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Gradient

Gradient

Das Wort Gradient bezeichnet: #allgemein die Steigung (z. B. von Straßen, Eisenbahntrassen oder Wasserläufen) #in der Mathematik und Physik eine Funktion eines skalaren Feldes, siehe Gradient (Mathematik) #in der Chemie den Stoffgradienten #in der Meteorologie ein Maß für die Änderung einer atmosphärischen Größe in horizontaler oder vertikaler Richtung, siehe Gradient (Meteorologie) #in der Kunst (vor allem in der Grafik und Computergrafik) einen kontinuierlichen Farb- oder Helligkeitsübergang, siehe Gradient (Grafik)

Steigung

In der Mathematik, insbesondere in der Analysis, ist die Steigung (auch als Anstieg bezeichnet) ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder einer Kurve. Das Problem, die Steigung zu ermitteln, stellt sich dabei nicht nur bei geometrischen Fragestellungen, sondern beispielsweise auch in der Physik. So entspricht etwa die Geschwindigkeit der Steigung in einem Zeit-Weg-Diagramm oder die Stromstärke der Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm.

Steigung einer Geraden

Die Steigung einer Geraden wird häufig durch den Buchstaben m bezeichnet. Verwendet man kartesische Koordinaten, so hat die Gerade, die durch zwei Punkte

(x_1|y_1)

und

(x_2|y_2)

festgelegt ist, die Steigung :

m = \frac = \frac

\Delta x

(sprich: Delta x) bedeutet dabei die Differenz der x-Werte,

\Delta y

entsprechend die Differenz der y-Werte. Bild:SteigungGerade.png Für die abgebildete Gerade durch die Punkte

(2|1)

und

(7|3)

ergibt sich beispielsweise die Steigung: :

m = \frac = \frac = 04

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt. Nimmt man zum Beispiel

(-3|-1)

und

(2|1)

, so erhält man: :

m = \frac = \frac = 04

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft. Hinweis: Die zur y-Achse parallelen Geraden sind keine Funktionsgraphen und haben deshalb auch keinen Steigungswert. Man kann ihnen die Steigung "Unendlich" (∞) zusprechen.

Steigungswinkel

Aus der Steigung einer Geraden lässt sich der zugehörige Neigungswinkel (Steigungswinkel) bezogen auf die x-Achse berechnen: Ein Zusammenhang aus der Trigonometrie besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens von einem der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten aus Gegenkathete und Ankathete ist. Damit ist klar, dass die Steigung der Tangens des Neigungswinkels gegenüber der positiven x-Achse ist: :

m \, = \, \tan \alpha

Zu beachten ist, dass Neigungswinkel und Steigung nicht zueinander proportional sind. Es ist also nicht möglich, Winkel und Steigungen mit einem Dreisatz umzurechnen! Beispielsweise entspricht die Steigung 1 (= 100%) einem 45°-Winkel, die Steigung 2 (= 200%) dagegen einem Winkel von knapp 64°. Für Neigungswinkel knapp unter 90° wächst die Steigung über alle Grenzen. Um die Größe des Neigungswinkels herauszufinden, benötigt man die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion, also die Arcustangens-Funktion: :

\alpha \, = \, \arctan m

Im obigen Beispiel errechnet man: :

\alpha = \arctan 04 \approx 218^\circ

Schnittwinkel

Der Steigungsbegriff liefert auch eine bequeme Methode, den Schnittwinkel

\epsilon

zweier Geraden mit gegebenen Steigungen

m_1

und

m_2

zu bestimmen: :

\tan \epsilon = \frac

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Sie sind genau dann senkrecht zueinander, wenn ihre Steigungen die Bedingung

m_1 \cdot m_2 = -1

erfüllen. Die Steigung einer Geraden spielt auch im Straßenverkehr eine Rolle. Das Verkehrszeichen für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff. Allerdings wird die Prozent-Schreibweise verwendet. Eine Angabe von 12% Steigung bedeutet zum Beispiel, dass die Höhe pro 100 m in waagrechter Richtung um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen mathematischen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12%).

Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve

Eines der grundlegenden Probleme der Analysis besteht darin, die Steigung einer Kurve in einem gegebenen Kurvenpunkt herauszufinden. Die oben besprochene Formel ist jetzt nicht mehr verwendbar, da ein Bruch nicht definiert ist, wenn sein Nenner gleich 0 ist. Man definiert die Steigung des Graphen einer Funktion in einem Punkt des Graphen als Steigung der Kurventangente in diesem Punkt. Die Differentialrechnung liefert den Begriff der Ableitung als Hilfsmittel, um solche Steigungswerte ausrechnen zu können. Beispiel: Für den Graphen der Funktion

f: \; x \mapsto 2x^2 - \frac x^3

sollen die Steigung im Kurvenpunkt

(2|4)

und der zugehörige Neigungswinkel berechnet werden. Bild:SteigungFktGraph.png Zunächst ermittelt man die Gleichung der Ableitungsfunktion f': :

f'(x) = 2 \cdot 2 x^ - \frac \cdot 3 x^
= 4x - \frac x^2

Nun wird die x-Koordinate des gegebenen Punktes eingesetzt: :

f'(2) = 4 \cdot 2 - \frac \cdot 2^2 = 8 - \frac \cdot 4
= 8-6 = 2

Aus dem Wert der Steigung ergibt sich der Neigungswinkel: :

\tan \alpha \, = \, 2

\alpha = \arctan 2 \approx 634^\circ

Siehe auch

Differentialrechnung, Ableitung, Tangens Kategorie:Analysis simple:Slope

Gradient (Mathematik)

Der Gradient ist eine Funktion eines Skalarfeldes, welche die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung in Form eines Vektorfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen. Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion z(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit ist. Gradient wird also ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. Er hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche, auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind, und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in Normalenrichtung überein. Der Gradient lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Divergenz und Rotation der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis. In den beiden folgenden Bildern stellen die Grauschattierungen das Skalarfeld dar, wobei schwarz den höchsten Funktionswert darstellt, und die Pfeile symbolisieren den zugehörigen Gradienten. mehrdimensionalen Analysis

Gradient eines Skalarfeldes

Der Gradient eines Skalarfeldes

\varphi\left(\vec r\right)

ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Er existiert daher nur an den Stellen, an denen

\varphi

bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist. Er wird als

\nabla\varphi

oder als

\operatorname\varphi

geschrieben. Dabei ist

\nabla

der Nabla-Operator und

\operatorname

das Funktionssymbol des Gradienten. Für den Fall eines Skalarfeldes

\varphi(x,y,z)

ist der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als :

\operatorname\,\varphi=\nabla\varphi=\frac\vec_x+\frac\vec_y+\frac\vec_z = \begin \partial\varphi / \partial x \\ \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / \partial z \end

Allgemein gilt :

\mathrm\varphi(x_1, \ldots , x_n)=\nabla\varphi(x_1, \ldots , x_n) = \begin
\frac \\ \vdots \\ \frac
\end

Der Gradient kann je nach Verwendungszweck als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden. Darstellung in Zylinderkoordinaten:

V = V\left(  \right)

\operatorname V = \nabla V = \frac
\vec e_r  + \frac
\frac
\vec e_\varphi   + \frac
\vec e_z

Darstellung in Kugelkoordinaten:

V = V\left(  \right)

\operatorname V = \nabla V = \frac
\vec e_r  + \frac
\frac
\vec e_\vartheta   + \frac
\frac
\vec e_\varphi

Geometrische Interpretation

Geometrisch betrachtet stellt der Gradient einen Vektor dar, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Mittels dieses Vektors lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln. Dazu verwendet man die Richtungsableitung.

Richtungsableitung

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes

\varphi\left(\vec r\right)

in Richtung eines Vektors

\vec v

, genauer :

\frac=\lim_\fract.

Ist

\varphi

in einer Umgebung von

\vec r

differenzierbar und existieren die partiellen Ableitungen stetig in

\vec r

, dann kann man die Richtungsableitung berechnen als das Skalarprodukt aus

\vec v

und dem Gradienten von

\varphi

. :

=\left\langle\mathrm\varphi\vec v\right\rangle

Zur Herleitung der Richtungsableitung:
Multipliziert man die Definition des Gradienten beiderseits von rechts mit einem gewünschten Richtungsvektor

e_i

, in dessen Richtung man die Steigung des Skalarfelds wissen will, so erhält man folgenden Ausruck:
:

\operatorname\,\varphi\,\cdot\,\vec_i =
\left ( \frac\vec_1+\frac\vec_2+ \cdots + \frac\vec_n \right )\cdot\,\vec_i

und nach Ausmultiplizieren: :

\operatorname\,\varphi\,\cdot\,\vec_i =
\frac\vec_1\cdot\vec_i+\frac\vec_2\cdot\vec_i+ \cdots + \frac\vec_n\cdot\vec_i

