Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Anzahl

Anzahl

Die Anzahl ist ein Maß dafür, aus wie vielen Objekten eine Menge besteht. Für die Zählbarkeit, also die Ermittlung der Anzahl, ist die Unterscheidbarkeit der Objekte notwendig. Die Anzahl einer Objektmenge lässt sich i. A. anhand der Menge der natürlichen Zahlen abbilden. Eine Anzahl kann jedoch auch unendlich sein (z. B. Anzahl der Punkte einer Gerade).

Siehe auch


- Zahlentheorie, Zählen, Mächtigkeit, Kardinalzahl Kategorie:Zahlen

Objekt

Objekt bezeichnet:
- allgemein etwas unspezifiziertes, siehe Sache, Gegenstand, Ding
- im Sinne der Dialektik das, worauf ein Subjekt seine beobachtende, sinnliche, empirische und praktisch-verändernde Aktivität richtet, siehe Objekt (Philosophie)
- ein Satzglied, siehe Objekt (Grammatik)
- einen Himmelskörper, siehe Astronomisches Objekt
- eine Einheit in einem Geoinformationssystem, siehe Geoobjekt
- eine Einheit in der Informatik, siehe Objekt (Informatik)
- eine bestimmte Art künstlerischer Werke siehe Objektkunst simple:Object

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet.

Bezeichnungen und Konventionen für die Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen, Formelzeichen :\mathbb enthält je nach Definition die positiven ganzen Zahlen, also :\mathbb = \ oder die nichtnegativen ganzen Zahlen, also :\mathbb = \ Für diese beiden verschiedenen Konventionen gibt es sowohl historische als auch praktische Gründe. Die Definition ohne die Null steht in der älteren Tradition, da die natürlichen Zahlen ohne die Null lange Zeit die einzigen bekannten Zahlen waren: In Europa wurde erst ab dem 13. Jahrhundert mit der Null gerechnet. In manchen Gebieten der Mathematik wie der Zahlentheorie, in denen die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht, ist aufgrund der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation die Definition ohne Null häufiger anzutreffen. Aber beispielsweise in der mathematischen Logik, der Mengenlehre oder in der theoretischen Informatik vereinfacht die Definition mit Null die Darstellung. Im Zweifelsfall bietet es sich an, die DIN-Norm 5473 zu befolgen: Dort ist die Null eine natürliche Zahl. Das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen wurde von der französischen Mathematikergruppe Nicolas Bourbaki als \mathbf eingeführt. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, variierte man es im Tafelbild zu dem Strichbuchstaben \mathbb. Im Laufe der Zeit wurde dieses gegenüber dem fett gedruckten \mathbf charakteristischere Symbol zunehmend auch im Drucksatz benutzt und hat sich mittlerweile fast völlig durchgesetzt, so dass heute einheitlich das Symbol \mathbb für die natürlichen Zahlen verwendet wird. Die gleiche Entwicklung fand auch bei den anderen Doppelstrich-Symbolen wie beispielsweise \mathbb und \mathbb statt. Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen. In Texten, in denen das Symbol \mathbb für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null verwendet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol \mathbb_0 oder \mathbb \cup \ für die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null benutzt.
Falls jedoch das Symbol \mathbb für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet wird, wird meist \mathbb^+, \mathbb^
- , \mathbb_ oder \mathbb \setminus \ für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 geschrieben.

