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Analysis

Analysis

Die Analysis (von griechisch ανάλυσις = Auflösung, vom altgriechischen Verb ἀναλύειν, analyein = auflösen; im heutigen Griechisch in der volkstümlicheren Form ανάλυση) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen. Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt. Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Differentialrechnung

Bei einer Geraden : g(x) = mx + c heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x_0, y_0) und (x_1, y_1) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch : m = \frac . Bei Funktionen wie z.B. f(x) = x^2 kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da die Kurve eben keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt (x_0, f(x_0)) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x_0 berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle x_1 ganz nahe bei x_0 und legt eine Gerade durch die Punkte (x_0, f(x_0)) und (x_1, f(x_1)), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s.o.) : m = \frac . Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x_1 immer weiter an x_0 annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben : f'(x_0) = \lim_\frac und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in x_0. Der Ausdruck \lim_ bedeutet, dass x immer weiter an x_0 angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und x_0 unendlich klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen x_0“. Die Bezeichnung \lim steht für Limes. :f^\prime (x_0) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x_0, wenn der Grenzwert f^\prime (x_0) existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über. : \int_^ f(x)\, dx := \lim_ \frac \sum_^ f\left(a+i \frac\right) Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird. In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander. : \left(\int f(x) dx\right)= \int\left(f(x)\right)dx = f(x) Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt nicht die grundlegenden Konzepte, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

Weitere Gebiete der Analysis


- Funktionen mit komplexen Veränderlichen (Komplexe Analysis oder auch Funktionentheorie)
- Differentialgleichungen
- Variationsprobleme
- Unendlichdimensionale Funktionenräume (Funktionalanalysis)
- Vektoranalysis
- harmonische Analysis
- Nichtstandardanalysis

Literatur


- Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
- Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
- Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
- Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Weblinks

! ar : تحليل رياضي ja:解析学

Griechische Sprache

Griechisch (griechisch ελληνικά) ist eine indogermanische Sprache, die einen eigenen Zweig dieser Sprachfamilie darstellt. Eine nähere Verwandtschaft scheint nur zur antiken makedonischen Sprache bestanden zu haben. Griechisch wird von ca. 16 Millionen Menschen als Muttersprache gesprochen, von denen ca. 10,5 Millionen in Griechenland leben, wo es Amtssprache ist. Die anderen Muttersprachler sind auf 35 andere Staaten verteilt. Auf Zypern ist Griechisch ebenfalls Amtssprache, offiziell neben dem Türkischen. Außerdem ist in einigen südalbanischen und süditalienischen Gemeinden, in denen Angehörige der griechischen Minderheit leben, das Griechische als lokale Amts- und Schulsprache zugelassen. Siehe: Griko in Italien Eine Vielzahl von altgriechischen Wörtern werden darüber hinaus auch in diversen Fachsprachen verwendet und haben Eingang in viele moderne Sprachen gefunden. Die Sprachcodes nach ISO 639 für Neugriechisch (ab 1453) sind el bzw. ell oder gre und für Altgriechisch (bis 1453) grc.

Geschichte

1453 Die ältesten schriftlichen Zeugnisse der Sprache sind in Linearschrift B geschrieben. Sie begegnen ab dem 14. Jahrhundert v. Chr. - also in mykenischer Zeit - als sehr kurze Texte auf Transportamphoren, wo sie den Inhalt bezeichnen. Längere Texte auf zahlreichen Tontäfelchen, ebenfalls rein praktischer Natur, wurden in den Archiven einiger mykenischer Paläste gefunden. Sie stammen aus dem Beginn des 12. Jahrhundert v. Chr.. Nach Zerstörung der meisten bisher bekannten mykenischen Paläste im 12. Jh. ging die Linearschrift B und damit die Schriftlichkeit der ägäischen Welt nach herrschender Meinung verloren. Zumindest gibt es bisher keine Schriftfunde aus der Zeit der dunklen Jahrhunderte. Gegen Ende der dunklen Jahrhunderte, vermutlich um 800 v.Chr., übernehmen die Griechen das phönizische Schriftsystem, das sie im Grunde auch heute noch benutzen. Eines der bekanntesten frühen Beispiele der neuen alphabetischen Schrift zeigt der sog. Nestor-Becher. In klassischer Zeit ist eine Vielzahl von Dialekten feststellbar, zu den wichtigsten zählen das (noch heute in den Schulen als Altgriechisch gelehrte) Attische, das Ionische, das Dorisch-Nordwestgriechische, das Aeolische und das Arkadisch-Kyprische. Die am Anfang der schriftlichen Überlieferung stehenden homerischen Epen, die Ilias und die Odyssee, sind zum Beispiel in einer künstlerischen Sprachform verfasst, die Worte aus verschiedenen Dialekten benutzte, oft nach den Anforderungen des Metrums, im ganzen jedoch Ionisch mit äolischer Prägung ist. Die politische, wirtschaftliche und kulturelle Vormachtstellung Athens im 5. Jahrhundert v. Chr. machte den dort gesprochenen attischen Dialekt zur Grundlage einer überregionalen Gemeinsprache (Koiné, griechisch κοινή, die Gemeinsame oder Allgemeine), die durch die Eroberungen Alexanders des Großen im 4. Jahrhundert v. Chr. zur Weltsprache und lingua franca aufstieg. Auch im Römischen Reich blieb Griechisch neben Latein Amtssprache, dies auch aufgrund der kulturellen Abhängigkeit der Römer von den Griechen. In der Osthälfte des Reiches war Griechisch bereits seit dem Hellenismus die dominierende Sprache. Der Einfluss fremder Sprachen und der fortbestehenden Dialekte führte immer wieder, insbesondere im 2. Jahrhundert, zu Bemühungen um eine Reinigung der griechischen Sprache unter Rückgriff auf das klassische Attisch. Eine solche bereinigte Form des Altgriechischen wurde nach der Teilung des Römischen Reiches (395) zur Amts- und Literatursprache des oströmischen Reiches, das nach der Abschaffung der lateinischen Amtssprache um 630 endgültig vom römischen zum byzantinischen Reich wurde. Spätestens zu diesem Zeitpunkt versiegt die Produktion literarischer Werke auf Altgriechisch; die Sprache des byzantinischen Reiches weist da schon deutliche Unterschiede in Grammatik und Aussprache auf. Nach der arabischen Eroberung Syriens und Ägyptens blieb Griechisch dort zunächst noch für einige Jahrzehnte Amtssprache, bevor es diese Funktion ab etwa 700 an das Arabische verliert. Während der Besetzung Griechenlands durch das osmanische Reich war der Unterricht in griechischer Sprache offiziell verboten. Jedoch lebte sie im Alltag der Griechen (und vielfach von Priestern heimlich gelehrt) fort, veränderte sich aber aufgrund geringer Schriftkenntnis und mangelnder Gelehrsamkeit relativ stark. Nach der modernen Staatsgründung wurde die so genannte Katharévousa (griechisch καθαρεύουσα, Reinsprache; die Grundlagen wurden von Korais geschaffen) offizielle Unterrichts- und Amtssprache, eine „künstlich“ geschaffene Standardsprache, die den Wortschatz der am klassischen Attisch orientierten Koiné abermals künstlich konservierte, jedoch innerhalb weitgehend neugriechisch geprägter Aussprache- und Grammatikstrukturen. Erst 1976 wurde die Volkssprache (Dimotikí, griechisch δημοτική) endgültig zur Sprache der staatlichen Verwaltung und der Wissenschaft; allerdings sind viele Katharévousa-Worte im Laufe der Zeit wieder in die Dimotikí zurück übernommen worden. Im Verlauf der Jahrtausende hat sich die griechische Sprache vielfach in der Aussprache geändert, die Orthographie blieb jedoch dank vielerlei Bemühungen um eine Reinhaltung der Sprache weitgehend konstant. Die in hellenistischer Zeit in die griechische Schriftsprache eingeführten Akzente und Symbole für Hauchlaute wurden noch bis vor kurzem verwendet. Durch Erlass Nr. 297 des griechischen Präsidenten vom 29. April 1982 wurden der Akzent Gravis, der Akzent Zirkumflex sowie die Hauchzeichen Spiritus asper und Spiritus lenis abgeschafft. Es gibt seitdem in der griechischen Schriftsprache nur noch den Akzent Akut, der die betonte Silbe anzeigt. Die griechische Sprache und Schrift hatte auf die Entwicklung Europas immensen Einfluss: Sowohl das lateinische als auch das kyrillische Alphabet wurde auf der Basis des griechischen Alphabets entwickelt. Die Rückbesinnung auf das im Westen fast vergessene Griechisch, ausgelöst unter anderem durch die Flucht vieler Byzantiner in den Westen nach dem Fall Konstantinopels 1453, war eine der Hauptquellen der Renaissance und des Humanismus (siehe hierzu auch: Philhellenismus). Noch heute werden wissenschaftliche Fachbegriffe gerne unter Rückgriff auf griechische (und lateinische) Wörter geprägt. Das Neue Testament wurde ursprünglich in hellenistischem Griechisch geschrieben und das erste Mal von Erasmus von Rotterdam gedruckt.

