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Großkreis

Großkreis

Ein Großkreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei ("gleichgroße") Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Großkreise. Im geografischen Koordinatensystem der Erde sind der Äquator (blau) sowie jedes Paar von sich "gegenüberliegenden" Längengraden, (Längengrade = Meridiane, hier gelb), wie z. B. Nullmeridian (0°) und Datumsgrenze (180°), Großkreise. Die weiteren Breitengrade (gestrichelte Linien) sind keine Großkreise, sondern kleiner als der maximale Kugelumfang. Man nennt sie deshalb Klein- oder Nebenkreise. Auf Großkreisen der Erde entspricht eine Bogenminute einer Seemeile, abgekürzt sm (engl. [nautical mile] = nm oder NM). Sie wird (also als "Breitenminute" bzw. als "Längenminute am Äquator") mit 1852 Metern errechenbar bei einem angenommenen Erdumfang von 40.000 km. Der mittlere Erdradius beträgt 6371 km. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche - die sogenannte Orthodrome - ist immer Teil eines Großkreises (der sogenannte Hauptbogen). Deshalb führen Schifffahrts- und vor allem Flugrouten meist entlang von Großkreisen. Das Befahren der Erdkugel auf Orthodromen wird Großkreissegeln genannt; die "Großkreiskurse" erreichen etwas größere Breiten als der jeweilige Start- und Zielpunkt (z.B. München-Peking über Sibirien). Da viele Landkarten (z.B. bei der Mercatorkarte) so dargestellt werden, dass die Breitengrade als gerade, waagrechte Linien erscheinen, wirken die Flugrouten trotz ihrer Kürze gekrümmt und verlaufen weiter polwärts (siehe auch Loxodrome). Um das Zeichnen zu vereinfachen gibt es spezielle Großkreiskarten (siehe Gnomonische Projektion), auf denen alle Großkreise als Gerade erscheinen, die Umgebung allerdings etwas verzerrt ist. Auf dem Erdellipsoid und anderen Flächen wird die Orthodrome Geodätische Linie genannt. Sie ist eine Kurve höherer Ordnung (Abweichung vom Großkreis einer Kugel einige Promille) und entspricht dem Verlauf eines straff gespannten, reibungsfreien Fadens. Auf Seekarten ist am rechten und linken Rand die geografische Breite aufgetragen, d.h. der jeweilige Ausschnitt des betreffenden Längen-Großkreises. Hier greift der Nautiker mit dem Stechzirkel eine Distanz ab und überträgt sie in die Seekarte oder anders herum. Der Abstand zwischen den Punkten 1 und 2 mit den Breitenkoordinaten φ und den Längenkoordinaten λ auf dem Großkreis berechnet sich wie folgt (Koordinaten im Bogenmaß): \mathrm=\mathrm\cdot\arccos\left(\sin\phi_1\cdot\sin\phi_2+\cos\phi_1\cdot\cos\phi_2\cdot\cos\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right) Siehe auch: Kleinkreis, Orthodrome Kategorie:Kartografie Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem Kategorie:Geometrie zh-min-nan:Tōa-îⁿ

Kreis (Geometrie)

Kreis mit Radius und Durchmesser
M = Mittelpunkt; r = Radius; d = Durchmesser
Der Begriff Kreis gehört zu den wichtigsten Begriffen der ebenen Geometrie. Ein Kreis ist definiert als Menge (geometrischer Ort) aller Punkte der euklidischen Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt M gleich einer festen positiven reellen Zahl r ist. Der Kreis ist also die Ortslinie aller Punkte mit dieser Eigenschaft.

Definitionen

Formal ausgedrückt lautet die Definition für einen Kreis k in der Ebene E folgendermaßen: : k = \left\ Der konstante Abstand r wird als Radius des Kreises bezeichnet, der Punkt M als Mittelpunkt. Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird meist durch die Variable d ausgedrückt. Nach der gegebenen Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort "Kreis" aber oft ungenau für die eingeschlossene Fläche verwendet wird, sagt man zur Verdeutlichung häufig Kreislinie oder Kreisrand statt Kreis - im Gegensatz zur Kreisfläche oder (geschlossenen) Kreisscheibe. Diese ist definiert als die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand vom Mittelpunkt M höchstens gleich dem Radius r ist. Das Innere dieser Fläche bezeichnet man als offene Kreisscheibe. Man meint damit die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand vom Mittelpunkt M kleiner dem Radius r ist. Zum Zeichnen eines Kreises verwendet man einen Zirkel. Bei fast allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal werden Kreise benötigt.

Grundlegende Eigenschaften


- Alle Kreise sind zueinander ähnlich, das heißt, durch die Angabe einer einzigen Größe (zum Beispiel des Durchmessers) ist ein Kreis - bis auf Kongruenz - eindeutig bestimmt. In diesem Sinne ist es also gerechtfertigt, von dem Kreis zu sprechen.
- Der Kreis ist eine Figur von maximaler Symmetrie. Jeder Durchmesser ist Symmetrieachse. Jede Drehung um dem Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. Er ist damit - neben der Geraden - die einzige ebene Figur mit unendlich vielen Kongruenzabbildungen auf sich selbst.
- Der Kreis ist - wiederum neben der Geraden - die einzige ebene Kurve mit konstanter Krümmung. Seine Krümmung ist überall k = 1/r.
- Der Kreis ist unter allen geschlossenen Kurven gleicher Länge diejenige mit dem größten Flächeninhalt. (Isoperimetrische Eigenschaft des Kreises). Die Menge aller Punkte im gleichen Abstand zu M nennt man Kreisline um M.

Gleichungen

Koordinatengleichung

In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte meist mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems beschrieben. Der Kreis mit dem Mittelpunkt M(xM|yM) und dem Radius r lässt sich (in der Ebene) wie folgt durch eine Koordinatengleichung ausdrücken: : \left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 \, = \, r^2 Diese allgemeine Kreisgleichung ergibt sich unmittelbar aus der Kreisdefinition (siehe oben) und dem Satz des Pythagoras. x und y sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis. Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des Einheitskreises: : x^2 + y^2 \, = \, 1

Funktionsgleichung

Da der Kreis kein Funktionsgraph ist, lässt er sich auch nicht durch eine Funktionsgleichung darstellen. Behelfsweise kann ein Paar von Funktionsgleichungen verwendet werden: : y \, = \, y_M \, \pm \sqrt Für den Einheitskreis vereinfacht sich dies zu : y \, = \, \pm \sqrt

Parameterdarstellung

Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung (siehe auch Polarkoordinaten): :x \, = \, x_M + r \cos \varphi :y \, = \, y_M + r \sin \varphi Hier werden die Koordinaten x und y durch den Parameter \varphi ausgedrückt, der alle Werte mit 0 \le \varphi < 2 \pi annehmen kann. Wendet man auch diese Gleichungen speziell auf den Einheitskreis an, so erhält man: :x \, = \, \cos \varphi :y \, = \, \sin \varphi

Kreisberechnung

Da alle Kreise ähnlich sind, ist das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser für alle Kreise konstant. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses definiert die Ludolfsche Zahl oder die Kreiszahl pi (π ≈ 3,1415926535897932). Es handelt sich um eine transzendente Zahl, von der sich gezeigt hat, dass sie in vielen Bereichen der höheren Mathematik eine herausragende Bedeutung besitzt.

Umfang

Im Rahmen der Elementargeometrie ist π das Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser, und zwar für beliebige Kreise. Somit ist: :u \, = d \cdot \pi \, = \, 2r \cdot \pi

Kreisfläche

Die Kreisfläche A (lat. area: Fläche) ist proportional zum Quadrat des Radius r bzw. des Durchmessers d des Kreises. Um die Formel für die Kreisfläche zu erhalten, sind Grenzwert-Betrachtungen unerlässlich. Recht anschaulich ergibt sich eine solche aus der folgenden Zeichnung: 800px Die Kreisfläche ist zerlegungsgleich mit der Fläche der rechten Figur. Diese nähert sich - bei feiner werdender Segment-Einteilung - offensichtlich einem Rechteck an mit der Länge πr und der Breite r. Die Flächenformel ist somit : A = r^2 \cdot \pi = \frac

Durchmesser

Der Durchmesser ist: : d=2\cdot\sqrt Die Flächenformel kann auch zum Beispiel durch Integrieren der Kreisgleichung oder mit Hilfe der unten beschriebenen Annäherung durch regelmäßige Vielecke bewiesen werden.

Kreisteile

center Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne). Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt gehen, also die Durchmesser. Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von einem Kreisbogen und zwei Radien begrenzt wird. Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Näherungsrechnungen

liefern zugleich eine Näherung für den Zahlenwert von π:

Auszählen in einem Raster

Die Fläche eines Kreises lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihm kleine Quadrate unterlegt. Zählt man alle Quadrate, die vom Kreis vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die der Kreis lediglich schneidet, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse nähert die wahre Fläche - je nach der Feinheit des Quadrat-Rasters - recht gut an.

Annäherung durch Vielecke

Flächenverdoppelung

Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt und das zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen hat. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt.

Lagebeziehungen zwischen Kreis und Gerade

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten: center
- Falls der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante.
- Stimmt der Abstand des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente. Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
- Ist der Abstand Mittelpunkt - Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte, und man spricht man von einer Sekante. Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft als Zentrale.

Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis

Der Kreis ist achsensymmetrisch bezüglich jeder Geraden durch seinen Mittelpunkt und punktsymmetrisch bezüglich des Kreismittelpunkts. Die Symmetrieeigenschaften dürften der Grund dafür sein, dass der Kreis seit jeher als besonders vollkommen empfunden wurde. Wegen dieser Vollkommenheit gingen die Astronomen lange Zeit fälschlicherweise davon aus, dass Planeten auf Kreisbahnen die Sonne umrunden, bis schließlich Johannes Kepler erkannte, dass die Planetenbahnen Ellipsen sind. Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang.
- Thaleskreis
- Winkel am Kreis: Peripheriewinkel (Umfangswinkel), Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel), Sehnentangentenwinkel
- Kreis des Apollonios
- Potenz (Geometrie), Sehnensatz, Sekantensatz, Sekanten-Tangenten-Satz Das Winkelmaß Bogenmaß (Arcus) ist als Verhältnis zwischen der Länge des Kreisbogens, den zwei Radien, die im angegebenen Winkel aufeinander stehen, einschließen, und dem Radius definiert. Die trigonometrischen Winkelfunktionen können im Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1) definiert werden.

Verallgemeinerungen

In der ebenen Geometrie kann der Kreis als spezielle Ellipse und damit als Kegelschnitt aufgefasst werden: Die beiden Brennpunkte fallen mit dem Kreismittelpunkt zusammen. Beide Halbachsen sind gleich dem Kreisradius. Werden höhere Dimensionen in Betracht gezogen, so ist der Kreis ein Spezialfall einer Sphäre, nämlich eine 1-Sphäre.

Siehe auch


- Einheitskreis
- Polarkoordinaten
- Kreisteilung, Quadratur des Kreises
- Arbelos, Zwillingskreise des Archimedes
- Kurve
- Umkreis, Inkreis, Sehnenviereck, Tangentenviereck
- Großkreis, Kleinkreis, Erdkugel, Meridian, Längenkreis, Breitenkreis
- Kegelschnitt, Johannes Kepler, Kreisbahn
- Kugel, Rundheit
- Analytische Geometrie, Berührbedingung, Schnitt, Spaltform

Weblinks


- [http://www.mathematik-wissen.de/alles_rund_um_den_kreis.htm Kreisberechnung] Kategorie:Ebene Geometrie ja:円 (数学) simple:Circle

Kugel

Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper. In der Physik kommen dazu noch Impuls, Drehimpuls und Materialeigenschaften wie Masse, Elastizität, Leitfähigkeit, Lichtbrechung.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel. Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt. Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muß, welcher der beiden Begriffe gemeint ist. Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 erfüllt ist. Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden: : x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi : y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \qquad (0 \le \theta \le \pi \ \wedge 0 \le \varphi < 2 \pi) : z = r \cdot \cos \theta Bild:Kugelkoordinaten.PNG Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Kugelsegmente und Kugelabschnitte

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißen die beiden dabei entstehenden Teilkörper Kugelsegmente oder Kugelabschnitte. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte oder Kugelhaube genannt.

Formeln

Begründung der Volumenformel

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r herausnimmt. Bild:KugelCavalieri.png Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben. Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: :s^2 + h^2 \, = \, r^2 Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche :A_1 \, = \, s^2 \pi = (r^2 - h^2) \pi = r^2 \pi - h^2 \pi. Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge :A_2 \, = \, r^2 \pi - h^2 \pi. Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben. Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren. :V_ \, = \, r^2 \pi \cdot r = r^3 \pi Volumen Zylinder :V_ \, = \, \frac \cdot r^2 \pi \cdot r = \frac r^3 \pi :V_ \, = \, V_ \, = r^3 \pi - \frac r^3 \pi = \frac r^3\pi Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel: V_ \, = \, 2 \cdot V_ = \frac r^3 \pi

Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x : s =\sqrt \, Kreisfläche im Abstand x :A_x = s^2 \pi \, Volumen der Kugel V :V = \int_^r = \int_^r = \int_^r \pi dx = \int_^r \pi dx - \int_^r \pi dx :V = r^2 \pi \left[ x \right]_^r - \pi \left[ \right]_^r :V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - \pi r^3 = \pi r^3 Auf die gleiche Weise kann man das Volumen eines Kugelsegments V_ der Höhe h berechnen :V_ = \int_^r = r^2 \pi \left[ x \right]_^r - \pi \left[ \right]_^r :V_ = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - \pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right] :V_ = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - \pi h^3 = (3r-h)

Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung :K: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 beschreiben, wobei x,y,z die Raumkoordinanten sind und R den Radius darstellt. Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem leicht auf zwei Arten lösen: Wir parametriseren die Kugelfläche :\begin r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi) Das benötigte Volumenelement \mathrmV ergibt sich über die Funktionaldeterminante :\det\frac = r^2 \sin\vartheta. Somit ist das Volumenelement :\mathrmV = r^2 \sin\vartheta\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\vartheta. Das Volumen der Kugel lässt sich so leicht berechnen: :\int_K\mathrm dV = \int_0^\pi \int_0^ \int_0^R r^2 \sin \vartheta \mathrm dr \mathrm d\varphi \mathrm d\vartheta := \underbrace_ \underbrace_ \underbrace_ := \frac\pi R^3. Eine zweite Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten: :\int_K\mathrm dV = \iint\limits_\left(\int\limits_^\mathrm dz\right) \mathrm dy \mathrm dx := \iint\limits_2\sqrt\mathrm dy\mathrm dx mit Polarkoordianten r^2 = x^2 + y^2 erhält man: := \int\limits_0^\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr\mathrm d\varphi := 2\pi\int\limits_0^R 2r\sqrt\mathrm dr := 2\pi (-1) \frac\left[\sqrt\right]_^R = \frac\pi R^3.

Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes. Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations-Bindungsenergie ist. Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt. Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n-dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n-dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) höchstens gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n-dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)-Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n-dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n-dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, und der Radius ist gleich 1. Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2-Sphäre. Eine 2-dimensionale Kugel ist ein Kreis, der zugehörige Kreisrand eine 1-Sphäre. Eine 1-dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0-Sphäre aufgefasst werden können. Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n-Sphären, wenn sie (n-1)-dimensionale Sphären im n-dimensionalen Raum meinen. Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist r^n \frac. Hier ist \Gamma die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)-dimensionalen Inhalt der (n-1)-dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)-Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius: n \cdot r^ \frac Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

Sphäre, sphärische Geometrie, Kugelzweieck, Kugeldreieck, Ball, Kugelmühle

Weblinks


- [http://www.walter-fendt.de/m14d/kugelvolumen.htm Java-Applet zum Kugelvolumen] (erfordert Installation von Java 1.4) Kategorie:Topologie Kategorie:Raumgeometrie ja:球面 ko:구 (기하) simple:Sphere

Koordinatensystem

Mit Hilfe eines Koordinatensystems lassen sich die Positionen von Punkten im Raum angeben. Die Position im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, Koordinaten genannt, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Abstände, Flächen, Körper) angeben. Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf. Der Punkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über Normalnull (genauer: Ortsabhängigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten wie (Längengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Während sich in solchen Fällen die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anbietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt. variabel Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensystemen orthogonal. Beispiele:
- geradlinige Koordinatensysteme: ::Vektorraum
  - geradlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::Kartesisches Koordinatensystem
- krummlinige Koordinatensysteme: ::Elliptische Koordinaten
  - krummlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten ::räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) ::Toruskoordinaten

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Null Null Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie. Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden. Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig. Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten. Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:
- Geographisches Koordinatensystem
- Soldner Koordinatensystem
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
- Baryzentrische Koordinaten
- bewegte Koordinatensysteme
- rotierende Koordinatensysteme

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen. Da eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

Weblinks


- http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/i.html - Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
- http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/lexikon/K/koordinatensystem.html - Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln) Kategorie:Geometrie ja:座標 ko:좌표계

