Ein Element in der Mathematik ist immer im Rahmen der Mengenlehre zu verstehen.
Die grundlegende Relation, wenn x ein Element und M eine Menge sind, lautet:
: x ist Element von M
oder mit mathematischen Symbolen
: .
Ein Element bezeichnet also genau ein Objekt aus einer Menge.
Die Mengendefinition von Georg Cantor beschreibt anschaulich, was unter einem Element im Zusammenhang mit einer Menge zu verstehen ist:
:Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unsere Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.
Diese anschauliche (oder naive) Mengenauffassung erwies sich als nicht widerspruchsfrei.
Heute wird eine axiomatische Mengenlehre (die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) benutzt.
Beispiele
Einfache Beispiele
Beispiele von Elementen lassen sich offensichtlich nur mit Bezug auf die sie enthaltende Menge angeben.
In der Mathematik bieten Zahlenmengen geeignete Beispiele:
; : 5 ist ein Element der Menge der natürlichen Zahlen
; : 3/4 ist ein Element der Menge der rationalen Zahlen
; : die Quadratwurzel aus 2 ist ein Element der Menge der reellen Zahlen
; : die Quadratwurzel aus 2 ist kein Element der Menge der rationalen Zahlen
Spezielle Beispiele
In einigen Teildisziplinen der Mathematik treten bestimmte Typen von Elementen immer wieder auf.
Diese speziellen Elemente haben dann feste Namen.
In der Gruppentheorie treten spezielle Mengen auf, deren Elemente miteinander verknüpft werden.
Bei einer solchen Verknüpfung entsteht dann wieder ein Element der Menge.
Es muss aus Gründen der Definition einer Gruppe immer ein spezielles Element geben, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element jenes nicht verändert.
Dieses spezielle Element wird als neutrales Element bezeichnet.
Daneben muss aufgrund der Definition der Gruppe auch zu jedem Element der Gruppe ein Gegenstück existieren, welches unter Verknüpfung gerade das neutrale Element ergibt.
Dieses Gegenstück wird als inverses Element (zu einem gegebenen Element) bezeichnet.
Innerhalb der ganzen Zahlen ist die Null ein neutrales Element bezüglich der Addition. Wenn man zu einer beliebigen Zahl x die Null addiert, erhält man wiederum x:
:
Und entsprechend ist zu einer ganzen Zahl x die Zahl -x das inverse Element:
:
Innerhalb der reellen Zahlen ist die Zahl 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Wenn man eine beliebige reelle Zahl x mit der 1 multipliziert, erhält man wiederum x:
:
Entsprechend ist zu einer von Null verschiedenen reellen Zahl x der Kehrwert 1/x das inverse Element der Multiplikation:
:
Kompliziertere Beispiele
Das Konzept des Elementes und der Menge kann auch komplizierter sein.
Etwa kann eine Menge T Elemente enthalten, die selbst Mengen sind.
Man kann durchaus die Menge T als eine Menge definieren, die die schon genannten Mengen (N: natürliche Zahlen, Q: rationale Zahlen und R: reelle Zahlen) als ihre drei Elemente enthält:
:
Dann wäre (die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Element der Menge T).
Kategorie:Mengenlehre
Chemisches Element
Stoffe, die ausschließlich aus Atomen mit gleicher Anzahl an Protonen im Kern (Kernladungszahl) bestehen, bezeichnet man als chemische Elemente. Sie treten im Universum mit einer bestimmten Elementhäufigkeit auf. Im Gegensatz zu den Elementen stehen die Verbindungen und die Stoffgemische.
Früher war die Definition dieses Begriffs intuitiver, aber unpräziser:
Robert Boyle definierte ein chemisches Element als einen Reinstoff, der mit chemischen Methoden nicht weiter zerlegt werden kann.
Diese Definition hat den Nachteil, dass man nie sicher sein kann, ob man die chemischen Methoden völlig ausgeschöpft hat. Hätte man es z. B. im Labor nicht geschafft, Wasser zu zerlegen, so hätte man es als Element einordnen müssen.
Der heutige Element-Begriff, der für die Stoffe eine Einteilung nach ihren Bestandteilen, den Atomen, vornimmt, ist abstrakter, dafür aber präzise.
Seine praktische Bedeutung liegt darin, dass er Atome mit gleichem chemischen Verhalten (dem Verhalten bei chemischen Reaktionen) zusammenfasst. Das physikalische Verhalten von Atomen ein und desselben Elements kann dabei durchaus unterschiedlich sein, z. B. können die Atome eines Elements sich in der Masse unterscheiden (Isotope) und bei nuklearen Reaktionen unterschiedlich verhalten.
Nach der Kernladungszahl (auch Ordnungszahl) ihrer Atome ordnet man die Elemente im Periodensystem der Elemente (PSE) an. Dieses System wurde vom russischen Gelehrten Dmitri Iwanowitsch Mendelejew zeitgleich mit dem deutschen Lothar Meyer1869 begründet.
Kernladungszahl und Masse
Die Erklärungen dafür, dass die Massezahl nicht genau dem Vielfachen der Masse des Wasserstoffatoms entspricht, sind:
- Protonen und Neutronen, die den Hauptanteil der Masse bilden, sind fast, jedoch nicht genau, gleich schwer.
