Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
מרחב T4

מרחב T4

בטופולוגיה, נורמליות ותכונת \ T_4 הן דוגמאות לסוג חזק יחסית של תכונות הפרדה. מרחב נורמלי הוא מרחב טופולוגי המפריד בין קבוצות סגורות זרות, באמצעות סביבות פתוחות. מרחב נורמלי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב \ T_4. מרחב טופולוגי הוא נורמלי, אם לכל שתי קבוצות זרות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות המכילות אחת את A ואחת את B. תכונה זו נקראת 'הפרדה בין קבוצות סגורות בקבוצות פתוחות'. ניסוח שקול: לכל קבוצה סגורה F וקבוצה פתוחה G כך ש \ F \subset G, קיימת קבוצה פתוחה V שעבורה \ F \subset V \subset \overline \subset G. כל מרחב \ T_4 הוא מרחב T3, שבו אפשר להפריד באמצעות קבוצות פתוחות בין קבוצה סגורה לנקודה, ולכן גם מרחב האוסדורף, שבו אפשר להפריד בין נקודות. הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי אפשר להפריד בין קבוצות סגורות וזרות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה מן המרחב לקטע היחידה [0,1], כך ש- \ f(A)=0 ו- \ f(B)=1. מכאן נובע שמרחב \ T_4 הוא מרחב טיכונוף (הקרוי גם מרחב \ T_), ובפרט מרחב רגולרי לחלוטין. את הלמה של אוריסון ניתן לראות כאילו היא מאפשרת להרחיב את הפונקציה המקבלת את הערך 0 בקבוצה A ואת הערך 1 בקבוצה B, לפונקציה רציפה המוגדרת על כל המרחב. משפט טיטצה מהווה הכללה של למה זו, בכך שהוא מאפשר להרחיב כל פונקציה רציפה: אם M קבוצה סגורה במרחב נורמלי, אז לכל פונקציה רציפה \ f: M \to [0,1] \ \mbox \ \mathbb קיימת \ \phi : X \to [0,1] \ \mbox \ \mathbb כך ש \ \forall x \in M : \phi (x) = f(x). כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב \ T_4. חשיבותם הרבה של מרחבי \ T_4 נובעת מן המשפט של אוריסון: כל מרחב \ T_4 המקיים את אקסיומת המנייה השניה, הוא מטריזבילי (כלומר: הטופולוגיה שלו מושרית על-ידי מטריקה מתאימה).

ראו גם


- אקסיומות ההפרדה
- מרחב נורמלי לחלוטין
- מרחב נורמלי באופן מושלם קטגוריה:טופולוגיה

טופולוגיה

במתמטיקה, טופולוגיה היא ענף העוסק בחקר מרחבים טופולוגיים. טופולוגיה היא גם השם של אוסף הקבוצות המגדירות מרחב טופולוגי. הטופולוגיה עוסקת בתכונות הנוגעות לצורתם של עצמים מופשטים, ומתמקדת בתכונות הנשמרות גם לאחר הפעלת פונקציות שעונות לארבעת הקריטריונים - פונקציות חד חד ערכיות, על, רציפות ובעלות פונקציה הופכית רציפה. פונקציות שכאלו מכונות הומיאומורפיזמים ועצמים שניתן לעבור מהאחד לשני באמצעותן מכונים הומיאומורפיים. בלשון ציורית, ההבדל בין עצמים אלו הן התכונות שנשמרות גם לאחר הפעלת "עיוות", "מתיחה" ו"כיווץ" - למשל, עיגול ומרובע הם הומיאומורפיים, כי ניתן לעקם את המרובע עד לקבלת עיגול, ולהפך. לעומת זאת, צורת הספרה 8 ומעגל אינם הומיאומורפיים, כי בצורה ישנם שני חורים, ובמעגל חור אחד בלבד. הטופולוגיה היא ענף חדש יחסית במתמטיקה. אף שניתן לציין את פתרון בעיית הגשרים של קניגסברג על ידי לאונרד אוילר כנקודת ציון בתולדות הטופולוגיה, שכן הפתרון התבסס על צורה בלבד, ללא מדידת אורך, הרי שהטופולוגיה במתכונתה המוכרת החלה לצוץ רק בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, בעיקר בעבודותיהם של גאורג קנטור, מוריס פרשה, פול סמואלוביץ' אוריסון ופליקס האוסדורף. ענפים בטופולוגיה:
- טופולוגיה קבוצתית
- טופולוגיה אלגברית

לקריאה נוספת


- דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997. קטגוריה:טופולוגיה ja:位相幾何学 ko:위상수학 simple:Topology

אקסיומות ההפרדה

אקסיומות ההפרדה (נקראות גם "תכונות ההפרדה") הן תכונות של מרחב טופולוגי, הקשורות ביכולת של הטופולוגיה להפריד בין נקודות או קבוצות שונות במרחב. ישנן כתריסר אקסיומות שונות, שהחשובה שבהן היא תכונת האוסדורף, הקרויה גם תכונת \ T_2. לכמה מתכונות ההפרדה המרכזיות משתמשים בסימון \ T_n, עבור ערכים שונים של \ n. מקורה של האות T בהקשר זה הוא במלה הגרמנית Trennung, שפירושה 'הפרדה'. מרחבים מטריים מקיימים את כל אקסיומות ההפרדה, ולכן אפשר לראות באקסיומות ההפרדה מעין היררכיה של מרחבים טופולוגיים, המודדת עד כמה דומה מרחב נתון (מבחינת יכולת ההפרדה שלו) למרחב מטרי. המינוח הקשור באקסיומות ההפרדה נודע כמינוח לא אחיד: בספרים שונים השתמשו באותם שמות כדי לתאר תכונות שונות, ולכן כשמצטטים תוצאות בתחום זה, חשוב לברר באיזו הגדרה השתמש המחבר. נקודת המוצא היא האקסיומה הקרויה \ T_0, שהיא דרישה פרימיטיבית באופן יחסי (כלומר, רוב המרחבים הטופולוגיים המופיעים בספרות, מקיימים אותה). בוויקיפדיה אנו מאמצים את הגישה המודרנית יותר, לפיה התכונות \ T_3, T_4 ונגזרותיהן מכילות את ההנחה \ T_0 כחלק מההגדרה, בעוד שמרחבים רגולריים ומרחבים נורמליים, על הוריאציות של תכונות אלה (ראו בהמשך), אינם נדרשים לקיים את התכונה הזו. בעבר, ובפרט בספר החשוב "Counterexamples in Topology" (שכתבו Steen ו- Seebach ב- 1970), היה מקובל היפוך של המונחים.