Äquator

Der Äquator (lat. "Gleichmacher") ist derjenige Großkreis einer Kugel oder eines Planeten, der von beiden Polen gleich weit entfernt ist. Es ist der einzige Breitenkreis, der gleichzeitig ein Großkreis ist, also die kürzeste Verbindung zwischen allen seiner Punkte darstellt. Ihm ist die geografische Breite 0° zugeordnet. Der Äquator der Erde, Durchmesser 12756 km, durchquert Afrika, die Malediven und den Indischen Ozean, Indonesien, das zentralpazifische Mikronesien sowie Südamerika. Er trennt dabei die Nord- von der Südhalbkugel. Der Mittelpunkt des Äquatorkreises fällt mit dem der Kugel zusammen. Wegen der leichten periodischen Bewegungen der Erdachse kann der momentane Äquator an einem Ort bis zu ca. 10 Meter vom mittleren Äquator entfernt sein. Die Länge des Äquators beträgt 40076,6 km. Der Äquator durchquert elf Staaten auf Landgebiet:
- Ecuador (hat seinen Namen auch vom Äquator)
- Kolumbien
- Brasilien
- São Tomé und Príncipe
- Gabun
- Republik Kongo
- Demokratische Republik Kongo
- Uganda
- Kenia
- Somalia
- Indonesien Daneben durchquert er noch einige Inselgruppen jeweils zwischen den Inseln, läuft aber nicht über deren Landfläche. Dazu gehören die Malediven und mehrere Inselgruppen des Pazifiks. Vier Hauptstädte liegen fast genau auf dem Äquator:
- Quito (20 km südlich des Äquators)
- Libreville (40 km nördlich des Äquators)
- São Tomé (35 km nördlich des Äquators)
- Kampala (35 km nördlich des Äquators) Im Koordinatensystem der Erde (analog auch auf Mond- oder Himmels-Globen) zählt die geografische Breite vom Äquator nach Norden positiv, nach Süden negativ. Im englischen Sprachraum wird stattdessen auch N oder S angefügt - z.B. 52°N für Berlin, 52°S für die Falklandinseln. Deutschland ist vom Äquator 47,4 - 54,9° (etwa 5300 bis 6100 km) entfernt. Entlang des Erdäquators und der Meridiane entspricht eine Bogenminute etwa einer Seemeile, abgekürzt sm (engl. nautical mile, NM). Ihr Wert von 1852 Meter ergibt sich aus dem mittleren Erdradius (6370 km). Auch die ursprüngliche Definition des Meter war an der Länge des Erdäquators bzw. der Meridiane (sollte 40.000.000 Meter entsprechen) ausgerichtet. Neben dem hier beschriebenen geographischen Äquator gibt es auch den durch die Magnetpole bestimmten magnetischen Äquator. Aquator ja:赤道 ms:Garisan Khatulistiwa th:เส้นศูนย์สูตร zh-min-nan:Chhiah-tō

Längengrad

Die Geografische Länge, λ, international mit long. (longitude = engl., frz. etc. „Länge“) abgekürzt, beschreibt eine der beiden Koordinaten eines Ortes auf der Erdoberfläche, und zwar seine Position östlich oder westlich einer definierten (künstlich festgelegten) Nord-Süd-Linie, des Nullmeridians. Sie wurde früher als Längengrad bezeichnet. Für die Begriffsbildung wird die Gestalt der Erde zu einer Kugel vereinfacht. Die geografische Länge ist ein Winkel, der ausgehend vom Nullmeridian (0°) bis 180° in östlicher und 180° in westlicher Richtung gemessen wird. Der Scheitel dieses Winkels ist der Mittelpunkt der gedachten Erdkugel, die Schenkel gehen vom Mittelpunkt aus durch den Nullmeridian bzw. den Meridian, auf dem der Ort liegt, dessen geografische Länge angegeben werden soll.

Beispiele


- Koordinaten von München: ca. 48° 9' Nord (Breitengrad), 11° 35' Ost (Längengrad)
- San Francisco: ca. 37° Nord, 122° West Orte mit derselben Länge liegen auf einem Meridian. Ein Meridian verläuft von Pol zu Pol und ist die Hälfte eines Längenkreises. Auf der Erdkugel ist ein Längenkreis (bestehend aus zwei einander gegenüberliegeneden Meridianen) ein Großkreis. Zur Bestimmung eines Punktes auf der Erdoberfläche - zur Angabe seiner geografischen Lage - wird zusätzlich die Angabe seiner geografischen Breite (früher: seines „Breitengrades“) als zweite Koordinate benötigt.

Orts- und Zeitfestlegung

Nullmeridian

Da es für die Meridiane (oder Längenkreise) keine natürliche Nullmarke gibt, wie der Äquator sie für die Breitenmessung darstellt, muss ein Nullmeridian definiert werden. Erst 1884 wurde dafür weltweit einheitlich derjenige Meridian festgelegt, auf dem sich die Mittelachse eines bestimmten Teleskops des Observatorium von Greenwich (London) befindet (siehe Historisches). Die geografische Länge wird als Winkelabstand in Grad, (Bogen-) Minuten und Sekunden vom Nullmeridian nach Ost (E) oder West (W) angegeben. :Anmerkung: Die Abkürzung E für Ost wird beispielsweise von der für Nautik und Flugnavigation maßgeblichen DIN-Norm empfohlen, um Fehler durch Verwechslung von O mit 0 von vornherein auszuschließen. Der größte mögliche Zahlenwert ist also 180 Grad, wobei 180°E = 180°W. Annähernd entlang dieses Längengrades, allerdings mit erheblichen Abweichungen, verläuft im Pazifik die von den betroffenen Ländern festgelegte Datumsgrenze.

Schreibweisen der Zahlenwerte

Der Abstand zwischen zwei Längenkreisen ist am Äquator am größten. Dort entspricht ein Grad Abweichung einer Entfernung von ca. 111 km (40000 km/360 entspricht ca. 60 Seemeilen). An den Polen hingegen fallen alle Längengrade in einem Punkt zusammen. Die Beschränkung der Längenangabe auf ganzzahlig viele Grad wäre also für Positionsangaben fast überall (ausgenommen in unmittelbarer Polnähe) zu ungenau (eben deshalb ist ja der Begriff Längengrad veraltet). Genauere Angaben der geografischen Länge können folgendermaßen gestaltet werden:
- in der Winkeleinheit Grad in Dezimalschreibweise (z. B. 66,34°)
- in Minuten und Sekunden (im gleichen Beispiel 66° 20' 24"). 66° 20' 24" ist eine Kurzschreibweise für folgende Summe dreier Winkel 66° + 20' + 24". Diese Pluszeichen werden weggelassen. Die Summanden werden dabei so gewählt, dass die Zahlenwerte vor Minute und Sekunde kleiner als 60 sind.- Eine Sekunde geografischer Länge entspricht am Äquator einer Strecke von rund 31 Metern, in Mitteleuropa (auf 50° N geografischer Breite) etwa 20 Metern.
- In der Nautik wird bei der Angabe geografischer Koordinaten heutzutage die Winkeleinheit Sekunde vermieden, so dass aus obigem Beispiel wird: 66° 20' 24" = 66° 20,4'. Noch genauere Positionsangaben, wie sie z. B. in der Satellitennavigation erzielt werden, schlagen sich in weiteren Nachkommastellen nieder.
- Wegen der Erdrotation, 360° in 24 Stunden, kann die geografische Länge auch als Zeit ausgedrückt werden. Der Ortsstundenwinkel wird in der Astronavigation genutzt.

Zeit

Aufgrund der Erdrotation ist die Ortszeit auf verschiedenen Längengraden unterschiedlich. Der Zeitunterschied zum Nullmeridian beträgt eine Stunde pro 15° Längenunterschied. Daraus ergeben sich Zeitzonen.

Historisches

Der griechische Astronom und Mathematiker Hipparchos (ca. 190–120 v. Chr.) teilte die Erde in ost-westlicher Richtung erstmals in 360 Grad. Das Bezugssystem der Längengrade war lange Zeit uneinheitlich. Je nach Nation bezogen sich Koordinatennetze auf Nullmeridiane in London, Paris, St.Petersburg, Ferro (Hierro, auf den Kanaren, 17° 40'W). Erst auf der Internationalen Meridiankonferenz, Washington 1884, wurde Greenwich bei London weltweit festgelegt, unter anderem, weil britische Seekarten bereits längst weltweit genutzt wurden.

Längenproblem

Während die geografische Breite durch Messung von Vertikalwinkeln der Sonne oder des Polarsterns relativ einfach bestimmbar ist, gestaltete sich die Bestimmung der aktuellen geografischen Länge mit ähnlicher Genauigkeit über lange Zeit extrem schwierig. Das für die Seenavigation bedeutsame Längenproblem wurde erst Ende des 18. Jahrhunderts gelöst, dazu sind wegen der Wetterunabhängigkeit auch auf See sehr genau gehende Uhren notwendig, auch ohne Strom.

Literatur


- Dava Sobel: Längengrad. Taschenbuch ISBN 3-442-72318-3 (Illustrierte Ausgabe ISBN 3827003644)

siehe auch


- Geographische Breite
- Geographische Koordinaten

Weblinks


- [http://www.arte-tv.com/de/wissen-entdeckung/abenteuer__arte/Diese_20Woche/Mission_20X/Entscheidung_20L_C3_A4ngengrad/737562.html Sender arte, Mission X - Entscheidung Längengrad]
- [http://www.ucolick.org/~sla/leapsecs/scans-meridian.html Konferenz-Protokoll von Washington 1884]
- [http://www.fallingrain.com/world/ Geographische Koordinaten für Orte auf der ganzen Welt] Kategorie:Geodäsie ja:経度

Nullmeridian

Der Nullmeridian ist ein senkrecht zum Äquator stehender und von Nord- zu Südpol verlaufender Halbkreis, von dem aus die geographische Länge nach Osten (Zusatz E (für East) zur Gradangabe) und Westen (Zusatz W) bestimmt wird. Seit 1884 wird der durch die Sternwarte in Greenwich verlaufende Meridian Nullmeridian genannt. Seine Länge ist, wie bei jedem Meridian, die des halben Erdumfangs, also ca. 20.000 km. Mit seinem "gegenüber liegenden" Meridian (180°, ohne Zusatz E oder W, der Meridian, der grob dem Verlauf der Datumsgrenze entspricht), ergänzt sich der Nullmeridian zu einem Großkreis auf der Erde. Die Festlegung des Nullmeridians erfolgte willkürlich, prinzipiell könnte er auch durch jeden anderen Ort laufen. So waren bis ins 19. Jahrhundert auch zahlreiche nationale Systeme in Gebrauch. In Frankreich lief der Nullmeridian zum Beispiel durch Paris. Mit dem zunehmenden internationalen Reiseverkehr wurde jedoch eine Vereinheitlichung der bestehenden Systeme notwendig. Zudem wurde es immer wichtiger, eine genaue internationale Zeit (Weltzeit) zur Verfügung zu haben. Auf der Internationalen Meridian-Konferenz im Oktober 1884 in Washington, D.C. mit Vertretern aus 25 Nationen wurde deshalb der von Sir George Biddell Airy bereits 1851 festgelegte Meridian als Basis des internationalen Koordinatensystems eingeführt. Die mittlere Sonnenzeit am Nullmeridian wurde maßgeblich für die Weltzeit (GMT, "Greenwich Mean Time"), die erst 1972 durch die koordinierte Weltzeit (UTC) abgelöst wurde.