Grammatik

Altgriechisch

Die ersten Grammatiken des Abendlandes wurden zu hellenistischer Zeit in der philologischen Schule von Alexandria abgefasst. Aristarch von Samotrake schrieb eine tékhne grammatiké des Griechischen. Die vermutlich erste autonome grammatische Schrift ist die tékhne grammatiké des Dionysios Thrax (2. Jh. v.Ch.), welche die Phonologie und Morphologie einschließlich der Wortarten umfasst. Die Syntax ist Gegenstand eines sehr systematischen Werks des zweiten bedeutenden griechischen Grammatikers, des Apollonios Dyskolos (2. Jh. n.Ch.). Angeblich im Jahre 169/8 "importierten" die Römer die griechische Grammatik und adaptierten sie. Die Grammatik des Altgriechischen ist auf den ersten Blick recht ähnlich zum Lateinischen, was Partizipialkonstruktionen und sonstige grammatische Phänomene (AcI etc.) anbelangt, so dass Lateinkenntnisse beim Erlernen des Altgriechischen sehr hilfreich sind – und umgekehrt. Gutes Verständnis der deutschen Grammatik hilft allerdings auch; in vielen Fällen ist das Altgriechische dem Deutschen strukturell ähnlicher als dem Lateinischen, beispielsweise sind die bestimmten Artikel im Griechischen vorhanden, während sie im Lateinischen fehlen. Es gibt auch Fälle, in denen die Ähnlichkeit mit dem Lateinischen eher oberflächlicher Art ist und mehr Verwirrung stiftet als hilft – beispielsweise werden die Zeitformen der Verben im Griechischen oft anders verwendet als im Lateinischen. Im Westen und auch in diesem Artikel werden gewöhnlich lateinische Begriffe (wie Substantiv, Dativ, Aktiv, Person … ) zur Bezeichnung von altgriechischen grammatischen und semantischen Kategorien verwendet, die direkte Übersetzungen der griechischen Definitionen darstellen. In Griechenland werden dagegen bis heute die griechischen Originalbegriffe aus der tékhne grammatiké des Dionysios Thrax verwendet.

Nominale Wörter

Hierzu zählen die Wortarten Substantiv, Adjektiv und Pronomen, die alle dekliniert werden. Auch Partizipien, Verbaladjektive und Infinitive werden dekliniert, sie gelten aber als Zwischenformen (sogenannte Nominalformen des Verbs). Hinsichtlich der Deklination ist folgendes zu benennen:
Numeri

- Singular
- Plural
- Dual (als Schwundform)
Genera

- (allgemeine) Regeln:
  - Maskulinum: bei Bezeichnungen für männliche Wesen, Winde, Flüsse und Monate
  - Femininum: bei Bezeichnungen für weibliche Wesen, Länder, Inseln und Städte
  - Neutrum: dient unter anderem zur Verkleinerung oder Verächtlichmachung von Wörtern männlichen und weiblichen Geschlechts.
- Für den sonstigen Gebrauch lassen sich keine eindeutigen Regeln aufstellen.
- Besonderheit des Neutrums: Bei Neutrum-Subjekten steht das Verb, auch wenn das Subjekt im Plural steht, in der 3. Person Singular. Diese Besonderheit besteht deswegen, weil das Griechische im Fall des Neutrums einen echten Plural nicht gebildet hat. Der Plural des Neutrums ist eigentlich ein aus dem Indogermanischen ererbter "kollektiver Singular", d.h. ein Sammelbegriff, der formal ein Singular ist, von der Funktion her aber einem Plural entspricht (wie im Deutschen: der Busch, das Gebüsch). Ferner haben im Neutrum – wie in allen indogermanischen Sprachen – Akkusativ und Nominativ identische Formen. Im Griechischen tritt noch die Form des Vokativs den beiden anderen Kasus als identisch hinzu.
Kasussystem
Von den acht Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen fünf erhalten: Nominativ, Akkusativ, Genitiv, Dativ und Vokativ. Die Funktionen der nicht erhaltenen Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen auf den Dativ und den Genitiv verteilt. Die Aufteilung ähnelt der der deutschen Sprache. Grundfunktionen der Kasus:
- Akkusativ
  - echter Akkusativ (direktes Objekt)
  - adverbial: Lativ (Richtung, Ausdehnung, Dauer)
- Genitiv
  - echter Genitiv (Bereich)
  - Separativ (Herkunft)
- Dativ
  - echter Dativ (indirektes Objekt)
  - Soziativ (Gemeinschaft)
  - Instrumental (Mittel)
  - Lokativ (Ort, Zeit)