- Natürliche Elemente bestehen aus einer Mischung von Atomen mit unterschiedlicher Neutronenzahl. Eine Atomart überwiegt meist bei weitem, diese bestimmt dann die Massenzahl (Ausnahme Chlor Cl mit der 35,5-fachen Masse)
- Das natürliche Mischverhältnis ist bei einem Element meist gleich (Ausnahme ist Blei, das unterschiedliche durchschnittliche Atommassen zeigt, wenn man es aus verschiedenen Lagerstätten gewinnt)
- Bei sehr genauen Messungen zeigt sich die Bindungsenergie als Massendefekt, so dass die Kernmasse stets minimal kleiner ist als die Summe der Massen der Protonen und Neutronen.
Rein- und Mischelemente
Der Kern des Wasserstoffs besteht fast immer aus nur einem Proton. Wasserstoff mit einem Proton und einem Neutron im Kern (Deuterium) tritt in natürlichem Wasserstoff mit einem Anteil von 0,015 % auf.
Der Heliumkern besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen. Es existieren aber auch Helium-Atome, die zwei Protonen, aber nur ein Neutron, enthalten. Diese treten in natürlichem Helium jedoch nur mit einem Anteil von 0,000137 % auf.
Chlor (17 Protonen) besteht aus einer Mischung aus Atomen mit 18 Neutronen (75,8 %) und 20 Neutronen (24,2 %).
Chemische Elemente, die nur aus einer Atomart bestehen, heißen Reinelemente, wenn sie dagegen aus zwei oder mehr Atomarten bestehen, heißen sie Mischelemente.
Atome des gleichen Elements mit unterschiedlicher Neutronenzahl nennt man Isotope.
Chemische Verbindungen
Chemische Elemente können, bis auf wenige Ausnahmen, chemische Verbindungen eingehen.
Dabei sind mehrere der elementaren Atome zu Molekülen zusammengeschlossen.
Natürliche oder künstliche Stoffe sind entweder Elemente oder Verbindungen.
Gewöhnliches Wasser H2O ist eine Verbindung aus den Elementen Wasserstoff H (2 Atome pro Molekül) und Sauerstoff (1 Atom pro Molekül). Metalle wie Eisen Fe oder Kupfer Cu sind dagegen stets Elemente.
Elemente können auch eine Verbindung mit sich selbst eingehen. Bei vielen Gasen wie Chlor Cl oder Fluor F verbinden sich zwei Atome desselben Elements zu einem Molekül, also Cl2 bzw. F2.
Die Entstehung von Elementen
Bereits beim Urknall entstanden die leichten Elemente Wasserstoff (ca. 75%) und Helium (ca. 25%), zusammen mit geringen Mengen Lithium und Beryllium.
Schwerere Elemente entstehen im Universum durch Kernreaktionen in den Sternen (meist durch Kernfusion). Am Anfang steht der Wasserstoff mit einem Atomgewicht von ca. 1,0 (ein Proton). In Hauptreihen-Sternen, wie auch unserer Sonne, verschmilzt unter hoher Temperatur (mehrere Millionen C°) und hohem Druck Wasserstoff zu Helium. (Atomgewicht ca. 4,0) Dabei verschmelzen 4 Wasserstoffatomkerne über mehrere Zwischenstufen zu einem Heliumatomkern. Dieser ist ein wenig leichter als die vier Protonen zusammen, die Massendifferenz wird als Energie in Form von (Gamma-)Strahlung frei.
Die Fusion geht auf diese Art (Atome mit geringerer Protonenzahl und Atomgewicht verschmelzen zu höheren unter Abgabe von Energie) in den meisten Sternen bis zum Kohlenstoff, in massereichen bis zum Eisen weiter. Die Energieausbeute wird dabei immer geringer. Eisen ist der am dichtesten gepackte Atomkern, bei Fusionsreaktionen darüber hinaus wird Energie verbraucht anstatt freigesetzt. Sterne sind auf Energiegewinnung aus Kernfusion angewiesen, um ihren Gravitationskollaps aufzuhalten, daher können derartige Reaktionen nicht in nennenswertem Umfang stattfinden.
Elemente schwerer als Eisen entstehen in Sternen am Ende ihrer Lebensdauer. Dabei fangen Atomkerne Neutronen ein und werden so in Elemente höherer Ordnungszahl umgewandelt. Dies geschieht im sogenannten s-Prozess (bei massearmen Sternen) oder im r-Prozess (bei massereichen Sternen während einer Supernova).
Ein Stern verliert am Ende seiner Lebensdauer große Mengen Material (kontinuierlich durch Sonnenwind oder explosiv in einer Supernova), dadurch gelangen die entstandenen Elemente zurück in das interstellare Medium. Jüngere Sternensysteme enthalten daher bereits von Anfang an auch geringe Mengen schwererer Elemente, die z.B. Planeten wie in unserem Sonnensystem bilden können.
- Lucien F. Trueb: Die chemischen Elemente. Ein Streifzug durch das Periodensystem. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-7776-1356-8
Weblinks
- [http://www.chemieseite.de/ www.chemieseite.de] enthält ausführliche Beschreibungen der Hauptelemente.
- [http://chemlab.pc.maricopa.edu/periodic/lyrics.html] Lied der chemischen Elemente
Kategorie:Chemie
Nach der Vier-Elemente-Lehre besteht alles Sein aus den vier Grundelementen Feuer, Wasser, Luft und Erde.
Geschichte
Diese Theorie wird in vielen Überlieferungen auf der ganzen Welt gefunden. Die breiteste Wirkung hatte ihre Formulierungen durch den griechischen Naturphilosophen Empedokles im 5. Jahrhundert v. Chr. Dieser fasste verschiedene ähnliche Theorien zusammen.
