:: wikimiki.org ::

Abtastung

Abtastung

Abtastung (englisch sampling) ist die Registrierung von Messwerten zu diskreten, meist äquidistanten Zeitpunkten. Aus einem zeitkontinuierlichen Signal wird so ein zeitdiskretes Signal gewonnen. Die Anzahl der Abtastungen pro Sekunde wird Abtastrate genannt. Bei der digitalen Telefonie (ISDN) beträgt die Abtastrate beispielsweise 8 kHz. Die Digitalisierung eines analogen Signals erfolgt in zwei Schritten. Nach der Abtastung erfolgt die Quantisierung des zeitdiskreten aber noch wertkontinuierlichen Signals. Dadurch entsteht ein zeit- und wertdiskretes Signal. Siehe auch: Abtasttheorem, Sampling (Musik); für Filmabtastung: Filmabtaster

Modell der Abtastung

Das Grundprinzip der Abtastung ist, dass eine physikalische Größe (z.B. ein Signal in Form einer elektrischen Spannung) über einen gewissen Zeitraum akkumuliert wird und dann der akkumulierte Wert in eine digitale Darstellung des Meßwertes umgewandelt wird. Dies geschieht dann periodisch mit der Abtastfrequenz

Ideale Abtastung

Für eine einfachere mathematische Beschreibung ist die ideale Abtastung definiert. Hier wird das Signal nicht über einen gewissen Zeitraum um den Abtastzeitpunkt akkumuliert, sondern exakt zum Abtastzeitpunkt nT ausgewertet. Mathematisch lässt sich dies darstellen, indem man das Signal s(t) mit dem Dirac-Kamm (einer Folge von Dirac-Stößen) multipliziert: 680px Das abgetastete Signal lautet dann :

s_a (t) = s(t) \cdot \sum_^ \delta(t - n T)

. Für das Spektrum (also die Fouriertransformierte) des Signals erhält man :

S_a (f) = S (f)  -  [1/T \sum_^ \delta(t - n/T)]

. Das Spektrum ist also das Spektrum der nicht abgetasteten Funktion, welches aber periodisch mit der Periode 1/T wiederholt wird (Faltungseigenschaft der Dirac-Impulses). Daher ist es wichtig, dass das Spektrum der Originalfunktion maximal

2 \cdot 1/T

breit ist, damit sich die verschobenen Spektren nicht überlappen. Ist dies der Fall, so ist das Signal nach idealer Tiefpass-Filterung aus dem Spektrum rekonstruierbar (vgl. Nyquist-Shannon-Abtasttheorem). Andernfalls tritt Aliasing auf.

Reale Abtastung

In der Realität sind zwei Bedingungen der idealen Abtastung nicht einhaltbar: # Es ist nicht möglich, ideale Dirac-Stöße zu erzeugen. Das Signal wird vielmehr über einen Zeitraum um den eigentlichen Abtastzeitpunkt akkumuliert, z.B. über eine Torschaltung. Dies nennt man auch natürliche Abtastung. Alternativ wird eine Sample- and Hold-Schaltung eingesetzt. # Die perfekte Rückgewinnung des Signals aus seinem Spektrum erfordert einen idealen Tiefpass, welcher ebenfalls nicht realisierbar ist. Diesen Problemen kann man wie folgt begegnen: zu 1.: Beim Einsatz einer Sample- and Hold-Schaltung wird der Dirak-Kamm durch eine Rechteckimpulsfolge (mit Rechteckenimpulsen der Breite

t_0

, dann dargestellt mit der Faltungseigenschaft des Dirac-Stoßes) ersetzt. Man erhält: :

f_a (t) = \sum_^ f(n T)\cdot rect(\frac) = rect(\frac)  -  \sum_^ f(t) \delta(t - n T)

Und als Spektrum folgt :

F_a (f) = t_0 \frac \cdot [F (f)  -  1/T \sum_^ \delta(t - n/T)]

. Dies ist das Spektrum der idealen Abtastung, allerdings gewichtet mit der si-Funktion (die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion). Dies bedeutet eine Verzerrung des Signals, welche nur durch ein Entzerrfilter behoben werden kann. Eine solche Verzerrung tritt bei der natürlichen Abtastung nicht auf. zu 2.: Um auch mit einem nicht idealen Tiefpass das Signal aus dem Spektrum zurückzugewinnen kann man einfach die Abtastfrequenz erhöhen (Oversampling). Dies bedeutet nämlich, dass die Einzelspektren weiter auseinander rücken und so das Tiefpassfilter weniger steil sein muss.

Andere Schreibweise

Mathematisch wird zu jedem Abtastpunkt t_k:=kT, idealisierend über alle ganzzahligen k, das Integral :

x_k:=\int_ f(t_k-\tau)\phi_T(\tau)\, d\tau=(f - \phi_T)(kT)

, über das originale zeitkontinuierliche Signal f mit einer Gewichtsfunktion

\phi_T(x):=1/T\cdot\phi(x/T)

\hat \phi_T(\omega)=\hat\phi(\omega T)

, gebildet. Es ist in der Signaltheorie üblich, der Zahlenfolge der Abtastwerte die Schwartzsche Distribution :

\sum_x_k\delta_=(f - \phi_T)\cdot \Delta_T

zuzuordnen, die an den Abtastpunkten Impulse mit den Abtastwerten als Gewichte aufweist. Diese Distribution (ein Funktional auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger) kann dann als Produkt aus dem durch Faltung mit der (glatten, schnellfallenden) Funktion φ_T geglätteten bzw. vorgefilterten Signal und dem Dirac-Kamm mit Impulsabstand T angesehen werden. Zu jedem Abtastverfahren gehört eine Rekonstruktionsvorschrift, welche im betrachteten Fall durch eine (ebenfalls glatte, schnellfallende) Funktion κ_T gegeben wird. Das rekonstruierte Signal ist dann durch :

g(t):=\sum_x_k\kappa_T(t-t_k)

definiert, was mittels Kamm-Distribution auch als :

g=[(f - \phi_T)\cdot\Delta_T] - \kappa_T

ausgedrückt werden kann. Nach den Regeln der Fourier-Transformation und der Poissonschen Summenformel kann die Fouriertransformierte von g bestimmt werden zu :

\hat g(\omega)=\sum_x_ke^\hat\kappa(T\omega)

und :

\sum_x_ke^
=\sum_(f - \phi_T)(kT)e^

(mit Poisson-SF) :

=\frac\sum_\widehat(n2\pi/T+\omega)
=\frac\sum_\hat f(n2\pi/T+\omega)\hat\phi(n2\pi+\omega T)

Zusammen also :

\hat g(\omega)=\frac\cdot\sum_ \hat f(\omega+k\cdot2\pi/T)\hat \phi(\omega T+k\cdot2\pi) \cdot\kappa(\omega T)

Der Idealfall

\kappa(t)=\phi(t)=\sin c(t)

\hat\kappa(\omega)=\hat\phi(\omega)=rect(\omega/\pi)=\chi_(\omega)

, entspricht der Erhaltung bandbeschränkter Signale und der analogen Vorfilterung beliebiger Signale mit einem idealen Rechteck- oder Boxfilter, wie es dem Whittaker-Kotelnikow-Nyquist-Shannon-Abtasttheorem gemäß ist.

Weblinks

- [http://www.ti.informatik.uni-frankfurt.de/grimm/skript/skriptch4.html Diskrete Verarbeitung kontinuierlicher Signale] Kategorie:Digitale Signalverarbeitung

Englische Sprache

Die englische Sprache (Englisch) ist eine germanische Sprache. Sie gehört, wie auch das Deutsche und das Niederländische, dem westlichen Zweig der germanischen Sprachen an. In einem eigenen Artikel gibt es mehr zur Geschichte der englischen Sprache. Englisch ist heute die am weitesten verbreitete Sprache der Welt, während es sich bei Mandarin-Chinesisch um die meistgesprochene Sprache handelt. Die englische Sprache wird in sehr vielen Ländern als erste Fremdsprache in den Schulen gelehrt (siehe Englisch (Schule)) und ist offizielle Sprache der meisten internationalen Organisationen. Viele dieser Organisationen haben daneben noch andere offizielle Sprachen. Englisch gilt als Weltsprache. Heute wird Englisch weltweit von etwa 340 Millionen Menschen als Muttersprache gesprochen, das heißt, etwa 340 Millionen Menschen sind anglophon. Zählt man die Zweitsprachler hinzu, kommt man auf etwa 510 Millionen Sprecher.

Verbreitung

Amtssprache

Englisch ist Amtssprache in den folgenden Staaten, wobei die Zahlen die ungefähre Zahl der Muttersprachler angeben, soweit bekannt: Englisch ist zudem Amtssprache bei der Europäischen Union, bei der Afrikanischen Union, der Organisation Amerikanischer Staaten und bei den Vereinten Nationen.

Sonstige Verwendung

Die englische Sprache dient zudem als Verkehrssprache in folgenden Ländern und Regionen:
- Gibraltar
- Hongkong
- Israel
- Malaysia
- St. Martin
- Somalia
- Zypern

Sprachwissenschaftliche Einordnung

Das Englische gehört zu den indogermanischen Sprachen, die ursprünglich sehr stark flektierende Merkmale aufwiesen. Alle indogermanischen Sprachen weisen diese Charakteristik bis heute mehr oder minder auf. Es besteht jedoch in allen diesen Sprachen eine Tendenz weg von flektierenden und hin zu isolierenden Formen. Im Englischen ist diese Tendenz besonders ausgeprägt gewesen, so dass es sich im Laufe seiner Entwicklung im Wesen stark gewandelt hat. Heute trägt die englische Sprache überwiegend isolierende Züge und ähnelt strukturell teilweise stärker isolierenden Sprachen wie dem Chinesischen als den genetisch eng verwandten Sprachen wie dem Deutschen. Zudem hat sich die Sprache heute durch die weite Verbreitung in viele Dialekte aufgeteilt. Viele europäische Sprachen bilden auch völlig neue Begriffe auf Basis der englischen Sprache (Anglizismen). Auch in einigen Fachsprachen werden die Termini von Anglizismen geprägt, z.B. in den Bereichen Informatik und Wirtschaft. Der Language Code ist en beziehungsweise eng (nach ISO 639); der Code für Altenglisch (etwa 450 bis 1100) ist ang und der Code für Mittelenglisch (etwa 1100 bis 1500) ist enm.

Sprachvarianten der englischen Sprache

Durch die weltweite Verbreitung der englischen Sprache hat diese in verschiedenen Gegenden zahlreiche Varianten entwickelt. Nach der bekanntesten und fremdartigsten Variante des Englischen spricht man oft auch von einer Pidginisierung, wenn eine Sprache sich durch ihre weite Verbreitung in mehrere Sprachen aufzuteilen beginnt, die untereinander kaum noch kompatibel sind. Folgende Sprachvarianten werden unterschieden:
- Siehe auch: Internationale Klassifizierungen (Englische Sprache) Eine Reihe von Pidginsprachen und Kreolsprachen haben sich auf englischem Substrat entwickelt. Das Eindringen von Anglizismen in andere Sprachen wird manchmal mit abwertenden Namen wie "Denglisch" (Deutsch und Englisch) oder "Franglais" (Französisch und Englisch) versehen. Dabei handelt es sich nicht um Varianten des Englischen, sondern um Erscheinungen in anderen Sprachen.
- Siehe auch: Englische Sprache in anderen Sprachen Der scherzhafte Begriff "Engrish" bezeichnet ebenfalls keine Variante der englischen Sprache, sondern bezieht sich auf das unbeholfene Englisch, das gelegentlich in asiatischen Ländern anzutreffen ist, hier insbesondere bei Japanern, die den Lateral "l", der im Japanischen nicht vorkommt, durch "r" ersetzen.

