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Dopplereffekt

Dopplereffekt

Als Doppler-Effekt bezeichnet man die Veränderung der Frequenz von Wellen jeder Art, wenn sich die Quelle und der Beobachter einander nähern oder voneinander entfernen. Nähern sich Beobachter und Quelle einander, so erhöht sich die Frequenz, im umgekehrten Fall verringert sich die Frequenz. Bekanntes Beispiel ist die Tonhöhenänderung des Martinshorns eines Krankenwagens. Solange sich das Fahrzeug nähert, ist der Ton höher, wenn es sich entfernt, wird der Ton tiefer.

Begründung des Doppler-Effektes

Ton Ton Als Beispiel soll angenommen werden, dass das Martinshorn des Krankenwagens Schallwellen mit einer Frequenz von 1000 Hertz aussendet. Dies bedeutet, dass genau 1/1000 Sekunde nach der ersten Wellenfront eine zweite Wellenfront der gleichen Phase nachfolgt. Für einen Beobachter an der Straße erscheint dies anders. Wenn der Krankenwagen auf den Beobachter zufährt, hat die zweite Wellenfront bis zum Beobachter einen kürzeren Weg zurückzulegen als die erste. Sie kommt also beim Beobachter nicht 1/1000 Sekunde nach der ersten Wellenfront an, sondern ein wenig früher. Dadurch erscheint dem Beobachter die Frequenz beziehungsweise der Ton des Martinshornes höher. Quantitativ ergibt sich in diesem Fall (bei unbewegter Luft) für die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz f': :

f' = \frac.

Dabei bedeuten f die Frequenz der Schallquelle, c die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls und v die Geschwindigkeit der Schallquelle (also des Krankenwagens). Wenn der Krankenwagen am Beobachter vorbei gefahren ist, verhält es sich sinngemäß umgekehrt. Der Beobachter hört einen tieferen Ton mit der Frequenz :

f' = \frac.

Auch bei ruhender Schallquelle und bewegtem Beobachter tritt ein Doppler-Effekt auf. Wenn sich der Beobachter (bei unbewegter Luft) der Schallquelle nähert, hört er einen Ton der Frequenz :

f' = f (1 + \frac).

Entfernt sich der Beobachter dagegen von der Schallquelle, so ergibt sich: :

f' = f (1 - \frac)

(In den beiden letzten Formeln bezieht sich die Geschwindigkeit v natürlich auf den Beobachter.) Allgemein lässt sich der Frequenzunterschied schreiben als: :

f'=f ( \frac)

Dabei ist

v_D

die Geschwindigkeit des Empfängers (Detektor) und

v_S

die des Senders der Schallwellen, jeweils relativ zum Medium (z. B. der Luft). Das obere Operationszeichen gilt jeweils für Annäherung (Bewegung in Richtung des Sender bzw. Empfängers). Mit

v_D=0

oder

v_S=0

ergeben sich die oben genannten Spezialfälle. Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum (Optischer Doppler-Effekt) hängt die beobachtete Frequenzänderung nur von der relativen Geschwindigkeit von Quelle und Beobachter ab; ob sich dabei die Quelle, der Beobachter oder beide bewegen, hat keinen Einfluss auf die Höhe der Frequenzänderung. Formelmäßig erhält man: :

f' = f \sqrt

(Quelle und Beobachter nähern sich einander) :

f' = f \sqrt

(Quelle und Beobachter entfernen sich voneinander) Ein Spezialfall tritt auf, falls die Geschwindigkeit des Erregers exakt der Schallgeschwindigkeit entspricht. In diesem Fall würde sich der Erreger die gesamte Zeit mit der ersten Schallwelle bewegen. Die weiteren Schallwellen, die erzeugt werden, addieren sich mit dieser ersten Schallwelle immer weiter. Über lang oder kurz wird der Erreger aufgrund von Druckstörungen zerstört, da es zur Resonanzkatastrophe kommt. Deshalb fliegen Flugzeuge immer schneller oder langsamer als die Schallgeschwindigkeit. Der Doppler-Effekt tritt bei einer Relativbewegung zwischen Schall- oder Lichtquelle und Beobachter auf und äußert sich in einer Frequenzverschiebung. Die Schallgeschwindigkeit ist abhängig vom Medium, aber unabhängig vom Bewegungszustand des erzeugenden Körpers. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen ist unabhängig vom Bewegungszustand des Objektes. Bewegt sich das Objekt aber relativ zu einem Empfänger mit einer Geschwindigkeit v, so erreichen den Empfänger pro Zeiteinheit mehr Wellenzüge als bei einem ruhenden Objekt. Am Empfänger wird eine Frequenzerhöhung registriert. Ein ähnliches Resultat ergibt sich, wenn die Quelle ruht und sich der Empfänger mit Geschwindigkeit v zur Quelle hinbewegt. Wenn v sehr klein ist (v << c), dann sind die Formeln gleich und es ist egal wer sich bewegt. Ist v = c, ist es nicht mehr egal, wer sich bewegt (siehe Überschallknall). Wenn sich der Empfänger wegbewegt, kriegt er den Schall des Geschosses nicht mit.

Transversaler Dopplereffekt

Bewegt sich ein Objekt quer zum Beobachter, so ändert sich seine Entfernung zu ihm nicht; dementsprechend würde man hier auch keinen Dopplereffekt erwarten. Jedoch besagt die Relativitätstheorie, dass jedes Objekt aufgrund seiner Bewegung einer Zeitdilatation unterliegt, aufgrund der die Frequenz ebenfalls verringert wird. Diesen Effekt bezeichnet man als transversalen Dopplereffekt. Die Formel hierfür lautet :

f' = f\sqrt

wobei

c

hier die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Der transversale Dopplereffekt kann bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten (also Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit) allerdings vernachlässigt werden.

Anwendungen

Lichtgeschwindigkeitn für ein Supercluster weit entfernter Galaxien (BAS11) rechts im Vergleich zur Sonne links]] Sonne] Der Doppler-Effekt tritt bei Echos von ausgesendeten akustischen und elektromagnetischen Signalen auf. Beim Doppler-Radar berechnet man die Annäherungsgeschwindigkeit eines Objekts aus der gemessenen Frequenzänderung. In der Astronomie konnten Planeten außerhalb des Sonnensystems aufgrund der Frequenzverschiebung durch den Doppler-Effekt nachgewiesen werden. Sie entsteht durch die geringfügige Eigenbewegung des Sterns, welche durch umlaufende Planeten verursacht wird. Der Doppler-Effekt wird in der Literatur häufig auch dazu herangezogen die Expansion des Universums anhand der spektralen Rotverschiebung weit entfernter astronomischer Objekte zu erklären, was jedoch nicht zutreffend ist, da die kosmologische Rotverschiebung auf die Expansion des Raums zwischen Sender und Empfänger zurückzuführen ist, die eine Lichtwelle um den gleichen Betrag dehnt. Eine auf dem Doppler-Effekt basierende Berechnung der kosmischen Expansionsgeschwindigkeit führt daher bei größeren Entfernungen zu falschen Ergebnissen, da hier relativistische Effekte zu berücksichtigen sind. In der Medizin wird der akustische Dopplereffekt bei Ultraschalluntersuchungen ausgenutzt, um die Blutstromgeschwindigkeit darzustellen und zu messen. Dabei hat er sich als außerordentlich hilfreich erwiesen. Es gibt dabei einen:
- Farbdoppler:
- Rot: Fluss auf die Schallsonde zu
- Blau: Fluss von der Schallsonde weg
- pW-Doppler: gepulster Doppler (beispielsweise für Gefäßuntersuchungen)
- cW-Doppler: continuous wave Doppler (beispielsweise für Herzklappenmessungen) In der Meteorologie wird das Doppler-Radar zur Bestimmung von Rotationsbewegungen in Superzellen (Tornados) benutzt. Das Militär und die Flugüberwachung nutzen den Doppler-Effekt unter anderem beim Passiv-Radar. Für Wasserwellen (Schwerewellen), deren Trägermedium einer konstanten Strömungsgeschwindigkeit unterliegt, siehe unter Wellentransformation. Für die berührungslose Messung der Geschwindigkeitsverteilung von Fluiden (Flüssigkeiten und Gase) wird die Laserdoppler-Anemometrie (LDA) angewandt. Zur Geschwindigkeitsermittlung bei sog. Radarfallen im Straßenverkehr wird ein Doppler-Radar benutzt. Diese Dopplerverschiebungen führen im Mobilfunk zu Pegeleinbrüchen, welche in dem Begriff Fast-Fading zusammengefasst sind.

Entdeckung

Der Doppler-Effekt wurde nach dem österreichischen Physiker und Mathematiker Christian Doppler benannt, der ihn 1842 voraussagte. Doppler wollte die unterschiedlichen Farben der Sterne durch ihre Eigenbewegung erklären. Auch wenn er damit falsch lag - die Farben entstehen durch unterschiedliche Oberflächentemperatur der Sterne - war seine Berechnung im Prinzip richtig. Ein Experiment zum Doppler-Effekt mit Schallwellen wurde 1845 vom Physiker Christoph Buys-Ballot durchgeführt. Er postierte dazu mehrere Trompeter sowohl auf einem fahrenden Eisenbahnzug als auch neben der Bahnstrecke. Beim Vorbeifahren sollte jeweils einer von ihnen ein G spielen und die anderen die gehörte Tonhöhe bestimmen. Trotz Schwierigkeiten bei der Durchführung - das Geräusch der Lokomotive war sehr laut, die Musiker waren manchmal unaufmerksam - gelang es Buys Ballot, den Doppler-Effekt zu bestätigen. Armand Hippolyte Fizeau entdeckte den Effekt für Licht im Jahre 1848. William Huggins wendete den Doppler-Effekt auf Sternbewegungen an.

Weblinks

- [http://www.gravitation-zeit-theorie.com/Phasen.swf Animation zur kosmologischen Rotverschiebung]
- [http://www.naggel.com/~hendrik/2004/facharbeit.pdf Facharbeit: Erklärung, Herleitung und Überprüfung] Kategorie:Wellenlehre ja:ドップラー効果

Frequenz

Mit Frequenz von lat.: frequentia, "Häufigkeit", Formelzeichen f oder manchmal auch der griechische Buchstabe

\nu

, bezeichnet man allgemein die Anzahl von Ereignissen innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Im Speziellen sind mit diesen Ereignissen Perioden gemeint, somit ist die Frequenz der Kehrwert der Periode. Neben einer Ereignishäufigkeit pro Zeitintervall kann Frequenz auch eine Ereignishäufigkeit in einem bestimmten Gebiet bezeichnen, siehe dazu Ortsfrequenz. Die Einheit der Frequenz in Hertz, kurz: Hz ist abgeleitet von der SI-Basiseinheit Sekunde (s): :

1\mathrm=\frac

Ausgesprochen heißt die Formel: Die Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Die Einheit der Frequenz ist nach dem deutschen Physiker Heinrich Rudolf Hertz benannt.

Spezielle Frequenzbegriffe

Umlauffrequenz

Unter dem Begriff Umlauffrequenz oder Drehzahl n versteht man das Verhältnis der Anzahl der Umdrehungen U in einer benötigten Zeit, z.B. n = U/min. z ist die Anzahl der Umdrehungen während der Zeit t. t ist die Zeit und Dauer der Rotation. Der Drehwinkel ist φ. T ist die Umlaufdauer (Dauer einer Umdrehung). T = 1/n. Drehzahl n und Zahl der Umdrehungen z müssen sorgfältig unterschieden werden.
z = φ / 2 · π :

f =

T = Periodendauer :

f =

n = Schwingungsanzahl und t = Zeit
Weiterhin wird in der Physik häufig die Kreisfrequenz ω benutzt und anstatt der Frequenz f wird gern der griechische Buchstabe ν (Ny, sprich „nü“) genommen.

Frequenzen bei Wellen

Für die Frequenz f gilt:

f=\frac

, wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in einem Medium und $\lambda$ (lambda) seine Wellenlänge ist.
- λ = Wellenlänge einer elektromagnetischen Welle oder
- λ = Wellenlänge einer Schallwelle meistens in Luft
- c = Geschwindigkeit von Licht im Vakuum (Lichtgeschwindigkeit) = 299 792,458 km/Sekunde ~ 300 000 km/s = 300 000 000 m/s oder
- c = temperaturabhängige Geschwindigkeit von Schall in Luft (Schallgeschwindigkeit) = 343 m/s bei 20 °C.

