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Analyse

Analyse

Eine Analyse (griechisch ανάλυση, vom altgriechischen Verb ἀναλύειν „auflösen“) ist eine ganzheitliche, systematische Untersuchung, bei der das untersuchte Objekt oder Subjekt zergliedert und in seine Bestandteile zerlegt wird und diese anschließend geordnet, untersucht und ausgewertet werden. Dabei dürfen die Vernetzung der einzelnen Elemente und deren Integration nicht außer Acht gelassen werden. Die Analysis hingegen entstammt einer älteren, gelehrteren griechischen Wortform (ανάλυσις) und wird heutzutage in vielen Wissenschaftssprachen v. a. spezifisch für die mathematische Lehre der Differential- und Integralrechnung verwendet (im heutigen Griechisch hingegen sagt man zu allen Bedeutungen ανάλυση „Analyse“). Je nach Wissenschaftszweig werden für Analysen verschiedene Methoden benutzt. In der chemischen Analyse geht es darum, die Einzelbestandteile von zusammengesetzten Stoffen oder Lösungen mit chemischen und physikalischen Methoden zu ermitteln. Dabei wird zwischen qualitativer ("Welche Stoffe sind vorhanden?") und quantitativer Analyse ("Wie viel eines bestimmten Stoffes ist vorhanden?") unterschieden. Die meisten Wissenschaftszweige (z. B. Sozial- und Wirtschaftswissenschaften, Informatik, Ingenieurswissenschaften, usw.) verwenden für Analysen bestimmte statistische Werkzeuge. Die Datenanalyse entspricht dabei der Phase der Auswertung und anschließenden Interpretation der gesammelten Daten. Das Ziel einer solchen Analyse ist meist die Feststellung eines Ist-Zustandes oder die Erforschung der Ursachen dieses Ist-Zustandes. Die Analysephase ist meist nur ein unweigerlich nötiger Schritt, um bestehende Probleme zu lösen oder eine Situation zu verbessern. Diese Methode hat auch ihre Grenzen.

Siehe auch

- Detail
- Musikanalyse
- Psychoanalyse
- Quellenanalyse
- Sprachanalyse
- Systemanalyse
- Materialflussanalyse (Graphische Varianten) Kategorie:Empirie ko:Å학 simple:Analyse

Griechische Sprache

Griechisch (griechisch ελληνικά) ist eine indogermanische Sprache, die einen eigenen Zweig dieser Sprachfamilie darstellt. Eine nähere Verwandtschaft scheint nur zur antiken makedonischen Sprache bestanden zu haben. Griechisch wird von ca. 16 Millionen Menschen als Muttersprache gesprochen, von denen ca. 10,5 Millionen in Griechenland leben, wo es Amtssprache ist. Die anderen Muttersprachler sind auf 35 andere Staaten verteilt. Auf Zypern ist Griechisch ebenfalls Amtssprache, offiziell neben dem Türkischen. Außerdem ist in einigen südalbanischen und süditalienischen Gemeinden, in denen Angehörige der griechischen Minderheit leben, das Griechische als lokale Amts- und Schulsprache zugelassen. Siehe: Griko in Italien Eine Vielzahl von altgriechischen Wörtern werden darüber hinaus auch in diversen Fachsprachen verwendet und haben Eingang in viele moderne Sprachen gefunden. Die Sprachcodes nach ISO 639 für Neugriechisch (ab 1453) sind el bzw. ell oder gre und für Altgriechisch (bis 1453) grc.

Geschichte

1453 Die ältesten schriftlichen Zeugnisse der Sprache sind in Linearschrift B geschrieben. Sie begegnen ab dem 14. Jahrhundert v. Chr. - also in mykenischer Zeit - als sehr kurze Texte auf Transportamphoren, wo sie den Inhalt bezeichnen. Längere Texte auf zahlreichen Tontäfelchen, ebenfalls rein praktischer Natur, wurden in den Archiven einiger mykenischer Paläste gefunden. Sie stammen aus dem Beginn des 12. Jahrhundert v. Chr.. Nach Zerstörung der meisten bisher bekannten mykenischen Paläste im 12. Jh. ging die Linearschrift B und damit die Schriftlichkeit der ägäischen Welt nach herrschender Meinung verloren. Zumindest gibt es bisher keine Schriftfunde aus der Zeit der dunklen Jahrhunderte. Gegen Ende der dunklen Jahrhunderte, vermutlich um 800 v.Chr., übernehmen die Griechen das phönizische Schriftsystem, das sie im Grunde auch heute noch benutzen. Eines der bekanntesten frühen Beispiele der neuen alphabetischen Schrift zeigt der sog. Nestor-Becher. In klassischer Zeit ist eine Vielzahl von Dialekten feststellbar, zu den wichtigsten zählen das (noch heute in den Schulen als Altgriechisch gelehrte) Attische, das Ionische, das Dorisch-Nordwestgriechische, das Aeolische und das Arkadisch-Kyprische. Die am Anfang der schriftlichen Überlieferung stehenden homerischen Epen, die Ilias und die Odyssee, sind zum Beispiel in einer künstlerischen Sprachform verfasst, die Worte aus verschiedenen Dialekten benutzte, oft nach den Anforderungen des Metrums, im ganzen jedoch Ionisch mit äolischer Prägung ist. Die politische, wirtschaftliche und kulturelle Vormachtstellung Athens im 5. Jahrhundert v. Chr. machte den dort gesprochenen attischen Dialekt zur Grundlage einer überregionalen Gemeinsprache (Koiné, griechisch κοινή, die Gemeinsame oder Allgemeine), die durch die Eroberungen Alexanders des Großen im 4. Jahrhundert v. Chr. zur Weltsprache und lingua franca aufstieg. Auch im Römischen Reich blieb Griechisch neben Latein Amtssprache, dies auch aufgrund der kulturellen Abhängigkeit der Römer von den Griechen. In der Osthälfte des Reiches war Griechisch bereits seit dem Hellenismus die dominierende Sprache. Der Einfluss fremder Sprachen und der fortbestehenden Dialekte führte immer wieder, insbesondere im 2. Jahrhundert, zu Bemühungen um eine Reinigung der griechischen Sprache unter Rückgriff auf das klassische Attisch. Eine solche bereinigte Form des Altgriechischen wurde nach der Teilung des Römischen Reiches (395) zur Amts- und Literatursprache des oströmischen Reiches, das nach der Abschaffung der lateinischen Amtssprache um 630 endgültig vom römischen zum byzantinischen Reich wurde. Spätestens zu diesem Zeitpunkt versiegt die Produktion literarischer Werke auf Altgriechisch; die Sprache des byzantinischen Reiches weist da schon deutliche Unterschiede in Grammatik und Aussprache auf. Nach der arabischen Eroberung Syriens und Ägyptens blieb Griechisch dort zunächst noch für einige Jahrzehnte Amtssprache, bevor es diese Funktion ab etwa 700 an das Arabische verliert. Während der Besetzung Griechenlands durch das osmanische Reich war der Unterricht in griechischer Sprache offiziell verboten. Jedoch lebte sie im Alltag der Griechen (und vielfach von Priestern heimlich gelehrt) fort, veränderte sich aber aufgrund geringer Schriftkenntnis und mangelnder Gelehrsamkeit relativ stark. Nach der modernen Staatsgründung wurde die so genannte Katharévousa (griechisch καθαρεύουσα, Reinsprache; die Grundlagen wurden von Korais geschaffen) offizielle Unterrichts- und Amtssprache, eine „künstlich“ geschaffene Standardsprache, die den Wortschatz der am klassischen Attisch orientierten Koiné abermals künstlich konservierte, jedoch innerhalb weitgehend neugriechisch geprägter Aussprache- und Grammatikstrukturen. Erst 1976 wurde die Volkssprache (Dimotikí, griechisch δημοτική) endgültig zur Sprache der staatlichen Verwaltung und der Wissenschaft; allerdings sind viele Katharévousa-Worte im Laufe der Zeit wieder in die Dimotikí zurück übernommen worden. Im Verlauf der Jahrtausende hat sich die griechische Sprache vielfach in der Aussprache geändert, die Orthographie blieb jedoch dank vielerlei Bemühungen um eine Reinhaltung der Sprache weitgehend konstant. Die in hellenistischer Zeit in die griechische Schriftsprache eingeführten Akzente und Symbole für Hauchlaute wurden noch bis vor kurzem verwendet. Durch Erlass Nr. 297 des griechischen Präsidenten vom 29. April 1982 wurden der Akzent Gravis, der Akzent Zirkumflex sowie die Hauchzeichen Spiritus asper und Spiritus lenis abgeschafft. Es gibt seitdem in der griechischen Schriftsprache nur noch den Akzent Akut, der die betonte Silbe anzeigt. Die griechische Sprache und Schrift hatte auf die Entwicklung Europas immensen Einfluss: Sowohl das lateinische als auch das kyrillische Alphabet wurde auf der Basis des griechischen Alphabets entwickelt. Die Rückbesinnung auf das im Westen fast vergessene Griechisch, ausgelöst unter anderem durch die Flucht vieler Byzantiner in den Westen nach dem Fall Konstantinopels 1453, war eine der Hauptquellen der Renaissance und des Humanismus (siehe hierzu auch: Philhellenismus). Noch heute werden wissenschaftliche Fachbegriffe gerne unter Rückgriff auf griechische (und lateinische) Wörter geprägt. Das Neue Testament wurde ursprünglich in hellenistischem Griechisch geschrieben und das erste Mal von Erasmus von Rotterdam gedruckt.