Historisches

UTC
- Erste Einteilung der Welt in Längen und Breiten durch Hipparch von Nikaia (190 - 120 v. Chr.): Rhodos (sein astronomischer Beobachtungsort)
- Claudius Ptolemaeus verlegte ihn um 150 an die westlichste Grenze der bekannten Welt: Isla del Meridiano (El Hierro oder Ferro), die westlichste Insel der Hesperiden (heute Kanarische Inseln)
- Arabische Astronomen legten den Nullmeridian zuerst durch die Westspitze von Afrika, 1075 dann 10° westlich von Bagdad.
- Es gab danach immer wieder Versuche einer Verlegung, z. B. als 1432 die Azoren und 1492 Amerika entdeckt wurden.
- Im April 1634 wurde von einem Gelehrtenkongress aller seefahrenden Nationen die Insel Ferro bestätigt.
- Ab 1738 wird in England der Meridian von Greenwich angewandt.
- In Deutschland wird er 1885 übernommen, in Frankreich um 1900. Österreich-Ungarn verwendet ihn bis 1918 parallel mit dem alten Ferro-Meridian.

Siehe auch

Zentralmeridian

Weblinks


- [http://www.rog.nmm.ac.uk/ Royal Observatory], Greenwich Kategorie:Zeitzone ja:グリニッジ子午線

Breitengrad

Die geografische Breite φ (englisch latitude, auch deutsch abgekürzt mit Lat., lat. oder LAT) ist die im Winkelmaß angegebene nördliche oder südliche Entfernung eines Ortes (Punktes) der Erdoberfläche vom Äquator. Die Breite kann Werte von 0° (am Äquator) bis 90° (am Pol) annehmen. Nord und Süd sind dabei als Vorzeichen anzusehen.

Beispiele

Koordinaten von München: ca. 48° 9' Nord (geografische Breite), 11° 35' Ost (geografische Länge) San Francisco: ca. 37 Grad Nord, 122 Grad West Orte mit derselben Breite liegen auf einem Breitenkreis, auch Breitenparallel oder Parallelkreis genannt. Zur Identifikation eines Punktes, zur Bestimmung seiner geografischen Lage, wird zusätzlich zur Breite die Angabe seiner Länge benötigt.

Unterteilung

Die geografische Breite wird in Bogengrad, -minuten und -sekunden angegeben, wobei eine Minute 60 Sekunden und ein Grad 60 Minuten entsprechen (wie in der Zeitangabe). Bei Dezimalgrad/-minuten/-sekunden kommt das Dezimalsystem zur Anwendung. Es gibt verschiedene Methoden der Darstellung, z. B.: # Grad, Dezimalminuten: 66° 43,2'. # Dezimalgrad: 66,72° # Grad, Minuten, Sekunden: 66° 43' 12"
# Grad, Minuten, Dezimalsekunden: 66° 43' 12,96"
Nur die erste Form ist in der Flugnavigation und seit Langem auch in der Nautik gebräuchlich. Der Abstand einer Bogenminute beträgt am Äquator und auf einem Meridian eine Seemeile bzw. 1852 Meter, während der Abstand (einer Bogenminute) auf einem Breitenkreis (nördlich oder südlich des Äquators) kleiner ist. Bei der Angabe von Ortskoordinaten ist die Breite stets zuerst anzugeben, dann erst die Länge: „B vor L, wie im Alphabet“. Ihren Grund hat diese Konvention in der Geschichte: die Breite konnte bereits Jahrhunderte vor der Länge ziemlich exakt bestimmt werden.

Ermittlung der Breite

Die Breite lässt sich sehr einfach aus dem Sonnenhöchststand bestimmen (Mittagsbreite), oder aus der Höhe kulminierender Sterne. Auf der Nordhalbkugel der Erde gibt die Höhe des relativ hellen Polarsterns über dem Horizont ziemlich genau den Breitengrad an: Am Äquator erscheint der Polarstern am Horizont, am Nordpol steht er nahezu senkrecht am Himmel. Der Fehler, der aus dem ca. zwei-Grad-Abstand des Polarsterns vom Pol entsteht, beträgt wegen der Erddrehung zweimal täglich 0°, zweimal 2° und kann mit einfachsten Mitteln verringert werden. Bereits die Seefahrer des 15. Jahrhunderts verstanden die Breite zur Navigation zu nutzen. Wer hingegen auf umständliche astronomische Messungen zur Bestimmung der Länge verzichten will oder (auf See) muss, braucht eine genaue Uhrzeit.

geodätische, ellipsoidische, astronomische, geozentrische Breite

Wird als Erdmodell ein Rotationsellipsoid verwendet, so enspricht die ellipsoidische Breite dem Winkel zwischen der Äquatorebene und der Ellipsoidnormalen. Diese Breite wird auch geodätische Breite genannt. Mit astronomischer Breite bezeichnen Geodäten den Winkel zwischen der tatsächlichen Lotrichtung und der Äquatorebene. Lotrichtung und Ellipsoidnormale verlaufen in der Regel nicht durch den Erdmittelpunkt. Die Richtung zum Erdmittelpunkt wird durch die Geozentrische Breite ausgedrückt.

Siehe auch

Navigation, Konfluenzpunkt

Weblinks


- http://www.explorermagazin.de/gps/gpsbas1.jpg Kategorie:Geodäsie Kategorie:Nautik ja:緯度

Kleinkreis

Unter Kleinkreis versteht man in der Mathematik und Geografie jene Kreise auf einer Kugel, deren Ebene nicht den Kugelmittelpunkt enthält. Der Name „Kleinkreise“ wurde als Gegensatz zu den „Großkreisen“ geprägt, deren Ebene das Kugelzentrum enthält und die alle größtmöglichen Kreise auf einer Kugeloberfläche umfassen. Die wichtigsten Kleinkreise sind die Breitenkreise, doch eignen sie sich nicht für trigonometriesche Berechnungen. Für deren Formeln sind ausschließlich Großkreise zu verwenden - zum Beispiel Meridiane oder „Großkreisrouten“. Siehe auch: geografische Breite, geografische Länge Kategorie:Kartografie Kategorie:Geometrie

Erde

Die Erde (von indogermanisch er[t]) ist der dritte Planet des Sonnensystems. Sie ist ca. 4,55 Milliarden Jahre alt und ist der einzige bekannte belebte Ort. Das Planetenzeichen ist 18px oder 14px. Der lateinische Name ist Terra. Die Erde zählt zu der Gruppe der erdähnlichen (terrestrischen) Planeten.

