π een transcendent (ofwel niet-algebraïsch) getal is. Dat betekent dat er geen polynoom met gehele coëfficiënten bestaat met π als nulpunt. Daardoor is het onmogelijk om in een eindig aantal stappen met passer en liniaal een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan een gegeven cirkel. De reden is dat alle punten die met passer en liniaal bereikt kunnen worden speciale algebraïsche getallen zijn.

Benaderingen

Door de transcendente aard van π bestaat er geen eenvoudige uitdrukking voor π en moeten we werken met benaderingen. Deze benaderingen waren vroeger handig bij de toegepaste wetenschappen; recente benaderingen hebben zoveel decimalen dat ze weinig praktisch nut hebben, behalve dan om nieuwe supercomputers mee te testen. Ludolph van Ceulen berekende rond 1600 de eerste 35 decimalen. Hij was zo trots op zijn prestatie dat hij ze op zijn [http://www.math.rug.nl/~top/pi-dag/graf.pdf grafsteen] heeft laten graveren. De Sloveense wiskundige Jurij Vega berekende in 1789 de eerste 140 decimalen voor π, waarvan er 137 correct waren. Dit was 50 jaar lang het wereldrecord. Hij verbeterde de formule van John Machin uit 1706 en deze wordt vandaag de dag nog steeds aangehaald. Van de formules hierboven kan alleen die van Machin dienen als een efficiënte manier om π te berekenen: : 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4 Deze kan het eenvoudigst geverifieerd worden met poolcoördinaten van complexe getallen: : (5+i)4 · (239 - i) = 114244 + 114244 i De eerste miljoen decimalen van π en 1/π zijn beschikbaar bij het project Gutenberg. Het huidige record (augustus 2001) staat op 206.000.000.000 cijfers, die berekend werden in september 1999 met behulp van het algoritme van Gauss-Legendre en het algoritme van Borwein. In 1996 ontdekte David H. Bailey in samenwerking met Peter Borwein en Simon Plouffe een nieuwe formule voor π als oneindige reeks: : \pi = \sum_^ \frac \left( \frac - \frac - \frac - \frac\right) Deze formule laat het toe om eenvoudig de n-de binaire of hexadecimale positie van π te berekenen zonder daarvoor eerst de n-1 posities te berekenen. [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ Baileys website] bevat zowel de afleiding als implementaties in verschillende programmeertalen.

Open vragen

De dringendste open vraag: 'is π normaal?' ofwel of elke cijfergroep in de expansie van π even vaak voorkomt als zou kunnen worden verwacht wanneer de cijfers volledig willekeurig waren gekozen. Deze vraag zou waar moeten zijn in elke basis, niet alleen in basis 10. Bailey en Crandal toonden in 2000 aan dat het bestaan van de bovenstaande formule van Bailey, Borwein en Plouffe en andere vergelijkbare formules impliceert dat de normaliteit van π in basis 2 en verschillende andere constanten gereduceerd kan worden als een mogelijke aanname voor chaostheorie. Zie de bovenstaande website van Bailey voor details.

Piphilologie

Er bestaat een heel onderzoeksgebied naar het gebruik van mnemonische technieken om de cijfers van π te onthouden. Dit onderzoek staat bekend als Piphilologie. Het woord is een duidelijk woordspeling op Pi zelf en het linguïstische onderzoeksgebied filologie (Engels: philology). Het bekendste voorbeeld van een geheugensteuntje voor de cijfers van π komt van Isaac Asimov: :How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! In dit voorbeeld staat het aantal letters in ieder woord voor de opeenvolgende cijfers van π: 3,141.592.653.589.79. Er zijn piphilologisten die gedichten hebben geschreven om meer dan 100 cijfers te coderen. Een ander voorbeeld (de ij telt voor één letter): :Wie u eens π heeft verzonnen in aloude tijden :was nooit begonnen inderdaad spoedig geëindigd :als hij had ingezien :welk gezeur de cijfers bien In het Frans komt men tot 127 decimalen (de tienletterwoorden tellen als 0): :Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages. :Glorieux Archimede, artiste ingenieux! :Toi de qui Syracuse aime encore la gloire. :Soit ton nom conserve par de savants grimoires. :Jadis, mysterieux, un probleme existait. :Tout l'admirable procede (l'oeuvre etonnante!) :Que Pythagore decouvrit aux anciens Grecs: :O Quadrature! Vieux tourment du philosophe! Sibylline rondeur! :Trop longtemps vous avez defie Pythagore et ses imitateurs! :Comment integrer l'espace plan circulaire? :Thales tu tomberas! Platon tu desesperes! :Apparait Archimede: :Archimede inscrira dedans un hexagone: :Appreciera son aire fonction du rayon; :Pas trop ne s'y tiendra! :Dedoublera chaque element anterieur, :Toujours de l'orbe calculee approchera :Laquelle limite donne l'arc, :La longueur de cet inquietant cercle, :Ennemi trop rebelle! :Professeur, enseignez son probleme avec Zele ...

De π-wet van Indiana

In 1897 werd door het Huis van Afgevaardigden van de Amerikaanse staat Indiana unaniem een wet aangenomen waarin werd verordonneerd dat het getal π voortaan gelijk gesteld moest worden aan 3,2. De opsteller van deze wet nummer 246, was Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, de indiener was afgevaardigde Taylor. De reden was niet echter alleen maar gemak, maar Goodwin had er ook financieel belang bij. Door deze "uitvinding van π = 3,2" kon hij royalty's ontvangen. De wet werd echter door de senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van de wiskundige Clarence A. Waldo van de Purdue University, doordat deze de senaat binnen een half uur de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om op π = 3,2 te komen.

Geheugensteuntjes om π te benaderen

Er bestaan verschillende geheugensteuntjes om π te benaderen. Vooral voor eenvoudige rekenmachientjes die niet het getal π hebben is dit soms handig. Bijvoorbeeld 22/7 = 3,142857... (een niet zo goede benadering) Of 355/113 = 3,14159292... (al een wat betere benadering) Een ander voorbeeld (dit is ook wiskundehumor) is deze: Neem het getal "1234", dat is logisch toch? Draai tweemaal twee cijfers om, zodat het getal "2143" ontstaat. Deel dat getal door twee tweeën (2143 / 22 = 97,40909...). Neem van het resultaat tweemaal de tweedemachtswortel. De uitkomst is (heel logisch) het getal: 3,1415926526... Dit is een redelijke benadering van π en een humoristische toepassing van de benadering \pi^4\simeq 2143/22 die door Srinivasa Aaiyangar Ramanujan ontdekt is. ---- Zie ook: Calculus, Geometrie, Trigonometrische functie, Getaltheorie, π-meson, Pidag

Externe links


- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Mac Tutor-project]
- [http://www.cilea.it/~bottoni/www-cilea/F90/piph.htm Andreas P. Hatzipolakis: PiPhilology] - een website met honderden voorbeelden van geheugensteuntjes voor π
- [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Wolfram Mathematics-pagina met formules voor π]
- [http://www.uoguelph.ca/zoology/devobio/210labs/MeiosisQuiz/pi.html 100.000 decimalen van π]
- [http://www.geocities.com/tsrmath/pi/picalcs.htm 1.250.000 decimalen van π]
- [http://members.chello.nl/r.kuijt/pi_onthouden.htm 10 of meer cijfers van π onthouden]: een ezelsbruggetje om de eerste cijfers te kunnen onthouden Categorie:Wiskundige constante als:Pi ja:円周率 ko:원주율 simple:Pi th:ไพ

Wiskunde

De wiskunde (minder gebruikelijk: mathematica) is een van de oudste wetenschappen. Een gebruikelijke definitie van wiskunde is: het bestuderen van patronen en structuren. Met behulp van strikt logische redeneringen probeert men, uitgaande van een zo klein mogelijk aantal basisaannames (axioma's) en enkele axiomatisch geformuleerde definities, via een wiskundig bewijs te komen tot het formuleren van uitspraken (stellingen) over de gedefinieerde objecten en de verbanden daartussen.

Algemeen

In de meeste talen (Engels: mathematics, Duits: Mathematik, Frans: mathématiques) is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord μάθημα (máthima), dat wetenschap, kennis of leren betekent. Het Nederlandse woord wiskunde is door Simon Stevin in de 17e eeuw als wisconst (kunst van het gewisse of zekere) aan deze wetenschap verbonden. Veel onderwerpen van studie in de wiskunde vinden hun oorsprong in andere exacte wetenschappen als de natuurkunde en de astronomie. Wiskundigen bestuderen echter ook mathematische structuren en onderwerpen om esthetische redenen of om een meer algemene oplossing te vinden voor verwante vraagstukken op diverse deelgebieden. Er wordt hierbij onderscheid gemaakt tussen de zuivere en de toegepaste wiskunde. Binnen de zuivere wiskunde bestuderen sommige wiskundigen de wiskunde voor hun genoegen, daarbij de wiskunde min of meer als kunstvorm beschouwend.