Grammatik

Altgriechisch

Die ersten Grammatiken des Abendlandes wurden zu hellenistischer Zeit in der philologischen Schule von Alexandria abgefasst. Aristarch von Samotrake schrieb eine tékhne grammatiké des Griechischen. Die vermutlich erste autonome grammatische Schrift ist die tékhne grammatiké des Dionysios Thrax (2. Jh. v.Ch.), welche die Phonologie und Morphologie einschließlich der Wortarten umfasst. Die Syntax ist Gegenstand eines sehr systematischen Werks des zweiten bedeutenden griechischen Grammatikers, des Apollonios Dyskolos (2. Jh. n.Ch.). Angeblich im Jahre 169/8 "importierten" die Römer die griechische Grammatik und adaptierten sie. Die Grammatik des Altgriechischen ist auf den ersten Blick recht ähnlich zum Lateinischen, was Partizipialkonstruktionen und sonstige grammatische Phänomene (AcI etc.) anbelangt, so dass Lateinkenntnisse beim Erlernen des Altgriechischen sehr hilfreich sind – und umgekehrt. Gutes Verständnis der deutschen Grammatik hilft allerdings auch; in vielen Fällen ist das Altgriechische dem Deutschen strukturell ähnlicher als dem Lateinischen, beispielsweise sind die bestimmten Artikel im Griechischen vorhanden, während sie im Lateinischen fehlen. Es gibt auch Fälle, in denen die Ähnlichkeit mit dem Lateinischen eher oberflächlicher Art ist und mehr Verwirrung stiftet als hilft – beispielsweise werden die Zeitformen der Verben im Griechischen oft anders verwendet als im Lateinischen. Im Westen und auch in diesem Artikel werden gewöhnlich lateinische Begriffe (wie Substantiv, Dativ, Aktiv, Person … ) zur Bezeichnung von altgriechischen grammatischen und semantischen Kategorien verwendet, die direkte Übersetzungen der griechischen Definitionen darstellen. In Griechenland werden dagegen bis heute die griechischen Originalbegriffe aus der tékhne grammatiké des Dionysios Thrax verwendet.

Nominale Wörter

Hierzu zählen die Wortarten Substantiv, Adjektiv und Pronomen, die alle dekliniert werden. Auch Partizipien, Verbaladjektive und Infinitive werden dekliniert, sie gelten aber als Zwischenformen (sogenannte Nominalformen des Verbs). Hinsichtlich der Deklination ist folgendes zu benennen:

Numeri

- Singular
- Plural
- Dual (als Schwundform)

Genera

- (allgemeine) Regeln:
- Maskulinum: bei Bezeichnungen für männliche Wesen, Winde, Flüsse und Monate
- Femininum: bei Bezeichnungen für weibliche Wesen, Länder, Inseln und Städte
- Neutrum: dient unter anderem zur Verkleinerung oder Verächtlichmachung von Wörtern männlichen und weiblichen Geschlechts.
- Für den sonstigen Gebrauch lassen sich keine eindeutigen Regeln aufstellen.
- Besonderheit des Neutrums: Bei Neutrum-Subjekten steht das Verb, auch wenn das Subjekt im Plural steht, in der 3. Person Singular. Diese Besonderheit besteht deswegen, weil das Griechische im Fall des Neutrums einen echten Plural nicht gebildet hat. Der Plural des Neutrums ist eigentlich ein aus dem Indogermanischen ererbter "kollektiver Singular", d.h. ein Sammelbegriff, der formal ein Singular ist, von der Funktion her aber einem Plural entspricht (wie im Deutschen: der Busch, das Gebüsch). Ferner haben im Neutrum – wie in allen indogermanischen Sprachen – Akkusativ und Nominativ identische Formen. Im Griechischen tritt noch die Form des Vokativs den beiden anderen Kasus als identisch hinzu.

Kasussystem

Von den acht Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen fünf erhalten: Nominativ, Akkusativ, Genitiv, Dativ und Vokativ. Die Funktionen der nicht erhaltenen Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen auf den Dativ und den Genitiv verteilt. Die Aufteilung ähnelt der der deutschen Sprache. Grundfunktionen der Kasus:
- Akkusativ
- echter Akkusativ (direktes Objekt)
- adverbial: Lativ (Richtung, Ausdehnung, Dauer)
- Genitiv
- echter Genitiv (Bereich)
- Separativ (Herkunft)
- Dativ
- echter Dativ (indirektes Objekt)
- Soziativ (Gemeinschaft)
- Instrumental (Mittel)
- Lokativ (Ort, Zeit)

Verben

Tempussystem

Es gibt im Altgriechischen vier Tempusstämme: Präsensstamm, Aoriststamm, Perfektstamm, Futurstamm; wovon die ersten drei ein System bilden. Das Altgriechische besitzt aber kein ausgebildetes Tempussystem. Die Tempusstämme drücken Aspekte aus; – die subjektive Betrachtungsweise, das heißt die Art, wie der Sprechende den Verbalinhalt auffasst. Deswegen ist der Begriff Tempusstamm genaugenommen nicht richtig; besser zu sagen wäre Aspektstamm. Der Aspekt des Präsensstamms ist durativ (linear, iterativ oder konativ). Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt der Verlauf oder das Andauern einer Handlung ausgedrückt. Beispiele:
- νοσειν = (krank sein = ) krank darniederliegen
- (απο)θνησκειν = sterben ( = im Sterben liegen) Der Aspekt des Aoriststamms ist punktuell. Das bedeutet, es wird der bloße Vollzug einer Handlung vermeldet. (Die Bezeichnung punktuell wird benutzt, um den Gegensatz zum linearen Präsensstamm auszudrücken. Der Aoriststamm ist die Normalform und benennt eine Handlung oder ein Ereignis, ohne ausdrücken zu wollen, ob diese Handlung in Wirklichkeit punktuell oder linear war/ist.) Bei diesem Aspekt wird in der Sprachpraxis gern ein bestimmter Punkt des Verbalbegriffs ins Auge gefasst, nämlich der Abschluss (effektiv) oder der Beginn (ingressiv) einer Handlung. Beispiele:
- ingressiv: νοσησαι = krank werden oder erkranken
- effektiv: (απο)θανειν = sterben (als Moment des Dahinscheidens) Der Aspekt des Perfektstamms ist resultativ. Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt ein (erreichter) Zustand oder einfach ohne jede nähere Bestimmung die Qualität einer Sache ausgedrückt. Beispiele:
- τεθνηκεναι (τεθναναι) = (gestorben und nun) tot sein
- πεποιθεναι = vertrauen Mit der Handhabung dieser drei Aspekte stellt der Griechischsprechende aber die zeitlichen Bezüge her, die von den Aspekten selbst nicht ausgedrückt werden. Die Aspekte gelten nun generell, während es eine direkt zeitliche Bedeutung nur im Indikativ gibt (bis auf das Futur. siehe unten). Die Vergangenheit wird mit Hilfe der Nebentempora, die nur im Indikativ auftauchen, gebildet. Das sind im Präsensstamm das Imperfekt, im Perfektstamm das Plusquamperfekt und im Aoriststamm der Aorist. (Der Aoriststamm ist der älteste Tempusstamm und hat ein Haupttempus im Indikativ nie ausgebildet.) Der vierte Tempusstamm des Altgriechischen, der Futurstamm, ist eine jüngere Entwicklung und hat in der Tat in allen Modi zeitliche Bedeutung. Übersicht über die Tempusformen im Indikativ:

Modussystem

Es gibt im Altgriechischen vier Modi: Indikativ, Optativ, Konjunktiv, Imperativ. Die Funktionen, die diese Formen syntaktisch erfüllen, sind sehr vielfältig. Hier kann nur eine grundsätzliche Bestimmung ihrer Bedeutung vorgenommen werden. Der Modus bringt die geistige Einstellung des Sprechenden gegenüber dem Verbalinhalt zu Ausdruck. Mit dem Indikativ drückt der Sprecher aus, dass ihm ein Vorgang oder Zustand als wirklich (real) erscheint. In den anderen Modi drückt der Sprecher aus, dass ihm der Vorgang oder Zustand nur als vorgestellt gilt. Der Imperativ drückt einen Befehl aus. Der Konjunktiv drückt einen Willen (Voluntativ) oder eine Erwartung (Prospektiv) aus. (Er hat also leicht futurische Bedeutung, was umgekehrt für das Futur in Bezug auf den Konjunktiv auch gilt). Der Optativ drückt einen Wunsch (Kupitiv) oder eine Möglichkeit (Potentialis) aus.