Peano-Axiome

Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es letztlich egal, ob man auch die Null als natürliche Zahl bezeichnet oder nicht. Im folgenden wird jedoch zugunsten der Verständlichkeit nur davon ausgegangen, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Die behandelten Axiome und Rechenregeln lassen sich analog aber auch auf 1, 2, 3, ... (ohne 0) anwenden. Wichtig ist, dass es ein Startelement gibt und zu jedem Element einen Nachfolger, denn die natürlichen Zahlen hängen eng mit dem Prinzip der mathematischen Induktion zusammen. Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt. # 0 ist eine natürliche Zahl # Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist. # Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist. # Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m' # Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.) Peano verwendet dabei die Begriffe 0, Zahl und Nachfolger. Bertrand Russell wies darauf hin, dass man damit nicht nur die natürlichen Zahlen, sondern jedes beliebige (abzählbare) Zahlensystem definieren kann. Man definiere z.B. 7/16 als 0 und erzeuge einen Nachfolger durch Addition von 1/16. Das letzte Axiom nennt man auch das Induktionsaxiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Peano-Axiome zu formalisieren. Eine (wenn auch nicht die Beste, da hier der Mengenbegriff vorausgesetzt wird) ist die folgende: # 0 \in \mathbb # \forall n: n \in \mathbb \rightarrow n' \in \mathbb # \forall n: \lnot (n' = 0) # \forall n \forall m: n' = m' \rightarrow n = m # \forall X: ((X(0) \land \forall n: X(n) \rightarrow X(n')) \rightarrow \forall n: X(n)) Hiervon ausgehend, werden auf \mathbb die Addition und Multiplikation definiert. Man setzt #n + 0 := n #n + m' := (n + m)' und dann #n \cdot 0 := 0 #n \cdot m' := (n \cdot m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 := 0', ergibt sich n'=n+1. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut eines Artikels auf [http://www.mathematik.ch/mathematiker/axiome_von_peano.php mathematik.ch]). Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, sah aber keine Notwendigkeit, deren Existenz zu beweisen. John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d.h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen. 0 := \varnothing
1 = 0' := \ = \
2 = 1' := \ = \
.
.
.
n' := \ = n \cup \ Zur Erklärung: 1 ist die Menge, die nur die leere Menge (=\varnothing) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst! Die leere Menge (oder 0) enthält kein Element; die Menge 1 hingegen enthält genau ein Element. Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das so genannte Unendlichkeitsaxiom.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Als Alternative kann man beim Körper der reellen Zahlen (\mathbb,+,,0,1) axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von \mathbb definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge. Eine Teilmenge M von \mathbb heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: # 0 ist Element von M # Ist x Element von M, so ist auch x+1 Element von M Dann ist \mathbb der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von \mathbb.

Einführung der natürlichen Zahlen nach Russell (historisch)

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz von Bertrand Russell ist aus heutiger Sicht als Definition der natürlichen Zahlen aufgrund von mengentheoretischen Schwierigkeiten unbrauchbar. Beispielsweise ist die unten definierte natürliche Zahl 1 keine Menge, sondern eine echte Klasse; infolgedessen ist es unmöglich, über die Gesamtheit der so definierten natürlichen Zahlen zu sprechen, da echte Klassen selbst weder Elemente von Mengen noch von Klassen sein können. Die natürlichen Zahlen können jeweils als Gesamtheit der Objekte der jeweiligen Kardinalität definiert werden. So definiert Russell zunächst:
- Eine Menge wird einer anderen Menge äquivalent genannt, wenn es eine ein-eindeutige Beziehung gibt, deren Bereich aus der einen Menge besteht, während die andere Menge den inversen Bereich bildet. Es gelten für diesen Äquivalenzbegriff die Äquivalenzeigenschaften, so dass die auf diese Weise entstehenden Äquivalenzklassen als Repräsentanten für die natürlichen Zahlen dienen können:
- Die Zahl einer Menge ist die Menge aller ihr äquivalenten Mengen. Mit diesem Zahlbegriff sind sogar beliebige Kardinalitäten von Mengen beschrieben. (Heute nennt man diese Zahlen Kardinalzahlen.) Für die natürlichen Zahlen müssen wir uns auf die endlichen Mengen beschränken. Die endlichen Mengen fasst Russell schrittweise zusammen:
- Die Zahl 0 ist die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist. (Man bedenke: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen vorkommt und umgekehrt. Daher gibt es nur eine einzige leere Menge.) Russell definiert jetzt Nachfolger und Vorgänger von Zahlen:
- Sei A eine Menge und x ein Element, das in A nicht vorkommt. Der Nachfolger der Zahl der Elemente von A ist die Zahl der Elemente von A\cup\.
- Sei A eine nichtleere Menge und x ein Element von A, dann heißt die Zahl der Elemente von A\setminus\ der Vorgänger von der Zahl von A. Damit hat Russell jetzt das notwendige Handwerkszeug zusammen und kann definieren, was die endlichen Zahlen sind:
- a) 0 ist endlich.
- b) Eine Zahl ungleich 0 ist endlich, wenn sie einen Vorgänger hat, der endlich ist. (Diese Definition endlicher Mengen ist aus heutiger Sicht nicht haltbar, da ihre Präzisierung entweder den Begriff der natürlichen Zahl verwenden oder eine mengentheoretisch unzulässige Konstruktion verwenden muss. Dies ließe sich jedoch durch Verwendung des Begriffes der Dedekind-Endlichkeit umgehen.) Schließlich legt Russell fest:
- Eine natürliche Zahl ist etwas, was Zahl einer endlichen Menge ist. Russell erwähnt, dass er in seiner Begriffsbildung Gedanken von Gottlob Frege benutzt hat.

