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Balkenwaage

Balkenwaage

Eine Balkenwaage ist eine Wiegevorrichtung, die aus einem waagerechten Balken besteht, der beweglich an einer waagerechten Achse gelagert ist. An jedem Balkenende befindet sich eine Waagschale. Die Genauigkeit einer Balkenwaage hängt einerseits von der Genauigkeit der verwendeten Gewichte und andererseits von den Konstruktionsparametern der Waage (Balkenlänge, Lage des Schwerpunktes) ab.

Konstruktion

Wenn man einen einfachen Balken als Waage verwenden würde, so hätte das folgende Auswirkungen:
- Im Falle des Gleichgewichts (beide Waagschalen sind mit dem gleichem Gewicht befüllt) herrscht in jeder beliebigen Lage des Balkens ein Gleichgewichtszustand, da die beiden Drehmomente immer gleich sind (indifferentes Gleichgewicht).
- Im Falle von Ungleichgewicht wird der Balken solange gedreht, dass die schwerere Waagschale den tiefsten Punkt erreicht (stabiles Gleichgewicht). Damit ist es prinzipiell möglich, einen Wiegevorgang auszuführen, aber die Waage ist so empfindlich, dass sie praktisch nicht verwendbar wäre. Daher verlegt man den Schwerpunkt des Waagebalkens so, dass er sich etwas unterhalb der Drehachse befindet. Das kann erfolgen, indem man den Balken mit einem zusätzlichen, senkrechten Zeiger versieht (der dann auch gleich zum Ablesen der Gewichtsdifferenz auf einer Skala verwendet werden kann) oder indem man den Waagbalken im Drehpunkt leicht knickt. Durch die Auslenkung des Schwerpunktes im Fall von Ungleichgewicht entsteht ein zusätzliches Drehmoment, welches verhindert, dass die schwerere Schale den Balken in eine senkrechte Stellung drehen kann. Die Empfindlichkeit der Balkenwaage ist abhängig von:
- der Länge des Waagebalkens: Je länger, desto empfindlicher.
- dem Drehmoment des Schwerpunkts: Je kleiner, das heißt, je leichter der Waagebalken und je näher der Schwerpunkt beim Drehpunkt ist, desto empfindlicher ist die Waage.

Wiegevorgang

Zum Wiegen wird der zu wiegende Gegenstand in eine der Schalen gelegt. Nun werden in beiden Schalen definierte Gewichte abgelegt. Es werden so lange Gewichte zugelegt oder entfernt, bis der Balken im Gleichgewicht ist. Das Gewicht des zu wiegenden Gegenstandes wird durch Addition bzw. Subtraktion der verwendeten Gewichte ermittelt. Dabei werden die Gewichte in der anderen Schale des zu wiegenden Gegenstands addiert und davon die Gewichte in der gleichen Schale subtrahiert. Um die Anzahl der benötigten Gewichte so gering wie möglich zu halten, verwendet man Gewichtstücke aus der folgenden Tabelle.

Tabelle Messgewichte

Beispiel: Um ein 1kg-Gewicht auf 1g genau abwiegen zu können braucht man folgende 7 Messgewichte: 1g, 3g, 9g, 27g, 81g, 243g, 729g Theoretisch könnte man auf diese Art mit nur 25 Messgewichten Wiegevorgänge bis über 420.000 Tonnen auf 1g genau durchführen.

Entstehung der Tabelle

Die Überlegung ein Messgewicht zu erhalten ist folgende: Man nehme alle bisherigen Gewichte zusammen. Um nun auf das nächste Gramm zu gelangen könnte man diese vorhandenen Gewichte von einem größeren Gewicht abziehen. Dieses nächstgrößere Gewicht muss um die Summe aller bisherigen Gewichte und ein zusätzliches Gramm schwerer sein. Bei 1g beginnend folgt somit die Verdoppelung auf 2g plus ein zusätzliches Gramm --> ergibt 3g. Das nächste Gewicht ist die Summe aller bisherigen Gewichte, also 1g + 3g = 4g, verdoppelt auf 8g plus eins macht 9g. usw. Mathematisch gesehen ergibt sich so der Summenausdruck für ein beliebiges Gewicht n an der Position k:

n_k=1+2\sum_^ n_i

Beispiele Wiegevorgang

Beispiel 1: Es soll ein Gewicht von 47g gemessen werden. Dazu werden auf die leere Waagschale die Gewichte zu 16g und 32g gelegt. Auf die andere Wagschale das unbekannte Gewicht und das Messgewicht zu 1g. Die Waage befindet sich nun im Gleichgewicht. 16g + 32g = 1g + Unbekanntes Gewicht Daraus folgt: Unbekanntes Gewicht = 16g + 32g - 1g Beispiel 2: Sie legen wie folgt Gewichte auf die Waage um sie ins Gleichgewicht zu bringen: 81g + 27g = 9g + 3g + Unbekanntes Gewicht Daraus folgt: Unbekanntes Gewicht = 81g + 27g - 9g - 3g Unbekanntes Gewicht = 96g

