:: wikimiki.org ::

Fortegn

Fortegn

Et fortegn viser inden for matematikken, om et tal er positivt eller negativt. De mulige fortegn er plus (+) og minus (-). Hvis der ikke er angivet noget fortegn for et tal, er tallet positivt. Som fortegn foran parentetiske udtryk repræsenterer + og - tallene +1 og -1, hvorved fortegnsreglerne for hævning af parenteser ses at være lig med fortegnsreglerne for multiplikation. Fortegnsfunktionen (sign, for latin signum) er den funktion, der for et argument x returnerer værdien +1, hvis x er positiv, og -1 hvis x er negativ, og 0 hvis x er 0. Uden for x=0 kan dette skrives

\mathrm(x) = x/\left| x \right|

, hvoraf den naturlige generalisation til komplekse tal fremgår. kategori:Matematik

Matematik

Matematik (Græsk mathema: videnskab, at lære; mathematikos: glad for at lære) er studiet af mønstre i mængde, struktur, ændringer og rummet.

Definition

I den moderne defintion er det undersøgelsen af aksiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik som det fælles udgangspunkt. De specifikke strukturer der undersøges har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken, men matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende for matematikkens egen skyld, for eksempel fordi de finder ud af at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.

Historie

Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af struktur, rum og ændring.

Strukturer

Studiet af struktur starter med tallene, i begyndelsen de velkendte naturlige tal og heltallene. De regler der gælder for aritmetiske operationer er optegnet i elementær algebra, og de dybere egenskaber ved heltallene studeres i talteorien. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af abstrakt algebra. Det for fysikerne vigtige begreb vektorer, der er generaliseret til vektorrummet og studeret i lineær algebra, tilhører de to grene struktur og rum.

Geometri

Studiet af rummet starter med studiet af geometri, først den euklidiske geometri og trigonometri i det sædvanlige tredimensionale rum, men senere også generaliseret til ikke-euklidisk geometri som spiller en central rolle i den generelle relativitetsteori. De moderne områder differentialgeometri og algebraisk geometri generaliserer geometri i forskellige retninger: differentialgeometri fremhæver begreberne koordinatsystemer, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. Gruppeteori undersøger på en abstrakt måde begrebet geometri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. Topologi giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på begrebet kontinuitet.

Infinitesimalregning

At forstå og beskrive ændringer i målelige størrelser er det centrale emne i naturvidenskab, og infinitesimalregningen er udviklet som et særdeles brugbart værktøj til at gøre præcis det. Det centrale begreb man bruger til at beskrive en variabel der ændrer sig er en funktion. Mange problemer leder helt naturligt til relationen mellem mængde og størrelsen af dens ændring, og metoderne til at løse disse er studeret i emnet differentialligninger. Tallene man bruger til at repræsentere kontinuerlige mængder er de reelle tal, og det detaljerede studium af deres egenskaber er kendt som reel analyse. Af forskellige årsager er det bekvemt at generalisere til komplekse tal, som studeres i den kompleks analyse. Funktionalanalyse fokuserer på et (typisk uendeligt-dimensionalt) rum af funktioner, som danner basis for blandt andet kvantemekanik.

Computernes Indflydelse

For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament, udviklede man områderne mængdeteori, matematisk logik og modelteori. Da computere i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til områderne beregnelighed og informationsteori. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk datalogi. Computere har også hjulpet til ved emner som kaosteori, som handler om at mange dynamiske systemer i naturen adlyder love der gør at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien. Kaosteori er tæt forbundet med fraktal geometri.

Anvendt Matematik

Et vigtigt område i anvendt matematik er sandsynlighedsregning, som muliggør beskrivelse, analyse og forudsigelse af tilfældige fænomener og er brugt i alle videnskaber. Numerisk analyse undersøger metoder til at udføre beregninger på computer. Den følgende liste af emner repræsenterer én måde at organisere matematikkens grene på:

Emneoversigt

Herunder følger en detaljeret emneoversigt.

