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Banach-Tarski-Paradoxon

Banach-Tarski-Paradoxon

Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die auf verblüffende Weise demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass sich die Repräsentation des Raumes als Punktmenge in der Mathematik in letzter Konsequenz der menschlichen Anschauung entzieht. Die Auflösung dieses Paradoxons beruht darauf, dass die Kugelteile dermaßen kompliziert geformt sind, dass ihr Volumen nicht mehr definierbar ist. Man bezeichnet solche Punktmengen als nicht messbar. Sie sind in einem gewissen Sinne unendlich filigran und porös bzw. staubwolkenartig. Die mathematische Existenz solcher Mengen ist nicht selbstverständlich: Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen des \R^d benötigt man das Auswahlaxiom. Messbare Punktmengen hingegen verhalten sich hinsichtlich ihres Volumens additiv. Der polnische Mathematiker Stefan Banach und sein polnisch-amerikanischer Kollege Alfred Tarski führten den Beweis 1924 und zeigten, dass im Fall der Kugel eine Zerlegung in sechs Teile ausreichend ist. Für diesen Satz kann es jedoch lediglich einen Existenzbeweis geben, ein konstruktiver Beweis ist nicht möglich. In einer allgemeineren Formulierung dieses Satzes können sich Ausgangs- und Endkörper durch einen beliebigen Volumenfaktor unterscheiden und bis auf gewisse Einschränkungen auch beliebige, verschiedene Gestalt besitzen. Die allgemeine Formulierung dieses mathematischen Satzes in Räumen mit drei und mehr Dimensionen lautet: Sei d \ge 3 und seien X,Y\subset\R^d beschränkte Mengen mit nicht leerem Inneren. Dann gibt es eine disjunkte Zerlegung X_1, \dots, X_n von X und zugehörige Bewegungen \beta_1, \ldots, \beta_n derart, dass Y die disjunkte Vereinigung der Mengen \beta_1(X_1), \dots, \beta_n(X_n) ist. In der Ebene ist dieser Satz nicht gültig. 1990 konnte Miklós Laczkovich jedoch zeigen, dass dieser Satz für Flächen zumindest in ähnlicher Form gilt. Danach sind zwei Flächen, sofern ihr Rand hinreichend glatt ist, ebenfalls zerlegungsgleich, allerdings nur dann, wenn ihre Flächen gleich groß sind. In diesem Sinne ist beispielsweise eine Quadratur des Kreises möglich wenn auch nicht mit Zirkel und Lineal. Die Anzahl der erforderlichen Teile wurde jedoch von Laczkovich auf etwa 1050 geschätzt.

Weblinks

Wie macht man 2 aus 1? – Herleitung mit den Mitteln der Schulmathematik, in [http://dmg.tuwien.ac.at/winkler/pub/bata/index.html html]- und [http://dmg.tuwien.ac.at/winkler/pub/bantar.pdf pdf]-Version. Kategorie:Geometrie Kategorie:Maßtheorie Kategorie:Paradoxon ja:バナッハ＝タルスキーのパラドックス

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik oder Topologie werden auf der Mengenlehre aufgebaut. Darüber hinaus gibt es wichtige Verbindungen zur Prädikatenlogik.

Geschichte

Naive Mengenlehre

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition von 1877 ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die Mengenlehre auf der Grundlage dieser Definition wurde später als naive Mengenlehre bezeichnet. Sie führt zu Widersprüchen, insbesondere dann, wenn Mengen eingeführt werden, die sich selbst als Element enthalten. Am bekanntesten ist die Russellsche Antinomie.

Typentheorie

Zur Vermeidung dieser Widersprüche hat Russell selbst einen stufenweisen Aufbau der Mengenlehre vorgeschlagen und hierfür 1903, zusammen mit Whitehead die Typentheorie entwickelt. Danach hat eine Menge stets einen höheren Typ als ihre Elemente. Aussagen wie "diese Menge enthält sich selbst als Element" lassen sich in dieser Theorie gar nicht formulieren. Die Typentheorie wurde später zu einer axiomatischen Theorie ausgebaut. Sie lässt sich als widerspruchsfrei nachweisen. Ihre sprachlichen Mittel sind jedoch nicht stark genug, um die gesamte Mathematik darauf aufzubauen.

Typenfreie axiomatische Mengenlehre

Andere Versuche, die Mengenlehre axiomatisch aufzubauen, greifen auf eine typenfreie Prädikatenlogik zurück. Grundbegriffe sind hier nur noch
- eine einzige Art von Objekten und
- die Elementbeziehung zwischen diesen. Das bekannteste System dieser Art ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, deren Grundlagen 1908 von E. Zermelo gelegt wurden. Die endgültige Fassung erfolgte 1922 aufgrund einer Arbeit von A. Fraenkel. Dieses System wird oft als "ZF" zitiert. Noch von Zermelo wurde das - nicht ganz unumstrittene - Auswahlaxiom hinzugefügt. In dieser Form wird es als "ZFC" (C für choice - englisch: Auswahl) bezeichnet. Die überwiegende Mehrheit der Mathematiker betrachtet heute ZFC als eine geeignete Grundlage für die moderne Mathematik. Die einzige Grundrelation in ZF oder ZFC ist \in (gesprochen: Element von), z.B. x\inM, wenn x als Element in M enthalten ist. Die Existenz von "Urelementen", die keine Mengen sind, wird in dieser Theorie nicht postuliert. Die Axiome sind so formuliert, dass die bekannten Widersprüche der Cantorschen Mengenlehre vermieden werden. Wichtig sind hier vor allem das Fundierungsaxiom und das Aussonderungsaxiom, die es unmöglich machen, die Russellsche Antinomie zu formulieren. Einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt es jedoch nicht. Im Rahmen einer Mathematik, die auf der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre basiert, lässt sich ein solcher Beweis auch grundsätzlich nicht führen (Gödelscher Unvollständigkeitssatz).