Primzahlen

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar. Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl außer der Null besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. sie lässt sich, von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen, auf genau eine Art als Produkt von Primzahlen darstellen. Produkte mit nur einem oder gar keinem Faktor sind dabei zugelassen. Gemäß mathematischer Konvention hat das sogenannte leere Produkt aus Null Faktoren den Wert 1, und stellt damit die Primfaktorzerlegung der 1 dar.

Verwandte Themen


- Ordinalzahlen
- Zahlensystem
- Liste besonderer Zahlen

Siehe auch


- Zahlentheorie

Literatur


- Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. 1919
- Johannes Lenhard u. Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. ISBN 3-7873-1602-7 Kategorie:Zahlen ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Zählen

Zählen bedeutet umgangssprachlich, als gleich vorausgesetzte Objekte (Gegenstände, Menschen) durch zu nummerieren, so dass man ihre Anzahl erfährt. Vgl. dazu Zählung.

Zur Biosoziologie des Zählens

Zählen ist eine sprachliche Fertigkeit, die im strengen Sinn vermutlich erst der "Mensch" im Lauf seiner biosozialen Phylogenese erworben hat. Tiere, etwa Vögel, können nach dieser Annahme wohl bemerken, dass bei kleinen Anzahlen (z. B. ihrer Eier) eins 'fehlt', aber sie noch nicht durchzählen. Da - nach Dieter Claessens (Das Konkrete und das Abstrakte, 1980) - für den Menschen diesseits des Tier-Mensch-Übergangsfeldes zunächst buchstäblich "kein Ei wie das andere aussah", gehört zum Zählen ein geschärftes Abstraktionsvermögen. Dass etwas paarweise auftritt (Augen, Ohren, Hände), musste noch nicht notwendig dazu führen, dass Menschen auf das "Zählen" mit Hilfe von Zahlen kamen. Denn als Erstes musste sich ihnen die Doppelung - die Zwei - körperlich und konkret aufdrängen. Eine sprachliche Alternative zum Zählen ist hier der Dual, die "Zweizahl", die neben den Singular (die "Einzahl") tritt und alle Substantiv- und Verbformen entsprechend durchzieht. Die (zunächst anzunehmende) enge Bindung dieser Form der Zweizahl an den achsensymmetrischen menschlichen Leib und das allgemeine Auftreten des Duals in allen insoweit erschlossenen indoeuropäischen Sprachen lassen darauf folgern, dass man in seiner Entstehungszeit noch nicht oder nur mühsam über die Zwei hinaus "bis Drei zählen" konnte. Vielerlei gleich zu setzen, um es dann zu zählen, erfordert eine neuartige Abstraktionsleistung. Daraus folgt wiederum, dass vermutlich der Dual historisch älter als der Plural (die "Mehrzahl") ist. Auch liegt, wenn sich die "Zweizahl" in der Überlebenspraxis als unzureichend bemerkbar macht, die alsbaldige 'Erfindung' des "Plurals" immer noch nicht zwingend nahe. In einigen Sprachen wurden als Numerus analog zum Dual erst noch die "Dreizahl" (der Trial), sogar dann noch die "Vierzahl" (der Quadral) und der 'kleine Plural' (der Paukal) entwickelt.

Abzählbarkeit

Nicht alle Zahlen sind so abzählbar, wie etwa die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., deren Menge zwar praktisch unzählbar ist, die man aber prinzipiell immer weiter abzählen könnte. Dies ist z.B. bei den logarithmischen Zahlen unmöglich ("überabzählbare" Zahlen) - vgl. Zahlentheorie. Der Ansatz der Mengenlehre hat keine substantialen Begriffe wie das Zählen, er hat relationale wie Verhältnis und rechnet, da er schon in den Voraussetzungen Subtraktion und Division hat und nur Relationen betrachtet, keine einzelnen Zahlen. Als Beispiel sei angedeutet, daß man mit einem logarithmischen Rechenschieber nicht addieren kann. Hier ist also etwas verlorengegangen, das Zählen.

