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Gravitationsfeld

Gravitationsfeld

Das Gravitationsfeld wird in der Newtonschen Physik als ein Vektorfeld aufgefasst. Es ordnet jedem Punkt in der Umgebung einer schweren Masse einen Feldstärkevektor zu. Der Betrag des Feldstärkevektors wird als Gravitationsfeldstärke bezeichnet. Die Gravitationsfeldstärke bewirkt eine anziehende Kraft auf beliebige schwere Massen. Sie erfahren auf Grund dieser Kraft eine Gravitationsbeschleunigung. Nach der Einsteinschen Theorie kann das Gravitationsfeld geometrisch interpretiert werden. Er beschreibt in dieser Theorie, wie sich Massen ohne den Einfluss weiterer äußerer Kräfte in der Geometrie der Raum-Zeit bewegen. In der Einsteinschen Theorie werden auch Teilchen mit der Ruhemasse Null durch ein Gravitationsfeld beeinflusst, während die Newtonsche Theorie nur die Wechselwirkung zwischen schweren Massen beschreibt. Ein Beispiel für Teilchen mit der Ruhemasse Null sind die Photonen.

Gravitationsfeldstärke

Ein Gravitationsfeld wird durch einen Körper mit der schweren Masse M erzeugt. Das Ausmessen eines Gravitationsfeldes kann mittels eines so genannten Probekörpers mit der Masse m erfolgen. Ein Probekörper ist ein Körper, dessen Masse so klein ist, dass sein eigenes Gravitationsfeld das auszumessende Feld nicht merklich stört. Im folgenden wird das Newtonsche Gravitationsgesetz für die Anziehung zwischen punktförmigen oder kugelsymmetrischen Massenverteilungen verwendet. Bezeichnet man die Masse des felderzeugenden Körpers mit M und die Masse des Probekörpers mit m, so folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz für die Kraft zwischend den beiden Körpern:

F=G\cdot\frac

. r ist der Abstand zwischen den beiden Körperschwerpunkten. F heißt Gravitationskraft. G ist die Newtonsche Gravitationskonstante. Man kann diese Formel etwas anders schreiben:

F=G\cdot\frac=\frac\cdotm=g\cdotm

mit

g=\frac

g wird als Gravitationsfeldstärke bezeichnet. Man nennt diese Größe auch den Betrag der Gravitationsbeschleunigung. Das bei der Herleitung der Gravitationsfeldstärke und Gravitationsbeschleunigung verwendet Gravitationsgesetz wurde von Newton für die Kraftwirkung zwischen Himmelskörpern verwendet, die auf Grund ihrer großen Entfernung von der Erde punktförmig oder kugelsymmetrisch erscheinen. In vielen Veröffentlichungen zur Physik beschreibt es etwas allgemeiner die Anziehung zwischen Massenschwerpunkten, oft wird dabei von der geometrischen Form der Massen abstrahiert. Will man allerdings die Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche berechnen, so muss man die lokalen Besonderheiten der Erdzusammensetzung, die Geometrie der Erde, ihre Eigenbewegungen und die Bewegungen des Erde-Mond-System berücksichtigen. Die Verteilung der Massen M innerhalb der Erde ist inhomogen, dies bedingt bereits eine unterschiedliche Feldstärke an verschiedenen Punkten der Erdoberfläche. Hinzu kommt der Effekt der Bewegung des Erde-Mond-Systems um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Hierdurch wird eine Zentrifugalbeschleunigung hervorgerufen, die der Erdbeschleunigung entgegenwirkt. Die Erde ist keine Kugel, sondern angenähert ein Rotationsellipsoid, sie ist an den Polen abgeplattet und am Äquator verdickt. Dies ruft insbesondere eine unterschiedliche Schwerebeschleunigung am Äquator und an den Polen hervor. Die Rotation der Erde bewirkt eine Verringerung der Erdbeschleunigung an der Oberfläche. Hinzu kommen weitere Eigenbewegungen der Erde, die "kleinere" Abweichungen vom theoretischen Wert der Erdbeschleunigung bewirken. Die Resultierende dieser Kräfte wird mit Gravimetern nach dem Prinzip der Federwaage gemessen. Da die Erde keine homogene Kugel ist, ist es schwierig, den genauen Abstand r vom Gravitationszentrum zu bestimmen.

Schwere Masse und träge Masse

Unter dem Einfluss des Feldes erfährt ein Körper der Masse m eine Beschleunigung a. Die Ursache dieser Beschleunigung ist die Gravitationskraft F. Die in der Gleichung F = m · a vorkommende Masse m wird als träge Masse bezeichnet. Die Kraft F in der Gleichung F = m · a heißt Newtonsche Kraft oder beschleunigende Kraft. Obwohl für beide Formeln, F = m · g und F = m · a das gleiche Symbol m verwendet wurde, handelt es sich um unterschiedliche Massen. Bezeichnet

m_s

die schwere Masse und

m_a

die träge Masse, so erhält man zwei Gleichungen
-

F=m_s\cdotg

F=m_a\cdota

Die Kraft F hat in beiden Gleichungen denselben Wert, da die Gravitationskraft die beschleunigende Kraft ist, hieraus folgt

m_s\cdotg=m_a\cdota

, und hieraus

a=\frac\cdotg

Wenn also

m_s

ungleich

m_a

ist, so unterscheiden sich g und a. Die Beschleunigungen g und a können physikalisch gemessen werden. In der Schulphysik misst man die schwere Masse

m_s

zum Beispiel mit einer Federwaage, die träge Masse

m_a

mit einer Magnetschwebebahn. Das Experiment zeigt mit großer Genauigkeit, dass

m_s = m_a

sein muss. Diese Gleichheit von träger und schwerer Masse war bereits Newton bekannt. Er hielt sie allerdings für eine zufällige Übereinstimmung. Anders in der Einsteinschen Theorie, hier wird diese Gleichheit zu einem Axiom, ohne die Gleichheit von träger und schwerer Masse ist die Allgemeine Relativitätstheorie falsch. Der Nachweis für die Gültigkeit dieser Beziehung erfolgt experimentell. Bemerkung: In der Literatur findet man oft die Aussage "Schwere und träge Masse sind äquivalent". Verwendet man die Formeln zur Berechnung der Kräfte (Gravitationskraft und Newtonsche Kraft) in der angegebenen Form (und berechnet beide Kräfte in der gleichen Einheit Newton), so folgt die Gleichheit von schwerer und träger Masse.

Das Gravitationsfeld in der Einsteinschen Theorie

Ausgangspunkt für die Gravitationstheorie nach Einstein ist die Gleichheit von schwerer und träger Masse. Diese Voraussetzung ermöglicht es, ein Gravitationsfeld lokal wegzutransformieren, d.h. die gekrümmte Raumzeit lokal durch den flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie zu ersetzen. Durch Koordinatentransformationen vom flachen Raum der speziellen Relativitätstheorie in die gekrümmte Raumzeit lassen sich Bewegungsgleichungen für Teilchen unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes aufstellen. Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen ergeben unter vereinfachten Randbedingungen (beispielsweise Homogenität, Isotropie, verschwindender Energie-Impuls-Tensor) Metrische Tensoren für bestimmte Gravitationsfelder (zum Beispiel das kugelsymmetrische Gravitationsfeld außerhalb einer Massenverteilung).

Bewegung in einem Gravitationsfeld

Teilchen, die in einem Gravitationsfeld sich selbst überlassen werden, bewegen sich entlang bestimmter Bahnen, die man als Geodäten (geodätische Linie) bezeichnet. Man kann diese Bewegungen als eine Verallgemeinerung der kräftefreien Bewegung der Newtonschen Physik betrachten. Die Kräftefreiheit äußert sich darin, dass für einen fiktiven Beobachter, der auf einem massiven Teilchen sitzt, das Gravitationsfeld verschwunden ist. Massive Teilchen sind beispielsweise Elektronen, Protonen, masselose Teilchen sind die Photonen. In Analogie betrachte man einen frei fallenden Fahrstuhl. In Relation zur Größe des Gravitationsfeldes der Erde kann man den Fahrstuhl als Teilchen betrachten, in einer Umgebung des Fahrstuhls ist das Gravitationsfeld in etwa homogen. Für einen Passagier im Innern des Fahrstuhls ist das Gravitationsfeld verschwunden, er kann sich in seinem Fahrstuhl kräftefrei bewegen. Man beschränkt sich auf die Beschreibung der Bewegung von Teilchen, da größere Materiestücke in einem Gravitationsfeld zerrissen werden können (auf Grund der Inhomogenität des Gravitationsfeldes wirken Gezeitenkräfte. Man erklärt sich auf diese Weise zum Beispiel das Zustandekommen der Saturnringe. Wäre das Materiestück eine große Staubwolke, so würden sich die einzelnen Bestandteile entlang unterschiedlicher Geodäten bewegen. Dieser Unterschied im Verlauf benachbarter Geodäten heißt geodätische Abweichung. Damit ein zusammenhängendes Materiestück nicht zerrissen wird, ist daher eine Kraft erforderlich, die es zusammenhält. Diese Kraft hat als Ursache i.A. die elektrische Kraft. Die Gestalt spezieller Gravitationsfelder im Rahmen der Einsteinschen Theorie wird in dem Artikel Tensordarstellungen spezieller Gravitationsfelder beschrieben.