Genera Verbi (eigentlich und für das Griechische besser: Diathese)

Von den drei Genera Verbi sind zwei (Aktiv und Medium) aus dem Indogermanischen geerbt. Das Passiv ist eine jüngere Entwicklung. Das Aktiv drückt einfach eine Tätigkeit aus. Das Medium drückt aus, dass das Subjekt an der Handlung beteiligt ist, oder an ihr interessiert ist, dass also eine nähere Beziehung zwischen Subjekt und Handlung besteht (transitives Medium). Ferner kann es ausdrücken, dass das Subjekt von seiner eigenen Handlung betroffen ist (intransitives Medium). Der Begriff Medium soll in etwa ausdrücken, dass diese Form zwischen Aktiv und Passiv stehe. Das ist jedoch weder sprachgeschichtlich, noch morphologisch richtig. Das Passiv ist im Griechischen der Grenzfall des Mediums, denn: Das Passiv drückt die Wirkung einer Handlung auf das Subjekt aus, die nicht von ihm ausgeht. Insofern die Handlung nur noch auf das Subjekt wirkt, ohne von ihm auszugehen, bildet es den Grenzfall des Mediums. (Außerhalb des Futur- und Aoriststamms hat das Passiv keine eigenständige Form. Formal übernimmt dort das Medium neben der eigenen Funktion auch die des Passivs, was nur aus dem syntaktischen Zusammenhang, oder bei genauer Kenntnis der Beschaffenheit des entsprechenden Verbums zu unterscheiden ist.) Beispiele: Aktiv: er löst (etwas) transitives Medium: er löst (etwas) für sich intransitives Medium: er löst sich, er lässt sich lösen Passiv: er wird gelöst (von jdm.)

Numeri

- Singular
- Plural
- Dual (als Schwundform)

Personen

Erste Person (ich / wir), zweite Person (du / ihr), dritte Person (er, sie, es, Substantiv im Singular / sie, Substantiv im Plural). Die Personalpronomen des Nominativ werden wie in vielen anderen indogermanischen Sprachen meist ausgelassen, wenn sie nicht besonders betont werden sollen. Es muss also nicht zwangsläufig ein das Subjekt ausdrücklich nennendes Bezugswort (Pronomen oder Substantiv) beim Verb stehen – die Endung reicht aus, um die Person und damit das Subjekt zu identifizieren.

Neugriechisch (Dimotiki)

Die neugriechische Sprache hat einen Großteil der altgriechischen Grammatik vereinfacht, ist aber immer noch eine stark flektierende Sprache. Sie ist eine der wenigen indogermanischen Sprachen, die eine synthetische (also nicht mit Hilfsverben konstruierte) Diathese behalten hat. Der Dativ ist bis auf wenige Formen wie εν τάξει (en táxei //) ("in Ordnung") verloren gegangen und wird meist durch die Konstruktion eis (eigentl. in... hinein) + Akkusativ ersetzt. Andere wichtige Änderungen der Grammatik sind der Verlust des Optativs (wird durch den Konjunktiv ersetzt), des Infinitivs (wird durch Nebensätze ersetzt "Ich will kaufen" -> "Ich will, dass ich kaufe") und des Duals (wird durch den Plural ersetzt), die Verkleinerung der Anzahl von Deklinationen und der verschiedenen Formen in jeder Deklinaton, der neue Modalpartikel θα (aus θέλω να ("ich will, dass...") > θε' να > θα) für das Futur und Konditional, die Einführung von Hilfsverben, die Reduzierung der Partizipien auf zwei, ein aktives und ein passives, die Erweiterung des Futurs auf die Aspektunterscheidung zwischen Präsens/Imperfekt und Aorist, der Verlust der dritten Person Imperativ, außer in Archaismen wie ζήτω! ('Lang lebe!'); neue Pronomen für die 2. Person Plural, da die alten wegen der Lautveränderung akustisch nicht mehr von denen der 1. Person Plural zu unterscheiden waren; und der Vereinfachung des Systems der Präfixe, wie bei der Augmentation und Reduplikation. Das Phonemsystem der neugriechischen Sprache: Vokale geschlossen halbgeschlossen offen Alle Vokale werden kurz ausgesprochen. laut IPA Konsonanten p t k b d g v δ z γ f θ s χ m n l r

Siehe auch

- Griechisches Alphabet
- Liste griechischer Präfixe
- Liste griechischer Suffixe
- griechische Präpositionen
- Liste griechischer Magischer Quadrate
- Namenforschung
- Griechische Zahlen
- griechische Zahlwörter
- Griechische Phrasen und Redewendungen

Literatur

- Geschichte:
- Francisco R. Adrados: Geschichte der griechischen Sprache von den Anfängen bis heute. Tübingen/Basel 2002
- Hans Eideneier: Von Rhapsodie zu Rap. Aspekte der griechischen Sprachgeschichte von Homer bis heute. Tübingen 1999
- etymologische Wörterbücher (altgriechisch):
- Pierre Chantraine: Dictionnaire étymologique de la langue grecque : histoire des mots. 4 Bände. Paris 1968-80 (Neuauflage 1999)
- Hjalmar Frisk: Griechisches etymologisches Wörterbuch. 3 Bände. Heidelberg 1973
- Alois Vanicek: Griechisch-lateinisches etymologisches Wörterbuch. Leipzig 1877 (Nachdruck 1972)
- Wörterbücher (altgriechisch):
- Wilhelm Gemoll: Griechisch–Deutsches Schul- und Handwörterbuch bei Oldenburg Schulbuchverlag. ISBN 3-486-13401-9
- Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache in 4 Bänden. Braunschweig 1842 ff. (3. Aufl. 1880; Nachdruck 1954)
- Grammatiken (altgriechisch):
- Eduard Bornemann (u. Mitw. v. Ernst Risch): Griechische Grammatik. Frankfurt a.M. 1978
- Adolf Kaegi: Kurzgefasste griechische Schulgrammatik. Berlin 1884 (seither ständig nachgedruckt), ISBN 3-615-70100-3
- Historische Grammatik:
- Helmut Rix: Historische Grammatik des Griechischen. Laut- und Formlehre. Darmstadt 1992

Weblinks

- [http://www.geocities.com/kurogr/ Wörterbuch Mykenisches Griechisch - klassisches Altgriechisch - Englisch (PDF)]
- [http://www.fh-augsburg.de/~harsch/graeca/Auctores/g_alpha.html griechische Texte in der Bibliotheca Augustana]
- [http://info.uibk.ac.at/c/c6/c604/pdf/Hajnal/Griech.Dial.pdf Die Vorgeschichte der griechischen Dialekte] - Ein Aufsatz über Entstehen und Geschichte der altgriechischen Dialekte.
- [http://kypros.org/LearnGreek/ Online-Kurs vom zypriotischen Rundfunk CyBC, 105 Lektionen à 30 Min., engl., Real Audio]
- [http://www.kreienbuehl.ch/lat/ Latein und Altgriechisch Site]
- [http://www.chairete.de/ Materialen zum Altgriechischen, Autoren]
- [http://www.altesprachen.de/heureka/heureka.htm Altesprachen.de]
- [http://www.geocities.com/Athens/Agora/6594/inhalt.html Altgriechisch] (Ziemlich umfangreicher Einstiegskurs)
- [http://www.combib.de/infoseiten/griechisch/griechisch.html Aussprachehilfe zum neutestamentlichen Griechisch] (Deutsche Schulaussprache, nicht Originalaussprache!)
- [http://www.gottwein.de/grueb/gr000.htm Altgriechischer Online-Sprachkurs]
- [http://www.gottwein.de/ Navicula Bacchi] (exzellente Seite rund um die Klassische Philologie mit sehr vielen Unterrichtsmaterialien)
- [http://www.archiv-vegelahn.de/nachschlagwerke_griechisch.html Bibliographie - Griechisch]
- Kategorie:Indogermanisch Kategorie:Einzelsprache als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Untersuchung

Der Ausdruck Untersuchung bezeichnet eine #analysierende Untersuchung, siehe: Analyse #medizinische Untersuchung #Untersuchung auf Beanstandungen, siehe: Check #Emperie: Erhebung (Emperie) #qualitative Untersuchung, siehe Prüfung #quantitative Untersuchung, siehe Messung #erkundende Untersuchung, siehe: Erkundung #technische Untersuchung, siehe Inspektion #juristische Untersuchung, siehe Ermittlung, Verfahren #vergleichende Untersuchung, siehe Musterung #wissenschaftliche Untersuchung, siehe Studie #funktionelle Untersuchung, siehe Test

Analysis

Die Analysis (von griechisch ανάλυσις = Auflösung, vom altgriechischen Verb ἀναλύειν, analyein = auflösen; im heutigen Griechisch in der volkstümlicheren Form ανάλυση) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen. Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt. Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Differentialrechnung

Bei einer Geraden :

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte

(x_0, y_0)

und

(x_1, y_1)

auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch :

m = \frac

. Bei Funktionen wie z.B.

f(x) = x^2

kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da die Kurve eben keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt

(x_0, f(x_0))

eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle

x_0

berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle

x_1

ganz nahe bei

x_0

und legt eine Gerade durch die Punkte

(x_0, f(x_0))

und

(x_1, f(x_1))

, so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s.o.) :

m = \frac

. Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle

x_1

immer weiter an

x_0

annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben :

f'(x_0) = \lim_\frac

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in

x_0

. Der Ausdruck

\lim_

bedeutet, dass x immer weiter an

x_0

angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und

x_0

unendlich klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen

x_0

“. Die Bezeichnung

\lim

steht für Limes. :

f^\prime (x_0)

ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle

x_0

, wenn der Grenzwert

f^\prime (x_0)

existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über. :

\int_^ f(x)\, dx :=  \lim_ \frac \sum_^ f\left(a+i \frac\right)

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird. In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander. :

\left(\int f(x) dx\right)= \int\left(f(x)\right)dx = f(x)

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt nicht die grundlegenden Konzepte, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

Weitere Gebiete der Analysis

- Funktionen mit komplexen Veränderlichen (Komplexe Analysis oder auch Funktionentheorie)
- Differentialgleichungen
- Variationsprobleme
- Unendlichdimensionale Funktionenräume (Funktionalanalysis)
- Vektoranalysis
- harmonische Analysis
- Nichtstandardanalysis

Literatur

- Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
- Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
- Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
- Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Weblinks

! ar : تحليل رياضي ja:解析学

Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert oder im unbestimmten Fall eine Funktion zu. Dieser Vorgang heißt Integration. Funktion Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die inverse Aufgabe (das heißt Gegenteil) zur Differentiation. Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benutzt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.

