Matematik

Definition

Historie

Strukturer

Geometri

Infinitesimalregning

Computernes Indflydelse

Anvendt Matematik

Emneoversigt

Mængde

Ændring

Struktur

Rum

Diskret matematik

Anvendt matematik

Se også

Yderligere litteratur

Eksterne henvisninger

Græsk (sprog)

Oldgræsk og nygræsk

Det græsk, som blev brugt i antikken, kaldes oldgræsk. På grund af oldgræsks store betydning er det dog almindeligt, at man slet og ret kalder det græsk, hvorimod det moderne sprog normalt må præciseres nygræsk.

Forskellen mellem oldgræsk og nygræsk er så betydelig, at man ikke uden videre kan forstå det ene, fordi man har lært det andet. Retstavningen har ikke ændret sig så meget, men udtalen er vidt forskellig. Mange af ordene er stadig de samme, selv om der har været en vis udskiftning. Grammatikken er noget anderledes. Det utal af bøjningsformer, der kendetegner oldgræsk, er blevet indskrænket kraftigt i nygræsk (futurum, optativ og infinitiv er forsvundet som selvstændige bøjninger; dativen er ligeledes forsvundet).

Folkenavnet

Grækenland, græsk og grækere er det almindelige navn for landet, sproget og folket i Europa og stammer fra latin (Graecia, Graecus). Grækerne kaldte sig derimod i oldtiden hellenere (Ἕλληνες) og landet for Hellas (Ἑλλάς). Dette navn blev genoptaget, da den moderne græske stat blev dannet i det 19. århundrede.
I mellemtiden havde de kaldt sig romæere (Ρωμαῖοι ell. Ρωμιοί), egtl. "romere", fordi de var efterkommere af det Østromerske (Byzantinske) Riges græsktalende befolkning.
Homer bruger ikke hellenernavnet, men kalder grækerne for achaier, argeier eller danaer.

Slægtskab og forhistorie

Inddeling

Forskellige perioder havde forskellige former for græsk:

Udtale

Oldgræsk og nygræsk skrives med det samme alfabet, og den klassiske ortografi er stort set bevaret indtil i dag, men udtalen er vidt forskellig. Sprogvidenskaben har dannet sig et ganske godt billede af, hvordan klassisk attisk græsk har været udtalt. I den nedenstående tabel er de to udtaler sammenstillet: Kategori:Indoeuropæiske sprog als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Videnskab

Videnskab er teoribygning, der søger at forklare et større afgrænset emneområde. Der kan skelnes mellem naturvidenskab, og hvad der i øvrigt benævnes videnskab. Naturvidenskaben beskæftiger sig med, hvad der er objektivt observerbart. Hvad der i øvrigt kaldes videnskab, er afhængigt af, hvad man inden for den givne kulturramme anser det for passende at opbygge en i sagens natur fuldstændig subjektiv teoribygning omkring. Der findes to former for videnskab med en skarp og alligevel udflydende grænse: # Den anerkendte naturvidenskab, som består af både en teoretisk og en praktisk del. # Den ikke anerkendte videnskab, som består af enten en teoretisk eller en praktisk del, eller som mangler sammenhæng imellem den teoretiske og den praktiske del. Når der er så udflydende en grænse imellem de to former, skyldes det, at den teoretiske videnskab kun i teorien og ikke praksis kan modsvare den praktiske videnskab, da al teori består af en forenklet model af en mere kompliceret virkelighed.

Hovedområder på danske universiteter

- Humaniora
- Jura
- Naturvidenskab
- Samfundsvidenskab
- Sundhedsvidenskab

Se også

- Leksikografi
- Paradigmeskift
- Videnskabsfilosofi

Danske henvisninger

- http://dmoz.org/World/Dansk/Videnskab/

Engelske henvisninger

- [http://unisci.com/science2.shtml UniSci: Why Science?]
- [http://www.mit.edu/~bkrupa/whyscience.html Boris Krupa: Why science?]
- [http://www.people.virginia.edu/~rjh9u/studysci.html Why Study Science?]
- [http://www.scienceandyou.org/articles/ess_01.shtml Why Science & You]
- [http://www.wissen-news.de Science News (ger.)]
- [http://www.epinions.com/content_2841616516 Why science cannot be democratic]
- [http://physicsweb.org/article/world/13/5/2 Why science thrives on criticism]
- [http://www.science-park.info/ Science-Park - General information on sciences] Citat: "...You do not need to qualify as a rocket scientist to come to this Park. Some contents are designed for general public, those who are curious in science...." Kategori:Videnskab ja:科学 ko:과학 ms:Sains simple:Science th:วิทยาศาสตร์ zh-min-nan:Kho-ha̍k

Logik

Logik er en filosofisk disciplin der undersøger formelle argumenters "gyldighed" - om de er logisk konsistente i forhold til de axiomer eller regler argumentet hviler på. Om et argument er "holdbart", dvs. hvad man eventuelt kunne udlede fra dets struktur, er i "formel logisk" sammenhæng ikke relevant. Det er et "filosofisk logisk" interesseområde. Deraf skelnen mellem formel og filosofisk logik. (Et eksempel kunne være om en sætning kan være andet end KUN sand og falsk som det hævdes i klassisk logik, men også have andre sandhedsværdier, se fuzzy logic). Historisk stammer logikken fra Aristoteles. Hans syllogismer var standard helt op til 1879, hvor Gottlob Frege udgav sin Begriffsschrift, en milepæl i filosofien og moderne logik, matematik og computervidenskab. Ordet 'logik' kommer fra græsk logos = sprog, ord, system, samling (eksempelvis biologi = bios + logos).

Litteratur

- Graham Priest, Logic: a very short introduction to logic, Oxford University Press, 2000. Her finder du også en glimrende bibliografi, hvis du vil vide endnu mere.
- Se også den engelske wikipedia for gode artikler om prædikatslogik og Aristotelisk logik.
- [http://www.gutenberg.net Gutenberg.net], her kan du frit downloade mange af de klassiske filosofiske værker.