Geschiedenis

De wiskunde, zoals ontstaan uit de rekenkunde, is reeds bekend in de vroegste culturen. Zo is uit Egypte de Rhynd Papyrus bekend. De Babyloniërs ontwikkelden een geavanceerd getallensysteem gebaseerd op het getal 60. Ook gebruikten zij algebraïsche formules als ab = ((a + b)2 - (a - b)2)/4 en tafels met machten om berekeningen sneller te kunnen uitvoeren. Zij kenden reeds de stelling van Pythagoras. De wiskunde als abstracte wetenschap werd het eerst beoefend in het klassieke Griekenland, waar bijvoorbeeld Euclides zijn 5 axioma's formuleerde die meer dan twintig eeuwen stand hielden. Vanuit deze axioma's bouwden hij en zijn volgelingen de meetkunde als zelfstandige tak van de wiskunde op. Met de ondergang van de Griekse cultuur kwam de ontwikkeling van de wiskunde tot stilstand. Pas in de middeleeuwen pakken Arabische wiskundigen de draad weer op. Via hen wordt bijvoorbeeld het cijfer 0 vanuit India in Europa geïntroduceerd. Een bloeiperiode begint met het werk van al-Khwarizmi rond 790 en de vertaling van Griekse teksten. Aan al-Khwarizmi wordt het ontstaan van de algebra toegeschreven. Het woord algoritme is van zijn naam afgeleid. Het duurt tot na de middeleeuwen voor Europa de leidende rol van de Arabische cultuur kan overnemen. Tegenwoordig is wiskunde niet meer weg te denken uit het dagelijks leven, op allerlei manieren passen wij het immers toe en we worden er reeds op jonge leeftijd, in meerdere of mindere mate, mee geconfronteerd.

Deelgebieden

Een veel gemaakt onderscheid in de wiskunde is dat tussen zuivere, of theoretische, en toegepaste wiskunde. Een strikte scheiding tussen deze gebieden is moeilijk aan te geven. De theoretische wiskunde wordt verondersteld deelgebieden als algebra, getaltheorie en topologie te omvatten, terwijl de toegepaste wiskunde bestaat uit onder andere numerieke wiskunde, cryptografie en de studie van differentiaalvergelijkingen. Hieronder volgt een lijst met deelgebieden van de wiskunde, nog niet onderverdeeld in categorieën:
- Abstractie en Deductie
- Algebra
- Algoritmen
- Analyse: Geschiedenis van de analyse
- Asymptoten en Limieten
- Besliskunde
- Booleaanse logica
- Chaostheorie
- Coderingstheorie
- Combinatoriek: Combinatie - Permutatie - Variatie - Magische vierkanten
- Complexe getallen en Complexe functies
- Cryptografie
- Differentiaalmeetkunde
- Differentiaaltopologie
- Differentiaalrekening - Differentiaalvergelijkingen
- Discrete wiskunde
- Elementaire rekenkundige bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, etc.
- Functies en Functieanalyse
- Speciale functies (bv. de Betafunctie)
- Functionaalanalyse
- Getaltheorie
- Goniometrie
- Grafentheorie
- Groepentheorie
- Integraalrekening - Lijnintegraal - Meervoudige integralen
- Speciale integralen: Sinusintegraal - Cosinusintegraal - Exponentiële integraal - Fresnelintegraal - Complexe integralen
- Kansrekening en Maattheorie
- Lineaire algebra
- Logaritmen en exponentiële functies
- Logica
- Meetkunde, Analytische meetkunde en Niet-Euclidische meetkunde
- Numerieke wiskunde
- Ongelijkheden
- Polynomen: Chebyshev - Hermite - Laguerre
- Priemgetallen en Priemfactoren
- Reeksen: Binomiaalreeksen - Machtreeksen - Taylorreeksen - Maclaurinreeksen
- Ruimtemeetkunde
- Rijen
- Speltheorie
- Statistiek
- Talstelsels
- Topologie
- Transformaties: Fourieranalyse - Laplacetransformatie - Z-transformatie
- Trigonometrie
- Vergelijkingen - Oplossen van vergelijkingen
- Verzamelingenleer

Belangrijke wiskundigen


- Wiskunde in de Oudheid: Pythagoras, Plato, Euclides en Archimedes
- Wiskunde in de Europese Middeleeuwen: Boethius, Leonardo Fibonacci, Muhammad al-Khwarizmi
- De grondslagen van de wiskunde: Georg Cantor, Richard Dedekind, Gottlob Frege, Giuseppe Peano, Bertrand Russell
- De ontwikkeling van de infinitesimaalrekening: René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton, Gottfried Leibniz
- De statistiek: Blaise Pascal, Christiaan Huygens, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Thomas Bayes, Pierre Simon Laplace, Adolphe Quetelet, Simeon Poisson, Francis Galton, Karl Pearson
- Achttiende eeuw: Jakob Bernoulli, Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler
- Negentiende eeuw: Carl Friedrich Gauss, Augustin Louis Cauchy, Niels Henrik Abel, Evariste Galois, Bernhard Riemann, Felix Klein, Karl Weierstrass
- Twintigste eeuw: Tom Apostol, Luitzen Brouwer, Pál Erdős, David Hilbert, Kurt Gödel, Donald Knuth, John von Neumann, John Nash, Alan Turing, André Weil, Andrew Wiles Zie ook een meer volledige lijst van wiskundigen.

Zie ook


- Wiskunde van A tot Z
- [http://www.wiskundeleren.nl WiskundeLeren.nl]
- [http://www.wisfaq.nl WisFAQ.nl]
- [http://wiskunde.pagina.nl Wiskunde startpagina]
- [http://www.fambof.nl/links/wiskunde/ Wiskunde Links (fambof)] Categorie:Formele wetenschap categorie:Wetenschapsgeschiedenis ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Cirkel

right Een cirkel in de meetkunde is een ronde twee-dimensionale figuur die wordt gevormd door alle punten die dezelfde afstand tot een gekozen punt hebben. Het gekozen punt is het middelpunt, aangegeven met m in de figuur, en de gekozen afstand heet de straal, aangegeven met r in de figuur. Soms wordt om de maat van een cirkel aan te duiden in plaats van de straal de diameter gebruikt (d in de figuur). Deze is de grootste afstand tussen twee punten van de cirkel, en precies 2 maal zo groot als de straal. Soms wordt met de cirkel niet de kromme aan de buitenzijde bedoeld, maar de verzameling van alle punten binnen die kromme. Wiskundig gezien is dat onjuist; alle punten binnen een cirkel vormen een schijf. De wiskundige vergelijking voor de punten (x,y) in een 2-dimensionaal assenstelsel, die een cirkel vormen met middelpunt (x0,y0) en straal r is:
:(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2.
Als het middelpunt van de cirkel de oorsprong is, dan vereenvoudigt zich dit tot:
:x2 + y2 = r2.
Als nu de straal van deze cirkel 1 is, spreekt men van de eenheidscirkel:
:x2 + y2 = 1
Of, in poolcoördinaten uitgedrukt:
:x = x_0 + r \cdot cos(\phi), :y = y_0 + r \cdot sin(\phi)). De totale omtrek van een cirkel, de lengte van de kromme, is 2π maal de straal van de cirkel (2πr), ofwel π maal de diameter (πd) De totale oppervlakte van de cirkelschijf is πr2 De cirkel is de figuur met de grootste oppervlakte-omtrek verhouding: zij vormt het grootste oppervlak die men kan omvatten met een gegeven lengte.

Vastleggen van een cirkel door drie punten

oppervlakte Neem een willekeurige driehoek met scherpe hoeken. Het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van deze driehoek blijkt nu het middelpunt van een cirkel te zijn, waar de drie hoekpunten van de driehoek op liggen. Dit is als volgt te verklaren: de drie zijden van de driehoek zijn koorden van een cirkel. De middelloodlijn van elke koorde gaat door het middelpunt van de cirkel. ---- Zie ook: boog, ellips, bol, cirkelsector, cirkelsegment categorie:Meetkunde ja:円 (数学) simple:Circle

Diameter

right De diameter is de grootste afstand die kan worden gemeten tussen twee punten op een cirkel of door een bol. De diameter is gelijk aan 2 × de straal. Zowel bij de bol als bij de cirkel loopt elke getrokken lijn langs een diameter door het middelpunt. De omtrek van een cirkel is π × de diameter.