Integral für kompakte Intervalle

„Kompakt“ bedeutet hier, dass nur Funktionen auf Intervallen der Form

[a,b]

betrachtet werden. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

Motivation

Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereichen der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei Funktionen

f,g

auf einem endlichen Intervall

[a,b]

, deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild). : 595px Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die von
- dem Graphen einer Funktion
- zwei vertikalen Geraden

x=a

und

x=b

- sowie der

x

-Achse begrenzt wird. Aufgrund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung: :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,

gelesen als Integral von $a$ bis $b$ über (oder: von) $f(x)\,\mathrm dx$ .

Integrale negativer Funktionen

Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der

y

-Achse um ein Stück

c

, so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu: : 385px Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite

b-a

und der Höhe

c

, in Formeln :

\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+(b-a)\cdot c.

Betrachtet man eine nach unten beschränkte Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein

c

finden, so dass die Werte von

f(x)+c

alle positiv sind: : 237px Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man :

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx-(b-a)\cdot c,

das heißt, das Integral von

f

ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der

x

-Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem „orientierten“ Flächeninhalt. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen

x

-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals

Hauptartikel: Prinzip von Cavalieri

Axiomatischer Zugang

Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Lauf der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest. Es seien

a reelle Zahl en, und es sei \mathcal F ein Vektorraum von Funktionen [a,b]\to\mathbb R, der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in \mathcal F werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung
: \mathcal F\to\mathbb R, geschrieben
: f\mapsto\int_a^b f(x)\,\mathrm dx, mit den folgenden Eigenschaften:

- Linearität: Für Funktionen

f,g\in\mathcal F

und

\lambda\in\mathbb R

gilt
-

\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx

\int_a^b(\lambda f(x))\,\mathrm dx = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

- Monotonie: Ist

f(x)\geq0

für alle

x\in[a,b]

, so ist
- :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\geq0.

- Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalles: Ist

I\subseteq[a,b]

ein Intervall, und ist ::

\chi_I(x)=\begin1&\mathrm\ x\in I\\0&\mathrm\ x\notin I,\end

: so ist ::

\int_a^b \chi_I(x)\,\mathrm dx

: gleich der Länge des Intervalles

I

Bezeichnungen

a

und

b

heißen Integrationsgrenzen.
-

f(x)

heißt Integrand.
- Die symbolische Variable

x

heißt Integrationsvariable. Ist

x

die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über $x$ . Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt ::

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

: kann man genauso gut ::

\int_a^b f(t)\,\mathrm dt

oder

\int_a^b f(\xi)\,\mathrm d\xi

: schreiben. Um Missverständnisse zu vermeiden sollte darauf geachtet werden, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist. In dem obigen Beispiel wäre es schlecht, die Buchstaben

a

oder

b

zu verwenden, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren.
- Der Bestandteil „

\mathrm dx

“ wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.

Herkunft der Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation

f(x)\;\mathrmx

deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe

f(x)

und der infinitesimalen Breite

\mathrmx

zusammensetzt.

Alternative Schreibweise in der Physik

In der Physik hat sich eine leicht andere Schreibweise für Integrale durchgesetzt. Dort wird statt

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

meistens

\int_a^b \mathrm dx f(x)

geschrieben. Dies hat zwar den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion

f(x)

nicht mehr durch

\int_a^b

und

\mathrm dx

eingeklammert wird, jedoch auch einige Vorteile:
- Der Ausdruck

\int_a^b \mathrm dx

hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.
- Oft tauchen in der Physik Intregrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist oder es wird über mehrere Unbekannte

x_1,x_2,\ldots,x_n

integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise

\int_a^b \mathrm dx f(x)

schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher. Beispiel: :

\int_^\mathrm dt \int_^\mathrm dx_1\int_^\mathrm dx_2\int_^ \mathrm dx_3 \,f(x_1,x_2,x_3,t)

statt :

\int_^\int_^\int_^\int_^ f(x_1,x_2,x_3,t)\,\mathrm dx_3\mathrm dx_2\mathrm dx_1\mathrm dt

Einfache Folgerungen aus den Axiomen

- Ist

f(x)\leq g(x)

für alle

a\leq x\leq b

, so ist ::

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx.

- Bezeichnet man mit

\|f\|_\infty

das Supremum von

f

auf

[a,b]

, so gilt ::

\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\right|\leq (b-a)\cdot\|f\|_\infty.

- Ist

|f(x)-g(x)|<\varepsilon

für alle

a\leq x\leq b

mit einer festen Zahl

\varepsilon>0

, so gilt ::

\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx-\int_a^b g(x)\,\mathrm dx \right|\leq(b-a)\cdot\varepsilon.

: Daraus folgt: Ist

f_n

eine Folge von integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen eine (integrierbare) Funktion

f

konvergiert, so ist ::

\lim_\int_a^b f_n(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

: Mit anderen Worten: Das Integral ist ein stetiges Funktional für die Supremumsnorm.
- Integrale von Treppenfunktionen: Ist

f

eine Treppenfunktion, das heißt, ist

[a,b]

eine disjunkte Vereinigung von Intervallen

I_k

der Längen

L_k

, so dass

f

auf

I_k

konstant mit Wert

c_k

ist, so gilt ::

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\sum_^n L_k\cdot c_k,

: also anschaulich gleich der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke unter dem Funktionsgraphen von

f

Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

In gewisser Hinsicht ist Integration die Umkehrung der Differentiation. Um dies zu präzisieren, wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist

f

eine Funktion, so heißt eine Funktion

F

eine Stammfunktion von

f

, wenn die Ableitung von

F

gleich

f

ist: :

F' = f.\,

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist

f

eine stetige Funktion auf einem Intervall

[a,b]

, und ist

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt :

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b) - F(a).

Die rechte Seite wird oft abkürzend als :

[F(x)]_a^b

oder

[F(x)]_^

oder

F(x)\Big|_a^b

o.ä. geschrieben. Dieser Zusammenhang ist die hauptsächliche Methode zur expliziten Auswertung von Integralen. Die Schwierigkeit liegt meist im Auffinden einer Stammfunktion. Die bloße Existenz ist theoretisch gesichert: Die Integralfunktion :

x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt

ist eine Stammfunktion von

f

Eigenschaften von Stammfunktionen

- Man kann zu einer Stammfunktion eine Konstante addieren und erhält wieder eine Stammfunktion: Ist

F

eine Stammfunktion zu einer Funktion

f

, und ist

c\in\mathbb R

eine Konstante, so ist

(F+c)'=F'+0=F'=f.

- Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich um eine Konstante: Sind

F

und

G

Stammfunktionen derselben Funktion

f

, so ist

(F-G)'=F'-G'=f-f=0

, also ist die Differenz

F-G

eine Konstante.

Unbestimmtes Integral

Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von

f(x)

bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist

F(x)

eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise :

\int f(x)\,\mathrmx = F(x) + C,

um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von

f

die Form

F(x)+C

mit einer Konstante

C

hat. Man beachte, dass die Schreibweise :

\int f(x)\,\mathrm dx

jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit :

\int cf(x)\,\mathrm dx=c\int f(x)\,\mathrm dx

gemeint, dass :

\int_a^b cf(x)\,\mathrm dx=c\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

für beliebige

a,b

gilt.

Bestimmung von Stammfunktionen

siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen Im Gegensatz zur Ableitungsfunktion ist die explizite Berechnung einer Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich. Oft schlägt man Integrale deshalb in Tabellenwerken nach. Zur händischen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.

Partielle Integration

Hauptartikel: Partielle Integration Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet: :

\int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrmx 
= [f(x)\cdot g(x)]_^ - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrmx

Diese Regel ist häufig dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von

f(x)

eine einfachere Funktion entsteht. Beispiel: :

\int_a^b x \cdot \ln \left(x \right) \,\mathrmx

Setzt man :

f(x) = \ln \left(x\right) \,

und

g'(x)=x \,

, so ist :

f '(x) =  \,

und

g(x)= \,

und man erhält :

Integration durch Substitution

Hauptartikel: Integration durch Substitution Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung. Sei

\phi(x) = f( g(x) ) \cdot g'(x)

und

F

eine Stammfunktion von

f

, so ist

\Phi(x) = F( g(x) ) \,

eine Stammfunktion von

\phi \,

, denn es gilt:

\int_a^b f( g(x) ) \cdot g'(x)\,\mathrmx = \int_^ f( z ) \cdot g'(x) \frac = \int_^ f(z)\,\mathrmz=F(z)=\Phi(x)

Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Numerische Berechnung von Integralen

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel (deren Spezialfall als Keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür.