Se også

- matematisk sætning
- andengradsligning og tredjegradsligning
- matematiker

Yderligere litteratur

- Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. En skånsom introduktion til matematikkens verden.
- Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, http://www.math-atlas.org. En tur gennem de forskellige grene i moderne matematik.
- Weisstein, Eric: World of Mathematics, http://www.mathworld.com. En online encyklopædi om matematik.
- Planet Math, http://planetmath.org. En online encyklopædi om matematik under konstruktion. Bruger GNU Free Documentation License, så det tillader importering til Wikipedia. Bruger TeX markup.
- Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitioner, teoremer og referencer.
- Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. En oversat og udvidet version af den sovjetiske matematik encyklopædi, i ti (store) bøger, det mest komplette og autoritative værk der er tilgængeligt. Også som paperback og på CD-ROM.
- Gullberg, Jan: Mathematics--From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Et encyklopædisk overblik over matematikken i et nutidigt og simpelt sprog

Eksterne henvisninger

- [http://www.matematiksider.dk/ matematiksider.dk: For gymnasiet og for matematik interesserede]
- [http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/index.html VUC: MatLex]
- Information
- [http://planetmath.org/ PlanetMath] Citat: "...Math for the people, by the people..."
- [http://www.math-atlas.org/ Mathematical Atlas: A gateway to Mathematics], [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/ alternativ adresse]
- [http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram: Eric Weisstein's World of Mathematics]
- Google.com: [http://directory.google.com/Top/Science/Math/Publications/Online_Texts/ Math On-line texts]
- [http://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/ Stanford: Principia Mathematica]
- [http://math.furman.edu/~mwoodard/mquot.html Mathematical Quotations Server]
- [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ History of Mathematics archive]
- [http://math.twoday.net/ Mathematische Kleinigkeiten]
- [http://www.research.att.com/~njas/sequences/ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (Look-Up)]
- [http://www.utm.edu/research/primes/ The Prime Pages (prime number research, records and resources)]
- [http://www2.vo.lu/homepages/armand/index.html Aesthetics of the Prime Sequence]
- [http://www.mathpuzzle.com/ MathPuzzle.com]
- [http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/egypt.html Egyptian Mathematics] Kategori:Gymnasiefag Kategori:Naturvidenskab Kategori:Matematik Kategori:Akademiske discipliner Kategori:DK5 51 ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Tal

Tal er et abstrakt begreb der bruges til at angive mængde. I matematikken findes der mange forskellige tal, for eksempel de naturlige tal, heltal, brøker, rationale tal, irrationale tal, reelle tal, imaginære tal og komplekse tal. De naturlige tal 1, 2, 3, 4... osv. er fundamentale for al matematik; De betegnes

\mathbb

eller - hvis man vil præcisere, at tallet 0 medregnes -

\mathbb_0

. Udvider vi de naturlige tal (incl. 0) med de negative, hele tal, får vi de hele tal (Z) Dette kan igen udvides med de positive og negative brøker til det rationale tallegeme (Q). Den del af de rationale tal, som kan repræsenteres ved en endelig brøk, kaldes de decimale tal og benævnes D. Ved yderligere udvidelse af tallegemet opstår de reelle tal (R), hvoriblandt findes de irrationale tal som er de reelle tal, der ikke tilhører det rationale tallegeme. Udvides det reelle tallegeme yderligere med rødderne til de generelle polynomier med komplekse koefficienter, fås det komplekse tallegeme (C) Dette kan udtrykkes i den særlige skrifttype blackboard bold således: :

\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb

Betydningen af begreberne tallegeme og tal kan fastlægges til følgende: Man kalder en uendelig mængde af symboler for et tallegeme, og det enkelte symbol for et tal, hvis mængden opfylder følgende tre betingelser:
- at de naturlige tal indgår i mængdens elementer
- at der findes et størrelseskriterium, som kan afgøre om to elementer er lige store (eller hvilket der er størst).
- at der for to vilkårlige elementer i mængden kan udvikles et skema for at lægge dem sammen og gange dem med hinanden, som har samme egenskaber som de tilsvarende operationer for de naturlige tal (og som reduceres til disse, når de to elementer er naturlige tal). De egenskaber, der her tænkes på, er de grundlæggende egenskaber at være kommutativ, associativ og distributiv. Visse mængder af tal er bestemt ved særlige egenskaber, for eksempel primtal, kvadrattal, fuldkomne tal og Fibonaccis tal. Visse tal har særlige egenskaber eller betydninger, som er beskrevet andetsteds i Wikipedia: Kategorien for artikler om bestemte tal indeholder en oversigt over disse artikler.