אקסיומות ההפרדה

ישנן שתי תכונות בסיסיות שמקובל למנות בין אקסיומות ההפרדה, למרות שבעצם אינן כאלה. הראשונה היא \ T_0:
- מרחב טופולוגי מקיים את התכונה \ T_0, אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה אחת מהן אבל לא את השניה. במלים אחרות, לא קיימות שתי נקודות שיש להן בדיוק אותן סביבות. במרחב שאינו מקיים דרישה זו, ישנם זוגות של נקודות שאי אפשר להבחין ביניהן במשקפי הטופולוגיה. התכונה \ T_1 היא תכונה מעט חזקה יותר, מעין גירסה סימטרית של התכונה הקודמת:
- מרחב טופולוגי מקיים את התכונה \ T_1, אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה את זו ולא את זו, וכן להיפך. תכונה זו שקולה לכך שכל נקודה מהווה קבוצה סגורה. כל מרחב \ T_1 הוא בפרט \ T_0.

הפרדה בין נקודות

כדי להציג את אקסיומות ההפרדה השונות, נפתח בכמה דוגמאות.
- מרחב האוסדורף שהוזכר קודם לכן, הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה הבאה: : לכל שתי נקודות \ p \neq q, קיימות קבוצות פתוחות וזרות, שאחת מהן מכילה את p, והשניה את q. לתכונה זו קוראים 'הפרדה בין נקודות על-ידי קבוצות פתוחות', כאשר ה'הפרדה' פירושה שאפשר מתוך התבוננות בקבוצות הפתוחות להווכח בכך שהנקודות שונות זו מזו (שהרי הקבוצות זרות). אפשר לבחון תכונת הפרדה חזקה יותר, באמצעות סביבות סגורות:
- מרחב אוריסון, או מרחב \ T_, הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה כי לכל שתי נקודות \ p \neq q, קיימות סביבות סגורות וזרות, שאחת מהן מכילה את p, והשניה את q. נזכיר שסביבה של נקודה היא קבוצה שהנקודה נמצאת בפנים שלה; בפרט, סביבה מכילה קבוצה פתוחה, המכילה את הנקודה שלנו. ממילא ברור שהפרדה באמצעות סביבות סגורות היא תכונה חזקה יותר מהפרדה באמצעות קבוצות פתוחות. יש תכונת הפרדה חזקה עוד יותר - באמצעות פונקציות רציפות.
- מרחב האוסדורף לחלוטין (completely Hausdorff), הוא מרחב טופולוגי X, המקיים את הדרישה: לכל שתי נקודות \ p \neq q, קיימת פונקציה רציפה \ f : X \rightarrow [0,1], כך ש- \ f(p)=0 ו- \ f(q)=1. זוהי בוודאי הפרדה חזקה יותר מאשר באמצעות סביבות סגורות, משום שאת הנקודות 0 ו- 1 אפשר להפריד בסביבות סגורות על הישר הממשי, והמקורות של סביבות סגורות במרחב X (תחת פונקציה רציפה) הם סביבות סגורות. אם כן, פגשנו שלוש רמות של הפרדה: הפרדה בקבוצות פתוחות (וזרות), הפרדה בסביבות סגורות (וזרות), והפרדה בפונקציה רציפה. בכל המקרים מדובר היה בהפרדה בין זוג נקודות. בהמשך נראה שיש סוג נוסף של הפרדה: הפרדה מדוייקת באמצעות פונקציה (רציפה).

הפרדה בין קבוצה סגורה לנקודה


- מרחב שבו אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה (שאינה שייכת, כמובן, לקבוצה) באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא מרחב רגולרי. לא קשה להוכיח שבמקרה כזה, אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה גם באופן החזק יותר של סביבות סגורות.
- מרחב שבו אפשר להפריד קבוצה סגורה ונקודה באמצעות פונקציה רציפה נקרא מרחב רגולרי לחלוטין. כמקודם, מרחב רגולרי לחלוטין הוא בפרט רגולרי. במרחב טופולוגי כללי, נקודה אינה בהכרח קבוצה סגורה, ולכן היכולת להפריד קבוצות סגורות ונקודות אינה מלמדת אותנו על היכולת להפריד בין נקודות שונות. לעומת זאת, אם מוסיפים את ההנחה \ T_1, מופיע קשר בין התכונות החדשות לתכונות שראינו קודם לכן:
- מרחב רגולרי שהוא גם \ T_1 נקרא מרחב \ T_3. כל מרחב כזה מקיים את התכונה \ T_2, ולכן הם נקראים גם 'מרחבי האוסדורף רגולריים'. אפשר לראות שכל מרחב רגולרי \ T_0 מקיים את התכונה \ T_1, ולכן הוא מהווה מרחב \ T_3.
- מרחב רגולרי לחלוטין שהוא גם \ T_1 נקרא מרחב טיכונוף, או מרחב \ T_. גם כאן, מרחב רגולרי לחלוטין שהוא \ T_0 מקיים את התכונה \ T_1, ולכן הוא מהווה מרחב \ T_. כל מרחב כזה הוא בפרט \ T_3.

