Eine Bogensekunde ist eine Winkel-Maßeinheit, die 1/3600 Grad entspricht. Sechzig Bogensekunden entsprechen einer Bogenminute und 60 Bogenminuten entsprechen schließlich ein Grad. Das Symbol für Bogensekunden ist das Sekundenzeichen und besteht aus zwei geraden, geneigten Strichen: 1″ = 1 Bogensekunde. Es entspricht dem Zollzeichen. Ersatzweise werden auch zwei vertikale Striche (") verwendet.
Zum Vergleich: Das menschliche Auge hat eine Auflösung von etwa 60″ und kann damit theoretisch zwei senkrechte kantige Objekte, die 1 Meter auseinander stehen, noch in 3-4 km Entfernung auseinander halten. De facto mindert die Form der Objekte oder schwacher Kontrast diesen Wert. Der engste Doppelstern (ε im Sternbild Leier), den nur sehr scharfe Augen noch getrennt wahrnehmen, hat 208″ Distanz.
Andererseits haben unsere Augen die Fähigkeit, auch viel feinere Details noch zu erkennen, wenn sie linienförmig sind und mehrere Sehzellen anregen. So kann man etwa einen Mast noch am Horizont ausmachen, wenn er unter 20-30″ erscheint.
Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.
Definition
Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen)
Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen.
Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel.
Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels.
Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden.
Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.
- Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
- Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt.
In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung anders herum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.
Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet.
Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren:
z.B. Winkel ABC oder
Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel.
Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind.
Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal.
In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.
Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die physikalische Größeebener Winkel. Die Einheit Vollwinkel besitzt kein Einheitenzeichen. Dezimale Vielfache oder Teile dürfen nicht mit SI-Vorsätzen gebildet werden.
: Beziehungen: 1 Vollwinkel = 360° = 2 rad
Historisches
Es ist versucht worden, durch Normung für den Vollwinkel das Einheitenzeichen "pla" (von lateinisch: plenus angulus) einzuführen, doch ist dieser Versuch im Entwurfsstadium stecken geblieben.
Früher war auch der "rechte Winkel" bzw. "Rechter" eine gesetzliche Einheit.
Gebräuchliche Winkelmaße
- Grad (Einheit, dargestellt als °, entweder dezimal unterteilt oder in Minuten und Sekunden)
- Rechter Winkel = 90°
- Vollwinkel = 360°
- Radiant (Einheitenzeichen: rad), siehe auch unter : Arcus und Bogenmaß - Rechter Winkel = rad
- Vollwinkel = 2π rad
- Gon (veraltete Bezeichnung Neugrad) (Einheit dargestellt als gon)
- Rechter Winkel = 100 gon
- Vollwinkel = 400 gon
- Vollwinkel (besitzt kein Einheitenzeichen)
- 90° = 0,25 Vollwinkel
Winkelgrad = 180:π·Bogenmaß
z. B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad
Spezielle Winkelpaare
Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.
Komplementwinkel oder Komplementärwinkel
Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechen Winkel (90°) ergänzen.
Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel
Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.
Scheitelwinkel
Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel.
: Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel
durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.
Nebenwinkel
Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.
: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.
Nachbarwinkel oder E-Winkel
Schneidet eine Gerade zwei weitere parallele Geraden und , so bezeichnet man die Winkel und , die auf der selben Seite von aber auf unterschiedlichen Seiten von und liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.
: Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°.
Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel und , die auf der selben Seite von aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von und liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden und parallel.
Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die folgenden Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.
Stufenwinkel oder F-Winkel
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden und , so heißen die Winkel und , die auf der selben Seite von und beide entweder ober- oder unterhalb von bzw. liegenheißen
, Stufen- oder F-Winkel.
: Stufenwinkel sind gleich groß.
Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von und jeweils ober- oder unterhalb von und gleich groß sind, so sind die Geraden und parallel.
Wechselwinkel oder Z-Winkel
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden und , so heißen die Winkel und , die auf unterschiedlichen Seiten von und unterschiedlichen Seiten von bzw. liegen, Wechsel- oder Z-Winkel.
: Wechselwinkel sind gleich groß.
Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von und unterschiedlichen Seiten von bzw. gleich groß sind, so sind die Geraden und parallel.
Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln
Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.
Winkelkonstruktion
Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Linealkonstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.
Die Aussage, jeder Winkel kann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal gedrittelt werden, gilt im Allgemeinen nicht!
Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels)
Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke.
Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muss diese ein Stück verlängert werden.
Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke.
Nun bestimme man die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinde diese Schnittpunkte durch eine Gerade.
Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Zirkel als eben, steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis. Nun verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal.
Diese Verbindungslinie schneidet die gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt.
Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Die Schnittpunkte liegen genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke.
Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto genauer wird es.
Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)
Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Radius größer ist als die Hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel.
Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert.
Konstruktion eines 60 Grad Winkels
Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und tragen ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein.
Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis.
Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.
Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):
Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad.
Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.
Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck.
Dies liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betragen. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.
Konstruktion eines 72 oder 54 Grad Winkels
Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.
Addition und Subtraktion von Winkeln
Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren. Hierfür sticht man in den Punkt beim zu addierenden Winkel ein und schlägt einen Bogen, so dass er die Schenkel des Winkels schneidet. Der Radius des Bogens muss im Zirkel behalten werden; man schlägt nun einen Kreis (oder je nach Winkelgröße auch nur einen abzuschätzenden Bogen) um den Punkt bei dem Winkel, zu dem man addieren möchte, so dass dieser einen Schenkel ebendieses Winkels schneidet. Daraufhin sticht man in den Schnittpunkt des Bogens mit einem der Schenkel des zu addierenden Winkels ein und spannt diesen bis zum anderen Schenkel. Dieser Abstand wird wieder beibehalten, man schlägt nun einen Kreis um den Schnittpunkt des Bogens mit dem Schenkel des Winkels, zu dem man addieren möchte. Der Schnittpunkt der beiden Bögen wird mit dem Punkt beim Winkel, zu dem man addieren möchte, verbunden, und erhält so die Summe der beiden Ausgangswinkel.
Ebenso verhält es sich mit der Subtraktion eines Winkels, nur dass hierbei der Winkel eben nicht an den Winkel zusätzlich angetragen wird, sondern so, dass der neue Schenkel zwischen die Ausgangsschenkel des Winkels, von dem man subtrahieren möchte, liegt.
Winkelhalbierung
Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen.
Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende.
Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.
Folgerung
Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen.
