:: wikimiki.org ::

Kugle

Kugle

Kugle er en tredimensional geometrisk figur, hvor uendelig mange sammenhængende punkter ligger i samme afstand fra et bestemt punkt kaldet centrum. En kugles størrelse angives af dens radius r, som netop er afstanden mellem centrum og dens overflade. Afstanden fra et punkt på overfladen gennem centrum til et andet punkt på overfladen kaldes diameteren og har længden to gange radius.

Matematisk beskrivelse af kuglen

Udfra ovenstående oplysninger kan man matematisk vise kuglens ligning, hvilket som nævnt er en rummelig figur, dvs. at den er i tre dimensioner:

\

Dette skal forstås, således at kugleskallen kan beskrives som en punktmængde K. Denne punktmængde er defineret ved længden af en vektor

\vec

, som altså udgør radius i kuglen. Punktet C udgør altså centrum i kuglen, alt imens at P, er et såkaldt løbende punkt. Vi kan endvidere tildele hver af de to punkter et koordinatsæt, som til sidst skal munde ud i kuglens ligning. Kuglens centrum beskriver vi ved følgende tre koordinater i rummet:

C = ( a , b , c )

Samtidig beskriver vi det løbende punkt ved følgende koordinatsæt:

P = ( x , y , z )

Vi kan nu sammenfatte det til en vektor, som lyder således:

\vec  = ( x - a , y - b , z - c )

Ifølge reglerne omkring prikprodukt kan følgende omskrivning foretages:

|\vec |^2 = ( x - a)^2 + (y - b )^2 + (z - c )^2 = r^2

Hvilket er kuglens (kugleskallens) ligning.

Se også

- Cirkel
- Ellipsoide
- Sfære
- Terning Kategori:Geometri

Geometri

Ordet geometri kommer af græsk, og betyder "jordmåling". Grunden til dette er, at den ældste geometri blev skabt af de gamle flodkulturer (Ægypterne og Babylonerne), der måtte opfinde metoder til opmåling af marker. Der findes mange slags geometri. Den mest kendte - og den først udviklede - er Euklidisk geometri, der er geometri på et fladt plan. Der findes dog også andre typer ikke-euklidisk geometri, fx geometri på en kugle. Disse ikke-euklidiske former for geometri anerkender ikke euklids femte aksiom (se Euklidisk geometri). Et vigtigt fremskridt indenfor geometrien var integrationen af aritmetik og geometri i den såkaldte analystiske geometri, som matematikeren og filosoffen René Descartes udviklede i hans metodelære fra 1637. Her blev koordinatsystemet for første gang indført. Geometri før dette (syntetisk geometri) var baseret udelukkende på elegante og indlysende beviser i visuel form. En vigtig del af geometrien er trigonometri, der er læren om måling af trekanter.

Se også

Béziertrekant Kategori:Geometri ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Punkt

Et punkt er en stedangivelse uden udstrækning. Punktets koordinater angives med samme antal som den dimension, punktet er i. Et uendeligt antal sammenhængende punkter danner en kurve. En lige kurve kaldes en linje. Punkter findes inden for en lang række videnskaber.

Eksempler

Smeltepunkt/frysepunkt, kogepunkt, absolut nulpunkt: Den éndimensionelle Celsius-temperaturskala er defineret ud fra vands henholdsvis smeltepunkt/frysepunkt sat til 0°C og kogepunkt sat til 100°C og inddelt i lige store inddelinger. Der er en nedre grænse for temperatur, som kaldes det absolutte nulpunkt og findes ved -273,15°C. Højdepunkt: På geografiske kort angives tit de højeste punkter i landskabet, hvor de er fundet via trigonometriske målinger. Selv om selve kortet er todimensionelt, så er højdepunkterne angivet i tre dimensioner: længdegrad, breddegrad og højde. Overført betydning: I karriereforløb tales ofte også om højdepunkter, men disse er todimensionelle, hvor tiden er den ene akse og succesen den anden akse.

Forskellige typer punkter

- Dugpunkt
- Flammepunkt
- Frysepunkt
- Højdepunkt
- Kardinalpunkt
- Knudepunkt
- Kogepunkt
- Kontrapunkt
- Lavpunkt
- Målepunkt
- Sadelpunkt
- Smeltepunkt
- Tidspunkt
- Tyngdepunkt Kategori:Grafer

Diameter

Diameteren er tværmålet af en cirkel, en korde gennem cirklens centrum (eller længden af denne korde). Diameter bruges også om kugle, cylinder og lignende.

