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Geschwindigkeit

Geschwindigkeit

Unter der Geschwindigkeit (Formelzeichen: v) eines Objekts versteht man die von ihm zurückgelegte Wegstrecke s pro Zeit t. Mathematisch entspricht die Geschwindigkeit der Ableitung des Ortes nach der Zeit.

Definition

Die Definition der Geschwindigkeit als Zeitableitung des Ortes lässt sich in drei Schritten nachvollziehen. 1. Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit: :

\bar v=

2. Durchschnittsgeschwindigkeit in einem bestimmten Abschnitt: :

\bar v==

3. Momentangeschwindigkeit (= differentielle Abschnittsgeschwindigkeit): :

v= = \lim_

Eine Strecke ist immer richtungsbehaftet und daher ein Vektor. Aus diesem Grunde ist auch die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe. Im Englischen wird daher (besonders unter Mathematikern) gelegentlich zwischen velocity (vektorielle Geschwindigkeit) und speed (Betrag der Geschwindigkeit) unterschieden. Ist die Positionsveränderung s als Funktion der Zeit t in der Form s = s(t) gegeben, ergibt sich die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit durch Differenzieren dieser Funktion: :

v(t)=

Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist dann die Beschleunigung, die ebenfalls ein Vektor ist: :

a(t)==

Die Geschwindigkeiten in einem strömenden Medium können als Vektorfeld aufgefasst werden. Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s). Eine weitere gebräuchliche Einheit der Geschwindigkeit ist Kilometer pro Stunde (km/h), umgangssprachlich auch als "Stundenkilometer" bezeichnet. Oft wird "km/h" irreführend als "kmh" ausgesprochen oder gar geschrieben. Im populären Sprachgebrauch liest man km/h meist als „Stundenkilometer“, was sprachlich und physikalisch falsch ist, da das Wort eine nicht existente und nutzlose Einheit „km×h“ bezeichnen würde. Keinesfalls sollte daher in der Abkürzung km/h der Divisionsstrich weggelassen werden. Als nicht metrische Einheit wird vor allem in den USA und einigen anderen englischsprachigen Ländern Meilen pro Stunde (mph) benutzt. In der See- und Luftfahrt ist außerdem die Einheit Knoten (kn) gebräuchlich; ein Knoten ist eine Seemeile pro Stunde. Fast nur in der Luftfahrt wird Mach verwendet, das keine feste Einheit ist, sondern die Geschwindigkeit im Vergleich zur lokalen Schallgeschwindigkeit angibt. Die Schallgeschwindigkeit ist stark temperaturabhängig aber nicht luftdruckabhängig. Grund für die Nutzung einer solchen Einheit ist, dass etwa Propellermaschinen nicht schneller als der Schall fliegen können, sondern beispielsweise 70% der Schallgeschwindigkeit erreichen, gleichgültig, wie groß diese aktuell ist. Umrechnung gebräuchlicher Geschwindigkeitseinheiten:
- 1 kn = 0,5144 m/s = 1,852 km/h (exakt);
- 1 m/s = 1,944 kn = 3,6 km/h (exakt) = 2,237 mph;
- 1 km/h = 0,540 kn = 0,2778 m/s = 0,6214 mph;
- 1 mph = 0,8690 kn = 0,44704 m/s (exakt) = 1,609344 km/h (exakt);
- c = 299.792.458 m/s (exakt) = 582.749.918 kn = 670.616.629 mph = 1.079.252.848,8 km/h. (exakt) Die Lichtgeschwindigkeit c ist eine wichtige Naturkonstante der Physik. Die Definition der Geschwindigkeit ist nicht eindeutig, sondern nur gegenüber einem Bezugssystem sinnvoll. Wegen des Relativitätsprinzips kann auch keine absolute Ruhe definiert werden, sondern nur die Ruhe gegenüber einem Bezugssystem.

Andere Bedeutungen des Begriffs

Der Begriff Geschwindigkeit wird umgangssprachlich auch auf zeitliche Veränderungen anderer Größen bezogen. So spricht man beispielsweise von der Geschwindigkeit einer Temperaturänderung oder der Geschwindigkeit, mit der eine Population wächst, sich eine Kultur entwickelt oder ein Mensch seine Meinung ändert.

Siehe auch

- Feld
- kosmische Geschwindigkeit

Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m04_geschwindigkeit.htm Versuche und Aufgaben zur Geschwindigkeit] Kategorie:Mechanik Kategorie:Kinematik ja:速度 ko:속도 simple:Velocity

Formelzeichen

Ein Formelzeichen ist ein Symbol für den Namen eines Objekts zur Verwendung in Formeln. Prinzipiell kann jedes beliebige Symbol als Formelzeichen verwendet werden. Es wird anstelle des Objektnamens geschrieben und ist mit dessen Bedeutung identisch. Das bedeutet, dass ein Symbol immer durch den ihm zugeordneten Objektnamen ersetzt werden kann und umgekehrt. Formelzeichen werden vor allem in der Mathematik und in den Natur- und Ingenieurwissenschaften angewendet.

Normen

Zahlreiche Formelzeichen sind genormt (z. B. international

=

für „ist gleich“ oder

V

für das Volumen). Solche Normungen sind beispielsweise ISO 31 und DIN 1304. Sofern als Formelzeichen Buchstaben verwendet werden, kommen besonders häufig das deutsche (lateinische), griechische, altdeutsche und hebräische Alphabet zum Einsatz. Die meisten Buchstaben-Formelzeichen bestehen aus einem und nur wenige aus mehr als einem Buchstaben. Um den Zeichenvorrat zu erweitern, werden den Buchstaben oft Indizes aus Buchstaben oder Zahlen beigefügt.

Mathematische Formelzeichen

Veränderliche Objekte

In der Mathematik werden in der Regel Buchstaben als Formelzeichen verwendet, wenn es sich um veränderliche Objekte handelt. Für den Textsatz wird meist eine Serifenschrift verwendet. Beispiele zu Regelfällen des verwendeten Alphabets und des Textsatzes:
- Skalare:

a=7

- Vektoren: fett oder mit Über-Pfeil.

\vec F\equiv\mathbf=m \cdot \mathbf

. Früher auch Kleinbuchstaben in Frakturschrift:

\mathfrak = \left( 0\ 2\ 1 \right)^T

- Mengen: groß; fett oder mit doppelten senkrechten Linien

3 \in\mathbf\equiv\mathbb

- Matrizen: serifenlos

\det (\mathsf)=4

. Früher auch: Großbuchstaben in Frakturschrift

\mathfrak := \begin 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end

Übrige Objekte

Andere Objekte, die z.B. Anweisungen enthalten, bekommen spezielle Symbole zugewiesen, die nur zum Teil (ursprünglich) aus Alphabeten stammen. Beispiele:
-

:=

Zuweisungsoperator:

a:=3

<

Vergleich „kleiner als“:

a<7

>

Vergleich „größer als“:

7>a

- + Additionsoperator:

a+4=7

\sum

Summe:

a=\sum_^a_

- ( ) Ändern der Auswertungsreihenfolge:

3a+7 \neq 3(a+7)

- Konstanten:

\pi\approx 314159

Physikalische Formelzeichen

Die in der Physik verwendeten Formelzeichen bestehen aus einem lateinischen oder griechischen Buchstaben. Ihr Satz erfolgt (nach DIN 1313) kursiv mit Serifen. Anwendungsbeispiele:
-

R = \quad

bedeutet „Der elektrische Widerstand ist gleich der elektrischen Spannung dividiert durch die elektrische Stromstärke.“
-

E=\quad

bedeutet „Die Energie ist gleich der Masse mal dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.“ Siehe auch:
Liste der physikalischen Formelzeichen

Formelzeichen in Programmiersprachen

Die in Programmiersprachen verwendeten Formelzeichen weichen aus praktischen Gründen meist von denen des Schriftsatzes ab. Sie beschränken sich auf die standardmäßig auf der Tastatur verfügbaren Zeichen, eine Ausnahme bildet APL. Beispiel: Kleiner oder gleich
- Schriftsatz:

\leq

- zahlreiche Programmiersprachen: <=
- LaTeX: \leq Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Mathematik Kategorie:Beschreibungssprachen

Zeit

Unter der Zeit versteht man das, was dem Phänomen der Veränderung zugrundeliegt und als Übergang von der Vergangenheit über die Gegenwart in die Zukunft wahrgenommen wird. Die Vergangenheit ist dabei der Bereich der Tatsachen, die Zukunft der Bereich der Möglichkeiten. Das Vergehen der Zeit macht aus Möglichkeiten Tatsachen, aus Zukunft Vergangenheit. Die Frage nach dem Wesen der Zeit gehört zu den ältesten Fragen der Philosophie. Zeit ist aber auch zentrales Thema der Chronobiologie und Zeitsoziologie. Und in der Psychologie werden Zeitwahrnehmung und Zeitgefühl untersucht. Die sprachliche Dimension der Zeit wiederum spiegelt sich in den grammatischen Zeitformen wieder (lat. Tempus).