Der Grad ist eine Maßeinheit für den ebenen Winkel. Eine veraltete Bezeichnung lautet Altgrad. Die Methode, ebene Winkel nicht als Verhältnis zweier Längen (siehe Bogenmaß), sondern abgeleitet von einer Unterteilung des Kreises zu bezeichnen, nennt man auch Gradmaß. Der Grad darf auch zusammen mit Einheiten des Internationalen Einheitensystems verwendet werden. Der Grad hat das Einheitenzeichen °, das ohne Zwischenraum an die letzte Ziffer des Zahlenwertes hochgestellt angehängt wird, ein rechter Winkel schreibt sich z. B. 90°.
Der Grad entspricht dem 360. Teil eines Vollkreises; die zu diesem gehörenden Einheit Vollwinkel hat also 360°. Ein Grad kann dezimal geteilt werden (12,37°) oder in Bogen- oder Winkelminuten und Bogen- oder Winkelsekunden. Ein Grad hat 60 Winkelminuten (60'), eine Winkelminute hat 60 Winkelsekunden (60"). Nach deutschen Rechtsvorschriften ist es nicht zulässig, dezimale Vielfache oder Teile des Grad mit SI-Vorsätzen zu bezeichnen. Es gibt insofern also weder Centigrad, noch Kilograd usw.
Die Einheit des ebenen Winkels ist im Internationalen Einheitensystem 1 m/m = 1. Hierfür ist im SI auch der besondere Name Radiant eingeführt: 1 m/m = 1 = 1 rad.
Die Minute (oder Bogenminute oder Winkelminute) stellt eine Unterteilung der EinheitGrad (auch Gradmaß oder veraltet Altgrad genannt) für die Größe ebener Winkel dar. Das Einheitenzeichen für die Minute ist das Minutenzeichen und besteht aus einem geraden, geneigten, hochgestellten Strich: 1′ = 1 Minute. Das typographisch korrekte Zeichen im Unicode ist "PRIME", Code U+2032. Ersatzweise wird auch ein vertikaler Strich ( ' ) verwendet. Das Einheitenzeichen wird ohne Lücke unmittelbar hinter der letzten Ziffer des Zahlenwertes geschrieben wie auch bei den Einheitenzeichen der Winkel-Einheiten Grad und Sekunde.
Ein Vollwinkel hat 360 Grad. Ein Grad besteht aus 60 Minuten: 1° = 60′. Eine Minute wiederum besteht aus 60 Sekunden: 1′ = 60″ und somit gilt 1° = 3600″.
Üblich sind Winkelangaben auch in einer Schreibweise, die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet; der anzugebende Winkel wird dabei als Summe von 3 Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei geografischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet. Bei dieser Schreibweise lässt man die an sich systematisch notwendigen Pluszeichen weg, obwohl normalerweise das Nebeneinanderschreiben von Zahlen eine Multiplikation bedeutet: 51° 14′ 4,2″ ist also die Kurzsschreibweise für 51° + 14′ + 4,2″ .
Umrechnung (Beispiel):
51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad, 14 Minuten, 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in Dezimalschreibweise umrechnen:
Zum Vergleich: Als optischer Anhalt kann der Mond herangezogen werden. Er hat von der Erde aus betrachtet eine Größe von ungefähr 30 Minuten.
Am Äquator der Erde entspricht eine Bogenminute etwa 1,852 Kilometer. Das ist eine Seemeile.
Nicht zu verwechseln sind die Winkel-Einheiten Minute und Sekunde mit der Angabe der Rektaszension in Stunden, Minuten und Sekunden in der Astronomie.
Das Zoll (von mittelhochdeutsch: zol abgeschnittenes Stück Holz) bezeichnet eine Unzahl von alten Maßeinheiten im Bereich von zwei bis vier Zentimetern. Meist ist es der zwölfte Teiler eines Fußes und selbst ebenso in zwölf Linien eingeteilt, aber auch dezimale Teilung kam vor. Im englischen Sprachraum entspricht es dem Inch.
Aktuelle Definition
Mit Einführung des metrischen Systems geriet das Zoll weitgehend außer Gebrauch, nur im englischen Sprachraum erhält sich bis heute das Inch, das seit 1956 als internationales oder englisches Zoll exakt 25,4 mm misst. Das Einheitenzeichen für das Zoll ist in. oder das Zollzeichen (″), das dem Sekundenzeichen entspricht. Ersatzweise wird auch das Zeichen " (zwei vertikale Striche) verwendet.
; 1 in = 1″ := 1000 Thou = 1000 mil = 1/12 ft = 1/36 yd = 25,4 mm = 2,54 cm = 0,0254 m.
Das entsprechende Flächenmaß ist das Quadratzoll (square inch), und analog Kubikzoll (cubic inch) das Volumenmaß.
Verwendung
Das internationale Zoll wird heute noch verwendet als übliches Längenmaß in den USA (nur in der Landvermessung gibt es eine andere Definition), sowie für einige festgelegte Größenangaben:
- bei der Angabe der Bildschirmdiagonale: z.B. 15-Zoll-Bildschirm (381 mm) oder 19″-Bildschirm (483 mm),
- bei der Angabe von Raster- oder Bildauflösung wie etwa 300 dpi (Dots per Inch),
- für Festplattengrößen: am gebräuchlichsten sind 2,5- (64 mm, Notebooks) und 3,5-Zoll-Festplatten (89 mm),
- für Diskettengrößen: 5¼″ (133 mm), 8″ (203 mm) und 3½″ (89 mm, tatsächlich 90 mm),
- für Tonträgergrößen:
- 7″ (178 mm, tatsächlich 185 mm), 10″ (254 mm, tatsächlich 250 mm) und 12″ (305 mm, tatsächlich 300 mm) bei Schallplatten,
- 5″ (127 mm, tatsächlich 120 mm) und 3″ (76 mm, tatsächlich 80 mm) bei CDs und
- ¼″ (6,35 mm), ½″ (13 mm), 1″ (25 mm) und 2″ (51 mm) bei Tonbändern,
- für Computer- und Hifi-Gehäuse: 1 HE = 1¾″ = 44,45 mm, 1 TE = 1/5″ = 5,08 mm, 19″-Racks (483 mm)
- für Auto- und Fahrradfelgen: üblicherweise 15″ bis 20″ bzw. 26″ (66 cm) und 28″ (71 cm),
- in der Veranstaltungstechnik: z.B. Standardgewinde für Mikrofonständer und Lampenzapfen 3/8″ (9,525 mm),
- für die Angabe der Bundweite (engl.: waist) und inneren Beinlänge (engl.: length) von Hosen (z.B.: W 32″ / L 34″)
- für Zauberstäbe (z.B. "11 1/2 Zoll Eiche mit Einhornhaar")
- bei der Sanitärtechnik (z.B. Rohrdurchmesser).