Entstehung und Aufbau der Erde

Hauptartikel: Entstehung der Erde, Innerer Aufbau der Erde, Erdfigur und Plattentektonik Plattentektonik Die Erde ist der größte Gesteinsplanet im uns bekannten Sonnensystem. Alle anderen Planeten sind kleiner oder bestehen wie Jupiter hauptsächlich aus Gas in stark komprimierten Zuständen. Die Erde entstand vor etwa 4,6 Milliarden Jahren. Man geht heute allgemein davon aus, dass sie während der ersten 100 Millionen Jahre einem intensiven Bombardement von Meteoriten ausgesetzt war. Heute ist nur noch ein geringer Beschuss zu verzeichnen. Die meisten der Meteore werden von Objekten kleiner als 1 cm hervorgerufen. Im Gegensatz zum Mond sind auf der Erde die meisten Einschlagkrater durch geologische Prozesse wieder ausgelöscht worden. Durch die kinetische Energie der Impakte während des schweren Bombardements und durch die Wärmeproduktion des radioaktiven Zerfalls erhitzte sich die junge Erde, bis sie größtenteils aufgeschmolzen war. In der Folge kam es zu einer gravitativen Differenzierung des Erdkörpers in einen Erdkern und einen Erdmantel. Die schwersten Elemente, vor allem Eisen, sanken in die Richtung des Schwerpunkts des Planeten, während leichte Elemente, vor allem Sauerstoff, Silizium und Aluminium nach oben stiegen. Aus diesen Elementen bildeten sich hauptsächlich silikatische Minerale, aus denen auch die Gesteine der Erdkruste bestehen. Aufgrund ihres vorwiegenden Aufbaus aus Eisen und Silikaten hat die Erde wie alle terrestrischen Planeten eine recht hohe mittlere Dichte von 5,515 g/cm3. Die Erde hat, wie alle Planeten, durch die Eigengravitation ihrer großen Masse annähernd die Form einer Kugel. Durch die Fliehkräfte ihrer ziemlich schnellen Rotation ist sie an den Polen geringfügig abgeplattet. Der Äquatorumfang ist dadurch mit 40.075,004 km um 67,183 km bzw. um 0,17 % größer als der Polumfang mit 39.940,638 km. Der Poldurchmesser ist mit 12.713,500 km dementsprechend um 42,77 km bzw. um 0,34 % kleiner als der Äquatordurchmesser mit 12.756,270 km. Solch ein geometrisches Verhältnis ist das eines Ellipsoids. Der Meeresspiegel (das Geoid) weicht davon nochmals um ± 100 Meter ab. Die Unterschiede im Umfang tragen mit dazu bei, dass es keinen eindeutig höchsten Berg auf der Erde gibt. Nach der Höhe über dem Meeresspiegel ist es der Mt. Everest im Himalaya und nach dem Abstand des Gipfels vom Erdmittelpunkt der auf dem Äquatorwulst stehende Vulkanberg Chimborazo in den Anden. Von der jeweils eigenen Basis an gemessen ist der Mauna Kea auf der vom pazifischen Meeresboden aufragenden großen vulkanischen Hawaii-Insel am höchsten. Wie die meisten festen Planeten und fast alle größeren Monde, z. B. der Erdmond, weist auch die Erde eine deutliche Dichotomie ihrer Oberfläche auf, d. h. eine Zweiteilung in unterschiedlich ausgeprägte Halbkugeln. Die Oberfläche der Erde unterteilt sich in eine Landhemisphäre und eine Wasserhemisphäre. Die Wasserfläche hat in der gegenwärtigen geologischen Epoche einen Gesamtanteil von 70,7 %. Die von der Landfläche umfassten 29,3 % entfallen hauptsächlich auf sieben Kontinente; der Größe nach: Asien, Afrika, Nordamerika, Südamerika, Antarktika, Europa und Australien. Wobei Europa als große westliche Halbinsel Asiens im Rahmen der Plattentektonik wahrscheinlich nie eine selbstständige Einheit gewesen ist. Die kategorische Grenzziehung zwischen Australien als kleinstem Erdteil und Grönland als größter Insel wurde nur rein konventionell festgelegt. Die Fläche des Weltmeeres wird im Allgemeinen in drei Ozeane einschließlich der Nebenmeere unterteilt: In den Pazifik, den Atlantik und den Indik. Die tiefste Stelle, das Witjastief 1 im Marianengraben, liegt 11.034 m unter dem Meeresspiegel. Nach seismischen Messungen ist die Erde hauptsächlich aus drei Schalen aufgebaut: Aus dem Erdkern, dem Erdmantel und der Erdkruste. Diese Schalen sind durch seismische Diskontinuitätsflächen (Unstetigkeitsflächen) voneinander abgegrenzt. Die Erdkruste und der oberste Teil des oberen Mantels bilden zusammen die so genannte Lithosphäre. Sie ist zwischen 50 und 100 km dick und zergliedert sich in große und kleinere tektonische Einheiten, die Platten. Die größten Platten entsprechen in ihrer Anzahl und Ordnung in etwa jener der von ihnen getragenen Kontinente, mit Ausnahme der pazifischen Platte. All diese Schollen bewegen sich gemäß der Plattentektonik relativ zueinander auf den teils aufgeschmolzenen, zähflüssigen Gesteinen des oberen Mantels, der 100 bis 150 km mächtigen Asthenosphäre. Der innere Erdkern ist fest, der äußere geschmolzen und gut 4.000 °C heiß. Ein dreidimensionales Modell der Erde wird, wie alle verkleinerten Nachbildungen von Weltkörpern, Globus genannt.

Atmosphäre

Hauptartikel: Erdatmosphäre Die Erde besitzt eine etwa 640 km hohe Atmosphäre. Deren Masse beträgt 5,13 x 1018 kg und macht somit knapp ein Millionstel der Erdmasse aus. Der mittlere Luftdruck auf dem Niveau des Meeresspiegels ist 1.013 hPa groß; bei einer mittleren Luftdichte von 1,293 kg/m3. In den bodennahen Schichten besteht die Lufthülle im Wesentlichen aus 78 % Stickstoff, 21 % Sauerstoff und 1 % Edelgasen. Dazu kommt ein wechselnder Anteil an Wasserdampf (0 – 5 %), der das Wettergeschehen bestimmt. Die auf der Erde gemessenen Temperaturextreme betragen –89,6 °C (gemessen am 21. Juli 1983 in der Wostok-Station in der Antarktis auf 3.420 Metern Höhe, was einer Temperatur von –60 °C auf Meereshöhe entspräche) und +58 °C (gemessen am 13. September 1922 in Al 'Aziziyah in Libyen auf 111 Metern Höhe). Die mittlere Temperatur in Bodennähe beträgt 15 °C; die Schallgeschwindigkeit bei dieser Temperatur beträgt in der Luft am Meeresniveau etwa 340 m/s. Die Erdatmosphäre streut den kurzwelligen, blauen Spektralanteil des Sonnenlichts etwa fünfmal stärker als den langwelligen, roten und bedingt dadurch bei hohem Sonnenstand die Blaufärbung des Himmels. Dass die Oberfläche der Meere und Ozeane vom Weltall aus gesehen blau erscheinen, weswegen die Erde seit dem Beginn der Raumfahrt auch der Blaue Planet genannt wird, ist jedoch auf die stärkere Absorption roten Lichtes im Wasser selbst zurückzuführen. Die Spiegelung des blauen Himmels an der Wasseroberfläche ist dabei nur von nebensächlicher Bedeutung.

Globaler Energiehaushalt

Der Energiehaushalt der Erde wird im Wesentlichen durch die Einstrahlung der Sonne und die Ausstrahlung der Erdoberfläche bzw. Atmosphäre bestimmt, also durch den Strahlungshaushalt der Erde. Der sonstige vorwiegend durch radioaktive Zerfälle erzeugte Energiebeitrag beträgt nur etwa 0,1 %. Die Albedo der Erde beträgt im Mittel 0,367, wobei ein wesentlicher Anteil auf die Wolken der Erdatmosphäre zurückzuführen ist. Dies führt zu einer globalen effektiven Temperatur von 246 K (-27 °C). Die Durchschnittstemperatur am Boden liegt jedoch durch einen starken atmosphärischen Treibhauseffekt bzw. Gegenstrahlung bei etwa 288 K (15 °C), wobei die Treibhausgase Wasser und Kohlendioxid den Hauptbeitrag liefern.

Herkunft des irdischen Wassers

Hauptartikel: Herkunft des irdischen Wassers Die Herkunft des Wassers auf der Erde, insbesondere die Frage, warum auf der Erde deutlich mehr Wasser vorkommt als auf den anderen erdähnlichen Planeten, ist bis heute nicht befriedigend geklärt. Ein Teil des Wassers dürfte durch das Ausgasen der Magma entstanden sein, also letztlich aus dem Erdinneren stammen. Ob dadurch aber die Menge an Wasser erklärt werden kann, ist fragwürdig. Weitere große Anteile könnten aber auch durch Einschläge von Kometen, transneptunischen Objekten oder wasserreichen Asteroiden (Protoplaneten) aus den äußeren Bereichen des Asteroidengürtels auf die Erde gekommen sein. Messungen des Isotopenverhältnisses von Deuterium zu Protium (D/H-Verhältnis) deuten dabei eher auf Asteroiden hin, da in Wassereinschlüssen in kohligen Chondriten ähnliche Verhältnisse gefunden wurden wie in ozeanischem Wasser, wohingegen bisherige Messungen dieses Isotopen-Verhältnisses an Kometen und transneptunischen Objekten nur schlecht mit irdischem Wasser übereinstimmten.

Himmelsmechanik

Umlaufbahn

Der mittlere Abstand des Zentrums der Erde vom Zentrum der Sonne ist die große Bahnhalbachse und beträgt etwa 149.597.870 km. Ursprünglich wurde dieser Abstand der Definition der Astronomische Einheit (AE) zugrunde gelegt, die als astronomische Längeneinheit hauptsächlich für Entfernungsangaben innerhalb des Sonnensystems verwendet wird. Der sonnennächster Punkt der Erde, das Perihel, liegt bei 0,983 AE AE und sein sonnenfernster Punkt, das Aphel, bei 1,017 AE. Sie läuft also auf einer elliptischen Umlaufbahn mit einer Exzentrizität von 0,0167 um die Sonne. Für einen Umlauf um die Sonne benötigt sie 365 d 6 h 9 min 9,54 s, diese Zeitspanne wird auch als Siderischen Jahres bezeichnet. Die Bahnebene der Erde wird als Ekliptik bezeichnet.

Mond

Hauptartikel: Mond Die Erde wird von einem Mond umkreist. Dieser ist im Vergleich zur Erde deutlich größer als es bei den anderen Planeten mit Ausnahme des Pluto/Charon-Systems der Fall ist. Der große Mond ist verantwortlich für die Stabilität der Schiefe der Ekliptik der Erde und damit auch für die guten Bedingungen zum Entstehen von Leben auf der Erde.