Eine weitere Möglichkeit

Angenommen die vorhandenen Gewichte sind zu grob eingeteilt, um Massen wie zum Beispiel 5.125g wiegen zu können. Daher die Frage: Gibt es eigentlich einen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Massen auf den Schalen und dem Winkel des Balkens? Wird auf eine der Schalen immer das Doppelte der Masse wie auf der anderen Schale gelegt, bleibt der Winkel gleich. Dieser Typ Waage kann also nur das Masseverhältnis bestimmen. Mit den Gewichten wird dann versucht, ein Masseverhältnis von nahezu 1.0 herzustellen. Um nun herauszubekommen welchem Winkel welches Masseverhältnis entspricht, wird einfach ein Gleichgewicht der angreifenden Drehmomente aufgestellt:

\begin
m_1  g \;\; l \;\cos(\omega+\beta) &=& m_2  g \;\; l \; \cos(\omega-\beta) \\
m_1 \cos\omega \cos\beta - m_1 \sin\omega \sin\beta &=& m_2 \cos\omega \cos\beta + m_2 \sin\omega \sin\beta \\
m_1 - m_1 \tan\omega \tan\beta &=& m_2 + m_2 \tan\omega \tan\beta \\
\frac &=& \frac
\end

- Der Winkel

2\beta

ist der Winkel, um den der ehemals gerade Balken in der Mitte geknickt wurde, um den Schwerpunkt zu versetzen. Dieser Winkel ist abhängig von der Konstruktion der Waage.
- Der Winkel

\omega

ist der Winkel, um den der Balken auf Grund der unterschiedlichen Massen verdreht ist, also die Abweichung von der waagerechten Lage. Kategorie:Messgerät

Drehmoment

Als Drehmoment bezeichnet man die physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt.

Definition

Wirkt auf einen starren Körper eine Kraft, so wird er beschleunigt: Seine Geschwindigkeit wird verändert. Er führt eine geradlinige oder (z.B. unter Einfluß der Gravitation) gekrümmte Bewegung = Translationsbewegung aus. Wird der Körper an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translationsbewegung mehr möglich. Die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich dann auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d.h. die die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment. Eine einzelne Kraft

\vec F_1

kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird z.B. durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft,

\vec F_2=-\vec F_1

, so ist die resultierende Kraft auf den Körper Null und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt das Kräftepaar ein Drehmoment und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte

\vec F_1

und

\vec F_2

auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand

\vec r

ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft

\vec F_2

zum Angriffspunkt von

\vec F_1

zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente

r'

von

\vec r

bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft

\vec F_1

(oder

\vec F_2

) steht.

r'

ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken. Der Betrag des Drehmoments ist dann das Produkt von

|\vec F_1|

mit

r'

, und die Richtung des Drehmoments ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft

\vec F_1

und den Abstandsvektor

\vec r

aufgespannt wird, und zwar in der Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment

\vec M

die Definition: :

\vec M =\vec r\times\vec F_1

. Die physikalische Dimension des Drehmoments ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newtonmeter (

\mathrm

D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine von Null verschiedene resultierende Kraft, z.B. weil nur eine einzige Kraft

\vec F_1

von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft)

\vec F_t = -m\vec a

berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft

\vec F_1

nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden

\vec F_1

und

\vec F_t

ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Kräfte einschließlich der Trägheitskraft Null ergibt!). Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt

\vec F_1

sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment

\vec M =\vec r\times\vec F_1

und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten). Siehe auch: Hauptartikel D'Alembertsches Prinzip

Reale Körper

Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmoments hervorgerufene Deformation (z.B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmoments selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, der die Deformation des Körpers einschließt. Zur Unterscheidung dieses Falles von dem der reinen Drehbewegung wird in der Technik die Größe, die auch die Deformation einschließt, als Moment bezeichnet. Nur im Fall der reinen Drehbewegung kann von Drehmoment gesprochen werden.