Verben

Tempussystem
Es gibt im Altgriechischen vier Tempusstämme: Präsensstamm, Aoriststamm, Perfektstamm, Futurstamm; wovon die ersten drei ein System bilden. Das Altgriechische besitzt aber kein ausgebildetes Tempussystem. Die Tempusstämme drücken Aspekte aus; – die subjektive Betrachtungsweise, das heißt die Art, wie der Sprechende den Verbalinhalt auffasst. Deswegen ist der Begriff Tempusstamm genaugenommen nicht richtig; besser zu sagen wäre Aspektstamm. Der Aspekt des Präsensstamms ist durativ (linear, iterativ oder konativ). Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt der Verlauf oder das Andauern einer Handlung ausgedrückt. Beispiele:
- νοσειν = (krank sein = ) krank darniederliegen
- (απο)θνησκειν = sterben ( = im Sterben liegen) Der Aspekt des Aoriststamms ist punktuell. Das bedeutet, es wird der bloße Vollzug einer Handlung vermeldet. (Die Bezeichnung punktuell wird benutzt, um den Gegensatz zum linearen Präsensstamm auszudrücken. Der Aoriststamm ist die Normalform und benennt eine Handlung oder ein Ereignis, ohne ausdrücken zu wollen, ob diese Handlung in Wirklichkeit punktuell oder linear war/ist.) Bei diesem Aspekt wird in der Sprachpraxis gern ein bestimmter Punkt des Verbalbegriffs ins Auge gefasst, nämlich der Abschluss (effektiv) oder der Beginn (ingressiv) einer Handlung. Beispiele:
- ingressiv: νοσησαι = krank werden oder erkranken
- effektiv: (απο)θανειν = sterben (als Moment des Dahinscheidens) Der Aspekt des Perfektstamms ist resultativ. Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt ein (erreichter) Zustand oder einfach ohne jede nähere Bestimmung die Qualität einer Sache ausgedrückt. Beispiele:
- τεθνηκεναι (τεθναναι) = (gestorben und nun) tot sein
- πεποιθεναι = vertrauen Mit der Handhabung dieser drei Aspekte stellt der Griechischsprechende aber die zeitlichen Bezüge her, die von den Aspekten selbst nicht ausgedrückt werden. Die Aspekte gelten nun generell, während es eine direkt zeitliche Bedeutung nur im Indikativ gibt (bis auf das Futur. siehe unten). Die Vergangenheit wird mit Hilfe der Nebentempora, die nur im Indikativ auftauchen, gebildet. Das sind im Präsensstamm das Imperfekt, im Perfektstamm das Plusquamperfekt und im Aoriststamm der Aorist. (Der Aoriststamm ist der älteste Tempusstamm und hat ein Haupttempus im Indikativ nie ausgebildet.) Der vierte Tempusstamm des Altgriechischen, der Futurstamm, ist eine jüngere Entwicklung und hat in der Tat in allen Modi zeitliche Bedeutung. Übersicht über die Tempusformen im Indikativ:
Modussystem
Es gibt im Altgriechischen vier Modi: Indikativ, Optativ, Konjunktiv, Imperativ. Die Funktionen, die diese Formen syntaktisch erfüllen, sind sehr vielfältig. Hier kann nur eine grundsätzliche Bestimmung ihrer Bedeutung vorgenommen werden. Der Modus bringt die geistige Einstellung des Sprechenden gegenüber dem Verbalinhalt zu Ausdruck. Mit dem Indikativ drückt der Sprecher aus, dass ihm ein Vorgang oder Zustand als wirklich (real) erscheint. In den anderen Modi drückt der Sprecher aus, dass ihm der Vorgang oder Zustand nur als vorgestellt gilt. Der Imperativ drückt einen Befehl aus. Der Konjunktiv drückt einen Willen (Voluntativ) oder eine Erwartung (Prospektiv) aus. (Er hat also leicht futurische Bedeutung, was umgekehrt für das Futur in Bezug auf den Konjunktiv auch gilt). Der Optativ drückt einen Wunsch (Kupitiv) oder eine Möglichkeit (Potentialis) aus.
Genera Verbi (eigentlich und für das Griechische besser: Diathese)
Von den drei Genera Verbi sind zwei (Aktiv und Medium) aus dem Indogermanischen geerbt. Das Passiv ist eine jüngere Entwicklung. Das Aktiv drückt einfach eine Tätigkeit aus. Das Medium drückt aus, dass das Subjekt an der Handlung beteiligt ist, oder an ihr interessiert ist, dass also eine nähere Beziehung zwischen Subjekt und Handlung besteht (transitives Medium). Ferner kann es ausdrücken, dass das Subjekt von seiner eigenen Handlung betroffen ist (intransitives Medium). Der Begriff Medium soll in etwa ausdrücken, dass diese Form zwischen Aktiv und Passiv stehe. Das ist jedoch weder sprachgeschichtlich, noch morphologisch richtig. Das Passiv ist im Griechischen der Grenzfall des Mediums, denn: Das Passiv drückt die Wirkung einer Handlung auf das Subjekt aus, die nicht von ihm ausgeht. Insofern die Handlung nur noch auf das Subjekt wirkt, ohne von ihm auszugehen, bildet es den Grenzfall des Mediums. (Außerhalb des Futur- und Aoriststamms hat das Passiv keine eigenständige Form. Formal übernimmt dort das Medium neben der eigenen Funktion auch die des Passivs, was nur aus dem syntaktischen Zusammenhang, oder bei genauer Kenntnis der Beschaffenheit des entsprechenden Verbums zu unterscheiden ist.) Beispiele: Aktiv: er löst (etwas) transitives Medium: er löst (etwas) für sich intransitives Medium: er löst sich, er lässt sich lösen Passiv: er wird gelöst (von jdm.)
Numeri

- Singular
- Plural
- Dual (als Schwundform)
Personen
Erste Person (ich / wir), zweite Person (du / ihr), dritte Person (er, sie, es, Substantiv im Singular / sie, Substantiv im Plural). Die Personalpronomen des Nominativ werden wie in vielen anderen indogermanischen Sprachen meist ausgelassen, wenn sie nicht besonders betont werden sollen. Es muss also nicht zwangsläufig ein das Subjekt ausdrücklich nennendes Bezugswort (Pronomen oder Substantiv) beim Verb stehen – die Endung reicht aus, um die Person und damit das Subjekt zu identifizieren.

