Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Serie Formale Di Potenze In Più Variabili

Serie formale di potenze in più variabili

In matematica le serie formali di potenze in più variabili costituiscono estensioni abbastanza dirette dell serie formali di potenze. Se si denotano con R un anello commutativo, con r un intero maggiore di 1 e con X1,... ,Xr si denotano variabili formali, si giunge alla definizione di un anello di serie formali di potenze sopra R in queste variabili variabili, denotato RX1,...,Xr. Gli elementi di questo anello si possono esprimere univocamnete nella forma : \sum_ a_\mathbf \mathbf done n = (n1,...,nr) ∈ Nr e con Xn si denota il monomio X1n1...Xrnr. Questa somma nella topologia appropriata converge per ogni scelta dei coefficienti an∈R, e l'ordine della sommazione è ininfluente.

Definizione

Una possibile definizione dell'anello delle serie formali di potenze sopra R si serve dell'ideale che cenotiamo con I, l'ideale di R[X1,...,Xr] generato da X1,...,Xr, cioè l'ideale consistente nei polinomi con termine costante uguale a zero. Come RX1,...,Xr si assume allora il completamento dell'anello dei polinomi R[X1,...,Xr] in r variabili rispetto alla topologia I-adica. Alternativamente, si può procedere in modo simile a quello tenuto con la costruzione più esplicita e graduale per le serie formali di potenze di una sola variabile, giungendo in un primo momento alla struttura di anello in termini di successioni "multi-dimensionali" e successivamente definendo la topologia. La topologia su RX1,...,Xr è la topologia J-adica, dove con J si denota l'ideale di RX1,...,Xr generato da X1,...,Xr, ovvero l'ideale consistente nelle serie con termine costante nullo. Quindi due serie sono considerate "vicine" se i loro primi pochi termini coincidono, dove per primi pochi termini intendiamo i termini il cui grado totale n1 + ... + nr ha valore limitato.

Avvertimento

Sebbene RX1, X2 e RX1X2 sono isomorfi in quanto anelli, essi non sono muniti della stessa topologia. Ad esempio la successione di loro elementi :f_n = X_1^n, \quad n \geq 1 converge a zero in RX1, X2 per n → ∞; al contrario, nell'anello RX1X2, essa non converge, in quanto la copia di RX1 immersa in RX1X2 è stata munita della topologia discreta.

Operazioni

Tutte le operazioni definite per le serie in una variabile possono essere introdotte per le serie in più variabili.
- L'addizione viene effettuata termine a termine.
- La moltiplicazione viene is carried out simply by "multiplying out" the series.
- Una serie risulta invertibile rispetto al prodotto alla Cauchy se e soo se il suo termine costante è invertibile nell'anello R.
- La composizione f(g(X)) di due serie f e g viene definita solo se il termine costante della g è zero. Per quanto riguarda la derivazione formale, ora si introducono r operatori di derivata parziale che differenziano rispetto alle r singole variabili. Ciascuno di essi commuta con tutti i rimanenti, come accade per le derivazioni parziali delle funzioni continuamente differentiabili.

Proprietà universale

L'insieme delle serie formali di potenze in più variabili RX1, ..., Xr è caratterizzato dalla seguente proprietà universale. Se S è un'algebra commutativa associativa su R, se I è un ideale di S tale che la topologia I-adica su S è completa e se x1, ... e xr sono elementi di I, allora esiste una unica applicazione Φ : RX1, ..., Xn → S con le seguenti proprietà:
- Φ è un omomorfismo di R-algebra
- Φ è continuo
- Φ(Xi) = xi per i = 1, ..., r.

Matematica

Nota: L'organizzazione e l'evoluzione del complesso degli articoli della presente enciclopedia concernenti la matematica vengono discusse nell'ambito del Progetto Matematica e al Bar della Matematica. Per orientarsi tra questi articoli, oltre al presente articolo, al Portale:Matematica (diprossima realizzazione) e alle pagine della :Categoria:Matematica organizzate nelle aree indicate nel primo riquadro e reperibili anche mediante un Indice KWIC, possono servire gli elenchi, i glossari e le panoramiche segnalati nella voce Indici per la matematica, gli Elenchi di testi matematici e le pagine dedicate alle sezioni dello schema di classificazione MSC 2000 raggiungibili direttamente attraverso i links nel secondo riquadro. La parola matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "desideroso di apprendere". Con questo termine generalmente si designa la disciplina che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale.

