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Gleitkommazahl

Gleitkommazahl

Eine Gleitkommazahl (auch Gleitpunktzahl, fälschlich Fließkommazahl; engl. floating point number) ist eine exakte oder approximative Darstellung einer rationalen Zahl in einem bestimmten Format. Die Menge der Gleitkommazahlen ist eine endliche Teilmenge der rationalen Zahlen, meist erweitert um einige Spezialelemente (+Unendlich, –Unendlich, NaN (=„Not A Number“), –0, usw. siehe unten). Zusammen mit den auf ihnen definierten Operationen bilden die Gleitkommazahlen eine endliche Arithmetik, die vor allem im Hinblick auf numerische Berechnungen mit Computern entwickelt wurde. Dort dienen die Gleitkommazahlen meist als rationale Näherungen für reelle Zahlen.

Idee

Bei Gleitkommazahlen ist nicht die absolute Anzahl von Stellen konstant, sondern die Anzahl wesentlicher oder signifikanter Stellen. Gleitkommaarithmetik wird auch als „linksbündige“, Festkommaarithmetik dagegen als „rechtsbündige“ Arithmetik bezeichnet wegen des unterschiedlichen Umgangs mit großen Resultaten bzw. Zwischenresultaten von Berechnungen. Die Gleitkommadarstellung wurde von Konrad Zuse für seine Computer Z1 und Z3 erfunden. Im Gegensatz zur Festkommadarstellung wird bei der Gleitkommadarstellung die Zahl geteilt in eine Mantisse und einen Exponenten zu einer bestimmten, festen Basis, wodurch bei gleichem Speicherplatzbedarf ein größerer Wertebereich als bei Festkommadarstellung abgedeckt werden kann. Das heißt, dass man eine Zahl a ≠ 0 durch zwei Zahlen m und e solcherart darstellen kann, dass a = m · be gilt. Zur Darstellung von Gleitkommazahlen wählt man eine beliebige natürliche Zahl b>1 als Basis (auch: Radix) und eine Präzision p, die angibt, wieviele Ziffern gespeichert werden sollen. Die Zahl m wird Mantisse genannt und ist eine Zahl mit p Stellen der Form ±z,zzz...zzz . Hierbei steht z stellvertretend für eine Ziffer zwischen 0 und b – 1. Eine Mantisse m heißt normalisiert, wenn ihre erste Ziffer ungleich Null ist. Die Normalisierung wird meist so definiert, dass entweder \frac \le m < 1 (d.h. m \in \left[\frac, 1 \right[) oder 1 \le m < b (d.h. m \in \left[1, b \right[) ist, d.h. dass die erste wesentliche, d.h. von 0 verschiedene Ziffer unmittelbar links bzw. unmittelbar rechts vom Komma stehen muss. Dies wird durch Anpassung des (ganzzahligen) Exponenten e erreicht. Bei Darstellungen von Gleitkommazahlen, die ein Vorzeichenbit verwenden, wird außerdem verlangt, dass die Mantisse positiv ist. e ist eine ganze Zahl und wird Exponent genannt. (Siehe auch: Logarithmus) Beispiel: Eine Gleitkommazahl mit vier dezimalen Stellen (b = 10, p = 4) kann dazu verwendet werden, 4,321 oder 0,00004321 darzustellen. Es wird allerdings in Kauf genommen, dass bei einer derartigen Darstellung Zahlen gerundet werden. So wird etwa aus 432,123 der Wert 432,1, und aus 43.212,3 der Wert 43.210.

Darstellung

Bild:IEEE-754-single1.png
Bitdarstellung des IEEE 754 „Single“ Datentyps Binäre Gleitkommazahlen werden analog zur wissenschaftlichen Schreibweise von Dezimalzahlen dargestellt. In der wissenschaftlichen Schreibweise wird die Zahl 0,00001234 als 1,234·10-5 geschrieben, oder die Zahl 123.400 als 1,234·105. Dabei ist die wissenschaftliche Schreibweise normalisiert: in der Mantisse wird die erste wesentliche Ziffer links vom Dezimal-Komma geschrieben, alle anderen Ziffern rechts davon. Für die Darstellung als Gleitkommazahl wird eine Zahl in drei Teile aufgespalten. Ein Vorzeichenbit zeigt dabei negative Werte der Mantisse an. Für die Mantisse wird eine gewisse Anzahl von Bits festgelegt, sie wird im Binärsystem gespeichert. Ebenso wird der Exponent als gewisse Anzahl von Bits gespeichert. Das gebräuchliche IEEE-Format für Gleitkommazahlen verwendet eine normalisierte Darstellung der Mantisse. Dadurch ist die Position des Kommas implizit bekannt. Ebenso ist die Basis b = 2 implizit durch die binäre Codierung aller Zahlen bekannt.

Hidden Bit

Bei der Darstellung normalisierter Mantissen im Binärsystem kann ein Bit eingespart werden. Da die erste Stelle einer normalisierten Zahl immer ungleich 0 ist, ist diese Stelle im Binärsystem immer gleich 1. Das heißt, dass diese erste Eins nicht explizit gespeichert werden muss, da dies implizit bekannt ist. Das erwähnte IEEE-Format für Gleitkommazahlen macht von dieser Einsparungsmöglichkeit Gebrauch. Allerdings bedeutet die Verwendung eines derartigen Hidden Bit, dass die Null nicht mehr direkt als Gleitkommazahl gespeichert werden kann. Für die Darstellung der Null wird deshalb eine bestimmte Bitfolge reserviert.

Darstellung negativer Exponenten

Exponenten können ebenso wie die Mantisse negativ sein. Meist werden negative Exponenten jedoch nicht im Zweierkomplement dargestellt, sondern in der so genannten Biased-Darstellung. Dabei wird zum eigentlichen Exponenten eine festgelegte Zahl, der Bias (engl. für Ausrichtung oder Vorspannung), addiert. Bei einem Bias von 127 wird aus einem Exponenten e = –1 etwa 126, aus e = –127 wird 0 und aus e = 7 wird 134. Die negativen Werte werden also durch Addition des Bias in den positiven Bereich verschoben. Der Vorteil der Biased-Darstellung besteht darin, dass auf diese Weise ein Größer/Kleiner-Vergleich zwischen zwei Gleitkommazahlen erleichert wird. Es genügt, die Ziffernfolgen em, also jeweils Exponent e gefolgt von Mantisse m, lexikografisch miteinander zu vergleichen. Eine Gleitkomma-Subtraktion mit anschließendem Vergleich auf Null wäre weitaus aufwändiger. Der Nachteil der Biased-Darstellung gegenüber der Zweierkomplement-Darstellung besteht darin, dass nach einer Addition zweier Biased-Exponenten der Bias subtrahiert werden muss, um das richtige Ergebnis zu erhalten.

Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik

Die oben erwähnten Beispiele sind im Dezimalsystem angegeben, das heißt mit einer Basis b = 10. Computer verwenden stattdessen das Binärsystem mit einer Basis b = 2. Gleitkommazahlen werden in Computern normalerweise als Folgen von 32 Bit („einfache Genauigkeit“) oder 64 Bit („doppelte Genauigkeit“) dargestellt. Manche Prozessoren erlauben auch längere Gleitkommazahlen, so kennen die von der Intel x86 Serie abgeleiteten Prozessoren (u.a. Intel Pentium und AMD Athlon) eine Gleitkommazahldarstellung mit 80 Bit für Zwischenergebnisse. Manche Systeme erlauben auch Gleitkommazahlen mit 128 Bit. Einige ältere Systeme verwendeten auch noch andere Längen wie z.B. 40 Bit. Die IEEE hat die Darstellung von Gleitkommazahlen in ihrem Standard IEEE 754 reglementiert; beinahe alle modernen Prozessoren folgen diesem Standard. Ausnahmen sind einige IBM-Großrechnersysteme, die VAX-Architektur und einige Supercomputer, etwa von Cray sowie die Java Virtual Machine mit den Java-Typen float und double sowie den zugehörigen Wrapper-Klassen Float und Double. (vgl. hierzu z.B. die Darstellung von William Kahan unter [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf].) Die tatsächliche Darstellung im Computer besteht also aus einem Vorzeichen-Bit, einigen Mantissen-Bits und einigen Exponenten-Bits. Wobei die Mantisse meist normiert ist und Zahlen im Intervall [1; 2[ darstellt. (Da in diesem Intervall das erste Bit mit der Wertigkeit Eins stets gesetzt ist, wird es meist implizit angenommen und nicht gespeichert.) Der Exponent wird meist im Biased-Format, oder auch im Zweierkomplement dargestellt. Des weiteren werden zur Darstellung besonderer Werte (Null, Unendlich, Keine Zahl) meist einige Exponentenwerte, z.B. der größtmögliche und der kleinstmögliche Exponent, reserviert. Eine Zahl f wird demzufolge als f = s · m · 2e dargestellt, wobei s Element von ist. Durch die unterschiedliche binäre Darstellung der Zahlen kann es in beiden Systemen zu Artefakten kommen, das heißt, Zahlen die unmittelbar „rund“ erscheinen, z. B. als 12.45 ausgegeben werden, haben in Wirklichkeit bei der Berechnung nur einen bitmäßig dargestellten Wert von 12.44999999900468785. Dies kann in nachfolgenden Berechnungen zu unvorhergesehenen Ab- oder Aufrundungsfehlern führen. Die oben erwähnten Artefakte sind im Binärsystem unvermeidlich, da viele Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, im Binärsystem periodische Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind. Sie könnten nur durch die Verwendung von BCD-kodierten Festkommazahlen vermieden werden. Binäre Gleitkommazahlen werden jedoch nach wie vor aus verschiedenen Gründen eingesetzt.

Gleitkommazahlen in der Mathematik

In der Mathematik ist eine Gleitkommazahl ein Tupel \left(d, [e_, e_], l \right), wobei d die Basis, \left[ e_, e_ \right] den Bereich des Exponenten und l die Länge der Mantisse darstellt. Damit ist eine reelle Zahl x ≠ 0 darstellbar durch ein a und ein e, so dass: a = \sum_^l a_i \cdot d^ und x = a d^e mit e\in \left[e_, e_ \right]. Hiermit ist eine mathematische Betrachtung des Rundungsfehlers möglich. Die obige Darstellung realisiert eine Projektion fl:\mathbb\to \mathcalx \in \mathbb|\exists a, e: x = a d^e\mathcal und damit ist der Rundungsfehler definiert als \frac \le \epsilon := \frac d^. Bei double-Werten entspricht \epsilon gerade 2^ (ungefähr 22 \cdot 10^).

Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)

Hier werden die genauen Rechenschritte vorgestellt, um eine Dezimalzahl in eine binäre Gleitkommazahl vom Typ Single nach IEEE 754 umzuwandeln. Dazu müssen nacheinander die drei Werte (Vorzeichen v (1bit), Mantisse m und Exponent e) berechnet werden, aus denen sich die Zahl x zusammensetzt: x = (-1)^v \cdot m \cdot 2^e Vorzeichen Je nachdem, ob die Zahl positiv oder negativ ist, ist das Vorzeichen v +1 oder -1. Ein positives Vorzeichen wird mit einem Vorzeichenbit 0 gespeichert, negative Zahlen werden durch eine 1 im Vorzeichenbit gekennzeichnet. Alle weiteren Berechnungen erfolgen mit dem Betrag der Zahl. Exponent Als nächstes wird der Exponent gespeichert. Beim IEEE single-Datentyp sind dafür 8 Bit vorgesehen. Der Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse einen Wert zwischen 1 und 2 erhält: e = \left \lfloor \log_2(x) \right \rfloor Wenn hierbei ein Wert für den Exponenten heraus kommt, der kleiner –126 oder größer 127 ist, kann die Zahl mit diesem Datentyp nicht gespeichert werden. Statt dessen wird die Zahl als 0 (Null) oder als „unendlich“ abgespeichert. Der Wert für den Exponenten wird jedoch nicht direkt gespeichert, sondern um einen Bias-Wert erhöht, um negative Werte zu vermeiden. Bei IEEE single ist der Bias-Wert 127. Somit werden die Exponentenwerte –126...+127 als so genannte „Charakteristik“ zwischen 1...254 gespeichert. Die Werte 0 und 255 als Charakteristik sind reserviert für die speziellen Zahlenwerte „Null“, „Unendlich“ und „NaN“. Mantisse Die Mantisse wird nun in den verbleibenden 23 Bit abgespeichert: m = \left( \frac - 1 \right) \cdot 2^ Zahlenbeispiel mit der Zahl 11,25 Zahl = +11,25 Vorzeichen = positiv -> 0binär \mathrm = \left \lfloor \log_2(1125) \right \rfloor = \left \lfloor 3.49 \right \rfloor = 3 --> 3 + 127 = 130 -> 10000010binär \mathrm = \left( \frac - 1 \right) \cdot 2^ = (140625 - 1) \cdot 2^ = 3407872 -> 01101000000000000000000binär Damit ergibt sich folgende single Variable: 0 10000010 01101000000000000000000 Umkehrung Will man aus einer Gleitkommazahl im Maschinenwort eine Dezimalzahl errechnen so kann man dies mit folgender Formel recht schnell erledigen: Z=(-1)^\cdot(1,0+M)\cdot B^E Der Exponent E errechnet sich wie folgt: E=C-(\fracB^-1) Wobei B hier für die Basis (Digitalrechner: B=2), VZ für das Vorzeichen, C für die Charakteristik, E für den Exponenten, e für den Exponenten reservierte Bitstellen und M für die Mantisse steht.

Siehe auch


- Minifloats
- einfache Genauigkeit
- doppelte Genauigkeit
- vierfache Genauigkeit
- Integer (Datentyp) Kategorie:Numerische Mathematik ja:浮動小数点数 ko:부동소수점

Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p/q zweier ganzer Zahlen mit q\neq 0 darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. x/1). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie \sqrt 2, \sqrt 3 oder die Kreiszahl \pi) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung \mathbf ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2.

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist - oft wird b auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d) ::(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation \sim auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::(a, b) \sim (c, d) genau dann wenn, a \cdot d = b \cdot c. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper \mathbb, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass \mathbb der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen \mathbb enthält. \mathbb ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen \mathbb. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :c := (a + b) / 2 Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb und \mathbb, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

Verwandte Themen


- Cantor-Diagonalisierung
- Bewertungstheorie: p-Bewertung, p-ganze Zahl
- Ordinalzahlen
- Zahlensystem

Weblinks


- http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch) Kategorie:Zahlen ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p/q zweier ganzer Zahlen mit q\neq 0 darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. x/1). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie \sqrt 2, \sqrt 3 oder die Kreiszahl \pi) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung \mathbf ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2.

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist - oft wird b auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d) ::(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation \sim auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::(a, b) \sim (c, d) genau dann wenn, a \cdot d = b \cdot c. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper \mathbb, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass \mathbb der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen \mathbb enthält. \mathbb ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen \mathbb. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :c := (a + b) / 2 Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb und \mathbb, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

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Numerische Mathematik

Die numerische Mathematik, kurz Numerik genannt, beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme.

Überblick

Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der beiden folgenden Gründe: #Es gibt zu dem Problem keine explizite Lösungsdarstellung (so zum Beispiel bei den Navier-Stokes-Gleichungen oder dem Dreikörperproblem) oder #die Lösungsdarstellung existiert, ist jedoch nicht geeignet, um die Lösung schnell auszurechnen beziehungsweise sie liegt in einer Form vor, in der Rechenfehler sich stark bemerkbar machen (zum Beispiel bei vielen Potenzreihen). Unterschieden werden zwei Typen von Verfahren. Einmal direkte, die nach endlicher Zeit bei unendlicher Rechnergenauigkeit die exakte Lösung eines Problems liefern und auf der anderen Seite Näherungsverfahren, welche — wie der Name sagt — nur Approximationen liefern. Ein Beispiel für ersteres ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, welches die Lösung eines linearen Gleichungssystems liefert. Näherungsverfahren sind unter anderem Quadraturformeln, die den Wert eines Integrals näherungsweise berechnen oder auch das Newton-Verfahren, das iterativ bessere Approximationen an eine Nullstelle einer Funktion liefert. Unterschiedliche Verfahren werden nach Laufzeit, Stabilität und Robustheit verglichen.