Textsammlungen

Beim Project Gutenberg stehen zahlreiche Texte frei zur Verfügung.

Siehe auch

- Englische Grammatik
- Ghoti
- Liste englischer Redensarten
- Englische Phonetik
- Englische Sprache in der Werbung
- Liste von Sprachen nach der Zahl ihrer Muttersprachler
- Chronologie englischsprachiger Medien

Literatur

- Wolfgang Viereck, Heinrich Ramisch, Karin Viereck: dtv Atlas Englische Sprache. dtv, 2002. ISBN 3423032391
- J. C. Wells: Accents of English. Volume I: An Introduction. Cambridge University Press, 1982. ISBN 0521297192
- J. C. Wells: Accents of English. Volume II: The British Isles. Cambridge University Press, 1982. ISBN 0521285402
- J. C. Wells: Accents of English. Volume III: Beyond the British Isles. Cambridge University Press, 1982. ISBN 0521285410
- Michael McCarthy, Felicity O'Dell: English Vocabulary in Use. upper-intermediate and advanced. Cambridge University Press, 1994
- Raymond Murphy: English Grammar in Use. Cambridge University Press, 1985
- Robert Phillipson: Linguistic Imperialism. Oxford University Press, 2000. ISBN 0194371468

Weblinks

- http://dict.leo.org/ – umfangreiches und ständig erweitertes Deutsch-Englisch und Englisch-Deutsch Online-Wörterbuch
- http://www.odge.de/ - Deutsch-Englisch und Englisch-Deutsch Wörterbuch mit über 420.000 Übersetzungen (auch ungewöhnliches)
- http://www.dict.cc/ – Deutsch-Englisch und Englisch-Deutsch Wörterbuch mit mittlerweile über 400.000 Übersetzungen
- http://www.dict.org/ – greift auf mehrere Wörterbücher zu, die das dict-Protokoll benutzen
- http://www.EnglishTensesWithCartoons.com Englishe Zeiten
- http://www.phon.ucl.ac.uk/home/estuary/index.html - Estuary English
- http://www.wordorigins.org/ – Die Herkunft einiger hundert englischer Wörter
- http://www.etymonline.com/ – Online Etymology Dictionary, Erklärungen zur Herkunft einiger tausend englischer Wörter
- http://www.englisch-hilfen.de/ – kostenlose Nachhilfe mit Erklärungen und Übungen
- http://www.ego4u.de/ – Englische Grammatik Online
- http://www.sprachschule-lbt.de/index.php?sprachschulen=englischkurse-5-spaltensystem&englisch-lernen=lernhilfen – kostenloses Grammatiksystem der englischen Sprache zum Selbstlernen
- http://www.quickdic.de/ – Wörterbuch zum Herunterladen
- http://www.phrasen.com/ – Wörterbuch der englischen Redewendungen
- http://www.urbandictionary.com - Slang Dictionary
- http://www.woerterbuch.info/ – Deutsch-Englisch Wörterbuch mit 600.000 Übersetzungen und 125.000 Synonymen
- http://www.alt-usage-english.org/audio_archive.shtml - Sprachfiles für Indisch-, Britisch-, Austrailienenglish und noch vieles mehr Kategorie:Einzelsprache Kategorie:Englische Sprache Kategorie:Anglistik als:Englische Sprache ja:英語 ko:영어 ms:Bahasa Inggeris simple:English language th:ภาษาอังกฤษ zh-min-nan:Eng-gí

Diskret

Diskret hat verschiedene Bedeutungen: # in der Mathematik und Technik: eine Eigenschaft von Mengen, Signalen u. a., siehe Diskretheit # ein Teilgebiet der Mathematik, siehe diskrete Mathematik # In der Umgangssprache: bemüht, der Öffentlichkeit bestimmte Informationen nicht zukommen zu lassen; verschwiegen; siehe Diskretion Siehe auch: Diskretisierung

Äquidistant

Unter Äquidistanz versteht man:
- in Mathematik und Technik gleiche Abstände in Zeitreihen, Messungen etc.; siehe Äquidistanz (Mathematik)
- in der Kartografie die Höhenstufe von benachbarten Schichtenlinien einer Karte (bei 1:50.000 z.B. 20 Meter); siehe Äquidistanz (Kartographie)
- in der Politik oder Soziologie einen neutralen Standpunkt zwischen verschiedenen Ansichten oder Gruppierungen; siehe Äquidistanz (Soziologie)
- in der Wahrnehmung vom Betrachter gleich weit entfernte Objekte Aquidistanz

Abtastrate

Mit Abtastrate, auch Samplingfrequenz oder Samplingrate, bezeichnet man in der Signalverarbeitung und ihren Anwendungen den Kehrwert des Abtastintervalls. Unter Abtasten mit einer bestimmten Abtastrate versteht man das Bilden einer Zahlenfolge durch fortlaufendes Entnehmen von Signalwerten aus einem Signal. Der Abstand zwischen den Abtastzeitpunkten ist das Abtastintervall. Es wird dadurch aus einem zeitkontinuierlichen ein zeitdiskretes Signal gewonnen. Gleichzeitig mit der Abtastung erfolgt häufig eine Quantisierung, zum Beispiel durch einen Analog-Digital-Wandler. Um ein beliebiges stetiges Signal aus seinen Abtastwerten rekonstruieren zu können (ohne weitere Kenntnisse des Signals zu verwenden), muss es bandbegrenzt sein mit einer maximalen Frequenz

< f_ / 2

(Abtasttheorem). Anders formuliert: Die Abtastfrequenz muss mehr als das Doppelte der Signalbandbreite betragen. Wird diese Bedingung verletzt, kommt es zu Aliasing. Die Abtastrate wird üblicherweise in Hertz angegeben. Die gängige Samplingfrequenz zum Beispiel bei digitalen Audiodaten beträgt 44,1 kHz (HiFi-Qualität). Siehe auch: Chroma Subsampling Abtastung, Sampling (Musik), Wordclock

Weblink

- [http://www.saecollege.de/reference_material/pages/Recorders.htm Warum ausgerechnet 44,1 kHz?] Kategorie:Digitale Signalverarbeitung Kategorie:Elektronik ja:サンプリング周波数

Digitalisierung

Der folgende Artikel befasst sich mit der Digitalisierung in der Datenverarbeitung. In der Medizin hat der Begriff die Bedeutung im Sinne von "Verabreichung eines Fingerhut-Präparats". Zu den technischen Anwendungen des Digitalisierens zur Erfassung physischer Objekte sind Informationen unter Reverse Engineering (Digitalisieren) zu finden ---- Der Begriff der Digitalisierung wird heute vielschichtig verwendet:
- Zum Einen ist Digitalisierung die Umwandlung (Codierung) von Information wie Schrift, Bild, Ton in digitale (schrittweise, ziffernmäßige) Form. Im Allgemeinen wird die Information dabei in einen Binärcode umgewandelt (z.B. Scanner).
- Zweitens wird der Begriff der Digitalisierung für die Umwandlung eines analogen Signals in ein digitales Signal verwendet (z.B. A/D-Wandler).
- Drittens wird auch der Übergang von Analog- zu Digital-Elektronik in allen Lebensbereichen als Digitalisierung bezeichnet (z.B. »Neue Medien«). Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Digitalisierung im Sinne des ersten und zweiten Punktes.

Gründe für die Digitalisierung

Durch Wandlung von Informationen bzw. Signalen in digitale Form können diese einfacher und exakter bearbeitet und transportiert werden. Auch bei langen Transportwegen und nach vielfacher Bearbeitung sind Fehler und Verfälschungen (z.B. Rauschüberlagerungen) im Vergleich zur analogen Verarbeitung gering.

Historische Entwicklung

Der Begriff der Digitalisierung ist ein historisch gewachsener Begriff und lässt sich deshalb heute nur schwer in eine einfache und klare Definition bringen. Die historische Entwicklung macht deutlich, weshalb es zur Digitalisierung kam. Eine historisch frühe Digitalisierung war das Morsen (ab 1837). Text wurde in Morsecode gewandelt, übertragen, und wieder zurück in Text verwandelt. Dies funktionierte auch bei technisch ungünstigen Bedingungen per Lichtsignal und Tonsignal (Funktechnik, Telefon, Telegraphie). Später folgten Fernschreiber (u. a. unter Verwendung des Baudot-Codes), Telefax, E-Mail. Der Computer heute verarbeitet Information fast ausschließlich in digitaler Form.

Umwandlung einer Information in digitale Form

Digitalisierung von Text

Eine mögliche Form der Digitalisierung von Text ist z.B. der sehr verbreitete ASCII-Code, bei dem jeder lateinische Buchstabe durch eine Folge von sieben Zahlen ausgedrückt, wobei die Zahlen nur den Wert 0 und 1 annehmen dürfen. Z. B. wird für den Großbuchstaben »A« die Folge 1000001 geschrieben.

Digitalisierung von Bildern

Um ein Bild zu digitalisieren, wird das Bild zuerst in Zeilen und Spalten (Matrix) zerlegt. Bei einer sehr einfachen Rastergrafik (nur schwarze oder weiße Bildpunkte, keine Grautöne) nimmt dann der Wert für einen Pixel (Element dieser Matrix), z. B. 0 für weiß und 1 für schwarz, an. Die Matrix wird zeilenweise ausgelesen, wodurch man eine Zahlenfolge aus den Zahlen 0 und 1 erhält, welche das Bild repräsentiert. Um ein Farbbild darzustellen, kann man jedem Pixel z. B. eine 16stellige oder 32stellige Zahlenfolge aus 0 und 1 zuordnen (siehe die Farbmodelle: RGB, CMYK).

Digitalisierung von Ton

siehe Wandlung von analogem Signal zu digitalem Signal

Umwandlung analoger Signale in digitale Signale

Diese Art der Umwandlung spielt ein Rolle bei der Informationsverarbeitung in der digitalen Elektronik. Im engeren Sinn liegt der Unterschied zwischen analoger und digitaler Darstellung im Wertebereich. Die Digitalisierung besteht dann nur aus der Quantisierung, welche den ursprünglich kontinuierlichen Wertebereich (z.B. eine beliebige Spannung zwischen 0 und 10 V) auf einer diskreten Menge (z.B. Zahlen zwischen 0 und 255) abbildet. Bei der Digitalisierung von analogen Signalen – also von zeitabhängigen Werten – wird gleichzeitig mit der Quantisierung immer eine Abtastung vorgenommen. Dadurch entsteht ein wert- und zeitdiskretes Signal. Die technische Umsetzung erfolgt in vielen Fällen mit Analog-Digital-Wandlern. Auflösung und Abtastrate bestimmen (unter anderem), mit welcher Genauigkeit das analoge Signals digital dargestellt wird. Die digitale Signalverarbeitung befasst sich mit dem Digitalisieren, digitalen Verarbeiten und anschliessendem »Zurückwandeln« von Analogsignalen. Eine Anwendung ist z.B. die Musikbearbeitung (Digitalisierung von Audiosignalen).

Siehe auch:

binär, Medientheorie, Digitales Fernsehen, Retrodigitalisierung, Digitales Vergessen Kategorie:Technik Kategorie:Hardware !

Quantisierung

Der Begriff Quantisierung (von lat. quantum – Menge), nicht zu verwechseln mit Quantifizierung, bedeutet etwa „Darstellung einer Größe in einem System, in dem sie nur diskrete Werte annehmen kann“.