Siehe auch

- Gravitation
- Geoid
- Geodäsie
- Gravimetrie (Geophysik)
- Erdschwerefeld
- Physik Kategorie:Gravitation

Newton

Der Begriff Newton bezeichnet
- die Einheit der Kraft, siehe Newton (Einheit)
- als Kurzbezeichnung das Newton-Teleskop
- eine Interferenzerscheinung, die Newtonringe
- eine Oberflächenstruktur, Anti-Newton
- einen Handcomputer (Personal Digital Assistant, kurz: PDA) der Firma Apple Computer, siehe Newton (PDA)

Personen namens Newton

- Sir Isaac Newton, britischer Philosoph, Mathematiker und Mediziner
- Helmut Newton, Fotograf
- John Newton, britischer Seemann und Sklavenhändler, später Prediger und Kämpfer gegen die Sklaverei, Dichter von »Amazing Grace«

Orte namens Newton

In den USA

- Newton (Alabama)
- Newton (Georgia)
- Newton (Illinois)
- Newton (Iowa)
- Newton (Kansas)
- Newton (Massachusetts)
- Newton (Mississippi)
- Newton (New Hampshire)
- Newton (New Jersey)
- Newton (North Carolina)
- Newton (Pennsylvania)
- Newton (Texas)
- Newton (Wisconsin)
- Newton Township (Michigan) ja:ニュートン (曖昧さ回避) ko:뉴턴 (동음이의)

Schwere Masse

Der Begriff der trägen Masse eines Objektes bezieht sich auf den Widerstand, den das Objekt seiner Beschleunigung a entgegenstellt (Trägheit). Diese Masse m_tr tritt in der Klassischen Mechanik im Newtonschen Kraftgesetz :

F = m_ \cdot a

auf. Der Begriff der schweren Masse m_sch bezieht sich auf die gravitative Massenanziehung der beobachteten Objekte. Sie tritt in dem vom obigem Kraftgesetz unabhängig formulierten Newtonschen Gravitationsgesetz auf. Das empirisch von Newton gefundene Gesetz drückt aus, wie stark sich zwei schwere Objekte, mit den schweren Massen m_sch,1 und m_sch,2 im Abstand r voneinander, durch die Gravitation gegenseitig beeinflussen, d.h. welche Kräfte wirken: :

F = G \, \frac

Zur Verdeutlichung dieser nicht ganz offensichtlichen Differenzierung mag folgende Analogie dienen: Ein geladenes Objekt - z.B. ein geladener Eisenkörper - erfährt im elektrischen Feld eine Kraft. Diese Kraft, die der Körper erfährt, ist von seiner eigenen Ladung abhängig. Seine Bewegungsreaktion, d.h. wie stark er seine Bewegung verändert, wird dagegen durch seine träge Masse bestimmt. Wenn man in dieser Analogie die Ladung durch die schwere Masse ersetzt, wird die unterschiedliche Rolle von träger und schwerer Masse deutlich. Da beide Gesetze (Kraftgesetz, Newtonsches Gravitationsgesetz) auf voneinander unabhängige Grundaxiome basieren, ist nicht von vorneherein klar, dass beide Massen äquivalent sind. Präzisionsmessungen haben diese Gleichheit im Rahmen der heute erreichten Messgenauigkeit gezeigt. In der Allgemeine Relativitätstheorie postulierte Albert Einstein die Äquivalenz von schwerer und träger Masse. Ein Experiment oder eine Beobachtung, das die Äquivalenz von träger Masse und schwerer Masse widerlegt, würde daher die Allgemeine Relativitätstheorie in Frage stellen. Erste Versuche zu träger und schwerer Masse machten bereits 1689 Newton und Bessel (1832) in Form von Pendelversuchen. Weitere Untersuchungen wurden 1922 von dem ungarischen Physiker Eötvös in dem nach ihm benannten Eötvös-Experiment durchgeführt, welches 1964 von Roll, Krotkov & Dicke in Princeton und 1972 von Braginsky & Panov in Moskau in verbesserter Form wiederholt wurde. Quantitativ werden solche Messungen zur Äquivalenz von träger und schwerer Masse durch das sog. Eötvös-Verhältnis

\eta\equiv\frac

beschrieben, wobei

a_1

und

a_2

die gemessenen Beschleunigungen zweier unterschiedlicher Testkörper darstellen. Während die klassischen Pendelversuche von Newton und Bessel eine Obergrenze von

\eta < 10^

erreichten, verbesserten die Torsionspendelversuche von Eötvös (1922) diese Grenze auf

\eta < 10^

. Schärfere Obergrenzen lassen sich durch Satellitengestützte Experimente wie z.B. die STEP-Mission erzielen. Hierbei werden die relativen Beschleunigungen von im Orbit befindlichen, frei fallenden Testkörpern mit unterschiedlicher chemischer Zusammensetzung gemessen was zu einer erwarteten Genauigkeit von

\eta < 10^

führen soll. Kategorie:Mechanik Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie

Einstein

Unter dem Namen Einstein sind folgende Personen bekannt:
- Albert Einstein, Physiker und Nobelpreisträger, (
- 14. März 1879 in Ulm, Deutschland; † 18. April 1955 in Princeton, USA);
- Hans Albert Einstein, Professor of Hydraulic Engineering, Sohn von Albert Einstein und seiner ersten Frau Mileva Maric;
- Alfred Einstein, Musikwissenschaftler, Vetter von Albert Einstein;
- Carl Einstein, deutscher Kunsthistoriker und Schriftsteller.

Außerdem:
- Name der Kinderserie „Schloss Einstein“ auf dem Kinderkanal
- Einstein-Observatorium ist die Bezeichnung eines Röntgenteleskops der NASA.
- Einsteinium ist ein chemisches Element.
- Einstein würfelt nicht ist das offizielle Begleitspiel einer Wanderausstellung zum Einstein-Jahr 2005.
- Einstein Kaffee ist eine Kaffeerösterei in Berlin mit einer Vielzahl von Stehcafés bzw. Coffee-Shops sowie zwei Kaffeehäusern in Berlin.
- Einstein als physikalische Einheit
- Einsteinkoeffizienten
- Einsteintemperatur
- Einsteinturm, ein Observatorium auf dem Telegrafenberg in Potsdam als:Einstein ko:아인슈타인 (동음이의)

Masse (Physik)

Die Masse ist eine Grundgröße der Physik. Sie beschreibt, klassisch betrachtet, einerseits das Bestreben eines Körpers seinen Bewegungszustand nicht zu verändern (Trägheit), andererseits quantifiziert sie eine Anziehungskraft, also das Vermögen, den Bewegungszustand anderer Massen zu beeinflussen (Gravitation).

Definition

Über den Zusammenhang zwischen Masse und Trägheit könnte die Masse auf einen Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung zurückgeführt werden, und als abgeleitete Größe definiert werden. Im üblichen Größenkanon der Physik wird die Masse jedoch nicht als abgeleitete Größe eingeführt, sondern als Grundgröße definiert¹. Diese folgt durch Festlegung einer Referenzmasse, die die zugehörige SI-Basiseinheit Kilogramm (kg) definiert: Das Kilogramm ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps². Eine Messung ist ohne Rückbezug auf andere Größen möglich, alleine durch Vergleich mit der Referenzmasse. Neben der Trägheit ist mit der Masse auch das Gewicht verbunden, d.h. ist die Masse die Quelle der Gravitationskraft: :

F = -G\frac

, wobei

m

und

M

die beteiligten schweren Massen im Abstand

r

sind.

G

ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante, die die Stärke der Gravitation beschreibt. Die Äquivalenz von träger und schwerer Masse ist in der klassischen Mechanik eine empirische, nicht weiter begründbare Feststellung. Sie führt dazu, dass Körper im Gravitationsfeld (im Vakuum) unabhängig von ihrer Masse stets gleich schnell fallen. Der Legende nach soll Galileo Galilei dieses Gesetz gefunden haben, indem er Gegenstände vom schiefen Turm in Pisa fallen ließ. #Bei der Wahl, dass es sich bei der Masse um eine Grundgröße, und bei der Kraft um eine abgeleitete Größe handelt, handelt es sich um eine willkürliche Festlegung. #Die Masse des internationalen Kilogrammprototyps orientiert sich ursprünglich an der von einem Kubikdezimeter Wasser maximaler Dichte (bei 3,98 °C). Genauere Messungen zeigten jedoch, dass die Masse des Kilogrammprototyps nicht exakt der von einem Kubikdezimeter Wasser bei 3,98 °C entspricht.

Newtonsche Mechanik

Die Masse ist galilei-invariant, d.h. im Wesentlichen, dass sie unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Die Massenträgheit wird durch die Impulserhaltung beschrieben. Der Impuls

\vec p

ist in der klassischen Mechanik definiert als das Produkt aus Masse

m

und Geschwindigkeit

\vec v

: :

\vec p=m\vec v

. Um den Impuls einer Masse zu verändern muss eine Kraft auf sie ausgeübt werden. Zwischen Masse

m

, Beschleunigung

\vec a

und der Kraft

\vec F

besteht der Zusammenhang: :

\vec F=m\vec a

Spezielle Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie treten an Stelle der newtonschen trägen Masse unterschiedliche Größen auf, je nachdem, welche ihrer Eigenschaften aus der newtonschen Mechanik als Vorbild dienen sollen: # dass sie eine dem Körper an sich zukommende, insbesondere geschwindigkeitsunabhängige, Eigenschaft eines Körpers ist, die seine Trägheit charakterisiert, # der Zusammenhang p=mv zwischen Impuls und Geschwindigkeit, oder # der Zusammenhang F=ma zwischen Kraft und Beschleunigung im Trägheitsgesetz.