Zählen mit Zahlen und Werten

Zahlentheorie Man zählt in der Mathematik, wie man zum Beispiel Geld in verschiedenen Münzen und Scheinen zählt. Hat man eine unbenannte Zahl a, so legt man ihr einen Wert bei. In unserem Beispiel einen Geldwert. Derselbe Wert drückt sich durch verschiedene Münzkombinationen aus. Es ist ein Euro fünfzig sowohl = einem Ein-Euro-Stück und einem Fünfzig-Cent-Stück als auch = zwei Fünfzig-Cent-Stücken, zwei Zwanzig-Cent-Stücken plus einem Zehn-Cent-Stück.
Wichtig ist zu wissen, wie der Grundbestandteil Ein-Euro zu den anderen steht. Auf diese Weise kann man im Endlichen durch Zählen von Geldstücken einen Geldwert bestimmen, wenn das Verhältnis verschiedener Geldstücke untereinander und zum unbestimmten Wert klar ist. Man kann rückwärts zählen. So sind z.B. drei Zwanzig-Cent-Stücke weniger einem Zehn-Cent-Stück gleich einem Fünfzig-Cent-Stück. Zahlen Zahlen Zahlen

Mächtigkeit

In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der „Anzahl der Elemente einer Menge“ auf unendliche Mengen zu verallgemeinern. Für endliche Mengen setzt man die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente der Menge, das ist eine natürliche Zahl. Für unendliche Mengen benötigt man etwas Vorarbeit, um ihre Mächtigkeiten zu charakterisieren. Die im folgenden gemachten Definitionen und Folgerungen sind aber auch im Falle endlicher Mengen gültig.

Mächtigkeit bei endlichen Mengen

Bei endlichen Mengen bezeichnet die Mächtigkeit die Anzahl der Elemente einer Menge. Beispiele A = => |A| = 4 B = => |B| = 5 C = => |C| = 6 Die Potenzmenge \mathcal P(D) einer endlichen Menge D hat genau 2^ Elemente: die Wahl einer Teilmenge entspricht den |D| unabhängigen Wahlen zwischen den zwei Möglichkeiten, ob ein bestimmtes Element von D in der Teilmenge liegen soll oder nicht.

Gleichmächtigkeit, Mächtigkeit

Man definiert zunächst den Begriff der Gleichmächtigkeit zweier Mengen A und B: :Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion f: A -> B gibt. Man schreibt dann |A| = |B|. Ist A gleichmächtig zu B, dann ist auch die Umkehrfunktion von f eine Bijektion, also ist auch B gleichmächtig zu A. Endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn sie gleich viele Elemente haben. Man nennt eine Menge, die gleichmächtig zur unendlichen Menge \Bbb N der natürlichen Zahlen ist, eine abzählbare Menge. Eine Menge A, die höchstens gleichmächtig zu \Bbb N ist, heißt höchstens abzählbar. Oft jedoch wird abzählbar als höchstens abzählbar definiert, während eine Menge, die gleichmächtig zu \Bbb N ist, abzählbar unendlich genannt wird. Dies macht die Formulierung vieler Beweise etwas einfacher. Wir wollen jedoch im Rahmen dieses Artikels die oben zuerst eingeführte Definition von abzählbar verwenden.

Kardinalzahlen

Da man leicht zeigen kann, dass die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation ist, ergibt die folgende Definition einen Sinn: :Die Äquivalenzklassen der Mengen bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt man Kardinalzahlen. Aleph (\aleph) ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets, er wird mit einem Index verwendet, um Kardinalzahlen unendlicher Mengen zu benennen. Liegt eine Menge A in der Äquivalenzklasse (= Kardinalzahl) \alephi, dann sagt man, A hat die Mächtigkeit \alephi. Man schreibt dann: :|A| = \alephi. Die Kardinalzahl einer endlichen Menge mit n Elementen wird mit der natürlichen Zahl n gleichgesetzt. Man kann sich nun fragen, ob alle unendlichen Mengen einander gleichmächtig sind - in dem Fall wären alle unendlichen Mengen abzählbar. Es stellt sich jedoch heraus, dass es unendliche Mengen gibt, die nicht gleichmächtig zueinander sind, z.B. ist die Menge der natürlichen Zahlen nicht gleichmächtig zur Mengen der reellen Zahlen. Das kann man z.B. mit dem so genannten "Cantorschen Diagonalbeweis" zeigen, siehe dazu den Artikel überabzählbar. Weiter unten wird gezeigt, dass es unendlich viele verschiedene Kardinalzahlen gibt. Indem man zeigt, dass jede Menge gleichmächtig zu einer Ordinalzahl ist (dies ist die Aussage des Wohlordnungssatzes), kann man jede Kardinalzahl mit der kleinsten ihr gleichmächtigen Ordinalzahl gleichsetzen.