Neugriechisch (Dimotiki)

Die neugriechische Sprache hat einen Großteil der altgriechischen Grammatik vereinfacht, ist aber immer noch eine stark flektierende Sprache. Sie ist eine der wenigen indogermanischen Sprachen, die eine synthetische (also nicht mit Hilfsverben konstruierte) Diathese behalten hat. Der Dativ ist bis auf wenige Formen wie εν τάξει (en táxei //) ("in Ordnung") verloren gegangen und wird meist durch die Konstruktion eis (eigentl. in... hinein) + Akkusativ ersetzt. Andere wichtige Änderungen der Grammatik sind der Verlust des Optativs (wird durch den Konjunktiv ersetzt), des Infinitivs (wird durch Nebensätze ersetzt "Ich will kaufen" -> "Ich will, dass ich kaufe") und des Duals (wird durch den Plural ersetzt), die Verkleinerung der Anzahl von Deklinationen und der verschiedenen Formen in jeder Deklinaton, der neue Modalpartikel θα (aus θέλω να ("ich will, dass...") > θε' να > θα) für das Futur und Konditional, die Einführung von Hilfsverben, die Reduzierung der Partizipien auf zwei, ein aktives und ein passives, die Erweiterung des Futurs auf die Aspektunterscheidung zwischen Präsens/Imperfekt und Aorist, der Verlust der dritten Person Imperativ, außer in Archaismen wie ζήτω! ('Lang lebe!'); neue Pronomen für die 2. Person Plural, da die alten wegen der Lautveränderung akustisch nicht mehr von denen der 1. Person Plural zu unterscheiden waren; und der Vereinfachung des Systems der Präfixe, wie bei der Augmentation und Reduplikation. Das Phonemsystem der neugriechischen Sprache: Vokale geschlossen halbgeschlossen offen Alle Vokale werden kurz ausgesprochen. laut IPA Konsonanten p t k b d g v δ z γ f θ s χ m n l r

Siehe auch


- Griechisches Alphabet
- Liste griechischer Präfixe
- Liste griechischer Suffixe
- griechische Präpositionen
- Liste griechischer Magischer Quadrate
- Namenforschung
- Griechische Zahlen
- griechische Zahlwörter
- Griechische Phrasen und Redewendungen

Literatur


- Geschichte:
  - Francisco R. Adrados: Geschichte der griechischen Sprache von den Anfängen bis heute. Tübingen/Basel 2002
  - Hans Eideneier: Von Rhapsodie zu Rap. Aspekte der griechischen Sprachgeschichte von Homer bis heute. Tübingen 1999
- etymologische Wörterbücher (altgriechisch):
  - Pierre Chantraine: Dictionnaire étymologique de la langue grecque : histoire des mots. 4 Bände. Paris 1968-80 (Neuauflage 1999)
  - Hjalmar Frisk: Griechisches etymologisches Wörterbuch. 3 Bände. Heidelberg 1973
  - Alois Vanicek: Griechisch-lateinisches etymologisches Wörterbuch. Leipzig 1877 (Nachdruck 1972)
- Wörterbücher (altgriechisch):
  - Wilhelm Gemoll: Griechisch–Deutsches Schul- und Handwörterbuch bei Oldenburg Schulbuchverlag. ISBN 3-486-13401-9
  - Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache in 4 Bänden. Braunschweig 1842 ff. (3. Aufl. 1880; Nachdruck 1954)
- Grammatiken (altgriechisch):
  - Eduard Bornemann (u. Mitw. v. Ernst Risch): Griechische Grammatik. Frankfurt a.M. 1978
  - Adolf Kaegi: Kurzgefasste griechische Schulgrammatik. Berlin 1884 (seither ständig nachgedruckt), ISBN 3-615-70100-3
- Historische Grammatik:
  - Helmut Rix: Historische Grammatik des Griechischen. Laut- und Formlehre. Darmstadt 1992

Weblinks


- [http://www.geocities.com/kurogr/ Wörterbuch Mykenisches Griechisch - klassisches Altgriechisch - Englisch (PDF)]
- [http://www.fh-augsburg.de/~harsch/graeca/Auctores/g_alpha.html griechische Texte in der Bibliotheca Augustana]
- [http://info.uibk.ac.at/c/c6/c604/pdf/Hajnal/Griech.Dial.pdf Die Vorgeschichte der griechischen Dialekte] - Ein Aufsatz über Entstehen und Geschichte der altgriechischen Dialekte.
- [http://kypros.org/LearnGreek/ Online-Kurs vom zypriotischen Rundfunk CyBC, 105 Lektionen à 30 Min., engl., Real Audio]
- [http://www.kreienbuehl.ch/lat/ Latein und Altgriechisch Site]
- [http://www.chairete.de/ Materialen zum Altgriechischen, Autoren]
- [http://www.altesprachen.de/heureka/heureka.htm Altesprachen.de]
- [http://www.geocities.com/Athens/Agora/6594/inhalt.html Altgriechisch] (Ziemlich umfangreicher Einstiegskurs)
- [http://www.combib.de/infoseiten/griechisch/griechisch.html Aussprachehilfe zum neutestamentlichen Griechisch] (Deutsche Schulaussprache, nicht Originalaussprache!)
- [http://www.gottwein.de/grueb/gr000.htm Altgriechischer Online-Sprachkurs]
- [http://www.gottwein.de/ Navicula Bacchi] (exzellente Seite rund um die Klassische Philologie mit sehr vielen Unterrichtsmaterialien)
- [http://www.archiv-vegelahn.de/nachschlagwerke_griechisch.html Bibliographie - Griechisch]
- Kategorie:Indogermanisch Kategorie:Einzelsprache als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Teilgebiete der Mathematik

Dieser Artikel ergänzt den Hauptartikel Mathematik und dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben (siehe auch Höhere Mathematik). Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge Zusammenhang zwischen ihren Teilgebieten, der sich in vielen, häufig auch überraschenden Querverbindungen zeigt und der jeder Systematik Grenzen setzt. Bibliotheken und Zeitschriften benutzen verschiedene Klassifikationen mathematischer Themen; am weitesten verbreitet ist die Mathematics Subject Classification.

Die Kerngebiete der Mathematik im Überblick

Das folgende orientiert sich im groben Zügen an Bourbakis Éléments de Mathématique.

Logik und Mengenlehre

Die Mathematik hat natürlich immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste. Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen« (Bernard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen. Als sich die »naive« Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z.B. arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander. Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u.a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme. Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.