Frequenzspektren

Rein sinusförmige Schwingungen kommen in der Natur nicht vor. Dies ist nicht nur in der Wellenform der Schwingung begründet, sondern auch in der zeitlichen Begrenztheit des Schwingungsvorgangs. Eine mathematisch exakte Sinuswelle ist dagegen zeitlich unbegrenzt, damit wäre der mit ihr verbundene Energieinhalt unendlich. Jeder zeitlich begrenzte Schwingungsvorgang, selbst wenn er ansonsten die Form einer Sinuskurve hat, ist dagegen immer eine Überlagerung mehrerer Frequenzen. Diese können in einem Frequenzspektrum dargestellt werden. Ein physikalisch realistischer Schwingungsvorgang besteht aus einem Gemisch unendlich vieler Frequenzen mit jeweils infinitesimalen Anteil der Einzelfrequenzen. Mathematisch kann man Frequenzen deshalb als Einheitsvektoren eines Vektorraums auffassen, die selbst nicht mehr Elemente dieses Vektorraumes sind. Jeder periodische Vorgang lässt sich durch die Summe der in ihm vorhandenen Frequenzen mit Hilfe der Fourieranalyse darstellen.

Beispiele

- Dauert eine Periode eine 0,01 Sekunde (10 ms), so ergibt sich eine Frequenz von: :

f==100 \ \mathrm

- Die Frequenz des Kammertons a' (eingestrichenes a), nach dem ein Orchester gestimmt wird, beträgt heute 440 Hz (oder geringfügig höher).
- Ein Kleinkind hört Töne mit Schwingungen bis ca. 20.000 Hz, Erwachsene hören diese hohe Frequenz nicht mehr.
- Die Frequenz des Wechselstroms im europäischen Stromnetz ist genau 50 Hz, etwa der Ton G.
- Im US-amerikanischen Stromnetz ist die Frequenz 60 Hz, etwa der Ton B. In älteren Tonaufnamen kann man manchmal ein tiefes Brummen von der Netzfrequenz hören. An der Tonhöhe kann man dann erkennen, ob eine Tonaufnahme z. B. in USA gemacht wurde. In den us-amerikanischen Stromnetzen brummt es eine kleine Terz höher als in denen Europas. Durch die Gleichrichtung der Wechselspannung ist die doppelte Netzfrequenz zu hören.
- Für Mobiltelefone (ugs. "Handy") werden unterschiedliche Frequenzbänder genutzt. Beispielhaft seien hier die Mobilfunknetze von GSM und UMTS genannt. Bei den GSM-Mobilfunknetzen wird beim D-Netz (in Deutschland D1 T-Mobile, D2 Vodafone) ein Frequenzband bei 900 MHz genutzt, das E-Netz (in Deutschland E-Plus, O₂ Germany) benutzt ein Frequenzband bei 1.800 MHz. Bei den UMTS-Mobilfunknetzen wird weltweit (bis auf Nordamerika) ein Frequenzband bei 2.100 MHz genutzt. In Nordamerika verwenden die Netze dagegen - sowohl für GSM- als auch UMTS-Mobilfunknetze - überwiegend das 1900 MHz-Band und das 850 MHz-Band.
- in der Medizin gilt: Der Puls f oder

\nu

(griechisch: ny) wird in Anzahl der Pulsschläge (Perioden) pro Minute gemessen. Siehe auch: Kreisfrequenz, Fourieranalyse, Liste interessanter Frequenzen

Weblinks

- [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-wellenlaenge.htm Umrechnung von Frequenz in Wellenlänge und zurück bei Schallwellen (Schall in Luft) und Radiowellen (Licht)]
- [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-periodendauer.htm Umrechnung von Frequenz f in Periodendauer T und zurück] Kategorie:Digitale Signalverarbeitung Kategorie:Elektrotechnik Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Wellenlehre ja:周波数 ko:진동수 th:ความถี่

Welle (Physik)

Eine Welle ist eine sich ausbreitende Schwingung oder Störung. Bekannt sind vor allem Schallwellen, Wasserwellen und Radiowellen. Wellen können als periodische Wellen (klingender Ton) oder als Stoßwellen (Knall) auftreten. Die wichtigsten Eingenschaften einer Welle sind ihre Amplitude (Lautstärke) und ihre Phasengeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) und Frequenz bzw. Wellenlänge (Tonhöhe).

Anschauliches Modell

Ein einzelnes Pendel führt, wenn man es anstößt, Schwingungen aus. Verbindet man nun mehrere nebeneinander befindliche Pendel durch Gummifäden und stößt ein Pendel an, so werden durch die Gummifäden auch die benachbarten Pendel in Schwingung versetzt, während das anfangs angestoßene Pendel dadurch wieder gebremst wird. So kommt das erste Pendel recht bald wieder zur Ruhe während sich nun weiter entfernte Pendel in Bewegung befinden. In diesem Modell sind die Pendel das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet. Ein einzelnes Pendel ist ein Teilchen dieses Modell-Mediums. Die Gummifäden stellen die Kopplung zwischen den Teilchen dar. Die Fortpflanzung oder Ausbreitung der Pendelbewegung ist die eigentliche Welle. Der Informationstransport besteht hierbei in der Tatsache, dass ein Beobachter eines entfernten Pendels einen Ausschlag sieht, nachdem das erste Pendel angestoßen wurde (wenn auch mit einem messbaren Zeitversatz).
Der Energietransport ist zu verstehen, wenn man neben einem entfernten Pendel eine Kugel ablegt. Nun kann man durch Anstoßen des ersten Pendels die Kugel am entfernten Pendel (wiederum nach kurzer Zeit) in Bewegung versetzen.

Wellentypen

Wellen können nach folgenden Kriterien klassifiziert werden: Allen Wellentypen ist gemeinsam, dass zwei unterschiedliche Größen, meist Energieformen, ineinander umgewandelt werden: Druck und Bewegung (Kinetische Energie) bei der Schallwelle, Lageenergie und Bewegung bei der Wasserwelle, Elektromagnetische Felder im physikalischen Modell für die Radiowelle. physikalischen Modell
- Medium Die meisten geläufigen Wellen sind an ein Medium gebunden.
So breitet sich Schall meist in Luft aus, Wasserwellen brauchen eine Wasseroberfläche.
- Longitudinalwellen: Die Schwingung/Störung des Mediums erfolgt parallel zur Ausbreitungsrichtung.
Der uns gut bekannte Schall ist eine Druckwelle, in Luft, in Festkörpern (Lärm dringt auch durch Fensterscheiben) oder in Flüssigkeiten (Walgesänge).
- Transversalwellen/Querwellen: Die Schwingung/Störung des Mediums erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Wasserwellen sind Oberflächenwellen. Sie breiten sich waagrecht aus, die Schwingung selbst erfolgt jedoch in der Senkrechten, Wasser hebt und senkt sich (vereinfachtes Modell).
- Unabhängig von einem Medium
Wellen können sich auch unabhängig von einem Medium, also auch im Vakuum, ausbreiten.
- Elektromagnetische Wellen
- Licht
- Radiowellen
- Röntgenstrahlung
- Gammastrahlung
- Teilchenstrahlen
Entsprechend dem Welle-Teilchen-Dualismus kann auch einem sich bewegenden Teilchen eine Wellenlänge zugeordnet werden. Diese Beschreibung führt direkt auf eine Wahrscheinlichkeitswelle.
- Wahrscheinlichkeitswellen
Die Quantentheorie beschreibt physikalische Vorgänge mit Hilfe sog. Wahrscheinlichkeitswellen. Diese Wellen sind weder beobachtbar noch direkt messbar. Sie dienen als abstraktes mathematisches Gerüst zur Beschreibung physikalischer Sachverhalte.

Mathematische Beschreibung

Wellenfunktion

Von Wellen spricht man bei Phänomenen, die der Wellengleichung (oder einer ihrer Derivate wie der Schrödingergleichung) genügen. Deren Lösungen sind Funktionen von der Gestalt :

\mathbf A\left(\mathbf r,t\right)

Dabei gibt

\mathbf A

die Auslenkung am Ort

\mathbf r

zur Zeit

t

an. Funktionen dieses Typs entsprechen der Vorstellung, dass Wellen räumlich ausgedehnte Schwingungen sind. Eine allgemeine Funktion für jede Art von Welle anzugeben ist dabei nicht ohne weiteres möglich. Häufig werden daher sehr einfache Lösungen der Wellengleichung herangezogen und die reale Welle als eine Überlagerung von vielen dieser Lösungen angesehen. Die gebräuchlichsten Elementarlösungen sind die Ebene Welle und die Kugelwelle. ; Ebene Welle :Diese zeichnen sich durch ihre ebenen Wellenfronten aus. Beispielsweise erzeugt ein Wellenbad Wasserwellen mit ebener Front. Die allgemeine mathematische Formulierung für eine Welle im dreidimensionalen Raum schaut in komplexer Schreibweise so aus: ::

\mathbf A(\mathbf r,t)=\Re \mathbf A_0\exp\left[i\left(\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t\right)\right]

:Eine Erläuterung der verwendeten Größen folgt weiter unten. Anschaulicher wird diese Formel für den Fall einer sich in

x

-Richtung ausbreitenden Welle: ::

\begin\mathbf A(x,t) &=& \mathbf \tilde A_0 \sin(kx-\omega t + \varphi_0) \\ &=& \mathbf \tilde A_0 \sin\left[2\pi \left(\frac - f t\right) + \varphi_0\right]\end

; Kugelwelle :Wellen dieser Art haben kugelförmige Wellenfronten. Ein Stein, der ins Wasser fällt, erzeugt solche Wellen. Die mathematische Formel für Kugelwellen lautet: ::

\mathbf A(\mathbf r,t)=\Re\frac \exp\left[i(kr-\omega t)\right]

, :mit

k=|\mathbf k|, r=|\mathbf r|

Physikalische Interpretation

Generell setzt sich eine Welle aus zwei Bestandteilen zusammen: Der Amplitude und der Phase.

Amplitude

Die Amplitude ist die maximale mögliche Auslenkung der Welle. Sie ist bei Wellen – im Gegensatz zu Schwingungen – eine vektorielle Größe, da neben der Stärke der Auslenkung auch deren Richtung entscheidend ist. Ist die Ausbreitungsrichtung parallel zur Amplitude, so spricht man von einer Longitudinalwelle, ist sie senkrecht, von einer Transversalwelle. In beiden Fällen ist die Intensität der Welle proportional zum Amplitudenquadrat.

Phase

Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist. Im Beispiel einer ebenen Welle ist :

\varphi=\mathbf k \cdot \mathbf r -\omega t

die Phase zum Zeitpunkt

t

am Ort

\mathbf r

. Wie sich hieran erkennen lässt, hängt die Phase von zwei Parametern ab – dem Wellenvektor

\mathbf k

und der Kreisfrequenz

\omega

(omega). ; (Kreis-)Frequenz : Die Frequenz ist ein Maß für Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit. Hat die Welle eine Periodendauer

T

, so lautet die Frequenz

f

: ::

f=\frac

: Häufig jedoch auch die Kreisfrequenz

\omega=2\pi f

kurz als Frequenz bezeichnet. ; Wellenvektor : Im Wellenvektor stecken zweierlei Informationen. Die Richtung des Vektors die Ausbreitungsrichtung der Welle an (z.B. radiale Richtung bei Kugelwellen). Den Betrag

k

des Vektors nennt man auch Wellenzahl, diese hat einen einfachen Zusammenhang mit der Wellenlänge

\lambda

(lambda): ::

\lambda=\frac

:Die Wellenlänge ist die räumliche Distanz zwischen zwei Punkten, bei denen sich die Welle wiederholt. Die Wellenzahl kann man folglich als eine Art „räumliche Frequenz“ ansehen. Frequenz und Wellenvektor einer Welle sind abhängig voneinander. Den Zusammenhang :

\omega=\omega(\mathbf k)

bezeichnet man als Dispersionsrelation. Diese hängt von der Wellenart wie auch dem Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, ab. Aus der Dispersionsrelation leitet sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ab. Man unterscheidet hierbei zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.