Se også

- Arabiske talsystem
- Romertal

Eksterne henvisninger

- [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number/danish.html Takasugi Shinji: The Number System of Danish]
- Hovedadresse: [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number.html Takasugi Shinji: Number Systems of the World]
- [http://www.zompist.com/numbers.shtml Numbers from 1 to 10 in Over 4000 Languages]
- [http://wiktionary.org/wiki/Number Wiktionary article on number]
- [http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html What's special about this number?] ja:数 ko:수 (수학) simple:Number th:จำนวน

Plus

Addition er en beregningsform. Det er at lægge to tal sammen inden for matematikken. I aritmetikken, er addition en af de grundlæggende operationer. Additionen er en binær operation, da der skal være to tal at lægge sammen. Den betegnes ved symbolet +. Hvis man for eksempel har 4 æbler og 3 æbler, så er summen det antal æbler man vil få ved at blande de to samlinger, og tælle dem igen. Summen udtrykkes 4 + 3, og resultatet er 7. Operatoren hedder plus, mens selv operationen hedder at addere eller at lægge sammen. Resultatet af operationen hedder summen. Den modsatte operation er subtraktionen.

Se også

- Subtraktion
- Multiplikation
- Division Kategori:Aritmetik ja:加法 simple:Addition

Latin (sprog)

Latin er et sprog, der blev talt i oldtidens Rom, og som har været brugt som internationalt sprog indtil nutiden. Latin hører til den italiske gruppe af de indoeuropæiske sprog sammen med de uddøde sprog oskisk og umbrisk. Latin er egentlig betegnelsen på den dialekt, der blev talt i det antikke Latium (Lazio), dvs. landskabet syd for Rom. Efterhånden som Rom underlagde sig resten af Italien og siden landene omkring Middlehavet, voksede latin i indflydelse, og latin blev administrationssprog i den vestlige del af Romerriget. I øst holdt man derimod fast ved græsk, der var blevet udbredt efter Alexander den Stores erobringer, og som alle dannede romere alligevel talte. Fra omkring 300 e.Kr. blev latin den vestlige kirkes sprog, en stilling, som sproget fastholdt gennem hele middelalderen. Latin blev dermed det internationale sprog, hvorpå lærde og videnskabsmænd i det vestlige Europa udvekslede tanker og opdagelser. Det var almindeligt at skrive videnskabelige værker på latin indtil midten af 1800-tallet. Da Romerriget brød sammen og de enkelte provinser faldt i forskellige germanske kongers hænder, begyndte det latinske sprog også at blive splittet op i en række dialekter, der til sidst var så forskellige fra hinanden, at der var tale om forskellige sprog, de romanske sprog. I lang tid blev man ved med at skrive, som man altid har gjort, og det er først i det 9. årh., vi finder de tidligste tekster på romansk. På det tidspunkt har det talte sprog bevæget sig så langt væk fra det skrevne sprog, at almindelige mennesker næppe har kunnet forstå ret meget af de lærdes latin.