Evoluzione e finalità della matematica

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata, e quindi a raggiungere lo status di scienza; ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche. Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento dei mezzi di comunicazione è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi. Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze. Sono quindi rari i casi di errori o di smagliature che non siano stati riconosciuti e corretti, o almeno segnalati ad alta voce come necessari di correzione, in tempi brevi.

Matematica teorica e applicata

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati. Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali. Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori. Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica. Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

Argomenti principali della matematica

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

Aritmetica

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana. I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

Algebra

I problemi computazionali più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi 3 e 5 è il loro prodotto 3 \times 5 = 15 . Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. Ad esempio: per il Teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza 3 e 4 , quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo x che risolve l'equazione x^2 - 3^2 - 4^2 = 0 . Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard. Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri i cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza a e b , la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo x tale che x^2 -a^2 - b^2 = 0 . Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.

Geometria

Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente i seguenti oggetti primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono quindi altri oggetti quali segmenti, angoli, poligoni e poliedri. Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0,1,2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita!). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2. Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti!

Analisi

Lo studio dell'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti vengono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

Settori della matematica

Quantità

Numero -- Numeri naturali -- Pi Greco -- Numeri interi -- Numeri razionali -- Numeri reali -- Numeri complessi -- Numeri ipercomplessi -- Quaternioni -- Ottonioni -- Sedenioni -- Numeri iperreali -- Numeri surreali -- Numeri ordinali -- Numeri cardinali -- Numeri p-adici -- Successioni di interi -- Costanti matematiche -- Nome dei numeri -- Infinito

Strumenti

Strumenti informatici

Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive. Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS. Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
- Maed, software educativo per la risoluzione di semplici problemi [http://sf.net/projects/maed/ Home Page])
- Octave, linguaggio di alto livello ([http://www.octave.org Home Page])

Strutture

Algebra astratta -- Teoria dei numeri -- Geometria algebrica -- Teoria dei gruppi -- Monoidi -- Analisi -- Topologia -- Algebra lineare -- Teoria dei grafi -- Algebra universale -- Teoria delle categorie

Spazi

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria algebrica -- Geometria differenziale -- Topologia differenziale -- Topologia algebrica -- Algebra lineare -- Geometria frattale -- Teoria della misura -- Analisi funzionale

Matematica discreta

Calcolo combinatorio -- -- Combinatorica -- Teoria della computazione -- -- Crittografia -- Teoria dei grafi -- Teoria dei giochi -- Teoria dei codici -- Disegni combinatorici

Matematica applicata

Meccanica -- Analisi numerica -- Ottimizzazione -- Probabilità -- Statistica -- Matematica finanziaria

Teoremi e congetture famose

Ultimo teorema di Fermat -- Ipotesi di Riemann -- Ipotesi del continuo -- Complessità P e NP -- Congettura di Goldbach -- Congettura dei numeri primi gemelli -- Teoremi di incompletezza di Gödel -- Congettura di Poincaré -- Argomento diagonale di Cantor -- Teorema di Pitagora -- Teorema del limite centrale -- Teorema fondamentale del calcolo integrale -- Teorema fondamentale dell'algebra -- Teorema fondamentale dell'aritmetica -- Teorema dei quattro colori -- Lemma di Zorn -- Identità di Eulero -- Congettura di Scholz -- Teorema del punto fisso di Brouwer -- Congettura di Collatz -- Teorema di Dandelin -- Teorema di Lagrange

Fondazioni e metodi

Filosofia della matematica -- Intuizionismo matematico -- Costruttivismo matematico -- Fondamenti della matematica -- Logica matematica -- Teoria dei modelli -- Teoria assiomatica degli insiemi -- Teoria delle categorie -- Theorem-proving -- Matematica inversa -- Tabella dei simboli matematici -- Logica

Matematica e storia


- Panoramica storica
- Panoramica storica delle notazioni matematiche
- Testi di storia della matematica
- Cronologia della matematica
- Storia dell'insegnamento della matematica