Präzisierung der Cantorschen Mengenlehre

Auch Mathematiker, die nicht auf eine Axiomatisierung der Mengenlehre aufbauen wollten, mussten dafür sorgen, dass die bekannten Widersprüche ausgeschlossen werden. Als Beispiel sollen hier die Definitionen von Erich Kamke dargestellt werden, dessen "Mengenlehre" seit 1928 in zahlreichen Auflagen erschienen ist und als eine Standard-Einführung angesehen werden kann: Kamke zitiert die Cantorsche Definition und erläutert dann: :(a) "Es sei \mathfrak eine wohldefinierte Eigenschaft(…), die mindestens einem 'Ding' zukommt oder eine Aussage, die für mindestens ein Ding wahr ist…"; :: An späterer Stelle führt Kamke dazu aus: "Damit ist der Mengenbegriff auf einen Begriff ähnlicher Allgemeinheit zurückgeführt, dessen genaue Festlegung keineswegs einfacher ist(…) Jedenfalls gibt es Eigenschaften, die nach übereinstimmender Meinung eine Menge einwandfrei festlegen, z.B. die Menge der natürlichen Zahlen(…). Wir wollen immer annehmen, dass von solchen einwandfreien Mengen ausgegangen wird." - Das Kamke-Zitat geht dann weiter: :"(…)ferner sei die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft \mathfrak eine wohlbestimmte Gesamtheit(…)" :: Dazu gibt er die Anmerkung: "Ob das zutrifft, ist mit der auch sonst in der Mathematik üblichen Sorgfalt zu untersuchen", und fährt dann fort: :(b) "Durch den Akt der Definition wird die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft \mathfrak als ein neues 'Ding' eingeführt und 'Menge' M oder M(m) genannt;(…) Als Konsequenz hieraus ergibt sich laut Kamke: :"Da durch die Bildung einer Menge ein neues Ding, ein neuer Begriff geschaffen werden soll(…), ist die Menge als verschieden vom jedem ihrer Elemente anzusehen(…) Hiernach sind folgende 'Mengen' sinnlos, da in sich selbst widerspruchsvoll: :(α) jede Menge, die sich selbst als Element enthält; :(β) die Menge aller Mengen, da sie sich selbst als Element enthalten müsste; :(γ) Die Menge aller Mengen, die sich nicht als Element enthalten (Russell), da sie nach dem Vorangehenden nichts als die in (β) genannte Menge ist." Hier wird also ansatzweise ein hierarchischer Mengenbegriff verwendet (ähnlich wie in der Typentheorie). Die Rechtfertigung seiner Vorgehensweise sieht Kamke darin, dass für "ernste unlösbare Widersprüche (…) irgendwelche Anzeichen" nicht vorliegen. Allerdings hat eine solche Einschränkung des Mengenbegriffs zur Folge, dass es nun durchaus "bestimmte wohlunterschiedene Objekte (…) unseres Denkens" gibt, die sich auch begrifflich "zu einem Ganzen" zusammenfassen lassen, ohne dass wir dieses Ganze als "Menge" bezeichnen dürften. (Die Gesamtheit aller Mengen ist ein Beispiel, die Gesamtheit der Kardinalzahlen ein anderes). Das ist ganz gegen Cantors Intention. Wenn solche "Un-Mengen" mit einbezogen werden sollen, wird zuweilen der Begriff Klasse verwendet.

Rückwirkungen auf die Mathematik als Wissenschaft. Bourbaki

Cantors Konzept wurde von den Mathematikern des späten 19. Jahrhunderts keineswegs als revolutionär angesehen. Der Ruf der Logik als mathematischer Disziplin war schlecht. Verallgemeinerungen auf diesem Niveau galten als überflüssig und, als dabei gar noch Antinomien auftraten, als lästig. Poincaré spottete: "Die Logik ist gar nicht mehr steril - sie zeugt jetzt Widersprüche." Im Verlauf des ersten Drittels des 20. Jahrhunderts setzte sich dann, zunächst hauptsächlich bei jungen Mathematikern, die Ansicht durch, dass Mengenlehre eine entscheidend wichtige Grundlage für die Strukturierung der Mathematik sei. Paradoxerweise erfolgte diese Aufwertung parallel zu der Erkenntnis, dass die aufgetretenen Probleme grundsätzlicher Natur und prinzipiell unlösbar sind (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Was von den Spezialisten als Grundlagenkrise der Mathematik begriffen wurde, wurde von der Mehrheit der Mathematik Schaffenden kaum beachtet. Kennzeichnend für diese Auffassung ist das Unternehmen einer Gruppe von Mathematikern, die unter dem Pseudonym Bourbaki die gesamte Mathematik auf der Grundlage der Mengenlehre einheitlich neu darstellen wollte. Die Entscheidung zwischen den möglichen Grundlegungen fiel pragmatisch aus: Zermelos typenfreies Axiomensystem schien damals leichter zu handhaben als Russells Typentheorie. Jenes wird heute ganz überwiegend als Grundlage der Mathematik betrachtet.

Rückwirkungen auf die Schulmathematik. "Neue Mathematik"

Gegen Ende der 1960er Jahre wurden Grundbegriffe der Mengenlehre in den Schulunterricht eingeführt. Insbesondere in den Eingangsklassen der Grundschulen fand eine grundlegende Veränderung des Rechenunterrichts statt, der von nun an als Mathematikunterricht aufgefasst wurde. Die zum Teil sicher überzogene Betonung des Mengenbegriffs wurde bald wieder zurückgenommen.

Kategorientheorie

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Mengenlehre und Informatik

Als Grundlage der Informatik reicht die typenfreie Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel allein nicht aus, da sie hochgradig unkonstruktiv ist, also den Begriff des Algorithmus kaum erfasst. Aus diesem Grunde wurden seit den 1970er Jahren konstruktive Kalküle entwickelt, die Klassifizierungskonzepte wie Datentypen usw. beinhalten. Es wird behauptet, dass diese Theorien im Hinblick auf Universalität und Anwendungsbereich der klassischen Mengentheorie gleichkommen.
Die Überarbeitung des geschichtlichen Teils ist (von sprachlichen Korrekturen abgesehen) jetzt abgeschlossen. Der folgende Teil des Artikels wird nun gründlich überarbeitet und ist derzeit noch im Rohbau.

Definitionen

Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie die selben Elemente enthalten. Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal: :::A=B \iff \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right) Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass x ∈ A genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann: ::: A = \ Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) die selbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich dieser Form formulieren: "Sind \ und \ die gleiche Menge?".

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit \varnothing oder auch \ bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede "andere" leere Menge enthält die selben Elemente (nämlich keine), ist also gleich

Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. B wird dann zuweilen auch Obermenge von A genannt. Formal: :\subseteq :\Longleftrightarrow \forall x \left( \in A \rightarrow x \in B \right) .
- Echte Teilmenge: A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden. Die Relation "ist Teilmenge von" bildet eine Halbordnung. Die Relation "echte Teilmenge" ist eine strenge Halbordnung. Es gibt zwei Notationen:
- \subseteq für "Teilmenge" und \subset für "echte Teilmenge" oder
- \subset für "Teilmenge" und A \subsetneq B für "echte Teilmenge". In diesem Artikel wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet.

Schnittmenge

Halbordnung Gegeben ist eine Menge U von Mengen. Die Schnittmenge von U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind. Formal: :::\bigcap U := \. Ist U eine Paarmenge, also U\,=\, so schreibt man für \bigcap U gewöhnlich ::: \cap := \ und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen verallgemeinern. Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen: Die Elemente der Menge U, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit A_\lambda bezeichnet. Es wird eine "Indexmenge" \Lambda eingeführt, sodass U = \ ist. Die Schnittmenge \bigcap U wird dann geschrieben als: :::\bigcap_ A_\lambda := \, also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen A_\lambda enthalten sind.