Überlagerung von Wellen

Gruppengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit In der Natur vorkommende Wellen sind in den seltensten Fällen reine monochromatische Wellen, sondern eine Überlagerung aus vielen Wellen unterschiedlicher Wellenlängen. Die Anteile der Wellenlängen werden als Spektrum bezeichnet. Beispiele:
- Sonnenlicht ist eine Überlagerung aus elektromagnetischen Wellen. Das Spektrum umfasst einen Wellenlängenbereich von Infrarot über sichtbares Licht bis Ultraviolett. Derartige Spektren bezeichnet man auch als kontinuierlich.
- Ein Musikton eines Instrumentes setzt sich zusammen aus einem Grundton und mehreren Oberschwingungen. Die unterschiedlichen Anteile an Oberschwingungen sind der Grund warum eine Posaune anders klingt als eine Flöte. Ein solches Spektrum heißt diskret, da es sich nur aus einzelnen Wellenlängen zusammensetzt. Mathematisch gesehen ist Wellenfunktion einer Überlagerung zweier Wellen lediglich die Addition von deren Wellenfunktionen. Man bezeichnet dies man als Superpositionsprinzip. Dabei kann es zu folgenden Effekten kommen. ; Interferenz : Überlagert man Wellen gleicher Wellenlänge und Frequenz, so kann es zu einer konstruktiven Verstärkung, aber auch zu einer teilweisen oder gar totalen Auslöschung der Welle kommen. Dieses Phänomen spielt im Alltag beim Radio eine Rolle – benachbarte Funkzellen strahlen einen Sender auf verschiedenen Frequenzen aus, um Interferenzen im Überlappungsbereich zu vermeiden. ; Stehende Welle : Bei Überlagerung zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen derselben Frequenz und Amplitude kommt zur Ausbildung von stehenden Wellen. Diese breiten sich nicht aus, sondern bilden räumlich konstante Schwingungsmuster: An den sogenannten Bewegungsbäuchen schwingen sie mit der verdoppelten Amplitude und der ursprünglichen Frequenz, an den dazwischenliegenden Bewegungsknoten ist die Amplitude zu allen Zeiten Null. Diese Erscheinung ist ein Sonderfall der Interferenz. Sie tritt insbesondere vor einer reflektierenden Wand auf oder auch zwischen zwei passend abgestimmten Wänden, die gemeinsam einen Resonator bilden. ; Schwebung : Eine Überlagerung zweier Wellen von benachbarter Frequenz, so kommt zu einer Schwebung. Die Amplitude einer solchen Welle nimmt periodisch zu und ab – je näher die Frequenzen beieinander liegen, desto (zeitlich) langsamer geschieht dieser Vorgang. Dieser Effekt wird beispielsweise beim Stimmen von Musikinstrumenten ausgenutzt. ; Wellenpaket : Die Überlagerung von Wellen mit allen Frequenzen aus einem Intervall erzeugt ein Wellenpaket. Hierbei zeigt die Einhüllende der Welle nur einen einzelnen Berg, vor und hinter diesem ist die Amplitude Null. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle – insbesondere in Medien – häufig frequenzabhängig ist, laufen solche Wellenpakete mit fortschreitender Zeit auseinander. Bei der Nachrichtenübermittlung mit Lichtpulsen über Glasfaserkabel muss dieses berücksichtigt werden.

Beispiele

Seegang: Energieformen: Lageenergie des Wassers und Bewegungsenergie des Wassers. Sonderfall: Bei Überlagerung zweier Wellenzüge ähnlicher Amplitude (das heißt hier: Wellenhöhe) aus unterschiedlicher Richtung spricht man von Kreuzsee, wobei sich zeitweise auch stehende Wellen (siehe oben) ausbilden können. Schallwellen: Energieformen: Druck und Schnelle der Luft. Elektromagnetische Wellen (z. B. Licht): Energieformen: elektrische Feldenergie und magnetische Feldenergie. Sie können jedoch im Rahmen des Welle-Teilchen-Dualismus auch Teilchencharakter zeigen. Autowellen Energieformen: Ionenströme an biologischen Membranen und Redoxreaktionen in chemischen Diffusions-Reaktions-Gemischen

Beobachter

Ein Beobachter (v. beobachten; Obacht-, auf etwas Acht geben) ist jemand, der etwas oder jemanden beobachtet. Der Begriff wird von Systemtheoretikern für eine Instanz oder eine Person (bzw. deren Tätigkeit) verwendet, die in einem Prozess der Grenzziehung oder Unterscheidung Etwas als von sich selbst verschieden betrachtet und sich auf dieses Etwas irgendwie bezieht. Damit ist klassischen Mechanik - ein System nicht beobachtet werden kann, ohne es zu beeinflussen. Daher gibt es hier zwei "Sätze" von Formeln: Einerseits die Zeitentwicklung des unbeobachteten Systems, und zweitens die Regeln zur Beobachtung. Die unterschiedliche Natur dieser zwei Formelsätze sind eines der Hauptprobleme bei der Interpretation der Quantenmechanik. Auch in der Relativitätstheorie wird von Beobachtern gesprochen, allerdings dient hier der Beobachter nur zur Auszeichnung eines bestimmten Bezugssystems. Seine Existenz hat keinen Einfluss auf das physikalische Geschehen selbst, sondern bestimmt nur dessen Beschreibung aus seiner Sicht. In der Regelungstechnik findet der Begriff des Beobachters Anwendung für der Regelstrecke parallel geschaltete Modelle, die aus den vorhandenen Messgrößen der Regelstrecke die nicht messbaren Zustände der Regelstrecke beobachten (schätzen). Diese geschätzen Zustandsgrößen können dann ebenfalls zur Regelung der Regelstrecke herangezogen werden und die Regelgüte verbessern. Diese Methode wird z.B. in der Automobiltechnik verwendet, um durch Einsparung von Sensoren die Kosten zu senken. Moderne Motoren kommen so mit einem einzigen Temperatursensor im gesamten Motor aus. Siehe auch: Reflexion (Philosophie), Strategie Kategorie:Kybernetik Kategorie:Systemtheorie Kategorie:Erkenntnistheorie Kategorie:Denken

Martinshorn

Als Folgetonhorn werden generell akustische Einrichtungen an Fahrzeugen bezeichnet, die mehrere Töne mit verschiedener Höhe abgeben. Heute bezeichnet es in Europa, da es für den Privatgebrauch verboten ist, einen Teil der Warnanlage (in Deutschland als Sondersignalanlage bezeichnet) von hierzu berechtigten Fahrzeugen bestimmter Hilfsorganisationen. Man spricht auch vom Einsatzhorn oder umgangssprachlich vom Martinshorn (siehe unten). Es erzeugt eine bestimmte Tonfolge, die andere Verkehrsteilnehmer warnen und dazu veranlassen soll, dem Einsatzfahrzeug freie Bahn zu gewähren. Es wird bei Einsatzfahrten mit dem Blaulicht kombiniert.

Erzeugung der Tonfolge

Die Erzeugung der Tonfolge kann auf unterschiedliche Weise gelöst werden: # mittels Kompressoranlage. Hierbei wird Druckluft über eine Ventilanlage wechselweise durch die verschieden gestimmten Fanfaren geleitet. # mittels Tonfolgerelais. Ein Relais steuert wechselweise die verschieden gestimmten Aufschlaghörner (im Prinzip „normale“ Autohupen) an. # elektronisch: Eine elektronische Schaltung erzeugt die Tonfolge, die dann mittels Lautsprecher wiedergegeben wird.

Deutschland

In Deutschland wird üblicherweise die Tonfolge a´ – d´ verwendet. Hier wird die Ausführung des Folgetonhorns durch DIN 14610 geregelt. Diese sieht zwei verschiedene Signale für Nutzung auf dem Land (bevorzugter Frequenzbereich von 2–4 kHz) und in der Stadt (bevorzugter Frequenzbereich 0,5–2 kHz) vor.

Der Begriff „Martinshorn“ oder „Martinhorn“

„Martinshorn“ (korrekt: „Martin-Horn“) ist vor allem in Deutschland ein umgangssprachlicher Begriff für das Folgetonhorn. Der Name leitet sich von einem Hersteller von Kompressor-Tonfolgeanlagen, der Firma Deutsche Signal-Instrumenten-Fabrik Max B. Martin, ab. Die 1880 gegründete Firma für Jagdhörner und Kavallerietrompeten entwickelte 1932 gemeinsam mit Polizei und Feuerwehren ein Mehrtonhorn, das in der Folge für Einsatzfahrzeuge gesetzlich vorgeschrieben wurde. Da die Fertigung bis zum Zweiten Weltkrieg exklusiv der Firma Martin oblag, wurde der Markenname „Martin-Horn“ zum Begriffsmonopol für Folgetonhörner.

Österreich

Im Gegensatz zu Deutschland ist es in Österreich nicht erforderlich, bei Einsatzfahrten Blaulicht und Folgetonhorn gemeinsam zu verwenden, es reicht die Verwendung eines dieser Signale. Üblicherweise wird nur das Blaulicht eingesetzt und in unübersichtlichen Verkehrssituationen zusätzlich das Folgetonhorn. Die (theoretisch mögliche) Verwendung von Horn ohne Blaulicht kommt praktisch nicht vor. Außerdem ist es in Österreich möglich, Einsatzfahrzeuge anhand ihrer Tonfolge zuzuordnen (Rettung, Feuerwehr, Polizei). Außer dem Folgetonhorn für Einsatzfahrzeuge ist die Abgabe von Tonfolgen verboten. Ein einzige Ausnahme gibt es für Autobusse der Post, sie dürfen die Tonfolge a-fis-a-d („Posthorn“) als normales Hupsignal verwenden.

Schweiz

Die Schweiz verwendet CIS' – GIS'.

Historisches

Vor allem in den südlichen Ländern war bis in die 1970er Jahre auch der private Gebrauch erlaubt. Dabei wurden vor allem markante Kurzmelodien gespielt. Sehr beliebt waren die Anfangstakte des River Quai-Marsches. Meist waren es Kompressorhörner, die durch eine drehende Scheibe verschiedene Hörner ansteuerten.

Siehe auch:

- Rundumkennleuchte, Rundumtonkombination Kategorie:Kraftfahrzeugtechnik Kategorie:Feuerwehr Kategorie:Sondersignal Kategorie:Führungs- und Einsatzmittel

Hertz (Einheit)

Hertz (Kurzzeichen Hz) ist die SI-Einheit für die Frequenz. Die Einheit wurde nach dem deutschen Physiker Heinrich Rudolf Hertz benannt. Das Hertz gibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an, allgemeiner auch die Anzahl von beliebigen sich wiederholenden Vorgängen pro Sekunde. 1 Hz = s^-1 = 1/s In der Schwingungsmesstechnik wird die Drehzahl einer Maschine oft in Hertz angegeben. Man spricht dann von Drehfrequenz. 1 Hz = 1 U/s = 60 U/min Häufig verwendete größere Einheiten sind
- das Kilohertz, kHz, tausend Schwingungen/Vorgänge pro Sekunde
- das Megahertz, MHz, eine Million Schwingungen/Vorgänge pro Sekunde
- das Gigahertz, GHz, eine Milliarde Schwingungen/Vorgänge pro Sekunde
- das Terahertz, THz, eine Billion Schwingungen/Vorgänge pro Sekunde Der Name "Hertz" wurde 1960 von der CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) von englischsprachigen Ländern übernommen und ersetzte den dort üblichen Namen für diese Einheit cycles per second = cps (Zyklen pro Sekunde). Darum findet man in älterer englischsprachiger Literatur statt Hertz noch immer cps.

