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2D

2D oder 2-D ist eine verbreitete Abkürzung für zweidimensional. Das bedeutet, dass jeder Punkt des betreffenden Objekts zwei Zahlenangaben für seine Position benötigt – also z. B. (x, y) für die Angabe seiner Lage auf einer Zeichnung oder in einem ebenen Koordinatensystem. In den meisten Fällen handelt es sich um eine Fläche, wogegen ein 3D-Objekt ein Körper ist. Es kann sich allerdings auch um einen Punkt und z. B. eine Zeitangabe handeln – etwa bei einer Zeitreihe von Messungen entlang einer Linie.

Siehe auch

- 1D
- 3D
- 4D
- dimensionslos
- Länge
- Ebene
- Kugelkoordinaten
- Koordinatensystem
- Kilometrierung Kategorie:Geometrie

Punkt (Geometrie)

Der Punkt stellt das grundlegende Element der axiomatischen Geometrie dar. Ein solcher Punkt wird als ein nulldimensionales Objekt ohne jede Ausdehnung verstanden, über das nichts weiter ausgesagt werden kann. Sämtliche anderen geometrischen Objekte lassen sich als Mengen von Punkten definieren. So stellt etwa eine Gerade in der euklidischen Geometrie eine eindimensionale Punktmenge, eine Fläche eine zweidimensionale Punktmenge usw. dar. Die Menge aller Punkte ist also gerade die Menge derjenigen Objekte, aus denen sich andere Objekte in der axiomatisch festgelegten Weise herleiten lassen. Umgekehrt werden alle Objekte, die keine Punkte sind, über Punkte oder aus Punkten konstruierte Objekte definiert. Diese zyklische Definition lässt sich innerhalb einer Geometrie nicht auflösen. Euklid definierte den Punkt in seinen Elementen als etwas, was keine Teile hat. Mit dieser Definition gelang es ihm in gewisser Weise, die beschriebene zyklische Definition zu verankern. Für die euklidische Geometrie wäre diese Festlegung jedoch keineswegs nötig - sie leistet der Anschauung lediglich eine Hilfestellung. Die Formulierung lässt sich auch im Lichte der damaligen philosophischen Kontroverse zwischen Atomismus und Plenismus verstehen, wobei Euklid hier für die Mathematik eine atomistische Position bezieht. Von Oskar Perron stammt die Bemerkung: "Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt." (Nichteuklidische Elementargeometrie der Ebene, Stuttgart 1962) In der projektiven Geometrie wird der Begriff Punkt erweitert durch den Fernpunkt. Als Punkt bezeichnet man auch in anderen Bereichen der Mathematik die Elemente gewisser mathematischer Strukturen, siehe dazu die folgenden Artikel: # Topologischer Raum # Raum (Mathematik) # Vektorraum Kategorie:Geometrie ja:点 ko:점 (기하)

Koordinatensystem

Mit Hilfe eines Koordinatensystems lassen sich die Positionen von Punkten im Raum angeben. Die Position im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, Koordinaten genannt, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Abstände, Flächen, Körper) angeben. Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf. Der Punkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über Normalnull (genauer: Ortsabhängigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten wie (Längengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Während sich in solchen Fällen die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anbietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt. variabel Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensystemen orthogonal. Beispiele:
- geradlinige Koordinatensysteme: ::Vektorraum
- geradlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::Kartesisches Koordinatensystem
- krummlinige Koordinatensysteme: ::Elliptische Koordinaten
- krummlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten ::räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) ::Toruskoordinaten

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Null Null Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie. Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden. Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig. Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten. Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:
- Geographisches Koordinatensystem
- Soldner Koordinatensystem
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
- Baryzentrische Koordinaten
- bewegte Koordinatensysteme
- rotierende Koordinatensysteme

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen. Da eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

Weblinks

- http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/i.html - Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
- http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/lexikon/K/koordinatensystem.html - Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln) Kategorie:Geometrie ja:座標 ko:좌표계

