:: wikimiki.org ::

Ellipse

Ellipse

En ellipse er en plan kurve. Den kan populært sagt beskrives som en cirkel der er blevet "mast flad". Mere præcist er den det geometriske sted for de punkter, hvorfra summen af afstandene til to såkaldte brændpunkter er konstant. Ellipsen er et af de fire såkaldte keglesnit: Hvis man skærer en kegle med en plan i en vis skrå vinkel, bliver skæringskurven en ellipse. Ophavsmanden til betegnelsen ellipse er Apollonius.

Linjer og punkter i og omkring en ellipse

Apollonius Visse linjer og punkter spiller en særlig rolle for ellipsen, og har således fået entydige navne: # Brændpunkter: Disse kan siges at være for ellipsen, hvad centrum er for en cirkel. # Brændstråler: Linjer fra brændpunkterne (1) til et vilkårligt punkt på ellipsen. Uanset hvilket punkt på ellipsen man vælger, vil summen af brændstrålernes længder være lig med storaksens (5) længde. # Lilleaksen: Spænder over ellipsen midt mellem brændpunkterne, vinkelret på storaksen. # Parameter: Det linjestykke der skærer storaksen (5) vinkelret gennem et af brændpunkterne (1), og afgrænses af ellipsekurven. # Storaksen: Spænder over ellipsen på det sted hvor den er bredest, og afgrænses af de to toppunkter (7) # Tangent: En linje der netop berører ellipsen i ét punkt. Tangenten halverer den udvendige vinkel mellem brændstrålerne i tangentens røringspunkt. # Toppunkter: Markerer enderne af storaksen, samt de punkter på ellipsen hvor krumningen er størst.

Ligninger og beregninger for en ellipse

I beregninger og ligninger vedrørende ellipser bruger man ofte tallene

a

b

for hhv. halvdelen af storaksens og lilleaksens længde. Således gælder bl.a. at ellipsens areal

A

er givet ved:

A = \pi \cdot a \cdot b

Længden

p

af parameteren (nr. 4 på tegningen) er givet ved:

p = 2 \cdot \frac

Excentricitet

For enhver ellipse kan man fastslå en størrelse

e

kaldet ellipsens brændvidde eller excentricitet: Den er lig med afstanden mellem brændpunkterne divideret med hele storaksens længde. Denne excentricitet er for en ellipse altid mellem 0 og 1, hvor 0 svarer til en cirkel, mens værdier nær ved 1 svarer til meget smalle og langstrakte ellipser. Man kan også beregne excentriciteten ud fra den halve stor- og lilleakse som:

e = \sqrt

Ellipser i et koordinatsystem

Hvis en ellipse indtegnes i et koordinatsystem sådan at ellipsens akser er parallelle med koordinatsystemets akser, kan man opstille ligninger der tilfredsstilles af koordinaterne til punkter

(x,y)

på ellipsekurven: Hvis ellipseakserne falder sammen med koordinatsystemets akser gælder:

\frac + \frac = 1

hvor

a

b

er halvdelen af hhv. stor- og lilleaksens længde. Man kan beskrive samme ellipse ud fra den halve storakse

a

og excentriciteten

e

som:

y^2 = (1-e^2) \cdot (a^2-x^2)

For en ellipse hvis akser er parallelle med koordinatsystemets akser, men hvor ellipseakserne skærer hinanden i et punkt

(x_0,y_0)

, gælder:

\frac + \frac = 1

De fire konstanter for en ellpse (den halve storakses længde

a

, den halve lilleakses længde

a

, excentriciteten

e

og parameterens længde

p

) kan sammenfattes i ellipsens såkaldte konstantligning:

1 - e^2 = \frac = \frac

Ellipsen i fysikken

Hvis man forestiller sig at indersiden af ellipsekurven er en spejlblank overflade, og anbringer en lyskilde i det ene brændpunkt, så vil alle lysstråler fra kilden blive kastet tilbage mod det andet brændpunkt. Og eftersom ellipser er de eneste geometriske kurver der har denne egenskab, kan denne beskrivelse bruges som en alternativ definition på hvad en ellipse er. Denne egenskab bruges i det aparat, som bruges til fjernelse af nyresten. Der er en ultralydskilde i en ellipsoides ene brændpunkt, og afstanden justeres, så nyrestenen er i det andet. Den koncentrerede ultralyd knuser nyrestenen. Johannes Kepler opdagede at himmellegemer i lukkede kredsløb om hinanden følger ellipseformede baner - dette er den første af Keplers tre love. Se også Himmelmekanik. Kategori:Geometri ja:楕円 ko:타원

