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Bahnellipse

Bahnellipse

Keplerbahnen sind die Lösungen des Keplerproblems, wie sich ein kleiner Himmelskörper um einen größeren bewegt. Die Lösungen sind die Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel, die sich in ihrer Gesamtenergie unterscheiden. Der häufigste Fall ist die Keplerellipse, die den gebundenen Zustand beschreibt, beispielsweise Sonne-Erde, Erde-Mond. Parabelbahnen und Hyperbelbahnen sind ungebundene Zustände, die bei manchen Kometen vorliegen. Bei diesen Bahnen gibt es nur ein einzige Annäherung, der Komet verschwindet anschließend ohne Wiederkehr aus dem Sonnensystem.

Ellipsenbahn

Im Idealfall, dass keine weiteren Körper existieren (Zweikörperproblem), erfolgt die gegenseitige Bewegung nach den drei Keplerschen Gesetzen. Sie lässt sich dann exakt durch 6 Bahnelemente beschreiben:
a, e, T und i, Ω, ω Bahnelement Die Werte a und e stehen für die große Halbachse und Exzentrizität der Ellipse und T für die Umlaufszeit. Die restlichen Angaben bestimmen noch die Lage der Ellipse im Raum: i und Ω legen die Neigung (Inklination) und Ausrichtung der Bahnebene fest, in der der Winkel ω die Lage des Periapsis angibt. Das Periapsis ist dabei für den Mond der erdnächste Punkt (Perigäum), für die Planeten der sonnennächster Punkt (Perihel).

Störende Kräfte

Durch unregelmäßige oder weitere Himmelskörper ist das Schwerefeld jedoch nicht kugelsymmetrisch, wodurch Bahnstörungen entstehen. Auch kleine Bremseffekte durch Gase oder Meteoriten, Strahlungsdruck und die Relativitätstheorie tragen zu ihnen bei. Dadurch ändern sich die Zahlenwerte der 6 Bahnelemente langsam. Man kann diese zeitabhängigen oder periodischen Effekte durch die Methode "Variation der Elemente" berechnen, wobei jede momentane ("oskulierende") Keplerellipse stetig in die nächste übergeht. Die Bahnstörungen können säkular (immer in gleicher Richtung) oder periodisch sein. In der Nähe von irregulär geformten Himmelskörpern oder beim Flug durch Materiewolken treten auch unregelmäßige Effekte auf. Die Bahnachsen (a) der neun Planeten unseres Sonnensystems bleiben praktisch konstant, weil ihre Massen groß und die Bahnen kreisähnlich sind. Kleinplaneten (Asteroide) und Kometen können aber gravierende Änderungen erfahren, wenn sie einem Planeten nahekommen. Bei niedrigen Erdsatelliten betragen die Bahnstörungen einige Zehntelgrad pro Stunde bzw. einige Kilometer und lassen auf die genaue Form des Geoids schließen. Streng genommen gelten exakte Keplerbahnen nur für kugelförmige Körper, doch ist diese Bedingung bei größeren Entfernungen in der Astronomie hinreichend erfüllt. Auch für Mondbahnen um stark abgeplattete Planeten (z.B. Jupitermonde) kann man genähert mit Keplers Formeln rechnen, wenn das dritte Keplergesetz um einen kleinen Faktor ergänzt wird. De facto läuft dies (zusätzlich zur Bahnachse a) auf ein siebentes Bahnelement für die Umlaufzeit hinaus.

Siehe auch

Bahnbestimmung, Gravitationsgesetz, Newton, Störungsrechnung Kategorie:Himmelsmechanik

Keplerproblem

Unter Zweikörperproblem oder auch Keplerproblem versteht man die Aufgabe, die Bahnbewegung eines einzelnen Planeten oder Kometen um die Sonne genau zu berechnen, wenn sich nur diese zwei Körper durch Newtonsche Gravitation (d.h. im 1/r Gravitationspotential und instantaner Fernwirkung) gegenseitig beeinflussen. Der Großteil der Lösung geht auf Johannes Kepler zurück:
- 1. und 2. Keplersches Gesetz (gefunden 1599 bis 1609), der Ellipsen- und Flächensatz und
- 3. Keplersches Gesetz ("Weltharmonie", 1619). Als mögliche Bahnen kommen Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln in Frage. Bei Kreisen und Ellipsen sind die Körper aneinander gebunden wie die Planeten an die Sonne. Ist die Bahnform parabolisch oder hyperbolisch, so findet nur eine Begegnung statt. Die exakte Differentialgleichung lautet: \ddot\vec s = - \gamma M \frac Mit den drei Keplerschen Gesetzen und jeweils sechs Bahnelementen lässt sich die Position jedes Himmelskörpers berechnen, wenn außer ihm und der Sonne keine weiteren Körper wirksam sind.
Tatsächlich bewirken die anderen Körper des Sonnensystems so genannte Bahnstörungen, welche die auf zwei Körpern beruhenden, elliptischen "Kepler-Bahnen" zu leicht spiraliger Form verzerren. Zur kompletten Lösung des Zweikörperproblems sind auch Methoden notwendig, um die 6 Bahnelemente eines im Sonnensystem umlaufenden Körpers bestimmen zu können. Sie gehen auf Sir Isaac Newton und Pierre-Simon Laplace bzw. Carl Friedrich Gauß zurück (Bahnbestimmung). Im Zweikörperproblem (ohne Bahnstörungen durch dritte Körper und nicht-gravitative Einflüsse) genügen diese 6 Bahnelemente. Eine elegante Methode zu ihrer Bestimmung ist die Ausnutzung zweier zeitlich konstanter Vektoren (entspricht wegen je 3 Komponenten 6 Erhaltungsgrößen): des Drehimpulses und des Laplace-Runge-Lenz-Vektors. Zum Dreikörperproblem wird die Aufgabe der Bahnberechnung, wenn die Gravitation eines dritten Körpers (wegen seiner Größe meist Jupiter) berücksichtigt werden soll. Es ist jedoch nicht streng lösbar - außer für die Spezialfälle der 5 Lagrange-Punkte. Zusammengefasst:
- Zweikörperproblem gelöst durch Keplers 3 Gesetze und Methoden zur Berechnung der 6 Bahnelemente.
- Dreikörperproblem nur iterativ lösbar, Bahnstörungen bewirken kleine Änderungen in den 6 Bahnelementen. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie besitzt das Zweikörperproblem wegen der Abstrahlung von Gravitationswellen und dem damit verbundenen Drehimpulsverlust keine stabile Lösung. Vielmehr werden die Orbits um den Schwerpunkt immer enger, bei kürzer werdender Umlaufzeit. Kategorie:Himmelsmechanik

Himmelskörper

Ein Himmelskörper ist ein natürliches Objekt, das sich am Himmel zeigt, wie zum Beispiel ein Stern (z.B. die Sonne), ein Planet (z.B. die Erde), der Erd-Mond, ein Asteroid oder Meteorid. Himmelskörper werden von der Astronomie und der Astrophysik untersucht. Ein Gegenstand dieser beiden Wissenschaften sind die astronomischen Objekte, die sich am Tag- und Nachthimmel zeigen. Ungeklärt ist die Frage, ob schwarze Löcher auch als Himmelskörper bezeichnet werden können. Siehe auch: Satellit, Raumstation Kategorie:Astronomie

Kegelschnitt

In der Mathematik versteht man unter einem Kegelschnitt eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines unendlichen Kegels bzw. Doppelkegels mit einer Ebene schneidet. Häufig wird auch der englische Begriff Conic (cone-plane intersection) verwendet.

Klassifikation der Kegelschnitte

Ebene Es können folgende Figuren entstehen:
- ein Punkt, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene größer als der Öffnungswinkel ist
- eine Gerade, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene gleich dem Öffnungswinkel ist
- zwei sich schneidende Geraden, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene kleiner als der Öffnungswinkel ist
- ein Kreis, wenn die Schnittebene senkrecht (orthogonal) auf der Kegelachse steht
- eine Ellipse, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene größer als der Öffnungswinkel ist
- eine Parabel, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene gleich dem Öffnungswinkel ist
- eine Hyperbel, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene kleiner als der Öffnungswinkel ist

Die allgemeine Kegelschnittgleichung

Im ebenen kartesischen Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Gleichung (mit den Variablen x und y) immer ein Kegelschnitt. Umgekehrt können alle Kegelschnitte durch solche Gleichungen beschrieben werden. Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet also :a x^2 + 2 b x y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f \, = \, 0, wobei der Faktor 2 bei den Koeffizienten b, d und e aus Gründen der Zweckmäßigkeit verwendet wird. Der Typ des Kegelschnitts ergibt sich aus den im Folgenden definierten Determinanten \Delta und \delta sowie der Summe S: :\Delta \, = \, \begin a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end; \qquad \delta \, = \, \begin a & b \\ b & c \end = ac-b^2; \qquad S \, = \, a + c
- Für \delta > 0 und \Delta \cdot S < 0 handelt es sich um eine Ellipse. Gilt zusätzlich a = c und b = 0, so ist diese Ellipse sogar ein Kreis.
- Gelten die Bedingungen \delta < 0 und \Delta \ne 0, so ergibt sich eine Hyperbel, die im speziellen Fall a + c = 0 gleichseitig (rechtwinklig) ist.
- Unter den Voraussetzungen \delta = 0 und \Delta \ne 0 beschreibt die Gleichung eine Parabel. Soweit es sich um eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel handelt, bedeutet die Bedingung b = 0, dass die Achsen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Im allgemeinen Fall lässt sich der Drehwinkel gegenüber der achsenparallelen Lage durch :\tan (2 \alpha) \, = \, \frac berechnen. Folgerungen aus der allgemeinen Kegelschnittsgleichung:
- Ein Kegelschnitt ist durch fünf Punkte eindeutig festgelegt.
- Zwei verschiedene Kegelschnitte schneiden einander höchstens in vier Punkten. Besonders elegant wird die Kegelschnittgleichung unter Verwendung homogener Koordinaten: Alle Punkte X , die auf dem Kegelschnitt mit der Matrix C liegen, erfüllen die homogene Kegelschnitt-Gleichung: : X^T C X = 0 , \qquad C = \begin a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end, \qquad X = \begin x \\ y \\ w \end Die Matrix C definiert hierbei den Kegelschnitt vollständig und wird daher oft selbst auch als Conic bezeichnet. Für alle X, die die obige Gleichung nicht erfüllen, gibt das Vorzeichen des Ergebnisses darüber Aufschluß, ob der Punkt innerhalb/außerhalb (bzw. auf welcher Seite) des Conics liegt. Wie viele andere Objekte der projektiven Geometrie auch, ändert eine Skalierung der Matrix nichts an den Objekteigenschaften, die Multiplikation mit einem negativen Wert ändert allerdings die Interpretation von innen und außen. Die oben beschriebenen Kegelschnitte sind sogenannte Punkt-Conics, d.h. alle Punkte, die auf der Kurve liegen, erfüllen die Gleichung. Invertiert man nun die Matrix C, gelangt man zum Dualen Conic (oder Linien-Conic) : D \ = \ C^ Alle Geraden G (in homogener Darstellung), die Tangenten an den Punkt-Conic sind, erfüllen die Gleichung : G^T \ D \ G = 0 Die Conic-Matrix ist eine implizite Form der Kurve oder der Menge von Tangenten. Man kann sehr leicht prüfen, ob ein Punkt X auf dem Kegelschnitt liegt oder nicht, aber die Form liefert keine Parametrisierung zum "Entlanglaufen". Das bedeutet, dass, gegeben die Matrix, es nicht direkt möglich ist, einen Punkt zu finden, der auf dem Objekt liegt, dafür muss man den Kegelschnitt in eine explizite Form überführen.