Fläche

Eine Fläche oder auch Querschnitt oder Querschnittsfläche ist: #ein nach Länge und Breite flach ausgedehnter Bereich. #:Geometrisch ist eine Fläche ein in zwei Dimensionen ausgedehnter Teil einer Ebene, wie sie in der Euklidischen Geometrie beschrieben wird. #:Im SI-Einheitensystem ist A (von engl.: area) das Formelzeichen des Flächeninhaltes. Die Verwendung des F als Formelzeichen ist veraltet. Die Grundeinheit ist der Quadratmeter (m²). Für weitere Flächenmaße siehe dort. #In den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Topologie bezeichnet man eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit als Fläche. Insbesondere kann eine solche Fläche auch gekrümmt sein. Siehe: Fläche (Topologie). #die glatte (flache) Außenseite eines Körpers/Gegenstandes, also die Oberflächen eines Objektes. #:Dann kann eine Fläche auch gekrümmt sein. Beispiel: Kristallfläche, Grenzfläche, Erdoberfläche. Kategorie:Geometrie als:Fläche ja:面積 ko:면적 simple:Area th:พื้นที่

Objekt

Objekt bezeichnet:
- allgemein etwas unspezifiziertes, siehe Sache, Gegenstand, Ding
- im Sinne der Dialektik das, worauf ein Subjekt seine beobachtende, sinnliche, empirische und praktisch-verändernde Aktivität richtet, siehe Objekt (Philosophie)
- ein Satzglied, siehe Objekt (Grammatik)
- einen Himmelskörper, siehe Astronomisches Objekt
- eine Einheit in einem Geoinformationssystem, siehe Geoobjekt
- eine Einheit in der Informatik, siehe Objekt (Informatik)
- eine bestimmte Art künstlerischer Werke siehe Objektkunst simple:Object

Körper (Geometrie)

In der Geometrie versteht man unter einem Körper ein dreidimensionale geometrische Form, welches durch Grenzflächen beschrieben werden kann. Die bekanntesten Körper besitzen flache oder kreis- bzw. kugelförmige Grenzflächen. Wenn ein Körper ausschließlich von flachen Flächen begrenzt wird, spricht man von einem Polyeder (Vielflächner).

Allgemeine Körper:

Das sind solche Körper, aus denen man, prinzipiell alle anderen Körper erstellen oder beschreiben kann, wie es z.B. in einem Raytraycing-Programm geschieht:
- Spat mit den Sonderfällen Quader und Hexaeder
- Prisma mit den beiden Spezialfällen Zylinder und Hexaeder
- Pyramiden mit den beiden Spezialfällen Kegel und Tetraeder
- Antiprismen mit dem Spezialfall Oktaeder
- Ellipsoid mit der Kugel als Spezialfall.
- Torus

Platonische und Archimedische Körper

- Sich durchdringende Körper, Kerne und Hüllen: Der gemeinsame Raum von zwei sich durchdringenden Körpern wird Kern genannt. Platonische Körper und Archimedische Körper hängen eng miteinander zusammen. Kernkörper und Hüllenkörper sind wiederum zueinander dual. Archimedische Körper
- Kuboktaeder,
- Ikosidodekaeder Dual-Archimedische Körper
- Rhombendodekaeder
- Rhombentriakontaeder

Fraktale Körper

Fraktale Körper sind solche Körper, deren Volumen gegen Null und deren Oberfläche gegen Unendlich strebt. Diese Körper entstehen dadurch, dass man einen "primitiven" Körper wie einen Würfel oder ein Tetraeder nimmt, und nach bestimmten Regeln Volumen, in Form von anderen Körpern, aus ihm entfernt, und dabei seine Oberfläche vergrößert:
- Menger-Schwamm
- Sierpinski-Pyramide Andere häufig auftretende Körper sind
- Paraboloid
- Hyperboloid Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen vieler Körper. Symmetrieeigenschaften einzelner Körper lassen sich in der Gruppentheorie darstellen. Kristalle sind aus (idealisierten) Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen. Kategorie:Raumgeometrie

Zeitreihe

Als Zeitreihe bezeichnet man:
- eine zeitliche Abfolge von Daten (z. B. Börsenkurse, Wetterbeobachtungen): siehe Zeitreihenanalyse;
- die Abfolge der Verschlusszeiten in der Fotographie.