Udtale

Forskningen har et ganske godt indtryk af, hvordan latin blev udtalt i oldtiden. Den latinske sprogvidenskab har en række indicier at støtte sig til: 1) De romerske grammatikeres beskrivelse af udtalen. 2) Stavefejl i indskrifterne. 3) Lydenes videre udvikling i de romanske sprog. 4) Latinske låneord i fremmede sprog (især græsk og germansk). 5) Fremmede låneord i latin (især fra græsk). Den danske skoleudtale har traditionelt fulgt det danske lydsystem og har desuden haft en række senlatinske udtalevaner, der også kendes fra den latinske udtale i de andre europæiske lande, først og fremmest c = [s] foran fortungevokaler og ae = [ε:]. I løbet af det 20. århundrede har man gjort stadig flere indrømmelser til den klassiske udtale, som den sprogvidenskaben har rekonstrueret. De fleste udtaler derfor c og ae som [k] og [ai]. Det er derimod kun få specialister, der konsekvent skelner vokallængde og konsonantlængde, selv om vi ved, at kvantitetsforskellen var betydningsbærende. Et typisk eksempel er anus 'gammel kone', ānus 'røvhul', annus 'år', der på klassisk latin alle blev udtalt forskelligt, hvorimod de to første falder sammen i det europæiske latin. Hvor konsonantlængden normalt bliver gengivet med en dobbeltskrivning af den pågældende konsonant, bliver vokallængden normalt ikke markeret i de latinske tekster (en del ældre indskrifter bruger dog en såkaldt apex til at markere de lange vokaler, men ikke konsekvent). I dansk eksisterer der ingen forskel mellem lange og korte konsonanter, men derimod mellem korte vokaler i lukkede stavelser (og foran oprindeligt lange konsonanter) og lange vokaler i åbne stavelser. Trykket falder på den næstsidste stavelse, hvis den indeholder en lang vokal eller en diftong, eller hvis stavelsen er lukket: amátur, amóenus, perféctus. Ellers falder det på den tredjesidste stavelse: ínsula, Július. (Eftersom vokallængden normalt ikke er markeret skal trykket i tvivlstilfælde slås efter eller læres udenad.) Det gælder både i den klassisk latinske udtale og i den danske skoleudtale. Når trykkket falder på den tredjesidste stavelse, har den danske skoleudtale imidlertid også et stød (et strubelukke) på en eventuelt lang vokal eller diftong eller på n, m, r, l, f.eks. úl’timus, Tá’citus, ter’ritus. Det samme gælder i den næstsidste stavelse, hvis den ordet ender på -er, f.eks. pa’ter, Alexan’der.

Se også

- Lægelatin og Gartnerlatin

Eksterne henvisninger

Denne side kan analysere latinske ord [http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/morphindex?lang=la perseus] for køn og kasus

Generelle

- [http://www.perseus.tufts.edu/ The Perseus Project]; en nyttig side, dedikeret til studering af klassiske sprog og klassisk litteratur. Indeholder [http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/resolveform?lang=Latin en interaktiv latinordbog].
- [http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=LTN Etnologisk rapport af latin]
- [http://humanum.arts.cuhk.edu.hk/Lexis/Latin/resources.html Andre latinske ressourcer]

Udtale, betydning og stavning

- [http://roundrobin2001.0catch.com/audio.html Botanisk udtale]. Denne side indeholder lydfiler, som du kan klikke på for at høre udtalen af de botanisk/latinske navne på en plante eller terminologi.
- [http://members.aol.com/stlmetros/latin.html Amerikansk Organistsammenslutning, udtale af kirkelatin]
- [http://home.tiscali.be/mauk.haemers/collegium_latinum/pronounce.htm Latinsk udtale, af Gn. Dionysius Scorpio Invictus]
- [http://www.malmoea.com/junebug/latin/writing&pronunciation.html Latinsk stavning og udtale]
- [http://www.malawicichlidhomepage.com/aquainfo/scientific_names.html Videnskabelige betegnelser: Hvordan fungerer de?, af Francesco Zezza]
- [http://courses.washington.edu/insects/445Students/Methods/Pronounciation.htm Stavning, udtale og betydning af videnskabelige betegnelser]
- [http://www.malawicichlidhomepage.com/aquainfo/greek_pronounce.html Udtale og stavning af videnskabelige betegnelser, en artikel af Kalliope K. Bechraki og Andreas I. Iliopoulos]

Kurser

- [http://www.sprachprofi.de.vu/latin Gratis online kursus i latin]
- [http://ccwf.cc.utexas.edu/%7Edcramer/506dec.htm David Cramer: Latin 506], [http://www.utexas.edu/courses/cc303/sounds/ Udtale]

Ordbøger

- [http://humanum.arts.cuhk.edu.hk/Lexis/Latin/ Latin - Engelsk ordbog]
- [http://www.atlenes.com/privat/latin.html Latinske ord og vendinger] ---- Bemærk at der findes en [http://la.wikipedia.org/ latinsk Wikipedia] Kategori:Antikken Kategori:Indoeuropæiske sprog als:Latein ja:ラテン語 ko:라틴어 simple:Latin language th:ภาษาละติน zh-min-nan:Latin-gí