Einführung

Die wohl markanteste Eigenschaft der Zeit ist der Umstand, dass es stets eine in gewissem Sinne aktuelle und ausgezeichnete Stelle zu geben scheint, die wir die Gegenwart nennen, und die sich unaufhaltsam von der Vergangenheit in Richtung Zukunft zu bewegen scheint. Dieses Phänomen wird auch als das Fließen der Zeit bezeichnet. Dieses Fließen der Zeit entzieht sich jedoch einer naturwissenschaftlichen Betrachtung, wie im Folgenden dargelegt wird. Zukunft Die Zeit dient in der Physik in gleicher Weise zur Beschreibung des Geschehens wie der Raum. Die Physik besagt lediglich, dass unter allen denkbaren Strukturen im dreidimensionalen Raum in Kombination mit allen dazu denkbaren zeitlichen Abläufen nur solche möglich sind, die den physikalischen Gesetzen gehorchen. Dabei könnte es sich ebenso gut um unbewegliche Strukturen in einem vierdimensionalen Raum handeln, die durch die physikalischen Gesetze bestimmten geometrischen Bedingungen unterworfen sind. Etwas, das man als Fließen der Zeit interpretieren könnte, kommt in der Physik nicht vor. Bei genauer Betrachtung erweist es sich sogar als völlig unklar, wie ein Fließen der Zeit in der Sprache der Physik oder Mathematik oder irgend einer anderen präzise beschrieben werden könnte. So ist beispielsweise die Aussage, dass die Zeit fließe, nur dann sinnvoll, wenn eine davon unterscheidbare Alternative denkbar ist. Die naheliegende Alternative der Vorstellung einer stehenden Zeit beispielsweise führt jedoch zu einem Widerspruch, da sie nur aus der Sicht eines Beobachters denkbar ist, für den die Zeit weiterhin verstreicht, so dass der angenommene Stillstand als solcher überhaupt wahrnehmbar ist. (siehe auch Kritik der reinen Vernunft von Immanuel Kant). Könnte man die Zeit anhalten, für wie lange "stünde" dann die Zeit? Das scheinbare Fließen der Zeit wird daher von den meisten Physikern und Philosophen als ein rein subjektives Phänomen oder gar als Illusion angesehen. Man nimmt an, dass es sehr eng mit dem Phänomen des Bewusstseins verknüpft ist, das ebenso wie dieses sich einer physikalischen Beschreibung oder gar Erklärung entzieht und zu den größten Rätseln der Naturwissenschaft und Philosophie zählt. Damit wäre unsere Erfahrung von Zeit vergleichbar mit den Qualia in der Philosophie des Bewusstseins und hätte folglich mit der Realität ebenso wenig zu tun wie der phänomenale Bewusstseinsinhalt bei der Wahrnehmung der Farbe Blau mit der zugehörigen Wellenlänge des Lichtes. Unsere intuitive Vorstellung, es gäbe eine von der eigenen Person unabhängige Instanz nach Art einer kosmischen Uhr, die bestimmt, welchen Zeitpunkt wir alle im Moment gemeinsam erleben und damit die Gegenwart zu einem objektiven uns alle verbindenden Jetzt macht, wäre damit hinfällig.

Zeit als physikalische Größe

In der Physik ist Zeit (Formelzeichenn: t oder τ) die fundamentale Größe, über die sich die Dauer von Vorgängen und die Reihenfolge von Ereignissen bestimmen lassen. Im SI-Einheitensystem wird Zeit in Sekunden (Einheitenzeichen s) gemessen. Daraus leiten sich die Einheiten Minute, Stunde, Tag, Woche, Monat, Jahr, Jahrzehnt, Jahrhundert und Jahrtausend ab.

Zeitmessung

Hauptartikel: Zeitmessung Zeitmessung Die Zeitmessung ist eine der ältesten Aufgaben der Astronomie (siehe Uhr). Dort wird zwischen einem Sonnentag und einem Sterntag unterschieden (die sich im Jahr um einen Tag unterscheiden, je nach Referenz). Der Sonnentag hat keine ganze Anzahl von Sekunden nach SI; der Unterschied wird durch Schaltsekunden ausgeglichen. Diese Probleme führten zur Einführung verschiedener Zeitskalen:
- TCB (Barycentric Coordinate Time) ist die Eigenzeit des Schwerkraftzentrums des Sonnensystems.
- Geocentric Coordinate Time (TCG) gibt die Eigenzeit im Mittelpunkt der Erde an Astronomische Daten und Zeiten werden oft zweckmäßig als Julianisches Datum (JD) angegeben. (Siehe auch: Sternzeit, Zeitdimension, Uhr, GMT, MESZ (Mitteleuropäische Sommerzeit) Heute ist die Zeit in der Physik, wie anderen Messgrößen auch, operational, das heißt über ein Messverfahren, definiert. Zur Zeitmessung werden Systeme verwendet, die periodisch in denselben Zustand zurückkehren. Die Zeit wird dann durch das Zählen der Perioden bestimmt. Ein solches Gerät nennt man Uhr. Uhr Eine Uhr ist umso besser, je genauer der periodische Vorgang reproduzierbar ist und je weniger er sich von äußeren Bedingungen beeinflussen lässt, beispielsweise von mechanischen Störungen, Temperatur oder Luftdruck. Daher sind Quarzuhren deutlich präziser als mechanische Uhren. Die genauesten Uhren sind Atomuhren, die auf atomaren Schwingungsprozessen beruhen. Damit ist ein relativer Gangfehler von 10^-15 erreichbar, was einer Sekunde Abweichung in 30 Millionen Jahren entspricht. Die Zeit und damit auch die Frequenz, ihr Kehrwert, sind die physikalischen Größen, die mit der höchsten Präzision überhaupt messbar sind, was dazu geführt hat, dass die Definition der Länge mittlerweile auf die der Zeit zurückgeführt wird, indem man den Meter als diejenige Strecke definiert, die Licht im Vakuum während 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt.

Newtonsche Physik

Isaac Newton beschreibt das Phänomen der Zeit mit den folgenden Worten: :„Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.“ (Mathematische Prinzipien der Naturlehre, 1687) Dieser Begriff einer absoluten Zeit galt in der Physik bis zur Formulierung der speziellen Relativitätstheorie im Jahre 1905. Er liegt auch heute noch dem menschlichen Alltagsverständnis des Phänomens Zeit zugrunde.

Relativitätstheorie

Hauptartikel: Relativitätstheorie Durch die Entdeckungen in Zusammenhang mit der Relativitätstheorie musste der newtonsche, absolute Zeitbegriff aufgegeben werden. So beurteilen Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, zeitliche Abläufe unterschiedlich. Das betrifft sowohl die Gleichzeitigkeit von Ereignissen, die an verschiedenen Orten stattfinden, als auch die Geschwindigkeit des zeitlichen Ablaufs. Da kein absolut ruhendes Koordinatensystem definierbar ist, gibt die Frage, welcher Beobachter die Situation korrekt beurteilt, keinen Sinn. Man ordnet daher jedem Beobachter seine so genannte Eigenzeit zu. Ferner beeinflusst die Anwesenheit von Massen den Ablauf der Zeit, so dass diese an verschiedenen Orten im Gravitationsfeld unterschiedlich schnell verstreicht. Damit ist Newtons Annahme, die Zeit verfließe ohne Bezug auf äußere Gegenstände, nicht mehr haltbar. Zeit und Raum erscheinen in den Grundgleichungen der Relativitätstheorie fast völlig gleichwertig nebeneinander und lassen sich daher zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigen. Im dreidimensionalen Raum ist die Wahl der drei Koordinatenachsen willkürlich, so dass Begriffe wie links und rechts, oben und unten, vorne und hinten relativ sind. In der speziellen Relativitätstheorie stellt sich nun heraus, dass auch die Zeitachse nicht absolut ist. So verändern sich mit dem Bewegungszustand eines Beobachters auch die Orientierung seiner Zeit- und Raumachsen in der Raumzeit. Es handelt sich dabei um eine Art Scherbewegung dieser Achsen, die mathematisch mit den Drehungen nahe verwandt ist. Damit lassen sich Raum und Zeit nicht mehr eindeutig trennen, sondern hängen in gewisser Weise voneinander ab. Die Folge sind Phänomene wie Relativität der Gleichzeitigkeit, Zeitdilatation und Längenkontraktion. Allerdings lässt sich durch eine Bewegung die Zeitachse nicht umdrehen, das heißt, Vergangenheit und Zukunft lassen sich nicht vertauschen. Zeit ist in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht unbedingt unbegrenzt. So gehen viele Physiker davon aus, dass der Urknall nicht nur der Beginn der Existenz von Materie ist, sondern auch den Beginn von Raum und Zeit darstellt. Nach Stephen W. Hawking hat es einen Zeitpunkt eine Sekunde vor dem Urknall ebenso wenig gegeben wie einen Punkt auf der Erde, der 1 km nördlich des Nordpols liegt. Danach hätte es in gewissem Sinne den Kosmos und die Materie schon immer gegeben, nämlich zu allen Zeitpunkten, von denen überhaupt die Rede sein kann. Die Vorstellung eines Nichts vor dem Urknall wäre physikalisch sinnlos. Dieser Aspekt ist von erheblicher Relevanz für Philosophie und Religion hinsichtlich des Verständnisses des Begriffs Schöpfung, unter dem man sich ja gewöhnlich einen Übergang von einem Nichts zu einem Etwas vorstellt. Diese im Zusammenhang mit der Relativitätstheorie entdeckten Eigenschaften von Zeit und Raum entziehen sich weitgehend der menschlichen Anschauung. Sie sind jedoch mathematisch präzise beschreibbar und – soweit experimentell zugänglich – auch bestens bestätigt.

Zeitreisen

Hauptartikel: Zeitreise Die erwähnten relativistischen Effekte lassen sich im Prinzip als Zeitreisen interpretieren. Inwieweit über die Krümmung der Raumzeit und andere Phänomene auch Reisen in die Vergangenheit prinzipiell möglich sind, ist nicht abschließend geklärt. Mögliche Kandidaten sind so genannte Wurmlöcher, die Bereiche der Raumzeit mit unterschiedlicher Zeit verbinden könnten, ferner spezielle Flugbahnen in der Umgebung eines hinreichend schnell rotierenden Schwarzen Loches und schließlich die Umgebung zweier kosmischer Strings, die hinreichend schnell aneinander vorbei fliegen. Der erforderliche Aufwand für eine praktische Nutzung einer dieser potenziellen Möglichkeiten würde jedoch gegenwärtig die Mittel der Menschheit bei weitem übersteigen. Die bei Reisen in die Vergangenheit auftretenden Paradoxien ließen sich im Rahmen der everettschen Vielwelten-Theorie vermeiden. Danach wäre die Vergangenheit, in die man reist, in einer Parallelwelt angesiedelt. Der ursprüngliche Ablauf der Dinge und der durch die Zeitreise modifizierte würden sich beide parallel und unabhängig voneinander abspielen. Zeitreisen sind ein beliebtes Thema in Literatur und Film.