Linie

Der Begriff Linie (v. lat.: linea = mit einem [Lein]faden gezogene Linie) bezeichnet
- eine meist gerade Verbindung zweier Punkte; diese kann markiert sein (z.B. Mittellinie einer [Trasse]]) oder nur gedacht (siehe Luftlinie)
- eine etwas gekrümmte Linie ("geschwungene Linie"), bzw. beim Zeichnen eine "freihändige Linie"
- in der Alltagssprache die Ausrichtung "in einer Linie"
- in der Geometrie feine, zuordnende Linien oder die Ordner einer Konstruktionszeichnung
- in der Geografie und Schifffahrt einen Großkreis
- in der Seemannsprache den Äquator
- in der Geodäsie eine Messlinie (siehe auch Alignement) oder eine Visur
- in der Ballistik (ballistische Linie) eine Flugbahn
- eine regelmäßig befahrene Verbindung zwischen Verkehrsknoten (Autobus-, Bahnlinie, Straßenbahnlinie etc.), siehe Linie (Verkehr)
- die Fahrzeuge einer bestimmten Linie (z.B. Bus Linie 20)
- in der Soldatensprache die Front und auch die Geländestrecke, in der der Verteidiger dem Angreifer Widerstand zu leisten entschlossen ist
- ebenfalls in der Militärsprache eine bestimmte Aufstellung von Truppenteilen: Linientaktik (Lineartaktik)
- den durch Schlankheit oder Dicksein bestimmten Körperumriss, die Kontur
- in der Genealogie die Verbindung zwischen zwei durch direkte Abstammung verwandten Personen
- eine Meinung (die politische Linie)
- jemanden "auf Linie bringen" (stark beeinflussen)
- eine Reihe von zusammengehörigen Produkten eines Herstellers, siehe Produktlinie
- ein altes Längenmaß (abgekürzt mit ), vor allem die Pariser Linie auf Libellen und Wasserwaagen
- in Deutschland 1/12 Zoll (Inches), in den USA und Russland 1/10 Zoll, benutzt zur Angabe des Kalibers von Schusswaffen. Man beachte, dass "Linie" kein mathematischer Fachbegriff ist, siehe stattdessen Gerade, Strecke (Geometrie), Kurve. In zusammengesetzten Wörtern für Fachausdrücke hat sich das Wort "Linie" aber erhalten, siehe Kreislinie, Eilinie, Kettenlinie.

3D

3D oder 3-D ist eine verbreitete Abkürzung für dreidimensional als Angabe einer geometrischen Dimension. Sie bedeutet, dass jeder Punkt des betreffenden Objekts 3 Zahlenangaben für seine Position benötigt - außer einer Angabe seiner Lage zum Beispiel noch einen Höhenwert. Das Koordinatentripel lautet dann:
- (B, L, H) -- wobei B,L geografische Koordinaten bedeuten, oder
- (X, Y, H) -- mit X,Y als Gauß-Krüger-Koordinaten, oder
- (x, y, z) -- für kartesische Koordinaten. Bei solchen Objektangaben handelt es sich meist um Punkte eines Körpers (Volumenmodell) oder einer komplexen Oberfläche (wogegen ein reines 2D-Objekt eine Fläche wäre). Es kann sich allerdings auch um eine Fläche und eine Zeitangabe handeln - etwa bei einer Zeitreihe von Bildern, Fotomontagen, in Dateien etc. Statt der Zeit kann die 3.Koordinate auch eine andere Eigenschaft sein, z. B. der Farbkanal einer Bildserie oder eines Satellitenbilds der Erde:
- (X, Y, i) Flächen- und Linienmodelle werden zwar oft durch Punkte mit je drei Koordinaten beschrieben, ihre Ausprägung ist aber nicht voll dreidimensional. Sie werden 2.5-D genannt, weil an jedem mit seiner Lage (X, Y) gegebenen Punkt nur ein Höhenwert erlaubt ist.