Nichtlineare Abhängigkeit des Impulses von der Geschwindigkeit

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls allerdings nicht mehr proportional zur Geschwindigkeit, und somit das Verhältnis zwischen Impuls und Geschwindigkeit selbst abhängig von der Geschwindigkeit. Der Zusammenhang lautet :

p = \frac\cdot v = m_0\gamma\cdot v

, mit

\gamma = \frac

Hierbei ist

m_0

eine geschwindigkeitsunabhängige Eigenschaft des Körpers, übernimmt also die erste der oben genannten Eigenschaften. Sie wird historisch Ruhemasse, in moderner Sprechweise auch invariante Masse oder einfach Masse genannt. Mit der Masse eines Objekts ist heute stets diese Größe gemeint.

Äquivalenz von Masse und Energie

Die Größe

m_0\gamma

, die das Verhältnis zwischen Masse und Geschwindigkeit beschreibt, wird als relativistische Masse bezeichnet. Für diese Größe gilt die berühmte Gleichung :

E = m(v) \cdot c^2 = \frac = m_0c^2\gamma

Seit Albert Einstein weiß man, dass Masse und Energie gemäß dieser Formel ineinander umgewandelt werden können, bzw. dass Masse und Energie einander äquivalent sind. Außer bei der Kernspaltung, der Kernfusion und bei verschiedenen Experimenten der Elementarteilchenphysik ist jedoch die mit Energieänderungen des Systems einhergehende Massendifferenz weit unterhalb der Messgenauigkeit. Mit dem Trägheitsgesetz ist es noch komplizierter: Hier hängt die Masse nicht nur von der Geschwindigkeit, sondern auch noch vom Winkel zwischen Geschwindigkeit und Kraft ab. Dies hat anfangs zu den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse geführt (für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung und senkrecht dazu), die aber heute nicht mehr verwendet werden. Eine Folge ist jedoch, dass in der Relativitätstheorie die Beschleunigung nicht immer in die Richtung der Kraft erfolgt. Da die spezielle Relativitätstheorie nicht die Gravitation behandelt, ist eine schwere Masse in ihr nicht definiert.

Allgemeine Relativitätstheorie

Das Äquivalenzprinzip ist Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (ART). In ihr wird die Bewegung der Körper im Gravitationsfeld nicht durch eine Kraft, sondern durch die Krümmung der Raumzeit beschrieben. Jeder gravitierende Körper bewegt sich in der Raumzeit geradeaus (genauer: auf einer Geodäte). Aus der Grundgleichung der ART

G_ \sim T_

folgt, dass die Krümmung des Raumes, beschrieben durch den Einstein-Tensor

G_

, proportional zum Energie-Impuls-Tensor

T_

ist. Dieser hängt von der in dem betrachteten Raum befindlichen Materie ab und in seine Definition geht u.a. die Energie und der (Strahlungs-)Druck der betrachteten Materie ein. Die Definition einer Masse ist in der ART in stark gekrümmten Räumen nicht mehr ohne weiteres möglich und es existieren verschiedene mögliche Definitionen. Eine häufig verwendete Definition ist die ADM-Masse, die für asymptotisch flache Raumzeiten anwendbar ist. Eine Krümmung des Vakuums wird hier mit in Betracht gezogen, Schwarze Löcher haben z.B. eine ADM-Masse. Eine Reduktion der ART auf den Newton'schen Fall erhält man bei einer Näherung für geringe Krümmung.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen (und damit der Masse jedes Objektes) durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Dieser beinhaltet die Wechselwirkung aller massiven Elementarteilchen mit dem so genannten Higgs-Boson, ein bisher noch unbeobachtetes skalares Elementarteilchen.

Vielfaches einer Masse

In der klassischen Mechanik gilt: Werden n Körper von gleicher Masse zusammengefügt, entsteht ein Körper n-facher Masse. Die Summe aller Massen ist eine Erhaltungsgröße. In der Relativitätstheorie gilt dies aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie nicht mehr. Ziehen sich zwei Körper an, so ist ihre gemeinsame Masse kleiner als die Summe ihrer Einzelmassen. Für normale Objekte ist dieser Effekt weit jenseits der Messungenauigkeit, jedoch ist für die Masse eines Atomkerns deutlich kleiner als die Summe der Masse der Nukleonen, aus denen er zusammengesetzt ist. Man spricht vom Massendefekt des Kerns. Umgekehrt trägt auch die kinetische Energie der Teile eines insgesamt ruhenden Körpers (z.B. Wärmeenergie) – nicht aber die kinetische Energie des Gesamtkörpers aufgrund seiner Schwerpunktsbewegung – zu seiner Masse bei. In diesem Fall ist die Gesamtmasse größer als die Summe der Einzelmassen. Auch dieser Effekt ist für makroskopische Objekte weit unterhalb der Messgenauigkeit, allerdings ist die Masse der Nukleonen wesentlich kleiner als die Summe der Massen der Quarks, aus denen sie zusammengesetzt sind.

Messung

Die Messung der Masse erfolgt prinzipiell durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie in einem gleichstarken Gravitationsfeld die gleiche Gewichtskraft erfahren, dies kann gemessen werden durch eine Balkenwaage. Die Stärke des Gravitationsfeldes ist prinzipiell unerheblich, es muss nur an den Orten der beiden Massen gleich sein, und ungleich null. Statt Vergleich der Gravitationskraft kann die Masse auch durch Vergleich der Massenträgheit gemessen werden. Indirekt kann die Masse auch durch Messung der Kraft

\vec F

gemessen werden, die eine Masse in einem Gravitationsfeld erfährt, oder die zu einer definierten Beschleunigung einer Masse notwendig ist. Bei der Messung über die Gewichtskraft ist, anders als beim direkten Vergleich zweier Gewichtskräfte, die Kenntnis des Gravitationsfeldes am Ort der Messung notwendig.

Größenordnungen

Die folgende Aufstellung soll helfen, ein Gefühl für die Größenordnungen von Massen zu erhalten. (Die Werte sind nicht exakt):

Umgangssprache

In der Umgangssprache wird sehr oft die Masse mit dem Gewicht verwechselt. "Wieviel wiegst Du?" -- "Ich? 75 Kilogramm." "'Wie schwer bist du?' -- 'Ich? 75 Kilogramm.'" ist dagegen korrekt, es wird nach der schweren Masse gefragt. Wenn man statt "Gewicht" von "Gewichtskraft" spricht, ist der Unterschied zur Masse deutlicher: eine Gewichtskraft erfährt ein Körper, wenn ein anderer Körper in der Nähe ist (meistens ein Himmelskörper) - die Gewichtskraft hängt vom Ort ab und ist keine "persönliche" Eigenschaft des Körpers, die Masse hängt dagegen vom Körper ab, von der Anzahl der Atome und ist überall gleich. Ein Körper ist schwerelos, wenn er keine Gewichtskraft erfährt (Weltall). Bei Architekten setzt sich die Bezeichnung 'Massenermittlung' für eine Volumenbestimmung langsam durch.

Siehe auch

Kraft (Physik) Außerhalb der Physik gibt es auch noch andere Bedeutungen des Begriffs Masse.

Weblinks

- [http://jumk.de/calc/gewicht.shtml Umrechnung von englischen und amerikanischen Masse-Maßen in metrische Einheiten]
- [http://www.engnetglobal.com/tips/convert.asp?catid=3 Umrechnung: Milligramm oder Mikrogramm in Kilogramm, Masse von Wasser, Raummaße und Hohlmaße - 1 Kilogramm Wasser = 1 Kubikdezimeter = 1 Liter]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m10_masse-gew-g.htm Versuche und Aufgaben zur Masse] Kategorie:Physikalische Größe ja:質量 ko:질량 ms:Jisim simple:Mass th:มวล

Feld (Physik)

In der Physik spielt der Begriff Feld eine zentrale Rolle. Ein Feld besteht aus einem Raum, der leer oder stofferfüllt sein kann, und messbaren physikalischen Eigenschaften, die jedem Raumpunkt zugeordnet werden können. Die physikalischen Größen können auch mehrkomponentig sein, wie bei der Geschwindigkeit. Diese physikalischen Größen nennt man Feldgrößen.

Beispiele

Man verwendet den Feldbegriff in allen Zweigen der Physik. Beispiele sind
- Elektrisches Feld
- Magnetfeld
- Kraftfeld
- Schallfeld
- Temperaturfeld
- Geschwindigkeitsfeld
- Dichtefeld

Motivation des Begriffs

Die Motivation zur Einführung des Feldbegriffs liegt # einerseits in der einfacheren Beschreibung physikalischer Vorgänge in Vielteilchensystemen. Statt alle Orte und Geschwindigkeiten der Einzelteilchen angeben zu müssen, ermöglicht die Feldbeschreibung eine elegante Methode, Temperatur und Dichte eines Gases oder einer Flüssigkeit zu behandeln. #andererseits in der Beachtung der Nahwirkung, die wegen der endlichen Übertragungsgeschwindigkeit physikalischer Ereignisse und Wechselwirkungen in Betracht gezogen werden muss. Das Feld besteht dann aus nicht weiter reduzierbaren physikalischen Größen, wie im elektromagnetischen Feld und im Gravitationsfeld.

Einteilung der Felder

Eine andere Einteilung von Feldern ist ihre mathematische Natur:
- Skalarfelder haben Skalare als Feldgrößen, wie die Massedichte und die Temperatur
- Vektorfelder haben Vektoren als Feldgrößen, wie die elektrische Feldstärke und die Kraft (Physik)
- Tensorfelder haben Tensoren als Feldgrößen, wie die Elastische Spannung
- Spinorfelder haben Spinoren als Feldgrößen, wie die Stromdichte in relativistischer Feldbeschreibung (Dirac-Feld); auch Felder mit Spinoren höherer Ordnung sind beschreibbar
- statische Felder besitzen Feldgrößen, die zeitunabhängig sind
- stationäre Felder besitzen Feldgrößen, die eine stationäre Strömung einer Flüssigkeit beschreiben
- quasistationäre Felder besitzen Feldgrößen, deren zeitliche Veränderung vernachlässigbar ist.

