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Austauschwechselwirkung

Austauschwechselwirkung

Die Austauschwechselwirkung ist eine Konsequenz des Pauli-Prinzips, und zwar eine logische Folge, die sich aus dem Austausch ununterscheidbarer Teilchen ergibt. Es handelt sich hierbei nicht um eine Wechselwirkung, die nicht klassisch durch eine Kraft vermittelt wird, sondern einen rein quantenmechanischen Effekt, der sich jedoch wie eine klassische Wechselwirkung bemerkbar macht.

Vorüberlegungen

Nach dem Pauli-Prinzip ist die Gesamtwellenfunktion

\psi(\vec r_i,s_i)

i=1,\ldots,n

eines Systems von

n

Fermionen antisymmetrisch, d. h. die Wellenfunktion wechselt bei paarweiser Vertauschung (Austausch) von jeweils zwei Teilchen ihr Vorzeichen:

\psi(\vec r_2,\vec r_1)=-\psi(\vec r_1,\vec r_2)

. Physikalisch bedeutet das Pauli-Prinzip, dass zwei Fermionen niemals den selben Quantenzustand besetzen. Bei einer Separation in Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion fordert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion bei symmetrischer Ortswellenfunktion eine antisymmetrische Spinwellenfunktion, und umgekehrt. Eine (anti)symmetrische Spinwellenfunktion kennzeichnet eine paarweise (anti)parallele Spinorientierung. Die Bedeutung einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion soll im Beispiel weiter unten veranschaulicht werden.

Heuristische Darstellung der Austauschwechselwirkung

Für die Besetzung möglicher physikalischer Zustände ist deren Energieniveau entscheidend. Die Austauschwechselwirkung berücksichtigt den Einfluss des Pauli-Prinzips auf das Energieniveau eines Zustands. Unmittelbar hat das Pauli-Prinzip jedoch keinen Einfluss auf das Energiniveau unterschiedlicher Zustände. Der energetische Effekt des Pauli-Prinzips ist vielmehr mittelbarer Natur. Am einfachsten wird dies verdeutlicht anhand eines Beispiels mit lediglich zwei Fermionen:

Beispiel mit zwei Fermionen

(siehe Diskussion) In einem solchen System können die beiden Spins parallel oder antiparallel ausgerichtet sein. Das Pauli-Prinzip ordnet diesen beiden Konstellationen keinen energetischen Unterschied zu, es verlangt lediglich, dass die zugehörigen Ortswellenfunktionen antisymmetrisch, respektive symmetrisch sind. Bei symmetrischer Wellenfunktion kann es vorkommen, dass man beide Fermionen an der selben Stelle vorfindet. Handelt es sich bei den Fermionen nun um gleichsinnig geladene Teilchen (z. B. Elektronen, die beide die Elementarladung

-e

tragen), so stoßen sie sich aufgrund der Coulombkraft ab, d. h. je näher sich die Teilchen kommen, desto energetisch ungünstiger ist der Zustand. Die Elektronen versuchen somit einen maximalen Abstand einzunehmen. Bei antisymmetrischer Ortswellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fermionen an der selben Stelle zu finden, null. Dies folgt aus

\psi(\vec r_2,\vec r_1)=-\psi(\vec
r_1,\vec r_2)

für

\vec r_1 = \vec r_2

. Des Weiteren kann man berechnen, dass der durchschnittliche Abstand der beiden Teilchen bei einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion größer ist. Daher ist bei gleichsinnig geladenen Teilchen eine antisymmetrische Ortswellenfunktion günstiger, die ihrerseits mit einer parallelen Spinorientierung korreliert. D. h. aus der Kombination des Pauli-Prinzips mit der Coulombabstoßung folgt, dass die Konstellation mit parallelen Spins energetisch günstiger ist. Dies führt direkt zur Hundschen Regel und zu der Unterscheidung zwischen Para- und Ortho-Helium

Konsequenzen der Austauschwechselwirkung

Allgemein ist der Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen Fermionen begrenzt, auch ist ein Verlauf der Ortswellenfunktion denkbar, der antisymmetrische Lösungen auch für Fermionen liefert, die an unterschiedlichen Orten lokalisiert sind. Die begünstigte Spinordnung in einem beliebigen Fermionensystem hängt daher vom konkreten Verlauf der Wellenfunktion ab. In Festkörpern beobachtet man unterschiedlichste Spinordnungen, die die magnetischen Eigenschaften des jeweiligen Festkörpers prägen.

Siehe auch

Magnetische Ordnung, Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus, Ferrimagnetismus, Spindichtewelle Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Festkörperphysik Kategorie:Physikalische Chemie

Pauli-Prinzip

Das Pauli-Prinzip (auch paulisches Ausschlussprinzip) ist ein wichtiges, experimentell entdecktes Prinzip der Quantenmechanik. Es ist nach seinem Entdecker Wolfgang Pauli benannt.

Spezielle Form (Pauli-Verbot)

In seiner zuerst beobachteten und einfachsten Form gilt, dass in einem Atom keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die zu seiner Zustandsbeschreibung im Atommodell notwendig sind, übereinstimmen dürfen. Die relevanten Quantenzahlen im Atom sind dabei die Schale des Elektrons (Hauptquantenzahl), der Spin der Elektronen (Spinquantenzahl) sowie die Drehimpulsquantenzahl und die magnetische Quantenzahl.

Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)

Formulierung

Die Gesamtwellenfunktion

\psi(\vec r_i,s_i)

eines Systems von

n

Fermionen ist total antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchen: :

\psi(\vec r_1,\ldots,\vec
r_n,s_1,\ldots,s_n)=-P\psi(\vec r_1,\ldots,\vec
r_n,s_1,\ldots,s_n)

. Dabei sind

\vec r_i

und

s_i

Ort und Spin des

i

-ten Fermions, und

P

der Permutationsoperator, der die paarweise Vertauschung von jeweils zwei Teilchen bewirkt (

P\psi(\vec r_1,\vec r_2)=\psi (\vec r_2,\vec r_1)

Anschauliche Deutung

Die totale Antisymmetrie einer Wellenfunktion bedeutet, dass sie bei Vertauschung zweier beliebiger Teilchen ihr Vorzeichen wechselt. Physikalisch bedeutet die Antisymmetrie, dass zwei Fermionen niemals den selben Quantenzustand besetzen können: stimmen nämlich zwei Fermionen in Ort und Spinquantenzahl überein, so verändert eine formale Vertauschung der beiden Fermionen aufgrund derer Ununterscheidbarkeit die Wellenfunktion nicht. Die einzige Lösung ist dann eine verschwindende Gesamtwellenfunktion wegen

\Psi = - \Psi

, also

\Psi = 0

. Bei einer Separation in Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion fordert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion bei symmetrischer Ortswellenfunktion eine antisymmetrische Spinwellenfunktion, und umgekehrt. Eine (anti)symmetrische Spinwellenfunktion kennzeichnet eine paarweise (anti)parallele Spinorientierung. Die triviale Lösung einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion erhält man, wenn sich die paarweise vertauschten Teilchen am selben Ort befinden (

\vec r_i=\vec r_j

Gültigkeit

Das Pauli-Prinzip gilt für alle Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin). Diese genügen der Fermi-Dirac-Statistik aufgrund des sogenannten Spin-Statistik-Theorems. Neben Fermionen gibt es auch Teilchen mit ganzzahligem Spin. Für diese so genannten Bosonen gilt das Pauli-Prinzip nicht. Sie genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände besetzen (im Extremfall bis zum Bose-Einstein-Kondensat).

Konsequenzen

Das Pauli-Prinzip führt zur Austauschwechselwirkung und ist für die Spinordnung in Atomen (Hundsche Regeln) und Festkörpern (Magnetismus) verantwortlich. In der Kosmologie wird durch das Pauli Prinzip erklärt, dass alte Sterne wie zum Beispiel weissen Zwerge oder Neutronensterne nicht unter ihrer eigenen Gravitation zusammenbrechen. Hierbei erzeugen die Fermionen einen Gegendruck, der einer weiteren Kontraktion entgegenwirkt. Siehe auch: Ununterscheidbare Teilchen, Kooperatives Phänomen, Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus, Spindichtewelle Kategorie:Quantenphysik ja:パウリの排他原理 ko:파울리 배타 원리

Wechselwirkung

Unter dem Begriff Wechselwirkung versteht man Auswirkungen eines Instrumenteeinsatzes auf die Wirksamkeit eines anderen Instrumentes. Er ist vom Begriff Nebenwirkung zu unterscheiden.

Physik

In der Physik, wie auch allen anderen Naturwissenschaften, nimmt das Prinzip der Wechselwirkung eine zentrale Rolle ein. Es werden dabei vier Arten von grundlegenden Wechselwirkungen unterschieden, die auch als die vier Grundkräfte der Physik bezeichnet werden. Nur Körper, die miteinander wechselwirken, können eine Kausalkette ausbilden. Alles, was außerhalb dieser Kausalität liegt und folglich nicht mit der uns bekannten Welt in Wechselwirkung tritt, ist demnach auch nicht an deren Kausalität gebunden, kann also insbesondere nicht gemessen werden. Die Physik kann daher auch keine Aussagen zu diesen machen. Hierzu gehört zum Beispiel die Frage, ob andere Universen existieren oder was vor dem Urknall war. Alles was in diesem Sinne mit unserer Welt in Wechselwirkung tritt, kann prinzipiell gemessen werden, ist damit aber auch dessen Kausalkette unterworfen und unterliegt wiederrum selbst Wechselwirkungen. Aus den oben genannten Gründen resultieren viele Grundeinstellungen der Physik in erkenntnistheoretischer Sicht und besonders gegenüber sprituellen, das heißt nicht materialistischen Wechselwirkungen. Siehe auch: Actio und reactio, Ockhams Rasiermesser

Recht

siehe Wechselwirkungslehre

Pharmazie

In der Pharmazie kann es durch die Gabe von mehreren Medikamenten zwischen ihnen ebenfalls zu Wechselwirkungen kommen. Dadurch kann die Wirkung eines Medikaments verstärkt, abgeschwächt oder sogar ganz aufgehoben werden. Siehe auch: Feld

Soziologie

Seit Georg Simmel spielt der Begriff "Wechselwirkung" auch in der Soziologie eine bedeutende Rolle.

Sonstiges

Wechselwirkung ist der Name einer Zeitschrift für Naturwissenschaft, Technik und Gesellschaft.

Weblinks

- [http://www.wechselwirkung.com Die Zeitschrift Wechselwirkung] Kategorie:Physik

Klassische Mechanik

Die Klassische Mechanik (oft auch Newtonsche Mechanik, nach Isaac Newton, der wichtige fundamentale Beiträge zu deren Verständnis lieferte) ist die Physik sich bewegender Objekte der alltäglichen Art. Beispiele von Problemen, die mit klassischer Mechanik gut beschrieben werden können sind der freie Fall von Objekten, Planetenbewegungen oder Bewegungen Starrer Körper (z.B. Kreisel). Die klassische Mechanik versagt bei Problemen, die relativistische oder quantenmechanische Effekte zeigen. Die klassische Mechanik lässt sich zum überwiegenden Teil aus den drei Newtonschen Axiomen ableiten. Wenn wir folgende Abkürzungen verwenden (fett heißt vektorielle Größe, SI-Einheit in Klammern):
- t Zeit (Sekunde)
- m Masse eines Körpers (Kilogramm)
- $\Delta s$ zurückgelegte Strecke (Meter)(Oft auch einfach x genannt)
- v Geschwindigkeit (Meter/Sekunde)
- a Beschleunigung (Meter/Sekunde²)
- F Kraft (Newton=Kilogramm
- Meter/Sekunde²) können wir einige Zusammenhänge ganz axiomatisch aufbauen. Was heißt Geschwindigkeit eigentlich? Bei einer konstanten Geschwindigkeit können wir eine bestimmte Zeit warten und die zurückgelegte Strecke messen. Dann hat der Körper die Geschwindigkeit :

v=\frac

Wenn gleichzeitig eine Kraft auf den Körper wirkt, und sich seine Geschwindigkeit dadurch zeitlich verändert, bekommen wir damit jedoch nur eine Art Durchschnittsgeschwindigkeit! Was heißt nun Geschwindigkeit? Hier hat Newton seinen großen Durchbruch gehabt: er definierte die Ableitung einer Größe :