Algebra

In der modernen Algebra, wie sie seit den 1920er Jahren gelehrt wird, entwickelt man ausgehend von einer Menge mit nur einer »inneren Operation« (Magma (Mathematik) genannt) nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale. Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. Im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d.h. Moduln über Körpern, meistens R oder C. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Die multilineare Algebra dehnt die Untersuchung auf das Tensorprodukt und verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie. Die Galoistheorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körperweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie). :Weitere Gebiete: Gruppentheorie, Kommutative Algebra

Topologie

Die Topologie ist ein großes und grundlegendes Gebiet, mit vielen Anwendungen. Anstöße kamen aus der Analysis (Reelle Zahlen), der frühen Algebraischen Topologie, der Funktionentheorie (Riemannsche Flächen). Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind »Zusammenhang«, »Stetigkeit« und »Grenzwert«. Weitere wichtige Themen sind »Trennungseigenschaften« und »Kompaktheit«. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man Cauchy-Filter definieren und damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes. Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte (sh. oben), die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind, bezüglich derer die Verknüpfungen (d.h. bei Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig sind. Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen: sie werden durch Vervollständigung der rationalen Zahlen Q bezüglich der Topologie, die vom Standardbetrag herkommt, konstruiert. Man kann jedoch auch für eine fest gewählte Primzahl p den sogenannten p-adischen Betrag einführen, dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper der p-adischen Zahlen Q_p. Für diesen interessiert sich beispielsweise die Zahlentheorie. Metrische Räume sind uniforme Räume, deren Topologie von einer Metrik abgeleitet ist und damit besonders übersichtlich und auch anschaulich. Daneben kennt man viele andere Klassen von Räumen. Für Anwendungen in Analysis und Funktionalanalysis sind topologische Vektorräume grundlegend. Besonders interessant sind lokalkonvexe Räume (und ihre Dualräume), für die es eine schöne Theorie mit wichtigen Resultaten gibt. :Weitere Gebiete: Algebraische Topologie

Analysis

Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen (und darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18. Jahrhunderts und ist es immer noch. Im Mittelpunkt der Analysis steht die Infinitesimalrechnung: Die Differentialrechnung beschreibt mit Hilfe der Ableitung eine Funktion »im Kleinen«; Integralrechnung und die Theorie der Differentialgleichungen ermöglichen es umgekehrt, aus der Ableitung auf die Funktion zu schließen. Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt. Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weitreichende Folgen hat. Solche Funktionen sind immer analytisch, d.h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts. Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, »lokal« oder »im kleinen« durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als Hausdorff-Räume zusammen mit einen Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man »Analysis auf Mannigfaltigkeiten« betreiben. Heute liegt der Cartansche Differentialformenkalkül der Übertragung analytische Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe »intrinsisch«, das heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht immer einfach ist und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von Stokes genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis (Satz von Barrow) verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie (vgl. de-Rham-Cohomologie und Differentialtopologie); mit zusätzlichen Strukturen sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differentialgeometrie. Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und Differentialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und von deren Abbildungen Operatoren. Die ersten Beispiele solcher Räume waren die Hilbert- und Banachräume. Sie erwiesen sich als der Untersuchung mit algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren Ursprung. :Weitere Gebiete: gewöhnliche Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Lie-Gruppen

Weitere Gebiete im alphabetischen Überblick

Algebraische Geometrie

Ein aus dem Studium der Kegelschnitte entstandenes und noch sehr aktives Gebiet mit engsten Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie ist die algebraische Geometrie. Gegenstand der älteren Theorie sind bis etwa 1950 algebraische Varietäten, d.h. Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen im projektiven (komplexen) Raum, inzwischen fand eine starke Verallgemeinerung der Fragestellungen und Methoden statt.

Algebraische Topologie und Differentialtopologie

Die algebraische Topologie entstand aus dem Problem der Klassifikation topologischer Räume. Die zugrundeliegenden Fragestellungen waren dabei häufig ganz konkret: Freizeitgestaltung (»Königsberger Brückenproblem«, Leonard Euler), elektrische Netzwerke, das Verhalten von analytischen Funktionen und Differentialgleichungen im Großen (Riemann, Poincaré). Wichtig wurde der Vorschlag Emmy Noethers, an Stelle von numerischen Invarianten (Dimension, Betti-Zahlen) die zugrundeliegenden algebraischen Objekte zu studieren. Das inzwischen sehr umfangreiche Gebiet kann man zugespitzt als die Untersuchung von Funktoren von topologischen in algebraische Kategorien beschreiben. Die Differentialtopologie ist die Topologie der (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten. Nun sieht eine Mannigfaltigkeit lokal überall wie der Modellraum aus; um sie überhaupt untersuchen zu können, führt man zusätzliche Strukturen ein, die aber nur instrumentelles Interessse haben.

Differentialgeometrie

Diskrete Mathematik

Kombinatorik -- Zahlentheorie -- Kodierungstheorie -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie

Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis beschäftigt sich mit dem Studium von unendlichdimensionalen Banach- und Hilbert-Räumen sowie Eigenschaften von Operatoren auf diesen Vektorräumen. Die Funktionalanalysis hat mit den Operatoren einen wichtigen Beitrag bei der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik geleistet.

Geometrie

Historisch Die euklidische Geometrie war das erste Beispiel einer axiomatischen Theorie, wenn es auch bis Hilbert dauern sollte, um diese Axiomatisierung abzuschließen. Nachdem Descartes das Programm aufgestellt hatte, ihre Probleme zu algebraisieren, fand sie neues Interesse und entwickelte sich zur algebraischen Geometrie. Im 19. Jahrhundert wurden nichteuklidische und Differentialgeometrie entwickelt. Ein Großteil der alten Geometrie wurde zur Algebra oder Topologie.

Gruppentheorie

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z. B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Gesetze für Gruppen).

Kommutative Algebra

Komplexe Analysis

Während die Untersuchung von reellen Funktionen mehrerer Veränderlicher kein großes Problem darstellt, ist es im komplexen Fall ganz anders. Dementsprechend entwickelte sich die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher oder komplexe Analysis, wie man heute sagt, nur sehr langsam. Erst seit den 1940er Jahren hat sich diese Gebiet entfaltet, vor allem durch Beiträge der Schulen von Cartan und Behnke in Paris und Münster.

Lie-Gruppen

Lie-Gruppen beschreiben die typischen Symmetrien in der Geometrie und der Physik. Im Gegensatz zu "nackten" Gruppen tragen sie eine topologische Struktur (genauer: sie sind eine Mannigfaltigkeit) und ermöglichen es kontinuierliche Transformationen zu beschreiben, z.B. bilden die Rotationen oder die Translationen eine solche Gruppe.

Numerische Mathematik

Die numerische Mathematik konstruiert und analysiert Algorithmen zur Lösung von kontinuierlichen Problemen der Mathematik. Waren die Algorithmen ursprünglich zur Rechnung per Hand gedacht, so wird heutzutage der Computer eingesetzt. Wichtige Hilfsmittel sind dabei Approximationstheorie, Lineare Algebra und Funktionalanalysis. Es spielen vor allem Fragen der Effizienz und Genauigkeit eine Rolle, ferner müssen die auftretenden Fehler bei der Rechnung berücksichtigt werden.