- bei der Gestaltung von Vordrucken, und zwar horizontal im 1/10"-Raster (Standard-Tabulator bei Schreibmaschinen) und vertikal im 1/6"-Raster (Standard-Zeilenschaltung bei Schreibmaschinen)
Darüberhinaus gibt es einige Anwendungen, in denen zwar offiziell meterbasierte Einheiten verwendet werden, viele Standardwerte aber einen zölligen Ursprung haben, z.B. entspricht das Kaliber der so genannten NATO-Munition von 7,62 mm exakt 0,3″ (entspricht Winchester .308).
Der Begriff Auflösung bezeichnet
# eine endgültige Regelung oder Abwicklung eines Sachverhalts
# in der Optik und der Fototechnik
# - das Auflösungsvermögen, nahe beieinanderliegende Objekte zu unterscheiden
# - die Ausbelichtung
# - das Auflösungsvermögen von fotografischen Objektiven von Film, siehe Auflösung (Fotografie)
# - die Bildauflösung bei Digitalkameras, CCD- oder CMOS-Sensoren
# in der Computer- und Videotechnik die Auflösung eines Bildschirms, siehe Bildauflösung
# in der Elektronik die Genauigkeit bei der Erfassung eines analogen Signals, siehe Digitale Auflösung
# in der Musik die Beendigung einer tonalen Spannung und/oder das Aufheben eines Vorzeichens (Auflösungszeichen).
Kontrast
Kontrast; von lateinisch contra "gegen" und stare "stehen".
Als Kontrast bezeichnet man den Helligkeitsunterschied (eines Bildes). Während das menschliche Auge den in der Natur auftretenden enormen Kontrastumfang (zwischen hellem Sonnenschein und dem Dunkel der Nacht) relativ problemlos meistert, stoßen wir bei dem Bemühen, das Gesehene festzuhalten, an teilweise ernüchternde Grenzen.
In der Malerei haben schon die klassischen Maler Jahrhunderte lang versucht, durch immer neue Tricks die engen Grenzen der Malerei zu erweitern.
Folgende Kontraste sind in der Malerei bekannt und finden in vielen anderen Bereichen, in denen die Wirkung von Farbe und Helligkeit gezielt verändert werden soll, ihre Anwendung:
- Hell-Dunkel-Kontrast - Kalt-Warm-Kontrast - Farbe-an-sich-Kontrast - Komplementärkontrast - Qualitätskontrast - Quantitätskontrast - Simultankontrast - Sukzessivkontrast
Auch für die Filmmaterialien ist der zu verarbeitende Kontrastumfang neben der Minimierung des Filmkorns eines der wichtigsten Entwicklungskriterien. Trotzdem kann nur etwa ein Zehntel des wirklichen Kontrastumfangs verkraftet werden, so dass zu helle Bereiche abgedunkelt und/oder zu dunkle Bereiche aufgehellt werden müssen. Blende und Belichtungszeit verschieben lediglich den Bereich, vergrößern aber nicht den Umfang, ähnliches gilt auch für Mikroskop und Optik, wo zwischen Amplituden- und Phasenkontrast unterschieden wird. Bei der Bewertung von Objektiven spielt der Kontrast eine entscheidende Rolle. In der "Modulations-Übertragungs-Funktion" (MTF) wird die Untrennbarkeit des Kontrastes mit der Auflösung eines Objektivs dargestellt.
Beim Video und Digitalfotografie tritt das Problem verstärkt auf, da heutige Sensoren den Kontrastumfang nochmals etwa halbieren. Ein Umfang von 1:40 gilt hier schon als guter Wert. Sehr viele Digitalfotos müssen daher mit geeigneter Software im "digital darkroom" (Dunkelkammer) nachbearbeitet werden, beispielsweise mit der Tonwertspreizung (s. auch:Aufsteilung).
Der Kontrast K wird definiert als:
Dabei bezeichnet I die Lichtstärke, den Quotienten aus Lichtstrom und Raumwinkel.
Auch in anderen Zusammenhängen werden (unüberbrückbare) Unterschiede als Kontrast bezeichnet, beispielsweise der zwischen "Arm und Reich".
In der Linguistik spricht man von einem Kontrast, wenn ein Merkmal in Klang oder Form unterschieden werden kann. Beispiel: Kontrast zwischen stimmhaftem und stimmlosen Laut: "d", "t". In vielen Fällen entsteht dabei zugleich ein Bedeutungsunterschied.
Weblinks
- [http://www.gimps.de/gimp/bilder-fotos/kontrast/index.htm Kontrast mit Gimp digital modifizieren (Gimps.de) ]
- [http://www.foto-net.de/net/objektive/test.html Modulations-Übertragungs-Funktion]
Kategorie:FotopraxisKategorie:FototechnikKategorie:Fernsehtechnik
Doppelstern
Ein Doppelstern (auch Doppelsternsystem) besteht aus zwei Sternen, die scheinbar oder tatsächlich am Himmel nahe zusammenstehen, ein Mehrfachstern (auch Mehrfachsystem oder Mehrfachsternsystem) besteht entsprechend aus drei oder mehr Sternen.
Typen
Man unterscheidet:
- Optische Doppelsterne (scheinbare Doppelsterne): zwei Sterne, die von der Erde aus in praktisch gleicher Richtung am Himmel erscheinen, die sich aber gravitativ nicht gegenseitig beeinflussen. Diese Art ist für die Astronomie eher uninteressant.
::Ein Beispiel sind die beiden Sterne Alkor, das »Reiterlein«, Entfernung 81 Lichtjahre, und Mizar, Entfernung 78 Lichtjahre, in der Mitte der »Deichsel« des Sternbilds Großer Wagen. Diese beiden Sterne liegen mit etwa drei Lichtjahren fast so weit voneinander entfernt wie die Sonne und ihr nächster Nachbarstern Proxima Centauri, sodass sie kein gebundenes Doppelsternsystem bilden. Dieser Doppelstern ist bei normalem Sehvermögen gut mit bloßen Augen zu trennen.