Die Vier-Elemente-Lehre wurde von späteren griechischen Philosophen weiterentwickelt. Platon ordnete jedem der vier Elemente einen regelmäßigen Körper zu.
Aristoteles wiederum gab den vier Elementen die Eigenschaften warm/kalt und trocken/feucht. Außerdem fügte er den Äther als fünftes Element (die so genannte Quintessenz) hinzu.
Die Stoiker entwickelten die Vier-Elemente-Lehre weiter und führten das Pneuma ein. Dieses wurde als Mischung des Feuers und der Luft interpretiert und galt als das Aktive in den Elementen. Dementsprechend wurden Luft und Feuer als aktive pneuma-artige Elemente und Erde und Wasser als passive Elemente angesehen. Pneuma erfüllte viele Funktionen, die Aristoteles dem Äther zuordnete.
Die Vier-Elemente-Lehre wurde von der Astrologie übernommen. Dabei wurde jedes der Tierkreiszeichen einem der vier Elemente zugeordnet.
Die nachfolgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Elemente und die ihnen zugeordneten Körper, Eigenschaften, Tierkreiszeichen, Elementarwesen und Himmelsrichtungen.
heutige Bedeutung
Die Vier-Elemente-Lehre wurde von der Naturwissenschaft schon vor langer Zeit abgelegt, lebt aber noch in weiten Kreisen der Esoterik weiter.
In der Kunstgeschichte stößt man auf zahlreiche allegorische Darstellungen der Elemente.
verwandte Konzepte
In der chinesischen Kultur gibt es ein verwandtes Modell, die Fünf-Elemente-Lehre, nach der die fünf Grundelemente Metall, Holz, Erde, Wasser und Feuer sind.
Urelemente bezeichnen in der mathematische Mengenlehre Objekte die keine Mengen sind, auch mengen sind keine Urelemente. In diesem Zusammenhang kann man etwa an konkrete Objekte (die eben keine Mengen sind)denken. In vielen mengentheoretischen Systeme werden keine Urelemente angenommen.
Eine eher ironische Variante liefert der Film Das Fünfte Element, der die Liebe als Quintessenz einführt.
Seinen medialen Ursprung fand diese romantisch-angehauchte Variante der Fünf-Elemente-Lehre jedoch in der US-Zeichentrickserie "Captain Planet", in der fünf jugendliche Helden aus aller Welt die Elemente: Feuer, Wasser, Wind, Erde und Liebe vereinen, um den Beschützer des Planeten, nach dem die weltweit beliebte Trickserie benannt war, in den Kampf gegen die Umweltsünder zu schicken.
Die Fünf-Elemente-Lehre (chin. 五行 wŭxíng = Fünf Wandlungsphasen) ist eine daoistische Theorie zur Naturbeschreibung und wird häufig als chinesische Entsprechung zur abendländischen Vier-Elemente-Lehre bezeichnet. Beiden Theorien gemeinsam ist, dass sie sich letztlich zurückführen lassen auf die archaische, bewusste Auseinandersetzung des Menschen mit der Natur; sie sind ein Ergebnis seiner Orientierungssuche in der Welt. Dennoch sind beide Denkansätze nur bedingt vergleichbar:
Die Vier-Elemente-Lehre nach Empedokles stellt die Frage nach den fundamentalen Bestandteilen aller Materie, betont also den statischen Charakter des Seienden.
Die Fünf-Elemente-Lehre untersucht dagegen die Gesetzmäßigkeiten, nach denen dynamische Prozesse (Wandlungen) im Bereich des Lebendigen ablaufen, betont also Werden, Wandlung und Vergehen. In der griechischen Philosophie wurde ein ähnlicher Ansatz insbesondere von Heraklit verfolgt: „panta rhei“.
Die Fünf-Elemente-Lehre ist von großer Bedeutung im Feng Shui, Taijiquan und Qigong.
Im Buddhismus gibt es ebenfalls eine Lehre der Fünf Elemente, die sich aber von der daoistischen unterscheidet. Der Buddhisms kennt die Elemente Erde, Wasser, Feuer, Luft und Leere.
Die fünf Elemente
Die Lehre basiert auf fünf angenommenen Grundelementen (xíng), vielleicht besser zu übersetzen als Wandlungsphasen oder Aktionsqualitäten:
- Holz bzw. Baum (木 mù) – Aufbruch, Entwicklung eines Handlungsimpulses, Expansion, Steigen
- Feuer (火 huŏ) – Ausgestaltung, dynamische Phase, Aktion
- Erde (土 tŭ) – wandelnd, umwandelnd, verändernd: Fruchtbildung
- Metall bzw. Gold (金 jīn) – Reife, Kontraktion, Kondensation, Ablösung, Sinken
- Wasser (水 shuĭ) – Betrachtung, Lageerfassung, Ruhe
Die Interaktion dieser Elemente bewirkt einen Prozessablauf, der als Zyklus beschrieben und auf verschiedenste Abläufe im Bereich des Organischen angewendet wird, zum Beispiel im menschlichen Körper, in der Charakterkunde, in der Astrologie oder auch in Organisationen, zum Beispiel einem Unternehmen oder auch in der Politik.
Geistiger Hintergrund
Fragestellung und Methodik der Fünf-Elemente-Lehre ähnelt stark dem I Ging, dem Buch der Wandlungen. Beide stehen auf dem gemeinsamen geistigen Hintergrund des Taoismus.