Beispiele

Gegeben sei ein Seil, das an einer Seite festgemacht ist. Dieses Seil schwingt – mit etwas Geschick – als stehende Welle. Die Länge dieser Welle hängt von 2 Faktoren ab, der Geschwindigkeit der Wellenausbreitung, sowie der Frequenz, mit dem das Seil bewegt wird. Bei einer Flöte oder Pfeife schwingt nun Luft. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist hier deutlich höher und liegt etwa bei 330 Meter (Schallgeschwindigkeit) pro Sekunde. Hier ist eine Schwingung mit einer hörbaren Tonfrequenz wenige Zentimeter bis einige Meter lang. Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Beispielsweise hat dort eine Welle, mit einer Frequenz von einem Megahertz etwa die Wellenlänge von 300 Metern. Das bedeutet, wenn man beispielsweise eine Lampe eine Million Mal pro Sekunde ein- und ausschalten würde, so würde ein Betrachter in 150 Meter Entfernung die Lampe immer dann eingeschaltet sehen, wenn sie eigentlich ausgeschaltet ist. Bei Frequenzen im Gigahertz-Bereich ist die Wellenlänge (λ) viel kleiner, zum Beispiel: Wellenlänge im Mikrowellenofen ca. 12 cm, Wellenlänge beim heimischen Satellitenfernsehempfang ca. 2,5 cm.

Eselsbrücke

Das Herz eines Erwachsenen schlägt zwischen 50 und 80 mal pro Minute. Also mit einer Frequenz von ungefähr 1 Hz. Außerdem gilt für die Umrechnung der Wellenlänge in die Frequenz: Gelbes Licht von etwa 600 nm entsprechen einer Frequenz von 500 THz, was wiederum einer Energie von 2,5 eV (Elektronenvolt) entspricht.

Siehe auch

- Energiedosis
- Becquerel (Bq, ebenfalls 1/s)
- Curie (Ci, 3,7·10¹⁰/s)
- Rutherford (Rd, 10⁶/s)

Weblinks

Kategorie:SI-Einheit Kategorie:Theoretische Elektrotechnik ja:ヘルツ (単位) ko:헤르츠

Elektromagnetische Welle

Elektromagnetische Wellen sind die uns im Alltag neben Wasserwellen und Schallwellen am häufigsten begegnenden Arten von Wellen. Zu ihnen gehören unter anderem das sichtbare Licht und alle Arten in der Elektrotechnik auftretenden Rundfunkwellen. Im Gegensatz zu Schallwellen, handelt es sich bei elektromagnetischen Wellen, wie bei Wasserwellen, um Transversalwellen, d.h. Ausbreitungsrichtung und Schwingungsrichtung stehen senkrecht zueinander, was am Phänomen der Polarisation bemerkbar wird. Physikalisch betrachtet handelt es sich bei elektromagnetischen Wellen um sich ausbreitende Schwingungen des elektromagnetischen Feldes. Hierbei stehen elektrisches und magnetisches Feld senkrecht aufeinander und haben ein festes Größenverhältnis (in SI-Einheiten ist dieses gerade durch die Lichtgeschwindigkeit c gegeben). Insbesondere verschwinden elektrisches und magnetisches Feld an denselben Orten zur selben Zeit, so dass die häufig gelesene Darstellung, dass sich elektrische und magnetische Energie zyklisch ineinander umwandeln, nicht ganz korrekt ist. Sie stimmt allerdings z.B. für das Nahfeld eines elektromagnetische Wellen erzeugenden elektrischen Dipols oder Schwingkreises. Die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklärt sich aus den Maxwellgleichungen: Die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ist stets mit einer räumlichen Änderung des magnetischen Feldes verknüpft. Ebenso ist wiederum die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes mit einer räumlichen Änderung des elektrischen Feldes verknüpft. Für periodisch (insbesonders sinusförmig) wechselnde Felder ergeben diese Effekte zusammen eine fortschreitende Welle. Das Besondere an der elektromagnetischen Welle ist, dass kein Medium vorhanden sein muss; eine solche Welle kann sich also im absolut leeren Raum fortpflanzen. Im Gegenzug dazu stehen die Materiewellen, wie z. B. der Schall, die ein Medium zur Übertragung brauchen. Im Vakuum breitet sich eine elektromagnetische Welle mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit

c_0 = 299.\,792.\,458\;\mathrm

aus. Dieser Wert ist exakt, da die Einheit Meter durch die Lichtgeschwindigkeit c definiert ist, und gilt unabhängig von der Frequenz der Welle. In einem Medium (also in Materie) verringert sich die Geschwindigkeit abhängig von der Permittivität und der Permeabilität des Stoffes. Zudem wird sie abhängig von der Frequenz der Welle (Dispersion), sowie (je nach Medium) abhängig von ihrer Polarisation und ihrer Ausbreitungsrichtung. Eine direkte Krafteinwirkung (z.B. Richtungsänderung) auf eine sich ausbreitende elektromagnetische Welle kann nur durch das Ausbreitungsmedium (Begrenzungen wie Spiegel eingeschlossen) oder die Gravitationskraft erfolgen. Elektromagnetische Wellen sind im elektromagnetischen Spektrum nach der Wellenlänge sortiert (eine Liste von Frequenzen und Beispiele elektromagnetischer Wellen gibt es im dortigen Artikel). Das am besten bekannte und am meisten studierte Beispiel einer elektromagnetischen Welle ist das sichtbare Licht. Beim Licht bestimmt die Frequenz beziehungsweise die Wellenlänge die Farbe des Lichtes. Monochromatisches Licht, also Licht nur einer einzigen Wellenlänge, hat stets eine Spektralfarbe. Spektralfarbe Bei elektromagnetischen Wellen äußerst geringer Intensität oder bei den kurzwelligen Erscheinungsformen der elektromagnetischen Wellen (beispielsweise Gammastrahlung) genügt das oben beschriebene Wellenmodell nicht mehr, um alle beobachtbaren Phänomene zu beschreiben, vielmehr treten die Teilcheneigenschaften einzelner Photonen, der Quanten des elektromagnetischen Feldes, in den Vordergrund. Der Wellencharakter (etwa Interferenz) tritt dagegen zurück. Im Rahmen dieser Teilchenvorstellung des Lichtes wird jeder Frequenz

\nu

die Energie eines einzelnen Photons

h\cdot\nu

zugeordnet. Beide Aspekte elektromagnetischer Strahlen werden theoretisch im Rahmen der Quantenelektrodynamik erörtert. Einige neuere Theorien, zum Beispiel die Loop-Quantengravitation, sagen eine geringe Frequenzabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum voraus.

Mathematische Beschreibung

Die Existenz elektromagnetischer Wellen folgt aus den Maxwellgleichungen. Sie wurden 1865 von James Clerk Maxwell theoretisch postuliert, bevor Heinrich Rudolf Hertz sie 1888 experimentell nachweisen konnte. An dieser Stelle sollen zunächst elektromagnetische Wellen im Vakuum betrachtet werden, also Wellen im ladungsfreien Raum unter Ausschluss von dielektrischen, dia- und paramagnetischen Effekten (

\vec D = \varepsilon_0 \vec E

und

\vec B = \mu_0 \vec H

, siehe Materialgleichungen der Elektrodynamik). Stromdichte j und Ladungsdichte ρ sind Null. Man geht zunächst von der dritten maxwellschen Gleichung aus (mit j=0): :

(1) \  \operatorname \vec E = -

und wendet auf beide Seiten den Rotationsoperator an. Zum einen erhält man dadurch :

\operatorname \  \operatorname \vec E = - \operatorname \left(  \right)

= - \mu_0  \left( \operatorname \vec H \right),

und setzt die vierte maxwellsche Gleichung ein, :

= - \mu_0  \left(  \right)

(2) \  = - \mu_0 \varepsilon_0

Zum anderen gilt ganz allgemein die vektoranalytische Beziehung :

\operatorname \  \operatorname \vec A = \operatorname \  \operatorname \vec A - \Delta \vec A

mit dem Laplace-Operator Δ :

\Delta = \partial^2 / \partial x^2 + \partial^2 / \partial y^2 + \partial^2 / \partial z^2

. Wendet man diese Beziehung auf (1) an, und bedenkt man, dass der ladungsfreie Raum betrachet wird, in dem nach der ersten maxwellschen Gleichung die Divergenz von D Null ist, so ergibt sich :

\operatorname \ \operatorname\vec E = \operatorname \ \operatorname \vec E - \Delta \vec E

= \operatorname \  0 - \Delta \vec E

(3) \  = - \Delta \vec E

. Setzt man nun (2) und (3) zusammen ergibt sich folgende Wellengleichung :

(4)  \  \Delta \vec E = \mu_0 \varepsilon_0

. Fast alle Wellen lassen sich durch Gleichungen der Form :

(5) \   = v^2 f

beschreiben, wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen ist die Lichtgeschwindigkeit c. Für sie gilt daher : $c^2 =$ . Damit erhält man also aus (4) die Gleichung : $= c^2 \Delta \vec E,$ die für jede Komponente eine Wellengleichung der Form (5) darstellt. Ihre Lösungen sind Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Breitet sich die Welle in linearen Materialien mit dem Dielektrizitätskonstante ε und der Permeabilität μ aus, so ist die Lichtgeschwindigkeit c etwas niedriger, nämlich : $c=,$ wobei im aber allgemeinen die Materialkonstanten nicht linear sind, sondern selbst z.B. von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen. Während das Licht sich in der Luft immer noch fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit c ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für Wasser schon nicht mehr, was u.a. den Tscherenkow-Effekt ermöglicht. Weiterhin ist auch eine mathematische Beschreibung mit Hilfe von Potenzialen moeglich, denn wegen : $(1) \quad \nabla \cdot \left(\nabla \times \vec A \right) = 0$ und : $(2) \quad \nabla \cdot \vec B = 0$ kann der Feldvektor der magnetischen Flussdichte auch als Rotation eines Vektorfeldes A aufgefasst werden. A wird deshalb das Vektorpotenzial von B genannt und es gilt: : $(3) \quad \vec B = \nabla \times \vec A$ Diese Beziehung kann nun weiter verwendet werden. Die Rotation des elektrischen Feldes ist bestimmt durch : $(4) \quad \nabla \times \vec E = -$ Setzt man nun die eben gewonnene Beziehung aus (3) in (4) ein, so erhaelt man : $(5) \quad \nabla \times \vec E = - \nabla \times \vec A$ und daraus folgt : $(6) \quad \nabla \times \left \lbrack \vec E + \right \rbrack = 0$ Nun verschwindet aber die Rotation eines jeden Gradienten, so dass der innere Ausdruck von (6) als Gradient einer skalaren Funktion aufgefasst werden kann: : $(7) \quad - \nabla \phi = \vec E +$ : $(8) \quad \vec E = - \nabla \phi -$ Dies kann nun wieder in den ursprünglichen Maxwell-Gleichungen verwendet werden. Mit : $(9)\quad \nabla \cdot \vec E =$ : $(10) \quad \nabla \times \vec B = \mu \kappa \vec E + \mu \epsilon$ und (8) und der Beziehung : $\quad \nabla \times \nabla \times \vec A = \nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A$ erhaelt man : $(11) \quad \nabla^2 \phi + \nabla \cdot \vec A = -$ : $(12) \quad \nabla^2 \vec A - \mu \epsilon - \mu \kappa - \nabla \left \lbrack \nabla \cdot \vec A + \mu \epsilon + \mu \kappa \phi \right \rbrack = 0$ Um diese Gleichungen (11) und (12) voneinander zu entkoppeln, wird verlangt, dass der Term unter dem Gradienten in (12) verschwindet (siehe Eichtransformation), also : $(13) \quad \nabla \cdot \vec A + \mu \epsilon + \mu \kappa \phi = 0$ Ist die Bedingung aus (13) erfüllt, so ergibt sich aus (12) automatisch die Wellengleichung für das Vektorpotenzial A mit : $(14) \quad \nabla^2 \vec A - \mu \epsilon - \mu \kappa = 0$ und aus (11) und (13) die Wellengleichung der skalaren Potenzialfunktion mit : $(15) \quad \nabla^2 \phi - \mu \epsilon - \mu \kappa = -$ Im quellfreien Vakuum folgt : $(16) \quad \nabla^2 \vec A - \mu_0 \epsilon_0 = 0$ : $(17) \quad \nabla^2 \phi - \mu_0 \epsilon_0 = 0$ Diese Beschreibung elektromagnetischer Phänomene kann durch Eichtransformation an verschiedene Probleme angepasst werden um diese zu vereinfachen. In der Quantenmechanik wird dem Vektorpotenzial des magnetischen Feldes oft eine fundamentalere Rolle als der Feldgroesse selbst zugeschrieben. Das Vektorpotenzial ist naemlich selbst dann vorhanden, wenn das magnetische Feld verschwindet. Dieses Phaenomen ist unter dem Namen Aharonov-Bohm-Effekt bekannt. Experimentell kann das Vektorpotenzial durch Interferenz von Elektronenstrahlen nachgewiesen werden, die an einem abgeschirmnten Magnetfeld vorbeilaufen. Die Elektronen werden durch das Magnetfeld also nicht beeinflusst. Dennoch werden die Interferenzmuster durch den Zustand des Feldes veraendert. Als Ursache wird das Vektorpotenzial angenommen, das auch bei nicht vorhandenem B-Feld existieren kann. Diese Ansicht ist jedoch umstritten.
Siehe auch

