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Auswahlaxiom

Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Es lautet: :Ist

A

eine Menge von nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Funktion

F

mit Definitionsbereich

A

, genannt Auswahlfunktion, so dass gilt: ::

\forall X \in A: F(X) \in X

. :

F

wählt also aus jeder Menge

X

A

genau ein Element aus. Es gibt etliche dazu äquivalente Formulierungen, unter anderem das Lemma von Zorn und den Wohlordnungssatz. Die Namen "Lemma" und "Satz" rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig sind wie das Auswahlaxiom selbst. Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Beispielsweise ist es nicht möglich, für eine allgemeine Menge von Teilmengen von

\mathbb

eine Auswahlfunktion explizit anzugeben. Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:
- Für eine endliche Menge

A=\

von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist.
- Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus.
- Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.
- Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche Definition einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das Auswahlaxiom relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne sie anzugeben. Kurt Gödel zeigte 1937, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch das Gegenteil des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also grundsätzlich akzeptabel. Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie z.B. der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. Letztlich steht in der Mathematik nicht zur Debatte, ob ein Axiom richtig oder falsch ist, sondern nur, ob es mehr oder weniger nützlich ist. Kategorie:Mengenlehre ja:選択公理 ko:선택공리

Axiom

Axiom (v. griech.: tà tôn progónon axiómata = als wahr angenommener Grundsatz) nennt man eine Aussage, die grundlegend ist und deshalb nicht innerhalb ihres Systems begründet werden kann bzw. muss. Sie dient als Grundlage für eine deduktive Theorie (vgl. auch Prinzip) und kann deshalb nicht selbst durch diese Theorie begründet werden. Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll, so muss es notwendigerweise solche Axiome geben, denn sonst würde die Argumentation in einem unendlichen Regress enden: Jeder Satz, den ich zur Begründung anführte, bedürfte wieder einer Begründung, usw. Daher ist ein Axiom etwas ganz anderes als eine Vermutung. Ausnahmen:
- der Logizismus, vertreten von Gottlob Frege, der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte. (Aber dann stellt sich - nicht für ihn, aber für uns - die Frage nach der Begründung der Logik).
- die Protokollsatzlehre, vertreten speziell vom logischen Positivismus. Demnach können Sätze der empirischen Wissenschaften auch logisch auf Wahrnehmungserlebnisse zurückgeführt werden, deren Evidenz unmittelbar klar ist. Insbesondere Popper kritisiert diese Position aufgrund der in den wissenschaftlichen Sätzen auftretenden Universalien. Mehrere Axiome können zu einem Axiomensystem gehören, wenn sie in keinem Widerspruch zueinander stehen. So definieren z.B. die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die reellen Zahlen: Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten. Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Plausibilität haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein. Mit Gödel u.a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst, in einer "Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also nur in einer "Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog. Umgangssprache. Der Versuch, mathematische Sachverhalte auf Axiome zurückzuführen, wird als Axiomatisierung bezeichnet.

Beispiele

# Parallelenaxiom: "Zu jeder/m Geraden / Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist. # "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte. # "Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n' ." ist ein Axiom der Arithmetik. Es ist plausibel, weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es mit Streichhölzern schreiben), deren protomathematische Evidenz klar ist. # "Der Raum in einem Inertialsystem ist homogen", d.h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. Sollte dieses Axiom nicht erfüllt sein, gäbe es auf irgendeine Weise ausgezeichnete Stellen im Raum, deren Eigenschaften und Herkunft nur noch im Rahmen einer Religion erklärbar sind (tatsächlich definieren fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits, also einen Ort im Raum, an dem die sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind). In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses. # "Wahr ist Falsch", ein Axiom muss keine Konsequenz einer übergeordneten Schlussfolgerungskette sein. Aus einer Theorie, die ein solches Axiom enthält, lassen sich aber beliebige Schlussfolgerungen ziehen. # Ein Axiom einer Religion oder Weltanschauung wird Dogma oder Paradigma genannt. Kategorie:Logik ja:公理 ko:공리

Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete Axiomatisierung der Mengenlehre. Sie baut auf den Axiomen einer Prädikatenlogik erster Stufe und zusätzlichen mengentheoretischen Axiomen auf, und ist nach Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik. Dieses Axiomensystem ist das Ergebnis einer Arbeit von Thoralf Skolem 1922, die auf Arbeiten von Abraham Fraenkel aus dem gleichen Jahr basiert, welche wiederum auf dem Axiomensystem aufbaut, das Ernst Zermelo 1908 aufgestellt hatte (Zermelo-Mengenlehre). Ohne Auswahlaxiom wird diese Mengenlehre meist mit ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom kürzt man es mit ZFC ab (engl. Zermelo-Fraenkel + Choice). Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Aussagen der Prädikatenlogik. Es gibt unendlich viele Axiome, denn es werden Axiomenschemata verwendet, das heißt ein Ausdruck, der zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften ein Axiom angibt.
- Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. ::

\forall A,B : A=B \iff \forall C : (C\in A \iff C\in B)

- Axiom der leeren Menge: Es gibt eine Menge ohne Elemente. ::

\exist B \, \forall A: \lnot (A \in B)

: Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge, das heißt dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als oder

\varnothing

geschrieben und leere Menge genannt.
- Paarungsaxiom: Wenn A, B Mengen sind, dann gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat. ::

\forall A,B : \exist C : \forall D : D \in C \iff (D = A \or D = B)

: Offenbar ist auch diese Menge C eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als . Die Menge wird üblicherweise als geschrieben.
- Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von A sind. ::

\forall A : \exist B : \forall C : C \in B \iff (\exist D : D \in A \and C \in D)

: Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A, geschrieben als

\bigcup A

. Zusammen mit dem Paarungsaxiom lässt sich die Vereinigung

A \cup B := \bigcup \

definieren.
- Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge

x \cup \

enthält. ::

\exist A : \varnothing \in A \and (\forall x : x \in A \Rightarrow x \cup \ \in A)

: Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch ::

\mathbb\,:=\, \

- Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente genau die Teilmengen von A sind. ::

\forall A : \exists\; P : \forall B : B \in P \iff (\forall C: C \in B \implies C \in A)

: Die Menge P ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von A und wird mit

bezeichnet.
- Regularitätsaxiom (auch Fundierungsaxiom): Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind. ::

\forall A : A \neq \varnothing \implies \exists B : B \in A \land \lnot \exist C : C \in A \land C \in B

: Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
- Aussonderungsaxiome: Dieses Axiomenschema umfasst zu jedem einstelligen Prädikat P ein Axiom: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge von A die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist. :: Für jedes einstellige Prädikat P gilt:

\forall A : \exist B : \forall C: C \in B \iff C \in A \and P(C)

: Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit

\

notiert.
- Ersetzungsaxiome: Dieses Axiomenschema umfasst je ein Axiom für jedes zweistellige Prädikat F, das eine Abbildung repräsentiert. (Das heißt, dass aus F(X,Y) und F(X,Z) stets Y=Z folgt. Das einzige Y, für das F(X,Y) gilt, wird dann gewöhnlich als Y=F(X) geschrieben.) Das Ersetzungaxiom besagt dann: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Bilder der Menge A unter der Abbildung F sind. :: Für jede Abbildung F gilt:

\forall A : \exist B : \forall C : C \in B \iff \exist D : D \in A \and F(D, C)

: Die Menge B ist durch F und die "Definitionsmenge" A eindeutig bestimmt und wird mit