Geschichte

Der Wunsch, mathematische Gleichungen zahlenmäßig (auch näherungsweise) lösen zu können, besteht seit der Antike. Die alten Griechen kannten bereits Probleme, die sie nur näherungsweise lösen konnten, wie die Berechnung von Flächen (Integration) oder der Kreiszahl π. In diesem Sinne kann Archimedes, der für beide Probleme Algorithmen lieferte, als der erste bedeutende Numeriker bezeichnet werden. Im Zeitalter der Computer-Technik gewinnt das numerische Verfahren dagegen dramatisch an Bedeutung. Die Namen klassischer Verfahren zeigen deutlich, dass der algorithmische und approximative Zugang zu mathematischen Problemen immer wichtig war, um rein theoretische Aussagen fruchtbar nutzen zu können. Konzepte wie Konvergenzgeschwindigkeit oder Stabilität waren auch beim Rechnen per Hand sehr wichtig, so lässt beispielsweise hohe Konvergenzgeschwindigkeit darauf hoffen, schnell fertig zu werden. Und schon Gauß bemerkte, dass sich seine Rechenfehler beim Gaußschen Eliminationsverfahren manchmal desaströs auf die Lösung auswirkten und sie so komplett unbrauchbar machten. Er zog deswegen das Gauß-Seidel-Verfahren vor, wo man Fehler durch das Ausführen eines weiteren Iterationsschrittes leicht ausgleichen konnte. Um das monotone Durchführen von Algorithmen zu erleichtern, wurden im 19. Jahrhundert mechanische Rechenmaschinen entwickelt und schließlich in den 1930ern der erste Computer von Konrad Zuse. Der Zweite Weltkrieg beschleunigte die Entwicklung dramatisch und insbesondere John von Neumann trieb im Rahmen des Manhattan Projects sowohl mathematisch als auch technisch die Numerik voran. Die Zeit des kalten Krieges war vor allem von militärischen Anwendungen wie Wiedereintrittsproblemen geprägt, doch die Explosion der Rechnerleistung seit den 1980ern hat zivile Anwendungen in den Vordergrund treten lassen. Ferner hat sich der Bedarf nach schnellen Algorithmen mit dem Geschwindigkeitszuwachs entsprechend verstärkt. Für viele Probleme hat die Forschung dies leisten können und so hat sich die Geschwindigkeit der Algorithmen in den letzten 20 Jahren um etwa dieselbe Größenordnung verbessert wie die CPU-Leistungen. Heutzutage sind numerische Verfahren in jedem technischen oder wissenschaftlichen Bereich präsent und Alltagswerkzeug.

Fehleranalyse

Ein Aspekt bei der Analyse der Algorithmen in der Numerik ist die Fehleranalyse. Bei einer numerischen Berechnung kommen verschiedene Typen von Fehlern zum Tragen: Beim Rechnen mit Computerzahlen treten unvermeidlich Fehler auf. Diese Fehler lassen sich zwar zum Beispiel durch eine Erhöhung der Stellenzahl verkleinern, aber nicht prinzipiell verhindern, da die Stellenzahl endlich bleiben muss. Das numerische Verfahren ersetzt ferner das kontinuierliche mathematische Problem durch ein diskretes, also endliches Problem. Wie das Problem auf die Diskretisierung, also kleine Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, was eine numerische Lösung erschwert. Man spricht von einem schlecht gestellten Problem. Dabei tritt bereits der so genannte Diskretisierungsfehler auf, der im Rahmen der Konsistenzanalyse abgeschätzt und bewertet wird. Wie sich sich solche Fehler beim Weiterrechnen vergrößern, wird mit Hilfe der Stabilitätsanalyse bewertet. Konsistenz und Stabilität des Algorithmus führen im Regelfall zu Konvergenz.

Teilgebiete

Teilgebiete der Numerik sind unter anderem:
- Optimierung
- Approximation
- Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
- Numerik von Differentialgleichungen
- Numerik von Integralgleichungen
- Numerische Lineare Algebra Eine kommentierte Zusammenstellung von ausgewählten numerischen Verfahren ist hier: Liste numerischer Verfahren.

Literatur


- Martin Hermann: Numerische Mathematik. Oldenbourg Verlag, München und Wien 2001 ISBN 3-486-25558-4
- Gerhard Opfer: Numerische Mathematik für Anfänger. Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker. 4. Aufl. Vieweg Verlag, Braunschweig 2002 ISBN 3-528-37265-6
- Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt. Grundlagenwissen für Studium und Praxis. Vieweg Verlag, Braunschweig 2000 ISBN 3-528-03153-0
- Thomas Huckle, Stefan Schneider: Numerik für Informatiker. Springer Verlag, Berlin 2002 ISBN 3-540-42387-7 ja:数値解析

Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p/q zweier ganzer Zahlen mit q\neq 0 darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. x/1). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie \sqrt 2, \sqrt 3 oder die Kreiszahl \pi) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung \mathbf ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2.

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist - oft wird b auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d) ::(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation \sim auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::(a, b) \sim (c, d) genau dann wenn, a \cdot d = b \cdot c. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper \mathbb, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass \mathbb der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen \mathbb enthält. \mathbb ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen \mathbb. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :c := (a + b) / 2 Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb und \mathbb, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

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- http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch) Kategorie:Zahlen ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Reelle Zahl

] Die Menge der Reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen. Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen. Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet. Reelle Zahlen werden als Maß für kontinuierliche Größen wie der Länge gebraucht; z.B. hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 die Länge \sqrt. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol \mathbb (auch \mathbf) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ wurde gewählt, weil sie im Gegensatz zu den imaginären Zahlen eine reale (=„reele“) Entsprechung haben. Die reellen Zahlen und Funktionen von \mathbb nach \mathbb sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:
- die Kreiszahl π (pi),
- die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z.B. √2, aber nicht √4 = 2. Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, daß sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine Periode bilden. Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise e und π.

Mächtigkeiten

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste x_1,x_2,x_3,\ldots reeller Zahlen unvollständig ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen. Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt. Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet. Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper. Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft. Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert. # Die reellen Zahlen sind ein Körper # Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: ## es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Trichotomie) ## aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität) ## aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition) ## aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation) # Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von \mathbb besitzt ein Supremum Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charaktisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d.h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:
- die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
- das Archimedische Axiom:
- :Sind a und b positive reelle Zahlen, dann gibt es ein n \in \mathbb, so dass na > b ist.
- das Vollständigkeitsaxiom:
- :Die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:
- das Intervallschachtelungsaxiom:
- :Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer. Durch jedes dieser Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Verwandte Themen


- Eine näherungsweise Darstellung reeller Zahlen im Computer erfolgt durch Gleitkommazahlen.
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Konrad Zuse

] Konrad Zuse (
-  22. Juni 1910 in Berlin; † 18. Dezember 1995 in Hünfeld bei Fulda) war ein deutscher Bauingenieur, Erfinder des ersten funktionstüchtigen Computers und Unternehmer (Zuse KG). Sein voller Titel lautet Prof. Dr. Ing. E. h. Dr. mult. rer. nat. h. c. Konrad Zuse. Insgesamt hatte K. Zuse 8 Ehrendoktortitel und 2 Ehrenprofessuren. Nach ihm sind 2 Medaillien benannt, die zum einen von der Gesellschaft für Informatik und zum anderen vom Zentralverband des Deutschen Baugewerbes für besondere Leistungen auf dem Gebiet der Informatik vergeben werden. Er ist der Erfinder dessen, was heute allgemein als Computer bezeichnet wird; genauer gesagt der ersten vollautomatischen, programmgesteuerten und frei programmierbaren, in binärer Gleitkommarechnung arbeitenden Rechenanlage. Diese trug die Bezeichnung Z3 und wurde 1941 fertig gestellt.

