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Berechnung

Berechnung

Unter einer Berechnung versteht man die Ermittlung eines Zahlenwertes nach den Regeln der Mathematik. Berechnungen können einfache Aufgaben sein, wie die Berechnung des Preises beim Einkauf von Nahrungsmitteln oder komplexe Aufgaben bis hin zu Flugbahnen, Wahrscheinlichkeiten u.a.m. die heute meist mit Hilfe von Computern durchgeführt werden. siehe auch: Berechenbarkeit Kategorie:Arithmetik

Zahlenwert

Eine physikalische Größe ist eine messbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes und dient dazu jene Eigenschaft quantitativ zu beschreiben. Sie werden über physikalische Gesetze mathematisch miteinander verknüpft und sind über Messverfahren definiert. Eine physikalische Größe G ist das Produkt aus dem Zahlenwert , auch Maßzahl genannt und der (Maß-)Einheit [G]. :

G = \left\ \left[ G \right]

Ein Beispiel: :Spannung

U = \left\ \left[ U \right] = 20\;\mathrm

: = 20 (lies: die Maßzahl der Spannung ist 20) :[U] = V (lies: die Einheit der Spannung ist Volt) :Hinweise: Die Nutzung von eckigen Klammern bei Einheitenzeichen wie etwa [V] ist unter anderem nach DIN 1338 nicht korrekt. Zwischen dem Zahlenwert und dem Einheitenzeichen ist immer ein Leerzeichen zu lassen, außer bei den Winkeleinheiten Grad, Minute und Sekunde; im Schriftsatz empfiehlt sich hierfür ein geschütztes Leerzeichen. Die Einheit bzw. auch Maßeinheit kann mit dem jeweiligen Einheitenzeichen abgekürzt werden, welches im heute üblichen SI-Einheitensystem für viele Einheiten international festgelegt ist. Die Dimension einer physikalischen Größe beschreibt dabei deren Bezug zu den Grundgrößen (siehe unten), in dem sie sie als Potenzprodukt aus den Dimensionen der Basisgrößen zusammen setzt. Sie dient daher der Charakterisierung einer physikalischen Größe, ist jedoch nicht mit einer Einheit gleichzusetzen. Für viele physikalische Größen sind in DIN 1304 aber auch international Formelzeichen festgelegt. Auf Größen ohne Einheiten oder Dimensionen wird im Artikel dimensionslose Größen eingegangen. Bei fehlerbehafteten Größen wird zusätzlich die Größe des Maximalfehlers angegeben.

Einteilung physikalischer Größen

Grundlage für das System der physikalischen Größen sind die Grundgrößen oder auch Basisgrößen. In deren Definitionen wird auf keine andere Größe zurückgegriffen, es handelt sich also um elementare Größen. Alle anderen Größen werden aus diesen sieben Grundgrößen abgeleitet, stellen also folglich abgeleitete Größen dar. Die Wahl, welche der Größen als Grundgrößen, und welche als abgeleitete Größen festgelegt werden, ist in der Regel willkürlich. Es wurden im Laufe der Zeit mehrere Einheitensysteme entwickelt, international anerkannt und verwendet wird heute das Internationale Einheitensystem mit sieben Basiseinheiten, das jedoch nicht in allen Bereichen der Physik ideal ist. Üblich und zweckmäßig ist die folgende Einteilung der Grundgrößen und der daraus abgeleiteten Größen:

Tabellen

Die physikalischen Formelzeichen sind nicht international genormt. In diesen Tabellen sind die im deutschen Sprachraum üblichen Formelzeichen aufgeführt. Bei einigen physikalischen Größen sind mehrere Formelzeichen üblich, da diese Größe in verschiedenen Anwendungsbereichen benutzt wird. Eine Auswahl ist jeweils in der letzten Tabellenspalte angeführt worden. Hinweis: die Tabellen stammen aus zwei unterschiedlichen Artikeln und müssen noch homogenisiert werden. Physikalische Konstanten besitzen ebenfalls eigene Formelzeichen. Diese sind in der untenstehenden Tabelle nicht aufgeführt.

SI-Basisgrößen

Winkel, Länge, Fläche und Volumen

Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Mechanik

Thermodynamik und Wärmeübertragung

Elektrizität und Magnetismus

Atomar und Molar

Licht und elektromagnetische Strahlung

Siehe auch

- Physikalische Konstanten
- SI-Einheitensystem
- CGS-Einheitensystem
- Größenordnung
- Maßeinheit
- Messung
- Messgerät
- Fehlerrechnung
- Alte Maße und Gewichte
- Geschichte von Maßen und Gewichten
- Liste der Vorsilben für Maßeinheiten
- DIN 1301
- DIN 1304 Kategorie:Physikalische Größe Physikalische Größe ja:単位の換算一覧 simple:Conversion of units zh-min-nan:Tan-ūi ê oāⁿ-sǹg-pió