Rond

Op tekeningen wordt de diameter vaak aangegeven met een Ø, die als "rond" wordt uitgesproken. :Ø 1000 = rond duizend = een diameter van 1000 mm (= 1 m) Diameter wordt vaak verward met doorsnede, het oppervlak van de cirkel. Categorie:Meetkunde ja:径

Wiskundige constante

Een wiskundige constante is een meestal reëel of complex getal, dat van nature voorkomt in de wiskunde en dat niet kan veranderen. Anders dan het geval is bij de natuurkundige constanten hebben wiskundige constanten geen dimensie, en wordt er geen natuurkundige meeteenheid aan toegevoegd. Als voorbeeld wordt genoemd de holomorfe functie f op het domein \mathbb, waarvoor geldt df/dz = f. Hieruit volgt dat f(1)/f(0) een wiskundige constante is, namelijk de constante e. Bovendien is f een periodieke functie waarbij de periode van die functie i maal een andere wiskundige constante is, namelijk 2π. Er zijn ook wiskundige constanten bekend waarvan de waarde tot nu toe alleen ruw geschat kan worden.

Een overzicht van een aantal wiskundige constanten

Gebruikte afkortingen: : I - irrationaal getal, A - algebraïsch getal, T - transcendent getal, ? - onbekend : Alg - Algemeen, GeT - Getaltheorie, ChT - Chaostheorie, Com - Combinatoriek, Inf - Informatica, Ana - Wiskundige analyse ja:数学定数 ko:수학 상수

Wiskunde

De wiskunde (minder gebruikelijk: mathematica) is een van de oudste wetenschappen. Een gebruikelijke definitie van wiskunde is: het bestuderen van patronen en structuren. Met behulp van strikt logische redeneringen probeert men, uitgaande van een zo klein mogelijk aantal basisaannames (axioma's) en enkele axiomatisch geformuleerde definities, via een wiskundig bewijs te komen tot het formuleren van uitspraken (stellingen) over de gedefinieerde objecten en de verbanden daartussen.

Algemeen

In de meeste talen (Engels: mathematics, Duits: Mathematik, Frans: mathématiques) is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord μάθημα (máthima), dat wetenschap, kennis of leren betekent. Het Nederlandse woord wiskunde is door Simon Stevin in de 17e eeuw als wisconst (kunst van het gewisse of zekere) aan deze wetenschap verbonden. Veel onderwerpen van studie in de wiskunde vinden hun oorsprong in andere exacte wetenschappen als de natuurkunde en de astronomie. Wiskundigen bestuderen echter ook mathematische structuren en onderwerpen om esthetische redenen of om een meer algemene oplossing te vinden voor verwante vraagstukken op diverse deelgebieden. Er wordt hierbij onderscheid gemaakt tussen de zuivere en de toegepaste wiskunde. Binnen de zuivere wiskunde bestuderen sommige wiskundigen de wiskunde voor hun genoegen, daarbij de wiskunde min of meer als kunstvorm beschouwend.

Geschiedenis

De wiskunde, zoals ontstaan uit de rekenkunde, is reeds bekend in de vroegste culturen. Zo is uit Egypte de Rhynd Papyrus bekend. De Babyloniërs ontwikkelden een geavanceerd getallensysteem gebaseerd op het getal 60. Ook gebruikten zij algebraïsche formules als ab = ((a + b)2 - (a - b)2)/4 en tafels met machten om berekeningen sneller te kunnen uitvoeren. Zij kenden reeds de stelling van Pythagoras. De wiskunde als abstracte wetenschap werd het eerst beoefend in het klassieke Griekenland, waar bijvoorbeeld Euclides zijn 5 axioma's formuleerde die meer dan twintig eeuwen stand hielden. Vanuit deze axioma's bouwden hij en zijn volgelingen de meetkunde als zelfstandige tak van de wiskunde op. Met de ondergang van de Griekse cultuur kwam de ontwikkeling van de wiskunde tot stilstand. Pas in de middeleeuwen pakken Arabische wiskundigen de draad weer op. Via hen wordt bijvoorbeeld het cijfer 0 vanuit India in Europa geïntroduceerd. Een bloeiperiode begint met het werk van al-Khwarizmi rond 790 en de vertaling van Griekse teksten. Aan al-Khwarizmi wordt het ontstaan van de algebra toegeschreven. Het woord algoritme is van zijn naam afgeleid. Het duurt tot na de middeleeuwen voor Europa de leidende rol van de Arabische cultuur kan overnemen. Tegenwoordig is wiskunde niet meer weg te denken uit het dagelijks leven, op allerlei manieren passen wij het immers toe en we worden er reeds op jonge leeftijd, in meerdere of mindere mate, mee geconfronteerd.

Deelgebieden

Een veel gemaakt onderscheid in de wiskunde is dat tussen zuivere, of theoretische, en toegepaste wiskunde. Een strikte scheiding tussen deze gebieden is moeilijk aan te geven. De theoretische wiskunde wordt verondersteld deelgebieden als algebra, getaltheorie en topologie te omvatten, terwijl de toegepaste wiskunde bestaat uit onder andere numerieke wiskunde, cryptografie en de studie van differentiaalvergelijkingen. Hieronder volgt een lijst met deelgebieden van de wiskunde, nog niet onderverdeeld in categorieën:
- Abstractie en Deductie
- Algebra
- Algoritmen
- Analyse: Geschiedenis van de analyse
- Asymptoten en Limieten
- Besliskunde
- Booleaanse logica
- Chaostheorie
- Coderingstheorie
- Combinatoriek: Combinatie - Permutatie - Variatie - Magische vierkanten
- Complexe getallen en Complexe functies
- Cryptografie
- Differentiaalmeetkunde
- Differentiaaltopologie
- Differentiaalrekening - Differentiaalvergelijkingen
- Discrete wiskunde
- Elementaire rekenkundige bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, etc.
- Functies en Functieanalyse
- Speciale functies (bv. de Betafunctie)
- Functionaalanalyse
- Getaltheorie
- Goniometrie
- Grafentheorie
- Groepentheorie
- Integraalrekening - Lijnintegraal - Meervoudige integralen
- Speciale integralen: Sinusintegraal - Cosinusintegraal - Exponentiële integraal - Fresnelintegraal - Complexe integralen
- Kansrekening en Maattheorie
- Lineaire algebra
- Logaritmen en exponentiële functies
- Logica
- Meetkunde, Analytische meetkunde en Niet-Euclidische meetkunde
- Numerieke wiskunde
- Ongelijkheden
- Polynomen: Chebyshev - Hermite - Laguerre
- Priemgetallen en Priemfactoren
- Reeksen: Binomiaalreeksen - Machtreeksen - Taylorreeksen - Maclaurinreeksen
- Ruimtemeetkunde
- Rijen
- Speltheorie
- Statistiek
- Talstelsels
- Topologie
- Transformaties: Fourieranalyse - Laplacetransformatie - Z-transformatie
- Trigonometrie
- Vergelijkingen - Oplossen van vergelijkingen
- Verzamelingenleer

Belangrijke wiskundigen


- Wiskunde in de Oudheid: Pythagoras, Plato, Euclides en Archimedes
- Wiskunde in de Europese Middeleeuwen: Boethius, Leonardo Fibonacci, Muhammad al-Khwarizmi
- De grondslagen van de wiskunde: Georg Cantor, Richard Dedekind, Gottlob Frege, Giuseppe Peano, Bertrand Russell
- De ontwikkeling van de infinitesimaalrekening: René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton, Gottfried Leibniz
- De statistiek: Blaise Pascal, Christiaan Huygens, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Thomas Bayes, Pierre Simon Laplace, Adolphe Quetelet, Simeon Poisson, Francis Galton, Karl Pearson
- Achttiende eeuw: Jakob Bernoulli, Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler
- Negentiende eeuw: Carl Friedrich Gauss, Augustin Louis Cauchy, Niels Henrik Abel, Evariste Galois, Bernhard Riemann, Felix Klein, Karl Weierstrass
- Twintigste eeuw: Tom Apostol, Luitzen Brouwer, Pál Erdős, David Hilbert, Kurt Gödel, Donald Knuth, John von Neumann, John Nash, Alan Turing, André Weil, Andrew Wiles Zie ook een meer volledige lijst van wiskundigen.