Wie im I Ging und auch im Daodejing des Laozi ist in der Fünf-Elemente-Lehre das Dao 道, die monistische schöpferische Funktion des großen Einen (大一), selbst unbenennbar und tritt als der Erkenntnis zugängliches Prinzip nur als komplementärer Dualismus in Erscheinung: als Yin und Yang. Diese beiden erzeugen, wie im Artikel zum I Ging beschrieben, durch Verdopplung die 4 Hsia und durch Verdreifachung die 8 Guan, die Acht Trigramme. Die Erde als wandelnde Qualität wird beiden dualen Polen (Yin und Yang) zugeordnet, die 4 Hsia den übrigen vier Elementen (siehe: Kosmologische Anordnung).
Im Daoismus gelten alle Aussagen über die Realität als Symbol, nicht selbst als Realität. Deshalb gibt es keinen Ausschließlichkeitsanspruch für ihre Gültigkeit, es können durchaus verschiedene Aussagen und Theorien (hier zB: das I Ging und die Fünf-Elemente-Lehre) nebeneinander bestehen, man wechselt je nach Anwendung zwanglos zwischen ihnen. Dieses Vorgehen erscheint uns im westlichen Denken oft problematisch, wird aber dennoch praktiziert: die Berechnung der Tide nach dem Mondstand und die Beschreibung der Tageszeiten nach dem Sonnenlauf stellt selbstverständlich die Erde als Bezugspunkt in die Mitte, obwohl das geozentrische Weltbild längst widerlegt ist. Ebenso hat etwa die klassische Physik ihren definierten Gültigkeitsbereich und ist nicht etwa durch Relativitätstheorie oder Quantentheorie hinfällig geworden.
Zyklische Anordnung
Die fünf Elemente stellen Wandlungsphasen von Prozessen oder Aktionsqualitäten dar. Es handelt sich daher nicht um Elemente im Sinne von Bestandteilen, sondern um Aspekte eines dynamischen Ablaufes, der als zyklisch erlebt und meist in einem fünfgeteilten Kreis im Uhrzeigersinn dargestellt wird. Die Vorstellung organischer Prozesse als zyklisch bedeutet jedoch nicht eine stetige, monotone Wiederholung, sondern beinhaltet ebenso eine (im Westen meist linear gedachte) Evolution: jeder Durchlauf des zyklischen Prozesses verändert die Ausgangslage für den folgenden Durchlauf.
Die im Prozess wechselnden Phasen werden häufig an der Jahreszeitenfolge verdeutlicht:
Wasser steht unten als ruhender Ausgangspunkt und wesentlicher Bestandteil jeder Dynamik, und entspricht dem Winter.
Holz folgt als vorbereitende, expandierende Phase, (Vor)frühling.
Feuer bildet den Höhepunkt der eigentlichen Aktion; es steht für den Sommer.
Erde steht für den wandelnden Aspekt, der im zyklischen Prozess Evolution bewirkt (etwa die Metamorphose hin zur Fruchtbildung) sowie den Spätsommer.
Metall konzentriert und strukturiert die Aktion, dies gewährleistet die Wirkung der Aktion, entsprechend der Reifung im Herbst.
Dem schließt sich wieder die Ruhephase (Wasser) an.
Nährungszyklus
In der besprochenen Reihenfolge nähren sich die Elemente einander, sie stehen etwa in der Relation wie Eltern zu Kindern:
Wasser nährt Holz, Holz nährt Feuer und so fort.
Diese Relationen bilden den Nährungszyklus (zyklisch im Uhrzeigersinn)
Schwächungszyklus
Die Nährung bewirkt umgekehrt, dass jedes Element sich durch Schwächung seines Vorgänger entwickelt (zyklische Relation entgegen dem Uhrzeigersinn)
Kontrollzyklus
Mangel bzw Überfluss einer der 5 Elemente des betrachteten Prozesses würde den Prozess insgesamt stören beziehungsweise seinen Träger (einen lebendigen Organismus) schädigen. Kontrollierende Eingriffe können nicht willkürlich erfolgen, ohne den Prozess zu stören. Vielmehr soll die inhärente Gesetzmäßigkeit auch bei der Prozesskontrolle von außen berücksichtigt werden:
Wasser kontrolliert Feuer (Beispiel: Kühlen durch Verdampfen)
Holz kontrolliert Erde (Beispiel: Pflug)
Feuer kontrolliert Metall (Beispiel: Esse)
Erde kontrolliert Wasser (Beispiele: Damm, getöpferte Schale)
Metall kontrolliert Holz (Beispiel: Messer, Hobel)
Die Kontrollrelation ist deshalb ein Pentagramm im Kreis, dass dadurch entsteht, dass jedes Element auf seinen Nach-Nachfolger einwirkt.
Schädigungszyklus
Die entgegengesetzte Relation (auf den Vor-Vorgänger) wird als destruktiv, verletzend beschrieben. So schädigt beispielsweise Wasser Erde (Erosion, Überschwemmung).
Kosmologische Anordnung
Eine im Westen weniger bekannte Anordnung der 5 Elemente ergibt sich, wenn das wandelnde Prinzip der Erde in den Mittelpunkt des Rades rückt und die verbleibenden 4 Elemente auf 2 orthogonalen Achsen angeordnet werden:
Vertikale: Wasser unten (großes Yin, Statik) – Feuer oben (großes Yang, Dynamik)
Horizontale: Holz links (kleines Yang, Expansion) – Metall rechts (kleines Yin, Kontraktion)
Diese orientierende quaternio stellt das Wirkprinzip des Prozesses anstelle der Prozessdynamik selbst in den Mittelpunkt der Betrachtung und ähnelt damit den orthogonalen westlichen Begriffsystemen, die der Orientierung dienen (Beispiel: Vier-Elemente-Lehre, Kompassrose, kartesisches Koordinatensystem, Vier Jahreszeiten)
In der TCM (Traditionelle Chinesische Medizin) wird die vertikale Achse als konstitutionell, die horizontale als situativ bezeichnet.