Persone, premi e competizioni


- Astronomi celebri
- Statistici celebri
- Medaglia Fields -- Premio Nevanlinna -- Premio Abel
- Premio Bartolozzi -- Premio Caccioppoli -- Premio Tricerri -- Premio Vinti -- Premio Fichera
- Premio Clay -- Premio Schock -- Premio Steele
- Premio Balzan
- Olimpiadi della matematica

Comunità della matematica


- Organismi associativi dei matematici
- Matematica su Internet
- Siti e pagine per la matematica

Documentazione della matematica


- Classificazione delle ricerche matematiche, MSC
- Elenchi di testi matematici
- Testi di filosofia della matematica
- Testi di storia della matematica
- Testi di riferimento generale per la matematica
- Bibliografia per la matematica
- Matematica e filatelia

Matematica, arte e intrattenimento


- Matematica e cinema
- Matematica e teatro
- Matematica e musica
- Matematica e letteratura
- Matematica, pittura, scultura e architettura
- Giochi matematici
- Matematica ricreativa
- Etnomatematica

Aforismi e opinioni sulla matematica


- La matematica è l’alfabeto nel quale Dio ha scritto l’universo. (Galileo Galilei, 1564-1642)
- La matematica è più di una forma d’arte. (Takakazu Seki, 1642-1708)
- La matematica è la Vita degli Dei. (Novalis, 1772-1801)
- La matematica è un linguaggio. (Josiah Gibbs, 1839-1903)
- La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (Bertrand Russell, 1872-1970)
- I matematici sono dei sarti impazziti: confezionano “tutti gli abiti possibili” sperando di fare anche qualcosa adatto ad essere effettivamente indossato. (Attribuito a David van Dantzig, 1900-1959)
- Il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente efficace nelle scienze naturali […] un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo. (Eugene Wigner, 1902-1995)
- La matematica è linguaggio […] più logica. (Richard Feynman, 1918-1988)
- All’inizio e alla fine abbiamo il mistero. Potremmo dire che abbiamo il disegno di Dio. A questo mistero la matematica si avvicina, senza penetrarlo. (Ennio De Giorgi, 1928-1996)
- La matematica è quella parte della scienza che potresti continuare a costruire anche se domattina, svegliandoti, scopri che l’universo non c’è più. (Citato da Dave Rusin)
- Partial and Inconclusive Proofs are Welcome! ([http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion39.html Doron Zeilberger]) ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Serie formale di potenze

In matematica, le serie formali di potenze sono entità che rendono possibile riformulare gran parte dei risultati concernenti le serie di potenze ottenuti nella analisi matematica in ambiti formali che non si pongono questioni di "convergenza". Esse si rivelano utili, specialmente nella combinatoria, per fornire rappresentazioni compatte di successioni di numeri e funzioni e per ottenere formule chiuse per successioni definite ricorsivamente; questo modo di operare viene detto metodo delle funzioni generatrici.