Vereinigungsmenge

Dies ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal: :::\bigcup U := \. Für U\,=\ schreibt man wieder ::: \cup := \ und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das "oder" ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet. Unter Verwendung der Indexmenge \Lambda schreibt man: :::\bigcup_ A_\lambda := \.

Differenz und Komplement

duale
- Komplement: \complement:=\ bezeichnet das Komplement von A in \mathbb, das ist die Menge aller Elemente von \mathbb, die nicht in A liegen.

- Differenzmenge: \setminus = \ (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B
- symmetrische Differenz: \, \triangle \, := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen
- Mächtigkeit: \left| A \right| bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge A, also die Anzahl der Elemente von A. Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit. Diese werden als Kardinalzahlen bezeichnet.
- Potenzmenge: Die Potenzmenge \mathcal \left( \right) ist die Menge aller Teilmengen von .
- Produktmenge oder kartesisches Produkt
  - Die zweistellige Produktmenge A\times B := \ ist die Menge aller geordneten Paare, die sich aus den Mengen A und B bilden lassen.
  - Die Produktmenge beliebig vieler Mengen \prod_ A_\lambda := \ ist die Menge aller Abbildungen, die einem Indexelement \lambda ein Element der Menge A_\lambda zuordnen.

Anmerkungen


- Für die Bezeichnung des Komplements einer Menge A gibt es einige Varianten: Es wird gelegentlich auch durch \overline, A^C oder A^' symbolisiert.
- Die Potenzmenge einer Menge A wird mitunter auch mit 2^A bezeichnet. Diese Notation ist durch die Eigenschaft |\mathcal(A)| = 2^ einer endlichen Menge A motiviert, welche unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen dann auch für beliebige unendliche Mengen gilt.
- \in, \subset und \subseteq sind Relationen. Die Negation dieser Relationen kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch \notin. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von x\in A auch A\ni x, anstelle von A\subseteq B auch B\supseteq A und anstelle von A\subset B auch B\supset A geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.
- Die leere Menge kann ­– wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen \varnothing und \ sind verschieden.
- Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.
- Für eine endliche, nicht leere Indexmenge \Lambda = \ gilt \bigcap_ A_\lambda = A_ \cap A_ \cap \cdots \cap A_ und \bigcup_ A_\lambda = A_ \cup A_ \cup \cdots \cup A_. Die Definitionen für den zweistelligen Fall und den Fall beliebig vieler Mengen sind also zueinander konsistent.
- Es gilt \bigcap_ A_\lambda = \bigcap\ und \bigcup_ A_\lambda = \bigcup\.
- Für den leeren Schnitt liefert die Definition \bigcap_ A_\lambda = \bigcap\varnothing = \mathbb, für die leere Vereinigung \bigcup_ A_\lambda = \bigcup\varnothing = \varnothing und für die leere Produktmenge \prod_ A_\lambda = \varnothing
- Die Mengen \left(A_\times A_\right) \times A_ und A_\times \left( A_ \times A_ \right) sind nicht gleich, aber durch die Bijektion ((a,b),c)\mapsto(a,(b,c)) zueinander isomorph. In der Regel wird deshalb nicht zwischen diesen beiden Mengen unterschieden. Diese Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktengen aus einer endlichen Anzahl n von Mengen A_: i\in\mathbb,1\leq i\leq n mit der Menge der n-Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit A_\times A_\times \cdots \times A_ zu bezeichnen.
- Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen:
  - Anstelle des n-fachen endlichen Mengenprodukts A\times A\times\cdots\times A schreibt man auch A^n.
  - Das unendliche Mengenprodukt \prod_ A ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen \Lambda\rightarrow A. In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise A^\Lambda benutzt.
- Die Mengen A_\times A_ und \prod_A_\lambda sind nicht gleich, aber durch die Bijektion (a,b)\mapsto f_ mit f_:\\to \mathbb, \lambda_1\mapsto a, \lambda_2\mapsto b zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge \Lambda = \ in der Regel auch nicht zwischen \prod_ A_\lambda und A_\times A_\times \cdots \times A_ unterschieden wird.

Beispiele

Wir betrachten die Mengen \mathbb = \, A = \ und B = \. Es gelten:
- 2\in A, 2\notin B
- A\subseteq\mathbb, B\subseteq\mathbb, \mathbb\subseteq\mathbb
- A\subset\mathbb, B\subset\mathbb
- A\cap B = \
- A\cup B = \mathbb
- \complement = \, \complement = \, \complement=\varnothing, \complement=\mathbb
- A\setminus B = \, B\setminus A = \, \mathbb\setminus A = \, A\setminus\mathbb = \varnothing
- A\triangle B = \, A\triangle\mathbb = \, B\triangle\mathbb = \
- \left| \mathbb\right| = 3, \left| A\right| = 2, \left|\varnothing\right| = 0, \left|\\right| = 1
- \mathcal \left(A\right) = \
- \mathcal \left(\mathbb\right) = \
- A\times B = \, A\times\ = \, A^2 = \, \^3 = \
- \varnothing\notin\varnothing, \varnothing\in\
- \mathcal \left(\varnothing\right) = \, \mathcal \left(\\right) = \
- A\times\varnothing = \varnothing\times A = \varnothing
- \mathbb^+\subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge \mathcal\left(\mathbb\right) ist bezüglich der Relation \subseteqpartiell geordnet, denn für alle A,B,C\subseteq\mathbb gilt:
- Reflexivität: A\subseteq A
- Antisymmetrie: Aus A\subseteq B und B\subseteq A folgt A = B
- Transitivität: Aus A\subseteq B und B\subseteq C folgt A\subseteq C Die Mengen-Operationen Schnitt \cap und Vereinigung \cup sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:
- Kommutativgesetz: A \cup B = B \cup A , A \cap B = B \cap A
- Assoziativgesetz: \left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right) , \left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)
- Distributivgesetz: A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right), A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)
- De Morgansche Gesetze: \complement( A \cup B) = \complement \cap \complement, \complement = \complement \cup \complement Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Distributivgesetze: (A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C), (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C), A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C) und A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
- Assoziativgesetze: (A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C) und A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C) Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Kommutativgesetz: A \triangle B = B \triangle A
- Assoziativgesetz: (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)
- Distributivgesetz: (A \triangle B) \cap C = (A \cap C) \triangle (B \cap C) :A \triangle \varnothing = A \quad A \triangle A = \varnothing Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.