Projektion
Beide Darstellungen (die zyklische und die kosmische) können als 2 verschiedene ebene Projektionsmöglichkeiten ein und derselben räumlichen Pyramide ( mit der Erde an der Spitze und einem Scheitelwinkel von 36 Grad) aufgefasst werden. Diese Eigenschaft zeigt, dass beide planaren Darstellungen nicht alternativ nebeneinander stehen, sondern (dreidimensional) konstruktiv ineinander übergeführt werden können (vgl die beiden Anordnungen der Acht Trigramme "alter Himmel" und "neuer Himmel" im I Ging)
Zuordnungen, Analogien
Den fünf Elementen sind eine Vielzahl anderer Begriffe zugeordnet, die zum Teil nur in ihrem speziellen Erfahrungsumfeld nachvollziehbar sind. Am bekanntesten ist wohl die Zuordnung zu Formen und Farben:
- Holz (木 mù): grün, zylindrische Formen
- Feuer (火 huŏ): rot, Pyramidenformen
- Erde (土 tŭ): gelb, Quaderformen
- Metall (金 jīn): silber / grau / weiß, Kuppelform
- Wasser (水 shuĭ): blau / schwarz, irreguläre Formen
Die Liste der weiteren Analogien ist praktisch unbegrenzt: den Elementen sind z.B. auch 5 Jahreszeiten zugeordnet, 5 Himmelsrichtungen, 5 Geschmacksrichtungen, 5 Emotionen, 5 Witterungen, 5 Landschaftsformen, 5 Planeten, 5 Beziehungen,5 Töne in der Musik (Pentatonik), usw.
Eine vergleichbare Analogiebildung ist auch Grundlage der Chinesischen Medizin.
Nach den fünf Planeten sowie Sonne und Mond sind auch die japanischen Wochentage benannt.
Der Begriff Maschinenelement ist eine Fachbezeichnung aus dem Bereich des Maschinenbaus. Er bezeichnet die Gesamtheit aller Maschinen- und Konstruktionselemente, die die funktionsmäßig nicht mehr weiter zerlegbaren Bestandteile einer Maschinenkonstruktion darstellen.
Zu den Maschinenelementen zählen unter anderem: Schweiß- und Lötverbindungen, Klebeverbindungen, Nietverbindungen, Pressverbände, die verschiedenen Formen der Schrauben, Welle-Nabe-Verbindungen, Stiftverbindungen, Federn, Wellen, Achsen, Zapfen, Gleitlager, Wälzlager, Elemente der Lineartechnik, Dichtungen, Kupplungen & Bremsen, Zahnräder, form- und kraftschlüssige Zugmittelgetriebe, Gehäusekonstruktionen, Einzelbestandteile von Rohrleitungen.
Maschinenelemente sind auf grundsätzlichen naturwissenschaftlichen Prinzipien beruhende technische Lösungen immer wieder auftretender elementarer Aufgaben beim sog. Konstruieren.
Das Fach Maschinenelemente stellt daher in jeder Ingenieurausbildung einen wesentlichen Bestandteil des Grundstudiums dar. Darin werden die einzelnen Maschinenelemente in ihrer Funktion und Wirkungsweise vorgestellt und die grundlegenden Berechnungsverfahren und -methoden aufgezeigt.
Maschinelemente sind in ihren Eigenschaften und Belastungsmöglichkeiten relativ gut erforscht und weitgehend standardisiert bzw. genormt. Durch die häufige Verwendung sind sie in der Regel preiswert verfügbar.
Auf der guten Kenntnis und soliden Berechnung der Maschinenelemente beruht die Qualität und Funktionstüchtigkeit jeder technischen Konstruktion.
Kategorie:Maschinenelement
Auszeichnungssprache
Eine Auszeichnungssprache (engl. Markup Language, Abk. ML) dient zur Beschreibung von Daten oder des Verfahrens, das zur Darstellung nötig ist. Ursprünglich dienten die Auszeichnungen im Text als Anweisungen für die Setzer aus der Druckindustrie.
Es gibt zwei Gruppen von Auszeichnungssprachen.
- Die Descriptive Markup Languages (Abk. DML) beschreiben die Syntax von Daten.
- Die Procedural Markup Languages (Abk. PML) beschreiben das Verfahren oder die Schritte, die zur Darstellung nötig sind.
Bei einer Auszeichnungssprache werden die Eigenschaften, Zugehörigkeiten und Verfahren von bestimmten Wörtern, Sätzen und Abschnitten eines Textes beschrieben bzw. zugeteilt, meist in dem sie mit so genannten Tags markiert werden. Die Quelltexte werden in der Regel im ASCII-Code oder Unicode (meist UTF-8) verfasst. Oft bietet die Sprache auch die Möglichkeit, Sonderzeichen zu beschrieben, meist mithilfe einer nummerischen Zuweisung (Unicode) oder durch Benennung (in LaTeX z.B.: „\mu“ für „µ“, in HTML: „µ“ für „µ“).