Philosophie der Mathematik

Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt die axiomatischen Systeme.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In Anfängen in der Antike vorhanden, hat sich dieses Gebiet zunächst und lange Zeit aus der Versicherungsmathematik, v.a. auch dem Spezialfall der Theorie des Glücksspiels gespeist. Man unterscheidet:
- Wahrscheinlichkeitstheorie i.e.S. (Stochastik) als Theorie stochastischer Experimente. Ziel ist es, zu einem gegebenen Experiment die Verteilung der Zufallsvariablen zu bestimmen.
- darauf aufbauend die mathematische Statistik, die, bei unvollkommener Kenntnis des Experimentes, aus gewissen Ergebnissen (einer Stichprobe) auf die zugrundeliegende Verteilung schließen will. Zwei Fragen stehen im Mittelpunkt:
  - Bestimmung von Parametern (Schätztheorie)
  - Klassifikation von Fällen (Entscheidungstheorie) :Dabei werden diese Aufgaben als Optimierungsprobleme gestellt, was für die Statistik charakteristisch ist. Die moderne Theorie ist seit den Arbeiten Andrei Kolmogorows eine wichtige Anwendung der Maßtheorie. :Weitere Gebiete: Ergodentheorie, statistische Mechanik, Informationstheorie, Operations Research

Zahlentheorie

Ein altes, schon in der Antike blühendes Fach, dessen Ausgangspunkt die überraschenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden (auch Arithmetik genannt). Gefragt wird zunächst nach Teilbarkeit und Primalität. Auch viele mathematische Spiele gehören hierher. Viele Sätze der Zahlentheorie sind einfach zu formulieren, aber schwer zu beweisen. In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß' Disquisitiones Arithmeticae bilden 1801 einen Höhepunkt und regen eine intensive Forschung an. Heute haben sich, entsprechend den benutzten Mitteln, zur elementaren die analytische, algebraische und geometrische Zahlentheorie gesellt. Lange galt die Zahlentheorie als (praktisch) absolut nutzlos, bis sie mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses rückte. Kategorie:Mathematik

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Isaac Newton

, 1702)]] Sir Isaac Newton [] (
- 4. Januar 1643 in Woolsthorpe-by-Colsterworth in Lincolnshire, † 31. März 1727 in London nach dem Gregorianischen Kalender; jedoch
- 25. Dezember 1642, † 20. März 1727 nach dem damals in England noch geltenden Julianischen Kalender) war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist und Philosoph. Außerdem beschäftigte er sich lange auf den Gebieten der Alchemie und Theologie. In der Sprache seiner Zeit, die zwischen Physik und Philosophie noch nicht scharf trennte, war Newton Philosoph.
Sir Isaac Newton ist der Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (veröffentlicht am 5. Juli 1687), in der er die universelle Gravitation und die Bewegungsgesetze beschrieb und damit den Grundstein für die klassische Mechanik legte. Newton ist ebenso einer der Begründer der Differenzialrechnung (einem Teilgebiet der Infinitesimalrechnung), die er fast zeitgleich mit Gottfried Wilhelm Leibniz, aber unabhängig von diesem und ohne Zusammenarbeit mit Leibniz entwickelte. Während Newton vom physikalischen Prinzip der Momentangeschwindigkeit ausging, versuchte Leibniz eine mathematische Beschreibung des geometrischen Tangentenproblems zu finden.
Aufgrund seiner Leistungen, vor allem auf den Gebieten der Physik und Mathematik, gilt Sir Isaac Newton als einer der größten Wissenschaftler aller Zeiten. Auch die Principia Mathematica wird als eines der wichtigsten wissenschaftlichen Werke eingestuft.

Leben und Werk

Tangentenproblems Newtons Vater, ein Landwirt, starb vor der Geburt Newtons. 1646 heiratete seine Mutter zum zweiten Mal und Isaac kam zu seiner Großmutter. Bald darauf starb auch sein Stiefvater, so dass Isaac nach Woolsthorpe zurückkehrte. Er besuchte die Grundschule in Grantham und mit 18 Jahren das Trinity College in Cambridge, das kurz nach dem Abschluss seines Studiums 1665 wegen einer Pestepidemie geschlossen werden musste. Also kehrte er abermals zurück in sein Elternhaus. 1666 stellte er seine Gravitationstheorie auf. Er schliff Linsen und baute ein später nach ihm benanntes Spiegelteleskop, das er dem König vorführte. Der König war beeindruckt und erkannte Newton an. Das war der erste Schritt zu seinem Ruhm. In einem Brief an die Royal Society erwähnte Newton im Zusammenhang mit dem Bau des neuartigen Teleskops gegenüber dem damaligen Sekretär Henry Oldenburg eine neue Theorie des Lichtes. 1672 veröffentlichte er seine Niederschrift "New Theory about Light and Colours" in den Philosphical Transactions der Royal Society auf Anfrage Oldenburgs, worin er unter anderem die Brechung des Lichts erläuterte. Diese Niederschrift rief große Diskussionen hervor. Besonders zwischen ihm und Robert Hooke herrschte ein angespanntes Verhältnis, da beide angesehene Wissenschaftler waren, doch grundverschiedene Meinungen hatten und jeder auf sein Recht pochte. In den "New Theory about Light and Colours" vertrat Newton die Korpuskeltheorie des Lichts, bei der er von einem Teilchenmodell ausging. Im Gegensatz zu René Descartes ging Newton jedoch davon aus, dass die Farben ursprüngliche Eigenschaften des Lichtes sind. Außerdem führte dies zu einem wiederum erbittert ausgetragenen Disput mit Christiaan Huygens und dessen Wellentheorie des Lichtes, welchen er 1715 durch Desaguliers vor der Royal Society für sich entscheiden ließ. Im Jahre 1800 (also lange nach beider Tod) führte Thomas Young jedoch weitere Experimente zu Gunsten der Wellentheorie durch. Heute sind beide Theorien in der Quantenmechanik mathematisch vereint.
Von 1675 bis 1682 befand sich Newton in einer Phase der Inaktivität und der Selbstzweifel. Danach stellte er das Gravitationsgesetz auf. Er schrieb eine weitere Niederschrift über seine physikalischen Entdeckungen, in der er auch das Problem löste, warum die Planeten elliptische Bahnen ziehen. 1687 schrieb er sein Hauptwerk, die "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie). In diesem Werk vereinte er die Forschungen Galileo Galileis zur Beschleunigung und Johannes Keplers zu den Planetenbewegungen zu einer einheitlichen Theorie der Gravitation und legte die Grundsteine der klassischen Mechanik, indem er die drei Grundgesetze der Bewegung formulierte. Wieder folgte ein Streit mit Hooke über das Gravitationsgesetz. Grundgesetze der Bewegung Zwei Jahre später starb seine Mutter und Newton fing an, einen theologischen Briefwechsel mit dem englischen Philosophen John Locke zu führen. 1696 oder 1699 wurde er zum Direktor der Königlichen Münze in London ernannt. Sein hartes Vorgehen gegen Falschmünzer war berüchtigt. Drei Jahre später (1699) wurde er an der Pariser Akademie zu einem von acht auswärtigen Mitgliedern berufen. Im Jahr 1700 erfand er mit der Newton-Skala eine eigene Temperaturskala. 1703 folgte der Titel "Präsident der Royal Society", den er bis zum Ende seines Lebens innehatte. Ein Jahr danach starb sein Erzfeind Hooke und er konnte endlich seine "Opticks or a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light" (Optik oder eine Abhandlung über die Reflexion, Brechung, Krümmung und die Farben des Lichtes) veröffentlichen. Am 16. April 1705 wurde er von Königin Anne wegen seiner Verdienste um die Wissenschaft zum Ritter geschlagen. Im selben Jahr begannen auch die Prioritätsschwierigkeiten mit Gottfried Wilhelm Leibniz über die Erfindung der Infinitesimalrechnung. In Newtons 1712 erschienenem Buch "Historia coelestis Britannica" verwendete dieser unautorisiert die von John Flamsteed stammenden sogenannten Flamsteed-Bezeichnungen, was ebenfalls einen Streit um das Urheberrecht nach sich zog. Er bezog dann ein herrschaftliches Haus, das ein kleines Observatorium beherbergte und studierte alte Geschichte, Theologie und Mystik. Ab 1707 wurde Newtons Haus von seiner Halbnichte Catherine Barton geführt. Nach seinem Tod im Jahr 1727 wurde er unter großen Feierlichkeiten in der Westminster Abbey beigesetzt. Sein Bild prangte von 1978 bis 1984 auf der englischen 1-Pfund-Note. Newton galt als recht zerstreut und bescheiden, reagierte jedoch häufig sehr scharf auf Kritik. Er lebte fast durchgängig in häuslicher Gemeinschaft mit anderen Männern. Es wird auch die Geschichte erzählt, dass Newton, der grübelnd unter einem Apfelbaum saß, ein Apfel auf den Kopf fiel, was ihn auf die Idee brachte, die Himmelsmechanik beruhe auf derselben Gravitation wie der Fall von Äpfeln auf die Erde. Dies geht jedoch nicht auf Newton selbst zurück, sondern auf Voltaire. Ob es sich wirklich so zugetragen hat, ist fraglich.