Anwendungen und Beispiele

Eine Anwendung finden die Kegelschnitte in der Astronomie, da die Bahnen der Himmelskörper genäherte Kegelschnitte sind. Auch in der Optik werden sie verwendet - als Rotationsellipsoid für Autoscheinwerfer, als Paraboloid oder Hyperboloid für Spiegelteleskope usw.

Geschichtliches

Der griechische Mathematiker Menaichmos untersuchte an Platons Akademie die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells. Er fand dabei heraus, dass sich das delische Problem auf die Bestimmung des Schnittpunkts zweier Kegelschnitte zurückführen lässt. Euklid schrieb vier Bücher über Kegelschnitte, die uns aber nicht erhalten sind. Die gesamten Kenntnisse der antiken Mathematiker über die Kegelschnitte fasste Apollonios von Perge in seinem achtbändigen Werk "Konika" zusammen. Die Beschreibung von Kegelschnitten durch Koordinatengleichungen wurde von Fermat und Descartes eingeführt.

Siehe auch

Korbbogen, Kurve, Himmelsmechanik, Zweikörperproblem, projektive Geometrie.

Weblinks


- http://www.unet.univie.ac.at/~a9907818/kegelsch.htm
- [http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/kegelnam.htm Graphische Darstellung der Kegelschnitte und Namensgebung] Kategorie:Geometrie ja:円錐曲線

Ellipse

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Definitionen und Begriffe

Kegelschnitten

Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte P der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F_1 und F_2 gleich 2a ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte F_1 und F_2 heißen Brennpunkte. : E = \

Scheitel und Achsen

Die Punkte S_1 und S_2 mit größtem Abstand zum Mittelpunkt M heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie \overline heißt Hauptachse bestehend aus den zwei großen Halbachsen \overline und \overline. Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln S_3 und S_4, welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen \overline und \overline definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit b bezeichnet: : \left|\overline\right| = \left|\overline\right| = b Haupt- und Nebenachse sind zueinander orthogonal.

Exzentrizität

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit e bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck \triangle MF_1S_3 mit dem Satz des Pythagoras: : e = \sqrt. Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität \varepsilon \in [0,1), verwendet: :\varepsilon = \frac = \frac Ist \varepsilon gleich 0, so ist die Ellipse ein Kreis. Liegt sie nahe bei 1, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

Spezielle Abstände

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel S_3 und S_4 von den Brennpunkten F_1 und F_2 gerade gleich der Größe a aus der Definition ist (in nebenstehender Abbildung grün eingezeichnet): : \left|F_1 S_3\right| = \left|F_2 S_3\right| = \left|F_1 S_4\right| = \left|F_2 S_4\right| = a Die großen Halbachsen \overline und \overline haben ebenfalls gerade die Länge a. Diese Beziehung ergibt sich aus der Anwendung der Definitionsgleichung auf einen Hauptscheitel: : \left|F_1 S_1\right| + \left|F_2 S_1\right| = 2a : \left|M S_1\right| - e + \left|F_2 S_1\right| = 2a : \left|M S_1\right| - e + e + \left|M S_1\right| = 2a : \left|M S_1\right| = a

Halbparameter

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Ellipse: :p = \frac Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die perspektive Affinität (vgl. dazu den Artikel Affinität (Mathematik)). Hier ist die Ellipse als perspektiv affines Bild eines Kreises definiert. Dabei wird jeder Kreisdurchmesser auf einen Ellipsendurchmesser abgebildet.

Hauptlage und analytische Definition

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt folgende Gleichung für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse: : \frac + \frac = 1

Eigenschaften

Brennpunkteigenschaft

x-Achse Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet gleich dem Ausfallswinkel der Tangente mit dem anderen Brennstrahl. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt. Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Anekdote

Archimedes soll die Brennpunkteigenschaft von Ellipsen ausgenutzt haben, um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen, die seine Heimatstadt Syrakus belagerten. Er ordnete viele Schilde zu einem großen Ellipsenbogen an und entzündete ein Feuer in einem Brennpunkt, so dass die Segel eines feindlichen Schiffes im anderen Brennpunkt in Flammen aufgingen.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

Direktrix

Stoßwelle Eine Parallele zur Nebenachse im Abstand \frac bezeichnet man als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix d auf der entspechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrität: :\mathrm Ein gegebener Brennpunkt F, eine Gerade d (die Direktrix) und eine Zahl 0 \le \varepsilon < 1 definieren umgekehrt eine Ellipse e als Menge aller Punkte P für die das Verhältnis ihres Abstabstandes \left|FP\right| vom Brennpunkt zum ihrem Abstand \left|Fd\right| von der Geraden d gleich \varepsilon ist.

Konjugierte Duchmesser

Stoßwelle Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) \overline alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser \overline. Man nennt \overline den zu \overline konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu \overline konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser \overline überein.

Konstruktion

Näherung über Krümmungskreise

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse zu schneiden, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnutzen.

Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge 2a. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel

Gärtnerkonstruktion Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Papierstreifenkonstruktion

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen.

Rytzsche Achsenkonstruktion

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

Die Ellipse als Kegelschnitt

Rytzschen Achsenkonstruktion Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Beispiele


- Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.
- In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.
- Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.
- Ellipsen werden oft in Grafiken verschiedenster Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im (alten?) ORF-Logo bekannt.

Formelsammlung

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\frac + \frac = 1 Mittelpunkt (x_0|y_0), Hauptachse parallel zur x-Achse: :\frac + \frac = 1

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\left\

Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel (griechisch υπερβολή, iperbolí - die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen) eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Die Hyperbel gehört wie die Parabel und die Ellipse zu den Kegelschnitten.

Definitionen und Begriffe

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene, für die die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten F1 und F2, konstant gleich 2a ist. (Dadurch, dass man die gegebene Abstandsdifferenz mit 2a und nicht mit a bezeichnet, vereinfachen sich die Formeln zur Hyperbel ein wenig.) : hyp = \ bild:Hyperbel_Ortskurve.PNG Den halben Abstand der Brennpunkte bezeichnet man üblicherweise mit e. Die Gerade, die durch die beiden Brennpunkte geht, nennt man reelle Achse oder auch Hauptachse der Hyperbel. Genau zwei Punkte der Hyperbel liegen auf der Hauptachse; diese nennt man Scheitel. Die Scheitel haben zu den Brennpunkten die Abstände e+a bzw. e-a und voneinander den Abstand 2a. (Mit "Hauptachse" im engeren Sinn wird auch oft nur die Strecke bezeichnet, die die beiden Scheitel verbindet.) Die Senkrechte zur Hauptachse durch den Hyperbelmittelpunkt nennt man die Nebenachse oder die imaginäre Achse. Es erweist sich als praktisch, für die Größe \sqrt einen eigenen Namen einzuführen; üblicherweise bezeichnet man sie mit dem Buchstaben b (imaginäre Halbachse). Es gilt also a2 + b2 = e2. (Vergleiche dazu Ellipse.) Stimmen bei einer Hyperbel die Größen der Halbachsen (a und b) überein, so spricht man von einer gleichseitigen Hyperbel. Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die numerische Exzentrizität \varepsilon verwendet, ein dimensionsloser Wert, der sich aus :\varepsilon = \frac = \frac ergibt und stets größer als 1 ist. Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Hyperbel. p lässt sich berechnen durch: :p = \frac

Die Hyperbel als Kegelschnitt

Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse kleiner als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist.

Eigenschaften

Jede Hyperbel besitzt zwei Asymptoten, also zwei Geraden, denen sich die Punkte der Kurve beliebig annähern. Die beiden Asymptoten verlaufen durch den Mittelpunkt der Hyperbel. Ihr Schnittwinkel gegenüber der Hauptachse ist gegeben durch \tan\alpha = \frac. Ist die Hyperbel gleichseitig, so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander. Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand d = \frac. Für einen beliebigen Punkt X der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Direktrix gleich der numerischen Exzentrität: :\mathrm Asymptote Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Direktrix) sowie eine reelle Zahl \varepsilon mit \varepsilon > 1 vorgeben und eine Hyperbel definieren als Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich \varepsilon ist.

Gleichung der Hyperbel

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in "1.Hauptlage" liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1.Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten (e, 0) und (-e, 0), und die Scheitel haben die Koordinaten (a, 0) und (-a, 0). Für einen beliebigen Punkt (x,y) ist der Abstand zum Brennpunkt (e,0) gleich \sqrt, zum anderen Brennpunkt \sqrt. Der Punkt (x,y) liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich 2a oder gleich -2a ist. Durch algebraische Umformungen (unter Berücksichtigung von a2 + b2 = e2) kann man zeigen, dass die Gleichung :\sqrt - \sqrt = \pm 2a zur Gleichung :\frac-\frac = 1 äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1.Hauptlage. Daraus ergibt sich, dass jede Hyperbel nach einer geeigneten Koordinatentransformation durch :t \mapsto (a \cosh t, b \sinh t) parametrisiert werden kann. (Siehe auch cosh, sinh, Kreis-_und_Hyperbelfunktionen.)