Negativ

Positiv har flere betydninger:
- Positiv betyder almindeligvis noget godt.
- Matematik. Noget der har en positiv kvantitet, modsat en negativ. Eksempel: 7 eller +7 er et positivt tal, mens -9 er et negativt tal.
- Noget der har en positiv eksistens, modsat noget der mangler/er fraværende.
- Grammatik. Laveste grad af et tillægsord.
- I elektrisk sammenhæng bruges begrebet positiv til at angive et underskud af elektroner. Negativ har flere betydninger:
- Negativ betyder almindeligvis noget skidt.
- Matematik. Noget der har en negativ kvantitet, modsat en positiv. Eksempel: -7 er et negativt tal, mens 9 eller +9 er et positivt tal.
- Noget der har en negativ eksistens (ikke eksisterer), modsat noget der findes.
- I elektrisk sammenhæng bruges begrebet negativ til at angive et overskud af elektroner. Kategori:Begrebspar

Komplekse tal

Komplekse tal forener et reelt og et imaginært tal i en slags "par": Billedlig talt (og i forbindelse med programmering) kan man beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen og imaginærdelen, sat sammen til en enhed. Ganske som med de "almindelige", reelle tal, kan man foretage en lang række regneoperationer med disse komplekse tal, og de bruges ofte til at beskrive og regne på ting som både har en størrelse og en "retning" eller vinkel, f.eks. elektriske vekselstrømme med deres størrelse og faseforhold.

Definition

Billede:kompleks.png

Mens de reelle tal kan markeres som et bestemt punkt på en tallinje eller "skala", markeres et komplekst tal med et punkt i den matematiske plan; en todimensional flade som f.eks. et stykke papir. Tegningen til højre viser et Argand-diagram; det illustrerer mængden

\mathbb

, der omfatter alle komplekse tal: De reelle tal og de imaginære tal er delmængder af de komplekse tal, og ligger langs hhv. den reelle akse og den imaginære akse.

Rektangulær og polær repræsentation

På illustrationen er vist det punkt der repræsenterer det komplekse tal z: Der er to måder at referere til dette tal på:
- Punktet for z ligger ud for realdelen x på den reelle akse, og ud for imaginærdelen y på den imaginære akse, så man kan beskrive tallet ved dets real- og imaginærdel: z = x + i·y. Dette kaldes for rektangulær repræsentation af tallet z. Tallet i kaldes den imaginære enhed, og har den specielle egenskab at i²=-1.
- Punktet for z ligger i en vis afstand r, kaldet modulus, fra koordinatsystemets origo (skæringspunktet mellem reel og imaginær akse), og retningen fra origo til punktet for z danner en vis vinkel Φ, kaldet argumentet, med den reelle akse. Ved at anføre r og Φ har man den såkaldte polære repræsentation af tallet z, og det skrives

r \angle \Phi

Regneoperationer uden den imaginære enhed

Der findes regneregler der fastlægger hvordan man foretager forskellige regneoperationer på komplekse tal (givet på rektangulær form), svarende til dem man kan foretage på reelle tal. Dertil findes der for ethvert komplekst tal tallets såkaldt komplekst konjugerede.
Hvis det komplekse tal A har realdelen x_A og imaginærdelen y_A, dvs. A = x_A + y_A·i, så kan man beregne:

Regneoperation	Resultat
Regneoperation	Realdel	Imaginærdel
$\bar$ , kompleks konjugerer til $A \,\!$	$x_A \,\!$	$-y_A \,\!$
$A^ \,\!$ , reciprokke af $A \,\!$	$\frac$	$-\frac$

Der findes regneforskrifter der fastlægger hvordan man kan udføre de fire grundlæggende regnearter på A og et andet komplekst tal B = x_B + y_B·i:

Regneoperation	Resultat
Regneoperation	Realdel	Imaginærdel
$A + B \,\!$	$x_A + x_B \,\!$	$y_A + y_B \,\!$
$A - B \,\!$	$x_A - x_B \,\!$	$y_A - y_B \,\!$
$A \cdot B \,\!$	$x_A \cdot x_B - y_A \cdot y_B \,\!$	$x_A \cdot y_B + x_B \cdot y_A \,\!$
$\frac$	$\frac$	$\frac$

Har man to komplekse tal på polær form, nemlig

A = r_A \angle \Phi_A

B = r_B \angle \Phi_B

, gælder envidere:

Regneoperation	Resultat
Regneoperation	Modulus	Argument
$A \cdot B \,\!$	$r_A \cdot r_B \,\!$	$\Phi_A + \Phi_B \,\!$
$\frac$	$\frac$	$\Phi_A - \Phi_B \,\!$