Descriptive Markup Languages sind unter anderem die in SGML oder XML definierten Sprachen HTML, DocBook, TEI, MathML, WML oder SVG. Weiterhin gehört auch TeX dazu, wie es mit dem Makropaket LaTeX verwendet wird. Auch das Wikipedia-Projekt hat eine eigene Auszeichnungssprache (Wikitext). Diese Formate erleichtern die Erstellung von Formatierungen oder auch Tabellen, für die ansonsten Kenntnisse in HTML nötig wären.
Procedural Markup Languages sind unter anderem TeX, PDF und PostScript. Diese Formate weisen u. a. den Bildschirm oder den Drucker an, wie das Dokument dargestellt werden soll.
Wie jede Programmiersprache besitzen auch die Auszeichnungssprachen eine Syntax, eine Grammatik und eine Semantik. Beispiele dafür befinden sich in folgender Vergleichstabelle.
Ein SGML-Element ist ein Knoten in dem durch SGML repräsentierten Informationsbaum. Ein SGML-Element besteht aus den Element-Eigenschaften (Name, SGML-Attribute) und dem Element-Inhalt. In einer SGML-Instanz wird ein SGML-Element durch SGML-Tags repräsentiert.
Insorfern kann man sagen: Ein SGML-Element dient zum Auszeichnen von Textdateien. Beispielsweise:
<elem> .... </elem>
Das SGML-Element ist hierbei elem, das durch den öffnenden Tag <elem> sowie den schließenden Tag </elem> gebildet wird. Der schließende Tag kann entfallen, wenn das Element keinen Inhalt hat und die verwendete SGML-Anwendung es erlaubt. Anstelle von <elem></elem> kann dies zum Beispiel durch den Tag <elem /> erreicht werden.
Die am häufigten verwendete SGML-Anwendung ist sicherlich HTML. Diese nutzt jedoch einige Eigenschaften von SGML, die die Dokumente schwer parse-bar machen (z.B. SHORTTAG). So ist z.B. das Folgende ein komplettes, dem Standard entsprechendes HTML-Dokument verglichen mit dem kompletten Parse-Baum:
Hierbei werden implizit folgende Ergänzungen vorgenommen:
- Durch das Öffnen des title-Elements wird das html- sowie head-Element geöffnet.
- Das title Element wird durch die Zeichenkette </ wieder beendet.
- Durch das Öffnen eines Elements des Textkörpers (body), wird dieser geöffnet und zuvor der Kopf (head) geschlossen.
- Das p-Tag wird durch den Schrägstrich (/) beendet.
- Der nächste Schrägstrich schließt das p-Element.
- Das Ende des Dokuments beendet den Textkörper sowie das html-Dokument.
Um diese Probleme zu umgehen, wurde eine Teilmenge von SGML definiert, nämlich XML, die einfach weiterzuverarbeiten ist. HTML wurde dann als XML-konforme Anwendung XHTML neu definiert.
Besonderheiten
SGML-Element
Bei SGML kann in der Deklaration definiert werden, wie Elemente aussehen (sie müssen nicht notwendigerweise in spitzen Klammern stehen). Ebenso kann die Beachtung der Groß-/Kleinschreibung und das Vorhandensein von Starttag bzw. Endtag (Tag-Minimierung) eingestellt werden. Elemente, die als EMPTY deklariert sind dürfen kein Endtag haben. Attribute können dergestalt minimiert sein, dass nur der Wert des Attributes angegeben wird.
XML-Element
Bei XML müssen alle geöffneten Tags von Elementen auch wieder geschlossen werden, die Groß-/Kleinschreibung wird beachtet. Attribute müssen immer als Name-/Wert-Paar angegeben werden.
Leere Elemente dürfen auch als Leeres-Element-Tag dargestellt werden:
HTML-Element
Manche HTML-Elemente müssen nicht geschlossen werden (z.B. ). Das liegt daran, dass HTML eine Anwendung von SGML ist, wo die sogenannte Tag-Minimierung angewandt wird, die in der DTD festgelegt wird. Ebenso können manche Attribute einfach durch ihren Inhalt angegeben werden.
In XML ist die Tag-Minimierung weggefallen, d.h. es muss jedes Element geschlossen werden, also auch in XHTML. Desgleichen müssen Attribute immer als Name-/Wert-Paar dargestellt werden.
:HTML:
<p>Erste Zeile<br>Zweite Zeile</p>
:XHTML:
<p>Erste Zeile<br />Zweite Zeile</p>
Siehe auch:MarkupKategorie:Beschreibungssprachen
HTML-Element
Ein SGML-Element ist ein Knoten in dem durch SGML repräsentierten Informationsbaum. Ein SGML-Element besteht aus den Element-Eigenschaften (Name, SGML-Attribute) und dem Element-Inhalt. In einer SGML-Instanz wird ein SGML-Element durch SGML-Tags repräsentiert.
Insorfern kann man sagen: Ein SGML-Element dient zum Auszeichnen von Textdateien. Beispielsweise:
<elem> .... </elem>
Das SGML-Element ist hierbei elem, das durch den öffnenden Tag <elem> sowie den schließenden Tag </elem> gebildet wird. Der schließende Tag kann entfallen, wenn das Element keinen Inhalt hat und die verwendete SGML-Anwendung es erlaubt. Anstelle von <elem></elem> kann dies zum Beispiel durch den Tag <elem /> erreicht werden.
