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Größenordnung

Größenordnung

Bei Zahlensystemen und wissenschaftlichem Rechnen beschreibt die Größenordnung den Faktor, der notwendig ist, um in der jeweiligen Zahlendarstellung einen Wert um eine Stelle zu vergrößern oder zu verkleinern, bei Beibehaltung der einzelnen Ziffern und ihrer Reihenfolge. Eine binäre Größenordnung entspricht einer Verdopplung respektive Halbierung. Meist wird von einem Dezimalsystem ausgegangen, weshalb "eine Größenordnung" meist einen Faktor (oder Divisor) von 10 bezeichnet. Beispielsweise unterscheiden sich die Größen "2 Meter" und "200 Meter" um zwei Größenordnungen, also um den Faktor 102=100. Generell gilt also, dass eine additive Veränderung in der Größenordnung eine exponentielle Veränderung in der tatsächlichen Größe anzeigt, bzw. dass man von der tatsächlichen Größe auf die Größenordnung (mal einem konstanten Faktor) per Logarithmierung gelangt. In der wissenschaftlichen Praxis wird allerdings oft eine Größenordnung als eher ungenaue Bezeichnung von Größenverhältnissen benutzt. Der Sinn dieser Anwendung ergibt sich aus dem Kontext und liegt meistens in der Bezeichnung großer oder sehr großer Zahlenunterschiede. Beispielsweise ist der nächste Stern um fünf Größenordnungen weiter von der Erde entfernt als die Sonne. Gemeint sind hier also dezimale Größenordnungen und zwar gerundet auf eine ganze Zahl. In den Ingenieursbereichen wird oft der Faktor 1000 als Größenordnung verwendet, also Meter, Kilometer (1000 Meter), Milliohm (1/1000 Ohm), Ohm, Kiloohm (1000 Ohm) und so weiter (Siehe dazu auch Liste der Vorsilben für Maßeinheiten). Die im jeweiligen Kontext auftauchenden Größenordnungen unterscheiden sich drastisch. Ein wissenschaftlicher Taschenrechner etwa rechnet bis 1099, man schätzt aber die Größenordnung der Anzahl der Elementarteilchen im Universum auf "nur" 1087 und das Universum ist etwa in der Größenordnung von 1018 Sekunden alt. Hingegen beträgt die Größenordnung der Anzahl der verschieden möglichen Wege zwischen 100 Städten beim Problem des Handlungsreisenden bereits 10158.

Übersicht über Größenordnungen verschiedener elementarer Größen

Der relevante Wertebereich physikalischer Größen in Natur und Technik überstreicht oft viele Größenordungen. Die folgenden Artikel geben anhand exemplarischer Phänomene einen Überblick über die auftretenden Größenordnungen der wichtigsten Größen:
- Größenordnung (Masse)
- Größenordnung (Energie)
  - Größenordnung (Leistung)
- Größenordnung (Zeit)
  - Größenordnung (Frequenz)
- Größenordnung (Länge)
  - Größenordnung (Fläche)
  - Größenordnung (Volumen)
- Größenordnung (Temperatur) Siehe auch: Wissenschaftliche Notation

Beispiele für Einheiten mit Größenordnungen


- Masse: Gramm (g), Kilogramm (kg), Tonne (t)
- Energie: Elektronenvolt (eV), Megaelektronenvolt (MeV), Gigaelektronenvolt (GeV), Joule (J), Kilowattstunde (kWh), Terawattstunde (TWh)
- Leistung: Milliwatt (mW), Watt (W), Kilowatt (kW), Megawatt (GW)
- Zeit: Femtosekunde (fs), Nanosekunde (ns), Mikrosekunde (μs), Millisekunde (ms), Sekunde (s), Minute (min), Stunde (h), Tag (d), Jahr (a)
- Frequenz: Hertz (Hz), Kilohertz (kHz), Megahertz (MHz)
- Länge: Nanometer (nm), Mikrometer (µm), Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Meter (m), Kilometer (km), Astronomische Einheit (AE), Lichtjahr (Lj), Parsec (pc)
- Fläche: Quadratmeter (m²), Hektar (ha), Quadratkilometer (km²)
- Volumen: Milliliter (ml), Zentiliter (cl), Liter (l), Kubikmeter (m³)
- Temperatur: Nanokelvin (nK), Microkelvin (µK), Millikelvin (mK), Kelvin (K)

Weblink


- [http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html Geheime Welten: Das innere Universum in Potenzen] Kategorie:Physik Kategorie:Chemie Kategorie:Zahlen ja:数量の比較 ko:규모의 비교

Zahlensystem

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen (Positionssystemen).

Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Ein Beispiel sind die römisch-etruskischen Zahlen mit den Ziffern I 1 V 5 (U)
- 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000
- U und V haben im römischen Zahlensystem den gleichen Zahlenwert. Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert. 2002 wird zum Beispiel als MMII dargestellt. Da solche Zahlen sehr lang werden können, wurde das System später modifiziert, so dass Ziffern nur dreimal hintereinander auftreten dürfen. Eine kleinere Ziffer die vor einer größeren steht, wird von dieser abgezogen. So wurde VIIII zu IX. Abweichend von dieser Regel (und dem heute weit verbreiteten Gebrauch) wurde die 4 von den Römern nicht als IV, sondern als IIII geschrieben (auf Uhren ist diese Schreibweise bis heute üblich), da die Zeichenfolge IV als Kürzel für den höchsten Gott Jupiter reserviert war. Das römische Zahlensystem wurde bis ins 15. Jahrhundert allgemein in Europa verwendet. Ein großer Nachteil ist vor allem, dass sich keine 0 darstellen lässt. Das Unärsystem wird gerne auf Bierdeckeln eingesetzt (die Zahl n dezimal wird durch n Striche dargestellt). Das Unärsystem braucht für die Darstellung großer Zahlen jedoch viel Platz.

Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) impliziert die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die 'niederwertigste' Position steht dabei im Allgemeinen rechts. Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b, sowie Ziffern, die von 0 bis b-1 laufen. Die Ziffernposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die n-te Position hat man einen Wert von bn-1. Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Basis 10, und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. In ihm entspricht jeder Ziffernposition eine Zehnerpotenz. Beispielsweise bedeutet die Ziffernfolge 6857, dass : die 7 mit 100 = 1, : die 5 mit 101 = 10, : die 8 mit 102 = 100 und : die 6 mit 103 = 1000 gewichtet wird, so dass man 6000 + 800 + 50 + 7 erhält. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische. Siehe auch das Vigesimalsystem mit der Basis 20. Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem), also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1, ein. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da in diesen System viele Berechnungen einfacher auszuführen sind als in anderen Systemen. Die Werte der Stellen sind dann : 20 = 1 : 21 = 2 : 22 = 4 : 23 = 8 : 24 = 16 : 25 = 32 u.s.w. Demnach entspricht 1011b = 11 1
- 23 + 0
- 22 + 1
- 21 + 1
- 20 1
- 8 + 0
- 4 + 1
- 2 + 1
- 1 = 11 Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind, werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet, die mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen. In der Computertechnik werden das Binärsystem, das Oktalsystem und das Hexadezimalsystem verwendet. Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in 3 oberste Götter und 3
- 3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die 3 galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit). Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten). Bei einigen Naturvölkern sind auch noch Zahlensysteme zu anderen Basen gefunden worden. Vergleichsweise weit verbreitet ist das System zur Basis 20. Bei diesen Völkern werden in der Regel zum Zählen neben den Fingern auch noch die Füße verwendet. Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. In Neuseeland war hingegen das System zur Basis 11 üblich und einige Völker benutzen das System zur Basis 18. Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:
1234,56 = 1·103 + 2·102 + 3·101 + 4·100 + 5·10-1 + 6·10-2
Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im 10er-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren, bricht die schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z. B.
\frac = 083333\ldots = 08\overline.
Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming. Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch, welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme. ja:位取り記数法 ko:기수법

Faktor (Mathematik)

Die Multiplikation (v. lat.: multiplicare = vervielfachen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden: : \begin \underbrace\\\\[-4ex] \end = \sum_^b = a \cdot b a und b nennt man Faktoren oder Multiplikanden. Das Ergebnis, gesprochen "a mal b", heißt Produkt. Zum Beispiel schreibt man 3 · 4 für 4 + 4 + 4, und spricht diesen Term als "dreimal vier". Anstelle von 3 · 4 wird manchmal auch 3 × 4 geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen
- , in anderen Texten sollte man es jedoch vermeiden. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x, xy). Zur richtigen Schreibweise siehe Malzeichen. Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produkt-Symbol \prod (Pi) verwenden: : 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_^5 (2i+1) = 10.395 oder auch : \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \; \dots \; \cdot \frac = \prod_^n \frac = \frac Die u.a. in der Stochastik häufig verwendetete Fakultät ist eine besondere Multiplikation natürlicher Zahlen: : 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_^n i = n! Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64 Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als Produkt a·b . Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren. Die umgekehrte Operation zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Rechengesetze

In einem Körper (also insb. \R und \Bbb Q) gelten:
- Assoziativgesetz: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c (siehe Mathematik)
- Kommutativgesetz: a \cdot b = b \cdot a
- Distributivgesetz: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
- neutrales Element: a \cdot 1 = a
- inverses Element: a \cdot a^ = 1
- absorbierendes Element: a \cdot 0 = 0

Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen. Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation). Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Multiplikation mit den Fingern

