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Alternativität

Alternativität

Alternativität ist eine Abschwächung des Assoziativgesetzes.

Definition

Die Verknüpfung · heißt alternativ, wenn die beiden unten stehenden Aussagen gelten:
- o · ( o · p ) = ( o · o ) · p und
- o · ( p · p ) = ( o · p ) · p.

Bedeutung

Ist eine Verknüpfung assoziativ, kann man die Klammern in drei- und mehrgliedrigen Ausdrücken weglassen:
- (o · q) · p = o · (q · p) = o · q · p Gilt das Assoziativgesetz nicht mehr, müssen alle Klammern stehen bleiben. Gilt die Alternativität, kann man die Klammern wenigstens dann weglassen, wenn o=q oder wenn q=p. Insbesondere lassen sich gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfassen. Das heißt, daß es möglich ist Produkte der Art (a · a) · ((a · a) · b) zusammenzufassen zu a^4 \cdot b .

Beispiele


- Die Multiplikation der Oktonionen ist alternativ.
- Jede assoziative Verknüpfung ist automatisch alternativ.

Siehe auch


- Alternativkörper
- Oktonionen
- Quasigruppe Kategorie:Algebra

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz (lat. associare - vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Definition

Eine binäre Verknüpfung
- : A \times A\to M auf einer Menge A in eine Menge M heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c\in A gilt : a
- \left( b
- c \right) = \left( a
- b \right)
- c (Assoziativität)

Folgerungen

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen : \left( a
- b \right)
- c = a
- \left( b
- c \right) ist der Ausdruck : a
- b
- c eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Beispiele

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, aber nicht Subtraktion und Division, denn es ist z.B. : 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 . Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da z.B. :2^ = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3 gilt.

Siehe auch


- Alternativität
- Distributivgesetz
- Flexibilitätsgesetz
- Kommutativgesetz Kategorie:Logik Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Algebra ja:結合法則 ko:결합법칙

Assoziativ

Der Begriff Assoziation (v. französ.: association) bezeichnet # eine bewusste oder unbewusste Verknüpfung von Gedanken, siehe Assoziation (Psychologie) # in der Politik ein Zusammenschluss von Menschen oder Staaten mit gleichen Interessen, siehe Verein, Politische Partei, Assoziierungsabkommen # in der Biologie eine Form des Zusammenlebens von Lebewesen, siehe Assoziation (Biologie) # in der Biochemie die Vereinigung zweier Reaktions- oder Interaktionspartner, siehe Proteininteraktion # in der Informatik eine Beziehung zwischen zwei Objekten, siehe zum Beispiel Assoziation (UML) Siehe auch: Assoziativgesetz (Regel in der Mathematik)

Oktonionen

Die Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol \mathbb. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen.

Geschichte

Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley veröffentlicht.

Multiplikationstabelle

Die Oktonionen sind ein 8dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Die Multiplikation ist -- mit der Basis (1, i, j, k, l, m, n, o) -- wie folgt gegeben: \begin i^2=j^2=k^2=l^2=m^2=n^2=o^2=-1\\ i=jk=lm=on=-kj=-ml=-no\\ j=ki=ln=mo=-ik=-nl=-om\\ k=ij=lo=nm=-ji=-ol=-mn\\ l=mi=nj=ok=-im=-jn=-ko\\ m=il=oj=kn=-li=-jo=-nk\\ n=jl=io=mk=-lj=-oi=-km\\ o=ni=jm=kl=-in=-mj=-lk \end

Eigenschaften

Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement. Sie bilden keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper), denn sie verletzen das : Assoziativgesetz der Multiplikation: a \cdot ( b \cdot c ) = ( a \cdot b ) \cdot c. Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b: : a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b und a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b. Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt. Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper. Aus der Alternativität folgt die Beziehung : a \cdot (b \cdot a) = ( a \cdot b ) \cdot a. Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt. Die Oktonionen erfüllen außderdem die schärferen Moufang-Identitäten : [a \cdot (b \cdot a)] \cdot c = a \cdot [b \cdot (a \cdot c)] und : (a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = a \cdot [(b \cdot c) \cdot a]

