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Grundlage

Grundlage

Basis bedeutet im deutschen Grundlage und wird in unterschiedlichen Zusammenhängen verwendet.

Begriffsherkunft

Lateinisch bedeutet basis der Sockel aus älterem, gelehrtem Griechisch βάσις, wássis - die Ausgangs-, Grundlage, das Fundament, von altgriechisch bainein - gehen.

Spezielle Basen

Basis bezeichnet
- in der Architektur den Sockel einer Säule oder eines Pfeilers, siehe Basis (Architektur)
- in der Elektronik einer der drei Anschlüsse eines Transistors, siehe Bipolartransistor
- in der Geodäsie eine mit sehr hoher Genauigkeit gemessene Grundlinie zur Maßstabsfestlegung bei der Triangulation
- in der Mathematik:
  - das a in einer Potenz a^n, das n-mal mit sich selbst multipliziert wird, siehe Potenz (Mathematik)
  - davon abgeleitet die Basis eines Logarithmus, siehe Basis (Logarithmus)
  - die Grundzahl eines Stellenwertsystems
  - ein minimales Erzeugendensystem eines Vektorraums, siehe Basis (Vektorraum)
  - allgemeiner ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Moduls, siehe Basis (Modul)
  - in der Aussagenlogik, siehe Basis (Aussagenlogik)
- in der Festkörperphysik die Grundstruktur eines Kristalles, die periodisch wiederholt wird, siehe Basis (Kristall)
- allgemein den Ausgangspunkt zu verschiedenen Operationen, z.B. eine Basisstation beim Bergsteigen oder eine Militärbasis als Ausgangspunkt für militärische Operationen
- eine politische Größe, siehe Basis (Politik)
- einen von Karl Marx geprägten Begriff der Philosophie, siehe Basis und Überbau (Marxismus)
- bei Pilzen die Wurzel, siehe Basis (Pilz)
- in der Stereofotografie den Abstand zwischen den aufnehmenden Objektiven, siehe Basis (Stereofotografie)
- in der Fliegerei die Höhe, in der die aufsteigende Warmluft der Thermik zu Wolken kondensiert, siehe Wolkenbasis Siehe auch Base

Latein

Als Latein bzw. Lateinisch (lat. lingua Latina: „lateinische Sprache“) bezeichnet man die Sprache, die ursprünglich vom Volksstamm der Latiner gesprochen wurde, der Bewohner von Latium mit Rom als Zentrum. Innerhalb der indogermanischen Sprachen gehört Latein zur Gruppe der italischen Sprachen. Es bildete die Grundlage für alle heutigen romanischen Sprachen.

Entwicklung

romanischen Sprachen Ursprünglich in Rom und dem umliegenden Gebiet (Latium) gesprochen, wurde Latein später an humanistischen Gymnasien unterrichtet. Neben Griechisch war Latein die Amtssprache des römischen Reiches. Wegen der kulturellen Überlegenheit des Ostens verlor es dabei zeitweise in Nordafrika und selbst in Rom seine Vorrangstellung. So war die Liturgiesprache der römischen Christen bis um 300 das Griechische. In dieser Zeit drangen viele griechische Lehnwörter ins Lateinische ein. Während der Spätantike begannen sich verschiedene Volkssprachen, aus denen im Mittelalter die romanischen Sprachen entstehen sollten, phonetisch und grammatikalisch von der lateinischen Hochsprache wegzuentwickeln. Doch noch im 6. Jahrhundert entstanden hochsprachliche lateinische Werke. Im Oströmischen Reich war Latein bis ins frühe 7. Jahrhundert neben Griechisch eine der beiden Amtssprachen. Im Westen übernahmen die Germanen mit den Grundelementen der spätrömischen Verwaltung auch die lateinische Sprache, die in der Administration bis in die frühe Neuzeit vorherrschend blieb. Seit der Völkerwanderung und der Christianisierung der (zunächst zumeist arianischen) Germanenvölker wurde Latein im Westen des früheren Römischen Reiches und in den römisch-katholischen Folgestaaten die Sprache des Klerus (Kirchenlatein), der Rechtswissenschaft (Glossatoren) und der sich bildenden Hochschulen (studia generalia). Es bildete somit die Schriftsprache, vor allem für das kirchliche und weltliche Urkundenwesen (Diplomatik) im frühen Europa. In völkerrechtlichen Verträgen (z. B. im Westfälischen Frieden von 1648) dominierte Latein bis in das 17. Jahrhundert hinein. Es bildet noch bis ins 20. Jahrhundert den Affixvorrat für die Fachterminologie in den Wissenschaften und verliert durch die fortschreitende Absorption in die englische und andere Sprachen lediglich an direkter, nicht jedoch an indirekter Bedeutung. Es wird noch an vielen Schulen unterrichtet.

Antike

Antike Schreibweise

Die lateinische Sprache wurde ursprünglich als scriptio continua, d. h. als zusammenhängender Fluss von Zeichen ohne Zwischenräume geschrieben. Auch Satzzeichen und Kleinbuchstaben wurden in der Antike nicht verwendet. Auf Wachstafeln war nämlich wenig Platz zum Schreiben, und Papyrus war teuer. Die antiken lateinischen Texte sind für uns heute daher schwer zu lesen. Vergleiche folgendes Beispiel: Alte Schreibweise: AVREAPRIMASATAESTAETASQVAEVINDICENVLLO SPONTESVASINELEGEFIDEMRECTVMQVECOLEBAT POENAMETVSQVEABERANTNECVERBAMINANTIAFIXO AERELEGEBANTVRNECSVPPLEXTVRBATIMEBAT IVDICISORASVISEDERANTSINEVINDICETVTI NONDVMCAESASVISPEREGRINVMVTVISERETORBEM MONTIBVSINLIQVIDASPINVSDESCENDERATVNDAS NVLLAQVEMORTALESPRAETERSVALITORANORANT NONDVMPRAECIPITESCINGEBANTOPPIDAFOSSAE NONTVBADIRECTINONAERISCORNVAFLEXI NONGALEAENONENSISERANTSINEMILITISVSV MOLLIASECVRAEPERAGEBANTOTIAGENTES Heutige Schreibweise: Aurea prima sata est aetas, quae vindice nullo, sponte sua, sine lege fidem rectumque colebat. poena metusque aberant nec verba minantia fixo aere legebantur, nec supplex turba timebat iudicis ora sui, sed erant sine vindice tuti. nondum caesa suis, peregrinum ut viseret orbem, montibus in liquidas pinus descenderat undas, nullaque mortales praeter sua litora norant. nondum praecipites cingebant oppida fossae, non tuba directi, non aeris cornua flexi, non galeae, non ensis erant: sine militis usu mollia securae peragebant otia gentes. Auszug aus Ovids Metamorphosen: Die Schöpfung (Das goldene Zeitalter) Details zu den verwendeten Buchstaben finden sich in dem Artikel Lateinisches Alphabet. Siehe zu diesem Thema auch: Paläografie (dort Lateinische Paläografie), Capitalis, Versalschrift und Majuskel.