Rotation und Gezeiten

Die Erde rotiert einmal in 23 h 56 min 4,09 s um ihre eigene Achse. Analog zum siderischen Jahr wird diese Zeitspanne als ein Siderischer Tag bezeichnet. Aufgrund der Bahnbewegung der Erde entlang ihrer Umlaufbahn und der daraus resultierenden leicht unterschiedlichen Position der Sonne an nacheinander folgenden Tagen ist ein Sonnentag, der als die Zeitspanne zwischen zwei Sonnenhöchstständen (Mittag) definiert ist, etwas größer als ein Siderischer Tag und wird nach Definition in 24 Stunden eingeteilt. Aufgrund der Neigung der Rotationsachse der Erde von 23,44° gegen die Ekliptik werden die Nord- und die Südhalbkugel der Erde an verschiedenen Punkten ihrer Umlaufbahn um die Sonne unterschiedlich beleuchtet, was zu den das Klima der Erde prägenden Jahreszeiten führt. Jahreszeiten Der Mond verursacht auf der Erde Gezeiten. Ebbe und Flut in den Meeren und im Erdmantel bremsen die Erdrotation und verlängern dadurch gegenwärtig die Tage um etwa 20 Mikrosekunden pro Jahr. Die Gezeiten wirken sich auch auf die Landmassen aus, die sich um etwa einen halben Meter heben und senken.
Die Rotationsenergie der Erde wird dabei in Wärme umgewandelt. Der Drehimpuls wird auf den Mond übertragen, dessen Bahn sich dadurch um etwa 4 Zentimeter pro Jahr von der Erde entfernt. Dieser schon lange vermutete Effekt ist seit etwa 1995 durch Laser-Distanzmessungen abgesichert. Die zunehmende Tageslänge kann geologisch anhand von Wachstumsringen in fossilen Korallen nachgewiesen werden. Man findet in diesen Sedimenten eine Spur für jeden Tag, und eine jährliche Regelmäßigkeit, aus der sich die Anzahl der Tage im damaligen Jahr bestimmen lässt. In der Vergangenheit zeigt sich die Zunahme der Tageslänge anhand überlieferter Sonnenfinsternisse, die bei gleich bleibender Tageslänge an einem anderen Ort auf der Erde sichtbar gewesen wären. Extrapoliert man diese Abbremsung in die Zukunft, wird auch die Erde einmal dem Mond immer die gleiche Seite zuwenden, wobei ein Tag auf der Erde dann 47 Mal so lang wäre wie heute. Damit unterliegt die Erde dem gleichen Effekt, der in der Vergangenheit schon zur gebundenen Rotation des Mondes geführt hat. Zu dem Zeitpunkt, an dem diese Korotation eintreten wird, wird das Wechselspiel der Gezeiten beendet sein. Die Flutberge verbleiben dann immer an einem Ort auf der Verbindungslinie Erde-Mond und es wird zu einer dauerhaften Verformung des Erdkörpers kommen, ähnlich dem des Mondes. Diese Überlegungen kann man allerdings als hypothetisch betrachten, da zum einen die Stabilität der Erdrotation nicht gewährleistet ist. Zum anderen wird sich durch den Übergang der Sonne zu einem weißen Zwerg auch das gesamte Sonnensystem verändert haben.

Leben und Klima

weißen Zwerg Die Erde ist bisher der einzige Planet, auf dem Leben bzw. eine Biosphäre nachweisbar ist. Nach dem gegenwärtigen Stand der Forschung begann das Leben auf der Erde möglicherweise innerhalb eines relativ kurzen Zeitraums, gleich nach dem Ausklingen eines schweren Bombardements großer Asteroiden, dem die Erde nach ihrer Entstehung vor ca. 4,6 Milliarden Jahren bis etwa vor 3,9 Milliarden Jahren als letzte Phase der Bildung des Planetensystems ausgesetzt war. Nach dieser Zeit hat sich eine stabile Erdkruste ausgebildet und soweit abgekühlt, dass sich Wasser auf ihr sammeln konnte. Die ältesten direkten, allerdings umstrittenen Hinweise auf Leben, die als versteinerte Cyanobakterien gedeutet werden, sind 3,5 Milliarden Jahre alt und wurden in Gesteinen der Warrawoona-Gruppe im Nordwesten Australiens gefunden. In 3,85 Milliarden Jahre altem Sedimentgestein aus der Isua-Region im Südwesten Grönlands wurden in den Verhältnissen von Kohlenstoffisotopen Anomalien entdeckt, die auf biologischen Stoffwechsel hindeuten könnten; bei dem Gestein kann es sich aber auch statt um Sedimente lediglich um ein stark verändertes Ergussgestein ohne derartige Bedeutung handeln. Die ältesten und eindeutigen Lebensspuren auf der Erde sind 1,9 Milliarden Jahre alte fossile Bakterien aus der Gunflint-Formation in Ontario. Die chemische wie die biologische Evolution sind untrennbar mit der Klimageschichte verknüpft. Das Leben wird in seiner Entwicklung von den herrschenden Bedingungen geprägt und hat seinerseits Einfluss auf die Entwicklung und das Erscheinungsbild der Erde. Durch den Stoffwechsel des pflanzlichen Lebens bzw. durch die Photosynthese wurde die Erdatmosphäre mit molekularem Sauerstoff angereichert und bekam ihren oxidierenden Charakter. Zudem wurde die Albedo und damit die Energiebilanz durch die Pflanzendecke merklich verändert.

Klimazonen

Die Erde wird anhand unterschiedlich intensiver Sonneneinstrahlung in Klimazonen eingeteilt, die sich vom Nordpol zum Äquator erstrecken – und auf der Südhalbkugel spiegelbildlich verlaufen. Die jahreszeitlichen Temperaturschwankungen sind umso stärker, je weiter die Klimazone vom Äquator und vom nächsten Ozean entfernt liegt.

Polarzone

Unter den Polargebieten versteht man zum einen die Region innerhalb des nördlichen Polarkreises, die Arktis, sowie den Kontinent der Antarktis auf der Südhalbkugel der Erde. Besonderes Kennzeichen der Polarregionen sind neben dem kalten Klima mit viel Schnee und Eis der bis zu einem halben Jahr dauernde Polartag mit der Mitternachtssonne bzw. die Polarnacht, aber auch die Polarlichter.

Gemäßigte Zone

Die gemäßigte Klimazone erstreckt sich vom Polarkreis bis zum vierzigsten Breitengrad und wird in eine kalt-, kühl- und warmgemäßigte Zone eingeteilt. Diese Zone weist einen großen Unterschied zwischen den Jahreszeiten auf, der in Richtung der Erdmitte jedoch etwas abnimmt. Ein weiteres Merkmal sind die Unterschiede zwischen Tag und Nacht, die je nach Jahreszeit stark variieren. Diese Unterschiede nehmen, je näher man dem Pol kommt, immer mehr zu. Die Vegetation wird durch Nadel-, Misch- und Laubwälder geprägt, wobei die Nadelwälder in Richtung Äquator immer weniger werden.

Subtropen

Die Subtropen liegen in der geographischen Breite zwischen den Tropen in Äquatorrichtung und den gemäßigten Zonen in Richtung der Pole, ungefähr zwischen 25°-40° nördlicher und südlicher Breite. Diese Gebiete haben typischerweise tropische Sommer und nicht-tropische Winter. Man kann sie unterteilen in trockene, winterfeuchte, sommerfeuchte und immerfeuchte Subtropen. Eine weit verbreitete Definition definiert das Klima dort als subtropisch, wo die Mitteltemperatur im Jahr über 20 Grad Celsius liegt, die Mitteltemperatur des kältesten Monats jedoch unter der Marke von 20 Grad bleibt. Die Unterschiede zwischen Tag und Nacht fallen relativ gering aus. Die Vegetation reicht von der Artenvielfalt, wie sie z.B. im Mittelmeer auftritt, über die Vegetation der trockenen Savanne bis hin zur kargen oder auch völlig fehlenden Vegetation in Wüsten wie der Sahara.

Tropen

Die Tropen befinden sich zwischen dem nördlichen und südlichen Wendekreis. Die Tropen können in die wechselfeuchten und immerfeuchten Tropen unterschieden werden. In den Tropen sind Tag und Nacht immer gleichlang (jeweils 12 Stunden). Jahreszeiten gibt es als Solches nur in den wechselfeuchten Tropen und lassen sich nur in eine Trocken- und Regenzeit unterscheiden. Typisch für die wechselfeuchten Tropen sind die Feuchtsavannen, die sich nördlich und südlich der großen Regenwälder befinden. Sie zeichnen sich durch ihre weiten Grasländer aus. Beispiele sind die afrikanische Savanne und der Bantanal in Südbrasilien und Paraguay. Für die immerfeuchten Tropen, die sich rund um den Äquator befinden, sind die großen, sehr artenreichen Regenwälder, wie z.B. der Amazonas typisch.