\

bezeichnet. : Dieses Axiomenschema ist eine Verallgemeinerung des Aussonderungsaxioms, letzteres wird also durch das Ersetzungsaxiom (und das Axiom der leeren Menge) überflüssig. Diese Axiome beschreiben die Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (kurz ZF) vollständig. In der Mathematik wird jedoch auch häufig das Auswahlaxiom benutzt. Ein Modell in dem ZF und das Auswahlaxiom gelten, wird mit ZFC abgekürzt.
- Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweisen disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.
Mit den restlichen Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten. Die folgende Formel ist eine aussagenlogische Darstellung der obigen Formulierung des Auswahlaxioms: ::

\forall A : ((\varnothing \not \in A)\ \wedge\ \forall X : \forall Y : \forall Z : ((X \in A\ \wedge\ Y \in A\ \wedge\ Z \in X\ \wedge\ Z \in Y) \Rightarrow (X = Y)))

\Rightarrow\;

\exist B : \forall X : (X \in A \Rightarrow \exist!\ Y : (Y \in X \wedge Y \in B))

:Eine andere übliche Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet ("ein Element von B auswählt"). Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Logik

1904

Ereignisse

- Frauenkongreß in Berlin unter Vorsitz von Lina Morgenstern
- 14. Juni: Die deutsche Kaiserin Auguste Viktoria empfängt eine Abordnung des in Berlin tagenden internationalen Frauenkongresses in Privataudienz

Politik

- 1. Januar: Robert Comtesse wird Bundespräsident der Schweiz
- 1. Januar: Erstes Staatsministerium für Verkehrsangelegenheiten wird in Bayern eingerichtet
- 1. Januar: Das „Büro für Sozialpolitik“ wird in Berlin eröffnet
- 1. Januar: Leistungsänderung auf 26 Wochen Leistung im Krankenversicherungsgesetz tritt in Kraft
- 1. Januar: Das Kinderschutzgesetz tritt in Deutschland in Kraft. Es verbietet die Arbeit von Kindern unter 12 Jahren in allen gewerblichen Betrieben
- 12. Januar: Während des Aufstands der Herero im damaligen Deutsch-Südwestafrika erlässt der deutsche General von Trotha seinen berüchtigten „Aufruf an das Volk der Herero“
- 16. Januar: Rosa Luxemburg wird vom Amtsgericht Zwickau wegen Majestätsbeleidigung zu einer dreimonatigen Haftstrafe verurteilt. Während des Wahlkampfes 1903 hatte sie Kaiser Wilhelm II. Inkompetenz vorgeworfen. Die Sozialdemokratin tritt ihre Haftstrafe aber erst am 26. August 1904 an
- 6. Februar: Japan bricht seine diplomatischen Beziehungen zu Russland ab und zieht seinen Botschafter aus Sankt Petersburg zurück
- 8. Februar: Japanischer Überraschungsangriff auf Port Arthur, Beginn des Russisch-Japanischen Krieges
- 8. April: Bildung der Entente cordiale zwischen Großbritannien und Frankreich
- 27. April: Chris Watson von der Australian Labour Party wird Ministerpräsident Australiens; er ist der erste nationale Regierungschef, der einer Arbeiterpartei angehört
- 17. Juni: Der russische Generalgouverneur von Finnland kommt bei einem Attentat ums Leben
- 28. Juli: Der russische Innenminister von Plewe wird durch ein Bombenattentat von Anarchisten ermordet
- 11. August: Schlacht am Waterberg: Deutsche Kolonialtruppen unter Lothar von Trotha bekämpfen im Hererokrieg einheimische Hereros, die nach Osten ausweichen
- 7. September: Nachdem eine britische bewaffnete Expedition unter Francis Younghusband im August Lhasa erreicht hatte, muss Tibet in einem Vertrag Großbritannien weit reichende Handelsrechte und einen Militärstützpunkt in Lhasa einräumen. China protestiert, da es Tibet als seine Interessenssphäre betrachtet
- 15. Oktober: Friedrich August III. wird König von Sachsen
- 22. Oktober: Doggerbank-Zwischenfall: Versehentlicher Beschuss englischer Fischerboote durch die russische Flotte
- 8. November: Wiederwahl von Theodore Roosevelt zum Präsidenten der USA
- 29. November: Massenproteste in Sankt Petersburg und Moskau gegen den Krieg mit Japan und die Zarenherrschaft

Katastrophen

- 23. Januar: Ein Großfeuer zerstört die norwegische Stadt Ålesund fast vollständig; über 10.000 Menschen werden obdachlos
- 7. Februar: Großfeuer in Baltimore; 1 Mensch kommt ums Leben, die Sachschäden betragen 50 Mio. Dollar
- 15. Mai: Der Geschützte Kreuzer „Yoshino“ sinkt nach der Kollision mit dem Panzerkreuzer „Kasuga“ (beide Japan) östlich von Lüda. 329 Tote unter der 419 Mann starken Besatzung
- 15. Juni: Auf dem East River in New York sinkt der Raddampfer General Slocum mit 1388 Personen an Bord nach einem Brand. Mindestens 1021 Tote

Wirtschaft

- 17. November: Die Rheinische Creditbank übernimmt die Oberrheinische Bank für 20 Millionen Mark

Wissenschaft und Technik

- 22. März: Erstes Farbfoto auf der Titelseite einer Zeitung (Daily Illustrated Mirror)
- 30. April: Weltausstellung in St. Louis, Missouri, USA: Louisiana Purchase Exposition, das Lousiana-Monument
- 20. September: Dem US-Amerikaner Wilbur Wright gelingt erstmals ein gesteuerter Rundflug mit einem Motorflugzeug
- 4. Dezember: Charles Dillon Perrine entdeckt den Jupitermond Himalia (Jupiter VI)
- 25. Dezember Gründung von Rolls-Royce
- Die Firma Magirus baut die erste maschinell betriebene Drehleiter der Welt
- Errichtung der Küstenfunkstelle Elbe-Weser Radio
- Ingenieure der US-Army errichten den Panama-Kanal (bis 1914)

Kultur

- 20. Januar: Uraufführung der Operette Der Göttergatte von Franz Lehár am Carl-Theater in Wien
- 21. Januar: Uraufführung der Oper Jenufa von Leoš Janáček in Brünn, (Brno)
- 22. Januar: Uraufführung der Oper Nal und Damajanti (Orig.: Nal' i Damajanti) von Anton Stepanowitsch Arenski im Bolschoi-Theater in Moskau
- 17. Februar: Uraufführung der Oper Madama Butterfly von Giacomo Puccini am Teatro alla Scala di Milano in Mailand
- 16. März: Uraufführung der Oper La Fille de Roland von Henri Rabaud an der Opéra-Comique in Paris
- 30. November: Uraufführung des Dramas Resurrezione (Auferstehung) von Franco Alfano am Teatro Vittorio Emanuele in Turin
- 22. Dezember: Uraufführung der Operette Die Juxheirat von Franz Lehár am Theater an der Wien in Wien
- 27. Dezember: Peter Pan wird in London von James Matthew Barrie uraufgeführt
- Alexander Skrjabin hat seine 3. Symphonie geschaffen
- Anton von Webern schließt das Musikpoem „Im Sommerwind“ ab und besucht Kompositionskurse von Arnold Schönberg in Wien
- Charles Ives vollendet den Marsch „1776“
- Claude Debussy schreibt nach Trennung von seiner ersten Frau „Trois Chansons de France“ für seine zweite Gattin
- Giacomo Puccinis Oper „Madame Butterfly“ wird in der Mailänder Scala ausgepfiffen
- Die „Kindertotenlieder“ von Gustav Mahler entstehen, außerdem entwirft der Komponist einen unfallsicheren Spielplatz für seine Töchter in Maiernigg am Wörthersee
- Das Violinkonzert von Jean Sibelius ist erstmals zu hören
- Max Reger schließt die „Bach-Variationen“ ab, eines seiner bedeutendsten Klavierwerke
- In Berlin wird Ruggiero Leoncavallos Werk „Der Roland von Berlin“ auf die Opernbühne gebracht
- Sergej Rachmaninows Oper „Francesca di Rimini“ ist fertig