Zie ook


- Wiskunde van A tot Z
- [http://www.wiskundeleren.nl WiskundeLeren.nl]
- [http://www.wisfaq.nl WisFAQ.nl]
- [http://wiskunde.pagina.nl Wiskunde startpagina]
- [http://www.fambof.nl/links/wiskunde/ Wiskunde Links (fambof)] Categorie:Formele wetenschap categorie:Wetenschapsgeschiedenis ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Omtrek

De omtrek is de lengte van de buitenzijde van een meetkundig figuur. De omtrek van een cirkel is 2π maal de straal van de cirkel (2 \pi r), ofwel π maal de diameter. De omtrek van een vierkant is 4 maal de lengte van een zijde (4a). De omtrek van een rechthoek is 2 maal de lengte plus de breedte (2×(l+b)) Categorie:Meetkunde ja:円周

Cirkel

right Een cirkel in de meetkunde is een ronde twee-dimensionale figuur die wordt gevormd door alle punten die dezelfde afstand tot een gekozen punt hebben. Het gekozen punt is het middelpunt, aangegeven met m in de figuur, en de gekozen afstand heet de straal, aangegeven met r in de figuur. Soms wordt om de maat van een cirkel aan te duiden in plaats van de straal de diameter gebruikt (d in de figuur). Deze is de grootste afstand tussen twee punten van de cirkel, en precies 2 maal zo groot als de straal. Soms wordt met de cirkel niet de kromme aan de buitenzijde bedoeld, maar de verzameling van alle punten binnen die kromme. Wiskundig gezien is dat onjuist; alle punten binnen een cirkel vormen een schijf. De wiskundige vergelijking voor de punten (x,y) in een 2-dimensionaal assenstelsel, die een cirkel vormen met middelpunt (x0,y0) en straal r is:
:(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2.
Als het middelpunt van de cirkel de oorsprong is, dan vereenvoudigt zich dit tot:
:x2 + y2 = r2.
Als nu de straal van deze cirkel 1 is, spreekt men van de eenheidscirkel:
:x2 + y2 = 1
Of, in poolcoördinaten uitgedrukt:
:x = x_0 + r \cdot cos(\phi), :y = y_0 + r \cdot sin(\phi)). De totale omtrek van een cirkel, de lengte van de kromme, is 2π maal de straal van de cirkel (2πr), ofwel π maal de diameter (πd) De totale oppervlakte van de cirkelschijf is πr2 De cirkel is de figuur met de grootste oppervlakte-omtrek verhouding: zij vormt het grootste oppervlak die men kan omvatten met een gegeven lengte.

Vastleggen van een cirkel door drie punten

oppervlakte Neem een willekeurige driehoek met scherpe hoeken. Het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van deze driehoek blijkt nu het middelpunt van een cirkel te zijn, waar de drie hoekpunten van de driehoek op liggen. Dit is als volgt te verklaren: de drie zijden van de driehoek zijn koorden van een cirkel. De middelloodlijn van elke koorde gaat door het middelpunt van de cirkel. ---- Zie ook: boog, ellips, bol, cirkelsector, cirkelsegment categorie:Meetkunde ja:円 (数学) simple:Circle

Oppervlakte

De oppervlakte geeft aan hoe groot een 2-dimensionaal gebied is. Dit kan de oppervlakte zijn van een tweedimensionale vorm, maar ook de oppervlakte van een driedimensionale vorm. Oppervlakte wordt ook wel grootte genoemd, met name bij die van percelen. De SI-eenheid van oppervlakte is de vierkante meter, m². Deze is afgeleid van de SI-eenheid meter. Voor niet-SI-eenheden (are, bunder enzovoort), zie: vlaktemaat.

Formules

De oppervlakte kan als volgt worden berekend: ::\int\int dA (2D-oppervlak) ::\int\int\int dA (3D-oppervlak), waarbij over het oppervlak geïntegreerd wordt.

2D

De oppervlakte van enkele tweedimensionale objecten:
- Oppervlakte van een vierkant: lengte × lengte.
- Oppervlakte van een rechthoek: lengte × breedte.
- Oppervlakte van een ruit: hoogte × breedte.
- Oppervlakte van een driehoek: ½ × basis × hoogte.
  - de oppervlakte kan ook met behulp van de formule van Heron worden berekend.
- Oppervlakte van een cirkel: π r2 (waarin r de straal van de cirkel is).

3D

De oppervlakte van enkele driedimensionale objecten:
- Oppervlakte van een kubus: 6 s², waarin s de lengte is van een zijde van de kubus.
- Oppervlakte van een rechthoekig blok: 2 ((l × w) + (l × h) + (w × h)), waarin l, w en h de lengte, breedte en hoogte zijn van het blok.
- Oppervlakte van een bol: 4 π r² waarin r de straal van de bol is.
- Oppervlakte van een cilinder: 2 π r (h + r), waarin r de straal van de cirkelvormige basis is, en h de hoogte van de cilinder.
- Oppervlakte van een kegel: π r (r + √(r² + h²)), waarin r de straal van de cirkelvormige basis is, en h de hoogte van de kegel.

Wiskundige afleiding

Gebruik makend van A=\int\int dA:
- rechthoek: \int_0^b \int_0^l 1 dA = b l (b: breedte, l: lengte)
- cirkel: \int_^y \int_^=\pi R^2. Uiteraard is het eleganter de cirkel polair te beschrijven, en in een polair assenstelsel te integreren! Categorie:Meetkunde als:Fläche ja:面積 ko:면적 simple:Area th:พื้นที่ zh-min-nan:Bīn-chek

Ellips (wiskunde)

Een ellips in de meetkunde is een twee-dimensionale figuur die wordt gevormd door alle punten waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2 in de figuur), een vaste waarde heeft. Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as heet korte as. De wiskundige vergelijking voor de punten (x,y) in een 2-dimensionaal assenstelsel die een ellips vormen met als snijpunt van de assen het punt (x0,y0), als horizontale as a en als verticale as b is:
(\frac )^2 + (\frac )^2 = 1 Als het middelpunt van de ellips de oorsprong is, dan vereenvoudigt zich dit tot:
(\frac )^2 + (\frac )^2 = 1 De excentriciteit e van de ellips is gedefinieerd als: e = \sqrt Als de twee brandpunten samenvallen, is sprake van een cirkel, en zijn a en b allebei gelijk aan de straal r. De excentriciteit is dan nul.

Constructie van de ellips

Tuinmansellips

Een ellips kan worden getekend als volgt: #Druk twee punaises in de brandpunten (of sla twee spijkers in een plank) #Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de punaises. #Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak. #Teken met het potlood de ellips, er daarbij voor zorgend dat het draadje strak blijft. Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises. Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansellips genoemd, omdat men zo de randen van ellipsvormige perken aanlegt (uiteraard met piketten in plaats van punaises). Afbeelding:Constructie ellips tuinmanier.gif Indien de gewenste afmetingen van het perk bekend zijn (2 maal as a breed, 2 maal as b hoog, waarbij a groter dan b wordt verondersteld) leidt dit tot de volgende afstand tussen de piketten: 2\sqrt De lengte van het touw wordt dan: 2a + 2\sqrt De oppervlakte van een ellips is gegeven door \pi.a.b <-- -->

Parametervergelijking

Een andere manier om een ellips te tekenen gaat uit van de ingeschreven en omgeschreven cirkel. De straal(radius)van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de langste halve as a van de ellips, en die van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de kortste halve as b van de ellips. Deze cirkels zijn concentrisch (zij hebben hetzelfde middelpunt). Trek nu vanuit het gemeenschappelijk middelpunt van de cirkels stralen naar buiten toe (zie animatie, in het rood). Vanuit het punt waar een straal de ingeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar buiten toe (fig.: goud) en evenwijdig met de langste as van de te bekomen ellips, en waar de straal de omgeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar binnen toe en evenwijdig met de kortste as van de te bekomen ellips. Waar beide lijnen elkaar snijden, bevindt zich een nieuw punt van de ellips (fig.: paars). De parametervergelijking is m.a.w.: x(t)= a \cos(t), y(t)= b \sin(t). In vectorvorm: [a \cos(t),b \sin(t)] ---- Zie ook: kegelsnede, Ellipsoïde van Bessel Categorie:Meetkunde ja:楕円 ko:타원

Inhoud

Categorie:Meetkunde De grootheid inhoud geeft de grootte van een drie- (of hoger-) dimensionaal gebied aan. Inhoud wordt ook wel volume genoemd. De SI-eenheid van inhoud is de kubieke meter, m3.