Se også

matematik, deduktion, induktion (psykologi), konjunktion, logisk operator, modus ponens, modus tollens, fuzzy logik, udsagnslogik, prædikatlogik, mængdelære, hypotese, aksiom, bevis, matematisk bevis, matematisk sætning. Kategori:Logik Kategori:Filosofi Kategori:Kunstig intelligens Kategori:DK5 11 ja:論理学 ko:일반논리학 ms:Logik simple:Logic

Naturvidenskab

Naturvidenskab er opbygning af naturvidenskabelige teorier. Naturvidenskabelige teorier har den egenskab at de er falsificerbare. Dvs. at de forudsiger konsekvenser der er objektivt observerbare, og at en modstrid mellem de forudsagte og faktisk observerede konsekvenser derfor betyder, at teorien kan konstateres at være fejlagtig. Ideelt set kan en naturvidenskabelig teori således falsificeres via forsøg. Visse naturvidenskabelige teorier beskæftiger sig dog med emner, hvis natur gør direkte forsøg vanskelige. Dette gælder f.eks. teorier som evolutionsteorien og teorien om kontinentalpladernes drift. I dette tilfælde lægges vægt på, at teorien forklarer alle observerede fakta. En naturvidenskabelig teori har form af en model (ofte matematisk), der tillader forudsigelser inden for teoriens gyldighedsområde. Naturvidenskaben beskæftiger sig således udelukkende med at beskrive konsekvensen af givne årsager. Naturvidenskabens mål er at reducere specifikke modeller til mere generelle modeller, dvs. at finde mere grundlæggende årsags-virknings sammenhænge. Naturvidenskaben søger således at give svar på hvordan verden er indrettet. Hvorfor verden er indrettet på denne måde ligger uden for naturvidenskabens område. Nogle mennesker søger svar på hvorfor-spørgsmålet gennem religion.

Se også

- biologi, datalogi, fysik, kemi, matematik, nanoteknologi, Danmarks kendte personer, Naturvidenskabsfolk.

Eksterne henvisninger

- [http://www.aktuelnat.au.dk/ Aktuel Naturvidenskab] Kategori:Videnskab Kategori:Naturvidenskab ja:自然科学 ko:자연과학 th:วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

Astronomi

Astronomi (græsk: αστρονομία = άστρον + νόμος, bogstaveligt, "stjernernes lov") er videnskaben som omfatter observation og forklaring af hændelser udenfor Jorden og dens atmosfære. Astronomien regnes for en af de ældste videnskaber, idét man må formode at de allertidligste mennesker må have bemærket og spekuleret over de himmellegemer, der kan ses med det blotte øje; stjerner, Solen, Månen samt visse planeter og til tider kometer og stjerneskud. Astronomien underinddeles i en række discipliner, der behandler forskellige astronomi-relaterede emner, fænomener og objekter, f.eks.:
- Astrometri, eller "stjernemåling"; studiet af objekters position og bevægelser på himlen. Hertil hører det system af himmelkoordinater, man bruger til at stedfæste positioner på himlen.
- Astrofysik; studiet af de fysiske love og processer, der styrer Universet og de objekter, der findes i det.
- Kosmologi er studiet af hele Universet som sådant; den teoretiske astrofysik der beskriver, hvordan Universet opstod, og hvordan det eventuelt en gang vil "ende".
- Den "praktiske", såkaldt observerende astronomi inddeles efter de strålingsformer fra universet som vi kan observere. Man taler således bl.a. om:
- Optisk astronomi handler om de objekter der kan registreres som lys, dvs. indenfor den synlige del af det elektromagnetiske spektrum. Enten med det blotte øje eller under brug af kikkerter (teleskoper).
- Infrarød astronomi minder om optisk astronomi, fordi infrarødt lys ligger lige udenfor det område, der kan ses af det menneskelige øje — dog er instrumenter til infrarød astronomi tilpasset den længere bølgelængde. Da Jordens atmosfære også leverer infrarød stråling, er det til tider nødvendigt at bruge instrumenter ombord i rumfartøjer udenfor atmosfæren.
- Højenergi-astronomi er studiet af elementarpartikler og elektromagnetisk stråling med høj energi, f.eks. ultraviolet stråling, røntgenstråling og kosmisk stråling. Da atmosfæren absorberer visse af disse typer stråling, kan det blive nødvendigt at foretage denne form for observationer med instrumenter i rumfartøjer.
- Radioastronomi er den del af astronomien, der undersøger de radiobølger, der kommer til os fra de naturlige processer og fænomener, der foregår ude i rummet. Radiobølger kan trænge igennem bl.a. de støvskyer i Universet, som spærrer for det synlige lys, og dermed fortælle om ting, som den optiske astronomi ikke kan afsløre.

Se også

- solplet, tidevand, astronomisk enhed, astrofysik, lysår, parsec, tid, astrologi, Astronomisk Selskab.

Eksterne henvisninger

- [http://as.dsri.dk/ Astronomisk Selskab Danmark]
- [http://www.astroinfo.frip.dk/ Astro Info - din store astronomi ressource!]
- [http://www.tycho.dk/astronomi/ Tycho Brahe Planetarium - Astronomi]
- [http://www.aigis.dk/astronomy/astro_index.html Aigis: Astronomi]
- [http://www.cozmo.dk/ WWW.COZMO.DK - Astronomi - Fysik - Universet - Filosofi - Kosmos - Stjerner]
- [http://www.dr.dk/videnskab/praes/univers/index.asp DR: Velkommen til Universet på Web TV!]
- [http://www.rumfart.dk/ Dansk Selskab for Rumfartsforskning]
- [http://www.rummet.dk/ rummet.dk] Kategori:Fysik Kategori:Astronomi Kategori:DK5 52 ja:天文学 ko:천문학 ms:Astronomi simple:Astronomy th:ดาราศาสตร์