Se også

- Korde, sekant, tangent og punkt. Kategori:Geometri ja:径

Vektor (matematik)

Vektorer anvendes inden for bl.a. fysikken, fordi de gør det nemmere at regne med eksempelvis kræfter, hastigheder og acceleration.

Kort forklaring

En vektor er et matematisk objekt, der er karakteriseret ved at have en størrelse og en retning. En vektor er et element i et vektorrum. (dette er en koordinatfri beskrivelse af vektoren).

Definition af vektor

En vektor er egentlig blot en ret linje, hvortil der er knyttet en række særlige egenskaber. Dog er det som altid er kendetegnende for en vektor, at den har både en størrelse og en retning.

Notation

En vektor noteres, ved at skrive navnet på en vektoren og lave en pil eller streg over navnet.

\vec a

Som fortalt har en vektor både størrelse og retning. Umiddelbart kan dette omsskrives på to måder. Hvis du fx har en vektor, med længden 5 og vinklen 45 grader i forhold til vandret (x-aksen) skriver du:

\vec a=5 \angle 45^\circ

Men når man regner med flere vektorer samtidigt, er denne notation upraktisk. Den findes derfor en anden notation, opskrevet på matrixform. Her opfatter man vektoren som en retvinklet trekant, og angiver hvor langt den når hen ad x-aksen og hvor langt den når hen ad y-aksen.

\vec a=

Hvis du har en vektor opskrevet på den første måde, og ønsker at omskrive den til matrix-form, gøres det således:

\vec a=L \angle v

\vec a=

Addition af vektorer

Når du skal lægge to vektorer sammen (svarer til at finde den resulterende kraft), får du en ny vektor, der kaldes sumvektoren. Denne er normalt benævnt med

\vec r

. Hvis du har to vektorer:

\vec a=

\vec b=

Lægges de sammen på denne måde:

\vec r=

Hvis du har tre eller flere vektorer lægges de sammen, efter samme princip (x koordinaterne lægges sammen og y koordinaterne lægges sammen).

Subtraktion af vektorer

Vektorer trækkes fra hinanden, efter samme princip, som man lægger sammen. Dog opfatter man vektorers differens som:

\vec a + (-\vec b)

At man skriver

-\vec b

betyder simpelthen at vektoren vendes og går i den modsatte retning. Det opfattes også som:

(-\vec b)=

Men dette bruges kun grafisk. Analytisk trækker man vektorer fra hinanden ved at sige:

\vec r=

Skalering af vektor

Når man fordobler en vektors længde, ganger man x-koordinatet og y-koordinatet med skaleringsfaktoren. Formlen er givet ved:

n \cdot \vec a=

Længde af vektor

Når du har opskrevet en vektor på matrix-form, skal du bruge en bestemt formel til at finde vektorens længde. Eftersom man faktisk kan opfatte en vektor som et retvinklet trekant, kan man bruge Pythagoras til at bestemme vektorens længde. En vektors længde er noteret som:

|\vec a|

Formlen for en vektors længde er givet ved:

|\vec a|=\sqrt

Se også

- Vektor - for andre betydninger. Kategori:Vektorer ja:ベクトル (数学) ko:벡터

Radius (cirkel)

En cirkels eller kugles størrelse angives af dens radius r, som netop er afstanden mellem centrum og periferien. Afstanden fra et punkt på periferien gennem centrum til et andet punkt på periferien kaldes diameteren og har længden to gange radius. Kategori:Geometri ja:半径 zh-min-nan:Poàⁿ-kèng

Prikprodukt

Skalarprodukt, prikprodukt eller indre produkt er et begreb inden for matematikken, nærmere betegnet vektormatematik, og er et specialtilfælde af matrixproduktet. Her vises som eksempel skalarproduktet af to tredimensionale vektorer: :

\vec \cdot \vec = \vec^T \vec
=
\begin a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end^T
\begin b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end 
=
\begin a_1 & a_2 & a_3\\ \end
\begin b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end 
= a_1 \cdot b_1  + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 
= |\vec| \cdot |\vec| \cdot cos(\theta)

— hvor

\theta

er vinklen mellem de to vektorer. Resultatet af skalarproduktet er en skalar (et tal), deraf navnet, modsat krydsproduktet, hvor resultatet er en vektor. Skalarproduktet kan generaliseres til vektorer af vilkårlig dimension, jf. eksemplet ovenfor. dimension Ud fra ovenstående lighedstegn kan skalarproduktet forklares som den størrelse der opnås ved at tage projektionen af den ene vektor ind på den anden, og gange med længden af den anden vektor. En omskrivning af den ovenstående ligning viser at skalarproduktet kan anvendes til at bestemme cosinus til vinklen mellem to vektorer ud fra vektorernes koordinatsæt, samt deres længde: :

cos(\theta) =

Skalarproduktet er kommutativt.