Höchstens gleichmächtig, mächtiger

Um die Mächtigkeiten ungleichmächtiger Mengen trotzdem noch vergleichen zu können, legt man fest, wann eine Menge B mächtiger als eine Menge A sein soll: :Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt, dann heißt A höchstens gleichmächtig zu B. Man schreibt dann |A| <= |B|. :Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt, aber keine Bijektion von A nach B existiert, dann heißt A weniger mächtig als B und B mächtiger als A. Man schreibt dann |A| < |B|. Offenbar gilt |A| < |B| genau dann, wenn |A| <= |B| aber nicht |A| = |B| ist. Da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, gilt also: : \R ist mächtiger als \Bbb N, c := |\R| > |\Bbb N|. Man kann zeigen, dass \R gleichmächtig zur Potenzmenge von \Bbb N ist. Man kann zeigen, dass jede Menge, die höchstens abzählbar ist, entweder endlich oder gleichmächtig zu \Bbb N ist. Außerdem kann man zeigen, dass jede unendliche Menge eine zu \Bbb N gleichmächtige Teilmenge enthält. Damit ist die Mächtigkeit von \Bbb N die kleinste unendliche Kardinalzahl. Man bezeichnet sie mit aleph0: :\aleph_0 := |\Bbb N|. Die Kontinuumshypothese (CH) besagt, dass es keine Menge gibt, die mächtiger ist als \Bbb N, aber weniger mächtig als \R . Wie der Name jedoch schon vermuten lässt, ist dies kein Satz in dem Sinne, dass er sich beweisen lässt. Weder die Kontinuumshypothese noch ihre Verneinung lässt sich aus den üblichen Axiomensystemen herleiten (z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom). Die Kontinuumshypothese besagt also, dass c=2^ die zweitkleinste unendliche Kardinalzahl ist.

Totale Ordnung der Mächtigkeiten

Bei naiver Betrachtung der Schreibweise könnte man vermuten, dass für Mengen A und B mit |A| <= |B| und |B| <= |A| stets |A| = |B| gilt. Dass das tatsächlich so ist, wird vom folgenden Satz ausgesagt: :Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem: Ist A höchstens gleichmächtig zu B und B höchstens gleichmächtig zu A, dann sind A und B gleichmächtig. Fassen wir einige Eigenschaften der Mächtigkeiten zusammen:
- Es gilt stets |A| = |A| (nimm die Identität als Bijektion).
- Aus |A| <= |B| und |B| <= |A| folgt |A| = |B|.
- Aus |A| <= |B| und |B| <= |C| folgt |A| <= |C| (folgt sofort aus der Definition).
- Für zwei Mengen A und B gilt stets |A| <= |B| oder |B| <= |A| (das ist äquivalent zum Auswahlaxiom). Damit ist gezeigt, dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.

Mächtigkeit der Potenzmenge, Größte Mächtigkeit

Wir haben die kleinste (unendliche) Mächtigkeit schon als die von N erkannt, gibt es nun eine größte Mächtigkeit? Das beantwortet der folgende Satz (Satz von Cantor): :Für jede Menge A ist die Potenzmenge P(A) mächtiger als A. Beweis: Dass |A| <= |P(A)| gilt, sieht man, indem man A bijektiv auf die einelementigen Teilmengen von P(A) abbildet: :f:A\to\mathcal(A),\; x\mapsto\ Diese Funktion f ist offenbar injektiv und es gilt demnach, dass |A| <= |P(A)| ist (
- ). Der Beweis, dass keine Bijektion von A nach P(A) existiert, ist etwas trickreicher. Man betrachtet für eine widerspruchshalber angenommene Bijektion g: A -> P(A) die Menge :M:=\ \in \mathcal(A). g ist also eine Funktion, die Elemente von einer Menge A auf Teilmengen von A, also Elemente der Potenzmenge P(A) abbildet. Und M ist eine Teilmenge von A, also auch ein Element der Potenzmenge P(A). Da g als bijektiv vorausgesetzt ist, also g insbesondere surjektiv ist, muss es ein x in A geben mit g(x) = M. Läge nun x in M, dann wäre nach Definition von M x nicht in g(x) = M. Läge x dagegen nicht in M, dann wäre x in g(x) = M, wieder nach der Definition von M. Damit haben wir einen Widerspruch erhalten, der zeigt, dass die angenommene Bijektion g nicht existieren kann. Dies zeigt, dass es überhaupt keine bijektive Abbildung von A in P(A) geben kann. Daher gilt, dass |A| ungleich |P(A)| ist. Zusammen mit (
- ) gilt also: |A| < |P(A)|. Für die Mächtigkeit von P(A) gibt es auch folgende Schreibweise: :|P(A)| = 2|A| Beachte aber, dass der entsprechende Ausdruck für unendliche Ordinalzahlen einen ganz anderen Wert liefert, und z.B. 2|N| nicht als ein "Grenzwert" einer Folge (2n) angesehen werden kann. Bestimmt man nun die Mächtigkeiten der Potenzmengen von Potenzmengen von Potenzmengen ..., dann sieht man, dass es unendlich viele Kardinalzahlen gibt, und keine mächtigste Menge existiert. Kategorie:Mengenlehre ja:基数