Forschung in Naturwissenschaft und Philosophie

Physik und Mathematik

Voltaire Newtons Forschungen auf dem Gebiet der Lichtbrechung (Optik) zeigten, dass ein Prisma weißes Licht in ein Farbenspektrum aufspalten kann. Aus seiner Arbeit schloss er, dass jedes Linsenteleskop unter der Dispersion des Lichtes leiden würde und schlug ein Spiegelteleskop vor, um die Probleme zu umgehen. Später wurden achromatische Linsenkombinationen aus Gläsern verschiedener Brechungseigenschaften entwickelt. Er leitete in der "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" das Gesetz der Gravitation ab und bewies dessen Bedeutung für die Keplerschen Gesetze, wodurch er in der Lage war die Planetenbewegungen nicht nur wie Johannes Kepler zu beschreiben, sondern erstmals auch zu begründen. Auch die Grundsteine der klassischen Mechanik, die drei Grundgesetze der Bewegung und die Konzepte von absoluter Zeit, absolutem Raum, der Fernwirkung und so auch indirekt das Konzept des Determinismus wurden von ihm gelegt. Zusammen waren dies die wesentlichen Grundprinzipien der Physik und als solche bildeten sie für über 200 Jahre die Basis des naturwissenschaftlichen Weltbildes vieler Generationen, bis hin zur Relativitätstheorie Albert Einsteins. Zusätzlich zu seinen fundamentalen Leistungen zur Physik ist er neben Gottfried Wilhelm Leibniz auch einer der Begründer der Infinitesimalrechnung und hat auch wichtige Beiträge zur Algebra erbracht. Nach Newton sind das newtonsche Näherungsverfahren und die SI-Einheit der Kraft (Newton), die newtonsche Axiome sowie die Newton-Cotes-Formeln benannt, außerdem der am 30. März 1908 von J. H. Metcalf in Taunton entdeckte Asteroid (662) Newtonia. Von Newton stammt auch die erste Skizze eines Gerätes zur Winkelmessung mit Hilfe von Spiegeln und somit die Grundidee für die ein halbes Jahrhundert später erfundenen Sextanten

Der Newtonsche Zeitbegriff

Newtonaller Dinge. Des Weiteren sei sie eine feststehende Größe, die für jeden und überall gleich sei und sich nie ändere.
Außerdem sei die Zeit so feststehend, dass sie von Anbeginn an geplant gewesen sein müsse, also auf einen Schöpfer hinweise. Die Zukunft, die Gegenwart und die Vergangenheit stünden also schon im vornherein fest, was im deterministischen Weltbild Newtons mündete. Dieses ist jedoch auch nicht konfliktfrei mit dem christlichen Konzept des freien Willens und zudem ein Teilaspekt des Theodizeeproblems.
Newtons Zeitverständis dominierte über 200 Jahre lang die Wissenschaft bis zu Albert Einsteins Relativitätstheorie und der Heisenbergschen Unschärferelation.

Weitere Arbeiten

Weniger bekannt als seine wissenschaftlichen Errungenschaften aus heutiger Sicht sind Newtons Arbeiten in der christlichen Theologie und in der Alchemie, einem der Vorgänger des modernen Naturwissenschaftsverständnisses. In der Theologie vertrat Newton eine antitrinitarische Ansicht. Neben seinen physikalischen Arbeiten verbrachte er auch viel Zeit mit der Suche nach dem Stein der Weisen.