- Physische Doppelsterne oder Doppelsternsysteme: zwei Sterne, die aufgrund ihrer räumlichen Nähe gravitativ gebunden sind und sich nach den Keplerschen Gesetzen um einen gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Die meisten physischen Doppelsternsysteme haben sich bereits während der Sternentstehung gebildet. Andere haben sich erst später durch Einfang unter Einwirkung mindestens eines weiteren Sterns zu einem gebundenen Doppelsternsystem vereint. Eingefangene Doppelsterne haben in der Regel aufgrund ihrer voneinander unabhängigen Entstehung unterschiedliche Alter und Metallizitäten.
- Geometrische Doppelsterne (räumliche Doppelsterne): Sterne, die einander räumlich nahe sind, aufgrund ihrer hohen Relativgeschwindigkeiten jedoch nicht aneinander gebunden sind und eine gemeinsame hyperbolische Bahn um ihren gemeinsamen Schwerpunkt beschreiben.
::Ein mögliches Beispiel für einen geometrischen Begleiter ist Proxima Centauri, der mit Alpha Centauri ein geometrisches Doppelsystem bildet, wobei Alpha Centauri seinerseits ein physischer Doppelstern ist. Daten der Position und Relativgeschwindigkeit nach Hipparcos und Gliese liefern eine im Vergleich zur Fluchtgeschwindigkeit um ein Vielfaches höhere Relativgeschwindigkeit von Proxima zu den Hauptkomponenten, wonach Proxima nicht an Alpha Centauri gebunden sein kann.
Im Folgenden werden die physischen Doppelsterne behandelt.
Eigenschaften
Über die Hälfte aller Sterne im Universum sind Teil eines Doppelsternsystems. Je nach Abstand der Sterne voneinander liegen die Umlaufzeiten von Doppelsternsystemen zwischen einigen Stunden (bei sehr nahen Sternen) oder vielen tausend Jahren. Der Abstand kann auch so gering sein, dass die Roche-Grenze überschritten wird, sodass die beiden Sterne in materiellem Kontakt stehen oder Materie vom einem zum anderen Stern strömen kann. Die Bedeutung der Doppelsterne für die Astronomie liegt darin, dass in ihrem Fall die Chance besteht, mit Hilfe der keplerschen Gesetze die Masse, den Durchmesser und die Dichte von Sternen zuverlässig zu ermitteln.
Der hellere der beiden Sterne eines Doppelsternsystems wird Hauptstern (oder Hauptkomponente) genannt und mit dem Buchstaben A bezeichnet, der lichtschwächere ist Begleiter und wird mit B bezeichnet.
Mehrfachsterne
Ein physisches System aus mehr als zwei Sternen wird Mehrfachstern genannt.
Meist entdeckt man Mehrfachsterne zunächst als Doppelstern. Die oft unsichtbaren Begleiter machen sich dann als Störungen der anderen Komponenten des Systems bemerkbar.
Mehrfachsterne bestehen aus Untersystemen, die stets paarweise angeordnet sind. Die Untersysteme bestehen ihrerseits wieder aus Einzel- oder Doppelsternen.
Beispiele für Mehrfachsterne sind:
- 3 Komponenten
- η Orionis: ein spektroskopischer Doppelstern mit einem fernen Begleiter, Umlaufzeit des Doppelsterns 8 Tage, des Begleiters um den Doppelstern 3470 Tage.
- 4 Komponenten
- ξ Ursae Majoris: erscheint als Doppelstern mit einer Umlaufzeit von 59,6 Jahren, jede Komponente enthält aber nochmals ein Doppelsternsystem (mit Umlaufzeiten von 4 und 699 Tagen).
- 6 Komponenten
- α Geminorum (Castor): drei Spektroskopische Doppelsterne mit einem Bedeckungsveränderlichen.
Einteilung nach Beobachtungsmöglichkeit
Man kann Doppelsterne nach der Beobachtungsmöglichkeit einteilen:
- Visuelle Doppelsterne
- Spektroskopische Doppelsterne
- Photometrische Doppelsterne (sie bilden eine Untergruppe der spektroskopischen Doppelsterne)
- Astrometrische Doppelsterne (Sterne mit unsichtbarem Begleiter)
Visuelle Doppelsterne
Visuelle Doppelsterne eignen sich gut, um das Auflösungsvermögen eines Fernrohrs zu bestimmen. Dazu wählt man eine Reihe von Doppelsternen mit jeweils etwa gleich hellen Sternen, deren Winkelabstand abnimmt. Nach Beobachtung mit einem gegebenen Gerät kann man feststellen, ab welchem Winkelabstand die Sterne nicht mehr getrennt wahrgenommen werden können.
Spektroskopische Doppelsterne
Spektroskopische Doppelsterne sind optisch nicht mehr zu trennen und werden über Anomalien des Spektrums als solche erkannt. Entweder überlagern sich die Spektren beider Sterne und bilden aufgrund unterschiedlichen Spektraltyps ein zusammengesetztes Spektrum. Ist der Helligkeitsunterschied beider Sterne größer als eine Größenklasse, so überstrahlt das Spektrum des Hauptsterns das Spektrum des Begleiters. Jedenfalls zeigen periodische Verschiebungen der Spektrallinien infolge der periodisch veränderten Radialgeschwindigkeit der Sterne um den gemeinsamen Schwerpunkt (Dopplereffekt) an, dass es sich um ein Doppelsternspektrum handelt.
Photometrische Doppelsterne
Sie sind Bedeckungsveränderliche und verraten ihren Doppelsterncharakter durch periodischen Wechsel der Helligkeit. Die Bahnebene der Komponenten fällt also in die Sichtlinie zum Beobachter, sodass sich beide Sterne periodisch verdecken. Dieser Helligkeitswechsel lässt sich mit photometrischen Methoden messen.
Astrometrische Doppelsterne
Die astrometrischen Doppelsterne verraten ihre Natur infolge periodisch veränderter Positionen relativ zu anderen Sternen in der Sichtlinie. Diese Positionsänderungen überlagern sich der Eigenbewegung des beobachteten Sterns und werden durch den Umlauf um einen gemeinsamen Schwerpunkt mit einem nicht sichtbaren Begleiter verursacht. Mit dieser Methode werden auch extrasolare Planeten gefunden.
Entstehung
Mit dem Drehimpuls einer gravitativ kollabierenden interstellaren Wolke steigt auch die Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines Doppelsternsystems anstelle eines Einzelsterns. Man vermutet heute, dass Sterne in größeren Wolken (»Brutgebiete«) gruppenweise entstehen. Es besteht dabei eine große Wahrscheinlichkeit, dass solche nahe beieinander befindlichen Sterne sich zu einem System verbinden.
Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, dass im Rahmen von Drei-Körper-Begegnungen, bei denen ein Stern einen Zuwachs an kinetischer Energie erfährt, die beiden anderen gravitativ gebunden zurückbleiben.
Geschichte
Bereits im Altertum waren Doppelsterne bekannt. Der Sternkatalog des Ptolemäus verzeichnet den Doppelstern ν1 und ν2Sagittarii. Hierbei handelt es sich jedoch nicht um einen physischen Doppelstern.
Die Erfindung des Fernrohrs machte dann die Auflösung von Doppelsternen möglich. Erstmals beschreibt Johann Baptist Cysat1619 eine entsprechende Beobachtung.
Der Mannheimer Hofastronom Christian Mayer beschreibt ab 1775 Doppelsterne als physikalisch zusammengehörige Objekte, die er »Fixsterntrabanten« nennt, und veröffentlicht 1781 den ersten Doppelsternkatalog. In den folgenden Jahren ist auch die Bezeichnung »Doppeltstern« gebräuchlich. Wilhelm Herschel bestätigt die Existenz physischer Doppelsterne um 1800 und führt den in der Astronomie gebräuchlichen Fachbegriff binary star ein. Für das Sternpaar 61 Cygni berechnete Friedrich Wilhelm Bessel1812 erstmals eine Sternparallaxe.
- H. M. Jeffers u.a.: Index Catalogue of Visual Double Stars 1961.0 (IDS)
- S. W. Burnham: General Catalogue of Double Stars. (BDS)
Spektroskopische Doppelsterne
- R. E. Wilson: General Catalogue of Stellar Radial Velocities (Publ. Carnegie Inst., Washington 1953)
Photometrische Doppelsterne
Viele dieser Doppelsterne werden in den Katalog für Veränderliche Sterne geführt.
- H. Schneller: Geschichte und Lichtwechsel der veränderlichen Sterne (Berlin 1963, 2. Ausg.)
- F. B. Wood: A Finding List for Observers of Eclipsing Variables (Univ. of Pennsylvania 1963, 9 Bde.).
Weblinks
- Real Video: [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=010429.rm Was sind Doppelsterne?] (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri)
Die Leier (von griechischλύρα, lýra – die Lyra) ist ein kleines aber auffälliges Sternbild des nördlichen Sternenhimmels.
Beschreibung
Die Leier ist am Sommerhimmel leicht zu finden. Ihr hellster Stern, die Wega, bildet mit den Sternen Deneb (Sternbild Schwan) und Atair (Sternbild Adler) das Sommerdreieck. Nicht weit von der Wega findet man vier Sterne der 3. Größenklasse, die ein Parallelogramm bilden.
In der Nähe der Leier verläuft die Milchstraße. Wenn man das Gebiet um die Leier herum durch ein Fernglas betrachtet, bietet sich ein großartiger Anblick, da sehr viele lichtschwächere Sterne sichtbar werden.
Geschichte
Die Leier findet sich bereits in Ptolemäus' Katalog von 48 Sternbildern und steht auch auf der offiziellen Liste von 88 Sternbildern der IAU.
Mythologie
Das Sternbild repräsentiert das von dem griechischen Gott Hermes erfundene Musikinstrument. Er gab es seinem Halbbruder Apollon, der es wiederum dem berühmten Sänger Orpheus gab. Letzterer betörte damit in der Unterwelt deren Gott Hades, um seine an einem Schlangenbiss verstorbene Braut Eurydike zu erretten. Beim Verlassen der Unterwelt verstieß er jedoch gegen das Gebot, nicht zurückzublicken; daraufhin musste Eurydike weiter in der Unterwelt bleiben. Nach seinem Tod wurde die Leier an den Sternenhimmel versetzt.
Auf früheren Karten ist häufig an gleicher Stelle ein Vogel zu sehen, meist ein Geier. Dieser und die Sternbilder Schwan und Adler repräsentierten die stymphalischen Vögel, die der Held Herakles bei seiner sechsten Aufgabe tötete.
Meteorströme
Im Radianten der Leier erreicht in der Zeit zwischen dem 20. und 22. April der Meteorstrom der Lyriden sein Maximum.
Himmelsobjekte
Benannte Sterne
Die Wega ist mit einer scheinbaren Helligkeit von 0,03m der hellste Stern in der Leier und der fünfhellste Stern am Himmel. Sie ist 25 Lichtjahre von der Sonne entfernt.
Sheliak (β Lyrae) bildet mit zwei weiteren Komponenten ein Dreifachsternsystem in 300 Lichtjahren Entfernung.
Die Sterne ε Lyr1 und ε Lyr2 bilden ein Doppelsternsystem, das einen Abstand von 208“ (Bogensekunden) am Himmel besitzt. Bei guter Sehleistung kann das System mit bloßem Auge gerade noch getrennt werden. Tatsächlich ist ε Lyrae ein Vierfachsystem, denn jede Komponente ist wiederum selbst ein Doppelstern. In einem Teleskop ab 6 cm Öffnung können die vier Sterne getrennt werden und bieten einen sehr schönen Anblick.
Das Sternsystem ist ca. 150 Lichtjahre entfernt
β Lyrae (Sheliak) ist ein bedeckungsveränderlicher Stern. Dabei umkreisen sich zwei Sterne in sehr engem Abstand, wobei einer der Sterne sein Endstadium erreicht und sich aufgebläht hat. Dabei strömt Gas aus der Sternhülle auf den Begleitstern über. Bei jedem Umlauf der Sterne kommt es zu einer teilweisen Bedeckung, wodurch die Helligkeit periodisch abnimmt.
Sheliak ist der Namensgeber eines Typs von veränderlichen Sternen, den Beta-Lyrae-Sternen.
R Lyrae ist ein halbregelmäßig veränderlicher Stern in 250 Lichtjahren Entfernung.
RR Lyrae, ein pulsationsveränderlicher Stern, ist Namensgeber für die Klasse der RR Lyrae-Sterne.
In der Leier befinden sich zwei Objekte, die der französische Astronom und Kometenjäger Charles Messier in seinen Katalog nebliger Objekte (Messierkatalog) aufnahm.
M56 ist ein Kugelsternhaufen in etwa 30.000 Lichtjahren Entfernung. In einem Fernglas kann er als nebliges Fleckchen ausgemacht zu werden. Um ihn am Rand in Einzelsterne aufzulösen, benötigt man allerdings ein Teleskop von mindestens 15 cm Öffnung.