Nicht nur das Addieren, sondern auch das Multiplizieren, lässt sich in begrenztem Umfang mit den Fingern bewerkstelligen. Hierzu müssen beide Faktoren in ein und derselben Dekadenhälfte liegen, also entweder beide auf Ziffern zwischen 1 bis 5 oder auf Ziffern zwischen 6 bis 0 enden. Im ersten Fall nummeriert man die Finger beginnend beim kleinen Finger mit (d-1)1 bis (d-1)5 für den Daumen durch, wobei d für die Dekade der entsprechenden Zahl steht (also bspw. 11 bis 15 für die 2. Dekade). Danach hält man die zwei Finger, deren Produkt man ausrechnen will, aneinander. Das entsprechende Produkt erhält man, indem man die unteren Fingern zählt und mit (d-1)
- 10 multipliziert, dazu das Produkt der Finger der linken Hand mit den Fingern der rechten Hand und schließlich eine additive Konstante (d-1)
- 2
- 100 hinzuaddiert. Im zweiten Fall nummiert man die Finger von (d-1)6 bis (d)0 durch (also bspw. 16 bis 20). Danach hält man analog zum ersten Fall die beiden Finger der gewünschten Faktoren aneinander, zählt die unteren Finger, aber multipliziert diese jetzt mit d
- 10 und zählt zu diesem das Produkt der oberen Finger hinzu und die additive Konstante ergibt sich als (d-1)
- d
- 100.
- neutrale ElementBeispielsweise erhält man das Produkt 7
- 8 indem man die Zahl der unteren Finger, 5, die 10 (d=1) multipliziert, was 50 ergibt, hierzu das Produkt der oberen Finger 3
- 2=6 hinzuaddiert, was 56 ergibt. Die additive Konstante ist (d-1)
- d
- 100=0.
- neutrale ElementBeim Multiplizieren von 24 und 22 zählt man die unteren Finger auf 6, multipliziert dies mit 20 ((d-1)
- 10=2
- 10) zu 120, addiert dazu das Produkt der unteren Finger 4
- 2=8 und die additive Konstante (d-1)
- 2
- 100=400 und erhält dadurch 528. Besonders geeignet ist dieses Verfahren für das schnelle Errechnen von Quadratzahlen ohne Taschenrechner. Für Faktoren verschiedener Dekaden und Dekadenhälften kann man dieses Verfahren immer noch anwenden, indem man die Faktoren in Summen aufspaltet. Hintergrund für dieses Verfahren ist die Tatsache, dass man solche Produkte schreiben kann als:
(a+x)
- (a+y)=a^2+(x+y)
- a+x
- y
und Produkte der zweiten Dekadenhälfte errechnen kann, indem man die Komplemente der letzten Ziffer bzgl. 10 bildet. Die letzte Ziffer ist dann das Produkt der Komplemente, die Zehner das Komplement der Summe der Komplemente.
- Bsp. 9
- 7

Vedische Multiplikation

Diese Rechenart kommt aus Indien und eignet sich immer dann zu einer "Blitz"multiplikation auch großer Faktoren, wenn diese knapp unter derselben Zehnerpotenz liegen (zu vedisch: s.a. Veda, Vedische Sprache). Dem Rechenweg liegt folgende Beziehung zugrunde: a und b seien zwei Zahlen dicht unterhalb einer Zehnerpotenz 10^n und \bar a bzw. \bar b die Differenzen hierzu. Dann ist :a \cdot b = (10^n - \bar a) \cdot (10^n - \bar b) = (10^n - \bar a - \bar b) \cdot 10^n + \bar a \bar b = (a - \bar b) \cdot 10^n + \bar a \bar b Falls nun \bar a \bar b < 10^n ist, kann man die beiden Zifferfolgen von (a - \bar b) und \bar a \bar b einfach nebeneinander schreiben, um so zur Lösung der Multiplikation zu gelangen. (Achtung: Führende Nullen des zweiten Terms müssen mitgeschrieben werden.) Beispiele: 95
- 97 = 9215 992
- 988 = 980096 Fakt. Diff. Fakt. Diff. a,b zu 100 a,b zu 1000 --------------- ------------------ 95 5 992 8 \
- \
- 97 3 988 12 --------------- ------------------ 92 15 980 096 (95-3) (5
- 3) (992-12) (8
- 12) Natürlich ergibt eine Vertauschung der Faktoren dasselbe Ergebnis, da: (a - \bar b) = (10^n - \bar a - \bar b) = (b - \bar a) ist.

Kuriose Art der Multiplikation (russische Bauernmultiplikation)

A und B seien ganzzahlige Faktoren. Das Produkt P = A · B kann auch auf folgende – scheinbar kuriose – Art ermittelt werden: # Schritt: Dividiere A und die Ergebnisse so lange durch 2, bis sich 1 als Ergebnis einstellt. Dabei wird ein nicht ganzzahliges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl abgerundet und danach die Division durch 2 fortgesetzt. # Schritt: Verdopple B fortlaufend # Schritt: Streiche alle Zeilen, in welchen in der Spalte A eine gerade Zahl steht. # Schritt: Addiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Spalte B. Die erhaltene Summe ist das gesuchte Produkt P. Beispiel: 11 · 3 = ? Spalte A Spalte B 11 · 3 5 6 2 12 gestrichen wegen (2 = gerade) in Spalte A 1 24 _______________________ Summe 33

Das scheinbar Kuriose an dieser Methode ist, dass die Rechnung immer stimmt, obwohl in der Spalte A im allgemeinen Rundungen vorgenommen werden.

Erklärung

In der Spalte A werden Streichungen vorgenommen, wo bei der dezimalen Zahl 11 in der binären Darstellung Nullen stehen: 11(dezimal) = 1011(binär). Dabei ist die Spalte A von unten nach oben zu lesen. Diese Methode ist auch die einfachste Art, dezimale Zahlen in binäre zu transformieren. Die fortlaufenden Verdoppelungen in der Spalte B entsprechen den Zweierpotenzen des binären Zahlensystems, multipliziert mit dem zweiten Faktor. Wo in Spalte A eine Null steht, wird die entsprechende Zahl in B mit 0 multipliziert, daher gestrichen. Alle übrigen Zahlen der Spalte B gehören zum Produkt und werden summiert. Man kann dies auch leicht anders formulieren. :11
- 3 = 3 + 6 + 24\Leftrightarrow 11
- 3 = 3
- (1 + 2 + 8)\Leftrightarrow 11 = 1 + 2 + 8\Leftrightarrow 11 = 2^0 + 2^1 + 2^3 Die letzte Gleichung kommt der binären Darstellung 1011 von 11 gleich.

Verallgemeinerungen

Die bekannte Multiplikation reeller Zahlen kann zur Multiplikation komplexer Zahlen verallgemeinert werden, indem man eine imaginäre Einheit i einführt und die Faktoren in der Form a+bi formal ausmultipliziert. Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition, mit der die Menge eine Abelsche Gruppe bildet, und eine Multiplikation, die assoziativ und distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales Element, nennt man den Ring unitär. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Schiefkörper. Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ, erhält man einen Körper. Mit dieser Multiplikation nicht zu verwechseln sind andere Verknüpfungen, die gemeinhin auch als Produkte bezeichnet werden, z.B. das Skalarprodukt in euklidischen Vektorräumen und das Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum \R^3.

Siehe auch


- Linearfaktor, Primfaktorzerlegung
- Russische Bauernmultiplikation, Multiplikator, Malzeichen
- Mathematik für die Schule

Weblinks


- [http://www.mathepower.com/schrmal.php Schriftliche Multiplikation wird online vorgerechnet]
- [http://www.mediator-programme.de/erstrechnen/schrmult.htm Freeware-Programm zur Einübung der schriftlichen Multiplikation bei mediator-programme.de] Kategorie:Arithmetik ja:乗法 ko:곱셈 simple:Multiplication th:การคูณ

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem oder Zehnersystem (lat. decimus = der Zehnte) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis) 10. Das Dezimalsystem ist heute mit dem Dualsystem das weltweit verbreiteteste Zahlensystem, und stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es im 8. Jahrhundert in seinem Arithmetikbuch, durch das es im 10. Jahrhundert nach Europa gelangte. Mit seiner Durchsetzung im 12. Jahrhundert kam auch der Begriff Arabische Zahlen auf. In arabischen Ländern werden sie bis heute indische Zahlen genannt. Ohne Null aber bereits mit der Dezimalzahlen-Idee (also Zehner, Hunderter, Tausender usw. rechnete man bereits im Alten Ägypten (siehe Hieroglyphen) und später bei den Römern (siehe Römische Zahlen). Die Chinesischen Zahlen sind ein Mischsystem aus den Ziffern eins bis neun (eine Null wurde später hinzugefügt) und Zeichen für die Zehnerschritte.

Definition und Darstellung

Ziffern

Im Dezimalsystem verwendet man die 10 Ziffern :0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun). Diese Ziffern werden jedoch in verschiedenen Teilen der Welt anders geschrieben. Siehe dazu die Artikel Arabische Zahlen und Indische Zahlen. Die alten indischen Ziffern werden auch heute noch in der Devanāgarī-Schrift verwendet.

Definition

Eine Dezimalzahl wird durch die Ziffern zi dargestellt. Die Ziffern werden ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht der zur Stelle passenden Zehnerpotenz. Es wird also die höchstwertige Stelle mit dem Wert zm ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten zm-1 bis z0 in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen z -1 bis z -n, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Ziffern vor dem Komma werden mit positiven Exponenten, nach dem Komma mit negativem Exponenten multipliziert. Im englischen Sprachraum wird statt des Kommas meist ein Punkt verwendet. :z_m z_ \ldots z_0\operatornamez_ z_ \ldots z_ \qquad \left(m,n\in\mathbb \quad z_i\in\\right) Der Wert Z der Dezimalzahl ergibt sich durch Addition bzw. Subtraktion dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert 10i multipliziert werden: :Z = \pm \sum_^m z_i \cdot 10^i. Diese Darstellung nennt man auch Dezimalbruchentwicklung.

Beispiel

: 723,48 = 7·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10-1 + 8·10-2

Dezimalbruchentwicklung

Mit Hilfe der Dezimalbruchentwicklung kann man jede reelle Zahl durch eine Summe von Brüchen als Zehnerpotenzen darstellen. Diese Darstellung ist eine einfache Reihenentwicklung. Insbesondere bei allen irrationalen Zahlen bricht diese Reihe nicht ab; dann liegt eine unendliche Dezimalbruchentwicklung vor. Zur Umformung periodischer Dezimalbruchentwicklungen (siehe weiter unten) verwendet man die Beziehungen: :0\overline = \frac; \quad 0\overline = \frac; \quad 0\overline = \frac; \quad \ldots. Beispiele: 055555\ldots = 0\overline = \frac 033333\ldots = 0\overline = \frac = \frac 0424242\ldots = 0\overline = \frac = \frac 0081081081\ldots = 0\overline = \frac = \frac Die Periode wird jeweils in den Zähler übernommen. Im Nenner stehen soviele Neunen, wie die Periode Stellen hat. Gegebenenfalls sollte der entstandene Bruch noch gekürzt werden. Etwas komplizierter ist die Rechnung, wenn die Periode nicht unmittelbar auf das Komma folgt: Beispiele: 083333\ldots = 08\overline = 8\overline : 10 = 8\frac : 10 = 8\frac : 10 = \frac : 10 = \frac = \frac 048363636\ldots = 048\overline = 48\overline : 100 = 48\frac : 100 = 48\frac : 100 = \frac : 100 = \frac = \frac

Formel

Für unendliche Dezimalbrüche mit einer Null vor dem Komma lässt sich folgende Formel aufstellen: :p = \frac Dabei sind p die periodische Zahl, x die Zahl vor Beginn der Periode (als Ganzzahl), m die Anzahl der Ziffern vor Beginn der Periode, y die Ziffernfolge der Periode (als Ganzzahl) und n die Länge der Periode. Die Anwendung dieser Formel soll anhand des letzten Beispiels demonstriert werden: p = 048363636\ldots = 048\overline x = 48; \quad m = 2; \quad y = 36; \quad n = 2 p = \frac = \frac = \frac = \frac

Periode

In der Mathematik bezeichnet man als Periode eines Dezimalbruchs eine Ziffer oder Ziffernfolge, die sich nach dem Komma immer wieder wiederholt. Alle rationalen Zahlen haben eine periodische Dezimalbruchentwicklung. Beispiele: Sofortperiodische: 1/3 = 0,33333... 1/7 = 0,142857142857... 1/9 = 0,11111... Nichtsofortperiodische: 2/55 = 0,036363636... 1/30 = 0,03333... 1/6 = 0,16666... Auch endliche Dezimalbrüche wie 0,12 können als periodische Dezimalbrüche aufgefasst werden: 0,12 = 0,12000... Perioden treten im Dezimalsystem genau dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lässt -- 2 und 5 sind die Primfaktoren der Zahl 10, der Basis des Dezimalsystems. Ist der Nenner eine Primzahl (außer 2 und 5), so hat die Periode höchstens eine Länge, die um eins niedriger ist als der Wert des Nenners (in den Beispielen fett dargestellt).
Periodische Dezimalbrüche als Grenzwerte
Der Limes- oder Grenzwert-Begriff der Analysis erlaubt eine exakte Definition von periodischen Dezimalbrüchen. So gilt beispielsweise: :0\overline = 07 + 007 + 0007 + \ldots 0\overline ist der Limes der folgenden (unendlichen) geometrischen Reihe :07 + 07 \cdot \frac + 07 \cdot \left(\frac\right)^2 + 07 \cdot \left(\frac\right)^3 + \ldots

Notation mit Periodenstrich

Für periodische Dezimalbruchentwicklungen ist eine Schreibweise üblich, bei der der sich periodisch wiederholende Teil der Nachkommastellen durch einen Überstrich markiert wird. Beispiele sind
- 1/6 = 0,1\bar,
- 1/7 = 0,\overline.

Nicht periodische Nachkommaziffern-Folge

Wie im Artikel Stellenwertsystem erläutert, besitzen irrationale Zahlen (auch) im Dezimalsystem eine unendliche nichtperiodische Nachkommaziffern-Folge. Irrationale Zahlen können also nicht durch eine endliche Ziffernfolge dargestellt werden. Man kann sich zwar mit endlichen (oder periodischen) Dezimalbrüchen beliebig annähern, jedoch ist eine endliche Darstellung niemals exakt. Es ist also nur mithilfe zusätzlicher Symbole möglich, irrationale Zahlen durch endliche Darstellungen anzugeben. Beispiele solcher Symbole sind Wurzelzeichen, wie für √2, Buchstaben wie π oder e, sowie mathematische Ausdrücke wie unendliche Reihen oder Grenzwerte Jedoch ist auch so nicht jede reelle Zahl darstellbar, weil es überabzählbar viele reelle Zahlen, aber nur abzählbar viele endliche Darstellungen mit einem endlichen Zeichenvorrat gibt.

Besondere Eigenschaft der Dezimalbruchentwicklung

Eine besondere Eigenschaft bei der Dezimalbruchentwicklung ist, dass eine rationale Zahl zwei unterschiedliche Dezimalbruchentwicklungen besitzen kann. Wie oben beschrieben, kann man den Wert von 0,999999... zu 9/9 berechnen. Damit erhält man die zunächst überraschende Aussage :099999\ldots = 0\overline = 1. Diese Tatsache ist anschaulich schwer verständlich, mathematisch jedoch richtig. Sie hängt eng mit der Definition eines Dezimalbruchs als Limes (Grenzwert) einer unendlichen Reihe zusammen. Man kann sagen, dass die Zahl mit jeder weiteren 9 näher an 1 heranrückt. Da es jedoch unendlich viele Neunen sind, kommen die Partialsummen beliebig nahe an 1 heran; also ist der Grenzwert 1! Ebenso wird 0,7999999... zu 0,8 usw.

Umrechnung in andere Stellenwertsysteme

Methoden zur Umrechnung von und in das Dezimalsystem werden in den Artikeln zu anderen Stellenwertsystemen und unter Zahlbasiswechsel und Stellenwertsystem beschrieben.

Siehe auch


- Zahlensystem, römische Zahlen
- Dualsystem, Oktalsystem, Duodezimalsystem, Hexadezimalsystem, Vigesimalsystem, Sexagesimalsystem, Schreibweise von Zahlen, Basiswechsel
- Dezimalwährung, Metrisches System
- Gleitkommazahl (floating point number)

Weblinks


- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm Umrechnung von Zahlensystemen (Oktal-/Dezimal-/Binär-/Hexadezimalsystem)] Kategorie:Zahlensystem ja:十進記数法 ko:십진법

Divisor

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung :b · x = a (lies: b mal x gleich a) erfüllt. Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"): :x = a : b Die auftretenden Terme heißen wie folgt: :Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend. :Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor. :Das Ergebnis der Division heißt Quotient. Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient a / b als Lösung der Gleichung b · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b = 0 entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für a gleich 0). Da also der Quotient "a / 0" nicht eindeutig definiert ist (entweder gar nicht oder mit mehreren Werten) wird er nicht definiert. Siehe dazu auch den Artikel Null. Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz. Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen): :a : b :a ÷ b :a / b :\frac Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge: Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a \ne 0 eine Zahl x = \frac, so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage 0 = a und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung a \ne 0 erhalten. Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x = \frac, so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung x \cdot 0 = 0 führen, also zu einer Gleichung, die für jedes x richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für \frac.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten. Siehe auch: Gruppe, Ring, Schiefkörper, Divisionsalgebra Kategorie:Arithmetik ja:除法 simple:Division th:การหาร

Logarithmus

Unter dem Logarithmus (griech.: logos = Verständnis, arithmos = Zahl) versteht man in der Mathematik das Ergebnis der Auflösung der Gleichung :y = a^x nach der Unbekannten x, geschrieben als :x = \log_a(y). Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also derjenige Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; sie kann zum Auffinden der Werte zur Auflösung obiger Gleichung herangezogen werden. Für jede vorgegebene Basis (oder Grundzahl) a>0,\,a\neq 1 ergibt sich dabei eine andere Logarithmusfunktion \log_a. Den Funktionswert \log_a(y) nennt man den Logarithmus von y zur Basis a. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus. Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Charakterisierung des Logarithmus als Umkehrfunktion der Potenzierung

Die Funktionen ax und loga(x) sind Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt: : a^ = x \mbox _a(a^x) = x

Charakterisierung des Logarithmus als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen stetigen Lösungen der Funktionalgleichung :F(x y) = F(x) + F(y) Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung wäre die Nullfunktion F(x) = 0.

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung :^k \leq x < ^ ist gleichwertig mit :k \leq \log_(x) < k+1. Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl k, so besitzt die reelle Zahl x in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade k+1 Stellen vor dem Komma (für k\geq 0) bzw. beginnt bei der |k|-ten Stelle nach dem Komma (für k<0).

Logarithmengesetze

Logarithmen von Produkten

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung: :\log _a (x\cdot y) = \log _a (x) + \log _a (y) Oder allgemeiner: : \log _a \left( x_1 \cdot x_2 \cdot\ldots\cdot x_n \right) = \log _a \left(x_1 \right) +\log _a \left(x_2 \right) + \cdots + \log _a \left( x_n \right) Für Potenzen mit reellem Exponent r gilt die Regel: :\log _a \left( x^r \right) = r \cdot \log _a (x) Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten. (siehe weiter unten)

Logarithmen von Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben: : \log _a \bigg(\frac \bigg) = \log_a (x) - \log_a (y)

Logarithmen von Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel: :\log_a \left( \sqrt[n] \right) = \log_a \left( x^\frac \right) = \frac

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log10(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log10(3
- 10) = log10(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (John Napier) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt: : Wenn y = ex dann ist x = loge(y) = ln(y). Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion e^x sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel: :\frac e^x = e^x Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren. Der natürliche Logarithmus f(x)=ln(x) ist die Stammfunktion der Potenzfunktion f'(x)=x^(-1) bzw. 1/x. Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit „lg“ abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs. Der Logarithmus zur Basis 2 – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus. Abkürzungen
- loga: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
- ln = loge: Natürlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis)
- lg = log10: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
- lb = ld = log2: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung : \ln(1+x) = \sum_^\infty (-1)^ \frac = x-\frac + \frac -\frac \pm \cdots , \qquad -1 < x \le 1 des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell. Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht: : \ln(x) = 2 \cdot \sum_^ \frac \cdot \left( \frac\right)^ + \; R_(x) , \qquad x > 0 mit der Restgliedabschätzung : |R_(x)| \le \frac \left( \frac\right)^. Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man : \ln(x) = m \ln (2) + \ln(2^ x).\quad Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt 1 / \sqrt \le 2^x \le \sqrt und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für \left( 2^ \right) \cdot x berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2. Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem: : \ln(x) = \lim_ n \, \left(\!\sqrt[n] -1 \right) sowie : \ln(x) = \lim_ \frac. Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert. Begründungen:
- x = loga(0) müsste dann 0 = ax bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
- (als Beispiel die negative Zahl -1) x = loga(-1) müsste dann -1 = ax bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist. In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Kurvendiskussion des Logarithmus


- Definitionsmenge: s. oben (D = ]0,\infty[)
- Wertemenge: alle reellen Zahlen
- Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: bzw. (1|0)
- Gebräuchliche Limites / Verhalten im Unendlichen:
  - \lim_ \log_b(x) = -\infty (wenn b > 1) bzw. (+)\infty (wenn b < 1)
  - \lim_ \log_b(x) = \infty (wenn b > 1) bzw. -\infty (wenn b < 1)
- Erste Ableitung: \log_b(x)' = \frac
- Extrempunkte: keine
- Wendepunkte: keine

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen: : \log_b(r) = \frac oder in der suggestiven „Kürzungsform“: :\log_a(b)\cdot \log_b(r) = \log_a(r). Denn: :a^ = (a^)^ = b^ = r = a^. Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Beispiel: : \log_(8) = \frac \approx \frac \approx 090 Alternative mit Hilfe des ln: :\log_(8) = \frac \approx 090

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort). Es ergibt sich :\ln'(x) = \frac Für allgemeine Logarithmen gilt: :(\log_b)' = \frac Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration: :\int = \int = x\cdot\ln-\int = x\ln-x Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden (Beispiel): :\int_0^1 = [x\ln-x]_^ = -1, da :\lim_ x\ln = \lim_ \frac = \lim_ \frac = \lim_ (-x) = 0.

Komplexer Logarithmus

Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, die die Gleichung :e^ = z erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt: :e^ = 1, \ k \in \mathbb Hat man also einen Logarithmus w_ von z gefunden, so ist auch :w = w_ + 2k\pi i ein Logarithmus von z, da gilt: :e^ = e^ = e^ \cdot e^ = e^ \cdot 1 = e^ = z Um Eindeutigkeit erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen :\left\ verwenden. Ein w aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt w = \ln. Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion: :w = \ln + i\left(\arg + 2k\pi\right), \ k \in \mathbb Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus: :\ln = \ln + i\arg ln(z) ist nicht stetig auf \mathbb \setminus \. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet :\mathbb \setminus \ stetig und sogar holomorph. Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen: :\ln = \ln + i\arg = \ln + i\pi, \ x \in \mathbb^ Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten:
- \ln + \ln \neq \ln ::Beispiel: \ln + \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln
- y \cdot \ln \neq \ln ::Beispiel: 2\pi i \cdot \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln

Anwendungen des Logarithmus

holomorph Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie
- Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus dient die Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
- bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt das wan etwas die Wahrscheinlichkeit von Auftreten p hat, das Wissen über das tatsäglichen Auftreten davon eine Informationsmenge \log_2 gibt
- pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
- dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
- In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
- Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
- Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
- Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
- Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier. Ferner erlaubt der Logarithmus die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden.

Literatur

Walter, Wolfgang: Analysis I, Grundwissen Mathematik Band 3, Springer-Verlag (1985), ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1

Weblinks

: [http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm Logarithmusrechner mit Quelltext] : [http://www.madeasy.de/2/log.htm Logarithmen] Kategorie:Analytische Funktion ja:対数

Erde

Die Erde (von indogermanisch er[t]) ist der dritte Planet des Sonnensystems. Sie ist ca. 4,55 Milliarden Jahre alt und ist der einzige bekannte belebte Ort. Das Planetenzeichen ist 18px oder 14px. Der lateinische Name ist Terra. Die Erde zählt zu der Gruppe der erdähnlichen (terrestrischen) Planeten.

Entstehung und Aufbau der Erde

Hauptartikel: Entstehung der Erde, Innerer Aufbau der Erde, Erdfigur und Plattentektonik Plattentektonik Die Erde ist der größte Gesteinsplanet im uns bekannten Sonnensystem. Alle anderen Planeten sind kleiner oder bestehen wie Jupiter hauptsächlich aus Gas in stark komprimierten Zuständen. Die Erde entstand vor etwa 4,6 Milliarden Jahren. Man geht heute allgemein davon aus, dass sie während der ersten 100 Millionen Jahre einem intensiven Bombardement von Meteoriten ausgesetzt war. Heute ist nur noch ein geringer Beschuss zu verzeichnen. Die meisten der Meteore werden von Objekten kleiner als 1 cm hervorgerufen. Im Gegensatz zum Mond sind auf der Erde die meisten Einschlagkrater durch geologische Prozesse wieder ausgelöscht worden. Durch die kinetische Energie der Impakte während des schweren Bombardements und durch die Wärmeproduktion des radioaktiven Zerfalls erhitzte sich die junge Erde, bis sie größtenteils aufgeschmolzen war. In der Folge kam es zu einer gravitativen Differenzierung des Erdkörpers in einen Erdkern und einen Erdmantel. Die schwersten Elemente, vor allem Eisen, sanken in die Richtung des Schwerpunkts des Planeten, während leichte Elemente, vor allem Sauerstoff, Silizium und Aluminium nach oben stiegen. Aus diesen Elementen bildeten sich hauptsächlich silikatische Minerale, aus denen auch die Gesteine der Erdkruste bestehen. Aufgrund ihres vorwiegenden Aufbaus aus Eisen und Silikaten hat die Erde wie alle terrestrischen Planeten eine recht hohe mittlere Dichte von 5,515 g/cm3. Die Erde hat, wie alle Planeten, durch die Eigengravitation ihrer großen Masse annähernd die Form einer Kugel. Durch die Fliehkräfte ihrer ziemlich schnellen Rotation ist sie an den Polen geringfügig abgeplattet. Der Äquatorumfang ist dadurch mit 40.075,004 km um 67,183 km bzw. um 0,17 % größer als der Polumfang mit 39.940,638 km. Der Poldurchmesser ist mit 12.713,500 km dementsprechend um 42,77 km bzw. um 0,34 % kleiner als der Äquatordurchmesser mit 12.756,270 km. Solch ein geometrisches Verhältnis ist das eines Ellipsoids. Der Meeresspiegel (das Geoid) weicht davon nochmals um ± 100 Meter ab. Die Unterschiede im Umfang tragen mit dazu bei, dass es keinen eindeutig höchsten Berg auf der Erde gibt. Nach der Höhe über dem Meeresspiegel ist es der Mt. Everest im Himalaya und nach dem Abstand des Gipfels vom Erdmittelpunkt der auf dem Äquatorwulst stehende Vulkanberg Chimborazo in den Anden. Von der jeweils eigenen Basis an gemessen ist der Mauna Kea auf der vom pazifischen Meeresboden aufragenden großen vulkanischen Hawaii-Insel am höchsten. Wie die meisten festen Planeten und fast alle größeren Monde, z. B. der Erdmond, weist auch die Erde eine deutliche Dichotomie ihrer Oberfläche auf, d. h. eine Zweiteilung in unterschiedlich ausgeprägte Halbkugeln. Die Oberfläche der Erde unterteilt sich in eine Landhemisphäre und eine Wasserhemisphäre. Die Wasserfläche hat in der gegenwärtigen geologischen Epoche einen Gesamtanteil von 70,7 %. Die von der Landfläche umfassten 29,3 % entfallen hauptsächlich auf sieben Kontinente; der Größe nach: Asien, Afrika, Nordamerika, Südamerika, Antarktika, Europa und Australien. Wobei Europa als große westliche Halbinsel Asiens im Rahmen der Plattentektonik wahrscheinlich nie eine selbstständige Einheit gewesen ist. Die kategorische Grenzziehung zwischen Australien als kleinstem Erdteil und Grönland als größter Insel wurde nur rein konventionell festgelegt. Die Fläche des Weltmeeres wird im Allgemeinen in drei Ozeane einschließlich der Nebenmeere unterteilt: In den Pazifik, den Atlantik und den Indik. Die tiefste Stelle, das Witjastief 1 im Marianengraben, liegt 11.034 m unter dem Meeresspiegel. Nach seismischen Messungen ist die Erde hauptsächlich aus drei Schalen aufgebaut: Aus dem Erdkern, dem Erdmantel und der Erdkruste. Diese Schalen sind durch seismische Diskontinuitätsflächen (Unstetigkeitsflächen) voneinander abgegrenzt. Die Erdkruste und der oberste Teil des oberen Mantels bilden zusammen die so genannte Lithosphäre. Sie ist zwischen 50 und 100 km dick und zergliedert sich in große und kleinere tektonische Einheiten, die Platten. Die größten Platten entsprechen in ihrer Anzahl und Ordnung in etwa jener der von ihnen getragenen Kontinente, mit Ausnahme der pazifischen Platte. All diese Schollen bewegen sich gemäß der Plattentektonik relativ zueinander auf den teils aufgeschmolzenen, zähflüssigen Gesteinen des oberen Mantels, der 100 bis 150 km mächtigen Asthenosphäre. Der innere Erdkern ist fest, der äußere geschmolzen und gut 4.000 °C heiß. Ein dreidimensionales Modell der Erde wird, wie alle verkleinerten Nachbildungen von Weltkörpern, Globus genannt.

Atmosphäre

Hauptartikel: Erdatmosphäre Die Erde besitzt eine etwa 640 km hohe Atmosphäre. Deren Masse beträgt 5,13 x 1018 kg und macht somit knapp ein Millionstel der Erdmasse aus. Der mittlere Luftdruck auf dem Niveau des Meeresspiegels ist 1.013 hPa groß; bei einer mittleren Luftdichte von 1,293 kg/m3. In den bodennahen Schichten besteht die Lufthülle im Wesentlichen aus 78 % Stickstoff, 21 % Sauerstoff und 1 % Edelgasen. Dazu kommt ein wechselnder Anteil an Wasserdampf (0 – 5 %), der das Wettergeschehen bestimmt. Die auf der Erde gemessenen Temperaturextreme betragen –89,6 °C (gemessen am 21. Juli 1983 in der Wostok-Station in der Antarktis auf 3.420 Metern Höhe, was einer Temperatur von –60 °C auf Meereshöhe entspräche) und +58 °C (gemessen am 13. September 1922 in Al 'Aziziyah in Libyen auf 111 Metern Höhe). Die mittlere Temperatur in Bodennähe beträgt 15 °C; die Schallgeschwindigkeit bei dieser Temperatur beträgt in der Luft am Meeresniveau etwa 340 m/s. Die Erdatmosphäre streut den kurzwelligen, blauen Spektralanteil des Sonnenlichts etwa fünfmal stärker als den langwelligen, roten und bedingt dadurch bei hohem Sonnenstand die Blaufärbung des Himmels. Dass die Oberfläche der Meere und Ozeane vom Weltall aus gesehen blau erscheinen, weswegen die Erde seit dem Beginn der Raumfahrt auch der Blaue Planet genannt wird, ist jedoch auf die stärkere Absorption roten Lichtes im Wasser selbst zurückzuführen. Die Spiegelung des blauen Himmels an der Wasseroberfläche ist dabei nur von nebensächlicher Bedeutung.

Globaler Energiehaushalt

Der Energiehaushalt der Erde wird im Wesentlichen durch die Einstrahlung der Sonne und die Ausstrahlung der Erdoberfläche bzw. Atmosphäre bestimmt, also durch den Strahlungshaushalt der Erde. Der sonstige vorwiegend durch radioaktive Zerfälle erzeugte Energiebeitrag beträgt nur etwa 0,1 %. Die Albedo der Erde beträgt im Mittel 0,367, wobei ein wesentlicher Anteil auf die Wolken der Erdatmosphäre zurückzuführen ist. Dies führt zu einer globalen effektiven Temperatur von 246 K (-27 °C). Die Durchschnittstemperatur am Boden liegt jedoch durch einen starken atmosphärischen Treibhauseffekt bzw. Gegenstrahlung bei etwa 288 K (15 °C), wobei die Treibhausgase Wasser und Kohlendioxid den Hauptbeitrag liefern.

Herkunft des irdischen Wassers

Hauptartikel: Herkunft des irdischen Wassers Die Herkunft des Wassers auf der Erde, insbesondere die Frage, warum auf der Erde deutlich mehr Wasser vorkommt als auf den anderen erdähnlichen Planeten, ist bis heute nicht befriedigend geklärt. Ein Teil des Wassers dürfte durch das Ausgasen der Magma entstanden sein, also letztlich aus dem Erdinneren stammen. Ob dadurch aber die Menge an Wasser erklärt werden kann, ist fragwürdig. Weitere große Anteile könnten aber auch durch Einschläge von Kometen, transneptunischen Objekten oder wasserreichen Asteroiden (Protoplaneten) aus den äußeren Bereichen des Asteroidengürtels auf die Erde gekommen sein. Messungen des Isotopenverhältnisses von Deuterium zu Protium (D/H-Verhältnis) deuten dabei eher auf Asteroiden hin, da in Wassereinschlüssen in kohligen Chondriten ähnliche Verhältnisse gefunden wurden wie in ozeanischem Wasser, wohingegen bisherige Messungen dieses Isotopen-Verhältnisses an Kometen und transneptunischen Objekten nur schlecht mit irdischem Wasser übereinstimmten.

Himmelsmechanik

Umlaufbahn

Der mittlere Abstand des Zentrums der Erde vom Zentrum der Sonne ist die große Bahnhalbachse und beträgt etwa 149.597.870 km. Ursprünglich wurde dieser Abstand der Definition der Astronomische Einheit (AE) zugrunde gelegt, die als astronomische Längeneinheit hauptsächlich für Entfernungsangaben innerhalb des Sonnensystems verwendet wird. Der sonnennächster Punkt der Erde, das Perihel, liegt bei 0,983 AE AE und sein sonnenfernster Punkt, das Aphel, bei 1,017 AE. Sie läuft also auf einer elliptischen Umlaufbahn mit einer Exzentrizität von 0,0167 um die Sonne. Für einen Umlauf um die Sonne benötigt sie 365 d 6 h 9 min 9,54 s, diese Zeitspanne wird auch als Siderischen Jahres bezeichnet. Die Bahnebene der Erde wird als Ekliptik bezeichnet.

Mond

Hauptartikel: Mond Die Erde wird von einem Mond umkreist. Dieser ist im Vergleich zur Erde deutlich größer als es bei den anderen Planeten mit Ausnahme des Pluto/Charon-Systems der Fall ist. Der große Mond ist verantwortlich für die Stabilität der Schiefe der Ekliptik der Erde und damit auch für die guten Bedingungen zum Entstehen von Leben auf der Erde.

Rotation und Gezeiten

Die Erde rotiert einmal in 23 h 56 min 4,09 s um ihre eigene Achse. Analog zum siderischen Jahr wird diese Zeitspanne als ein Siderischer Tag bezeichnet. Aufgrund der Bahnbewegung der Erde entlang ihrer Umlaufbahn und der daraus resultierenden leicht unterschiedlichen Position der Sonne an nacheinander folgenden Tagen ist ein Sonnentag, der als die Zeitspanne zwischen zwei Sonnenhöchstständen (Mittag) definiert ist, etwas größer als ein Siderischer Tag und wird nach Definition in 24 Stunden eingeteilt. Aufgrund der Neigung der Rotationsachse der Erde von 23,44° gegen die Ekliptik werden die Nord- und die Südhalbkugel der Erde an verschiedenen Punkten ihrer Umlaufbahn um die Sonne unterschiedlich beleuchtet, was zu den das Klima der Erde prägenden Jahreszeiten führt. Jahreszeiten Der Mond verursacht auf der Erde Gezeiten. Ebbe und Flut in den Meeren und im Erdmantel bremsen die Erdrotation und verlängern dadurch gegenwärtig die Tage um etwa 20 Mikrosekunden pro Jahr. Die Gezeiten wirken sich auch auf die Landmassen aus, die sich um etwa einen halben Meter heben und senken.
Die Rotationsenergie der Erde wird dabei in Wärme umgewandelt. Der Drehimpuls wird auf den Mond übertragen, dessen Bahn sich dadurch um etwa 4 Zentimeter pro Jahr von der Erde entfernt. Dieser schon lange vermutete Effekt ist seit etwa 1995 durch Laser-Distanzmessungen abgesichert. Die zunehmende Tageslänge kann geologisch anhand von Wachstumsringen in fossilen Korallen nachgewiesen werden. Man findet in diesen Sedimenten eine Spur für jeden Tag, und eine jährliche Regelmäßigkeit, aus der sich die Anzahl der Tage im damaligen Jahr bestimmen lässt. In der Vergangenheit zeigt sich die Zunahme der Tageslänge anhand überlieferter Sonnenfinsternisse, die bei gleich bleibender Tageslänge an einem anderen Ort auf der Erde sichtbar gewesen wären. Extrapoliert man diese Abbremsung in die Zukunft, wird auch die Erde einmal dem Mond immer die gleiche Seite zuwenden, wobei ein Tag auf der Erde dann 47 Mal so lang wäre wie heute. Damit unterliegt die Erde dem gleichen Effekt, der in der Vergangenheit schon zur gebundenen Rotation des Mondes geführt hat. Zu dem Zeitpunkt, an dem diese Korotation eintreten wird, wird das Wechselspiel der Gezeiten beendet sein. Die Flutberge verbleiben dann immer an einem Ort auf der Verbindungslinie Erde-Mond und es wird zu einer dauerhaften Verformung des Erdkörpers kommen, ähnlich dem des Mondes. Diese Überlegungen kann man allerdings als hypothetisch betrachten, da zum einen die Stabilität der Erdrotation nicht gewährleistet ist. Zum anderen wird sich durch den Übergang der Sonne zu einem weißen Zwerg auch das gesamte Sonnensystem verändert haben.

Leben und Klima

weißen Zwerg Die Erde ist bisher der einzige Planet, auf dem Leben bzw. eine Biosphäre nachweisbar ist. Nach dem gegenwärtigen Stand der Forschung begann das Leben auf der Erde möglicherweise innerhalb eines relativ kurzen Zeitraums, gleich nach dem Ausklingen eines schweren Bombardements großer Asteroiden, dem die Erde nach ihrer Entstehung vor ca. 4,6 Milliarden Jahren bis etwa vor 3,9 Milliarden Jahren als letzte Phase der Bildung des Planetensystems ausgesetzt war. Nach dieser Zeit hat sich eine stabile Erdkruste ausgebildet und soweit abgekühlt, dass sich Wasser auf ihr sammeln konnte. Die ältesten direkten, allerdings umstrittenen Hinweise auf Leben, die als versteinerte Cyanobakterien gedeutet werden, sind 3,5 Milliarden Jahre alt und wurden in Gesteinen der Warrawoona-Gruppe im Nordwesten Australiens gefunden. In 3,85 Milliarden Jahre altem Sedimentgestein aus der Isua-Region im Südwesten Grönlands wurden in den Verhältnissen von Kohlenstoffisotopen Anomalien entdeckt, die auf biologischen Stoffwechsel hindeuten könnten; bei dem Gestein kann es sich aber auch statt um Sedimente lediglich um ein stark verändertes Ergussgestein ohne derartige Bedeutung handeln. Die ältesten und eindeutigen Lebensspuren auf der Erde sind 1,9 Milliarden Jahre alte fossile Bakterien aus der Gunflint-Formation in Ontario. Die chemische wie die biologische Evolution sind untrennbar mit der Klimageschichte verknüpft. Das Leben wird in seiner Entwicklung von den herrschenden Bedingungen geprägt und hat seinerseits Einfluss auf die Entwicklung und das Erscheinungsbild der Erde. Durch den Stoffwechsel des pflanzlichen Lebens bzw. durch die Photosynthese wurde die Erdatmosphäre mit molekularem Sauerstoff angereichert und bekam ihren oxidierenden Charakter. Zudem wurde die Albedo und damit die Energiebilanz durch die Pflanzendecke merklich verändert.

Klimazonen

Die Erde wird anhand unterschiedlich intensiver Sonneneinstrahlung in Klimazonen eingeteilt, die sich vom Nordpol zum Äquator erstrecken – und auf der Südhalbkugel spiegelbildlich verlaufen. Die jahreszeitlichen Temperaturschwankungen sind umso stärker, je weiter die Klimazone vom Äquator und vom nächsten Ozean entfernt liegt.

Polarzone

Unter den Polargebieten versteht man zum einen die Region innerhalb des nördlichen Polarkreises, die Arktis, sowie den Kontinent der Antarktis auf der Südhalbkugel der Erde. Besonderes Kennzeichen der Polarregionen sind neben dem kalten Klima mit viel Schnee und Eis der bis zu einem halben Jahr dauernde Polartag mit der Mitternachtssonne bzw. die Polarnacht, aber auch die Polarlichter.

Gemäßigte Zone

Die gemäßigte Klimazone erstreckt sich vom Polarkreis bis zum vierzigsten Breitengrad und wird in eine kalt-, kühl- und warmgemäßigte Zone eingeteilt. Diese Zone weist einen großen Unterschied zwischen den Jahreszeiten auf, der in Richtung der Erdmitte jedoch etwas abnimmt. Ein weiteres Merkmal sind die Unterschiede zwischen Tag und Nacht, die je nach Jahreszeit stark variieren. Diese Unterschiede nehmen, je näher man dem Pol kommt, immer mehr zu. Die Vegetation wird durch Nadel-, Misch- und Laubwälder geprägt, wobei die Nadelwälder in Richtung Äquator immer weniger werden.

Subtropen

Die Subtropen liegen in der geographischen Breite zwischen den Tropen in Äquatorrichtung und den gemäßigten Zonen in Richtung der Pole, ungefähr zwischen 25°-40° nördlicher und südlicher Breite. Diese Gebiete haben typischerweise tropische Sommer und nicht-tropische Winter. Man kann sie unterteilen in trockene, winterfeuchte, sommerfeuchte und immerfeuchte Subtropen. Eine weit verbreitete Definition definiert das Klima dort als subtropisch, wo die Mitteltemperatur im Jahr über 20 Grad Celsius liegt, die Mitteltemperatur des kältesten Monats jedoch unter der Marke von 20 Grad bleibt. Die Unterschiede zwischen Tag und Nacht fallen relativ gering aus. Die Vegetation reicht von der Artenvielfalt, wie sie z.B. im Mittelmeer auftritt, über die Vegetation der trockenen Savanne bis hin zur kargen oder auch völlig fehlenden Vegetation in Wüsten wie der Sahara.

Tropen

Die Tropen befinden sich zwischen dem nördlichen und südlichen Wendekreis. Die Tropen können in die wechselfeuchten und immerfeuchten Tropen unterschieden werden. In den Tropen sind Tag und Nacht immer gleichlang (jeweils 12 Stunden). Jahreszeiten gibt es als Solches nur in den wechselfeuchten Tropen und lassen sich nur in eine Trocken- und Regenzeit unterscheiden. Typisch für die wechselfeuchten Tropen sind die Feuchtsavannen, die sich nördlich und südlich der großen Regenwälder befinden. Sie zeichnen sich durch ihre weiten Grasländer aus. Beispiele sind die afrikanische Savanne und der Bantanal in Südbrasilien und Paraguay. Für die immerfeuchten Tropen, die sich rund um den Äquator befinden, sind die großen, sehr artenreichen Regenwälder, wie z.B. der Amazonas typisch.

Jahreszeiten

Die Jahreszeiten werden in erster Linie von der Einstrahlung der Sonne verursacht und sind in der gemäßigten Zone am stärksten ausgeprägt. Die Unterschiede entstehen durch die Neigung der Erde. Dies hat zur Folge, dass die Sonne zwischen dem nördlichen und südlichen Wendekreis hin- und herwandert (daher auch der Name). Dadurch entstehen auch neben den unterschiedlichen Einstrahlungen auch die Unterschiede zwischen Tag und Nacht. Die Wanderung erfolgt im Jahresrhythmus wie folgt:
- 21. Dezember (Wintersonnenwende): Die Sonne befindet sich auf dem südlichen Wendekreis bzw. auf dem Kreis des Steinbocks. Auf der Nordhalbkugel ist nun der kürzeste und auf der Südhalbkugel der längste Tag des Jahres. Durch die nun folgende geringe Einstrahlung der Sonne auf die Nordhalbkugel beginnt nun der Winter. Am Nordpol beginnt die Polarnacht und am Südpol der Polartag.
- 19. bis 21. März: Tagundnachtgleiche auf nördlicher und südlicher Halbkugel: Frühlingsbeginn im Norden und Herbstbeginn im Süden.
- 21. Juni (Sommersonnenwende): Längster Tag im Norden und kürzester Tag im Süden. Am Nordpol beginnt der Polartag und am Südpol die Polarnacht. Auf der Nordhalbkugel beginnt nun der astronomische Sommer und auf der Südhalbkugel der astronomische Winter. Die Sonne befindet sich am nördlichen Wendekreis (Kreis des Krebses).
- 22. oder 23. September: Tagundnachtgleiche: Im Norden beginnt der Herbst, im Süden der Frühling. Die Sonne ist auf Höhe des Äquators. Zwischen den beiden Wendekreisen, wo sich die Tropen befinden gibt es kaum Unterschiede zwischen den Jahreszeiten, da die Sonne dort immer im Zenit steht.

Einfluss des Menschen

Die ersten Menschen lebten als Jäger und Sammler. Mit der Neolithischen Revolution begannen im Vorderen Orient (11.), in China (8.) und im mexikanischen Tiefland (6. Jahrtausend vor Christus) Ackerbau und Viehzucht. Die Kulturpflanzen verdrängten die natürliche Pflanzenwelt. Im Zuge der Industrialisierung wurden weiträumige Landflächen in Industrie- und Verkehrsfläche umgewandelt. Die Wechselwirkungen zwischen Lebewesen und Klima haben heute durch den zunehmenden Einfluss des Menschen eine neue Quantität erreicht. Während im Jahr 1920 circa 1,8 Milliarden Menschen die Erde bevölkerten, wuchs die Weltbevölkerung bis zum Jahr 2000 auf 6,1 Milliarden an. In den Entwicklungsländern ist für die absehbare Zukunft weiterhin ein starkes Bevölkerungswachstum zu erwarten, während in vielen hoch entwickelten Ländern die Bevölkerung stagniert oder nur sehr langsam zunimmt, deren industrieller Einfluss auf die Natur aber weiterhin wächst. Siehe auch: Klimazonen

Siehe auch


- Liste aller Länder und Staaten der Erde
- Biosphäre 2
- Magnetismus
- Jahreszeiten
- Satellit
- Geowissenschaften
- Envisat (ESA-Umweltsatellit)
- Merkurtransit, Venustransit
- Die Erde in Daten und Zahlen
- Nasa World Wind (Computerprogramm)
- Google Earth (Computerprogramm)

Literatur


- David Oldroyd: Die Biographie der Erde. Zweitausendeins 1998. ISBN 3-86150-285-2
- J. D. Macdougall: Eine kurze Geschichte der Erde. Econ Taschenbuchverlag 2000. ISBN 3-612-26673-X
- Cesare Emilliani: Planet Earth. Cosmology, Geology, and the Evolution of Live and Environment. Cambridge University Press 1992.

Weblinks


- [http://www.uni-muenster.de/MineralogieMuseum/vulkane/Vulkan-3.htm Bau der Erde und Vulkanismus]
- [http://www.raumfahrer.net/planeterde Raumfahrer.net Sonderseite: Planet Erde]
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen]
- [http://home.arcor.de/m.panitzki/html/navigation/index_navigation.htm Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen II]
- Real Video (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri):
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=050202.rm Wie schnell entstand die Erde?]
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=020414.rm Warum ist die Erde warm?]
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010204.rm&g2=1 Wie alt ist die Erde?] Kategorie:Erde ja:地球 ko:지구 ms:Bumi simple:Earth th:โลก zh-min-nan:Tē-kiû

Sonne

Die Sonne (lat. Sol ) ist der Stern im Zentrum unseres Planetensystems, das nach ihr als Sonnensystem bezeichnet wird. Umgangssprachlich wird der Individualname unseres Zentralgestirns auch synonym zu Stern verwendet. Das Zeichen der Sonne: Stern Die Sonne ist für das Leben auf der Erde von fundamentaler Bedeutung. Viele wichtige Prozesse auf der Erdoberfläche, wie das Klima und das Leben selbst, werden durch die Strahlungsenergie der Sonne angetrieben. So stammen etwa 99,998 % des gesamten Energiebeitrags zum Erdklima von der Sonne – der winzige Rest wird aus geothermalen Wärmequellen gespeist. Auch die Gezeiten gehen zu einem Drittel auf die Schwerkraft der Sonne zurück. Schwerkraft __TOC__

Allgemeines

Schwerkraft Die Sonne ist der beherrschende Himmelskörper in unserem Planetensystem, zu dessen Gesamtmasse sie 99,9 % beiträgt. Ihr Durchmesser beträgt 1,3925 Millionen km (109-facher Erddurchmesser), was knapp unter dem geschätzten Mittelwert aller Sterne liegt. Sie ist ein Stern der so genannten Hauptreihe, ihre Spektralklasse ist G2, und sie hat die Leuchtkraftklasse V. Das bedeutet, dass die Sonne ein durchschnittlicher, gelb leuchtender „Zwergstern“ ist, der sich in der etwa 10 Milliarden Jahre dauernden Hauptphase seiner Entwicklung befindet. Ihr Alter wird auf etwa 4,6 Milliarden Jahre geschätzt. Die Leuchtkraft der Sonne entspricht einer Strahlungsleistung von etwa 3,8·1026 Watt. Diese Strahlung wird zum Großteil im sichtbaren Licht abgegeben mit einem Maximum in den Spektralfarben Gelb und Grün. Die Farbe der Sonne, die wir als gelb wahrnehmen, erklärt sich aus ihrer Oberflächentemperatur von etwa 5.700 °C (siehe auch Schwarzkörperstrahlung). Die zentrale Bedeutung der Sonne für die Lebensprozesse auf der Erde zeigt sich auch hier: jener Bereich des elektromagnetischen Spektrums, in dem die Sonne am stärksten strahlt, ist genau der für uns Menschen und die meisten anderen Lebewesen sichtbare Teil dieses Spektrums. Dieses Faktum kann teleologisch oder durch Evolution gedeutet werden. Die Sonnenmasse beträgt etwa das Doppelte der geschätzten Durchschnittsmasse aller Sterne unserer Milchstraße. Zählt man nur die Sterne mit Kernfusion (schließt also die „Braunen Zwerge“ aus), liegt die Masse im Durchschnitt. Ihre Masse setzt sich zu 73,5 % aus Wasserstoff und zu 25 % aus Helium zusammen. Hinsichtlich der Anzahl der Atome betragen diese Anteile 92,7 % und 7,9 %. Die restlichen 1½ Prozent der Sonnenmasse setzen sich aus zahlreichen schwereren Elementen zusammen, vor allem Sauerstoff und Kohlenstoff.
Im Sonnenkern entsteht aus den dicht gedrängten Atomkernen des Wasserstoffs durch Kernfusion Helium, so dass der Wasserstoff-Anteil zugunsten des Heliums in Zukunft weiter sinken wird. Dieser Prozess ist der Motor der Sonne, aus dem sie jene Energie bezieht, die sie an der Photosphäre (leuchtende, sichtbare Oberfläche) durch Strahlung abgibt. Da die Sonne kein fester Körper wie die erdähnlichen Planeten und Monde ist, sondern ein heißer Gasball, wäre sie ohne diesen Energienachschub von innen instabil. Sie würde sich abkühlen und auf einen Bruchteil ihrer jetzigen Größe zusammenziehen. Die Sonne rotiert in rund 4 Wochen um die eigene Achse. Diese Rotation dauert am Äquator 25,4 Tage, in mittleren Breiten 27-28 Tage und nahe den Polen 36 Tage. Dieser Unterschied in der Dauer eines Sonnentages wird als differenzielle Rotation bezeichnet und ist seit längerem durch Gas- und Hydrodynamik erklärbar.