Siehe auch


- Tabelle mathematischer Symbole
- Universum (Mathematik)

Weblinks


- [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/03EXX.html Mathematical Atlas Artikel]
- [http://planetmath.org/encyclopedia/SetTheory.html PlanetMath Artikel]
- [http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html Mathe Online]
- http://plaz.upb.de/lehrerbildung/plan/plan.php?id=sw0306 ja:集合論

Paradoxon

Das Paradoxon oder das Paradox ([alt]griechisch παράδοξο[ν], von παρα~, para~ - gegen~ und δόξα, dóxa - eigentlich eher der Ruhm, hier im Sinne von die Meinung, Ansicht), auch eine Paradoxie (παραδοξία) genannt, ist ein Widerspruch. Man versteht darunter: #Widersprüchlichkeit als Folge der Negation von Selbstbezüglichkeit, d. h. wenn eine auf sich selbst anwendbare Aussage negiert wird. Eine solche selbstwidersprüchliche Aussage heißt in der Logik auch Antinomie. Ein Beispiel ist das Paradoxon des Eubulides: #
- Dieser Satz ist falsch. (sagt etwas über sich selbst aus, aber: ist er nun wahr oder falsch? Er ist wahr, wenn er falsch ist und falsch, wenn er wahr ist.) #in der Rhetorik eine Stilfigur, die als Sammelbezeichnung für alle Arten absichtsvoller Kontrastierungen (z.B. Doppelsinn, Ironie, Litotes, Oxymoron) gilt.
Beispiele: #
- Wer sein Leben gewinnen will, der wird es verlieren. #
- Das Leben ist der Tod, und der Tod ist das Leben. #
- Der Mensch ist frei geschaffen, ist frei und würd er in Ketten geboren! #
- Sag niemals nie! #
- Wenn jemand den Sinn des Lebens erklärte, hätte das Leben seinen Sinn verloren! #Scheinbare Widersprüche, die sich erst bei genauerer Analyse auflösen. Das Paradoxe an dieser Art von Paradoxa ist, dass es eigentlich keine sind. Die Analyse scheinbarer Paradoxa, beispielsweise im Rahmen eines Gedankenexperiments, hat schon oft zu wichtigen Erkenntnissen in Wissenschaft, Philosophie und Mathematik geführt. Einen unauflösbaren Widerspruch nennt man auch Aporie.

Paradoxa in der Philosophie und Logik


- Paradoxa des Zenon von Elea wie beispielsweise das von Achilles und der Schildkröte oder das Pfeil-Paradoxon.
- Lügner-Paradox, ein Spezialfall ist das Paradoxon des Epimenides: Ein Kreter behauptet, "Alle Kreter lügen".
- Hempels Rabenparadox: Die Beobachtung eines gelben Autos bestätigt die Hypothese "Alle Raben sind schwarz".
- Goodmans neues Rätsel der Induktion: Zu jeder Hypothese gibt es eine Gegenhypothese, die durch dieselben Daten bestätigt wird.
- Newcombs Problem: Vor Ihnen stehen zwei Boxen. In der ersten Box sind 1000 Euro, in der zweiten Box entweder eine Million Euro oder nichts. Sie können sich entscheiden, entweder nur die zweite Box oder beide zu nehmen. Ein Wesen mit sehr hoher Vorhersehkraft, dem Sie vertrauen, hat vorhergesagt, wie Sie sich entscheiden werden. Sieht es vorher, dass Sie nur die zweite Box nehmen werden, hat es die Million Euro in die Box gelegt, im anderen Fall nicht. Nehmen Sie beide Boxen oder nur die zweite?
- Großvater-Paradoxon - (Zeitreise): Ein Zeitreisender, der in der Vergangenheit seinen Großvater umbringt, würde nicht geboren werden.
- Paradoxon des Haufens (Vollständige Induktion)
- Sorites-Paradoxon (Griechische Logik)
- Barbier-Paradoxon (Paradoxon des Aristoteles): Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, ausgenommen die, die sich selbst rasieren. Wer rasiert den Barbier von Sevilla?
- Gettiers Problem (Nach Gettier führt die Annahme, dass Wissen gerechtfertigter wahrer Glaube sei, zu einem Widerspruch.)
- Gefangenendilemma
- Allmächtigkeits-Paradoxon: Kann ein allmächtiger Gott einen Stein erschaffen, den er selbst nicht heben kann?
- "I never predict anything, and I never will." (Paul Gascoigne, ehem. engl. Fußballnationalspieler)
- Paradoxon des Sokrates: "Ich weiß, dass ich nichts weiß."

Paradoxa in der Mathematik


- Eine weitere Dimension begrenzt die Möglichkeiten und erweitert nicht die Möglichkeiten, wie es zu erwarten wäre.
  - In der Ebene gibt es unendlich viele gleichseitige regelmäßige Vielecke
  - Im Raum gibt es nur 5 platonische Körper. (siehe Platonischer Körper)
- Russellsche Antinomie: Paradoxon auf der Grundlage der naiven Mengenlehre: Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
- Banach-Tarski-Paradoxon: Verdopplung des Volumens eines Körpers durch neues Zusammensetzen.
- Hilberts Hotel: Unendlichkeit
- Paradoxon des Chevalier de Mere: Würfeln
- Skolem-Paradox: ein Ausdruck, der eine überabzählbar große Menge beschreibt, ist bereits in einer abzählbar großen Domäne erfüllbar

Paradoxa in der Spieltheorie und Statistik


- Condorcet-Paradoxon: Die Mehrheit bevorzugt die Option A gegenüber B, und B gegenüber C. Dennoch möchte die Mehrheit lieber C als A.
- Die Mehrheit ist oft besser als der Durchschnitt: Wenn beispielsweise von 100 Autofahrern 80 in einem Jahr Null Unfälle verursachen, so sind sie, und damit die Mehrheit, besser als der Mittelwert, denn der ist natürlich größer als Null. Ursache ist letztlich, dass der Mittelwert und der Median, der eine statistische Verteilung in 2 gleichgroße Hälften teilt, unterschiedlich definierte Größen sind, die lediglich in Ausnahmefällen, z.B. bei symmetrischen Verteilungen, den gleichen Zahlenwert liefern.
- Stage migration: Eine Person, die von einem Ort in einen anderen Ort zieht, erhöht in beiden Orten das Durchschnittseinkommen.
- Alabama-Paradoxon: Die Erhöhung aller Sitze im Parlament führt bei manchen Parteien zu einer Verringerung.
- Negatives Stimmgewicht: Zusätzliche Wähler einer Partei verringern deren Sitze im Parlament
- Simpson-Paradoxon: Der Spitzenreiter in allen Disziplinen ist nicht der Gesamtspitzenreiter
- Geburtstagsparadoxon: Scheinbar zu viele Leute haben am selben Tag Geburtstag.
- Giffen-Paradoxon: Je teuerer das Brot ist, desto mehr wird gekauft.
- Sankt-Petersburg-Paradoxon: Der zu erwartende Gewinn ist unendlich und doch ist man nur zu einem geringen Einsatz bereit.
- Bertrand-Paradoxon: Zwei konkurrierende Anbieter können keinen Profit machen.
- Braess-Paradoxon: Durch Kapazitätserhöhung in einem Netz kann sich die Leistungsfähigkeit verringern.
- Wartezeitparadoxon: Fährt ein Bus im Zehn-Minuten-Takt, wartet ein zufällig ankommender Fahrgast im Schnitt 5 Minuten, kommen die Busse nicht im Takt, sondern nur durchschnittlich alle zehn Minuten wartet der Fahrgast deutlich länger.
- Umtauschparadoxon oder Briefumschlagparadox: Bei der Wahl zwischen zwei unbekannten Alternativen scheint Revidierung der Wahl im Mittel immer zum Erfolg zu führen.
- Bildungsparadox: Zunehmende Bildung aller Bevölkerungsschichten kommt den Privilegierten zu Gute.
- Ostrogorski-Paradox: Wahlergebnisse hängen entscheidend vom Wahlverfahren ab.
- Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung: Sie werden nächste Woche überraschend hingerichtet. Wenn Sie am Samstag noch leben, ist es keine Überraschung, der Sonntag fällt also weg. Ebenso der Samstag usw.