Auf der gedachten Verbindungslinie zwischen den Sternen β Lyr und γ Lyr befindet sich M57, der berühmte Ringnebel in der Leier. Der Ringnebel ist der Überrest eines Sterns, der am Ende seiner Entwicklung die äußere Gashülle abgestoßen hat. Im Teleskop hat er das Erscheinungsbild eines „Rauchringes“.
Nahe δ Lyrae befindet sich der offene Sternhaufen Steph 1, der allerdings nicht im Messierkatalog verzeichnet ist.
Kategorie:Anerkanntes Sternbildja:こと座ko:거문고자리th:กลุ่มดาวพิณ
Linie
Der Begriff Linie (v. lat.: linea = mit einem [Lein]faden gezogene Linie) bezeichnet
- eine meist gerade Verbindung zweier Punkte; diese kann markiert sein (z.B. Mittellinie einer [Trasse]]) oder nur gedacht (siehe Luftlinie)
- eine etwas gekrümmte Linie ("geschwungene Linie"), bzw. beim Zeichnen eine "freihändige Linie"
- in der Alltagssprache die Ausrichtung "in einer Linie"
- in der Geometrie feine, zuordnende Linien oder die Ordner einer Konstruktionszeichnung
- in der Geografie und Schifffahrt einen Großkreis - in der Seemannsprache den Äquator - in der Geodäsie eine Messlinie (siehe auch Alignement) oder eine Visur - in der Ballistik (ballistische Linie) eine Flugbahn - eine regelmäßig befahrene Verbindung zwischen Verkehrsknoten (Autobus-, Bahnlinie, Straßenbahnlinie etc.), siehe Linie (Verkehr) - die Fahrzeuge einer bestimmten Linie (z.B. Bus Linie 20)
- in der Soldatensprache die Front und auch die Geländestrecke, in der der Verteidiger dem Angreifer Widerstand zu leisten entschlossen ist
- ebenfalls in der Militärsprache eine bestimmte Aufstellung von Truppenteilen: Linientaktik (Lineartaktik)
- den durch Schlankheit oder Dicksein bestimmten Körperumriss, die Kontur - in der Genealogie die Verbindung zwischen zwei durch direkte Abstammungverwandten Personen
- eine Meinung (die politische Linie)
- jemanden "auf Linie bringen" (stark beeinflussen)
- eine Reihe von zusammengehörigen Produkten eines Herstellers, siehe Produktlinie - ein altes Längenmaß (abgekürzt mit ), vor allem die Pariser Linie auf Libellen und Wasserwaagen
- in Deutschland 1/12 Zoll (Inches), in den USA und Russland 1/10 Zoll, benutzt zur Angabe des Kalibers von Schusswaffen.
Man beachte, dass "Linie" keinmathematischer Fachbegriff ist, siehe stattdessenGerade, Strecke (Geometrie), Kurve. In zusammengesetzten Wörtern für Fachausdrücke hat sich das Wort "Linie" aber erhalten, sieheKreislinie, Eilinie, Kettenlinie.
Sehzelle
Als Sehzellen werden die lichtempfindlichen Zellen (die so genannten Fotorezeptoren) der Tiere bezeichnet, wie sie zum Beispiel bei Wirbeltieren in der Netzhaut vorkommen. Beim Menschen gibt es zwei Typen von Sehzellen in der Netzhaut: Die farbempfindlichen Zapfen, die für das Farbensehen zuständig sind, und die lichtempfindlichen Stäbchen, die das Schwarz-Weiß-Sehen ermöglichen sowie für das Sehen bei Dunkelheit wichtig sind.
siehe auch: Fotorezeptor, FacettenaugeKategorie:ZelltypKategorie:Auge
Bogenmaß
Das Bogenmaß ist eine Winkelangabe, die besondere Bedeutung in der Mathematik und Physik hat. Das Bogenmaß gibt den Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an und ist daher dimensionslos.
Die Einheit für ebene Winkel ist im SI 1 m/m = 1. Für diese abgeleitete SI-Einheit darf bei der Angabe von ebenen Winkel auch der spezielle Name Radíant mit dem Einheitenzeichen rad benutzt werden. Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsätzen benutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w.
Spannt z. B. ein Winkel bei einem Radius von 2 Metern eine Kreisbogenlänge von 0,5 Metern auf, ist das Bogenmaß 0,5 m / 2 m, also 0,25 (Dimension 1, bzw. Länge / Länge). Der Umfang eines vollen Kreises ist das -fache seines Radius; somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehörenden Winkels ; dieser Winkel heißt Vollwinkel und ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, übrigens eine ohne Einheitenzeichen. (Hinweis wegen eventueller Verwechslungsgefahr: Bis 31.12.1977 war in Deutschland das Rad mit dem Einheitenzeichen rd gesetzliche Einheit der Energie- und Äquivalentdosis; 1 rd = 1 cGy = 1 cJ/kg.)
Im Gegensatz dazu wird bei den z. B. in der Nautik üblichen Winkelangaben der Vollkreis in 360 Teile oder 360° (Grad) aufgeteilt und der Winkel als Vielfaches der EinheitGrad angegeben.
Winkel im Bogenmaß
Grad
Ein Bogenmaß von entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises und damit einem Winkel von 360°. Kleinere Winkel sind Teile von , etwa für 180° oder für 45°. Bei Umrechnungen tritt die Kreiszahl auf:
:1° entspricht dem Bogenmaß oder ungefähr 0,01745
Eine Bogenmaßangabe von 1 bedeutet, dass Radius und Bogen auf einem Kreis gleich lang sind, was bei einem Winkel von 180°/ der Fall ist, also ungefähr bei 57,29°.
Um deutlich zu machen, dass eine Angabe im Bogenmaß erfolgt, kann man den Zahlenwert durch arc (von lat. arcus = Bogen) oder rad (von Radiant) ergänzen. Dies sind jedoch keine Einheiten im üblichen Sinne und werden bei Berechnungen nicht berücksichtigt, wie sonst etwa Meter pro Sekunde für die Geschwindigkeit.- Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist jedoch im Gegensatz zum Vorstehenden der besondere Name für die abgeleitete SI-Einheit 1 (m/m) bei Winkelangaben. Schreibweisen mit "arc" sind demnach nicht SI-konform, Schreibweisen mit "rad" also vorzuziehen.
Es soll die Geschwindigkeit an der Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr mit einer Länge von fünf Metern berechnet werden. Der Zeiger benötigt für eine Vollumdrehung genau eine Stunde, überstreicht also 360° pro Stunde. Der Kreisumfang beträgt
:,
die Geschwindigkeit also
:
.. und mit Bogenmaß
Hier wird zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers bestimmt. Dies ist die Bogenlänge auf dem hypothetischen Einheitskreis pro Zeiteinheit. Das Bogenmaß für eine Vollumdrehung ist , die Zeit wieder eine Stunde oder 3600 Sekunden. Die Winkelgeschwindigkeit ist also
:.
