:: wikimiki.org ::

Kvadrat

Kvadrat

Et kvadrat er en plan firkant, hvori alle sider er lige lange, og alle fire vinkler er rette (90°). Et kvadrats størrelse angives med sidelængden s. Da kvadratets areal er lig med s², bruges ordet "kvadrat" også indenfor matematikken om et tal opløftet til 2. (potens; således omtales størrelsen s² som "kvadratet på s".

Se også

- Cirkel
- Rektangel
- Rombe
- Terning Kategori:geometri Kategori:DK5 51.5 ja:正方形 ko:정사각형 simple:Square th:รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

Firkant

En firkant er en betegnelse for alle geometriske figurer med fire sider, sidelængder og hjørnernes vinkler underordnet. Man inddeler firkanter i følgende undergrupperinger:
- Et kvadrat har fire lige lange sider, og alle hjørner danner rette vinkler, dvs. måler 90 grader.
- Et parallelogram har parvis lige lange sider og hjørner der ikke (nødvendigvis) danner rette vinkler. Siderne bliver parvis parallelle.
- Et rektangel har parvis lige lange sider og hjørner der danner rette vinkler.
- En rombe har fire lige lange sider, men hjørner der ikke (nødvendigvis) danner rette vinkler.
- Et trapez har to parallelle sider.
- En trapezoide kan være "alt andet", dvs. alle "skæve" firkanter uden parallelle sider.
- I rumgeometrien er en vindskæv firkant en firkant der ikke er indeholdt i en plan (således at modstående sider er vindskæve linjer). Kategori:Geometri

Potens (matematik)

Indenfor matematik er potens, eller potensopløftning en regneoperation på linje med addition, subtraktion, multiplikation og division. Der findes to forskellige definitioner på hvordan en potensopløftning udføres, og ifølge den enkleste af disse er en potens produktet af det samme tal,

x

, gentaget

y

gange, altså:
:

\begin x^y = \underbrace \\ x \mboxy\mbox \end

hvor

x

omtales som roden, basen eller blot tallet, og

y

kaldes for potenseksponenten eller bare eksponenten.

Notation

Skrivemåden

x^y

læses som

x

y

'ende potens, dvs. grundtallet

x

siges som et mængdetal, mens eksponenten

y

siges som et ordenstal. For eksempel:
- 7⁴ læses Syv i fjerde potens (eller blot Syv i fjerde), og det beregenes som 7·7·7·7 = 2401.
- 2³ læses To i tredje potens, eller To i tredje, og beregnes sådan her: 2·2·2 = 8.
- 21⁰ læses Enogtyve i nulte potens og er lig med 1. Dette kan f.eks. udledes som 21¹
- 21^-1=

\frac

=1. På computere bruger man i visse situationer en lidt anden skrivemåde, fordi skrivemåden med eksponenten i superscript ("hævet tekst") er utilgængelig eller besværlig at bruge: I f.eks. programmeringssprog og regneark skrives regneoperationen

x^y

som x^y, x↑y eller x
- y.

Matematisk definition

Der findes to forskellige definitioner på hvordan man beregner

x^y

: Den definition der er nævnt i indledningen gælder i sig selv kun for en positiv heltallig eksponent

y

, men den kan "udbygges" til at gælde for alle heltallige eksponenter, inklusiv 0 og negative tal, og den gælder for ethvert reelt grundtal

x

. Den anden metode involverer den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritme, som infinitesimalregningen fastlægger en definition på: Den gør det muligt at beregne en potens

x^y

hvor grundtallet

x

kan være ethvert positivt reelt tal, og eksponenten

y

ethvert reelt tal. Til gengæld slår denne metode fejl hvis man prøver at bruge den i situationer hvor grundtallet

x

er et negativt tal. Tilsammen fastlægger disse to definitioner hvordan man beregner

x^y

så længe enten grundtallet

x

ikke er negativt, eller eksponenten

y

er et helt tal.