הפרדה בין קבוצות סגורות


- מרחב שבו אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא מרחב נורמלי. הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב כזה, אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות גם באמצעות פונקציה רציפה - ולכן שלוש הרמות הראשונות של הפרדה מתלכדות. בדרך כלל הפרדה זו אינה הפרדה מדוייקת (מושג שיוגדר בהמשך).
- מרחב נורמלי המקיים בנוסף את התכונה \ T_1, נקרא מרחב \ T_4. כל מרחב \ T_4 הוא בפרט \ T_ (מרחב טיכונוף).

תכונות הפרדה חזקות

במרחב נורמלי, כפי שציינו לעיל, אפשר להפריד בין כל שתי קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה. יש שתי דרכים לחזק את הדרישה הזו: לדרוש הפרדה בין יותר זוגות של קבוצות, או הפרדה באופן מוצלח יותר מסתם הפרדה באמצעות פונקציה. 'קבוצות מופרדות' הן קבוצות \ A,B במרחב טופולוגי, שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה (ישנו קשר מסויים בין מונח זה לבין אקסיומות ההפרדה, אבל הוא אינו הדוק במיוחד). כל שתי קבוצות סגורות וזרות הן כמובן מופרדות, ולכן הפרדה בין קבוצות מופרדות היא משימה קשה יותר (אפילו בהעדר ההנחה \ T_0).
- מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות מופרדות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא מרחב נורמלי לחלוטין, או מרחב נורמלי תורשתי. במרחב כזה, כל תת-מרחב הוא נורמלי בטופולוגיה המושרית.
- מרחב נורמלי לחלוטין שהוא גם \ T_1, נקרא מרחב \ T_5, או מרחב \ T_4 לחלוטין. כל מרחב \ T_5 הוא בפרט מרחב \ T_4. בכיוון אחר, אומרים שאפשר להפריד בין הקבוצות A ו- B במרחב X הפרדה מדוייקת באמצעות פונקציה, אם קיימת פונקציה רציפה \ f:X\rightarrow \mathbb, כך ש- \ f^(0)=A ו- \ f^(1)=B. נעיר שבהפרדה רגילה אנו דורשים רק \ f^(0) \supseteq A ו- \ f^(1) \supseteq B. קבוצות שאפשר להפריד ביניהן הפרדה מדוייקת מוכרחות להיות קבוצות סגורות, שהרי הקבוצות \ \ ו- \ \ סגורות בעצמן.
- מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות סגורות הפרדה מדוייקת באמצעות פונקציה, נקרא מרחב נורמלי באופן מושלם (perfectly normal). מרחב נורמלי באופן מושלם הוא כמובן נורמלי, ואף נורמלי לחלוטין (את זה קצת קשה יותר להוכיח). במרחב נורמלי באופן מושלם, כל קבוצה סגורה היא קבוצת \ G_\delta (או באופן שקול: כל קבוצה פתוחה היא קבוצת \ F_\sigma). תכונה זו מאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם.
- מרחב נורמלי באופן מושלם שהוא גם \ T_1, נקרא מרחב \ T_4 באופן מושלם, או מרחב \ T_6. כל מרחב \ T_6 הוא בפרט מרחב \ T_5. מרחב מטרי מקיים את התכונה \ T_6, ולכן גם את שאר תכונות ההפרדה שמנינו.

סיכום

הטבלה מציגה את שמו של מרחב המקיים משימת הפרדה נתונה באופן נתון. בסוגריים מצויין שמו של מרחב כזה, אם מניחים בנוסף את התכונה \ T_1. כל מרחב המופיע בטבלה מקיים גם את התכונה במשבצת שמתחת לזו בה הוא מופיע. אם מניחים את התכונה \ T_1, אז כל מרחב מקיים גם את התכונות שמשמאל למשבצת שבה הוא מופיע. בפרט, \ T_b \Rightarrow T_a לכל \ b > a. בכך בנינו מעין היררכיה בין אקסיומות ההפרדה. קטגוריה:טופולוגיה ja:分離公理

מרחב טופולוגי

בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.

הגדרה פורמלית

מרחב טופולוגי הוא קבוצה X יחד עם משפחה של תת קבוצות של X, שנקראת טופולוגיה על X, ומקיימת את שלושת התנאים הבאים: # הקבוצה הריקה ו-X שייכים לטופולוגיה. # איחוד של אוסף כלשהו של קבוצות מהטופולוגיה הוא קבוצה בטופולוגיה. # חיתוך של שתי קבוצות מהטופולוגיה הוא קבוצה מהטופולוגיה. הקבוצות השייכות לטופולוגיה ייקראו קבוצות פתוחות. קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא "קבוצה סגורה". אברי X יקראו "נקודות".

הערות

נשים לב כי כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, כאשר הקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי הן בדיוק הקבוצות הפתוחות של הטופולוגיה (ניתן להוכיח כי שלושת התנאים הנדרשים מהטופולוגיה מתקיימים עבור הקבוצות הפתוחות בכל מרחב מטרי). אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב X יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות מהאוסף ייקרא "בסיס". יתרונו של הבסיס בכך שהוא מכיל מספר מועט יחסית של קבוצות פתוחות שיותר קלות לתיאור, ובאמצעותו ניתן לתאר את כל הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי הם בסיס לטופולוגיה שלו. אוסף של קבוצות פתוחות ב-X כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס, ייקרא "תת בסיס". תת בסיס הוא קבוצה עוד יותר קטנה מבסיס, אך לעתים מספיק להראות שתכונה מתקיימת עבורו כדי שהיא תתקיים עבור המרחב כולו. יתר על כן, כל משפחה של קבוצות מהווה תת בסיס לטופולוגיה כלשהי, בזמן שלא כל משפחה של קבוצות מהווה בסיס. ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה. קטגוריה:טופולוגיה ja:位相空間 ko:위상공간 (수학)