Zeit und Kausalität

Hauptartikel: Kausalität Der Zeitbegriff hängt eng mit dem Kausalitätsbegriff zusammen. So betrachten wir es als selbstverständlich, dass die Ursache vor ihrer Wirkung auftritt. Die Vergangenheit ist unveränderlich, sie kann nicht von gegenwärtigen Ereignissen beeinflusst werden. Die Zukunft hingegen hängt von der Gegenwart kausal ab, kann also durch Ereignisse oder Handlungen in der Gegenwart beeinflusst werden. In der Relativitätstheorie wird die zeitliche Reihenfolge mancher Ereignisse, die an verschiedenen Orten stattfinden, von relativ zueinander bewegten Beobachtern unterschiedlich beurteilt. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Ereignisse nur durch ein Signal mit Überlichtgeschwindigkeit in Kontakt treten könnten. Könnte eine Wechselwirkung mit Überlichtgeschwindigkeit stattfinden, dann könnte man mit folgendem System eine Botschaft in die Vergangenheit schicken: # Das Signal wird mit Überlichtgeschwindigkeit an eine weit genug entfernte Relaisstation geschickt. # Diese beschleunigt konventionell vom ursprünglichen Sender weg (alternativ: sie überträgt es konventionell auf eine weitere, sich vom Empfänger weg bewegende Relaisstation, z.B. die andere Seite einer rotierenden Plattform). Dadurch wird das Absendeereignis aus der Vergangenheit in die Zukunft „verschoben“. # Schließlich wird das Signal wieder mit Überlichtgeschwindigkeit zurückgesendet. Sind die beteiligten Geschwindigkeiten hoch genug, so kommt das Signal vor dem Aussenden des Ursprungssignals an. Daher wäre das Kausalitätsprinzip verletzt. Mitte des 20. Jahrhunderts wurde vermutet, dass es überlichtschnelle Tachyonen geben könnte. Sollten sie mit gewöhnlicher Materie in Wechselwirkung treten können, so wäre die Kausalität verletzt. Die Hypothese der Existenz von Tachyonen hat daher kaum Anhänger.

Zur Symmetrie der beiden Richtungen der Zeit

Die Grundgesetze der Physik, die Phänomene unseres Alltags beschreiben, sind invariant bezüglich einer Inversion der Zeit. Das bedeutet, dass zu jedem Vorgang, der diesen Gesetzen gehorcht, auch der zeitumgekehrte im Prinzip möglich ist. Diese Aussage steht in krassem Widerspruch zu unserer Alltagserfahrung. Fällt eine Keramiktasse zu Boden, so zerbricht sie in Scherben. Dass sich umgekehrt diese Scherben von selbst wieder zu einer intakten Tasse zusammenfügen, ist dagegen noch nie beobachtet worden. Ein solcher Vorgang stünde jedoch nicht prinzipiell im Widerspruch zu den Naturgesetzen. Er ist lediglich extrem unwahrscheinlich. Der Hintergrund dieses Umstandes ist eine Wahrscheinlichkeitsüberlegung, die im zweiten Hauptsatz der Thermodynamik formuliert wird. Danach nimmt die Entropie, welche das Maß der Unordnung eines abgeschlossenen Systems angibt, stets zu und damit seine Ordnung ab. Eine vorübergehende Zunahme der Ordnung ist prinzipiell nicht ausgeschlossen, aber je nach Größe mehr oder weniger unwahrscheinlich. Um die spontane Wiedervereinigung von Scherben zu einer Tasse zu provozieren, müsste man eine mehr als astronomische Zahl von Scherbenhaufen anlegen und beobachten. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik verletzt damit die Symmetrie bezüglich der beiden Richtungen der Zeit. Er lässt sich daher auch nicht aus den Grundgesetzen der Physik herleiten, sondern hat die Rolle eines Postulats. Die beiden Richtungen der Zeit verlieren damit ihre Gleichwertigkeit, und man spricht vom thermodynamischen Zeitpfeil. Er wird als potenzielle Basis für das Fließen der Zeit von der Vergangenheit in die Zukunft angesehen, so wie wir es in unserer Alltagswelt erfahren. Oft ist in diesem Zusammenhang von einer Umkehrbarkeit oder Unumkehrbarkeit der Zeit die Rede. Dabei handelt es sich jedoch um eine sprachliche und logische Ungenauigkeit. Könnte jemand die Zeit umkehren, dann sähe er sämtliche Vorgänge rückwärts ablaufen. Dieser umgekehrte Lauf der Zeit wäre aber nur aus der Sicht eines Beobachter erkennbar, der einer Art persönlicher Zeit unterworfen ist, die weiterhin unverändert vorwärts läuft. Eine solche Spaltung der Zeit in eine, die einem Experiment oder Gedankenexperiment unterworfen wird, und eine weitere unveränderte, ergibt jedoch keinen Sinn. Die Gesetze der Physik, die Phänomene der schwachen und starken Wechselwirkung beschreiben, sind nicht invariant bezüglich einer Zeitumkehr. Zu einem Prozess im Bereich der Kern- und Elementarteilchenphysik ist der zeitumgekehrte daher nicht unbedingt mit den Gesetzen der Physik verträglich. Das CPT-Theorem besagt, dass der Prozess wieder in Einklang mit den Naturgesetzen steht, wenn er nicht nur zeitumgekehrt, sondern zusätzlich spiegelbildlich betrachtet und aus Antimaterie aufgebaut wird. Aus dem CPT-Theorems folgt, dass Prozesse, welche eine so genannte CP-Verletzung darstellen, wie es bei einigen Teilchenzerfällen der Fall ist, nicht invariant bezüglich einer Zeitumkehr sein können. Im Formalismus der Beschreibung von Antimaterie sind Antiteilchen gleichwertig zu gewöhnlichen Teilchen, die sich in gewissem Sinne rückwärts in der Zeit bewegen. In diesem Sinne hat die Paarvernichtung von einem Teilchen mit seinem Antiteilchen eine formale Ähnlichkeit mit einem einzigen Teilchen, das sich an dieser Stelle in die Vergangenheit zurückzubewegen beginnt, so dass es dort doppelt und in der Zukunft gar nicht existiert.

Grenzen des physikalischen Zeitbegriffs

Es gibt deutliche Hinweise darauf, dass das Phänomen Zeit im Bereich der Planck-Zeit von 10^-43 s seine Eigenschaften als Kontinuum verliert. So führt die konsequente Anwendung der bekannten physikalischen Gesetze zu dem Ergebnis, dass jeder Vorgang, der kürzer ist als die Planck-Zeit, nur einem Objekt zugeordnet werden kann, das sofort zu einem Schwarzen Loch kollabieren muss (siehe Planck-Einheiten). Diese Überlegung zeigt, dass die bekannten physikalischen Gesetze jenseits der Planck-Zeit versagen. Eine Klärung der damit verbundenen Fragen erhofft man sich von einer noch zu entdeckenden Theorie der Quantengravitation, die die beiden fundamentalen Theorien der Physik, die Relativitätstheorie und die Quantenphysik, vereinigen würde. In einer solchen Theorie wäre die Zeit im Bereich der Planck-Zeit möglicherweise quantisiert. So geht man beispielsweise in der Loop-Quantengravitation, einem Kandidaten für die Theorie der Quantengravitation, davon aus, dass das Gefüge der Raumzeit ein vierdimensionales, schaumartiges Spin-Netzwerk darstellt mit „Blasen“ von der Größenordnung der Planck-Einheiten. Allerdings darf man sich diesen „Schaum“ nicht in Raum und Zeit eingebettet vorstellen, sondern der Schaum ist in dieser Theorie Raum und Zeit.

Philosophie

Hauptartikel: Zeit (Philosophie) Nach Immanuel Kant ist Zeit ebenso wie der Raum eine „reine Anschauungsform“, und zwar die des inneren Sinnes. Sie ist unser Zugang zur Welt, gehört also zu den subjektiv-menschlichen Bedingungen der Welterkenntnis. Wir können uns aus unserer Erfahrung die Zeit nicht wegdenken. Gleichwohl kommt sie nicht einer - wie auch immer gearteten - Welt an sich zu. Die neuere Philosophie geht inzwischen in ihrer Betrachtung von einer Reihe der A-Bestimmungen (vergangen, gegenwärtig, zukünftig) und einer der B-Relationen (früher als, gleichzeitig, später als) aus. Nachdem mit Hilfe der Philosophie der Sprache bewiesen wurde, dass Begriffe der einen Serie nicht in Begriffe der anderen übersetzt werden können, gibt es nunmehr drei mögliche Versionen für die Begründung der B-Reihe (tenseless theory): eine zeichenanalytische (token-reflexive), eine Version auf Basis der Zeitpunkte (date version) und eine neuere Version der Satztypen (sentence-type). Doch auch die Befürworter der A-Theorie konnten neue Beweise ins Feld führen oder zumindest berechtigte Zweifel an den Vorschlägen der B-Theoretiker sähen.

Psychologie

Hauptartikel: Zeitgefühl, Zeitwahrnehmung Zwischen der subjektiv wahrgenommen Zeit und der objektiv messbaren bestehen oft deutliche Differenzen. Die folgenden Abschnitte sollen diese kurz und übersichtlich darstellen.

Die Wahrnehmung der Zeitdauer

Die Wahrnehmung der Zeitdauer hängt davon ab, was in der Zeit passiert. Ein ereignisreicher Zeitraum erscheint kurz, „vergeht wie im Flug“. Hingegen dauern ereignisarme Zeiträume scheinbar quälend lange. Von dieser Beobachtung leiten sich auch die Begriffe Kurzweil und Langeweile ab. Paradoxerweise empfindet man im Rückblick die Zeiten gerade umgekehrt: In ereignisreichen Zeiten hat man viele Informationen eingespeichert, so dass dieser Zeitraum lange erscheint. Umgekehrt erscheinen ereignisarme Zeiten im Rückblick kurz, da kaum Informationen über sie gespeichert sind.

Die Wahrnehmung der Gleichzeitigkeit

Gleichzeitigkeit in der Wahrnehmung ist komplexer als es auf den ersten Blick den Anschein hat. Es gibt verschiedene Schwellen:
- Die Schwelle, ab der zwei Ereignisse als getrennt erkannt werden, ist vom jeweiligen Sinnesorgan abhängig. So müssen optische Eindrücke 20 bis 30 Millisekunden auseinander liegen, um zeitlich getrennt zu werden, während für akustische Eindrücke bereits drei Millisekunden ausreichen.
- Die Schwelle, ab der die Reihenfolge zweier Reize unterschieden werden kann, ist unabhängig von der Art der Wahrnehmung etwa 30 bis 40 Millisekunden, richtet sich aber stets nach der langsamsten Reizübertragung.
- Darüber hinaus ist die Wahrnehmung der Gegenwart durch einen Drei-Sekunden-Zeitraum angegeben, dieser Zeitraum wird als Gegenwartsdauer bezeichnet.