\dot=v=\frac

welche die Geschwindigkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt definiert. Hierbei wird das untersuchte Zeitintervall immer weiter verkleinert und die entsprechende Strecke gemessen (ein Limes t->0). Die weitere Diskussion dieser Tatsache soll der Analysis überlassen bleiben, hingegen definiert die Ableitung der Ortsfunktion zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit: :

v(t)=\frac

Analoges gilt für die Beschleunigung, definiert als Änderung der Geschwindigkeit: :

\ddot(t) = \dot(t)=a(t)

Nun können wir die zwei ersten Newtonschen Gleichungen so schreiben:
-

F(t)=0\Rightarrow\frac=0

(oder v(t) = konstant)
-

F(t)=m \cdot a(t) =

Letztere Gleichung definiert eigentlich den Begriff Masse, genauer die Träge Masse, welche als Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung die Trägheit des Körpers bestimmt. Allgemein bleibt zu erwähnen, dass in der klassischen Mechanik weiterhin nur Kräfte betrachtet werden, die von Ort und der Geschwindigkeit abhängen, also
-

\vec=\vec(\vec(t),\dot(t),t)

Dies ist die Grundlage und ein Beispiel der Arbeitsweise in der klassischen Mechanik. Weitere Stichworte der klassischen Mechanik sind
- Statik: Untersuchung ruhender Systeme
- Dynamik: Newtonsche Axiome
- Kinematik: Untersuchung bewegter Körper
- Schwingungslehre
- konservative Systeme
- Lagrange-Formalismus
- Hamilton-Formalismus
- Symmetrien und Erhaltungssätze

Literatur

- Wolfgang Nolting: Grundkurs: Theoretische Physik Band 1. Springer Verlag
- Frank Linhard: Klassische Mechanik, Fischer kompakt, 2002 (Inhaltsverzeichnis, Leseprobe, Links und Glossar siehe hier [http://www.fischer-kompakt.de/inhalt/189003])
- F.Scheck: Mechanik: von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos, Springer Verlag 1988
- Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Springer Verlag

Siehe auch

Portal:Physik Kategorie:Klassische Mechanik ja:古典力学

Kraft

Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Fachbegriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit, Körper zu beschleunigen oder zu verformen. Als physikalische Größe wird Kraft durch das Formelzeichen F (von frz./engl. force) bezeichnet. Ihre Einheit ist das Newton (N), zu Ehren von Sir Isaac Newton, der mit seinen Bewegungsgesetzen den modernen physikalischen Kraftbegriff schuf.

Wort- und Begriffsgeschichte

Das Wort Kraft ist altgermanischen Ursprungs; im Englischen hat craft infolge der Konkurrenz durch Altfrz. force eine eingeengte Bedeutungsentwicklung genommen. In der physikalischen Fachsprache ist Kraft spätestens im 17ten Jahrhundert mit Lat. vis, Frz. force gleichgesetzt worden (Kant: Von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte, 1747). Jenseits der Physik hat force im Engl. und Frz. breitere Bedeutungen als im Dt. und kann auch als Macht oder Stärke übersetzt werden (la force militaire d'un pays; la force du vent). Das griechische Wort für Kraft, δύναμις, lag der CGS-Einheit dyn zugrunde und lebt fort in Dynamik, was als physikalischer Fachbegriff die Lehre von der Bewegung unter dem Einfluss von Kräften bezeichnet. Im Deutschen bezeichnet Kraft eine körperliche oder geistige Voraussetzung zu bestimmten Handlungen (Muskelkraft; Krafttraining). In der zweiten Bedeutung – der Ausführung der Tätigkeit selbst (eine Kraft ausüben; unter der Kraft zusammenbrechen) kommt die Alltagsvorstellung von Kraft dem physikalischen Fachbegriff nahe. Der umgangssprachliche Kraftbegriff umfasst jedoch auch die Arbeitskraft oder die Schreibkraft. Der Begriff wurde früh auch auf Nichtlebendiges übertragen, so in Heilkraft (getrockneter Kräuter oder eines bestimmten Wassers). In der Rechtssprache bedeutet Kraft seit dem Mhd. Gültigkeit, heute nur noch in bestimmten Formeln: in/außer Kraft bleiben/treten/setzen, vgl. rechtskräftig. Aus in/durch Kraft entstand die Präposition kraft (kraft Amtes). Als physikalischer Fachbegriff wurde Kraft von Archimedes eingeführt und von Galilei aufgegriffen. Isaac Newton gelang es in seinen Bewegungsgesetzen (veröffentlicht 1687) den Begriff Kraft in bis heute gültiger Weise zu präzisieren. Bis weit ins 19te Jahrhundert benutzten Physiker das Wort Kraft jedoch auch in Bedeutungen, die nicht durch die newtonschen Gesetze gedeckt waren, und zwar insbesondere auch in der Bedeutung von Energie, denn der moderne Energiebegriff wurde erst mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (Julius Robert von Mayer, 1842) geschaffen. Während die Kraft wie auch die Energie in der Physik von Newton über ihre Ursachen und Wirkungen differenziert betrachtet wird (Reibungskraft, Fliehkraft, Schwerkraft, kinetische Energie, potentielle Energie, Wärmeenergie usw.), unterscheidet die moderne Physik noch vier Grundkräfte und nennt sie auch Wechselwirkungen:
- Elektromagnetische Wechselwirkung
- Schwache Wechselwirkung
- Starke Wechselwirkung
- Gravitation Die Erscheinungen, die durch den Magnetismus und "magnetische Kräfte" beschrieben werden, sind lediglich ein relativistischer Nebeneffekt elektrischer Ströme. Alle newtonschen Kräfte lassen sich auf diese vier zurückführen. Eine wahrscheinliche Hypothese geht davon aus, dass auch sie in Wirklichkeit nur verschiedene Ausprägungen der selben Sache sind. Allerdings ist es bisher erst gelungen, die Elektromagnetische und die Schwache Wechselwirkung einheitlich zu erklären ("Elektroschwache Wechselwirkung").

