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Gon

Gon

Das Gon (früher: Neugrad) ist in der Geometrie der vierhundertste Teil des Vollwinkels oder π/200, ist also ein Winkelmaß. 400 gon entsprechen also einem Vollkreis. Das Gon wird durch ein hochgestelltes kleines g abgekürzt¹). Das Gon ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen und findet insbesondere Verwendung im Vermessungswesen (Geodäsie). Es wurde vor über 100 Jahren aus zwei Gründen eingeführt:
- Es hat eine dezimale Unterteilung (z.B. 17°18′19″ = 19,2281 gon), und die Untereinheit Milligon mgon (0,001 gon = 3.24″); früher auch Neuminuten c (Hundertstel) und Neusekunden cc (100 cc = 1 c), diese Bezeichnungen sind jedoch seit 1. Januar 1978 nicht mehr zulässig.
- Es erlaubt eine gegenüber der 360°-Teilung leichtere Berechnung von Richtungen in den 4 Quadranten (die Winkel beginnen mit jeweils einer eigenen Hunderter-Stelle): 0° = 0 gon 90° = 100 gon 180° = 200 gon 270° = 300 gon 360° = 400 gon ¹) In Frankreich wird das Gon auch als grad bezeichnet (hochgestelltes gr), in England als grade. Der seit längerem genormte (SI-konforme) Name Gon soll diese Verwirrung beseitigen.

Präfixe

Siehe auch

- Gradmaß
- Bogenmaß Kategorie:Geometrie Kategorie:Maßeinheit ja:グラード

Geometrie

Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt; sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Nichtfachtleute nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
- Geordnete Geometrie
- Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von sogennanten Fernpunkten macht eine affine Geoemetrie zu einer projektiven.
- Euklidische Geometrie:
- Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den nichteuklidischen Geometrien.
- Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien. In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
- Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
- Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
- Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
- Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
- Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr unterschiedliche Dinge. Während etwa Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie sehr große und weitreichende Gebiete aktueller mathematischer Forschung darstellen, ist die Fraktale Geometrie zwar in der Öffentlichkeit ungleich populärer, jedoch um einige Größenordnungen insignifikanter.
- Differentialgeometrie
- Vektor- und Tensorrechnung
- Analytische Geometrie
- Quantengeometrie
- Stochastische Geometrie und Integralgeometrie
- Fraktale Geometrie
- Algebraische Geometrie
- Geometrische Topologie
- Algorithmische Geometrie (computational geometry)
- Kombinatorische Geometrie
- Planimetrie, Trigonometrie, ...
- Mathematische Kartografie

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie. Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:
- [http://www.geogebra.at GeoGebra] (kostenlos)
- GEONExT (kostenlos)
- [http://www.dynageo.de EUKLID DynaGeo] (shareware)
- Cabri-Geometre
- Geometer's Sketchpad
- [http://cinderella.de/de/download Cinderella] (kostenlos)
- [http://www.z-u-l.de Z.u.L.] (kostenlos) uvm. Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619) Dynamische Geometrie In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen. Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.
Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie, und wurde vor allem im angelsächsichen Raum noch lange als Schulbuch verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist). Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam. In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.
- Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
- im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
- Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur

- Euklid: Die Elemente.
- H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
- Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch

- Geometrie/Geometrische Figuren
- Mathematik für die Schule

Weblinks

- http://www.rittershofer.de/mathe/geo/index.htm
- http://education.ti.com/deutschland/produkte/prosupport/faqs/cabri_000.html
- http://www.geogebra.at/
- http://cinderella.de
- http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/ ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Vollwinkel

Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Definition

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen) Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen. Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden. Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.
- Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
- Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt. In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung anders herum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden. Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder

\angle ABC

Arten von Winkeln

; spitzer Winkel : kleiner ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0^g, 100^g) = (0, ½·π); ; rechter Winkel : gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100^g = ½·π; ; stumpfer Winkel : größer ¼ und kleiner ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100^g, 200^g) = (½·π, π); ; gestreckter Winkel : gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200^g = π; ; überstumpfer Winkel : größer ½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200^g, 400^g) = (π, 2·π); ; Vollwinkel : 360° = 400^g = 2·π.

Rechter Winkel

Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel. Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

verschiedene Arten einen rechten Winkel zu zeichnen

Vollwinkel

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die physikalische Größe ebener Winkel. Die Einheit Vollwinkel besitzt kein Einheitenzeichen. Dezimale Vielfache oder Teile dürfen nicht mit SI-Vorsätzen gebildet werden. : Beziehungen: 1 Vollwinkel = 360° = 2

\pi

rad Historisches Es ist versucht worden, durch Normung für den Vollwinkel das Einheitenzeichen "pla" (von lateinisch: plenus angulus) einzuführen, doch ist dieser Versuch im Entwurfsstadium stecken geblieben. Früher war auch der "rechte Winkel" bzw. "Rechter" eine gesetzliche Einheit.

Gebräuchliche Winkelmaße

- Grad (Einheit, dargestellt als °, entweder dezimal unterteilt oder in Minuten und Sekunden)
- Rechter Winkel = 90°
- Vollwinkel = 360°
- Radiant (Einheitenzeichen: rad), siehe auch unter : Arcus und Bogenmaß
- Rechter Winkel =

\frac

rad
- Vollwinkel = 2π rad
- Gon (veraltete Bezeichnung Neugrad) (Einheit dargestellt als gon)
- Rechter Winkel = 100 gon
- Vollwinkel = 400 gon
- Vollwinkel (besitzt kein Einheitenzeichen)
- 90° = 0,25 Vollwinkel Winkelgrad = 180:π·Bogenmaß z. B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad

Spezielle Winkelpaare

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechen Winkel (90°) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel. : Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel. : Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade

g

zwei weitere parallele Geraden

h

und

h'

, so bezeichnet man die Winkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf der selben Seite von

g

aber auf unterschiedlichen Seiten von

h

und

h'

liegen, als Nachbar- oder E-Winkel. : Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°. Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar

h

h'

von einer weiteren Geraden

g

so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf der selben Seite von

g

aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von

h

und

h'

liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden

h

und

h'

parallel. Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die folgenden Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Stufenwinkel oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade

g

zwei parallele Geraden

h

und

h'

, so heißen die Winkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf der selben Seite von

g

und beide entweder ober- oder unterhalb von

h

bzw.

h'

liegenheißen , Stufen- oder F-Winkel. : Stufenwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar

h

h'

von einer weiteren Geraden

g

so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von

g

und jeweils ober- oder unterhalb von

h

und

h'

gleich groß sind, so sind die Geraden

h

und

h'

parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade

g

zwei parallele Geraden

h

und

h'

, so heißen die Winkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf unterschiedlichen Seiten von

g

und unterschiedlichen Seiten von

h

bzw.

h'

liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. : Wechselwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar

h

h'

von einer weiteren Geraden

g

so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von

g

und unterschiedlichen Seiten von

h

bzw.

h'

gleich groß sind, so sind die Geraden

h

und

h'

parallel.

Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln

Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen. Die Aussage, jeder Winkel kann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal gedrittelt werden, gilt im Allgemeinen nicht!

Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels)

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke. Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muss diese ein Stück verlängert werden. Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke. Nun bestimme man die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinde diese Schnittpunkte durch eine Gerade. Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Zirkel als eben, steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis. Nun verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet die gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt. Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Die Schnittpunkte liegen genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke. Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto genauer wird es.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)

Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Radius größer ist als die Hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert.

Konstruktion eines 60 Grad Winkels

Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und tragen ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein. Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad. Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon))

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck. Dies liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betragen. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Konstruktion eines 72 oder 54 Grad Winkels

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren. Hierfür sticht man in den Punkt beim zu addierenden Winkel ein und schlägt einen Bogen, so dass er die Schenkel des Winkels schneidet. Der Radius des Bogens muss im Zirkel behalten werden; man schlägt nun einen Kreis (oder je nach Winkelgröße auch nur einen abzuschätzenden Bogen) um den Punkt bei dem Winkel, zu dem man addieren möchte, so dass dieser einen Schenkel ebendieses Winkels schneidet. Daraufhin sticht man in den Schnittpunkt des Bogens mit einem der Schenkel des zu addierenden Winkels ein und spannt diesen bis zum anderen Schenkel. Dieser Abstand wird wieder beibehalten, man schlägt nun einen Kreis um den Schnittpunkt des Bogens mit dem Schenkel des Winkels, zu dem man addieren möchte. Der Schnittpunkt der beiden Bögen wird mit dem Punkt beim Winkel, zu dem man addieren möchte, verbunden, und erhält so die Summe der beiden Ausgangswinkel. Ebenso verhält es sich mit der Subtraktion eines Winkels, nur dass hierbei der Winkel eben nicht an den Winkel zusätzlich angetragen wird, sondern so, dass der neue Schenkel zwischen die Ausgangsschenkel des Winkels, von dem man subtrahieren möchte, liegt.

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende. Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Folgerung

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen.

Winkelmessung

- mit dem Geodreieck
- mit dem Theodolit
- mit dem Goniometer
- mit dem Sextanten
- historisch
- mit dem Jakobsstab

Weblinks

- [http://www.vermessungsseiten.de/kiel/vetheode.htm Erklärung der Winkelmessung mit dem Theodolit] Kategorie: Geometrie ja:角度 ko:각도 simple:Angle

Winkel (Geometrie)

Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Definition

\angle ABC

Arten von Winkeln

Rechter Winkel

verschiedene Arten einen rechten Winkel zu zeichnen

Vollwinkel

\pi

Gebräuchliche Winkelmaße

\frac

Spezielle Winkelpaare

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechen Winkel (90°) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.

Scheitelwinkel

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel. : Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade

g

zwei weitere parallele Geraden

h

und

h'

, so bezeichnet man die Winkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf der selben Seite von

g

aber auf unterschiedlichen Seiten von

h

und

h'

h

h'

von einer weiteren Geraden

g

so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf der selben Seite von

g

aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von

h

und

h'

liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden

h

und

h'

Stufenwinkel oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade

g

zwei parallele Geraden

h

und

h'

, so heißen die Winkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf der selben Seite von

g

und beide entweder ober- oder unterhalb von

h

bzw.

h'

liegenheißen , Stufen- oder F-Winkel. : Stufenwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar

h

h'

von einer weiteren Geraden

g

so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von

g

und jeweils ober- oder unterhalb von

h

und

h'

gleich groß sind, so sind die Geraden

h

und

h'

parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade

g

zwei parallele Geraden

h

und

h'

, so heißen die Winkel

\angle(g,h)

und

\angle(g,h')

, die auf unterschiedlichen Seiten von

g

und unterschiedlichen Seiten von

h

bzw.

h'

liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. : Wechselwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar

h

h'

von einer weiteren Geraden

g

so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von

g

und unterschiedlichen Seiten von

h

bzw.

h'

gleich groß sind, so sind die Geraden

h

und

h'

parallel.

Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln

Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels)

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)

Konstruktion eines 60 Grad Winkels

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon))

Konstruktion eines 72 oder 54 Grad Winkels

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Winkelhalbierung

Folgerung

Winkelmessung

- mit dem Geodreieck
- mit dem Theodolit
- mit dem Goniometer
- mit dem Sextanten
- historisch
- mit dem Jakobsstab

Weblinks

- [http://www.vermessungsseiten.de/kiel/vetheode.htm Erklärung der Winkelmessung mit dem Theodolit] Kategorie: Geometrie ja:角度 ko:각도 simple:Angle

Quadrant

Ein Quadrant ist ein durch die Rechtsachse und die Hochachse eines Koordinatensystems begrenztes Viertel einer Ebene. Ein Quadrant eines Kreises ist ein Kreisausschnitt mit einem Mittelpunktswinkel von 90° bzw. π/2. In der Trigonometrie hängen die Quadranten mit den Vorzeichen und den 360°-Perioden der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens zusammen: Tangens Jede der trigonometrischen Winkelfunktionen hat in zwei Quadranten dasselbe Vorzeichen. Daher ist zum Beispiel ein aus einem Sinus berechneter Winkel W zweideutig (bei sin W < 0 kann W im 3. oder 4.Quadranten liegen). Eine Quadrantentabelle – bzw. eine entsprechende Abfrage in einem PC-Programm – ist in der Geodäsie oder Navigation immer notwendig, um aus Koordinaten zweier Punkte die Richtung (das Azimut, den Kurs) zu berechnen. Im Koordinatensystem ist der 1. Quadrant rechts oben, der 2. links oben, der 3. links unten, der 4. rechts unten. Siehe auch: Arcus-Funktion, Richtungsmessung, Einheitskreis Kategorie:Geometrie

SI-Einheitensystem

Das Internationale Einheitensystem, auch einfach SI (Abk. für frz.: Le Système international d'unités) genannt, verkörpert das moderne metrische System und ist das am weitesten verbreitete Einheitensystem für physikalische Einheiten. Es entstammt ursprünglich den Bedürfnissen der Wissenschaft und Forschung, ist aber mittlerweile auch das vorherrschende Einheitensystem für Wirtschaft und Handel. In der Europäischen Union und den meisten anderen Staaten ist die Benutzung des SI im amtlichen oder geschäftlichen Schriftverkehr gesetzlich vorgeschrieben. Durch das SI werden physikalische Einheiten zu ausgewählten Größen festgelegt. Die Auswahl erfolgt – unter Berücksichtigung der geltenden wissenschaftlichen Theorien – nach praktischen Gesichtspunkten. Nicht-physikalische Größen, zum Beispiel wirtschaftliche oder sozialwissenschaftliche Größen, werden im SI nicht definiert. Das SI wurde 1954 beschlossen und beruht heute auf sieben per Konvention festgelegten Basiseinheiten zu sieben entsprechenden Basisgrößen. Für die Überwachung der Konsistenz und Eindeutigkeit des SI ist das BIPM zuständig. National sind die metrologischen Staatsinstitute zuständig, für sie hat sich vor kurzem die Abkürzung NMI (= national metrological institute) eingebürgert. NMI sind in Deutschland die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB), in der Schweiz das Bundesamt für Metrologie und Akkreditierung (METAS), in Österreich das Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen (BEV), in Großbritannien das National Physical Laboratory (NPL) und in den USA das National Institute of Standards and Technology (NIST). In der DDR war die zuständige Behörde das Amt für Standardisierung, Messwesen und Warenprüfung (ASMW). Grundsätzlich können physikalische Größen auch in anderen als SI-Einheiten angegeben werden. In Teilgebieten von Forschung und Wirtschaft sind diese heute weiterhin gebräuchlich und je nach Gesetzeslage teilweise zulässig. Einheiten aus unterschiedlichen Einheitensystemen sollten jedoch nach Möglichkeit nicht gemischt verwendet werden.

Geschichte

Am Ende des zweiten Weltkrieges existierten nach wie vor eine Reihe verschiedener Einheitensysteme und auch systemlose Einheiten in der Welt. Manche davon waren Variationen des metrischen Systems (MKS-System), andere basierten auf dem Angloamerikanischen Maßsystem. Man erkannte, dass weitere Schritte nötig wären, um die Einrichtung eines weltweiten Maßsystems zu fördern. Daher wurde 1948 eine internationale Studie in Auftrag gegeben, um herauszufinden, welche Bedürfnisse bezüglich Maßeinheiten in den Bereichen Wissenschaft, Technik und Bildung vorhanden waren. Aufgrund der Ergebnisse wurde 1954 entschieden, dass ein internationales System auf sechs Basiseinheiten aufbauen sollte. Die sechs empfohlenen Basiseinheiten waren Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere, Kelvin und Candela. 1960 wurden die Einheiten dieses Systems nach der französischen Bezeichnung Système International d'Unités SI-Einheiten genannt. 1971 kam als siebte Basiseinheit das Mol hinzu und wurde an die 6. Stelle zwischen Kelvin und Candela eingeordnet. Das SI ist heute in der ganzen Welt verbreitet. In vielen Ländern ist sein Gebrauch für bestimmte Anwendungsgebiete, namentlich das Eichwesen oder ganz allgemein den amtlichen und geschäftlichen Verkehr gesetzlich vorgeschrieben. In einigen Ländern werden daneben weiterhin traditionelle Maßsysteme verwendet. In den USA haben sich SI-Einheiten nur in wissenschaftlichem und technischem Kontext durchgesetzt. In Großbritannien sind die traditionellen Einheiten aus vielen Bereichen zurückgedrängt worden, halten sich aber zum Beispiel für Entfernungs- und Temperaturangaben. Viele Physiker haben lange Zeit an dem CGS-Einheitensystem festgehalten, das namentlich im Bereich der Festkörperphysik und der physikalischen Chemie handhabbarere Größenordnungen liefert (z. B. Dichten von 1 g/cm³ statt 1000 kg/m³) und in der Elektrodynamik (Gaußsches Einheitensystem) ohne die Basiseinheit Ampere und damit ohne die Pseudo-Naturkonstante ε₀ auskommt. Die Kapazität eines Kondensators wird dann in Zentimeter angegeben, wobei ein Zentimeter ungefähr einem Picofarad entspricht. Spätestens in den 1990er Jahren sind die meisten Hochschul-Lehrbücher jedoch auf SI-Einheiten umgestellt worden. Siehe auch: Geschichte von Maßen und Gewichten, Alte Maße und Gewichte

Anwendung und gesetzliche Grundlagen

Internationale Normen, wie die ISO 1000 oder entsprechende EWG-Richtlinien, haben das SI übernommen. In Deutschland wurden die darin festgelegten Einheiten mit dem Gesetz über Einheiten im Messwesen (Einheitengesetz, 1969) als gesetzliche Einheiten für den amtlichen und geschäftlichen Verkehr eingeführt. Die Ausführungsverordnung zu diesem Gesetz (1970) verweist in seiner aktuellen Ausgabe auf die Norm DIN 1301. Seit 1978 ist die Verwendung von alten Einheiten im amtlichen oder geschäftlichen Schriftverkehr in Deutschland verboten; zu den wichtigsten Ausnahmen hiervon zählt die Millimeter Quecksilbersäule für die Angabe von Drücken in Körperflüssigkeiten (z. B. Blutdruck). In Luft- und Seefahrt werden auch jedoch weiterhin Einheiten aus dem angloamerikanischen Maßsystem angewendet.

Systematik

Eine Einheit hat meist einen (ausgeschriebenen) Einheitennamen und ein Einheitenzeichen. Die Namen sind je nach Sprache mit unterschiedlichen Schreibweisen vorgesehen (z. B. dt. Sekunde, engl. second, frz. seconde). Die Einheitenzeichen sind international einheitlich (z. B. s).- Ausnahmen: Das Liter hat zwei Einheitenzeichen, der Vollwinkel gar keins. Für manche Einheiten (z. B. Karat) sind zwar Einheitenzeichen üblich, oder national festgelegt, aber nicht international vereinbart. Diese Beispiele für Ausnahmen bewegen sich allerdings außerhalb des eigentlichen SI im Bereich der gesetzlichen Einheiten im Messwesen; das Liter wird jedoch zusammen mit dem SI akzeptiert.

Schreibweisen

Einheitenzeichen werden in aufrechter Schrift gesetzt und folgen mit kleinem Zwischenraum dem Zahlenwert, auch bei Prozent und Temperaturangaben in Grad Celsius; vor den Einheitenzeichen der Winkeleinheiten Grad, Minute und Sekunde wird jedoch kein Zwischenraum gesetzt. Die Schreibweisen sind in DIN 1301 geregelt. Bei der Schreibweise von Einheitenzeichen ist die Groß-/Klein-Schreibung zu beachten. So bedeutet beispielsweise die Angabe "5 s" fünf Sekunden, während "5 S" fünf Siemens bedeutet. Der erste Buchstabe des Einheitenzeichens einer nicht zusammengesetzten Einheit wird groß geschrieben, falls die Einheit nach einer Person benannt ist. Zwei Ausnahmen dieser Regel stellen das nicht nach einer Person benannte Liter mit den beiden Einheitenzeichen l und L sowie das bisher übliche Zeichen "Kt" für die außerhalb des SI stehende Einheit metrisches Karat dar. In eckigen Klammern stehen ausschließlich Formelzeichen (per Konvention kursiv geschrieben) oder der Name der Einheit. Man liest die Klammer folgendermaßen: Die Einheit (von) <Inhalt der Klammer> ist: .... Zulässige Schreibweisen sind zum Beispiel: :

[v]=\frac\quad

::bedeutet: "Die Einheit der Geschwindigkeit ist Meter durch Sekunde." :

[P]_=\frac\quad

::bedeutet: "Die SI-Einheit der Leistung ist Kilogramm-Quadratmeter durch Kubiksekunde." Einheitenzeichen in eckigen Klammern führen zu einer falschen Aussage: Die eckigen Klammern dürfen nicht um Einheitenzeichen gesetzt werden. Angaben wie [kg] sind nicht zu verwenden, auch nicht zur Beschriftung von Koordinatenachsen in graphischen Darstellungen (s. DIN 1313).

Basiseinheiten

Die Basiseinheiten und -größen des SI werden nach praktischen und theoretischen Gesichtspunkten durch die CGPM festgelegt. Ihre Definitionen sind nicht endgültig, sondern werden in ständiger Arbeit mit dem fortschreitenden Stand der Messtechnik weitergeführt. Im SI entsprechen die sieben Basisgrößen den sieben Basiseinheiten. Um die Basiseinheiten für Anwendungen mit unterschiedlichsten Größenskalen verwenden zu können, werden bestimmte Vorsilben wie Kilo oder Milli verwandt. Diese werden auch bei abgeleiteten Einheiten sowie teilweise Einheiten anderer Systeme verwandt.

Abgeleitete Einheiten mit besonderem Namen

Das Internationale Einheitensystem umfasst neben den Basiseinheiten auch abgeleitete Einheiten, die aus einer oder mehreren dieser Basiseinheiten durch Multiplikation oder Division zusammengesetzt sind. Das eindeutig bestimmte Potenzprodukt aus den Basiseinheiten bezeichnet man dabei zwar nicht als Dimension der physikalischen Größe, es ist aber formal gleich aufgebaut. So können beispielsweise Flächen in Quadratmeter (m²) oder Geschwindigkeiten in Meter durch Sekunde (m/s) angegeben werden. Einigen dieser zusammengesetzten Einheiten wurden Namen und Symbole zugeordnet, die selbst wieder mit allen Basis- und abgeleiten Einheiten kombiniert werden können. So eignet sich zum Beispiel die SI-Einheit der Kraft, das Newton (1 N = 1 kg·m/s²), um die Einheit der Energie, das Joule (1 J = 1 kg·m²/s²), synonym als Newton mal Meter auszudrücken. Die folgenden 22 abgeleiteten Einheiten haben eigene Namen und Symbole.
Umgangssprache und Unsitten in Zusammenhang mit Größen und Einheiten
Im allgemeinen (nicht-wissenschaftlichen) deutschen Sprachgebrauch haben sich einige Schreib- und Sprechweisen eingebürgert, die nach dem SI falsch sind:
- Verkürzung von "Grad Celsius" zu "Grad"; der Grad ist eine Einheit des ebenen Winkels.
- Temperaturdifferenzen in Grad statt in Kelvin oder Grad Celsius
- qm statt m²
- ccm statt cm³
- cbm statt m³
- Kilo statt Kilogramm
- Deka statt Dekagramm (insbesondere in Österreich)
- Ampere in deutschsprachigen Ländern mit Akzent geschrieben
- Elektronenvolt statt Elektronvolt
- hochgestellte Zeichen h, m und s für die Angabe von Zeitpunkten in Stunde, Minute und Sekunde (ab Mitternacht) in einer Zeitskala; diese Schreibweise wurde in DIN 1355, Ausgabe Januar 1943, empfohlen.
- m statt min für die Zeiteinheit Minute; diese Schreibweise wurde in DIN 1355 "Zeit" vom Januar 1943 empfohlen, „wenn keine Verwechslung mit m (Meter) möglich ist.“
- Anbringen von Indizes oder anderen Hinweisen an Einheitenzeichen, um auf bestimmte Sachverhalte hinzuweisen, die korrekt zur verwendeten physikalischen Größe gehören
- Upm oder U/min statt der Angabe von Drehzahlen in der Einheit 1/min
- lm statt m (als eine Summe von Einzellängen bei querschnittsgleichen Prismen)
- Weiterverwendung des Pfund
- Gewicht statt Masse: doch hat dies streng genommen nichts mit einem Einheitensystem, sondern lediglich mit Größen-Benennungen zu tun.
- kmh statt km/h (Geschwindigkeitseinheit)
- Stundenkilometer statt Kilometer durch Stunde für km/h
- falsches Einheitenzeichen "VAr" für das Var, den besonderen Namen der Einheit Watt bei der Angabe von Blindleistungen; richtig ist das Einheitenzeichen "var".
Hinweise
# Allerdings gibt es noch Spezialvorschriften in der DIN-Norm DIN 66030 über „die Darstellung von Einheitennamen in Systemen mit beschränktem Schriftzeichenvorrat“ (Schreibmaschine u. ä.) vom Mai 2002. # Was nicht SI-konform ist, kann trotzdem normgerecht oder im rechtlichen Sinne korrekt sein, z. B. der Gebrauch der Winkeleinheit Gon.
Siehe auch

- Liste der Vorsilben für Maßeinheiten
- Metrologie
- Messgeräte
- Elektromagnetische Einheiten, erklärt insbesondere die Festlegung der Konstanten μ₀ und ε₀
Weblinks

- [http://www.ptb.de/de/publikationen/download/einheiten.pdf SI-Einheiten, gesetzliche und nichtgesetzliche Einheiten in Deutschland] – Broschüre der PTB
- [http://www.metas.ch/de/scales/index.html Bundesamt für Metrologie und Akkreditierung der Schweiz (METAS)]
- http://www.bipm.org/en/si/ Definition der Basiseinheiten (englisch und französisch)
- [http://www1.bipm.org/en/publications/brochure/ SI-Einheiten-Broschüre] des BIPM – erhältlich auf Englisch und Französisch ! ja:国際単位系 ko:SI 단위계 simple:SI th:หน่วยเอสไอ

Bogenmaß

Das Bogenmaß ist eine Winkelangabe, die besondere Bedeutung in der Mathematik und Physik hat. Das Bogenmaß gibt den Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an und ist daher dimensionslos. Die Einheit für ebene Winkel ist im SI 1 m/m = 1. Für diese abgeleitete SI-Einheit darf bei der Angabe von ebenen Winkel auch der spezielle Name Radíant mit dem Einheitenzeichen rad benutzt werden. Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsätzen benutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w. Spannt z. B. ein Winkel bei einem Radius von 2 Metern eine Kreisbogenlänge von 0,5 Metern auf, ist das Bogenmaß 0,5 m / 2 m, also 0,25 (Dimension 1, bzw. Länge / Länge). Der Umfang eines vollen Kreises ist das

2 \pi

-fache seines Radius; somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehörenden Winkels

2 \pi

; dieser Winkel heißt Vollwinkel und ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, übrigens eine ohne Einheitenzeichen. (Hinweis wegen eventueller Verwechslungsgefahr: Bis 31.12.1977 war in Deutschland das Rad mit dem Einheitenzeichen rd gesetzliche Einheit der Energie- und Äquivalentdosis; 1 rd = 1 cGy = 1 cJ/kg.) Im Gegensatz dazu wird bei den z. B. in der Nautik üblichen Winkelangaben der Vollkreis in 360 Teile oder 360° (Grad) aufgeteilt und der Winkel als Vielfaches der Einheit Grad angegeben.

Winkel im Bogenmaß

Grad Ein Bogenmaß von

2\pi

entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises und damit einem Winkel von 360°. Kleinere Winkel sind Teile von

2\pi

, etwa

\pi

für 180° oder

\pi/4

für 45°. Bei Umrechnungen tritt die Kreiszahl

\pi

auf: :1° entspricht dem Bogenmaß

2\pi/360

oder ungefähr 0,01745 Eine Bogenmaßangabe von 1 bedeutet, dass Radius und Bogen auf einem Kreis gleich lang sind, was bei einem Winkel von 180°/

\pi

der Fall ist, also ungefähr bei 57,29°. Um deutlich zu machen, dass eine Angabe im Bogenmaß erfolgt, kann man den Zahlenwert durch arc (von lat. arcus = Bogen) oder rad (von Radiant) ergänzen. Dies sind jedoch keine Einheiten im üblichen Sinne und werden bei Berechnungen nicht berücksichtigt, wie sonst etwa Meter pro Sekunde für die Geschwindigkeit.- Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist jedoch im Gegensatz zum Vorstehenden der besondere Name für die abgeleitete SI-Einheit 1 (m/m) bei Winkelangaben. Schreibweisen mit "arc" sind demnach nicht SI-konform, Schreibweisen mit "rad" also vorzuziehen.

Winkelgeschwindigkeiten und Bogenmaß

Ohne Bogenmaß ...

Es soll die Geschwindigkeit an der Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr mit einer Länge von fünf Metern berechnet werden. Der Zeiger benötigt für eine Vollumdrehung genau eine Stunde, überstreicht also 360° pro Stunde. Der Kreisumfang beträgt :

U = 2\,\pi\cdot 5\ \mathrm = 31416\ \mathrm

, die Geschwindigkeit also :

v = \frac = \frac =  0008727\ \mathrm

.. und mit Bogenmaß

Hier wird zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers bestimmt. Dies ist die Bogenlänge auf dem hypothetischen Einheitskreis pro Zeiteinheit. Das Bogenmaß für eine Vollumdrehung ist

2\,\pi

, die Zeit wieder eine Stunde oder 3600 Sekunden. Die Winkelgeschwindigkeit ist also :

\omega_ = \frac = \frac

. Um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten, muss man die Winkelgeschwindigkeit nur noch mit der Länge l/(Dem Radius) multiplizieren: :

v =  \omega \cdot l = \frac \cdot 5\ \mathrm = 0008727\ \mathrm

. Die Zahlenwerte wurden mit rad als Angaben im Bogenmaß gekennzeichnet. Bei der Geschwindigkeitsberechnung wird rad nicht berücksichtigt, die Einheit der Geschwindigkeit ist daher m/s, nicht rad mal m/s. Der Vorteil der Berechnung mit dem Bogenmaß ergibt sich aus der Tatsache, dass man nur den Winkel pro Sekunde mit der Länge multiplizieren muss, um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten.

Mathematische Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus können anschaulich dadurch definiert werden, dass man im Einheitskreis einen Zeiger im mathematisch positiven Drehsinn (also im Gegenuhrzeigersinn) rotieren lässt und die y-Koordinate der Zeigerspitze über der Bogenlänge - dem Bogenmaß - aufträgt. Auf diese Weise lassen sich auch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmen: :

\sin^\prime x = \cos x

\cos^\prime x = -\sin x

(x muss hier im Bogenmaß angegeben werden.)

Spezielle Winkel im Bogenmaß

\begin
0^\circ &=& 0 \\ 
45^\circ &=& \frac \pi \\
57^\circ\, 17'\, 44

&\approx& 1 \\ 90^\circ &=& \frac \pi \\ 180^\circ &=& \pi \\ 270^\circ &=& \frac\pi \\ 360^\circ &=& 2\pi \end
Umrechnung

- Von Grad nach Bogenmaß: :: $_ = \frac$
- Von Bogenmaß nach Grad: :: $_ = \frac$
Fläche und Bogenmaß
Wenn $x$ das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Fläche des dazugehörigen Kreissektors $A=r^2x/2$ , also ist $x=2A/r^2$ . Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorfläche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis definieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von $\frac$ im Bogenmaß, eine Fläche von $A=\frac$ . Dieser Zugang ist unter anderem zweckmäßig bei der Interpretation der Area-Funktionen als Flächen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.
Taschenrechner und Computer
Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß. Dazu muss der Modus rad gewählt werden. In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden. -.-
Weblinks

- [http://www.madeasy.de/2/polar.htm Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten]
- [http://www.marco-burmeister.de/index_frameaufbau.html?helferlein_grad Umrechnung von Gradangaben (Altgrad / Neugrad) (Online)] Kategorie:SI-Einheit ja:ラジアン ko:라디안

Kategorie:Geometrie

Hauptartikel: Geometrie Kategorie:Mathematik ja:Category:幾何学 ko:분류:기하학 zh-min-nan:Category:Kí-hô-ha̍k

Hegel-Haus

Das Hegelhaus ist ein Museum im Geburtshaus des Philosophen Georg Wilhelm Friedrich Hegel in Stuttgart. Stuttgart] In diesem Haus erblickte im Jahre 1770 der Philosoph Georg Wilhelm Friedrich Hegel das Licht der Welt. Er lebte 18 Jahre in Stuttgart und starb 1831 in Berlin. Das Haus in der Eberhardstraße 53 stammt aus dem 16. Jahrhundert.
- Im Erdgeschoss befindet sich eine Ausstellung über Stuttgart im 18. Jahrhundert, der Zeit Hegels.
- Eine Ausstellung stellt den Lebensweg des Philosophen dar. Hier ist auch Hegels berühmtes Barett zu sehen. Hegelhaus Eberhardstraße 53 Stuttgart

Weblinks

- [http://www.hegelhaus.de/ Hegelhaus] Kategorie:Museum in Stuttgart Kategorie:Bauwerk in Stuttgart Kategorie:Stuttgart (Kultur)

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