Paradoxa in der Physik


- Bellsches Raumschiffparadoxon
- Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon: Von einem Ort werden zwei Teilchen in entgegengesetzter Richtung ausgesendet. Beide Teilchen treffen jeweils auf einen Detektor. Trotz des großen Abstandes der Detektoren kann das Messergebnis des einen Detektors die Messung des anderen beeinflussen.
- Eierkocherparadoxon: Für mehr Eier wird weniger Wasser benötigt.
- Gibbssches Paradoxon: Zunahme der Entropie auch bei der Mischung einphasiger Stoffe.
- Hydrostatisches Paradoxon: In einem mit Wasser gefülltem Gefäß, das sich nach oben hin verjüngt, kann die Druckkraft größer sein, als die Gewichtskraft des gesamten Wassers.
- Hydrodynamisches Paradoxon: Nähert man unter Wasser einen Schlauch senkrecht an die Gefäßwand, so stößt das ausströmende Wasser den Schlauch nicht ab, er wird zur Wand gezogen. Allgemein: Gegenstände, die an Strömungszonen von Gasen bzw. Flüssigkeiten angrenzen, werden in sie hineingezogen.
- Maßstabparadoxon
- Pfeil-Paradoxon nach Zenon von Elea
- Schrödingers Katze: Eine gefangene Katze, die gleichzeitig lebt und auch tot ist.
- Spiegelparadoxon: Im Spiegelbild ist links und rechts vertauscht, aber nicht oben und unten.
- Zwillingsparadoxon: Fliegt ein Zwilling mit einem schnellen Raumschiff zu fernen Sternen, so sieht der zurückbleibende Bruder, dass Uhren auf dem Raumschiff langsamer gehen. Der fliegende Bruder sieht dagegen die Uhren auf der Erde langsamer gehen. Kehrt der fliegende Bruder zur Erde zurück, erweist er sich als der weniger gealterte.

Paradoxa in der Astronomie


- Olberssches Paradoxon: In einem ewigen, unendlichen, unveränderlichen und gleichmäßig mit Sternen gefüllten Universum ist der Himmel so hell wie die Oberfläche der Sonne.
- Fermi-Paradoxon: Möglichkeit auf außerirdische Lebensformen zu treffen.

Paradoxa in der Medizin und Biologie


- Paradoxon des Plankton: Beim Zusammenleben verschiedener Arten muss eine ökologische Divergenz (ökologische Nische) existieren. Diese ist beim Phytoplankton offensichtlich weitestgehend nicht vorhanden.
- Graysches Paradoxon: Die Strömungseigenschaften eines schnellen Wales sind besser, als die durch die reine Körperform der Tiere möglich ist. Verbesserungen treten durch verschiedene Optimierungen der Hautstruktur auf.
- Levinthal-Paradox: Problem aus der Molekularbiologie, wie eine Aminosäurekette in kurzer Zeit ihren korrekt gefalteten Zustand als Protein findet.

Linguistische Paradoxa


- Die Grelling-Nelson-Antinomie In der Umgangssprache werden oft Paradoxa als rhetorische Stilfiguren verwendet.
- Größer als der Größte.
- Stärker als der Stärkste.
- Dümmer als der Dümmste.
- Das ist so wahr, dass es nur falsch sein kann.

Literatur


- Raymond M. Smullyan: Das Buch ohne Titel - Eine Sammlung von Paradoxa und Lebensrätseln. Vieweg, Wiesbaden, 1983, ISBN 3528084855.
- Roland Hagenbüchle, Paul Geyer (Hrsg.): Das Paradox. Eine Herausforderung des abendländischen Denkens. Würzburg: Königshausen & Neumann, 2002, ISBN 3-8260-2345-5
- R.M. Sainsbury: Paradoxien. Reclam, Stuttgart, 1993, ISBN 3-15-018135-6

Weblinks


- http://www.fh-fulda.de/~grams/dnkfln.htm
- http://www.phillex.de/paradoxa.htm

Siehe auch

Aporie, Autologie, Datenbanksprache "Paradox", Paradoxismus, Dilemma, Koan (Zen) ! ja:パラドックス simple:Paradox

Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Es lautet: :Ist A eine Menge von nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Funktion F mit Definitionsbereich A, genannt Auswahlfunktion, so dass gilt: ::\forall X \in A: F(X) \in X. :F wählt also aus jeder Menge X in A genau ein Element aus. Es gibt etliche dazu äquivalente Formulierungen, unter anderem das Lemma von Zorn und den Wohlordnungssatz. Die Namen "Lemma" und "Satz" rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig sind wie das Auswahlaxiom selbst. Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Beispielsweise ist es nicht möglich, für eine allgemeine Menge von Teilmengen von \mathbb eine Auswahlfunktion explizit anzugeben. Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:
- Für eine endliche Menge A=\ von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist.
- Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus.
- Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.
- Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche Definition einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das Auswahlaxiom relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne sie anzugeben. Kurt Gödel zeigte 1937, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch das Gegenteil des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also grundsätzlich akzeptabel. Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie z.B. der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. Letztlich steht in der Mathematik nicht zur Debatte, ob ein Axiom richtig oder falsch ist, sondern nur, ob es mehr oder weniger nützlich ist. Kategorie:Mengenlehre ja:選択公理 ko:선택공리

Stefan Banach

Stefan Banach (
- 30. März 1892 in Krakau; † 31. August 1945 in Lemberg) war ein polnischer Mathematiker.