Antike Aussprache

Auf die antike Aussprache der lateinischen Sprache wird im Artikel Lateinische Aussprache eingegangen.

Literatur

Mit Antiker Literatur des Lateinischen beschäftigt sich u. a. der Artikel Lateinische Literatur.

Gegenwart

Auch heute ist Latein noch an vielen Gymnasien aller Fachrichtungen zu finden. Etwa ein Drittel aller Gymnasiasten im deutschen Sprachraum lernt Latein als erste, zweite oder dritte Fremdsprache. An humanistischen Gymnasien wird dem Lateinischen, neben dem Griechischen, noch eine herausgehobene Bedeutung zugemessen, was früher auf eine aktive Beherrschung des Lateinischen zielte. Tatsächlich werden auch heute noch für zahlreiche Studiengänge das Latinum oder Lateinkenntnisse gefordert, insbesondere in zahlreichen geisteswissenschaftlichen Fächern. Das Latinum ist als Studienvoraussetzung für die Fächer Medizin und Jura weitestgehend abgeschafft, häufig aber nicht in Fächern wie Anglistik, Philosophie oder sogar Musikwissenschaften. Unabhängig von den Studienanforderungen wird von Befürwortern des Lateins betont, dass das Erlernen der lateinischen Sprache weiterhin Basis für die korrekte Verwendung von Fremdwörtern sei, das Erlernen anderer romanischer Sprachen wesentlich erleichtere und erhebliche Transfer-Effekte für die Denkschulung aufträten. Das Übersetzen lateinischer Texte fördere auf Grund der erheblichen Komplexität vieler lateinischer Sätze auch das logische Denken. Von den Gegnern ist hingegen zu hören, dass die Auseinandersetzung mit jeder Art von Grammatik, egal welcher Sprache, das strukturierte Denken fördere, und dass das Erlernen moderner romanischer Sprachen, welche im Gegensatz zu Latein noch gebraucht werden, mindestens ebenso gut dazu geeignet sei, die zahlreichen lateinischen Lehnwörter im Deutschen korrekt zu verwenden und andere romanische Sprachen zu erlernen. In der Tat sind viele gesamtromanische, also in allen romanischen Sprachen auftretende Wörter nicht im klassischen Latein vorhanden und müssen dann neu gelernt werden: guerra „Krieg“, testa „Kopf“, cavallo „Pferd“, mangiare/manger „essen“, andare
- „gehen“ , boc(c)a/bouche „Mund“, blanco/blanc „weiß“, die Himmelsrichtungen etc. Viele dieser Wörter erklären sich nämlich aus dem umgangssprachlichen oder dem späten Latein oder stammen aus der Soldatensprache, also aus Varietäten, die nicht in der Schule gelehrt werden. Aus deutschen und US-amerikanischen Untersuchungen geht hervor, dass zwischen absolviertem Lateinunterricht und der Beherrschung der englischen Sprache in Schrift und vor allem Wort eine signifikante Korrelation besteht. Ein kausaler Zusammenhang ist allerdings nicht nachgewiesen worden – möglicherweise macht eine hohe sprachliche Begabung eines Kindes die Wahl des als schwierig geltenden Latein wahrscheinlicher. Da auch im modernen Lateinunterricht die Sprachproduktion eindeutig der Rezeption (Leseverstehen) untergeordnet ist, glauben viele, Latein falle Menschen mit ausgeprägter Begabung für Mathematik und formelle Denkvorgänge generell leichter als andere Fremdsprachen, wohingegen Menschen mit ausgeprägter Begabung für intuitives Erlernen von Sprachen andere Fremdsprachen leichter fänden. Dieser Zusammenhang lässt sich allerdings nicht häufig verifizieren: Die Erfahrung zeigt, dass die Schülerleistungen in Latein überwiegend Hand in Hand mit denen in der Muttersprache und anderen Fremdsprachen gehen.

Modernes Latein

Auch heute werden deutsch-lateinische Lexika aufgrund neulateinischen Wortgutes herausgegeben, z. B. das „lexicon auxiliare“ oder das vom Vatikan herausgegebene „lexicon recentis latinitatis“, welches erst im Jahre 2004 eine Neubearbeitung erfuhr. Der finnische Rundfunksender YLE (Yleisradio) verbreitet Wochennachrichten in neulateinischer Sprache. Radio Bremen veröffentlicht regelmäßig die Nuntii Latini in schriftlicher und gesprochener Version. Seit April 2004 veröffentlicht auch die deutschsprachige Redaktion bei Radio Vatikan Nachrichten auf Lateinisch. Dabei handelt es sich um ursprünglich deutsche Meldungen. Gero P. Weishaupt übersetzt sie für die Redaktion ins Lateinische. Sehr beliebt ist auch die lateinische Fassung der Asterix-Comics, die der deutsche Altphilologe Graf v. Rothenburg (Rubricastellanus) verfasst hat. Der Autor Nikolaus Groß, beruflich seit zehn Jahren Deutsch-Lektor in der südkoreanischen Hauptstadt, hat 2004 eine komplett latinisierte Übertragung von Patrick Süskinds Das Parfum im Brüsseler Verlag der Fundatio Melissa, einem überregionalen Verein zur Pflege des gesprochenen Lateins, veröffentlicht. Dem Buch ist mit dem „Glossarium Fragrantiae“ eine größere Liste aktualisierter Neuschöpfungen beigegeben. Vom selben Wortartisten existiert des weiteren ein Buch über den Baron Mynchusanus (Münchhausen). 2003 erschien bereits der erste Teil der Harry Potter-Bücher von J. K. Rowling auf Latein (Harrius Potter et Philosophi Lapis). Daneben gibt es noch viele weitere Übersetzungen „klassischer“ Werke ins Lateinische, so zum Beispiel Karl Mays Winnetou III, oder Der kleine Prinz (Regulus) von St. Exupéry. Durch das Internet ist die Verfügbarkeit alter lateinischer Texte sowie das Entstehen neuer lateinischer Texte erheblich begünstigt worden. Inzwischen gibt es sogar lateinische Fassungen von Popsongs. Daneben entstehen auch neue Popsongs in lateinischer Sprache, etwa Cursum Perficio, gesungen von Enya, Liberatio, eines von vielen lateinischen Musikstücken der Gruppe „Krypteria“, oder bei Gruppen der Dark Wave bzw. Gothic (Jugendkultur). Roma Ryan hat neben Cursum Perficio für Enya noch weitere Songs in lateinischer Sprache verfasst. In Internetforen wie Grex Latine Loquentium kommunizieren Teilnehmer aus vielen Ländern ausschließlich in Latein. In der klassischen beziehungsweise neoklassischen Musik findet Latein ebenfalls Verwendung. So hat etwa der niederländische Komponist Nicholas Lens auf seinem Werk Flamma Flamma ein lateinisches Libretto vertont, für sein Werk Terra Terra hat Lens selbst ein Libretto in lateinischer Sprache verfasst. Nicht zu vergessen sind auch die zahlreichen Vertonungen lateinischer Gedichte wie z. B. von Jan Novák. Carl Orff unterlegte mehreren seiner Vokal-Kompositionen Texte in Latein oder Griechisch. Igor Strawinski ließ das nach Sophokles von Jean Cocteau in französischen Versen verfasste Libretto zu „Ödipus Rex“ von Jean Daniélou ins Lateinische übersetzen. Das Lehrbuch Lingua Latina per se illustrata des dänischen Autors Hans H. Ørberg hat die bisher hauptsächlich für den Unterricht in modernen Sprachen eingesetzte einsprachige Lehrmethode auf den altsprachlichen Unterricht übertragen. Das Lehrbuch erfreut sich in verschiedenen Ländern einer steigenden Beliebtheit.