Mehr

Jede Oktave kann dargestellt werden ... : ... als 8er-Tupel von reellen Zahlen: (r1, r2, ... , r8) : ... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: (c1 , c2, c3, c4) : ... als geordnetes Paar von Quaternionen: (h1 , h2) Der Körper der reellen Zahlen \mathbb kann als Unterstruktur von \mathbb betrachtet werden: : Für alle Zahlen r aus \mathbb gilt: r entspricht (r, 0, ... , 0) Der Körper der komplexen Zahlen \mathbb kann als Unterstruktur von \mathbb betrachtet werden: : Für alle Zahlen c aus \mathbb gilt: c entspricht (c, 0, 0, 0) Der Schiefkörper der Quaternionen \mathbb kann als Unterstruktur von \mathbb betrachtet werden: : Für alle Zahlen h aus \mathbb gilt: h entspricht (h, 0) Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt ... : ... für alle reellen Zahlen r und s gilt: :: r + s = (r, 0, ... , 0) + (s, 0, ... , 0) :: r \cdot s = (r, 0, ... , 0) \cdot (s, 0, ... ,0) : ... für alle komplexen Zahlen c und d gilt: :: c + d = (c, 0, 0, 0) + (d, 0, 0, 0) :: c \cdot d = (c, 0, 0, 0) \cdot (d, 0, 0, 0) : ... für alle Quaternionen h und i gilt: :: h + i = (h, 0) + (i, 0) :: h \cdot i = (h, 0) \cdot (i, 0)

Literatur


- B. L van der Waerden: A history of Algebra, Springer-Verlag Heidelberg.
- Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann. 110(1934)416.
- John Baez, The Octonions, [http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205]. Online HTML version at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
- John Conway and Derek Smith, On Octonions and Quaternions, A K Peters, Natick, MA (2003). ISBN 1-56881-134-9.

Verwandte Themen

Zahlenbereiche:
- Ganze Zahl
- Rationale Zahl
- Reelle Zahl
- Komplexe Zahl Hyperkomplexe Zahlen:
- Biquaternion
- Quaternion
- Sedenion Kategorie:Zahlen Kategorie:Algebra ja:八元数 ko:팔원수

Alternativkörper

Ein Alternativkörper ist ein Körper (im mathematischen Sinn), in dem weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz gelten müssen. Stattdessen wird gefordert, dass die Multiplikation die Eigenschaft der Alternativität hat.

Definition

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + und
- ist ein Alternativörper, wenn gilt:
- (M,+) ist eine Abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 0 bezeichnet wird;
- (M\,
- ) ist eine Quasigruppe mit neutralem Element, das als 1 bezeichnet wird;
- Für die Verknüpfung
- gilt die Alternativität: o · ( o · p ) = ( o · o ) · p und o · ( p · p ) = ( o · p ) · p.
- es gilt das Distributivgesetz a
- (b+c) = a
- b + a
- c.

Beispiel

Das bekannteste Beispiel eines Alternativkörpers sind die Oktonionen.

Eigenschaften

Aus der Alternativität folgt weiterhin das Flexibilitätsgesetz
- o · (p · o) = ( o · p ) · o. In einem Alternativkörper gelten ferner die Moufang-Identitäten für die Verknüpfung
-
- [a · (b · a)] · c = a · [b · (a · c)] und
- (a · b) · (c · a) = a · [(b · c) · a] Ruth Moufang zeigte 1934 dass drei beliebige Elemente a, b, c aus einem Alternativkörper, die der Relation (a
- b)
- c = a
- (b
- c) genügen, einen Schiefkörper erzeugen. Dies ist eine Verschärfung des Satzes von Artin. Der Satz von Artin entsteht für den Spezialfall c = 1. Kategorie:Algebra

Quasigruppe

In der Mathematik ist eine Quasigruppe eine Menge Q mit einer binären Verknüpfung \star, mit der Eigenschaft dass für alle a und b in Q die Gleichungen :a \star x = b (1) und :y \star a =b (2) eine eindeutige Lösung haben. Wir fordern noch, dass Q nicht leer sein soll.

Beispiele

Jede Gruppe ist eine Quasigruppe, denn a \star x = b ist genau für x = a^ \star b und y \star a =b genau für y = b \star a^ erfüllt. Jeder Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ungleich 2 ist eine Quasigruppe mit der Verknüpfung x \star y = (x+y)/2. Jedes Steinersche Tripel-System ist eine Quasigruppe. Jede Menge von Nichtnull-Elementen in einer nullteilerfreien endlichdimensionalen Algebra ist eine Quasigruppe (z.B. die Oktaven ohne 0). Die einzige Quasigruppe der Ordnung 2 ist die zyklische Gruppe \Z/2\Z. Es gibt fünf Quasigruppen der Ordnung 3, von denen nur eine eine Gruppe ist. Die kleinste echte Loop (die nicht assoziativ ist) hat die Ordnung 5.