Andere Lage

Eine besonders einfach visualisierbare Hyperbel wird durch die Funktion y = 1/x beschrieben (siehe Abbildung). Für diese Hyperbel ist a= b = \sqrt, und ihre Brennpunkte liegen bei (\sqrt, \sqrt) und (-\sqrt, -\sqrt). Auch andere Funktionen, wie z.B. y=\frac, stellen Hyperbeln dar.

Formelsammlung

Hyperbelgleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\frac - \frac = 1 Mittelpunkt (x_0,y_0), Hauptachse parallel zur x-Achse: :\frac - \frac = 1

Hyperbelgleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\left\

Zweikörperproblem

Unter Zweikörperproblem oder auch Keplerproblem versteht man die Aufgabe, die Bahnbewegung eines einzelnen Planeten oder Kometen um die Sonne genau zu berechnen, wenn sich nur diese zwei Körper durch Newtonsche Gravitation (d.h. im 1/r Gravitationspotential und instantaner Fernwirkung) gegenseitig beeinflussen. Der Großteil der Lösung geht auf Johannes Kepler zurück:
- 1. und 2. Keplersches Gesetz (gefunden 1599 bis 1609), der Ellipsen- und Flächensatz und
- 3. Keplersches Gesetz ("Weltharmonie", 1619). Als mögliche Bahnen kommen Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln in Frage. Bei Kreisen und Ellipsen sind die Körper aneinander gebunden wie die Planeten an die Sonne. Ist die Bahnform parabolisch oder hyperbolisch, so findet nur eine Begegnung statt. Die exakte Differentialgleichung lautet: \ddot\vec s = - \gamma M \frac Mit den drei Keplerschen Gesetzen und jeweils sechs Bahnelementen lässt sich die Position jedes Himmelskörpers berechnen, wenn außer ihm und der Sonne keine weiteren Körper wirksam sind.
Tatsächlich bewirken die anderen Körper des Sonnensystems so genannte Bahnstörungen, welche die auf zwei Körpern beruhenden, elliptischen "Kepler-Bahnen" zu leicht spiraliger Form verzerren. Zur kompletten Lösung des Zweikörperproblems sind auch Methoden notwendig, um die 6 Bahnelemente eines im Sonnensystem umlaufenden Körpers bestimmen zu können. Sie gehen auf Sir Isaac Newton und Pierre-Simon Laplace bzw. Carl Friedrich Gauß zurück (Bahnbestimmung). Im Zweikörperproblem (ohne Bahnstörungen durch dritte Körper und nicht-gravitative Einflüsse) genügen diese 6 Bahnelemente. Eine elegante Methode zu ihrer Bestimmung ist die Ausnutzung zweier zeitlich konstanter Vektoren (entspricht wegen je 3 Komponenten 6 Erhaltungsgrößen): des Drehimpulses und des Laplace-Runge-Lenz-Vektors. Zum Dreikörperproblem wird die Aufgabe der Bahnberechnung, wenn die Gravitation eines dritten Körpers (wegen seiner Größe meist Jupiter) berücksichtigt werden soll. Es ist jedoch nicht streng lösbar - außer für die Spezialfälle der 5 Lagrange-Punkte. Zusammengefasst:
- Zweikörperproblem gelöst durch Keplers 3 Gesetze und Methoden zur Berechnung der 6 Bahnelemente.
- Dreikörperproblem nur iterativ lösbar, Bahnstörungen bewirken kleine Änderungen in den 6 Bahnelementen. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie besitzt das Zweikörperproblem wegen der Abstrahlung von Gravitationswellen und dem damit verbundenen Drehimpulsverlust keine stabile Lösung. Vielmehr werden die Orbits um den Schwerpunkt immer enger, bei kürzer werdender Umlaufzeit. Kategorie:Himmelsmechanik

Keplersche Gesetze

Die Keplerschen Gesetze beschreiben die Planetenbewegungen um die Sonne. Entdeckt wurden sie von dem Astronomen Johannes Kepler, der in Tübingen studierte und in Prag, Graz und vor allem in Linz tätig war. Als früherer Assistent von Tycho Brahe hatte er Zugriff auf dessen vorzügliches Beobachtungsmaterial vom Planeten Mars. Durch dessen stark exzentrische Bahn war Kepler in der Lage, eine verbesserte Theorie über die Form der Umlaufbahnen aufzustellen. Die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) wurden 1609 in der Astronomia nova (Neue Astronomie) veröffentlicht, das dritte 1619 in den Harmonices mundi (Weltharmonik).

Erstes Keplersches Gesetz

1619 Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Dieses Gesetz ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz. Die dort postulierte Abnahme der Anziehungskraft mit dem Quadrat des Abstands hat als Bahn einen Kegelschnitt zur Folge. Ein Körper, der nicht gravitativ an das Sonnensystem gebunden ist, durchläuft es auf einer hyperbolischen Bahn und verläßt es anschließend wieder. Ein Einfang findet nicht statt, es sei denn die Bahn des Körpers wird zusätzlich durch einen Planeten gestört, sodass es sich nicht mehr um ein Zweikörperproblem handelt.

Zweites Keplersches Gesetz

hyperbolischen (Konstanz der Flächengeschwindigkeit; Erhaltung des Drehimpulses) Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen. Der Radiusvektor weist vom Zentrum der Umlaufbahn zum jeweils aktuellen Ort des umlaufenden Massekörpers ähnlich wie ein längenveränderlicher Zeiger auf dem Zifferblatt einer Uhr. Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt nun, dass die vom Zeiger überstrichene Fläche des elliptischen Zifferblattes für alle gleich langen Zeitabschnitte gleich groß ist. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist. Das Zentrum der Umlaufbahn ist hierbei der gemeinsame Schwerpunkt von Zentralstern und dem betrachteten Planeten: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern "eiert" ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten. Andere Einflüsse, wie etwa die gegenseitige Anziehung (Schwerkraft) der einzelnen Planeten untereinander, müssen vernachlässigbar klein sein, sonst ergeben sich merkliche Abweichungen von der Konstanz der Flächengeschwindigkeit. So gilt etwa für den Merkur das geschilderte Gesetz aufgrund verschiedener Störeinflüsse nicht streng, dort gibt es messbare Abweichungen: der Merkur beschreibt eine Rosettenbahn (siehe hierzu auch: Periheldrehung). In einer Sekunde überstreicht die Strecke Erde–Sonne eine Fläche von über 2 Milliarden km². Physikalisch ist das Zweite Keplersche Gesetz gleichbedeutend mit dem Drehimpuls- Erhaltungssatz.

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten (u) je zweier Planetenbahnen sind proportional zu den dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen (a). Oder:"Die Quadrate der Umlaufzeiten entspechen den Quben der Halbachsen." :\left( \frac \right)^2 = \left( \frac \right)^3 Kepler nannte die Bahnachsen a noch "mittlere Entfernung" von der Sonne (im Sinn des Mittels zwischen Perigäum und Apogäum). Obwohl die drei Gesetze die Planetenbewegung nur im Zweikörperproblem exakt beschreiben, sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit.
Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden "Bahnstörungen" genannt. Sie kommen zustande durch die Gravitation der Planeten untereinander und durch ihre Abplattungen, durch die baryzentrische Bewegung der Sonne wegen der Anziehung der Planeten und durch relativistische Effekte. Letztere zeigen sich besonders in der Periheldrehung des Merkur. Methoden zur Berücksichtigung solcher Bahnstörungen bietet die Variation der Elemente mit dem Konzept der oskulierenden Umlaufbahnen. Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Planeten im Rahmen des Dreikörperproblems, so lautet die exakte Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes: :\left( \frac \right)^2 = \left( \frac \right)^3 \frac Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Planeten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralgestirn eine Masse M hat, die von der eines der beiden Planeten nicht sehr stark abweicht. Dennoch sind die Kepler-Gesetze, und die auf ihnen beruhenden jeweils 6 Bahnelemente, die Grundlage jeder Bahnbestimmung. In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält man unmittelbar die Umlaufzeit T eines Planeten um die Sonne: : T = \sqrt mit: :G: Gravitationskonstante :a: große Halbachse :M: Sonnenmasse :m: Planetenmasse (vernachlässigbar gegenüber M) [http://www.google.de/search?hl=de&q=sqrt%281.5e11%5E3+%2A+4%2A+3.1415%5E2%2F%286.67e-11+%2A+2e30%29&btnG=Suche&meta= Beispiel Erde (Onlinerechner): T = \sqrt  s] = 31602834 s = 365 Tage

Anima motrix

Kepler kannte das Gravitationsgesetz, das die Planeten in ihrer Umlaufbahn hält nicht. Stattdessen spekulierte er, dass von der Sonne eine magnetartige Kraft, die sog. anima motrix ausgehe, die eben diese Aufgabe erfülle. Die Beziehung der Intensität der anima motrix zu der Distanz zwischen Sonne und Planeten dachte er analog zu der Abnahme der Intensität des Lichtes bei Entfernung von einer Lichtquelle. Intensität ∝ Licht propagiert jedoch in alle Richtungen, wobei die Wirkung der anima motrix auf die Umlaufbahn der Planeten beschränkt war.