Formules

De inhoud van een willekeurig object kan berekend worden uit \int\int\int dv, waarbij de integraal over het ganse volume loopt. De inhoud van enkele standaardobjecten:
- Bol met straal r : 4πr3/3
- Ellipsoïde met 'stralen' r1, r2 en r3 : 4πr1r2r2/3
- Cilinder met straal r en lengte L : πLr2
- Kegel met hoogte h en straal r (van het cirkelvormige grondvlak): πhr2/3
- Kubus met ribbe r : r3 ja:体積 ko:부피 simple:Volume

Bol (lichaam)

Een bol is een driedimensionaal lichaam dat bestaat uit alle punten die hoogstens op een bepaalde afstand van een gegeven punt, het middelpunt, liggen. Deze afstand wordt de straal van de bol genoemd. Een bol is het driedimensionale analogon van een cirkelschijf. Meer algemeen wordt een bol in meer dan 3 dimensies op dezelfde wijze gedefinieerd. Een bol ontstaat ook als omwentelingslichaam bij draaiing van een cirkelschijf om een middellijn. De oppervlakte van een bol met straal r is gelijk aan 4 \pi r^2 en het volume is gelijk aan 4 \pi r^3 / 3.

Wiskundige vergelijking

Cartesiaanse Vergelijking

In Cartesische coördinaten kan een bol met straal r en middelpunt (x_0, y_0, z_0) weergegeven worden door de vergelijking: :(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \leq r^2.

Parametervergelijking

De vergelijking [x_0+\cos(\theta),y_0+\sin(\theta) \cos(\phi),z_0+\sin(\theta) \sin(\phi)]\frac (voor \theta en \phi van 0 naar 2\pi) stelt een sfeer voor.

Differentiaalvergelijking

Alle sferen worden beschreven door de differentiaalvergelijking x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0

Eigenschappen

De bol heeft als eigenschap dat hij van alle mogelijke driedimensionale vormen met dezelfde inhoud de kleinst mogelijke oppervlakte heeft. Door het aannemen van deze vorm wordt een minimale energie verkregen uit de oppervlaktespanning. Als gevolg hiervan zijn veel voorwerpen in de natuur bolvormig. Licht of geluid afkomstig van een puntbron plant zich in een homogeen medium in alle richtingen even snel voort. Dit duidt men aan met bolvormige uitstraling of bolvormige voortplanting.

Voorbeelden

Voorbeelden van bolvormen in de natuur zijn:
- een waterdruppel
- een zeepbel Door de zwaartekracht worden in de praktijk deze bolvormige voorwerpen enigszins vervormd. Alleen in gewichtloze toestand kan daardoor een perfecte bol ontstaan. De aarde heeft min of meer een bolvorm, maar door de middelpuntvliedende kracht, veroorzaakt door de draaiing van de aarde om zijn as, is de aarde aan de polen enigszins afgeplat. Toch is hij "ronder" dan een biljartbal. Ook de andere planeten en de sterren zijn min of meer bolvormig.

Zie ook


- Maagdenburger bol
- Bossche bol Categorie:Ruimtelijk figuur ja:球 simple:Sphere

Radiaal

De radiaal is de SI-eenheid voor hoek. De radiaal is gedefinieerd als de hoek gemeten vanuit het middelpunt van een cirkel waarvan de lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal (halve diameter van de cirkel). Uit de formule voor de omtrek van een cirkel volgt dat een volledige cirkel overeenkomt met 2π (ongeveer 6,283185) radialen. Relatie tot booggraden: één radiaal komt overeen met 180° / π of ongeveer 57,29578°. Aan de hand van deze eenheid kun je eenvoudig de booglengte berekenen.

Wiskunde

In de wiskunde worden hoeken in principe uitgedrukt in radialen. Het voordeel van het gebruik van radialen in plaats van graden is dat veel formules en ook sommige benaderingen een eenvoudiger gedaante hebben. Zo is bijvoorbeeld voor kleine x (uitgedrukt in radialen). :\sin(x) \approx x :\tan(x) \approx x

Zie ook


- hoek Categorie:SI-eenheid ja:ラジアン ko:라디안

Analyse

Een analyse is de ontleding van een object of kwestie in kleinere delen om hierdoor een beter inzicht in het object of de kwestie te krijgen.

Wiskunde

In de wiskunde is de analyse de tak die zich bezighoudt met het bestuderen van functies van reële en complexe getallen. Zie verder:
- analyse (wiskunde)
- geschiedenis van de analyse
- deelgebieden van de hedendaagse analyse

Economie

In de economie kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
- SWOT-analyse
- Vijfkrachtenmodel, Waardeketen (Michael Porter)

ICT/Informatica

In de Informatie- en Communicatietechnologie en informatica kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
- Gestructureerde Analyse
- systeemanalyse

Medische wetenschappen

In de medische wetenschappen kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
- bloedanalyse

Psychologie

In de psychologie kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
- psychoanalyse

Scheikunde

In de scheikunde kennen we onder meer:
- Analytische scheikunde Categorie:Filosofische terminologie Categorie:Analyse ko:해석학 simple:Analyse

Gottfried Wilhelm Leibniz

De veelzijdige Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1 juli 1646 – 14 november 1716) was een Duitse wiskundige en natuurkundige maar ook een filosoof, historicus, rechtsgeleerde en diplomaat en wordt beschouwd als een van de grootste denkers van de 17e eeuw. Hij werd geboren in Leipzig. Hij ontwikkelde samen met (maar onafhankelijk van) Isaac Newton een tak van de wiskunde die bekend staat als de 'calculus' (differentiaal- en integraalrekening). Hij staat te boek als een voorloper van de Duitse Verlichting, de Aufklärung .

Leibniz, de filosoof

Zijn leven lang zocht Leibniz naar een allesomvattende synthese voor wetenschap en filosofie. In 1714 publiceerde hij zijn werk La Monadologie, waarin hij stelde dat alles bestaat uit ontelbare eenheden of krachtpunten van verschillende bewustzijnsgraad die hij monaden noemde, de individuele eigenschappen die het verleden, heden en toekomst van elk ding zouden bepalen. Hoewel de monaden onafhankelijk van elkaar waren, was hun interactie voorspelbaar. Voor hem betekende dat dat christelijk geloof en wetenschappelijke redenering niet met elkaar in tegenspraak hoeven te zijn. Hij ging uit van een tevoren door God vastgelegde orde (van de monaden) en gaf dit principe de naam harmonia praestabilita. Deze visie werd overigens geridiculiseerd door Voltaire in zijn Candide. Zijn vader, Friedrich Leibnutz, was verbonden aan de filosofiefaculteit van de universiteit van Leipzig. Leibniz, die zijn naam veranderde, was nog maar zes toen zijn vader overleed. Maar op die leeftijd had de jonge Gottfried al een passie ontwikkeld voor lezen en studeren. Hij leerde Latijn en bestudeerde zijn vaders bibliotheek, die vol stond met Latijnse klassiekers, filosofische en religieuze werken. In 1661, toen Leibniz 15 was, betrad hij de universiteit van Leipzig om filosofie te studeren. In de zomer van 1663 maakte hij kennis met elementaire algebra en Euclidische meetkunde op de universiteit van Jena. Hier begon hij zijn ideeën van een universeel 'alfabet van de menselijke gedachten' te ontwikkelen. Hierin probeerde hij menselijke gedachten vorm te geven door middel van een voor iedereen begrijpelijke tekentaal van symbolen. Hij haalde zijn mastergraad in 1664. Zijn dissertatie voor de graad van doctor in de rechten werd geweigerd. De reden daarvoor was waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd, maar misschien ook politieke problemen. Hierom verliet hij Leipzig en kreeg hij deze graad op twintigjarige leeftijd aan de universiteit van Altdorf in Nuremberg. Hierna kwam hij in dienst van de keurvorst van Mainz (Mainz was een van de kleine staatjes waarin Duitsland destijds was opgedeeld). Gedurende de rest van zijn leven bekleedde hij verscheidene belangrijke posities. Leibnitz streefde zijn hele leven naar harmonie op zoveel mogelijk fronten. Behalve zijn monadenleer en zijn tekentaal trachtte hij tevens zoveel mogelijk wetenschappers tot samenwerking te bewegen. Hij stichtte (min of meer) de Berlijnse Academie van Wetenschappen en ondernam ook pogingen om alle christelijke kerken nader tot elkaar te brengen. In 1671 bouwde hij een mechanische rekenmachine die kon vermenigvuldigen en delen. Vanaf 1676 tot aan zijn dood was hij bibliothecaris van Hannover. In 1682 richtte hij samen met Otto Mencke het tijdschrift Acta Eruditorum op, dat in die tijd een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook daarin gepubliceerd.