Leben

Mathematiker Sein Vater war Stefan Greczek (wobei dies nicht völlig gesichert ist), seine Mutter Katarzyna Banach. Er wuchs in einer Pflegefamilie auf (bei Franciszka Plowa und ihrer Tochter, Maria Puchalska). Von 1902 bis 1910 besuchte er das Vierte Gymnasium in Krakau. Nach der Matura arbeitete er in einer Krakauer Buchhandlung und studierte gleichzeitig als Autodidakt Mathematik. Zwischen 1911 und 1913 war er Student am Polytechnikum in Lemberg und legte dort ein Teilexamen, das so genannte Halbdiplom (Vordiplom), ab. Nach Ausbruch des Ersten Weltkriegs arbeitete er als Aufseher beim Straßenbau. Nach seiner Rückkehr nach Krakau verdiente er seinen Lebensunterhalt mit Nachhilfestunden. Er studierte weiterhin Mathematik auf eigene Faust. Im Jahre 1916 lernte der Mathematiker Hugo Steinhaus Banach zufällig kennen und begann, sich für ihn zu interessieren. Ihre Bekanntschaft mündete in eine gemeinsame Publikation und eine langjährige Zusammenarbeit. Durch Steinhausens Bemühungen erhielt Banach 1920 bis 1922 eine Assistenzstelle am Lehrstuhl für Mathematik an der Abteilung für Mechanik des Polytechnikums Lemberg, bei Antoni Łomnicki. 1922 legte er an der Jan Kazimierz-Universität in Lemberg seine Doktorprüfung ab. Der Titel seiner Doktorarbeit war "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (Über Operationen in abstrakten Mengen und ihre Anwendung auf Integralgleichungen) (Fundamenta Mathematicae 3, 1922). Mit den fundamentalen Sätzen, die diese Arbeit enthält, schuf er ein neues Gebiet der Mathematik, die Funktionalanalysis. Er habilitierte sich im Jahre 1922 an der Jan Kazimierz-Universität (Beschluss des Abteilungsrates vom 30. Juni) und wurde dort am 22. Juli des gleichen Jahres außerordentlicher Professor. 1927 wurde er Ordinarius. Zwischen 1922 und 1939 war er Inhaber des zweiten Lehrstuhls für Mathematik an der Jan Kazimierz-Universität. Nach dem Einmarsch der Roten Armee 1939 und später der Deutschen blieb er an der nach dem Ukrainer Iwan Franko umbenannten Universität als Inhaber des ersten Lehrstuhls für Mathematische Analysis (1939-1941 und 1944-1945). Zwischen 1939 und 1941 war er zusätzlich Dekan der Philosophischen Fakultät dieser Universität. Er galt als exzellenter Dozent und war auch Autor vieler Lehrbücher, darunter sogar Schulbücher für Mittelschulen. Seine ersten Arbeiten widmete er unter anderem den Fourierreihen. In der ersten gemeinsam mit Steinhaus verfassten Arbeit behandelte er die Frage nach der Konvergenz im Mittel der Teilsummen einer Fourierreihe und konnte sie definitiv negativ beantworteten. Außerdem arbeitete er über orthogonale Funktionen und Reihen, die Maxwell-Gleichungen, Ableitungen messbarer Funktionen und über Maßtheorie. In seiner Doktorarbeit und in der Monographie "Théorie des opérations linéaires" (Theorie der linearen Operationen) definierte er axiomatisch diejenigen Räume, die später nach ihm benannt wurden, die Banachräume. Er legte die endgültigen Grundlagen zur Funktionalanalysis und bewies ihre fundamentalen Sätze. Er führte die entsprechende Terminologie ein, die heute auf der ganzen Welt in der Funktionalanalysis verbindlich ist, und hielt zum ersten Male eine Vorlesung über dieses Gebiet. 1924 formulierte er zusammen mit seinem polnisch-amerikanischen Kollegen Alfred Tarski einen Satz, der als Banach-Tarski-Paradoxon berühmt wurde, und der zu den spektakulärsten Aussagen der modernen Mathematik zählt. Er schuf über sechzig wissenschaftliche Arbeiten und fand zahlreiche neue Theoreme, die sich als von fundamentaler Bedeutung für viele Gebiete der Mathematik erwiesen. Banachs Arbeitsstil, seine außergewöhnliche wissenschaftliche Intuition, seine Direktheit und Offenheit erlaubten ihm, zusammen mit Steinhaus die mathematische Schule von Lemberg zu begründen. 1924 wurde er korrespondierendes Mitglied der Polnischen Akademie der Wissenschaften, ab 1931 war er ordentliches Mitglied der Warschauer Wissenschaftlichen Gesellschaft, in der Wissenschaftlichen Gesellschaft Lemberg ab 1923 angenommenes, ab 1927 aktives Mitglied, 1919 Gründungsmitglied der polnischen mathematischen Gesellschaft, 1932 bis 1936 ihr Vizepräsident, 1939 bis 1945 ihr Präsident. 1930 erhielt er den Wissenschaftspreis der Stadt Lemberg. In den Jahren 1936 bis 1939 war er Vizepräsident des Mathematischen Komitees des Rates für exakte und angewandte Wissenschaften. 1939 sprach ihm die Polnische Akademie der Wissenschaften ihren großen Preis zu. Im gleichen Jahr wurde er korrespondierendes Mitglied der Akademie der Wissenschaften der Ukrainischen Sowjetrepublik. In der deutschen Besatzungszeit verdiente er den Lebensunterhalt für seine Familie (seine Gattin Lucja und sein Sohn Stefan, später ein bekannter Neurochirurg), indem er für das Rudolf-Weigl-Institut für Bakteriologie Blut für die Fütterung von Läusen spendete. Am 31. August 1945 verstarb er in Lemberg an Lungenkrebs und wurde im Riedl-Monument auf dem Łyczakowski-Friedhof in Lemberg bestattet. Die Polnische Mathematische Gesellschaft schuf 1946 einen wissenschaftlichen Preis zu seinen Ehren. In Universitätstädten wurden Straßen nach ihm benannt, 1972 wurde das internationale Banach-Zentrum für Mathematik gegründet. Banach gilt heute allgemein als mathematisches Genie.

Weitere Themen


- Banach-Tarski-Paradoxon
- Banach-Raum
- Satz von Hahn-Banach
- Liste bedeutender Mathematiker
- Fixpunktsatz von Banach

Weblinks


-
- [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Banach.html Leben und Schaffen] (englisch)
- [http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10 Théorie des opérations linéaires] (französisch) Übersetzung von 1932 Banach, Stefan Banach, Stefan Banach, Stefan Banach, Stefan Banach, Stefan ja:ステファン・バナフ ko:스테판 바나흐

1924

Ereignisse


- 18. April: Frankreich. Raoul Pescara fliegt mit seinem Hubschrauber über 736 m (Weltrekord)
- 24. April: England, kurz vor der Küste über dem Kanal verunglückt eine Fokker F-3 der KLM. 3 Tote
- Die Mordserie des Friedrich Haarmann wird aufgeklärt