Latein in den Wissenschaften

In der Biologie erfolgt die Namensbildung der wissenschaftlichen Namen lateinisch und griechisch, wobei neuere Vorschläge vorsehen, die Regeln nur aus der lateinischen Sprache zu entnehmen. In der Medizin sind die anatomischen Fachbegriffe lateinisch, für die einzelnen Organe wird zusätzlich auch latinisiertes Griechisch verwendet. Die Krankheitsbezeichnungen leiten sich aus dem Griechischen ab. Zahlreiche Sprichwörter haben einen lateinischen Ursprung und sind teilweise auch in der deutschen Übersetzung zu geflügelten Worten geworden. In den Rechtswissenschaften existieren verschiedene lateinische Lehrsätze und Fachbegriffe (Latein im Recht). Auch in der Geschichtswissenschaft spielt vor allem Latein weiterhin eine große Rolle. In der Meteorologie werden lateinische Begriffe in der Wolkenklassifikation eingesetzt.

Latein in der katholischen Kirche

Latein ist neben Italienisch die Amtssprache des Vatikanstaats. Die katholische Kirche veröffentlicht alle amtlichen Texte von weltkirchlicher Bedeutung in Latein. Das gilt für die liturgischen Bücher, den Katechismus, den Codex des kanonischen Rechts sowie die päpstlichen Rechtsvorschriften (canones, decretales) und Rundschreiben (Enzykliken). Bis zum zweiten Vatikanischen Konzil (1962–1965) war Latein die offizielle Gottesdienstsprache und ist dies (laut Sacrosanctum Concilium) offiziell noch heute, wobei andere Sprachen jedoch gleichfalls erlaubt sind. Tatsächlich werden nur noch sehr wenige Gottesdienste in Latein gehalten. Der gegenwärtig amtierende Papst Benedikt XVI. bevorzugt bei seinen Messen aber das Lateinische vor dem Italienischen. Siehe auch: Lateinische Kirche

Referenzlisten


- Lateinische Präpositionen
- Liste lateinischer Ortsnamen
- Liste lateinischer Präfixe
- Liste lateinischer Redewendungen
- Liste lateinischer Suffixe
- Liste von lateinischen Palindromen
- Lateinische Zahlwörter

Siehe auch


- Grammatik des Lateinischen
- Lateinische Aussprache
- Lateinische Sprichwörter
- Küchenlatein
- Vulgärlatein
- Mittellatein
- Lateinische Literatur
- Sprachen im Römischen Reich
- Jägerlatein
- Panlatinismus

Weblinks


- [http://www.commtec.de/wb/ Wörterbuch Latein-Deutsch-Latein auxilium online (mit Download-Möglichkeit)]
- [http://www.latein-pagina.de/iexplorer/stil.htm Lateinische Stilblüten]
- [http://www.thelatinlibrary.com/ The Latin Library – klassische Texte im Original]
- [http://www.albertmartin.de/latein/ Latein-Deutsch-, Deutsch-Latein-Wörterbuch mit hilfreichen Extras]
- [http://www.radiobremen.de/online/latein/ Nuntii latini bei Radio Bremen]
- [http://www.latein-pagina.de/ Latein-Pagina]
- [http://www.antikeundeuropa.de/Alte_Sprachen_heute/alte_sprachen_heute.html Alte Sprachen heute]
- [http://www.fh-augsburg.de/~harsch/a_chron.html Sammlung lateinischer Texte/bibliotheca Augustana]
- [http://www.music.indiana.edu/tml/ Lateinische Musiktraktate im Original]
- [http://www.lateinservice.de/index.htm Die deutsche Latein-Seite]
- [http://www.alcuinus.net/GLL/ Grex Latine Loquentium (Internetforum in lateinischer Sprache)]
- [http://www.kreienbuehl.ch/lat/ Latein und Altgriechisch Site]
- [http://www.latein24.de/ Übersetzungen vieler klassischer lateinischer Texte bei Latein24.de] Kategorie:Einzelsprache
- als:Latein ja:ラテン語 ko:라틴어 simple:Latin language th:ภาษาละติน zh-min-nan:Latin-gí

Sockel

Ein Sockel ist # in der Bautechnik ein Block, auf dem eine Säule steht, siehe Basis (Architektur) # in der Kunst das Podest, auf dem eine Skulptur steht, siehe Postament # in der Elektrotechnik eine Vorrichtung, um Bauteile schnell auf einer Grundplatte befestigen und lösen zu können, siehe Sockel (Technik) # in der Computertechnik der Sockel für einen Mikroprozessor, siehe Sockel (Prozessor) # in der Geologie der Festlandsockel

Basis (Architektur)