Sport

Einträge von Leichtathletik-Weltrekorden siehe unter der jeweiligen Disziplin unter Leichtathletik.
- 4. Mai: Gründung des deutschen Fußballvereins „Spiel-Club Westfalia“, der später in den FC Schalke 04 umbenannt wird
- 21. Mai: In Paris wird der Weltfussballverband FIFA von den Fussballverbänden folgender Länder gegründet: Belgien, Dänemark, Frankreich, Niederlande, Schweden, Schweiz, Spanien
- 1. Juli: Gründung des Sport und Fussballvereins Bayer 04 Leverkusen
- 1. Juli: Beginn der Olympischen Sommerspiele in St. Louis, Missouri, USA
- 20. Juli: Gründung des „Schwimm- und Eisklub Schwenningen e. V.“ der später in SERC Wild Wings umbenannt wird
- 23. November: In St. Louis gehen die III. Olympischen Sommerspiele zu Ende.
- Gründung des deutschen Fußballvereins SC Freiburg

Geboren

- 2. Januar: Walter Heitler, deutscher Physiker († 1981)
- 2. Januar: Walther Hewel, († 1945)
- 5. Januar: Otto Niebergall, deutscher Politiker († 1977)
- 7. Januar: Fjodor Jefimowitsch Bokow, politisches Mitglied des Kriegsrates der Sowjetischen († 1984)
- 8. Januar: Karl Brandt, Mediziner und Leibarzt von Adolf Hitler († 1948)
- 8. Januar: Otto Spülbeck, Bischof des Bistums Meißen († 1970)
- 8. Januar: Tampa Red, US-amerikanischer Sänger und Gitarrist († 1981)
- 9. Januar: Adolf Schröter, deutscher Porträt- und Landschaftsmaler († 1997)
- 9. Januar: Hermann Gösmann, 6. Präsident des DFB († 1979)
- 9. Januar: Viktor Brack, deutscher Nationalsozialist († 1948)
- 10. Januar: Henning von Tresckow, deutscher Berufsoffizier und Widerstandskämpfer († 1944)
- 13. Januar: Anton Besold, deutscher Politiker († 1991)
- 13. Januar: Richard Addinsell, britischer Filmkomponist († 1977)
- 15. Januar: Ludwig Freund, tschechischer Politiker und Publizist († 1952)
- 18. Januar: Cary Grant, US-amerikanischer Schauspieler († 1986)
- 22. Januar: George Balanchine, russischer Choreograph, Gründer des American Ballet († 1983)
- 23. Januar: Karl Schlechta, deutscher Nietzsche-Forscher († 1985)
- 25. Januar: Géza Fried, ungarischer Pianist und Komponist
- 26. Januar: Otto Kässbohrer, deutscher Unternehmer und Fahrzeugkonstrukteur († 1989)
- 26. Januar: Seán MacBride, irischer Politiker und Friedensnobelpreisträger († 1988)
- 29. Januar: Arnold Gehlen, deutscher Philosoph und Soziologe († 1976)
- 30. Januar: Fritz Duda, deutscher Maler und Grafiker († 1991)
- 31. Januar: Frederick H. Boland, irischer Politiker († 1985)
- 2. Februar: Waleri Pawlowitsch Tschkalow, sowjetischer Pilot († 1938)
- 3. Februar: Luigi Dallapiccola, italienischer Komponist († 1975)
- 4. Februar: Teo Otto, Bühnenbildner († 1968)
- 5. Februar: Walter Gross, deutscher Kabarettist († 1989)
- 6. Februar: Theo Balden, deutscher Bildhauer und Grafiker († 1995)
- 7. Februar: Ernst Ginsberg, deutscher Schauspieler und Regisseur († 1964)
- 10. Februar: Otto Dannebom, deutscher Politiker und MdB († 1975)
- 12. Februar: Rudolf Platte, deutscher Schauspieler († 1984)
- 15. Februar: Antonin Magne, französischer Radrennfahrer († 1983)
- 16. Februar: George F. Kennan, US-Historiker und Diplomat († 2005)
- 16. Februar: Hugo Wiener, österreichischer Komponist und Pianist († 1993)
- 17. Februar: Hans Morgenthau, deutscher Jurist und Politikwissenschaftler († 1980)
- 21. Februar: Alexei Nikolajewitsch Kossygin, Ministerpräsident der Sowjetunion († 1980)
- 22. Februar: Arkadi Petrowitsch Gaidar, russischer Jugendschriftsteller († 1941)
- 22. Februar: Ernst Jakob Henne, deutscher Motorsportler († 2005)
- 26. Februar: Curth Georg Becker, deutscher Maler und Graphiker († 1972)
- 26. Februar: Hans-Joachim Fricke, deutscher Politiker († 1974)
- 27. Februar: André Leducq, französischer Radrennfahrer († 1980)
- 27. Februar: Josef Maria Camenzind, Schweizer katholischer Geistlicher und Schriftsteller († 1985)
- 27. Februar: Theodor Ritterspach, Richter am Bundesverfassungsgericht († 1999)
- 28. Februar: Wilhelm Michels, Pädagoge und Schulleiter,Freund Arno Schmidts († 1988)
- 1. März: Glenn Miller, US-amerikanischer Jazz-Posaunist und Bandleader († 1944)
- 3. März: Javier Delicado Puche, spanischer Dichter († 2004)
- 4. März: Edgar Jené, Maler und Grafiker, Surrealist († 1984)
- 4. März: George Gamow, russisch-US-amerikanischer Physiker († 1968)
- 4. März: Joseph Schmidt, deutsch-österreichischer Kammersänger und Kantor († 1942)
- 5. März: Karl Rahner, katholischer deutscher Theologe († 1984)
- 7. März: Reinhard Heydrich, führender NS-Politiker († 1942)
- 8. März: Hans Tschiggfrey, österreichischer Politiker († 1963)
- 8. März: Nikos Skalkottas, griechischer Komponist († 1949)
- 8. März: Viktor de Kowa, († 1973)
- 11. März: Albrecht von Hagen, deutscher Jurist und Widerstandskämpfer († 1944)
- 12. März: Adolf Arndt, deutscher Politiker († 1974)
- 12. März: Bodo Uhse, deutscher Schriftsteller († 1963)
- 13. März: Erhart Kästner, deutscher Schriftsteller († 1974)
- 13. März: Paul Mattick, deutscher Kommunist und politischer Schriftsteller († 1981)
- 15. März: Brunolf Baade, deutscher Ingenieur der Flugzeugindustrie († 1969)
- 20. März: Burrhus Frederic Skinner, US-amerikanischer Psychologe († 1990)
- 21. März: Max Steenbeck, deutscher Physiker († 1981)
- 25. März: Johann Baptist Gradl, deutscher Politiker († 1988)
- 26. März: Alexander Schawinsky, Bühnenbildner, Fotograf und Maler († 1979)
- 26. März: Hermann Schroeder, deutscher Komponist und katholischer Kirchenmusiker († 1984)
- 26. März: Willy Fischer, deutscher Politiker († 1951)
- 30. März: E. P. Jacobs, belgischer Zeichner von Comics († 1987)
- 31. März: Harry Buckwitz, deutscher Regisseur († 1987)
- 1. April: Nikolai Erastowitsch Bersarin, erster sowjetischer Stadtkommandant von Berlin († 1945)
- 5. April: Hermann Bruse, deutscher Maler und Graphiker († 1953)
- 6. April: Erwin Komenda, Automobildesigner († 1966)
- 6. April: Kurt Georg Kiesinger, deutscher Politiker und Bundeskanzler der BRD († 1988)
- 7. April: Curt Querner, Maler († 1976)
- 8. April: Herbert Wolff, deutscher Politiker († 1958)
- 8. April: John Antill, australischer Komponist († 1986)
- 8. April: John Richard Hicks, Ökonom († 1989)
- 9. April: Ludwig Hohl, Schweizer Autor († 1980)
- 10. April: Joachim Gottschalk, deutscher Schauspieler († 1941)
- 10. April: Scott E. Forbush, amerikanischer Geophysiker († 1984)
- 11. April: Werner Berg, deutscher Maler († 1981)
- 12. April: Paul Dahlke, deutscher Schauspieler († 1984)
- 14. April: John Gielgud, britischer Schauspieler († 2000)
- 21. April: Odilo Globocnik, österreichischer Nationalsozialist († 1945)
- 22. April: Robert Oppenheimer, US-amerikanischer Physiker († 1967)
- 24. April: Willem de Kooning, US-amerikanischer Maler († 1997)
- 27. April: Cecil Day-Lewis, Schriftsteller und Dichter († 1972)
- 28. April: Elisabeth Schumacher, deutsche Widerstandskämpferin († 1942)
- 28. April: Willi Kollo, deutscher Komponist († 1988)
- 3. Mai: Bill Brandt, deutscher Fotograf († 1983)
- 4. Mai: Josef Pieper, christlicher Philosoph († 1997)
- 4. Mai: Umm Kultum, Ägyptische Sängerin († 1975)
- 6. Mai: Max Mallowan, britischer Archäologe († 1978)
- 6. Mai: Moshé Feldenkrais, entwickelte die Feldenkrais-Methode († 1984)
- 9. Mai: Gregory Bateson, britischer Anthropologe († 1980)
- 10. Mai: Antonio Buenaventura, philippinischer Komponist
- 11. Mai: Salvador Dalí, spanischer Maler des Surrealismus († 1989)
- 11. Mai: Willi Sommerfeld, bekannter Stummfilmpianist
- 16. Mai: François Marty, Kardinal der römisch-katholischen Kirche († 1994)
- 17. Mai: Jean Gabin, französischer Schauspieler († 1976)
- 20. Mai: Margery Allingham, englische Krimi-Schriftstellerin († 1966)
- 21. Mai: Robert Montgomery, US-amerikanischer Schauspieler († 1981)
- 24. Mai: Sefton Delmer, britischer Journalist († 1979)
- 25. Mai: Kurt Thomas, deutscher Komponist und Chorleiter († 1973)
- 25. Mai: Lizzi Waldmüller, österreichische Filmschauspielerin und Sängerin († 1945)
- 27. Mai: Chuhei Nambu, japanischer Leichtathlet und Olympiasieger († 1997)
- 29. Mai: Gregg Toland, US-amerikanischer Kameramann († 1948)