Anwendungen

Mittelwerte stetiger Funktionen

Um den Mittelwert

m

einer gegebenen stetigen Funktion

f(x)

auf einem Intervall

[a,b]

zu berechnen, benutzt man die Formel :

m=\frac\int_a^b f(x) \mathrmx.

Man sieht leicht, dass diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion auch tatsächlich angenommen wird.

Beispiel für den Integralbegriff in der Physik

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung

g

des freien Falls in Mitteleuropa ca. 9,81

m/s^2

. Die Geschwindigkeit

v

eines Körpers zur Zeit

t

lässt sich daher durch die Formel :

v = g \cdot t\,

ausdrücken. Nun soll aber die Wegstrecke

l

berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit

T

zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit

v

des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne

\Delta t

die Geschwindigkeit

v

, die sich aus der Zeit

g \cdot t

ergibt, konstant bleibt. Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums

\Delta t

beträgt daher :

\Delta l = g \cdot t\,\cdot\Delta t

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als :

l = \sum \left( g \cdot t \,\cdot\Delta t \right)

ausdrücken. Wenn man nun die Zeitdifferenz

\Delta t

gegen Null streben lässt, erhält man :

l = \lim_ \left( \sum \left( g \cdot t \,\cdot \Delta t\right)\right) = \int_0^T \left( g \cdot t\;\mathrmt\,\right) =\, \frac g 2 \cdot T^2

Umgekehrt lässt sich aus der Bewegungsgleichung :

l = \frac g 2 \cdot t^2\,

durch Differenzieren die Gleichung :

v = g \cdot t\,

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Differenzieren :

a = g\,

für die Beschleunigung herleiten.

Konstruktionen

Cauchy-Integral

Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion

f

, die gleichmäßiger Limes einer Folge

t_n

von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\lim_\int_a^b t_n(x)\,\mathrm dx,

wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird. Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen

f

, für die sich

[a,b]

in endlich viele Intervalle

I_k

unterteilen lässt, so dass

f

auf

I_k

die Einschränkung einer stetigen oder monotonen Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall

\bar I_k

ist. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

Riemann-Integral

Hauptartikel: Riemann-Integral Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme. Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme läßt sich durch das Produkt aus der – ebenfalls von Riemann eingeführten – totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist. Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden. Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation

Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet. Das Riemann-Integral kann nicht bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, zum Beispiel Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie

\sin\left(\frac1\right)

oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1] angewendet werden. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

Lebesgue-Integral

Hauptartikel: Lebesgue-Integral

Integrale für nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale

Das Integral war oben stets über kompakten Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Definitionslücken verläuft je nach gewählter Konstruktion etwas unterschiedlich. In der Lebesgue-Theorie ergibt sich die Verallgemeinerung vollkommen natürlich, in der Riemann-Theorie muss man mit Grenzwerten von Integralen über kompakte Bereiche arbeiten; man spricht in diesem Zusammenhang von uneigentlichen Integralen. Beispiele sind das Integral :

\int_^\infty e^\,\mathrmx

, wo beide Grenzen nicht in die Stammfunktion eingesetzt werden können oder :

\int_0^1 \frac\,\mathrmx

, wo der Integrand für 0 nicht definiert ist. Die uneigentlichen Integrale werden dann wie folgt definiert, wobei wir annehmen, dass der Integrand an der Stelle b nicht ausgewertet werden kann: :

A = \int_a^b f(x)\,\mathrmx = \lim_ \int_a^ f(x)\,\mathrmx

, falls der Grenzwert existiert. Es wird also wie im eigentlichen Fall die Stammfunktion berechnet, das Integral ausgewertet und dann der Grenzwert für

b'\to b

berechnet. Sind beide Grenzen uneigentlich wie bei der Gaußsche Glockenkurve, wird das Integral in zwei Teile aufgeteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt.

Mehrdimensionale Integration

Integration von vektorwertigen Funktionen

Die Integration von Funktionen

[a,b]\to\mathbb R^m

erfolgt komponentenweise.

Wegintegrale

Hauptartikel: siehe Kurvenintegral

Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve

Ist

\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n

ein Weg, also eine stetige Abbildung, und

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m

eine Funktion, so ist das Wegintegral von

f

entlang

\gamma

definiert als :

\int_\gamma f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(\gamma(t))\,\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt.

Ist f = 1, so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve

\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2

(physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit: :

L(\gamma)=\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt=\int_a^b\sqrt\,\mathrm dt.

Reelle Wegintegrale: Mit Skalarprodukt

In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form betrachtet:

f

ist eine Funktion

\mathbb R^n\to\mathbb R^n

, und es wird das Integral :

\int_\gamma f(x)\cdot\mathrm dx = \int_a^b\langle f(\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\,\mathrm dt

betrachtet.

Komplexe Wegintegrale

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

Integration über mehrdimensionale Bereiche

Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion

f

operiert, nicht die Zahlengerade

\mathbb

, sondern der

n

-dimensionale Euklidische Raum

\mathbb^n

ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen

V

darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind: :

\int_V \mathrm^n r\,f \left(\vec \right) 
= \iiint \mathrmx\, \mathrmy\, \mathrmz\, f\left(x,y,z\right)

:::

= \int \mathrmx \left(\int \mathrmy \left(\int \mathrmz\, f\left(x,y,z\right)\right)\right)

. Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in

x

y

und

z

muss man aus der Begrenzung des Volumens

V

ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik betrachtet man auch mehrdimensionale Integrale die über den gesamten, unbeschränkten

n

-dimensionalen Raum laufen. Die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens

V

überall 0 ist. Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im mehrdimensionalen ist der Transformationssatz. Sei

\Omega \subset \mathbb^d

offen und

\Phi: \Omega \to \mathbb^d

eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante

\det(D\Phi(x)) \neq 0

für alle

x \in \Omega

gilt. Dann ist :

\int_ f(y)\, \mathrmy = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrmx

Beispiel: Berechnung von Rauminhalten

Als Beispiel berechnen wir das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion

f(x,y) = x^2+y

über dem Einheitsquadrat

[0,1]\times[0,1]

. Wir benutzen dazu zwei Integrale, eines für die x- und eines für die y-Koordinate: :

\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\;\mathrmx\;\mathrmy = \int_0^1\int_0^1 (x^2+y)\;\mathrmx\;\mathrmy =\int_0^1 \left[ \fracx^3 + yx \right]_^1\;\mathrmy

= \int_0^1 \left( \frac+y \right) \mathrmy = \left[ \fracy+\fracy^2 \right]_^1 = \frac.

Oberflächenintegrale

Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration nicht über ein Volumen, sondern über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben. Diese werden durch so genannte Karten beschrieben.

Integration über ein Kartengebiet

Sei M eine d-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des

\mathbb^n

und U ein Kartengebiet in M, also eine offene Teilmenge in M, für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des

\mathbb^d

abbildet. Ferner sei

\gamma :\Omega \to U

eine Parametrisierung von U, also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die

\Omega

homöomorph auf

\gamma (\Omega)

abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet U folgerndermaßen definiert:

\int_U f ds := \int_ f(\gamma(u)) \cdot \sqrt \mathrm du

wobei

g^(u) = \det ((\gamma '(u))^T \cdot \gamma '(u))

die so genannte Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben geschrieben Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im wesentlichen aus dem Transformationssatz.

Integration über eine Untermannigfaltigkeit

Ist eine Zerlegung der 1 gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.

Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes

Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über die Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen: Zum einen der gaußsche Integralsatz, nach dem Volumenintegrale über eine Divergenz dasselbe sind wie Oberflächenintegrale über das Vektorfeld: Sei

V \subset \mathbb^n

kompakt mit abschnittsweise glattem Rand

\partial V

. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld

\vec v

. Sei ferner

\vec F

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von

V

. Dann gilt

\int_V \operatorname \vec F \; \mathrm dV = \oint_ \vec F \cdot \mathrm d \vec S

mit der Abkürzung

\mathrm d \vec S = \vec v \mathrm dS

. Zum zweiten der Satz von Stokes, der eine grundlegende Aussage der Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums schreiben lässt als: Ist M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes

\mathbb^3

, so gilt, wobei

\operatorname\;\mathbf

die Rotation eines Vektorfeldes F beschreibt:

\int_ (\operatorname\;\mathbf) \cdot \mathrm\mathbf
= \oint_ \mathbf \cdot \mathrm\mathbf

Verallgemeinerungen

Maßtheorie

Hauptartikel: Maßtheorie

Integration auf Mannigfaltigkeiten

Siehe: Differentialform#Integral_von_Differentialformen

Beispiel: Berechnung von Oberflächen

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie.

Geschichte

Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert v. Christus entwickelte Eudoxos von Knidos nach einer Idee von Antiphon die Exhaustionsmethode, die darin bestand, einen Körper durch regelmäßige Polygone auszufüllen und konnte so Fläche und Volumen einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes verbesserte diesen Ansatz und so gelang ihm die exakte Integration einer Parabel, alles ohne Benutzung eines Grenzwertbegriffs. Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 16. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ebenen Schnitte miteinander übereinstimmen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli zurück. Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte Augustin Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.