Beispiel

Moment Ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung des Drehmoments ist das Lösen einer festsitzenden Schraube. Wenn die Schraube horizontal angeordnet ist und man einen Schraubenschlüssel von einem Meter Länge so auf die Schraube aufsetzt, dass der Hebelarm nach links weist, so kann man zum Lösen der Schraube auf diese ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 1 m) ausüben, wenn man das Ende des Schraubenschlüssels mit einer Kraft von 100 N nach unten drückt. Die Schraube muss dabei eine rückhaltende Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung (nach oben) aufbringen, was z.B. zu einem Verkanten/Verbiegen der Schraube führen kann. Diese Situation wird mit einem kürzeren Schraubenschlüssel noch verschärft. Um mit einem halb so langen Schlüssel das selbe Drehmoment aufzubringen wird eine Kraft und Gegenkraft von 200 N benötigt (200 N · 0,5 m). Diese zusätzliche Belastung der Schraube kann komplett verhindert werden, wenn man einen Schlüssel verwendet, dessen auf die Schraube aufzusetzender Sechskant sich in der Mitte des Hebelarms des Schlüssels befindet. Wenn man bei diesem an beiden Enden mit einer Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung zieht und der Schlüssel eine Länge von einem Meter besitzt, so wird auch hier ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 0,5 m + 100 N · 0,5 m) ausgeübt, aber ohne dass die Schraube die Rückhaltekraft aufbringen muss. Wenn man einen solchen Schlüssel nicht zur Hand hat, so kann man die Schraube auch dadurch entlasten, dass man mit der gleichen Kraft, mit der man das linke Hebelende nach unten drückt, am anderen Ende (dicht an der Schraube) nach oben zieht.

Vergleich mit der Translationsbewegung

Das Verständnis des Drehmoments kann ein Vergleich der bei einer Drehbewegung auftretenden Größen mit den charakteristischen Größen der Translationsbewegung erleichtern: Das Massenträgheitsmoment

J

, oder auch kurz Trägheitsmoment ist allgemein nicht konstant, und kann allgemein auch nicht als Skalar dargestellt werden, sondern vielmehr als Tensor 2. Stufe, dem Trägheitstensor. Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren Zeitliche Änderung (Ableitung

\frac

) handelt, z.B.

\dot

, der zeitlichen Änderung des Drehimpulses:

\vec M=\dot\vec L=\frac

Unterschiedliches Auftreten des Drehmoments

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie wirken: Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente: # Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt. # Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.
- Antriebsmoment eines Motors
- Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe
- Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes
- Anfahrmoment einer Gasturbine
- Anzugsmoment einer Schraube
- Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes Bei den folgenden Größen geht es nicht um die Bewegung, sondern um die Belastung und Deformation der Körper; in der Technik werden sie daher nicht als Drehmoment, sondern als Moment bezeichnet:
- Biegemoment in einem Stahlträger
- Torsionsmoment in einer Welle
- Einspannmoment eines Kragträgers
- krängendes Moment des Windes auf ein Segelboot

Weblinks

- [http://www.lorenz-messtechnik.de/artikel/entw-dre.htm Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik]
- [http://www.e31.de/torque.html Drehmoment und Leistung beim Auto]

Siehe auch

- Moment Kategorie:Mechanik ja:力のモーメント ms:Tork

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Mittelpunkt des Körpers in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.

Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift. Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld merklich verschieden sein für verschiedene Teile des Körpers. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf. Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenschwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenschwerpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Schwerpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz). Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen. In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet.

Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, ausrechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

Beispiele geometrischer Flächen

ebene Flächen

- Trapez:

y_s=\frac\frac, x_s=\frac

450px
- Dreieck:

y_s=\frac,x_s=\frac

, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden:300px

Der Kern einer bestimmten Tätigkeit

Im übertragenen Sinne ist der Schwerpunkt der Kern einer bestimmten Tätigkeit oder eines Systems, mithin das, worauf man im Rahmen dieser Tätigkeit oder des Systems besonderen Wert legt. Zum Beispiel besteht der Schwerpunkt der Tätigkeit eines Taxifahrers darin, Passagiere mit seinem Taxi zu befördern. Tätigkeiten wie die Instandhaltung des Autos sind auch wichtig, dienen aber dazu, die Schwerpunkttätigkeit erst zu ermöglichen. Kategorie:Euklidische Geometrie Kategorie:Technische Mechanik ja:重心