Messtechnik, Signalverarbeitung

In der Messung werden physikalische Größen oft in analoge elektrische Größen umgewandelt. Die Umwandlung in ein symbolisches System mit einer begrenzten Auflösung ist die Quantisierung. Früher erfolgte sie durch Ablesen des Messinstrumentes und Aufschreiben des abgelesenen Wertes mit dem Bleistift. Hierdurch wurden die Messwerte einer Speicherung in Tabellen und Verknüpfung mittels symbolischer Operationen zugänglich. Heute findet letzteres praktisch nur noch in Computern statt und die Quantisierung von Messgrößen erfolgt sinnvollerweise auch maschinell, nämlich in einem Analog-Digital-Wandler. Hierbei treten verschiedene Fehler auf wie Linearitätsfehler und Quantisierungsrauschen. Die Quantisierung ist also neben der Abtastung ein Schritt der Digitalisierung (A/D-Wandlung) von analogen Signalen.

Bildkompression, Videokompression

Hier ist Quantisierung ein Schritt im Kompressionsverfahren. Die Daten etwa der Ortsfrequenzen liegen bereits digital vor, jedoch in einer hohen Genauigkeit (Bitzahl). In der Q. wird eine wesentlich niedrigere Anzahl von Werten erlaubt, die sich mit weniger Bits darstellen lassen und darüber hinaus eine bessere Voraussetzung für spätere Komprimierungsstufen liefern. Die Q. erfolgt durch Rundung. Die Anzahl der Quantisierungsstufen variiert i. A. mit der Ortsfrequenz, was die genauere Codierung der zuverlässigeren tiefen Ortsfrequenzen erlaubt. Auch der Abstand der Quantisierungsstufen einer Ortsfrequenz braucht nicht gleichmäßig zu sein, sondern kann etwa mit zunehmender Amplitude zunehmen, um auf bestimmte Eigenschaften der menschlichen Wahrnehmung zu reagieren.

Quantenphysik

Hierbei versteht man unter Quantisierung den Übergang einer klassischen Theorie der Physik in die entsprechende quantentheoretische Darstellung, siehe Quantisierung (Physik). Dieser Übergang beinhaltet unter Anderem, dass Energie zwischen Systemen nur in Quanten ausgetauscht werden kann und dass stationäre Systeme diskrete Energieniveaus aufweisen.

Digitale Musikproduktion

In Software zur Produktion von Musik (bsp. Steinberg Cubase) verwendet man den Begriff der Quantisierung als Zeitquantisierung und Längenquantisierung. Bei der Zeitquantisierung werden die Noten automatisch an ein vorher festgelegtes Zeitraster angelegt. Ungenau eingespielte Tonfolgen können so genau auf den Takt gelegt werden. Bei der Längenquantisierung wird die Tonlänge rastergenau beschnitten oder verlängert.

Weblinks

- http://jpegclub.org/ Anwendung der Quantisierung in der Diskreten Kosinustransformation bei der JPG-Komprimierung Kategorie:Elektrotechnik Kategorie:Digitale Signalverarbeitung ja:量子化

Sampling (Musik)

Inn der Musik bezeichnet Sampling den Vorgang, einen Teil einer Musikaufnahme (ein Sample; engl. für „Auswahl“ / „Beispiel“) in einem neuen musikalischen Kontext zu verwenden. Dies geschieht heutzutage in der Regel mit einem Sampler, d.h., indem das Sample digitalisiert wird, und so leicht (z.B. mit einem Sequenzer) weiterverarbeitet werden kann. (siehe auch Computersample). Das Sampling ist eine häufig verwendete Technik der gegenwärtigen Popmusik: Insbesondere im Hip-Hop und in elektronischen Musikrichtungen wie Trip Hop, Drum and Bass, Big Beat und House werden häufig Samples verwendet. Sampling wird aber auch von vielen Musikern, vor allem Keyboardern, in fast allen Musikstilen verwandt, da hiermit unter anderem die fast originalgetreue Nachahmung von Naturinstrumenten möglich ist.

Technik des digitalen Samplings

Klänge einer Klangquelle, etwa von einem Mikrofon oder CD-Player, werden in sehr kurzen Zeitabständen als Daten (Samples) digital gemessen, das Ergebnis (sozusagend eine Reihe von Messergebnissen) lässt sich wieder abspielen (wobei die Daten wieder in analoge Wellenformen verwandelt werden) oder als Datei speichern. Die Klänge werden dann mit einem Sampler als so genannte Samples in den Speicher eines Rechners geladen, um sie dort nach Bedarf zu modifizieren. Die Länge eines Samples variiert (meist) zwischen einer Note - beispielsweise einem einzelnen Schlagzeugsound oder einem Gesangsschnipsel - und bis zu mehreren Takten eines Stückes (auch ein Musikstück auf einer CD stellt nichts anderes als ein sehr langes Sample dar). Das so aufgenommene Sample wird entweder in ein bestehendes Musikstück integriert oder dient in Gestalt einer Endlosschleife (Loop (Musik)) als Grundgerüst für ein neues Stück. Es ist beispielsweise möglich, den gesamten Tonumfang eines Musikinstruments zu samplen und es dann (z.B. per MIDI-Keyboard) zu spielen, ohne es tatsächlich zu besitzen. Hierbei wird nicht nur ein Sample des Instrumentes gespeichert, sondern mehrere (Multisampling), die dann nicht mehr über den gesamten Tonumfang transponiert werden müssen, sondern nur über einen Teilbereich (im Extremfall ist jeder Ton ein eigenes Sample). Da allerdings der Gesamtklang von natürlichen Instrumenten in der Regel aus mehr als der Summe der Einzeltöne besteht, stößt Sampling hier an seine Grenzen. Häufig wird daher versucht, dieses Manko durch andere ergänzende Klangerzeugungsmethoden auszugleichen (Physical Modeling zur Nachbildung von Gehäuseresonanzen u.ä.).
Probleme gibt es weiterhin bei der Darstellung von sehr modulationsfähigen Instrumten, deren Klang (vor allem der Einschwingvorgang) sehr charakteristisch von der Spielweise abhängig ist (z.B. Streicher, Bläser, Gitarre, menschliche Stimme). Zur Lösung dieses Problems wird z.B. versucht, für jeden Ton mehrere Samples zu verwenden (mehrfaches Multisampling), die dann abhängig von der Spielweise (z.B. Anschlagstärke der Tastatur) ineinander übergeblendet oder sogar gemorpht werden. Um mit Samples zu arbeiten, benötigt man einen Sampler. Ein Sampler kann sowohl ein physisches Gerät (zum Beispiel eine Soundkarte im Computer, oder ein Sampler als eigenständiges Gerät) wie auch als reine Software (Softwaresampler) auftreten. Die Klangqualität hängt von der Samplingrate ab.

Computersample

Ein Computersample ist ein digitalisiertes analoges Audiosignal. Hierbei werden dem analogen Audiosignal über einen A/D Wandler Ausschnitte (Samples) entnommen und gespeichert. Diese geschah anfangs noch mit 8 Bit, später 16 Bit Technik. Der erste digitale Sampler war das Fairlight. Später folgten z.B. der Emulator der Firma EMU oder der S1000 von Akai. Standard war hier lange Zeit 44,1 kHz, inzwischen etabliert sich aber eine Abtastung von 96 kHz (44100 bzw. 96000 Abgriffe pro Sekunde). Ein analoges Signal besitzt zu jedem Zeitpunkt auf der Zeitachse einen bestimmten Signalwert. Man spricht hier von Zeitkontinuität. Ein digitalisiertes Audiosignal ist zeitdiskret, das heißt, man entnimmt dem analogen Signal eine endliche Anzahl von Augenblickswerten. Die Beschränkung ist notwendig, da die anschließende Wandlung des Materials in einen Zahlenwert eine gewisse Zeit benötigt. Die hierbei entstehende Abtastperiode definiert man mit T_A . Ein Sampler funktioniert in der Praxis nicht viel anders als ein Kassettenrekorder. Auch hier gibt es eine Aufnahmemöglichkeit. Die Aufnahmedauer war zu Beginn der Samplerära noch sehr begrenzt, sie lag teilweise nur im Sekundenbereich. Spätere Sampler waren mit mehr RAM ausgestattet und man konnte längere Samples aufzeichnen. Ein Sampler verfügt darüber hinaus noch über zahlreiche Manipulations- und Editionsmöglichkeiten, mit denen man das Audiomaterial verändern kann. Digitale Filter (Tiefpass/Hochpass/parametrische Filter), EQs etc. gehören zur Grundausstattung eines modernen Samplers. Hardware-Sampler spielen aber seit ungefähr dem Jahr 2000 eine immer geringere Rolle, da leistungsfähige Computer eine viel günstigere Softwarevariante bieten. Zu erwähnen sei hierbei der EXS24 von Logic Audio (Software aus dem Hause Emagic). Diese werden als so genannte Plug-Ins in den Sequenzerprogrammen eingesetzt. Computersamples haben gegenüber der älteren Samplingtechnik mittels analoger und digitaler Hardware Sampler (Klangerzeuger) den entscheidenden Vorteil, per Bildschirm, also mit Auge und Ohr, bearbeitet werden zu können, wodurch Schnitt, Loop (vgl. Loop (Musik)) und Arrangement von Musikproduktionen schneller und variabler vonstatten gehen.

Geschichte

Historisch beginnt die Verbreitung des Sampling in der populären Musik mit der Verfügbarkeit erschwinglicher Technik Mitte der 80er Jahre. Die Firma Casio stellt das Samplingkeyboard SK-1 vor, welches erstmals (noch in 8 Bit) ermöglicht, 2-3 Sekunden lange Klänge aufzunehmen und in allen Tonhöhen wieder abzuspielen. Besonders in der Pop-Musik und beim Hip-Hop (MPC) erfreut sich die Technologie bald großer Beliebtheit. Der 16 Bit-Standard ist Mitte der Neunziger professionell üblich. Genres wie Drum'n'Bass, Breakbeat, House oder Trip Hop basieren fast vollständig auf den neuen Möglichkeiten, die Sampler, wie die der Firmen Akai, Roland, Emu oder Korg, Musikern nun verschaffen. Schallplattensammlungen dienen als Fundus auf der Suche nach dem idealen Loop. Die Tracker-Szene nutzt vorhandene PC, Soundkarte und Software sowie Sample-CDs, um Ähnliches zu tun. In der Studiotechnik professioneller Musikstudios hält Ende der Neunziger die digitale Aufnahmetechnik endgültig Einzug, Bandmaschinen findet man heute kaum noch. Es gibt heute wenige Musikstücke, die nicht digital (z.B. per DAT-Tape) aufgenommen, bearbeitet und abgemischt werden, auch in der Rock-Musik ist diese Technik heute Standard. Eine einschneidenden Änderung in der Veröffentlichungspraxis bedeutete das 1991 gesprochene Urteil Grand Upright Music, Ltd. v. Warner Brothers Records, Inc. des "United States District Court for the Southern District of New York". Das Gericht verurteilte die Plattenfirma Warner Music Group für ein Album ihres Künstlers Biz Markie. Er hatte drei Worte und etwas Musik aus einem Stück Gilbert O'Sullivans gesampled, ohne dafür die Erlaubnis zu haben - bis zum Urteil eine im Hip Hop übliche Praxis, die Veröffentlichungen wie beispielsweise von Public Enemy in ihrer Form erst möglich machte. Das Gericht urteilte, dass dies ein Verstoß gegen Copyright-Gesetze wäre. Zur Begründung, dass dies die übliche Technik im Hip Hop wäre, sagte es, the defendants...would have this court believe that stealing is rampant in the music business and, for that reason, their conduct here should be excused. Samplereiche Platten wurden damit nicht mehr möglich. Meist ist es finanziell und organisatorisch kaum möglich, mehr als ein oder zwei Samples zu verwenden, der Sound der Hip-Hop-Musik änderte sich danach maßgeblich. Entweder beruhten die Stücke mehr auf einem Sample und wurden damit Cover-Versionen ähnlicher, oder Künstler wie Dr. Dre und andere benutzten die Technik der Interpolation: die gewünschten Samples wurden neu eingespielt, sodass nur noch mit dem Songschreiber, nicht mehr aber mit Musikern, Sängern und Plattenfirmen verhandelt werden musste.