Die am häufigten verwendete SGML-Anwendung ist sicherlich HTML. Diese nutzt jedoch einige Eigenschaften von SGML, die die Dokumente schwer parse-bar machen (z.B. SHORTTAG). So ist z.B. das Folgende ein komplettes, dem Standard entsprechendes HTML-Dokument verglichen mit dem kompletten Parse-Baum:
Hierbei werden implizit folgende Ergänzungen vorgenommen:
- Durch das Öffnen des title-Elements wird das html- sowie head-Element geöffnet.
- Das title Element wird durch die Zeichenkette </ wieder beendet.
- Durch das Öffnen eines Elements des Textkörpers (body), wird dieser geöffnet und zuvor der Kopf (head) geschlossen.
- Das p-Tag wird durch den Schrägstrich (/) beendet.
- Der nächste Schrägstrich schließt das p-Element.
- Das Ende des Dokuments beendet den Textkörper sowie das html-Dokument.
Um diese Probleme zu umgehen, wurde eine Teilmenge von SGML definiert, nämlich XML, die einfach weiterzuverarbeiten ist. HTML wurde dann als XML-konforme Anwendung XHTML neu definiert.
Besonderheiten
SGML-Element
Bei SGML kann in der Deklaration definiert werden, wie Elemente aussehen (sie müssen nicht notwendigerweise in spitzen Klammern stehen). Ebenso kann die Beachtung der Groß-/Kleinschreibung und das Vorhandensein von Starttag bzw. Endtag (Tag-Minimierung) eingestellt werden. Elemente, die als EMPTY deklariert sind dürfen kein Endtag haben. Attribute können dergestalt minimiert sein, dass nur der Wert des Attributes angegeben wird.
XML-Element
Bei XML müssen alle geöffneten Tags von Elementen auch wieder geschlossen werden, die Groß-/Kleinschreibung wird beachtet. Attribute müssen immer als Name-/Wert-Paar angegeben werden.
Leere Elemente dürfen auch als Leeres-Element-Tag dargestellt werden:
HTML-Element
Manche HTML-Elemente müssen nicht geschlossen werden (z.B. ). Das liegt daran, dass HTML eine Anwendung von SGML ist, wo die sogenannte Tag-Minimierung angewandt wird, die in der DTD festgelegt wird. Ebenso können manche Attribute einfach durch ihren Inhalt angegeben werden.
In XML ist die Tag-Minimierung weggefallen, d.h. es muss jedes Element geschlossen werden, also auch in XHTML. Desgleichen müssen Attribute immer als Name-/Wert-Paar dargestellt werden.
:HTML:
<p>Erste Zeile<br>Zweite Zeile</p>
:XHTML:
<p>Erste Zeile<br />Zweite Zeile</p>
Siehe auch:MarkupKategorie:Beschreibungssprachen
Euklids Elemente
Euklids Elemente oder Die Elemente (im Original Stoicheia) war bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meist verbreitete Werk der Weltliteratur. Es gibt uns einen guten Überblick über den mathematischen Kenntnisstand der Griechen gegen Ende des 4. Jahrhunderts v. Chr..
Bei den Elementen handelt es sich um ein Lehrbuch der Mathematik, das aus 13 Büchern besteht. Heute weiß man, dass diese Bücher von mehreren Autoren stammen und teilweise auf älteren Quellen beruhen, Euklid hier also hauptsächlich als Systematisierer und Herausgeber diente.
Das Werk arbeitet die Grundlagen der Geometrie und Arithmetik aus und zeigt musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft. Die meisten Aussagen werden aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen. Dieses Vorgehen beeinflusste bis heute nicht nur die Mathematiker, sondern auch viele Physiker, Philosophen und Theologen bei ihrem Versuch, ihre Wissenschaft auf Axiomen aufzubauen.
Um ein Gefühl für Euklids Vorgehen zu geben, werden einige der Aussagen vom Anfang des Buches aufgeführt.
Definitionen
Das Buch startet mit einigen Definitionen, beispielsweise:
- Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
- Eine Linie (ist) breitenlose Länge.
Hier folgen dann unter anderem die mehr oder weniger anschaulichen Definitionen für die Strecke, die Fläche, das Quadrat und die Parallelen.
Postulate
Nach den eher beschreibenden Definitionen folgen die fünf eher festlegenden Postulate. Gefordert wird hier:
- dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
- dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
- dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
- dass alle rechten Winkel einander gleich seien,
- dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind (kurz: dass zu einer geraden Linie durch einen gegebenen Punkt außerhalb dieser Geraden höchstens eine dazu parallele gerade Linie existieren darf, siehe Parallelenpostulat).
Axiome
An die fünf aufgeführten geometrischen Postulate schließen sich mehrere logische Axiome an, zum Beispiel:
- Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
- Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
- Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
Die älteste erhaltene Handschrift stammt aus dem Byzanz des Jahres 888 und wird heute in der Bodleian Library (Oxford) aufbewahrt. Eine Übersetzung des Boethius aus dem Griechischen ins Lateinische (um 500) ist heute nur teilweise, und auch nur in späteren Bearbeitungen erhalten.
Von den zahlreichen arabischen Übersetzungen und Kommentaren waren für die Überlieferung besonders die beiden Übersetzungen des al-Haggag gegen Ende des 8. Jahrhunderts und diejenigen von Ishaq ibn Hunain/Tabit ibn Qurra (Ende 9. Jahrhundert) bzw. von Nasi al-Din al-Tusi (1248) von Bedeutung.