Naturlige tal

Et naturligt tal er ethvert af tallene 1, 2, 3, ... Mængden af naturlige tal betegnes $\backslash mathbb$. Bemærk at nogle matematikere (specielt talteoretikere) foretrækker ikke at betragte tallet 0 som et naturligt tal - mens andre (specielt mængdeteoretikere, logikere, computerforskere) medtager 0 som et naturligt tal, i dette tilfælde betegnes mængden $\backslash mathbb\_0$. Til mængden af naturlige tal, er knyttet et mindste element nemlig tallet 1. - Da vi endvidere kan definere en ordning på tallene, er de naturlige tal velordnet. Endvidere gælder induktionsprincippet i de naturlige tal. De naturlige tal, med deres egenskaber, er fundamentale for al matematik; af de naturlige tal kan vi udlede de hele tal, af disse kommmer de rationale tal og fx. ved fuldstændiggørelse af disse opstår de reelle tal, i de reelle tal har vi nu supremumsegenskaben som er fundamental for al analyse. De naturlige tal er også udgangspunktet for algebra, i mere konkret forstand. ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Abstrakt algebra

Algebra er den matematiske gren, der omhandler ligninger. Algebraen opstod under Reformationen. Kategori:Algebra ko:추상대수학 th:พีชคณิตนามธรรม

Vektor (matematik)

Vektorer anvendes inden for bl.a. fysikken, fordi de gør det nemmere at regne med eksempelvis kræfter, hastigheder og acceleration.

Kort forklaring

En vektor er et matematisk objekt, der er karakteriseret ved at have en størrelse og en retning. En vektor er et element i et vektorrum. (dette er en koordinatfri beskrivelse af vektoren).

Definition af vektor

En vektor er egentlig blot en ret linje, hvortil der er knyttet en række særlige egenskaber. Dog er det som altid er kendetegnende for en vektor, at den har både en størrelse og en retning.

Notation

En vektor noteres, ved at skrive navnet på en vektoren og lave en pil eller streg over navnet. $\backslash vec\; a$ Som fortalt har en vektor både størrelse og retning. Umiddelbart kan dette omsskrives på to måder. Hvis du fx har en vektor, med længden 5 og vinklen 45 grader i forhold til vandret (x-aksen) skriver du: $\backslash vec\; a=5\; \backslash angle\; 45^\backslash circ$ Men når man regner med flere vektorer samtidigt, er denne notation upraktisk. Den findes derfor en anden notation, opskrevet på matrixform. Her opfatter man vektoren som en retvinklet trekant, og angiver hvor langt den når hen ad x-aksen og hvor langt den når hen ad y-aksen. $\backslash vec\; a=$ Hvis du har en vektor opskrevet på den første måde, og ønsker at omskrive den til matrix-form, gøres det således: $\backslash vec\; a=L\; \backslash angle\; v$ $\backslash vec\; a=$

Addition af vektorer

Når du skal lægge to vektorer sammen (svarer til at finde den resulterende kraft), får du en ny vektor, der kaldes sumvektoren. Denne er normalt benævnt med $\backslash vec\; r$. Hvis du har to vektorer: $\backslash vec\; a=$ $\backslash vec\; b=$ Lægges de sammen på denne måde: $\backslash vec\; r=$ Hvis du har tre eller flere vektorer lægges de sammen, efter samme princip (x koordinaterne lægges sammen og y koordinaterne lægges sammen).

Subtraktion af vektorer

Vektorer trækkes fra hinanden, efter samme princip, som man lægger sammen. Dog opfatter man vektorers differens som: $\backslash vec\; a\; +\; (-\backslash vec\; b)$ At man skriver $-\backslash vec\; b$ betyder simpelthen at vektoren vendes og går i den modsatte retning. Det opfattes også som: $(-\backslash vec\; b)=$ Men dette bruges kun grafisk. Analytisk trækker man vektorer fra hinanden ved at sige: $\backslash vec\; r=$

Skalering af vektor

Når man fordobler en vektors længde, ganger man x-koordinatet og y-koordinatet med skaleringsfaktoren. Formlen er givet ved: $n\; \backslash cdot\; \backslash vec\; a=$

Længde af vektor

Når du har opskrevet en vektor på matrix-form, skal du bruge en bestemt formel til at finde vektorens længde. Eftersom man faktisk kan opfatte en vektor som et retvinklet trekant, kan man bruge Pythagoras til at bestemme vektorens længde. En vektors længde er noteret som: $|\backslash vec\; a|$ Formlen for en vektors længde er givet ved: $|\backslash vec\; a|=\backslash sqrt$

Se også

- Vektor - for andre betydninger. Kategori:Vektorer ja:ベクトル (数学) ko:벡터

Vektorrum

Et vektorrum er en mængde af vektorer, der opfylder følgende betingelser: Lad V være et vektorrum, u og v være vektorer i vektorrum V og c og d tilhøre en mængde F, således at skalarmultiplikation med F er afbildet i V.
- Addition er defineret, og V er lukket overfor addition, dvs. $\backslash vec,\; \backslash vec,\; (\backslash vec+\backslash vec)\backslash in\backslash mathbb$.
- Skalarmultiplikation er defineret, og V er lukket overfor skalarmultiplikation, dvs. $c\backslash in\backslash mathbb\; \backslash quad\; \backslash vec,\; (c\backslash cdot\backslash vec)\backslash in\backslash mathbb$.
- Addition er associativt, dvs. $(\backslash vec+\backslash vec)+\backslash vec=\backslash vec+(\backslash vec+\backslash vec)$.
- Skalarmultiplikation er associativt, dvs. $c(d\backslash vec)=(cd)\backslash vec$.
- Addition er kommutativt, dvs. $\backslash vec+\backslash vec=\backslash vec+\backslash vec$.
- Skalarmultiplikation er distributivt over vektoraddition, dvs. $c(\backslash vec+\backslash vec)=c\backslash vec+c\backslash vec$.
- Skalarmultiplikation er distributivt over skalaraddition, dvs. $(c+d)\backslash vec=c\backslash vec+d\backslash vec$.
- Addition har et neutralt element, nulvektoren, dvs. $\backslash vec+\backslash vec=\backslash vec$.
- Skalarmultiplikation har et neutralt element 1 (det neutrale element i multiplikation), dvs. $1\backslash cdot\backslash vec=\backslash vec$.
- For alle vektorer eksisterer en vektor, som lagt sammen med vektoren giver nulvektoren, dvs. $\backslash forall\backslash vec\; \backslash exist\backslash vec\; \backslash quad\; \backslash vec+\backslash vec=\backslash vec$. De nævnte vektorer, der er elementer i vektorrummet, skal ikke nødvendigvis være vektorer som vi kender dem fra gymnasiet, men kan være alle mulige matematiske objekter, der opfylder betingelserne. kategori:Vektorer ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간