קבוצה סגורה

category: טופולוגיה במתמטיקה, קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את השפה שלה, כלומר שכל הנקודות ש"צמודות לה" שייכות לה. זוהי המשמעות האינטואיטיבית ביותר של המושג, אך משמעותו האמיתית תלויה בהקשר המדוייק שבו משתמשים בו. דוגמא לקבוצה סגורה היא הקטע [0,1] שעל הישר הממשי. באנליזה, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה-n מימדי, קבוצה U היא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. הגדרה זו תקפה גם עבור מרחב מטרי כלשהו. ניתן גם להגדיר קבוצה סגורה בעזרת שימוש במושג הסגור: קבוצה סגורה היא קבוצה ששווה לסגור שלה. במרחב טופולוגי כללי לא קיים יותר מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות סגורות באמצעותו. תחת זאת בוחרים לרוב להגדיר קבוצה סגורה בתור קבוצה שהמשלים שלה הוא קבוצה פתוחה. נשים לב כי במרחבים מטריים כלליים העובדה שקבוצה שמשלימתה סגורה היא קבוצה פתוחה נכונה תמיד, והדבר בר הוכחה מתכונות המרחב, ולכן הגדרה זו מהווה הכללה של מושג הקבוצה הסגורה. ניתן גם להשתמש בקבוצה הסגורה בתור מושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב - עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות סגורות במובן המטרי) ומגדירים אותן "קבוצות סגורות". מהגדרה זו ינבעו כל הקבוצות הפתוחות שבמרחב, ועל כן דרך הגדרה זו אינה שונה מהגדרת טופולוגיה באמצעות קבוצות פתוחות.

מרחב רגולרי

בטופולוגיה, רגולריות ותכונת \ T_3 הן דוגמאות לתכונות הפרדה. מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי המפריד בין נקודות לבין קבוצות סגורות, באמצעות סביבות פתוחות. מרחב רגולרי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב \ T_3. מרחב טופולוגי הוא רגולרי, אם לכל קבוצה סגורה F ונקודה x שאיננה ב- F, קיימות קבוצות פתוחות וזרות, שאחת מהן מכילה את x והשניה את F. תכונה זו נקראת 'הפרדה בקבוצות פתוחות'. ניסוח אחר: לכל נקודה x וקבוצה פתוחה G במרחב, כך ש \ x \isin G, קיימת קבוצה פתוחה V כך ש \ x \isin V \subset \overline \subset G. כל מרחב \ T_3 הוא מרחב אוריסון (הקרוי גם מרחב \ T_), כלומר אפשר להפריד בו בין נקודות באמצעות סביבות סגורות וזרות. בפרט, מרחב כזה הוא מרחב האוסדורף (מרחב \ T_), שבו אפשר להפריד בין נקודות באמצעות סביבות פתוחות.

ראו גם


- אקסיומות ההפרדה
- מרחב רגולרי לחלוטין קטגוריה:טופולוגיה

הלמה של אוריסון

הלמה של אוריסון היא תוצאה בסיסית בטופולוגיה קבוצתית, שהוכחה על-ידי המתמטיקאי הרוסי-יהודי פול סמואלוביץ' אוריסון (Paul Samuilovich Urysohn), ממייסדי הענף. הלמה, אותה הוכיח אוריסון בתחילת שנות העשרים של המאה העשרים, נחשבת לפעמים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה בתחום. הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי, אפשר להפריד בין קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל שתי קבוצות סגורות וזרות A ו- B, קיימת פונקציה רציפה f מן המרחב כולו לקטע \ [0,1], כך ש- \ f(A) = 0 ו- \ f(B) = 1. הלמה אינה מבטיחה הפרדה מדוייקת בין הקבוצות - זוהי תכונה המאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם, ואינה מתקיימת בכל מרחב נורמלי. כל מרחב מטרי, וגם כל מרחב האוסדורף קומפקטי הם מרחבים נורמליים, וכך הלמה זוכה לשימושים רבים בטופולוגיה. אחד השימושים החשובים שלה הוא ההכללה הקרוייה משפט טיטצה.

מסקנות מן הלמה


- כל מרחב T4 הוא מרחב רגולרי לחלוטין (ראה אקסיומות ההפרדה).
- משפט אוריסון: מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השנייה הוא נורמלי ובפרט מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה עליו את הטופולוגיה הנתונה.

הוכחת הלמה של אוריסון

מטריקה

רעיון ההוכחה

בין A ל B בונים באופן אינדוקטיבי מעין טבעות בצל מקוננות, כאשר הטבעת שהיא A מתאימה לערך 0 והטבעת האחרונה, שמחוץ לה זה B מתאימה לערך 1. עבור נקודה שלא ב A ולא ב B הערך ניתן באמצעות האינדקס המינימלי של הטבעת שעדיין מכילה אותו.

בניית הבצל

יהיו A ו B סגורות וזרות. תהי \mathbb \cap [0,1] = \_^ מניה של המספרים הרציונליים בין 0 ל 1 (כולל). אנו נבנה סדרת קבוצות ("טבעות") \ \_ שמקיימות: # \ V_0 = A \ , \ V_1 = B^c. # לכל זוג רציונלים \ \overline \subset V_q \Leftarrow r < q. האפשרות לבנות כזאת קבוצה נובע מהנורמליות של המרחב, שכן לכל שתי קבוצות F פתוחה ו G סגורה כך ש \ F \subset G קיימת קבוצה פתוחה V כך ש \ F \subset V \subset \overline \subset G (אנו אומרים שבמקרה זה אפשר להשחיל "טבעת" בין קבוצה סגורה לקבוצה פתוחה המכילה אותה). הוכחת הבנייה עצמה נעשית באינדוקציה.