- 2. Juni: Johnny Weissmüller, US-amerikanischer Schwimmer und Filmschauspieler († 1984)
- 5. Juni: Hans Furler, deutscher Politiker († 1975)
- 10. Juni: Frederick Loewe, US-amerikanischer Komponist († 1988)
- 10. Juni: Willi Agatz, deutscher Politiker († 1957)
- 11. Juni: Clarence Smith, US-amerikanischer Jazz-Pianist († 1929)
- 11. Juni: Emil František Burian, tschechischer Komponist († 1959)
- 13. Juni: Hermann Stoll, deutscher Geologe und Prähistoriker († 1944)
- 14. Juni: Margaret Bourke-White, US-amerikanische Fotoreporterin († 1971)
- 19. Juni: Karl Fellinger, Arzt († 2000)
- 20. Juni: Heinrich von Brentano di Tremezzo, deutscher Politiker († 1964)
- 24. Juni: Kurt Kusenberg, deutscher Kunstkritiker und Schriftsteller († 1983)
- 25. Juni: Matthias Hoogen, deutscher Politiker († 1985)
- 25. Juni: Wladimir Konstantinowitsch Kokkinaki, sowjetischer Testpilot († 1985)
- 26. Juni: Peter Lorre, US-amerikanischer-ungarischer Filmschauspieler († 1964)
- 29. Juni: Witold Hurewicz, polnischer Mathematiker († 1956)
- 30. Juni: Oskar Paulini, deutscher Schriftsteller († 1980)
- 2. Juli: René Lacoste, französischer Tennisspieler und Modeschöpfer († 1996)
- 3. Juli: Otto Gotsche, deutscher Politiker und Schriftsteller († 1985)
- 3. Juli: Paul Bronisch, deutscher Künstler und Bildhauer († 1989)
- 5. Juli: Ernst Mayr, Deutsch-amerikanischer Biologe († 2005)
- 9. Juli: Heinz Jost, Chef der Einsatzgruppe A, Amtschef Amt VI SD-Ausland im RSHA († 1964)
- 12. Juli: Pablo Neruda, chilenischer Dichter und Diplomat († 1973)
- 14. Juli: Isaac Bashevis Singer, polnischer Schriftsteller und Nobelpreisträger († 1991)
- 15. Juli: Rudolf Arnheim, deutsch-amerikanischer Kunstpsychologe
- 16. Juli: Goffredo Petrassi, italienischer Komponist († 2003)
- 17. Juli: Charlotte Prinz, deutsche Malerin († 1993)
- 22. Juli: Karl Veken, Schriftsteller († 1971)
- 22. Juli: Otto Rombach, deutscher Journalist und Schriftsteller († 1984)
- 27. Juli: Hermann Jansen, Generalvikar und Domherr in Köln
- 27. Juli: Oskar Lange, polnischer Nationalökonom und Minister († 1965)
- 27. Juli: Ljudmila Rudenko, sowjetische Schachweltmeistrin († 1986)
- 28. Juli: Pawel Alexejewitsch Tscherenkow, russischer Physiker und Nobelpreisträger († 1990)
- 2. August: Werner Seelenbinder, deutscher Ringer und Kommunist († 1944)
- 3. August: Wilhelm Naegel, deutscher Politiker († 1956)
- 4. August: Witold Gombrowicz, polnischer Schriftsteller († 1969)
- 7. August: Erwin Fischer, deutscher Jurist († 1996)
- 7. August: Hanna Melzer, deutsche Widerstandskämpferin gegen das NS-Regime († 1960)
- 8. August: Achille Varzi, italienischer Rennfahrer († 1948)
- 8. August: István Szelényi, ungarischer Komponist († 1972)
- 9. August: Hasso von Boehmer, Oberstleutnant im Generalstab und Widerstandskämpfer († 1945)
- 12. August: Alexej Nikolajewitsch Romanow, Thronfolger, Kronprinz, Sohn des Zaren Nikolaus II. († 1918)
- 16. August: Wendell Meredith Stanley US-amerikanischer Chemiker und Nobelpreisträger († 1971)
- 20. August: Hans-Georg Lindenstaedt, deutscher Tischtennisspieler († 1975)
- 21. August: Count Basie, US-amerikanischer Jazz-Pianist († 1984)
- 21. August: William Basie, US-amerikanischer Jazz-Pianist, Organist und Bandleader († 1984)
- 22. August: Deng Xiaoping, chinesischer Politiker († 1997)
- 22. August: Walter Bach, österreichischer Komponist († 1977)
- 24. August: Ludwig Schmidseder, deutscher Komponist († 1971)
- 26. August: Christopher Isherwood, englisch-amerikanischer Schriftsteller († 1986)
- 27. August: Ernst Degn, österreichischer Maler († 1990)
- 29. August: Werner Forßmann, deutscher Mediziner, Erfinder des Herzkatheters († 1979)
- 11. September: Friedrich Schönauer, deutscher Politiker († 1950)
- 13. September: Richard Scheringer, deutscher Antifaschist und Mitglied der KPD († 1986)
- 16. September: Alfred Klahr, österreichischer Kommunist und Journalist († 1944)
- 17. September: Edgar G. Ulmer, US-amerikanischer Filmregisseur († 1972)
- 17. September: Frederick Ashton, britischer Tänzer und Choreograph († 1988)
- 17. September: Jürgen Kuczynski, deutscher Historiker und Gesellschaftswissenschaftler († 1997)
- 17. September: Wilfried Schreiber, Professor für Sozialpolitik († 1975)
- 18. September: Dolores Viesèr, österreichische Schriftstellerin und Erzählerin († 2002)
- 21. September: Franz Stock, katholischer Theologe († 1948)
- 21. September: Hans Hartung, deutsch-französischer Maler und Grafiker († 1989)
- 23. September: Alfred Baum, Schweizer Komponist, Pianist und Organist († 1993)
- 23. September: Wilhelm Reitz, deutscher Politiker und MdB († 1980)
- 27. September: Edvard Kocbek, slowenischer Schriftsteller und Publizist († 1981)
- 27. September: Koene Dirk Parmentier, niederländischer Luftfahrtpionier († 1948)
- 28. September: Luperce Miranda, brasilianischer Mandolinist und Komponist († 1977)
- 29. September: Egon Eiermann, bedeutender deutscher Architekt († 1970)
- 29. September: Georg Ferdinand Duckwitz, deutscher Diplomat († 1973)
- 29. September: Greer Garson, US-amerikanische Filmschauspielerin († 1996)
- 29. September: Jean-Pierre Timbaud, Funktionär einer französischen Gewerkschaft († 1941)
- 1. Oktober: Hermann Ehlers, deutscher Politiker († 1954)
- 1. Oktober: Otto Frisch, österreichisch-britischer Physiker († 1979)
- 2. Oktober: Graham Greene, britischer Schriftsteller († 1991)
- 2. Oktober: Lal Bahadur Shastri, indischer Politiker und Regierungschef († 1966)
- 3. Oktober: Charles Pedersen, Chemiker bei DuPont († 1989
- 4. Oktober: Theodor Eschenburg, Politikwissenschaftler, Publizist und Staatsrechtler († 1999)
- 6. Oktober: Horst Lange, deutscher Schriftsteller († 1971)
- 8. Oktober: Yves Giraud-Cabantous, französischer Rennfahrer († 1973)
- 12. Oktober: Ding Ling, chinesische Schriftstellerin († 1986)
- 13. Oktober: Jutta Hecker, deutsche Schriftstellerin († 2002)
- 15. Oktober: Wolfgang Weyrauch, deutscher Schriftsteller († 1980)
- 17. Oktober: Josef Klehr, SS-Unterscharführer; Sanitäter in Auschwitz; Massenmörder († 1988)
- 20. Oktober: Adelaide Hall, Jazz-Sängerin († 1993)
- 20. Oktober: Mario von Galli, Jesuit, theologischer Redaktor und Publizist († 1987)
- 20. Oktober: Sergei Ignatjewitsch Rudenko, sowjetischer Pilot († 1990)
- 25. Oktober: Cemal Reşid Rey, türkischer Komponist († 1985)
- 3. November: Franz Varelmann, deutscher Politiker und MdB († 1978)
- 6. November: Paul Bleiß, deutscher Politiker († 1996)
- 10. November: Tawee Boonyaket, Landwirtschaftsminister und Premierminister von Thailand († 1971)
- 13. November: Günter Reimann, deutscher Journalist und Kommunist († 2005)
- 13. November: Peter Graf Yorck von Wartenburg, deutscher Jurist und Widerstandskämpfer († 1944)
- 14. November: Arthur Michael Ramsey, Erzbischof von Canterbury († 1988)
- 14. November: Dick Powell, US-amerikanischer Schauspieler († 1963)
- 16. November: Josef Baumgartner, deutscher Politiker († 1964)
- 16. November: Renée Saint-Cyr, französische Schauspielerin († 2004)
- 17. November: Isamu Noguchi, japanischer Bildhauer († 1988)
- 17. November: Paul Chaudet, Schweizer Politiker († 1977)
- 21. November: Coleman Hawkins, US-amerikanischer Jazz-Saxophonist († 1969)
- 21. November: Edmond Hamilton, US-amerikanischer Schriftsteller († 1977)
- 22. November: Louis Néel, französischer Physiker († 2000)
- 25. November: Lillian Copeland, US-amerikanische Leichtathletin und Olympiasiegerin († 1964)
- 26. November: Paul Klüber, deutscher Maler († 1944)
- 27. November: Klara Blum, deutschsprachige chinesische Schriftstellerin († 1971)
- 28. November: Nancy Mitford, englische Schriftstellerin und Biographin († 1973)
- 30. November: Clyfford Still, US-amerikanischer Maler († 1980)
- 4. Dezember: Albert Norden, DDR-Politiker († 1982)
- 4. Dezember: Herman Autrey, Mitglied der Band 'Fats Waller &his Rhythm' († 1980)
- 6. Dezember: Alexander Iwanowitsch Wwedenski (Dichter), russischer Dichter († 1941)
- 6. Dezember: mathematischen Funktion