Verschiedene Arten der Zeitwahrnehmung

In der Psychologie unterscheidet man „Through-timer“ und „In-timer“. Dies sind zwei Formen der Wahrnehmung des Zeitverlaufs. Die „Through-timer“ planen ihren Tages- und Wochenablauf termingerecht, halten sich an festgelegte Zeiten und überblicken größere Zeitspannen. Die „In-timer“ dagegen sehen vor allem den jeweiligen Moment und „leben im Augenblick“. Deshalb kann es zu Schwierigkeiten mit der Pünktlichkeit kommen. Auf etwa 50 „Through-timer“ kommen 3 „In-timer“.

Biologie

Hauptartikel: Chronobiologie Fast alle Lebewesen, bis hin zum Einzeller, besitzen eine biologische innere Uhr, die sich mit dem Tag-Nacht-Wechsel und anderen natürlichen Zyklen synchronisiert. Die innere Uhr zum Tagesrhythmus läuft aber auch ohne Tageslicht, wie an Pflanzen in der Dunkelheit gezeigt werden konnte, aber auch an Menschen in Bunker-Experimenten, in denen die freiwilligen Versuchspersonen ohne jeden Hinweis auf äußere Zeitrhythmen lebten. Dabei stellte sich nach einiger Zeit ein konstanter Wach-Schlaf-Rhythmus von im Mittel etwa 25 Stunden ein. Man bezeichnet ihn als circadianen Rhythmus (von lat. circa, ungefähr, und dies, Tag).

Soziologie und Gesellschaft

Hauptartikel: Zeitsoziologie

Tempus

Hauptartikel: Tempus Als Tempus bezeichnet man die Zeitform in der Grammatik. In verschiedenen Sprachen gibt es unterschiedliche Zeitformen, die unterschiedlich gebildet werden. In der hochdeutschen Sprache wird die Zeit auf drei Weisen dargestellt.
- Die Zeitform des Verbs erlaubt die Unterscheidung von Gegenwart (Präsens) und Vergangenheit (Präteritum). Beispiel: ich gehe und ich ging.
- Die Angabe von Hilfsverben (haben, sein) erlaubt die Unterscheidung von Vergangenheitsformen wie Perfekt und Plusquamperfekt. Beispiel: ich bin gegangen und ich war gegangen. Außerdem dienen Hilfsverben (hier: werden) zu Darstellung der Zukunft (Futur). Beispiele: Ich werde gehen. Ich werde gegangen sein.
- Möglich ist eine explizite Angabe des Zeitpunktes oder Zeitraumes. Beispiele: Jetzt gehe ich in die Schule. Morgen gehe ich in die Schule. Morgen werde ich in die Schule gehen. Es war gestern: Ich gehe da gerade die Straße entlang, da sehe ich einen Zwanzig-Euro-Schein. Einen zeitlich anhaltenden Verlauf kann man auch mit Partizip angeben. Beispiel: das fließende Wasser. Einen Extremfall stellt die umstrittene Behauptung von Benjamin Lee Whorf dar, der in einer Untersuchung der Sprache der Hopi festgestellt haben will, dass die Hopi-Sprache kein Konzept für den Begriff der Zeit besäße. Dies führte zum linguistischen Relativitätsprinzip alias Sapir-Whorf-Hypothese, wonach das Denken von den gesprochenen Sprachen abhängt.

Zitate

- Albert Einstein (1879-1955): Der Unterschied zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft ist für uns Wissenschaftler eine Illusion, wenn auch eine hartnäckige.
- Richard Feynman (1918-1988): Was ist Zeit? Es wäre schön, wenn wir eine gute Definition der Zeit finden könnten ... was jedoch wirklich wichtig ist, ist nicht, wie wir Zeit definieren, sondern wie wir sie messen. Eine Möglichkeit, Zeit zu messen, ist die Benützung von etwas, das immer wieder in regelmäßiger Art geschieht - etwas Periodischem ... Alles was wir sagen können, ist, dass wir eine Übereinstimmung finden zwischen einer Regelmäßigkeit der einen Art mit einer Regelmäßigkeit der anderen Art. Wir können nur sagen, dass wir unsere Zeit-Definition auf der Wiederholung eines offensichtlich periodischen Ereignisses aufbauen. (Aus einer seiner Vorlesungen)
- Aristoteles: Wir messen also nicht nur die Bewegung durch die Zeit, sondern auch die Zeit durch die Bewegung, weil sie einander begrenzen und bestimmen. So bestimmt also die Zeit die Bewegung selbst als Zahl und genauso die Bewegung die Zeit.

Weblinks

- [http://www.maa.mhn.de/Scholar/dt_times.html Astronomische Zeitmessung]
- [http://www.ptb.de/zeit Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt zum Thema Zeit]
- [http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/amueller/zeit.html Was ist Zeit?]
- [http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Semi/DieZeit.pdf Die Zeit (Seminarfacharbeit)]
- [http://www.ucolick.org/~sla/leapsecs/timescales.html Übersicht über verschiedene Zeitskalen]
- [http://www.timeticker.com Exakte Anzeige der Uhrzeit, Sommer-, Winterzeit und Zeitzonen] Videos Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri (Real Video):
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010304.rm&g2=1 Was ist Zeit?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010610.rm&g2=1 Was ist Gleichzeitigkeit?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=040204.rm Was war der Äther?]

Literatur

- John D. Barrow: Der Ursprung des Universums. Wie Raum, Zeit und Materie entstanden. Goldmann, München 2000, ISBN 3-442-15061-2
- John D. Barrow: Die Natur der Natur. Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit. Spektrum, Heidelberg 1993, ISBN 3-86025-029-9
- Julius T. Fraser: Die Zeit. Auf den Spuren eines vertrauten und doch fremden Phänomens. dtv, München 1993, ISBN 3-423-30023-X
- Stephen W. Hawking: Die illustrierte Kurze Geschichte der Zeit. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2002, ISBN 3-499-61487-1
- Kaempfer, Wolfgang: Die Zeit und die Uhren. Frankfurt am Main und Leipzig 1991
- Landes, David: Revolution in Time. Clocks and the Making of the Modern World. Cambridge, Mass. und London 1983
- Lippincott, Kristen: The Story of Time. London 1999
- Prigogine, Ilya: Vom Sein zum Werden. Zeit und Komplexität in den Naturwissenschaften. München 1988, ISBN 3-492-02943-4
- H. Reichenbach, Philosophie der Raum-Zeit-Lehre de Gruyter, Berlin & Leipzig, 1928
- Kip S. Thorne: Gekrümmter Raum und verbogene Zeit. Einsteins Vermächtnis. Bechtermünz, Augsburg 1999, ISBN 3-8289-3400-5
- Wendorff, Rudolf: Zeit und Kultur. Geschichte des Zeitbewußtseins in Europa. Opladen 1980
- Whitrow, G.J.: Die Erfindung der Zeit. Hamburg 1991 ! Kategorie:Physik ja:時間 ko:시간 simple:Time

Ort

Unter einem Ort (von althochdeutsch ort: Spitze, Platz) versteht man im Allgemeinen einen bestimmten Punkt im Raum beziehungsweise eine auch eine begrenzte und lokalisierbare Ausdehnung in diesem. Eine Ortsänderung bezeichnet man als Bewegung und deren physikalische Größe, also die Änderung des Ortes in Abhängigkeit von der Zeit, als Geschwindigkeit. Hierbei gibt es verschiedene Definitionen und Verständnisebenen des Begriffes:
- einen (räumlich) lokalisierbaren Platz (Wir treffen uns an diesem Ort; astronomischer Ort), auch Stelle, Punkt oder Position
- eine Ortschaft, Stadt
- die „örtliche“ Bevölkerung (der ganze Ort war auf den Beinen)
- in der Umgangssprache die Stelle eines Geschehnisses (vor Ort informieren)
- einen Kanton in der Schweiz, besonders historisch (die Acht Alten Orte)
- in der Mathematik (geometrischer Ort): eine Menge von Punkten mit einer bestimmten Eigenschaft
- Eine Spitze oder ein Ende von etwas
- in der Architektur die giebelseitge Begrenzung eines Daches: der Ortgang
- die Spitze einer Blankwaffe
- Ein Kap oder eine Landspitze (Darßer Ort)
- in der Bergmannssprache die Spitze des Stollens bzw. der Platz, wo abgebaut wird (vor Ort) (Singular: das Ort, Plural: die Örter)
- (veraltet): Ahle, Pfriem Natürliche Orte, siehe auch Wohnplatz, sind zum Beispiel:
- Weiler
- Dörfer
- Flecken
- Gnotschaften
- Siedlungen Politische Orte, welche in politischen Karten verzeichnet werden, sind zum Beispiel:
- Städte
- Gemeinden
- Samtgemeinden
- Bundesländer
- Kantone
- Regierungsbezirke
- Bezirke
- Bundesstaaten,
- Staaten Geografische Orte, welche in geografischen Karten verzeichnet werden, sind zum Beispiel:
- Berge
- Täler
- Inseln
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Differentialrechnung

Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differenzialrechnung ist die Berechnung von lokalen Veränderungen von Funktionen. Hierzu dient die Ableitung, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt. Die Differentialrechnung ist zur Bildung von mathematischen Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie deren nachfolgender Analyse in vielen Fällen ein unverzichtbares Hilfsmittel. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate, in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z.B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.). Dieser Artikel erklärt außerdem die Begriffe Differenzenquotient, Differenzialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung und totale Ableitung.

Einleitung

Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt – wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat. In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion

f

für jedes

x

an, wie sich

f(x)

verändert, wenn sich

x

um einen infinitesimal kleinen Betrag

\mathrmx

ändert. In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Geschichte

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der nahe liegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als Null), aber beliebig kleinen Intervall. Die technische Schwierigkeit bestand darin, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. So löste Fermat um 1640 das Tangentenproblem für Polynome. Hierbei schrieb er bereits eine Ableitung hin, jedoch ohne Betrachtung von Grenzwerten und ohne niederzuschreiben, was die mathematischen Rechtfertigungen für sein Vorgehen waren. Zur selben Zeit wählte Descartes einen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei Punkten, es sei denn der Kreis berührt die Kurve. Dann war es ihm für spezielle Kurven möglich, die Steigung der Tangente zu bestimmen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonard Euler, der den Funktionsbegriff prägte. Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen Zahlen, die aber größer als Null sind. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von Bischof Berkley in der polemischen Schrift The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. Anfang des 19. Jahrhunderts ging Augustin Louis Cauchy davon ab und definierte die Ableitung in der heute üblichen, logisch strengen Weise als Grenzwert von Sekantensteigungen ("Differenzenquotienten"). Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts gegeben.