Siehe auch

- Algebraische Integration
- Mathematik für die Schule
- Stieltjesintegral
- Stochastische Integration
- Binomisches Integral
- d3x-Schreibweise

Literatur

- Schulbücher:
- Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
- Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Aufl. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3-528-67224-2
- Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
- Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. 3. Auflage. Springer Verlag,1995
- Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. 1. Auflage. Binomi Verlag, 1993,
- Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
- Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000
- Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1

Weblinks

- http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html – Visualisierungen zum Thema Integral
- [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Trig/ B. Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe] – Erstdefinition des Riemann-Integrals, Seite 12 ff.
- [http://integrals.wolfram.com/ Der Integrator – Englische Seite zur Berechnung von Integralen]
- [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/integral/integral.htm Einführung in die Integralrechnung für Schüler] Kategorie:Maßtheorie ja:積分

Chemische Analyse

Die Analytische Chemie, kurz Analytik, ist das Teilgebiet der Chemie, das sich mit der Zusammensetzung und Quantifizierung von Stoffen befasst. Sie wurde im 18. Jahrhundert von Torben Olof Bergman begründet. Sie wird in qualitative Analyse und quantitative Analyse eingeteilt, aber auch in anorganische analytische Chemie und organische analytische Chemie. Auch eine Gliederung in Aufschluss, Trennmethoden und Messmethoden ist möglich. Eine kurze Darstellung der analytischen Chemie findet sich unter Analytik. Analytik ist in den meisten Ländern ein eigenständiger Bereich der Chemie. In ihr werden Methoden zur qualitativen und quantitativen Analyse von Stoffen und Stoffgemischen entwickelt und zur Problemlösung angewendet. Kaum ein chemischer Bereich ist ohne die analytische Chemie denkbar, da viele Experimente auf analytischen Methoden beruhen. Die Strukturanalyse von Reinstoffen wird oft nicht der Analytischen Chemie zugerechnet. Fortschritte in der analytischen Chemie ermöglichen oftmals erst Erkenntnisse in anderen Wissensgebieten wie in den Umweltwissenschaften oder in der Biologie und können sogar gesellschaftliche Trends auslösen und beeinflussen. So wurde das heute übliche Umweltbewusstsein erst dann in weiten Kreisen der Bevölkerung verankert, als Messungen kleiner Spuren von Schadstoffen (Spurenanalyse) in vielen relevanten Matrices möglich waren. Neben der Entwicklung neuer oder verbesserter Aufschluss-, Trenn- und Messmethoden beschäftigt sich die analytische Chemie auch mit der Qualitätssicherung von Analysenverfahren. Fachgebiete, die sich mit der Analytischen Chemie befassen: ::Qualitative Analyse ::Quantitative Analyse ::Anorganische analytische Chemie ::Organische analytische Chemie ::Lebensmittelchemie ::Bioanalytik ::Forensik ::Pharmazie ::Wasserchemie ::Umweltanalytik ::Klinische Chemie ::Toxikologie ::Chemometrik

Aufgaben der Analytik

- Bestimmung der Reinheit eines Stoffes oder Stoffgemisches
- Zusammensetzung von Stoffgemischen
- Spurenanalytik (Bestimmung geringer Konzentrationen eines Stoffes in einer Matrix)
- Bestimmung der chemischen Formel als (Summenformel oder Strukturformel)
- Bestimmung physikalischer Eigenschaften wie Löslichkeit, Dampfdruck, Schmelzpunkt, Siedepunkt, Flammpunkt
- Entwicklung von Geräten und Methoden zur Bestimmung der obengenannten Eigenschaften

Trends

Unter anderen gibt es Bemühungen, Analysetechnik auf Chipgröße zu verkleinern (µ-TAS).

Literatur

- Klaus Volke: Zu den Anfängen der Analytischen Chemie: Wider Fälschern und Betrügern. Chemie in unserer Zeit 38(4), S. 268 - 275 (2004),
- Dietmar Breuer, Maria Quintana, Alan Howe, Martine Demange, Carina Lützenkirchen, Silvia Springer, Begoña Uribe, André Ensminger, Niels Haunso, Hajo-Hennig Fricke, Bruno Janis, Göran Lidén, Miklos Naray, Mike Wright: Analytische Methoden für chemische Stoffe - Ergebnisse des EU-Projektes "Analytical Methods for Chemical Agents" zur Bewertung von Verfahren zur Messung von Gefahrstoffen in Arbeitsbereichen. Gefahrstoffe - Reinhaltung Luft 65(10), S. 407 - 414 (2005), Kategorie:Teilgebiet der Chemie ja:分析化学 ko:분석화학 th:เคมีวิเคราะห์

Lösung (Chemie)

Eine Lösung ist in der Chemie ein homogenes Gemisch, das aus einem oder mehreren gelösten Stoffen und einem Lösungsmittel (das selbst eine Lösung sein kann) besteht. Lösungen sind rein äußerlich nicht als solche erkennbar, da sie per Definition nur eine Phase besitzen und die gelösten Stoffe daher gleichmäßig im Lösungsmittel verteilt sind.

Komponenten von Lösungen

Die Lösungsmittel sind üblicherweise Flüssigkeiten. Die gelösten Stoffe können sein:
- gasförmig (z.B. Luftgase wie Sauerstoff und Stickstoff in Wasser, Chlorwasserstoff oder Ammoniak in Wasser, Kohlenstoffdioxid in Sekt oder Mineralwasser),
- flüssig (z.B. Alkohol in Wasser)
- fest (z.B. Kochsalz oder Calciumcarbonat in Wasser)

Löslichkeit

Ob und in welchem Ausmaß ein Stoff in einem bestimmten Lösungsmittel löslich ist, hängt von seiner Löslichkeit ab. Ist in einer Lösung so viel wie möglich des Stoffes gelöst, nennt man diese Lösung gesättigt. Ist zu viel eines Stoffes enthalten, so bildet sich ein Bodensatz oder der Überschuss bleibt als Übersättigung erhalten. Nicht alle Lösungen haben eine Grenze der Löslichkeit (Näheres siehe dort) Bei Lösungen von Gasen in Flüssigkeiten gilt eine Lösung als gesättigt, wenn ein Diffusionsgleichgewicht zwischen in Lösung gehenden und die Lösung verlassenden Gasmolekülen herrscht. Aus übersättigten Gaslösungen treten aber nur dann Gasblasen aus (wie in Mineralwasser oder Sekt), wenn die Summe der Lösungspartialdrucke aller gelösten Gase größer ist als der mechanische Druck am Ort der Blasenbildung. Eine definitive Grenze des Aufnahmevermögens einer Flüssigkeit für ein Gas gibt es nicht. Die "Löslichkeit" ist hier vielmehr der Koeffizient, der die gelöste Menge mit dem aufgewendeten Gasdruck in Relation setzt.

Trennen von Lösungen

Beim Lösen von Stoffen ist der gelöste Stoff meist wieder leicht extrahierbar, da bei einer Lösung vordergründig keine chemische Reaktion statt zu finden scheint. Tatsächlich wird beim Lösen von Salzen sehr wohl die Ionenbindungen des Kristalls gelöst als auch Hydrathüllen von Wassermolekülen um die Ionen gebildet (Hydratation). Viele Metallionen bilden mit dem Wasser sogar regelrechte Komplexverbindungen (z.B. Hexaquo-EisenIII). Die genannten Bindungen müssen vollkommen reversibel sein, wenn ein Substanzgemisch als Lösung gelten soll. Auch beim Lösen von gasförmigen Säure- oder Baseanhydriden kommt es zu einer Reaktion. Chlorwasserstoff löst sich und dissoziert sofort fast vollständig in Chloridionen und Waserstoffionen, die sich ihrerseits sofort mit Wasser zu Hydronium verbinden. Kohlenstoffdioxid bleibt dagegen zum überwiegenden Teil als Gas gelöst. Ein geringer Teil bildet aber mit dem Wasser Kohlensäure, die ihrerseits zu Hydrogencarbonat, Carbonat und Hydronium dissoziiert. Auch diese Reaktionen sind vollkommen reversibel, d.h. die Lösungen sind ohne zusätzliche Reagenzien wieder trennbar.

Trennen von festen Stoffen in Flüssigkeiten

Verdampfen des flüssigen Reinstoffes bewirkt, dass die Lösung nach und nach übersättigt wird und der Feststoff auskristallisiert, soweit es sich um die Lösung eines begrenzt löslichen Stoffes handelt. Bei vollständigem Verdampfen bleibt der Feststoff am Ende als Bodensatz erhalten. Es gibt Lösungen von "Feststoffen" wie z.B. Calciumhydrogencarbonat, die beim Eindicken der Lösung zerfallen und deshalb als Trockensubstanz gar nicht existieren. In diesen Beispiel entsteht ein Rückstand aus Calciumcarbonat, während Kohlenstoffdioxid zusammen mit dem Wasser verdunstet. Eine technisch zunehmend genutzte Möglichkeit ist die Umkehrosmose. Hierbei wird die Lösung durch eine semipermeable Membran gepresst, die Ionen und größere Moleküle nicht passieren lässt. Diese Technik wir vor allem zur Wasseraufbereitung und insbesondere zur Meerwasserentsalzung verwendet.