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate

- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur

- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks

- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Berechenbarkeit

Unter Berechenbarkeit versteht man in der Berechenbarkeitstheorie eine Eigenschaft einer Funktion mittels einer abstrakten und mechanischen Vorgehensweise zu gegebenen Eingaben ihre Ausgabe zu berechnen. Die Vorgehensweise wird als Algorithmus bezeichnet und muss exakt definiert sein, da davon abhängt, welche Funktionen berechenbar ist und welche nicht. Es gibt eine ganze Reihe von Algorithmusbegriffen, die gleichmächtig sind und für die bisher noch keine sinnvolle Erweiterung im Sinne des Berechenbarkeitsbegriffs gefunden werden konnte. Ein Beispiel dafür ist die Turingmaschine. Die Church-Turing-These erklärt diese zu einem rechnenden Menschen gleichwertig. Es gibt auch schwächere Algorithmusbegriffe als Turingmaschinen. Dazu gehören zum Beispiel die Loop-Programme. Diese können zum Beispiel die turing-berechenbare Ackermann-Funktion nicht berechnen. Berechenbarkeit ist nicht mit Entscheidbarkeit zu verwechseln. Bei der Entscheidbarkeit ist gefragt, ob es zu einer Funktion einen Algorithmus gibt, der stets nach endlicher Bearbeitungszeit die Ausgabe der Funktion liefert. Bei einer partiellen Funktion können Ausgabewerte zu bestimmten Eingaben auch nicht definiert sein (vergleiche div-Funktion weiter unten). Der Algorithmus terminiert in solchen Fällen nicht. Dennoch ist die Funktion berechenbar, da das unendliche Weiterrechnen des Algorithmus einer nicht definierten Funktionsausgabe entspricht. Das Halteproblem zum Beispiel, ist daher zwar nicht entscheidbar, aber durchaus berechenbar.

Formale Definition

Eine Funktion

f : \mathbb^k \rightarrow \mathbb

heißt berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe von

\left( n_1, ..., n_k \right) \in \mathbb^k

nach endlicher Zahl von Schritten

f \left( n_1,... , n_k \right)

berechnet, sofern

f \left( n_1,... , n_k \right)

definiert ist und andernfalls nicht terminiert.

Zahlenfunktionen

Definition berechenbarer Funktionen mit Registermaschinen

Eine Funktion

f : \mathbb^k \rightarrow \mathbb

ist berechenbar genau dann, wenn es eine k-stellige Registermaschine

M

gibt, deren Maschinenfunktion mit

f

übereinstimmt, also

f = f_M

gilt. Z.B. ist die Funktion :

f(x) = \mbox

(die für kein Argument terminiert) berechenbar, da es eine entsprechende Registermaschine gibt.

Definition mit WHILE Programmen

Eine Funktion f (wie oben) ist berechenbar genau dann, wenn es ein WHILE-Programm P gibt, mit :

f = AC \circ \tau(P) \circ EC

. Dabei ist EC die Eingabecodierung, AC die Ausgabecodierung und

\tau(P)

die von P über die Semantik realisierte Maschinenfunktion.

Definition durch Rekursion

Seien

\mu

, Sub und Prk die Operationen der

\mu

-Rekursion, der Substitution und primitiven Rekursion. Funktionen, die sich aus der Menge der primitiv-rekursiven Grundfunktionen durch wiederholtes Anwenden dieser Operatoren erzeugen lassen, heißen µ-rekursiv. Die Menge der

\mu

-rekursiven Funktionen ist genau die Menge der berechenbaren Funktionen.

Übergang von einstelligen zu mehrstelligen Funktionen

Über die cantorsche Paarungsfunktion führt man den Begriff der Berechenbarkeit einer k-stelligen Funktion auf den der Berechenbarkeit von einstelligen Funktionen zurück. Insbesondere kann man damit in natürlicher Weise definieren, welche Funktionen auf den rationalen Zahlen berechenbar sind.

Wortfunktionen

Die Berechenbarkeit von Wortfunktionen lässt sich entweder mit Hilfe von Turingmaschinen oder Bandmaschinen zeigen. Alternativ führt man eine Standardnummerierung über die Wörter über

\Sigma^ -

ein und zeigt, dass die so erzeugten Zahlenfunktionen berechenbar sind. Zudem lassen sich geeignete Wörter definieren, die eine schnell konvergierende Approximation von reellen Zahlen darstellen. Über solche Wörter lässt sich der Berechenbarkeitsbegriff auf die Menge der reellen Zahlen ergänzen.

Spezielle Probleme

Eine Kuriosität ist, dass ein spezielles, also ein Problem mit nur einer Instanz, immer berechenbar ist. Man könnte auch sagen, dass es für jede Funktion die keine Parameter hat, einen Algorithmus gibt, der diese Funktion berechnet. Das klingt verwirrend, ist aber trivial. Angenommen, die Frage lautet "gibt es Gott", und die Definition von "Gott" sei in irgendeiner Form vorgegeben. Diese Frage repräsentieren wir durch die (parameterlose) Funktion

g()

. Die Antwort muss nun entweder ja oder nein lauten – und für beide Antworten lässt sich leicht ein Algorithmus konstruieren, der die korrekte Antwort ausgibt. Es gibt also immer einen solchen Algorithmus, wir wissen nur nicht, welcher es ist. Würden wir das gleiche Problem allgemein stellen, so dass die Definition von Gott (nennen wir sie

d

) als Eingabe des Algorithmus verlangt ist (also ein Parameter der Funktion

g

wäre), so wäre die resultierende Aussage

g(d)

nicht berechenbar. Das gleiche gilt natürlich auch für Fragestellungen aus weniger esoterischen Bereichen.

Siehe auch

- These von Church
- Berechenbarkeitstheorie
- Halteproblem
- Entscheidungsproblem
- Gödelscher Unvollständigkeitssatz
- Semi-entscheidbare Menge
- Berechenbare Funktion
- Berechenbare Folge
- Berechenbare Zahlen Kategorie:Rekursionstheorie Kategorie:Theoretische Informatik

Catégorie:Nouveau Testament

Catégorie:Bible

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800 B.C.
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