Introduzione informale

Una serie formale di potenze può essere definita in termini informali come un "polinomio con una infinità numerabile di termini". Per chi ha già familiarità con le serie di potenze (o serie di Taylor), invece, lo studio delle serie formali di potenze può essere visto come uno studio delle serie di potenze nel quale si trascurano tutte le questioni di convergenza. Consideriamo, ad esempio, la serie: :A = 1 - 3x + 5x^2 - 7x^3 + 9x^4 - 11x^5 + \cdots . Se la consideriamo come una comune serie di potenze possiamo studiarne le proprietà quali, ad esempio, il fatto che il suo raggio di convergenza è 1. Se invece viene vista come una serie formale di potenze, questo fatto viene completamente ignorato; è rilevante solo la successione dei suoi coefficienti \langle 1, -3, 5, -7, 9, -11, ...\rangle. Una serie formale di potenze potrebbe considerarsi una entità che registra una successione di coefficienti. Rinunciando a porsi i problemi di convergenza (e alla conseguente possibilità di individuare valori numerici) si acquista la possibilità di definire sulle serie formali di potenze un'ampia gamma di operazioni che portano a meccanismi costruttivi spesso molto vantaggiosi. Una prima gamma di operazioni viene ripresa agevolmente dall'algebra dei polinomi. Per esempio, se: :B = 2x + 4x^3 + 6x^5 + \cdots, si possono sommare A e B termine a termine: :A + B = 1 - x + 5x^2 - 3x^3 + 9x^4 - 5x^5 + \cdots . Le serie formali di potenze si possono anche moltiplicare come fossero polinomi: :A\cdot B = 2x - 6x^2 + 14x^3 - 26x^4 + 44x^5 + \cdots . Si noti che ogni coefficiente del prodotto A · B dipende solo da un numero finito di coefficienti di A e B; ad esempio, il termine in x5 è dato da: :44x^5 = (1\times 6x^5) + (5x^2 \times 4x^3) + (9x^4 \times 2x).\,\! La finitezza della somma che fornisce i coefficienti di una serie prodotto rende lecito moltiplicare le serie formali di potenze senza le preoccupazioni di convergenza assoluta, condizionale e uniforme che non si possono ignorare nello studio delle serie di potenze nell'ambito dell'analisi matematica. Varie altre operazioni che si possono riprendere dall'algebra dei polinomi sono presentate qui sotto. Le operazioni meno usuali compaiono in articoli più specifici.

Impostazione formale

Due definizioni dell'anello delle serie formali di potenze

Consideriamo un anello commutativo R; ci proponiamo di definire l' anello delle serie formali di potenze su R nella variabile X, denotato con RX; gli elementi di questo anello dovrebbero essere pensati come serie di potenze i cui coefficienti sono elementi of R. La definizione forse più efficace di RX lo considera come completamento dell'anello dei polinomi R[X] rispetto alla topologia I-adica determinata dell'ideale I di R[X] generato da X. Questo considte in un anello topologico completo contenente R[X] come sottospazio denso. Questa cosruzione determina contemporaneamente la struttura di anello e la struttura topologica. Tuttavia è possibile descrivere RX più esplicitamente e senza ricorrere a nozioni algebriche complesse definendo separatamente la struttura di anello e la struttura topologica.

Struttura di anello

Partiamo dall'insieme RN di tutte le successioni infinite in R. Per due di tali successioni definiamo l'addizione come : \left( a_n \right) + \left( b_n \right) := \left( a_n + b_n \right) e la moltiplicazione come : \left( a_n \right) \times \left( b_n \right) := \left( \sum_^n a_k b_ \right). Questo tipo di prodotto viene chiamato prodotto di Cauchy delle due successioni di coefficienti; questa composizione costituisce una sorta di convoluzione discreta. Con queste operazioni, RN diventa un anello commutativo il cui elemento zero è (0, 0, 0, ...) e la cui identità moltiplicativa è (1, 0, 0,...). Se identifichiamo l'elemento a di R con la successione (a, 0, 0, ...) e scriviamo X := (0, 1, 0, 0, ...), allora dalle precedenti definizioni di addizione e moltiplicazione segue che ogni sequenza che presenta solo un numero finito di componenti diversi da zero può venire scritta come somma finita : \langle a_0, a_1, a_2, \ldots, a_N, 0, 0, \ldots\rangle = a_0 + a_1 X + \cdots + a_N X^N = \sum_^N a_n X^n.

Struttura topologica

È opportuno cercare di estendere la precedente formula ad una valida per successioni arbitrarie in RN, cioè fare in modo che valga una uguaglianza della forma : \langle a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\rangle = \sum_^\infty a_n X^n \qquad (1) . Per dare senso alla somma infinita a secondo membro è necessaria una nozione di convergenza in RN, cosa che richiede l'introduzione di una topologia su RN. Una topologia appropriata si può ottenere in vari modi equivalenti.
- Si può munire RN della topologia prodotto ottenuta assegnando ad ogni copia di R la topologia discreta.
- Si può introdurre una metrica, ovvero una funzione distanza. Per le due uccessioni (an) and (bn) in RN, si definisce ::d((a_n), (b_n)) = 2^,\,\! :dove k è il minimo numero naturale tale che ak ≠ bk; se un tale k non esiste, allora le due successioni coincidono e come loro distanza si assume zero.
- Possiamo dare a RN la topologia I-adica, dove I = (X) è l'ideale generato da X, che consiste di tutte le sequenze il cui primo termine a0 è zero. Tutte queste definizioni della topologia portano ad affermare che due successioni (an) e (bn) sono "vicine" se i loro primi termini coincidono; più termini coincidono, più esse sono vicine. A questo punto si uò attribuire un senso all'equazione (1); le somme parziali della serie palesemente convergono alla successione al primo membro: in effetti ogni riarrangiamento della serie converge to allo stesso limite. Si può verificare che questa struttura topologica, insieme alle operazioni di anello descritte sopra, formano un anello topologico. Essa viene chiamata anello delle serie formali di potenze su R e viene tradizionalmente denotata con RX.