Politik


- 1. Januar: Ernest Chuard wird Bundespräsident der Schweiz
- 1. Januar: Die Großdeutsche Volksgemeinschaft wird als Ersatzorganisation für die nach dem Fehlschlag des Hitlerputsches in München verbotene NSDAP gegründet
- 9. Januar: Ein rechter Trupp unter dem Kommando Edgar Jungs ermordet in Speyer Heinz Orbis. Bischof Dr. Ludwig Sebastian verweigert Heinz Orbis kirchliches Begräbnis
- 21. Januar: UdSSR. Tod Lenins (Wladímir Iljítsch Uljánow)
- 12. Februar Die deutsche Reichsregierung erlässt die Verordnung zur Schaffung der Deutschen Reichsbahn als staatliches Unternehmen
- 12. Februar: Mit dem Sturm auf das Bezirksamt in Pirmasens endet die separatische Episode in der Pfalz. Es kommen 23 Menschen zu Tode, es gibt viele Verletzte
- 22. Februar: In Magdeburg wird das „Reichsbanner Schwarz-Rot-Gold“ als Organisation aller republiktreuen Frontkämpfer gegründet
- 3. März: Die Türkei beschließt die Abschaffung des Kalifats
- 29. März: Konkordat zwischen dem Heiligen Stuhl und Bayern
- 4. Mai: Bei Reichstagwahlen in der Weimarer Republik erringen die radikalen Parteien (Kommunisten und Nationalsozialisten) starke Gewinne
- 1. September Die Verträge für den Dawes-Plan zur Zahlung der Reparationen durch Deutschland werden unterschrieben
- 30. August Aufgrund der Forderungen des Dawes-Plans Gesetz zur Gründung der privatwirtschaftlichen Deutschen Reichsbahn-Gesellschaft
- 26. November: Die Mongolische Volksrepublik wird gegründet.
- Max Brauer wird als Nachfolger des verstorbenen Bernhard Schnackenburg Oberbürgermeister von Altona
- Gründung des „Rotfrontkämpferbundes“ den die KPD als Gegenorganisation zum Reichsbanner gründete. Führer waren Ernst Thälmann und Willy Leow
- Deutscher Tag in Halle. Sammlung von rechtsradikalen Frontsoldaten und Freikorpskämpfer zum Sturz der Republik
- „Bevölkerungsaustausch“ (wechselseitige Vertreibung) zwischen Türkei und Griechenland (siehe Vertrag von Lausanne)

Wissenschaft und Technik


- 11. Mai: Die erste Kölner Messe wird vom Oberbürgermeister Konrad Adenauer eröffnet und findet auf dem neu errichteten Messegelände am Deutzer Ufer statt
- 14. Juni: Der erste Radiosender Ostpreußens (Ostmarken-Rundfunk AG) nimmt in Königsberg den Betrieb auf, s. Geschichte des Hörfunks
- 2. Dezember: Die erste Funkausstellung in Berlin wird eröffnet
- Louis de Broglie veröffentlicht seine These, dass Elektronen auch Welleneigenschaften besitzen
- Albert Einstein verallgemeinert die von Satyendra Nath Bose aufgestellte Statistik (Bose-Einstein-Kondensation, erst 1995 experimentell nachgewiesen)
- Patrick Maynard Stuart Blackett macht Kernreaktionen in einer Nebelkammer sichtbar
- August Pfund entdeckt die ihm benannte Serie im Spektrum des Wasserstoffs
- Hans Berger gelingt das erste Elektroenzephalogramm (EEG) des Menschen

Luftfahrt


- Erstflug der Latécoère Laté 15
- 27. August: Der Zeppelin LZ126 (später ZR-3 „USS Los Angeles“), Teil deutscher Reparationsleistungen, landet auf dem US-Marineflugplatz Lakehurst

Kunst und Kultur


- 1. Januar: Uraufführung des Films Menschen und Masken in Berlin
- 1. Januar: Die Krolloper in Berlin wird eröffnet
- 18. März: Der Stummfilm „Der Dieb von Badgad“ wird in den USA uraufgeführt
- 27. März: Uraufführung der Oper Irrelohe von Franz Schreker in Köln
- 17. Juni: Uraufführung der Oper Abenteuer des Casanova von Volkmar Andreae in Dresden
- 11. November: Uraufführung der Oper Das Herz Ilsées von Rudolf Karel am Nationaltheater in Prag
- 15. November: Uraufführung der Komödie Don Gil von den grünen Hosen von Walter Braunfels an der Staatsoper München
- 1. Dezember: Uraufführung des Musicals Lady Be Good von George Gershwin am Liberty Theatre in New York
- 25. Dezember: Der Spielfilm „Quo Vadis“ wird in Berlin uraufgeführt
- Schlager des Jahres ist „Warte, warte nur ein Weilchen“ von Walter und Willi Kollo

Katastrophen


- 10. Januar: Untergang des U-Bootes L 24 nach einer Kollision mit dem Linienschiff „Resolution“ (beide Großbritannien. Alle 48 Besatzungsmitglieder des U-Bootes kommen ums Leben
- 16. Januar: Strandung des Leichten Kreuzers „Tacoma“ USA vor dem Hafen von Veracruz (Mexiko). 5 Tote, 20 Verletzte und Totalverlust des Kreuzers

Sport

Einträge von Leichtathletik-Weltrekorden siehe unter der jeweiligen Disziplin unter Leichtathletik.
- 4. Mai: VIII. Olympische Spiele der Neuzeit in Paris
- Gründung des Weltschachverbandes FIDE
- Reichsarbeitersportwoche in Lübeck