Subtraktion

Unter der Subtraktion (auch Minus-Rechnen) versteht man das Abziehen einer Zahl von einer anderen beim Rechnen. Mathematisch handelt es sich um bei der Subtraktion um eine Rechenoperation. Die Subtraktion gehört zu den Grundrechenarten der Arithmetik. Das Gegenteil der Subtraktion ist die Addition. Das Rechenzeichen für die Subtraktion ist das Minuszeichen: - :Die Zahl, von der etwas abgezogen wird, heißt Minuend. :Die Zahl, die abgezogen wird, heißt Subtrahend. :Das Ergebnis einer Subtraktion ist der Wert der Differenz. Ihr Symbol ist das groß-Delta-Zeichen Δ, das auch als Operator für die Differenzbildung benutzt wird (s.u.). Minuend minus Subtrahend gleich Wert der Differenz.

Beispiel

- 4 weniger 1 ist 3 oder
- anders geschrieben: 4 - 1 = 3.
- Exakt formuliert heißt das auch: 4 minus 1 ist gleich 3.
- Dabei ist 4 der Minuend, 1 stellt den Subtrahenden dar, das Ergebnis 3 bildet den Wert der Differenz.
- Und ist das gleiche wie 4 + (-1) = 3 Mit dem Subtrahieren kann man (im Gegensatz zur Addition) die Grenze des Zahlensystems der natürlichen Zahlen überschreiten. Im System der Natürlichen Zahlen ist die Voraussetzung der Subtraktion, dass der Subtrahend nicht größer ist als der Minuend. Ist das nicht der Fall, kommt man in den Bereich der negativen ganzen Zahlen. Beispiel: 1 - 4 = -3

Mathematische Definition

Zu jedem gegebenem a und b lässt sich ein x finden, so dass gilt: :b + x = a Die Bestimmung von x heißt Subtraktion. x lässt sich bestimmen, indem man b von a subtrahiert ("abzieht"): : x = a – b a heißt der Minuend, b der Subtrahent. Das Ergebnis einer Subtraktion, hier x, heißt Wert der Differenz. Eine Subtraktion wird mit dem Minuszeichen notiert: a – b Findet die Subtraktion zwischen zwei Gliedern einer mathematischen Reihe oder Folge X mit Gliedern x_i, i=1..n statt, so schreibt man kurz Δx für x_i-x_j Eine eingeschränkte Form der Differenz bildet die Arithmetische Differenz.

Rechenhilfe

Eine Subtraktion kann auch in Form einer Addition geschrieben werden, indem der Subtrahend vorher mit dem Faktor -1 multipliziert wird: a - b = a + (-1)
- b Kategorie:Arithmetik ja:減法 ko:뺄셈 simple:Subtraction th:การลบ

Keith Raffan

Keith Raffan, born 21 June 1949 in Aberdeen, is a Scottish Liberal Democrat politician and a former Member of the Scottish Parliament. He was previously a Conservative Member of Parliament in Westminster for the Welsh seat of Delyn, he was a chairman of Pressure for Economic and Social Toryism (precursor of the Tory Reform Group), placing him on the left of the Tories. He abandoned the Tories due to his support for devolution and their resolute opposition to it and decided to join the LibDems. At the 1999 Scottish Parliament election he was elected to represent Mid Scotland and Fife. He was one of three LibDem MSPs (along with Donald Gorrie and John Farquhar Munro) to oppose the coalition with the Labour Party in the Scottish Parliament; and was alone in his LibDem colleagues in not backing Donald Dewar for First Minister (he abstained from the vote). Raffan was re-elected at the 2003 Scottish Parliament election. However, in December, 2004 he was subject to wide criticism for claiming abnormally large expense costs from the Scottish Parliament. The following month he resigned as a MSP, citing health reasons and not the controversy his expense claim had caused as the reason. He was replaced by Andrew Arbuckle, who had been next on the Lib-Dem list for Mid Scotland and Fife in 2003. The Scottish Liberal Democrats have confirmed to the press that Raffan is no longer a party member.

External link

- [http://www.edinburghsucks.com/categories/former-politicians/keith-raffan/ Keith Raffan] Keith Raffan stories on EdinburghSucks.com Raffan, Keith Raffan, Keith Raffan, Keith

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