Geometri

Ordet geometri kommer af græsk, og betyder "jordmåling". Grunden til dette er, at den ældste geometri blev skabt af de gamle flodkulturer (Ægypterne og Babylonerne), der måtte opfinde metoder til opmåling af marker. Der findes mange slags geometri. Den mest kendte - og den først udviklede - er Euklidisk geometri, der er geometri på et fladt plan. Der findes dog også andre typer ikke-euklidisk geometri, fx geometri på en kugle. Disse ikke-euklidiske former for geometri anerkender ikke euklids femte aksiom (se Euklidisk geometri). Et vigtigt fremskridt indenfor geometrien var integrationen af aritmetik og geometri i den såkaldte analystiske geometri, som matematikeren og filosoffen René Descartes udviklede i hans metodelære fra 1637. Her blev koordinatsystemet for første gang indført. Geometri før dette (syntetisk geometri) var baseret udelukkende på elegante og indlysende beviser i visuel form. En vigtig del af geometrien er trigonometri, der er læren om måling af trekanter.

Se også

Béziertrekant Kategori:Geometri ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Euklidisk geometri

Euklidisk geometri er den klassiske geometri, hvor de 5 postulater, som er opstillet af den græske matematiker Euklid er gældende. Euklid skrev omkring 300 f.Kr. sin bog Elementer, hvori han opstillede disse fem postulater og en lang række af sætninger og konstruktioner udledt af disse. De giver os en 'intuitiv' – syntetisk geometri med plane flader, hvor konstruktioner kan foretages ved brug af passer og lineal.

Se også

- Euklids postulater for mere om postulaterne.
- Ikke-euklidisk geometri Kategori:Geometri ja:ユークリッド幾何学 ko:유클리드 기하학

Trigonometri

Trigonometri (fra græsk trigonon = tre vinkler og metro = måle) er en gren af matematikken der behandler relationen mellem sider og vinkler i trekanter. Hertil er knyttet de trigonometriske funktioner sinus (forkortet sin), cosinus (forkortet cos), tangens (forkortet tan) og cotangens (forkortet cot). Alle fire funktioner er defineret i enhedscirklen.

Trekantberegninger

En trekant har tre sider og tre vinkler, dvs. der hører i alt seks "stykker" til en given trekant. Hvis tre af disse seks stykker er givet (mindst ét af dem skal dog være en side), kan man ved hjælp af tre matematiske "regneregler" beregne de tre manglende stykker. De tre formler/"regler" er:
- Cosinusrelationen,
- Sinusrelationen, samt reglen om at
- Summen af vinklerne i enhver trekant er 180° Regneopgaver af denne art kaldes for trekanttilfælde, og de inddeles efter hvilke oplysninger der er givet.

Se også

- Radian
- Vinkelfrekvens
- Vinkel Kategori:Geometri ja:三角法 ko:삼각법 th:ตรีโกณมิติ

Ikke-euklidisk geometri

Den engelske wikipedias artikel (og ligeledes den svenske, tilsyneladende baseret herpå) er lidet tilfredsstillende og indeholder direkte fejl. For at undgå at disse ting overføres til den danske wikipedia er det nedenfor forsøgt at starte en uafhængig tekst. Emnet hører ikke til de lettest forståelige, og der er i første omgang lagt vægt på at fremdrage nogle karakteristiske egenskaber ved ikke-euklidisk geometri - uden at nogen rigoristisk udledelse er tilsigtet.

Den euklidiske geometris område

Den euklidiske geometri bygger på et antal postulater (kaldet axiomer) som ikke kan bevises; for eksempel begrebet "et punkt" og at der gennem to punkter kan trækkes én og kun en ret linje. Et af Euklids postulater har givet anledning til megen grublen: det såkaldte parallel-postulat som udsiger, at der gennem et punkt uden for en ret linje kan trækkes én og kun en ret linje parallel med denne. Man har siden oldtiden atter og atter forsøgt at bevise dette postulat ud fra Euklids øvrige postulater, men hver gang et "bevis" var fremsat, blev det påpeget, at det var et cirkelbevis, dvs. at man i bevisførelsen på en eller anden måde var gået ud fra det, som skulle bevises. Det er dog nu vist, at Euklids parallel-postulat er uafhængigt af de øvrige. Hvor parallel-postulatet gælder, er der tale om klassisk, euklidisk geometri. Det var imidlertid det omfattende arbejde, der blev udført omkring dette postulat, som førte til den udvidelse af geometriens område, som kaldes den ikke-euklidiske geometri.

Andre slags geometri

Først i 1800-tallet dukkede den tanke op at man kunne skabe en geometri som ikke byggede på parallelpostulatet, med andre ord en geometri hvor der gennem et punkt uden for en ret linje kunne trækkes andre antal end én ret linje parallel med denne. Det har vist sig muligt at skabe to "nye", modsigelsesfri geometrier med sådanne egenskaber. right På en plan flade (1) kan man gennem et punkt (hvid prik) uden for en linje (gul streg) tegne én og kun én ret linje (blå streg) parallel med den første linje. På en kugleformet flade (2) kan man ikke tegne to ikke-sammenfaldende, rette linjer uden at de krydser hinanden, mens man på den hyperbolske flade (3) gennem samme punkt kan tegne uendeligt mange linjer parallelt med den første linje.

Riemannsk geometri: Ingen parallelle linjer

Mens Euklids postulater gælder for en plan overflade som f.eks. et almindeligt stykke papir, gælder den Riemannske geometri for en kugleformet overflade: Her kan man slet ikke tegne to parallelle linjer som ikke er sammenfaldende, og som ikke skærer hinanden. En flyvemaskine der flyver "lige ud" i forhold til terrænet under det, vil efter 40.000 km have fuldført en jordomrejse langs en storcirkel; en cirkel med (godt og vel) Jordens radius, og med centrum sammenfaldende med Jordens (teoretiske) centrum. Sådan en storcirkel er den Riemannske geometris "svar" på rette linjer indenfor Euklids geometri.
To fly der flyver Jorden rundt som beskrevet ovenfor, vil enten følge sammenfaldende ruter, eller krydse hinandens ruter to gange for hver jordomrejse - de kan ikke flyve parallelt med hinanden, uden at mindst én af piloterne fortløbende må dreje en lille smule for at undgå at krydse det andet flys rute. En anden karakteristisk egenskab for den Riemannske geometri er, at vinkelsummen i en trekant, tegnet på en kugleoverflade, vil være større end 180 grader. Dette kan illustreres ved hjælp af en globus: Vælg to punkter på ækvator med 90 længdegraders afstand; mellem disse punkter og en af polerne kan man nu tegne en trekant med tre rette vinkler, og en vinkelsum af 3 · 90° = 270°.