Cirkel

En Cirkel er en geometrisk figur i en (todimensional) plan. Matematisk omtales en cirkel som det geometriske sted for de (uendeligt mange) punkter som har en bestemt, konstant afstand r fra et punkt kaldet cirklens centrum. Afstanden r kaldes for cirklens radius, og den kurve som punkterne i denne afstand danner, er cirklens periferi.

Linjer i og omkring en cirkel

periferi Visse rette linjer og linjestykker spiller en særlig rolle for cirklen, og har følgelig fået entydige navne. # Bue: Et stykke af periferien (9), afgrænset af to punkter langs denne. # Centervinkel: En vinkel med toppunkt i cirklens centrum (4), som afgrænser en bue (1) langs cirklens periferi (9). # Centraltrekant: En ligebenet trekant, der dannes af en korde (8) mellem to punkter på periferien (9), samt radierne (10) i de to perifieripunkter. # Centrum: Punktet der populært sagt "markerer midten" af cirklen: Ethvert punkt på periferien (9) har radius' afstand til dette punkt. # Cirkelafsnit: Arealet mellem buen (1) og en korde (8) eller sekant (11) mellem to punkter langs periferien (9). # Cirkeludsnit (eller sektor): Arealet mellem benene på en centervinkel (2) samt den bue (1) den afgrænser. # Diameter: En ret linje der går igennem centrum (4) og to punkter på periferien (9). Ordet "diameter" bruges også om længden af dette linjestykke, som altid er dobbelt så lang som cirklens radius. # Korde: et linjestykke mellem to punkter på periferien (9). En diameter (7) kan beskrives som en korde der går igennem centrum (4) # Periferi: En kurve bestående af samtlige punkter der har radius' afstand til centrum (4). Længden af denne kurve, målt fra et punkt og én gang rundt om cirklen, kaldes for cirklens omkreds. # Radier: Rette linjer fra centrum til et vilkårligt punkt på periferien (9). Er halvt så lange som samme cirkels diameter. # Sekant: En linje der skærer cirklen i to punkter på periferien. Forskellen mellem en sekant og en korde (8) er at mens korden ender i de to periferipunkter, er en sekant "forlænget" ud over disse punkter. # Tangent: En linje der netop rører cirklens periferi (9) i ét punkt, og danner en ret vinkel med radien i dette punkt. En tangent kan betragtes som det "grænsetilfælde" blandt sekanter (11) hvor de to periferipunkter er "løbet sammen" til ét punkt.

Cirklen og tallet π ("pi")

Man har længe vidst at der består et helt konstant forhold mellem omkredsen af og diameteren i enhver cirkel: Dette forhold er et irrationalt tal, og omtales helt kort med det græske bogstav π.
Hvis omkredsen (længden af én "tur" rundt langs periferien) kaldes for O og diameteren for d, så gælder at:
O = π · d.
Eftersom længden r af en radius er halvt så lang som en diameter i samme cirkel, dvs. d = 2 · r, kan omkredsen også beregnes som:
O = 2 · π · r Tallet π indgår også i beregningen af cirklens areal A, idet:
A = π · r²