Literatur


- Neal Stephenson: Quicksilver Goldmann, 2004, ISBN 3-442-54568-4 (Historischer Roman)

Weblinks


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- [http://www.newtonproject.ic.ac.uk/ Newton-Projekt am Imperial College London (englisch)]
- [http://www.indiana.edu/~college/WilliamNewmanProject.shtml Projekt der Indiana University Newtons alchemistische Notizen zu dechiffrieren (englisch)]
- [http://www.isaac-newton-oberschule.de Isaac-Newton-Oberschule] Primärtexte:
- [http://burndy.mit.edu/Collections/Babson/ Babson Collection MIT (Originale Bücher und Manuskripte als pdf-Datei)] Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac ja:アイザック・ニュートン ko:아이작 뉴턴 ms:Isaac Newton simple:Isaac Newton th:ไอแซก นิวตัน

Limes (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index „unendlich“ vorstellen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

Limes einer reellen Funktion

Das Symbol \lim_ f(x) bezeichnet den Limes der reellen Funktion f für den Grenzübergang der Variablen x gegen a. Dabei kann a sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der Werte +\infty und -\infty; in jedem Fall muss a jedoch im Abschluss des Definitionsbereiches von f liegen. Auch für den Grenzwert selbst kommen neben reellen Zahlen auch +\infty und -\infty in Frage. Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:
- Definition: Die Funktion f hat für x \to a (mit a \in \mathbb) den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) \epsilon > 0 ein (im Allgemeinen von \epsilon abhängiges) \delta > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung |x - a| < \delta genügen, auch |f(x) - b| < \epsilon gilt. Qualitativ ausgedrückt bedeutet dies: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert f(x) und dem Limes b kann beliebig klein gemacht werden, wenn man x genügend nahe bei a wählt. Beispiel: \lim_ \frac = 2
- Definition: Die Funktion f hat für x \to a (mit a \in \mathbb) den Limes +\infty, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl T ein (im Allgemeinen von T abhängiges) \delta > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung |x - a| < \delta genügen, auch f(x) > T erfüllt ist. Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes -\infty definiert. Beispiel: \lim_ \frac = \infty
- Definition: Die Funktion f hat für x \to +\infty den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) \epsilon > 0 eine (im Allgemeinen von \epsilon abhängige) reelle Zahl S gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung x > S genügen, auch |f(x) - b| < \epsilon erfüllt ist. Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs x \to -\infty definieren. Beispiel: \lim_ \frac = 1 Bei Grenzwerten des Typs x \to a (mit a \in \mathbb) ist es oft sinnvoll, durch die Zusatzbedingung x > a oder x < a einseitige Grenzwerte zu bilden: : \lim_ \frac = \infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = \infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = \infty : \lim_ \frac = -\infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = -\infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = -\infty Im ersten Beispiel spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert, im zweiten von einem linksseitigen Grenzwert.

Grenzwertsätze

Sei \lim_ f(x) = a und \lim_ g(x) = b. Dann gelten folgenden Beziehungen:
- \lim_ (f(x) \pm g(x)) = a \pm b
- \lim_ (f(x) \sdot g(x)) = a \sdot b
- \lim_ \frac = \frac falls b \ne 0.
- Ist |f(x)| \le |g(x)| und ist \lim_ g(x) = 0, so ist auch \lim_ f(x) = 0. Viele Grenzwerte lassen sich leicht mit der Regel von L'Hospital berechnen.

Wichtige Grenzwerte


- \lim_ \left(1 + \frac \right)^x = e^k
- \lim_ (1 + x)^\frac = e
- \lim_ \cos(x) = 1
- \lim_ \frac = 1
- \lim_ \frac = 1
- Die geometrische Reihe s_n=\sum_^ a_k=\sum_^a_0 \cdot q^k konvergiert gegen \frac falls |q|<1 und divergiert falls |q|>1 für n \to \infty.
- Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert jedoch: \sum_^\infty \frac = \ln 2.

Limes einer Folge

Erläuterung

Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge (a_n) reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen fast allen Folgengliedern und a beliebig klein wird. Wenn für jedes vorgegebene \epsilon>0 nur endlich viele Folgenglieder weiter als \epsilon von a entfernt sind, dann heißt die Folge (a_n) konvergent gegen den Grenzwert a. Eine äquivalente Formulierung lautet: Zu jedem \epsilon>0 gibt es einen Index N, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als \epsilon von a entfernt sind. In Formeln: : \left(\lim_ a_n = a \right) \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon>0 \; \exists N\in\mathbb \; \forall n>N: \;\left|a_n-a \right|<\epsilon Man beachte, dass der Index N von \epsilon abhängen darf. Um zum Beispiel zu beweisen, dass die Folge (1/n) gegen 0 konvergiert, wählt man zu vorgegebenem \epsilon als N (z. B.) die kleinste natürliche Zahl, die größer als 1/ \epsilon ist. Daher gilt für alle n>N: : |a_n-0| = \frac < \frac < \epsilon Die erste Ungleichung folgt dabei aus n>N (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus N>1/\epsilon. Man findet auch die Darstellung ohne Absolutbetrag: Für \left|a_n-a \right|<\epsilon wird auch (etwas anschaulicher) a-\epsilon geschrieben. Mit n>N.

Beispiele


- Die konstante Folge (b_n) mit b_n=1 ist konvergent gegen 1.
- Die Folge (c_n) mit (c_n)=1/n konvergiert gegen 0 und wird Nullfolge genannt.
- Die Folge (e_n) mit e_n=(1+1/n)^ n ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e. Die Folge (1+ r/n)^n konvergiert gegen e^r . Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf.
- Die Folge (c_n) mit c_n=(-1)^n +1/n ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade n.
- Achilles und die Schildkröte

Limes superior und Limes inferior

Ist eine Folge nicht konvergent, so gibt es stets Teilfolgen, die konvergent sind oder gegen +\infty oder -\infty divergieren. In diesem Falle bezeichnet man den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter oder bestimmt divergenter Teilfolgen als Limes superior bzw. Limes inferior.

Verallgemeinerung

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reelle Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt sich reibungslos. Siehe Konvergenz.

Weblinks


- [http://www.mathematik-wissen.de/grenzwerte_von_funktionen.htm Grenzwerte bei Funktionen]
- [http://www.mathematik-wissen.de/grenzwertsaetze.htm Grenzwerte bei Zahlenfolgen] Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analysis ja:極限

Folge (Mathematik)

Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heißt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge. Die einzelnen Zahlen, aus denen die Folge zusammengesetzt ist, heißen die Glieder der Folge. In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze, rationale oder reelle Zahlen. In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge erweitert, so dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dürfen. Folgen, deren Glieder nicht Zahlen, sondern Mengen sind, werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt.

Anwendungen

Zeitreihen, wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen, können mathematisch als Folgen aufgefasst werden. In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen. Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis, denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen. Manche elementare Funktionen wie tan(x) führen dabei auf recht exotische Folgen, wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen. Eine Reihe ist eine Folge, deren einzelne Glieder sich aus der Summe der Glieder einer anderen Folge ergeben. Reihen werden insbesondere zur Approximation irrationaler Zahlenwerte verwendet (siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik)).

Formale Definition

Die Glieder einer Folge sind in ihrer Reihenfolge festgelegt. Daher kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer", einen Index, eindeutig bezeichnet werden. Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der