Proprietà universale

L'anello RX può essere caratterizzato mediante la seguente proprietà universale. Se S è un'algebra commutativa associativa su R e se I è un ideale di S tale che la topologia I-adica su S è completa, denotato con x un elemento di I, allora esiste un unico Φ : RX → S che gode delle seguenti proprietà:
- Φ è un omomorfismo di R-algebra
- Φ è continuo
- Φ(X) = x.

Operazioni sulle serie formali di potenze

Inversione delle serie

La serie : \sum_^\infty a_n X^n in RX è invertibile in RX se e solo se il suo coefficiente costante a0 è invertibile in R. Un caso speciale importante è quello della formula per la serie geometrica, valida in RX: : \left( 1 - X \right)^ = \sum_ X^n .

Composizione delle serie

Data la serie formale di potenze : f(X) = \sum_^\infty a_n X^n = a_1 X + a_2 X^2 + \cdots e la : g(X) = \sum_^\infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots , si definisce come loro composizione : g(f(X)) := \sum_^\infty b_n f(X)^n =: \sum_^\infty c_n X^n ; i coefficienti cn vanno determinati "sviluppando" le potenze della f(X). Una presentazione più esplicita di questi coefficienti è fornita dalla formula di Faà di Bruno. Va sottolineato che l'operazione è ben definita solo quando f(X) è "priva di termine costante", condizione perché la serie per g(f(X)) converga nella topologia di RX, ovvero condizione perché ogni cn dipenda solo da un numero finito di coefficienti della f(X) and g(X).
Esempio
Si denota con exp(X) la serie formale di potenze : \exp(X) = 1 + x + \frac + \frac + \frac + \cdots ; l'espressione : \exp(\exp(X) - 1) = 1 + x + x^2 + \frac6 + \frac8 + \cdots può essere lecitamente considerata come serie formale di potenze. Va rilevato che, tuttavia, l'enunciato : \exp(\exp(X)) = e \exp(\exp(X) - 1) = e + ex + ex^2 + \frac6 + \cdots non è una valida applicazione della operazione di composizione di serie formali di potenze. Esso invece porta confusione fra le nozioni di convergenza in RX e convergenza in R; in effetti qualche anello R potrebbe anche non contenere alcun numero e con le appropriate proprietà.

Differenziazione formale delle serie

Data una serie formale di potenze :f = \sum_ a_n X^n in RX, si definisce come sua derivata formale : Df := \sum_ a_n n X^ . La trasformazione D viene chiamata operatore di differenziazione formale. La motivazione di questa definizione sta nel fatto che essa semplicemente estende la differenziazione termine a termine di un polinomio. Questa operazione è R-lineare: : D(af + bg) = a Df + b Dg \,\! per ogni a, b in R e ogni f, g in RX. Inoltre la derivata formale possiede molte delle proprietà della usuale derivata del calcolo infinitesimale. Ad esempio valgono la regola del prodotto : D(fg) = f(Dg) + (Df) g; \,\! e la regola di derivazione di funzione composta : D(f(u)) = (Df)(u) Du, \,\! , per tutte le coppie di funzioni che soddisfino le condizioni per la composizione delle loro serie (vedi sopra Composizione di serie). Da un certo punto di vista tutte le serie formali di potenze sono serie di Taylor. In effetti per la f sopra definita si trova che : (D^k f)(0) = k! a_k, \,\! dove Dk denota la derivata formale k-esima, cioè il risultato del differenziare formalmente k volte.