Mit einem Orthonormalsystem

e_1\perp e_2\perp \cdots \perp e_n

und dem Skalarprodukt

e_i \cdot e_j = 0

und

e_i \cdot e_i = 1

folgt für die Richungsableitung in eine Richtung

e_i

mit

i \in \mathbb

:
:

\operatorname\,\varphi\,\cdot\,\vec_1 = \frac\vec_1\cdot\vec_1 = \frac

\operatorname\,\varphi\,\cdot\,\vec_2 = \frac\vec_2\cdot\vec_2 = \frac

usw. bis
:

\operatorname\,\varphi\,\cdot\,\vec_n = \frac\vec_n\cdot\vec_n = \frac

Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes

Der Vektor der partiellen Ableitungen kann auch für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist

\vec:\mathbb^n\rightarrow\mathbb^m

eine vektorwertige Funktion, dann seien F₁, ..., F_m ihre Komponentenfunktionen, das heißt :

\vec F(x_1, ..., x_n) = (F_1(x_1, ..., x_n), ..., F_m(x_1, ..., x_n))

. Man definiert dann die Ableitung von

\vec F

als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der F_i. Der Vektorgradient des Feldes ist die Jacobi-Matrix. :

\mathcal_=\operatorname\vec=\nabla\vec=
=
\begin
\frac&\cdots&\frac\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 
\frac&\cdots&\frac
\end

Für m=n ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art spielen beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung und Elastizität eine Rolle.

Hesse-Matrix

Mit dieser Verallgemeinerung definiert man die zweite Ableitung eines Skalarfeldes φ(x₁ .. x_n), seine Hesse-Matrix: :

\operatorname(\varphi)=
\left(\frac\right)=
\begin
\frac&\frac&\cdots&\frac\\
\frac&\frac&\cdots&\frac\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 
\frac&\frac&\cdots&\frac
\end

Rechenregeln

Rechenregeln (c: Konstante; u und v: Skalarfelder):
-

\operatorname\,c=\vec

\operatorname\,(c\cdot u)=c\cdot\operatorname\,u

\operatorname\,(u+v)=\operatorname\,u+\operatorname\,v

\operatorname\,(u\cdot v) =u\cdot\operatorname\,v+v\cdot\operatorname\,u

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

d\varphi=\fracdx+\fracdy+\fracdz=\operatorname\,\varphi\;d\vec\qquad d\vec=\begindx\\dy\\dz\end

Der Gradient in allgemein orthogonalen Koordinaten:

\vec = \sum_\qquad
h_a =

Weitere Beispiele

Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen Leiterbahn auf einem Mikrochip läßt sich durch ein Skalarfeld von unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient dieses Skalarfeldes einschließlich eines Materialfaktors ist der Wärmefluss. Der Wärmefluss ist somit ein Vektorfeld, welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist. Kategorie:Analysis ja:勾配

Stoffgradient

Als Stoffgradient bezeichnet man den Unterschied der Konzentration eines chemischen Stoffes zwischen zwei Punkten in einem Raum. Eine Anwendung in der chemischen/biochemischen Trennung ist die Gradientenelektrophorese. Dabei wird zuvor in einem Gelgemisch ein Gradient, sei es ein Dichte-Gradient (z.B. mit Saccharose), ein Geldichte-Gradient (variable Porenweite) oder ein pH-Gradient (meist mit Ampholyten), erzeugt. Bei der folgenden elektrophoretischen Trennung konzentrieren sich dann die Stoffe in einem entsprechenden Sektor. Eine weitere Anwendung ist die Trennung von Stoffgemischen im Dichtegradienten durch Zentrifugation. Bei der Chromatografie werden oft mobile Phasen mit sich in der Zeit verändernden Zusammensetzungen angewendet, um verschiedene adsorbierte Stoffe nach einander zu eluieren. In der Biologie spielen Stoffgradienten eine erhebliche Rolle:
- Im Energie-Stoffwechsel der Zellen: Verbrennung von an NAD gebundenem Wasserstoff und Energiegewinnung in Form von ATP sind chemiosmotisch gekoppelt über einen Protonengradienten.
- In der Morphogenese der Embryonalentwicklung. Auch in der Geochemie und Ökologie sind Stoffgradienten bedeutsam, beispielsweise Gradienten der Sauerstoffkonzentration oder Schwefelwasserstoffkonzentration. Bild:GRAMISCH Gradientenmischer.gif Eine besonders einfache Form eines Gradientenmischers zur Herstellung eines Dichte-Gradienten. Links oben in gelb befindet sich eine Lösung geringer Dichte. Rechts oben in blau befindet sich eine Lösung hoher Dichte. Der Behälter rechts oben wird gerührt, während von links die Lösung geringer Dichte zuläuft, und die Mischung der beiden Lösungen nach unten in den Gradienten-Behälter abläuft, wo sich die nachfolgenden Schichten geringerer Dichte über die vorher gehenden lagern. Auf diese Weise entstehen lineare Gradienten. Kategorie:statistische Physik

Gradient (Meteorologie)

Ein Gradient gibt in der Meteorologie an, wie stark sich eine ortsabhängige Größe mit dem Ort ändert. Nimmt zum Beispiel die Lufttemperatur um 0,65 Kelvin ab, wenn man 100 m höher steigt, so beträgt der vertikale Temperaturgradient 0,0065 K/m. Ein Gradient ist beispielsweise ein horizontales Druckgefälle, das auf Hektopascal pro 60 Seemeilen umgerechnet wurde (was einem Breitengrad entspricht). Sinn und Nutzen derartiger Gradienten war früher, dass Tabellen zur Errechnung der Windgeschwindigkeit nur mit dem Faktor Gradient multipliziert werden mussten, um die errechenbare Windgeschwindigkeit auszugeben (das heißt nur Tabellen für „Gradient=1“ waren erforderlich). Heutige Gradienten haben entsprechend deren mathematischer Definition nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung, stellen also Vektor dar. Ein solcher Vektor zeigt stets in die Richtung des stärksten Anwachsens der Größe. Eine umgangssprachliche Entsprechung für Gradient ist Steigung. In der Meteorologie gibt es viele wichtige Gradienten: Neben dem Temperaturgradienten sind etwa der Luftdruck- und der Luftfeuchtigkeitsgradient zu nennen. Das Vorliegen eines Gradienten zeigt stets eine ungleiche Verteilung einer Größe an. Bei Größen, deren Ungleichverteilung zu Ausgleichsvorgängen führt, kann der Gradient als treibende Kraft für solche Ausgleichsvorgänge interpretiert werden, was besonders beim Luftdruck in Form der Gradientkraft der Fall ist. Die Stärke der Ausgleichsvorgänge ist in der Regel proportional zum Betrag des Gradienten; die ausgleichende Strömung läuft dem Gradienten entgegen, weil die Strömung von größeren Werten der betreffenden Größe zu kleineren Werten gerichtet ist, die Richtung des Gradienten aus mathematischen Gründen aber in Richtung der größeren Werte zeigt. Beispiele: Temperaturgradienten setzen Wärmeströme in Bewegung; Druckgradienten setzen Luftströmungen (Wind) in Bewegung; Dampfdruckgradienten setzen Diffusionsströme in Bewegung. Kategorie:Meteorologie

Millipede (game)

Millipede is a 1982 arcade game by Atari. The player controls an archer at the bottom of the screen. The player's objective is to destroy the millepede chain that begins at the top of the screen. There are mushrooms scattered around the playing field, which must be shot to be destroyed. When the millipede is shot( only one segment at a time), a mushroom is created in its place. illipedes cannot move through mushrooms, so they are forced to move around them. Therefore, players can shoot the mushrooms to redirect the millipede. The game is in color and the controls consist of a trackball and a "fire" button. Millipede is the successor to the arcade hit, Centipede. In contrast with Centipede, the field of mushrooms moves up and down. This prevents a common tactic in Centipede, where the player arranges the mushrooms to direct the centipede in a specific path.

Enemies

There are all the enemies present in Centipede, such as the spider and the bee. There are also several new ones. There is an inchworm, which slows down all enemies temporarily when shot. There is a beetle, which turns mushrooms into indestructible flowers and moves the entire mushroom field down one row if hit (this also happens when a stage is cleared). The dragonfly is like the bee (in Centipede it was a flea), but it moves from side-to-side down the screen and adds mushrooms. Multiple spiders, which remove mushrooms as in the original game, can be present simultaneously. There are also DDT bombs which take out an area. Other enemies include the earwig which replaces the scorpion, and the mosquito which moves diagonally, and changes direction when it hits a side of the screen, and moves the mushroom field up one row if hit.

High Scores

Once the player reaches a certain score, he receives a bonus life. The, the player has the option of starting on a new level the next time he plays. PLayers cannot start higher than 300,000 points using this method.

External links

- [http://www.klov.com/game_detail.php?letter=M&game_id=8698 The KLOV entry on Millipede]
- Category:Arcade games Category:Stationary shooters Category:NES games Category:1982 computer and video games Category:1982 arcade games Category:Atari 8-bit family games Category:Atari arcade games Category:Atari 2600 games Category:ZX Spectrum games

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