Se også

- Vektorprodukt Kategori:Vektorer ja:ドット積

Cirkel

En Cirkel er en geometrisk figur i en (todimensional) plan. Matematisk omtales en cirkel som det geometriske sted for de (uendeligt mange) punkter som har en bestemt, konstant afstand r fra et punkt kaldet cirklens centrum. Afstanden r kaldes for cirklens radius, og den kurve som punkterne i denne afstand danner, er cirklens periferi.

Linjer i og omkring en cirkel

periferi Visse rette linjer og linjestykker spiller en særlig rolle for cirklen, og har følgelig fået entydige navne. # Bue: Et stykke af periferien (9), afgrænset af to punkter langs denne. # Centervinkel: En vinkel med toppunkt i cirklens centrum (4), som afgrænser en bue (1) langs cirklens periferi (9). # Centraltrekant: En ligebenet trekant, der dannes af en korde (8) mellem to punkter på periferien (9), samt radierne (10) i de to perifieripunkter. # Centrum: Punktet der populært sagt "markerer midten" af cirklen: Ethvert punkt på periferien (9) har radius' afstand til dette punkt. # Cirkelafsnit: Arealet mellem buen (1) og en korde (8) eller sekant (11) mellem to punkter langs periferien (9). # Cirkeludsnit (eller sektor): Arealet mellem benene på en centervinkel (2) samt den bue (1) den afgrænser. # Diameter: En ret linje der går igennem centrum (4) og to punkter på periferien (9). Ordet "diameter" bruges også om længden af dette linjestykke, som altid er dobbelt så lang som cirklens radius. # Korde: et linjestykke mellem to punkter på periferien (9). En diameter (7) kan beskrives som en korde der går igennem centrum (4) # Periferi: En kurve bestående af samtlige punkter der har radius' afstand til centrum (4). Længden af denne kurve, målt fra et punkt og én gang rundt om cirklen, kaldes for cirklens omkreds. # Radier: Rette linjer fra centrum til et vilkårligt punkt på periferien (9). Er halvt så lange som samme cirkels diameter. # Sekant: En linje der skærer cirklen i to punkter på periferien. Forskellen mellem en sekant og en korde (8) er at mens korden ender i de to periferipunkter, er en sekant "forlænget" ud over disse punkter. # Tangent: En linje der netop rører cirklens periferi (9) i ét punkt, og danner en ret vinkel med radien i dette punkt. En tangent kan betragtes som det "grænsetilfælde" blandt sekanter (11) hvor de to periferipunkter er "løbet sammen" til ét punkt.

Cirklen og tallet π ("pi")

Man har længe vidst at der består et helt konstant forhold mellem omkredsen af og diameteren i enhver cirkel: Dette forhold er et irrationalt tal, og omtales helt kort med det græske bogstav π.
Hvis omkredsen (længden af én "tur" rundt langs periferien) kaldes for O og diameteren for d, så gælder at:
O = π · d.
Eftersom længden r af en radius er halvt så lang som en diameter i samme cirkel, dvs. d = 2 · r, kan omkredsen også beregnes som:
O = 2 · π · r Tallet π indgår også i beregningen af cirklens areal A, idet:
A = π · r²

Cirklens ligning

Hvis man indtegner en cirkel hvis radius har længden r i et koordinatsystem med centrum i punktet (x₀,y₀), kan man opstille en ligning som tilfredsstilles af koordinatsættene (x,y) for de punkter der ligger på cirkelperiferien:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
Beviset for denne påstand kommer af man kan konstruere en retvinklet trekant som har en radie som sin hypotenuse, og beregne denne hypotenuses/radies længde ved hjælp af Pythagoras læresætning - og alle radier har pr. definition samme længde. Hvis ligningen efterfølgende er blevet ordnet (så led af højeste grad står først), kan det være svært at genkende ovenstående ligning, men der er dog kendetegn for ligninger der tilfredsstilles af punkter på en bestemt cirkelperiferi:
- Det er en andengradsligning med to ubekendte, typisk x og y.
- De to ubekendte forekommer hver i sær i anden potens, dvs. der forekommer led med hhv. (tal)·x² og (tal)·y² - (tal) er vel at mærke det samme for begge led (denne fælles koefficient er kvadratet på cirklens radius, dvs. r²).
- Der er ikke noget led med en faktor gange x·y. Sammen med betingelser såsom "tangenter står altid vinkelret på en radius" kan man bruge ligningen for en cirkel til at fastlægge ligninger for tangenter, afgøre om en linje (beskrevet ved en ligning) er en sekant eller tangent til cirklen, og flere andre ting.