Hyperbolsk geometri: Mange parallelle linjer

Denne geometri kaldes også for Bolyai-Lobatjevskij-geometri, og dens regler gælder for den såkaldte hyperbolske plan: Her kan to rette linjer være enten skærende, parallelle eller ultraparallelle. To parallelle linjer vil i den ene retning nærme sig asymptotisk til hinanden, dvs. at deres indbyrdes afstand går mod nul når man forlænger linjerne mod det uendelige. I den anden retning fjerner linjerne sig mere og mere fra hinanden. Heraf følger at der - til forskel fra Euklids parallelpostulat - gælder at der gennem et punkt uden for en ret linje kan trækkes præcis to linjer parallel med denne, nemlig linjer som i hver sin retning er parallel med den givne. Disse to linjer vil danne en "lille" vinkel med hinanden. Rette linjer som går gennem det givne punkt og ligger inden for den omtalte vinkel siges at være ultraparallelle med den givne linje. Endvidere vil to linjer som er vinkelrette på samme tredje linje være ultraparallelle. En anden vigtig egenskab ved den hyperbolske geometri er at summen af vinklerne i en trekant er mindre end 180 grader. Kategori:Geometri ja:非ユークリッド幾何学 ko:비유클리드 기하학

Generelle relativitetsteori

I 1916 udvidede Einstein sin specielle relativitetsteori fra 1905 så den også dækkede effekten af tyngdekraften på rum og tid. tid Teorien - der blev kendt som Einsteins almene eller generelle relativitetsteori - forudsiger at alle masser (planeter, solen, stjerner og golfkugler) krummer rummet omkring sig. For et plant snit (to dimensioner) igennem rummet og massen, kan man få en fornemmelse af fænomenet ved at forestille sig et tredimensionelt billede med en billardkugle i midten af et udspændt, elastisk gummiklæde. Den trejde dimensions hensigt er at illustrere rumdeformationens/"tyngdekraftens" styrke som følge af massen i omegnen. Jo større fordybning af gummiklædet i et givent punkt i det todimensionelle rumudsnit, jo større deformation. Samme mentale billede viser også hvordan en mindre kugle (en golfbold f.eks.) der droppes et sted på gummiklædet vil komme tættere og tættere på billardkuglen; ikke fordi de er tiltrukket af hinanden, men fordi rummet ’går ned ad bakke’. Denne illustration har naturligvis mange begrænsninger. Einsteins rumtid består af fire dimensioner hvoraf tiden er én. Alligevel kan det give en intuitiv forståelse af nogle af de fænomener, der beskrives i den generelle relativitetsteori. Et andet basalt postulat i Einsteins 1916 artikel, er det såkaldte ækvivalensprincip, ifølge hvilket naturlovene er de samme i et tyngdefelt (som vi finder det på jordoverfladen) og i et jævnt accelereret system. Effekten er, at man ikke kan måle sig til om man befinder sig på en planet med en tyngdeacceleration på ca. 9,82 m/sec2 eller om man befinder sig i et rumskib, der accelererer med 9,82 m/sec2. Har man siddet i et tog og kigget på et andet tog som dækker det meste af sit synsfelt ud af togvognen og der jævnt og langsomt sætter i gang på sporet ved siden af, så har man en fornemmelse af hvad dette postulat indebærer. Er det dem eller os der kører? Einstein brugte også idéerne fra den almene relativitetsteori på Universet som helhed. På den måde nåede han frem til muligheden for at Universet - i kraft af rumtidskrumningen - kunne være endeligt uden at være afgrænset, ligesom jordoverfladen der - netop i kraft af krumningen - har et endeligt areal, men ingen grænser. I årene efter publiceringen i 1916, blev der eksperimenteret med generel relativitet i stor stil. Det førte til eftervisningen af en del af Einsteins postulater, men nu næsten 100 år senere mangler der stadig evidens for nogle af de mere bizarre konsekvenser af den almene relativitetsteori; blandt andet tyngdebølger og sorte huller. = Krumme koordinatsystemer =

Ækvivalensprincip

Einsteins ækvivalensprincip er en hypotese, der siger, at et system i et tyngdefelt er lokalt ækvivalent med et jævnt accelererede system.

Vektorer i krumme koordinatsystemer

Kovariante og kontravariante vektorer

Kovariant differentiation og Christoffel-symboler

Metriktensor

Den metriske tensor spiller en afgørende rolle i forståelsen af relativitetsteori, idet den definerer alle afstande.

Geodætiske kurver

Bevægelse af legemer i et gravitationsfelt

Maxwells ligninger i et gravitationsfelt

= Einsteins gravitationsfeltsligninger =

Riemann tensor

Invariant volumelement

Materiens energi-impuls tensor

Hilbert-Einsteins gravitationsfeltsvirkning

Einsteins ligninger

= Løsninger til gravitationsfeltsligninger =

Den Newtonske grænse

Vi ved fra den klassiske mekanik, hvordan masser opfører sig i svage tyngdefelter. Denne teori er testet på så forskellige objekter som æbler og planeter, og en god overensstemmelse er opnået. Når så en teori som almen relativitetsteori konstrueres, må vi kræve at der er overensstemmelse mellem de to teorier i den grænse hvor vi forventer at Newtons teori gælder. D.v.s. hvor alle tyngdefelter er svage og alle bevægelser er langsomme.