Wirkung und vektorieller Charakter von Kraft

Kräfte erkennt man an ihren Wirkungen:
- Eine Kraft kann die Geschwindigkeit oder Bewegungsrichtung eines Körpers ändern.
- Eine Kraft kann einen Körper verformen (Deformation).
Davon gibt es zwei Arten: #Elastizität: Fähigkeit von Stoffen, eine Formänderung rückgängig zu machen, sobald die einwirkende Kraft wegfällt. #Plastizität (Duktilität): Vermögen eines Werkstoffes, seine Gestallt beizubehalten, die durch eine Krafteinwirkung entstanden ist. Um eine Kraft zu beschreiben, genügt es nicht, Zahlenwert und Einheit anzugeben; wichtig ist auch die Richtung, in die die Kraft wirkt:
- Wenn die Kraft in die gleiche Richtung zeigt wie die Geschwindigkeit des Körpers, auf den sie wirkt, beschleunigt sie ihn (Beschleunigung). Wenn die Kraft der Geschwindigkeit entgegengesetzt ist, bremst sie ihn ab. Bei jedem anderen Winkel zwischen Kraft und Geschwindigkeit bewirkt die Kraft auch eine Richtungsänderung (Querbeschleunigung).
- Die Verformung eines Körpers kommt genau genommen nicht durch eine einzelne Kraft zustande, sondern dadurch, dass an verschiedenen Angriffspunkten verschiedene Kräfte wirken (Spannung). Je nachdem, wie diese Kräfte gerichtet sind, wird der Körper gedehnt, komprimiert oder verzerrt. Eine physikalische Größe, die wie die Kraft erst durch die Angabe von Zahlenwert, Einheit und Richtung festgelegt ist, nennt man eine vektorielle Größe. Solche Größen kann man als Pfeile darstellen. In einem kartesischen Koordinatensystem hat ein Kraftvektor drei Komponenten: :F = (F_x; F_y; F_z) Hier und im Folgenden kennzeichnen wir Vektoren durch Fettdruck. Um beispielsweise die Gewichtskraft F_G zu beschreiben, mit der ein Körper der Masse m von der Erde angezogen wird, wählt man ein Koordinatensystem mit vertikaler z-Achse und erhält (mit der Erdbeschleunigung g) :F_G=(0; 0; m · g). Um mechanische Spannungen zu beschreiben, muss man Kraft sogar als ein vektorielles Feld auffassen: in jedem Angriffspunkt, bezeichnet durch den Ortsvektor r, kann prinziell eine andere Kraft F(r) herrschen.

Kraft in den newtonschen Gesetzen

Zum vektoriellen Charakter der Kraft gehört, dass sich entgegengerichtete Kräfte nach den Regeln der Vektoraddition aufheben können. Ist das der Fall, herrscht ein Kräftegleichgewicht. Ein Körper bewegt sich geradlinig, solange die auf ihn wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sind. Insbesondere bleibt ein ruhender Körper in Ruhe. Auf diesem ersten newtonschen Axiom beruht die gesamte Statik. Nach dem zweiten newtonschen Axiom bewirkt eine Kraft F, die auf einen freien Körper ausgeübt wird, eine Änderung von dessen Impuls p: in jedem infinitesimal kurzen Zeitraum dt ändert sich der Impuls des Körpers um dp gemäß :F = d p / d t. Der Impuls eines Körpers hängt über p = m v mit Masse m und Geschwindigkeit v zusammen; da die Masse des Körpers in den meisten Anwendungen konstant bleibt (bekannte Ausnahme: die Herleitung der Raketengleichung), schreibt man das zweite newtonsche Axiom meistens in der Form :F = m d v / d t = m · a wobei a für die auf den Körper wirkende Beschleunigung steht. Diese Gleichung ist der Prototyp einer Bewegungsgleichung: wenn die Kraft F(r; t), sowie die Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers gegeben sind, dann legt die Gleichung F = m · a den gesamten weiteren Bewegungsverlauf des Körpers fest. Die Hauptaufgabe der theoretischen Mechanik besteht darin, mit Hilfe der Vektoranalysis oder unter Nutzung des Lagrange- oder Hamilton-Formalismus diese Berechnung tatsächlich auszuführen. Die grundsätzliche, wenn auch nicht praktische Möglichkeit, aus gegebenen Anfangsbedingungen und Kräften die Bewegung beliebig komplizierter Systeme vorauszuberechnen, trug im 18. Jahrhundert zur Verbreitung eines mechanistischen Weltbildes bei. Das mechanistische Weltbild erklärt gut konservative Systeme, aus denen keine Energie entweicht. In der Praxis kommen jedoch nicht nur konservative Kräfte vor, sondern auch Reibungskräfte, die zur Erzeugung von Wärme führen, was nichts anderes ist, als ungeordnete Bewegung auf mikroskopischem Niveau. Die Entropie jedes Systems erhöht sich somit unumkehrbar, man spricht auch vom Wärmetod. Die Thermodynamik ergänzt die Mechanik entsprechend. Die Paradoxa der statistischen Mechanik, die Quantenmechanik und die Chaostheorie zeigten seit ungefähr 1900 grundsätzliche Grenzen der Berechenbarkeit in Modellen der klassischen Physik auf.

