:: wikimiki.org ::
| Dimensio |
DimensioUlottuvuus eli dimensio on topologista avaruutta kuvaava matemattinen käsite, joka voidaan määritellä usealla eri tavalla.
Algebrallinen dimensio kertoo vektoriavaruuden kannan mahtavuuden.
Metrinen dimensio perustuu toisistaan yhtä kaukana sijaitsevien pisteiden lukumäärään. Yhdessä ulottuvuudessa näitä on kaksi, kahdessa kolme ja :ssä kpl. Määritelmä toimii vain metrisessä avaruudessa.
Lebesguen dimensiota sovelletaan avoimessa ympäristössä, jonka alipeitteeseen valitaan avoimia joukkoja s.e. mikään piste ei kuulu useampaan joukkoon kuin on välttämätöntä ympäristön peittämiseksi. Niiden joukkojen lukumäärä johon tuo piste kuuluu, on ympäristön dimensio +1. Lebesguen dimensio on aina kokonaisluku.
Hyvin epäsäännöllisillekin metrisille avaruuksille voidaan määrittää Hausdorffin dimensio, joka ei välttämättä ole kokonaisluku (itse asiassa fraktaalit ovat juuri niitä avaruuksia, joiden Hausdorffin dimensio on murtoluku). Avaruus peitetään avoimilla palloilla ja tarkastellaan kuinka nopeasti pallojen määrää on kasvatettava, jotta niiden säteen puolittuessa ne edelleen peittävät tutkittavan avaruuden (helpohko esimerkki on von Kochin lumihiutale).
Luokka:Matematiikka
ko:차원
ja:次元
simple:Dimension
Topologinen avaruusTopologiset avaruudet ovat yksinkertaisimpia matemaattisia rakenteita, joissa voidaan määritellä sellaisia käsitteitä kuin avoimuus, jatkuvuus, homeomorfisuus ja yhtenäisyys.
Topologinen avaruus on järjestetty pari , missä on joukko ja on sellainen sen osajoukkojen kokoelma (ns. topologia), jonka jäseniä ovat
# tyhjä joukko ja joukko itse,
# kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet,
# kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset,
ts. toteuttaa topologiset aksioomat
#
#
# .
Luokka:Topologia
ko:위상공간 (수학)
ja:位相空間
Metrinen avaruusMatematiikassa metrinen avaruus on joukko, jossa voidaan määritellä pisteiden välinen etäisyys.
Määritelmä
Metrinen avaruus on pari , missä on joukko ja kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla ja joukosta toteuttaa ehdot
#
# jos ja vain jos
#
# (kolmioepäyhtälö).
Usein metriseksi avaruudeksi sanotaan vain joukkoa .
Esimerkkejä
- Mielivaltaisessa joukossa saadaan diskreetti metriikka määrittelemällä jos ja vain jos ja muutoin.
- Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan .
Määritelmiä
Avoin joukko
Metrisen avaruuden (-keskinen, -säteinen) avoin pallo , missä ja , määritellään joukoksi , ts. niiden pisteiden joukoksi, joiden etäisyys pisteestä on pienempi kuin .
Avaruuden osajoukkoa sanotaan avoimeksi joukoksi, jos sen jokaisen pisteen ympärille voidaan piirtää avoin pallo, joka kuuluu kokonaan joukkoon . Näin ollen jokainen metrinen avaruus on aina topologinen avaruus.
Rajoitettu joukko
Metristä avaruutta sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde , että kaikilla . Pienintä tällaista sädettä sanotaan avaruuden halkaisijaksi.
Pisteen ja joukon etäisyys
Metrisen avaruuden pisteen ja joukon etäisyys on lyhin etäisyys pisteestä johonkin joukon pisteeseen, ts.
:.