בניית פונקציית אוריסון

פונקציית אוריסון f מוגדרת באופן הבא:
- לכל \ x \in A, \ f(x)=0.
- לכל \ x \in V_1, נגדיר \ f(x) = \inf.
- לכל \ x \in B, \ f(x)=1. מכאן ברור ש \ A \subset f^(0) \ , \ B \subset f^(0) , נותר להוכיח ש f אכן רציפה.

הוכחה ש f רציפה

תהי W קבוצה פתוחה בקטע [0,1]. מתכונות של רציפות טופולוגית מספיק להוכיח שכל הקבוצות מהצורה \ f^[0,t) ו \ f^(t,1] הן פתוחה ב X. :ראשית, \ x \in f^[0,t) אם ורק אם \ f(x) < t (הרציפות של f בנקודה t=1 ברורה מעצם הבניה). כעת, \ \inf < t אם ורק אם לכל r\ x \in V_r. :לכן \ f^[0,t) = \bigcup_ וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות. :שנית, \ x \in f^(t,1] אם ורק אם \ t < f(x). כעת, \ \inf > t אם ורק אם קיים t\ \forall q \le r : x \notin \overline אך בגלל ההכלה של "טבעות" הבצל מספיק קיום קבוצה אחת כזאת. :לכן \ f^(t,1] = \bigcup_ וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות. מכאן נובע ש f פונקציה רציפה. בכך הושלמה ההוכחה.

ראו גם


- מרחב רגולרי לחלוטין.
- מרחב נורמלי
- משפט אוריסון
- משפט טיטצה קטגוריה:טופולוגיה

מרחב טיכונוף

בטופולוגיה, מרחב רגולרי לחלוטין ומרחב טיכונוף הם מרחבים טופולוגיים המקיימים תכונות הפרדה מסויימות. מרחב רגולרי לחלוטין הוא מרחב שבו אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה באמצעות פונקציה רציפה. מרחב רגולרי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב טיכונוף, או מרחב \ T_. מרחב טופולוגי X הוא רגולרי לחלוטין, אם לכל קבוצה סגורה F ונקודה x שאיננה ב- F, קיימת פונקציה רציפה \ f: X \rightarrow \mathbb, כך ש- \ f(F)=0 ו- \ f(x)=1. הפרדה כזו נקראת 'הפרדה באמצעות פונקציה רציפה'. במקרה כזה ברור שאפשר להפריד בין F ו- x גם באמצעות קבוצות פתוחות, ולכן מרחב רגולרי לחלוטין הוא בפרט מרחב רגולרי. מאותה סיבה, כל מרחב \ T_ הוא בפרט מרחב T3. בנוסף לזה, מרחב \ T_ הוא גם מרחב האוסדורף לחלוטין, שבו אפשר להפריד נקודות באמצעות פונקציות רציפות, ולכן גם מרחב האוסדורף.

ראו גם


- אקסיומות ההפרדה קטגוריה:טופולוגיה

מרחב האוסדורף

בטופולוגיה, מרחב האוסדורף או מרחב T_2 הוא מרחב טופולוגי שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות. בצורה פורמלית, מרחב טופולוגי יקרא האוסדורף אם ורק אם לכל שתי נקודות כלשהן של המרחב, קיימות לשתי הנקודות הללו סביבות פתוחות וזרות.

התכנסות במרחבי האסודורף

מרחבים שאינם האוסדורף מתנהגים בצורה שונה מרוב המרחבים הסטנדרטיים. למשל, במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מאשר גבול אחד. נדגים זאת, ונוכיח שאם המרחב הוא האוסדורף, לסדרה יש לכל היותר גבול יחיד. יהא \!\, X מרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה הקו-סופית, כלומר הטופולוגיה בה כל הקבוצות הפתוחות הן הקבוצות שמשלימותיהן סופיות. תהא \!\, x_n סדרה שכל איבריה שונים זה מזה, ותהא \!\, x נקודה כלשהי במרחב. כל סביבה פתוחה של \!\, x היא קבוצה שמשלימתה סופית, כלומר כל אברי המרחב פרט אולי למספר סופי נמצאים בה, כלומר כל אברי הסדרה \!\, x_n פרט אולי למספר סופי נמצאים בה, כלומר כמעט כל אברי \!\, x_n נמצאים בה (כי מספרם של האיברים השונים זה מזה בסדרה הוא אינסופי). על כן, \!\, x_n\rarr x וזאת לכל \!\, x\isin X. הראינו את התוצאה הלא אינטואיטיבית לפיה במרחב \!\, X קיימת סדרה שמתכנסת לכל אחד מאברי המרחב. כעת נוכיח כי אם מרחב \!\, X כלשהו הוא האוסדורף, לסדרה מתכנסת כלשהי \!\, x_n יש גבול יחיד. נניח בשלילה שיש לסדרה שני גבולות: \!\, x_n\rarr a,x_n\rarr b . כעת, מכיוון שהמרחב הוא האוסדורף, קיימות קבוצות פתוחות \!\, U,V כך ש\!\, a\isin U ,b\isin V ומתקיים \!\, U\cap V=\emptyset. כעת, קבוצות פתוחות אלו מהוות סביבות של הנקודות \!\, a,b ולכן על פי הגדרת ההתכנסות, כמעט כל אברי הסדרה \!\, x_n שייכים הן ל-\!\, U והן ל-\!\, V, ומאחר שקבוצות אלו זרות, הגענו לסתירה - לא ייתכן שהחל ממקום מסויים, כל אברי הסדרה יהיו שייכים בו זמנית לשתי קבוצות זרות. מכאן שיש לסדרה גבול יחיד. קטגוריה:טופולוגיה ja:ハウスドルフ空間 ko:하우스도르프 공간

קומפקטיות

בטופולוגיה, מושג הקומפקטיות נועד להכליל את התכונות הטובות של קטעים סגורים וחסומים על הישר הממשי, כדוגמת הקטע \ [0,1]=\. כדי להגדיר את המושג 'קטע' נזקקים ליחס הסדר או המטריקה של הישר הממשי. ההכללה מתאפשרת בזכות העובדה שקומפקטיות מוגדרת במונחים של קבוצות פתוחות, וההגדרה תקפה בכל מרחב טופולוגי (ובפרט בכל מרחב מטרי). קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שהמשפטים החשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ווירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית. במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים \ \mathbb^n, גם ההיפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.