Proprietà algebriche dell'anello delle serie di potenze formali

RX è un'algebra associativa sopra l'anello R la quale contiene l'anello R[X] dei polinomi su R; i polinomi corrispondono alle successioni con un numero finito di componenti diverze da zero. Il radicale di Jacobson of RX è l'ideale generato da X e dal radicale di Jacobson di R; questo fatto è conseguenza del criterio di invertibilità di un elemento discusso sopra. Gli ideali massimi di RX si ottengono tutti a partire da quello in R nel seguente modo: un ideale M di RX è massimale se e solo se M ∩ R è un ideale massimale di R ed M viene generato come ideale da X ed M ∩ R. Sono molte le proprietà algebriche di R che possono essere ereditate da RX:
- se R è un anello locale, allora è tale anche RX,
- se R is noetheriano, allora è tale anche RX; questa è una particolarizzazione del teorema della base di Hilbert;
- se R iè un dominio di integrità, allora lo è anche RX. Se R = K è un campo, allora KX gode di molte priprietà addizionali.
- KX è un anello di valutazione discreto.
- KX è un dominio a fattorizzazione unica.

Proprietà topologiche dell'anello delle serie di potenze formali

Lo spazio metrico (RX, d) è completo. L'anello RX è compatto se e solo se R è finito. Questo segue dal teorema di Tychonoff e dalla caratterizzazione della topologia su RX come topologia prodotto.

Applicazioni

Le serie formali di potenze possono essere utilizzate per risolvere molte delle equazioni di ricorrenza che si incontrano nella teoria dei numeri e nella combinatoria. Per l'esempio riguardante la ricerca di un'espressione in forma chiusa per i numeri di Fibonacci, vedi l'articolo sulla funzione generatrice. Le serie formali di potenze consentono di dimostrare numerose relazioni familiari dell'analisi matematica in modo puramente algebrico. Consideriamo per esempio i seguenti elementi di QX: : \sin(X) := \sum_ \frac X^ : \cos(X) := \sum_ \frac X^ A partire da queste serie formali di può dimostrare direttamente che : \sin^2 + \cos^2 = 1 \, e : D \sin = \cos \, , mentre nell'anello QX,Y si prova che : \sin (X+Y) = \sin(X) \cos(Y) + \cos(X) \sin(Y) \, . In algebra, l'anello KX1, ..., Xr (dove K denota un qualsiasi campo) viene spesso usato come l'anello locale completo su K "standard e più generale".

Funzioni dalle serie di potenze formali

Nell'analisi matematica, ogni serie di potenze convergente definisce una funzione con valori nel campo dei numeri reali o dei numeri complessi. Anche le serie formali di potenze possono essere interpretate come funzioni, ma occorre essere cauti nel precisare il loro dominio e il loro codominio. Se f=∑an Xn è un elemento di RX, S un'algebra commutativa associativa su R, I è un ideale in S tale che la topologia I-adica su S è completa e x è un elemento di I, allora si può definire : f(x) := \sum_ a_n x^n , la nuova serie essendo sicuramente convergente in S, grazie alle richieste per la x. Abbiamo inoltre : (f+g)(x) = f(x) + g(x) \, e : (fg)(x) = f(x) g(x) \, Mentre per le funzioni tradizionali queste uguaglianze sono delle definizioni delle funzioni a primo membro, per le serie si tratta di uguaglianze che possono essere dimostrate. Dato che la topologia su RX è la topologia (X)-adica ed RX è completo, è possibile, in particolare, applicare le serie di potenze ad altre serie di potenze, assodato che ogni serie argomento abbia coefficiente costante nullo: f(0), f(X2-X) ed f( (1-X)-1 - 1) sono ben definite per ogni serie formale di potenze f∈RX. Con questo formalismo si può dare una formula esplicita per l'inversa moltiplicativa di una serie di potenze f il cui coefficiente costante a=f(0) è invertibile in R: : f^ = \sum_ a^ (a-f)^n . Se la serie formale di potenze g con g(0) = 0 è data implicitamente dalla equazione : f(g) = X \, , dove f è una serie formale di potenze nota con f(0) = 0, allora i coefficienti di g possono essere calcolati esplicitamente mediante il teorema di inversione di Lagrange.