Siehe auch


- Bahnelemente
- Ekliptik
- Newton
- Rudolfinische Tafeln
- Apsiden

Weblinks


- [http://www.eduvinet.de/gebhardt/astronomie/kepler.html Verständliche Darstellung]
- [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler1.htm Java-Applet: 1. Keplersches Gesetz]
- [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler2.htm Java-Applet: 2. Keplersches Gesetz]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Versuche und Aufgaben] Kategorie:Physik Kategorie:Erkenntnis in der Geschichte der Astronomie Kategorie:Himmelsmechanik ja:ケプラーの法則 ko:케플러 법칙

Bahnebene

Die Bahnebene großer Himmelskörper ist weitgehend konstant gegenüber dem Inertialraum der Fixsterne. Bei Monden und Satelliten unterliegt sie jedoch deutlichen Bahnstörungen durch die Abplattung des Zentralkörpers. Die Konstanz der Bahnebene und der Bahnneigung ist in aller Strenge nur gegeben, wenn die Keplerschen Gesetze voll gültig sind. Dies setzt jedoch genau kugelförmige Planeten und das Fehlen von jeder Atmosphäre und von sonstigen Kräften voraus. Insbesondere bei Vorhandensein weiterer Körper (Dreikörperproblem) unterliegt die Bahnebene periodischen und säkularen Veränderungen, die bei Planeten einige Winkelsekunden pro Jahr ausmachen können. Bei kleineren Körpern (Asteroiden, Kometen) und bei Monden bzw. Satelliten reichen sie von Minuten pro Jahr bis zu mehreren Grad pro Tag. Bezugsebene zur Definition der 6 Kepler-Bahnelemente ist entweder die Ekliptik oder der Erdäquator. Die Bahnebenen der 8 großen Planeten sind nur 1 bis 3° gegen die Ekliptik geneigt - mit Ausnahme von Merkur mit 7 Grad. Siehe auch: Umlaufbahn, Bahnbestimmung, Doppelsterne, Erdsatellit, Keplerbahnen, Vakuum, Zweikörperproblem. Kategorie:Himmelsmechanik

Schwerefeld

Das Erdschwerefeld (auch Schwerefeld der Erde) wird verursacht durch: # die gravitative Anziehung der Erdmasse, # die aus der Erdrotation resultierende Fliehkraft, # Unregelmäßigkeiten im Aufbau der Erde, # kleinere Effekte wie die Gezeiten (Anziehung durch Mond und Sonne). Das Schwerefeld außerhalb der Erde ist der Kugelfom angenähert, da der 1. Effekt die anderen bei weitem überwiegt. Die Abweichungen liegen nur im Promille-Bereich und beeinflussen erdnahe Satellitenbahnen auf einige Kilometer bzw. Zehntelgrad pro Stunde. Hingegen ist auf der Erdoberfläche die Anziehung am Pol um ca. 1/200 größer als am Äquator – aufgrund der Abplattung der Erde und der am Pol wegfallenden Fliehkraft. Die Erde gibt diesen Kräften großteils nach und hat die Form eines Ellipsoids, dessen Abplattung 1/298 (oder 21 km auf 6370 km Erdradius) beträgt. Wäre sie ansonsten gleichmäßig (geschichtet) aufgebaut, wäre dies auch die exakte Form des Meeresspiegels – des Geoids. Doch weist das Schwerefeld globale, regionale und lokale Unregelmäßigkeiten auf, da die Masse sowohl in der Erdkruste (Gebirge, Kontinentalplatten) als auch tiefer (in Erdmantel und Kern) nicht gleichmäßig verteilt ist. Diese zusätzlichen Abweichungen wirken sich in der Schwerkraft bis zu 0,01% aus, in der Lotrichtung bis 0,01° und im Geoid bis 100 Meter. Das Erdschwerefeld hat seinen höchsten Wert an der Erdoberfläche. Im Inneren der Erde nimmt das Schwerefeld mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt annähernd linear ab. Am Erdmittelpunkt selbst ist das Schwerefeld Null, es herrscht Schwerelosigkeit. Könnte man einen Tunnel durch die Erde hindurch bohren und Reibungsverluste ausschalten, würde ein in diesen Schacht hineinfallender Gegenstand im freien Fall in rund 42 Minuten bis zum anderen Ende hindurchfallen.

Siehe auch

Schwerebeschleunigung, Gravitation, Erdellipsoid, Lotabweichung, Geopotenzial, Bahnstörung

Literatur


- Christoph Reigber, Peter Schwintzer: Das Schwerefeld der Erde. Physik in unserer Zeit 34(5), S. 206 - 212 (2003), ISSN 0031-9252

Weblinks


- [http://www.gfz-potsdam.de/pb1/pg3/index_S13d.html GeoForschungsZentrum-Potsdam "Gravitationsfeld und Erdmodelle"] Kategorie:Geodäsie Kategorie:Geophysik Kategorie:Erde

Gas

Gas bezeichnet einen der Aggregatzustände oder einen Stoff, der sich üblicherweise in diesem Aggregatzustand befindet.

Begriffsabgrenzung

Eine Substanz wird als „Gas“ im engeren Sinne bezeichnet, wenn sie bei einer Temperatur von 20 °C (Raumtemperatur) und einem Druck von 1 atm (sog. Standardbedingungen) im gasförmigen Aggregatzustand vorliegt. Allgemeiner bezeichnet man auch den gasförmigen Zustand einer Substanz selbst als Gas, unabhängig von der Temperatur. Zusammen mit den Flüssigkeiten zählt man Gase im Sinne eines gasförmigen Zustandes zu den Fluiden.

Eigenschaften

Fluid Der idealisierte gasförmige Aggregatzustand, man spricht von einem idealen Gas, zeichnet sich durch die vollkommen freie Beweglichkeit der einzelnen Atome und/oder Moleküle entsprechend der kinetische Gastheorie aus. Dies hat zur Folge, dass ein Gas kompressibel ist, also sein Volumen dem herrschenden Druck anpasst und gilt bis auf wenige Einschränkungen auch für reale Gase. Gase besitzen dabei auch Eigenschaften von Flüssigkeiten: sie haben die Fähigkeit zu fließen und widerstehen Deformation nicht, obgleich sie über eine Viskosität verfügen. Anders als Flüssigkeiten besitzen Gase jedoch kein festgelegtes Volumen und füllen daher immer den gesamten zur Verfügung stehenden Raum vollständig und gleichmäßig aus. Dies liegt darin begründet, dass das Gesamtsystem den Zustand höchster Entropie anstrebt (zweiter Hauptsatz der Thermodynamik) und ein solcher Zustand einer statistischen Gleichverteilung der Gasteilchen in diesem Raum entspricht. Den Übergang vom gasförmigen in den flüssigen Aggregatzustand bezeichnet man als Kondensation, den Übergang vom gasförmigen in den festen Aggregatzustand als Resublimation.

Lagerung

Um eine möglichst große Menge an Gas in einen Behälter zu bringen, also eine hohe Dichte zu erhalten, wird das Gas stark komprimiert. Damit der Behälter dabei dem Gasdruck standhält, werden meist zylinderförmige oder kugelförmige Körper wie bei Gasflaschen, Gaskesseln oder ehemals Gasometern eingesetzt. Der Gasdruck selbst ist ein hydrostatischer Druck.

Verwandte Themen


- Dampf ist ein Stoff in gasförmigem Zustand, der üblicherweise fest oder flüssig ist.
- Liste der Dichte gasförmiger Stoffe
- Angabe der Stoffreinheit bei technischen Gasen
- Spezielle Arten von Gasen und Gasgemischen, siehe :Kategorie:Gas.
- Physikalische Eigenschaften von Gasen, siehe Gasgesetze.

Weblinks

Kategorie:Chemie Kategorie:Thermodynamik ja:気体 ko:기체 ms:Gas simple:Gas

Meteorit

/JSC)]] Meteorite sind Festkörper außerirdischen Ursprungs, welche die Atmosphäre durchquert und den Erdboden erreicht haben. Sie bestehen gewöhnlich überwiegend aus Silikatmineralen oder einer Eisen-Nickellegierung; da es sich fast immer um vielkörnige Mineralaggregate handelt, werden sie unabhängig von ihrer chemischen Zusammensetzung zu den Gesteinen gezählt. Als Meteoroid bezeichnet man den Ursprungskörper, während er noch durch das Sonnensystem fliegt; beim Eintritt in die Atmosphäre erzeugt er eine Leuchterscheinung, die als Meteor bezeichnet wird. Wenn er in der Atmosphäre nicht vollständig verglüht, sondern den Boden erreicht, wird er schließlich zum Meteorit.

Allgemeines

Meteorite werden bei ihrem Fall durch die Erdatmosphäre abgebremst und dabei an der Oberfläche erhitzt und geschmolzen, während sie in ihrem Inneren kühl bleiben und dadurch nicht verändert werden. Meteorite ermöglichen daher wertvolle Einblicke in die Frühzeit des Sonnensystems, in der sie gebildet wurden. Eine große Zahl von Meteoriten mit einer Gesamtmasse von etwa 40 Tonnen dringt täglich in die Atmosphäre ein - die meisten davon sind Mikrometeorite: In Deutschland fallen beispielsweise jährlich nur zwei Meteorite von etwa Faustgröße. Etwa 20.000 Meteorite mit einer Masse von mehr als 100 Gramm erreichen pro Jahr die Erdoberfläche, wobei die meisten kaum größer als Kieselsteine sind. Meteoroide, die aus dem Asteroidengürtel stammen, haben im Bereich des Erdorbits eine heliozentrische Geschwindigkeit von etwa 42 km/s. Da die Geschwindigkeit der Erde 30 km/s beträgt, sind Relativgeschwindigkeiten von bis zu 72 km/s oder 260.000 km/h möglich. Größere Meteoriteneinschläge erzeugen Einschlagkrater.