Anwendung

Im praktischen Umfeld finden die Vektorfelder die größte Verbreitung. Sie können besonders anschaulich mit Hilfe von Feldlinien beschrieben werden, deren Tangenten in jedem Raumpunkt die Richtung der Feldgrößen (Vektoren) darstellen. Die Feldstärke, also die Beträge der Feldvektoren in den Raumpunkten, werden durch die Dichte der Feldlinien dargestellt. Solche Feldlinien können in Experimenten verdeutlicht werden, man denke an das magnetische Feld, dessen mittels Eisenfeilspänen dargestellt werden kann.

bild:Bar magnet.png
Feldlinien eines
Stabmagneten

Feldlinien können von bestimmten Punkten im Raum ausgehen (den Quellen) und in anderen Punkten verschwinden (den Senken), solche Felder heißen Quellenfelder. Beispiel hierfür ist das elektrostatische Feld einer positiven und negativen elektrischen Ladung. Feldlinien anderer Felder können nur in sich geschlossen auftreten. Man spricht dann von einem Wirbelfeld. Beispiel hierfür ist das magnetostatische Feld eines Kreisstroms. Siehe auch: Teilchen Kategorie:Theoretische Physik Kategorie:Elektrodynamik Kategorie:Elektrotechnik

Gravitation

Die Gravitation bezeichnet das Phänomen der gegenseitigen Anziehung von Massen. Sie ist die Ursache der irdischen Schwerkraft oder Erdanziehung, die die Erde auf Objekte ausübt. Sie bewirkt damit beispielsweise, dass Gegenstände zu Boden fallen. Die Gravitation bestimmt auch die Bahn der Erde und der anderen Planeten um die Sonne, und sie spielt eine bedeutende Rolle in der Kosmologie.

Einführung

Die Gravitation wurde erstmals von dem britischen Physiker und Mathematiker Isaac Newton mathematisch beschrieben. Das von ihm formulierte newtonsche Gravitationsgesetz war die erste physikalische Theorie, die sich in der Astronomie anwenden ließ. Es bestätigt die bereits zuvor entdeckten keplerschen Gesetze der Planetenbewegung und damit ein grundlegendes Verständnis der Dynamik des Sonnensystems mit der Möglichkeit präziser Vorhersagen bezüglich der Bewegung von Planeten, Monden und Kometen. In der 1916 von Albert Einstein aufgestellten allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation auf eine Krümmung der Raumzeit zurückgeführt, die unter anderem durch die beteiligten Massen provoziert wird. Das newtonsche Gravitationsgesetz ergibt sich dabei als nichtrelativistischer Grenzfall für die Situation hinreichend schwacher Raumzeitkrümmung, wie sie beispielsweise in unserem Planetensystem herrscht. Die korrekte Beschreibung von Neutronensternen und schwarzen Löchern oder die Erklärung der Periheldrehung des Merkur sind aber der allgemeinen Relativitätstheorie vorbehalten. Die Gravitation ist die schwächste der vier bekannten Grundkräfte der Physik. Aufgrund ihrer unbegrenzten Reichweite und des Umstandes, dass sie sich nicht abschirmen lässt, ist sie dennoch die Kraft, die die großräumigen Strukturen des Kosmos prägt. Sie spielt daher in der Kosmologie eine entscheidende Rolle.

Das newtonsche Gravitationsgesetz

Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die Gravitationskraft

F

, mit der sich zwei Massen

m_1

und

m_2

anziehen, proportional zu den Massen beider Körper, der Gravitationskonstanten

G

und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes

r

der Massenschwerpunkte ist: :

F = G\,\frac

wobei :

G = (6,6742\pm 0,0010) \cdot 10^\;\mathrm

. Danach ist die Gravitationskraft eine Wechselwirkung, die auch wie im Falle der Anziehung zwischen Erde und Sonne durch das Vakuum wirkt. Man bezeichnet sie als Fernwirkungskraft, die sich mittels Kraftfeldern beschreiben lässt. Im Rahmen der newtonschen Physik wird dabei angenommen, dass sich Veränderungen des Feldes durch Bewegungen der Massen instantan im Raum ausbreiten. Aus dem newtonschen Gravitationsgesetz folgt, dass die Gravitation an einem Punkt einer sphärisch symmetrischen (kugelförmigen) Massenverteilung im Abstand r von ihrem Schwerpunkt stets so groß wie die Gravitation einer Punktmasse in diesem Schwerpunkt ist, deren Masse gerade der Teil der Gesamtmasse entspricht, der sich innerhalb der Kugel mit dem Radius r befindet. Innerhalb einer homogenen Kugel bedeutet das, dass die Gravitationskraft proportional zum Abstand vom Mittelpunkt ist. Die Gravitation einer homogenen Kugel im Vakuum ist daher an ihrer Oberfläche am größten. Das gilt auch für die Erde.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie werden Raum und Zeit als Einheit beschrieben, die als Raumzeit bezeichnet wird. Diese Raumzeit wird lokal durch die Anwesenheit von Massen gekrümmt. Ein Gegenstand, auf den keinerlei Kraft ausgeübt wird, bewegt sich zwischen zwei Punkten der Raumzeit stets entlang des geradlinigsten Weges, einer so genannten Geodäte. Die Gravitation lässt sich auf diese Weise auf ein geometrisches Phänomen in einer gekrümmten Raumzeit zurückführen. In diesem Sinne reduziert die allgemeine Relativitätstheorie die Gravitationskraft auf den Status einer Scheinkraft. In der Relativitätstheorie wird die Gravitation zwischen zwei Massen damit über die lokale Krümmung der Raumzeit vermittelt, wobei sich Änderungen nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Die Gravitation hat daher den Status einer Nahwirkungskraft. Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation bedingt bei Systemen beschleunigter Massen die Existenz von Gravitationswellen.

Gravitation und Quantentheorie

Falls die Gravitation durch eine Quantenfeldtheorie beschreibbar ist (Quantengravitation), sollte das Graviton, ein bislang noch nicht nachgewiesenes, hypothetisches Teilchen, existieren. Das Graviton hätte dann eine dem Photon der elektromagnetischen Wechselwirkung analoge Rolle.

Literatur

- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, Freeman, 23rd Printing 2000, ISBN 0-7167-0344-0 (englisches Standardwerk für Physiker)
- Claus Kiefer:Gravitation, Fischer kompakt, 2002; ISBN 3-596-15357-3

Siehe auch

- Gewicht
- Träge Masse
- Wurfparabel
- Gravitationsfeld
- Schwerelosigkeit
- Gravitationswelle
- Einsteinsche Feldgleichungen
- Erdbeschleunigung
- Ortsfaktor
- Erdmessung
- Physikalische Konstanten
- Beschleunigung
- Oberflächenbeschleunigung

Weblinks

- [http://www.aei.mpg.de Max-Planck-Institut für Gravitations-Physik]
- [http://www.geo600.uni-hannover.de GEO 600 Home Page (Hannover)]
- [http://www.zeit.de/2003/02/N-Naturkonstanten Newtons Gravitationskonstante]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/U_materialien/leifiphysik/web_ph11/materialseiten/m10_gravitation.htm Versuche und Aufgaben zum Gravitationsgesetz] Kategorie:Gravitation Kategorie:Himmelsmechanik Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie Kategorie:1666 ja:重力 zh-min-nan:Tāng-le̍k

Kraft

Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Fachbegriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit, Körper zu beschleunigen oder zu verformen. Als physikalische Größe wird Kraft durch das Formelzeichen F (von frz./engl. force) bezeichnet. Ihre Einheit ist das Newton (N), zu Ehren von Sir Isaac Newton, der mit seinen Bewegungsgesetzen den modernen physikalischen Kraftbegriff schuf.