Cirklens ligning

Hvis man indtegner en cirkel hvis radius har længden r i et koordinatsystem med centrum i punktet (x₀,y₀), kan man opstille en ligning som tilfredsstilles af koordinatsættene (x,y) for de punkter der ligger på cirkelperiferien:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
Beviset for denne påstand kommer af man kan konstruere en retvinklet trekant som har en radie som sin hypotenuse, og beregne denne hypotenuses/radies længde ved hjælp af Pythagoras læresætning - og alle radier har pr. definition samme længde. Hvis ligningen efterfølgende er blevet ordnet (så led af højeste grad står først), kan det være svært at genkende ovenstående ligning, men der er dog kendetegn for ligninger der tilfredsstilles af punkter på en bestemt cirkelperiferi:
- Det er en andengradsligning med to ubekendte, typisk x og y.
- De to ubekendte forekommer hver i sær i anden potens, dvs. der forekommer led med hhv. (tal)·x² og (tal)·y² - (tal) er vel at mærke det samme for begge led (denne fælles koefficient er kvadratet på cirklens radius, dvs. r²).
- Der er ikke noget led med en faktor gange x·y. Sammen med betingelser såsom "tangenter står altid vinkelret på en radius" kan man bruge ligningen for en cirkel til at fastlægge ligninger for tangenter, afgøre om en linje (beskrevet ved en ligning) er en sekant eller tangent til cirklen, og flere andre ting.

Se også

- Ellipse
- Kugle
- Kvadrat Kategori:Geometri Kategori:DK5 51.5 ja:円 (数学) simple:Circle

Keglesnit

Et keglesnit er den geometriske kurve der fremkommer hvis man skærer en kegle igennem med et plant snit. Der er fire muligheder, nemlig:
- Cirkel,
- Ellipse,
- Parabel og
- Hyperbel Disse fire kurver betragtes derfor som en "klasse for sig". Ikke kun indenfor geometrien, men også i himmelmekanikken spiller netop disse fire kurver en særlig rolle.

De fire keglesnit

På illustrationerne herunder ses nogle grønne kegler med deres akse markeret som en sort, stiplet linje. De gennemskæres af det blå, skakternede plan i forskellige vinkler, og danner derved snitflader i keglen, markeret med en rød streg:

Cirkel	Ellipse	Parabel	Hyperbel
Billede:Cirkel_som_keglesnit.jpg	Billede:Ellipse_som_keglesnit.jpg	Billede:Parabel_som_keglesnit.jpg	Billede:Hyperbel_som_keglesnit.jpg

Som det ses, afhænger faconen af snitfladen med den vinkel snitplanet har i forhold til keglens akse:
- For at få en cirkelrund snitflade, skal snitplanet stå vinkelret på keglens akse.
- Er vinklen mellem snitplanet og keglens akse mindre end 90°, men større end den vinkel keglens såkaldte frembringer danner med aksen, bliver resultatet en ellipse.
- Hvis snitplanet danner samme vinkel med aksen som keglens frembringer, får snitfladen facon som en parabel.
- Bliver snitfladens vinkel med aksen mindre end frembringerens, får man en hyperbel.

Kugle-reglen

Hver af de fire keglesnit her et eller to brændpunkter, om end cirklens "brændpunkt" normalt omtales som dens centrum. Hvis man lægger en kugle i et kegle-formet "bæger", og derefter som snitplan vælger et tangentplan til kuglen, så vil kuglens røringspunkt med snitplanet netop være keglesnittets brændpunkt (eller, for ellipsens og hyperblens vedkommende: det ene af dem). Kategori:Geometri ja:円錐曲線

Kegle

En kegle kan være betyde flere ting:
- En matematisk figur.
- En plastikgenstand der benyttes til afmærkning.
- Slang for en klodset person.

Ligning

En matematisk ligning er et udtryk som fastslår at to udtryk (ofte kaldet hhv. venstre og højre side af ligningen) er lige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Almindeligvis indgår én eller flere ubekendte talstørrelser, repræsenteret ved et bogstav (ofte x). Et eksempel på en ligning er:
:

2 \cdot x=4

Som alle andre ligninger løses den ovenstående ved at isolere den ubekendte størrelse x under brug af bestemte regneregler for ligninger: Derved bliver der populært sagt "flyttet rundt" på ligningen, så der ender med at stå, i dette tilfælde: :