Geboren


- 1. Januar: Klaus Junge, deutscher Schachmeister († 1945)
- 1. Januar: Jacques Le Goff, französischer Historiker
- 1. Januar: Charles Munger, US-amerikanischer Manager
- 1. Januar: Arthur C. Danto, US-amerikanischer Philosoph und Kunstkritiker
- 3. Januar: André Franquin, belgischer Comiczeichner († 1997)
- 3. Januar: Otto Beisheim, Kaufmann, Unternehmer, Gründer des Unternehmens Metro
- 4. Januar: Marianne Werner, deutsche Leichtathletin
- 6. Januar: Katy Jurado, mexikanische Schauspielerin († 2002)
- 6. Januar: Earl Scruggs, US-amerikanischer Musiker
- 7. Januar: Geoffrey Bayldon, britischer Schauspieler
- 8. Januar: Karl Schleinzer, österreichischer Politiker und Minister († 1975)
- 9. Januar: Carola Braunbock, deutsche Schauspielerin († 1978)
- 9. Januar: Josef Angenfort, deutscher Widerstandskämpfer und Politiker (KPD und DKP)
- 10. Januar: Eduardo Chillida, Bildhauer († 2002)
- 10. Januar: Max Roach, Jazz-Schlagzeuger
- 11. Januar: Slim Harpo, US-amerikanischer Blues-Musiker († 1970)
- 12. Januar: Olivier Gendebien, Rennfahrer († 1998)
- 15. Januar: Georg Ratzinger (Kirchenmusiker), deutscher katholischer Geistlicher und Kirchenmusiker
- 16. Januar: Aleksandar Tišma, serbischer Schriftsteller († 2003)
- 19. Januar: Georgia Kullmann, deutsche Schauspielerin († 2005)
- 19. Januar: Friedl Hofbauer, österreichische Kinder- und Jugendbuchautorin
- 20. Januar: Slim Whitman, US-amerikanischer Countrysänger
- 21. Januar: Benny Hill, britischer Komödiant († 1992)
- 21. Januar: Telly Savalas, Schauspieler († 1994)
- 22. Januar: Ortvin Sarapu, neuseeländischer Schachspieler estnischer Herkunft. († 1999)
- 22. Januar: Ján Chryzostom Korec, Slowak. Jesuit, Bischof von Nitra und Kardinal der römisch-katholischen Kirche
- 22. Januar: J. J. Johnson, US-amerikanischer Jazz-Musiker († 2001)
- 23. Januar: Eugen Glombig, deutscher Politiker († 2004)
- 23. Januar: Paul Feyerabend, österreichischer Philosoph und Wissenschaftstheoretiker († 1994)
- 24. Januar: Guillermo Suárez Mason, argentinischer General († 2005)
- 26. Januar: James McCord, einer der 5 Einbrecher des Watergate-Hotels
- 26. Januar: Alice Babs, schwedische Schlager- und Jazzsängerin
- 27. Januar: Sabu, indischer Schauspieler († 1963)
- 27. Januar: Rauf Denktaş, türkisch-zypriotischer Politiker
- 29. Januar: Edi Finger, Sportjournalist und erster österreichischer TV-Sportreporter († 1989)
- 30. Januar: Hans Künzi, Schweizer Politiker (FDP) († 2004)
- 31. Januar: Tengis Abuladse, georgischer Filmregisseur († 1994)
- 2. Februar: Elfi von Dassanowsky, österreichische Sängerin, Pianistin und Filmproduzentin
- 2. Februar: Sonny Stitt, US-amerikanischer Saxophonist († 1982)
- 3. Februar: Edward Palmer Thompson, britischer Historiker, Sozialist und Friedensaktivist († 1993)
- 3. Februar: Friedrich Wilhelm Fürst von Hohenzollern, Chef des „Fürstlichen Hauses Hohenzollern“
- 3. Februar: Robert Schlienz, deutscher Fußball-Nationalspieler († 1995)
- 3. Februar: Bully Buhlan, deutscher Jazz- und Schlagersänger, Pianist, Schlagerkomponist und Schauspieler († 1982)
- 3. Februar: Andrzej Szczypiorski, polnischer Schriftsteller († 2000)
- 4. Februar: Karl Adam (Fußballspieler), deutscher Fußballspieler († 1999)
- 5. Februar: Alexander Matwejewitsch Matrossow, eine Symbolfigur der Roten Armee und Held der Sowjetunion († 1943)
- 5. Februar: Hilde Sochor, Schauspielerin
- 8. Februar: Khamtay Siphandone, Präsident von Laos
- 11. Februar: John Patty, ein ehemaliger US-amerikanischer Tennisspieler
- 14. Februar: Ralf Arnie, Komponist († 2003)
- 19. Februar: David Bronstein, russischer Schachgroßmeister
- 19. Februar: František Vláčil, († 1999)
- 20. Februar: Sidney Poitier, US-amerikanischer Schauspieler
- 21. Februar: Robert Gabriel Mugabe, Chef der ZANU-Partei und Staatsoberhaupt von Simbabwe
- 21. Februar: Silvano Piovanelli, Erzbischof von Florenz und Kardinal
- 23. Februar: Claude Sautet, französischer Drehbuchautor und Filmregisseur († 2000)
- 26. Februar: Erwin Hegemann, Künstler († 1999)
- 27. Februar: Heimo Erbse, deutscher Komponist und Opernregisseur († 2005)
- 28. Februar: Christopher C. Kraft, US-amerikanischer Raumfahrtingenieur
- 29. Februar: Will Elfes, deutscher Bildhauer und Musiker († 1971)
- 1. März: Deke Slayton, US-amerikanischer Astronaut († 1993)
- 2. März: Wolf in der Maur, österreichischer Journalist und Herausgeber († 2005)
- 2. März: Günter Waldorf, österreichischer Maler
- 3. März: Johnson Aguiyi-Ironsi, 1966 Militärdiktator und Staatspräsident von Nigeria († 1966)
- 3. März: Ottmar Walter, ehemaliger deutscher Fußballspieler
- 3. März: Lys Assia, Schweizer Sängerin und Schauspielerin
- 4. März: Fritz Hofmann (Politiker), Schweizer Politiker († 2005)
- 6. März: Oskar Marczy, deutscher Politiker
- 7. März: Hans Schicker, bekanntester Geigenbauer in Freiburg des 20. Jhdts. († 2001)
- 7. März: Eduardo Paolozzi, ein schottischer Graphiker und Bildhauer († 2005)
- 11. März: Erich Schmitt, deutscher Karikaturist († 1984)
- 11. März: Franco Basaglia, italienischer Psychiater († 1980)
- 11. März: Jozef Tomko, Kardinal
- 13. März: Karl Ahrens, deutscher Politiker
- 16. März: Wolfgang Kieling, deutscher Schauspieler († 1985)
- 18. März: Alexandre José Maria dos Santos, Erzbischof von Maputo und Kardinal
- 20. März: Walter Klingenbeck, deutscher Widerstandskämpfer gegen den Nationalsozialismus († 1943)
- 22. März: Al Neuharth, Manager
- 24. März: Karl-Heinz Günther, deutscher Kriminalschriftsteller († 2005)
- 27. März: Sarah Vaughan, US-amerikanische Jazz-Sängerin († 1990)
- 28. März: Gerhard Fritsch, österreichischer Schriftsteller († 1969)
- 30. März: Milko Kelemen, kroatischer Komponist, Begründer der Zagreber Biennale (1959)
- 2. April: Ludwig Leo, Architekt
- 2. April: Hans Faillard, Professor für Biochemie und physiologische Chemie († 2005)
- 3. April: Doris Day, Schauspielerin und Sängerin
- 3. April: Marlon Brando, US-amerikanischer Schauspieler († 2004)
- 6. April: Rewol Samuilowitsch Bunin, russischer Komponist († 1976)
- 7. April: Johannes Mario Simmel, österreichischer Schriftsteller
- 8. April: Günter Pfitzmann, deutscher Schauspieler und Kabarettist († 2003)
- 8. April: Fritz Molden, österreichischer Widerstandskämpfer, Journalist, Verleger und Diplomat
- 10. April: Wolfgang Menge, deutscher Reporter und Drehbuchautor
- 12. April: Raymond Barre, französischer Politiker
- 13. April: Sta