Potenser med heltallige eksponenter

Så længe eksponenten er et positivt heltal, gælder den beskrivelse der er nævnt i indledningen, og denne regneoperation kan man udføre på enhver værdi af roden

x

. Hvis

x

er negativ, gælder iøvrigt, at når eksponenten

y

er lige, bliver

x^y

et positivt tal, mens ulige rodeksponenter giver et negativt tal. Hvis man multiplicerer ("ganger") et tal med 1, får man tallet selv: Man kan altså uden videre skrive definitionen fra indledningen om til
:

\begin x^y = 1 \cdot \underbrace \\ x \mboxy\mbox \end

Nu giver det mening at tale om potenser med eksponenten

y = 0

; hvis man undlader at multiplicere med

x

(eller: "gør det nul gange"), er blot éttallet tilbage. Deraf følger, at
:

x^0 = 1

for alle værdier af

x

, undtagen 0. Tallet 0 er en undtagelse, fordi uanset hvor mange (eller få) gange man multiplicerer 0 med sig selv, er resultatet altid 0. Når man beregner

x^y = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x

, får man mellemresultater der er stigende eksponenter af

x

for hver gang man multiplicerer med

x

. Omvendt kan man "fortryde" en multiplikation med

x

ved at dividere med

x

og derved reducere mellemresultatets potenseksponent med 1. Denne "fortrydelsesret" kan udnyttes til at udvide definitionen til også at omfatte negative heltal:
:

x^ = \frac

Potenser med reelle eksponenter

Ved hjælp af infinitesimalregningen kan man fastlægge én ganske bestemt eksponentiel funktion; den såkaldte naturlige eksponentialfunktion,

e^y

, hvor e er en matematisk konstant. Den gør det i første omgang muligt at beregne en potens med grundtallet

e

og ethvert reelt tal

x

.
Tilsvarende definerer infinitesimalregningen den inverse funktion til

e^y

, nemlig den naturlige logaritme, og ved hjælp af disse to funktioner kan man definere potensen

x^y

for ethvert positivt, reelt grundtal

x

og enhver reel eksponent

y

:
:

x^y = e^

Bemærk at der ikke direkte findes funktionsforskrift for den naturlige logaritme og eksponentialfunktion; en formel der giver et eksakt svar på hvad

e^y

er for en given eksponent

y

. Computere og lommeregnere bruger taylorpolynomier og andre metoder til at finde en tilnærmet værdi når de skal regne med disse to funktioner.

Regneregler for potenser

Af definitionerne kan man udlede et antal regneregler for potenser, som bl.a. kan bruges ved løsning af ligninger. Følgende gælder for de særtilfælde hvor enten grundtallet eller eksponenten er 0:
- Hvis grundtallet er nul, er potensen lig med 0 uanset eksponenten:

0^y = 0

- Alle andre grundtal giver potensen 1 hvis eksponenten er 0:

x^0 = 1, x \ne 0

Produktet og kvotienten af to potenser med samme grundtal kan samles i én potens, hvori eksponenten er hhv. summen og differensen af de to oprindelige eksponenter:
-

x^a \cdot x^b = x^

\frac = x^

Hvis man lader en potens indgå som grundtal i en ny potens, kan man også samle det i én potensberegning, idét
-

(x^y)^z = x^

Produktet af to potenser med samme eksponent kan samles i én potensudregning:
-

x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a

Logaritmen til en potens kan skrives som produktet af eksponenten og logaritmen til grundtallet i potensen. Dette gælder helt uanset logaritmens grundtal:
-

\log (x^y) = y \cdot \log x

Kvadratroden, kubikroden og mere generelt "den n'te rod" af et tal, kan beskrives som potensopløftninger, idét
-

\sqrt[n] = x^

\sqrt = x^

\sqrt[3] = x^

Se også

Fakultet (matematik), Toerpotens Kategori:Matematik ja:冪乗

Rektangel

Et rektangel er en plan firkant, hvori modstående sider er lige lange, og alle fire vinkler er rette (90°). Firkanten på illustrationen til højre er et rektangel; bemærk at de røde hjørner der er indtegnet, blot symboliserer at hjørnerne danner rette vinkler; de er ikke en del af selve rektanglet.

Areal, omkreds m.v.

For et rektangel der som vist på illustrationen har har bredden

a

og højden

b

kan man beregne:
- Arealet

A

som

A = a \cdot b

- Omkredsen

O

som

O = 2 \cdot (a + b)

- Diagonalerne har begge længden

d = \sqrt

(Pythagoras' sætning)

Se også

- Cirkel
- Kvadrat
- Rombe
- Kasse
- Parallelogram Kategori:geometri Kategori:DK5 51.5

Rombe

En rombe er et parallelogram, hvor alle fire sider har samme længde.