x = \frac

Er der kun en enkelt ubekendt, ender man med den isolerede størrelse (her x) på den ene side af lighedstegnet, og et større eller mindre "regnestykke" med lutter kendte talstørrelser på den anden: Svaret på dette regnestykke er det tal der får de to udtryk i den oprindelige ligning til at være lig med hinanden, og det fundne tal for x siges at tilfredsstille ligningen. Når man har fundet frem til at x er lig med et bestemt tal, kan man kontrollere den fundne løsning ved at erstatte alle forekomster af x i den oprindelige ligning: Dette giver to regneudtryk med lutter tal, hvis resultater skal være ens ifølge lighedstegnet imellem dem. Generelt inddeler man ligninger i tre forskellige "hovedkategorier":
- Identiteter (eller formler) er regneudtryk der "altid" er sande, uanset talværdien af de(n) ubestemte størrelse(r). Eksemplet på dette er den såkaldte "idiotformel": cos²x + sin²x = 1
- Absurditeter, som er ligninger hvor de to sider aldrig kan blive lige store, f.eks. x = x + 1
- Bestemmelsesligninger, som er ligninger der tilfredsstilles af visse talværdier (én eller flere - gerne uendeligt mange, som det er tilfældet med bl.a. trigonometriske ligninger), men ikke alle. Uafhængigt af ovenstående kategorier kan en ligning også klassificeres efter de regneoperationer den involverer, og dermed hvordan ligningen (for bestemmelsesligningernes vedkommende) skal løses: :Andengradsligning :Tredjegradsligning :Ligning af højere grad :Eksponentiel ligning :Trigonometrisk ligning :Differentialligning :Differentialligning af højere orden :Integralligning :Diofantisk ligning med flere...

Se også

- Ulighed Kategori:Ligninger ja:方程式 ko:방정식 simple:Equation

Johannes Kepler

Johannes Kepler (27. december 1571 til 15. november 1630) var en tysk astronom og matematiker. Tycho Brahes elev og assistent på Ven og i Prag. Prag På grundlag af Tychos nøjagtige observationer af planeten Mars formulerede Kepler tre love for planetbevægelser, som i dag kendes som Keplers love. De var den første matematiske beskrivelse af himmelmekanik, og dannede sidenhen grundlag for Newtons tyngdelov. Kategori:Renæssance Kepler, Johannes Kepler, Johannes Kepler, Johannes als:Johannes Kepler ja:ヨハネス・ケプラー ko:요하네스 케플러

Himmellegeme

Et himmellegeme er benævnelsen for et objekt i rummet; f.eks.:
- Drabant
- Galakser
- Ildkugle
- Kometer
- Meteorer
- Månen
- Neutronstjerner
- Planeter
- Satellitter
- Solen
- Stjernehobe
- Stjerner
- Stjernetåger

Se også

- aberration Kategori:Astronomi ja:天体 ko:천체 th:วัตถุท้องฟ้า

Keplers love

Keplers love er tre love, fremsat af den tyske astronom Johannes Kepler, baseret hovedsagelig på Tycho Brahes omfattende og nøjagtige observationer af planeten Mars. Lovene beskriver hvordan planeterne i Solsystemet bevæger sig i deres baner omkring Solen. De tre love lyder:
- Alle planeter følger baner med facon som en ellipse, med Solen i det ene af ellipsens to brændpunkter.
- Indenfor to vilkårlige, men lige lange tidsrum, vil linjen mellem Solen og en planet altid passere et konstant areal
- Hvis en planet følger en ellipseformet bane, hvis halve storakse har længden a, så vil kvadratet på planetens omløbstid t være proportional med a³, altså a³ = k · t², hvor k er en konstant der er fælles for alle planeter indenfor samme solsystem. Med Isaac Newtons matematik og den klassiske mekaniks formler har man sidenhen kunnet "præcisere" formlen i den sidste keplerske lov til:

a^3 = \frac \cdot t^2

hvor G er den universelle gravitationskonstant, og M er Solens masse. Kategori:Himmelmekanik ko:케플러 법칙 ja:ケプラーの法則

Himmelmekanik

Himmelmekanik, eller celest mekanik, er en disciplin under den klassiske mekanik, som formelt beskæftiger sig med himmellegemernes bevægelser, om end dens principper og formler finder anvendelse på alt hvad der "færdes" i universet, herunder menneskabte rumfartøjer. Passiv bevægelse i rummet styres så godt som udelukkende af tyngdekraften, så i Isaac Newtons præcise matematiske beskrivelse af tyngdekraften har man nøglen til at forstå, beregne og forudsige hvordan alle objekter rummet bevæger sig. Kender man den øjeblikkelige indbyrdes position og hastighed af f.eks. Solen og en planet med kendt masse, kan man beregne planetens bane, og dermed dens videre "færd". Samme regnestykke bruges "omvendt" på dobbeltstjerner: Her kan man ud fra den observerede omløbstid og banens udstrækning "regne sig tilbage" til stjernernes samlede masser.