Messung von Kräften

Die Definition der SI-Einheit Newton als abgeleitete Einheit, 1 N = 1 kg · m / s², beruht auf der Möglichkeit, gemäß F = m · a eine Kraft über die von ihr verursachte Beschleunigung zu messen. Im Schulunterricht und in einigen anspruchslosen Anwendungen der Mechanik misst man Kräfte hingegen über die Verformung von Federn (die letztlich gegen F = m · a kalibriert sind). Dabei nutzt man das Hooke'sche Gesetz, demzufolge eine nicht zu starke Ausdehnung (Überdehnung) einer Spiralfeder der ausgeübten Kraft proportional ist. Die Kraft für das Zusammendrücken oder Auseinanderziehen ist jeweils: F = k · s, wobei s die Verlängerung oder Verkürzung in beispielsweise Zentimetern [cm] ist. Der Ausdruck k steht für die Federeigenschaft (weich oder hart), der sogenannten Federkonstante mit der Einheit [kp/cm]. Ist der Federweg z. B. 10 cm bei einer Feder mit k = 5 kp/cm, dann ist das Produkt F = 5 kp/cm · 10 cm = 50 kp

Verschiedene Kräfte

Gewichtskraft, träge und schwere Masse, ultra schwere Masse

Die Gravitation macht sich als Schwerkraft oder, gleichbedeutend, Gewicht oder Gewichtskraft bemerkbar. Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Körper von der Erde angezogen wird. Diese Kraft ist proportional zur Masse m des Körpers, :F_G = m · g. Der Proportionalitätsfaktor g ist schwach ortsabhängig; im Schulunterricht wird er daher Ortsfaktor genannt. Er hat in Mitteleuropa den ungefähren Zahlenwert g = 9,81 N / kg; für viele Anwendungen genügt es, mit der Näherung 10 N/kg zu rechnen. Wenn man F_G in die linke Seite der newtonschen Bewegungsgleichung F = m · a einsetzt, erhält man m · g = m · a, wobei g für einen senkrecht nach unten gerichteten Vektor mit Betrag g steht. Aus dieser Beziehung kürzt sich die Masse m heraus, so dass man den Ortsfaktor g als eine Beschleunigung, die Erdbeschleunigung, identifizieren kann; folglich gibt man g auch in der Einheit m/s² an. Dass die Masse eines Körpers sowohl in die Bewegungsgleichung F = m · a als auch in die Gewichtskraft F_G = m · g eingeht, ist vielleicht der erstaunlichste Befund der newtonschen Mechanik. Man hat zwischen träger Masse (in der Bewegungsgleichung) und schwerer Masse (in der Bestimmung der Gewichtskraft) unterschieden und experimentell Abweichungen gesucht, aber nicht gefunden. Erst mit der allgemeinen Relativitätstheorie wurde erklärt, warum träge und schwere Masse tatsächlich exakt übereinstimmen.

Elektromagnetische Kräfte

Elektromagnetische Kräfte können als Anziehung oder Abstoßung zwischen elektrisch geladenen Körpern oder zwischen Magneten beobachtet werden. Viel bedeutsamer ist aber, dass solche Kräfte auch im Inneren von Materie wirken. Unsere Stoffwelt ist zusammengesetzt aus elektrisch positiv geladenen Atomkernen und negativ geladenen Elektronen. Positive und negative Ladungen kompensieren sich gegenseitig, so dass Alltagsgegenstände als ganze in der Regel elektrisch ungeladen sind. Selbst in elektrostatisch aufgeladenen Gegenständen herrscht, relativ gesehen, nur ein ganz geringer Elektronenüber- oder unterschuss. Deshalb sind die im Inneren von Materie wirkenden Kräfte um viele Größenordnungen stärker als elektrostatische Kräfte zwischen Alltagsgegenständen. Im wesentlichen bestehen die elektromagnetischen Kräfte im Inneren von Materie aus der elektrostatischen Anziehung und Abstoßung zwischen Elektronen und Atomkerne sowie aus der Lorentzkraft, die auf in Magnetfeldern bewegte Elektronen wirkt. Diese fundamentalen Kräfte machen sich in vielfältiger Weise bemerkbar:
- als Widerstand, den ein Körper einer Verformung entgegensetzt (Federkraft, Kompressibilität, Schubmodul);
- als Reibung zwischen den Oberflächen verschiedener Körper;
- als elektromotorische Kraft, die Elektronen durch einen Leiter treibt;
- in Fluiden als Kompressibilität und Viskosität.

Scheinkräfte

Im einfachsten Anwendungsfall beschreibt die newtonsche Bewegungsgleichung F = m · a die Bewegung eines einzelnen Körpers in einem gegeben Kraftfeld. In dieser Gleichung steht a für die zweite Zeitableitung des Ortsvektors r(t) des Körpers; die Kraft F ist in der Regel orts-, wenn nicht auch noch zeitabhängig. Das volle mathematische Problem der newtonschen Mechanik lautet also, unter gegebenen Anfangsbedingungen r(0) und v(0) aus der vektoriellen Differentialgleichung :F(r(t)) = m · d² r(t) / d t² den zeitlichen Verlauf von r(t) zu bestimmen. Die mathematische Struktur dieser Gleichung ist so anspruchsvoll, dass selbst eine so einfach formulierte Aufgabe wie die Berechnung einer Planetenbahn im Feld einer mit 1 / r² abnehmenden Zentralkraft im gymnasialen Schulunterricht in aller Regel unzugänglich bleibt. Nichtsdestoweniger sind Ergebnisse der newtonschen Mechanik längst in unser Alltagsdenken eingedrungen. Das wurde möglich, indem man an diese Ergebnisse eine eigene Begrifflichkeit geknüpft hat. Diese Begrifflichkeit besteht insbesondere aus einer ganzen Reihe von Scheinkräften, hinter denen sich partielle Lösungen oder Umformungen der newtonschen Gleichung verbergen. Beispiele für solche Scheinkräfte sind
- die Zentrifugalkraft, (Fliehkraft; siehe auch Zentripetalkraft);
- die Coriolis-Kraft;
- diverse Zwangskräfte in der technischen Mechanik. Ein Beispiel für einen anderen Begriff, der eine ganze Klasse von Kraftwirkungen zusammenfasst, ist das Drehmoment.

Eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte, Auflagerkräfte

Um in der Technischen Mechanik technische Systeme (z. B. Tragwerke) einer Berechnung zugänglich zu machen, werden Bindungen zwischen den Körpern des Systems bzw. zwischen dem System und seiner Umwelt, die nur geringe Formänderungen zulassen, als starre Bindungen idealisiert. Solche starren Bindungen sind in der Regel Gelenke zwischen den Körpern oder Auflager. Damit geht der physikalische Charakter dieser Bindungen verloren, und die durch diese Bindungen bedingte mechanische Wechselwirkung der Körper wird durch die Zwangskräfte repräsentiert. Im Gegensatz dazu stehen die eingeprägten Kräfte, die – wie oben erläutert – ihre Ursache in physikalischen Gesetzen haben. Eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte erfüllen zusammen die Gleichgewichtsbedingungen.

Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m06_hooke.htm Krafteinführung und Gesetz von Hooke]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m07_zus_zerl.htm Kraftaddition und Zerlegung] Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Mechanik ja:力 simple:Force (physics)

Wellenfunktion

Eine Wellenfunktion ist eine (im allgemeinen komplexe) Lösung einer Wellengleichung. In der Quantenmechanik dienen Wellenfunktionen zur mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Wellenfunktionen werden häufig mit dem griechischen Buchstaben Ψ (Psi) bezeichnet. In der schrödingerschen Quantenmechanik ergeben sich Wellenfunktionen Ψ(x,t) als Lösung der Schrödingergleichung. Für eine normierte Wellenfunktion gibt das Betragsquadrat |Ψ(x,t)|² die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt am Ort x zur Zeit t an. Im Schrödingerbild der Quantenmechanik ist die Wellenfunktion also ein im allgemeinen zeitabhängiger Zustandsvektor (Element im Zustandsraum). Observable wie z.B. Ort, Impuls, Energie werden durch zeitunabhängige lineare Operatoren (Matrizen) im Zustandsraum dargestellt. Mittels der Bildung von Erwartungswerten kann ein Mittelwert physikalischer Größen im jeweiligen Zustand Ψ berechnet werden. Eine äquivalente Beschreibung, die die selben Erwartungswerte liefert, bietet das Heisenbergbild. In diesem Formalismus sind Zustandsvektoren im allgemeinen zeitunabhängig, Operatoren zeitabhängig - daher der Name Matrizenmechanik. Teilchen mit inneren Eigenschaften werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Für Teilchen-Wellenfunktionen im Ortsraum ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte über einen Ortsbereich die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen (z.B. Elektron) in diesem Raumbereich anzutreffen. Wellenfunktionen enthalten alle Informationen über das jeweilige System (Kopenhagener Deutung). Im Unterschied zur klassischen Physik ist die Aussage, dass ein Teilchen sich an einem bestimmten Ort befindet, im allgemeinen nicht möglich. Siehe auch:
- Orbital
- Wellenpaket Kategorie:Quantenphysik ja:波動関数

Quantenzustand

In der Quantenmechanik ist der Zustand eines physikalischen Systems in Bezug auf eine vorgegebene Theorie definiert als Inbegriff eines minimalen Satzes physikalischer Größen, aus deren Kenntnis sich die im Rahmen der Theorie maximal mögliche Information über das System ableiten lässt. Für den Zustand gibt es in der betreffenden Theorie eine Evolutionsgleichung, aus der sich ergibt, wie sich der Zustand zum Beispiel zeitlich entwickelt. Diese zeitliche Entwicklung des Zustandes heißt Prozess. Zum Beispiel ist der Zustand in der klassischen Mechanik gegeben durch die Orte und Impulse der beteiligten Teilchen. Aus diesen Angaben lassen sich dann alle anderen physikalischen Größen, wie Energien, Drehimpulse und so weiter berechnen. Zu beachten ist hierbei, dass der Zustand in der klassischen Mechanik observabel, also beobachtbar ist, denn Orte und Impulse sind messbar. In der Quantenmechanik ist der Zustand gegeben durch eine abstrakte nicht observable mathematische Funktion

\psi(\vec r,t)

, im einfachsten Fall einer Funktion von Raum und Zeit, der so genannten Wellen- oder

\psi

-funktion. Diese Funktionen werden bestimmt als Lösungen der dazugehörigen Entwicklungsgleichung, der Schrödingergleichung. Die wesentliche Neuerung besteht darin, dass der Zustand des Systems durch eine nicht beobachtbare Funktion repräsentiert wird. Die weitere Konsequenz daraus ist die statistische Interpretation dieses Zustandes. Die Wellenfunktion liefert keine Orte von Teilchen mehr, sondern bestimmt Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Also wie oft sich bei einer sehr großen Zahl von Teilchen in ein und demselben Zustand, ein bestimmter Bruchteil in einem bestimmten Raumbereich aufhält. Siehe auch: Dichtematrix Kategorie:Quantenphysik ja:量子状態

Besetzung

Der Begriff Besetzung wird in folgenden Bedeutungen gebraucht:
- die Besetzung eines fremden Staates, siehe Okkupation
- die vorübergehende oder dauerhafte Besitznahme eines Gebäude(-teils) oder öffentlichen Platzes, siehe Besetzung (Aktion), Hausbesetzung, Instandbesetzung
- die Art und Anzahl der Instrumente und/oder Singstimmen, die ein Musikstück zur Aufführung bringen, siehe Besetzung (Musik), sowie:
- allgemein: Arrangement
- für Orchesterwerke siehe Kurzschrift Orchesterbesetzung, Orchester
- für kammermusikalische Werke siehe Kammermusik
- für vokale Kompositionen siehe Vokalmusik, Chor (Musik)
- für Werke der Pop-Musik, siehe auch Lineup
- die Rollenverteilung bei einem Theaterstück, siehe Rollenbesetzung, Dramatis personae
- das Verfahren der Rollenbesetzung im Theater, Film und bei Musikvereinigungen, siehe Casting (Auswahlverfahren)
- das Verfahren der Stellenbesetzung in der Wirtschaft oder öffentlichen Verwaltung, siehe Stellenbesetzung, Personalbeschaffung
- die Zusammensetzung einer Arbeitsgruppe mit Vertretern verschiedener Interessens- oder Fachgruppen (siehe z.B. Tripartistische Besetzung)
- in der Psychologie die Theorie, dass bestimmte Vorstellungen mit psychischen Energien besetzt sind, siehe Objektbesetzung