Regneoperationer med den imaginære enhed

For simple regneoperationer bliver beregninger med komplekse tal nøjagtig de samme, som hvis man gør brug af den imaginære enhed. Det gør regneoperationerne betragteligt meget simplere: : Sum:

A+B=(x_A + iy_A) +(x_b+iy_B)=(x_A+x_B)+i(y_A+y_B)

: Differens:

A-B=(x_A+iy_A) -(x_b+iy_B)=(x_A-x_B)+i(y_A-y_B)

: Produkt:

A \cdot B=(x_A+iy_A)\cdot(x_b+iy_B) = x_A x_B + i x_A y_B + i x_B y_A + i^2 y_A y_B

= (x_A x_B - y_A y_B)+ i (x_A y_B + x_B y_A)

: Division:

\frac = \frac=\frac

= \frac = \frac + i \frac

: Invers:

\frac = \frac = \frac = \frac = \frac + i \frac

Umiddelbart ser det mere komplekst ud, men den eneste regneregel man skal huske er i²=-1.

Anvendelser

Indenfor elektronik bruges komplekse tal til at modellere strømme, spændinger og "modstande": Hvis en vekselspænding repræsenteres ved det komplekse tal U, så beskriver modulus ("afstanden") til U vekselspændingens spidsværdi, mens argumentet til U ("vinklen") angiver vekselspændingens fase i forhold til en reference. Fraktaler, for eksempel Juliamængderne og Mandelbrotmængden, dannes ved hjælp af komplekse tal. (Her kan utvivlsomt indsættes flere emner!)

Ligheder med og forskelle fra vektorer

Selv om addition og subtraktion af komplekse tal foregår på samme måde som for todimensionale vektorer, må de to ting ikke forveksles: Mens man kan foretage en lang række regneoperationer på komplekse tal, kan vektorer kun adderes og subtraheres, og dertil indgå i to forskellige former for vektorprodukt. ja:複素数 ko:허수

Kategori:Matematik

Kategori:Abstraktion Kategori:Akademiske discipliner ja:Category:数学 ko:분류:수학 ms:Kategori:Matematik simple:Category:Mathematics th:Category:คณิตศาสตร์

Wielkie dzieła muzyczne

Dzieła sceniczne

- (układ alfabetyczny, autor muzyki i data premiery)

opera

- Aida - Giuseppe Verdi - 1871
- Borys Godunow - Modest Musorgski - 1874
- Carmen - Georges Bizet - 1875
- Cosi fan tutte - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1790
- Cyganeria - Giacomo Puccini - 1896
- Cyrulik sewilski - Gioacchino Rossini - 1816
- Czarodziejski flet - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1791
- Don Giovanni - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1787
- Dydona i Eneasz - Henry Purcell - 1689
- Falstaff - Giuseppe Verdi - 1893
- Faust - Charles Gounod - 1859
- Fidelio - Ludwig van Beethoven - 1814
- Juliusz Cezar - Georg Friedrich Händel - 1724
- Kawaler srebrnej róży - Richard Strauss - 1911
- Kopciuszek - Gioacchino Rossini - 1817
- Kukiełki mistrza Piotra - Manuel de Falla - 1923
- Lulu - Alban Berg - 1937
- Łucja z Lammermoor – Gaetano Donizetti – 1835
- Nabucco - Giuseppe Verdi - 1842
- Napój miłosny – Gaetano Donizetti – 1832
- Traviata - Giuseppe Verdi
- Straszny Dwór - Stanisław Moniuszko - 1865
- Wesele Figara - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1786

balet

- zobacz: najbardziej znane balety

Dzieła instrumentalne

- Amerykanin w Paryżu - George Gershwin - 1928
- Błękitna rapsodia - George Gershwin - 1923
- Bolero - Maurice Ravel - 1927
- Danse macabre - Camille Saint-Saëns - 1874
- Moja matka gęś - Maurice Ravel - 1908
- Nagrobek Couperina - Maurice Ravel - 1917
- Obrazki z wystawy - Modest Musorgski - 1874
- Pawana na śmierć Infantki - Maurice Ravel - 1899
- Rapsodia hiszpańska - Maurice Ravel - 1907
- Totentanz - Ferenc Liszt - 1849