Leibniz, de wiskundige

In 1672 vertrok Leibniz naar Parijs. Op dit moment was zijn wiskundige kennis beperkt tot de meesterwerken van de oude Grieken. Om zijn kennis verder te ontwikkelen moest hij de actuele ontwikkelingen in de wiskunde bestuderen. Het kwam hem daarom goed uit dat hij Christiaan Huygens ontmoette. Huygens begeleidde Leibniz in zijn studies en vertelde hem welke eigentijdse problemen hij moest bestuderen. Hij verkreeg ongepubliceerde manuscripten van Blaise Pascal en van René Descartes. Huygens vroeg hem de som S van de omgekeerde driehoeksgetallen uit te rekenen. Leibniz loste het probleem als volgt op. In de eerste plaats deelde hij de reeks door twee en verkreeg daarmee \frac=\sum_^\infty\frac. Hierna zag hij dat dit gelijk moet zijn aan \frac=\sum_^\infty\frac-\frac, hetgeen we tegenwoordig zouden herkennen als een telescoopreeks. Dus Leibniz concludeerde dat S = 2. Leibniz werd erg handig in het berekenen van oneindige sommen door zijn harmonische driehoek te gebruiken. Dit zegt iets over zijn interesse in sommen en verschillen, die hij later in zijn ontwikkeling van de calculus zou gebruiken.

Ontwikkeling van de calculus

In 1673, bezocht Leibniz Londen. Hij bracht zijn model voor een 'rekenmachine' mee. Hij werd gekozen als lid van de 'Royal Society', waar ook Newton lid van was. Hier zag hij ook een aantal van Newtons manuscripten en was erg onder indruk. Later zou dit voor de Britten een reden vormen om Leibniz van plagiaat te beschuldigen. Het is mogelijk dat hij Newtons de Analysi gezien heeft, maar het is onwaarschijnlijk dat Leibniz hier veel aan heeft gehad, vanwege zijn gebrekkige kennis van de meetkunde en de analyse. Hij praatte met een aantal belangrijke personen, zoals Robert Boyle, Robert Hooke en John Pell. Pell wees Leibniz op zijn gebrekkige wiskundige kennis. Leibniz ging terug naar Parijs om hogere meetkunde te bestuderen met hulp van Huygens. Nog steeds in 1673 ontwikkelde hij zijn algemene methode om hellingen te berekenen. De drie volgende jaren maakte Leibniz een enorme wiskundige ontwikkeling door en ontwikkelde hij de fundamentele principes van de calculus. Leibniz' resultaten op het gebied van sommen en verschillen waren niet nieuw. Het feit dat veel van zijn kennis zelf aangeleerd was leidde vaak tot het herontdekken van reeds bestaande wiskunde. Het belangrijke van wat hij deed met sommen en verschillen was dat hij deze begrippen ging bekijken in de meetkunde. Hij bekeek wat sommen en verschillen bij krommes inhielden. Een kromme bekeek hij als een veelhoek met oneindig veel zijdes. De verschillen werden nu oneindig klein en werden differentialen. Voor het verschil gebruikte hij het symbool d (van differentia) en voor de som het symbool ∫ wat een uitgerekte s (van summa) moet voorstellen. Analoog aan de discrete sommen volgt het dat ∫ dy = y. Maar een oneindige sommatie van eindige termen ∫ y kan heel goed oneindig zijn, dus vermenigvuldigde Leibniz y met dx en verkreeg de oneindige kleine oppervlakte ydx, hetgeen wel weer gewoon geïntegreerd kan worden. Merk op dat Leibniz in staat was dx, dy of de 'zijde van de veelhoek' ds constant te kiezen. Omdat hij de calculus vanuit het idee van sommen en verschillen als tegengestelde operaties ontwikkelde, is het gelden van de hoofdstelling van de integraalrekening 'evident' (daar is het eigenlijk allemaal mee begonnen). Net als Newton, was Leibniz meer geïnteresseerd in het oplossen van differentiaalvergelijkingen, dan het vinden van oppervlakten in het bijzonder.

De eerste publicatie van de calculus

Leibniz zat een beetje in over zijn gebruik van infinitesimalen. Omdat dit begrip niet goed gedefinieerd was, wist hij dat het veel kritiek op zou leveren. Dus in de eerste publicatie van de calculus introduceerde hij dx als een willekeurige eindig lijnsegment. Hij publiceerde dit artikel in 1684 in de `Acta Eruditorum, een wetenschappelijk tijdschrift waar hij zelf aan meewerkte. Dit artikel draagt de lange titel: Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, qua nec fractas, nex irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus Hij begon met het 'definiëren' van de symbolen die hij gebruikt. Hij 'definieerde' dx and dv als lijnsegmenten die hetzelfde quotient hebben als x en v. Leibniz zei niet dat deze grootheden infinitesimaal zijn. Vervolgens gaf hij een aantal regels van de calculus, waaronder de productregel en de quotiëntregel. Hij legde uit wat het inhoudt als dx nul of oneindig is, en wat de tweede differentiaal d(dx) representeert. Hierna vertelde Leibniz dat dx^a=ax^\;dx (als a constant wordt gekozen) en gaf hij een aantal voorbeelden van deze regel, waaronder gebroken en negatieve exponenten. Hij zei: Het algoritme van deze calculus kennende, wat men differentiaalrekening kan noemen, kunnen alle differentiaalvergelijkingen met dezelfde methode worden opgelost. Dit was een beetje te optimistisch. Vervolgens legde hij uit dat zijn methode erg gemakkelijk is en veel algemener dan andere methoden. Leibniz introduceerde de term transcendental. Hierna legde hij uit hoe hij een kromme zag als een veelhoek van oneindig veel zijden, met als zijden de differentialen dv. Hij introduceerde zijn notatie ':' voor vermenigvuldiging, hetgeen nog steeds veel gebruikt wordt. Verder liet hij in dit artikel zien hoe hij met zijn methode de formule kon afleiden voor de breking van licht wanneer het van het ene medium naar het andere gaat en toonde opnieuw aan hoe gemakkelijk het probleem met zijn differentiaalrekening wordt opgelost. Leibniz presenteerde het artikel op een opmerkelijke manier. In het begin gaf hij een lijst met regels van zijn differentiaalrekening. Hij bewees geen van deze regels, omdat hij zijn gebruik van infinitesimalen niet kon rechtvaardigen. In plaats hiervan gaf hij een aantal voorbeelden om te laten zien dat zijn methode werkt, en zelfs prettig en gemakkelijk. Hij verkocht zijn nieuwe techniek door problemen op te lossen die daarvoor nog niet zo gemakkelijk waren op te lossen. In plaats van zijn methode te bewijzen gaf hij een 'show' waarin hij liet zien dat het fantastisch werkt.

Leibniz' latere leven


- In 1642 had Pascal de eerste mechanische rekenmachine gebouwd, waarmee men kon optellen en aftrekken. In 1671 borduurde Leibniz hierop verder door een mechanische rekenmachine te ontwikkelen die kon vermenigvuldigen en delen (1671).
- Leibniz was bibliothecaris van Hannover vanaf 1676 tot aan zijn dood.
- Hij richtte samen met Otto Mencke in 1682 het tijdschrift Acta Eruditorum op, die in die tijd een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook daarin gepubliceerd. Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz ja:ゴットフリート・ライプニッツ ko:고트프리트 라이프니츠 th:กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ

Leonhard Euler

Leonhard Euler (15 april 1707 – 18 september 1783) was een Zwitsers wiskundige en natuurkundige, en geldt als een van de grootste wiskundigen ooit. natuurkundige Euler loste het wiskundig probleem 'de zeven bruggen van Königsberg' op. Hij vestigde zijn roem door een nauwkeurig bewijs te leveren van de volgende stelling: :\sum_^\infty \frac = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac Hij toonde ook aan dat voor alle reële getallen x geldt: :eix = cos(x) + i sin(x) Deze formule is geldig binnen de complexe getallen. Hierbij is e het grondtal van de natuurlijke logaritme, en is i de imaginaire eenheid. Een gevolg van deze formule is de naar hem genoemde formule van Euler: :e^ + 1 = 0 In 1735 definieerde hij de constante van Euler: :\gamma = \lim_ \left(1+ \frac + \frac + \frac ... + \frac - \log(n) \right) Euler schreef ook Tentamen novae theoriae musicae in 1739 als poging om wiskunde en muziek te combineren. Hiervan wordt wel gezegd dat het te wiskundig voor musici en te muzikaal voor wiskundigen is. muziek Euler Euler, Leonhard ja:レオンハルト・オイラー ko:레온하르트 오일러 th:เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