Die erste mittelalterliche Übersetzung der Elemente ins Lateinische verdanken wir dem EngländerAdelard von Bath. Dieser durchstreifte im 12. Jahrhundert Europa auf der Suche nach Handschriften und übertrug so um 1120 auch dieses Werk aus dem Arabischen. Unabhängig davon wurden die Elemente dann im gleichen Jahrhundert in Spanien auch von mindestens zwei weiteren berühmten Übersetzer aus dem Arabischen übertragen: von Hermann von Kärnten und von Gerhard von Cremona.
Ebenfalls im 12. Jahrhundert, allerdings in Süditalien oder auf Sizilien und von einem unbekannten Autor, ist eine weitere Übersetzung der Elemente aus dem Griechischen entstanden. Wegen des Stils der Übersetzung liegt die Vermutung nahe, dass es sich bei diesem unbekannten Autor um denselben handelt, der um (1160) auch den Almagest des Ptolemäus übersetzte.
Natürlich gehörten die Elemente zu den ersten Werken, die man gedruckt haben wollte. Die vorbereitende Bearbeitung des Regiomontanus blieb in den 1460er Jahren unvollendet. Eine vollständige Übersetzung aus dem Griechischen von Zamberti konnte dann 1505 gedruckt werden. Aus dieser Zeit nach der Erfindung des Buchdrucks werden hier nur noch einige der uns wichtigsten Werke hervorgehoben: die Übersetzung des Commandinus aus dem Griechischen (1572), die ausführlich kommentierte Ausgabe von Christoph Clavius (1574), die Übersetzung von F. Peyrard ins Französische (1814-1818), die Übersetzung (der ersten Teile) von Xu Guangqi und Matteo Ricci ins Chinesische (1607) und nicht zuletzt die deutsche Übersetzung von Cl. Thaer nach dem Text von Heiberg (1933-1937).
Literatur
Euklid: Die Elemente, ISBN 3-8171-3413-4
Weblinks
- [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] adapted to the web by D. E. Joyce.
- [http://www.headmap.org/unlearn/euclid/before/princ-trans.htm On the principal editions and translations of the text]
Kategorie:Geschichte der MathematikKategorie:Sachbuch (Mathematik)ja:ユークリッド原論
Elemente (Zeitschrift)
Elemente ist eine deutsche Zeitschrift. Sie wurde 1986 gegründet und trägt den Untertitel Elemente der Metapolitik zur europäischen Wiedergeburt. Gleichnamige Zeitschriften erscheinen in Frankreich, Italien und Belgien.
Der Sitz der deutschen Zeitschrift ist in Kassel. Eigentümer ist das Thule-Seminar e.V. Deren Leiter Pierre Krebs steht auch der Redaktion vor, die Chefredaktion besteht aus Burkhard Wecke, Alain de Benoist, Guillaume Faye, Robert Hepp, Jordis von Lohausen, Michael Walker und Sigrid Hunke.
Die unregelmäßig erscheinende Zeitschrift deckt in ihren wenigen, aber seitenstarken Ausgaben wesentliche Themenbereiche der Neuen Rechten ab. Als Organ des Thule-Seminars enthält es zumeist ausführliche Hintergrundbeiträge zu verschiedenen ideologischen, kulturellen, philosophischen und historischen Fragen, wo hingegen Aktuelles kaum eine Rolle spielt. Häufig wird auf Ungleichheits- und Elitetheorien aller Art zurückgegriffen.
Philosophen wie Friedrich Nietzsche oder Theoretiker der Konservativen Revolution wie Carl Schmitt, Arthur Moeller van den Bruck oder Oswald Spengler werden zitiert, wenn in den Artikeln wiederholt der Verfall liberaler Gesellschaften beklagt wird. Versatzstücke ihres Denkens werden ebenso zur Schaffung neurechter Visionen beschworen wie heidnische Riten und Mythologien. Mit ihren sehr spezifischen Themenstellungen und einem hohen theoretischen Anspruch erreicht Elemente nur eine sehr kleine Leserschaft. Allerdings liefert die Zeitschrift theoretische Beiträge, die vom gesamten rechtsextremen Lager längerfristig aufgenommen werden können.
Kategorie:Rechtsextreme Zeitschrift
Baumgarten, Vienna
Baumgarten was an independent town until the late 19th century and is an area of Vienna's fourteenth district, Penzing, today. It can be subdivided in Oberbaumgarten (in the west, close to Hütteldorf), and Unterbaumgarten.
Championnat d'Australie de football
Le championnat d'Australie de football a été créé en 1977. Depuis 2005 un nouveau championnat basé sur un système de franchise a été créé.
Les clubs
- Adelaide United FC - Adélaïde - Hindmarsh Stadium - (15 500 places)
- New Zealand Knights FC - Auckland (Nouvelle-Zélande) - Ericsson
The Demon
Etrigan, le Démon est un personnage de comics appartenant à DC Comics.
Il a été créé par Jack Kirby dans The Demon #1 en 1972
Il s'agit d'un démon liée par Merlin l'Enchanteur à l'humain Jason Blood, qui peut le convoquer à sa place. Leur combinaison rend Blood immortel.
Etrigan est un démon rimeur, qui s'exprime donc d'une manière spécifique. Il possède une force surhumaine, et crache des flammes.
Bien qu'il n'est
Clef dynamométrique Catégorie:Outil
Une clé dynamométrique est un outil réglable, qui permet de limiter le couple de serrage des vis et écrou afin que ceux-ci soit montés de manière optimale.
- Les plus anciens modèles totalement mécaniques, émettent un claquement, lorsque le couple (réglable par un