Um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten, muss man die Winkelgeschwindigkeit nur noch mit der Länge l/(Dem Radius) multiplizieren:
:.
Die Zahlenwerte wurden mit rad als Angaben im Bogenmaß gekennzeichnet. Bei der Geschwindigkeitsberechnung wird rad nicht berücksichtigt, die Einheit der Geschwindigkeit ist daher m/s, nicht rad mal m/s.
Der Vorteil der Berechnung mit dem Bogenmaß ergibt sich aus der Tatsache, dass man nur den Winkel pro Sekunde mit der Länge multiplizieren muss, um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten.
Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus können anschaulich dadurch definiert werden, dass man im Einheitskreis einen Zeiger im mathematisch positiven Drehsinn (also im Gegenuhrzeigersinn) rotieren lässt und die y-Koordinate der Zeigerspitze über der Bogenlänge - dem Bogenmaß - aufträgt.
Auf diese Weise lassen sich auch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmen:
:
:
(x muss hier im Bogenmaß angegeben werden.)
Spezielle Winkel im Bogenmaß
:
Umrechnung
- Von Grad nach Bogenmaß:
::
- Von Bogenmaß nach Grad:
::
Fläche und Bogenmaß
Wenn das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Fläche des dazugehörigen Kreissektors , also ist . Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorfläche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis definieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von im Bogenmaß, eine Fläche von . Dieser Zugang ist unter anderem zweckmäßig bei der Interpretation der Area-Funktionen als Flächen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.
Taschenrechner und Computer
Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß. Dazu muss der Modus rad gewählt werden.
In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden.
-.-
Weblinks
- [http://www.madeasy.de/2/polar.htm Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten]
- [http://www.marco-burmeister.de/index_frameaufbau.html?helferlein_grad Umrechnung von Gradangaben (Altgrad / Neugrad) (Online)]
Kategorie:SI-Einheitja:ラジアンko:라디안
Bogenminute
Die Minute (oder Bogenminute oder Winkelminute) stellt eine Unterteilung der EinheitGrad (auch Gradmaß oder veraltet Altgrad genannt) für die Größe ebener Winkel dar. Das Einheitenzeichen für die Minute ist das Minutenzeichen und besteht aus einem geraden, geneigten, hochgestellten Strich: 1′ = 1 Minute. Das typographisch korrekte Zeichen im Unicode ist "PRIME", Code U+2032. Ersatzweise wird auch ein vertikaler Strich ( ' ) verwendet. Das Einheitenzeichen wird ohne Lücke unmittelbar hinter der letzten Ziffer des Zahlenwertes geschrieben wie auch bei den Einheitenzeichen der Winkel-Einheiten Grad und Sekunde.
Ein Vollwinkel hat 360 Grad. Ein Grad besteht aus 60 Minuten: 1° = 60′. Eine Minute wiederum besteht aus 60 Sekunden: 1′ = 60″ und somit gilt 1° = 3600″.
Üblich sind Winkelangaben auch in einer Schreibweise, die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet; der anzugebende Winkel wird dabei als Summe von 3 Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei geografischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet. Bei dieser Schreibweise lässt man die an sich systematisch notwendigen Pluszeichen weg, obwohl normalerweise das Nebeneinanderschreiben von Zahlen eine Multiplikation bedeutet: 51° 14′ 4,2″ ist also die Kurzsschreibweise für 51° + 14′ + 4,2″ .
Umrechnung (Beispiel):
51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad, 14 Minuten, 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in Dezimalschreibweise umrechnen:
Zum Vergleich: Als optischer Anhalt kann der Mond herangezogen werden. Er hat von der Erde aus betrachtet eine Größe von ungefähr 30 Minuten.
Am Äquator der Erde entspricht eine Bogenminute etwa 1,852 Kilometer. Das ist eine Seemeile.
Nicht zu verwechseln sind die Winkel-Einheiten Minute und Sekunde mit der Angabe der Rektaszension in Stunden, Minuten und Sekunden in der Astronomie.
The name national insurance was adopted as an expression of that government's aspiration that the system should be qualitatively different from conventional general taxation such as income tax or consumption taxes.
The proposed differences that were enacted, or aspired to, included:
the revenue was expected to roughly equate to current spending on contributory benefits
- no means testing of benefits - the amount of benefit paid in respect of any claim by a claimant was the same whether the claimant was rich or poor, depending only on the completeness of the claimant's contribution record
- a cap on the system's scope for redistribution - above a certain level of earnings or profits no extra contributions were payable
- the payment of a contribution by an employer for each employee comparable to that paid by the employee
Initially, the most important contributory benefits were the State Retirement Pension and Unemployment Benefit.
With the introduction of employer payroll tax deduction (Pay-As-You-Earn or PAYE), employees' national insurance contributions were collected along with income tax. This replaced the old system of purchasing a contribution certificate or stamp, but for many years some older Britons continued to describe making NI contributions as paying their stamp.
In the contemporary United Kingdom budget national insurance contributions are a significant source of government revenue comparable with value-added tax (a consumption tax levied on most goods and services at a standard rate of 17.5%).
Contribution classes
National insurance contributions (NICs) fall into a number of classes. In all cases, NICs paid are credited to an individual's NI account, which determines entitlements to certain benefits - including the state pension.
Class 1 contributions are paid by employees and their employers. They are deducted from their gross wages by the employer, with no action required by the employee. The employers also match these contributions (with the one exception below). There are three milestone figures which determine the rate of NICs to be paid: Lower Earnings Limit (LEL), Earnings threshold (ET) and Upper Earnings Limit (UEL).
- Below the LEL, no NICs are paid.
- Between the LEL and the ET, NICs are not paid, but are credited as if they were.
- Between the ET and the UEL, NICs are paid at a variable, sliding-scale percentage. (Up to this point, employers' NICs match those of the employee)
- Above the UEL, NICs payable are a fixed percentage of the UEL itself by employees and of the total income by the employer.
Class 1A contributions are paid by employers on the value of company cars and fuel benefits for their employees and directors (from their P11Ds).
(Explanation of contracting-out could go here, if someone provides one)
Class 2 contributions are fixed weekly amounts paid by the self-employed once their businesses reach a certain profit level. While the amount is calculated to a weekly figure, they are typically paid monthly or quarterly. For the most part, unlike Class 1, they do not form part of a qualifying contribution record for contributions-based Jobseekers Allowance.