Einteilung und Benennung der Meteorite

Nach ihrem inneren Aufbau werden Meteorite in undifferenzierte und differenzierte Meteorite unterteilt. Undifferenzierte Meteorite enthalten die älteste und erste Materie, die im Sonnensystem entstand. Sie sind die bei weitem am häufigsten gefundenen Meteorite und werden Chondrite genannt; man zählt sie zu den Steinmeteoriten. Die differenzierten Meteorite stammen dagegen überwiegend von Asteroiden, einige auch vom Mars oder dem Erdmond, also solchen Himmelskörpern, die wie die Erde durch Schmelzprozesse einen schalenartigen Aufbau aufweisen; diese Materialtrennung wird Differentiation genannt. Differenzierte Meteorite lassen sich unterteilen in die nichtchondritischen Steinmeteorite, die man auch Achondrite nennt und die aus einer Eisen-Nickel-Legierung bestehenden Eisen-Meteorite. Erstere stammen aus dem Mantel, letztere aus dem Kern der Asteroiden. Daneben gehören auch die Stein-Eisen-Meteorite zu den differenzierten; sie stammen aus dem Übergangsbereich zwischen Kern und Mantel. Je nachdem, ob der Fall eines Meteoriten beobachtet wurde oder ob der Meteorit bereits früher unbeobachtet gefallen ist und nur gefunden wurde, wird ein Meteorit als „Fall“ oder „Fund“ eingeteilt. Neben der chemischen und petrologischen Klassifizierung werden Meteoritenfunde auch nach dem Grad der Verwitterung seit ihrem Auftreffen auf der Erdoberfläche in die Verwitterungsklassen A, B oder C eingeteilt. Ein alternatives Klassifizierungssystem teilt die Verwitterungsklassen in W0 - W6 ein. Schwach verwitterte Meteorite haben den Verwitterungsgrad A (beziehungsweise W0), während die am stärksten verwitterten Meteorite in den Verwitterunggrad C (beziehungsweise W6) eingeteilt werden. Meteorite können auch eine Metamorphose durch ein Schockereignis, beispielsweise während des Losschlagens vom Mutterkörper, erlitten haben. Dies wird durch Einteilen in die Schockklassen S1 - S6 beschrieben, wobei in S1 nicht oder nur sehr schwach geschockte Meteorite und in S6 die am schwersten geschockten Meteorite stehen. Stein-Eisen-Meteorit Im Einzelfall kann die Entscheidung, ob ein gefundenes Gesteinsstück tatsächlich ein Meteorit ist, nur vom Fachmann beurteilt werden. Im Falle von metallischen Meteoriten bedient er sich dazu beispielsweise der Widmanstättenschen Figuren. Sie entstehen, wenn man einen Eisenmeteoriten auftrennt, die Schnittflächen poliert und dann mit einer Säure, zum Beispiel verdünnter Salpetersäure, anätzt. Es erscheinen dann die charakteristischen Kristallstrukturen des Metalls, eben die Widmanstätten-Figuren, die nur in Meteoriten auftreten. Es gibt allerdings auch Eisenmeteorite, die keine Widmanstätten-Figuren zeigen; ihr Nichtvorhandensein schließt einen Meteoriten also nicht aus. Eine weitere Möglichkeit, ein gefundenes Eisenstück als Meteorit zu identifizieren, ist ein Nickeltest, da alle Eisenmeteorite mindestens 4 Prozent Nickel enthalten. Ein Indiz für einen Steinmeteoriten kann das Vorhandensein einer schwarzen Schmelzkruste sowie kleiner Kügelchen (Chondren) sein. Mit einem Magneten kann man ein gefundenes Steinstück auch auf Magnetismus testen, da Chondrite wegen der in ihnen vorhandenen kleinen metallischen Eisenteilchen magnetisch sind. Als Pseudometeorite werden solche Funde bezeichnet, die wegen mehr oder weniger großer Ähnlichkeiten zu meteoritischem Gestein zunächst für einen Meteoriten gehalten wurden, sich bei genauerer Analyse jedoch als irdisches Gestein entpuppten. Die genauen Regeln der Namensgebung wurden von der Meteoritical Society, einer internationalen Fachgesellschaft, aufgestellt. Demnach werden Meteorite nach ihrem Fundort (Ort, Fluss etc.) benannt. Bei Orten, an denen sehr viele Meteorite gefunden werden, wie beispielsweise einigen Gebieten in der Sahara, wird eine laufende Nummer angehängt (beispielsweise DaG 262 von Dar al Gani). Bei Meteoriten, die in der Antarktis gefunden werden, werden an den Namen die Jahreszahl und eine laufende Nummer angehängt. Beispielsweise bezeichnet ALH 76008 den achten Meteoriten, der im Jahre 1976 im Alan Hills Gebiet in der Antarktis aufgesammelt wurde. Der Marsmeteorit ALH 84001, bekannt geworden durch die angeblichen Spuren fossiler Bakterien, war demnach der erste im Jahre 1984 aufgelesene Meteorit in diesem Gebiet.

Herkunft der Meteorite

Die meisten Meteorite sind Bruchstücke von Asteroiden und stammen aus dem Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter. Durch Kollisionen wurden sie von ihrem Mutterkörper losgeschlagen. Die typischen Widmanstätten-Figuren in Eisen-Nickel-Meteoriten können zum Beispiel nur entstehen, wenn ein geschmolzener metallischer Körper sehr langsam, über Millionen von Jahren abkühlt. Solche Abkühlzeiten werden nur im Kern von Himmelskörpern erreicht, etwa Asteroiden. Die Zeitdauer zwischen dem Abtrennen vom Mutterkörper und dem Einschlag auf der Erde liegt typischerweise bei einigen Millionen Jahren, kann aber auch mehr als hundert Millionen Jahre dauern. Meteorite repräsentieren das älteste Material unseres Sonnensystems und enthalten Materie, die vor 4,56 Milliarden Jahren entstand. Sie sind der einzige direkte irdische Zugang zur Erforschung der Entstehung unseres Sonnensystems. Ähnlich altes Material findet sich sonst innerhalb des Sonnensystems in Kometen oder eben den Asteroiden und kann nur mit Hilfe von Raumsonden genauer untersucht werden. Dass einige Meteorite vom Mond (Mondmeteorite) und vom Mars (Marsmeteorite) stammen, wurde inzwischen nachgewiesen. Für den kohligen Chondriten Kaidun wurde der Marsmond Phobos und für den Enstatiten Abee gar der Merkur als Ursprungskörper vorgeschlagen, was allerdings umstritten ist. Bisher wurden keine Meteorite gefunden, die nachweislich von Kometen oder gar aus dem interstellaren Raum stammen, obwohl bei Mikrometeoriten auch eine kometare Herkunft diskutiert wird und die meisten Meteorströme mit Kometen in Verbindung stehen. Auch hier rührt die Mehrzahl aber vermutlich überwiegend von Asteroiden her.

Fundorte von Meteoriten

Meteorströme Meteorite fallen zwar gleichmäßig überall auf die Erde, trotzdem gibt es Orte, an denen sie bevorzugt zu finden sind. Während sie in den gemäßigten Klimazonen recht schnell verwittern, können sie in trockenen Gegenden, wie den nordafrikanischen Wüsten, oder in der Antarktis Zehntausende von Jahren, manchmal sogar über eine Million Jahre überdauern. Hilfreich ist auch, dass Meteorite wegen ihrer typisch schwarzen Schmelzkruste leicht auffallen. In der Antarktis gibt es zudem Gebiete, in denen Meteorite durch Gletscher an so genannten Blaueisfeldern angesammelt werden. Es werden deshalb häufig Expeditionen dorthin unternommen, um neue Meteorite aufzuspüren. Der mit 60 Tonnen Gewicht weltweit größte Meteorit Hoba - ein Eisenmeteorit - wurde 1920 in Namibia gefunden.

Historisches über Meteorite

Berichte über vom Himmel gefallene Steine gibt es seit frühester Zeit. So berichtet etwa der griechische Schriftsteller Plutarch über einen schwarzen Stein, der etwa 470 v. Chr. in Phrygien gefallen sein soll. Dieser Meteorit wurde im Namen der Göttin Kybele verehrt, bis er nach der Übernahme des Kybele-Kultes durch die Römer (die sie Magna Mater deum Idea nannten) im Jahr 204 v. Chr. in einer großen Prozession nach Rom gebracht wurde, wo er weitere Jahrhunderte verehrt wurde. Bereits in prähistorischer Zeit waren Meteorite Gegenstand von religiösen Kulten. So wurde der Meteorit Winona 1928 in einem Steinbehälter in einem prähistorischem Pueblo in Arizona gefunden, wo er offenbar kultischen Zwecken diente. Auch bei dem in der Kaaba, dem zentralen Heiligtum des Islam, eingemauerten schwarzen Stein Hadschar al-Aswad handelt es sich möglicherweise um einen Meteoriten, was allerdings wissenschaftlich nicht gesichert ist. Der chinesische Historiker Ma Duanlin (1245-1325) berichtet über Meteoritenfälle in einem Zeitraum von 2000 Jahren. Eine Auswertung früher chinesischer Aufzeichnungen durch die Meteoritenforscher K. Yau, P. Weissman und D. Yeomans ergab 337 beobachtete Meteoritenfälle zwischen 700 v. Chr. und 1920. Der Meteorit Nogata, gefallen im Jahr 861 n. Chr., ist der früheste beobachtete Fall, von dem heute noch Material aufbewahrt wird. Der erste registrierte Meteorit in Europa, von dem noch Material vorhanden ist, fiel 1400 n. Chr. in Elbogen in Böhmen. Großes Aufsehen erregte der Fall von Ensisheim im Elsass, bei dem im Jahre 1492 ein Steinmeteorit unter großem Getöse vom Himmel fiel. Über das Ereignis berichteten zahlreiche Chroniken und Flugblätter. Die ältesten auf der Erde gefundenen Überreste von Meteoriten sind „fossile Meteorite“, die einen Stoffaustausch mit dem Gestein, in das sie eingebettet sind, erfahren haben und deren meteoritische Herkunft nur noch an ihrer Struktur zu erkennen ist. In Kalksteinschichten in Schweden sind zum Beispiel eingebettete Fragmente von fossilen chondritischen Meteoriten gefunden worden, die im Ordovizium vor etwa 450-480 Millionen Jahren auf die Erde gefallen sind. Als spektakuläres Ereignis der jüngeren Zeit gilt eine Beobachtung am 30. Juni 1908 (Tunguska-Ereignis). Zeugen beobachteten am Himmel über der sibirischen Tunguska-Region einen blassblauen Feuerball. Kurz darauf machte die Druckwelle einer Explosion rund 2.000 Quadratkilometer Wald dem Erdboden gleich, das entspricht einem Umkreis von etwa 50 Kilometer. Die durch die Explosion verursachten Luftdruckschwankungen konnten noch in London registriert werden. Neben anderen Theorien wird vermutet, dass es sich bei diesem Ereignis um die Explosion eines Meteoroiden, vermutlich eines Kometenkernfragments oder eines kleineren Asteroiden, von etwa 50 bis 100 Meter Durchmesser in einer Höhe von ca 10.000 Metern handelte. Meteorite oder ein Krater, die durch das Ereignis entstanden sein könnten, wurden in dem entsprechenden Gebiet bisher nicht gefunden, aber einige Stunden nach dem Ereignis fiel in der Nähe von Kiew der Meteorit Kagarlyk. Bisher ist ungeklärt, ob dies ein zufälliges Aufeinandertreffen der beiden Ereignisse ist oder ob ein Zusammenhang besteht. Meteoritisches Eisen wurde schon vor der eigentlichen Eisenzeit zur Herstellung von Kultgegenständen, Werkzeugen oder Waffen benutzt. So wurden etwa in einem kleinen Gräberfeld aus der Zeit von 3500 bis 3000 v. Chr. bei der ägyptischen Siedlung Gerzeh Eisengegenstände mit einem Nickelgehalt von 7,5 Prozent gefunden, was den meteoritischen Ursprung nahe legt. Eine Dolchklinge aus meteoritischem Eisen wurde auch in der Grabkammer des Pharaos Tutanchamun gefunden. Auch heute wird das so genannte Meteoriteneisen wegen seiner relativen Seltenheit als Schmuck oder als Teil von handgemachten Messern verwendet. Ätzt man Meteoriteneisen mit Säure, zeichnet sich ein Muster ab, da die verschiedenen Metalle unterschiedlich stark von der Säure angegriffen werden. Man spricht dann auch von Meteoritendamast.