כיסויים וקומפקטיות

כיסוי פתוח של קבוצה K במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה K מוכלת באיחוד שלהן. במלים אחרות, כל נקודה של K שייכת לאחת הקבוצות באוסף. אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה K, הוא נקרא תת כיסוי. קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת כיסוי סופי. לדוגמא, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.

תכונות קרובות

אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר. קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי סופי שלה יש תת כיסוי בן מניה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת כיסוי סופי. כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה, וגם להיפך. בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות פתוחות מקיים את תכונת החיתוכים הסופיים (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק. בספרים אחדים מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג.

קומפקטיות סדרתית

אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת. קבוצה המקיימת תכונה זו נקראת קבוצה קומפקטית סדרתית. במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות במונחי הכיסויים הפתוחים, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן גוררות זו את זו בהכרח. העובדה שלכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת מבטיחה שמרחב מטרי קומפקטי הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).

תכונות של קבוצות קומפקטיות


- במרחב האוסדורף, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה. ::הוכחה. תהי K קבוצה קומפקטית ותהי a נקודה מחוץ ל- K. מספיק להראות שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את a וזרה ל- K. תכונת ההפרדה T_2 מבטיחה שלכל נקודה x\in K קיימות קבוצות פתוחות זרות \ U_x ו- \ V_x, כך ש- \ x\in U_x ו- \ a\in V_x. האוסף \ \ מהווה כמובן כיסוי פתוח של K, ולפי הקומפקטיות יש לו תת כיסוי סופי \ U_,\dots,U_. החיתוך \ V_\cap V_\cap \dots \cap V_ הוא קבוצה פתוחה המכילה את a וזרה ל- K.
- במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא חסומה, ואפילו חסומה כליל. ::הוכחה. נבחר נקודה \ x_0 כלשהי, אז הכדורים הפתוחים \ B(x_0,n) מהווים כיסוי פתוח של הקבוצה, שיש לו תת כיסוי סופי.
- מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם הוא שלם וחסום כליל.
- מרחק מטרי קומפקטי הוא ספרבילי.
- תת-קבוצה סגורה של מרחב קומפקטי היא קומפקטית.
- מרחב שהוא קומפקטי והאוסדורף הוא גם מרחב נורמלי.
- משפט טיכונוף אומר כי מרחב מכפלה הוא קומפקטי אם ורק אם כל רכיביו קומפקטיים.

קומפקטיות ופונקציות רציפות

המשפט היסודי בעניין זה הוא:
- תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית. כלומר, אם \ X,Y מרחבים טופולוגיים ו- \ f:X\rightarrow Y פונקציה רציפה, ו- \ K \subseteq X קומפקטית, אז \ f(K) קומפקטית. ההוכחה קלה מאד: אם \ \ כיסוי פתוח של \ f(K), אז \ \ כיסוי פתוח של K, ולכן יש לו תת כיסוי סופי, שתמונתו תחת \ f היא תת כיסוי סופי של \ f(K). בפרט, פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית היא בעלת תמונה סגורה וחסומה, ומכאן נובעים מיד שני משפטי וויירשטראס בנוסחם הכללי:
- פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם את המקסימום שלה. ההכללה של משפט קנטור למרחבים מטריים קובעת כי:
- פונקציה רציפה במרחב מטרי קומפקטי, היא רציפה במידה שווה. קטגוריה:טופולוגיה

משפט אוריסון

בטופולוגיה, מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים, כמעט בכל היבט של התאוריה. משפט אוריסון, הידוע גם כמשפט המטריזביליזציה, אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים:
- כל מרחב T3 המקיים את אקסיומת המניה השניה הוא מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הנתונה של המרחב, ולכן המרחב הוא מבחינה מעשית מרחב מטרי ספרבילי. באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השניה הוא מרחב סמי-מטרי. מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מניה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות \ \ell_2, ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

הוכחה

סכמת ההוכחה

# בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המניה השניה הוא מרחב T4. # בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המניה השניה הוא מטריזבילי. עושים זאת ע"י שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי \ \ell_2 (זהו מרחב הילברט), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון. # מוכיחים שפונקצית השיכון היא רציפה ופתוחה.

בניית השיכון

המרחב שלנו מקיים את תכונת המניה השניה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מניה. כל נקודה \ x במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס, \ x \in B_i. בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס \ B_j כך ש \ x \in B_j \subset \overline \subset B_i. לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון \ f_ : X \to [0,1] כך ש \ f_(\overline) = 0 ו \ f_((B_i)^c) = 1 . את הפונקציות \ f_ אפשר לסדר, ולסמן \ \_^, לשם הפשטות. כעת נגדיר \ G : X \to \ell_2 באמצעות הנוסחה \ \forall x \in X : G(x) = \left( \frac , \frac , \cdots , \frac , \cdots \right) . פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש.

