- [http://planetmath.org/encyclopedia/LaguerrePolynomial.html Laguerre polynomen] op [http://planetmath.org PlanetMath] (Engels)
- [http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html Laguerre polynomen] op [http://mathworld.wolfram.com MathWorld] (Engels)
Categorie:Wiskundige functie
Wiskunde
De wiskunde (minder gebruikelijk: mathematica) is een van de oudste wetenschappen. Een gebruikelijke definitie van wiskunde is: het bestuderen van patronen en structuren. Met behulp van strikt logische redeneringen probeert men, uitgaande van een zo klein mogelijk aantal basisaannames (axioma's) en enkele axiomatisch geformuleerde definities, via een wiskundig bewijs te komen tot het formuleren van uitspraken (stellingen) over de gedefinieerde objecten en de verbanden daartussen.
Algemeen
In de meeste talen (Engels: mathematics, Duits: Mathematik, Frans: mathématiques) is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord μάθημα (máthima), dat wetenschap, kennis of leren betekent. Het Nederlandse woord wiskunde is door Simon Stevin in de 17e eeuw als wisconst (kunst van het gewisse of zekere) aan deze wetenschap verbonden.
Veel onderwerpen van studie in de wiskunde vinden hun oorsprong in andere exacte wetenschappen als de natuurkunde en de astronomie. Wiskundigen bestuderen echter ook mathematische structuren en onderwerpen om esthetische redenen of om een meer algemene oplossing te vinden voor verwante vraagstukken op diverse deelgebieden. Er wordt hierbij onderscheid gemaakt tussen de zuivere en de toegepaste wiskunde.
Binnen de zuivere wiskunde bestuderen sommige wiskundigen de wiskunde voor hun genoegen, daarbij de wiskunde min of meer als kunstvorm beschouwend.
Geschiedenis
De wiskunde, zoals ontstaan uit de rekenkunde, is reeds bekend in de vroegste culturen. Zo is uit Egypte de Rhynd Papyrus bekend. De Babyloniërs ontwikkelden een geavanceerd getallensysteem gebaseerd op het getal 60. Ook gebruikten zij algebraïsche formules als
ab = ((a + b)2 - (a - b)2)/4
en tafels met machten om berekeningen sneller te kunnen uitvoeren. Zij kenden reeds de stelling van Pythagoras.
De wiskunde als abstracte wetenschap werd het eerst beoefend in het klassieke Griekenland, waar bijvoorbeeld Euclides zijn 5 axioma's formuleerde die meer dan twintig eeuwen stand hielden. Vanuit deze axioma's bouwden hij en zijn volgelingen de meetkunde als zelfstandige tak van de wiskunde op.
Met de ondergang van de Griekse cultuur kwam de ontwikkeling van de wiskunde tot stilstand. Pas in de middeleeuwen pakken Arabische wiskundigen de draad weer op. Via hen wordt bijvoorbeeld het cijfer0 vanuit India in Europa geïntroduceerd. Een bloeiperiode begint met het werk van al-Khwarizmi rond 790 en de vertaling van Griekse teksten. Aan al-Khwarizmi wordt het ontstaan van de algebra toegeschreven. Het woord algoritme is van zijn naam afgeleid. Het duurt tot na de middeleeuwen voor Europa de leidende rol van de Arabische cultuur kan overnemen. Tegenwoordig is wiskunde niet meer weg te denken uit het dagelijks leven, op allerlei manieren passen wij het immers toe en we worden er reeds op jonge leeftijd, in meerdere of mindere mate, mee geconfronteerd.
Een polynoom (of veelterm) in één variable x is een wiskundige uitdrukking van de vorm:
:
met een natuurlijk getal.
De getallen heten de coëfficiënten van de polynoom.
De hoogste macht van x die voorkomt, waarbij dus de coëfficiënt verschilt van 0, heet de graad van de polynoom.
De constante 0 heeft geen graad. Eventueel kan men stellen dat de graad van 0 de waarde -1 of min oneindig heeft.
De minimumeis voor de coëfficiënten is dat ze een commutatieve ring vormen, bijvoorbeeld gehele getallen, breuken, reële of complexe getallen. We spreken dan van polynomen over , , of .
Elke polynoom over kan worden voorgesteld als een curve in het platte vlak;
eerstegraadspolynomen zien er uit als rechte lijnen,
tweedegraadspolynomen als parabolen.
De polynoom kan worden opgevat als de vector van z'n coëfficiënten in een meerdimensionaleruimte.
Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de Hoofdstelling van de Algebra geformuleerd die zegt dat elke polynoom van graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire (d.w.z. van graad 1) factoren:
:
De getallen b1, b2 enz. staan bekend als
de wortels of nulpunten van de polynoom.
Het aantal wortels van zo een veelterm is dus gelijk aan de graad (hoewel sommige wortels kunnen samenvallen).
Veeltermen over kunnen beschouwd worden als speciale gevallen van veeltermen over , en hebben dus eveneens n complexe wortels, die in bijzondere gevallen reëel kunnen zijn. Hier geldt de eigenschap dat elke reële veelterm van oneven graad minstens één reëel nulpunt heeft, en dat de eigenlijke complexe nulpunten steeds in complex toegevoegde paren voorkomen.