Geschichte der Meteoritenforschung

Die wissenschaftliche Erforschung von Meteoriten begann am Ende des 18. Jahrhunderts. Die erste Veröffentlichung über die chemische Analyse eines 1768 bei Lucé in Frankreich gefallenen Steines mit modernen chemischen Methoden wurde 1777 von den Chemikern Fourgeroux, Chadet und Lavoisier im Journal de Physique veröffentlicht. Allerdings kamen die Autoren zu dem falschen Schluss, dass der Stein irdischen Ursprungs und möglicherweise durch Blitzeinschlag in Sandstein entstanden sei. Als Meilenstein in der Akzeptanz von Meteoriten als außerirdischen Objekten gilt die Veröffentlichung des Physikers Ernst F. F. Chladni Ueber den Ursprung der von Pallas gefundenen und anderer ihr ähnlicher Eisenmassen. In diesem 1794 veröffentlichten Aufsatz diskutiert Chladni historische Berichte über Meteore und Feuerkugeln und stellt die Hypothese auf, dass diese Erscheinungen mit Berichten über vom Himmel gefallene Stein- und Eisenmassen verknüpft sind. Außerdem schlägt er vor, dass diese Körper aus dem Weltraum stammen. Auslöser für diese Arbeit waren Diskussionen mit dem Physiker Georg Christoph Lichtenberg, welcher 1791 selbst einen Feuerball beobachtet hatte. Während an der Existenz von Meteoren und Feuerkugeln auch vorher nicht gezweifelt wurde, wurden Berichte über vom Himmel gefallene Steine oder Eisenmassen vor der Veröffentlichung Chladnis von Wissenschaftlern meist als Aberglaube abgetan. Wenn überhaupt, dann wurde höchstens ein atmosphärischer Ursprung von Meteoriten akzeptiert, beispielsweise durch Blitze verkohlte Vögel oder atmosphärische Staubzusammenballungen. Besonders Behauptungen, dass Meteorite außerirdischen Ursprungs seien, wurden oft auch von aufgeklärten und gebildeten Menschen mit Spott und Polemik beantwortet. Ein Grund hierfür war der auf Aristoteles zurückgehende und von Isaac Newton bekräftigte Glaube, dass das Sonnensystem abgesehen von den größeren Körpern wie Planeten, Monden und Kometen frei von Materie und höchstens von einer Äther genannten Substanz erfüllt sei. Auch Chladnis Thesen erfuhren zunächst bei den meisten Wissenschaftlern Ablehnung, durch weitere beobachtete Fälle (beispielsweise Wold Cottage 1795, L'Aigle 1803) und Forschungsberichte erhielten sie aber zunehmend Unterstützung. William Thomson lieferte 1794 die erste mineralogische Beschreibung eines bei Siena in Italien gefallenen Steins, in der er zeigte, dass dieser von allen bekannten irdischen Gesteinen verschieden ist. Edward C. Howard und Jacques-Louis de Bournon analysierten 1802 vier Meteorite auf ihre chemische Zusammensetzung. De Bournon erwähnte dabei erstmals in diesen gefundene Silikatkügelchen, welche dann 1869 durch Gustav Rose als Chondren benannt wurden. Während noch in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts die fälschlicherweise als Mondvulkane interpretierten Mondkrater oder Staubzusammenballungen in der Hochatmosphäre als Herkunft der meisten Meteorite diskutiert wurden, nahm man später den Asteroidengürtel oder gar einen interstellaren Ursprung an. Dass fast alle Meteorite Bruchstücke aus dem Asteroidengürtel sind, hat sich letztendlich um 1940 durch photographische Aufnahmen einiger Meteore durch F. L. Whipple und C. C. Wylie, aus denen auf elliptische Bahnen geschlossen werden konnte, abgezeichnet. Bei einem interstellaren Ursprung wären hyperbolische Bahnen zu erwarten gewesen. Im Jahr 1959 konnte die Bahn des Meteoriten Pribram durch mehrere Kameras aufgezeichnet und der Orbit berechnet werden, dessen Aphel im Asteroidengürtel lag. Allerdings konnte dann Anfang der 1980er Jahre mit Hilfe neuester kosmochemischer Daten auch nachgewiesen werden, dass etwa jeder tausendste Meteorit vom Mond und eine vergleichbare Anzahl sogar vom Mars stammt.

Aktuelle Meteoritenforschung

Meteorite repräsentieren bisher neben den Mondproben der Apollo- und Luna-Missionen das einzige außerirdische Material, das in irdischen Labors untersucht werden kann. Deswegen ist die Forschung an Meteoriten sehr wichtig für die Planetologie und kosmochemische Fragestellungen. So können anhand von Isotopenmessungen an präsolaren Mineralen Modelle der Nukleosynthese in Supernovae und der Umgebung von Roten Riesen überprüft werden. Auch für die Erforschung der Entstehung unseres Planetensystems sind Meteorite sehr wichtig. So konnte für Kalzium-Aluminium-reiche Einschlüsse in primitiven Chondriten mit verschiedenen Datierungsmethoden ein Alter zwischen 4,667 und 4,671 Milliarden Jahren nachgewiesen werden. Weil dies vermutlich die ältesten im Sonnensystem entstandenen Minerale sind, markieren sie den Beginn der Entstehung unseres Planetensystems. Die Datierung der verschiedenen Klassen von Meteoriten erlaubt so eine zunehmend genauere zeitliche Darstellung der einzelnen Prozesse im frühen Sonnensystem. Auch sind in Meteoriten zahlreiche Mineralien wie beispielsweise Niningerit entdeckt worden, die bisher auf der Erde nicht gefunden wurden. Niningerit Meteoriteneinschläge haben zudem die Erdgeschichte stark beeinflusst, deshalb sind sie auch aus diesem Grund von Interesse. So war die Erde nach ihrer Entstehung einige hundert Millionen Jahre lang bis vor etwa 3,9 Milliarden Jahren einem starken Bombardement durch außerirdische Objekte ausgesetzt. Weithin bekannt ist inzwischen der KT-Impakt genannte Meteoriteneinschlag vor 65 Millionen Jahren, der für das Aussterben der Dinosaurier verantwortlich gemacht wird. Auch das heute allgemein akzeptierte Alter der Erde von 4,55 Milliarden Jahren wurde zuerst 1953 von C. C. Patterson mittels Uran-Blei-Datierung am Meteoriten Canyon-Diablo bestimmt. Beginnend mit der Entdeckung von organischen Verbindungen im kohligen Chondriten Murchison spielen Meteorite eine zunehmend größere Rolle in der Astrobiologie und der Erforschung des Ursprungs des Lebens. Neben Aminosäuren und polyzyklischen aromatischen Kohlenwasserstoffen, welche inzwischen auch in anderen kohligen Chondriten nachgewiesen wurden, wurden in Murchison auch Fullerene und sogar Diaminosäuren nachgewiesen. Es wird vermutet, dass Diaminosäuren eine wichtige Rolle in den ersten präbiotischen Reaktionen, aus denen letztlich die RNA und die DNA hervorgingen, gespielt haben. Diese Entdeckung ist somit ein Indiz dafür, dass einige wichtige Bausteine des Lebens durch Meteorite auf die Erde gelangt sein könnte. Ein noch aufsehenerregenderes Forschungsergebnis in diesem Bereich war die bis heute kontrovers diskutierte Entdeckung angeblich fossiler Spuren bakteriellen Lebens im Marsmeteoriten ALH84001. Siehe auch: Liste von Meteoriten

Einschlag eines Meteoriten

Hauptartikel: Meteoriteneinschlag Es gibt mindestens neun Berichte von Meteoriten, die ein Auto trafen und es beschädigten. Am 9. Oktober 1992 wurde ein geparkter Chevrolet Malibu in Peekskill im US-amerikanischen Staat New York von einem 12 Kilogramm schweren Meteoriten getroffen, am 14. April 1997 soll im französischen Chamberry ebenfalls ein PKW durch einen Meteoriten beschädigt worden sein.