Katso myös
- Avaruus
Luokka:Matematiikka
Luokka:Topologia
ko:거리공간
ja:距離空間
Henri LebesgueHenri Léon Lebesgue (28. kesäkuuta 1875 – 26. heinäkuuta 1941) oli ranskalainen matemaatikko, joka on tunnettu kehittämästää integraalikäsitteestään. Lebesguen integraali oli alun perin julkaistu hänen väitöskirjassaan Intégral, longueur, aire ("Integraali, pituus, pinta-ala"). Lebesgue väitteli Nancyn yliopistosta vuonna 1902.
Lebesguen isä työskenteli kirjapainossa latojana, ja hän kuoli tuberkuloosiin kun hänen poikansa oli vielä hyvin nuori. Lebesgue itse kärsi heikostta terveydestä koko ikänsä. Hänen äitinsä työskenteli väsymättään miehensä kuoleman jälkeen tukeakseen poikaansa. Hän oli luokkansa parhaita peruskoulussa ja jatkoi myöhemmin Ecole Normale Supérieuressa.
Lebesgue meni naimisiin erään opiskelijakaverinsa siskon kanssa ja sai hänen kanssaan kaksi lasta, Suzannen ja Jacquesin. Hän jatkoi väitöskirjansa kirjoittamista samalla kun hän opetti Nancyssä ala-astelaisia.
Lebesguen integraali
Tämä artikkeli kertoo Lebesguen integraalista historiallisesta näkökohdasta. Katso artikkelia mittateoria jos haluat lukea aiheesta matemaattisemmasta näkökulmasta.
Integrointi on matemaattinen operaatio jolla pystytään määrittämään funktion kuvaajan ja koordinaattiakseleiden väliin jäävän alueen pinta-aloja. Integrointiteoriaa kehitti ensimmäisenä Arkhimedes 200-luvulla ennen ajan laskun alkua täyttämällä alueita säännöllisillä monikulmioilla, mutta tätä metodia voitiin hyödyntää vain tapauksiin joissa esiintyi geometristä säännönmukaisuutta. 1600-luvulla Isaac Newton ja Gottfried Leibniz keksivät toisistaan riippumatta että integraalit ovat funktioiden, joilla on annettu derivaatta, etsimistä. Tämä antoi matemaatikoille ensimmäistä kertaa mahdollisuuden määrittää monien funktioiden integraalit. Toisin kuin Arkhimedeen metodilla, Newtonin ja Leibnizin integraalilaskennalla ei ollut vahvaa pohjaa.
1800-luvulla Cauchy kehitti viimein raja-arvon täsmällisen määritelmän ja Bernhard Riemann jatkoi idean kehittelyä keksimällä Riemannin integraalin. Tässä integraalikäsitteessä on ideana täyttää funktion ja koordinaattiakseleiden suuntaisten suorien rajaama alue suorakulmioilla kahdella tavalla. Ensiksi siten että kukin suorakulmio sisältyy kokonaan alueen sisään ja sitten siten että jokainen alueen piste kuuluu johonkin suorakulmioon. Jos jakoa tihennettäessä rajatta näiden suorakulmiokokoelmien yhteiset pinta-alat yhtyvät, on annettu funktio Riemann-integroituva. Valitettavasti tämä ei toteudu kaikkien funktioiden kohdalla, joten kaikki funktiot eivät ole Riemann-integroituvia.
Lebesgue kehitti uuden menetelmä ratkaistakseen tätä ongelmaa. Kun aiemmat integraalikäsitteet pyrkivät tarkastelemaan integroituvuutta lähtöjoukon perusteella, Lebesguen integraali tarkastelee integroituvuutta maalijoukon perusteella. Lebesguen idea oli ensiksi kehittää integraali niin sanotuille yksinkertaisille funktioille, mitallisille funktioilla jotka saavat vai äärellisen monta arvoa. Tällöin monimutkaisempien funktioiden integraalit saadaan approksimoimalla funktioita yksinkertaisilla funktioilla ja ottamalla supremum näiden funktioiden integraaleista.