Se også

- Cirkel
- Ellipse
- Kvadrat
- Rektangel
- Parallelogram
- Kasse kategori:geometri

Terning

En terning (eller hexaeder) er et platonisk legeme som består af seks firkantede sideflader, med tre der mødes ved hvert hjørne. Terningen er en særlig type kvadratisk prisme, rektangulær parallelopipeder og triangulær trapezoeder, og den er dual i forhold til oktaedret. Den sekssidede terning er den almindeligste form for terning til spil. I rollespilssammenhæng kaldes den også d6 (fra engelsk die: terning).

Tre dimensioner

De kanoniske koordinater til hjørnene af en terning med midtpunkt i origo er (±1,±1,±1), mens massen af terningen udgøres af alle punkter (x₀, x₁, x₂) med -1 < x_i < 1. Arealet, A, og volumenet, V, af en terning med sidelængden a er: :

A=6a^2

V=a^3

En terning kan indskrives i et dodekaeder sådan at hvert hjørne af terningen svarer til et hjørne af dodekaedret og hver kant er en diagonal i én af dodekaedrets sideflader; ved at tage alle sådanne terninger opstår den regulære sammensætning af fem terninger. Sammensætningen af to tetraedre er dannet fra terningen på en sådan måde. Terningen er unik iblandt de platoniske legemer i at den kan dække rummet fuldstændigt, og anvendes mange steder af denne grund. For eksempel presses sukker tit til terninger, som indeholder en passende mængde til at forsøde drikke, og den kendte sekssidede terning er terningeformet.

Fire dimensioner

I den firedimensionelle geometri har modparten til terningen et særligt navn – en tesserakt eller en hyperterning.

Arbitrært antal dimensioner

I et n-dimensionelt rum kaldes terningens modpart for en n-dimensionel terning, eller bare terning, hvis det ikke skaber forvirring.

Se også

- Enhedsterning
- Kasse
- Kugle
- Kvadrat

Eksterne henvisninger/kilder

- [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ De uniforme polyedre]
- [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtuelle virklighedspolyedre] Polyedresencyclopædiet
- [http://avdezign.tripod.com/papercraft/solids/ Foldgørlige papirmodeller] Kategori:Platoniske legemer ja:正六面体 ko:정육면체 simple:Cube

Kategori:DK5 51.5

51.5 Geometri Kategori:DK5 51

Olympische Winterspiele 1932/Bob

Bei den III. Olympischen Spielen 1932 in Lake Placid wurden zwei Wettbewerb im Bobsport ausgetragen. Austragungsort war die Naturbahn Mount van Hoevenberg mit einer Länge von 2.366 m und einem Höhenunterschied von 228 m.

Zweierbob

Viererbob

Seit 1932 dürfen nur noch vier Fahrer im Viererbob sitzen, vorher durften es auch fünf sein. Das Rennen im Vierer wurde wegen schlechter wetterbedingungen erst nach der Abschlusszeremonie der Winterspiele ausgetragen.

Bob

hoteles en berlin Nurkowanie Casino Calling Cards Hotel in Sofia

:: RELATED NEWS ::

Energy Star
Energy Star est le nom d'un programme gouvernemental américain chargé de promouvoir les économies d'énergie aux États-Unis. Il a été initié par l'EPA (Environmental Protection Agency) en 1992 pour réduire les émissions de gaz à effet de serre. Il prend la forme d'un label apposé sur différents produits qui respectent les normes environnementales tels que les Seconde Guerre mondiale à l'initiative de deux ministres de l'outre-mer, Jean Letourneau et François Mitterrand, le Bureau du développement de la production agricole (BDPA) était un organisme public français dépendant du Ministère de l'Agriculture chargé de développer la production Seconde Guerre mondiale à l'initiative de deux ministres de l'outre-mer, Jean Letourneau et François Mitterrand, le Bureau du développement de la production agricole (BDPA) était un organisme public français dépendant du Ministère de l'Agriculture chargé de développer la production photographie, un obturateur est un appareil qui gère l'exposition en laissant entrer la lumière sur le film pendant une période donnée. Les obturateurs sont normalement de deux types de base :
- Obturateur central
- Obturateur à plan focal Il faut un