Class 3 contributions are voluntary NICs paid by people that wish to fill a gap in their contributions record which has arisen either by not working or by their earnings being too low. The main reason for paying Class 3 NICs is to ensure the "10 years' worth" of contributions required for entitlement to the state pension. "10 years' worth" is the amount that would be accrued through 520 weeks of earnings at the LEL (see Class 1 above) - for people with higher salaries, this might be achieved in less than 10 years.
Class 4 contributions are paid by self-employed people as a portion of their profits, calculated with income tax at the end of the year, based on figures supplied on the SA100 tax return. They do not form part of a qualifying contribution record for any benefits, including the state retirement pension.
People who are unable to work for some reason may be able to claim NIC credits. These are equivalent to Class 1 NICs, though are not paid for. They are granted either to maintain a contributions record while not working, or to those applying for benefits whose contribution record is only slightly short of the requirements for those benefits. In the latter case, they are unavailable to fill "gaps" in contribution records for some benefits.
The National Insurance number
Children born and resident in the UK are assigned an NI number (referred to internally as a NINO), and receive a plastic card of similar proportions to a credit card with the number raised on the front shortly before their 16th birthday. However, allocation of this number might occur a long time before this occasion (the date can usually be established from the prefix letters used), and siblings may have consecutive numbers - this is dependent on the payment of Child Benefit.
Persons from abroad looking to work in the UK, or those to whom a number was not initially allocated as children, may apply for a number through the Department for Work and Pensions (DWP). The prefixes used are typically different from those used in the normal run.
The format of the number is two letters, six digits, and one optional letter. The example used is typically AB123456C. It is usual to pair off the digits - such separators are seen on forms used by government departments (both internal and external, notably the P45).
In the case of AB 12 34 56 C, the first letter may be any other than D, F, I, Q, U and V. The second cannot be O. The six digits are sequentially issued (siblings who are few years apart may notice their numbers are consecutive when the numbers are issued together), and the suffix letter is A, B, C, D or absent. The number is unique without the last letter - if there is AB 12 34 56 C, then there will be no AB 12 34 56 D (though it is possible that there will be AB 12 34 57 D). A common (but non-fatal) error found on documents containing an individual's NI number is the final letter being incorrect, though this error is non-fatal in that an individual can be identified without the last letter.
It is worth noting that, while an individual may be issued with a second NI number when all traces of their original number has been lost, these numbers never change. Some accountants often mistakenly advise their customers of a change, particularly in the suffix letter, where A referred to employment, B to self-employment, etc. The actual meaning of the suffix letter dates back to before NIRS (see below), and referred to the quarter in which that individual's annual record card was due for return, and is roughly (but not directly) linked to their date of birth.
As Britain does not (yet) have a system of personal ID cards, and not everyone has a passport, the NI number is, along with the NHS number, the only system which provides every adult in the country with a code number. Consequently, NI numbers are sometimes used for identification purposes in other contexts which have nothing to do with their original National Insurance purpose.
NIRS
National Insurance contributions for all UK residents and some non-residents are recorded using the NIRS computer software package (pronounced "nurse"). NIRS stands for "National Insurance Recording System." NIRS is currently in its second generation and is known within the Civil Service as NIRS/2 ("nurse two").
The original NIRS was a more archaic system first used in 1975 without direct user access to its records. A civil servant working within the Contributions Office (NICO) would have to request paper printouts of an individual's account which could take up to two weeks to arrive. New information to be added to the account would be sent to specialised data entry operatives on paper to be input into NIRS.
NIRS/2 is a Microsoft Windows based system with several applications under its umbrella. These include individual applications to access or update an individual National Insurance account, to view employer's National Insurance schemes and a general work management application.
There has been some controversy regarding the NIRS/2 system from its inception in 1996 when problems with the new system attracting widespread media coverage. Due to computer problems deficiency notices which used to be sent out on an annual basis stopped being issued in 1996. The Inland Revenue is currently (as of August 2004) running an exercise to catch up on a backlog of deficiency notices for the 1996-97 to 2001-02 tax years on the instructions of the Paymaster General. The exercise is due for completion in March 2005. Deficiency notices are due to be issued on a annual basis again from October 2004..
- [http://www.hmrc.gov.uk/nic/ HM Revenue and Customs]
- [http://www.adviceguide.org.uk/nm/index/life/benefits/national_insurance_contributions_and_contributory_benefits.htm Adviceguide]
- [http://www.direct.gov.uk/Topics/Money/TaxBasics/TaxBasicsArticle/fs/en?CONTENT_ID=4015904&chk=ug1D8V Directgov]
- [http://www.govtalk.gov.uk/gdsc/html/frames/NationalInsuranceNumber-2-1-Release.htm UK Government Data Standards Catalogue - National Insurance Number] - The official UK government definition of the NI number format. Also includes links to the XML Schema data type definition in the CitizenIdentificationTypes schema published by the Office of the e-Envoy.
Category:National identification numbersCategory:British societyCategory:Taxation in the United KingdomCategory:Retirement
TGIF (ABC)
:This article is about the ABC programming block; for other meanings see: TGIF
TGIF is the slogan of a programming block on the ABCTV network.
The block of predominantly family-friendly situation comedies originally began with a sequence of TV shows in the 1988-89 season: Hebrew: "Head/Beginning [of the Hebrew] Month") is the name for the first day of every month in the Hebrew calendar. Although Rosh Chodesh is not considered a religious holiday it is observed with additional Jewish prayers, including the Psalms of Hallel ("praise") in all
Robyn Miller
Robyn Charles Miller (born April 22, 1960, in London, England, UK) co-founded Cyan Worlds (originally Cyan) with brother Rand Miller. After releasing a number of children's adventure "worlds", the brothers finally hit
The genus Berardius contains two species of beaked whale, Baird's Beaked Whale and Arnoux's Beaked Whale. The two species are so similar that some scientists (see e.g. [4]) regard their separation into distinct species as a historical anomaly. The two species are the largest of all beaked whales and collectively they are sometimes referred to as the giant beaked whales.
Baird's Beaked Whale was first described by Read More...
August Gustav Heinrich von Bongard
August Gustav Heinrich von Bongard (1786-1839) was a Germanbotanist, who worked at Saint Petersburg, Russia. He was among the first botanists to describe the new plants then being discovered in Alaska (under Russian ownership at the time), including species now of major commercial