Jahreszeiten

Die Jahreszeiten werden in erster Linie von der Einstrahlung der Sonne verursacht und sind in der gemäßigten Zone am stärksten ausgeprägt. Die Unterschiede entstehen durch die Neigung der Erde. Dies hat zur Folge, dass die Sonne zwischen dem nördlichen und südlichen Wendekreis hin- und herwandert (daher auch der Name). Dadurch entstehen auch neben den unterschiedlichen Einstrahlungen auch die Unterschiede zwischen Tag und Nacht. Die Wanderung erfolgt im Jahresrhythmus wie folgt:
- 21. Dezember (Wintersonnenwende): Die Sonne befindet sich auf dem südlichen Wendekreis bzw. auf dem Kreis des Steinbocks. Auf der Nordhalbkugel ist nun der kürzeste und auf der Südhalbkugel der längste Tag des Jahres. Durch die nun folgende geringe Einstrahlung der Sonne auf die Nordhalbkugel beginnt nun der Winter. Am Nordpol beginnt die Polarnacht und am Südpol der Polartag.
- 19. bis 21. März: Tagundnachtgleiche auf nördlicher und südlicher Halbkugel: Frühlingsbeginn im Norden und Herbstbeginn im Süden.
- 21. Juni (Sommersonnenwende): Längster Tag im Norden und kürzester Tag im Süden. Am Nordpol beginnt der Polartag und am Südpol die Polarnacht. Auf der Nordhalbkugel beginnt nun der astronomische Sommer und auf der Südhalbkugel der astronomische Winter. Die Sonne befindet sich am nördlichen Wendekreis (Kreis des Krebses).
- 22. oder 23. September: Tagundnachtgleiche: Im Norden beginnt der Herbst, im Süden der Frühling. Die Sonne ist auf Höhe des Äquators. Zwischen den beiden Wendekreisen, wo sich die Tropen befinden gibt es kaum Unterschiede zwischen den Jahreszeiten, da die Sonne dort immer im Zenit steht.

Einfluss des Menschen

Die ersten Menschen lebten als Jäger und Sammler. Mit der Neolithischen Revolution begannen im Vorderen Orient (11.), in China (8.) und im mexikanischen Tiefland (6. Jahrtausend vor Christus) Ackerbau und Viehzucht. Die Kulturpflanzen verdrängten die natürliche Pflanzenwelt. Im Zuge der Industrialisierung wurden weiträumige Landflächen in Industrie- und Verkehrsfläche umgewandelt. Die Wechselwirkungen zwischen Lebewesen und Klima haben heute durch den zunehmenden Einfluss des Menschen eine neue Quantität erreicht. Während im Jahr 1920 circa 1,8 Milliarden Menschen die Erde bevölkerten, wuchs die Weltbevölkerung bis zum Jahr 2000 auf 6,1 Milliarden an. In den Entwicklungsländern ist für die absehbare Zukunft weiterhin ein starkes Bevölkerungswachstum zu erwarten, während in vielen hoch entwickelten Ländern die Bevölkerung stagniert oder nur sehr langsam zunimmt, deren industrieller Einfluss auf die Natur aber weiterhin wächst. Siehe auch: Klimazonen

Siehe auch


- Liste aller Länder und Staaten der Erde
- Biosphäre 2
- Magnetismus
- Jahreszeiten
- Satellit
- Geowissenschaften
- Envisat (ESA-Umweltsatellit)
- Merkurtransit, Venustransit
- Die Erde in Daten und Zahlen
- Nasa World Wind (Computerprogramm)
- Google Earth (Computerprogramm)

Literatur


- David Oldroyd: Die Biographie der Erde. Zweitausendeins 1998. ISBN 3-86150-285-2
- J. D. Macdougall: Eine kurze Geschichte der Erde. Econ Taschenbuchverlag 2000. ISBN 3-612-26673-X
- Cesare Emilliani: Planet Earth. Cosmology, Geology, and the Evolution of Live and Environment. Cambridge University Press 1992.

Weblinks


- [http://www.uni-muenster.de/MineralogieMuseum/vulkane/Vulkan-3.htm Bau der Erde und Vulkanismus]
- [http://www.raumfahrer.net/planeterde Raumfahrer.net Sonderseite: Planet Erde]
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen]
- [http://home.arcor.de/m.panitzki/html/navigation/index_navigation.htm Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen II]
- Real Video (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri):
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=050202.rm Wie schnell entstand die Erde?]
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=020414.rm Warum ist die Erde warm?]
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010204.rm&g2=1 Wie alt ist die Erde?] Kategorie:Erde ja:地球 ko:지구 ms:Bumi simple:Earth th:โลก zh-min-nan:Tē-kiû

Bogenminute

Die Minute (oder Bogenminute oder Winkelminute) stellt eine Unterteilung der Einheit Grad (auch Gradmaß oder veraltet Altgrad genannt) für die Größe ebener Winkel dar. Das Einheitenzeichen für die Minute ist das Minutenzeichen und besteht aus einem geraden, geneigten, hochgestellten Strich: 1′ = 1 Minute. Das typographisch korrekte Zeichen im Unicode ist "PRIME", Code U+2032. Ersatzweise wird auch ein vertikaler Strich ( ' ) verwendet. Das Einheitenzeichen wird ohne Lücke unmittelbar hinter der letzten Ziffer des Zahlenwertes geschrieben wie auch bei den Einheitenzeichen der Winkel-Einheiten Grad und Sekunde. Ein Vollwinkel hat 360 Grad. Ein Grad besteht aus 60 Minuten: 1° = 60′. Eine Minute wiederum besteht aus 60 Sekunden: 1′ = 60″ und somit gilt 1° = 3600″. Üblich sind Winkelangaben auch in einer Schreibweise, die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet; der anzugebende Winkel wird dabei als Summe von 3 Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei geografischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet. Bei dieser Schreibweise lässt man die an sich systematisch notwendigen Pluszeichen weg, obwohl normalerweise das Nebeneinanderschreiben von Zahlen eine Multiplikation bedeutet: 51° 14′ 4,2″ ist also die Kurzsschreibweise für 51° + 14′ + 4,2″ . Umrechnung (Beispiel):
51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad, 14 Minuten, 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in Dezimalschreibweise umrechnen: Zum Vergleich: Als optischer Anhalt kann der Mond herangezogen werden. Er hat von der Erde aus betrachtet eine Größe von ungefähr 30 Minuten. Am Äquator der Erde entspricht eine Bogenminute etwa 1,852 Kilometer. Das ist eine Seemeile. Nicht zu verwechseln sind die Winkel-Einheiten Minute und Sekunde mit der Angabe der Rektaszension in Stunden, Minuten und Sekunden in der Astronomie.

Siehe auch


- Bogenmaß
- Bogensekunde
- SI-Einheiten
- Winkel (Geometrie) Kategorie:Maßeinheit ja:分 (角度)

Seemeile

Die Seemeile oder nautische Meile ist ein in der Schiff- und Luftfahrt gebräuchliches Längenmaß.

Geschichte

Ursprünglich wurde das Maß der Seemeile auf die Länge einer Bogenminute auf der Äquatorlinie festgelegt. Der Sinn dieser Herleitung ergab sich aus der nautischen Gestirnnavigation. Eine Position wurde somit recht einfach bestimmt, indem man den Sonnenuntergang/aufgang minutengenau bestimmte und damit die Position in Ost-West-Richtung zunächst eine Zeitangabe war. Daher war beim Sonnenaufgang die Breitenposition früh bestimmt, wenn man aber den höchsten Sonnenstand ermittelt hatte (gegen Mittag -Lokalzeit) konnte man mit Leichtigkeit auf die Längenposition berechnen und nun aus dem Sinus der Bogenminuten ein Seemeilenäquivalent bestimmen (da ja der Erdumfang gen Pol abnimmt). Bei der Einführumg des metrischen Systems wurde der nominelle Erdumfang (Meridiankreis) als 40.000 Kilometer definiert. Aus der Rechnung 40.000 km / 360 Grad des Vollkreises / 60 Bogenminuten ergibt sich als theoretisches Maß der Seemeile eine Länge von 1,8518 km. In der Praxis wurde dieser Wert jedoch im Hinblick auf die einfachere Umrechnung an national geläufigere Maße geringfügig angepasst. So wurde bis 1929 von Großbritannien für das Maß der Seemeile zur Länge der englischen Meile eine Länge von genau 800 englischen Fuß hinzugezählt (insgesamt 6080 Fuß), woraus sich das Maß von 1853,18 Metern für die englische Admiralty Mile ergab. In den USA galt bis 1954 als Maß der Seemeile die U.S. nautical mile, die mit 6080,20 feet festgelegt war, was umgerechnet einer Länge von 1853,24 Metern entspricht. International übergreifend wurde das Maß der International Nautical Mile 1929 auf der "Internationalen Hydrographischen Konferenz" in Monaco auf 1.852 m festgelegt. Nautische Meilen sind in der Seefahrt auch heute noch insofern praktisch, als dort oftmals Mercator-Karten zur Navigation verwendet werden. Über das Maß eines Breitengrades können so schnell Distanzen zweier Positionen in nautischen Meilen bestimmt werden. Da Mercator-Karten keine längentreue Abbildung darstellen, ist eine solche Vorgehensweise jedoch nur auf kleinere Gebiete mit möglichst gleichbleibendem Breitengrad anwendbar.