Literatur

Einführende Fachbücher und Artikel


- F. Heide, Kleine Meteoritenkunde, ISBN 3540191402
- L. Schultz, Planetologie, eine Einführung, ISBN 3764322942
- O. R. Norton, The Cambridge Encyclopedia of Meteorites, ISBN 0521621437
- H. Y. McSween, Jr. McSween, Meteorites and Their Parent Planets, (engl.), ISBN 0521587514
- Marvin U.B. (1996) Ernst Florenz Friedrich Chladni (1756-1827) and the origins of modern meteorite research, Meteoritics & Planetary Science 31, 545-588

Meteoritenkataloge


- Catalogue of Meteorites, Robert Hutchison, Andrew Graham, M. M. Grady, Cambridge Univ. Press, 2000, ISBN 0521663032 (auch Online-Recherche möglich, siehe Weblinks)
- Metbase, Jörn Koblitz (elektronischer Katalog auf CD)
- WinMetCat, B. Booz, R. W. Bühler, Swiss Meteorite Lab (elektronischer Katalog)

Relevante wissenschaftliche Zeitschriften


- Meteoritics & Planetary Science (MAPS)
- Geochimica et Cosmochimica Acta (GCA)
- Earth and Planetary Science Letters (EPSL)
- Journal of Geophysical Research (JGR)

Weblinks


- [http://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Meteorit Metorite im Mineralienatlas]
- [http://www.meteoroids.de/wiss_met_a.htm Wissenswertes über Meteorite]
- [http://www.wappswelt.de/tnp/nineplanets/meteorites.html Meteore, Meteoriten und Einschläge]
- [http://flood.nhm.ac.uk/cgi-bin/earth/metcat/ Online Meteoritenkatalog des Naturhistorischen Museums (London)] (Englisch)
- [http://www.meteoriticalsociety.org/ Meteoritical Society] (Englisch)
- [http://www.geocities.com/CapeCanaveral/9278// Klassen und Systematik der Meteorite] (Englisch) ! ja:隕石 th:อุกกาบาต

Strahlungsdruck

In der Elektrotechnik ist der Strahlungsdruck ein Impuls, der durch Absorption einer elektromagnetischen Welle an einer Fläche entsteht. Eine elektromagnetische Welle enthält neben Energie auch Impuls. Dieser wird mit der Welle transportiert. Der Impuls einer ebenen Welle liegt in der Ausbreitungsrichtung und wird auch in dieser Richtung transportiert. Bei der Absorption einer elektromagnetischen Welle wird ihr Impuls auf die absorbierende Fläche übertragen (Impulserhaltungssatz). Bei vollständiger Reflexion wird der doppelte Impuls übertragen, da der Impuls der Welle durch die Reflexion sein Vorzeichen wechselt. Diese Erscheinung ist als Strahlungsdruck experimentell nachgewiesen. In der Astrophysik ist der Strahlungsdruck eine Druckkraft, die durch Kernfusionsprozesse im Innern eines Sterns freigesetzt wird.
Der Strahlungsdruck ist der Gravitationskraft entgegen gerichtet und bewirkt die Stabilisierung des Sterns. Siehe auch: Komet, Poynting-Robertson-Effekt Kategorie:Elektrodynamik

Bahnelement

Die Bahnelemente beschreiben die Bahn eines Planeten oder Kometen um die Sonne. Die Planetenbewegung wird mit den drei keplerschen Gesetzen behandelt. keplerschen Gesetzen Zur Definition einer störungsfreien Kepler-Bahn sind 6 Bahnelemente erforderlich: #

a = große Halbachse
entweder in km oder in AE (Astronomische Einheit, große Halbachse der Erdbahn = 149,597 Mill.km)

#

ε = numerische Exzentrizität
woraus sich
Periheldistanz = a
- (1 - ε) und
Apheldistanz = a
- (1 + ε) ergeben.

#

i = Inklination (Bahnneigung zur Ekliptik)

#

Ω = Rektaszension des aufsteigenden Knotens
(Das ist der Winkel vom Frühlingspunkt zum aufsteigenden Knoten)

#

ω = Argument des Perihels
(Perihellänge)
(Winkel vom aufsteigenden Knoten zum Perihel ¹)

#

T = Zeitpunkt des Periheldurchgangs
(oder Epoche E plus Position)

Im Zweikörperproblem (ohne Bahnstörungen durch dritte Körper und nicht-gravitative Einflüsse ²) genügen diese 6 Bahnelemente. Oft wird noch ein siebentes angegeben, das aus a und dem 3. Keplerschen Gesetz folgt und als :P = Periode
(siderische Umlaufzeit, in tropischen Jahren gemessen) oder :μ = tägliche Bewegung
(μ = 360
- 60
- 60" / P Tage) angegeben wird. ---- ¹) Die Summe der Winkel Ω + ω, von denen der erste in der Ekliptik, der zweite in der Bahnebene gemessen wird, nennt man die Länge des Perihels. Sie ist eine brauchbare Vereinfachung, wenn die Bahnneigung i klein ist. ²) Bahnstörungen verursachen eine langsame Änderung der 6 Bahnelemente, sodass diese nur oskulierende Elemente sind, d.h. sich der Keplerellipse nur während eines kurzen Zeitraums anschmiegen.
Einige Störungen können durch Angabe zeitlicher Änderungen der Bahnelemente berücksichtigt werden. Siehe auch: Apsis (Astronomie), Umlaufbahn

Weblinks


- [http://cfa-www.harvard.edu/iau/mpc.html Minor Planet Center]
- [http://cfa-www.harvard.edu/iau/cbat.html Central Bureau for Astronomical Telegrams] Kategorie:Himmelsmechanik ja:軌道要素

Periodisch

Periodisch ist das Adjektiv zu Periode (v. griech.: 'περίοδος [períodos]' das Herumgehen) und bezeichnet ein sich regelmäßig wiederholendes Ereignis. Siehe eingehender den Artikel Periodizität und die mathematischen und physikalischen Definitionen unter Periode (Mathematik) und Periode (Physik).

Variation der Elemente

Die Variation der Elemente ist eine im 19. Jahrhundert entwickelte Methode zur genauen Bahnbestimmung von Himmelskörpern. Sie dient bis heute zur Modellierung so genannter Bahnstörungen. In der Idealisierung des Zweikörperproblems verläuft die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne oder eines Mondes um einen Planeten exakt auf einer Keplerellipse. Voraussetzung hierfür ist, dass beide Körper kugelförmig sind, sich im Vakuum bewegen und keine weiteren Himmelskörper oder Kräfte wirken. Für die Berechnung solcher Keplerellipsen genügen sechs Bahnelemente und die drei Keplerschen Gesetze. Erstere 6 Zahlenwerte bleiben konstant - das heißt die Bahnellipse und ihre Ebene verändern sich nicht bezüglich des Zentralkörpers und des Fixsternhimmels. De facto sind jedoch immer Bahnstörungen wirksam: dritte Körper, interplanetare Gase und Staub, Strahlungsdruck der Sonne, Atmosphären und Abplattung von Planeten usw. Diese störenden Kräfte verändern die 6 Bahnelemente langsam und verursachen zusätzliche Abweichungen von der Keplerbahn. Lagrange und andere Astronomen entwickelten daher das Modell der oskulierenden Bahnen. Wenn die Umlaufbahn eines Himmelskörpers allzu variabel war, wird der momentan gültigen eine Ellipsenbahn angepasst, die sich allen Beobachtungen möglichst gut anschmiegt. So entsteht im Laufe der Zeit eine Folge oskulierender Bahnelemente, die stetig ineinander übergehen. Jeder dieser Elementensätze repräsentiert eine Bahn, auf welcher der Himmelskörper bei Aufhören der störenden Kräfte genau weiterfliegen würde. Die zeitliche Veränderung der Bahnelemente kann säkular, periodisch und bis zu einem gewissen Grad auch unregelmäßig sein - je nach verursachender Kraft und Bahnelement. Für jeden der 6 Zahlenwerte lassen sich daher zeitabhängige Terme bestimmen, welche die Veränderung der Elemente charakterisieren. Die Abweichungen der tatsächlichen Umlaufbahn von der knapp vorher gültigen oskulierenden Ellipse können als Funktion der störenden Krafte berechnet werden. Auf diese Art wurden erstmals 1846 Störungen der Uranusbahn modelliert, die zur Entdeckung des Planeten Neptun führten. Umgekehrt kann - zum Beispiel für Raumsonden - die Gravitation aller bekannten Körper berücksichtigt oder die Wirkung kurzer Korrekturmanöver berechnet werden. Heutige Computer erlauben eine beliebig genaue Bahnbestimmung, wenn nur der Aufwand entsprechend hoch getrieben wird. Dabei bevorzugt man iterative Methoden und benützt zur sogenannten Bahnverbesserung die Ausgleichsrechnung bzw. die Kollokation. Nach einer ersten (genäherten) Bahnbestimmung aus wenigen Messungen (mindestens 3) berechnet man die Örter des Himmelskörpers zu den Zeitpunkten aller seiner Beobachtungen. Die Abweichungen von dieser Ephemeride sind die Eingangsgrößen der Bahnverbesserung. Sie bringt durch geeignete Variation der Elemente die berechneten Positionen in Einklang mit den Messungen. Dadurch und mittels Einbeziehung von Distanzmessungen mit Radar hat sich die Rechengenauigkeit im inneren Sonnensystem auf 1:10 Millionen und besser (Erdbahn auf km) erhöht. Statt die Bahnelemente gezielt zu verändern, gibt es im Ergebnis gleichwertige Verfahren wie die Variation der geozentrischen Entfernung. Das Lösen der dabei entstehenden Differentialgleichungen erfolgt beispielsweise nach Runge-Kutta. Nach einer ähnlichen Methode arbeitet die numerische Integration des Jet Propulsion Laboratory (JPL-Programm DE200/LE200). Mit ihm werden alljährlich die Positionen aller großen Planeten und einiger Asteroiden für den Astronomical Almanac vorausberechnet. Kategorie:Himmelsmechanik

Säkular

Unter säkular versteht man: # weltlich, profan (nicht kirchlich); Gegensatz zu geistlich siehe: Säkularismus, Säkularisierung # alle hundert Jahre wiederkehrend (lat. saeculum, Jahrhundert) # monotone Bahnstörungen (immer in gleicher Richtung wirkend)

Periodisch

Periodisch ist das Adjektiv zu Periode (v. griech.: 'περίοδος [períodos]' das Herumgehen) und bezeichnet ein sich regelmäßig wiederholendes Ereignis. Siehe eingehender den Artikel Periodizität und die mathematischen und physikalischen Definitionen unter Periode (Mathematik) und Periode (Physik).

Masse (Physik)

Die Masse ist eine Grundgröße der Physik. Sie beschreibt, klassisch betrachtet, einerseits das Bestreben eines Körpers seinen Bewegungszustand nicht zu verändern (Trägheit), andererseits quantifiziert sie eine Anziehungskraft, also das Vermögen, den Bewegungszustand anderer Massen zu beeinflussen (Gravitation).