f \colon A \to B

heißt die Menge A aller Werte, für die f definiert ist, Definitionsmenge oder Definitionsbereich (engl.: domain) der Funktion f. Elemente der Definitionsmenge werden oft Stellen genannt, beispielsweise nennt man

f(a)

den Wert von

f

an der Stelle

a

. Die Menge B heißt Zielmenge. Die Menge :

\=\\subseteq B

aller Bilder von Elementen von

A

unter

f

heißt Bildmenge von f. Die Definitionsmenge einer Funktion ist Teil ihrer Definition. Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Definitionsmengen sind unterschiedliche Funktionen. Sind A, B und C Mengen und A eine Teilmenge von B, sowie f: A -> C und g: B -> C Funktionen mit der Eigenschaft, dass f und g auf der Menge A übereinstimmen, dann heißt f eine Einschränkung von g auf A. Häufig wird die Definitionsmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge von den reellen Zahlen

\mathbb

oder komplexen Zahlen

\mathbb

ist). Manchmal wird auch von der Definitionsmenge eines Terms gesprochen, siehe dazu den Artikel Term. Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Analysis

Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Zorns Lemma oder Kuratowski-Zorn-Lemma oder das Zorn'sche Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom miteinbezieht. Es besagt: :Jede nicht leere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element. Es ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Max Zorn, der es 1935 entdeckte. (Unabhängig von der Entdeckung durch Kuratowski 1922.) Die verwendeten Begriffe sind die folgenden: Sei (P,<=) eine halbgeordnete Menge. Eine Teilmenge T heißt Kette, oder total geordnet, wenn für alle s, t in T gilt s<=t oder t<=s. Eine solche Teilmenge T hat eine obere Schranke o in P, falls t<=o für alle t in T. Beachte, dass o nicht in T liegen muss. Ein maximales Element von P ist ein Element m, für welches es kein größeres Element in P gibt: Aus m<=x mit x in P folgt, dass m=x ist.