Andere Bedeutungen

- 3D-Bild, räumliches oder stereoskopisches Bild, bzw.
- 3D-Film, dreidimensionaler Film: betrifft die Aufnahme und Wiedergabe von Bildern oder Filmen, die einen räumlichen Eindruck vermitteln. Jedem Auge wird nur das entsprechende Teilbild dargeboten, beispielsweise durch
- 3D-Brillen auf Basis von Anaglyphen oder Polarisation oder Shuttertechnik
- dreidimensionaler Ton: die räumliche ortbare Wiedergabe von Tönen, zum Beispiel von Musik, durch mehrere Lautsprecher, die ähnliche Positionen einnehmen wie die Mikrofone bei der Aufnahme oder über Kopfhörer bei der Kunstkopf-Stereofonie.

Siehe auch

- 1D
- 2D
- 3D-Computergrafik
- 4D
- dimensionslos
- Kugelkoordinaten
- Raum
- Sehen
- Stereografie
- Stereoskopie
- Quadrophonie
- Stereo
- Töne

Weblinks

- http://www.stereoscopy.com/3d-magazin/verzeichnis.html Kategorie:Geometrie simple:3-D

4D

4D oder 4-D ist eine verbreitete Abkürzung für vier-dimensional als Angabe einer geometrischen Dimension. Das bedeutet, dass ein orthogonaler Körper je vier Zahlenangaben für seine Position und seine Ausdehnung benötigt (üblicherweise werden hier die kartesischen Koordinaten x,y,z und w verwendet) sowie vier Winkel, die seine Ausrichtung im Raum bestimmen.

Mathematisch / geometrisch anschauliche Herleitung

Eine Dimension bezeichnet eine Ausdehnung in eine Richtung, die nicht durch die Richtungen anderer, untergeordneter Dimensionen dargestellt werden kann. Beispiel: framed Dimension 0: :Ein Punkt ohne Ausdehnung. Dimension 1: :Wir bewegen uns in einer beliebigen Richtung vom Punkt weg und erhalten eine Strecke. :(X-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach links und rechts) Dimension 2: :Wir suchen eine Richtung, die nicht die der Strecke ist, im einfachsten Fall: senkrecht auf die Strecke. Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt einer Ebene erreichen können. :(Y-Achse eines Korrdinatensystems, Ausdehnung nach vor und zurück) Dimension 3: :Wir suchen eine Richtung, die nicht in der Ebene (aus Dimension 2) liegt. Dazu zeigen wir einmal (vergleichbar dem Sekundenzeiger einer Uhr) in alle Richtungen der Ebene und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die "nach oben oder unten" zeigen, im einfachsten Fall: senkrecht auf der Ebene "nach oben". Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt im Raum erreichen können. :(Z-Achse eines Korrdinatensystems, Ausdehnung nach oben und unten) Dimension 4: :Wir suchen wiederum eine Richtung, die nicht im Raum (aus Dimension 3) liegt. Dazu zeigen wir kugelförmig in alle Richtungen, die wir uns vorstellen können und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die wir uns mit unserem 3-dimensionalen Verstand nicht vorstellen können, im einfachsten Fall: senkrecht auf alle Richtungen, die wir uns vorstellen können. Erweitern wir den Raum in diese Richtung, haben wir einen 4-dimensionalen Hyperraum beschrieben. (Für einen Menschen nicht visuell vorstellbar!) :(W-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach ana und kata) Durch derart logische Überlegungen kann man z.B. errechnen, dass ein 4-dimensionaler (Hyper-)Würfel (Tesserakt) 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 8 Würfel besitzt. Jede Dimension kann man sich als Zusammensetzung einer unendlichen Anzahl der vorherigen Dimension vorstellen: So kann die Gerade (Dimension 1) als Zusammenfügung einer unendlichen Anzahl Punkte (Dimension 0) gedacht werden. Überträgt man diese Gedanken auf die Vierte Dimension, so kann diese auch als Zusammensetzung unendlich vieler Räume (Dimension 3) gedacht werden. Die Projektion eines vier-dimensionalen Objekts entsteht im drei-dimensionalen Raum als "Schatten" stets in 3D.