Wort- und Begriffsgeschichte

Das Wort Kraft ist altgermanischen Ursprungs; im Englischen hat craft infolge der Konkurrenz durch Altfrz. force eine eingeengte Bedeutungsentwicklung genommen. In der physikalischen Fachsprache ist Kraft spätestens im 17ten Jahrhundert mit Lat. vis, Frz. force gleichgesetzt worden (Kant: Von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte, 1747). Jenseits der Physik hat force im Engl. und Frz. breitere Bedeutungen als im Dt. und kann auch als Macht oder Stärke übersetzt werden (la force militaire d'un pays; la force du vent). Das griechische Wort für Kraft, δύναμις, lag der CGS-Einheit dyn zugrunde und lebt fort in Dynamik, was als physikalischer Fachbegriff die Lehre von der Bewegung unter dem Einfluss von Kräften bezeichnet. Im Deutschen bezeichnet Kraft eine körperliche oder geistige Voraussetzung zu bestimmten Handlungen (Muskelkraft; Krafttraining). In der zweiten Bedeutung – der Ausführung der Tätigkeit selbst (eine Kraft ausüben; unter der Kraft zusammenbrechen) kommt die Alltagsvorstellung von Kraft dem physikalischen Fachbegriff nahe. Der umgangssprachliche Kraftbegriff umfasst jedoch auch die Arbeitskraft oder die Schreibkraft. Der Begriff wurde früh auch auf Nichtlebendiges übertragen, so in Heilkraft (getrockneter Kräuter oder eines bestimmten Wassers). In der Rechtssprache bedeutet Kraft seit dem Mhd. Gültigkeit, heute nur noch in bestimmten Formeln: in/außer Kraft bleiben/treten/setzen, vgl. rechtskräftig. Aus in/durch Kraft entstand die Präposition kraft (kraft Amtes). Als physikalischer Fachbegriff wurde Kraft von Archimedes eingeführt und von Galilei aufgegriffen. Isaac Newton gelang es in seinen Bewegungsgesetzen (veröffentlicht 1687) den Begriff Kraft in bis heute gültiger Weise zu präzisieren. Bis weit ins 19te Jahrhundert benutzten Physiker das Wort Kraft jedoch auch in Bedeutungen, die nicht durch die newtonschen Gesetze gedeckt waren, und zwar insbesondere auch in der Bedeutung von Energie, denn der moderne Energiebegriff wurde erst mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (Julius Robert von Mayer, 1842) geschaffen. Während die Kraft wie auch die Energie in der Physik von Newton über ihre Ursachen und Wirkungen differenziert betrachtet wird (Reibungskraft, Fliehkraft, Schwerkraft, kinetische Energie, potentielle Energie, Wärmeenergie usw.), unterscheidet die moderne Physik noch vier Grundkräfte und nennt sie auch Wechselwirkungen:
- Elektromagnetische Wechselwirkung
- Schwache Wechselwirkung
- Starke Wechselwirkung
- Gravitation Die Erscheinungen, die durch den Magnetismus und "magnetische Kräfte" beschrieben werden, sind lediglich ein relativistischer Nebeneffekt elektrischer Ströme. Alle newtonschen Kräfte lassen sich auf diese vier zurückführen. Eine wahrscheinliche Hypothese geht davon aus, dass auch sie in Wirklichkeit nur verschiedene Ausprägungen der selben Sache sind. Allerdings ist es bisher erst gelungen, die Elektromagnetische und die Schwache Wechselwirkung einheitlich zu erklären ("Elektroschwache Wechselwirkung").

Wirkung und vektorieller Charakter von Kraft

Kräfte erkennt man an ihren Wirkungen:
- Eine Kraft kann die Geschwindigkeit oder Bewegungsrichtung eines Körpers ändern.
- Eine Kraft kann einen Körper verformen (Deformation).
Davon gibt es zwei Arten: #Elastizität: Fähigkeit von Stoffen, eine Formänderung rückgängig zu machen, sobald die einwirkende Kraft wegfällt. #Plastizität (Duktilität): Vermögen eines Werkstoffes, seine Gestallt beizubehalten, die durch eine Krafteinwirkung entstanden ist. Um eine Kraft zu beschreiben, genügt es nicht, Zahlenwert und Einheit anzugeben; wichtig ist auch die Richtung, in die die Kraft wirkt:
- Wenn die Kraft in die gleiche Richtung zeigt wie die Geschwindigkeit des Körpers, auf den sie wirkt, beschleunigt sie ihn (Beschleunigung). Wenn die Kraft der Geschwindigkeit entgegengesetzt ist, bremst sie ihn ab. Bei jedem anderen Winkel zwischen Kraft und Geschwindigkeit bewirkt die Kraft auch eine Richtungsänderung (Querbeschleunigung).
- Die Verformung eines Körpers kommt genau genommen nicht durch eine einzelne Kraft zustande, sondern dadurch, dass an verschiedenen Angriffspunkten verschiedene Kräfte wirken (Spannung). Je nachdem, wie diese Kräfte gerichtet sind, wird der Körper gedehnt, komprimiert oder verzerrt. Eine physikalische Größe, die wie die Kraft erst durch die Angabe von Zahlenwert, Einheit und Richtung festgelegt ist, nennt man eine vektorielle Größe. Solche Größen kann man als Pfeile darstellen. In einem kartesischen Koordinatensystem hat ein Kraftvektor drei Komponenten: :F = (F_x; F_y; F_z) Hier und im Folgenden kennzeichnen wir Vektoren durch Fettdruck. Um beispielsweise die Gewichtskraft F_G zu beschreiben, mit der ein Körper der Masse m von der Erde angezogen wird, wählt man ein Koordinatensystem mit vertikaler z-Achse und erhält (mit der Erdbeschleunigung g) :F_G=(0; 0; m · g). Um mechanische Spannungen zu beschreiben, muss man Kraft sogar als ein vektorielles Feld auffassen: in jedem Angriffspunkt, bezeichnet durch den Ortsvektor r, kann prinziell eine andere Kraft F(r) herrschen.

Kraft in den newtonschen Gesetzen

Zum vektoriellen Charakter der Kraft gehört, dass sich entgegengerichtete Kräfte nach den Regeln der Vektoraddition aufheben können. Ist das der Fall, herrscht ein Kräftegleichgewicht. Ein Körper bewegt sich geradlinig, solange die auf ihn wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sind. Insbesondere bleibt ein ruhender Körper in Ruhe. Auf diesem ersten newtonschen Axiom beruht die gesamte Statik. Nach dem zweiten newtonschen Axiom bewirkt eine Kraft F, die auf einen freien Körper ausgeübt wird, eine Änderung von dessen Impuls p: in jedem infinitesimal kurzen Zeitraum dt ändert sich der Impuls des Körpers um dp gemäß :F = d p / d t. Der Impuls eines Körpers hängt über p = m v mit Masse m und Geschwindigkeit v zusammen; da die Masse des Körpers in den meisten Anwendungen konstant bleibt (bekannte Ausnahme: die Herleitung der Raketengleichung), schreibt man das zweite newtonsche Axiom meistens in der Form :F = m d v / d t = m · a wobei a für die auf den Körper wirkende Beschleunigung steht. Diese Gleichung ist der Prototyp einer Bewegungsgleichung: wenn die Kraft F(r; t), sowie die Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers gegeben sind, dann legt die Gleichung F = m · a den gesamten weiteren Bewegungsverlauf des Körpers fest. Die Hauptaufgabe der theoretischen Mechanik besteht darin, mit Hilfe der Vektoranalysis oder unter Nutzung des Lagrange- oder Hamilton-Formalismus diese Berechnung tatsächlich auszuführen. Die grundsätzliche, wenn auch nicht praktische Möglichkeit, aus gegebenen Anfangsbedingungen und Kräften die Bewegung beliebig komplizierter Systeme vorauszuberechnen, trug im 18. Jahrhundert zur Verbreitung eines mechanistischen Weltbildes bei. Das mechanistische Weltbild erklärt gut konservative Systeme, aus denen keine Energie entweicht. In der Praxis kommen jedoch nicht nur konservative Kräfte vor, sondern auch Reibungskräfte, die zur Erzeugung von Wärme führen, was nichts anderes ist, als ungeordnete Bewegung auf mikroskopischem Niveau. Die Entropie jedes Systems erhöht sich somit unumkehrbar, man spricht auch vom Wärmetod. Die Thermodynamik ergänzt die Mechanik entsprechend. Die Paradoxa der statistischen Mechanik, die Quantenmechanik und die Chaostheorie zeigten seit ungefähr 1900 grundsätzliche Grenzen der Berechenbarkeit in Modellen der klassischen Physik auf.

Messung von Kräften

Die Definition der SI-Einheit Newton als abgeleitete Einheit, 1 N = 1 kg · m / s², beruht auf der Möglichkeit, gemäß F = m · a eine Kraft über die von ihr verursachte Beschleunigung zu messen. Im Schulunterricht und in einigen anspruchslosen Anwendungen der Mechanik misst man Kräfte hingegen über die Verformung von Federn (die letztlich gegen F = m · a kalibriert sind). Dabei nutzt man das Hooke'sche Gesetz, demzufolge eine nicht zu starke Ausdehnung (Überdehnung) einer Spiralfeder der ausgeübten Kraft proportional ist. Die Kraft für das Zusammendrücken oder Auseinanderziehen ist jeweils: F = k · s, wobei s die Verlängerung oder Verkürzung in beispielsweise Zentimetern [cm] ist. Der Ausdruck k steht für die Federeigenschaft (weich oder hart), der sogenannten Federkonstante mit der Einheit [kp/cm]. Ist der Federweg z. B. 10 cm bei einer Feder mit k = 5 kp/cm, dann ist das Produkt F = 5 kp/cm · 10 cm = 50 kp

Verschiedene Kräfte

Gewichtskraft, träge und schwere Masse, ultra schwere Masse

Die Gravitation macht sich als Schwerkraft oder, gleichbedeutend, Gewicht oder Gewichtskraft bemerkbar. Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Körper von der Erde angezogen wird. Diese Kraft ist proportional zur Masse m des Körpers, :F_G = m · g. Der Proportionalitätsfaktor g ist schwach ortsabhängig; im Schulunterricht wird er daher Ortsfaktor genannt. Er hat in Mitteleuropa den ungefähren Zahlenwert g = 9,81 N / kg; für viele Anwendungen genügt es, mit der Näherung 10 N/kg zu rechnen. Wenn man F_G in die linke Seite der newtonschen Bewegungsgleichung F = m · a einsetzt, erhält man m · g = m · a, wobei g für einen senkrecht nach unten gerichteten Vektor mit Betrag g steht. Aus dieser Beziehung kürzt sich die Masse m heraus, so dass man den Ortsfaktor g als eine Beschleunigung, die Erdbeschleunigung, identifizieren kann; folglich gibt man g auch in der Einheit m/s² an. Dass die Masse eines Körpers sowohl in die Bewegungsgleichung F = m · a als auch in die Gewichtskraft F_G = m · g eingeht, ist vielleicht der erstaunlichste Befund der newtonschen Mechanik. Man hat zwischen träger Masse (in der Bewegungsgleichung) und schwerer Masse (in der Bestimmung der Gewichtskraft) unterschieden und experimentell Abweichungen gesucht, aber nicht gefunden. Erst mit der allgemeinen Relativitätstheorie wurde erklärt, warum träge und schwere Masse tatsächlich exakt übereinstimmen.