Eigenschaften

Die Linksmultiplikation (x\mapsto a\star x) mit einem Element a aus Q ist eine Bijektion von Q, ebenso wie die Rechtsmultiplikation (x \mapsto x \star a). Jede Quasigruppe hat die Kürzungseigenschaft, d.h. aus a \star b = a \star c folgt b = c. Das liegt daran, dass x=b und x=c Lösungen der Gleichung a \star b = a \star x sind, aber die Lösung eindeutig ist. Analog folgt aus a \star b = c \star b, dass a=c. Die Verknüpfungstabelle einer endlichen Quasigruppe ist ein lateinisches Quadrat: Eine n \times n-Tabelle gefüllt mit n verschiedenen Symbolen, in der in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Symbol genau einmal vorkommt. Umgekehrt ist jedes lateinische Quadrat Verknüpfungstabelle einer Quasigruppe. Man kann in einer Quasigruppe Q zwei weitere Verknüpfungen definieren: Für a und b aus Q sei a\b die Lösung von a \star x = b und sei b/a die Lösung von y \star a =b (man kann sich diese beiden als "Quasi-Brüche" "b durch a" denken). Dann gilt offenbar:
- a
- (a \ b) = b
- (b / a)
- a = b
- a \ (a
- b) = b
- (b
- a) / a = b Dabei beschreiben die ersten beiden Gleichungen die Lösbarkeit von (1) und (2), und die anderen beiden Gleichungen die Eindeutigkeit der Lösungen. Man kann eine Quasigruppe also auch definieren als Algebra (Q,
- , \, /) mit drei binären Verknüpfungen, die die eben genannten vier Gleichungen erfüllen. Ist Q eine Gruppe, dann ist a \ b = a-1
- b und b / a = b
- a-1. Ist die Quasigruppe kommutativ, dann sind die beiden Forderungen nach der eindeutigen Lösbarkeit von (1) und (2) gleichwertig und die Verknüpfungen / und \ fallen zusammen. Hat eine Quasigruppe ein neutrales Element, dann heißt sie eine Loop. Direkt aus der Definition der Quasigruppe folgt, dass in einer Loop jedes Element ein linksinverses und ein rechtsinverses Element hat, die aber - im Gegensatz zur Situation in einer Gruppe - nicht übereinstimmen müssen (siehe auch inverses Element). Eine Moufang-Loop (benannt nach Ruth Moufang) ist eine Quasigruppe Q, in der für alle a, b und c aus Qgilt: :(a \star b) \star (c \star a)=(a \star (b \star c)) \star a. Wie der Name anzeigt, ist eine Moufang-Loop eine Loop, was wir hier beweisen wollen. Sei a ein Element von Q und e = a\a das (eindeutig bestimmte) Element mit a \star e = a. Dann gilt für jedes x in Q: (x \star a) \star x = (x \star (a \star e)) \star x = (x \star a) \star (e \star x), also nach dem Kürzen x = e \star x. Damit ist e ein linksneutrales Element. Sei nun b = e/e das (eindeutig bestimmte) Element mit b \star e = e. Dann gilt y \star b = e \star (y \star b), da e linksneutral ist, und (y \star b) \star e = (e \star (y \star b)) \star e = (e \star y) \star (b \star e) = (e \star y) \star e = y \star e. Kürzen von e ergibt y \star b = y, also ist b ein rechtsneutrales Element. Schließlich erhalten wir e = e \star b = b, also ist e ein beidseitig neutrales Element. Jede assoziative Quasigruppe ist eine Moufang-Loop, und als assoziative Loop folglich eine Gruppe. Die zeigt, dass die Gruppen genau die assoziativen Quasigruppen sind. Die Struktur von Loops ist denen von Gruppen sehr ähnlich.

Weblink


- http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/quasigruppe.html - Enthält auch Verknüpfungstabellen der Quasigruppen der Ordnung 3 und einer echten Loop der Ordnung 5. Kategorie:Algebra Kategorie:Gruppentheorie

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Kategória:Kémiai elemek als:Sauerstoff ja:酸素 ko:산소 ms:Oksigen simple:Oxygen th:ออกซิเจน

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