Elektron

Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung. Ihr Symbol ist e^-. Sie bilden die Elektronenhülle der Atome (und Ionen). Ihre freie Beweglichkeit in Metallen ist die Ursache für die elektrische Leitfähigkeit von metallischen Leitern. Elektronen gehören zu den Leptonen, einer Unterklasse der Fermionen. Deswegen besitzen sie einen Spin von 0,5. Ihre Antiteilchen sind die Positronen, Symbol e⁺, mit denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften übereinstimmen. Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahre 1897 durch den Briten Joseph John Thomson. Gelegentlich wird das negative Elektron auch als Negatron bezeichnet und der Begriff Elektron als Oberbegriff für Negatron und Positron. Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein, denn an ihm wurde die Elektrizität erstmals beobachtet. Reibt man Bernstein beispielsweise mit einem Katzenfell, so lädt es sich elektrisch auf. Die Bezeichnung Elektron für die Ladungseinheit führte George Johnstone Stoney ein (Philosophical Magazine 40 (1895), 372). Ein Elektron ist ein „Mikroobjekt“, d. h., dass es, ähnlich wie Licht, Wellen- und Teilchencharakter hat. Daraus folgt, dass es der Heisenbergschen Unschärferelation unterliegt. In einem Atom wird das Elektron meist als stehende Materiewelle betrachtet. Elektronen können in polaren Lösungsmitteln wie Wasser oder Wasser in Lösung gehen. Diese Spezies wird als Solvatisiertes Elektron bezeichnet. Bei Lösung von Alkalimetallen in Ammoniak ist sie für die starke Blaufärbung verantwortlich. Diese Größen werden durch das magnetische Moment des Elektronenspins miteinander verknüpft:

\vec=-g_\frac\vec

. Dabei ist

\vec

das magnetische Moment des Elektronenspins,

m_

die Ruhemasse des Elektrons,

e

seine Ladung und

\vec

der Spin.

g_

heißt Landé- oder g-Faktor. Fasst man den Term vor

\vec s

zusammen, so erhält man das Verhältnis aus magnetischem Moment zum Spin, bezeichnet als gyromagnetisches Verhältnis des Elektrons. Für das Elektron ist nach der Dirac-Theorie (relativistische Quantenmechanik) der theoretische Wert von

g_

exakt gleich zwei. Effekte der Quantenelektrodynamik bewirken jedoch eine (geringfügige) Abweichung des Wertes für

g_

von zwei. Elektronen bilden mit Protonen und Neutronen die Atome. Während die beiden letztgenannten Teilchen den Kern bilden, befinden sich die Elektronen in der Atomhülle. Elektronen sind sehr viel leichter als Protonen und Neutronen, etwa um den Faktor 1800. In der Kathodenstrahlröhre bzw. Braunschen Röhre treten Elektronen aus einer beheizten Glühkathode aus und werden im Vakuum durch ein elektrisches Feld in Feldrichtung (in Richtung der positiven Anode) beschleunigt. Durch Magnetfelder werden die Elektronen senkrecht zur Feldrichtung abgelenkt. Diese Eigenschaften der Elektronen haben erst die Entwicklung des Fernsehers und des Computermonitors sowie ihre Nutzung in technologischen Anwendungen (Elektronenkanone) ermöglicht. Die Masse eines ruhenden Elektrons ist immer konstant. Bei bewegten Elektronen (und ein Elektron ist unter normalen Bedingungen immer in Bewegung) muss die Massenzunahme der Relativitätstheorie berücksichtigt werden. An Elektronen kann diese Massenzunahme gut beobachtet werden, da sie sich leicht aufgrund ihrer Ladung auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigen lassen. Die Masse kann dann durch Ablenkung in einem Magnetfeld bestimmt werden. Nach den theoretischen Darstellungen der Quantenelektrodynamik wird das Elektron als Punktteilchen, ohne endliche Ausdehnung angenommen. In guter Übereinstimmung damit ergaben Elektron-Elektron Streuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronengröße von 10^-19 m. Von der Größe zu unterscheiden ist der Wirkungsquerschnitt. Bei der Streuung von Röntgenstrahlen an Elektronen erhält man einen Wirkungsquerschnitt der einem effektiven Elektronenradius von etwa 3·10^-15 m entspräche. Dieselbe Größenordnung ergäbe sich bei einer klassischen (nicht quantentheoretischen) Beschreibung des Elektrons unter den Annahmen: #Elektronen sind kugelförmig, sie bilden einen Kugelkondensator #Die Ladung ist an der Oberfläche verteilt #Die potentielle Energie der Ladung entspricht der Ruheenergie

m_ c^2

Weblinks

- Tabellenwerte vom NIST: http://physics.nist.gov/constants Siehe auch: Myon, Tauon, Elektronenstoß, Positron Kategorie:Bernstein Kategorie:Elementarteilchen Kategorie:Elektrotechnik ja:電子 ko:전자 simple:Electron th:อิเล็กตรอน

Elementarladung

Die Elementarladung ist die kleinste nachgewiesene elektrische Ladung. Der Wert dieser physikalischen Naturkonstanten beträgt e = 1,602 176462 · 10^-19 Coulomb. Die Größe der Elementarladung wurde zuerst von dem Physiker und Nobelpreisträger Robert Andrews Millikan im Millikan-Versuch bestimmt. Positive wie negative Ladungen treten stets als ganzzahlige Vielfache der Elementarladung auf. Ein Elektron hat die Ladung -e. Ein Proton hat die Ladung +e. Die Quantenchromodynamik bedingt, dass die in ihr vorkommenden Quarks Ladungen von e/3 oder 2e/3 besitzen. Diese gedrittelten Elementarladungen wurden durch Streuversuche an Protonen und Neutronen, die aus Quarks aufgebaut sind, bestätigt. Da Quarks nur in bestimmten Zweier- oder Dreierkombinationen auftreten, ist unter normalen Bedingungen nach außen immer nur eine ganzzahlige Elementarladung sichtbar. In der Superstringtheorie treten weitere Unterteilungen der Elementarladung auf. Kategorie:Teilchenphysik Kategorie:Theoretische Elektrotechnik Kategorie:Elektrostatik ja:電気素量