Gravitationsbølger

Schwarzschilds løsning

Schwarzschilds løsning er en statisk sfærisk symmetrisk løsning til vakuum Einsteins ligninger ($R\_=0$) $ds^=\; \backslash Bigg(1-\backslash frac\backslash Bigg)dt^\; -\backslash Bigg(\backslash frac\backslash Bigg)dr^\; -r^(d\backslash theta^+\backslash sin^\backslash thetad\backslash phi^),$ hvor $r\_=2GM/c^$ kaldes gravitations eller Schwarzschilds radius. = Eksperimentel bekræftelse af den almene relativitetsteori =

Merkurbanens perihelbevægelse

Lysafbøjning

Den almene relativitetsteori fik sin første empiriske bekræftelse i 1919. En engelsk ekspedition til Vestafrika og Brasilien iagttog dette år en lille afbøjning af lyset fra stjerner i retninger nær solskivens rand under en total solformørkelse. En stjerne nær den formørkede sols rand blev observeret i en anden position på himlen, end der hvor den normalt befandt sig. Solens gravitation viste sig altså at krumme rumtiden og dermed bøje lysstrålen fra stjernen.

Rødforskydning

Gravitationsstråling

= Relativistisk kosmologi = = Relaterede sider= :Speciel relativitetsteori :Fysik

Eksterne henvisninger

- [http://www.nbi.dk/~lautrup/artikler/relativitet.html Relativitetsteorien. Benny Lautrup. Niels Bohr Institutet]
- [http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/RelativityTheory.html Relativity Theory -- from Eric Weisstein's World of Physics] Kategori:Fysik ja:一般相対性理論 ko:일반 상대성 이론 simple:General relativity th:ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

Koordinatsystem

Koordinatsystem er et system til angivelse af punkters placering ved hjælp af koordinater. Der findes forskellige typer af koordinatsystemer, navnlig:
- Retvinklet koordinatsystem (både to- og tredimensionalt) / kartesisk koordinatsystem
- Polære koordinatsystemer:
  - Polært koordinatsystem (todimensionalt)
  - Cylindrisk koordinatsystem (tredimensionalt)
  - Sfærisk koordinatsystem (tredimensionalt) Kategori:Grafer ja:座標 ko:좌표계

Kontinuitet

Kontinuitet er et begreb inden for matematik. Betragt en funktion $f:\backslash mathbb\backslash to\backslash mathbb$. Så siges f at være kontinuert i a hvis man for alle $\backslash epsilon\; >\; 0$ kan finde et $\backslash delta\; >\; 0$ så grafen for f i området mellem $a\; -\; \backslash delta$ og $a\; +\; \backslash delta$ ligger mellem $f(a)\; -\; \backslash epsilon$ og $f(a)\; +\; \backslash epsilon$. En definition der kan vises at være ækvivalent, er: En funktion f er kontinuert i a, hvis f(x) går mod f(a) når x går mod a. En funktion er kontinuert hvis den er kontinuert i alle punkter i sin åbne definitionsmængde. Begrebet kontinuitet kan udvides til mere generelle afbildninger hvilket er et vigtigt tema inden for topologi. Kategori:Funktioner Kategori:Topologi ja:連続 (数学) ko:연속함수 th:ฟังก์ชันต่อเนื่อง

Funktion (matematik)

Inden for matematikken er en funktion et redskab der beskriver hvordan en såkaldt afhængig variabel størrelse varierer som en konsekvens af ændringer i en anden, såkaldt uafhængig variabel. Kalder man den uafhængige variabel for x og den afhængige for y, skrives en funktion helt kort som :y = f(x) Denne notation blev første gang brugt af matematikeren Leonhard Euler. Bogstavet f skal blot betragtes som et »navn«, ligesom x er et »navn« der dækker over et tal. Et grundlæggende træk ved funktioner er, at der til en bestemt værdi af x hører én og kun én værdi af y. Man kan tænke sig en funktion som en art maskine, der som »råmateriale« tager imod et tal (den uafhægige variabel), og til gengæld afleverer et andet tal (den afhængige variabel). Har man én gang konstateret at maskinen afleverer et 5-tal hvis man fodrer den med et 2-tal, kan man være sikker på at få »5« ud hver eneste gang man putter »2« ind i den.

Forskrift

Den nøjere sammenhæng mellem den uafhængige og afhængige variabel kan være givet ved et regneudtryk der beregner hvad den afhængige variabel bliver for en given værdi af den uafhængige. I ovenstående analogi kan man samnenligne denne forskrift med den »indmad" i maskinen, som sørger for at danne det tal der kommer ud af maskinen. Forskriften i eksemplet med maskinen kunne f.eks. se sådan her ud:
f(x) = 2·x + 1

Definitions- og værdimængde

I forbindelse med en given funktion f findes der to mængder med særlig relevans: Definitionsmængden til f, der ofte skrives som Dm(f), og værdimængden til f, der ofte skrives som Vm(f). Funktionen f siges at være "defineret på mængden Dm(f)". Definitionsmængden er populært sagt mængden af tal som den uafhængige variabel x må være lig med. I forbindelse med føromtalte maskine kan man forestille sig definitionsmængden som en kasse indeholdende alle de tal som maskinen kan behandle. Stiller man en tom kasse op der hvor maskinen spytter tal ud, og sender alle tallene i definitionsmængde-kassen igennem, ender den nye kasse med at indeholde alle de værdier som den afhængige variabel kan antage: Mængden af disse tal kaldes for værdimængden til funktionen f. Med en forskrift som f(x) = 2·x + 1 kunne definitionsmængden f.eks. være mængden af reelle tal $\backslash mathbb$. I så fald vil værdimængden også være de reelle tal. I andre situationer lader funktionsværdien sig kun beregne for visse værdier af x, f.eks.: :g(x) = ln x - 1 Ønsker man at værdimængden kun skal indeholde reelle tal, sætter det begrænsninger på definitionsmængden. Eftersom ln x (den naturlige logaritme til x; i sig selv en funktion) kun er reel for positive, reelle x, kan regneudtrykket kun beregnes for sådanne værdier, og definitionsmængden til g bliver da $\backslash mathbb\_+$; mængden af positive reelle tal. Alternativt kunne definitionsmængden f.eks. vælges til at være alle reelle tal; værdimængden bliver så en delmængde af de komplekse tal. Hvis funktionen bruges som model af praktiske forhold, kan sammenhængen tilsige andre begrænsninger i definitionsmængden. Hvis x eksempelvis beskriver hvor mange 6'ere man har fået ved at kaste en terning, må x næsten nødvendigvis være et ikke-negativt heltal, eftersom et »halvt antal seksere« ikke giver megen mening i denne sammenhæng.