Elektromagnetische Kräfte

Elektromagnetische Kräfte können als Anziehung oder Abstoßung zwischen elektrisch geladenen Körpern oder zwischen Magneten beobachtet werden. Viel bedeutsamer ist aber, dass solche Kräfte auch im Inneren von Materie wirken. Unsere Stoffwelt ist zusammengesetzt aus elektrisch positiv geladenen Atomkernen und negativ geladenen Elektronen. Positive und negative Ladungen kompensieren sich gegenseitig, so dass Alltagsgegenstände als ganze in der Regel elektrisch ungeladen sind. Selbst in elektrostatisch aufgeladenen Gegenständen herrscht, relativ gesehen, nur ein ganz geringer Elektronenüber- oder unterschuss. Deshalb sind die im Inneren von Materie wirkenden Kräfte um viele Größenordnungen stärker als elektrostatische Kräfte zwischen Alltagsgegenständen. Im wesentlichen bestehen die elektromagnetischen Kräfte im Inneren von Materie aus der elektrostatischen Anziehung und Abstoßung zwischen Elektronen und Atomkerne sowie aus der Lorentzkraft, die auf in Magnetfeldern bewegte Elektronen wirkt. Diese fundamentalen Kräfte machen sich in vielfältiger Weise bemerkbar:
- als Widerstand, den ein Körper einer Verformung entgegensetzt (Federkraft, Kompressibilität, Schubmodul);
- als Reibung zwischen den Oberflächen verschiedener Körper;
- als elektromotorische Kraft, die Elektronen durch einen Leiter treibt;
- in Fluiden als Kompressibilität und Viskosität.

Scheinkräfte

Im einfachsten Anwendungsfall beschreibt die newtonsche Bewegungsgleichung F = m · a die Bewegung eines einzelnen Körpers in einem gegeben Kraftfeld. In dieser Gleichung steht a für die zweite Zeitableitung des Ortsvektors r(t) des Körpers; die Kraft F ist in der Regel orts-, wenn nicht auch noch zeitabhängig. Das volle mathematische Problem der newtonschen Mechanik lautet also, unter gegebenen Anfangsbedingungen r(0) und v(0) aus der vektoriellen Differentialgleichung :F(r(t)) = m · d² r(t) / d t² den zeitlichen Verlauf von r(t) zu bestimmen. Die mathematische Struktur dieser Gleichung ist so anspruchsvoll, dass selbst eine so einfach formulierte Aufgabe wie die Berechnung einer Planetenbahn im Feld einer mit 1 / r² abnehmenden Zentralkraft im gymnasialen Schulunterricht in aller Regel unzugänglich bleibt. Nichtsdestoweniger sind Ergebnisse der newtonschen Mechanik längst in unser Alltagsdenken eingedrungen. Das wurde möglich, indem man an diese Ergebnisse eine eigene Begrifflichkeit geknüpft hat. Diese Begrifflichkeit besteht insbesondere aus einer ganzen Reihe von Scheinkräften, hinter denen sich partielle Lösungen oder Umformungen der newtonschen Gleichung verbergen. Beispiele für solche Scheinkräfte sind
- die Zentrifugalkraft, (Fliehkraft; siehe auch Zentripetalkraft);
- die Coriolis-Kraft;
- diverse Zwangskräfte in der technischen Mechanik. Ein Beispiel für einen anderen Begriff, der eine ganze Klasse von Kraftwirkungen zusammenfasst, ist das Drehmoment.

Eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte, Auflagerkräfte

Um in der Technischen Mechanik technische Systeme (z. B. Tragwerke) einer Berechnung zugänglich zu machen, werden Bindungen zwischen den Körpern des Systems bzw. zwischen dem System und seiner Umwelt, die nur geringe Formänderungen zulassen, als starre Bindungen idealisiert. Solche starren Bindungen sind in der Regel Gelenke zwischen den Körpern oder Auflager. Damit geht der physikalische Charakter dieser Bindungen verloren, und die durch diese Bindungen bedingte mechanische Wechselwirkung der Körper wird durch die Zwangskräfte repräsentiert. Im Gegensatz dazu stehen die eingeprägten Kräfte, die – wie oben erläutert – ihre Ursache in physikalischen Gesetzen haben. Eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte erfüllen zusammen die Gleichgewichtsbedingungen.

Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m06_hooke.htm Krafteinführung und Gesetz von Hooke]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m07_zus_zerl.htm Kraftaddition und Zerlegung] Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Mechanik ja:力 simple:Force (physics)

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Mittelpunkt des Körpers in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.

Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift. Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld merklich verschieden sein für verschiedene Teile des Körpers. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf. Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenschwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenschwerpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Schwerpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz). Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen. In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet.

Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, ausrechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

Beispiele geometrischer Flächen

ebene Flächen

- Trapez:

y_s=\frac\frac, x_s=\frac

450px
- Dreieck:

y_s=\frac,x_s=\frac

, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden:300px

Der Kern einer bestimmten Tätigkeit

Im übertragenen Sinne ist der Schwerpunkt der Kern einer bestimmten Tätigkeit oder eines Systems, mithin das, worauf man im Rahmen dieser Tätigkeit oder des Systems besonderen Wert legt. Zum Beispiel besteht der Schwerpunkt der Tätigkeit eines Taxifahrers darin, Passagiere mit seinem Taxi zu befördern. Tätigkeiten wie die Instandhaltung des Autos sind auch wichtig, dienen aber dazu, die Schwerpunkttätigkeit erst zu ermöglichen. Kategorie:Euklidische Geometrie Kategorie:Technische Mechanik ja:重心

Gravitationskonstante

Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen

G

oder

\gamma

dargestellt, ist eine ursprünglich von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die bei bekanntem Abstand zweier punktförmiger, massiver Objekte deren gegenseitige Massenanziehungskraft bestimmt. Die Gravitationskonstante spielt auch in der Theorie der Gravitation – der allgemeinen Relativitätstheorie – eine fundamentale Rolle. Im SI-System hat sie nach CODATA 2002 den Wert :

G = (66742\pm 00010) \cdot 10^~\mathrm

G

bezeichnet dann die Anziehungskraft zweier punktförmiger Massen von je 1 Kilogramm in einer Entfernung von 1 Meter. Der erste Wert für die Gravitationskonstante wurde indirekt von Henry Cavendish im Jahre 1798 mit einer Drehwaage im so genannten Cavendish-Experiment ermittelt. Erst mit der Kenntnis von

G

konnten die Massen von Himmelskörpern präzise bestimmt werden. Die Gravitationskonstante führt über das Gravitationsgesetz zur Masse

M

und zur mittleren Dichte

\rho

des jeweiligen Körpers (z. B. der Erde), sofern der mittlere Radius

r

und die Oberflächenbeschleunigung

g

bekannt sind: Masse: :

M =  \, r^2 \cdot g

Dichte: :

\rho=

Unter allen Naturkonstanten ist

G

zur Zeit diejenige mit der größten relativen Ungenauigkeit. Sie liegt, wie aus obiger Angabe zu entnehmen ist, bei

15 \cdot 10^

(zum Vergleich: Das Plancksche Wirkungsquantum hat z.B. eine relative Ungenauigkeit von

17 \cdot 10^

). Der Grund für diesen recht unbefriedigenden Zustand liegt zum einen in der relativ geringen Stärke der Gravitation im Vergleich zu den anderen Naturkräften (die zum Beispiel dazu führt, dass Messgeräte wie Torsionswaagen extrem gut geerdet sein müssen, um Einflüsse der elektromagnetischen Wechselwirkung zu unterbinden) und zum anderen am zwangsweisen Störeinfluss der Erdmasse auf alle erdgebundenen Messungen. Siehe auch: Gaußsche Gravitationskonstante

Weblinks

- [http://www.fys-online.de/wissen/ph/gravitation/gravitationskonstante.htm Die Gravitationskonstante γ] Kategorie:Gravitation Kategorie:Himmelsmechanik ja:万有引力定数 ko:중력상수

Inhomogen

Als inhomogen wird in den Naturwissenschaften eine ungleiche Verteilung von Masse oder anderen Eigenschaften bezeichnet. Im allgemeinen Sinn führen inhomogene Verteilungen zu uneinheitlichem Verhalten der betreffenden Objekte, Methoden oder Lebewesen. Andererseits lassen sich daraus wichtige Eigenschaften und statistische Kennwerte ableiten. In der Physik und Astronomie werden vor allem inhomogene Vektorfelder - d.h. Störungen im Schwerefeld und anderen Kraftfeldern - eingehend erforscht. Beispielsweise konnte man erst in letzter Zeit - 40 Jahre nach ihrer Entdeckung - geringfügige Unregelmäßigkeiten in der kosmischen Hintergrundstrahlung nachweisen, mit denen die Kosmologie auf manche Strukturen kurz nach dem Urknall schließen könnte. Inhomogene Verteilung von Messungen führen in verschiedenen Fachgebieten auch zu ungleichen Genauigkeiten. Zur Minimierung solcher Effekte im Hannover'schen Vermessungsnetz hat Carl Friedrich Gauß um 1800 die Ausgleichsrechnung entwickelt, die im 20. Jahrhundert auf allgemeinere Basis gestellt wurde (siehe Korrelationen und Kollokation). Ein Gleichungssystem ist inhomogen wenn der Lösungsvektor ungleich 0 ist. Siehe auch: Fehlerfortpflanzung, homogen, Normalverteilung, Statistik Kategorie:Physik