בדיקות לגבי G

נותר להוכיח ש: # הפונקציה G מוגדרת היטב. # הפונקציה G היא חח"ע. # הפונקציה G רציפה. # הפונקציה G פתוחה. 1) הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x, : \ \| G(x) \| = \sum_^ < \sum_^ = \frac < \infty (כי הטווח של gn הוא [0,1] כפונקציית אוריסון), ולכן \ \forall x \in X \ : \ G(x) \in l_2. מכאן ש G מוגדרת היטב. 2) הפונקציה G היא חח"ע כי אם \ x \ne y אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש \ x \in B_j \ , \ y \in B_i (כי מרחב רגולרי או נורמלי הוא בפרט מרחב האוסדורף) ולכן \ x \in B_j \subset \overline \subset (B_i)^c. עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון \ g_n = f_ij שעבורה בבירור מתקיים ש \ g(x) = 0 \ , \ g(y) = 1. לכן, : \ \| G(x) - G(y) \| \ge \frac > 0 כלומר, \ G(x) \ne G(y) ולכן G חח"ע. 3) נוכיח ש G רציפה. תהי \ \| G(x) - G(x_0) \| < \varepsilon קבוצה פתוחה בטווח. נמצא קבוצה פתוחה V ב X שעבור כל איבר בה השוויון יתקיים. ניקח n מספיק גדול כך ש \sum_^ < 0.5 \varepsilon . כמו כן, לכל רכיב k=1,..,n נדרוש ש \ | g_k(x) - g_k(x_0) | < \frac \varepsilon . מאחר ש gk רציפות, קיימות סביבות Vk שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת. נגדיר \ V = V_1 \cap \cdots \cap V_n (זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו. לכן: : \ \forall x \in V \ : \ \| G(x) - G(x_0) \| \le | \sum_^ + \sum_^ < : \ < \sum_^ + \frac < \sum_^ < \varepsilon ומכאן G רציפה.

השריית המטריקה

נשים לב ש \ \mboxG \subset l_2 הוא מרחב מטרי (יתרה מכך, הוא מרחב נורמי) ולכן, נשרה מטריקה על X באופן הבא: ::: \ d(x,y) = \| G(x) - G(y) \|_ ובכך הוכחנו ש X מטריזבילי.

ראו גם


- פונקציית אוריסון
- מרחב רגולרי
- מרחב נורמלי
- מרחב מטרי קטגוריה:טופולוגיה אוריסון, משפט

מטריקה

בטופולוגיה, מושג המטריקה בא להכליל את מושג המרחק על קבוצה כלשהי. מטריקה היא פונקציה שמתאימה לכל זוג מאברי הקבוצה מספר ממשי, המסמל את המרחק בין שני האיברים.

הגדרה פורמלית

תהא S קבוצה כלשהי. פונקציה d:S\times S \rarr \mathbb תיקרא מטריקה כאשר היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות עבור כל x,y,z\isin S:
- d(x,y)\ge 0 ומתקיים \!\, d(x,y)=0 אם ורק אם \!\, x=y
- d\left(x,y\right) = d(y,x)
- d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z) (אי שוויון המשולש). הקבוצה S יחד עם הפונקציה d נקראת מרחב מטרי. אם מחליפים את אי שוויון המשולש בדרישה החזקה יותר ש- d(x,z) \le max\, המטריקה נקראת 'מטריקה לא ארכימדית'. מטריקה כזו היא בעלת התכונה המוזרה, שכל משולש הוא שווה שוקיים.

המטריקה כהכללה של מושג המרחק

שלוש התכונות הנדרשות מהמטריקה הן הכללה של מושג המרחק המוכר לנו מהמרחב האוקלידי:
- התכונה הראשונה דורשת כי המרחק בין כל שתי נקודות הוא חיובי, וכי אם המרחק בין שתי נקודות הוא אפס, שתיהן הן אותה נקודה.
- התכונה השנייה דורשת כי המרחק בין שתי נקודות אינו תלוי בשאלה איזו היא נקודת "ההתחלה" ואיזו נקודת "הסיום", כך שניתן לדבר על "המרחק בין הנקודות".
- התכונה השלישית היא הכללה של אי שוויון המשולש, ואומרת כי המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא במסלול הישיר בין שתיהן, והליכה לנקודות ביניים יכולה רק להאריך את המסלול, לא לקצר אותו. דוגמאות:
- המטריקה הדיסקרטית: אם x = y אז d(x,y) = 0, אחרת d(x,y) = 1.
- מטריקה על קבוצת כל המילים בנות ארבע אותיות שנמצאות במילון: המטריקה היא מספר הצעדים המזערי שיש לבצע כדי לעבור ממלה x למלה y, כשצעד מוגדר כהחלפה של אות אחת, כך שמתקבלת מלה שנמצאת אף היא במילון.
- מטריקה בין חיילים: מספר הצעדים המזערי שנחוץ כדי להעביר מסר מחייל x לחייל y, כשצעד מותר הוא העברת מסר מחייל למפקדו או ממפקד לחייל הנתון לפקודתו. לעומת זאת, המרחק בין שתי נקודות במפה על-פי אורך הכבישים המקשרים ביניהן אינו מטריקה, עקב קיומם של כבישים חד סיטריים, שגורמים למצבים שבהם d\left(x,y\right) \ne d(y,x).

שקילות מטריקות

שתי מטריקות על אותה קבוצה ייקראו שקולות אם הן מגדירות את אותה טופולוגיה. ניתן להראות ששתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל כדור פתוח סביב נקודה x ביחס למטריקה הראשונה, מכיל כדור פתוח סביב x ביחס למטריקה השניה.