Monotoni

Visse funktioner, som eksemplet med f(x) = 2·x + 1, har den egenskab, at hvis den uafhængige variabel x stiger en lille smule, vil det afhængige y også stige: Sådan en funktion siges at være monotont voksende - monotont eftersom den aldrig »gør andet« end at stige, uanset hvilken værdi af x man går ud fra.
Med andre funktioner, f.eks. y = g(x) = 1/x vil y konsekvent falde hvis man forøger x en kende: Sådanne funktioner omtaler matematikerne tilsvarende som monotont aftagende. Atter andre funktioner, som f.eks. sinus og cosinus er voksende indenfor bestemte intervaller for x, og aftagende når x falder imellem disse intervaller.
Oplysninger om i hvilke intervaller en given funktion er hhv. voksende og aftagende kaldes almindeligvis for funktionens monotoniforhold.

Invers funktion

Hvis en funktion f(x) enten har samme monotoni (enten voksende eller aftagende) i hele sin definitionsmængde, findes der en såkaldt invers funktion til den pågældende funktion, som skrives f ^-1(x): Denne inverse funktion kan tage imod et tal der er beregnet med f(x), og så at sige "regne baglæns" for at finde tilbage til x: Hvis f(3) = 12, så vil f ^-1(12) være lig med 3.
Heraf ses, at det der er definitionsmængden til f, bliver værdimængden til f ^-1, mens værdimængden af f er f ^-1's definitionsmængde. Altså:
Dm(f) = Vm(f ^-1), og Vm(f) = Dm(f ^-1). Hvis en funktion ikke har samme monotoni i hele sin definitionsmængde, f.eks. sinus, kan man i "streng" matematisk forstand ikke uden videre indføre dens inverse funktion, fordi én værdi af x vil kunne give mere end én funktionsværdi. Men da det er praktisk at kunne "regne baglæns" og finde det x der giver en vis værdi af sin(x), har man alligevel indført den inverse funktion sin ^-1(x). Hvis man afgrænser definitionsmængden til sinus-funktionen til intervallet indenfor ±90° eller ±π/2 radianer, er sinus monotont voksende, og for sinus i dette interval kan man således tale om en invers funktion. Se også sammensat funktion.

Regning med funktioner

Når f og g er funktioner med samme definitionsmængde (hvis definitionsmængderne er forskellige, kan man restringere til deres fællesmængde) kan man, idet de to funktioner tager værdier i de reelle tal, indføre nye funktioner f+g, f-g, f·g og f/g ved punktvise operationer. Det vil sige at de nye funktioner er defineret ved
- (f+g)(x) = f(x) + g(x)
- (f-g)(x) = f(x) - g(x)
- (f·g)(x) = f(x)·g(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x) idet den sidste funktion kun er veldefineret hvor g(x)$\backslash ne$0. Særlig agtpågivenhed må udvises når skrivemåder som f³ anvendes, altså potenser af en funktion. Notationen kan nemlig fortolkes på to måder: enten som punktvis multiplikation (som ovenfor) eller som funktionssammensætning (se dette). Eksplicit kan f³ betyde
- $f^3(x)\; =\; (f\backslash cdot\; f\backslash cdot\; f)(x)\; =\; f(x)\; \backslash cdot\; f(x)\; \backslash cdot\; f(x)\; =\; (f(x))^3$ eller
- $f^3(x)\; =\; (f\backslash circ\; f\backslash circ\; f)(x)\; =\; f(f(f(x)))$ Hvilken betydning der er relevant, må forstås af sammenhængen. Kategori:Funktioner ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Reelle tal

De reelle tal, der skrives $\backslash mathbb$, er alle tal, der kan skrives som en uendelig decimalbrøk, altså $q,d\_1d\_2d\_3\backslash ldots$, hvor $q$ er et heltal, og decimalerne, $d\_1,d\_2,\backslash ldots$ er et af cifrene, $0,1,2,\backslash ldots,9$. De reelle tal kan repræsenteres ved en kontinuert linje. Alle hele tal og alle brøker (rationale tal) er reelle tal, da de ligger et eller andet sted på den reelle tallinje. De reelle tal kan konstrueres ved at man ser på ækvivalensklasser af Cauchyfølger af rationale tal; altså ved en fuldstændiggørelse af de rationale tal. En anden måde er ved at se på Dedekindsnit. Vi kalder mængden af tal, som er i de reelle tal, men ikke i de rationale tal, for de irrationale tal. De reelle tal kan således deles op i to disjunkte mængder: de rationale tal og de irrationale tal. Hvis vi med $\backslash mathbb$ betegner mængden af alle de tal der er rødder i et polynomium, så har vi en anden disjunkt opdeling af de reelle tal, nemlig som de algebraiske tal, $\backslash mathbb$, og de transcendente tal. ja:実数 ko:실수 th:จำนวนจริง

Komplekse tal

Komplekse tal forener et reelt og et imaginært tal i en slags "par": Billedlig talt (og i forbindelse med programmering) kan man beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen og imaginærdelen, sat sammen til en enhed. Ganske som med de "almindelige", reelle tal, kan man foretage en lang række regneoperationer med disse komplekse tal, og de bruges ofte til at beskrive og regne på ting som både har en størrelse og en "retning" eller vinkel, f.eks. elektriske vekselstrømme med deres størrelse og faseforhold.

Definition

Billede:kompleks.png

Mens de reelle tal kan markeres som et bestemt punkt på en tallinje eller "skala", markeres et komplekst tal med et punkt i den matematiske plan; en todimensional flade som f.eks. et stykke papir. Tegningen til højre viser et Argand-diagram; det illustrerer mængden $\backslash mathbb$, der omfatter alle komplekse tal: De reelle tal og de imaginære tal er delmængder af de komplekse tal, og ligger langs hhv. den reelle akse og den imaginære akse.