Leben

Konrad Zuse wurde am 22. Juni 1910 in Berlin geboren. Seine Eltern waren Maria und Emil Zuse. Im Alter von zwei Jahren zog die Familie in das ostpreußische Braunsberg, da der Vater dort als Postbeamter arbeitete. In Braunsberg besuchte er das humanistische Gymnasium Hosianum. Schon früh entdeckte er seine Vorliebe für Technik und Kunst und begann erste Ideen und Erfindungen zu machen. Sehr oft musste er aber feststellen, dass vieles einfach schon erfunden war. Als er in der 9. Klasse war, zog die Familie Zuse nach Hoyerswerda und dort besuchte er das Reform-Realgymnasium (heutiges Lessing-Gymnasium). 1928 machte Konrad Zuse dort sein Abitur. Er studierte an der Technischen Hochschule Berlin-Charlottenburg (heute Technische Universität Berlin) zuerst Maschinenbau, wechselte schnell zu Architektur und blieb schließlich bei Bauingenieur. Dies erschien ihm die ideale Kombination aus Ingenieur und Künstler. In der Studienzeit war er Mitglied der Verbindung Motiv. Die Freundschaften, die er da schloss halfen ihm später noch in seinem ganzen Leben. 1935 schloss er das Studium schließlich als Dipl.-Ing. ab. Danach arbeitete er als Statiker bei den Henschel Flugzeugwerken in Berlin-Schönefeld. Nur ein Jahr später begann er selbstständig am Bau eines programmierbaren Rechners zu arbeiten. Vorüberlegungen gingen bis 1934 zurück. Da die Berechnungen in der Flugstatik sehr monoton und mühselig sind, kam ihm die Idee, diese zu automatisieren. Das Resultat war der 1938 fertig gestellte, elektrisch angetriebene mechanische Rechner Z1 mit begrenzten Programmiermöglichkeiten, der die Befehle von Lochstreifen ablas. Die Z1 arbeitete aufgrund von Problemen mit der mechanischen Präzision nie zuverlässig. Zuse erfuhr erst nach dem 2. Weltkrieg durch das Patentamt von den Arbeiten von Charles Babbage. Und auch die Ideen von Alan Turing oder Howard Aiken waren ihm während der gesamten Zeit der Entwicklung seiner Rechenmaschinen völlig unbekannt. Während des zweiten Weltkrieges wurde Konrad Zuse zwei mal einberufen, konnte aber mit Hilfe seiner Freunde und Förderer aus der Studienzeit und bei den Flugzeugwerken erreichen, dass er "unabkömmlich" gestellt wurde, da bei den Werken Statiker gebraucht wurden. Die kurze Zeit bei der Armee nutzte er um seine Ideen von einem Schachcomputer zu vertiefen. 1940 erhielt er von der Aerodynamischen Versuchsanstalt Unterstützung. Er baute die Z2, eine verbesserte Version mit Telefonrelais. Im gleichen Jahr gründete er seine eigene Firma "Zuse Apparatebau", um programmierbare Rechner herzustellen. 1941 baute er in einer kleinen Wohnung in der Kreuzberger Methfesselstraße die Z3. Es war ein Binärrechner mit begrenzter Programmierfähigkeit, mit Speicher und einer Zentralrecheneinheit aus Telefonrelais. Berechnungen konnten programmiert werden, jedoch waren keine bedingten Sprünge und Programmschleifen möglich. Die Z3 gilt heute i. A. als erster funktionstüchtiger Computer der Welt. Der Zweite Weltkrieg machte es ihm unmöglich, mit Rechnerspezialisten in Großbritannien und den USA in Kontakt zu treten. Die Z3 war an der Grenze, den theoretischen Anforderungen der Turingmaschine zu genügen. Der Beweis wurde erst viel später (1998) durchgeführt. Zuses Berliner Unternehmen wurde 1945 durch einen Bombenvolltreffer zusammen mit der Z3 zerstört. Die teilweise fertiggestellte Z4 war vorher in Sicherheit gebracht worden. Zuse entwickelte in der Zeit von 1941-1945 auch den Plankalkül, der als die erste universelle Programmiersprache der Welt gilt. Allerdings konnte sie auf den damaligen Computern noch nicht implementiert werden; das gelang erst im Jahr 2000. Nach dem Krieg gründete Zuse 1949 in Neukirchen im damaligen Kreis Hünfeld die Zuse KG. Die Z4 wurde fertiggestellt und an der ETH Zürich installiert. Zu jener Zeit war das der einzige funktionierende Computer in Europa und der erste kommerzielle Computer weltweit. Die Z4 wurde einige Monate früher als die UNIVAC installiert. Weitere Computer wurden gebaut, die Typenbezeichnung war immer ein Z und eine fortlaufende Nummer. Herausragend war die Z11, die der optischen Industrie und Universitäten verkauft wurde, und die Z22, der erste Computer mit Magnetspeicher. 1957 wurde der Firmensitz von Neukirchen nach Bad Hersfeld verlegt. Bis 1967 baute die Firma insgesamt 251 Computer. Ab 1964 stieg Zuse als aktiver Teilhaber aus der Firma aus, sie wurde später von Siemens übernommen. Zuse erhielt für seine Arbeit mehrfach Auszeichnungen. 1981 wurde ihm die Ehrendoktorwürde der Technischen Universität Dresden verliehen. Nach seiner Pensionierung widmete er sich seinem Hobby, der Malerei. 1969 schrieb Zuse das Buch Rechnender Raum (Details siehe unter Literatur). Darin entwickelte er eine Theorie der Zellulären Automaten und wendete sie, ähnlich wie später Stephen Wolfram, auch auf die Kosmologie an. Ein funktionstüchtiger Nachbau der Z3 steht heute im Deutschen Museum in München, ein Nachbau der Z1 befindet sich im Deutschen Technik-Museum in Berlin. Dort steht auch eine komplette Z22 sowie diverse andere Zuse-Systeme. An der Fachhochschule Karlsruhe befindet sich noch eine funktionstüchtige Z22 in kompletter Ausstattung (siehe Artikel c't 20/02, Seite 100). Ihr weiterer Verbleib ist ungewiss. Anfang 2005 wurde sie im Rahmen einer Ausstellung im Zentrum für Kunst und Medientechnologie in Karlsruhe betriebsfähig aufgebaut. Eine bis vor kurzem noch funktionsfähige Z23V befindet sich im Deutschen Technik Museum Berlin (DTMB) (früher: Museum für Verkehr und Technik). 1985 wurde Zuse das erste Ehrenmitglied der Gesellschaft für Informatik. Seit 1987 verleiht diese auch alle zwei Jahre die Konrad-Zuse-Medaille. Zuse wurde 1995 für sein Lebenswerk mit dem Bundesverdienstkreuz ausgezeichnet. Er wurde 2003 im ZDF auf Platz 15 der größten Deutschen gewählt. Das Museum der Stadt Hünfeld hat ebenfalls eine Konrad-Zuse-Abteilung eingerichtet, die einige interessante Exponate (z.B. Z23, Z25, Z64 Graphomat) zeigt. Konrad Zuse war Mitglied der Studentenverbindung Akademischen Verein Motiv, Ehrenmitglied des Chaos Computer Clubs (1995) und seit 1995 auch Ehrenbürger der Stadt Hoyerswerda.

Herausragende Leistungen

Zuse hat die Methode der computergerechten Fließkommazahlen auf Basis der Komponenten von Mantisse und Exponent theoretisch entwickelt und praktisch realisiert. Mit diesem Verfahren berechnet heute jeder gängige Computer Fließkommazahlen, vom Taschenrechner bis zum Cluster. Auch die weithin verwendete IEEE 754 Normierung, d.h. die Festlegung auf ein bestimmtes Fließkommazahlenformat ist eine Folge von Zuses Grundlagenarbeit. Durch seine Spezifizierung der Programmiersprache Plankalkül entwarf er die erste universelle Programmiersprache der Welt. Mit der Entwicklung, Konstruktion und Errichtung seiner ersten Computer (Z1 bis Z4), die jeweils auf den neuesten Schalter-Technologien aufbauten, schrieb er Forschungsgeschichte. Durch seine spätere Tätigkeit als Computer-Hersteller war er auch in großem Maße an der Einführung des Computers in Unternehmen der Wirtschaft beteiligt.