Definition

Hinführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion

x \to f(x)

in einem Punkt

x_0

. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an

f

über einem endlichen Intervall

[x_0, x_0 + \Delta x]

: :Sekantensteigung =

\frac

. Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation

y

für

f(x)

kann man die Sekantensteigung abgekürzt als

\frac

schreiben. : Ableitung einer Funktion Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zum Beispiel als Durchschnittsgeschwindigkeit: :"Auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9:43 Uhr (

x_0

) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand

f(x_0)

= 198 km). Um 11:04 Uhr (

x_0 +\Delta x

) war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand

f(x_0+\Delta x)

=341 km). In einer Stunde und 21 Minuten (

\Delta x

) habe ich somit 143 km (

\Delta y

) zurückgelegt. Meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug somit 143 km/1,35 h = 105,9 km/h (

\Delta y / \Delta x

)." Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl

\Delta x

als auch

\Delta y

gegen Null. Der Quotient

\Delta y / \Delta x

bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation

Eine Funktion, die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet (

f:U \to \mathbb

), heißt differenzierbar an der Stelle

x_0 \in U

, falls der Grenzwert :

\lim_ \frac   = \lim_ \frac

(mit

h = x - x_0

) existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von

f

nach

x

an der Stelle

x_0

und wird als :

f\, '(x_0)

oder

\frac (x_0)

oder

\frac

notiert. Die Terme

\mathrmx

und

\mathrmy

heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vgl. Einleitung). In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale. Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt. Newton benutzte einen Punkt über der abzuleitenden Größe, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist. Die Notation mit Apostroph (

f \, '

) geht auf Lagrange zurück, der sie 1797 in seinem Buch Théorie des fonctions analytiques einführte. Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat:
Eine Funktion heißt in einem Punkt

x_0

differenzierbar, falls eine Konstante

L

existiert, so dass :

\lim_ \frac=0

. Der Zuwachs der Funktion

f

, wenn man sich von

x_0

nur wenig entfernt, lässt sich also durch

Lh

sehr gut approximieren, man nennt die Ableitung

L

deswegen auch die Linearisierung von

f

. Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen. Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig. Die Umkehrung gilt jedoch überraschender Weise nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernhard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist; Karl Weierstraß veröffentlichte 1861 als erster eine derartige Funktion. Ein bekanntes Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Ableitung als eine Funktion

Die Ableitung der Funktion

f

an der Stelle

x_0

, bezeichnet mit

f\,'(x_0)

, beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle

x_0

. Nun wird

x_0

im Allgemeinen nicht die einzige Stelle sein, an der

f

differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl

x

aus dem Definitionsbereich von

f

die Ableitung an dieser Stelle (also

f\,'(x)

) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion

f\,'

, deren Definitionsbereich eine Teilmenge des Definitionsbereiches von

f

ist.

f\,'

heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von

f

. Beispielsweise hat die Quadratfunktion

f: \, x \mapsto x^2

an einer beliebigen Stelle

x_0

die Ableitung

f\,'(x_0) = 2 x_0

. Daher ist die zugehörige Ableitungsfunktion

f\,'

gegeben durch

f\,': \, x \mapsto 2x

. Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion

e^x

und ihre Vielfachen. Ist die Ableitung stetig, dann heißt

f

stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung

C(\Omega)

des Raums der auf der Menge

\Omega

stetigen Funktionen wird der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit

C^1(\Omega)

abgekürzt.

Komplexe Differenzierbarkeit

Bisher wurde nur von reellen Funktionen gesprochen. Für Differenzierbarkeit von Funktionen mit komplexen Argumenten wird einfach die Definition mit der Linearisierung verwandt. Überraschenderweise ist die Bedingung hier viel einschränkender als im reellen: So ist beispielsweise die Betragsfunktion nirgendwo komplex differenzierbar. Gleichzeitig ist jede in einer Umgebung einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch beliebig oft differenzierbar, es existieren also alle höheren Ableitungen.

Berechnung von Ableitungen

Wenn man die Ableitung einer Funktion berechnet, sagt man, man differenziert diese Funktion; diese Tätigkeit heißt Differentiation. Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B.

x^n

\sin(x)

,...) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann

\Delta x

gegen Null gehen. Allerdings vollzieht der typische Mathematikanwender diese Berechnung nur ein paar wenige Male in seinem Leben nach. Später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig und schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk (z. B. im Bronstein-Semendjajew oder unserer Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) nach.

Beispiel für die elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion

Gesucht sei die Ableitung von

f(x) = x^3

. Dann berechnet man den Differenzenquotienten als :

\frac 
       = \frac
       = \frac

= \frac

= \frac

= 3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2

und erhält im Limes

\Delta x \to 0

die Ableitung :

f'(x_0)
       = \lim_(3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2)
       = 3 x_0^2 .

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

f (x) = |x|

ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar: Für

x > 0

gilt

f(x)=x

und damit :

\lim_ \frac   
  = \lim_\frac  = 1

. Für

x < 0

gilt dagegen

f(x)=-x

und folglich :

\lim_ \frac   
  = \lim_\frac  = -1

. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert.

f

ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar (an allen anderen Stellen aber sehr wohl!). : Bild:Abs_x.PNG Betrachtet man den Graphen von

f

, so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph keine "Knicke" enthält. Ein typisches Beispiel für nirgends differenzierbare stetige Funktionen, deren Existenz zunächst schwer vorstellbar erscheint, sind fast alle Pfade der Brownschen Bewegung. Diese wird zum Beispiel zur Modellierung der Charts von Aktienkursen benutzt.

Beispiel für eine nicht überall stetig differenzierbare Funktion

Aktienkursen Beachte: Selbst wenn

f

überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion :

f(x) =
  \begin
    x^2\cos \left( \frac \right) & x\ne 0\\
    0 & x=0
  \end

in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung :

f'(x) =
  \begin
    2x\cos \left(\frac \right) + \sin \left(\frac \right) & x\ne 0\\
    0 & x=0
  \end

ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Ableitungen zusammengesetzter Funktionen (z. B.

\sin(2x)

oder

x^2 \cdot \exp(-x^2)

) führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln (siehe unten) auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück. Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien

f

g

und

h

(im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen,

n

und

a

reelle Zahlen, dann gilt:

Der Fundamentalsatz der Analysis

Die wesentliche Leistung von Leibniz war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt. Er besagt: Ist

I\subset\mathbb R

ein Intervall,

f:I\to\mathbb R

eine stetige Funktion und

a\in I

ein beliebiger Punkt, so ist die Funktion :

F:I\to\mathbb R,\; x\mapsto \int_a^x f(t)\,dt

stetig differenzierbar, und ihre Ableitung ist

F\,'=f

. Hiermit ist also eine Anleitung zum Integrieren gegeben: Wir suchen eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist. Dann gilt: :

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ein weiterer zentraler Satz der Differentialrechnung ist der Mittelwertsatz, der von Cauchy bewiesen wurde. Es sei

f: [a,b] \to \mathbb

eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall

[a,b]

(mit

a < b

) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion

f

im offenen Intervall

(a,b)

differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein

x_0 \in (a,b)

, sodass

f'(x_0) = \frac

gilt.

Mehrfache Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion

f

wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von

f

als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein. Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts

\mathbf(t)

nach der Zeit

t

die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Wenn Politiker sich erfreut über den "Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl" äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die unangenehme Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren. Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden: :

f

= f^ = \frac , : $f = f^ = \frac$ , ... Naheliegenderweise wird die Multi-Apostroph-Schreibweise bei niedrigen, die eine oder andere Zahlen-Schreibweise bei hohen Ableitungen bevorzugt. Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen $f\,^$ legt man außerdem fest, dass $f\,^=f'$ und $f\,^=f$ .
Taylor-Reihen und Glattheit
Ist $f$ eine im Intervall $I$ ( $n+1$ )-mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle $a$ und $x$ aus $I$ die Darstellung der so genannten Taylor-Formel: : $f(x) = T_ (x) + R_ (x)$ mit dem so genannten $n$ -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle $a$ : $T_(x)
=
\sum_^n \left( (x-a)^k \right)
=
f(a) + \frac(x-a) + \frac(x-a)^2 + \ldots
+ \frac(x-a)^n$ und dem so genannten ( $n+1$ )-ten Restglied : $R_(x)
=
\frac\int_a^x (x-t)^n f^(t) dt$ . Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylor-Formel erweitert werden auf die Taylor-Reihe von $f$ mit Entwicklungspunkt $a$ : : $f(a)
+ f'(a) (x-a)
+ \frac (x-a)^2
+ \ldots
+ \frac (x-a)^n
+ \ldots
= \sum_^\infty \frac (x-a)^n$ . Es stellt sich allerdings heraus, dass die Existenz aller Ableitungen nicht ergibt, dass $f$ sich durch die Taylor-Reihe darstellen lässt. Anders ausgedrückt: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt. Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion so oft differenzierbar ist, wie nötig um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.
Anwendung: Berechnung von Minima und Maxima
Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich im Spezialfall monotoner Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. In diesem Abschnitt nehmen wir das Polynom : $= \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x$ als Beispiel. Die Abbildung zeigt den Verlauf von $f(x)$ , $f'(x)$ und $f$ (x) . Bild:Einekurvendiskussionmod.png

Waagerechte Tangenten

Besitzt eine Funktion

f(x):I \to \mathbb

in einem inneren Punkt

c

des zusammenhängenden Intervalls

I

ihren größten oder kleinsten Wert, also für alle

x

dieses Intervalls gilt

f(c)>f(x)

oder

f(c) und existiert darüber hinaus die Ableitung im Punkt c, so kann die Ableitung dort nur gleich Null sein f'(c)=0 .

Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass die Funktion eine parallel zur x -Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt. Folglich ist die Steigung Null an der Stelle x=c .