Verwendung

Wie auch der Wohlordnungssatz ist Zorns Lemma äquivalent zum Auswahlaxiom, d.h. man kann mit einem dieser drei Sätze zusammen mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre die beiden anderen beweisen. Zorns Lemma wird in vielen wichtigen Beweisen benutzt, zum Beispiel für # den Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, # das Hahn-Banach-Theorem in der Funktionalanalysis, nach dem man lineare Funktionale fortsetzen kann, # Tychonoffs Theorem, dass jedes Produkt kompakter Räume selbst kompakt ist, # den Satz, dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat, # den Satz, dass jeder Körper einen algebraischen Abschluss hat.

Ein Beispiel der Anwendung

Wir beweisen als typische Anwendung des Lemmas von Zorn, dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat. Die Menge P besteht hier aus allen (beidseitigen) Idealen in R, mit Ausnahme von R selbst. Diese Menge ist bezüglich der Mengeninklusion halbgeordnet. Wenn wir ein maximales Element dieser Menge finden können, dann sind wir fertig, denn das ist ein Ideal ungleich R, für das es kein größeres Ideal in R gibt, also ein maximales Ideal. Um Zorns Lemma anwenden zu können, nehmen wir eine totalgeordnete Teilmenge T von P und müssen zeigen, dass sie eine obere Schranke hat, also ein Ideal I in R existiert, das alle Ideale in T enthält aber ungleich R ist (sonst wäre es nicht in P). Wir wählen I als die Vereinigung aller Elemente von T. I ist ein Ideal, denn sind a und b Elemente von I, dann gibt es Ideale J,K in T, so dass a in J und b in K liegt. Da T totalgeordnet ist, liegt eins der beiden Ideale im anderen, wir können ohne Einschränkung annehmen, dass J in K enthalten ist. Dann sind a und b beide in K, also liegen a+b und für jedes r in R auch ra und ar in K und damit in I. Somit ist also I tatsächlich ein Ideal von R. Warum liegt nun I in P, also warum ist I ungleich R? Dazu müssen wir wissen, dass ein Ideal gleich R ist, genau dann wenn es die 1 enthält. (R enthält die 1, und umgekehrt liegt mit der 1 auch jedes Element der Form r1 im Ideal, also ganz R.) Wäre nun also I gleich R, dann müsste es ein Ideal in T geben, das die 1 enthält, und das wäre gleich R, aber R wurde explizit aus P ausgeschlossen. Da die Voraussetzungen für Zorns Lemma erfüllt sind, erhalten wir die Existenz eines maximalen Elements in P, und das ist ein maximales Ideal von R. Dieser Beweis benötigt die Voraussetzung, dass der Ring eine 1 hat. Ohne das wäre er nicht durchführbar und tatsächlich wäre die Behauptung falsch.

Beweis von Zorns Lemma mit dem Auswahlaxiom

Zuletzt geben wir noch eine Beweisskizze des Lemmas von Zorn. Angenommen, das Lemma wäre falsch. Dann gäbe es eine halbgeordnete Menge P, in der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hätte, aber trotzdem jedes Element ein größeres hätte (es gäbe kein maximales Element in P). Für jede totalgeordnete Teilmenge T definieren wir nun ein Element b(T), das größer ist als jedes Element in T, indem wir eine obere Schranke von T nehmen und b(T) auf ein Element setzen, das noch größer ist als diese Schranke. Um b hierdurch als Funktion definieren zu können, benötigen wir das Auswahlaxiom (denn wir sagen nicht, welche obere Schranke und welches größere Element wir nehmen). Mit dieser Funktion b bestimmen wir dann Elemente a₀ < a₁ < a₂ < a₃ < ... in P. Diese Folge wird wirklich lang: Die Indizes sind nicht nur alle natürlichen Zahlen, sondern alle Ordinalzahlen! Diese Folge ist zu lang für die Menge P, denn es gibt mehr Ordinalzahlen als Elemente in irgendeiner Menge enthalten sein können, und so erhalten wir einen Widerspruch. Die a_v definieren wir durch transfinite Induktion: Wir wählen a₀ beliebig aus P (das geht, da P eine obere Schranke der leeren Menge enthält, also selbst nicht leer ist), und für jede andere Ordinalzahl w setzen wir :a_w:=b(). Das geht, da die a_v durch diese Konstruktion totalgeordnet sind. Der Beweis zeigt sogar eine etwas stärkere Version von Zorns Lemma (weniger Voraussetzung und mehr Folgerung): :Ist P eine halbgeordnete Menge in der jede wohlgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, und ist x in P, dann hat P ein maximales Element, das größer-gleich x ist, also mit x vergleichbar. (Jede wohlgeordnete Menge ist totalgeordnet, und die Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als Folgerung hinzu.) Kategorie:Mengenlehre Zorn, Lemma von ja:ツォルンの補題

Wohlordnungssatz

Theorem der Mengenlehre

Der Wohlordnungssatz, manchmal auch Wohlordnungsprinzip genannt, ist eine Aussage der Mengenlehre und besagt: :Jede Menge kann wohlgeordnet werden. Dieses Theorem ist nützlich, denn es erlaubt die Anwendung der transfiniten Induktion auf jeder Menge. Der Wohlordnungssatz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Georg Cantor hielt den Wohlordnungssatz für ein "grundlegendes Denkgesetz". Vielen Mathematikern schien aber schwer vorstellbar, dass etwa auf R eine Wohlordnung existieren solle. So glaubte denn auch 1904 Julius König, dies widerlegt zu haben; Felix Hausdorff fand jedoch wenig später einen Fehler im Beweis. Ernst Zermelo führte das Auswahlaxiom als "unbedenkliches logisches Prinzip" ein, um den Wohlordnungssatz zu beweisen; dieses stellte sich jedoch schnell als äquivalent zum Wohlordnungssatz heraus. Das Auswahlaxiom und somit der Wohlordnungssatz sind unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, d.h. sowohl der Satz als auch sein Gegenteil lassen sich widerspruchsfrei voraussetzen.

Eigenschaft der natürlichen Zahlen

Manchmal bezeichnet der Wohlordnungssatz oder das Wohlordnungsprinzip aber die Eigenschaft der Menge der natürlichen Zahlen, wohlgeordnet zu sein: :Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält eine kleinste Zahl. Dies wird ausgenutzt bei Beweisen durch unendlichen Abstieg oder die Methode des kleinsten Verbrechers: Um zu zeigen, dass eine Menge S alle natürlichen Zahlen enthält, kann man zunächst annehmen, dass sie nicht jede enthält. Wegen des Wohlordnungsprinzips gibt es dann eine kleinste natürliche Zahl, die nicht enthalten ist (ein kleinstes Gegenbeispiel). Wenn man dann zeigt, dass es ein noch kleineres Gegenbeispiel gibt, erhält man einen Widerspruch zu der getroffenen Annahme. (Alternativ kann man auch zeigen, dass man für jedes Gegenbeispiel ein kleineres findet, und somit unendlich oft absteigen kann, was aber in den natürlichen Zahlen nicht möglich ist.) Diese Beweismethode ist eine Umkehrung der vollständigen Induktion (so wie "Aus nicht-B folgt nicht-A" eine Umkehrung von "Aus A folgt B" ist), basiert aber auf derselben Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen.