הטנזור המטרי

בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה על יריעות המונח "מטריקה" משמש כדי לציין את הטנזור המטרי המוגדר מעל יריעה חלקה M, זהו שדה טנזורי המתאים לכל נקודה במרחב טנזור. הטנזור הזה מייצג בעצם את המטריקה הלוקלית של מרחק אינפיניטסימלי בין שתי נקודת במרחק של הנקודה. כלומר, אלמנט האורך האיפיניטסימלי נתון על ידי : \ ds^2 (k) = \sum_ \sum_ g_ (k) dx^\mu dx^\nu כאשר \ \mu , \nu רצים על האינדקסים של וקטורי הבסיס בנקודה a. כדי לקבל את המרחק בין שתי נקודת כלשהן, a ו b, יש לבצע אינטגרציה על אלמנט האורך האינפיניטסימלי. כלומר, אנו מגדירים מטריקה חדשה על ידי : \ d( a , b) = \int_^ = \int_^ = \int_^ כאשר k הוא פרמטר של עקומה גיאודזית \ \gamma : \mathbb \to M המחברת בין a ל b ואת \ g_ (k) יש לפרש כטנזור המטרי בנקודה \ \gamma (k) והאינטגרציה מתבצעת כאינטגרל מסלולי לאורך עקומה זו. קטגוריה:טופולוגיה

מרחב נורמלי לחלוטין

בטופולוגיה, מרחב נורמלי לחלוטין ומרחב \ T_5 הם סוגים של מרחבים טופולוגיים המקיים תכונות הפרדה חזקות במיוחד.

הגדרות

קבוצות A ו- B במרחב טופולוגי הן קבוצות מופרדות, אם כל אחת מהן זרה לסגור של הקבוצה השניה. במקרה כזה, לכל נקודה ב- A יש סביבה זרה ל- B, ולהיפך. קבוצות מופרדות חייבות להיות זרות; אם שתי קבוצות סגורות הן זרות, אז הן גם מופרדות. למרות החזרה על אותו שורש, אין
- מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי לחלוטין, אם אפשר להפריד בו קבוצות מופרדות באמצעות סביבות פתוחות; כלומר: לכל שתי קבוצות מופרדות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות U ו- V המכילות את A ואת B, בהתאמה.
- מרחב נורמלי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב \ T_5. במרחב שבו אפשר להפריד קבוצות מופרדות, בוודאי אפשר להפריד קבוצות סגורות וזרות. לכן כל מרחב נורמלי לחלוטין הוא בפרט מרחב נורמלי. מאותה סיבה, כל מרחב \ T_5 הוא מרחב T4.

תכונות נוספות

התכונה החשובה ביותר של מרחבים נורמליים לחלוטין היא שלא רק הם עצמם נורמליים, אלא גם כל תת-מרחב שלהם (ביחס לטופולוגיה המושרית). תכונה זו שקולה לכך שהמרחב נורמלי לחלוטין. מסיבה זו מרחב נורמלי לחלוטין נקרא גם מרחב נורמלי תורשתית. כל מרחב נורמלי באופן מושלם הוא בפרט נורמלי לחלוטין, ובאופן דומה גם כל מרחב T6 הוא מרחב \ T_5. בפרט, כל מרחב מטרי הוא מרחב \ T_5. ההוכחה לכך שמרחב נורמלי באופן מושלם הוא נורמלי לחלוטין אינה מיידית, ולכן אנחנו כוללים כאן הוכחה ישירה וקלה לכך שבמרחב מטרי אפשר להפריד בסביבות פתוחות כל שתי קבוצות מופרדות. יהי X מרחב מטרי עם המטריקה d. נתונות שתי קבוצות מופרדות A ו- B (שאינן בהכרח סגורות). נסמן ב- \ d_A(x)=\inf_d(a,x) את פונקצית ה'מרחק מ-A', ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה \ d_B. מכיוון שרק לנקודות בסגור של A יש מרחק 0 מ-A, כל נקודה של B היא בעלת מרחק חיובי מ- A, ולהיפך. נסמן ב- \ U_A את איחוד הכדורים ברדיוס \ d_B(a)/2 סביב a, לכל הנקודות \ a\in A; זו כמובן קבוצה פתוחה המכילה את A. באופן דומה נבנה את \ U_B. כדי להווכח ש- \ U_A ו- \ U_B זרות, די לבדוק שהדבר נכון לכל זוג של כדורים המרכיבים קבוצות אלה. אבל לכל \ a\in A, \, b\in B מתקיים \ d_A(b),d_B(a)\leq d(a,b), ולכן \ \fracd_A(b)+\fracd_B(a)\leq d(a,b). יש לציין שכאשר מדובר בקבוצות מופרדות, הפרדה באמצעות סביבות פתוחות היא ההפרדה החזקה ביותר שלה אפשר לצפות. בערך על אקסיומות ההפרדה אנו מונים ארבע רמות הפרדה, שההפרדה בקבוצות פתוחות היא הנמוכה מביניהן. ברמה הבאה דורשים הפרדה באמצעות סביבות סגורות, אלא שזה בלתי אפשרי אפילו במרחבים מטריים. לדוגמא, הקטעים \ (0,1) ו- \ (1,2) הם קבוצות מופרדות, שלא ניתן להפריד בסביבות סגורות (ובוודאי לא בפונקציה רציפה).

ראו גם


- אקסיומות ההפרדה
- מרחב נורמלי באופן מושלם
- מרחב נורמלי קטגוריה:טופולוגיה

קטגוריה:טופולוגיה

קטגוריה:מתמטיקה

Masculists

: masculism

hotel madrid hoteles en Praga mieszne zdjcia albergue en madrid alkomaty










































:: RELATED NEWS ::
Janusz Kochański
Janusz Kochański (ur. 17 czerwca 1930 roku), podpułkownik, oficer polskiego wywiadu (MBP/KdsBP/MSW), współpracował z Centralną Agencją Wywiadowczą



Root mean square
Średnią kwadratową n liczb nieujemnych a_1, a_2, ..., a_n nazywamy liczbę
\sqrt.
Na przykład średnią kwadratową liczb 2, 2, 5 i 7 jest
\sqrt \approx 4.53.
Jeżeli f(t) jest funkcją o wartościach nieujemnych określoną w przedziale określoną dla T_1, jej średnią kwadratową obliczamy według wzoru:
x_ = \sqrt
Zobacz też:
-