Dzieła wokalno-instrumentalne

- Carmina Burana (kantata orkiestrowa) - Carl Orff - 1937
- Szeherezada - Maurice Ravel - 1903
- Om mani padme hum - Isang Yun - 1964

Dzieła na instrument solowy i orkiestrę

- Po świecie krąży widmo - Luigi Nono - 1971
- Tzigane - Maurice Ravel - 1924

Dzieła muzyki sakralnej

msze

- Missa Salisburgensis - Heinrich Ignaz Franz von Biber
- Wielka msza h-moll - Jan Sebastian Bach - 1733-1738
- Harmoniemesse B-dur - Joseph Haydn
- Heiligmesse B-dur - Joseph Haydn
- Missa brevis F-dur - Joseph Haydn
- Missa Cellensis C-dur "Mariazellermesse" - Joseph Haydn
- Missa Sanctae Caeciliae C-dur "Caecilienmesse" - Joseph Haydn
- Nelsonmesse d-moll, Msza Nelsońska - Joseph Haydn
- Paukenmesse C-dur, Msza czasu wojny - Joseph Haydn
- Msza Stworzenia B-dur - Joseph Haydn
- Wielka msza organowa Es-dur - Joseph Haydn
- Missa Hispanica - Michael Haydn
- Msza Koronacyjna C-dur - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1779
- Requiem d-moll - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1791
- "Wielka" Msza c-moll - Wolfgang Amadeusz Mozart - 1782/1783
- Msza C-dur - Ludwig van Beethoven
- Missa Solemnis (Msza uroczysta) D-dur op.123 - Ludwig van Beethoven - 1819-1823
- Messa da requiem - Giuseppe Verdi

oratoria

- Oratorium "Stworzenie świata" - Joseph Haydn
- Oratorium "Pory roku" - Joseph Haydn
- Oratorium "Siedem ostatnich słów Chrystusa na krzyżu" - Joseph Haydn
- Oratorium "Mesjasz" - Georg Friedrich Händel
- Oratorium "Izrael w Egipcie" - Georg Friedrich Händel
- Oratorium na Boże Narodzenie - Jan Sebastian Bach

Liryka wokalna

- Don Kichot do Dulcynei - Maurice Ravel - 1932
- Pieśni i tańce śmierci - Modest Musorgski - 1875-1877 Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu muzyki, Wielcy kompozytorzy, muzyka.
- Kategoria:Strony przeglądowe

Prague appartements tani sylwester hotels Amsterdam Zam�wienia publiczne pisanie prac

:: RELATED NEWS ::

Zhou Xiaowen
Zhou Xiaowen (b. Beijing, 1954) is a Chinese filmmaker. He graduated from the Cinematography Department of the Beijing Film Academy in 1975 and is part of the so-called Fifth Generation of Chinese filmmakers.

Films

- Ermo (1994)
- Qin Song
Read More...

Richard, 1st Earl of Cambridge
Richard of Conisburgh, 3rd Earl of Cambridge (c. 1375 - 5 August 1415) was the younger son of Edmund of Langley, 1st Duke of York, and thus a grandson of King Edward III. He was born at Conisburgh Castle in Yorkshire, and was confirmed in the

Fortegn

Matematik

Definition

Historie

Strukturer

Geometri

Infinitesimalregning

Computernes Indflydelse

Anvendt Matematik

Emneoversigt

Mængde

Ændring

Struktur

Rum

Diskret matematik

Anvendt matematik

Se også

Yderligere litteratur

Eksterne henvisninger

Tal

Se også

Eksterne henvisninger

Plus

Se også

Latin (sprog)

Udtale

Se også

Eksterne henvisninger

Generelle

Udtale, betydning og stavning

Kurser

Ordbøger

Negativ

Komplekse tal

Definition

Rektangulær og polær repræsentation

Regneoperationer uden den imaginære enhed

Regneoperationer med den imaginære enhed

Anvendelser

Ligheder med og forskelle fra vektorer

Kategori:Matematik

Wielkie dzieła muzyczne

Dzieła sceniczne

opera

balet

Dzieła instrumentalne

Dzieła wokalno-instrumentalne

Dzieła na instrument solowy i orkiestrę

Dzieła muzyki sakralnej

msze

oratoria

Liryka wokalna

Films