Feldstärke

Die Feldstärke bezeichnet die Stärke eines elektrischen, magnetischen oder sonstigen räumlich verteilten Feldes an einem gegebenen Punkt im Raum. Die Feldstärke ist häufig ein Vektor, wird also beschrieben durch Richtung und Betrag. Es gibt jedoch auch skalare Felder, zu deren Beschreibung in einem Raumpunkt nur eine Zahl notwendig ist, z.B. Temperatur oder Luftdruck. Bekannte Felder sind das elektrische Feld und das magnetische Feld. Die elektrische Feldstärke hat das Formelzeichen E und die Einheit Volt pro Meter, V/m, die magnetische Feldstärke das Formelzeichen H und die Einheit Ampere pro Meter,A/m. Merksatz: "Die elektrische Feldstärke ist ein Maß für die Kraft, die auf eine positive Ladung in einem gegebenen elektrischen Feld wirkt" siehe auch Feldgröße Link: Bundesamt für Strahlenschutz http://www.bfs.de/elektro/hff/grundlagen.html Kategorie:Theoretische Elektrotechnik

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Mittelpunkt des Körpers in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.

Physikalischer Schwerpunkt

Geometrischer Schwerpunkt

Beispiele geometrischer Flächen

ebene Flächen

- Trapez:

y_s=\frac\frac, x_s=\frac

450px
- Dreieck:

y_s=\frac,x_s=\frac

, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden:300px

Der Kern einer bestimmten Tätigkeit

Kugel

Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper. In der Physik kommen dazu noch Impuls, Drehimpuls und Materialeigenschaften wie Masse, Elastizität, Leitfähigkeit, Lichtbrechung.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel. Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt. Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muß, welcher der beiden Begriffe gemeint ist. Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x₀, y₀, z₀) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die :

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2

erfüllt ist. Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden: :

x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi

y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \qquad (0 \le \theta \le \pi \ \wedge 0 \le \varphi < 2 \pi)

z = r \cdot \cos \theta

Bild:Kugelkoordinaten.PNG Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Kugelsegmente und Kugelabschnitte

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißen die beiden dabei entstehenden Teilkörper Kugelsegmente oder Kugelabschnitte. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte oder Kugelhaube genannt.

Formeln

Begründung der Volumenformel

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r herausnimmt. Bild:KugelCavalieri.png Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben. Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: :

s^2 + h^2 \, = \, r^2

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche :

A_1 \, = \, s^2 \pi = (r^2 - h^2) \pi = r^2 \pi - h^2 \pi

. Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge :

A_2 \, = \, r^2 \pi - h^2 \pi

. Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben. Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren. :

V_ \, = \, r^2 \pi \cdot r = r^3 \pi

Volumen Zylinder :

V_ \, = \, \frac \cdot r^2 \pi \cdot r = \frac r^3 \pi

V_ \, = \, V_ \, = r^3 \pi - \frac r^3 \pi = \frac r^3\pi

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

V_ \, = \, 2 \cdot V_ = \frac r^3 \pi

Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x :

s =\sqrt \,

Kreisfläche im Abstand x :

A_x  = s^2 \pi \,

Volumen der Kugel

V

V = \int_^r  = \int_^r   = \int_^r  \pi dx  = \int_^r  \pi dx - \int_^r  \pi dx

V = r^2 \pi \left[ x \right]_^r  - \pi \left[  \right]_^r

V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - \pi r^3  = \pi r^3

Auf die gleiche Weise kann man das Volumen eines Kugelsegments

V_

der Höhe

h

berechnen :

V_ = \int_^r  = r^2 \pi \left[ x \right]_^r  - \pi \left[  \right]_^r

V_ = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - \pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right]

V_ = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - \pi h^3 =  (3r-h)

Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung :

K: x^2 + y^2 + z^2 = R^2

beschreiben, wobei

x,y,z

die Raumkoordinanten sind und

R

den Radius darstellt. Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem leicht auf zwei Arten lösen: Wir parametriseren die Kugelfläche :

\begin r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi)

Das benötigte Volumenelement

\mathrmV

ergibt sich über die Funktionaldeterminante :

\det\frac = r^2 \sin\vartheta.

Somit ist das Volumenelement :

\mathrmV = r^2 \sin\vartheta\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\vartheta.

Das Volumen der Kugel lässt sich so leicht berechnen: :

\int_K\mathrm dV = \int_0^\pi \int_0^ \int_0^R r^2 \sin \vartheta \mathrm dr \mathrm d\varphi \mathrm d\vartheta

= \underbrace_ \underbrace_ \underbrace_

= \frac\pi R^3.

Eine zweite Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten: :

\int_K\mathrm dV = \iint\limits_\left(\int\limits_^\mathrm dz\right) \mathrm dy \mathrm dx

= \iint\limits_2\sqrt\mathrm dy\mathrm dx

mit Polarkoordianten

r^2 = x^2 + y^2

erhält man: :

= \int\limits_0^\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr\mathrm d\varphi

= 2\pi\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr

= 2\pi (-1) \frac\left[\sqrt\right]_^R = \frac\pi R^3.

Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes. Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations-Bindungsenergie ist. Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt. Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n-dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n-dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) höchstens gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n-dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)-Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n-dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n-dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, und der Radius ist gleich 1. Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2-Sphäre. Eine 2-dimensionale Kugel ist ein Kreis, der zugehörige Kreisrand eine 1-Sphäre. Eine 1-dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0-Sphäre aufgefasst werden können. Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n-Sphären, wenn sie (n-1)-dimensionale Sphären im n-dimensionalen Raum meinen. Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist

r^n \frac

. Hier ist

\Gamma

die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)-dimensionalen Inhalt der (n-1)-dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)-Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

n \cdot r^ \frac

Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

Sphäre, sphärische Geometrie, Kugelzweieck, Kugeldreieck, Ball, Kugelmühle

Weblinks

- [http://www.walter-fendt.de/m14d/kugelvolumen.htm Java-Applet zum Kugelvolumen] (erfordert Installation von Java 1.4) Kategorie:Topologie Kategorie:Raumgeometrie ja:球面 ko:구 (기하) simple:Sphere

Rotationsellipsoid

Ein Rotationsellipsoid (auf Englisch "spheroid") ist ein Ellipsoid, das durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Im Gegensatz zu einem allgemeinen Ellipsoid sind zwei Achsen gleich lang. Man unterscheidet dabei je nach Länge der Drehachse das
- Abgeplattete (oblate) Ellipsoid bei Rotation um die kleine Achse und das
- Verlängerte (prolate) Ellipsoid bei Rotation um die große Achse. Ein Beispiel für ein verlängertes Rotationsellipsoid ist die Form des Balles beim Rugby oder American Football. Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide. Sie entstehen durch die Fliehkraft, die bewirkt, dass ein kugelförmiger Körper verformt wird. An den Polen, also den Durchstoßpunkten der Rotationsachse, werden diese Körper abgeplattet, am Äquator entsteht eine Ausbauchung. Besonders deutlich ist die Abplattung bei der Sonne und den großen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind. Aber auch die Erde und die anderen terrestrischen Planeten werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt. Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die Erdabplattung beträgt 1/298. Elliptische Galaxien sind oft keine Rotationsellipsoide, sondern triaxial. Die Oberfläche für das abgeplattete Ellipsoid ist

A = \frac \left[\frac\sqrt + \operatorname \left(\frac\right)\right]

, die des verlängerten ist

A = \frac \left[\frac\sqrt + \arcsin \left(\frac\right)\right]

. Hier ist a jeweils die Halbachse des Ellipsoids, die zur Rotationsachse parallel ist, b ist die zur Rotationsachse senkrechte Halbachse des Ellipsoids.

Anwendung

In der Geodäsie, Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annäherung an das (physikalische) Geoid benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man spricht dann von einem Referenzellipsoid. Kategorie:Geometrie

Äquator

Der Äquator (lat. "Gleichmacher") ist derjenige Großkreis einer Kugel oder eines Planeten, der von beiden Polen gleich weit entfernt ist. Es ist der einzige Breitenkreis, der gleichzeitig ein Großkreis ist, also die kürzeste Verbindung zwischen allen seiner Punkte darstellt. Ihm ist die geografische Breite 0° zugeordnet. Der Äquator der Erde, Durchmesser 12756 km, durchquert Afrika, die Malediven und den Indischen Ozean, Indonesien, das zentralpazifische Mikronesien sowie Südamerika. Er trennt dabei die Nord- von der Südhalbkugel. Der Mittelpunkt des Äquatorkreises fällt mit dem der Kugel zusammen. Wegen der leichten periodischen Bewegungen der Erdachse kann der momentane Äquator an einem Ort bis zu ca. 10 Meter vom mittleren Äquator entfernt sein. Die Länge des Äquators beträgt 40076,6 km. Der Äquator durchquert elf Staaten auf Landgebiet:
- Ecuador (hat seinen Namen auch vom Äquator)
- Kolumbien
- Brasilien
- São Tomé und Príncipe
- Gabun
- Republik Kongo
- Demokratische Republik Kongo
- Uganda
- Kenia
- Somalia
- Indonesien Daneben durchquert er noch einige Inselgruppen jeweils zwischen den Inseln, läuft aber nicht über deren Landfläche. Dazu gehören die Malediven und mehrere Inselgruppen des Pazifiks. Vier Hauptstädte liegen fast genau auf dem Äquator:
- Quito (20 km südlich des Äquators)
- Libreville (40 km nördlich des Äquators)
- São Tomé (35 km nördlich des Äquators)
- Kampala (35 km nördlich des Äquators) Im Koordinatensystem der Erde (analog auch auf Mond- oder Himmels-Globen) zählt die geografische Breite vom Äquator nach Norden positiv, nach Süden negativ. Im englischen Sprachraum wird stattdessen auch N oder S angefügt - z.B. 52°N für Berlin, 52°S für die Falklandinseln. Deutschland ist vom Äquator 47,4 - 54,9° (etwa 5300 bis 6100 km) entfernt. Entlang des Erdäquators und der Meridiane entspricht eine Bogenminute etwa einer Seemeile, abgekürzt sm (engl. nautical mile, NM). Ihr Wert von 1852 Meter ergibt sich aus dem mittleren Erdradius (6370 km). Auch die ursprüngliche Definition des Meter war an der Länge des Erdäquators bzw. der Meridiane (sollte 40.000.000 Meter entsprechen) ausgerichtet. Neben dem hier beschriebenen geographischen Äquator gibt es auch den durch die Magnetpole bestimmten magnetischen Äquator. Aquator ja:赤道 ms:Garisan Khatulistiwa th:เส้นศูนย์สูตร zh-min-nan:Chhiah-tō