Hundsche Regel

Die Hundsche Regel ist eine empirische Regel in der Chemie, die von Friedrich Hund im Jahr 1925 beschrieben wurde. Sie besagt, dass – wenn für die energiereichsten Elektronen eines Atoms mehrere Orbitale mit gleicher Energie zur Verfügung stehen – diese zuerst mit je einem Elektron mit parallelem Spin besetzt werden. Erst wenn alle Orbitale gleicher Energie mit jeweils einem Elektron gefüllt sind, werden sie auch mit einem zweiten Elektron besetzt. Die Regel gilt nur für den Grundzustand des Atoms. Eine durch einen starken Liganden verursachte Elektronenkonfiguration, die nicht der Hundschen Regel entspricht, wird als magnetisch anomal oder als low spin bezeichnet. Während man im Bereich der Chemie von einer Hundschen Regel (Singular) spricht, sind in der Atomphysik mehrere Hundsche Regeln bekannt. Die Hundsche Regel in der Chemie stellt eine Teilmenge der in der Physik bekannten vier Hundschen Regeln dar.

Siehe auch:

Atommodell, Elektronenkonfiguration, Periodensystem

Weblinks

- http://www.pas-berlin.de/chemie/ch-1/2_Atomistik/232_Pauli.htm Kategorie:Chemie

Magnetische Ordnung

Mit der magnetischen Ordnung meint man die Auszeichnung einer bevorzugten Ausrichtung der atomaren magnetischen Momente zueinander. Alle Festkörper, welche ein makroskopisches magnetisches Moment zeigen, besitzen eine magnetische Ordnung. Das Zustandekommen einer bevorzugten Ausrichtung liegt in der Austauschwechselwirkung der atomaren Gesamtdrehmomente. Eine bestimmte Anordnung ist energetisch vorteilhafter und führt damit zu einer Kopplung. Diese lässt sich sich anschaulich durch ein einfaches Modell verstehen, wenn man sich einen Festkörper aus kleinen Stabmagneten aufgebaut vorstellt: Legt man zwei solche Magnete nebeneinander, so werden sie sich antiparallel ausrichten. Hat man jedoch sehr viele Magnete in einer dreidimensionalen Anordnung, so kann die energetisch günstigere Möglichkeit auch eine andere Ausrichtung sein. Man unterscheidet verschiedene Klassen der magnetischen Ordnung: ; Ferromagnetische Ordnung : Hier stehen die magnetischen Momente vorzugsweise parallel zueinander. Die Elemente Eisen, Nickel und Cobalt sind ferromagnetische Stoffe. ; Antiferromagnetische Ordnung : In diesem Fall ist die bevorzugte Ausrichtung antiparallel. Die einfachen Oxide der ferromatischen Elemente sind antiferromagnetisch. ; Ferrimagnetische Ordnung : Ferrimagnete sind eine Mischform zwischen Ferro- und Antiferromagneten. Hier ist die Ausrichtung der magnetischen Momente zwar antiparallel, jedoch sind diese in eine Orientierung stärker. Ferrite und Eisengranate gehören in diese Kategorie. In allen Klassen gibt es verschiedene Erscheinungsformen wie in den Bildern rechts zu sehen ist. Elementare wellenartige Anregungen der magnetischen Ordnung werden als Magnonen bezeichnet. Die nötige Energie um ein solches Magnon anzuregen, liegt weit unterhalb der Energie, die nötig wäre, um einen Spin gegen seine bevorzugte Richtung umzuklappen. Die magnetische Ordnung wird oberhalb einer kritischen Temperatur zerstört. Bei Ferromagneten heißt diese Curie-Temperatur, bei Antiferromagneten Néel-Temperatur. Oberhalb ihrer jeweiligen Grenze verhalten sich die Stoffe paramagnetisch. Unterschiede zwischen den verschiedenen Klassen gibt es bei allen Phänomenen, welche mit der magnetischen Ordnung zusammenhängen. So ist die magnetische Suszeptibilität unterhalb ihrer jeweiligen Schwellentemperatur wie auch die Dispersionsrelation für Magnonen grundverschieden. Kategorie:Magnetismus Kategorie:Festkörperphysik

Antiferromagnetismus

Der Antiferromagnetismus (griech.: anti gegen; lat.: ferrum Eisen; von griech.: magnetis (lithos) Stein aus Magnesien) ist ein kooperatives, magnetisches Phänomen, welches u.a. von Louis Néel eingehend untersucht wurde. Bei diesem Effekt sind die Spins der Atome antiparallel zueinander ausgerichtet und sie kompensieren sich exakt über den gesamten Kristall. Unterhalb der so genannten Néel-Temperatur ist die Permeabilität fast temperaturunabhängig. Oberhalb dieser Temperatur ist das Verhalten des Körpers paramagnetisch. Die Ausbildung der antiferromagnetischen Ordnung lässt sich genau wie bei anderen kooperativen magnetischen Phänomenen durch die Austauschwechselwirkung erklären. Siehe auch: magnetische Ordnung, Ferromagnetismus, Spindichtewelle, Ferrimagnetismus Kategorie:Magnetismus Kategorie:Festkörperphysik ja:反強磁性

Kategorie:Festkörperphysik

Zu dieser Kategorie zählen alle Beiträge zur Festkörperphysik, die nicht speziell den Bereich Kristalle (siehe Unterkategorie) zugeordnet werden können. Insbesondere zählen dazu elektronische, optische, magnetische, und thermische Eigenschaften von Festkörpern (klassisch in Leiter, Isolatoren und Halbleiter eingeteilt). In diese Kategorie werden auch die Beiträge zur Tieftemperaturphysik gezählt, solange keine eigene Unterkategorie existiert. Kategorie:Physik Kategorie:Mikroelektronik ja:Category:固体物理学 ko:분류:고체물리학

David Blackwell

David Blackwell (born 1919) is Professor Emeritus of Statistics at the University of California at Berkeley, and is one of the eponyms of the Rao-Blackwell theorem. Category:statisticians Category:1919 births

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