Luftfahrt

1 NM ist rund 1,8 km. Für grobe Überschlagsrechnungen kann man auch 2 km annehmen, da im Flug oft überschlägige Berechnungen im Kopf gefragt sind und man keine Hand für den Taschrechner frei hat. Für genauere Kopfberechnungen rechnet man 2 km minus 10%. Beispiel: 263 NM; rund 260 x 2 = 520; davon 10% sind 52 also ca. 50; 520 - 50 = 480 km. Umrechnungen zwischen NM (nautical mile) und km sind selten erforderlich, da durchgehend mit NM gerechnet wird. Gewöhnen muß sich ein Sichtflieger eher an Entfernungsschätzungen in NM - sowohl auf der Karte als auch beim Flug. Beispiel: ein kurzer Blick auf die Karte sollte genügen, damit er dann seine Position über Funk mitteilen kann: "five miles south of the airport". Größere Verwirrungen treten bei der Unterscheidung zwischen NM und statute mile auf. Besonders, wenn man außerhalb von Deutschland fliegt - vor allem in den USA und UK. Der Pilot meint immer NM, sagt aber über Sprechfunk immer "miles" (und nicht "nautical miles"). Die Entfernungsangaben auf Straßenschildern ( z.B. Daytona 6 miles) bezieht sich aber immer auf statute miles. Im Gespräch unter Piloten kann der Amerikaner auch mal statute mile statt NM meinen, wenn er "miles" sagt. Entferungsangaben auf Straßenkarten - die man sowieso nicht für die Flugvorbereitung verwenden solle - sind auch in statute miles. Natürlich steht einfach nur "miles" im Straßenatlas. Die Geschwindigkeitsanzeige im Auto zeigt auch statute miles. Bei der Definition der amerikanischen Luftraumstruktur sind auch statute miles bei der Definition der Wolkenabstände mit eingeflossen. Das kann sehr verwirrend für deutsche Piloten werden.

Seemeilen bzw. NM in der Luftfahrt

Die Luftfahrt war besonders in den Anfangsjahren amerikanisch dominiert. Die USA waren führend bei der Schaffung von nationalen Regulierungsbehörden für die Luftfahrt (FAA) und später auch bei der Schaffung von internationalen Luftfahrtorganisationen (ICAO, IATA). Flugreisen und Privatflugzeuge gehörten dort schon viel früher und stärker zum Alltag als z.B. in Deutschland. Da die USA sich für NM entschieden haben und sich durch den Einfluß der USA auch Englisch als internationale Kommunikationssprache im Flugfunk durchgesetzt hat, verwendet man heutzutage weltweit NM als Entfernungsangabe in der Luftfahrt. Eine Ausnahme bildete die ehemalige Sowjetunion. Sie hatte konsequent das Internationale Einheitensystem in der Luftfahrt angewendet - schon aus ihrer politischen Überzeugung im Klassenkampf gegen den Imperialismus heraus. Linienpiloten mussten sich bei jedem Überflug auf die "neuen" SI-Einheiten umstellen, wobei die praktischen Probleme weniger in der Umrechnung von km in NM lagen als vielmehr mit der von Höhenangaben in Meter zu Fuß (Einheit).

Schifffahrt - einfache Kartenkunde

Fuß (Einheit) 1° = 60 NM auf einem Großkreis. Alle Längengrade sowie der Äquator sind Großkreise. Daraus ergibt sich: 1 Minute (1') = 1 NM. Die Minuteneinteilung kann man direkt am Kartenrand ablesen. Aber nochmals Achtung - das gilt nur für die senkrechten Linien (Längengrad) des Koordinatengitters. Die Minuteneinteilung der Längengrade findet man am linken und rechten Kartenrand. Meist wird alle 10 Minuten eine Zahl angezeigt (z.B. 52°10' - 52°20' - 52°30' - ...). Wenn wir uns z.B. auf dem Nullten-Längengrad nach Norden bewegen, dann lesen wir zwar am oberen Kartenrand die 0° ab, aber am linken und rechten Kartenrand lesen wir ab, um wieviel Minuten wir uns nach Norden bewegt haben. Das Ablesen der NM auf den horizontalen Linien (Breitengradgrad) ist viel komplizierter. Es funktiniert nur auf einer einzigen horizontalen Linie - der Äquatorlinie. Auf den anderen Breitenkreisen funktioniert es nicht, da sie in der Nähe des Nordpols viel kleiner sind, als am Äquator. Die verschiedenen (horizontalen) Breitenkreise sind unterschiedlich lang, während die verschiedenen (vertikalen) Längenkreise alle die gleiche Länge haben. Wie kann man nun die NM auf einem (horizontalen) Breitenkreis messen, der in der Nordsee liegt und nicht am Äquator? Man nehme einen Stechzirkel greife damit die horizontale Streck ab und halte Stechzirkel an einen benachbarten senkrechten Längengrad. Dort ermittelt man mit dem Stechzirkel die Minuten und rechne sie in NM um (1 Minute auf dem senkrechten Längengrad = 1 NM = 1 Minute auf dem Äquator). Wie mißt man Entfernungen die schräg über die Karte laufen? Genauso, wie man horizontale Entfernungen mißt (siehe oben). Man greife die Strecke mit einem Stechzirkel ab und halte ihn dann an einen in der Nähe liegenden senkrechten Breitenkreis. dort ließ man die Minuten ab und wandelt sie direkt in NM um (1' = 1 NM)

NM direkt am Globus ablesen - einfache Kartenkunde

Wie weit ist es vom Nordpol bis zum Südpol? Da der Erdumfang 40.000 km beträgt, nehmen wir für die halbe Strecke die Hälfte von 40.000 km und erhalten 20.000 km. Wie weit ist es vom Äquator bis zum Nordpol? Ein Viertel vom Erdumfang (40.000 km) also 10.000 km. Und wieviel ist das in nautischen Meilen (NM)? Bevor wir sinnlos km in NM umrechnen, besinnen wir uns auf den Zusammenhang zwischen Grad und NM. 1 Minute = 1 NM; Auf dem Globus sind aber keine Minuten eingezeichnet, sondern nur alle 10 Grad eine Linie. 1° = 60 NM (denn 1° = 60 Minuten) 10° sind also 600 NM. Nie vergessen: immer an den senkrechten Längenkreisen abmessen. Auf kleinen Globen sind nur alle 30° die Längenkreise eingetragen -also 1.800 NM. Und wie weit ist es nun vom Äquator zum Nordpol (in NM)? Der Äquator liegt bei 0° Breite und der Nordpol liegt bei 90° nördlicher Breite. Das macht einen Unterschied von 90°. 10° sind 600 NM - also sind 90° = 5.400 NM Vom Südpol zum Nordpol ist es doppelt so weit - also 10.800 NM. Oder anders gerechnet: vom Südpol zum Nordpol sind es 180° - also 18 x 600 = 10.800 NM. Der Erdumfang ist 360° - also 2 x 10.800 NM = 21.600 NM. am besten lernt man auswendig, daß 1° = 111 km sind (ca.)( = 60 NM)

Umrechnung

1 sm = 1852 m = 1,852 km Da      100.000/54 = 1.851,85185185... Meter     ist, können für eine Näherungsrechnung 54 Seemeilen mit 100 Kilometern gleichgesetzt werden. Für überschlägliches Umrechnen in Kilometer kann die Zahl der Seemeilen mit 2 multipliziert und davon 10% abgezogen werden. Also z. B. für 23 sm = 42,596 km 2
- 23 = 46
46 - 4,6 = 41,4 - die Abweichung beträgt also knapp 3 %.

Abkürzungen und abgeleitete Einheiten

Im Deutschen ist das Einheitenzeichen der Seemeile "sm", international wird sie als nautical mile mit "nm" oder "n.m." abgekürzt. Lt. "Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures" von 1999 ist die international gebräuchliche Abkürzung für Nautical Mile: mi Aus dem Zusammenhang ist in der Regel eine Verwechslung mit der SI-Einheit "Nanometer" (auch mit "nm" abgekürzt) ausgeschlossen. Als Formelzeichen der Länge wird meist l oder s verwendet. In Österreich und Deutschland ist diese Einheit auf Grund von internationalen Vereinbarungen zulässig, obwohl sie außerhalb des SI-Systems steht. Unterteilung der Seemeile :
- 1 Seemeile = 10 Kabellängen ("kbl")
- 1 Seemeile = 1000 Faden, der "Faden" wird benutzt für nautische Tiefenangaben
- 1 Seemeile = 1/4 Geographische oder Landmeile Die Geschwindigkeit von Luft- und Wasserfahrzeugen wird häufig in Seemeilen pro Stunde angegeben, die Maßeinheit wird Knoten genannt. Siehe auch: Statute Mile Kategorie:Maßeinheit Kategorie:Seeschifffahrt Kategorie:Luftfahrt ja:海里 nb:Nautisk mil

Orthodrome

Die Orthodrome (griech. "rechter Weg") ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen. Damit ist die Orthodrome mit der so genannten Luftlinie identisch. Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Dafür ist die Stecke der Loxodrome allerdings auch etwas länger als die der Orthodrome. Meridian

Rechenformeln

Nördlichster Punkt

Meridian Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α: \, \delta_N = \arccos ( \sin(|\alpha_A|)
- \cos(\delta_A)) \lambda_N = \operatorname(\alpha_A)
- \left| \arccos \left( \frac\right) \right|

Länge

Als Winkel lässt sich die Länge folgendermaßen angeben: \, \zeta =\arccos(\sin(\delta_A) \sin(\delta_B) + \cos(\delta_A)\cos(\delta_B)\cos(\lambda_B - \lambda_A)) Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss \zeta noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für \zeta im Bogenmaß; falls \zeta in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit 2 \pi / 360 multipliziert werden).

Kurswinkel

\alpha_A = \arctan \left( \frac \right)