Lebesguen integraalilla on se kaunis ominaisuus, että kaikki Riemann-integroituvat funktiot ovat myös Lebesgue-integroituvia, ja tällaisessa tapauksessa integraalit yhtyvät. On kuitenkin olemassa monia funktioita joilla on olemassa Lebesguen integraali mutta ei Riemannin integraalia.
Kehittäessään Lebesguen integraalia Lebesgue keksi niin sanotun Lebesguen mitan käsitteen, joka yleistää tietyn välin pituuden käsitteen hyvin suurelle joukkokokoelmalle, mitallisille joukoille. Lebesguen tekniikkaa yhdistää mitat integraalikäsitteeseen voidaan helposti yleistää moniin muihinkin tilanteisiin, ja tätä matematiikan osa-aluettä kutsutaan mittateoriaksi.
Lebesguen integraali on riittämätön yhdessä suhteessa. Riemannin integraali on yleistetty epäoleelliseksi Riemannin integraaliksi jolla voidaan integroida funktioita joiden määrittelyjoukko on avoin väli suljetun välin sijasta. Lebesguen integraalilla pystytään integroimaan monia avoimella välillä määriteltyjä funktioita, vaikkakaan ei kaikkia. Henstockin integraali on vielä Lebesguen integraaliakin yleisempi integraali, joka perustuu enemmänkin Riemannin integraalin käsitteeseen kuin Lebesguen integraaliin, jossa on pyritty välttämään joitakin Lebesguen integraalin ja määräämättömän Riemannin integraalin ominaisuuksia. Kuitenkin Henstockin integraali käyttää hyväkseen tiettyjä reaaliakselin ominaisuuksia ja ei yleisty niin hyvin kuin Lebesguen integraali.
Lebesguen muut saavutukset
Väitöskirjansa lisäksi Lebesque kirjoitti kaksi kirjaa, Leçons sur l'intégration et la recherché des fonctions primitives (1904) ja Leçons sur les séries trigonométriques (1906) muiden julkaisujensa lisäksi.
Vaikka Lebesguen integraali oli esimerkki varsin merkittävästä yleistyksesta, Lebesgue ei muuten yleistänyt tuloksia merkittävästi ja tutkikin yleisesti ottaen tarkasti rajattujen ongelmien parissa. Hänen tutkimuksensa liittyivät yleensä analyysiin.
Hän kirjoittikin: "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu" ("Keskittymällä yleisiin lauseisiin matematiikka olisi kaunista mutta ei tyydyttävää").
Katso myös
- Dominoidun konvergenssin lause
- Monotonisen konvergenssin lause
- Lebesguen peitedimensio
- Lebesguen piste
Ulkoiset linkit
- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Lebesgue.html| Lebesguen elämäkerta]
- [http://mathweb.free.fr/bios/index.php3?action=affiche&quoi=lebesgue Henri Léon Lebesgue (28 juin 1875 [Rennes] - 26 juillet 1941 [Paris])] (ranskaksi)
- [http://math-sahel.ujf-grenoble.fr/NUMDAM/lebesgue.html Henri Léon Lebesgue] Lebesguen julkaisuluettelo ja linkit skannattuihin PDF dokumentteihin.
Lebesgue, Henri
Hausdorffin dimensio
Georg Cantor kehitti aikoinaan todella kekseliään menetelmän erilaisten käyrien pituuden arvioimiseksi. Esimerkiksi mitattaessa rantaviivaa, sitä pitkin piirretään n-säteisiä ympyröitä pitkin rannikkoa, jolloin muodostuu alue, jolla on pinta-ala. Ala jaetaan 2n:llä, jolloin saadaan arvio rannikon pituudelle. Kun pienennetään n:ää, saadaan rajatta tarkentuva arvio rannikon pituudelle.