Siehe auch


- Zuse Z1
- Zuse Z3
- Zuse Z22
- Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin

Literatur


- Jürgen Alex, Hermann Flessner, Wilhelm Mons, Horst Zuse: Konrad Zuse: Der Vater des Computers., Fulda 2000, ISBN 3-790-00317-4
- Raul Rojas (Herausgeber): Die Rechenmaschinen von Konrad Zuse, Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-63461-4
- Konrad Zuse: Rechnender Raum, Friedrich Vieweg u. Sohn, Wiesbaden, 1969, ISBN nicht vorhanden, Buch vergriffen, Download siehe Weblinks
- Konrad Zuse: Der Computer – Mein Lebenswerk, Springer, Berlin 1993, ISBN 3-540-56292-3
- Jürgen Alex: Wege und Irrwege des Konrad Zuse, in: Spektrum der Wissenschaft (dt. Ausgabe von SCIENTIFIC AMERICAN) 1/1997, ISSN 0170-2971
- Jürgen Alex: Anmerkungen zu einem Aspekt der Schrift RECHNENDER RAUM von KONRAD ZUSE, in: Festschrift zum 85. Geburtstag von Konrad Zuse, Konrad-Zuse-Gesellschaft (Hrsg.), Bonn u. Hünfeld 1995

Weblinks


-
- [http://www.konrad-zuse.de/ Konrad Zuse und seine Rechner] zusammengestellt von seinem Sohn Dr.-Ing. Horst Zuse, TU Berlin
- [http://www.epemag.com/zuse/ Biographie (engl.)] von Dr.-Ing. Horst Zuse
- [http://www.konrad-zuse-computermuseum.de/ Zuse-Museum] in Hoyerswerda. Beinhaltet auch biografische Daten Zuses.
- [http://www.zib.de/zuse Konrad Zuse Internet-Archiv] Umfangreiche Dokumentation seines Lebenswerks
- Download von Rechnender Raum aus Elektronische Datenverarbeitung 8 (1967) 336-344: ftp://ftp.idsia.ch/pub/juergen/zuse67scan.pdf von der Seite http://www.idsia.ch/~juergen/digitalphysics.html
- Ein Ausschnitt aus der Autobiografie von Konrad Zuse: http://www.mediaculture-online.de/Geschichte_des_Computers_Inter.108+M5721831e558.0.html
- Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad Zuse, Konrad

Zuse Z3

Die Z3 – 1941 von Konrad Zuse gebaut – war die erste frei programmierbare, auf dem binären Zahlensystem basierende Rechenmaschine der Welt und gilt heute als erster funktionsfähiger Rechner. 1944 wurde die Z3 durch einen Bombenangriff zerstört.

Geschichte

Der Entwicklung der Z3 ging zunächst die Entwicklung der vollmechanischen Z1 und dem Übergangsmodell Z2 voraus. 1941 wurde die Z3 schließlich einer Gruppe von Wissenschaftlern vorgestellt. Während das Original im Krieg bei einem Bombenangriff zerstört wurde, befindet sich ein funktionsfähiger Nachbau im Deutschen Museum in München, der 1962 von der Zuse KG zu Ausstellungszwecken angefertigt wurde. Die Z3 wird i. A. als Rechner und nicht als Computer bezeichnet, da dieser Begriff erst später entstand, und die Programme nicht im Hauptspeicher abgelegt sind.

Bedeutung


- Erster voll funktionsfähiger programmierbarer Rechner
- Erstmals Verwendung des Dualsystems
- Zum größten Teil nicht-mechanisch
- Enthält sehr viele Merkmale moderner Rechner:
  - Gleitkommazahlenberechnung
  - Ein- und Ausgabegeräte
  - Möglichkeit der Benutzerinteraktion während des Rechenvorgangs
  - Mikroprogramme
  - Pipelining von Instruktionsfolgen
  - Numerische Sonderwerte
  - Parallele Ausführung von Operationen soweit wie möglich Auch die Z1 verfügte über fast alle der oben angeführten Merkmale, erlangte allerdings nicht so viel Aufsehen, da ihr Rechenwerk aufgrund des mechanischen Aufbaus nicht sehr zuverlässig arbeitete. Allgemein ähneln der Aufbau von Z1 und Z3 einander sehr, was insbesondere für das Rechenwerk gilt.

Aufbau

Die Z3 besteht aus
- einer Relais-Gleitkommaarithmetikeinheit für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Quadratwurzel, Dezimal-Dual- und Dual-Dezimal-Umwandlung. Das Rechenwerk verfügt über zwei Register R1 und R2.
- einem Relais-Speicher aus 64 Worten, je 22 bit (1 Bit Vorzeichen, 7 Bit Exponent, 14 Bit Mantisse)
- einem Lochstreifenleser für Filmstreifen, um Programme einzulesen (keine Daten!)
- eine Tastatur mit Lampenfeld für Ein- und Ausgabe von Zahlen und der manuellen Steuerung von Berechnungen

Betrieb

Die Z3 ist eine getaktete Maschine. Die Taktung wird von einem Elektromotor übernommen, der eine sogenannte Taktwalze antreibt. Diese ist eine Trommel, welche sich ca. 5.3 mal pro Sekunde dreht, und während einer Drehung die Steuerung der einzelnen Relaisgruppen übernimmt. Die Z3 verfügt über folgende Maschinenbefehle:
- Pr z - Speicherzelle z in Register R1/R2 laden - 1 Zyklus
- Ps z - R1 in Speicherzelle z schreiben - 0 - 1 Zyklus
- Ls1 - Addition R1 := R1 + R2 - 3 Zyklen
- Ls2 - Subtraktion R1 := R1 - R2 - 4 - 5 Zyklen
- Lm - Multiplikation R1 := R1
- R2 - 16 Zyklen
- Li - Division R1 := R1 / R2 - 18 Zyklen
- Lw - Quadratwurzel R1 := SQRT(R1) - 20 Zyklen
- Lu - Dezimalzahl einlesen in R1 / R2 - 9 - 41 Zyklen
- Ld - R1 als Binärzahl ausgeben - 9 - 41 Zyklen Die Eingabe numerischer Daten muss über die Tastatur erfolgen, d. h. Zahlen können nicht auf dem Lochstreifen kodiert werden. Über die Tastatur können alle Operationen außer den Speicherzugriffen (Pr und Pz) direkt ausgeführt werden. Der Lochstreifen kann nur Befehle enthalten. Jeder Befehl auf dem Lochstreifen wird mit 8 Bit kodiert. Die Z3 kennt keine Sprungbefehle, ist jedoch turingmächtig, wie Raúl Rojas 1998 zeigte.

Rechenwerk

Jede Rechenoperation der Z3 basiert auf der Addition zweier natürlicher Zahlen. Diese Basisoperation der Addition wird durch XOR(XOR(x,y), CARRY(x,y)) berechnet, wobei CARRY(x,y) die Übertragsfunktion ist, z. B. CARRY(0011011,1010110)

0111100.
- Eine Addition zweier Gleitkommazahlen ist realisiert durch Berechnung der Differenz der Exponenten, anschließend entsprechendem Angleichen der Mantisse einer Zahl und schließlich Addition der Mantissen.
- Eine Subtraktion enstpricht einer Addition, bei der das Komplement der zweiten Mantisse verwendet wird (Komplement = NOT(x)+1)
- Eine Multiplikation entspricht einer Addition der Exponenten und anschließender Multiplikation der Mantissen. Die Multiplikation der Mantissen wird dabei durch eine iterative Addition realisiert: 1011
- 0101 = 1011 + 10110
- 010 = 1011 + 101100
- 01 = 110111 + 1011000
- 0 = 1011000
- Eine Division entspricht einer Multiplikation, jedoch werden die Exponenten subtrahiert und eine iterative Subtraktion für die Division der Mantissen verwendet.
- Der Algorithmus zum Ziehen einer Wurzel ist durch eine iterative Division realisiert (siehe Patentschrift). Allgemein besteht das Rechenwerk aus zwei Teilen, einem Werk für die Rechnung mit Exponenten und ein Werk für die Rechnung mit Mantissen. Für Befehle, bei denen iterative Methoden zum Einsatz kommen (Lm, Li, Lw, Lu, Ld), wird ein Sequenzer benutzt, um einzelne Teile des Rechenwerks anzusteuern. Dies entspricht grob modernen Mikroprogrammen.

Literatur

Rojas, Raul: Konrad Zuse's Legacy: The Architecture of the Z1 and Z3, IEEE Annals of the History of Computing, 19:2, (1997), 5-16.

Weblinks


- [http://www.zib.de/zuse Das Konrad Zuse Internetarchiv] Großartige Informationsquelle mit fast allen von Zuse veröffentlichten Papieren, Patentschrift, Java-Applets und Fotografien
- [http://www.konrad-zuse.de Zuse-Informationsseite von Horst Zuse] Sehr gute Einführungen und detaillierte Besprechungen der Z-Serie.
- [http://www.dim-digitale-medien.de/demo/zuse/index2.html Rechnen am Urcomputer] Multimedia-Show (Shockwave) Kategorie:Rechenmaschine Kategorie:Rechnerarchitektur Kategorie:Wissenschaftsgeschichte (Informatik) ja:Zuse Z3

Festkommazahl

Eine Festkommazahl ist eine Zahl, die aus einer festen Anzahl von Ziffern besteht. Die Position des Dezimalkommas ist dabei fix vorgegeben. Die Menge aller Festkommazahlen einer vorgegebenen Länge k ist deshalb sehr gering. Der Grundgedanke hinter Festkommazahlen ist, dass man übliche Zahlen (beispielsweise aus den reellen Zahlen), zumindest näherungsweise in einem begrenzten Speicher darzustellen versucht (beispielsweise einer elektronischen Rechenanlage beziehungsweise Computer), um damit rechnen zu können. Üblicherweise sind per Definition die ersten n \leq k Stellen Vorkommastellen und die restlichen m = k - n Nachkommastellen. Ein wichtiger Aspekt sind auch Performanceerwägungen: auf Systemen ohne FPU-Einheit ist das Rechnen mit Festkommazahlen um Faktoren schneller als eine emulierte Fliesskommadarstellung unter Zuhilfenahme von z.B. IEEE-Bibliotheken. Oftmals ist auch bei Vorhandensein einer FPU-Recheneinheit die Festkommadarstellung noch schneller - ein gutes Beispiel ist ein JPEG-Dekoder auf IDCT-Basis unter Zuhilfenahme von Multimedia-Einheiten moderner CPUs (wie AltiVec oder SSE).

Beispiele

Alle binären Festkommazahlen der Länge k = 2 mit n \in \ Vorkommastellen:
- 00
- 01
- 10
- 11 Da die Anzahl der Vorkommastellen ja bereits per Definition fest liegt, ist es unnötig, das sonst übliche Komma zu schreiben beziehungsweise zu speichern. Man beachte, dass jedes der aufgelisteten binären Muster für jeweils drei unterschiedliche Zahlen steht, je nachdem für welche Stelle das Komma impliziert wird.

Probleme

Bei der Darstellung einer reellen Zahl z kann es einige Probleme geben. Im folgenden habe die Festkommazahl (angelehnt an die Darstellung in einem Rechner) eine Länge von k = 8 und n = m = 4 Vor- und Nachkommastellen. Der Ziffernvorrat sei \ - also eine binäre Festkommazahl der Länge eines Bytes mit gleich vielen Vor- und Nachkommastellen. Der tiefgestellte Index bezeichnet die Darstellung der Zahl: X_R für eine reelle Zahl in üblicher Dezimaldarstellung und X_F für eine derartige Festkommazahl.
- 1_R = 00010000_F
- 10_R = 10100000_F
- 0,5_R = 00001000_F
- 0,625_R = 00001010_F
- 0,0625_R = 00000001_F
- 15,9375_R = 11111111_F
- 16_R > 11111111_F
- 0,06_R < 00000001_F
- 7,7_R \approx 01111011_F Wie man sieht, können also mit 8 Bits und 4 Vor- und Nachkommastellen nur Festkommazahlen zwischen 0,0625_R und 15,9375_R dargestellt werden. Dieser geringe Darstellungsbereich ist auch der entscheidende Nachteil gegenüber Gleitkommazahlen. Weiterhin entstehen wie auch bei Gleitkommazahlen Rundungsfehler bei der Umwandlung der dezimalen, reellen Zahlen in eine binäre Festkommadarstellung. 7_R = 01110000_F kann im Gegensatz zu 0,7_R \approx 00001011_F exakt dargestellt werden. 0,7_R kann allerdings bei noch so vielen Nachkommastellen nicht als Summe von Zweierpotenzen dargestellt werden.

Anwendungsbeispiel

Die Rechenaufgabe bzw. der arithmetische Ausdruck x := 100 : 0,5 lässt sich auch als x := (100
- 100)/(0,5
- 100) schreiben, was dann x := 10000 / 50 entspricht und einer Verschiebung des Kommas um zwei Stellen nach links gleichkommt. Das Ergebnis "x:=200" kann wiederum durch 100 dividiert werden, um das eigentliche Ergebnis "2" zu erhalten. Wendet man diesen Trick konsequent an, können praktisch alle für einfache Algorithmen notwendigen Fliesskommaberechnungen mit Ganzzahlen (Integern) durchgeführt werden. Der Wertebereich (nach oben) bzw. die Nachkommastellen und deren Rundungsgenauigkeit (nach unten) hängen hierbei von der gewählten Zehnerpotenz ab (10,100,1000). Kategorie:Numerische Mathematik

Mantisse

Der aus dem lateinischen kommende Begriff Mantisse ist die mathematische Bezeichnung für die Nachkommastellen. Vor allem beim Logarithmieren sind die Mantissen mathematisch interessant. (Siehe dazu: Logarithmus) In der Informatik sind die Mantissen für die Darstellung von Gleitkommazahlen von herausragender Bedeutung, welche vorzugsweise durch [Vorzeichen(s)] · Basis(b) [±Exponent(e)] + [Mantisse(m)] dargestellt werden. Jedoch ist hier die Definition der Mantisse offenbar nicht so eindeutig. Veröffentlichte Definitionen unterscheiden sich und sind z.T. sogar widersprüchlich. Am häufigsten erscheint die x.xxxx-Form der Mantisse, bei der die höchstwertige Stelle auf die Vorkommastelle geschoben wird (die Information über Schubweite und Richtung trägt der Exponent). ; Normalisierte Mantisse : Liegt die Mantisse im Wertebereich 1 < m < 2 (also: die Vorkommazahl ist 1), so spricht man von einer normalisierten Mantisse. ; Normierte Mantisse : Liegt die Mantisse im Wertebereich 1/b < m < 1 (also: die Vorkommazahl ist 0 und die erste Nachkommastelle ist ungleich 0), so spricht man von einer normierten Mantisse (0.xxxx-Form). Siehe auch: Konrad Zuse Kategorie:Zahlen