Lediglich die notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal- oder Minimalwertes einer Funktion in einem Intervall ist durch den Satz von Fermat gegeben. Deswegen kann es sich um einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt handeln.

Wesentlich ist die Bedingung, der Differenzierbarkeit der Funktion im Punkt x=c für den Satz von Fermat. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert.

Im Beispiel ist
: = f'(x) wird 0 bei x=1 und x=3 .

Die zweite Ableitung f

(x) beschreibt die Steigung von $f'(x)$ , also die Änderung der Steigung von $f(x)$ . Ist $f$ (x)>0 , so ändert sich

f'(x)

von negativen zu positiven Werten, also liegt ein lokales Minimum von

f(x)

vor. Im Falle

f

(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet ein lokales Maximum von $f(x)$ . Im Beispiel ist $f$ (1) = -2 und

f

(3)=2 . Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie Wendepunkte, Sattelpunkte, Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen wird im Artikel Kurvendiskussion beschrieben.
Ein Beispiel für angewandte Differentialrechnung
Kurvendiskussion In der Mikroökonomie werden beispielsweise verschiedene Arten von Produktionsfunktionen analysiert, um daraus Erkenntnisse für makroökonomische Zusammenhänge zu gewinnen. Hier ist vor allem das typische Verhalten einer Produktionsfunktion von Interesse: Wie reagiert die abhängige Variable Output $y$ (produzierte Menge eines Gutes), wenn der Input $x$ (Produktionsfaktor, z.B. Arbeit oder Kapital) um eine (infinitesimal) kleine Einheit erhöht wird? Ein Grundtyp einer Produktionsfunktion ist etwa die neoklassische Produktionsfunktion. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass der Output bei jedem zusätzlichen Input steigt, dass aber die Zuwächse abnehmend sind. Es sei beispielsweise für einen Betrieb die Produktionsfunktion : $y = f(x) = \sqrt\ \mathrm\ x \ge 100$ ::(gezeichnet ist $y = f(x) = 10\sqrt = \sqrt\ \mathrm\ x \ge 100$ ) maßgebend. Die erste Ableitung dieser Funktion ergibt unter Anwendung der Kettenregel : $\frac = \frac()^ \cdot 400 = \frac$ . Da der Wurzelausdruck der ersten Ableitung nur positiv werden kann, sieht man, dass der Ertrag bei jedem zusätzlichen Input steigt. Die zweite Ableitung ergibt : $\frac = 200 \left(-\frac \right) ()^ \cdot 400 = -\frac$ . Sie wird für alle Inputs negativ, also fallen die Zuwächse. Man könnte also sagen, das bei steigendem Input der Output unterproportional steigt.
Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen
Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also mit einer reellen oder komplexen Zahl als Argument) zu Grunde. Funktionen, die Vektoren auf Vektoren oder Vektoren auf Zahlen abbilden, können ebenfalls eine Ableitung haben. Allerdings ist eine Tangente an die Funktion in diesen Fällen nicht mehr eindeutig bestimmt, da es viele verschiedene Richtungen gibt. Hier ist also eine Erweiterung des bisherigen Ableitungsbegriffs notwendig.
Partielle Ableitungen
Wir betrachten zunächst eine Funktion, die von $\mathbb^n\to\mathbb$ geht. Ein Beispiel ist die Temperaturfunktion: Wir messen in Abhängigkeit vom Ort die Temperatur in unserem Zimmer, um zu beurteilen, wie effektiv die Heizung ist. Bewegen wir das Thermometer in eine bestimmte Richtung, bemerken wir eine Veränderung der Temperatur. Diese ist die so genannte Richtungsableitung. Die Richtungsableitungen in spezielle Richtungen, nämlich die der Koordinatenachsen, nennt man auch die partiellen Ableitungen. Insgesamt lassen sich für eine Funktion in $n$ Variablen insgesamt $n$ partielle Ableitungen errechnen: : $k = \frac$ : $= \lim_
\frac;\quad
i \in [1; n]$ Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Gradient oder Nablavektor anschreiben. Partielle Ableitungen können wieder differenzierbar sein und lassen sich dann in der so genannten Hesse-Matrix anordnen. Analog zum eindimensionalen Fall sind die Kandidaten für Extremstellen da, wo die Ableitung Null ist, also der Gradient verschwindet. Ebenfalls analog benutzt man die zweite Ableitung, also die Hesse-Matrix, zur Bestimmung des exakt vorliegenden Falles. Im Gegensatz zum eindimensionalen ist allerdings die Formenvielfalt in diesem Falle größer. Mittels einer Hauptachsentransformation der durch eine mehrdimensionale Taylor-Entwicklung im betrachteten Punkt gegebenen quadratischen Form lassen sich die verschiedenen Fälle klassifizieren.
Implizite Differentiation
Ist eine Funktion $x \mapsto y(x)$ durch eine implizite Gleichung $F\left(x,y\left(x\right)\right) = 0$ gegeben, so folgt aus der verallgemeinerten Kettenregel, die für Funktionen mehrerer Variablen gilt: $F_x + F_yy' = 0\mathsf$ . Für die Ableitung der Funktion $y$ ergibt sich daher: : $y' = -\frac$ mit $F_x = \frac , F_y = \frac; F_y \neq 0$ .
Totale Differenzierbarkeit
Eine Funktion $f:U \subset \mathbb^n \to \mathbb^m$ , wobei $U$ eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt $x_0 \in U$ total differenzierbar (manchmal auch nur differenzierbar), falls eine lineare Abbildung $L: \, \mathbb^n \to \mathbb^m$ existiert, sodass : $\lim_ \frac=0$ gilt. Für den eindimensionalen Fall stimmt diese Definition mit der oben angegebenen überein. Die lineare Abbildung $L$ ist bei Existenz eindeutig bestimmt, hängt also insbesondere nicht von der verwendeten Norm ab. Die Tangente wird also durch die lokale Linearisierung der Funktion abstrahiert. Die Matrixdarstellung der ersten Ableitung von $f$ nennt man Jacobi-Matrix. Es handelt sich um eine $n \times m$ -Matrix, im Fall $m=1$ erhalten wir den oben beschriebenen Gradienten. Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang: Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein. Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt $x_0$ nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit. Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von $x_0$ stetig, dann ist die Funktion in $x_0$ auch total differenzierbar.
Wichtige Sätze

- Satz von Schwarz: Die Differentiationsreihenfolge ist bei der Berechnung von partiellen Ableitungen höherer Ordnung unerheblich, wenn alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung (einschließlich) stetig sind.
- Satz von der impliziten Funktion: Funktionsgleichungen sind lösbar, falls die Jacobi-Matrix bezüglich bestimmter Variablen invertierbar ist.
Verallgemeinerungen

- In vielen Anwendungen ist es wünschenswert, Ableitungen auch für stetige oder sogar unstetige Funktionen bilden zu können. So kann beispielsweise eine sich am Strand brechende Welle durch eine partielle Differentialgleichung modelliert werden, die Funktion der Höhe der Welle ist aber noch nicht einmal stetig. Zu diesem Zweck verallgemeinerte man Mitte des 20. Jahrhunderts den Ableitungsbegriff auf den Raum der Distributionen und definierte dort eine schwache Ableitung. Eng verbunden damit ist der Begriff des Sobolew-Raums.
- In der Differentialgeometrie werden gekrümmte Flächen untersucht. Hierzu wird der Begriff der Differentialform benötigt.
- Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen $f: U\subset X \to Y$ , $U \subset X$ offen mit $X, Y$ Banachräume, übertragen. $f$ heißt in $x_0 \in U$ differenzierbar, wenn ein stetiger linearer Operator $L \in \mathcal L(X,Y)$ existiert, so dass :: $\lim_ \frac = 0$ .
Differentialgleichungen
Die wichtigste Anwendung der Differentialrechnung neben dem Bestimmen von Maxima und Minima ist in der mathematischen Modellierung physikalischer Vorgänge. Wachstum, Bewegung oder Kräfte haben alle mit Ableitungen zu tun, ihre formelhafte Beschreibung muss also Differentiale enthalten. Typischerweise führt dies auf Gleichungen, in denen Ableitungen einer unbekannten Funktion auftauchen, eben genau Differentialgleichungen. Beispielsweise verknüpft das Newtonsche Bewegungsgesetz : $\mathbf(t) = m \mathbf(t) = m \ddot \mathbf = m\frac$ die Beschleunigung $\mathbf$ eines Körpers mit seiner Masse $m$ und der auf ihn einwirkenden Kraft $\mathbf$ . Das Grundproblem der Mechanik lautet deshalb, aus einer gegebenen Beschleunigung auf die Ortsfunktion eines Körpers zurückzuschließen. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die im allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft – je nach Anwendungsfall – von der Zeit $t$ oder/und vom Ort $\mathbf$ abhängen kann. Da viele Anwendungen mehrdimensional sind, sind dort partielle Ableitungen sehr wichtig, mit denen sich partielle Differentialgleichungen formulieren lassen. Mathematisch kompakt werden diese mittels Differentialoperatoren beschrieben und analysiert.
Literatur

- Schulbücher:
- Differentialrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
- Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2004. ISBN 3-528-67224-2
- Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 6. Aufl. 2005. ISBN 3-528-47231-6
- Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995
- Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. Binomi Verlag, 1. Auflage, 1993,
- Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (z.B. Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
- Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Wiley-VCH, Band 1, 3. Auflage, 2000
- Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 1
- Klaus Weltner: "Mathematik für Physiker" Band 1
Weblinks

- [http://www.walter-fendt.de/m14d/sektang.htm Interaktive Veranschaulichung der Sekanten- und Tangentensteigung]
- [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ableitung/index.htm Anschauliche Erklärung von Ableitungen]
- [http://www.mmnetz.de/huseyin/ableitungsregeln.pdf Übersicht über die wichtigsten Ableitungsregeln mit Herleitungen]
- [http://www.mathematik-wissen.de/differentialrechnung.htm Erklärung der Differentialrechnung für Schüler] Kategorie:Analysis ja:微分 ko:미분 simple:Derivative th:อนุพันธ์

Vektorfeld

In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik, um zum Beispiel die Geschwindigkeit und Richtung jedes Punktes einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, wie der magnetischen oder der Schwerkraft.