Trennen von Flüssigkeitsgemischen

Flüssigkeiten lassen sich (nie vollständig) durch fraktionierte Destillation trennen. Man nutzt dabei die unterschiedlichen Siedepunkte der beteiligten Substanzen. Da aber ein geringerer Dampfdruck der höher siedenden Flüssigkeit auch schon beim Sieden der flüchtigeren Substanz herrscht, geht immer ein geringer Anteil von ihr mit über. So lässt sich durch Destillation Alkohol nur bis ca. 96% Reinheit gewinnen.

Trennen von Gas und Flüssigkeiten

Erhitzen der Lösung führt zum Entweichen des Gases, da seine Löslichkeit mit steigender Temperatur abnimmt. Vollständig aus der Lösung vertreiben lässt sich ein gelöstes Gas aber nur durch das Sieden der Flüssigkeit, weil dann der Dampfdruck dem Mechanischen Druck übersteigt und Blasen bildet, mit denen das Gas ausgetrieben wird. Gase können einander auch aus der Lösung verdrängen. Dazu muss man die Lösung des Gases A in intensiven Kontakt mit Gas B bringen, z.B. durch sprudeln.

Legierungen

Auch Metallschmelzen stellen meistens Lösungen dar und werden als Legierungen bezeichnet. Dabei sind mehrere Metalle oder Nichtmetalle in einer Hauptkomponente gelöst; beispielsweise bestehen manche Stahlschmelzen aus einer Lösung von Chrom, Vanadium, Kohlenstoff in Eisen.

Glas

Gläser können, da es sich bei ihnen um unterkühlte Flüssigkeits-Gemische handelt, auch als Lösungen aufgefasst werden.

Grenzfälle

Die Auflösung eines Metalls in einer Säure ist kein Lösungsvorgang im eigentlichen Sinne, da hierbei eine chemische Reaktion auftritt. Es gibt aber auch Grenzfälle, in denen eine reversible chemische Reaktion und gleichzeitig ein Lösungsvorgang stattfindet. Beispiele sind
- die Auflösung von Natrium in flüssigem Ammoniak.
- die Lösung von Kohlenstoffdioxid in Wasser, wobei sich ein Gleichgewicht mit der Bildung von Kohlensäure und deren Dissoziation ausbildet, das wieder verschwindet, wenn das Kohlenstoffdioxid die Lösung verlässt (z.B. durch Ausblasen mit einem anderen Gas).

Chemische Lösung in der Geologie

In der Geologie unterscheidet man zudem die Verwitterungsprozesse der kongruenten und inkongruenten Lösung. Von einer kongruenten Lösung spricht man bei einer gleichmäßigen und damit vollständigen Lösung des Gesteins, beispielsweise bei der Lösungsverwitterung von Halit oder Kalkstein, wobei letztere mit der Einstellung eines reversiblen Dissoziationssystems der Kohlensäure einher geht (siehe oben). Von einer inkongruenten Lösung spricht man hingegen bei einer selektiven Lösung einzelner Minerale oder Ionen aus dem Gesteinsverband, beispielsweise im Zuge der Silikatverwitterung.

Siehe auch:

- Löslichkeit
- Lösungsenthalpie
- Legierung
- Stahl Kategorie:Chemie ja:溶液

Qualitative Analyse

Die qualitative Analyse beschäftigt sich mit dem Nachweis chemischer Elemente oder Verbindungen, ohne deren Mengenverhältnisse zu berücksichtigen.

Historisch

Die erste Prüfung einer kleinen Teilmenge des Stoffgemisches erfolgt nach äußeren Eigenschaften wie
- Farbe,
- Geruch (Vorsicht!)
- Beschaffenheit und
- Kristallform, um dann werden in Vorproben
- die Löslichkeit,
- das Verhalten beim Erhitzen (Lötrohrprobe),
- die Färbung der Borax- oder Phosphorperle und
- die Flammenfärbung zu testen. Der größere Teil wird dann vollständig in Lösung gebracht, denn fast nur aus Lösungen lassen sich die für einzelne Ionen charakteristischen Färbungen und Niederschläge erzeugen. Schwer lösliche Verbindungen werden mit starken Säuren oder Salzschmelzen aufgeschlossen. Im Trennungsgang werden die gelösten Ionen mit Hilfe von Reagenzien in Gruppen aufgeteilt, innerhalb derer weitere Trennungen vorgenommen werden, um schließlich die isolierten Ionen mit Spezialreagenzien nachzuweisen (Identifizierungsreaktion). Diese Gruppen bezeichnet man als Fällungsgruppen. Die 1. Gruppe ist die "HCl - Gruppe" hier sind z.B. die Ionen von Silber und Blei leicht zu fällen/identifizieren. Die 2. Gruppe ist die saure "Schwefelwasserstoffgruppe" (H2S) Bsp.: Kupfer-; Zinn-; Cadmium-; Quecksilberionen Die 3. Gruppe ist die "Urotropin-Gruppe" Urotropin (gutes Fällungsmittel) fällt hier z.B. Eisen -; Aluminium- und Chromionen (je 3+) Die 4. Gruppe ist die "Ammoniumsulfid-Gruppe" (NH₄)2S Hier werden Cobalt -; Nickel - und Manganionen gefällt. Die 5. Gruppe ist die "Ammoniumcarbonat-Gruppe" (NH₄)2CO₃ Barium- oder Calciumionen können hier nachgewiesen werden. Die letzte 6. Gruppe ist die "lösliche-Gruppe" Hier werden Natrium -; Ammonium -; Kalium - oder Lithiumionen nicht gefällt, sondern Spektroskopisch, bzw. NH₄⁺ wird zum Beispiel mittels Kreuzprobe bestimmt.

Moderne

Heutzutage sind qualitative Schnellanalysen mit spezifisch empfindlichen Reagenzien üblich. Auch hat die Instrumentelle Analytik wesentlich mehr Gewicht, selbst für sehr einfache qualitative Fragestellungen. Schwierigere Fragestellungen etwa aus der organischen oder der Biochemie werden meist durch Chromatografie und spektroskopische Methoden gelöst.
Dennoch widmet sich die ersten Semester des Chemiestudiums intensiv dem Trennungsgang, weil er wichtige Stoffkenntnis vermittelt.

Literatur

- Küster Thiel 105. Auflage, "Rechentafeln für die Chemische Analytik", Berlin / New York 2003 Kategorie:Chemisches Analyseverfahren ja:定性分析

Statistik

Als eine Statistik bezeichnet man: # namengebend (v. lat.: status = Staat, Zustand; mit griechischer Endung) die (vergleichende) Staatsbeschreibung (eingeführt wurde der Begriff vom Göttinger Kameralisten Gottfried Achenwall um 1749); # die heute als amtliche Statistik fortlebt; # die aber auch unabhängig von der Namensgebung schon seit über 5000 Jahren als Bevölkerungsstatistik und Wirtschaftsstatistik existiert; # davon verallgemeinernd quantitative Erhebungen aller Art, wie zum Beispiel für Markt- und Meinungsforschung (siehe Quantitative Methoden ); # deren Ergebnisse, deren Darstellung u.a. die deskriptive Statistik besorgt; # die mathematische Statistik; # gewisse Zufallsvariablen, z.B. eine »Teststatistik«; # gewisse Modelle der statistischen Physik: Boltzmann-Statistik, Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Fermi-Dirac-Statistik, Bose-Einstein-Statistik

Übersicht und Einteilung

Die Statistik ist die Zusammenfassung bestimmter Methoden um Massenerscheinungen zu quantifizieren und interpretieren. Die Statistik wird in die folgenden drei Teilbereiche eingeteilt: ;deskriptive Statistik (beschreibende Statistik, empirische Statistik):mit der vorliegende Daten in geeigneter Weise beschrieben und zusammengefasst werden. Mit ihren Methoden verdichtet man quantitative Daten zu Tabellen, graphischen Darstellungen und Kennzahlen. Bei einigen Institutionen, z. B. bei der amtlichen Statistik, ist die Erstellung solcher Statistiken die Hauptaufgabe. ;induktive Statistik (schließende Statistik, mathematische Statistik):In der induktiven Statistik leitet man aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Grundlagen für die erforderlichen Schätz- und Testverfahren. ;explorative Statistik (hypothesen-generierende Statistik, Data Mining): Methodisch eine Zwischenform der beiden vorgenannten Teilbereiche, bekommt als Anwendungsform jedoch zunehmend eine eigenständige Bedeutung. Mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Test-Methoden werden mögliche Zusammenhänge (oder Unterschiede) zwischen Daten in vorhandenen Datenbeständen systematisch gesucht und zugleich in ihrer Stärke und Ergebnissicherheit zu bewerten versucht. Die so gefundenen Ergebnisse können als Hypothesen verstanden werden, die erst dann als statistisch abgesichert betrachtet werden können, nachdem sie von darauf aufbauenden, induktiven Testverfahren mit entsprechenden (prospektiven) Versuchsplanungen bestätigt wurden. Induktive Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie werden unter dem Oberbegriff Stochastik zusammengefasst.