Anwendungsbeispiel

Ein Beispiel für diese Beweismethode ist folgende Aussage: Die Untergruppen der additiven Gruppe (Z,+) der ganzen Zahlen sind genau die Teilmengen mZ mit m>=0. Beweis: Dass diese Teilmengen Untergruppen sind, ist leicht nachzuprüfen. Sei nun U eine beliebige Untergruppe von Z. Enthält U keine positive ganze Zahl, dann ist U==0Z. Andernfalls sei m die kleinste positive ganze Zahl in U. Sei x irgendein Element aus U, wir müssen zeigen, dass x=mq für eine ganze Zahl q ist. Dazu dividieren wir x mit Rest durch m: x = mq+r, mit q,r ganzzahlig und 0<=r<m. Weil r=x-mq in U liegt, wäre 0<r<m ein Widerspruch zur Wahl von m als kleinstem positiven Element von U, also ist r=0 und x=mq. Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Satz (Mathematik)

Intervall (Mathematik)

Ein Intervall ist eine Teilmenge einer Menge von Objekten, die definierte Nachbarn haben, so dass folgendes gilt:
- das Intervall ist die leere Menge oder
- das Intervall enthält genau ein Element oder
- das Intervall enthält mehr als ein Element und alle Elemente des Intervalls sind miteinander benachbart. Beispielsweise existiert das Intervall als Teilmenge der natürlichen Zahlen. Für Mengen, die man anordnen kann, reicht es aus, wenn man das größte und kleinste Element des Intervalls angibt. Hierdurch ist das Intervall eindeutig bestimmt. Man muss (zumindest in der Anschauung) Intervalle von Mengen, deren Elemente kontinuierlich angeordnet sind (z.B. die reellen Zahlen), von diskreten Mengen (z.B. ganze Zahlen) unterscheiden. Bei kontinuierlichen Zahlen gibt es keine Nachbarn, so dass der Begriff der Umgebung wichtig wird. Hier werden auch offene und geschlossene Intervalle (s.u.) unterschieden.

Schreibweisen

Es existieren zwei verschiedene häufig verwendete Schreibweisen. Bei einer der beiden verwendet man für ein offenes Ende runde und für ein geschlossenes Ende eckige Klammern, bei der anderen Schreibweise werden geschlossene Enden ebenfalls durch eckige Klammern gekennzeichnet, offene Enden dagegen durch gespiegelte eckige Klammern. Im folgenden werden beide Schreibweisen verwendet:
-

[a,b] = [a,b] = \

- : Abgeschlossenes Intervall (auch Kompaktes Intervall) . Das Intervall enthält sowohl a als auch b.
-

(a,b) =  = \

- : Offenes Intervall. Das Intervall enthält weder a noch b.
-

[a,b) =  = \

- : Halboffenes, genauer Rechtsoffenes Intervall. Das Intervall enthält a, aber nicht b.
-

(a,b] =  = \

- : Halboffenes, genauer Linksoffenes Intervall. Das Intervall enthält nicht a, wohl aber b.
-

(, b] =  = \

- : Linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall. Enthält alle Zahlen die kleinergleich b sind (und ist wirklich abgeschlossen, trotz der einseitigen Offen-Schreibweise). Analog dazu gibt es rechtsseitig unendliche offene oder abgeschlossene Intervalle. Bei obiger Definition besteht übrigens nicht die Anforderungen

a\leq b

, sodass im Falle von

a>b

jedes Intervall leer ist. Daneben existieren auch je nach Anwendung Definitionen, die solche Intervalle nicht erlauben oder im Falle

a>b

einfach die Grenzen vertauschen.

Verallgemeinerung

In der Topologie sind reelle Intervalle Beispiele für zusammenhängende Mengen. Alle hier für die reellen Zahlen

\mathbb

gemachten Schreibweisen lassen sich direkt auf beliebige total geordnete Mengen übertragen. Siehe auch: Intervallschachtelung, Intervallarithmetik Kategorie:Mengenlehre ja:区間 (数学) ko:구간

1937

Ereignisse

- 21. März: Die gegen die kirchenfeindliche Haltung des Regimes in Deutschland gerichtete Enzyklika „Mit brennender Sorge“ Papst Pius XI. wird in allen deutschen katholischen Gemeinden verlesen
- 26. April: Das deutsche Flugzeuggeschwader Legion Condor zerstört im spanischen Bürgerkrieg die baskische Stadt Guernica
- 30. Juni: Die Bank von Frankreich verlässt den Goldstandard
- 7. Juli: Der „Zwischenfall an der Marco-Polo-Brücke“ in Peking – eine von Japan provozierte Schießerei zwischen chinesischen und japanischen Soldaten – löst den Zweiten Japanisch-Chinesischen Krieg aus
- 19. September: Landsberg am Lech wird zur „drittwichtigsten Stadt der Nationalsozialisten“, zu Landsberg „Stadt der Jugend“
- 13. Dezember (bis 7. Februar 1938): Japanische Besatzer begehen das „Massaker von Nanking“

Politik

- 1. Januar: Giuseppe Motta wird Bundespräsident der Schweiz
- 1. Januar: Um den Bedarf der Rüstungsindustrie zu decken, wird im Deutschen Reich die Verwendung von Edelstahl für andere Artikel verboten
- 1. Januar: In der Republik China wird General Chang Hsüeh-liang wegen angeblicher Anstiftung zum Aufstand in der Provinz Xian zu vier Jahren Gefängnis von einem Militärgericht verurteilt
- 1. Januar: Anastasio Somoza Garcia wird Präsident von Nicaragua
- 1. April: Das Groß-Hamburg-Gesetz tritt in Kraft
- 8. Juli: Saadabad-Abkommen zwischen der Türkei, dem Irak, dem Iran und Afghanistan, in dem auch ein koordiniertes Vorgehen bei der Bekämpfung der Kurden vereinbart wird
- 25. September: Italienischer Faschistenführer Mussolini auf Staatsbesuch in München
- 5. Oktober: US-Präsident Franklin D. Roosevelt hält in Chicago seine „Quarantänerede“, die sich gegen Diktaturen und Japan richtet. Roosevelt schlägt vor, Staaten mit expansiver Außenpolitik unter „Quarantäne“ zu stellen, sich gegen sie zu stellen und sie so einzudämmen
- 5. November: Hitler erklärt in einer geheimen Konferenz seine Absicht, Krieg zu führen (siehe Hoßbach-Protokoll)
- 29. Dezember: Proklamierung der Republik Irland

Wissenschaft und Technik

- 25. Juni: Ewald Rohlfs erreichte mit seinem Hubschrauber Focke-Wulf Fw 61 2.339 m Höhe: Weltrekord
- 25. Oktober: Hanna Reitsch flog mit ihrem Hubschrauber Focke-Wulf Fw 61 108,9 km: Weltrekord