Physikalisch verbreitetes Verständnis

Gemäß der obigen mathematischen Definition ist ein 4-dimensionales Koordinatensystem ein Koordinatensystem mit 4 linear unabhängigen Richtungen. Somit eignet es sich, um unsere bekannten 3 Raumdimensionen und die Zeit abzubilden. In Einsteins Relativitätstheorie sind Raum und Zeit tatsächlich zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigt. Der Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt ist einfach eine Hyperfläche (in der speziellen Relativitätstheorie eine Hyperebene) in der Raumzeit. Damit ist die "Richtung" des Raumes (und der Zeit) in der Raumzeit nicht eindeutig bestimmt. In der Tat hängt die Wahl der Raum-Hyperebene vom Bezugssystem ab. Anschaulich darstellen lässt sich das in Minkowskidiagrammen (siehe auch: Minkowskiraum). Allerdings ist die Raumzeit – auch die ungekrümmte – nicht euklidisch, da die Zeit mit umgekehrtem Vorzeichen in die Metrik eingeht. Das hat wichtige Folgen, so z.B., dass man nicht einfach in der Zeit umkehren kann. Aus einem 3D-Raum kann auch durch eine andere Dimension als der Zeit ein 4D-Raum entstehen – etwa durch eine zusätzliche skalare Eigenschaft (siehe 1D) oder eine Skala wie der Farbe.

Kosmologische Bedeutung

Inwieweit über unsere Vorstellung hinaus der uns umgebende Raum tatsächlich Ausdehnung in weitere Richtungen hat, damit beschäftigt sich die Kosmologie.

Umgangssprachliche Bedeutung

Mit 4. Dimension wird oft etwas Geheimnisvolles, Unerklärliches assoziiert. Als „4D-Film“ wird ein 3D-Film bezeichnet, der mit zusätzlichen Spezialeffekten ausgestattet ist (überwiegend eingesetzt in Freizeitparks).

Weblinks

- http://www.think-strange.de/stuff/projects/vierdimensionale_koerper_im_dreidimensionalen_raum.pdf
- http://mfischer.ewfn.org/physik/4d.php (einfacher, anschaulicher Text, welcher die unvorstellbare 4. Raumdimension anhand einer "2D-Flachwelt" erklärt)
- http://cips02.physik.uni-bonn.de/ScienceSite/index.html (gute, einfache erklärung und eine 3D Animation von einem Hypercube) Siehe auch: 1D, 2D, 3D, allgemeine Relativitätstheorie, Gravitation, Hyperebene Kategorie:Geometrie