John Wallis

De Engelse wiskundige John Wallis (22 november, 1616 - 28 oktober 1703) werd in 1616 geboren als zoon van John Wallis, een dominee uit Ashford en diens tweede vrouw Joanna Chapman. Op 13-jarige leeftijd vond de jonge Wallis zichzelf rijp voor de universiteit. In zijn jeugd kwam John Wallis niet in aanraking met wiskunde aangezien dat in die tijd als onbelangrijk beschouwd werd en niet gegeven werd op goede scholen. Wel behaalde hij goede resultaten in de vakken Grieks, Latijn en Hebreeuws. Pas in 1631 leerde Wallis de beginselen van de wiskunde van zijn broer en hij begon als hobby wiskundeboeken te lezen. Ondertussen studeerde hij door over allerlei vakken zoals anatomie, sterrenkunde enzovoort. Wallis werd aalmoezenier, maar bleef doorstuderen. Wallis was goed in cryptografie en loste in tijden van oorlog verschillende gecodeerde boodschappen op. Dit was het begin van Wallis' wiskundige carrière. Wallis ging uit de kerk omdat hij trouwde en werd hoogleraar in Oxford. Hier kwam hij in aanraking met een regelmatig bij elkaar komende groep wetenschappers die later het Royal Society zou worden, en begon hij serieuze interesse in de wiskunde te krijgen. Wallis schreef boeken en deed ontdekkingen op wiskundig gebied. Ook bestudeerde hij het werk van verschillende wiskundigen zoals Kepler, Cavalieri, Roberval, Torricelli en Descartes. Wallis' bekendste werk was "Arithmetica infinitorum" dat hij in 1656 publiceerde. Hierin liet hij zien hoe algebraïsche methoden konden worden toegepast in meetkundige situaties (in navolging van Descartes) zoals het berekenen van de oppervlakte van gebieden die door krommen werden begrensd. Hij deed voorbereidend werk in de differentiaal- en integraalrekening. Met behulp van patronen in eindige processen zocht hij formules voor oneindige processen. Hij was een voorbeeld van vele wiskundigen zoals Newton, die voortbouwde op Wallis? differentiaal- en integraalrekening. Ook bewijst hij in het boek de formule: ::\frac=\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\frac\cdot\dots Dit wordt ook wel het "product van Wallis" genoemd. In "Tract on Conic Sections" (1655) beschrijft hij de krommen die ontstaan als je een kegel met een vlak doorsnijdt (de kegelsneden) als eigenschappen van algebraïsche coördinaten. Ook ontwikkelde hij nieuwe technieken in de stijl van Descartes op analytisch gebied. Ook was hij de eerste die het symbool \infty gebruikte. Dit symbool staat voor oneindig. Hij gebruikte het symbool ook in zijn product. In "Treatise on algebra" (1688) verklaart hij het werk van Harriot en maakt het toegankelijker. Hij bekritiseert Descartes en beweert dat zijn kennis van algebra geheel aan Harriot te danken is. Ook werkt hij met negatieve en complexe getallen. Hierbij laat hij zien dat x^3-7x=6 exact drie geheeltallige uitkomsten heeft. Verder verklaart Wallis Griekse boeken van onder andere Ptolemeus, Aristarchus en Archimedes. Hij schrijft ook verschillende niet-wiskundige boeken, over religie, grammatica en logica. Wallis heeft veel gedaan voor de wiskunde, vooral in de algebra. Hij heeft een formule voor de cosinus en de sinus bedacht. Hij probeerde een bewijs te vinden voor het parallellenpostulaat van Euclides met behulp van de andere 4 postulaten.maar dit is hem nooit gelukt. Pas in de 19e eeuw bleek dat dit onmogelijk is. Ook heeft Wallis veel gedaan met betrekking tot regeloppervlakken waaronder de ontwikkeling van de Wig van Wallis Wallis had veel aanhangers maar ook tegenstanders zoals Thomas Hobbes, met wie hij een levenslang meningsverschil had. John Wallis overleed in 1703. Wallis John Wallis John

Faculteit (wiskunde)

Voor een natuurlijk getal n is n faculteit, genoteerd n!, gedefinieerd als 1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n, het product van de getallen van 1 tot en met n. De faculteitsfunctie groeit snel, sneller zelfs dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden (plus nul) staan hieronder:

Benadering

Voor grote waardes van n, kan men de Faculteit van dat getal ook berekenen mbv. de formule van Stirling: :n!\sim \sqrt\left(\frac\right)^n

Gebruik

De faculteit wordt frequent gebruikt in de combinatoriek; als antwoord op de vraag op hoeveel manieren je n elementen kunt rangschikken: er zijn daar n! mogelijkheden voor. Dit is een permutatie van n elementen uit n. Verder komt de faculteit ook terug bij het berekenen van combinaties: op hoeveel manieren kan je m elementen uit n elementen kiezen (waarbij de volgorde geen belang heeft); oplossing voor dit probleem is C_n^m=, zijnde \frac mogelijkheden.

Continue veralgemening

De Gammafunctie :\Gamma(z)=\int_0^\infty t^e^dt is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie: :\!\Gamma(n+1) = n!. Het belangrijkste verschil is dat de gammafunctie ook voor niet gehele getallen gedefenieerd is.

Dubbelfaculteit

n!! is de dubbelfaculteit van n en is recursief gedefinieerd door: : n!!= \left\

Leonhard Euler

Leonhard Euler (15 april 1707 – 18 september 1783) was een Zwitsers wiskundige en natuurkundige, en geldt als een van de grootste wiskundigen ooit. natuurkundige Euler loste het wiskundig probleem 'de zeven bruggen van Königsberg' op. Hij vestigde zijn roem door een nauwkeurig bewijs te leveren van de volgende stelling: :\sum_^\infty \frac = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac Hij toonde ook aan dat voor alle reële getallen x geldt: :eix = cos(x) + i sin(x) Deze formule is geldig binnen de complexe getallen. Hierbij is e het grondtal van de natuurlijke logaritme, en is i de imaginaire eenheid. Een gevolg van deze formule is de naar hem genoemde formule van Euler: :e^ + 1 = 0 In 1735 definieerde hij de constante van Euler: :\gamma = \lim_ \left(1+ \frac + \frac + \frac ... + \frac - \log(n) \right) Euler schreef ook Tentamen novae theoriae musicae in 1739 als poging om wiskunde en muziek te combineren. Hiervan wordt wel gezegd dat het te wiskundig voor musici en te muzikaal voor wiskundigen is. muziek Euler Euler, Leonhard ja:レオンハルト・オイラー ko:레온하르트 오일러 th:เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

Leonhard Euler

Leonhard Euler (15 april 1707 – 18 september 1783) was een Zwitsers wiskundige en natuurkundige, en geldt als een van de grootste wiskundigen ooit. natuurkundige Euler loste het wiskundig probleem 'de zeven bruggen van Königsberg' op. Hij vestigde zijn roem door een nauwkeurig bewijs te leveren van de volgende stelling: :\sum_^\infty \frac = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac Hij toonde ook aan dat voor alle reële getallen x geldt: :eix = cos(x) + i sin(x) Deze formule is geldig binnen de complexe getallen. Hierbij is e het grondtal van de natuurlijke logaritme, en is i de imaginaire eenheid. Een gevolg van deze formule is de naar hem genoemde formule van Euler: :e^ + 1 = 0 In 1735 definieerde hij de constante van Euler: :\gamma = \lim_ \left(1+ \frac + \frac + \frac ... + \frac - \log(n) \right) Euler schreef ook Tentamen novae theoriae musicae in 1739 als poging om wiskunde en muziek te combineren. Hiervan wordt wel gezegd dat het te wiskundig voor musici en te muzikaal voor wiskundigen is. muziek Euler Euler, Leonhard ja:レオンハルト・オイラー ko:레온하르트 오일러 th:เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

Iteratie

De definitie van het woord iteratie is herhaling. Het is een begrip uit de wiskunde en informatica, bedoeld om aan te geven dat met een bepaald zich herhalend proces een berekening kan worden uitgevoerd. In computertermen zou dit een "loop" worden genoemd. Een itererend proces kan bijvoorbeeld convergeren tot één waarde. Als een bepaalde actie voor de tweede, derde of nde maal wordt uitgevoerd, spreken we van een reeks iteraties, waarvan de nde iteratie nu plaatsvindt. Het woord iteratief duidt op de herhaalde actie. Deze actie is iteratief; de actie herhaalt zich. In sommige gevallen is het een werkwoordsvorm welke een herhaalde werking aangeeft, bijvoorbeeld trappelen, konkelen en popelen.