Definition

Über den Zusammenhang zwischen Masse und Trägheit könnte die Masse auf einen Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung zurückgeführt werden, und als abgeleitete Größe definiert werden. Im üblichen Größenkanon der Physik wird die Masse jedoch nicht als abgeleitete Größe eingeführt, sondern als Grundgröße definiert1. Diese folgt durch Festlegung einer Referenzmasse, die die zugehörige SI-Basiseinheit Kilogramm (kg) definiert: Das Kilogramm ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps2. Eine Messung ist ohne Rückbezug auf andere Größen möglich, alleine durch Vergleich mit der Referenzmasse. Neben der Trägheit ist mit der Masse auch das Gewicht verbunden, d.h. ist die Masse die Quelle der Gravitationskraft: :F = -G\frac, wobei m und M die beteiligten schweren Massen im Abstand r sind. G ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante, die die Stärke der Gravitation beschreibt. Die Äquivalenz von träger und schwerer Masse ist in der klassischen Mechanik eine empirische, nicht weiter begründbare Feststellung. Sie führt dazu, dass Körper im Gravitationsfeld (im Vakuum) unabhängig von ihrer Masse stets gleich schnell fallen. Der Legende nach soll Galileo Galilei dieses Gesetz gefunden haben, indem er Gegenstände vom schiefen Turm in Pisa fallen ließ. #Bei der Wahl, dass es sich bei der Masse um eine Grundgröße, und bei der Kraft um eine abgeleitete Größe handelt, handelt es sich um eine willkürliche Festlegung. #Die Masse des internationalen Kilogrammprototyps orientiert sich ursprünglich an der von einem Kubikdezimeter Wasser maximaler Dichte (bei 3,98 °C). Genauere Messungen zeigten jedoch, dass die Masse des Kilogrammprototyps nicht exakt der von einem Kubikdezimeter Wasser bei 3,98 °C entspricht.

Newtonsche Mechanik

Die Masse ist galilei-invariant, d.h. im Wesentlichen, dass sie unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Die Massenträgheit wird durch die Impulserhaltung beschrieben. Der Impuls \vec p ist in der klassischen Mechanik definiert als das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit \vec v: :\vec p=m\vec v. Um den Impuls einer Masse zu verändern muss eine Kraft auf sie ausgeübt werden. Zwischen Masse m, Beschleunigung \vec a und der Kraft \vec F besteht der Zusammenhang: :\vec F=m\vec a.

Spezielle Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie treten an Stelle der newtonschen trägen Masse unterschiedliche Größen auf, je nachdem, welche ihrer Eigenschaften aus der newtonschen Mechanik als Vorbild dienen sollen: # dass sie eine dem Körper an sich zukommende, insbesondere geschwindigkeitsunabhängige, Eigenschaft eines Körpers ist, die seine Trägheit charakterisiert, # der Zusammenhang p=mv zwischen Impuls und Geschwindigkeit, oder # der Zusammenhang F=ma zwischen Kraft und Beschleunigung im Trägheitsgesetz.

Nichtlineare Abhängigkeit des Impulses von der Geschwindigkeit

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls allerdings nicht mehr proportional zur Geschwindigkeit, und somit das Verhältnis zwischen Impuls und Geschwindigkeit selbst abhängig von der Geschwindigkeit. Der Zusammenhang lautet : p = \frac\cdot v = m_0\gamma\cdot v, mit \gamma = \frac Hierbei ist m_0 eine geschwindigkeitsunabhängige Eigenschaft des Körpers, übernimmt also die erste der oben genannten Eigenschaften. Sie wird historisch Ruhemasse, in moderner Sprechweise auch invariante Masse oder einfach Masse genannt. Mit der Masse eines Objekts ist heute stets diese Größe gemeint.

Äquivalenz von Masse und Energie

Die Größe m_0\gamma, die das Verhältnis zwischen Masse und Geschwindigkeit beschreibt, wird als relativistische Masse bezeichnet. Für diese Größe gilt die berühmte Gleichung : E = m(v) \cdot c^2 = \frac = m_0c^2\gamma Seit Albert Einstein weiß man, dass Masse und Energie gemäß dieser Formel ineinander umgewandelt werden können, bzw. dass Masse und Energie einander äquivalent sind. Außer bei der Kernspaltung, der Kernfusion und bei verschiedenen Experimenten der Elementarteilchenphysik ist jedoch die mit Energieänderungen des Systems einhergehende Massendifferenz weit unterhalb der Messgenauigkeit. Mit dem Trägheitsgesetz ist es noch komplizierter: Hier hängt die Masse nicht nur von der Geschwindigkeit, sondern auch noch vom Winkel zwischen Geschwindigkeit und Kraft ab. Dies hat anfangs zu den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse geführt (für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung und senkrecht dazu), die aber heute nicht mehr verwendet werden. Eine Folge ist jedoch, dass in der Relativitätstheorie die Beschleunigung nicht immer in die Richtung der Kraft erfolgt. Da die spezielle Relativitätstheorie nicht die Gravitation behandelt, ist eine schwere Masse in ihr nicht definiert.

Allgemeine Relativitätstheorie

Das Äquivalenzprinzip ist Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (ART). In ihr wird die Bewegung der Körper im Gravitationsfeld nicht durch eine Kraft, sondern durch die Krümmung der Raumzeit beschrieben. Jeder gravitierende Körper bewegt sich in der Raumzeit geradeaus (genauer: auf einer Geodäte). Aus der Grundgleichung der ART G_ \sim T_ folgt, dass die Krümmung des Raumes, beschrieben durch den Einstein-Tensor G_, proportional zum Energie-Impuls-Tensor T_ ist. Dieser hängt von der in dem betrachteten Raum befindlichen Materie ab und in seine Definition geht u.a. die Energie und der (Strahlungs-)Druck der betrachteten Materie ein. Die Definition einer Masse ist in der ART in stark gekrümmten Räumen nicht mehr ohne weiteres möglich und es existieren verschiedene mögliche Definitionen. Eine häufig verwendete Definition ist die ADM-Masse, die für asymptotisch flache Raumzeiten anwendbar ist. Eine Krümmung des Vakuums wird hier mit in Betracht gezogen, Schwarze Löcher haben z.B. eine ADM-Masse. Eine Reduktion der ART auf den Newton'schen Fall erhält man bei einer Näherung für geringe Krümmung.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen (und damit der Masse jedes Objektes) durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Dieser beinhaltet die Wechselwirkung aller massiven Elementarteilchen mit dem so genannten Higgs-Boson, ein bisher noch unbeobachtetes skalares Elementarteilchen.

Vielfaches einer Masse

In der klassischen Mechanik gilt: Werden n Körper von gleicher Masse zusammengefügt, entsteht ein Körper n-facher Masse. Die Summe aller Massen ist eine Erhaltungsgröße. In der Relativitätstheorie gilt dies aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie nicht mehr. Ziehen sich zwei Körper an, so ist ihre gemeinsame Masse kleiner als die Summe ihrer Einzelmassen. Für normale Objekte ist dieser Effekt weit jenseits der Messungenauigkeit, jedoch ist für die Masse eines Atomkerns deutlich kleiner als die Summe der Masse der Nukleonen, aus denen er zusammengesetzt ist. Man spricht vom Massendefekt des Kerns. Umgekehrt trägt auch die kinetische Energie der Teile eines insgesamt ruhenden Körpers (z.B. Wärmeenergie) – nicht aber die kinetische Energie des Gesamtkörpers aufgrund seiner Schwerpunktsbewegung – zu seiner Masse bei. In diesem Fall ist die Gesamtmasse größer als die Summe der Einzelmassen. Auch dieser Effekt ist für makroskopische Objekte weit unterhalb der Messgenauigkeit, allerdings ist die Masse der Nukleonen wesentlich kleiner als die Summe der Massen der Quarks, aus denen sie zusammengesetzt sind.

Messung

Die Messung der Masse erfolgt prinzipiell durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie in einem gleichstarken Gravitationsfeld die gleiche Gewichtskraft erfahren, dies kann gemessen werden durch eine Balkenwaage. Die Stärke des Gravitationsfeldes ist prinzipiell unerheblich, es muss nur an den Orten der beiden Massen gleich sein, und ungleich null. Statt Vergleich der Gravitationskraft kann die Masse auch durch Vergleich der Massenträgheit gemessen werden. Indirekt kann die Masse auch durch Messung der Kraft \vec F gemessen werden, die eine Masse in einem Gravitationsfeld erfährt, oder die zu einer definierten Beschleunigung einer Masse notwendig ist. Bei der Messung über die Gewichtskraft ist, anders als beim direkten Vergleich zweier Gewichtskräfte, die Kenntnis des Gravitationsfeldes am Ort der Messung notwendig.

Größenordnungen

Die folgende Aufstellung soll helfen, ein Gefühl für die Größenordnungen von Massen zu erhalten. (Die Werte sind nicht exakt):

Umgangssprache

In der Umgangssprache wird sehr oft die Masse mit dem Gewicht verwechselt. "Wieviel wiegst Du?" -- "Ich? 75 Kilogramm." "'Wie schwer bist du?' -- 'Ich? 75 Kilogramm.'" ist dagegen korrekt, es wird nach der schweren Masse gefragt. Wenn man statt "Gewicht" von "Gewichtskraft" spricht, ist der Unterschied zur Masse deutlicher: eine Gewichtskraft erfährt ein Körper, wenn ein anderer Körper in der Nähe ist (meistens ein Himmelskörper) - die Gewichtskraft hängt vom Ort ab und ist keine "persönliche" Eigenschaft des Körpers, die Masse hängt dagegen vom Körper ab, von der Anzahl der Atome und ist überall gleich. Ein Körper ist schwerelos, wenn er keine Gewichtskraft erfährt (Weltall). Bei Architekten setzt sich die Bezeichnung 'Massenermittlung' für eine Volumenbestimmung langsam durch.

Siehe auch

Kraft (Physik) Außerhalb der Physik gibt es auch noch andere Bedeutungen des Begriffs Masse.

Weblinks


- [http://jumk.de/calc/gewicht.shtml Umrechnung von englischen und amerikanischen Masse-Maßen in metrische Einheiten]
- [http://www.engnetglobal.com/tips/convert.asp?catid=3 Umrechnung: Milligramm oder Mikrogramm in Kilogramm, Masse von Wasser, Raumma