Verwendung

Musiker oder Produzenten, die als erste Sampling einsetzten, sind u.a.
- Peter Gabriel
- Depeche Mode
- Kate Bush
- Trevor Horn
- DJ Shadow war einer der bekannteren neueren Musiker, die ein ganzes Album nur aus Samples progammiert haben. Bei seinem ersten Album, „Entroducing“ nutzte er nur eine AKAI MPC 60, Technics 1200 Plattenspieler, einen DAT-Recorder und Tausende von Schallplatten.
- Computerjockeys arbeiteten als erste 1997 mit Samples plus Computer stand-alone (ohne zusätzliche Klangerzeuger / MIDI) live mit eigenen Arrangements
- Akufen führte den Begriff des Microsamplings ein

Weblinks

- [http://www.samplepoolz.com Samplepoolz.com - Online-Magazin mit Schwerpunkt Sampling]
- [http://www.projektwerkstatt.de/krach/content/search01_d.html Artikel über Hardware- und Software-Sampler]
- [http://www.the-breaks.com Nachschlagewerk für Rap-Samples] Kategorie:Musikglossar Kategorie:Tonbearbeitung

Filmabtaster

Ein Filmabtaster (auch Filmgeber oder Telecine) ist in der Fernsehtechnik ein Gerät, welches Kinofilme und sonstiges Filmmaterial einliest und daraus ein – analoges oder digitales – Videosignal erzeugt. Jeder Kinofilm, sofern er mit einer Filmkamera gedreht wurde, muß bevor er im Fernsehen, auf Video oder DVD gezeigt werden kann, muß mit einem Filmabtaster abgetastet werden. Weitere Anwendungen sind
- das Überspielen fertiger Filme auf Videokassetten und DVDs,
- die Restauration beschädigter oder verschmutzter Filme,
- die Auswertung von gedrehtem Material (Wie siehts später auf DVD, Fernsehen, Video usw. aus?), sowie
- die digitale Nachbearbeitung, z.B.
- non-linearen Schnitt am Computer oder
- die Ergänzung von Special Effects.

Verschiedene Verfahren

Die Entwicklung des Filmabtasters begann mit einem Kamerabtaster oder Speicherröhrenabtaster, bei dem die Filmbilder über einen Projektor direkt in eine Fernsehkamera projiziert wurden. Dieses Verfahren wird im professionellen Bereich nicht mehr verwendet. Die nächste Generation, der Flying-Spot-Abtaster, eine Entwicklung der BBC, verwendete eine Bildröhre, auf der sich ein Lichtpunkt im Fernsehraster bewegte. Dieser Lichtpunkt durchleutete das Filmbild und wurde auf eine bzw. bei Farbabtastung auf drei Fotozellen gelenkt. Dort entstand ein zeilenweises Abbild der Helligkeits- und Farbinformation des Filmbildes. In der weiteren elektronischen Verarbeitung entstand am Ausgang das gewünschte Videosignal. Vorteil dieses Verfahrens ist, dass auch ein stehendes Bild abgetastet werden kann. Im Zuge der technologischen Entwicklung standen Anfang der 80er Jahre CCD-Sensoren zur Verfügung, die auch für die Filmabtastung Verwendung fanden. Der CCD-Filmabtaster, z.B. FDL 60 von Bosch, war verfügbar. Das Prinzip unterscheidet sich grundlegend vom dem o.g. Lichtpunkt oder Flying Spot Verfahren. Bei CCD Abtastern dient als Lichtquelle eine Halogen-Lampe (3200 K). Das Licht leuchtet durch eine Spaltoptik auf das Filmbild. Als Empfänger dient eine oder mehrere CCD Zeilen mit einer Auflösung bis zu 4k. Das elektronische Abbild der Zeile wird digital weiterverarbeitet und steht am Ausgang der Telecine als analoges oder digitales Video- bzw. Datensignal zur Verfügung. Dieses Verfahren ist mit einem Flachbettscanner zu vergleichen, bei dem sich jedoch nicht der Scankopf, sondern die Vorlage bewegt. Neben dem Line-Scanner, der den Film zeilenweise abtastet, gibt es auch den Area-Scanner, der ganze Filmbilder auf einmal aufnimmt. Marktführer auf dem Gebiet der Filmabtastung sind GVG, Thomson und Cintel. Führende Hersteller sind Kodak Cineon, Thompson Broadcast, Sony Professional, Imagica.

PAL Speedup und 3:2 Pulldown

Soll das so gewonnene Signal auf einem herkömmlichen Fernseher mit Zeilensprungverfahren ausgegeben werden, so müssen sämtliche Zeilen eines Bildes in einem digitalen Speicher zwischengespeichert und durch Auslesen in veränderter Reihenfolge umsortiert werden. Ferner wird die Filmgeschwindigkeit an die Videonorm angepaßt.

Qualität

Der alles entscheidende Parameter für die Qualität beim Abtasten/Ausbelichten (FAZ - Filmaufzeichnung ) ist die Auflösung. Die notwendige Auflösung wird festgestellt durch:
- räumliche Auflösung mit Hilfe eines Models: MTF (Modulation Transfer Function) bildet Maßzahl wieviele Sinusfunktionen pro mm aufgenommen werden können
- photochemische Grundlagen: Filmkorn hat ca. 16 µm, legt man die Pixelgrösse auf die halbe Grösse fest, errechnet sich für einen 35mm-Film (22 x 16 mm) eine Auflösung von 2750 x 2000 Pixel
- Re-Belichtungstest: sehr gutes Filmmaterial wird in verschiedenen Auflösungen abgetastet, wieder ausbelichtet und mit Originalmaterial verglichen. Diese Tests werden meistens im Academy Format durchgeführt, d. h. 1,37:1 auf 35 mm Im Allgemeinen wird mit einer Auflösung von 2k (2048 x 1492 Bildpunkte) ein sehr gutes Ergebnis erzielt (HDTV: 1920 x 1080), Verbesserung bei 4k (3656 x 2664 Bildpunkte), bei 6k (5485 x 3996) und mehr kein Unterschied zu 4k mehr erkennbar. Mit steigender Auflösung des Bildes, steigt jedoch auch die benötigte Zeit für den Scanvorgang immens. HD-Auflösungen schaffen alle auf dem Markt befindlichen Scanner in Echtzeit. Bei 2K sieht das schon wieder ganz anders aus; Die Cintel Datamill, der wohl schnellste Filmscanner der im Moment erhältlich ist, schafft knapp 17 Frames pro Sekunde und immerhin noch 4 Frames bei 4K Auflösung. Mit der steigenden Zeit steigen natürlich auch die Kosten, die bei einer Abtastung anfallen. Deshalb werden die meisten Scans in HD-Auflösung durchgeführt, was auch für eine weitere Ausbelichtung auf Film noch durchaus ausreichend ist. 2K und 4K Auflösungen werden nur bei aufwändigen Special Effects-Shots, wie z.B. Green- oder Bluescreenaufnahmen eingesetzt, um im Compositing noch feinere Bilder bearbeiten zu können. Jedoch steigt natürlich auch der Bedarf an Speicherplatz, sowie die Anforderungen an die Hardware, die zur Nachbearbeitung eingesetzt wird immens an. Ebenfalls wichtiger Parameter bei Telecine: Farbauflösung. Um Artefakte bei Farbverläufen zu vermeiden, wird hier mit 12-14 Bit pro Kanal gescannt.

Einsatz in der Nachbearbeitung

Nach dem Abtasten liegt die Bildinformation als digitaler Datensatz auf einem Speichermedium vor (zumeist DLT - digital linear tape). Das Datenvolumen beträgt bis zu 50 Megabyte pro Bild. Dieses digitale Material wird in der Post-Produktion verwendet. Anschließend wird das Material (für Kino auf 35mm-Film) wieder ausbelichtet, z. B. mit einem ARRILASER. Der Einsatz von Filmabtastern ist heutzutage bei jedem auf Film gedrehten Material üblich. Das Verfahren wird auch zur Filmrestauration eingesetzt. Eine erneute Ausbelichtung des Materials erfolgt jedoch nur, wenn es im Kino gezeigt werden soll. Das heisst es werden nur Spielfilme wieder auf Filmmaterial zurückbelichtet. Werbung wurde früher auch immer nach der Bearbeitung wieder ausbelichtet, jedoch verwenden die großen Kinoketten heutzutage bereits zum größten Teil digitale Projektoren, die für die Werbung verwendet werden. Diese Vorgehensweise spart den Produktionsunternehmen sehr viel Geld. Es muß kein Filmmaterial zur Ausbelichtung bezahlt werden, das teure Labor und die dort Beschäftigten sind ebenfalls sehr teuer. Ausserdem ist der fertige Film schneller verfügbar, d.h. die Entwicklungs- und die Distributionszeit fallen weg. Kategorie:Fernsehtechnik Kategorie:Filmtechnik

Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert. Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis. __TOC__

Definition

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische Schwartz temperierte Distribution dar, die von Diracschen Delta-Distributionen Gebrauch macht. :

\Delta_T(t) = \sum_^ \delta(t - n T)

für eine Periode T. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T zueinander stehen. Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt also :

\forall \phi\in C_0^\infty(\mathbb R)=\mathcal D(\mathbb R)

ist

\delta_T(\phi):=\sum_^\phi(nT)

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Ebenso wie die Gaußsche Glockenkurve ist der Dirac-Kamm ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, d.h. die Fourier-Transformierte eines Dirac-Kamms ist wieder ein Dirac-Kamm, siehe Poissonsche Summenformel. Ähnlich, wie das Produkt der Breiten der korrespondierenden Gaußkurven durch die Heisenbergsche Unschärferelation beschränkt ist, ist auch das Produkt der Perioden der korrespondierenden Dirac-Kämme eine Konstante: :

\mathcal \left\(\omega) =
       \frac \, \sum_^ \delta \left(\omega - \frac \right) =
       \frac \, \Delta_(\omega)

D.h. eine Verfeinerung des Kamms im Zeitbereich führt zu einer Vergröberung des Kamms im Frequenzbereich und umgekehrt.

Abtastung und Alias-Effekte

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation, mit der abzutastenden Funktion, beschreiben: 680px Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T. In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen. Kategorie:Digitale Signalverarbeitung Kategorie:Funktionalanalysis ja:くし型関数

Delta-Distribution

Die Delta-Distribution (auch δ-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß; Stoßfunktion; sowie Einheitsimpulsfunktion genannt) wird in der Naturwissenschaft durch ein kleines Delta δ dargestellt und symbolisiert eine spezielle Distribution, die in der Mathematik und Physik von grundlegender Bedeutung ist. Der zu bevorzugende Name lautet Delta-Distribution, da sie keine Funktion im herkömmlichen Sinn ist. Die Bezeichnung Delta-Funktion ist somit streng genommen falsch, obwohl sie weit verbreitet ist. Im selben ungenauen Sinne wird sie oft auch nach dem britischen Physiker Paul A. M. Dirac als Dirac-Funktion bezeichnet.

Anschauliche Definition

Die Delta-Distribution soll eine Funktion darstellen, die folgendermaßen definiert ist: :

\delta (x-a)=\begin 0 & x\ne a\\\infty & x=a\end

Die Stammfunktion der δ-Funktion ist die Heaviside-Sprung-Funktion

\Theta(t)

. :

\delta(t)= \frac \Theta(t)

Die δ-Funktion ist genau genommen gar keine Funktion, sondern eine Distribution, die nur über ihr Integral definiert ist. Die Integration über eine δ-Funktion liefert 1, Integration über eine δ-Funktion multipliziert mit einer Funktion

f(x)

liefert den Funktionswert

f(a)

von

f

an der Stelle

a

Exakte Definition

Man kann sich leicht überzeugen, dass es keine (reelle) Funktion gibt, die die obigen Bedingungen erfüllt. Deshalb ist eine exakte Definition nur im Rahmen der Theorie der Distributionen möglich. Eine Distribution ist ein lineares Funktional auf einer Menge der Testfunktion, d.h. eine Distribution ordnet jeder Testfunktion eine Zahl zu. Die Delta-Distribution ist durch folgende Zuordnungsvorschrift gegeben:

\phi  \to  \phi(0)  \qquad \forall \phi

Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion liefert, schreibt man auch als

\delta(\phi) = <\delta,\phi>

, bzw. in einer nicht ganz präzisen Art auch als

\int \delta(x) \phi(x) dx

. Diese Schreibweise ist nicht richtig, weil die Delta-Distribution eigentlich nicht integrierbar ist. Wenn man allerdings diese Integral-Schreibweise akzeptiert mit dem Wissen, dass es eigentlich nur den Wert

\delta(\phi)

bezeichnet, werden die obigen Formeln auch mathematisch richtig.

Eigenschaften

- Faltungseigenschaft (Faltungssatz), auch Ausblendeeigenschaft der Delta-Distribution genannt :

\int_^\infty f(x)\delta (x-a)\;dx=f(a)

speziell für den Fall der konstanten Funktion 1: :

\int_^\infty \delta (x-a)\;dx=1

- Fouriertransformation: Sei

\mathcal

die Fouriertransformation, dann gilt :

\mathcal \ = 1

. Anschaulich bedeutet das, dass in der Delta-Distribution alle Frequenzen enthalten sind.
- Hintereinanderausführung: :

\int_^\infty \phi(x)\delta (g(x))\;dx = \sum_^ \frac

wobei

x_i

die einfachen Nullstellen von

g(x)

sind (sofern

g(x)

nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat).
- Skalierung :

\delta(\alpha x) = \frac \delta(x)

D.h. die Delta-Distribution ist homogen vom Grad -1.
- Rechenregel :

\delta(x^2 - \alpha^2) = \frac [\delta(x - \alpha)+ \delta(x + \alpha) ]

- Dimension Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat x beispielsweise die Dimension Meter, so hat δ(x) die Dimension (1/Meter). Meter Meter

Anschauliche Darstellung

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, deren Fläche den Grenzwert 1 besitzt. Am Ende dieses Gedankenexperiments erhält man einen Graphen, den man wegen der unendlichen Amplitude nicht mehr zeichnen kann. Der rote senkrechte Pfeil in der Abbildung deutet wie üblich an, dass sich die Linie in dieser Richtung unendlich fortsetzt. Dieser Grenzwert, als Integral geschrieben, lautet (Diracsche Deltafunktion): :

\int^_\delta(t)dt=1

Es existieren auch mehrdimensionale Dirac Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen Keulen mit dem Volumen 1.

Praktische Anwendung

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik. So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des "Echos", also der Systemantwort) ermittelt werden. Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:
- Hochspannungstechnik ca. 1-100 ns Halbwertsbreite
- Hochfrequenztechnik ca. 10-100 ps Halbwertsbreite
- Laserpulstechnik ca. 10-100 fs Halbwertsbreite Siehe auch: Kronecker-Delta, Distribution (Mathematik)

Darstellungen

Eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution ist :

2\pi\delta(x-a)=\int_^\infty e^dk,

wobei das Gleichheitszeichen nur unter passender Faltung mit einer Testfunktion richtig wird. Sehr anschaulich ist zum Beispiel :

\delta(x-a)=\lim_ \sqrt e^,

vorstellbar als eine Folge von Gaußverteilungen, deren Schwerpunkt bei

a

liegt und deren Höhe mit der Wurzel der fallenden Halbwertsbreite wächst. Das Gleichheitszeichen gilt wieder nur bei Faltung mit einer Testfunktion und formeller Vertauschung von Grenzwert und Integration vor allen anderen Rechnungen. Weiterhin gibt es die Darstellung mit Hilfe von Lorentzkurven, :

\pi\delta(x-a)=\lim_\frac,

wobei für das Gleichheitszeichen dasselbe wie bei den Gaußverteilungen gilt. Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Theoretische Physik ja:ディラックのデルタ関数

Spektrum

Ausgehend von der ursprünglichen Bezeichnung für die Darstellung der Spektralfarben in Abhängigkeit von der Wellenlänge bzw. der Frequenz hat der Begriff Spektrum eine komplexere Bedeutung erlangt. Im Besonderen werden unterschieden:
- allgemein: Die Gesamtheit der
- Teilgebiete (Sparten) eines Gebietes (der Wissenschaft, des Handels, der Arbeit, der Forschung u. a. ...)
- Bestandteile eines Gemisches (von Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern, Komponenten u. a.)
- in der Physik und Physikalischen Chemie das Ergebnis der Messwertverteilung einer Messgröße, speziell der Wellenlänge oder der Frequenz. Beispiele:
- das elektromagnetische Spektrum, speziell das Lichtspektrum
- das Linienspektrum (Absorptionsspektrum und Emissionsspektrum)
- eine Energie-Intensitätsverteilung eines Teilchenstromes, zum Beispiel ein Elektronenspektrum
- das Schallspektrum (siehe Akustik, Synthesizer, Vocoder, Formant, Vokaldreieck)
- das Massenspektrum eines Teilchenstrahls
- in der Nautik: Das Spektrum der Energiedichte von Schwerewellen als Seegangsspektrum, Brandungsspektrum
- in der Mathematik:
- in der Funktionalanalysis: siehe Spektrum (Operatortheorie)
- in der kommutativen Algebra: siehe Spektrum eines Ringes
- in der algebraischen Geometrie: siehe Spektrum einer Algebrengarbe
- in der Linearen Algebra die Menge der Eigenwerte: siehe Eigenwertproblem
- in der Politik das politische Spektrum
- die Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft ja:スペクトル ko:스펙트럼

Fouriertransformierte

Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die einer Funktion eine andere Funktion (ihre Fouriertransformierte) zuordnet. Allgemein umfasst der Begriff Fourier-Transformation eine Reihe sehr ähnlicher Transformationen, auf die weiter unten eingegangen wird. Meist wird er aber für die kontinuierliche Fourier-Transformation verwendet. Die Fourier-Transformation ist von außerordentlicher praktischer Bedeutung in vielen Wissenschaften, Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Ozeanographie und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen. Die Fourier-Transformation wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur entwickelt.

Definition

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch :

\mathcal_\ = F(\omega)= \frac \int\limits_^\infty f(t) e^ \,dt

Die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet analog dazu: :

\mathcal_^\ = f(t)= \frac \int\limits_^\infty F(\omega) e^ \,d \omega

In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt

\frac

nur

\frac

oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwandten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat nicht nur den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist, sondern ist essentiell für die Bedingung:

\int\limits_^\infty \left|f(t)\right|^2 \,d t = \int\limits_^\infty \left|F(\omega)\right|^2 \,d \omega

(Plancharel-Identität). Diese Bedingung ist z.B. in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation. Außerdem ist die ebenfalls energieerhaltende Fourier-Transformation möglich, bei der man allerdings eine Spektralfunktion erhält

G(\nu)

die von

\nu = \frac

abhängt: :

\mathcal_\ = G(\nu)= \int\limits_^\infty f(t) e^ \,d t.

Wobei dann die Rücktransformation :

\mathcal_^\ = f(t)= \int\limits_^\infty G(\nu) e^ \,d\nu

lautet. Da hier über die Variable

\nu

statt

\omega

integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Vorfaktor.

Existenz der Fourier-Transformation

Notwendig für die Konvergenz des Fourierintegrals ist die absolute Integrierbarkeit der Zeitfunktion

f(t)

, d.h. f muss Borel-messbar und Lebesgue-integrierbar sein, kurz in

L^1(\R)

liegen. :Insbesondere muss

\|f\|_1=\int\limits_^\infty \left|f(t)\right|\,dt<\infty

gelten. Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Fouriertransformierte F von f eine stetige, beschränkte Funktion. Rechenregeln:
- Für Linearkombinationen gilt

\mathcal F(f+\alpha g)=\mathcal F(f)+\alpha\mathcal F(g)

f,g\in L^1(\R),\;\alpha\in\mathbb C

.
- Für das Faltungsprodukt gilt

\mathcal F(f - g)=\sqrt\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)

, bei

f,g\in L^1(\R)

.
- Sind f und g sogar quadratintegrabel,

f,g\in L^1(\R)\cap L^2(\R)

, so gilt die Plancharel-Identität

\langle f,\,g\rangle=\langle \mathcal F(f),\,\mathcal F(g)\rangle

. Da

L^1(\R)\cap L^2(\R)

dicht in

L^2(\R)

liegt, erlaubt es die Plancharel-Identität, die Fourier-Transformation als unitären Operator auf dem Hilbertraum

L^2(\R)

zu definieren, obwohl das Fourierintegral für Funktionen aus

L^2(\R)

nicht mehr in jedem Punkt konvergieren muss.

Varianten der Fourier-Transformation

Die verschiedenen Begriffe in diesem Zusammenhang werden leider in der Literatur nicht einheitlich gebraucht, und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und mit Fourier-Analyse wird oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe gemeint, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation. Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es im wesentlichen drei Varianten (auf Grund der oben genannten Unschärfe der Begriffe erhebt die Liste keinen Anspruch auf vollständige Richtigkeit): # Eine in einem endlichen Intervall periodische Funktion kann in eine Fourierreihe zerlegt werden. # Ein Vorgang, der unperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die kontinuierliche Fourier-Transformation (auch Fourier-Integral). # Sind von einem (unperiodischen) Vorgang nur Werte an diskreten, äquidistanten Zeitpunkten in einem endlichen Intervall bekannt, wird die diskrete Fourier-Transformation angewendet. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist ein digitalisiertes Musikstück auf einer CD, auf der pro Sekunde 44100 Amplitudenwerte des Audiosignals gespeichert sind. Man erhält bei allen Transformationen ein Frequenzspektrum, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist: Zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation wird oft die schnelle Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration. Wegen der Bedeutung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung sind Signalprozessoren für die Berechnung der Fouriertransformation optimiert.

Mathematische Motivation

(Dieser Abschnitt setzt über die Schulmathematik hinaus nur Kenntnisse im Rechnen mit komplexen Zahlen sowie die Euler-Formel voraus.)

Mathematische Grundlagen

Wir betrachten stetige, von der Zeit t reell abhängige Funktionen bzw. Vorgänge (z.B. als vektorwertige Funktionen) f(t), die sich nach einer Zeit

T

wiederholen, also periodisch mit Periode T sind, f(t+T)=f(t). Joseph Fourier postulierte in seiner Arbeit, dass sich f aus periodischen, harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz zusammensetzen lässt. Betrachten wir eine solche zusammengesetzte Funktion mit (N+1) Summanden:

f(t) = A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N)= \sum_^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n).

Die einzelnen Schwingungen haben die Kreisfrequenz

n\omega

, also die Frequenz

n\omega/2\pi

. Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz

1/T

, die nächsten

2/T

3/T

, ... Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, konnte die Reihendarstellung auf Kosinus-Funktionen beschränkt werden. Wir erhalten sofort auch die Sinusterme, wenn wir die Additionstheoreme benutzen: :

f(t)=\sum_^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n)
=A_0+\sum_^N (A_n\cos \varphi_n\cdot\cos(n \omega t)-A_n\sin \varphi_n\cdot\sin(n \omega t))

Mit

a_0:=A_0

a_n:=A_n\cos \varphi_n

und

b_n:=A_n\sin \varphi_n

erhalten wir eine phasenfreie Darstellung :

f(t) = a_0+\sum_^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).

Im nächsten Schritt soll die Summe mit Hilfe komplexer Zahlen umgeschrieben werden. Es sind dann komplexe Koeffizienten erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern reelle Funktionen betrachtet werden, kann diese als Realteil der Summe zurückgewonnen werden. Aus der Euler-Formel oder auch nach der Definition der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion folgt :

\cos (x) = \frac \left( e^ + e^ \right)

und

\sin (x) = \frac \left( e^ - e^ \right)

, somit :

f(t) = a_0+\sum_^N \frac12 \left( a_n (e^ + e^) -  b_n (e^ - e^)\right)

= a_0+\sum_^N \frac12 \left( a_n (e^ + e^)+\mathrmb_n (e^ - e^)\right)

= a_0+\sum_^N \frac12\left( (a_n+\mathrmb_n)e^+(a_n-\mathrmb_n)e^\right)

Mit den komplexen Koeffizienten

c_0:=a_0

c_n:=\frac12(a_n+\mathrmb_n)

und

c_:=\frac12(a_n-\mathrmb_n)

für n>0 erhalten wir eine Summe mit auch negativen Indizes :

f(t) = \sum_^N c_ne^

Fourier-Reihe

Wir kennen jetzt also die trigonometrische Summe in verschiedenen Darstellungen. Es war aber gefragt, eine periodische stetige Funktion mittels solch einer Summe zu approximieren. Dazu stellen wir fest, dass die komplexen Koeffizienten

c_n

, und damit auch die der anderen Darstellungen, sich aus der Summenfunktion zurückgewinnen lassen. Dazu wird die obige Gleichung mit

e^

multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall [0,T], d.h. über eine Periode, integriert. Mit Umformungen erreicht man folgende Aussage: :

e^ f(t)  = \sum_^N c_n \left( e^ e^ \right)
= \sum_^ c_ e^ =\sum_^ c_ e^

\Leftrightarrow \int_0^T e^ f(t) dt= \sum_^  c_ \int_0^T  e^ dt ,

und für das n-te Integral auf der rechten Seite gilt: :bei n=0:

\int_0^T e^ dt = T

:bei n≠0:

\int_0^T e^ dt = \left[ \frac1 e^ \right]_0^T

= \frac1 (e^ - 1)

Wegen

\omega T=2\pi

gilt nun aber

e^=(e^)^n=1

, also

\int_0^T e^ dt = 0

Insgesamt vereinfacht sich das Integral zu

\int_0^T f(t) e^ dt= \sum_^  c_ \int_0^T  e^ dt =Tc_m

\Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) e^ dt.

Wir können nun versuchen, die trigonometrische Summe durch eine beliebige stetige periodische Funktion f zu ersetzen, die Koeffizienten nach obigen Formeln zu bestimmen und die mit diesen Koeffizienten gebildeten trigonometrischen Summen mit der Ausgangsfunktion vergleichen: :

f_N(t):=\sum_^N c_ne^

=\frac1T \sum_^N \int_0^T f(s) e^ \,ds\;e^

=\frac1T \int_0^T \sum_^N f(s) e^ \,ds\;

=\int_0^T \frac1TS_N(\omega(t-s)) f(s) \,ds\;

Die Funktion

S_N(\tau)=\sum_^N (e^)^n=\frac

ist der Dirichlet-Kern ([http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_kernel siehe englische Wikipedia]).

Konvergenz der Fourier-Reihe

Die so definierte Reihe N > ist sicher schön, aber nutzlos, wenn sie nicht gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert. Tatsächlich konvergiert sie für sehr viele Funktionen, unter anderem konvergiert sie für alle differenzierbaren Funktionen oder alle quadratintegrierbaren Funktionen. Damit sei im Rahmen dieses Artikels das Gleichheitszeichen ganz am Anfang gerechtfertigt. Wir können also zusammenfassen: :

f(t) = \sum_^\infty  \int_0^T f(t) e^ dt.

Aperiodische Vorgänge

Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von

f(t)

über dem Zeitintervall

T

. Selbstverständlich gibt es auch Funktionen, die bis ins Unendliche nicht periodisch sind, d.h., für die

T

gegen Unendlich geht. Wie schon gezeigt haben die Oberschwingungen die Frequenz

n/T

für die

n

-te Oberschwingung. Die Differenz der

n

-ten Oberfrequenz von der vorherigen ist

n/T - (n-1)/T = 1/T

, d.h. die Oberfrequenzen haben den Abstand 1/

T

. Für

T

gegen Unendlich rücken sie infinitesimal eng zusammen - und eine Summe über solche kleinen Stücke ist genau die Definition des Riemann-Integrals. Die Summe wird im Grenzfall zum Integral. Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch

f(t)= \frac \int_^\infty a(\omega) e^ \,d \omega

mit

a(\omega) = \frac \int_^\infty f(t) e^ \,dt.

Aus der Folge

a_n

ist nun das kontinuierliche Spektrum

a(\omega)

geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese. Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.

Differentialgleichungen

Die Fouriertransformation wird oft eingesetzt, um Differentialgleichungen zu lösen. Denn die

e^

bzw. die

\sin nx, \cos nx

sind Eigenfunktionen der Differentiation, und die Transformation wandelt lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in normale algebraische Gleichungen um. (So ist zum Beispiel in einem linearen zeitinvarianten physikalischen System die Frequenz eine Erhaltungsgröße, und das Verhalten kann für jede Frequenz einzeln gelöst werden.)

Verallgemeinerung

(Der folgende Abschnitt setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.)

Allgemeine Betrachtung

Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in ein System von Basisfunktionen bezeichnet. Solche Zerlegungen finden u.a. im Apparat der Quantenmechanik eine wichtige Anwendung. Durch die folgende abstrakte Betrachtung gewinnt man wichtige Einsichten in die eigentliche Bedeutung der Fouriertransformation, die elementare Herleitung in den vorangegangenen Abschnitten erscheint in einem neuen Licht. Man betrachte die zu transformierenden Funktionen (wie oben zunächst Funktionen mit der Periodizität T) als Elemente eines Vektorraums. Dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind, erkennt man schon durch hinschreiben; nun steht die ganze Macht der Theorie der linearen Algebra zur Verfügung (wobei der betrachtete Raum von unendlicher Dimension ist). Als geeignetes Inneres Produkt zweier Funktionen definiert man wie üblich das Integral des Produktes der beiden über einem von der Anwendung abhängigen Intervall. Es bietet sich an, über die Periode von 0 bis T zu integrieren:

f \cdot g = \int_0^T \overlineg(t)dt.

Dabei ist

\overline

das komplex konjugierte von f(t). So wie (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) eine Basis des dreidimensionalen reellen Anschauungsraumes

\mathbb^3

ist, besitzt auch der Funktionenraum wie jeder Vektorraum eine Basis. Während im endlich-dimensionalen die Basen genau die minimalen Erzeugendensysteme sind, muss bei den unendlich-dimensionalen Funktionenräumen durch ein Funktionensystem das Kriterium der Vollständigkeit (im Sinne der Funktionalanalysis) erfüllt sein. Gegeben sei das vollständige Basissystem B. Man kann jede Funktion aus dem Funktionenraum als Linearkombination der Basisfunktionen

b_n

darstellen: :

(1) \  f = \sum \lambda_n b_n.

Praktisch möglich ist die Bestimmung der Koeffizienten aber nur, wenn das Basissystem ein Orthogonalsystem ist, besonders einfach, wenn es ein Orthonormalsystem ist, d.h. für alle

b_n, b_m \in B

gilt :

(2) \  b_n \cdot b_m
 = \begin
 1 & \mbox m=n \\
 0 & \mbox m \neq n
\end = \delta_.

Denn wie man die Komponente eines Vektors in x-Richtung im

\mathbb^3

durch

r_x = b_x \cdot \vec r = \left( 1,0,0 \right) \cdot \vec r

erhält - denn auch das obige Beispiel ist eine Orthonormalbasis - so erhält allgemein man den Faktor

\lambda_n

, die "Komponente in Richtung" von

b_n

, durch :

(3) \  \lambda_n = b_n \cdot f,

wenn die

b_n

ein vollständiges Orthonormalsystem, eine Orthonormalbasis, bilden. Der Beweis ist einfach: Denn unter Ausnutzung der Linearitätseigenschaften des Inneren Produkts erhält man

b_n \cdot f =^  b_n \cdot \left( \sum_\nu \lambda_\nu b_\nu \right)

= \sum_\nu \lambda_\nu ( b_n \cdot b_\nu) =^ \sum_\nu \lambda_\nu \delta_ = \lambda_n.

Es sei angemerkt, dass der Vergleich mit dem

\mathbb^3

hier eher pädagogischer Natur ist, denn die Beispielbasis ist genau genommen eine Hamelbasis, während die Orthonormalbasis des untersuchten Funktionenraumes keine solche ist - der Raum besitzt auch eine Hamelbasis, die allerdings überabzählbarer Dimension und von keinem praktischen Interesse ist. Die Orthonormalbasis hat abzählbare Dimension und sie ist vollständig, d.h. ihre lineare Hülle liegt dicht im Vektorraum, ist aber nicht notwendigerweise gleich dem Raum. Deshalb lässt sich nicht unbedingt jedes Element des Raums durch eine endliche, wohl aber eine unendliche Summe darstellen. Zusammenfassend gilt nach (1) und (3) für eine beliebige Funktion f aus dem Funktionenraum und für jedes vollständige Orthonormalsystem B :

(4) \  f= \sum_n (b_n \cdot f) b_n.

Fouriertransformation als Beispiel

Den Weg zurück zur Fouriertransformation findet man, indem man zunächst die Funktionen

b'_n=e^

untersucht, nach denen ja entwickelt wird. Sie sind ein Orthogonalsystem, denn mit

\omega = \frac

folgt

b'_n \cdot b'_m

= \int_0^T \overline e^ dt

= \int_0^T e^ e^ dt

= \int_0^T e^ dt
 = \begin
 T & \mbox m=n \\
 0 & \mbox m \neq n
\end  = T \delta_.

(Das Integral wurde schon in der elementaren Herleitung gelöst.) Für die Norm findet man

\| b'_n \| = \sqrt = \sqrt T.

Offenbar sind die

b'_n

orthogonal, orthonormal sind aber erst die

b_n=e^

. Nach der allgemeinen Herleitung (4) gilt also für eine Funktion f(t)

f(t)= \sum_ (b_n \cdot f(t)) b_n

= \sum_^\infty \left(e^ \cdot f(t) \right) e^

= \sum_^\infty  \left(e^ \cdot f(t)\right) e^

= \sum_^\infty  \left(\int_0^T \overline f(t) dt \right) e^

= \sum_^\infty  \int_0^T e^ f(t) dt,

was genau dem Resultat der elementaren Herleitung entspricht. Wie dort der Konvergenzbeweis, fehlt auch hier nur noch der Beweis, dass das Basissystem für weite Funktionenklassen vollständig ist.

Siehe auch

- Faltung
- Gabor-Transformation
- Laplace-Transformation
- Diskrete Fourier-Transformation
- Diskrete Kosinustransformation
- Wavelet-Transformation

Weblinks

- [http://klimt.iwr.uni-heidelberg.de/PublicFG/ProjectB/CFT/dipluschimpf/node10.html#SECTION02200000000000000000 Sehr gute Einführung in die Fourier-Transformation]
- [http://www.mathe.braunling.de/Fourier.htm Hilfreiche Informationen zur Fouriertransformation]
- [http://www.michael-knappmann.de/skripte/Fourier/index.html Skript zur Vorlesung Fouriertransformation im FB Photoingenieur] Kategorie:Funktionalanalysis ja:フーリエ変換 th:การแปลงฟูริเยร์

Tiefpass

Als Tiefpass bezeichnet man Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen und Anteile hoher Frequenzen abschwächen. Gebräuchlich sind solche Filter in der Elektronik, können aber auch in anderen Bereichen, wie zum Beispiel Mechanik, Akustik oder Hydraulik vorkommen. Spannungsgesteuerte Tiefpassfilter spielen bei der Klangerzeugung in Synthesizern eine große Rolle. Tiefpass-Filter werden auch anwendungsbezogen als Höhensperre, Höhenfilter, High Cut, Treble Cut oder auch als Rauschfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebräuchlich; sie weisen direkter darauf hin, dass solch ein EQ-Filter die Höhen des Signals abschwächt.

Tiefpass 1. Ordnung

Signal Ein einfacher (passiver) Tiefpass 1. Ordnung (RC-Glied) sieht folgendermaßen aus: ::Einfacher RC-Tiefpass (Tiefpass 1.Ordnung) Von der Eingangsspannung U_e erscheint am Ausgang gemäß der Spannungsteilerformel nur der Anteil U_a: :

U_a = U_e \cdot \frac

. Unter der Grenzfrequenz f_c (cutoff frequency) versteht man diejenige Frequenz, bei der

U_ = U_/\sqrt\approx U_ \cdot 0,707

(d. h. U_a gegenüber U_e um 3 Dezibel abgeschwächt) ist. Da X_C mit steigender Frequenz kleiner wird, :

X_C = \frac

mit

\omega = 2\,\pi\,f

, geht das Teilungsverhältnis mit sinkender Frequenz gegen 1, für Gleichspannung (Frequenz f = 0) wird

U_a = U_e

. Bei einer logarithmischen Darstellung (log(f)) würde die Dämpfung oberhalb der Grenzfrequenz um 20dB/Dekade) zunehmen.

Tiefpass 2. Ordnung

Einen verbesserten Tiefpass erhält man, indem man R durch eine Induktivität L ersetzt, da diese ihrerseits eine - und zwar zum Kondensator gegenläufige - Frequenzabhängigkeit besitzt. Dies nennt man Tiefpass 2.Ordnung: :

X_L = j\,\omega\,L

mit

\omega = 2\,\pi\,f

. Damit fällt die Ausgangsspannung U_a oberhalb von f_G schneller (mit 40dB/Dekade) ab, da nun nicht nur X_C kleiner sondern zugleich X_L größer wird. :

U_a = U_e \cdot \frac

Tiefpässe zweiter und höherer Ordnung werden heute üblicherweise durch Operationsverstärker-Schaltungen realisiert. Diese Filter werden als aktive Tiefpässe (bzw. aktive Filter) bezeichnet.

Tiefpass n-ter Ordnung

Durch das hintereinanderschalten von mehreren Tiefpässen, kann man dessen Ordnung erhöhen. Zwei hintereinander geschaltete Tiefpässe 2. Ordnung bilden z. B. einen Tiefpass 4. Ordnung. Die Dämpfung eines Tiefpasses n-ter Ordnung nimmt oberhalb der Grenzfrequenz mit n·20dB/Dekade zu.

Emphasis und Deemphasis

Bei der statischen Frequenzgangveränderung, der Emphasis und der Deemphasis wird anstatt der Grenzfrequenz üblicherweise die Zeitkonstante angegeben [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-zeitkonstante.htm].

Siehe auch

- Filter
- Hochpass
- Bandpass
- Blindwiderstand von Kondensator und Spule
- Zeitkonstante und Grenzfrequenz

Weblinks

- [http://www.sengpielaudio.com/FilterMit6dBproOktave.pdf Filter mit 6 dB pro Oktave unter der Lupe - pdf]

Literatur

- Ulrich Tietze, Christoph Schenk, Eberhard Gamm, Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer 2002, 12. Auflage, ISBN 3540428496 Kategorie:Elektronik

Nyquist-Shannon-Abtasttheorem

Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem, in neuerer Literatur auch WKS-Sampling-Theorem (für Whittaker-Kotelnikow-Shannon) genannt, ist ein grundlegendes Theorem der Nachrichtentechnik, Signalverarbeitung und Informationstheorie. Claude Elwood Shannon formulierte es 1948 als Ausgangspunkt seiner Theorie der maximalen Kanalkapazität, d.h. der maximalen Bitrate in einem frequenzbeschränkten, rauschbelasteten Übertragungskanal. Dabei stützte er sich auf Überlegungen von Harry Nyquist (1928) zur Übertragung endlicher Zahlenfolgen mittels trigonometrischer Polynome und auf die Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und seinem Sohn John Macnaughten Whittaker (1929) [2]. Unabhängig davon wurde das Abtasttheorem 1933 von Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow [3] in der sowjetischen Literatur eingeführt, was im Westen allerdings erst in den 1950er Jahren bekannt wurde. Ansätze zur Interpolation mittels Kardinalreihen oder ähnlicher Formeln lassen sich bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen. Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz f_max mit einer Frequenz größer als 2 · f_max abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) rekonstruieren bzw. (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren kann. Für Nicht-Basisband-Signale, die eine minimale Frequenz größer 0Hz haben, gilt das Abtasttheorem in einer verallgemeinerten Form, die Abtastfrequenz muss dann größer als zweimal die Bandbreite (= zweimal die Grenzfrequenz) des Signals sein (siehe Abschnitt Unterabtastung). Für untere Grenzfrequenz gleich 0: :

f_ > 2\,f_

und allgemein (auch für untere Grenzfrequenz größer als 0): :

f_ > 2\,f_

In der Praxis bedeutet das Abtasttheorem, dass man vor der Abtastung die maximale Frequenz kennen oder herausfinden muss (zum Beispiel mit Hilfe der Fourier-Analyse eines hochfrequent abgetasteten Signals) und dass dann das Signal (z. B. zum Zwecke der Digitalisierung) mit mehr als der doppelten Frequenz abgetastet werden muss, wenn man das Signal in guter Näherung rekonstruieren will. Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Digitalisierung Anwendung.

\frac f_

nennt man, nach Vorschlag von C. E. Shannon, die Nyquist-Frequenz. Analog gilt das Abtasttheorem auch bei Bildern, wobei die Abtastfrequenz dann in Linien (bzw. Pixel) pro Längeneinheit bestimmt werden kann.

Erklärung der Begriffe

- Ein bandbeschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=f_max ist eine Funktion, für welche die Fouriertransformierte

X=\mathcal F(x):\R\to\mathbb C

existiert und diese Fouriertransformierte außerhalb des Intervalls

[-2\pi F,2\pi F]

Null ist. Dann kann umgekehrt das bandbeschränkte Signal durch die inverse Fouriertransformation der Frequenzdichte dargestellt werden: ::

x(t)=\frac1\int_^ X(\omega)e^\, d\omega

. :„Gute“, zulässige Funktionen für die Frequenzdichte X sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen, für welche in jedem Punkt beide der einseitigen Grenzwerte existieren. Allgemeiner sind Funktionen aus dem Funktionenraum

L^2([-2\pi F,2\pi F],\mathbb C)

zulässig. :Ist x reellwertig, so gilt

X(-\omega)=\overline

. Wird X in Polarkoordinaten dargestellt,

X(\omega)=|X(\omega)|e^

, so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden, ::

x(t)=\sqrt\int_0^|X(\omega)|\,\cos(\omega\,t+\phi(\omega))\, d\omega

. :In der arithmetischen Darstellung

X(\omega)=A(\omega)+iB(\omega)

ergibt sich analog ::

x(t)=\sqrt\int_0^\left( A(\omega)\,\cos(\omega\,t)-B(\omega)\,\sin(\omega\,t)\right)\, d\omega

.
- Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand T=1/(2F) beträgt, d.h. aus x wird die Zahlenfolge x[k]:=x(kT) konstruiert. Nach der Fourierdarstellung ergeben sich diese Werte aus der Frequenzdichte als ::

x(kT)=\frac1\int_^ X(\omega)e^\, d\omega

. :Diese sind aber gerade die Koeffizienten in der Fourierreihenentwicklung ::

X(\omega)=\frac1\sum_^\infty x(kT) e^.

:Somit ist die Frequenzdichte und damit das Signal schon durch die Werte der Abtastfolge vollständig determiniert.
- Rekonstruieren ohne Informationsverlust meint, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitet auf den Fall mit unendlich vielen, regelmäßig angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt ::

x(t)=y(t):=\sum_^\infty x_k\prod_\frac
=\sum_^\infty x(kT)\ \mathrm(t/T-k)

. :Man beachte, das zur Bestimmung eines jeden Signalwertes eine Summation über einen unendlichen Bereich notwendig ist. Außerdem müssen unendlich viele Takte abgewartet werden, bevor die Summation abgeschlossen werden kann. :Die Funktion sinc(x)=sin(πx)/(πx), der Sinus cardinalis, ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen, es ist sinc(0)=1, sinc(n)=0 für jedes weiter ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch, nach Whittakers Notation, als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die herausragende Rolle als „schwankungsärmste“ unter allen interpolierenden Funktionenreihen. Die sinc-Funktion hat, bis auf einen Faktor, die Rechteck-Funktion rect(x/(2π)) als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall [-π; π], sonst den Wert Null. Sie ist also bandbeschränkt mit höchster Frequenz 1/2. :Die Entwicklung als Kardinalreihe ergibt sich nun ganz natürlich, indem die Fourierreihe der Frequenzdichte in die inverser Fouriertransformation eingesetzt wird, ::

x(t)=\frac1\,\sum_^\infty x(kT) \int_^ e^\,d\omega
=\sum_^\infty x(kT) \sin\!c(2Ft-k) .

- Ein reelles Nicht-Basisband-Signal muss, um Abtastung durch Funktionswerte zu erlauben, eine nur für Frequenzen aus dem Intervall [2πnF,2π(n+1)F] nicht verschwindende Fourier-Transformierte haben. Dann ist F die einseitige Bandbreite. Dies kann auf Frequenzbänder beliebigen Zuschnitts verallgemeinert werden, allerdings ist dann das Abtasten nicht durch Funktionswerte, sondern durch Skalarprodukte zu definieren. Ein Beispiel dafür ist das Frequenzmultiplexverfahren, s. auch OFDM. Bemerkung: Kein endliches Signal, d.h. keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebensowenig fallen periodische Signale, wie z.B. reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genausowenig Signale mit Knicken oder Sprüngen. Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, welche zum Speichern auf CD gesampelt und digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z.B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für welche dieses Theorem dann Richtschnur ist. (Siehe [Unser: Sampling...])

Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen

Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der Abtastung mit einem (analogen) Tiefpass-Filter aus dem Signal entfernt werden, da es sonst zu Artefakten kommt. Die Entfernung dieser Anteile führt zu einer Veränderung des Signals und sollte nur angewendet werden, wenn diese Änderung unwesentlich ist oder eine Erhöhung der Abtastfrequenz nicht in Frage kommt. Die Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale), die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000-1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine Abtastfrequenz von zum Beispiel 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz (3300-1600 Hz). Da dieses oberhalb des zu übertragenen Frequenzbandes liegt, kann man es mit einem Tiefpass ohne Informationsverlust entfernen.

