:: wikimiki.org ::
| Grenzwert |
GrenzwertDas Wort Grenzwert wird für verschiedene Begriffe verwendet:
- in der Mathematik ist es gleichbedeutend mit dem Wort Limes
- im Recht sind es Werte, die in Regelwerken angegeben werden und nicht überschritten werden dürfen. Zum Beispiel die Grenzwerte für Fremdstoffe in Trinkwasser, die in der Trinkwasserverordnung festgelegt sind.
- in der Medizin zur Eingrenzung des nicht als pathologisch angesehenen Bereichs, siehe auch Labormedizin
Limes (Mathematik)
In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index „unendlich“ vorstellen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.
Limes einer reellen Funktion
Das Symbol bezeichnet den Limes der reellen Funktion f für den Grenzübergang der Variablen x gegen a. Dabei kann a sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der Werte und ; in jedem Fall muss jedoch im Abschluss des Definitionsbereiches von liegen. Auch für den Grenzwert selbst kommen neben reellen Zahlen auch und in Frage. Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:
- Definition: Die Funktion f hat für (mit ) den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) ein (im Allgemeinen von abhängiges) gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung genügen, auch gilt.
Qualitativ ausgedrückt bedeutet dies: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert f(x) und dem Limes b kann beliebig klein gemacht werden, wenn man x genügend nahe bei a wählt.
Beispiel:
- Definition: Die Funktion f hat für (mit ) den Limes , wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl T ein (im Allgemeinen von T abhängiges) gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung genügen, auch erfüllt ist. Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes definiert.
Beispiel:
- Definition: Die Funktion f hat für den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) eine (im Allgemeinen von abhängige) reelle Zahl S gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung genügen, auch erfüllt ist. Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs definieren.
Beispiel:
Bei Grenzwerten des Typs (mit ) ist es oft sinnvoll, durch die Zusatzbedingung oder einseitige Grenzwerte zu bilden:
:
:
Im ersten Beispiel spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert, im zweiten von einem linksseitigen Grenzwert.
Grenzwertsätze
Sei und . Dann gelten folgenden Beziehungen:
-
-
- falls .
- Ist und ist , so ist auch .
Viele Grenzwerte lassen sich leicht mit der Regel von L'Hospital berechnen.
Wichtige Grenzwerte
-
-
-
-
-
- Die geometrische Reihe konvergiert gegen falls und divergiert falls für .
- Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert jedoch:
Limes einer Folge
Erläuterung
Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen fast allen Folgengliedern und beliebig klein wird.
Wenn für jedes vorgegebene nur endlich viele Folgenglieder weiter als von entfernt sind, dann heißt die Folge konvergent gegen den Grenzwert .
Eine äquivalente Formulierung lautet: Zu jedem gibt es einen Index , so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als von entfernt sind. In Formeln:
:
Man beachte, dass der Index von abhängen darf.
Um zum Beispiel zu beweisen, dass die Folge gegen konvergiert, wählt man zu vorgegebenem als (z. B.) die kleinste natürliche Zahl, die größer als ist. Daher gilt für alle :
:
Die erste Ungleichung folgt dabei aus (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus .
Man findet auch die Darstellung ohne Absolutbetrag: Für wird auch (etwas anschaulicher) |
|
|
|
|