Dimensionslos

Im Zusammenhang mit der Verwendung von Einheitensystemen, sagt man von einer physikalischen Größe, sie habe die Dimension 1, wenn ihre konkreten Repräsentationen (sogenannter Größenwert), ohne Einheit angegeben werden können. Sehr oft wird stattdessen formuliert, die Größe sei „dimensionslos“. Beispiele für dimensionslose Größen sind Anzahlen, Wahrscheinlichkeiten oder Quantenzahlen und dimensionslose Kennzahlen. Im engeren Sinne versteht man unter der Dimensionslosigkeit einer Größe auch deren Eigenschaft, keine räumliche Dimension, also keine Ausdehnung zu besitzen. Besonders interessant sind die dimensionslosen Größen als Kennzahlen, anhand derer man das Systemverhalten vorhersagen kann bzw. die einen Vergleich zwischen verschiedenen Systemen (unterschiedlicher Abmessung) ermöglicht. Hierzu zählt zum Beispiel die Reynolds-Zahl, die als Kennzahl für die Strömungsqualität herangezogen wird (laminar/turbulent). Ein weiteres Beispiel ist die Sommerfeld'sche Feinstrukturkonstante, die sich aus elektrischer Elementarladung, Planck'schem Wirkungsquantum und der Lichtgeschwindigkeit zusammensetzt. Ihr Wert beträgt etwa 1/137. Diese Konstante wurde von Arnold Sommerfeld 1916 eingeführt, um die durch Magnetfelder bedingte Feinstrukturaufspaltung von Spektrallinien berechnen zu können. Mindestens ebenso wichtig, wenn auch weniger interessant, sind logarithmierte Größenverhältnisse und Pegelmaße wie Bel, Neper und Phon. Physikalische Konstanten, die wie das Beispiel oben dimensionslose Größen sind, lassen sich oft an der Endung "-zahl" erkennen. Im Gegensatz dazu wird die Endung Koeffizient teilweise als Synonym und teilweise als Gegenteil verwendet. Beispiele:
- Brechzahl
- Permeabilitätszahl
- Reibungskoeffizient (Synonym)
- Wärmeausdehnungskoeffizient (Gegenteil) Kategorie:Theoretische Physik Kategorie:Maßeinheit Kategorie:Dimensionslose Größe

Länge

Unter Länge (von althochdeutsch lengi) versteht man
- in der Physik die räumliche Ausdehnung eines Objektes in einer Richtung, siehe Länge (Physik)
- in der Mathematik die Länge einer Kurve, siehe Weg (Mathematik)
- hoher Wuchs (ein Mann von stattlicher Länge)
- Ausführlichkeit (er schreibt Briefe mit erheblicher Länge).
- in der Geografie den Längengrad eines Ortes
- die zeitliche Ausdehnung, Dauer (Länge eines Musikstücks)
- eine zu langsame oder zu lange andauernde Stelle (z. B. ein Film oder eine Rede hat Längen). Siehe Langeweile
- die Anzahl der Zeichen in einem Wort oder Text
- in der antiken Metrik die lange Silbe eines Wortes im Vers

Ebene (Mathematik)

Eine Ebene ist in der Mathematik ein zweidimensionaler Vektorraum. Meist meint man die in der Geometrie verwendete euklidische Ebene, die ein zweidimensionaler euklidischer Raum ist. Zur Beschreibung einer Ebene (Ebenengleichung) gibt es verschiedene Möglichkeiten:
- Koordinatendarstellung :

a_1 \cdot x+a_2 \cdot y+a_3 \cdot z=b

- Parameterform :

\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot\vec v

(ein Punkt und zwei Richtungen)
- Normalform :

( \vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0

- Hessesche Normalform :

\vec r \cdot \vec n_0 = d

(ein Punkt und eine Richtung senkrecht zur Ebene)
- Achsenabschnittsform :

+  +  = 1

- drei Punkte, die in der Ebene liegen

Ebenen im 3-dimensionalen Raum

kartesische Koordinaten

Die x-y-Ebene, die y-z-Ebene und die z-x-Ebene sind Schnitte oder Abbildungen des dreidimensionalen Raums, bei denen die jeweils im Namen vorkommenden Achsen des kartesischen Koordinatensystems sichtbar sind. Sie sind in der Regel unendlich weit ausgedehnt.