Präzision

Unter Präzision (v. franz.: précis; aus lat.: praecisus = vorn abgeschnitten, kurz) versteht man in der Fehler- und Ausgleichsrechnung die "innere Genauigkeit" von Messungen. Man erhält sie durch oftmaliges Wiederholen der Messung unter gleichen Umständen und mit demselben Messgerät oder Meßsystem. Die "Präzision" hat nichts mit der Wiederholbarkeit des Resultats einer Messung zu tun, sondern mit der Stabilität des Messgeräts oder seiner Ablesung während des Messvorgangs selbst. Im Gegensatz dazu bedeutet Genauigkeit (engl. accuracy) meist eine "äußere" Genauigkeit. Sie kommt in der Streuung der Messungen zum Ausdruck, wenn sie unter verschiedenen äußeren Umständen wiederholt werden. Die Unterschiede zwischen Präzision und Genauigkeit (die sich oft wie 1:2 bis 1:5 verhalten) entsteht meist durch systematische Fehler oder durch die Änderung in den äußeren Einflüssen.
Ein Beispiel dafür ist die Winkelmessung in der Geodäsie, wo die Refraktion oder Turbulenzen in warmer Luft ein mehrfaches der Zielgenauigkeit ausmachen können. ---- Präzision bedeutet im Alltag oder in anderem Zusammenhang auch:
- exakte Fabrikation unter Einhaltung geforderter Toleranzen
- genaue Ausdrucksweise in Sprache, Beweisen etc. Bitte beachten: die Präzision nicht mit der Präzession verwechseln. ---- Unter der Präzision von Ausdrücken versteht man den Grad der Übereinstimmung im kollektiven Verständnis verschiedener Personen, die diese Ausdrücke lesen. Je präziser ein Ausdruck, umso unmissverständlicher. Oft wird mangelnde Präzision durch erhöhte Redundanz wettzumachen versucht. Das Verfassen präziser Ausdrücke kann zeitintensiv sein, und mitunter nur unter Verwendung einer Fachsprache letztlich gelingen. Steht eine Fachsprache nicht zur Verfügung, kann Redundanz unumgänglich sein. Technische Mittel zur präziseren Formulierung sind Enzyklopädien wie Wikipedia und Thesauren. Zitate: "Haben Sie wieder mal keine Zeit gehabt, sich kurz zu fassen?" (Dirnhofer) Kategorie:Messtechnik

Ganze Zahl

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen umfasst alle natürlichen Zahlen mit Null \, sowie die Negativen aller natürlichen Zahlen \ (-0 ist gleich 0, wird daher nicht separat genannt). Für die Menge der ganzen Zahlen wird das Symbol \mathbf (stark betont dargestellt) verwendet (es steht für "Zahlen"). Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol \mathbb eingebürgert. Der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt, heißt Zahlentheorie.

Eigenschaften

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h. sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze. Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form :a + x = b mit natürlichen Zahlen a und b stets gelöst werden: x = b - a. Beschränkt man x auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar. Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von n ist -n, das neutrale Element der Multiplikation ist 1. Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge :\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots d.h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von positiven \, nichtnegativen \, negativen \ und nichtpositiven \ ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen, d.h. :ist a < b und c \leq d, dann ist a + c < b + d, :ist a < b und 0 < c, dann ist ac < bc. Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar. Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung 2x = 1 nicht in \mathbb lösbar. Der kleinste Körper, der \mathbb enthält, sind die rationalen Zahlen \Bbb Q. Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. Mathematiker sagen, \mathbb ist ein Euklidischer Ring. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in \mathbb.

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann kann man die Menge der ganzen Zahlen in folgender Weise aus ihr gewinnen: Wir betrachten die Menge \mathbb \times \mathbb aller Paare natürlichen Zahlen, und definieren folgende Äquivalenzrelation: :(a, b) \sim (c, d), falls a + d = c + b Außerdem definieren wir eine Addition und Multiplikation in dieser Menge: :(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) :(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc) Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir \mathbb = \mathbb \times \mathbb / \sim, die Äquivalenzklasse eines Paares (a, b) schreiben wir als (a - b), (0 - b) schreiben wir auch als -b. Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf \mathbb, mit denen \mathbb zu einem Ring wird. In diesen Ring kann den man die natürlichen Zahlen so einbetten: :n \longrightarrow (n - 0) Eine ganze Zahl heißt dann negativ, wenn sie von der Form (0 - n) = -n ist mit einer natürlichen Zahl n > 0. Diese Konstruktion funktioniert unabhängig davon, ob \mathbb die 0 enthält oder nicht.

Verwandte Themen


- die gaußschen Zahlen und die Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
- Zahlensystem Kategorie:Zahlen ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Logarithmus

Unter dem Logarithmus (griech.: logos = Verständnis, arithmos = Zahl) versteht man in der Mathematik das Ergebnis der Auflösung der Gleichung :y = a^x nach der Unbekannten x, geschrieben als :x = \log_a(y). Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also derjenige Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; sie kann zum Auffinden der Werte zur Auflösung obiger Gleichung herangezogen werden. Für jede vorgegebene Basis (oder Grundzahl) a>0,\,a\neq 1 ergibt sich dabei eine andere Logarithmusfunktion \log_a. Den Funktionswert \log_a(y) nennt man den Logarithmus von y zur Basis a. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus. Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Charakterisierung des Logarithmus als Umkehrfunktion der Potenzierung

Die Funktionen ax und loga(x) sind Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt: : a^ = x \mbox _a(a^x) = x

Charakterisierung des Logarithmus als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen stetigen Lösungen der Funktionalgleichung :F(x y) = F(x) + F(y) Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung wäre die Nullfunktion F(x) = 0.

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung :^k \leq x < ^ ist gleichwertig mit :k \leq \log_(x) < k+1. Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl k, so besitzt die reelle Zahl x in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade k+1 Stellen vor dem Komma (für k\geq 0) bzw. beginnt bei der |k|-ten Stelle nach dem Komma (für k<0).

Logarithmengesetze

Logarithmen von Produkten

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung: :\log _a (x\cdot y) = \log _a (x) + \log _a (y) Oder allgemeiner: : \log _a \left( x_1 \cdot x_2 \cdot\ldots\cdot x_n \right) = \log _a \left(x_1 \right) +\log _a \left(x_2 \right) + \cdots + \log _a \left( x_n \right) Für Potenzen mit reellem Exponent r gilt die Regel: :\log _a \left( x^r \right) = r \cdot \log _a (x) Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten. (siehe weiter unten)

Logarithmen von Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben: : \log _a \bigg(\frac \bigg) = \log_a (x) - \log_a (y)

Logarithmen von Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel: :\log_a \left( \sqrt[n] \right) = \log_a \left( x^\frac \right) = \frac

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log10(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log10(3
- 10) = log10(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (John Napier) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt: : Wenn y = ex dann ist x = loge(y) = ln(y). Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion e^x sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel: :\frac e^x = e^x Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren. Der natürliche Logarithmus f(x)=ln(x) ist die Stammfunktion der Potenzfunktion f'(x)=x^(-1) bzw. 1/x. Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit „lg“ abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs. Der Logarithmus zur Basis 2 – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus. Abkürzungen
- loga: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
- ln = loge: Natürlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis)
- lg = log10: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
- lb = ld = log2: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung : \ln(1+x) = \sum_^\infty (-1)^ \frac = x-\frac + \frac -\frac \pm \cdots , \qquad -1 < x \le 1 des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell. Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht: : \ln(x) = 2 \cdot \sum_^ \frac \cdot \left( \frac\right)^ + \; R_(x) , \qquad x > 0 mit der Restgliedabschätzung : |R_(x)| \le \frac \left( \frac\right)^. Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man : \ln(x) = m \ln (2) + \ln(2^ x).\quad Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt 1 / \sqrt \le 2^x \le \sqrt und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für \left( 2^ \right) \cdot x berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2. Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem: : \ln(x) = \lim_ n \, \left(\!\sqrt[n] -1 \right) sowie : \ln(x) = \lim_ \frac. Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert. Begründungen:
- x = loga(0) müsste dann 0 = ax bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
- (als Beispiel die negative Zahl -1) x = loga(-1) müsste dann -1 = ax bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist. In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Kurvendiskussion des Logarithmus


- Definitionsmenge: s. oben (D = ]0,\infty[)
- Wertemenge: alle reellen Zahlen
- Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: bzw. (1|0)
- Gebräuchliche Limites / Verhalten im Unendlichen:
  - \lim_ \log_b(x) = -\infty (wenn b > 1) bzw. (+)\infty (wenn b < 1)
  - \lim_ \log_b(x) = \infty (wenn b > 1) bzw. -\infty (wenn b < 1)
- Erste Ableitung: \log_b(x)' = \frac
- Extrempunkte: keine
- Wendepunkte: keine

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen: : \log_b(r) = \frac oder in der suggestiven „Kürzungsform“: :\log_a(b)\cdot \log_b(r) = \log_a(r). Denn: :a^ = (a^)^ = b^ = r = a^. Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Beispiel: : \log_(8) = \frac \approx \frac \approx 090 Alternative mit Hilfe des ln: :\log_(8) = \frac \approx 090

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort). Es ergibt sich :\ln'(x) = \frac Für allgemeine Logarithmen gilt: :(\log_b)' = \frac Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration: :\int = \int = x\cdot\ln-\int = x\ln-x Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden (Beispiel): :\int_0^1 = [x\ln-x]_^ = -1, da :\lim_ x\ln = \lim_ \frac = \lim_ \frac = \lim_ (-x) = 0.