Definition

Ein Vektorfeld F des euklidischen Raumes

\mathbb R^n

ist eine glatte Funktion von einer offenen Menge

U \subseteq \mathbb R^n

nach

\mathbb R^n

. An jedem Punkt der Menge U wird somit ein "Pfeil angebracht", der sich nicht sprunghaft ändert (die Glattheit von F heißt, dass F unendlich oft stetig partiell abgeleitet werden kann). Allgemeiner werden Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten definiert: Ein Vektorfeld ist ein glatter Schnitt im Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit. Das heißt, das Vektorfeld sieht auf jeder Karte so aus wie ein Vektorfeld des

\mathbb R^n

. Obwohl die betrachtete Mannigfaltigkeit meist der zweidimensionale oder dreidimensionale euklidische Raum ist (wo der Tangentialraum überall mit diesem euklidischen Raum übereinstimmt), sind auch andere Mannigfaltigkeiten nützlich: Um die großräumige Luftbewegungen auf der Erde zu beschreiben, benutzt man Vektorfelder auf einer Kugel (einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit), die Raumzeit ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, und Phasenräume komplexer physikalischer Systeme werden oft durch hochdimensionale Mannigfaltigkeiten beschrieben, deren Vektorfelder angeben, wie sich das System mit der Zeit verändert. Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet. Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Vektorfeldern sind
- der Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist,
- die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes, die in gewissem Sinne Ableitungen sind.

Anwendungen

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik:
Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik. Siehe auch: Erdschwerefeld, Potenzial, Potenzialtheorie. Kategorie:Analysis

Meter

Das Meter (v. griech.: μέτρον/métron = Maß, -messer) – auch der Meter, in der Schweiz und Österreich immer der Meter – ist die SI-Basiseinheit der Länge. Das Einheitenzeichen des Meters lautet m und das Formelzeichen der Länge l.

Aktuelle Definition

Das Meter ist definiert als die Strecke, die das Licht im Vakuum in einer Zeit von 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt. Zur Umstellung von der Länge eines standardisierten Messstabes auf die zeitbasierte kam es, weil die Messung von Zeiten zwischenzeitlich wesentlich genauer erfolgt, als die Messung von Längen.

Alte Definitionen

Der Definition des Meters gingen einige Vorschläge voraus, eine universelle Längeneinheit zu definieren, die nicht – wie damals üblich – von den Abmessungen der Gliedmaßen des jeweiligen Herrschers abgeleitet war. So schlug der Abt Jean Picard zum Beispiel 1668 vor, als Längeneinheit die Länge eines Pendels zu verwenden, das eine halbe Periodendauer von einer Sekunde hatte (Sekundenpendel). Ein solches Pendel hat die Länge von 0,994 m und käme damit der heutigen Definition eines Meters ziemlich nahe. Der Begriff Meter für diese Längeneinheit wurde allerdings zum ersten Mal von Tito Livio Burattini im Jahr 1675 verwendet. Er bezeichnete die Länge des Sekundenpendels als Metro Cattolico (katholischer Meter). 1675 Im Jahr 1793 wurde der Meter dann als der 40-millionste Teil der Länge des Erdmeridians, auf dem Paris liegt, also auf den zehnmillionsten Teil der Entfernung vom Pol zum Äquator, festgelegt. Im Jahr 1795 wurde ein Prototyp dieses Meters in Messing, im Jahr 1799 schließlich als Urmeter in Platin gegossen. Zur Bestimmung der Länge des Urmeters dienten die Ergebnisse der von Jean-Baptiste Joseph Delambre und Pierre Méchain zwischen 1792 und 1799 vorgenommenen Vermessung des Meridianbogens zwischen Dünkirchen und Barcelona. Genauere Vermessungen der Erde kamen später allerdings zu dem Ergebnis, dass das Urmeter ein wenig zu kurz geraten war. 1889 wurde vom zwischenzeitlich gegründeten BIPM ein neuer Standard eingeführt. Dazu wurde der internationale Meterprototyp angefertigt, ein Stab mit kreuzförmigem Querschnitt aus einer Platin-Iridium-Legierung im Verhältnis 90:10 und ein Meter wurde festgelegt als der Abstand der Mittelstriche zweier Strichgruppen bei einer Temperatur von 0 °C. Damit richtete sich das Meter nicht mehr nach der Vermessung der Erde. Kopien dieses Meterprototyps wurden an die Eichinstitute in vielen Ländern vergeben. Von 1960 bis 1983 war das Meter das 1.650.763,73-fache der Wellenlänge der sich im Vakuum ausbreitenden Strahlung, die von Atomen des Nuklids Krypton-86 beim Übergang vom Zustand 5d5 zum Zustand 2p10 ausgesandt wird. Seit 1983 wird das Meter als die Strecke definiert, die das Licht im Vakuum in einer Zeit von 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt. Der Grund für diese Neudefinition ist, dass mittlerweile die Zeit (mit Atomuhren) viel genauer messbar ist als Strecken. Dies hat auch zur Folge, dass die Lichtgeschwindigkeit nun nicht mehr gemessen werden kann, sondern als Konstante festgelegt ist mit 299.792.458 m/s.

Abgeleitete Maßeinheiten

Im folgenden werden einige Beispiele für verschiedene Längen beschrieben. Zu den Vorsilben siehe auch die Liste der Vorsilben für Maßeinheiten.

Bekannte

Kilometer

Ein Kilometer, abgekürzt km, entspricht 1.000 Metern: 1 km = 10³ m.

Zentimeter

Ein Zentimeter (veraltet auch Centimeter), abgekürzt cm, entspricht dem Hundertstel eines Meters: 1 cm = 10^-2 m oder 0,01 m. Der Zentimeter ist die cgs-Einheit der Länge. Siehe auch: inch

Millimeter

Ein Millimeter, abgekürzt mm, entspricht dem Tausendstel eines Meters: 1 mm = 10^-3 m oder 0,001 m.

Mikrometer

Ein Mikrometer (veraltet auch Mikron nach seiner alten Bezeichnung, oder My nach dem griechischen Buchstaben µ), abgekürzt µm, entspricht dem Millionstel eines Meters: 1 µm = 10^-6 m = 0,000 001 m. Oder 1 µm = 10^-3 mm, also ein eintausendstel Millimeter. My bezeichnet darüber hinaus im umgangssprachlichen Gebrauch oft kleinste Längen, die gerade noch erkennbar sind, obwohl ein Mikrometer eigentlich nicht mit freiem Auge wahrgenommen werden kann. Die Messschraube, ein Längenmessgerät, wird wegen ihrer Genauigkeit oft Mikrometerschraube oder kurz Mikrometer genannt.

Nanometer

Ein Nanometer, abgekürzt nm, entspricht dem Milliardstel eines Meters: 1 nm = 10^-9 m. Oder 1 nm = 10^-6 mm, also ein millionstel Millimeter. Ein Nanometer entspricht in einen Stück Metall ungefähr einer Strecke von vier benachbarten Atomen. Die kleinsten mit einem Lichtmikroskop erkennbaren Strukturen sind etwa 500 nm groß. Zur Untersuchung von Strukturen unterhalb von 500 nm verwendet man Rasterelektronenmikroskope, Rastertunnelmikroskope oder Rasterkraftmikroskope. siehe auch: Nanotechnologie

Pikometer

Ein Pikometer (veraltet auch Picometer), abgekürzt pm, entspricht dem Billionstel eines Meters: 1 pm = 10^-12 m. Der Pikometer ist geeignet für Messungen innerhalb der Atomhüllen. Ein Atom hat einen Durchmesser zwischen 50 und 600 pm. Der Durchmesser eines Atomkerns liegt um 0,01 pm. 100 pm = 1 Ångström.

Femtometer

Ångström Ein Femtometer (Einheitenzeichen: fm), ist das Billiardstel eines Meter:und ein Billionstel von einen Millimeter 1 fm = 10^-15 m. Der Femtometer wurde früher in der Atom- und Kernphysik auch als Fermi bezeichnet; seine Verwendung führt zu übersichtlichen Zahlenwerten bei der Angabe von Atomkern-Durchmessern. Denn der Durchmesser eines Atomkerns beträgt etwa 10 fm. Protonen und Neutronen haben einen Durchmesser von etwa 1,6 fm . Die kleinsten Atomradien messen 51000 fm = 51 pm.

Weniger bekannte

- Ein Megameter, abgekürzt Mm, entspricht 1.000 Kilometern = 10⁶ m.
- Ein Myriameter entspricht 10.000 m = 10 km = 10⁴ m. Der Gebrauch der Vorsilbe myria ist jedoch seit 1960 nicht mehr zulässig.
- Ein Hektometer abgekürzt hm, entspricht 100 m = 10² m.
- Ein Dekameter abgekürzt dam, entspricht 10 m = 10¹ m.
- Ein Dezimeter, abgekürzt dm, entspricht dem Zehntel eines Meters: 1 dm = 10^-1 m.
- Ein Attometer, abgekürzt am, entspricht dem Trillionstel eines Meters: 1 am = 10^-18 m.
- Ein Zeptometer, abgekürzt zm, entspricht dem Trilliardstel eines Meters: 1 zm = 10^-21 m.
- Ein Yoktometer, abgekürzt ym, entspricht dem Quadrillionstel eines Meters: 1 ym = 10^-24 m.

Siehe auch

- SI-Einheiten
- -metrie
- -meter
- Metrik
- Meterstab
- Maßeinheiten
- Längenmaß

Weblinks

- [http://www.ptb.de/de/wegweiser/einheiten/_index.html Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt PTB als "Hüterin der Einheiten"] Kategorie:SI-Einheit ja:メートル ko:미터 ms:Meter simple:Metre th:เมตร

Sekunde

Die Sekunde (verkürzt von lat. pars minuta secunda „dem veminderten Part (nochmals) vermindert folgend“ = sequi) ist die SI-Basiseinheit der Zeit. Im SI-Einheitensystem ist die Sekunde durch ein atomares Zeitnormal definiert, da dies eine erheblich größere Genauigkeit und langfristige Konstanz gewährleistet als astronomische Zeitnormale wie Sonnensekunde oder Ephemeridensekunde.

Aktuelle Definition

Eine Sekunde ist definitionsgemäß das 9.192.631.770-fache der Periode einer Mikrowelle, die mit einem ausgewählten Niveauübergang im Cäsiumatom in Resonanz ist. Anders gesagt: das 9.192.631.770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids ¹³³Cs entsprechenden Strahlung.