Polarkoordinaten

Genauso lassen sich in Polarkoordinaten Ebenen bilden. Man kann es mit einer Torte erklären:
- Die r-z-Ebene beschreibt die Ebene, die ein Tortenstück von der geschnittenen Seite zeigt. (Man sieht die Sahnefüllung und die Teigschichten). Damit kann man sehr gut rotationssymetrische Körper darstellen und z. B. dreidimensionale Felder, Kräfte, etc. vereinfacht berechnen. (Eine Rotation dieser Ebene um die Z-Achse um 2π ergibt dann den rotationssymmetrischen Körper.) Die r-z-Ebene ist in z-Richtung unendlich weit ausgedent, in r-Richtung jedoch nur von r=0 bis ∞, deshalb ist sie eigentlich nur eine Halbebene. Würde man die ganze Torte in 2 Hälften schneiden, wäre alles links von der Mitte eine Spiegelung der rechten Seite, deshalb werwendet man nur eine Halbebene.
- Die r-φ-Ebene (auch Drehebene) sieht man die Torte von oben, oder man schneidet mit dem Messer von oben etwas ab und sieht den Schnitt durch eine Schicht von oben. Sie ist unendlich weit ausgedehnt und unterscheidet sich nicht von einer Ebene in kartesischen Koordinaten, wenn man sie zu einer x-y-Ebenen umdefiniert (die Z-Achse zeigt dann weiterhin aus der Ebenen heraus). Die r-φ-Ebene kann z. B. zur zweidimensinalen Darstellung und Berechnung eines Elektromotors verwendet werden.
- Der φ-z-Ebene kommt eine geringere Bedeutung zu. Sie würde z. B. den abgewickelten Rand der Torte zeigen und liegt in den Intervallen z=[-∞,∞] und φ=[0,2π]. ---- Siehe auch Planiversum, Spurgerade, Affine Ebene Kategorie: Geometrie ja:平面

Kilometrierung

Unter Kilometrierung versteht man eine fortlaufende Meter- und Kilometerzählung entlang einer wichtigen Linie. Das kann ein Verkehrsweg sein (Straße, Autobahn, größerer Fluss) oder z.B. eine projektierte bzw. in Bau befindliche Trasse. Der ebenso gebräuchliche Begriff der Stationierung bzw. Baustationierung wird in den meisten Fällen auf (Teil-)abschnitte während der Bauphase bezogen. Die Stationierung ist oftmals an örtlich günstigen Gegebenheiten bezüglich ihres Nullpunkts orientiert (z.B. Kreuzungspunkt eines anderen Bauwerks, Weichenanfang im Umbauabschnitt u.a.). Gegenüber der üblichen Positionsangabe durch 2D- oder 3D-Koordinaten ist die Kilometrierung nur eindimensional. Das bedeutet, dass jeder Punkt des betreffenden Objekts nur 1 Zahlenangabe für seine Ortung benötigt - also z.B. x = f(y) für die Angabe seiner Lage entlang einer Kurve. In den meisten Fällen handelt es sich um eine linienförmige Struktur, wogegen ein 2D-Objekt eine Fläche ist.

Verschiedene Zählweisen

Wo der Nullpunkt von Kilometrierungen liegt, ist nicht einheitlich geregelt. Bei Straßen ist es meistens eine größere Ortschaft, bei der Eisenbahn oft ein Knoten; in beiden Fällen werden die Linien häufig an markanten Punkten unterteilt. Stromkilometer werden teils von der Quelle, teils von der Mündung gezählt, bei einem Nebenfluss meist von dessen Mündung stromaufwärts. Beim Rhein beginnt die deutsche Kilometrierung in Konstanz am Bodensee, bei der Elbe an der tschechischen Grenze. Bei der Donau ist sie zwar durchlaufend (und daher für alle Donauländer einheitlich), zählt aber von der Mündung weg (Sulina am Schwarzen Meer). Die Kilometersteine oder -Tafeln sind am Ufer angebracht.
Manche Flüsse haben abschnittsweise eine negative Kilometrierung - etwa die Lahn, wo einst 6 km hinter Gießen die preußisch-hessische Landesgrenze verlief.

Neutrassierungen

Ein gewisses Problem tritt immer dann auf, wenn sich der Linienverlauf eines Verkehrsweges ändert. Bei Straßen kommt dies am häufigsten vor, bei Eisenbahnen weniger, bei Flüssen nur selten. Wird bei einer neuen Trassierung auch neu kilometriert, bedeutet dies eine Umrechnung auch auf unveränderten Straßenstücken. Wenn aber andrerseits die "Stationierungskilometer" nicht mehr der tatsächlichen Straßenlänge ("Rollkilometer") entsprechen, so entstehen bei jedem Bauvorhaben neue Inkonsistenzen - sog. Fehl- bzw. Doppelkilometer. Daher sind manche Länder dazu übergegangen, die Straßen nicht über sehr lange Strecken durchzumessen, sondern an wichtigen Orten neu zu beginnen ("relative" Kilometrierung). Doch in jedem Fall sind Bereinigungen bzw. Änderungen der Kilometrierung ein kritischer Vorgang, der bei Geoinformationssystemen hohe Sorgfalt erfordert.