Generalizzazioni

Sono state individuate varie generalizzazioni delle serie formali di potenze "normali" sopra trattate che si dimostrano utili strumenti per la sistemazione e la generalizzazione di risultati trovati in ricerche specifiche e frammentarie, in particolare su funzioni speciali e formule di ricorrenza. Una prima generalizzazione riguarda le serie formali di potenze in più variabili; esse costituiscono una estensione naturale di quelle su una sola variabile. Si possono poi possono considerare anelli di serie formali di potenze non necessariamente date da interi naturali, ma soltanto corrispondenti ad insiemi di interi con un limite infeiore o insiemi di interi con un limite superiore. Infatti per due di tali serie risulta ancora possibile definire un prodotto di Cauchy mediante convoluzioni discrete. Tra queste serie accenniamo a quelle di Laurent. Infine introduciamo una generalizzazione concernente indici che corrono in generici gruppi abeliani ordinati.

Serie formale di Laurent

Se R = K è un campo, allora KX è un dominio di integrità e quindi si può considerare il suo campo quoziente. Questo viene detto anello delle serie formali di Laurent e viene denotato con K((X)). Si tratta di un campo topologico e la sua relazione con le serie formali di potenze è analoga a quella tra serie di potenze e serie di Laurent. I suoi elementi hanno la forma : f = \sum_ a_n X^n dove M è un intero che dipende dalla f (non si chiede che tutte le serie del campo abbiano la stessa potenza minima). Anche per le serie formali di Laurent la differenziazione viene definita in modo naturale, cioè (termine a termine). Oltre alle regole elencate sopra a propositi di differenziazione formale delle serie, vale anche la regola del quoziente.

Serie con l'insieme indice dato da un gruppo abeliano ordinato

Facciamo ancora riferimento ad un anello commutativo R e sia G un gruppo abeliano ordinato, cioè un gruppo abeliano munito di un ordinamento totale "<" che rispetta l'addizione gruppale, ovvero tale che sia a < b se e solo se a + c < b + c per ogni c di G. Sia poi I un sottoinsieme bene ordinato di G, cioè un sottoinsieme che non contiene catene discendenti infinite. Consideriamo allora l'insieme degli oggetti esprimibili come :\sum_ a_i X^i per tutti questi I e con i coefficienti ai appartenenti ad R, assumendo anche per ogni insieme indice che la somma corrispondente a tutti gli ai nulli in R dia lo zero della nuova struttura. In tali condizioni R((G)) è l'anello delle serie formali di potenze su G; grazie alla richiesta che l'insieme indice sia ben ordinato il prodotto risulta ben definito e naturalmente si assume che due elementi che differiscono dello zero coincidano. Varie proprietà di R si trasferiscono ad R((G)). Se R è un campo, allora è un campo anche R((G)). Se R è un campo ordinato, possiamo ordinare R((G)) chiedendo che ogni elemento abbia lo stesso segno del suo primo coefficiente, definendo come tale il minimo elemento dell'insieme indice I con il coefficiente associato non nullo. Finalmente se G è un gruppo divisibile ed R è un campo reale chiuso, allora R((G)) è un campo reale chiuso, mentre se R è algebricamente chiuso, allora è tale anche R((G)). Questa teoria è dovuta a Hans Hahn, che ha anche mostrato che si ottengono dei sottocampi quando il numero dei termini non nulli è limitato da qualche fissata cardinalità infinita.

Esempi e argomenti associati


- Le serie di Bell sono utilizzate per studiare le proprietà delle Funzioni aritmetiche moltiplicative

Voci correlate


- Serie formale
- Serie di potenze
- Serie di potenze di variabili non commutative
- Funzione generatrice

Bibliografia


- I. Niven (1969): Formal power series, Amer. Math. Monthly, 76, pp. 871-889
- Steven Roman (1979): The algebra of formal series, Adv. in Math., 31 pp. 309-339
- Herbert Wilf (1994): Generatingfunctionology, Academic Press Categoria:Algebra Categoria:Teoria degli anelli Categoria:Combinatoria Categoria:Serie matematiche

Derivata parziale

La derivata parziale di una funzione di più variabili f(x,y,z,...) è una derivata calcolata rispetto all'incremento di una sola tra queste variabili, mentre le altre rimangono costanti.