To- og trelegeme-problemer

Betragter man alene to legemer, f.eks. en planet og en måne eller et rumfartøj, kaldes behandlingen af deres indbyrdes bevægelser for tolegeme-problemer ("problem" skal her læses som "opgave"), og der findes fire mulige svar:
- Legemerne kan kredse om hinanden på en måde så deres tyngdepunkter beskriver to ellipser i samme plan i rummet. Så længe ingen forstyrrende kræfter virker på legemerne, vil de følge nøjagtig samme ellipsebane i det uendelige.
- Et teoretisk grænsetilfælde af ovenstående ellipseformede kredsløb er et kredsløb af form som en cirkel. I praksis vil alle sådanne lukkede kredsløb dog altid være mere eller mindre elliptiske.
- Hvis legemernes indbyrdes fart overstiger den såkaldte undvigelseshastighed, vil de blot passere hinanden én gang for derefter aldrig at "mødes" igen. Det ene legemes bevægelse set i forhold til det andet vil beskrive en hyperbel
- Der findes et (teoretisk) grænsetilfælde mellem lukkede og åbne kredsløb hvori det ene legeme beskriver en parabel set fra det andet legemes "synspunkt": Som med ovenstående hyperbolske bane er der her tale om et "éngangs-visit", blot med den særlige egenskab at legemerne ender med at "gå hver til sit" præcis modsat den retning de "ankom" i. I alle fire tilfælde kan man finde regneudtryk der helt eksakt beskriver legemernes indbyrdes position og hastigheder ("fart og retning") til ethvert tidspunkt, frem eller tilbage i tiden. Bemærk i øvrigt, at de fire mulige baners faconer (hhv. ellipse, cirkel, hyperbel og parabel) alle er keglesnit. Med et tredje legeme "inde i billedet" kan man derimod ikke altid få samme slags eksakte svar som for to-legeme-problemet. For nogle få trelegeme-problemer kan man løse ligningerne eksakt, f.eks. bestemmelse af de såkaldte Lagrange-punkter, men i andre tilfælde, og når man tager flere legemer i betragtning, må man ty til regnemetoder der "kun" giver en tilnærmelse til de eksakte værdier. Det lader sig dog fuldt ud gøre med så stor (men dog ikke uendelig) regne-nøjagtighed man måtte ønske, især takket være regnekraften i computere. Et slående eksempel på dette er Voyager II-planetsondens "rejserute" mellem alle Solsystemets planeter fra Jupiter til Neptun.
- ja:天体力学

The New World

The New World is a 2005 movie directed by Terrence Malick and starring Colin Farrell. A historical adventure set during the founding of the Jamestown, Virginia settlement and inspired by the historical figures Captain John Smith (Colin Farrell) and Pocahontas, the script was also written by Malick and is his fourth feature film. The cast includes Christopher Plummer, Christian Bale, August Schellenberg, Wes Studi, David Thewlis, Yorick van Wageningen and newcomer Q'Orianka Kilcher as Pocahontas. The production team includes director of photography Emmanuel Lubezki (Y Tu Mamá También, Sleepy Hollow), production designer Jack Fisk (Mulholland Drive, The Thin Red Line), costume designer Jacqueline West (Quills, Rising Sun) and film editor Richard Chew (Star Wars, Shanghai Noon). The movie was originally set to be released by New Line Cinema, a Time Warner company, in November 2005 but was later pushed back to a limited release in December 2005 and wide release later on in January 2006. With an estimated budget of $30,000,000 the picture is being produced by Sarah Green. It is believed that the film will be the first studio feature in nine years to shoot at least partially on 65 mm film for non-visual effect shots; the last being Kenneth Branagh's version of Hamlet in 1996 (filmed entirely in 65 mm). Compare Pocahontas.