Eine Basis (lat. basis = Sockel; von giech. básis = Fuß, Grundlage, Fundament) ist im Bauwesen der unterste Bauteil einer Säule, auf dem der Schaft aufsitzt. Die Basis kann selbst wiederum auf einem Sockel stehen, der meist die Form eines schmucklosen Quaders besitzt. Die Basis hat ihren Ursprung im Holzständerbau. Unter die Holzstützen wurden Steinplatten gelegt, um zu verhindern, dass aufsteigende Bodenfeuchtigkeit die Holzstütze zerstörte und um die Druckfläche der Stütze zu vergrößern und damit ein Einsinken der Stütze in den Boden zu vermeiden. Bereits die Säulen der Ägypter hatten einfache druckverteilende Steinplatten unter ihrem anfänglich monolithischen Säulenschäften. Die kretischen Säulen hatten dann eine ausgeformte polsterähnliche Steinplatte. Bei den Säulenordnungen der griechischen Baukunst wurde die Basis immer weiter entwickelt. Ägypter Die häufig verwendete attische Basis besteht aus zwei konkaven Wulsten (Torus) und einer dazwischen liegenden Hohlkehle (Trochilus). Sie sind jeweils durch dünne Plättchen mit vertikalem Profil getrennt. Sie findet sowohl bei der ionischen wie bei der korinthischen Säule Anwendung. Durch die Aufeinanderfolge von Platten mit zum Boden hin größer werdenden Durchmessern und abwechselnder Profilierung wird der Übergang zu der großen Aufstandsfläche optisch abgefangen und ästhetisch gemildert. Lediglich die dorische Ordnung verwendet keine Basis und stellt den Säulenschaft direkt auf die oberste Stufe des Tempelunterbaues. Die unterste Platte (Plinthe) ist eine quadratische Platte, welche sich in das Fugenbild der obersten Stufe des Tempelbaues (Krepis oder Stylobat) einfügt. Da die griechischen Tempel mit Kurvatur gebaut waren, musste unter der Plinthe ein ausgleich zur geneigten Fläche der obersten Stufe der Krepis hergestellt werden, was durch den an die oberste Stufe angearbeiteten Keil (Scamillus) erreicht wurde. Hatten die Basen anfänglich nur glatte Oberflächen, so findet man bei jüngeren Bauwerken reich mit Mäandern, Blattwerk und anderen Ornamenten ausgeführte Basen. In der romanischen Baukunst und der frühgotischen Baukunst wurde der harte Übergang von der untersten Basisplatte zur quadratischen Fußplatte (Plinthe) durch die Anarbeitung von Eckblättern oder Eckspornen gemildert. Dies waren blattähnliche, knollenähnliche oder spornähnliche Verzierungen auf den vier Eckzwickeln der Fußplatte. In der Romanik wurden diese Eckzwickel auch mit Fabelwesen oder Menschenköpfen verziert. Kategorie:Säule

Triangulation

]] Triangulation (von lat. Triangulum, Dreieck) ist:
- In der Trigonometrie und elementaren Geometrie, ein Verfahren den Abstand zu einem Punkt zu finden, indem eine Seite eines Dreiecks unter Kenntnis zweier Winkel und der Länge der von diesen eingeschlossenen Seite berechnet wird. Diese Methode ist Grundlage für viele Anwendungen und technische Verfahren, wie
  - In der Geodäsie ein Verfahren zur Erstellung eines Dreiecksnetzes aus mehreren Winkelmessungen: siehe Triangulation (Geodäsie), Netz (Geodäsie)
  - In der Messtechnik ein Verfahren zur Entfernungsmessung und Formerfassung: siehe Triangulation (Messtechnik)
  - Bestimmung von Gelenkstellungen in der Robotik
- In der höheren Mathematik ein Verfahren, um aus einer vorgegebenen Punktmenge ein Dreiecksnetz (Simplices) zu erstellen. Siehe Delaunay-Triangulation und Digitales Geländemodell (Insbesondere die Teilung einer Ebene in Dreiecke, woher der Name rührt).
- Das von der Europäischen Zentralbank (EZB) vorgeschriebene Verfahren zur Umrechnung der europäischen Währungen mit Einführung des Euro. Soll ein Betrag in der Währung eines Teilnehmerlandes in die eines anderen Teilnehmerlandes umgerechnet werden, so ist der Ausgangswert immer zuerst über den fixierten Wechselkurs in Euro umzurechnen und dann vom Euro in die Zielwährung.
- In der empirischen Sozialforschung die Anwendung mehrerer empirischer Methoden (qualitativer und quantitativer Art) nebeneinander. Dient zur Festigung oder Relativierung sozialwissenschaftlicher Ergebnisse. Gründet auf der Absicht einer Vielfalt von Methoden bzw. Perspektiven.
- Eine spezielle Art der Veredelung (Pflanzen) (dreikantiges Pfropfen)

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Basis (Logarithmus)

Unter dem Logarithmus (griech.: logos = Verständnis, arithmos = Zahl) versteht man in der Mathematik das Ergebnis der Auflösung der Gleichung :y = a^x nach der Unbekannten x, geschrieben als :x = \log_a(y). Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also derjenige Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; sie kann zum Auffinden der Werte zur Auflösung obiger Gleichung herangezogen werden. Für jede vorgegebene Basis (oder Grundzahl) a>0,\,a\neq 1 ergibt sich dabei eine andere Logarithmusfunktion \log_a. Den Funktionswert \log_a(y) nennt man den Logarithmus von y zur Basis a. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus. Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Charakterisierung des Logarithmus als Umkehrfunktion der Potenzierung

Die Funktionen ax und loga(x) sind Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt: : a^ = x \mbox _a(a^x) = x

Charakterisierung des Logarithmus als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen stetigen Lösungen der Funktionalgleichung :F(x y) = F(x) + F(y) Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung wäre die Nullfunktion F(x) = 0.

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung :^k \leq x < ^ ist gleichwertig mit :k \leq \log_(x) < k+1. Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl k, so besitzt die reelle Zahl x in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade k+1 Stellen vor dem Komma (für k\geq 0) bzw. beginnt bei der |k|-ten Stelle nach dem Komma (für k<0).

Logarithmengesetze

Logarithmen von Produkten

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung: :\log _a (x\cdot y) = \log _a (x) + \log _a (y) Oder allgemeiner: : \log _a \left( x_1 \cdot x_2 \cdot\ldots\cdot x_n \right) = \log _a \left(x_1 \right) +\log _a \left(x_2 \right) + \cdots + \log _a \left( x_n \right) Für Potenzen mit reellem Exponent r gilt die Regel: :\log _a \left( x^r \right) = r \cdot \log _a (x) Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten. (siehe weiter unten)

Logarithmen von Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben: : \log _a \bigg(\frac \bigg) = \log_a (x) - \log_a (y)

Logarithmen von Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel: :\log_a \left( \sqrt[n] \right) = \log_a \left( x^\frac \right) = \frac

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log10(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log10(3
- 10) = log10(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (John Napier) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt: : Wenn y = ex dann ist x = loge(y) = ln(y). Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion e^x sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel: :\frac e^x = e^x Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren. Der natürliche Logarithmus f(x)=ln(x) ist die Stammfunktion der Potenzfunktion f'(x)=x^(-1) bzw. 1/x. Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit „lg“ abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs. Der Logarithmus zur Basis 2 – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus. Abkürzungen
- loga: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
- ln = loge: Natürlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis)
- lg = log10: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
- lb = ld = log2: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung : \ln(1+x) = \sum_^\infty (-1)^ \frac = x-\frac + \frac -\frac \pm \cdots , \qquad -1 < x \le 1 des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell. Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht: : \ln(x) = 2 \cdot \sum_^ \frac \cdot \left( \frac\right)^ + \; R_(x) , \qquad x > 0 mit der Restgliedabschätzung : |R_(x)| \le \frac \left( \frac\right)^. Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man : \ln(x) = m \ln (2) + \ln(2^ x).\quad Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt 1 / \sqrt \le 2^x \le \sqrt und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für \left( 2^ \right) \cdot x berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2. Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem: : \ln(x) = \lim_ n \, \left(\!\sqrt[n] -1 \right) sowie : \ln(x) = \lim_ \frac. Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert. Begründungen:
- x = loga(0) müsste dann 0 = ax bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
- (als Beispiel die negative Zahl -1) x = loga(-1) müsste dann -1 = ax bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist. In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Kurvendiskussion des Logarithmus