Schritte der Statistik

Die Schaffung und Datenanalyse empirischer Daten besteht im Idealfall aus folgenden Schritten: # Versuchsplanung / Erhebungsvorbereitung (Erhebungskonzept, Fragebogenentwicklung, Stichprobenziehung), # Datengewinnung / Erhebung (von Stichproben) / Nutzung von Betriebsdaten / Erhebung von Bestands- u. Ereignismassen, # Datenaufbereitung (Datenprüfungen, Typisierungen / Merkmalszusammenfassungen), # Auswertung (Tabellierung, Modellierung, Hoch- und Fehlerrechnung, Wahrscheinlichkeit, Fehler 1. und 2. Art, Schätzen und Testen) sowie # Ergebnispräsentation (Tabellen, Grafiken, Ergebnisinterpretation, Veröffentlichungen, CD-ROMs, Statistische Datenbanken). Während sich die univariate Statistik mit der Beschreibung der Verteilung eines Untersuchungsmerkmals beschäftigt, wird in der multivariaten Statistik die gemeinsame Verteilung von mehreren Untersuchungsmerkmalen betrachtet.

Schulen und Denkrichtungen

Es wird in Lehrbüchern oft der Eindruck vermittelt es gäbe nur die eine, sich ständig weiterentwickelnde Statistik. Im Gegensatz dazu kann man verschiedene Denkschulen ausmachen, die ein Problem durchaus unterschiedlich analysieren, bewerten und numerisch berechnen:
- Kausalbeziehungen: Ronald Fisher
- Gedächtnisleistungen, ROC-Kurven: Jerzy Neyman und Karl Pearson
- Urteile aufgrund unsicherer Annahmen: Karl Pearson
- Induktion und Änderung der Meinung: Thomas Bayes

Software

Die moderne Statistik ist, unterstützt durch leistungsfähige Computer, in der Lage, mit teilweise rechenintensiven Methoden sehr große Datenmengen zu analysieren. Ganze Teilbereiche der Statistik haben ihren Einzug in die Datenanalyse neuer Software zu verdanken, zu nennen ist hier die Bayessche Statistik und deren Implementation in Markov Chain Monte Carlo Verfahren, üblicherweise abgekürzt durch MCMC-Verfahren. Im folgenden sind einige gebräuchliche statistische Softwarepakete aufgelistet:
- SAS
- S-Plus basierend auf der S Programmiersprache
- Statistiklabor
- R (GNU R) ist eine Open Source Variante der S Programmiersprache ([http://www.r-project.org/ Im Netz: The R project for statistical computing])
- SPSS
- Almo (umfangreiches deutschsprachiges Statistiksystem)
- [http://www.statsoft.de/ Statistica]
- Dataplot: frei, plattformunabhängig
- Stata
- MiniTab
- [http://www.rosuda.org/Mondrian/ Mondrian] (Software zur explorativen statistischen Datenanalyse ([http://en.wikipedia.org/wiki/Exploratory_data_analysis EDA]))
- BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) eine Open Source Software zur Analyse von komplexen statistischen Modellen mit Hilfe von MCMC-Verfahren
- [http://www.q-das.de/ qs-STAT]: Statistiksoftware für Industrielle Daten,- und [http://de.wikipedia.org/wiki/Prozessanalyse Prozessanalyse]
- XploRe
- [http://www.unesco.org/idams WinIDAMS]: kostenfrei zur Verfügung gestellt von der UNESCO.

Zitate

- „Die Statistik ist so etwas wie die Physik der Mathematik“ (Urheber unbekannt)
- „Traue keiner Statistik, die du nicht selber gefälscht hast.“ Von der Nazipropaganda im Zweiten Weltkrieg erfunden und Winston Churchill zugeschrieben.
- „There are three kinds of lies: Lies, Damned Lies and Statistics.“ (Benjamin Disraeli, häufig fälschlicherweise Mark Twain zugeschrieben, der dieses Disraeli-Zitat in seiner Autobiografie bringt.) Deutsche Übersetzung: „Es gibt drei Arten der Lüge: Lüge, verdammte Lüge und Statistiken.“
- „Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital“. (Aaron Levenstein) Deutsche Übersetzung: „Statistik ist wie ein Bikini: Sie enthüllt eine Menge, aber das Wesentliche bleibt doch verborgen.“
- „Kann man mit der Statistik auch die Statistik beweisen?“ (Urheber unbekannt)
- „Statistik ist für mich das Informationsmittel der Mündigen. Wer mit ihr umgehen kann, kann weniger leicht manipuliert werden. Der Satz "Mit Statistik kann man alles beweisen" gilt nur für die Bequemen, die keine Lust haben, genau hinzusehen.“ Elisabeth Noelle-Neumann
- „Manche benutzen die Statistik, wie der Betrunkene die Straßenlaterne: zum Festhalten, nicht zur Erleuchtung!“ (Urheber unbekannt)
- „Eine neue Statistik belegt, dass 73% aller Statistiken rein erfunden sind“ (J.J.A. Weber)

Literatur

- Bleymüller, Gehlert, Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. Verlag Franz Vahlen München 2004. ISBN 3-8006-3115-6
- Volker Oppitz/Volker Nollau: Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung, Carl Hanser Verlag 2003, 400 S., ISBN 3-446-22463-7
- Newbold, Carlson, Thorne: Statistics for Business and Economics, New Jersey 2003
- Dietrich, Schulze: "Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation", 4. Auflage, Carl Hanser Verlag, München 2003. ISBN 3-446-22077-1
- Fahrmeir, Künstler, Pigeot, Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. Springer Verlag Berlin 2002. ISBN 3-540-44000-3
- Hartung, Elpelt, Klösener: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. R.Oldenbourg Verlag München 2002. ISBN 3-486-25905-9
Empfehlenswert für Praktiker.
- Lambacher-Schweizer: Stochastik Leistungskurs, Für die Sekundarstufe II. LS Mathematik. Hrsg. v. August Schmid u. Wilhelm Schweizer. KLETT. Nachdr. 1999. ISBN 3-12-739370-9
Didaktisch gut gemacht, viele Aufgaben mit Lösungen in einem separaten Lösungsband.
- Levine, Berenson, Stephan: Statistics for Managers, New Jersey 1999
- Freedman, Pisani, Purves: Statistics 1998 (Third Edition) ISBN 0-393-97121-x
- Volker Oppitz: Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung, Gabler-Verlag 1995, 629 S., ISBN 3-409-19951-9
- Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York 1993
- Dolic, Dubravko: Statistik mit R, Oldenbourg 2004, ISBN 3-486-27537-2
- Walter Krämer: So lügt man mit Statistik, 7. überarb. Auflage, Campus Verlag, Frankfurt/New York 1997. ISBN 3-593-35689-9
- Rönz, Strohe: Lexikon Statistik, Gabler-Verlag 1994, ISBN 3-409-19952-7

Siehe auch

- Zufall, Kausalität, Korrelation, Durchschnitt, Median, Standardabweichung, Mittelwert, Wahrscheinlichkeit und Statistik, Varianz, Statistische Signifikanz, Fragebogen, Absolute Häufigkeit, Faktorenanalyse, Power, Parameter, Volkszählung, Altersverteilung, Clusteranalyse
- These, Deduktion, Induktion (Logik), Abduktion, Fehlschluss, Nullhypothese, Rhetorik, Dialektik, Fehler 1. und 2. Art, Prozentrang, Umweltstatistikgesetz
- Bundesamt für Statistik(Schweiz)
- Statistisches Bundesamt und Statistische Landesämter(Deutschland)

Weblinks

- http://www.emilea.de/index.html Multimediale, internetbasierte und interaktive Lehr- und Lernumgebung EMILe@-stat
- http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html guter Überblick der wichtigsten statistischen Verfahren (Englisch)
- http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/vorles/inf_bak/node1.html Zusammenhängender Text über die Grundlagen
- http://socr.stat.ucla.edu/ Statistics Online Computational Resources (SOCR) - Sammlung statistischer Methoden zur Online Datenanalyse u.v.m. (engl.)
- http://www.statistik-portal.de/ Statistische Ämter des Bundes und der Länder, Deutschland
- http://www.statistik.admin.ch/ Bundesamt für Statistik der Schweiz
- http://www.statistik.at Statistik Austria, Österreich
- http://www.rosuda.org/Software/ Software zur interaktiven statistischen Datenanalyse
- http://www.klein-singen.de/statistik/ Die Kunst mit Statistik zu lügen: Mit zahlreichen Beispielen aus Politik, Gesellschaft, Medizin und Wissenschaft wird das Verständnis des Lesers geschärft, zukünftig skeptischer Zahlenspielereien von (falschen) Experten zu begegnen. Kategorie:Statistik Kategorie:Empirische Wirtschaftsforschung ja:統計学 ms:Statistik simple:Statistics th:สถิติศาสตร์

Datenanalyse

Die Auswertung oder (Daten-)analyse stellt den vierten Prozess einer Erhebung (Empirie) dar, der nach der Datenaufbereitung abläuft. Wesentliches Ziel der Auswertung ist die Bereitstellung statistischer Ergebnisse für Veröffentlichungen, statistische Datenbanken, CD-ROMs oder (anonymisierte) Mikrodaten. Die Auswertung setzt auswertbare, d.h. (teil-)plausible Einzeldaten voraus und beginnt meistens mit der Erstellung von Tabellen (Tabellierung). Bei Stichprobenerhebungen gehört zur Auswertung auch die Hochrechnung, d.h. der Schluss von einer Stichprobe auf eine Grund