- Welle (Physik)
- Licht
- Radar
Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph12/materialseiten/m05_elma_wellen.htm Versuche und Aufgaben]
- [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-wellenlaenge.htm Umrechnung: Frequenz in Wellenlänge und zurück - Elektromagnetische Wellen und Schallwellen]
- [http://www.mpg.de/bilderBerichteDokumente/dokumentation/pressemitteilungen/2004/pressemitteilung20040827/ Forscher machen erstmals Lichtwellen sichtbar] Kategorie:Elektrodynamik Kategorie:Theoretische Elektrotechnik Kategorie:Wellenlehre Kategorie:Spektroskopie ja:電磁波 ko:전자기파

Relativitätstheorie

Die Relativitätstheorie befasst sich mit der Struktur von Raum und Zeit sowie mit dem Wesen der Gravitation. Sie besteht aus zwei maßgeblich von Albert Einstein geschaffenen physikalischen Theorien, der 1905 veröffentlichten speziellen Relativitätstheorie und der 1916 abgeschlossenen allgemeinen Relativitätstheorie. Die spezielle beschreibt das Verhalten von Raum und Zeit aus der Sicht von Beobachtern, die sich relativ zueinander bewegen, und die damit verbundenen Phänomene. Darauf aufbauend führt die allgemeine Relativitätstheorie die Gravitation auf eine Krümmung von Raum und Zeit zurück, die unter anderem durch die beteiligten Massen verursacht wird. Die Relativitätstheorie hat das Verständnis von Raum und Zeit revolutioniert und Phänomene aufgedeckt, die sich der anschaulichen Vorstellung entziehen. Die betreffenden Phänomene lassen sich jedoch mathematisch präzise beschreiben und sind experimentell bestens bestätigt. Die Relativitätstheorie stellt eine der beiden Säulen des Theoriengebäudes der Physik dar. Die Vereinigung mit der Quantentheorie, die die zweite Säule repräsentiert, steht noch aus und zählt zu den größten Herausforderungen der physikalischen Grundlagenforschung. Beide Theorien enthalten ihren Vorgänger, die newtonsche Physik, als Grenzfall und erfüllen damit das sogenannte Korrespondenzprinzip. In diesem Artikel werden die grundlegenden Strukturen und Phänomene lediglich zusammenfassend aufgeführt. Für Erläuterungen und Details siehe die Artikel spezielle Relativitätstheorie und allgemeine Relativitätstheorie sowie die Verweise im Text.

Die spezielle Relativitätstheorie

Relativität von Raum und Zeit

Die beiden folgenden Feststellungen lassen sich als Axiome der Relativitätstheorie interpretieren, aus denen sich letztlich alles Weitere herleitet: Axiom
- Messen verschiedene Beobachter die Geschwindigkeit eines Lichtstrahls relativ zu ihrem Standort, so kommen sie unabhängig von ihrem eigenen Bewegungszustand zum selben Ergebnis. Dieses sogenannte Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist mit unserem Alltagsverständnis von Raum und Zeit nicht erklärbar, sondern erscheint paradox.
- Die physikalischen Gesetze haben für alle Beobachter, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, das heißt keiner Beschleunigung unterliegen, dieselbe Gestalt. Diesen Umstand nennt man Relativitätsprinzip. Man spricht von Inertialsystemen, in denen sich diese Beobachter befinden. Zur Auflösung des obigen scheinbaren Paradoxons müssen intuitive Vorstellungen von einem absoluten Raum und einer absoluten Zeit aufgegeben werden: Raum- und Zeitangaben sind in der Relativitätstheorie keine universell gültigen Ordnungsstrukturen, sondern der räumliche und zeitliche Abstand zweier Ereignisse und damit wird auch ihre Gleichzeitigkeit von Beobachtern mit verschiedenen Bewegungszuständen unterschiedlich beurteilt. Die Frage, wer die Situation korrekt beschreibt, ist prinzipiell nicht zu beantworten und daher sinnlos. Bewegte Objekte erweisen sich im Vergleich zum Ruhezustand in Bewegungsrichtung als verkürzt, und bewegte Uhren als verlangsamt. Diese Längenkontraktion und Zeitdilatation lassen sich vergleichsweise anschaulich anhand von Minkowski-Diagrammen und anhand des bekannten Zwillingsparadoxons nachvollziehen. In der mathematischen Formulierung ergeben sie sich aus der Lorentz-Transformation, die den Zusammenhang zwischen den Raum- und Zeitkoordinaten der verschiedenen Beobachter beschreibt. Diese Transformation lässt sich direkt aus den beiden obigen Axiomen und der Annahme, dass sie linear ist, herleiten. Alle diese Phänomene machen sich erst bei Geschwindigkeiten bemerkbar, die im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ins Gewicht fallen, so dass sie im Alltag nicht auffallen.

Äquivalenz von Masse und Energie

Einem System mit der Masse m lässt sich auch im unbewegten Zustand eine Energie E zuordnen und zwar nach

E = m \cdot c^2

wobei c die Geschwindigkeit des Lichtes ist. Diese Formel ist eine der berühmtesten in der Physik. Oft wird irreführend behauptet, sie habe die Entwicklung der Atombombe ermöglicht. Richtig ist, dass damit der Mechanismus der Atombombe nicht erklärt werden kann. Allerdings konnte mit dieser Formel und den schon bekannten Massen der Atome die enorme Freisetzung von Energie bei der Kernspaltung berechnet werden – schon bei deren Entdeckung durch Lise Meitner. Diese Massenabnahme tritt auch bei chemischen Reaktionen auf, war jedoch für die damaligen Messmethoden zu klein, anders als im Fall von Kernreaktionen.

Vereinigung von Raum und Zeit zur Raumzeit

Raum und Zeit erscheinen in den Grundgleichungen der Relativitätstheorie formal weitgehend gleichwertig nebeneinander und lassen sich daher zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigen. Der Umstand, dass wir Raum und Zeit als unterschiedliche Phänomene wahrnehmen, sowie alle anderen Unterschiede zwischen Raum und Zeit, lassen sich letztlich auf ein einziges Vorzeichen zurückführen, durch das sich die Art und Weise, wie ein Abstand im euklidischen Raum definiert wird, von der Bestimmung des Abstands in der vierdimensionalen Raumzeit unterscheidet. Aus gewöhnlichen Vektoren werden dabei Vierervektoren.

Lichtgeschwindigkeit als Grenze

Kein Objekt, keine Welle und damit auch keine Information kann sich schneller bewegen als das Licht. Nähert sich die Geschwindigkeit eines materiellen Objektes der Lichtgeschwindigkeit, so strebt der Energieaufwand für eine weitere Beschleunigung über alle Grenzen. Zum Erreichen der Lichtgeschwindigkeit müsste unendlich viel Energie aufgebracht werden. Dieser Umstand ist eine Folge der Struktur von Raum und Zeit und keine Eigenschaft des Objekts, wie beispielsweise eines lediglich unvollkommenen Raumschiffes. Könnte sich ein Objekt mit Überlichtgeschwindigkeit von A nach B bewegen, so könnte man immer Beobachter finden, die eine Bewegung von B nach A wahrnehmen würden, wiederum ohne dass die Frage, wer die Situation korrekt beschreibt, einen Sinn gäbe. Das Kausalitätsprinzip wäre dann verletzt, da die Reihenfolge von Ursache und Wirkung nicht mehr definiert wäre. Ein solches Objekt würde sich übrigens für jeden Beobachter mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen.

Das Relativitätsprinzip

Aus dem Relativitätsprinzip folgt unmittelbar, dass es keine Möglichkeit gibt, eine absolute Geschwindigkeit eines Beobachters im Raum zu definieren beziehungsweise zu ermitteln, da es andernfalls im Widerspruch zum Relativitätsprinzip ein absolut ruhendes Bezugssystem gäbe, für das die Gesetze der Physik eine besonders einfache Gestalt annehmen würden. So scheiterten auch alle entsprechenden Versuche wie beispielsweise das berühmte Michelson-Morley-Experiment von 1887, mit dem man die Existenz eines im Kosmos ruhenden Äthers als Träger elektromagnetischer Wellen nachweisen wollte. Das Relativitätsprinzip an sich ist wenig spektakulär, denn es gilt auch für die newtonsche Mechanik. Es widersprach vor den Entdeckungen Einsteins jedoch den Gesetzen der Elektrodynamik und man neigte dazu, es aufzugeben. Durch die Aufgabe der konventionellen Vorstellungen von Raum und Zeit gelang es Einstein, den Widerspruch aufzulösen. Nicht zufällig waren es Experimente und Überlegungen zur Elektrodynamik, die zur Entdeckung der Relativitätstheorie führten. So lautete der unscheinbare Titel der einsteinschen Publikation von 1905 „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“, der nicht gerade einen Umsturz der bis dahin gültigen Vorstellungen von Raum und Zeit erwarten ließ.

Magnetfelder in der Relativitätstheorie

Die Existenz magnetischer Kräfte ist untrennbar mit der Relativitätstheorie verknüpft. Eine isolierte Existenz des coulombschen Gesetzes für elektrische Kräfte wäre nicht mit der Struktur von Raum und Zeit verträglich. So sieht ein Beobachter, der relativ zu einem System statischer elektrischer Ladungen ruht, kein Magnetfeld, anders als ein Beobachter, der sich relativ zu ihm bewegt. Übersetzt man die Beobachtungen des ruhenden Beobachters über eine Lorentz-Transformation in die des bewegten, so stellt sich heraus, dass dieser neben der elektrischen Kraft eine weitere wahrnimmt, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Struktur völlig mit den bekannten Gesetzen für Magnetfelder deckt. Die Existenz des Magnetfeldes in diesem Beispiel lässt sich daher auf die Struktur von Raum und Zeit zurückführen. Unter diesem Gesichtspunkt wirkt auch die im Vergleich zum Coulombgesetz komplizierte und auf den ersten Blick wenig plausible Struktur des vergleichbaren Biot-Savartschen Gesetzes für Magnetfelder weniger verwunderlich. Im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie werden das elektrische und das magnetische Feld zu einer Einheit, dem vierdimensionalen elektromagnetischen Feldstärketensor, zusammengefasst, ganz analog zur Vereinigung von Raum und Zeit zur vierdimensionalen Raumzeit. Siehe auch: Spezielle Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie

Gravitation und die Krümmung des Raumes

Die allgemeine Relativitätstheorie führt die Gravitation auf ein geometrisches Phänomen in einer gekrümmten Raumzeit zurück, indem sie feststellt:
- Masse krümmt die Raumzeit in ihrer Umgebung.
- Ein Gegenstand, auf den nur gravitative Kräfte wirken, bewegt sich zwischen zwei Punkten in der Raumzeit stets auf einer sogenannten Geodäte. Entzieht sich die vierdimensionale Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie bereits einer anschaulichen Vorstellbarkeit, so gilt das für eine zusätzlich gekrümmte Raumzeit erst recht. Zur Veranschauung kann man jedoch Situationen mit reduzierter Anzahl von Dimensionen betrachten. So entspricht im Fall einer 2-dimensionalen gekrümmten Landschaft die geradlinige Strecke dem Weg, den ein Fahrzeug mit geradeaus fixierter Lenkung nehmen würde. Würden zwei solche Fahrzeuge am Äquator nebeneinander exakt parallel Richtung Norden starten, dann würden sie sich am Nordpol treffen. Ein Beobachter, dem die Kugelgestalt der Erde verborgen bliebe, würde daraus auf eine Anziehungskraft zwischen den beiden Fahrzeugen schließen. Es handelt sich aber um ein rein geometrisches Phänomen. Gravitationskräfte werden daher in der allgemeinen Relativitätstheorie gelegentlich auch als Scheinkräfte bezeichnet. Da der geodätische Weg durch die Raumzeit von ihrer Geometrie und nicht von der Masse des fallenden Körpers abhängt, fallen alle Körper im Gravitationsfeld gleich schnell, wie bereits Galilei feststellte. Dieser Umstand wird in der newtonschen Mechanik durch die Äquivalenz von träger und schwerer Masse beschrieben, die auch der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegt.