Komplexer Logarithmus

Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, die die Gleichung :e^ = z erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt: :e^ = 1, \ k \in \mathbb Hat man also einen Logarithmus w_ von z gefunden, so ist auch :w = w_ + 2k\pi i ein Logarithmus von z, da gilt: :e^ = e^ = e^ \cdot e^ = e^ \cdot 1 = e^ = z Um Eindeutigkeit erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen :\left\ verwenden. Ein w aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt w = \ln. Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion: :w = \ln + i\left(\arg + 2k\pi\right), \ k \in \mathbb Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus: :\ln = \ln + i\arg ln(z) ist nicht stetig auf \mathbb \setminus \. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet :\mathbb \setminus \ stetig und sogar holomorph. Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen: :\ln = \ln + i\arg = \ln + i\pi, \ x \in \mathbb^ Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten:
- \ln + \ln \neq \ln ::Beispiel: \ln + \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln
- y \cdot \ln \neq \ln ::Beispiel: 2\pi i \cdot \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln

Anwendungen des Logarithmus

holomorph Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie
- Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus dient die Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
- bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt das wan etwas die Wahrscheinlichkeit von Auftreten p hat, das Wissen über das tatsäglichen Auftreten davon eine Informationsmenge \log_2 gibt
- pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
- dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
- In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
- Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
- Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
- Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
- Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier. Ferner erlaubt der Logarithmus die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden.

Literatur

Walter, Wolfgang: Analysis I, Grundwissen Mathematik Band 3, Springer-Verlag (1985), ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1

Weblinks

: [http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm Logarithmusrechner mit Quelltext] : [http://www.madeasy.de/2/log.htm Logarithmen] Kategorie:Analytische Funktion ja:対数

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem oder Zehnersystem (lat. decimus = der Zehnte) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis) 10. Das Dezimalsystem ist heute mit dem Dualsystem das weltweit verbreiteteste Zahlensystem, und stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es im 8. Jahrhundert in seinem Arithmetikbuch, durch das es im 10. Jahrhundert nach Europa gelangte. Mit seiner Durchsetzung im 12. Jahrhundert kam auch der Begriff Arabische Zahlen auf. In arabischen Ländern werden sie bis heute indische Zahlen genannt. Ohne Null aber bereits mit der Dezimalzahlen-Idee (also Zehner, Hunderter, Tausender usw. rechnete man bereits im Alten Ägypten (siehe Hieroglyphen) und später bei den Römern (siehe Römische Zahlen). Die Chinesischen Zahlen sind ein Mischsystem aus den Ziffern eins bis neun (eine Null wurde später hinzugefügt) und Zeichen für die Zehnerschritte.

Definition und Darstellung

Ziffern

Im Dezimalsystem verwendet man die 10 Ziffern :0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun). Diese Ziffern werden jedoch in verschiedenen Teilen der Welt anders geschrieben. Siehe dazu die Artikel Arabische Zahlen und Indische Zahlen. Die alten indischen Ziffern werden auch heute noch in der Devanāgarī-Schrift verwendet.

Definition

Eine Dezimalzahl wird durch die Ziffern zi dargestellt. Die Ziffern werden ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht der zur Stelle passenden Zehnerpotenz. Es wird also die höchstwertige Stelle mit dem Wert zm ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten zm-1 bis z0 in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen z -1 bis z -n, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Ziffern vor dem Komma werden mit positiven Exponenten, nach dem Komma mit negativem Exponenten multipliziert. Im englischen Sprachraum wird statt des Kommas meist ein Punkt verwendet. :z_m z_ \ldots z_0\operatornamez_ z_ \ldots z_ \qquad \left(m,n\in\mathbb \quad z_i\in\\right) Der Wert Z der Dezimalzahl ergibt sich durch Addition bzw. Subtraktion dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert 10i multipliziert werden: :Z = \pm \sum_^m z_i \cdot 10^i. Diese Darstellung nennt man auch Dezimalbruchentwicklung.

Beispiel

: 723,48 = 7·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10-1 + 8·10-2

Dezimalbruchentwicklung

Mit Hilfe der Dezimalbruchentwicklung kann man jede reelle Zahl durch eine Summe von Brüchen als Zehnerpotenzen darstellen. Diese Darstellung ist eine einfache Reihenentwicklung. Insbesondere bei allen irrationalen Zahlen bricht diese Reihe nicht ab; dann liegt eine unendliche Dezimalbruchentwicklung vor. Zur Umformung periodischer Dezimalbruchentwicklungen (siehe weiter unten) verwendet man die Beziehungen: :0\overline = \frac; \quad 0\overline = \frac; \quad 0\overline = \frac; \quad \ldots. Beispiele: 055555\ldots = 0\overline = \frac 033333\ldots = 0\overline = \frac = \frac 0424242\ldots = 0\overline = \frac = \frac 0081081081\ldots = 0\overline = \frac = \frac Die Periode wird jeweils in den Zähler übernommen. Im Nenner stehen soviele Neunen, wie die Periode Stellen hat. Gegebenenfalls sollte der entstandene Bruch noch gekürzt werden. Etwas komplizierter ist die Rechnung, wenn die Periode nicht unmittelbar auf das Komma folgt: Beispiele: 083333\ldots = 08\overline = 8\overline : 10 = 8\frac : 10 = 8\frac : 10 = \frac : 10 = \frac = \frac 048363636\ldots = 048\overline = 48\overline : 100 = 48\frac : 100 = 48\frac : 100 = \frac : 100 = \frac = \frac

Formel

Für unendliche Dezimalbrüche mit einer Null vor dem Komma lässt sich folgende Formel aufstellen: :p = \frac Dabei sind p die periodische Zahl, x die Zahl vor Beginn der Periode (als Ganzzahl), m die Anzahl der Ziffern vor Beginn der Periode, y die Ziffernfolge der Periode (als Ganzzahl) und n die Länge der Periode. Die Anwendung dieser Formel soll anhand des letzten Beispiels demonstriert werden: p = 048363636\ldots = 048\overline x = 48; \quad m = 2; \quad y = 36; \quad n = 2 p = \frac = \frac = \frac = \frac

Periode

In der Mathematik bezeichnet man als Periode eines Dezimalbruchs eine Ziffer oder Ziffernfolge, die sich nach dem Komma immer wieder wiederholt. Alle rationalen Zahlen haben eine periodische Dezimalbruchentwicklung. Beispiele: Sofortperiodische: 1/3 = 0,33333... 1/7 = 0,142857142857... 1/9 = 0,11111... Nichtsofortperiodische: 2/55 = 0,036363636... 1/30 = 0,03333... 1/6 = 0,16666... Auch endliche Dezimalbrüche wie 0,12 können als periodische Dezimalbrüche aufgefasst werden: 0,12 = 0,12000... Perioden treten im Dezimalsystem genau dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lässt -- 2 und 5 sind die Primfaktoren der Zahl 10, der Basis des Dezimalsystems. Ist der Nenner eine Primzahl (außer 2 und 5), so hat die Periode höchstens eine Länge, die um eins niedriger ist als der Wert des Nenners (in den Beispielen fett dargestellt).
Periodische Dezimalbrüche als Grenzwerte
Der Limes- oder Grenzwert-Begriff der Analysis erlaubt eine exakte Definition von periodischen Dezimalbrüchen. So gilt beispielsweise: :0\overline = 07 + 007 + 0007 + \ldots 0\overline ist der Limes der folgenden (unendlichen)