Kultur

- 24. Februar: Uraufführung der Oper Lucrezia von Ottorino Respighi in Mailand
- 2. März: Uraufführung der Oper Massimilla Doni von Othmar Schoeck an der Staatsoper in Dresden
- 10. März: Uraufführung des musikalischen Dramas L'Aiglon von Arthur Honegger in Monte Carlo
- 25. März: Uraufführung der Operette Roxy und ihr Wunderteam von Paul Abraham in Wien
- 2. Juni: Uraufführung der Oper Lulu von Alban Berg
- 8. Juni: Uraufführung der Carmina Burana von Carl Orff an den Städtischen Bühnen in Frankfurt am Main
- 24. Juni: Uraufführung der Oper Don Juan de Mañara von Eugène Goossens im Covent Garden in London
- 3. Oktober: Uraufführung der Operette Monika von Nico Dostal in Stuttgart
- 24. November: Uraufführung der Oper Tobias Wunderlich von Joseph Haas in Kassel
- 23. Dezember: Uraufführung der Operette Julia von Paul Abraham in Budapest

Katastrophen

- 18. März: Eine Erdgas-Explosion in einer Schule in New London, Texas, tötet 400 Menschen, zumeist Kinder
- 6. Mai: Das Luftschiff LZ129 Hindenburg geht bei der Landung in Lakehurst in Flammen auf, 36 Tote

Sport

Einträge von Leichtathletik-Weltrekorden siehe unter der jeweiligen Disziplin unter Leichtathletik.

Geboren

- 1. Januar: Abe Keiko, japanische Komponistin, Marimbaspielerin
- 2. Januar: Martin Lauer, deutscher Sportler und Schlagersänger
- 3. Januar: Zygmunt Konieczny, polnischer Komponist
- 4. Januar: John Gormann, ein britischer Musiker
- 4. Januar: Dyan Cannon, US-amerikanische Schauspielerin
- 6. Januar: Paolo Conte, Chansonsänger, Jazzmusiker und Komponist
- 6. Januar: Harri Holkeri, finnischer Politiker
- 6. Januar: Doris Troy, US-amerikanische Soul-Sängerin († 2004)
- 6. Januar: Nino Tempo, US-amerikanischer Pop-Musiker
- 7. Januar: Ali Soilih, komoranischer Präsident († 1978)
- 8. Januar: Shirley Bassey, britische Sängerin
- 9. Januar: Klaus Schlesinger, deutscher Schriftsteller und Journalist († 2001)
- 14. Januar: Horst Becking, deutscher Maler
- 14. Januar: Billie Jo Spears, US-amerikanische Country-Sängerin
- 15. Januar: Margaret O'Brien, US-amerikanische Schauspielerin
- 16. Januar: Klaus Ensikat, deutscher Grafiker und Illustrator
- 16. Januar: Francis Eugene George, Erzbischof von Chicago und Kardinal
- 16. Januar: Bob Bogle, US-amerikanischer Musiker
- 18. Januar: Dieter Lindner, deutscher Leichtathlet
- 18. Januar: John Hume, nordirischer Politiker, Friedensnobelpreisträger (1998)
- 18. Januar: Luzius Wildhaber, Schweizer Jurist
- 18. Januar: L. David Mech, Verhaltensforscher
- 19. Januar: Günter Litfin, Der erste Tote an der Berliner Mauer († 1961)
- 20. Januar: Regina Schmidt-Zadel, deutscher Politiker und MdB
- 23. Januar: Erwin Vetter, deutscher Politiker und MdL
- 25. Januar: Werner Schneyder, österreichischer Kabarettist
- 25. Januar: Ange-Félix Patassé, Präsident der Zentralafrikanischen Republik
- 28. Januar: Helmut F. Spinner, deutscher Philosoph, Wissenschaftstheoretiker und Soziologe
- 30. Januar: Vanessa Redgrave, britische Theater- und Filmschauspielerin
- 30. Januar: Boris Wassiljewitsch Spasski, russischer Schachspieler
- 31. Januar: Karin-Huberta Ritter, 1984 bis 1998 Richterin am deutschen Bundesgerichtshof
- 31. Januar: Willi Erdmann, Richter am Bundesgerichtshof
- 1. Februar: Audrys Juozas Bačkis, Erzbischof von Vilnius und Kardinal der römisch-katholischen Kirche
- 2. Februar: Lea Ackermann, deutsche Ordensschwester
- 2. Februar: Magic Sam, US-amerikanischer Blues-Gitarrist und -Sänger († 1969)
- 3. Februar: Hubert Piske, deutscher Künstler und Lokalpolitiker
- 3. Februar: Jacques Barrot, französischer Politiker und EU-Kommissar
- 5. Februar: Joachim Schmettau, deutscher Bildhauer
- 6. Februar: Rudolf Heinz, deutscher Philosoph, Psychoanalytiker und Musikwissenschaftler
- 7. Februar: Doris Gercke, deutsche Krimi-Schriftstellerin
- 7. Februar: Paul Zanker, deutscher Archäologe
- 7. Februar: Wendelin Weingartner, österreichischer Politiker, Landeshauptmann von Tirol
- 8. Februar: Manfred Krug, deutscher Schauspieler und Sänger
- 8. Februar: Aivars Gipslis, lettischer Schach-Grossmeister († 2000)
- 9. Februar: Fritz Ewert, deutscher Fußballspieler († 1990)
- 11. Februar: Anders Bodelsen, dänischer Schriftsteller
- 11. Februar: Heidi Lambert-Lang, Richterin am Bundesgerichtshof
- 12. Februar: Hans Dieter Baroth, deutscher Schriftsteller
- 13. Februar: Gerhard Päselt, deutscher Politiker
- 13. Februar: Sigmund Jähn, erster Deutscher im All
- 15. Februar: Gretel Stadler, deutsche Künstlerin
- 16. Februar: Horst Peter, deutscher Politiker
- 16. Februar: Yuri Manin, Mathematiker und Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn
- 17. Februar: Rita Süssmuth, deutsche Politikerin
- 17. Februar: Willi Koslowski, deutscher Fußballspieler
- 20. Februar: Nancy Wilson, US-amerikanische Sängerin
- 21. Februar: Ron Clarke, Mittel- und Langstreckenläufer
- 21. Februar: Harald V. (Norwegen), norwegischer König
- 24. Februar: Gunter Huonker, deutscher Politiker
- 26. Februar: Horst-Dieter Tietz, deutscher Rektor und Professor
- 1. März: Ottfried Hennig, deutscher Politiker († 1999)
- 1. März: Günther Bosch, deutsch-rumänischer Tennis-Trainer
- 2. März: Abd al-Aziz Bouteflika, seit 1999 algerischer Präsident
- 3. März: Bobby Driscoll, US-amerikanischer Schauspieler († 1968)
- 4. März: Barney Wilen, Franzose Jazzmusiker (Tenorsaxophon, Sopransaxophon)
- 5. März: Olusegun Obasanjo, nigerianischer Politiker (Staatspräsident)
- 5. März: Denny Crum, US-amerikanischer Basketballtrainer
- 6. März: Ivan F. Boesky, Börsen-Spekulant
- 6. März: Hans-Dieter Grabe, deutscher Regisseur
- 6. März: Walentina Wladimirowna Tereschkowa, sowjetische Kosmonautin
- 6. März: Doug Dillard, US-amerikanischer Country-Sänger und Komponist
- 8. März: Juvénal Habyarimana, Präsident von Ruanda (1973–1994) († 1994)
- 16. März: