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Gradnetz

Gradnetz

Ein Gradnetz dient zur eindeutigen Festlegung von Punkten auf einer Rotationsfläche (z. B. Kugel oder Erdellipsoid). siehe: geografische Koordinaten

Das Gradnetz auf der Kugel

Ähnlich wie in der Ebene ein rechtwinkeliges Koordinatensystem definiert werden kann, kann man auch auf der Kugeloberfläche ein derartiges Gitter definieren. Dieses besteht aus:
- Breitenkreise: Kreise, die parallel zur Äquatorebene der Kugel verlaufen. Einer davon ist der Äquator selbst (ein Großkreis), die anderen liegen parallel dazu nach Norden und Süden verschoben und werden immer kleiner (Kleinkreise der Kugel).
- Längenkreise: Diese verlaufen alle durch die beiden Pole der Kugel. Damit sind alle Längenkreise Großkreise. Außerdem stehen sie senkrecht auf alle Breitenkreise. Voraussetzung ist, dass die Pole und der Mittelpunkt der Erde bekannt sind. Breiten- und Längenkreise werden in Graden gezählt:
- Breitenkreise beginnend bei Null Grad am Äquator nach Norden (= + 90°) und Süden (= - 90°)
- Längengrade beginnend bei einem ausgezeichneten, willkürlich festgelegten Nullmeridian nach Westen und Osten (jeweils 180°) Diese Zählweise ähnelt den in der Mathematik allgemein üblichen Kugelkoordinaten. Außerdem hat sie den Vorteil, dass sie unabhängig vom Radius der Kugel ist. Durch Angabe der Länge und der Breite ist jeder Punkt auf der Kugel eindeutig definiert.

Das Gradnetz auf der Karte

Das Gradnetz kann bei der Erstellung einer Landkarte mit auf die ebene Karte abgebildet werden. Je nach dem welche Kartenprojektion verwendet wird, wird eine Masche des Gradnetzes als Quadrat, Rechteck, Trapez oder Sektor eines Kreisrings dargestellt. In großmaßstäblichen Karten (z. B. 1:50.000 oder 1:25.000) kann man die enzelnen Maschen immer genähert als Rechtecke betrachten und mit einer Gitterschablone die Ortsangaben für einen Punkt herausmessen. In Karten kann jedoch anstelle des Gradnetzes auch ein anderes Koordinatensystem als Gitternetz eingetragen sein und für Ortsangaben verwendet werden. So wird z.B. vom Militär das sogenannte UTM-Gitter verwendet. Kategorie:Geographischer Begriff Kategorie:Kartografie

Rotationsfläche

Rotationsfläche werden in der Geometrie Flächen genannt, die durch Rotation um die z-Achse einer in der x,-z-Ebene liegenden und mit der Gleichung z = f(x) definierten Kurve erzeugt wird. So können auch die Oberflächen von Rotationskörpern wie z.B. Zylinder, Kugel und Tonnenkörper erzeugt werden. Gleichung der Rotationsfläche: z = f( \sqrt) Siehe auch: Rotationskörper Kategorie:Geometrie

Kugel

Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper. In der Physik kommen dazu noch Impuls, Drehimpuls und Materialeigenschaften wie Masse, Elastizität, Leitfähigkeit, Lichtbrechung.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel. Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt. Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muß, welcher der beiden Begriffe gemeint ist. Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 erfüllt ist. Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden: : x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi : y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \qquad (0 \le \theta \le \pi \ \wedge 0 \le \varphi < 2 \pi) : z = r \cdot \cos \theta Bild:Kugelkoordinaten.PNG Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Kugelsegmente und Kugelabschnitte

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißen die beiden dabei entstehenden Teilkörper Kugelsegmente oder Kugelabschnitte. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte oder Kugelhaube genannt.

Formeln

Begründung der Volumenformel

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r herausnimmt. Bild:KugelCavalieri.png Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben. Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: :s^2 + h^2 \, = \, r^2 Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche :A_1 \, = \, s^2 \pi = (r^2 - h^2) \pi = r^2 \pi - h^2 \pi. Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge :A_2 \, = \, r^2 \pi - h^2 \pi. Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben. Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren. :V_ \, = \, r^2 \pi \cdot r = r^3 \pi Volumen Zylinder :V_ \, = \, \frac \cdot r^2 \pi \cdot r = \frac r^3 \pi :V_ \, = \, V_ \, = r^3 \pi - \frac r^3 \pi = \frac r^3\pi Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel: V_ \, = \, 2 \cdot V_ = \frac r^3 \pi

Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x : s =\sqrt \, Kreisfläche im Abstand x :A_x = s^2 \pi \, Volumen der Kugel V :V = \int_^r = \int_^r = \int_^r \pi dx = \int_^r \pi dx - \int_^r \pi dx :V = r^2 \pi \left[ x \right]_^r - \pi \left[ \right]_^r :V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - \pi r^3 = \pi r^3 Auf die gleiche Weise kann man das Volumen eines Kugelsegments V_ der Höhe h berechnen :V_ = \int_^r = r^2 \pi \left[ x \right]_^r - \pi \left[ \right]_^r :V_ = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - \pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right] :V_ = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - \pi h^3 = (3r-h)

Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung :K: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 beschreiben, wobei x,y,z die Raumkoordinanten sind und R den Radius darstellt. Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem leicht auf zwei Arten lösen: Wir parametriseren die Kugelfläche :\begin r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi) Das benötigte Volumenelement \mathrmV ergibt sich über die Funktionaldeterminante :\det\frac = r^2 \sin\vartheta. Somit ist das Volumenelement :\mathrmV = r^2 \sin\vartheta\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\vartheta. Das Volumen der Kugel lässt sich so leicht berechnen: :\int_K\mathrm dV = \int_0^\pi \int_0^ \int_0^R r^2 \sin \vartheta \mathrm dr \mathrm d\varphi \mathrm d\vartheta := \underbrace_ \underbrace_ \underbrace_ := \frac\pi R^3. Eine zweite Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten: :\int_K\mathrm dV = \iint\limits_\left(\int\limits_^\mathrm dz\right) \mathrm dy \mathrm dx := \iint\limits_2\sqrt\mathrm dy\mathrm dx mit Polarkoordianten r^2 = x^2 + y^2 erhält man: := \int\limits_0^\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr\mathrm d\varphi := 2\pi\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr := 2\pi (-1) \frac\left[\sqrt\right]_^R = \frac\pi R^3.

Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes. Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations-Bindungsenergie ist. Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt. Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n-dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n-dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) höchstens gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n-dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)-Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n-dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n-dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, und der Radius ist gleich 1. Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2-Sphäre. Eine 2-dimensionale Kugel ist ein Kreis, der zugehörige Kreisrand eine 1-Sphäre. Eine 1-dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0-Sphäre aufgefasst werden können. Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n-Sphären, wenn sie (n-1)-dimensionale Sphären im n-dimensionalen Raum meinen. Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist r^n \frac. Hier ist \Gamma die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)-dimensionalen Inhalt der (n-1)-dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)-Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius: n \cdot r^ \frac Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

Sphäre, sphärische Geometrie, Kugelzweieck, Kugeldreieck, Ball, Kugelmühle

Weblinks


- [http://www.walter-fendt.de/m14d/kugelvolumen.htm Java-Applet zum Kugelvolumen] (erfordert Installation von Java 1.4) Kategorie:Topologie Kategorie:Raumgeometrie ja:球面 ko:구 (기하) simple:Sphere

Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten : ++=1 mit positiven reellen Zahlen a, b und c, den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix Q = (q_): : E= \left\. Durch Hauptachsentransformation kann man Q auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren. In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet. Für das Volumen V gilt: V = \frac \pi \cdot a\cdot b\cdot c wobei wie oben a,b,c die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen. Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein. Zur Berechnung der Oberfläche S eines Rotationsellipsoids nehmen wir an, daß a ≥ b ≥ c ist. Weiters seien k = \frac das Verhältnis der Halbachsen c und a und \epsilon = \sqrt die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der xz-Ebene y = 0 ergibt. Dann ist für
- a = b (Rotationsachse = z-Achse): S = 2 \pi a^2 \left( 1 + k^2 \frac \right)
- b = c (Rotationsachse = x-Achse): S = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac \frac \right) siehe auch: Paraboloid, Homöoid, Fokaloid Kategorie:Geometrie Kategorie:Lineare Algebra

Geografische Koordinaten

Die geografischen Koordinaten im eigentlichen Sinne sind geografische Länge (früher Längengrad), geografische Breite (früher Breitengrad) und Höhe über Normalnull. Um die geografische Lage eines Ortes auf der Erde anzugeben, können verschiedene Koordinatensysteme verwendet werden. Die geographischen Koordinaten sind aber die am häufigsten verwendete Möglichkeit, die Lage auf der Erdoberfläche zu beschreiben. Die Erde wird dabei in 360 Längengrade und 180 Breitengrade aufgeteilt. Normalnull bezeichnet die Höhe des Wasserspiegels der Weltmeere, z. B. gemessen am mittleren Wasserpegel von Amsterdam (für Deutschland), Triest (Österreich) oder Marseille (Schweiz).

Koordinatensystem

Marseille Das Gradnetz der Erde ist ein gedachtes Koordinatensystem auf der Erdoberfläche mit sich rechtwinklig schneidenden Längen- und Breitenkreisen; es dient zur geografischen Ortsbestimmung. Die Breitengrade werden dabei vom Äquator aus gezählt, die Pole liegen bei 90° Nord bzw. Süd, die Längengrade werden von einem willkürlichen Nullmeridian nach Osten und Westen gezählt bis 180°. Die Festlegung der Winkel stimmt nicht mit dem in Mathematik und Physik üblichen Kugelkoordinatensystem überein. Bis Anfang des 20. Jahrhunderts waren in verschiedenen Ländern verschiedene Nullmeridiane gebräuchlich (beispielsweise Ferro und Paris), heutzutage wird der Meridian von Greenwich (Sternwarte in London) international verwendet. Bei der genauen Ortsbestimmung muss beachtet werden, das sich Geographischen Koordinaten auf unterschiedliche Bezugsysteme beziehen können. Das am häufigsten genutzte Bezugsystem ist das WGS84. Je nach Zweck werden auch andere Referenzellipsoide, eine Kugel oder das Geoid verwendet.

Karten

Da Kartographen in früheren Jahrhunderten die vielen regionalen Abweichungen der Erdoberfläche vom idealen Ellipsoid dadurch ausglichen, dass sie im betreffenden Gebiet das Koordinatensystem „verschoben“, entstanden Dutzende geodätische Systeme (Bezugssysteme für Karten). Mit der Entwicklung der Satellitennavigation musste ein weltweit einheitliches System geschaffen werden (siehe WGS84). In Land- oder Seekarten, die fast immer auf früheren Systemen beruhen, könnte eine Angabe in einem falschen Bezugssystem (etwa das Eintragen einer GPS-Position) einen Fehler von etlichen Hundert Metern verursachen, wenn das Referenzellipsoid (auch Kartendatum, Bezugssystem) der Angabe nicht dasselbe ist wie das der Karte. Werte können natürlich von einem System zu einem anderen umgerechnet werden.

Luftfahrt und Nautik

Genauere Positionsangaben sind in der Luftfahrt und Nautik erforderlich. Hier wird die geografische Breite und Länge auf Bogenminuten genau angegeben, z. B. Zugspitze Lat = 47° 25' N, Lon = 10° 59' E oder Ost.
- Bogenminuten werden dezimal weiter unterteilt.
- Gemäß DIN 13.312, gültig für Luft- und Seefahrt, wird die geografische Breite mit Lat oder älter auch φ abgekürzt, die geografische Länge mit Lon oder λ. B und L sind nicht normgemäß.
- Eine Breitenminute entspricht auf der Erdoberfläche einer Strecke von ca. 1.852 m und definiert die Länge einer Seemeile.
- Die Strecke, die einer Längenminute entspricht, beträgt zwar am Äquator ebenfalls 1.852 m, nimmt aber zum Pol hin bis auf Null ab. Sie ist also breitenabhängig. Innerhalb Europas liegt die Strecke zwischen 1 km und 1,5 km.

Vermessungswesen

Im Vermessungswesen sind cm-Genauigkeiten gefragt - daher genügt die Angabe von Bogensekunden nicht, da eine Bogensekunde (1") etwa 31 m (Breitenangabe) bzw. 20 m (Längenangaben in Europa) entspricht. In Deutschland wurde bisher die Lage der Festpunkte auf Millimeter genau als Gauß-Krüger-Koordinate, bezogen auf das Bessel-Ellipsoid, beziehungsweise im Gebiet der früheren DDR ab den 1950-er Jahren, bezogen auf das Krassowski-Ellipsoid, angegeben. Seit den 1990-er Jahren erfolgt in Deutschland eine Umstellung auf UTM-Koordinaten im ETRS89-System, bezogen auf das GRS80-Ellipsoid.

Eselsbrücke

Damit Breite und Länge nicht verwechselt werden, ist folgendes Bild nützlich: Man stelle sich die Erde als einen dicken (= breiten) Mann vor. Der Äquator ist seine breiteste Stelle, ein Breitengrad.

Beispiele


- Koordinaten von
  - München: (Stadtmitte)
  - San Francisco: (Stadtmitte)

natürliche, astronomische, ellipsoidische, geodätische Koordinaten

Die natürlichen Koordinaten (astronomische Breite φ und astronomische Länge λ) können durch astronomische Ortsbestimmung ermittelt werden. Sie beziehen sich auf die tatsächliche Lotrichtung am Messpunkt. Die Ellipsoidischen Koordinaten (B, L - auch geodätische Koordinaten genannt) beziehen sich hingegen auf die Normalenrichtung des verwendeten Referenzellipsoids. Die Differenz von Lotrichtung und Ellipsoidnormale ist üblicherweise kleiner als 10" und wird als Lotabweichung bezeichnet. In der Regel verlaufen weder Lotrichtung noch Ellipsoidnormale durch den Erdmittelpunkt. Bei geringen Genauigkeitsansprüchen z.B. bei Kartendarstellungen in sehr kleinen Maßstäben wird der Erdkörper zur Vereinfachung durch eine Kugel angenähert. In diesem Fall entsprechen geographische Breite und Länge sphärischen Koordinaten. Nur dann ist die Breite der Winkel im Erdmittelpunkt zwischen dem Äquator und dem gesuchten Punkt.

Siehe auch


- Geodätisches Datum
- Koordinatensystem
- Polarkoordinate
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- Schweizer Landeskoordinaten
- Orthodrome
- Wikipedia:WikiProjekt Georeferenzierung (Einsatz in der Wikipedia)

Weblinks


- [http://www2.demis.nl/mapserver/mapper.asp www2.demis.nl - erzeugt Karten aus Koordinaten]
- [http://www.fallingrain.com/world/ Geografische Koordinaten für Orte auf der ganzen Welt]
- [http://www.heavens-above.com/countries.asp Geografischen Koordinaten für alle Städte der Welt]
- [http://www.opengeodb.de/ Geokoordinaten suchen (derzeit nur für Deutschland)]
- [http://www.getty.edu/research/conducting_research/vocabularies/tgn/index.html Geokoordinaten und administrative Informationen]
- http://www.koordinaten.de/
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/laengenbreitengrad.htm Längen und Breitengrade einfach erklärt]
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/Projektionen.htm Kartenprojektionen]
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm Kartenbezugssysteme] Kategorie:Geodäsie Kategorie:Nautik ja:測地系 ko:지리 좌표계

Rechtwinkeliges Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem, dessen Koordinatenlinien Geraden in konstantem Abstand sind. Das kartesische Koordinatensystem ist benannt nach seinem Erfinder René Descartes, nach seinem latinisierten Namen Cartesius. Es handelt sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich in diesem geometrische Sachverhalte am besten beschreiben lassen. Die horizontale Achse wird als x-Achse, Abszisse oder Rechtsachse bezeichnet. Die vertikale Achse heißt entsprechend y-Achse, Ordinate oder Hochachse. Die räumliche Achse (z-Achse, hier nicht abgebildet) wird Applikate (in der Geographie: Kote) genannt. In der Mathematik gibt es zudem die Möglichkeit höherdimensionaler Räume (siehe: 4D), die Achse für die Ausdehnung in der vierten Raumdimension wird als w-Achse bezeichnet, die Ausdehnungsrichtungen sind ana ("oben") und kata ("unten"). :bild:Kartesisches_system.PNG :Ebenes (2-dimensionales) kartesisches Koordinatensystem mit 2 Punkten P und Q und ihren Koordinaten

Siehe auch


- Koordinatentransformation - der Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen.
- Polarkoordinaten - ein anderes ebenes Koordinatensystem.
- Kugelkoordinaten - ein anderes räumliches Koordinatensystem.
- Cube - ein Kinofilm, in dem kartesische Koordinaten eine Rolle spielen. Kategorie:Analytische Geometrie ja:直交座標系

Kugel

Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper. In der Physik kommen dazu noch Impuls, Drehimpuls und Materialeigenschaften wie Masse, Elastizität, Leitfähigkeit, Lichtbrechung.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel. Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt. Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muß, welcher der beiden Begriffe gemeint ist. Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 erfüllt ist. Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden: : x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi : y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \qquad (0 \le \theta \le \pi \ \wedge 0 \le \varphi < 2 \pi) : z = r \cdot \cos \theta Bild:Kugelkoordinaten.PNG Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Kugelsegmente und Kugelabschnitte

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißen die beiden dabei entstehenden Teilkörper Kugelsegmente oder Kugelabschnitte. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte oder Kugelhaube genannt.

Formeln

Begründung der Volumenformel

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r herausnimmt. Bild:KugelCavalieri.png Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben. Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: :s^2 + h^2 \, = \, r^2 Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche :A_1 \, = \, s^2 \pi = (r^2 - h^2) \pi = r^2 \pi - h^2 \pi. Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge :A_2 \, = \, r^2 \pi - h^2 \pi. Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben. Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren. :V_ \, = \, r^2 \pi \cdot r = r^3 \pi Volumen Zylinder :V_ \, = \, \frac \cdot r^2 \pi \cdot r = \frac r^3 \pi :V_ \, = \, V_ \, = r^3 \pi - \frac r^3 \pi = \frac r^3\pi Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel: V_ \, = \, 2 \cdot V_ = \frac r^3 \pi

Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x : s =\sqrt \, Kreisfläche im Abstand x :A_x = s^2 \pi \, Volumen der Kugel V :V = \int_^r = \int_^r = \int_^r \pi dx = \int_^r \pi dx - \int_^r \pi dx :V = r^2 \pi \left[ x \right]_^r - \pi \left[ \right]_^r :V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - \pi r^3 = \pi r^3 Auf die gleiche Weise kann man das Volumen eines Kugelsegments V_ der Höhe h berechnen :V_ = \int_^r = r^2 \pi \left[ x \right]_^r - \pi \left[ \right]_^r :V_ = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - \pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right] :V_ = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - \pi h^3 = (3r-h)

Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung :K: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 beschreiben, wobei x,y,z die Raumkoordinanten sind und R den Radius darstellt. Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem leicht auf zwei Arten lösen: Wir parametriseren die Kugelfläche :\begin r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi) Das benötigte Volumenelement \mathrmV ergibt sich über die Funktionaldeterminante :\det\frac = r^2 \sin\vartheta. Somit ist das Volumenelement :\mathrmV = r^2 \sin\vartheta\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\vartheta. Das Volumen der Kugel lässt sich so leicht berechnen: :\int_K\mathrm dV = \int_0^\pi \int_0^ \int_0^R r^2 \sin \vartheta \mathrm dr \mathrm d\varphi \mathrm d\vartheta := \underbrace_ \underbrace_ \underbrace_ := \frac\pi R^3. Eine zweite Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten: :\int_K\mathrm dV = \iint\limits_\left(\int\limits_^\mathrm dz\right) \mathrm dy \mathrm dx := \iint\limits_2\sqrt\mathrm dy\mathrm dx mit Polarkoordianten r^2 = x^2 + y^2 erhält man: := \int\limits_0^\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr\mathrm d\varphi := 2\pi\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr := 2\pi (-1) \frac\left[\sqrt\right]_^R = \frac\pi R^3.

Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes. Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations-Bindungsenergie ist. Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt. Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n-dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n-dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) höchstens gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n-dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)-Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n-dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n-dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, und der Radius ist gleich 1. Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2-Sphäre. Eine 2-dimensionale Kugel ist ein Kreis, der zugehörige Kreisrand eine 1-Sphäre. Eine 1-dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0-Sphäre aufgefasst werden können. Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n-Sphären, wenn sie (n-1)-dimensionale Sphären im n-dimensionalen Raum meinen. Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist r^n \frac. Hier ist \Gamma die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)-dimensionalen Inhalt der (n-1)-dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)-Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius: n \cdot r^ \frac Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

Sphäre, sphärische Geometrie, Kugelzweieck, Kugeldreieck, Ball, Kugelmühle

Weblinks


- [http://www.walter-fendt.de/m14d/kugelvolumen.htm Java-Applet zum Kugelvolumen] (erfordert Installation von Java 1.4) Kategorie:Topologie Kategorie:Raumgeometrie ja:球面 ko:구 (기하) simple:Sphere

Äquator

Der Äquator (lat. "Gleichmacher") ist derjenige Großkreis einer Kugel oder eines Planeten, der von beiden Polen gleich weit entfernt ist. Es ist der einzige Breitenkreis, der gleichzeitig ein Großkreis ist, also die kürzeste Verbindung zwischen allen seiner Punkte darstellt. Ihm ist die geografische Breite 0° zugeordnet. Der Äquator der Erde, Durchmesser 12756 km, durchquert Afrika, die Malediven und den Indischen Ozean, Indonesien, das zentralpazifische Mikronesien sowie Südamerika. Er trennt dabei die Nord- von der Südhalbkugel. Der Mittelpunkt des Äquatorkreises fällt mit dem der Kugel zusammen. Wegen der leichten periodischen Bewegungen der Erdachse kann der momentane Äquator an einem Ort bis zu ca. 10 Meter vom mittleren Äquator entfernt sein. Die Länge des Äquators beträgt 40076,6 km. Der Äquator durchquert elf Staaten auf Landgebiet:
- Ecuador (hat seinen Namen auch vom Äquator)
- Kolumbien
- Brasilien
- São Tomé und Príncipe
- Gabun
- Republik Kongo
- Demokratische Republik Kongo
- Uganda
- Kenia
- Somalia
- Indonesien Daneben durchquert er noch einige Inselgruppen jeweils zwischen den Inseln, läuft aber nicht über deren Landfläche. Dazu gehören die Malediven und mehrere Inselgruppen des Pazifiks. Vier Hauptstädte liegen fast genau auf dem Äquator:
- Quito (20 km südlich des Äquators)
- Libreville (40 km nördlich des Äquators)
- São Tomé (35 km nördlich des Äquators)
- Kampala (35 km nördlich des Äquators) Im Koordinatensystem der Erde (analog auch auf Mond- oder Himmels-Globen) zählt die geografische Breite vom Äquator nach Norden positiv, nach Süden negativ. Im englischen Sprachraum wird stattdessen auch N oder S angefügt - z.B. 52°N für Berlin, 52°S für die Falklandinseln. Deutschland ist vom Äquator 47,4 - 54,9° (etwa 5300 bis 6100 km) entfernt. Entlang des Erdäquators und der Meridiane entspricht eine Bogenminute etwa einer Seemeile, abgekürzt sm (engl. nautical mile, NM). Ihr Wert von 1852 Meter ergibt sich aus dem mittleren Erdradius (6370 km). Auch die ursprüngliche Definition des Meter war an der Länge des Erdäquators bzw. der Meridiane (sollte 40.000.000 Meter entsprechen) ausgerichtet. Neben dem hier beschriebenen geographischen Äquator gibt es auch den durch die Magnetpole bestimmten magnetischen Äquator. Aquator ja:赤道 ms:Garisan Khatulistiwa th:เส้นศูนย์สูตร zh-min-nan:Chhiah-tō

Großkreis

Ein Großkreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei ("gleichgroße") Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Großkreise. Im geografischen Koordinatensystem der Erde sind der Äquator (blau) sowie jedes Paar von sich "gegenüberliegenden" Längengraden, (Längengrade = Meridiane, hier gelb), wie z. B. Nullmeridian (0°) und Datumsgrenze (180°), Großkreise. Die weiteren Breitengrade (gestrichelte Linien) sind keine Großkreise, sondern kleiner als der maximale Kugelumfang. Man nennt sie deshalb Klein- oder Nebenkreise. Auf Großkreisen der Erde entspricht eine Bogenminute einer Seemeile, abgekürzt sm (engl. [nautical mile] = nm oder NM). Sie wird (also als "Breitenminute" bzw. als "Längenminute am Äquator") mit 1852 Metern errechenbar bei einem angenommenen Erdumfang von 40.000 km. Der mittlere Erdradius beträgt 6371 km. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche - die sogenannte Orthodrome - ist immer Teil eines Großkreises (der sogenannte Hauptbogen). Deshalb führen Schifffahrts- und vor allem Flugrouten meist entlang von Großkreisen. Das Befahren der Erdkugel auf Orthodromen wird Großkreissegeln genannt; die "Großkreiskurse" erreichen etwas größere Breiten als der jeweilige Start- und Zielpunkt (z.B. München-Peking über Sibirien). Da viele Landkarten (z.B. bei der Mercatorkarte) so dargestellt werden, dass die Breitengrade als gerade, waagrechte Linien erscheinen, wirken die Flugrouten trotz ihrer Kürze gekrümmt und verlaufen weiter polwärts (siehe auch Loxodrome). Um das Zeichnen zu vereinfachen gibt es spezielle Großkreiskarten (siehe Gnomonische Projektion), auf denen alle Großkreise als Gerade erscheinen, die Umgebung allerdings etwas verzerrt ist. Auf dem Erdellipsoid und anderen Flächen wird die Orthodrome Geodätische Linie genannt. Sie ist eine Kurve höherer Ordnung (Abweichung vom Großkreis einer Kugel einige Promille) und entspricht dem Verlauf eines straff gespannten, reibungsfreien Fadens. Auf Seekarten ist am rechten und linken Rand die geografische Breite aufgetragen, d.h. der jeweilige Ausschnitt des betreffenden Längen-Großkreises. Hier greift der Nautiker mit dem Stechzirkel eine Distanz ab und überträgt sie in die Seekarte oder anders herum. Der Abstand zwischen den Punkten 1 und 2 mit den Breitenkoordinaten φ und den Längenkoordinaten λ auf dem Großkreis berechnet sich wie folgt (Koordinaten im Bogenmaß): \mathrm=\mathrm\cdot\arccos\left(\sin\phi_1\cdot\sin\phi_2+\cos\phi_1\cdot\cos\phi_2\cdot\cos\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right) Siehe auch: Kleinkreis, Orthodrome Kategorie:Kartografie Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem Kategorie:Geometrie zh-min-nan:Tōa-îⁿ

Meridian

Das Wort Meridian (von lateinisch: circulus meridianus „Mittagskreis“) bezeichnet
- in der Astronomie den senkrecht auf dem Horizont des jeweiligen Beobachtungsortes stehenden, durch den Zenit-Punkt (senkrecht über dem Kopf), den Südpunkt am Horizont, den Nadir-Punkt (senkrecht unter den Füßen), und über den Nordpunkt am Horizont wieder zum Zenit (ferner auch durch die Himmelspole) verlaufenden Großkreis am Himmel, siehe Meridian (Astronomie).
- in der Geographie den senkrecht auf dem Äquator stehenden und vom Nord- zum Südpol verlaufende Halbkreis, siehe Meridian (Geografie).
- in der Traditionellen Chinesischen Medizin (TCM) eine Bahn im Körper, in der das Qi, die innere Energie, fließt, siehe Meridian (TCM).
- eine Stadt in den USA, siehe Meridian (Arkansas)
- eine Stadt in den USA, siehe Meridian (Mississippi)
- eine Stadt in Texas, USA: Meridian (Texas) Der davon abgeleitete Begriff meridional bezeichnet
- in der Meteorologie die Eigenschaft einer Größe bzw. eines Windes einen längengradparallelen Gradienten zu besitzen bzw. längengradparallel zu sein, also entlang eines Meridians zu verlaufen (sowohl in Nord-Süd Richtung als auch in der Vertikalen); siehe meridionaler Wind. ja:子午線

Karte (Kartografie)

Eine Karte ist eine Visualisierungsmöglichkeit räumlichen Wissens. Sie kann zur Orientierung, Planung oder Darstellung von Sachverhalten angewandt werden. Werden mehrere einzelne Karten in loser oder gebundener Form gesammelt, wird dies dann Kartenwerk oder Atlas genannt. Anhand von Kartenmaterial lassen sich Landschaftsveränderungen nachvollziehen. Sie können zusätzliche Informationen über ein Objekt vermitteln. Bei kleiner werdenden Maßstäben können Objekte generalisiert, also zusammengefasst werden. Informationen aus Kartenmaterial gelten als räumlicher Bezug. Karten können auch einen zeitlichen Bezug vermitteln. Mit ihnen kann man gleichfalls Ursachenforschung betreiben.

Bestandteile einer Karte

Eine Karte kann aus vielen verschiedenen Elementen bestehen.
- Kartenbild (auch Blattspiegel, Kartenspiegel oder Kartenfeld)
  - Karteninhalt
  - Kartennetz oder Koordinatennetz (Koordinatensystem)
    - Gradnetz (bei geografischen Koordinaten)
    - Gitternetz (bei kartesischen Koordinaten z.B. UTM oder Gauß-Krüger-Koordinatensystem)
    - Projektionsart (z.B. Flächen- o. Zylinderprojektion; Mercator, Robinson etc.)
  - Kartenrahmen oder Rahmen
    - Blattrandlinie, Kartenfeldbegrenzung, Kartenschnittlinie
    - Koordinatenangaben
    - Blatteckenwerte (Koordinaten der Blattecken)
    - Abschlussnomenklatur (Blattnummern der anschließenden Kartenblätter)
    - Abgangsschrift (Bei Straßen, die am Kartenrand enden, z.B. Musterstadt 15 km)
- Kartenrand
  - Kartenblattbezeichnung evt. in einer Kartusche
    - Kartentitel oder Blattname (z.B. Trier)
    - Kartenwerk (z.B. Topografische Karte 1:50000)
    - Blattnummer oder Nomenklatur (z.B. L 6304)
  - Legende oder Zeichenerklärung
  - Nordpfeil
  - Nebenkarte (überregionale Einordnung der Karte)
  - Maßstab
    - grafisch (Maßstabsleiste)
    - numerisch (z.B. 1:50000)
    - verbaler (z.B. 1 cm in der Karte = 500 m in der Natur)
  - Neigungsmaßstab
  - Blattübersicht (Übersicht über die Nachbarkartenblätter bei Kartenwerken)
  - Kartenautor oder Herausgeber (z.B. Landesvermessungsamt Rheinland-Pfalz)
  - ISBN (z.B. ISBN 389637180)
  - Bearbeitungsvermerk (z.B. 6. Auflage 1996)
  - Copyright

Kartenuntergliederung

Nach Maßstab

Man teilt Landkarten auch nach der Größe ihrer Darstellung (Maßstab) ein. Dabei wird eine Karte mit kleiner Maßstabszahl als großmaßstäblich bezeichnet, weil sie ein (kleines) Gebiet groß darstellt; entsprechend ist eine Karte mit großer Maßstabszahl kleinmaßstäblich, eine Karte 1:5000 hat also einen größeren Maßstab als eine Karte 1:25.000. Vom Maßstab ist auch die Genauigkeit der Karte abhängig. Zu unterscheiden sind:
- Pläne, haben einen Maßstab bis 1:5000
- Topografische Karten haben im Maßstab von 1:5000 bis 1:100.000
- Topografische Übersichtskarten haben im Maßstab zwischen 1:200.000 bis 1:1.000.000
- geografische Karten haben einen Maßstab von 1:1.000.000 bis zu noch kleinere Maßstäben Karten sind im wesentlichen maßstäbliche Darstellungen der Erdoberfläche. Im Gegensatz zu Plänen werden bei Karten jedoch auch Generalisierungsmethoden und symbolische Darstellungen eingesetzt. Das kann dazu führen, dass Karten in einzelnen Bereichen nicht exakt maßstäblich oder nicht lagerichtig sind. Beispiele:
- In einem engen Tal ist nicht genug Platz, um Fluss, Eisenbahn und Straße lagerichtig darzustellen. Daher werden Bahnlinie und Straße nicht genau ihrer tatsächlichen Lage eingezeichnet
- Eine Straße wird durch eine symbolische Doppellinie gezeichnet. Die Breite der Straße kann nicht maßstäblich aus der Karte herausgemessen werden.

Nach Inhalt

Generalisierungsmethoden] In der Kartografie untergliedert man Karten nach Thema:
- topografische Karten habe das Thema Topografie
- thematische Karten stellen andere Themen in den Mittelpunkt Eine scharfe Trennung der topografischen und von den thematischen Karten ist aber nicht möglich, da auch die Topografie des Georaums ein Thema ist.

Nach Georaum

Karten können auch nach dem auf ihnen abgebildeten Georaum geordnet werden:
- Land
  - Weltkarte
  - Landkarte
  - Stadtkarte
- Wasser
  - Seekarte
  - Flusskarte
- Himmel
  - Sternkarte

Nach Nutzergruppe


- Fachkarten
- Blindenkarte
- Schulkarte (siehe auch Stumme Karte)

Der Blattschnitt

Wenn ein größeres Gebiet kartografisch erfasst werden soll, das nicht auf einem Kartenblatt Platz findet, so wird dieses auf mehrere Blätter aufgeteilt. Dabei wird häufig ein regelmäßiges Raster verwendet, durch das diese Aufteilung vorgenommen wird. Dieses kann mit dem Gitter der Geografischen Koordinaten oder dem Koordinatnsystem der Kartenabbildung in der Ebene zusammenfallen. Dieses Raster wird als Blattschnitt bezeichnet. Siehe auch: Kartengenauigkeit,

Geschichte

Kartengenauigkeit Ab Mitte des 19. Jahrhunderts wurden topografische Karten gedruckt. Erste Aufnahmen wurden in Deutschland 1855 gemacht. Seit den 1970er Jahren hat die Speicherung von Karteninformationen auf elektronischen Datenträgern zugenommen. Siehe auch: Abschnitt Geschichte im Artikel Kartografie

Berühmte Karten


- vorchristliches Kartenwerk von Anaximander und Hekataios
- Ebstorfer Weltkarte
- Karte des Piri Reis
- Tabula Peutingeriana
- Vinland-Karte
- Dufourkarte
- Liniennetzplan der Londoner U-Bahn (Der erste Liniennetzplan mit dieser neuen Art der Darstellung.)

Kartenherstellung

Die ersten Karten wurden in Tontafel oder Tierknochen geritzt. Später konnte man sie auf Papyrus oder Pergament zeichnen, aber eine Vervielfältigung war eine mühsame Arbeit. Erst nach der Einführung der Drucktechnik im 15. Jahrhundert konnten höhere Stückzahlen gedruckt werden. Von der Karte wurde je nach Technik eine Vorlage geschaffen, die dann im Druckprozess vervielfältigt wurde. Durch verbesserte Verfahren konnten immer feinere Elemente in die Karte aufgenommen werden und auch der Mehrfarbdruck eingesetzt werden.

Holzschnitt

Der Holzschnitt, im Beginn der Kartografie noch oftmaliger Anwendung, ist aus derselben fast gänzlich verdrängt worden. Der Zeit nach reichen Holzschnitt und Kupferstich bis in das letzte Viertel des 15. Jahrhundert zurück.

Kupferstich

In ersterer Beziehung liefert der Kupferstich in Bezug auf Schärfe und Tiefe des Strichs sowie Weichheit und Feinheit der Ausführung unstreitig die schönsten Karten, durch galvanisch erzeugte Hilfsplatten unterstützt, auch in beliebiger Menge; Korrekturen sind nicht schwierig auszuführen, namentlich auf den Hochplatten, doch erfordern sie mehr Zeitaufwand und Kosten.

Stahlstich

Der Stahlstich, eingeführt ca. 1820, eignet sich für sehr große Auflagen von der Mutterplatte, wird aber, seit der Kupferstich sich die Galvanoplastik dienstbar gemacht hat, der Schwierigkeit der Plattenkorrekturen wegen kaum noch angewandt.

Lithografie

Die Lithografie datiert vom Anfang des 19. Jahrhunderts. Billiger produziert die Lithografie in Verbindung mit dem Steindruck mittels Schnellpresse, welcher die weitestgehende Ausnutzung von farbigem Druck gestattet. Im 19.Jahrhundert hat die Lithografie in Verbindung mit der Buchdruckpresse glänzende Erfolge erreicht. Indem lithografisch gravierte Karten durch Überdruck auf Zink (Chemigrafie oder Zinkografie) in Hochdruckplatten verwandelt werden, um in der Buchdruckpresse zur Benutzung zu gelangen. Auch bei dieser Art der Vervielfältigung kann farbiger Druck in ausgedehntestem Maß zur Verwendung kommen, doch ist das Verfahren nur bei sehr großen Auflagen von Vorteil, da umfassendere Korrekturen stets eine Erneuerung der Druckplatten erforderlich machen.

Weitere Reproduktionsverfahren

Kartenabdrücke jeder Art können auch durch das anastatische Verfahren reproduziert werden, doch wird man nur noch selten zu demselben greifen, seitdem man mit Hilfe der Fotografie in technischer Beziehung weit günstigere Resultate zu erlangen vermag. Denn durch Fotolithografie und Heliografie können Originalzeichnungen unmittelbar auf Stein oder Kupfer übertragen, auch je nach Wunsch verkleinert oder vergrößert werden.

Typografische Herstellung

Die typografische Herstellung (d. h. der Buchdruck mit beweglichen Lettern) von Landkarten ist öfters schon versucht (1478, 1777, 1839, 1862) und wieder verlassen worden.

Gravur

Bis in die 1990er Jahre galten die Gravierutensilien, der Leuchttisch und die Tuschefeder als Werkzeug des Kartografen. Damit konnte er die einzelnen Folien gravieren und retuschieren, die zur Herstellung der Druckplatten benötigt wurden.

Computerbasierte Herstellung

Doch die fortschreitende Entwicklung der Computertechnik ermöglichte dann den Umstieg von der analogen zur digitalen Kartenherstellung. Anfangs wurden im starken Maße Grafikprogramme (z. B. Freehand von Macromedia) eingesetzt. Im Zuge der Entwicklung kamen auch kartografische Spezialprogramme (z. B. Themak von GraS) auf den Markt. Heute werden die meisten Karten mit Hilfe von Geoinformationssystemen (z. B. ArcGIS) auf Grundlage von Geobasisdaten (beispielsweise ATKIS) und anderen Geodaten hergestellt. Die Geodäsie und die Fernerkundung liefern die Daten, die von den Kartografen dann in Karten umgesetzt werden.

Kartennutzung

Karten dienen zur Orientierung und Navigation zu Lande, im Wasser und in der Luft. Weiterhin werden sie zur Planung eingesetzt. Dabei kann man mit ihnen Entfernungen, Winkel oder Flächen messen beziehungsweise schätzen. Als Hilfsmittel können dabei dienen Kompass, Streckenteiler, Planimeter, Kurvimeter oder Lineal. Eine Karte kann je nach der zu Grunde gelegten Projekton entweder flächentreu, längentreu oder winkeltreu sein. Alle drei genannten Attribute in einer Darstellung weist nur der Globus auf. Allen Seekarten liegt eine winkeltreue Projektion zu Grunde. Diese Projektion nennt man auch Mercatorprojektion. Hier werden die beiden polnahen Regionen genauso lang wie der Äquator als Linie dargestellt. Alle Längen- und Breitengrade sind Geraden und verlaufen parallel zueinander. Auf diese Weise kann die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten als gerade Linie dargestellt werden, obwohl man auf dem Globus eine Kurve beschreibt. Diese Kartendarstellung kann deshalb nicht längentreu sein.

Sonstiges


- Es gibt einen Schmetterling mit dem Namen Landkärtchen.
- Jede Landkarte lässt sich mit 4 Farben färben, so dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Siehe auch Vier-Farben-Satz.

Siehe auch


- amtliche Karte
- Kartogramm
- kognitive Karte
- Mappa Mundi
- Portulan
- Reliefkarte
- Wikipedia:Karten

Literatur


- Gerald Sammet: Der vermessene Planet; GEO-Verlag, 350 Seiten, - Sehr schön bebildert Entwicklungsgeschichte der Karten

Weblinks


- Webkataloge und Suchmaschinen
  - [http://www.maps.ethz.ch/map_catalogue.html Katalog von Karten im Web] der ETH Zürich:
  - [http://oddens.geog.uu.nl/index.php Oddens’ Bookmarks] Umfangreiche Linksammlung zu Karten und Kartografie (engl.)
  - [http://www.landkartenindex.de/ LandkartenIndex.de] Karten Online Weltweit
  - [http://www.geometa.info geometa.info] Die Suchmaschine für Geodaten, Geodienste und Karten
- Online-Karten
  - [http://www.weltkarte.com Weltkarte.com] Online Weltkarten, Landkarten und Stadtpläne aus aller Welt.
  - [http://www.welt-atlas.de Welt-Atlas.de] Über 600 Karten aus aller Welt kostenlos online ansehen mit Informationen über die gezeigten Gebiete.
  - [http://www.planiglobe.com planiglobe] Interaktive Kartenerstellung.PostScript oder Illustrator Version downloaden, weltweite Abdeckung, gratis und lizenzkostenfrei
  - [http://www.routenplaner24.de/ Routenplaner24] Strassenkarten und Stadtpläne mehrerer europäischer Länder
  - [http://www.pdfkarte.de pdfkarte] Weltkarte und Kartenausschnitte zum Export als PDF
  - [http://www.lib.utexas.edu/maps/ Perry-Castañeda Library Map Collection] (engl.) sehr umfangreiche Online-Kartensammlung
  - [http://www.multimap.com/ Mulitmap]
  - [http://www.freeroute.de/ FreeRoute.de]
  - [http://www.mapquest.de Mapquest]
  - [http://maps.mygeo.info maps.mygeo.info] - Freie Public Domain Landkarten der Welt
  - [http://www.kartenwelten.de/index.php?id=downloadseite&no_cache=1 Karten im Vektorformat zur freien Weiterverarbeitung] (Welt, Europa, Deutschland und einige deutsche Großstädte
  - [http://www.freeworldmaps.net/ www.freeworldmaps.net] - Free World Maps
  - [http://map.search.ch/ map.search.ch] - Landkarte der Schweiz (Luftaufnahmen inkl. Strassenkarte)
  - [http://www.swissinfo-geo.org/ www.swissinfo-geo.org] - GIS der Schweiz, Ausschnitte aus Karten der Swisstopo
- GIS-Daten
  - [http://arcdata.esri.com/data_downloader/DataDownloader?part=10200 GIS Data Downloader] GIS-Daten weltweit, detaillierte Daten nicht überall verfügbar (engl.)
- Stadtpläne
  - [http://www.stadtplandienst.de Stadtplandienst.de]
  - [http://www.stadtplan.de/v_1_1/ Stadtplan.de]
  - [http://www.stadtplan.net Stadtplan.net]
  - [http://www.freemaps.de/ FreeMaps.de]
- Historische Karten
  - [http://www.dhm.uni-greifswald.de/ Digital Historical Maps (DHM)] - über 7000 historische Karten Schwedens, Dänemarks und Deutschlands
  - [http://www.ieg-maps.uni-mainz.de/ Server für digitale historische Karten (IEG-MAPS)]
  - [http://www.henry-davis.com/MAPS/ Große Sammlung historischer Karten von der Antike bis zur Neuzeit]
  - [http://historic-cities.huji.ac.il/ Sammlung historischer Stadtpläne und -ansichten der Universität Jerusalem] (engl.)
  - [http://www.davidrumsey.com/ David Rumsey Historical Map Collection] - frei zugängliche Kartensammlung von 1700-1950
  - [http://www.karten.hdbg.de/ Historische Karten] - aus den Ausstellungen des Hauses der Bayerischen Geschichte
- 3D
  - http://worldwind.arc.nasa.gov/index.html - NASA World Wind - interaktiver Globus in 3D Kategorie:Kartografie Kategorie:Dokument ja:地図

Kartenprojektion

Eine Kartenprojektion ist eine von vielen verschiedenen Methoden in der Kartographie, mit der man die gekrümmte Oberfläche der (dreidimensionalen) Erde auf die flache (zweidimensionale) Karte überträgt. Dieser Prozess der Modellbildung geschieht mit Hilfe von Abbildungsvorschriften, die man mathematisch ausdrücken kann. Manche Abbildungen kann man aber auch anschaulich graphisch oder geometrisch erklären. In der modernen Entwicklung hin zur Geodateninfrastruktur (Technologie und Terminologie) bilden Kartenprojektionen eine spezielle Gattung von Koordinaten-Referenz-Systemen und stellen dabei eine Konversionsmethode von einem mathematischen Erdmodell in die Ebene dar. Es sind über 200 verschiedene Projektionsmethoden bekannt. Bei der Nutzung von Kartenprojektion sind grundsätzlich drei Schritte notwendig: # Auswahl eines geeigneten Modells (normalerweise wählt man zwischen einer Kugel oder einem Ellipsoid) für die Form der Erde oder des abzubildenden Gegenstandes (beispielsweise anderer planetarischer Körper) # Umwandlung der geographischen Koordinaten (Länge und Breite) in ein kartesisches Koordinatensystem (x und y oder Rechtswert und Hochwert) # Skalierung der Karte (in der manuellen Kartografie kam dieser Schritt an zweiter Stelle, bei der digitalen Kartografie kann er zuletzt kommen)

Kategorien

Grundsätzlich klassifiziert man Kartenprojektionen entweder nach:
- echte / unechte (Pseudo-) Abbildungen
- der Projektionsfläche
- der Lage der Abbildungsfläche
- oder den Abbildungseigenschaften (Verzerrungseigenschaften) Viele Projektionen werden nach ihren Erfindern benannt.

Klassifikation nach Projektionsflächen

Auswahl der Projektionsfläche

Die meisten Kartenprojektionen sind keine "Projektionen" in physikalischer Hinsicht. Sie beruhen eher auf mathematischen Formeln. Um jedoch das Konzept der Kartenprojektion zu verstehen, ist es hilfreich, sich einen Globus mit einer Lichtquelle vorzustellen. Diese Lichtquelle projiziert die Punkte, Linien und Flächen des Globus auf die Oberfläche eines Hilfskörpers, die sich einfach in die Ebene abrollen lässt. Als Hilfskörper kann man entweder eine Ebene, einen Kegel, einen Zylinder oder einen anderen Körper nutzen. Durch die Projektion der Globuselemente auf diese Hilfsfläche erhält man ein flaches Abbild. Allerdings muss man bei Kegel und Zylinder vorher noch die Oberfläche in die Ebene abrollen. Grundsätzlich kann man alle Kartenprojektionen nach der Art des genutzten Hilfskörpers unterscheiden. Schließlich ist es von Bedeutung, ob die Hilfsfläche modellhaft den Globus berührt oder schneidet. Bei einer zylindrischen Abbildung berührt (in normaler Lage) die Abbildungsfläche den Globus rund um den Äquator (an dieser Stelle gibt es auch keine Verzerrungen), ein Schnittzylinder schneidet dagegen den Globus an den nördlichen und südlichen Breitenkreisen. Das Prinzip gilt für alle Abbildungshilfsflächen.

Azimutalprojektionen

Eine Azimutalprojektion berührt die Erde an einem Punkt. Viele Azimutalprojektionen sind echte perspektivische Projektionen, das heißt sie können auch geometrisch konstruiert werden. Diese Abbildungsart eignet sich besonders zur Darstellung kreisförmiger Gebiete, beispielsweise der Polgebiete.

Echte Projektionen

Bild:Stereographic_draw.png|Stereografische Projektion Bild:Gnomonic_draw.png|Gnomonische Projektion Bild:Orthographic_draw.png|Orthografische Projektion Diese sind geometrische Projektionen und besitzen ein Projektionszentrum. Folgende Projektionen sind üblich:
- Konforme azimutale Abbildung, auch Stereografische Projektion genannt, bei der das Projektionszentrum gegenüber des Berührungspunktes liegt. Sie wird u. A. wegen der Winkeltreue für Sternenkarten verwendet.
- Gnomonische Projektion, auch Zentralprojektion genannt, bei der das Projektionszentrum im Erdmittelpunkt liegt. Sie bildet alle Großkreise als Geraden ab. Daher wird sie gerne in der Navigation verwendet, um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu finden.
- Orthografische Projektion, auch Parallelprojektion genannt, bei der das Projektionszentrum im Unendlichen liegt, das heißt, die Projektionsstrahlen fallen Parallel auf die Erdkugel. Sie wird zur anschaulichen Darstellung der Erdkugel, so wie zur Darstellung anderer Himmelskörper (Mond, Planeten) verwendet, da sie den Himmelskörper so darstellt, wie er im Weltraum (aus großer Entfernung) zu sehen wäre.

Unechte Projektionen

Bild:Laengentreu_draw.png|Mittelabstandstreue Azimutalprojektion Bild:Lambert_draw.png|Lambertsche Azimutalprojektion Diese sind rein mathematisch definierte Abbildungen. Sie lassen sich in der Regel nicht mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruieren. Dafür besitzen sie spezielle Eigenschaften, die von den geometrischen Projektionen nicht erreicht werden. Verwendung finden vor allem:
- Mittabstandstreue Azimutalprojektion, bei der die Abstände vom Kartenmittelpunkt unverzerrt wiedergegeben werden. Sie wird z.B. von Funkdiensten genutzt. Die Antenne steht im Berührungspunkt, und man kann so leicht die Himmelsrichtung und die Entfernung zu seinem Funkpartner ermitteln.
- Flächentreue Azimutalprojektion nach J.H. Lambert. Sie wird u.a. verwendet bei Atlaskarten.

Kegelprojektion


- Längentreue Kegelprojektion
- Lambertsche Schnittkegelprojektion (konform)
- Albers Kegelprojektion

Pseudo-Kegelprojektion


- Bonnesche Projektion (Herzform)
- Stab-Wernersche Projektion (Herzform)

Zylinderprojektionen

Zylinderprojektionen werden mit Hilfe eines Zylinders um die Erde konstruiert.
- Mercator-Projektion
- Flächentreue Zylinderprojektion oder (Gall-)Peters Projektion
- Längentreue Zylinderprojektion, Quadratische Plattkarte und Rechteckige Plattkarte
- Miller Zylinderprojektion
- Lamberts flächentreue Zylinderprojektion Weiterhin werden beim Gauß-Krüger- und UTM-Koordinatensystem transversale Zylinderprojektionen genutzt.

Pseudo-Zylinderprojektionen

Pseudo-Zylinderprojektionen sind mathematisch konstruierte Projektionen auf denen der Mittelmeridian und alle Breitenkreise gerade Linien sind.
- Mercator-Sansonsche Zylinderprojektion
- Mollweide-Projektion von Carl Brandan Mollweide
- Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)
- Eckert IV und Eckert VI

Klassifikation nach Lage/Aspekt der Abbildungsfläche

Nachdem die Wahl des Hilfskörpers feststeht, muss nun über seine Lage entschieden werden. Zur Beschreibung nutzt man die Erdachse und die Masselinie des Hilfskörpers. Bei einer Ebene ist das die Senkrechte, bei einem Zylinder die Mittellinie und bei einem Kegel die Mittellinie durch die Spitze. Die unterschiedlichen Projektionsflächen lassen sich an beliebigen Stellen an die Kugeloberfläche anlegen. Die Wahl der Lage (= Aspekt der Abbildungsfläche) wird durch den abzubildenden Teil der Erdoberfläche bestimmt, für den die Abbildung optimiert werden soll:
- Normale Abbildungen
- Transversale Abbildungen
- Schiefachsige Abbildungen

Klassifikation nach Abbildungseigenschaften (Verzerrungseigenschaften)

Eine Karte sollte möglichst exakt das Original wiedergeben. Bei der Abbildung der Kugel auf die Ebene sind allerdings Verzerrungen unvermeidlich. Dieses Phänomen kann man sich am besten mit Hilfe einer Orange vorstellen: Selbst wenn man es schafft, diese in einem Stück zu schälen, kann man die Schale (Erdoberfläche) nur mit starkem Drücken flach bekommen (Papier) und nimmt dabei Verzerrungen in Kauf (die Schale dehnt sich, reißt oder faltet sich). Dieses Phänomen der Verzerrung lässt sich differenzialgeometrisch begründen. Zur Beschreibung der lokalen Verzerrungseigenschaften in einem Punkt wird durch die Tissot'sche Intikatrix (Verzerrungsellipse) beschrieben. Somit können sich die Länge einer Strecke, die Größe und Form einer Fläche oder der Winkel zwischen zwei Linien durch die Kartenprojektion verändern. Demzufolge kann auch der Maßstab auf einer Karte variieren. Ein populäres Beispiel ist die nahezu riesige Darstellung von Grönland bei der Zylinderprojektion. Diese Verzerrungen lassen sich niemals vollständig beseitigen. Sämtliche Kartenprojektionen enthalten mindestens eine Form dieser Verzerrungen, weshalb man sich für bestimmte Vor- und Nachteile unter diesen Abbildungseigenschaften entscheiden muss:
- längentreue (äquidistante) Abbildung - einige Strecken sind korrekt abgebildet (beispielsweise für Streckenmessungen)
- flächentreue (äquivalente) Abbildung - alle Flächen sind dem Maßstab entsprechend korrekt abgebildet (Beispiel Grönland)
- winkeltreue (konforme) Abbildung (beispielsweise zur Navigation oder für die Geodäsie)
- vermittelnde Verzerrungseigenschaften - Kompromisse zwischen Längentreue, Flächentreue oder Winkeltreue Die Längentreue kann bei ebenen Karten nur begrenzt erreicht werden: in bestimmte Richtungen oder an bestimmten Punkten. Alle echten Abbildungen sind an den Berührpunkten bzw. Schnittkreisen längentreu. Eine absolute Längetreue in allen Punkten und allen Richtungen ist nicht möglich. Bei winkeltreuen Abbildungen ist die Längenverzerrung in jede Richtung (Azimut) gleich groß. Der Globus bietet die Möglichkeit alle metrischen Eigenschaften in einem bestimmten Maßstab nahezu korrekt wiederzugeben, obwohl dem Globus i.d.R. eine Kugel als Projektionsfläche dient. Die beste Annäherung an die tatsächliche Erdform ist das Geoid, das gegenüber dem Rotationsellipsoid den Einfluss von Gebirgen und Geologie auf das Schwerefeld der Erde berücksichtigt (Abweichung d. Radius von Geoid zum Rotationsellipsoid max. 119 m). Diese Abweichungen können beim Globus jedoch vernachlässigt werden, da die Zeichenungenauigkeit bedingt durch den kleinen Maßstab i.d.R. deutlich größer ist.

Partiell längentreue Projektionen

Diese Projektionen geben die korrekte Distanz zu einem bestimmten Punkt oder einer Linie wieder
- Quadratische Plattkarte und Rechteckige Plattkarte - entlang der Meridiane
- Mittabstandstreue Azimutalprojektion - vom Mittelpunkt bzw. entlang der Radien
- Orthografische Azimutalprojektion - entlang der Kreise um den Berührpunkt
- Längentreue Kegelprojektion
- Sinusoidal Projektion
- Werner Cordiform

Flächentreue Projektionen

Diese Projektionen stellen die Größe einer Fläche (z.B. eines Kontinents) korrekt dar. Die Form kann allerdings sehr stark verzerrt werden. Insbesondere am Kartenrand neigen dies Projektionen zu starken Formverzerrungen.
- Peters-Projektion
- Gall zylindrische flächentreue Projektion
- Albers Kegel Projektion
- Lambert azimutale flächentreue Projektion
- Mollweide-Projektion von Carl Brandan Mollweide
- Hammer-Aitov-Projektion
- Briesemeister Projektion
- Sinusoidal Projektion
- Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)

Winkeltreue Projektionen

Winkeltreue Projektionen werden insbesondere bei der Navigation in der Schifffahrt und im Flugverkehr zur Erstellung von Karten benötigt, aber auch in der Kristallographie.
- Mercator-Projektion
- Stereographische Projektion

Vermittelnde Projektionen

Da keine Kartenprojektion alle Verzerrungen vollständig aufhebt, wurden einige vermittelnde Projektionen als Kompromiss entwickelt. Bei ihnen wurde versucht die Verzerrungen zu minimieren.
- Robinson Projektion
- Van der Grinten Projektion
- Miller Zylinderprojektion
- Winkels Projektion

Andere Projektionen


- Dymaxion Projektion
- Hammer-Planisphäre (eine Abbildung der gesamten Erde) usw.

Projektionen in der Praxis


- Schweizer Landeskoordinaten
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem für Deutschland und Österreich
- UTM-Koordinatensystem - Universale Transversale Mercatorprojektion (weltumspannendes Zonensystem)

Literatur


- Karlheinz Wagner, Kartographische Netzentwürfe, Bibliographisches Institut Mannheim, 2. Auflage 1962

Weblinks


- [http://www.boehmwanderkarten.de/kartographie/is_netze.html Kartennetzentwürfe (Böhm-Wanderkarten)]
- [http://www.olanis.de/knowhow/mapprj/mapprj4.shtml Kartenprojektionen mit schönen Abbildungen]
- [http://home.arcor.de/m.panitzki/html/navigation/karte.htm Kartennetzentwürfe (Seite von M. Panitzki)]
- [http://www.mapref.org Kartenprojektionen Europas (MapRef.org)] (engl./teilw. deutsche Inhalte)
- [http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/mapproj/mapproj_f.html Map Projection Overview (engl.)] - sehr umfassend
- [http://dmg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.html Mathematical Cartography]
- [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/ Hans Havlicek's Picture Gallery of Map Projections]
- [http://members.shaw.ca/ve6yp/Azimuth.html Software für die quadratische Plattkarte Azimutmap von Tony Field] Kategorie:Kartografie ja:投影法

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Kategorie:Kartografie

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Han Tzu (Hot Soup)

Hot Soup is a fictional character in Orson Scott Card's book Ender's Game and its sequels. "Hot Soup" is the nickname bestowed on the character by his classmates at Battle School; his given name is Han Tzu.

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