Alte Definitionen

Diese Festlegung wurde eingeführt, damit ein durchschnittlicher Sonnentag, der einer Drehung der Erde um ihre Achse, so dass die Sonne wieder an der gleichen Stelle zu sehen ist (das war die historische Definition der Sekunde), entspricht, 24 · 60 · 60 Sekunden gleich ist. Da dies wegen der Verlangsamung der Erdrotation (Gezeiten-Reibung) und einiger unregelmäßigen Änderungen durch Magmaströme zwischen Erdmantel und Erdkern nicht mehr ganz stimmt, wurden Schaltsekunden eingeführt.

Größenbeispiele

Millisekunde

Eine Millisekunde beschreibt den tausendsten Teil einer Sekunde. Abgekürzt wird die Millisekunde mit ms. 1 ms = 1/1.000 s = 1 · 10^–3 s In 1 ms legt das Licht eine Strecke von 299,792 km zurück. Schwingungen mit 1 ms Periodendauer haben eine Frequenz von 1 kHz.

Mikrosekunde

Eine Mikrosekunde beschreibt den millionsten Teil einer Sekunde. Abgekürzt wird die Mikrosekunde mit µs. 1 µs = 1/1.000.000 s = 1 · 10^–6 s In 1 µs legt das Licht eine Strecke von 299,79 m zurück. Schwingungen mit 1 µs Periodendauer haben eine Frequenz von 1 MHz.

Nanosekunde

Eine Nanosekunde beschreibt den milliardsten Teil einer Sekunde. Abgekürzt wird die nanosekunde mit ns. 1 ns = 1/1.000.000.000 s = 1 · 10^–9 s In 1 ns legt das Licht eine Strecke von 0,3 m zurück. Schwingungen mit 1 ns Periodendauer haben eine Frequenz von 1 GHz.

Picosekunde

Eine Picosekunde (auch Pikosekunde) beschreibt den billionsten Teil einer Sekunde. Abgekürzt wird die Picosekunde mit ps. 1 ps = 1/1.000.000.000.000 s = 1 · 10^–12 s In 1 ps legt das Licht eine Strecke von 0,3 mm zurück. Schwingungen mit 1 ps Periodendauer haben eine Frequenz von 1 THz.

Femtosekunde

Eine Femtosekunde beschreibt den billiardstel Teil einer Sekunde. Abgekürzt wird die Femtosekunde mit fs. 1 fs = 1/1.000.000.000.000.000 s = 1 · 10^–15 s In 1 fs legt das Licht eine Strecke von 0,3 μm zurück. Schwingungen mit 1 fs Periodendauer haben eine Frequenz von 1 PHz (Petahertz). Die Periodendauer von sichtbarem Licht beträgt etwa 1,30 bis 2,57 fs.

Siehe auch:

- Internationales Einheitensystem (SI)
- Liste der Vorsilben für Maßeinheiten
- Atomuhr
- Jiffy

Wikipedia-Links zum Themenkomplex Kalender und Zeit

Weblinks

- [http://www.ptb.de/de/org/4/44/441/info1.htm#Sekunde Die Sekundendefinition von 1967 bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt]
- [http://www.ptb.de/de/wegweiser/infoszurzeit/_index.html Zeit - Physikalisch-Technische Bundesanstalt]
- [http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Semi/DieZeit.pdf Die Zeit - eine Seminararbeit] Kategorie:SI-Einheit Kategorie:Zeitbegriff ja:秒 simple:Second

Km/h

Kilometer durch Stunde oder Kilometer pro Stunde (Einheitenzeichen: km/h) ist eine Maßeinheit der Geschwindigkeit. Was sich eine Stunde lang mit 1 km/h bewegt, legt in dieser Stunde eine Strecke von einem Kilometer zurück. Die Maßeinheit km/h hat sich für die Fortbewegung durchgesetzt, da sie in der menschlichen Vorstellung leichter erfassbar ist als die SI-Basiseinheit m/s. Im populären Sprachgebrauch liest man km/h oft als „Stundenkilometer“, was physikalisch falsch ist, da das Wort eine nicht existente und nutzlose Einheit „km×h“ bezeichnen würde. Keinesfalls sollte daher beim Einheitenzeichen km/h der Divisionsstrich weggelassen werden.

Einige Geschwindigkeiten in km/h

- 5 km/h -- Fußgänger
- 20 km/h -- Radfahrer
- 50 km/h -- Geschwindigkeitsbegrenzung für Kraftfahrzeuge in geschlossenen Ortschaften (Deutschland, Österreich)
- 100 km/h -- Geschwindigkeitsbegrenzung für Kraftfahrzeuge außerhalb geschlossener Ortschaften (Deutschland und Österreich)
- 130 km/h -- Richtgeschwindigkeit auf deutschen Autobahnen, Geschwindigkeitsbegrenzung auf Österreichischen Autobahnen
- 300 km/h -- Hochgeschwindigkeitszug
- 980 km/h -- Jumbo Jet bei vollem Schub
- 1 235 km/h -- Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C
- 40 320 km/h -- Fluchtgeschwindigkeit der Erde (2. kosmische Geschwindigkeit)
- 1 079 252 849 km/h -- Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Umrechnung zwischen km/h und m/s

Die Einheit km/h wird oft der SI-Einheit m/s (Meter durch Sekunde) vorgezogen, weil sie in vielen alltäglichen Situationen - z. B. bei Geschwindigkeiten von Fahrzeugen - handlichere Werte liefert. Die Umrechnung ist folgendermaßen möglich: : 1 km = 1000 m; eine Stunde hat 3600 Sekunden (60 min/h · 60 s/min), also: : 1 m/s = (1/1000 km)/(1/3600 h) :: = 0,001 · 3600 km/h (Kehrwerte) :: = 3,6 km/h : 1 km/h = (1000 m/3600 s) = (10/36) m/s ≈ 0,28 m/s (aufgerundet)
- In Ländern, die nicht nach dem metrischen System arbeiten, werden Geschwindigkeiten oft in Meilen pro Stunde (mph) angegeben.
- In der Nautik sind Geschwindigkeitsangaben in Knoten (kn), d. h. Seemeilen durch Stunde, üblich. Kategorie:SI-Einheit ja:時速

Englische Sprache

Die englische Sprache (Englisch) ist eine germanische Sprache. Sie gehört, wie auch das Deutsche und das Niederländische, dem westlichen Zweig der germanischen Sprachen an. In einem eigenen Artikel gibt es mehr zur Geschichte der englischen Sprache. Englisch ist heute die am weitesten verbreitete Sprache der Welt, während es sich bei Mandarin-Chinesisch um die meistgesprochene Sprache handelt. Die englische Sprache wird in sehr vielen Ländern als erste Fremdsprache in den Schulen gelehrt (siehe Englisch (Schule)) und ist offizielle Sprache der meisten internationalen Organisationen. Viele dieser Organisationen haben daneben noch andere offizielle Sprachen. Englisch gilt als Weltsprache. Heute wird Englisch weltweit von etwa 340 Millionen Menschen als Muttersprache gesprochen, das heißt, etwa 340 Millionen Menschen sind anglophon. Zählt man die Zweitsprachler hinzu, kommt man auf etwa 510 Millionen Sprecher.

Verbreitung

Amtssprache

Englisch ist Amtssprache in den folgenden Staaten, wobei die Zahlen die ungefähre Zahl der Muttersprachler angeben, soweit bekannt: Englisch ist zudem Amtssprache bei der Europäischen Union, bei der Afrikanischen Union, der Organisation Amerikanischer Staaten und bei den Vereinten Nationen.

Sonstige Verwendung

Die englische Sprache dient zudem als Verkehrssprache in folgenden Ländern und Regionen:
- Gibraltar
- Hongkong
- Israel
- Malaysia
- St. Martin
- Somalia
- Zypern

Sprachwissenschaftliche Einordnung

Das Englische gehört zu den indogermanischen Sprachen, die ursprünglich sehr stark flektierende Merkmale aufwiesen. Alle indogermanischen Sprachen weisen diese Charakteristik bis heute mehr oder minder auf. Es besteht jedoch in allen diesen Sprachen eine Tendenz weg von flektierenden und hin zu isolierenden Formen. Im Englischen ist diese Tendenz besonders ausgeprägt gewesen, so dass es sich im Laufe seiner Entwicklung im Wesen stark gewandelt hat. Heute trägt die englische Sprache überwiegend isolierende Züge und ähnelt strukturell teilweise stärker isolierenden Sprachen wie dem Chinesischen als den genetisch eng verwandten Sprachen wie dem Deutschen. Zudem hat sich die Sprache heute durch die weite Verbreitung in viele Dialekte aufgeteilt. Viele europäische Sprachen bilden auch völlig neue Begriffe auf Basis der englischen Sprache (Anglizismen). Auch in einigen Fachsprachen werden die Termini von Anglizismen geprägt, z.B. in den Bereichen Informatik und Wirtschaft. Der Language Code ist en beziehungsweise eng (nach ISO 639); der Code für Altenglisch (etwa 450 bis 1100) ist ang und der Code für Mittelenglisch (etwa 1100 bis 1500) ist enm.

Sprachvarianten der englischen Sprache

Durch die weltweite Verbreitung der englischen Sprache hat diese in verschiedenen Gegenden zahlreiche Varianten entwickelt. Nach der bekanntesten und fremdartigsten Variante des Englischen spricht man oft auch von einer Pidginisierung, wenn eine Sprache sich durch ihre weite Verbreitung in mehrere Sprachen aufzuteilen beginnt, die untereinander kaum noch kompatibel sind. Folgende Sprachvarianten werden unterschieden:
- Siehe auch: Internationale Klassifizierungen (Englische Sprache) Eine Reihe von Pidginsprachen und Kreolsprachen haben sich auf englischem Substrat entwickelt. Das Eindringen von Anglizismen in andere Sprachen wird manchmal mit abwertenden Namen wie "Denglisch" (Deutsch und Englisch) oder "Franglais" (Französisch und Englisch) versehen. Dabei handelt es sich nicht um Varianten des Englischen, sondern um Erscheinungen in anderen Sprachen.
- Siehe auch: Englische Sprache in anderen Sprachen Der scherzhafte Begriff "Engrish" bezeichnet ebenfalls keine Variante der englischen Sprache, sondern bezieht sich auf das unbeholfene Englisch, das gelegentlic