- Definitionsmenge: s. oben (D = ]0,\infty[)
- Wertemenge: alle reellen Zahlen
- Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: bzw. (1|0)
- Gebräuchliche Limites / Verhalten im Unendlichen:
  - \lim_ \log_b(x) = -\infty (wenn b > 1) bzw. (+)\infty (wenn b < 1)
  - \lim_ \log_b(x) = \infty (wenn b > 1) bzw. -\infty (wenn b < 1)
- Erste Ableitung: \log_b(x)' = \frac
- Extrempunkte: keine
- Wendepunkte: keine

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen: : \log_b(r) = \frac oder in der suggestiven „Kürzungsform“: :\log_a(b)\cdot \log_b(r) = \log_a(r). Denn: :a^ = (a^)^ = b^ = r = a^. Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Beispiel: : \log_(8) = \frac \approx \frac \approx 090 Alternative mit Hilfe des ln: :\log_(8) = \frac \approx 090

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort). Es ergibt sich :\ln'(x) = \frac Für allgemeine Logarithmen gilt: :(\log_b)' = \frac Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration: :\int = \int = x\cdot\ln-\int = x\ln-x Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden (Beispiel): :\int_0^1 = [x\ln-x]_^ = -1, da :\lim_ x\ln = \lim_ \frac = \lim_ \frac = \lim_ (-x) = 0.

Komplexer Logarithmus

Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, die die Gleichung :e^ = z erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt: :e^ = 1, \ k \in \mathbb Hat man also einen Logarithmus w_ von z gefunden, so ist auch :w = w_ + 2k\pi i ein Logarithmus von z, da gilt: :e^ = e^ = e^ \cdot e^ = e^ \cdot 1 = e^ = z Um Eindeutigkeit erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen :\left\ verwenden. Ein w aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt w = \ln. Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion: :w = \ln + i\left(\arg + 2k\pi\right), \ k \in \mathbb Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus: :\ln = \ln + i\arg ln(z) ist nicht stetig auf \mathbb \setminus \. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet :\mathbb \setminus \ stetig und sogar holomorph. Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen: :\ln = \ln + i\arg = \ln + i\pi, \ x \in \mathbb^ Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten:
- \ln + \ln \neq \ln ::Beispiel: \ln + \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln
- y \cdot \ln \neq \ln ::Beispiel: 2\pi i \cdot \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln

Anwendungen des Logarithmus

holomorph Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie
- Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus dient die Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
- bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt das wan etwas die Wahrscheinlichkeit von Auftreten p hat, das Wissen über das tatsäglichen Auftreten davon eine Informationsmenge \log_2 gibt
- pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
- dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
- In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
- Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
- Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
- Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
- Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier. Ferner erlaubt der Logarithmus die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden.

Literatur

Walter, Wolfgang: Analysis I, Grundwissen Mathematik Band 3, Springer-Verlag (1985), ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1

Weblinks

: [http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm Logarithmusrechner mit Quelltext] : [http://www.madeasy.de/2/log.htm Logarithmen] Kategorie:Analytische Funktion ja:対数

Basis (Vektorraum)

In der Mathematik ist eine Basis eines Vektorraums V eine durch folgende gleichwertige Eigenschaften charakterisierte Teilmenge B von V: # Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig. # B ist ein minimales Erzeugendensystem von V. # B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. # B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

Grundlegende Begriffe

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor von V sich als Linearkombination aus B darstellen lässt. Eine Linearkombination aus B ist eine endliche Summe skalarer Vielfacher von Elementen aus B. Das heißt, sind \mathbf_1,\ldots, \mathbf_n aus dem Vektorraum B und a_1,\ldots, a_n Skalare des Körpers, dann ist a_1 \mathbf_1 +\ldots + a_n \mathbf_n eine Linearkombination. Eine Teilmenge B des Vektorraums V heißt linear unabhängig, wenn die Darstellung des Nullvektors \mathbf als Linearkombination von B eindeutig ist. Für eine linear unabhängige Teilmenge B gilt also: Wenn a_1 \mathbf_1 +\ldots + a_n \mathbf_n = \mathbf eine Darstellung des Nullvektors durch eine Linearkombination aus B ist, dann folgt daraus, dass alle Skalare a_i gleich 0 sein müssen. Die Begriffe "maximal" und "minimal" beziehen sich auf die Halbordnung, die durch die Inklusion (Teilmengenrelation) gegeben ist. Eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V ist also eine linear unabhängige Teilmenge, die keine echte Obermenge hat, welche linear unabhängig ist. Ein minimales Erzeugendensystem von V ist ein Erzeugendensystem, das keine echte Teilmenge hat, welche selbst ein Erzeugendensystem von V ist. Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren. Eine Basis lässt sich als Familie von Basisvektoren schreiben; endliche Basen werden dabei oft in der Form \ geschrieben. Die Skalare, die in der Darstellung eines Vektors auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors, zusammen bilden sie ihrerseits einen Koordinatenvektor (der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum).

Wichtige Eigenschaften

Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis. Eine Beweisidee für diese Aussage ist im Abschnitt #Existenzbeweis (Skizze) angegeben. Alle Basen eines Vektorraumes enthalten dieselbe Anzahl von Elementen. Diese Anzahl (die auch eine unendliche Kardinalzahl sein kann) nennt man die Dimension des Vektorraums. Eine Teilmenge \ eines K-Vektorraumes V definiert eine Abbildung : K^k\to V,\quad e_i\mapsto b_i. Diese Abbildung ist genau dann
- injektiv, wenn die b_i linear unabhängig sind;
- surjektiv, wenn die b_i ein Erzeugendensystem bilden;
- bijektiv, wenn die b_i eine Basis bilden. Diese Charakterisierung überträgt sich auf den allgemeineren Fall von Moduln über Ringen, siehe Basis (Modul).