Gravimeter

Mit Gravimetern wird die Schwerebeschleunigung an einem Punkt bestimmt. Sie setzt sich aus der Gravitationsbeschleunigung, der Zentrifugalbeschleunigung, dem Erdabstand und der Gezeitenwirkung zusammen.

Absolutgravimeter

Absolutgravimeter messen den absoluten Wert der Schwere. Sie sind daher an jedem Ort, auch außerhalb der Erde ohne weitere Kalibrierung einzusetzen. Bei Absolutgravimetern gibt es zwei Arten. Bei der ersten Art wird die Fallgeschwindigkeit von einem Objekt (meist ein Reflektor) gemessen. Bei der zweiten Art wird ein Objekt (Reflektor) in die Höhe geschossen und an zwei Punkten die Durchgangszeiten gemessen (= vier Zeitpunkte). Absolutgravimeter sind meist groß und unhandlich. Sie werden oft nur auf festem Untergrund eingesetzt. Es gibt aber auch Absolutgravimeter für den Einsatz in Flugzeugen ([http://www.geodaesie-geodynamik.ethz.ch/research/wg52/ Absolute Airbone Gravimetry]).

Relativgravimeter

Relativgravimeter messen die Veränderung der Gravitation gegenüber einem Nullpunkt. Relativgravimeter beruhen auf dem Prinzip der Newtonschen Federwaage. Dabei wird aber nicht die Änderung der Federlänge gemessen, sondern die Änderung kompensiert und gemessen, wie stark man kompensieren muss. Die einfache Form einer vertikal aufgehängten Feder ist zu ungenau, um zufriedenstellende Messgenauigkeiten zu erzielen. Um beispielsweise Schwerevariationen im mGal-Bereich auflösen zu können, müßte man Veränderungen der Auslenkung im

\mu

m-Bereich messen. Ein Ausweg ist die Astasierung von Gravimetern. Die Feder wird so angebracht, dass eine geringe Änderung der Schwere eine große Auslenkung der Feder zur Folge hat. Im LaCoste-Romberg-Gravimeter wird dies durch die schräge Aufhängung der Feder erreicht. Mit Hilfe der Stellschraube wird das Gravimeter zum Ablesen des Schwerewertes in die Nullposition gebracht. Mit Hilfe eines reflektierten Lichtstrahles kann die Nullposition sehr genau bestimmt werden. Kalibrierung Kategorie:Geodäsie

Homogen

Homogenität

Beschleunigung

Ein frei beweglicher Körper, der eine Krafteinwirkung erfährt und dadurch seine Geschwindigkeit ändert, vollführt eine Beschleunigung. Wenn er sich verlangsamt, spricht man von einer Verzögerung oder negativen Beschleunigung. Beschleunigungsvorgänge spielen in allen bewegten Systemen, wie z.B. Fahrzeugen, Flugzeugen, Fahrstühlen, eine wichtige Rolle und sind aufgrund der in diesem Zusammenhang auftretenden Trägheitskräfte für die darin beförderten Menschen und Sachen meist deutlich spürbar.

Physikalische Definition

Die Beschleunigung ergibt sich in Abhängigkeit von der Masse m:

\vec a=\frac

(gilt nur in Inertialsystemen) Aufgeteilt wird die Beschleunigung in eine zur Bewegungsrichtung

\vec v

parallelen Beschleunigung (Tangentialbeschleunigung) und einer senkrecht dazustehenden Normalbeschleunigung. Ist die Tangentialkraftkomponente gleichgerichtet mit der Bewegungsrichtung so ergibt sich eine beschleunigte Bewegung im Sinne einer Geschwindigkeitserhöhung, im anderen Fall spricht man vom Abbremsen oder Verzögern. Die Normalbeschleunigung bewirkt die Krümmung der Bahnkurve eines Körpers. Wirkt auf den Körper ein Moment M, so vollführt der Körper eine Drehbeschleunigung, welche sich im einfachen Fall, daß das Moment parallel zu einer der Hauptträgheitsachse des Körpers liegt, wie folgt ermitteln läßt:

a= \ddot \phi= \frac

dabei beschreibt J das Trägheitsmoment um diese Achse. Die Beschleunigung

\vec a

ist eine physikalische Größe aus der Kinematik, die definiert ist als die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeitintervall. Eine mittlere Beschleunigung kann aus der Differenz der Geschwindigkeiten

\Delta v=v(t_2) - v(t_1)

zu zwei verschiedenen Zeitpunkten

t_1

und

t_2

dividiert durch das zwischen den beiden Zeitpunkten verstrichene Zeitintervall

\Delta t=t_2-t_1

berechnet werden: :

= \frac\, .

Im Grenzfall beliebig kleiner Zeitintervalle (Zeitdifferenzen) ergibt sich die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt

t

als Differentialquotient: :

\vec(t) = \frac\equiv\dot(t)\, .

Die Beschleunigung ist wie die Geschwindigkeit eine gerichtete Größe (Vektor). Sie ist eine der wesentlichen Größen der klassischen Mechanik, deren Zusammenhang mit der Kraft und der Masse erstmals von Isaac Newton beschrieben wurde (siehe auch Newton-Axiome). Die Geschwindigkeit

v

ist die zeitliche Änderung des Ortes

s

einer Bewegung, also :

v = \frac = \dot s\, .

Die Beschleunigung

a

ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit

v

und lässt sich somit formal als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit

t

beschreiben: :

a = \frac = \frac = \dot v = \ddot s\, .

Möchte man eine gleichförmig beschleunigte und geradlinige Bewegung beschreiben wie z.B. beim freien Fall, so ist

a

konstant und man erhält aus der Integration der Differentialgleichung :

v -v_0 = \int_0^t a\cdot dt' = a\cdot t \, ,

mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀. Für den zurückgelegten Weg ergibt sich :

s - s_0 = \int_0^t (a\cdot t' + v_0)\cdot \mathrmt' =  \int_0^t a\cdot t'\cdot \mathrmt' + \int_0^t v_0\cdot \mathrmt' = \frac\cdot t^2 + v_0\cdot t \, ,

mit dem Anfangsort s₀. Beim freien Fall mit v₀ = 0, s₀ = 0 und a = Fallbeschleunigung g = 9,80665 m/s² (DIN 1305) ergibt sich, dass der Körper nach einer Sekunde Fallzeit eine Geschwindigkeit von 9,80665 m/s erreicht und eine Strecke von 4,903 m zurückgelegt hat. Dieser Wert der Beschleunigung wird auch als 1g bezeichnet.

Spezialfälle der Beschleunigung

- Keine Beschleunigung führt zu geradlinig gleichförmiger Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
- Konstante Beschleunigung in (entgegen der) Richtung der Geschwindigkeit (sowohl Richtung als auch Betrag sind konstant) führt zu geradliniger Bewegung mit linear wachsender (abnehmender) Geschwindigkeit.
- Fallbeschleunigung
- Kreisbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung (konstanter Betrag, aber die Richtung ist auf den Kreismittelpunkt gerichtet) führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung, bei der der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist.
- Stoß: Während des kurzen Zeitraums der Berührung ist die Beschleunigung extrem hoch. Die zeitliche Änderung der Beschleunigung heißt Ruck (engl. Jerk). Dieser Ruck hat z.B. eine Bedeutung bei der dynamischen Anregung von Maschinen und anderen Systemen (Schwingungen). So vollführt bei einer Autofahrt der Beifahrer einen Kopfnicker wenn der Fahrer zu schnell einkuppelt.

Messung der Beschleunigung

Hochgenaue Beschleunigungssensoren erreichen heute bei ihren Messungen Genauigkeit von 0.005g, dieses ermöglicht durch zweifache Integration über die Zeit bei bekannten Anfangsbedingungen eine Ortsbestimmung von Flugzeugen über einen mittellangen Zeitraum (z.B. für den Fall, dass das GPS-System ausfällt.)

Beispiele für die Größe von Beschleunigungen

- Der menschliche Körper erträgt ca. 10g ohne in Ohnmacht zu fallen, bei Autounfällen wirken kurzzeitig wesentlich höhere Belastungen.
- Bei Nähmaschinen wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6000g.
- Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300g auf den Trommelinhalt.