Uhren im Gravitationsfeld

In der allgemeinen Relativitätstheorie hängt der Gang von Uhren nicht nur von ihrer relativen Geschwindigkeit ab, sondern auch von ihrem Ort im Gravitationsfeld. Eine Uhr auf einem Berg geht schneller als eine im Tal. Dieser Effekt ist zwar im irdischen Gravitationsfeld nur gering, er wird jedoch beim GPS-Navigationssystem zur Vermeidung von Fehlern bei der Positionsbestimmung über eine entsprechende Frequenzkorrektur der Funksignale berücksichtigt.

Die mathematische Struktur der allgemeinen Relativitätstheorie

Während die spezielle Relativitätstheorie auch mit relativ geringen mathematischen Kenntnissen nachvollziehbar ist, ist die allgemeine Relativitätstheorie deutlich anspruchsvoller. Die Beschreibung einer krummen Raumzeit erfolgt mit den Methoden der Differentialgeometrie, die die euklidische Geometrie des uns vertrauten flachen Raumes ablöst. Die Entstehung der Krümmung wird durch die einsteinschen Feldgleichungen beschrieben. Dabei handelt es sich um Differentialgleichungen eines Tensorfeldes mit zehn Komponenten, die nur in speziellen Fällen analytisch, das heißt in Form einer mathematischen Gleichung, lösbar sind.

Kosmologie

Während die spezielle Relativitätstheorie bei Anwesenheit von Massen nur in Gebieten der Raumzeit gilt, die so klein sind, dass die Krümmung vernachlässigt werden kann, kommt die allgemeine Relativitätstheorie ohne diese Einschränkung aus. Sie kann somit auch auf das Universum als Ganzes angewandt werden und spielt daher in der Kosmologie eine zentrale Rolle. So wird die Expansion des Weltalls, die die Astronomen beobachten, durch die friedmannschen Lösungen der einsteinschen Feldgleichungen in Kombination mit einer sogenannten kosmologischen Konstanten angemessen beschrieben. Danach begann diese Expansion mit dem Urknall, der nach den jüngsten Untersuchungen vor 13,7 Milliarden Jahren stattgefunden hat, und der auch als der Beginn von Raum und Zeit angesehen werden kann. Dabei war das gesamte Universum auf einem Raumgebiet vom Durchmesser der Planck-Länge konzentriert.

Schwarze Löcher

Eine weitere Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie sind Schwarze Löcher. Einstein konnte sich mit diesem Gedanken nicht anfreunden, und meinte, es müsse einen Mechanismus geben, der die Entstehung solcher Objekte verhindert. Heutige Beobachtungen legen aber nahe, dass es solche Schwarzen Löcher im Universum tatsächlich gibt und zwar als Endstadium der Sternentwicklung bei sehr massereichen Sternen und in den Zentren nahezu aller Galaxien.

Gravitationswellen

Schließlich folgt aus der allgemeinen Relativitätstheorie die Existenz von Gravitationswellen, lokalen Deformationen der Raumzeit, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Sie sollten bei der Beschleunigung von Massen entstehen. Diese Deformationen sind jedoch dermaßen klein, dass sie sich bis heute einem direkten Nachweis entzogen haben. Die Supernovaexplosion im Jahre 1987 in unserer astronomischen Nachbarschaft sollte Gravitationswellen erzeugt haben, die nachweisbar gewesen wären. Diese Jahrhundertchance wurde jedoch verpasst, da mangels Absprache sämtliche Gravitationswellendetektoren weltweit in den entscheidenden Sekunden zu Wartungszwecken abgeschaltet waren. Immerhin konnte aus Beobachtungen an Doppelsternsystemen mit Pulsaren die Existenz von Gravitationswellen indirekt bestätigt werden. Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie

Entstehungsgeschichte

Überwindung der euklidischen Geometrie

Bereits vor Einstein hatte es Überlegungen zur mathematischen Struktur des Raumes gegeben. So stellten die Mathematiker János Bolyai, Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und Carl Friedrich Gauß bereits Anfang des 19. Jahrhunderts fest, dass nicht unbedingt eine euklidische Geometrie des Raumes vorliegen müsse, und begannen, eine nichteuklidische Geometrie zu entwickeln. Diese Arbeiten blieben jedoch lange Zeit unbeachtet. Carl Friedrich Gauß publizierte seine diesbezüglichen Ergebnisse überhaupt nicht. Zwischen 1818 und 1826 leitete Gauß die Hannoversche Landesvermessung und entwickelte dabei Verfahren mit erheblich gesteigerter Genauigkeit. In diesem Zusammenhang entstand die Vorstellung, er habe empirisch nach einer Krümmung des Raumes gesucht, indem er die Winkelsumme in einem Dreieck vermaß, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Göttingen gebildet wird. Sie wird heute mehrheitlich als Legende angesehen, auch wenn die Möglichkeit, Gauß habe nach Abweichungen vom üblichen Wert der Winkelsumme von 180° gesucht, nicht mit letzter Konsequenz ausgeschlossen werden kann. Die Genauigkeit seiner Instrumente hätte jedoch für den Nachweis der winzigen Krümmung des Raumes im Gravitationsfeld der Erde bei weitem nicht ausgereicht. Sie ist auch heute noch nicht möglich. Gauß' Schüler Bernhard Riemann war es, der die Differentialgeometrie krummer Räume entwickelte und 1854 vorstellte, ein Thema, das seinerzeit kaum jemand für relevant gehalten haben dürfte. Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro und Elwin Bruno Christoffel bauten die Differentialgeometrie weiter aus. Einstein fand in ihren Arbeiten einen wahren Schatz an mathematischen Werkzeugen für seine allgemeine Relativitätstheorie.

Ätherwind und Lorentztransformation

Mit seinen 1865 veröffentlichten Feldgleichungen hatte James Clerk Maxwell eine geschlossene Theorie von Elektrizität, Magnetismus und Optik vorgelegt, die in den folgenden Jahrzehnten experimentell glänzend bestätigt wurde. Beim Wechsel in ein bewegtes Koordinatensystem änderten die maxwellschen Gleichungen jedoch ihre mathematische Gestalt. Das war ein klarer Verstoß gegen das galileische Relativitätsprinzip und warf die Frage auf, warum Experimente zur Überprüfung der maxwellschen Theorie nicht durch die Eigenbewegung der Erde beeinträchtigt wurden. Optik Maxwell stellte sich elektromagnetische Wellen als an ein stoffliches Medium gebunden vor. Man bezeichnete dieses Medium als "den Äther". Als die Verletzung des Relativitätsprinzips bemerkt wurde, schloss man, dass auf der bewegten Erde eine Art Gegenwind, den man Ätherwind nannte, nachweisbar sein müsse. Alle Versuche zum experimentellen Nachweis des Ätherwindes scheiterten jedoch; Michelson und Morley konnten 1887 interferometrisch nachweisen, dass die Geschwindigkeit der Erde relativ zum Äther keinesfalls größer als ein Viertel der Bahngeschwindigkeit der Erde sein kann. Doch erst um das Jahr 1900 sprachen namhafte Physiker, darunter Paul Drude und Henri Poincaré, ihre Zweifel an der Existenz des Äthers aus. 1887 entdeckte Woldemar Voigt in einer Arbeit über den Doppler-Effekt, dass bestimmte Gleichungen beim Wechsel in ein bewegtes Koordinatensystem ihre Form behalten, sofern man Orts- und Zeitkoordinaten nicht unabhängig voneinander transformiert, sondern in bestimmter Weise verkoppelt. Unabhängig von Voigt wurde diese Koordinatentransformation 1898 von Joseph Larmor und 1899 von Hendrik Antoon Lorentz entdeckt; sie ist heute als Lorentz-Transformation bekannt. 1889 veröffentlichte der irische Physiker George FitzGerald eine kurze, nichtmathematische Arbeit, in der er darauf hinwies, dass das Michelson-Morley-Experiment nur erklärt werden kann, wenn man annimmt, dass die Interferometerarme ihre Länge ändern, je nachdem, welchen Winkel sie zum Ätherwind einnehmen. Lorentz kam 1892 unabhängig zum gleichen Ergebnis, das heute zumeist Lorentz-Kontraktion, seltener auch FitzGerald-Lorentz-Kontraktion genannt wird. 1898 wies Henri Poincaré darauf hin, dass wir keine intuitive Vorstellung von der Gleichheit zweier Zeitintervalle haben und dass Gleichzeitigkeit so definiert werden müsse, dass Naturgesetze eine möglichst einfache Gestalt haben. Im Juni 1905 veröffentlichte er, fast gleichzeitig mit Einsteins erster Arbeit zur Relativitätstheorie, einen Aufsatz Sur la dynamique de l'electron, in dem er das Relativitätsprinzip aussprach (die Unmöglichkeit, absolute Bewegung nachzuweisen, scheint ein allgemeines Naturgesetz zu sein). In der gleichen Arbeit gab er der Lorentz-Transformation ihren Namen und wies darauf hin, dass sie zusammen mit den Drehungen im Raum eine Gruppe bildet. Erstaunlicherweise haben sich Einstein und Poincaré niemals gegenseitig zitiert, während beide jederzeit auf die Verdienste von Lorentz hinwiesen. Lorentz seinerseits wollte sich niemals ganz von der Äthervorstellung lösen.

Albert Einstein

Gruppe Albert Einstein schloss 1900 sein Physikstudium mit eher mittelmäßigem Erfolg ab und reichte 1905 seine Doktorarbeit ein. In dieser Zeit verdiente er seinen Lebensunterhalt als Angestellter im Patentamt von Bern, was nicht gerade eine größere Karriere erwarten ließ. In seiner freien Zeit arbeitete er jedoch intensiv an bahnbrechenden theoretischen Ideen und publizierte 1905 vier Arbeiten, von denen jede einzelne seinen Ruhm als großer Physiker hätte begründen können. In einer davon formulierte er das, was wir heute die spezielle Relativitätstheorie nennen. Diese Publikationen brachten ihm Rufe als Hochschullehrer nach Prag und bald darauf nach Zürich ein. Aus den Bemühungen, eine mit dem Relativitätsprinzip verträgliche Beschreibung der Gravitation zu entwickeln, erwuchs in den folgenden Jahren die allgemeine Relativitätstheorie. In mühevoller Arbeit eignete sich Einstein die nötigen mathematischen Fertigkeiten an. In welchem Ausmaß seine Frau, die Mathematikerin Mileva Maric, an der mathematischen Ausformulierung beteiligt war, ist nicht genau rekonstruierbar. Anders als bei der speziellen Relativitätstheorie publizierte Einstein zunächst Teilergebnisse; die endgültigen Feldgleichungen fand unabhängig von ihm 1915 auch David Hilbert. Einstein stellte fest, dass seine Feldgleichungen kein statisches Universum zulassen. 1917 schlug er daher die kosmologische Konstante vor, ein Zusatzterm in den Feldgleichungen, der ein zeitlich unverändertes Universum ermöglicht. 1922 stellte Alexander Friedmann Lösungen ohne kosmologische Konstante vor, für die das Universum entweder expandiert oder kollabiert. 1927 entdeckte Edwin Hubble die Expansion des Universums und bestätigte damit Friedmanns Ansatz. Einstein bezeichnete daraufhin seine kosmologische Konstante als die größte Eselei meines Lebens. Heutige Beobachtungen deuten jedoch darauf hin, dass die kosmologische Konstante sehr wohl existiert, wenngleich mit einem anderen Wert, als für ein statisches Universum nötig wäre. Für die Relativitätstheorie, eine der bedeutendsten Entdeckungen überhaupt, ist erstaunlicherweise kein Nobelpreis verliehen worden. Gegen eine Auszeichnung Einsteins sprach aus Sicht der Schwedischen Akademie, dass die mathematische Struktur der speziellen Relativitätstheorie von anderen ausgearbeitet worden war; eine gemeinsame Ehrung war nach dem Tod Poincarés (1912) nicht mehr möglich. Hintergründig bestand allerdings wohl auch die Befürchtung, diese abstrakte Theorie - die zu dieser Zeit kaum experimentell gestützt war - könnte letztlich falsch sein. Die Vergabe des Nobelpreises an eine falsche Theorie wäre eine Blamage für das Komitee gewesen. Als Notlösung erhielt Einstein den Nobelpreis des Jahres 1921 für seine Arbeit zum Photoeffekt aus dem Jahr 1905, die einen wichtigen Schritt in der Entwicklung der Quantentheorie darstellte. Dennoch sprach Einstein in seiner Rede bei den Feierlichkeiten zur Preisverleihung über die Relativitätstheorie.