Derivate parziali in R²

Ogni funzione f con dominio in \mathbb^2 e valori in \mathbb ha due derivate parziali:
- derivata parziale di f rispetto a x:
- derivata parziale di f rispetto a y: Se entrambi i limiti esistono finiti, allora la funzione f si dice derivabile in \mathbb^2. Il vettore che ha per componenti e è detto gradiente della funzione f in (x_, y_) Nota: con \mathbb^2 si intende l'insieme formato da tutte le coppie ordinate (x,y), con x,y \in \mathbb. Categoria:analisi matematica ja:偏微分

New Jersey Route 18

Route 18 is a state highway in New Jersey, United States. Its southern terminus is at Wall Township, New Jersey at Route 138; its northern terminus is at Hoes Lane (Hoes Lane Extension) in Piscataway, New Jersey. It has been recently extended north to Interstate 287 in Piscataway; plans to extend it south to Brielle Circle have been cancelled. Brielle Circle Prior to the 1953 renumbering, Route 18 was Route S28.

External links


- [http://www.nycroads.com/roads/NJ-18/ nycroads.com - NJ 18 Freeway] 018

eurotax spielautomaten Parkiet Hotele w Warszawie metal










































:: RELATED NEWS ::
Neonatal aspiration of meconium
Meconium aspiration syndrome (MAS, alternatively "Neonatal aspiration of meconium") occurs when infants take meconium into their lungs during or before delivery. Meconium is the first stool of an infant, composed of materials ingested during the time the infant spends in the uterus: intestinal epithelial cells, lanugo,
Maltese unit
= Maltese Units = On modern usage, metric is used almost exclusively in commercial transactions. These units are mostly historical, although they are still used in some limited contexts and in idioms and set phrases. Many of these terms are directly related to Arabic units.

Length

Length units were typically used for measuring goods. Distances were traditionally measured in terms of travel time, which explains the lack of large scale units.
- qasba (qasbiet) = 8 ixbar. = ~2.095 m = ~2.292 yd
- x
Enriques surface
In mathematics, an Enriques surface is an algebraic surface such that the irregularity q = 1 and the canonical line bundle is non-trivial but has trivial square. Enriques surfaces are all algebraic (and therefore Kähler) and are elliptic surfaces of genus 1. They are quotients of K3 surfaces by a group of order 2 and their theory is similar to that of algebraic K3 surfaces.

Invariants

The plurigenera Pn<
Prehistoric Portugal
Prehistoric Portugal. Portugal has been inhabited for at least 500,000 years, first by Neanderthals and then by homo sapiens.

Paleolithic


- 200th millennium BC – In the Paleolithic period the Read More...
Anders Johansson
Anders Johansson (born May 25, 1962 in Gothenburg) is a Swedish musician. He is the son of Jan Johansson and brother of keyboardist Jens Johansson. The first instrument Anders played was the piano, but at the age of 14 he switched to
Pre-Roman Portugal
Pre-Roman Portugal.

Iron Age


- 10th Century BC
  - First contacts between Phoenicians and Iberia (along the Mediterranean coast).
  - Development of Tartessos, the fi
The Dark Lovers
The Dark Lovers (ダーク・ラバーズ) - Gakuto's four female followers who serve him in exchange for his love for them. They are... Izul (イズール, Izūru) - The most mature of the four, she has the power control waves and marine beasts and has the ability to create dragons from water. She really is a shark made by Gakuto. Eriru (エリル) - The one with the multiple personality disorder. At one phase, she is
First County of Portugal
The First County of Portugal.

9th Century


- 868 - Establishment of the 1st County of Portugal, a fiefdom of the Kingdom of Asturias, by count Vímara Peres, after the reconquest from the Moors of the region between the
Second County of Portugal
The Second County of Portugal.

11th century


- 1077 - Alfonso VI of Castile and León proclaimes himself Emperor of all Spains.
- 1080
  - Coimbra is again a Diocese.
&nb
All Rights Reserved 2005 wikimiki.org