Beispiele


- In der Euklidischen Ebene \mathbb^2 gibt es die so genannte kanonische Einheitsbasis \. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren eine Basis, wenn sie nicht dieselbe (oder entgegengesetzte) Richtung haben.
bild:Affine_Koordinaten.PNG
e1 und e2 bilden eine Basis der Ebene

- Als \mathbb-Vektorraum wird für \mathbb meist die Basis \ verwendet. Eine Menge \ \subseteq \mathbb\setminus \ ist genau dann eine Basis von \mathbb über \mathbb, wenn \frac keine reelle Zahl ist.
- Als \mathbb-Vektorraum hat \mathbb eine Basis, die man aber nicht explizit angeben kann.
- Der Vektorraum der Polynome über einem Körper hat die Basis \=\. Es gibt aber auch viele andere Basen, die zwar umständlicher anzuschreiben sind, aber in konkreten Anwendungen sich als praktischer herausstellen, z.B. die Legendre-Polynome.
- Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge (1,1,1,\ldots) nicht davon erzeugt: :\

Beweis der Äquivalenz der Definition

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis, dass die oben genannten vier Eigenschaften einer Teilmenge B eines Vektorraums V wirklich äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)
- Wenn sich jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren in B darstellen lässt, dann ist B ein Erzeugendensystem (nach Definition).
Wenn B nicht minimales Erzeugendensystem ist, dann gibt es eine echte Teilmenge B', die auch ein Erzeugendensystem ist. Sei nun \mathbf^
- ein Element von B, welches nicht in B' liegt. Dann lässt sich \mathbf^
- auf mindestens zwei verschiedene Arten als Linearkombination von Vektoren in B darstellen. Nämlich einmal als Linearkombination von Vektoren in B' und einmal als \mathbf^
- = 1 \cdot \mathbf^
- . Es ergibt sich ein Widerspruch und daher ist B minimal.
Also gilt (1) → (2).
- Jedes minimale Erzeugendensystem muss linear unabhängig sein. Denn wenn B nicht linear unabhängig ist, dann gibt es einen Vektor \mathbf^
- in B, welcher sich als Linearkombination von Vektoren in B \setminus \ darstellen lässt. Dann aber lässt sich jede Linearkombination von Vektoren in B auch durch eine Linearkombination von Vektoren in B \setminus \ umschreiben und B wäre nicht minimal.
Also gilt (2) → (4).
- Jedes linear unabhängige Erzeugendensystem B muss eine maximale linear unabhängige Menge sein. Wäre nämlich B nicht maximal linear unabhängig, so gäbe es ein \mathbf^
- (das nicht in B liegt), welches zusammen mit B linear unabhängig wäre. Aber \mathbf^
- lässt sich als Linearkombination von Elementen von B darstellen, was der linearen Unabhängigkeit widerspricht.
Also gilt (4) → (3).
- Ein maximal linear unabhängiges System B ist ein Erzeugendensystem. Sei \mathbf^
- ein beliebiger Vektor. Wenn \mathbf^
- in B enthalten ist, dann lässt sich \mathbf^
- als Linearkombination von Elementen von B schreiben. Wenn aber \mathbf^
- nicht in B enthalten ist, dann ist die Menge B \ \cup \ eine echte Obermenge von B und damit nicht mehr linear unabhängig. Die Vektoren \mathbf_1,\ldots,\mathbf_n , die in einer möglichen lineare Abhängigkeit a_1 \mathbf_1 +\ldots + a_n \mathbf_n = 0 vorkommen, können nicht alle aus B sein, daher muss einer davon (sagen wir \mathbf_1 ) gleich \mathbf^
- sein, mit a_1 ungleich 0.
Daher ist \mathbf^
- = -\frac(a_2 \mathbf_2+\ldots + a_n \mathbf_n).
Also gilt (3) → (1).

Existenzbeweis (Skizze)

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann. (Umgekehrt kann man aus dem Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, auch das Auswahlaxiom oder das Lemma von Zorn beweisen. Daher kann man in einer Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder äquivalente Aussagen nicht beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.) Es folgt eine kurze Darstellung des Beweises. Sei V ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, die Menge :P := \left\ zu betrachten, die durch die Relation \subseteq halbgeordnet wird. Man kann nun leicht zeigen: # P ist nicht leer (zum Beispiel enthält P die leere Menge. Besteht V nicht nur aus dem Nullvektor, dann ist zusätzlich auch jede Einermenge \ mit v in V und v\neq\mathbf ein Element von P. # Für jede Kette C \subseteq P ist auch \bigcup C = \bigcup_ X = \ in P. Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass P ein maximales Element hat. Es folgt sogar, dass jedes Element T von P in einem maximalen Element von P enthalten ist. Die maximalen Elemente von P sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von V, also die Basen von V. Daher hat V eine Basis und es gilt darüber hinaus, dass jede linear unabhängige Teilmenge von V in einer Basis von V enthalten ist.

Verallgemeinerungen

Orthonormalbasis

Beim Studium von Hilberträumen gibt es eine andere, zweckmäßigere Art, die Elemente des Raumes darzustellen. Eine Basis besteht dabei aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, und es werden nicht nur endliche, sondern auch unendliche Summen der Basisvektoren zugelassen. Eine solche Orthonormalbasis ist in einem unendlichdimensionalen Raum keine Basis im hier definierten Sinne. Der hier beschriebene Basis-Typ wird zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt.

Siehe auch


- Komplementärbasis Kategorie:Lineare Algebra

Basis (Modul)

Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes.

Definition

Ein System von Elementen \ eines Moduls M über einem Ring R mit Einselement definiert eine Abbildung :\xi\colon R^\longrightarrow M von der direkten Summe von Kopien von R nach M, die von den Abbildungen :R\to M,\quad 1\mapsto x_i induziert wird.
- Ist \xi injektiv, so heißt \ linear unabhängig.
- Ist \xi surjektiv, so heißt \ ein Erzeugendensystem.
- Ist \xi bijektiv, so heißt \ eine Basis von M. Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Eigenschaften

Die lineare Unabhängigkeit von \ ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt: :\sum a_ix_i=0\quad\Longrightarrow\quad a_i=0\ \mathrm\ i\in I. Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:
- Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
- Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
- Eine minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis. Als Beispiele betrachte man den Z-Modul Z: Das System ist maximal linear unabhängig, das System ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis. Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat.

Beispiel

Es sei M=\mathbb Z die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist
- \ eine maximale linear unabhängige Teilmenge.
- \ ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig. Die einzigen Basen von M sind \ und \. Kategorie:Algebra

Aussagenlogik

Die Aussagenlogik, auch (veraltet) Urteilslogik, ist ein Bereich der Logik, der sich mit der logischen Bewertung von Aussagen befasst. Dabei werden Elementaraussagen durch Junktoren verknüpft. Die Struktur der Elementaraussagen wird nicht untersucht. Dies leistet die Prädikatenlogik. ---- Dieser Artikel befasst sich mit der klassischen Aussagenlogik, in der der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (also das "Tertium non datur") gilt: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. Von einem konstruktivischen Standpunkt gesehen, der den Begriff "wahr" etwa im Sinne von "beweisbar" versteht, ist das nicht zwingend der Fall. Dieser Standpunkt findet seinen Ausdruck in Systemen der intuitionistischen Aussagenlogik. Siehe hierzu auch den Artikel Dialogische Logik. Eine Erweiterung der Aussagenlogik ist die Prädikatenlogik, bei der auch die Eigenschaften von Objekten und ihre Geltungsbereiche betrachtet wird. ----