Lewis Fry Richardson tutki 60-luvulla empiirisesti rannikoiden pituuksia päätyen lopputulokseen, jonka mukaan rantaviivaa approksimoivalla monikulmiolla, jonka sivujen pituus on n, on sivuja kappaletta. Richardsonille D oli vain eksponentti vailla sen kummempaa merkitystä, mutta arvioitaessa rannan pituutta huomataan D:n olevan riippumaton tavasta jolla pituus mitataan. D on siis huomattavasti keskeisempi muuttuja.
D, nimestään huolimatta, ei ole ulottuvuus samassa mielessä kuin meidän käsittämämme Euklidiset ulottuvuudet. D, eli Hausdorffin dimensio tarkoittaa kuvion itsesimilaarisuusastetta, sitä, kuinka ”itseääntoistava” kuvio on. Oletetaan, että kuvio F jakautuu pienennöksiin, joita on n kappaletta ja joiden koko on 1/γ kuvion koosta. Tällöin
F:n ollessa jana, pienennöksiä mahtuu suoralle kappaletta. Jana voidaan jakaa vaikkapa neljään osaan, jolloin ja , jolloin fraktaalidimensioksi saadaan yksi. Neliön taas voi esimerkiksi jakaa yhdeksään pienempään neliöön mittakaavassa , jolloin saadaan . tällainen itsesimilaarinen jako ei päde esim. ympyrälle, sillä silmukatonta sulkeutuvaa käyrää ei voi jakaa samankaltaisiin pienempiin osiin.
Luokka:Matematiikka 22. Mars22. mars er den 81. dagen i året, den 82. i skuddår. Det er 284 dager igjen av året.
Historie
- 238 – Gordian I, og hans sønn Gordian II, erklæres som romerske keisere.
- 1809 – Karl XIII overtar den svenske tronen etter Gustav IV Adolf.
- 1888 – The Football League blir stiftet i England etter et initiativ fra William McGregor
- 1895 – Auguste og Louis Lumière viste historiens første film, La Sortie des ouvriers de l'usine Lumière, på et privat arrangement.
- 1939 – Andre verdenskrig: Tyskland annekterer Memel, Litauen.
- 1945 – Den arabiske liga blir opprettet i Kairo.
- 1958 – Faisal blir konge av Saudi-Arabia.
- 1960 – Arthur Leonard Schawlow og Charles Townes tar patent på den første laseren.
- 1993 – Intel begynner leveringen av den første Pentium-brikken (80586).
- 1995 – Kosmonauten Valeri Polyakov returner til Jorden etter å ha satt rekord med 438 dager i rommet.
Norsk historie
- 1973 – Det norske frakteskipet MS «Norse Variant» forliser utenfor New Jersey. 29 personer omkommer.
- 1978 – Norge svarer positivt på å delta med en norsk styrke i UNIFIL.
Født
- 1459 – Maximilian I av det tysk-romerske rike (d. 1519)
- 1799 – Friedrich Wilhelm August Argelander, tysk astronom (d. 1875)
- 1869 – Emilio Aguinaldo, filippinsk general, revolusjonsleder, president og politiker (d. 1964)
- 1923 – Marcel Marceau, fransk mimekunstner
- 1936 – Roger Whittaker, britisk sanger
- 1957 – Anne Grete Preus, norsk musiker
- 1969 – Tale Næss, norsk forfatter
- 1976 – Trond Iversen, norsk langrennsløper
- 1980 – Trond Birkedal, norsk politiker
- 1985 – Keira Knightley, britisk skuespillerinne
Døde
- 1832 – Johann Wolfgang von Goethe, tysk forfatter (f. 1749)
- 1946 – Grev Clemens August von Galen, tysk biskop og kardinal (f. 1878)
- 2004 – Sjeik Ahmed Yassin, palestinsk opprørsleder (Hamas)
Helligdager
----
Se også:
21. mars – 23. mars – 22. februar – 22. april – Historiske datoer
narty we francji cheap holidays lanzarote samsung true tone Online Casinos praca
|
|
|
|