Weitere geometrische Theorien

Nach der Erklärung der Gravitation als geometrisches Phänomen lag es nahe, auch die anderen damals bekannten Grundkräfte, die elektrische und die magnetische, auf geometrische Effekte zurückzuführen. Theodor Kaluza (1921) und Oskar Klein (1926) nahmen dazu eine zusätzliche in sich geschlossene Dimension des Raumes mit subatomarer Länge an, derart dass sie uns verborgen bleibt. Sie blieben jedoch mit ihrer Theorie erfolglos. Auch Einstein arbeitete lange vergeblich daran, eine solche einheitliche Feldtheorie zu schaffen. Nach der Entdeckung weiterer Grundkräfte der Natur erlebten diese sogenannten Kaluza-Klein-Theorien eine Renaissance allerdings auf der Basis der Quantentheorie. Die heute aussichtsreichste Theorie zur Vereinigung der Relativitätstheorie und der Quantentheorie dieser Art, die Stringtheorie, geht von sechs beziehungsweise sieben verborgenen Dimensionen von der Größe der Planck-Länge und damit von einer zehn- beziehungsweise elfdimensionalen Raumzeit aus.

Experimentelle Bestätigungen

Der erste Erfolg der speziellen Relativitätstheorie war die Auflösung des Widerspruches zwischen dem Ergebnis des Michelson-Morley-Experiments und der Theorie der Elektrodynamik, der überhaupt als Anlass für ihre Entdeckung angesehen werden kann. Seither hat sich die spezielle Relativitätstheorie in der Interpretation unzähliger Experimente bewährt. Ein überzeugendes Beispiel ist der Nachweis von Myonen in der Höhenstrahlung, die auf Grund ihrer kurzen Lebensdauer nicht die Erdoberfläche erreichen könnten, wenn nicht auf Grund ihrer hohen Geschwindigkeit die Zeit für sie langsamer gehen würde, beziehungsweise sie die Flugstrecke längenkontrahiert erfahren würden. Hingegen gab es zur Zeit der Veröffentlichung der allgemeinen Relativitätstheorie einen einzigen Hinweis für ihre Richtigkeit, die Perihel-Drehung des Merkurs. 1919 stellte Arthur Stanley Eddington bei einer Sonnenfinsternis eine Verschiebung der scheinbaren Position der Sterne nahe der Sonne fest und lieferte mit diesem sehr direkten Hinweis auf eine Krümmung des Raums eine weitere Bestätigung der Theorie. Weitere experimentelle Tests sind im Artikel zur allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben. Die Relativitätstheorie hat sich bis heute in der von Einstein vorgegebenen Form gegen alle Alternativen, die insbesondere zu seiner Theorie der Gravitation vorgeschlagen wurden, behaupten können. Die bedeutendste war die Jordan-Brans-Dicke-Theorie, die jedoch deutlich komplexer war, und wie alle anderen auch, durch den Vergleich mit experimentellen Ergebnissen widerlegt wurde.

Rezeption und Interpretation

Wahrnehmung in der Öffentlichkeit

Die neue Sichtweise der Relativitätstheorie bezüglich Raum und Zeit erregte nach ihrer Entdeckung auch in der Allgemeinheit Aufsehen. Einstein wurde zur Berühmtheit, und es war in den 1920er Jahren in Mode, über die Relativitätstheorie zu diskutieren, auch wenn sie kaum jemand verstanden hatte. Verkürzt auf den Spruch alles ist relativ wurde sie zuweilen in die Nähe eines philosophischen Relativismus gerückt. Kritik an der Relativitätstheorie speiste sich aus verschiedenen Quellen, wie Unverständnis, Ablehnung der fortschreitenden Mathematisierung der Physik und Ressentiments gegen Einsteins jüdische Abstammung. Ab den 1920er Jahren versuchten einige wenige offen antisemitische Physiker, namentlich die Nobelpreisträger Philipp Lenard und Johannes Stark, der Relativitätstheorie eine deutsche Physik entgegenzusetzen. Wenige Jahre nach der nationalsozialistischen Machtergreifung ging Stark mit einem Artikel in der SS-Zeitung Das schwarze Korps vom 15. Juli 1937 gegen die im Land verbliebenen Anhänger der Relativitäts- und Quantentheorie in die Offensive. Unter anderem denunzierte er Werner Heisenberg und Max Planck als weiße Juden. Heisenberg wandte sich direkt an Himmler und erreichte seine volle Rehabilitierung; nicht zuletzt mit Blick auf die Bedürfnisse der Rüstungsentwicklung blieb die Relativitätstheorie erlaubt.

Erkenntnistheoretische Implikationen

Raum und Zeit spielen eine Schlüsselrolle in der Erkenntnistheorie von Immanuel Kant. Das legt nahe, dass die Relativitätstheorie mit ihren Aussagen über Raum und Zeit auch philosophische Implikationen hat. Für Kant sind Raum und Zeit unabhängig von jedem empirischen Inhalt, also a priori, gegebene Formen der Anschauung. Reine Anschauung ermöglicht es, reine Mathematik zu betreiben: Geometrie basiert auf Anschauung im Raum, Arithmetik basiert auf Abzählen in der Zeit. Mathematik erlaubt Synthetische Urteile a priori: „Ebensowenig ist irgendein Grundsatz der reinen Geometrie analytisch. Daß die gerade Linie zwischen zwei Punkten die kürzeste sei, ist ein synthetischer Satz. Denn mein Begriff vom Geraden enthält nichts von Größe, sondern nur eine Qualität“ (KdrV, B16). Kant nimmt also die euklidische Geometrie als Grundlage der (physikalischen) Anschauung an. An diese Vorgehensweise knüpfen heute die Protophysiker an. Dass der physikalisch empirische (also: a posteriori) Raum der Relativitätstheorie zufolge tatsächlich gekrümmt ist, war Anfang des 20. Jahrhunderts überraschend, jedoch nicht unvereinbar mit dem erreichten Verständnis von Geometrie. Dass Raum und Zeit kommensurabel sind, weil zeitliche Größen durch Multiplikation mit der Lichtgeschwindigkeit in räumliche Größen umgerechnet werden können, so dass beide in den Gleichungen dieser Theorie strukturell nahezu gleichwertig in Erscheinung treten, war ebenfalls eine Überraschung. Über die Mathematik hinaus findet Kant, dass auch die Naturwissenschaft (physica) synthetische Urteile a priori als Prinzipien in sich enthält, so etwa die Erhaltung der Masse (KdrV, B17). In der Relativitätstheorie tritt an Stelle der Massenerhaltung die Erhaltung der Gesamtenergie. Auch hier bestätigt die Physik die philosophische Kritik an Kant, der zu Folge synthetische Urteile a priori nicht möglich sind.

Schlusswort

Die Relativitätstheorie markiert wissenschaftshistorisch den Punkt, an dem die Anschauung als Mittel zum physikalischen Verständnis von Naturphänomenen zum ersten Mal grundsätzlich versagte. Raum und Zeit sind Vorbedingung für jegliche Erfahrung und können daher nicht Gegenstand dieser Erfahrung sein, wie bereits Immanuel Kant sinngemäß feststellte. Diese Situation sollte sich durch die anschließende Entdeckung der Quantentheorie mit ihrer Aufgabe strikt deterministischer Modelle und der Erkenntnis des Zufalls als fundamentalem Bestandteil der Welt noch erheblich verschärfen. Im Rahmen eines naturwissenschaftlichen Ansatzes gelingt es lediglich mit den Mitteln der Mathematik, diese Grenze erfolgreich zu überschreiten. Die Relativitätstheorie ist daher von erkenntnistheoretischer Relevanz. Vor der Formulierung der Relativitätstheorie war die Diskussion über Raum, Zeit und Kosmologie weitgehend der Philosophie und Religion vorbehalten. Der Kirchenhistoriker Adolf von Harnack stellte seinerzeit fest: :„Man klagt darüber, dass unsere Generation keine Philosophen habe. Mit Unrecht. Sie sitzen jetzt nur in einer anderen Fakultät. Sie heißen Max Planck und Albert Einstein“.

Literatur

- Albert Einstein/Leopold Infeld: Die Evolution der Physik. 1950, auch als Taschenbuch: Reinbek, Rowohlt 1987 ISBN 3-499-18342-0
- Albert Einstein: Grundzüge der Relativitätstheorie. 6. A. Springer, Berlin u.a. 2002 ISBN 3-540-43512-3 (Originaltitel: Meaning of relativity)
- Julian Schwinger: Einsteins Erbe. Die Einheit von Raum und Zeit. Spektrum, Heidelberg u.a. 2000 ISBN 3-8274-1045-2 (leicht verständliche Einführung für Laien)
- David Bodanis: Bis Einstein kam. Die abenteuerliche Suche nach dem Geheimnis der Welt. Fischer, Frankfurt am Main 2003 ISBN 3-596-15399-9 (leicht verständliche Einführung zum Verständnis der Relativitätstheorie und der vorher geläufigen Lehrmeinungen, erläutert z. B. in eigenen Kapiteln ausführlich E, m, c² und sogar das Gleichheitszeichen)
- Ernst Cassirer: Zur Einsteinschen Relativitätstheorie. Erkenntnistheoretische Betrachtungen, Meiner, Hamburg 2001, ISBN 3-7873-1410-5
- Jürgen Freund: Relativitätstheorie für Studienanfänger - ein Lehrbuch. vdf Hochschulverlag an der ETH Zürich 2004; ISBN 3-7281-2993-3 (leicht verständliche Einführung; Mindestvoraussetzung Abitur, einige Kapitel können gelesen werden in www.relativitaet.info)
- Holger Müller, Achim Peters: Einsteins Theorie auf dem optischen Prüfstand: Spezielle Relativitätstheorie. Physik in unserer Zeit 35(2), S. 70 – 75 (2004),
- Goenner, Hubert: Spezielle Relativitätstheorie und die klassische Feldtheorie, Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag 2004, ISBN 3-8274-1434-2
- Nolting, Wolfgang Grundkurs Theoretische Physik Bd.4 : Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik, Springer, Berlin 2003, ISBN 3-5404-2116-5
- Gerald Kahan: "Einsteins Relativitätstheorie - zum leichten Verständnis für jedermann", Dumont, ISBN 3-7701-1852-9

Weblinks

- [http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/ Tempolimit Lichtgeschwindigkeit] - Visualisierung der Phänomene der Relativitätstheorie
- [http://www.einstein-online.info/ Einstein online]
- [http://www.ap.univie.ac.at/users/fe/rel.html Zur technischen Anwendung der Allgemeinen Relativitätstheorie in GPS-Systemen]
- [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Special_relativity.html Zur Geschichte der speziellen Relativitätstheorie]

Videos

- Real Video (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri):
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010610.rm&g2=1 Was ist Gleichzeitigkeit?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010304.rm&g2=1 Was ist Zeit?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=040204.rm Was war der Äther?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=040414.rm Was sind Myonen?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=050105.rm Kann man mit Lichtgeschwindigkeit reisen?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=040707.rm Gibt es Überlichtgeschwindigkeit?]