Umgangssprachliche Einleitung

Einfache Aussage (Elementaraussage)

Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr (w, wahr, true) oder nicht wahr (f, falsch, false) ist. Dies gilt sowohl für einfache als auch für verknüpfte Aussagen. "Halbwahrheiten" gibt es nicht. Eine Aussage kann sowohl der gewöhnlichen Sprache entstammen als auch der Sprache der Mathematik. Beispiele für einfache Aussagen:
- A_1: München ist 781 km von Hamburg entfernt.
- A_2: 9 ist durch 3 teilbar.
- A_3: Kaiserslautern wird in dieser Saison deutscher Fußballmeister.
- A_4: Alle Autos sind grün. A_2 ist offensichtlich wahr, A_4 dagegen ist falsch. A_1 muss man zunächst prüfen, bevor man entscheiden kann, ob A_1 wahr oder falsch ist. Ob A_3 wahr ist, kann man derzeit nicht entscheiden. Das wird sich erst am Ende der Fußballsaison herausstellen. In der klassischen Aussagenlogik ist eine Aussage entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man (noch) nicht in der Lage ist, den Wahrheitsgehalt zu beurteilen. Dies ist zum Beispiel bei den ungelösten mathematischen Problemen der Fall. Anmerkung: A_4 ist eine All-Aussage; die Struktur solcher Aussagen ist Gegenstand der Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik ist es eine Elementaraussage.

Verneinte Aussage - Negation

Das Gegenteil bzw. die Verneinung einer Aussage A erhält man immer dadurch, dass man der Aussage A das Wort nicht geeignet einfügt. Formal schreibt man für "nicht A" ¬A, auf Englisch und in der Schaltalgebra auch "NOT A". Wir verneinen die obigen Beispiele:
- \neg A_1: München ist nicht 781 km von Hamburg entfernt.
- \neg A_2: 9 ist nicht durch 3 teilbar
- \neg A_3: Kaiserslautern wird in dieser Saison nicht deutscher Fußballmeister.
- \neg A_4: Nicht alle Autos sind grün. Es kann durchaus grüne Autos geben und es gibt auch Autos, die nicht grün sind. Allgemein gilt für die Verneinung:
- Wenn eine Aussage A wahr ist, dann ist die Verneinung \neg A falsch.
- Wenn eine Aussage A falsch ist, dann ist die Verneinung \neg A wahr.
- Eine Aussage A kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
- Die Aussagen A und \neg A können nicht gleichzeitig wahr sein.

Und-verknüpfte Aussagen - Konjunktion

Man kann zwei Aussagen A und B durch das Wort und (Schreibweise: \and) verknüpfen. Dadurch erhält man eine neue Aussage C.
- Sprechweise: A und B
- Schreibweise: A \and B
- auf Englisch und in der Schaltalgebra auch A AND B Die Aussage C ist immer dann wahr, wenn sowohl A als auch B jeweils wahr sind. Andernfalls ist C falsch, nämlich dann, wenn entweder A oder B oder beide Aussagen falsch sind. Beispiele für eine und-Verknüpfung: A: 9 ist durch 3 teilbar
B: 9 ist eine Quadratzahl Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch \and miteinander verknüpt:
- C_1: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
- C_2: 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
- C_3: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
- C_4: 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
Nur C_1 = A \and B ist wahr, weil A wahr ist und auch B wahr ist.
C_2 = \neg A \and B ist falsch, weil \neg A falsch ist.
C_3 = A \and \neg B ist falsch, weil \neg B falsch ist.
C_4 = \neg A \and \neg B ist falsch, weil sowohl \neg A als auch \neg B falsch ist.

Oder-verknüpfte Aussagen - Disjunktion

Man kann 2 Aussagen A und B durch das Wort oder miteinander verknüpfen und erhält so eine neue Aussage C. Achtung! Das logische oder hat eine andere Bedeutung als das umgangssprachliche "oder", das meist im Sinne von "entweder ... oder" benutzt wird.
- Sprechweise: "A oder B"; genauer: "A oder auch B"
- Schreibweise: A \vee B
- auf Englisch und in der Schaltalgebra auch A OR B Die Aussage C ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist C falsch, nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Beispiel für eine oder-Verknüpfung:
- A: 9 ist durch 3 teilbar
- B: 9 ist eine Quadratzahl
Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch \vee miteinander verknüpt:
- C_5: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
- C_6: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
- C_7: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
- C_8: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl. Nur C_8 = \neg A \vee \neg B ist falsch, weil \neg A falsch ist und auch \neg B falsch ist.
C_5 = A \vee B ist wahr, weil sowohl A als auch B wahr sind.
C_6 = \neg A \vee B ist wahr, weil B wahr ist.
C_7 = A \vee \neg B ist wahr, weil A wahr ist.

Folgerungen - Implikation bzw. Subjunktion

Wenn man aus einer wahren Aussage A schließen kann, dass dann auch die Aussage B wahr ist, spricht man von einer Implikation. Schreibweise: A \Rightarrow B Ist man noch während des Dialogs in der Aussagenlogik, so spricht man von einer Subjunktion. A \rightarrow B Sprechweisen:
- Aus A folgt B
- Unter der Voraussetzung A gilt B
- A impliziert B
- Wenn A gilt, dann gilt auch B
- Aussage B ist notwendig für Aussage A (siehe Abschnitt "notwendig und hinreichend")
- Aussage A ist hinreichend für Aussage B (siehe Abschnitt "notwendig und hinreichend") Beispiele:
- Wenn es regnet, wird die unüberdachte Straße nass.
- Wenn Person x einen Wagen der Marke BMW hat, dann hat x ein Auto.
- n ist teilbar durch 6, also ist n teilbar durch 3. Aus einer wahren Folgerung A \Rightarrow B kann man eine weitere wahre Folgerung ableiten, nämlich \neg B \Rightarrow \neg A. Für die Beispiele bedeutet dies:
- Wenn die unüberdachte Straße nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.
- Wenn x kein Auto hat, kann x keinen Wagen der Marke BMW haben.
- Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, kann n nicht durch 6 teilbar sein. Umgangssprachlich lässt man sich gelegentlich zu weiteren - falschen - Aussagen verleiten:
- Weil es nicht regnete, kann die Straße nicht nass sein.
Diese Folgerung ist falsch, da die Straße auch aus anderen Gründen nass werden kann (Rohrbruch, Übung der Feuerwehr ...).
- x hat keinen Wagen der Marke BMW, also hat x kein Auto.
falsch, denn er könnte ja einen Mercedes haben
- n ist nicht durch 6 teilbar, also ist n auch nicht durch 3 teilbar.
Auch diese Folgerung ist falsch. Die Zahl 15 ist nicht durch 6 teilbar und sehr wohl durch 3. Das bedeutet: Wenn die Folgerung A \Rightarrow B wahr ist, dann erhält man aus der Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein. ("Ex falso quolibet" - "Aus Falschem - was du willst") Die Implikation ist ein wichtiges Mittel in der Mathematik. Die meisten mathematischen Sätze sind eine Implikation.