Siehe auch

- 2D, 3D, dimensionslos, Länge, Ebene
- Hektometerstein, Kilometerstein, Stationszeichen, Koordinatensystem, Polarkoordinate
- Topologie, Segmentierung, Verkehr, Verkehrsplanung

Weblinks

- [http://www.sbg.ac.at/geo/agit/papers96/ponn.htm Kilometrierung im Salzburger Straßen-Infosystem]
- [http://www.bav.admin.ch/download/businessinfo/350.pdf Eisenbahnverordnung Schweiz, km und Gleisabschnitte]
- [http://www.dtg-eg.de/ki_ues.htm DTG/ Kilometrierung Rhein, Nebenflüsse und Kanäle] Kategorie:Messtechnik Kategorie:Verkehrstechnik

Kategorie:Geometrie

Hauptartikel: Geometrie Kategorie:Mathematik ja:Category:幾何学 ko:분류:기하학 zh-min-nan:Category:Kí-hô-ha̍k

Raudokliniai augalai

Raudokliniai (lot. Lythraceae, vok. Weiderichgewächse) - magnolijūnų (Magnoliophyta) šeima, kuriai priklauso daugiametės arba vienametės žolės, rečiau puskrūmiai. Lapai priešiniai, rečiau išsidėtę kitaip, lygiakraščiai. Žiedai susitelkę į kekės, šluotelės ir kitokius žiedynus. Vainiklapiai raudoni arba violetiniai. Vaisius - dėžutė. Šeimoje yra apie 500 rūšių, paplitusių šiltesnėse srityse, ypač daug jų Amerikos atogrąžų kraštuose. Lietuvoje auga dviejų genčių augalai:
- Raudoklė (Lythrum). Pav.
- Šindra (Peplis) Category:Magnolijūnai

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Wild Zords
The zords featured in the television series Power Rangers: Wild Force, the Wild Zords, were fully-sentient creatures that had been in existence for thousands of years (similar to the Galactabeasts of Power Rangers: Lost Galaxy. There were a great many separate Wild Zords (100 in the Sentai equivalent,

Dalfaber Level Crossing
Dalfaber Level Crossing is a feature on the Strathspey Steam Railway. The crossing is of the ungated, flashing lights with audible bell type (AOCL). It is notorious for motorists jumping the lights which led to CCTV being installed to monitor offences. An incident like this caused a serious accident on April 6 2005.

External links

- [http://www.thisisnorthscotland.co.uk/di

Golovin (crater)
Golovin is a lunar impact crater that is located to the southeast of the Campbell walled-plain. It lies in the northern hemisphere on the Moon's far side, and can not be viewed directly from the Earth. Just two crater diameters to the southwest of Gol

The Cypress Hill Massacre
The Cypress Hills massacre was a massacre which occurred on June 1, 1873 in the Cypress Hills region of Battle Creek, Saskatchewan, involving a group of American wolf hunters or "wolfers", American and Canadian whiskey traders, Metis freighters and a camp of Nakoda (or Assiniboine) people

Cypress Hill Massacre
The Cypress Hills massacre was a massacre which occurred on June 1, 1873 in the Cypress Hills region of Battle Creek, Saskatchewan, involving a group of American wolf hunters or "wolfers", American and Canadian whiskey traders, Metis freighters and a camp of Nakoda (or Assiniboine) people

Hi nrg
Hi-NRG (High Energy) is a type of electronic dance music which was popular in nightclubs in the early 1980s.

Description

The name "Hi-NRG" comes from the Evelyn Thomas's Disco hit, "High Energy", produced by Ian Levine. Hi-NRG is typified by an energetic