Voorbeeld

Een voorbeeld van de iteratie is als volgt: Neem het getal 10, tel daar 1 bij op en deel het vervolgens door 2. Tel bij het resultaat weer 1 bij op en deel het vervolgens weer door 2. Door dit een aantal malen te herhalen zal het resultaat uiteindelijk het getal '1' opleveren. Een ingewikkelder variant is waarbij alle resultaten van de iteraties bij elkaar opgeteld worden. In dit voorbeeld zou van elke iteratie 1 afgetrokken kunnen worden en door dat resultaat steeds bij elkaar op te tellen ontstaat het getal '9'. De iteratie zoals hierboven beschreven: P = 10 De variabele noemen we 'P' en deze start bij 10. Q = 0 De tweede variabele is 'Q', en deze start bij 0. Doe steeds opnieuw: Het resultaat van bovenstaande berekening is: Iteratie P Q 0 10.0000 0.0000 1 5.5000 4.5000 2 3.2500 6.7500 3 2.1250 7.8750 4 1.5625 8.4375 5 1.2813 8.7188 6 1.1406 8.8594 7 1.0703 8.9297 8 1.0352 8.9648 9 1.0176 8.9824 10 1.0088 8.9912 11 1.0044 8.9956 12 1.0022 8.9978 13 1.0011 8.9989 14 1.0005 8.9995 15 1.0003 8.9997 16 1.0001 8.9999 In dit voorbeeld wordt met de variabele 'Q' het getal '9' berekend. Dat is niet erg zinvol, omdat bij deze iteratie van tevoren al bekend is dat '9' de uitkomst is (het optellen en aftrekken met één kan weggehaald worden, en dan blijft over dat steeds de helft bij elkaar opgeteld wordt). Met een eenvoudige iteratie kan echter ook het getal pi berekend worden. categorie:programmeerconcept

Gottfried Wilhelm Leibniz

De veelzijdige Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1 juli 1646 – 14 november 1716) was een Duitse wiskundige en natuurkundige maar ook een filosoof, historicus, rechtsgeleerde en diplomaat en wordt beschouwd als een van de grootste denkers van de 17e eeuw. Hij werd geboren in Leipzig. Hij ontwikkelde samen met (maar onafhankelijk van) Isaac Newton een tak van de wiskunde die bekend staat als de 'calculus' (differentiaal- en integraalrekening). Hij staat te boek als een voorloper van de Duitse Verlichting, de Aufklärung .

Leibniz, de filosoof

Zijn leven lang zocht Leibniz naar een allesomvattende synthese voor wetenschap en filosofie. In 1714 publiceerde hij zijn werk La Monadologie, waarin hij stelde dat alles bestaat uit ontelbare eenheden of krachtpunten van verschillende bewustzijnsgraad die hij monaden noemde, de individuele eigenschappen die het verleden, heden en toekomst van elk ding zouden bepalen. Hoewel de monaden onafhankelijk van elkaar waren, was hun interactie voorspelbaar. Voor hem betekende dat dat christelijk geloof en wetenschappelijke redenering niet met elkaar in tegenspraak hoeven te zijn. Hij ging uit van een tevoren door God vastgelegde orde (van de monaden) en gaf dit principe de naam harmonia praestabilita. Deze visie werd overigens geridiculiseerd door Voltaire in zijn Candide. Zijn vader, Friedrich Leibnutz, was verbonden aan de filosofiefaculteit van de universiteit van Leipzig. Leibniz, die zijn naam veranderde, was nog maar zes toen zijn vader overleed. Maar op die leeftijd had de jonge Gottfried al een passie ontwikkeld voor lezen en studeren. Hij leerde Latijn en bestudeerde zijn vaders bibliotheek, die vol stond met Latijnse klassiekers, filosofische en religieuze werken. In 1661, toen Leibniz 15 was, betrad hij de universiteit van Leipzig om filosofie te studeren. In de zomer van 1663 maakte hij kennis met elementaire algebra en Euclidische meetkunde op de universiteit van Jena. Hier begon hij zijn ideeën van een universeel 'alfabet van de menselijke gedachten' te ontwikkelen. Hierin probeerde hij menselijke gedachten vorm te geven door middel van een voor iedereen begrijpelijke tekentaal van symbolen. Hij haalde zijn mastergraad in 1664. Zijn dissertatie voor de graad van doctor in de rechten werd geweigerd. De reden daarvoor was waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd, maar misschien ook politieke problemen. Hierom verliet hij Leipzig en kreeg hij deze graad op twintigjarige leeftijd aan de universiteit van Altdorf in Nuremberg. Hierna kwam hij in dienst van de keurvorst van Mainz (Mainz was een van de kleine staatjes waarin Duitsland destijds was opgedeeld). Gedurende de rest van zijn leven bekleedde hij verscheidene belangrijke posities. Leibnitz streefde zijn hele leven naar harmonie op zoveel mogelijk fronten. Behalve zijn monadenleer en zijn tekentaal trachtte hij tevens zoveel mogelijk wetenschappers tot samenwerking te bewegen. Hij stichtte (min of meer) de Berlijnse Academie van Wetenschappen en ondernam ook pogingen om alle christelijke kerken nader tot elkaar te brengen. In 1671 bouwde hij een mechanische rekenmachine die kon vermenigvuldigen en delen. Vanaf 1676 tot aan zijn dood was hij bibliothecaris van Hannover. In 1682 richtte hij samen met Otto Mencke het tijdschrift Acta Eruditorum op, dat in die tijd een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook daarin gepubliceerd.

Leibniz, de wiskundige

In 1672 vertrok Leibniz naar Parijs. Op dit moment was zijn wiskundige kennis beperkt tot de meesterwerken van de oude Grieken. Om zijn kennis verder te ontwikkelen moest hij de actuele ontwikkelingen in de wiskunde bestuderen. Het kwam hem daarom goed uit dat hij Christiaan Huygens ontmoette. Huygens begeleidde Leibniz in zijn studies en vertelde hem welke eigentijdse problemen hij moest bestuderen. Hij verkreeg ongepubliceerde manuscripten van Blaise Pascal en van René Descartes. Huygens vroeg hem de som S van de omgekeerde driehoeksgetallen uit te rekenen. Leibniz loste het probleem als volgt op. In de eerste plaats deelde hij de reeks door twee en verkreeg daarmee \frac=\sum_^\infty\frac. Hierna zag hij dat dit gelijk moet zijn aan \frac=\sum_^\infty\frac-\frac, hetgeen we tegenwoordig zouden herkennen als een telescoopreeks. Dus Leibniz concludeerde dat S = 2. Leibniz werd erg handig in het berekenen van oneindige sommen door zijn harmonische driehoek te gebruiken. Dit zegt iets over zijn interesse in sommen en verschillen, die hij later in zijn ontwikkeling van de calculus zou gebruiken.

Ontwikkeling van de calculus

In 1673, bezocht Leibniz Londen. Hij bracht zijn model voor een 'rekenmachine' mee. Hij werd gekozen als lid van de 'Royal Society', waar ook Newton lid van was. Hier zag hij ook een aantal van Newtons manuscripten en was erg onder indruk. Later zou dit voor de Britten een reden vormen om Leibniz van plagiaat te beschuldigen. Het is mogelijk dat hij Newtons de Analysi gezien heeft, maar het is onwaarschijnlijk dat Leibniz hier veel aan heeft gehad, vanwege zijn gebrekkige kennis van de meetkunde en de analyse. Hij praatte met een aantal belangrijke personen, zoals Robert Boyle, Robert Hooke en John Pell. Pell wees Leibniz op zijn gebrekkige wiskundige kennis. Leibniz ging terug naar Parijs om hogere meetkunde te bestuderen met hulp van Huygens. Nog steeds in 1673 ontwikkelde hij zijn algemene methode om hellingen te berekenen. De drie volgende jaren maakte Leibniz een enorme wiskundige ontwikkeling door en ontwikkelde hij de fundamentele principes van de calculus. Leibniz' resultaten op het gebied van sommen en verschillen waren niet nieuw. Het feit dat veel van zijn kennis zelf aangeleerd was leidde vaak tot het herontdekken van reeds bestaande wiskunde. Het belangrijke van wat hij deed met sommen en verschillen was dat hij d