Mathematischer Hintergrund

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich [-½; ½], bzw. [-π; π] als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es z.B. stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion,

x\in L^2(\mathbb R)\cap L^1(\mathbb R)\cap C^\infty(\mathbb R)

, und hat eine Fourier-Transformierte

X=\hat x\in L^2(\mathbb R)

mit Träger

\mbox\,\hat x\subset [-\pi,\pi]

. Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt: :

x(t)=\sum_^\infty x(n)\cdot \frac
=\frac\sum_^\infty\frac

. Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t).

Artefakte

Wird die Abtastfrequenz unbedacht zu klein gewählt, treten Artefakte auf.

Beispiel Bilder

Alias-Signale treten auch beim Scannen von Vorlagen mit wechselnden Ortsfrequenzen auf, man spricht dann von einem Moiré-Effekt. (z.B. Kleidungsstücke wie Wollpullis oder Anzüge mit dünnen Streifen, auch Ziegeldächer etc.) Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen. Im hier vorliegenden Fall ist die Ursache eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion, deren Ausgangssignale mit f_abtast periodisch sind.

Beispiel Töne

Das erste Klangbeispiel lässt einen Ton erklingen, dessen Frequenz von ca. 100Hz bis über 8000Hz linear zunimmt (die Original-Abtastfrequenz von 16kHz wurde bei der Transformation in das Ogg-Vorbis Format auf 42kHz heraufgesetzt). Das zweite Beispiel gibt fast das gleiche Signal wieder, diesesmal mit 8000Hz abgetastet. Durch Unterabtastung werden Töne oberhalb von 4000Hz falsch ausgelesen mit dem Ergebnis, dass eine Tonhöhe aufgezeichnet wird, die abfällt, statt zu steigen.
- Linear ansteigender Ton (16kHz Abtastung)
- Linear ansteigender Ton (8kHz Abtastung)

Modifizierte Formel für praktische Anwendung

In der Praxis gibt es (prinzipiell aus Gründen der Kausalität) keinen idealen Tiefpass. Er hat immer einen gewissen Übergangsbereich zwischen praktisch keiner Dämpfung im Durchlassbereich und praktisch vollständiger Dämpfung im Sperrbereich. Daher verwendet man in der Praxis eine modifizierte Formel: Beispiel: :

f_ \approx 2,\!2 \cdot f_

Bei einer CD werden Frequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz. Der verwendete Faktor ist abhängig vom verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale. Andere gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren)

Überabtastung (Oversampling)

Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Oversampling häufig angewendet. Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der halben Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese analogen Filter können häufig nur mit großem Aufwand abgeglichen werden. Oversampling erlaubt es, die Anforderungen an das analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren, indem die steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher Ordnung verlagert wird. (In der Praxis wird häufig ein Oversampling-Faktor M = 2 oder M = 4 gewählt). Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der Abtastung wird dann das digitale Filter angewendet und gleichzeitig die Abtastfrequenz reduziert. Das digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet. Mathematisch ausgedrückt hat ein ideales Tiefpassfilter eine Rechteckfunktion als Frequenzantwort (Übertragungsfunktion oder Frequenzgang), welche nur die Werte 0 und 1 annimmt und den Bereich [-B,B] der Nutzbandbreite markiert. +---+ | | ----+ +---- -B B Schneidet man mit einer solchen Filterfunktion im Frequenzraum ab, so wird das gefilterte Signal perfekt aus den Abtastpunkten rekonstruiert. Aus prinzipiellen Gründen (Kausalität und Unstetigkeit) ist ein solches ideales Tiefpassfilter physikalisch nicht zu realisieren. Deswegen verwendet man ein analoges Filter, das eine stetige, trapezähnliche Funktion als Frequenzantwort bzw. Frequenzgang aufweist, +---+ / \ ____/ \____ -MB -B B MB deren Flanken mit endlicher Steigung zu- bzw. abnehmen. Auf dem Intervall der Nutzbandbreite [-B,B] nimmt diese den Wert 1 an, außerhalb des Intervalls [-MB,MB] ist die Fequenzantwort 0. Ein Filter, das diese Anforderungen erfüllt, kann physikalisch realisiert werden. Nach dem Abtasten erfolgt die digitale Glättung auf die Nutzbandbreite und das Heruntertakten. Die Flankensteilheit hat offensichtlich einen Einfluss auf die Güte des rekonstruierten Signals.

Unterabtastung (Sub-Nyquist-Sampling)

Das Konzept f_abtast > 2 · f_max ist eine vereinfachte Darstellung, die allerdings sehr gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss anstelle von f_max die Bandbreite stehen, welche definiert ist durch den Bereich zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Frequenz. Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit f_max identisch, Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten Anteilen in der Nähe von 0 Hz. Diese Erkenntnis führte zu einem Konzept namens Unterabtastung, welches z. B. in digitaler Radiotechnik Verwendung findet. Angenommen, man möchte alle Radiosender empfangen, die zwischen 88 und 108 MHz senden. Interpretiert man das Abtasttheorem wie bisher beschrieben, so müsste die Abtastfrequenz über 216 MHz liegen. Tatsächlich wird aber durch die Technik der Unterabtastung nur eine Abtastfrequenz von etwas mehr als 40 MHz benötigt. Voraussetzung dafür ist, dass vor der Abtastung aus dem Signal mittels Bandpassfilter alle Frequenzen außerhalb des Frequenzbereichs von 88–108 MHz entfernt werden. Die Abtastung erfolgt beispielsweise mit 44 MHz, ohne dass der relevante Bereich von einem analogen Mischer umgesetzt würde – das Ergebnis ist quasi ein Alias-Signal und entspricht dem Signal, das bei Abtastung eines per Mischer auf 0–22 MHz umgesetzten Bereichs entstünde. Um die notwendige punktförmige Abtastung wenigstens näherungsweise realisieren zu können, muss das Ausleseintervall jedoch so eng angelegt werden, dass insgesamt eine Abtastfrequenz von 220 MHz oder mehr erreicht wird. Nur kann die digitale Nachfilterung hier auf das Weglassen der vier Zwischenwerte und Beibehalten jeden 5. Wertes beschränkt werden.

Siehe auch

Informationstheorie, Claude Shannon, Abtastung, Alias-Effekt

Literatur

- [1] Claude Elwood Shannon: [http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf Communication in the Presence of Noise]
- [2] J. M. Whittaker: The Fourier theory of the cardinal functions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 1(1929)
- [3] V. A. Kotelnikow: On the transmission capacity of "ether" and wire in electrocommunications, Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA (1933)
- Harry Nyquist: Certain topics in telegraph transmission theory,Trans. Amer. Inst. Elect. Eng. 47(1928)
- J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series, Bulletin of the AMS 12(1985)
- Michael Unser: [http://bigwww.epfl.ch/publications/unser0001.html Sampling-50 Years after Shannon]
- Artikel "Signalabtastung" in Funkamateur 5/2004, S. 457 Kategorie:Nachrichtentechnik Kategorie:Digitale Signalverarbeitung ja:標本化定理

Laurent Schwartz

Laurent Schwartz (
- 5. März 1915 in Paris; † 4. Juli 2002) war ein französischer Mathematiker und Fields-Medaillen-Träger. Er studierte an der École Normale Supérieure Mathematik und erhielt 1943 seinen Doktorgrad von der Universität Straßburg. In den Jahren nach dem Krieg entwickelte er seine Theorie der Distributionen, die den Begriff der Funktion verallgemeinert. Für diese Arbeit erhielt er 1950 die Fields-Medaille. 1953 erhielt er eine Professur in Paris, wo er bis 1983 lehrte. Schwartz war ein sehr politischer Mensch. Dies führte Ende der fünfziger Jahre zu einem zweijährigen Exil in New York: einer seiner Doktoranden, ein algerischer Kommunist und Gegner der französischen Herrschaft in Algerien, wurde 1957 vom Militär entführt und getötet. Laurent Schwartz wurde daraufhin einer der Unterzeicher der Manifeste des 121, einer Erklärung, die militärischen Ungehorsam in Algerien forderte. Daraufhin wurde er seiner Professur enthoben, allerdings erhielt er sie nach zwei Jahren zurück.

Literatur

- Laurent Schwartz: A Mathematician Grappling with His Century. ISBN 3764360526 (Autobiographie) Schwartz, Laurent Schwartz, Laurent Schwartz, Laurent Schwartz, Laurent Schwartz, Laurent ja:ローラン・シュワルツ

Linearer Operator

Der Begriff Operator wurde ursprünglich in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt, um damit Abbildungen zwischen Funktionenräumen zu beschreiben. Heutzutage versteht man in der Mathematik unter einem linearen Operator eine lineare Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen. Oft ist der Definitionsbereich ein Unterraum eines größeren topologischen Vektorraums, der Operator wird dann als eine partielle Abbildung aufgefasst. Der Definitionsbereich eines Operators wird dann auch als Domäne bezeichnet. Eine lineare Abbildung ist ein algebraischer Begriff. Sie ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen über beliebigen Körpern, ohne dass eine Topologie vorhanden sein muss. Im Gegensatz zur linearen Abbildung ist der lineare Operator eine Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen, wie zum Beispiel Funktionen-Räumen. Man unterscheidet zwischen beschränkten und unbeschränkten linearen Operatoren. Betrachten wir zwei Banachräume

V

und

W

und eine lineare Abbildung

A:V\to W

. Wir definieren die Operatornorm durch: :

\|A\| := \sup_ \|Ax\|

Abtastung

Modell der Abtastung

Ideale Abtastung

Reale Abtastung

Andere Schreibweise

Weblinks

Englische Sprache

Verbreitung

Amtssprache

Sonstige Verwendung

Sprachwissenschaftliche Einordnung

Sprachvarianten der englischen Sprache

Ähnliche/Verwandte Wörter

Deutsch und Niederländisch

Dänisch

Französisch

Textsammlungen

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Diskret

Äquidistant

Abtastrate

Weblink

Digitalisierung

Gründe für die Digitalisierung

Historische Entwicklung

Umwandlung einer Information in digitale Form

Digitalisierung von Text

Digitalisierung von Bildern

Digitalisierung von Ton

Umwandlung analoger Signale in digitale Signale

Siehe auch:

Quantisierung

Messtechnik, Signalverarbeitung

Bildkompression, Videokompression

Quantenphysik

Digitale Musikproduktion

Weblinks

Sampling (Musik)

Technik des digitalen Samplings

Computersample

Geschichte

Verwendung

Weblinks

Filmabtaster

Verschiedene Verfahren

PAL Speedup und 3:2 Pulldown

Qualität

Einsatz in der Nachbearbeitung

Dirac-Kamm

Definition

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Abtastung und Alias-Effekte

Delta-Distribution

Anschauliche Definition

Exakte Definition

Eigenschaften

Anschauliche Darstellung

Praktische Anwendung

Darstellungen

Spektrum

Fouriertransformierte

Definition

Existenz der Fourier-Transformation

Varianten der Fourier-Transformation

Mathematische Motivation

Mathematische Grundlagen

Fourier-Reihe

Konvergenz der Fourier-Reihe

Aperiodische Vorgänge

Differentialgleichungen

Verallgemeinerung

Allgemeine Betrachtung

Fouriertransformation als Beispiel

Siehe auch

Weblinks

Tiefpass

Tiefpass 1. Ordnung

Tiefpass 2. Ordnung