Een breuk van twee polynomen heet een rationale functie;
de wortels van de teller heten nulpunten en die van de noemer polen.
Oplossing van veeltermvergelijkingen
Weten dat elke -degraadsveelterm complexe wortels heeft, geeft nog geen expliciete uitdrukking voor die wortels.
Voor n = 1 is de oplossing eenvoudig: de veelterm () heeft wortel .
Voor n = 2 wisten Arabische geleerden uit de Middeleeuwen dat de veelterm () met reële coëfficiënten 0, 1 of 2 reële wortels heeft al naargelang de discriminant negatief, 0 of positief is. In het algemene, complexe geval hebben de twee wortels de waarden
(zie verder kwadratische vergelijking)
Voor en bestaan sinds de Renaissance gelijkaardige, zij het wat ingewikkelder, expliciete oplossingsmethoden - zie ondermeer het artikel derdegraadsvergelijking. Lange tijd bleven wiskundigen zich het hoofd breken op de algemene oplossing van de vijfdegraadsvergelijking, totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossing niet bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van Galoistheorie.
In de wiskunde (meetkunde) heet een verzameling vectoren orthogonaal, als voor het inwendig product van elk paar vectoren en geldt:
: als i verschilt van j.
In een meer intuïtieve aanpak kunnen we "orthogonaal" vertalen tot "loodrecht". Twee vectoren zijn dan orthogonaal indien ze loodrecht op elkaar staan.
Als vectoren orthogonaal zijn, en tevens elk een eenheidslengte hebben, noemen we ze ook wel orthonormaal; er geldt dan tevens:
: voor iedere i
Verwante begrippen zijn bijvoorbeeld: het orthogonaal complement van een lineaire deelruimte, de Gram-Schmidtmethode.
Functies
Twee functies worden orthogonaal genoemd als de integraal over de functieruimte van het product van de twee functies nul is:
:
De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door
:
voor n = 0, 1, 2, 3, .... .
Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:
:
Dat cos(nx) een polynoom van graad n is in cos(x) kan worden ingezien door op te merken dat cos(nx) het reële deel is van één kant van de formule van De Moivre. Het reële deel van de andere kant is een polynoom in cos(x) en sin(x), waarin alle machten van sin(x) even zijn en dus vervangbaar via de relatie cos²(x) + sin²(x) = 1.
Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie
:
op het interval [−1,1], i.e., we krijgen
:
Dit geldt omdat (neem x = cos θ)
:
De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
In de wiskunde zijn de Hermite-polynomen de polynomen gedefinieerd door:
:
of soms door:
:
Hierin is n een natuurlijk getal. Deze twee definities zijn niet geheel equivalent. De Hermite-polynomen zijn genoemd naar Charles Hermite.
De eerste paar Hermite-polynomen zijn:
:
:
:
:
:
:
:
Orthogonaliteit
De Hermite-polynomen vormen een orthgonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:
:.
Er geldt:
:
waarin δnm de Kronecker delta is, dus gelijk aan 1 als n = m en anders 0.
Lloyd Center
Lloyd Center is a shopping mall in the Lloyd District of Portland, Oregon. The mall features two levels of shopping, and a third level food court and professional offices. It also includes a Regal Cinema and an ice skating rink.
The mall opened August 1, 1960 in it's original 100-store, open-aired configuration. Upon opening, it was certainly the first and largest shopping center in Portland, and claimed to be the largest in the world at
Aoltw
Time Warner Inc. (AOL Time Warner Inc. between 2001 and 2003) (or referred to as TimeWarner) is the world's largest media company with major Internet, publishing, film, telecommunications and television divisions. The company is officially headquartered in
Purgitsville, West Virginia
Purgitsville is an unincorporated community in Hampshire County in the U.S. state of West Virginia. Purgitsville is located on US 220/WV 28 at its intersection with Huffman Road (County Route 220/3) south of ABC News to ABC stations. It is broadcast live at 4:30 a.m. Eastern time and is intended to be shown prior to an ABC affiliate's local morning news and Good Morning America. It transmitted on July 5, 1982 and is one of the fifth longest running news progams in ras al hadd is a village in al shargiyah district in Oman. it is considered the last point in the East of Oman and is located in the conjunction between gulf of Oman and Arabian Sea.
residents are mainly fishermen fro m al oraimi tribe of Oman, part of the
Rio, West Virginia
Rio (pronounced RYE-O) is an unincorporated community in Hampshire County in the U.S. state of West Virginia. Rio is located north of the Hardy County line at the crossroads of Augusta-Ford Hill Road (CR 53) and Delray Road (phonetics, retracted tongue root, abbreviated RTR or –ATR, is either
#the neutral position of the tongue during the pronunciation of a vowel, contrasting with advanced tongue root, or
#the retraction of the base of the tongue in the pharynx during the pronunciation of a vowel. In this case it is in effect partial