External links

- [http://www.thenewworldmovie.com/ Official website]
-
- [http://www.themoviebox.net/movies/2005/NOPQR/New-World/trailer.php Trailer site for The New World]
- [http://www.moviecitynews.com/arrays/2004/new_world_pic.html Press Release]
- [http://filmforce.ign.com/articles/497/497179p1.html Article on Malick] New World, The New World, The New World, The New World, The

penisy hoteles en berlin sluby liczniki warsaw internet club

:: RELATED NEWS ::

Canadian Minister of Finance
The Minister of Finance (French: Ministre des Finances) is one of the most important positions in the Cabinet of Canada. The current Minister of Finance (2005) is Ralph Goodale (formerly Minister of Agriculture and Agri-food). It is the responsibility of the Finance Minister to manage and each year present the federal government's budget. The Minister of Finance must

White-cheeked pintail

- A. b. bahamensis (Northern White-cheeked Pintail)
- A. b. galapagensis (Southern Galapagos Pintail)
- A. b. rubirostris (Southern White-cheeked Pintail) See also: Northern Pintail The White cheeked Pintail or Bahama Pintail (Anas baham

Read More...

Bahama Pintail

- A. b. bahamensis (Northern White-cheeked Pintail)
- A. b. galapagensis (Southern Galapagos Pintail)
- A. b. rubirostris (Southern White-cheeked Pintail) See also: Northern Pintail The White cheeked Pintail or Bahama Pintail (Anas baham

Read More...

Bahama pintail

- A. b. bahamensis (Northern White-cheeked Pintail)
- A. b. galapagensis (Southern Galapagos Pintail)
- A. b. rubirostris (Southern White-cheeked Pintail) See also: Northern Pintail The White cheeked Pintail or Bahama Pintail (Anas baham

Read More...

Canadian Ministry of Finance
The Minister of Finance (French: Ministre des Finances) is one of the most important positions in the Cabinet of Canada. The current Minister of Finance (2005) is Ralph Goodale (formerly Minister of Agriculture and Agri-food). It is the responsibility of the Finance Minister to manage and each year present the federal government's budget. The Minister of Finance must

Wikipedia:Building Wikipedia membership/Skeptical solicitation
This is a letter intended to attract skeptics to Wikipedia. It has now been posted to sci.skeptic, [http://skepticalcommunity.com/phpbb2/index.php skepticalcommunity] and the [http://www.randi.org/vbulletin/ JREF BBS]. It was motivated by the following mailing list posts:
- http://mail.wikipedia.org/pipermail/wikien-l/2003-July/005270.html
- http://mail.wikipedia.org/pipermail/wikien-l/2003-July/005274.html
- http://mail.wikipedia.org/pipermail/wikien-l/2003-July/005271.html
- http://mail.wikipedia.org/pipermail/wikien-l/2003-July/005276.html ----- Wikipedia, the fre

A Gift Upon the Shore
A Gift Upon the Shore is a 1990 novel by M. K. Wren which trades in some of the familiar post-apocalyptic themes, including, eventually, a fundamentalist cult gone mad. One of its most endearing aspects is its devotion to literature, as one protagonist works tirelessly to protect classic books, even in the face of a zealot's nearly murderous opposition. Gift Upon the Shore, A Gift Upon th

M. K. Wren
Martha Kay Renfroe (born 1938 in Amarillo, Texas) is an Oregon writer, author of mystery and science fiction under the penname M.K. Wren. Her work includes the "Conan Flagg" mystery series and the post-apocalyptic

M.K. Wren
Martha Kay Renfroe (born 1938 in Amarillo, Texas) is an Oregon writer, author of mystery and science fiction under the penname M.K. Wren. Her work includes the "Conan Flagg" mystery series and the post-apocalyptic

Fermi liquid theory
A Fermi liquid is a generic term for a quantum mechanical liquid of fermions that arises under certain physical conditions—when the temperature is sufficiently low, and when the system is translationally invariant. The interaction between the particles of the many-body system need not be small (see e.g. electrons in a metal). The