Se også

- Ellipse
- Kugle
- Kvadrat Kategori:Geometri Kategori:DK5 51.5 ja:円 (数学) simple:Circle

Sfære

Kugle, halvkugle, klode, virkefelt, åndelig horisont, virkekreds. ---- Kilder/henvisninger
- Lexopen

Terning

En terning (eller hexaeder) er et platonisk legeme som består af seks firkantede sideflader, med tre der mødes ved hvert hjørne. Terningen er en særlig type kvadratisk prisme, rektangulær parallelopipeder og triangulær trapezoeder, og den er dual i forhold til oktaedret. Den sekssidede terning er den almindeligste form for terning til spil. I rollespilssammenhæng kaldes den også d6 (fra engelsk die: terning).

Tre dimensioner

De kanoniske koordinater til hjørnene af en terning med midtpunkt i origo er (±1,±1,±1), mens massen af terningen udgøres af alle punkter (x₀, x₁, x₂) med -1 < x_i < 1. Arealet, A, og volumenet, V, af en terning med sidelængden a er: :

A=6a^2

V=a^3

En terning kan indskrives i et dodekaeder sådan at hvert hjørne af terningen svarer til et hjørne af dodekaedret og hver kant er en diagonal i én af dodekaedrets sideflader; ved at tage alle sådanne terninger opstår den regulære sammensætning af fem terninger. Sammensætningen af to tetraedre er dannet fra terningen på en sådan måde. Terningen er unik iblandt de platoniske legemer i at den kan dække rummet fuldstændigt, og anvendes mange steder af denne grund. For eksempel presses sukker tit til terninger, som indeholder en passende mængde til at forsøde drikke, og den kendte sekssidede terning er terningeformet.

Fire dimensioner

I den firedimensionelle geometri har modparten til terningen et særligt navn – en tesserakt eller en hyperterning.

Arbitrært antal dimensioner

I et n-dimensionelt rum kaldes terningens modpart for en n-dimensionel terning, eller bare terning, hvis det ikke skaber forvirring.

Se også

- Enhedsterning
- Kasse
- Kugle
- Kvadrat

Eksterne henvisninger/kilder

- [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ De uniforme polyedre]
- [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtuelle virklighedspolyedre] Polyedresencyclopædiet
- [http://avdezign.tripod.com/papercraft/solids/ Foldgørlige papirmodeller] Kategori:Platoniske legemer ja:正六面体 ko:정육면체 simple:Cube

Eldon, MO

Eldon, Missouri

niusy luxury hotel prague BIELIZNA sylwester darmowe statystyki

:: RELATED NEWS ::

Shimabara uprising
The Shimabara Rebellion (ja: 島原の乱, shimabara no ran) was an uprising of Japanese peasants, many of them Christians, during the Tokugawa Shogunate in 1637-1638. Rebellion broke out on (according to western calend

Cut (album)
A cut can be:
- a laceration, such as to the skin.
- a version, such as of a movie.
- a blockage, such as in a supply line.
- the act of cutting a shuffled deck for randomization purposes during a card game

Sixteen Waltzes for piano, four hands
Sixteen Waltzes for Piano, four hands, Op. 39 is a piano duet written by Johannes Brahms containing 16 short waltzes. Published in 1865, and delicated to Eduard Hanslick, Sixteen Waltzes for Piano, four hand, sold very well, contrary to the composer's expectations. This piece also has been arra

Graham Masterton
Graham Masterton (1946-) is a best-selling British horror author. Originally editor of Mayfair and the the British edition of Penthouse, Graham Masterton's first novel was released in 1976. Further works garnered critical acclaim, including a Special Edgar award by the Chaos! Comics is a comic book publisher. Their titles include Lady Death, Purgatori, Evil Ernie, Chastity, and Smiley The Psychotic Button. They were recently acquired by Devil's Due Publishing, making th