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Fenómeno De Runge

Fenómeno de Runge

Em matemática, em particular no campo específico da análise numérica, o fenómeno de Runge é um problema que ocorre quando usando interpolação polinomial com polinómios de ordem elevada. Foi descoberto por Carle David Tolmé Runge quando investigava o erro na interpolação polinomial.

Problema

Considere-se a função: :

f(x) = \frac

Runge descobriu que se fizermos a interpolação desta função em pontos equidistantes entre -1 e 1 tais que: :

x_i = -1 + (i-1)\frac, i \in \left\

com u polinómio

P_n(x)

que tem grau

\leq n

, a resultante interpolação iria oscilar junto às pontas do intervalo, ou seja, perto de -1 e 1. Pode mesmo ser provado que o erro de interpolação tende para infinito quando o grau do polinómio aumenta: :

\lim_ \left( \max_ | f(x) -P_n(x)| \right) = \infty

Soluções para o problema do fenómeno de Runge

A oscilação pode ser minimizada usando o os nódulos de Chebyshev em vez de nódulos equidistantes. Neste caso, o erro máximo diminui quando a ordem do polinómio aumenta. O fenómeno demonstra que polinómios de grau elevado são normalmente pouco recomendáveis para a interpolação. O problema pode ser evitado usando curvas spline, compostos de polinómios. Quando se tenta diminuir o erro de interpolação podemos aumentar o número de peças de polinómios usadas para construir a spline, em vez de aumentar o grau do polinómio.

Ver também

- Comparar com o fenómeno de Gibbs para funções de base sinudoisal Categoria:Matemática

Matemática

A matemática (do grego máthema: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathematikos: apreciador do conhecimento) é o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. Na visão moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários sub-campos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns. Muitos matemáticos estudam as áreas que escolheram por razões estéticas – simplesmente porque eles acham que as estruturas investigadas são belas em si mesmas. Historicamente, as principais disciplinas dentro da matemática surgiram da necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Estas três necessidades podem ser a grosso modo relacionadas à grande subdivisão da matemática no estudo das estruturas, dos espaços e das suas alterações. O estudo de estruturas começa com os números naturais e números inteiros. As regras que governam as operações aritméticas são as da álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço. O estudo do espaço se originou com a Geometria, primeiro com a Geometria euclidiana e a trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria de grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade. Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas. Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos. Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação. Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do Prêmio Nobel, John Nash, é a Teoria dos Jogos, que possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais. Os computadores também contribuiram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos obedecem a leis que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot. Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numéricamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional. Segue uma lista dos tópicos matemáticos.

Biografias

- Carl Friedrich Gauss
- David Hilbert
- Kurt Gödel
- Max Noether
- Paul Erdos
- Pierre de Fermat
- Pierre Simon Laplace
- Outros Matemáticos

Conceitos relacionados

Analogia - Número aleatório

Espaço

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria Algébrica -- Geometria Diferencial -- Topologia Diferencial -- Topologia Algébrica -- Álgebra Linear

Estrutura

Álgebra Abstrata -- Teoria dos Números -- Geometria Algébrica -- Teoria dos Grupos -- Monóides -- Análises -- Topologia -- Álgebra Linear -- Teoria de Grafos -- Álgebra Universal -- Teoria das Categorias

Fatos da Matemática

História da Matemática -- Linha do Tempo da Matemática -- Matemáticos -- Problemas insolúveis da Matemática

Fundações e Métodos

Filosofia da Matemática -- Intuição Matemática -- Construtivismo Matemático -- Fundamentos da Matemática -- Teoria dos Conjuntos -- Lógica Simbólica -- Teoria dos Modelos -- Teoria das Categorias -- Demonstração de Teoremas -- Símbolos Matemáticos ...

Matemática Aplicada

Análise Numérica -- Otimização -- Probabilidade -- Estatística -- Problemas Lógicos -- Investigação Operacional

Matemática Discreta

Combinatória -- Teoria Básica de Conjuntos -- Probabilidade -- Estatística -- Teoria da Computação -- Matemática Discreta -- Criptografia -- Teoria dos Grafos -- Teoria dos Jogos

Prémios

Prémio Abel -- Prémio Problemas do Milênio (Clay Math Prize) -- União Internacional Matemática -- Competições Matemáticas

Quantidades

Números -- Números naturais -- Inteiros -- Números Racionais -- Números Reais -- Números Complexos -- Números Hipercomplexos -- Quaterniões -- Octoniões -- Sedeniões -- Números Hiperreais -- Números Surreais -- Números Ordinais -- Números Cardinais -- Números p-adicos -- Seqüências de Inteiros -- Constantes Matemáticas -- Nomenclatura dos Números -- Infinito -- Falha Lógica