Kulturgeschichte

Hydrodynamik] Die Sonne ist das zentrale Gestirn am Himmel, von ihr hängt alles Leben auf der Erde ab. Diese überragende Bedeutung war den Menschen seit Alters her bewusst. Viele frühere Kulturen verehrten sie als Gottheit. Die regelmäßige tägliche und jährliche Wiederkehr der Sonne wurde teils ängstlich erwartet und mittels kultischer oder magischer Rituale beschworen. Besonders das Auftreten einer Sonnenfinsternis löste große Bestürzung und Furcht hervor. Im alten China glaubte man, ein Drache würde die Sonne verschlingen. Durch die Veranstaltung von großem Lärm versuchte man, das Untier dazu zu bewegen, die Sonne wieder freizugeben. Andererseits machte sich die Menschheit das Wissen über die für alles Leben fundamentalen Perioden Tag und Jahr schon seit frühester Zeit nutzbar. Die Sonne ist die natürliche Uhr der Menschen und die Abfolge der Jahreszeiten führte zur Entwicklung des Kalenders, der vor allem nach Erfindung des Ackerbaus für alle Kulturen überlebenswichtig war. Für die Sumerer verkörperte die Sonne den Sonnengott Utu. Bei den Babyloniern entsprach er dem Gott Schamasch, der jeden Tag den Himmel betrat und dessen Strahlen nichts verborgen blieb. Im alten Ägypten wurde Ra (auch Re oder Atum) als Sonnengott verehrt. Der „Ketzer“-Pharao Echnaton ließ später nur noch Aton, die personifizierte Sonnenscheibe, als einzigen Gott zu und schaffte alle anderen ägyptischen Götter ab. Im antiken Griechenland verehrte man den Sonnengott Helios, der mit seinem Sonnenwagen täglich über das Firmament fuhr. Allerdings sind aus dem antiken Griechenland auch die ersten Überlegungen überliefert, in denen die Sonne als physikalisches Objekt betrachtet wird. Die wohl älteste dieser Hypothesen stammt dabei von Xenophanes, der die Sonne als eine feurige Ausdünstung oder Wolke benannte. So naiv diese Beschreibung aus heutiger Sicht zwar wirkt, stellt sie doch einen gewaltigen kulturhistorischen Schritt dar, denn die Wahrnehmung der Sonne als ein natürliches Objekt widerspricht fundamental der vorherigen – und auch der oft noch in späteren Jahrhunderten vertretenen – Auffassung der Sonne als Teil einer göttlichen Entität. Es ist daher auch wenig verwunderlich, dass aus eben diesen Gedanken auch die erste kritische Auseinandersetzung mit dem vermenschlichten Götterbild des antiken Griechenlands hervor gingen („Wenn die Pferde Götter hätten, sähen sie wie Pferde aus“) und daraus folgend erste Gedanken zum Monotheismus. Interessant ist dabei sicherlich auch der Vergleich mit dem bereits oben erwähnten ägyptischen Monotheismus des Echnaton, der ja gerade die Vergötterung der Sonne als Ausgangspunkt nahm. Man kann also sagen, dass mit Xenophanes die Sonne zum ersten Mal in der europäischen Geschichte als Gegenstand der Physik auftauchte, oder – etwas schmissiger –, dass es sich um die Geburtsstunde der Astrophysik handelte. Die Thesen des Xenophanes wurden später auch von anderen griechischen Philosophen aufgenommen, z.B. beschrieb der Vorsokratiker Anaxagoras die Sonne als glühenden Stein. Diese Auffassungen setzte sich allerdings im Folgenden nicht bei allen Denkern durch und viele spätere Schulen fielen wieder auf eher mythische Erklärungen zurück. Der Volksglaube in Griechenland nahm wahrscheinlich keinerlei Kenntnis von all diesen Überlegungen. Dem griechischen Gott Helios entsprach weitgehend der unbesiegbare römische Gott Sol invictus, dessen Kult in der Kaiserzeit weit verbreitet war. Aus der Antike übernommen ist die Sonne als Symbol der Vitalität in der Astrologie. In der nordischen Mythologie formten die Götter die Sonne aus einem Funken und legten sie in einen Wagen. Die Göttin Sol fährt mit dem Wagen über den Himmel, gezogen von den Rössern Alsvidr und Arwakr. Das Gespann wird beständig von dem Wolf Skalli (Skoll) verfolgt. Am Tag des Weltunterganges (Ragnarök) wird der Wolf die Sonne verschlingen. Im frühen Mexiko wurde der Sonnengott Tonatiuh von den Azteken verehrt. Bei den Maya und den Inka waren Itzamná bzw. Inti die Hauptgottheiten. Die Beobachtung der Sonne (und anderer Sterne) und die Bestimmung ihrer Bahnpunkte (Tagundnachtgleiche, Sommer- und Wintersonnenwende) war eine Voraussetzung für die Erstellung von Kalendern. Hierdurch konnten wichtige jahreszeitliche Ereignisse vorherbestimmt werden, wie das Eintreffen des Nilhochwassers im alten Ägypten, der günstigste Zeitpunkt der Saat oder das Eintreffen der für die Seefahrt gefährlichen Herbststürme. Vorchristliche Kultstätten, wie Stonehenge, waren offensichtlich zu derartigen Beobachtungszwecken errichtet worden. Die Anlage von Stonehenge ist so ausgerichtet, dass am Morgen des Mittsommertages, wenn die Sonne ihre höchste nördliche Position erreicht, die Sonne direkt über einem Positionsstein („Fersenstein“) aufgeht und die Sonnenstrahlen in gerader Linie ins Innere des Bauwerks eindringen. Die bronzezeitliche Himmelsscheibe von Nebra scheint ebenfalls ein Instrument zur Himmelsbeobachtung gewesen zu sein. Ihre goldenen Ränder werden u.a. als „Sonnenbarken“, ein religiöses Symbol der Bronzezeit, interpretiert. In die gleiche Zeit fällt auch der Sonnenwagen von Trundholm, bei der die Scheibe als Sonnensymbol mit einer Tag- und Nachtseite gedeutet wird. Das antike Weltbild ging allgemein davon aus, dass die Erde den Mittelpunkt des Universums bildete. Sonne, Mond und die Planeten bewegten sich auf exakten Kreisbahnen um die Erde. Diese Vorstellung, zusammengefasst von Ptolemäus, hielt sich fast 2.000 Jahre lang. Insbesondere die Kirche verteidigte dieses Weltbild, zumal auch in der Bibel dargelegt wird, dass sich die Sonne bewegt. Allerdings zeigte das Modell Schwächen. So konnte die Bewegung der Planeten nur durch komplizierte Hilfskonstruktionen erklärt werden. Bereits Aristarch von Samos postulierte im 2. Jahrhundert v. Chr., dass die Sonne das Zentrum der Welt darstelle. Die Gelehrten Nikolaus von Kues und Regiomontanus griffen diesen Gedanken mehr als 1.500 Jahre später wieder auf. Nikolaus Kopernikus versuchte in seinem Werk De Revolutionibus Orbium Coelestium eine mathematische Grundlage dafür zu schaffen, was ihm letztendlich nicht gelang. Sein Werk regte allerdings weitere Forschungen an und bereitete das Fundament für das „Kopernikanische Weltbild“. Kopernikus' Werk wurde von der Kirche zunächst nicht als Ketzerei betrachtet, da es ein rein mathematisches Modell darstellte. In späteren Jahren, als Gelehrte daran gingen, Kopernikus' Vorstellung in ein reales Weltbild umzusetzen, wandte sich die Kirche jedoch entschieden gegen solche „umstürzlerischen“ Gedanken. Gelehrte, wie Galilei, die ebenfalls zur Erkenntnis einer zentralen Sonne gelangt waren, wurden von der Inquisition verfolgt. Durch weitere Beobachtungen, exakte Bestimmungen der Planetenbahnen, die Einführung des Teleskops und die Entdeckung der Gesetze der Himmelsmechanik, setzte sich das heliozentrische Weltbild allmählich durch. Die weiteren Fortschritte der Astronomie ergaben schließlich, dass auch die Sonne keine herausragende Stellung im Universum einnimmt, sondern ein Stern unter Abermilliarden Sternen ist. heliozentrische Weltbild

Aufbau

Die Sonne besteht aus verschiedenen Zonen mit schalenförmigem Aufbau, wobei die Übergänge allerdings nicht streng voneinander abgegrenzt sind.

Kern

Sämtliche freiwerdende Energie stammt aus einer als „Kern“ bezeichneten Zone im Innern der Sonne. Dieser Kern erstreckt sich vom Zentrum bis zu etwa einem Viertel des Radius der sichtbaren Sonnenoberfläche. Obwohl der Kern nur 1,6 % des Sonnenvolumens ausmacht, sind hier rund 50 % der Sonnenmasse konzentriert. Bei einer Temperatur von etwa 15,6 Millionen K liegt die Materie in Form eines Plasmas vor. Durch die Proton-Proton-Reaktion verschmelzen Wasserstoffkerne zu Heliumkernen, wobei Gammastrahlung und Elektronneutrinos erzeugt werden. Die erzeugten Heliumkerne haben aufgrund der Bindungsenergie eine geringfügig geringere Masse als die Summe der ursprünglichen Wasserstoffkerne (Massendefekt). Der Massenunterschied wird gemäß der Formel E = m c² in Energie umgewandelt (pro Proton-Proton-Fusion ≈ 27 MeV). Im Kern der Sonne werden pro Sekunde 700 Millionen Tonnen Wasserstoff zu 695 Millionen Tonnen Helium fusioniert, wobei eine Gesamtleistung von ca. 4 · 1026 W = 400 Quadrillionen Watt freigesetzt wird. Eigentlich ist der Sonnenkern zu „kalt“ für eine Kernfusion. Die kinetische Energie der Teilchen reicht rechnerisch nicht aus, um bei einem Zusammenstoß die starken Abstoßungskräfte der positiv geladenen Protonen (Wasserstoffkerne) zu überwinden. Dass dennoch Fusionen stattfinden, ist auf den quantenmechanischen Tunneleffekt zurück zu führen. Gemäß der Quantenmechanik verhält sich ein Proton wie eine ausgebreitete Welle ohne genau definierten Ort, seine Energie schwankt um einen Mittelwert. Es besteht dabei eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Protonen so weit nähern, dass eine Verschmelzung stattfinden kann. Das Energieniveau der abstoßenden Kräfte wird bei der Verschmelzung gleichsam „durchtunnelt“. Somit ist die Wahrscheinlichkeit einer Fusion zweier Wasserstoffkerne im Innern der Sonne sehr gering. Da jedoch eine immense Anzahl von Kernen vorhanden ist, können dennoch gewaltige Energiemengen freigesetzt werden. Die „gebremste“ Kernfusion hat für das Sonnensystem und das Leben auf der Erde den entscheidenden Vorteil, dass die Sonne sparsam mit ihren Energievorräten umgeht und über einen langen Zeitraum konstante Energiemengen abstrahlt.

Strahlungszone

Um den Kern herum liegt die so genannte „Strahlungszone“, die etwa 70 % des Sonnenradius ausmacht. Im Vakuum des Weltalls bewegen sich Gammaphotonen mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum. Im Innern der Sonne herrscht eine derart hohe Dichte, dass die Photonen immer wieder mit den Teilchen des Plasmas zusammenstoßen, dabei absorbiert und wieder abgestrahlt werden. Sie bewegen sich auf einer völlig zufälligen Bahn und diffundieren dabei Richtung Sonnenoberfläche. Statistisch benötigt ein Photon etwa 170.000 Jahre, um die Strahlungszone zu passieren. Dies bedeutet, dass das Licht, welches wir heute von der Sonne erhalten, bereits vor entsprechend langer Zeit erzeugt wurde. Bei jedem Zusammenstoß in der Strahlungszone nimmt die Strahlungsenergie des Photons ab und seine Wellenlänge nimmt zu. Die Gammastrahlung wird in Röntgenstrahlung umgewandelt. Anders als die Photonen gelangen die Neutrinos nahezu ungehindert durch die Schichten der Sonne, da sie kaum mit Materie in Wechselwirkung treten. Die Neutrinos erreichen, da sie sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, bereits nach acht Minuten die Erde, wobei sie den Planeten fast ungehindert durchqueren. In jeder Sekunde durchqueren etwa 70 Mrd. Neutrinos einen Quadratzentimeter der Erdoberfläche.

Konvektionszone

An die Strahlungszone schließt sich die „Konvektionszone“ an. Am Grenzbereich zur Strahlungszone beträgt die Temperatur noch ca. 2 Mio. Kelvin. Die Energie wird in dieser Zone nicht mehr durch Strahlung abgegeben, sondern durch eine Strömung (Konvektion) der Plasmas weiter nach außen transportiert. Dabei steigt heiße Materie in gewaltigen Strömen nach außen, kühlt dort ab und sinkt wieder ins Sonneninnere hinab. Da das frisch aufgestiegene Plasma heißer und damit heller ist als das absteigende, sind die Konvektionszellen mit einem Teleskop als Granulation der Sonnenoberfläche erkennbar.

Sonnenoberfläche und Umgebung

Granulation Oberhalb der Konvektionszone liegt die Photosphäre, die wir als Quelle der Sonnenstrahlung wahrnehmen: eine „