Kategorie:Zahlen

Diese Kategorie enthält Artikel die sich mit Zahlenmengen, dem Zahlbegriff und speziellen Zahlen auseinandersetzen. Siehe auch: :Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Mathematik ja:Category:数 ko:분류:수 simple:Category:Numbers th:Category:จำนวน

Chautauqua Lake

Chautauqua Lake is located entirely within Chautauqua County, New York, USA. The lake is approximately 17 miles (28 km) long and 2 miles (3.2 km) wide at its greatest width. The surface area is approximately 13,000 acres (53 km²). The maximum depth is about seventy-eight feet (23 m). The shoreline is about 41.1 miles of which all but 2.6 miles are privately owned. The water from the lake drains to the south, entering the Allegheny River and the Ohio River, instead of flowing north into the Great Lakes. The drainage area is about 180 square miles. At the southern end is the City of Jamestown. The Village of Mayville is at the northern end. Other villages located on the Lake are Bemus Point, Lakewood, Celoron, and Chautauqua. There are many other settlements located on the Lake, including: Fluvanna, Greenhurst, Maple Springs, Dewittville, Stow, Cheney's Point, and Ashville Bay. The lake is used primarily for tourism and recreation, mostly boating and fishing. Chautauqua Lake is world known for its excellent muskellunge fishing and sailing as well as for being the home of the world famous Chautauqua Institution. There is one bridge that connects the opposite sides of the lake. The bridge travels from Bemus Point, New York to Stow. Additionally, there is a ferry that at one time ran the same course. Category:Lakes of New York

anemia tapety wygaszacze gry mieszne zdjcia liczniki disco polo










































:: RELATED NEWS ::
Unioni Suvietica
L' Unioni dî ripubblichi sucialisti suvietichi (URSS) o Unioni suvietica era na nazzioni chi cumprinnìa tirritori di diversi parti di l'Europa di l'Est e di l'Asia cintrali, e di cui la Russia era l'intità cchiù mpurtanti e rapprisintativa. Sta nazzioni si furmò ccu la rivuluzzioni d'uttùviru ntô 1917, e supravvissi nzina ô
Giandomenico Cassini
Giovanni Domenico Cassini (Perinaldo 8 di giugnu 1625, Pariggi 14 di sittemmiru 1712), canusciutu comu Jean-Dominique Cassini fu un astrònumu e matimàticu italianu. Canusciutu ppi lu studiu di Saturnu, scupriu la divisioni tra l'aneddi p
Giandomenicu Cassini
Giovanni Domenico Cassini (Perinaldo 8 di giugnu 1625, Pariggi 14 di sittemmiru 1712), canusciutu comu Jean-Dominique Cassini fu un astrònumu e matimàticu italianu. Canusciutu ppi lu studiu di Saturnu, scupriu la divisioni tra l'aneddi p
Leonardu
Liunardu da Vinci (15 di aprili, 1452 – 2 di maiu, 1519) fu n'architettu, musicista, anatomista, mminturi, ncigneri, sculpturi, giomitra e pitturi talianu. E' l'archetipu di l'uomunu dû Rinascimentu, e ricanusciutu universalmenti comu geniu.
Leonardo
Liunardu da Vinci (15 di aprili, 1452 – 2 di maiu, 1519) fu n'architettu, musicista, anatomista, mminturi, ncigneri, sculpturi, giomitra e pitturi talianu. E' l'archetipu di l'uomunu dû Rinascimentu, e ricanusciutu universalmenti comu geniu.
1961

Abbinimenti


- 12 di aprili: Yuri Gagarin è lu primu òmmunu ntô spazziu.

Nati


- 12 di nuvemmiru: Nadia Comaneci, ginnasta dâ Rumania

Morti


- 2 di giugnettu: Ernest Hemingway, scritturi miricanu

All Rights Reserved 2005 wikimiki.org