Softwares Proprietários

- Maple
- Mathematica - Software

Softwares Livres

- Maxima
- Octave

Teoremas e Conjecturas Famosas

Último Teorema de Fermat -- Hipótese de Riemann -- Hipótese do Continuum -- Conjectura de Goldbach -- Conjectura dos Primos Gêmeos -- Teorema da Divergência -- Teorema da Incompletude de Gödel -- Conjectura de Poincaré -- Argumento da Diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema do Limite Central -- Teorema Fundamental do Cálculo -- Teorema Fundamental da Álgebra -- Teorema das quatro cores -- Lema de Zorn -- Produtos Notáveis

Teorias

- Teorema da incompletude de Gödel
- Teoria dos Jogos
- Teoria das categorias
- Teoria dos conjuntos

Transformações

Aritmética -- Cálculo -- Cálculo Vetorial -- Análise -- Equações Diferenciais -- Sistemas Dinâmicos -- Teoria do Caos -- Cálculo Fracional -- Lista de funções -- Polinômio de Taylor
- Matemática é a ciência que tem por objecto de estudo as relações entre os números, as formas, as grandezas e as operações entre estes elementos;
- Matemáticas: conjunto de ciências em que intervêm as teorias dos números.
- Matemáticas aplicadas: as que consideram as grandezas em determinados corpos ou assuntos;
- Matemáticas Mistas: as que consideram as propriedades da grandeza em certos corpos ou fenômenos particulares, como a Astronomia e a Mecânica;
- Matemáticas Puras: as que estudam as propriedades da grandeza em abstrato como a Geometria e a Álgebra.

Ligações externas

- [http://www.impa.br/ IMPA Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - Brasil (em português)]
- [http://www.obm.org.br/ Olimpíada Brasileira de Matemática]
- [http://www.opm.mat.br/ Olimpíada Paulista de Matemática]
- [http://www.teorema.mat.br/ Fórum Teorema]
- [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas] Categoria:Matemática ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Curvas spline

Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controlo. Os pontos de controlo que ficam na curva são chamados de nós. Os splines podem ser divididos em duas categorias:
- Splines de interpolação que passam por todos os pontos de controlo
- Splines de aproximação que passam perto de todos os pontos de controlo
splines de aproximação
Usualmente, os splines de aproximação são curvas suaves, dado que as splines de interpolação podem ter "lombas" perto dos nós. Na imagem, a curva que passa através de A, B, C e D é um spline interpolador (especificamente, um spline linear) e a curva que passa através de A e D, mas não por B e C, é um spline de aproximação (especificamente, um spline Bézier).
Splines no mundo real
A Simplicidade da representação e a facilidade dentro da forma complexa do spline pode ser computatadas e fazer com que os splines sejam representações populares para curvas na ciência da computação e engenharia informática, predominantemente em computação gráfica, mas também para outros tipos de interpolação, tal como a suavização de áudio digital. O termo spline vem de um dispositivo usado pelos construtores de navios para desenhar formas mais suaves.
Definição formal de Splines polinomiais
Uma função $S$ é chamada de spline de grau $k$ se: # O domínio de S é um intervalo a,b] # Há nós (ti,yi) tal que a = t0 < t1 < ... < tn = b e tal que S é um [[polinómio]] de grau $k$ em cada subintervalo $[t_i, t_]$ . No geral, a continuidade da função $f$ em $s$ pode ser definido pela condição: : $\lim_f(x) = \lim_f(x) = f(s)$
Interpolação de splines
A interpolação de splines inclui:
- [[Spline linear
- Spline quadrático
- Spline cúbico
- Spline cúbico natural
- Spline cúbico apertado
- Spline cúbico periódico O algoritmo de Boor é um método efetivo para avaliar uma curva de splines interpoladores. categoria:Análise numérica

Primeiro Ministro

Nos sistemas parlamentaristas o Primeiro-Ministro faz o papel de chefe de Governo. A função de chefe de Estado pode ser exercida pelo rei (no caso de uma Monarquia) ou pelo Presidente (no caso de uma República). Normalmente o Primeiro-ministro é indicado pelo partido detentor da maioria no Legislativo e tende a continuar no poder enquanto sua base parlamentar mantiver-se majoritária.

ver também

- Primeiro-Ministro (Portugal) Categoria:Política
- ja:首相 simple:Prime Minister th:นายกรัฐมนตรี

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Problema

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Interpolação de splines

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