Gesprochene Wikipedia

Relativitatstheorie Kategorie:Relativitätstheorie Kategorie:Zeitbegriff Kategorie:1905 Kategorie:1916 ja:相対性理論 th:ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

Zeitdilatation

Bei der Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen der speziellen Relativitätstheorie. Befindet sich ein Beobachter im Zustand der gleichförmigen Bewegung, dann geht jede relativ zu ihm bewegte Uhr aus seiner Sicht langsamer. Diesem Phänomen unterliegen nicht nur Uhren sondern jeder beliebige Vorgang und damit die Zeit im bewegten System selbst. Die Zeitdilatation ist umso stärker, je größer die Relativgeschwindigkeit der Uhr ist. Sie ist allerdings für Geschwindigkeiten, die im Alltag eine Rolle spielen, so gering, dass sie nicht bemerkt wird. Erst bei Geschwindigkeiten, die im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit nicht vernachlässigbar klein sind, fällt sie ins Gewicht. Die Zeitdilatation wird aus jedem Inertialsystem heraus beobachtet. Damit sehen zwei mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegte Beobachter jeweils die Zeit des anderen langsamer verstreichen. Dies ist jedoch nur ein scheinbarer Widerspruch, der durch die Relativität der Gleichzeitigkeit aufgelöst wird (näheres siehe im Artikel spezielle Relativitätstheorie und Minkowski-Diagramm). Bei der gravitativen Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen der allgemeinen Relativitätstheorie. Mit der gravitativen Zeitdilatation bezeichnet man den Effekt, dass eine Uhr, und auch jeder physikalische Prozess, in einem Gravitationsfeld langsamer geht als ausserhalb desselben. So läuft die Zeit auf der Erdoberfläche relativ um 6,95317 · 10^-10 langsamer ab als im fernen Weltraum. Anders als bei der Zeitdilatation durch Bewegung ist die gravitative Zeitdilatation nicht gegenseitig: Während der im Gravitationsfeld weiter oben befindliche Beobachter die Zeit des weiter unten befindlichen Beobachters langsamer ablaufen sieht, sieht der untere Beobachter die Zeit des oberen Beobachters entsprechend schneller ablaufen. Die gravitative Zeitdilation wurde 1960 in dem Experiment von Robert Pound und Glen Rebka nachgewiesen.

Zeitdilatation durch relative Bewegung

Berechnung mit Beispielen

In jedem Inertialsystem berechnet sich die Zeitdilatation aus der Formel :

T_1 = T_0 \sqrt

. Dabei ist T₀ die Zeitdifferenz, die eine „ruhende“ Uhr anzeigt, und T₁ die Zeitdifferenz, die eine baugleiche, relativ dazu mit der Geschwindigkeit v bewegte Uhr anzeigt. c ist die Lichtgeschwindigkeit. Diese Beziehung folgt aus der Lorentz-Transformation oder unmittelbar aus der Betrachtung einer Lichtuhr.

Myonen in der Erdatmosphäre

Beim Auftreffen der kosmischen Strahlung auf die Moleküle der oberen Luftschichten entstehen in 9 bis 12 Kilometern Höhe Myonen. Diese bewegen sich dann in Richtung Erdoberfläche mit nahezu Lichtgeschwindigkeit weiter und können dort detektiert werden. In einem von B. Rossi und D. B. Hall durchgeführten Experiment wurde die Anzahl der Myonen, die in verschieden Höhen ankommen, gemessen. Durch eine spezielle Filteranordnung ist es möglich, die Messung auf solche Myonen zu beschränken, die sich mit 99,4 % der Lichtgeschwindigkeit bewegen. Der Vergleich der gemessenen Anzahlen ermöglicht es die Halbwertszeit der schnell bewegten Myonen zu bestimmen. Diese ist mit 13 · 10⁻⁶ s um ein Vielfaches höher als die Halbwertszeit von ruhenden Myonen mit 1,5 · 10⁻⁶ s. Die schnell bewegten Myonen zerfallen also langsamer als ihre unbewegten Gegenstücke.

Reise zu entfernten Sternen

Ein anderes (etwas hypothetisches) Beispiel wäre die Bewegung eines Raumschiffes, das von der Erde startet, einen entfernten Planeten ansteuert, und wieder zurückkommt. Ein Raumschiff startet von der Erde und fliegt mit der konstanten Beschleunigung von

1g = 981\,\frac

zur Wega (Entfernung 28 Lichtjahre). Die Beschleunigung von 1g wurde gewählt, da hierdurch irdische Gravitationsverhältnisse an Bord eines Raumschiffes simuliert werden können. Auf halber Strecke ändert das Raumschiff das Vorzeichen der Beschleunigung und verzögert mit 1g. Nach Abschluss einer 6-monatigen Aufenthaltsdauer kehrt das Raumschiff auf gleiche Weise zur Erde zurück. Die Auswertung der in verschiedenen Lehrbüchern zur Relativitätstheorie angegebenen Formeln zur Berechnung der vergangenen Zeiten ergibt, dass für den Reisenden die Reise 13 Jahre, 9 Monate und 11 Tage dauerte (Messung mit an Bord befindlicher Uhr). Auf der Erde sind bei der Rückkehr des Raumschiffes dagegen 60 Jahre, 3 Monate und 4 Tage vergangen. Wesentlich extremere Unterschiede bekommt man bei einem Flug zum Andromedanebel, der etwa 2 Millionen Lichtjahre entfernt ist (bei gleichen Beschleunigungs- und Verzögerungsphasen). Für die Erde vergehen etwa 4 Millionen Jahre, während für den Reisenden nur ungefähr 56 Jahre vergangen sind. Näheres hierzu siehe Artikel Zwillingsparadoxon.

Formeln für die Reise mit konstanter Beschleunigung

Zurückgelegter Weg nach auf Erde vergangener Zeit t bei Anfangsgeschwindigkeit v₀ und konstanter Beschleunigung g:

x = \left( \sqrt - \sqrt \right) \cdot \frac

Momentane Geschwindigkeit:

v=\frac

Zeit auf der Erde (Umkehrung der Formel für zurückgelegten Weg x):

t=\frac \cdot \left(-v_0 + \frac \cdot \sqrt \right)

Zeit auf dem Raumschiff (in Abhängigkeit von der auf der Erde vergangenen Zeit t ):

t^ - =\frac \cdot \ln \left[ \left(\sqrt - v_0 \right) \cdot \frac \right]

Zeitdilatation in verschiedenen Bezugssystemen

Man betrachte zwei Inertialsysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit) bewegen. Das eine System wird als „ruhend“ betrachtet. Es wird im folgenden mit S bezeichnet. Hier befindet sich ein Beobachter, der die Bewegung des anderen Systems verfolgt. Für den Beobachter ruht sein Inertialsystem, während sich das für ihn bewegte System mit der Geschwindigkeit v entfernt. Das für den Beobachter bewegte System wird im folgenden mit

S'

bezeichnet. Ereignisse in dem sich entfernenden System werden durch die Koordinaten (t′, x′) beschrieben, Ereignisse in dem „zurückgebliebenen System“ durch die Koordinaten (t, x). Ein solches Ereignis ist zum Beispiel die Ortskoordinate einer Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt. Eine in dem bewegten System ruhende Uhr hat zu allen Zeiten

t'

die gleiche Ortskoordinate

x'

. In S hat sie zu verschiedenen Zeiten t unterschiedliche Koordinaten x, da sich

S'

relativ zu S bewegt. t bzw.

t'

sind die Zeitkoordinaten in den Systemen S bzw.

S'

, x bzw.

x'

die Ortskoordinaten in S bzw.

S'

. In

S'

befinde sich ebenfalls ein Beobachter, er werde im Folgenden als Reisender bezeichnet. Insbesondere bedeutet diese Wahl der Koordinaten, dass nur eindimensionale Bewegungen betrachtet werden. Das System

S'

bewege sich entlang der x-Achse des Systems S in positive Richtung. Zum Zeitpunkt

t = t' = 0

sollen beide Systeme übereinanderliegen. Zum Zeitpunkt dt hat sich

S'

für den Beobachter in S um die Strecke v
- dt entfernt. Mit dem Ursprung von

S'

sei eine Uhr verknüpft, die zu irgendeinem früheren Zeitpunkt mit einer Zwillingsuhr in S geeicht wurde, hierfür wird insbesondere angenommen, dass beide Systeme zu diesem früheren Zeitpunkt relativ zueinander in Ruhe waren. Das System

S'

wurde dann relativ zu S auf die Geschwindigkeit v beschleunigt. Die Zeit in

S'

bezeichnet man auch als die Eigenzeit von

S'

. Für einen Beobachter in S misst also die Uhr in

S'

die Eigenzeit des Systems

S'

. Während der Zeit dt (gemessen in S) bewege sich

S'

gleichförmig mit der Geschwindigkeit v. Für den Beobachter in S legt das System

S'

während der Zeit dt die Entfernung vdt zurück. Für den Reisenden in

S'

stellen sich die Verhältnisse anders dar. Für ihn vergeht die Zeit

d \tau = \sqrt\cdot dt

. Man bezeichnet dieses Phänomen als Zeitdilatation. c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Für

v \to c

konvergiert die Eigenzeit gegen Null. Der Reisende trifft auch eine andere Aussage über den zurückgelegten Weg, für ihn erscheinen Entfernungen, die der Beobachter in S misst, verkürzt, und zwar im gleichen Verhältnis wie die Zeitdilatation. Daher messen beide die gleiche Geschwindigkeit. Man bezeichnet dieses Phänomen als Längenkontraktion. Dies erklärt zum Beispiel, dass er weniger Eigenzeit braucht um einen Weg zurückzulegen, als der Beobachter in S vermutet. Die mit

S'

mitbewegte Uhr ist die „innere Uhr“ dieses System. Für

v \to c

konvergieren für den Reisenden alle Entfernungen gegen Null. Wichtig ist bei diesen Überlegungen Folgendes: Die Beschleunigung, die das System

S'

relativ zu S erfahren hat, wird nur von dem Reisenden in

S'

wahrgenommen (die dadurch hervorgerufenen Trägheitskräfte wirken ausschließlich in

S'

). Der Beobachter in S sieht zwar das System

S'

beschleunigt, spürt aber keine Trägheitskraft. In diesem Sinne sind die beiden Systeme nicht gleichwertig, wenn sie sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegen. In dem früher beschleunigten System wird eine Längenkontraktion hinsichtlich zurückzulegender Entfernungen beobachtet (für den Beobachter in S ändern sich Entfernung, die

S'

zurückzulegen hat, nicht). Dafür scheint die bewegte Uhr in

S'

für den Beobachter in S langsamer zu gehen, für den Reisenden ruht seine Uhr, er merkt keinen Unterschied.

Zeitdilatation durch Gravitation

Die gravitative Zeitdilatation beschreibt den relativen Zeitablauf von Systemen, die in verschiedenen Entfernungen eines Gravitationszentrums (beispielsweise eines Sterns oder Planeten) relativ zu diesem ruhen. Zu beachten ist, dass die gravitative Zeitdilatation nicht etwa durch eine mechanische Einwirkung auf die Uhren entsteht, sondern eine Eigenschaft der Raumzeit selbst darstellt. Ein Effekt, der auf der gravitativen Zeitdilatation beruht, ist die Gravitationsrotverschiebung.

Beschleunigung und Gravitation: Die rotierende Scheibe

Nach dem Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie kann man lokal nicht zwischen einem ruhenden System in einem Gravitationsfeld und einem beschleunigten System unterscheiden. Deshalb kann man den Effekt der Gravitations-Zeitdilatation anhand der Zeitdilatation durch Bewegung erläutern. Betrachten wir eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

\omega

rotierende Scheibe, so bewegt sich ein Punkt im Abstand

r

vom Zentrum mit der Geschwindigkeit

v = r\omega

. Dementsprechend wird im Abstand r vom Mittelpunkt der Scheibe die Zeitdilatation :

\Delta_t = \Delta t_0\sqrt

auftreten. Für hinreichend kleine Abstände (

r^2\omega^2 \ll c^2

) ist dieser Ausdruck näherungsweise :

\Delta t = \Delta t_0\left(1 - \frac\right)

Ein auf

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