Rektangulær og polær repræsentation

På illustrationen er vist det punkt der repræsenterer det komplekse tal z: Der er to måder at referere til dette tal på:
- Punktet for z ligger ud for realdelen x på den reelle akse, og ud for imaginærdelen y på den imaginære akse, så man kan beskrive tallet ved dets real- og imaginærdel: z = x + i·y. Dette kaldes for rektangulær repræsentation af tallet z. Tallet i kaldes den imaginære enhed, og har den specielle egenskab at i²=-1.
- Punktet for z ligger i en vis afstand r, kaldet modulus, fra koordinatsystemets origo (skæringspunktet mellem reel og imaginær akse), og retningen fra origo til punktet for z danner en vis vinkel Φ, kaldet argumentet, med den reelle akse. Ved at anføre r og Φ har man den såkaldte polære repræsentation af tallet z, og det skrives $r\; \backslash angle\; \backslash Phi$

Regneoperationer uden den imaginære enhed

Der findes regneregler der fastlægger hvordan man foretager forskellige regneoperationer på komplekse tal (givet på rektangulær form), svarende til dem man kan foretage på reelle tal. Dertil findes der for ethvert komplekst tal tallets såkaldt komplekst konjugerede.
Hvis det komplekse tal A har realdelen x_A og imaginærdelen y_A, dvs. A = x_A + y_A·i, så kan man beregne:

Mykensk græsk	1500-1200 f.Kr.	Mykensk er overleveret i tekster (fortrinsvis lertavler) skrevet i stavelsesskriften Linear B og fundet i Mykene, Pylos, Knossos og Theben. Sprogforskere regner gerne med, at græsk var delt op i to dialekter, en sydlig og en nordlig. Fra sydgræsk, som mykensk repræsenterer, stammer de klassiske dialekter arkadisk-kyprisk og attisk-ionisk. Fra nordgræsk, der ikke er overleveret i skriftlige kilder fra det 2. årt. f.Kr., stammer dorisk og (til dels) æolisk.
Klassisk græsk	800-320 f.Kr.	Dette sprog var opsplittet i forskellige dialekter: attisk-ionisk (Attika, Euboia, ægæiske øer og det sydvestlige Lilleasien), arkadisk-kyprisk (det indre Peloponnes og Cypern), æolisk (Thessalien, Boiotien, Lesbos og det nordvestlige Lilleasien) og dorisk eller vestgræsk (det meste av Peloponnes og Mellemgrækenland, Kreta og Rhodos). Men disse dialekter har været indbyrdes forståelige, hvorfor man ikke taler om forskellige sprog.
Hellenistisk græsk	320-31 f.Kr.	I det 4. århundrede f.Kr. begynder de klassiske dialekter at forsvinde til fordel for en fælles dialekt, koiné (græsk: κοινή "fælles"), der ligger sig tættest op af attisk. Takket være Alexander den Stores erobringer blev koiné et verdenssprog i hele det østlige Middelhavsområde. Ny Testamente er skrevet på koiné.
Kejsertidens græsk	31 f.Kr.-330 e.Kr.	Koiné var fortsat det almindelige sprog, men en del forfattere vælger at skrive på klassisk attisk (atticisme).
Byzantinsk græsk	330-1453 e.Kr.	Folkesproget lå halvvejs mellem oldgræsk og nygræsk, men de fleste litterære tekster blev fortsat skrevet på en form for oldgræsk.
Nygræsk	1453 e.Kr.-	I lang tid fortsatte man med at skrive på en form for oldgræsk, og da man begyndte at skrive på nygræsk, var det med et stærkt oldgræsk islæt, katharévusa (nygræsk καθαρεύουσα "rensende (sprog)"). Folkesproget, dimotikí (nygræsk δημοτική "folkelig") vandt dog frem til sidst og er i dag landets officielle sprog.

Regneoperation	Resultat
	Realdel	Imaginærdel
$\backslash bar$, kompleks konjugerer til $A\; \backslash ,\backslash !$	$x\_A\; \backslash ,\backslash !$	$-y\_A\; \backslash ,\backslash !$
$A^\; \backslash ,\backslash !$, reciprokke af $A\; \backslash ,\backslash !$	$\backslash frac$	$-\backslash frac$

Der findes regneforskrifter der fastlægger hvordan man kan udføre de fire grundlæggende regnearter på A og et andet komplekst tal B = x_B + y_B·i:

Regneoperation	Resultat
	Realdel	Imaginærdel
$A\; +\; B\; \backslash ,\backslash !$	$x\_A\; +\; x\_B\; \backslash ,\backslash !$	$y\_A\; +\; y\_B\; \backslash ,\backslash !$
$A\; -\; B\; \backslash ,\backslash !$	$x\_A\; -\; x\_B\; \backslash ,\backslash !$	$y\_A\; -\; y\_B\; \backslash ,\backslash !$
$A\; \backslash cdot\; B\; \backslash ,\backslash !$	$x\_A\; \backslash cdot\; x\_B\; -\; y\_A\; \backslash cdot\; y\_B\; \backslash ,\backslash !$	$x\_A\; \backslash cdot\; y\_B\; +\; x\_B\; \backslash cdot\; y\_A\; \backslash ,\backslash !$
$\backslash frac$	$\backslash frac$	$\backslash frac$

Har man to komplekse tal på polær form, nemlig $A\; =\; r\_A\; \backslash angle\; \backslash Phi\_A$ og $B\; =\; r\_B\; \backslash angle\; \backslash Phi\_B$, gælder envidere:

Regneoperation	Resultat
	Modulus	Argument
$A\; \backslash cdot\; B\; \backslash ,\backslash !$	$r\_A\; \backslash cdot\; r\_B\; \backslash ,\backslash !$	$\backslash Phi\_A\; +\; \backslash Phi\_B\; \backslash ,\backslash !$
$\backslash frac$	$\backslash frac$	$\backslash Phi\_A\; -\; \backslash Phi\_B\; \backslash ,\backslash !$

Regneoperationer med den imaginære enhed

Anvendelser

Ligheder med og forskelle fra vektorer

Mængdeteori

Arrowhead Springs, Wyoming

Geography

Demographics

External links

Fogalma

Meghatározása

Lásd még

Fekvése

Története