Gleichwertige Aussagen - Äquivalenz

Zwei Aussagen A und B sind äquivalent, wenn gilt: A \Rightarrow B und umgekehrt B \Rightarrow A. Schreibweise: A \Leftrightarrow B

Sprechweisen:
- Aussage A ist äquivalent zu Aussage B.
- A ist genau dann (dann und nur dann) wahr, wenn auch B wahr ist.
- A ist notwendig und hinreichend für B. (siehe Abschnitt "notwendig und hinreichend") Beispiel:
- Die ganze Zahl n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Wenn n durch 6 teilbar ist, dann folgt daraus, dass n durch 2 und durch 3 teilbar ist. Umgekehrt gilt aber auch: Wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist n durch 6 teilbar.
- Heute ist genau dann Dienstag, wenn Morgen Mittwoch ist.

Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze)

Verneinung einer Konjunktion

Die Verneinung zu der Aussage "A und B", also \neg(A \and B)
ist gleichwertig mit der oder-verknüpften Aussage (\neg A) \vee (\neg B)
Auf Englisch und in der Schaltalgebra schreibt man dafür A NAND B (not-and). Beispiel:
Aussage A: Die ganze Zahl n ist durch 2 teilbar.
Aussage B: Die ganze Zahl n ist durch 3 teilbar. Aussage "A und B": n ist durch 2 und durch 3 teilbar . Verneinung: n ist nicht gleichermaßen durch 2 und durch 3 teilbar.
Dies besagt dasselbe wie: n ist nicht durch 2 teilbar, oder n ist nicht durch 3 teilbar

Verneinung einer Disjunktion

Die Verneinung zu der Aussage "A oder B", also \neg(A \vee B)
ist gleichwertig mit der und-verknüpften Aussage (\neg A) \and (\neg B)
Auf Englisch und in der Schaltalgebra schreibt man dafür A NOR B (not-or). Beispiel:
Aussage A: Die ganze Zahl n ist durch 2 teilbar.
Aussage B: Die ganze Zahl n ist durch 3 teilbar. Aussage "A oder B": n ist teilbar durch 2 oder auch teilbar durch 3. Verneinung: n weder durch 2 noch durch 3 teilbar.
Dies besagt dasselbe wie: n ist nicht durch 2 und auch nicht durch 3 teilbar

Die Verneinung der Äquivalenz - die Antivalenz oder Kontravalenz

Durch die Verneinung einer Äquivalenz-Aussage A \Leftrightarrow B
erhält man eine Antivalenz-Aussage \neg(A \Leftrightarrow B) .
In Englisch und in der Schaltalgebra schreibt man dafür A XOR B (eXclusiv-or). Sprechweisen:

- Aussage A ist antivalent zu Aussage B.
- Aussage A ist kontravalent zu Aussage B.
- Entweder es gilt Aussage A oder es gilt Aussage B. Antivalenz ist dann gegeben, wenn entweder nur A oder nur B wahr ist. Angewandt auf die Beispiele:
- Die ganze Zahl n ist entweder durch 2 und durch 3 teilbar, oder n ist nicht durch 6 teilbar.
- Heute ist entweder Dienstag oder Mittwoch.

Die Begriffe "notwendig" und "hinreichend"

Betrachten wir die Implikation A\Rightarrow B. Man sagt: B ist notwendig für A. Ohne B kann A nicht erfüllt sein. Ferner ist A hinreichend für B. Es reicht aus, dass A wahr ist. Dann ist auch B wahr. Beispiel 1: Ist n durch 6 teilbar, dann ist n auch durch 3 teilbar. Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für die Teilbarkeit von 6. Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, dann kann n auch nicht durch 6 teilbar sein. Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 3. Wenn man weiß, dass n durch 6 teilbar ist, dann reicht dies aus, um zu wissen, dass n auch durch 3 teilbar ist. Teilbarkeit durch 3 ist zwar notwendig, dennoch nicht hinreichend für die Teilbarkeit durch 6. 9 ist durch 3 teilbar (notwendige Bedingung erfüllt) und 9 ist nicht teilbar durch 6. Beispiel 2: Wenn x einen BMW hat, hat x ein Auto. Man muss Besitzer eines Autos sein, d.h. es ist notwendig, um überhaupt einen BMW besitzen zu können. Hat man kein Auto, kann man nicht gleichzeitig einen BMW haben, da man ja andernfalls ein Auto hätte. Es ist allerdings hinreichend, der Besitzer eines BMW zu sein, um mit Wahrheit sagen zu können, man habe ein Auto. Beispiel 3: n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn n durch 3 teilbar und gerade ist. Die Aussage "n ist durch 3 teilbar und n ist gerade" ist notwendig und hinreichend für die Teilbarkeit durch 6. [http://www.ct-webspace.de/notwendigHinreichend/notwendigHinreichend.html Mehr über "notwendig" und "hinreichend"]

Formaler Zugang

Einleitung

Spätestens beim lauten Lesen von Sätzen wie: "Die Aussage A∧B ist genau dann wahr, wenn die Aussagen A und B wahr sind", wird der selbstbewusste Laie verlangen, dass ihm erklärt wird, was das soll. Die Antwort des Logikers: Es soll versucht werden, Sicherheit in die Regeln des logischen Schließens zu bringen. Seit den Sophisten ist dem Abendland klar, dass scheinbar zwingende Schlüsse zu offensichtlich absurden Ergebnisse führen können. Immer wieder wurden Paradoxien formuliert und von großen Denkern als Herausforderung empfunden. Logiker versuchen deshalb, die Regeln des Argumentierens so streng wie möglich zu fassen. Das einleitende Beispiel macht klar, dass hierzu eine Trennung der Sprachebenen unerlässlich ist: Die formale Aussage A∧B soll dadurch erklärt werden, dass auf einer metasprachlichen Ebene über die Aussage A wie auch über die Aussage B geredet wird. Ein Versuch dies durchzuführen, besteht darin, die Aussagenlogik als formales System zu definieren. Die Begriffe "wahr" und "falsch" kommen in diesem System zunächst überhaupt nicht vor. Statt dessen werden Axiome gesetzt, die einfach als Zeichenketten angesehen werden, aus denen weitere ableitbare Zeichenketten aufgrund von bestimmten Schlussregeln hergeleitet werden. Natürlich ist das Ziel dabei, dass in einem formalen System nur Zeichenketten (Sätze) hergeleitet werden können, die bei einer plausiblen Interpretation auch wahr sind. Andererseits sollen alle Sätze, die als "wahr" interpretierbar sind, auch hergeleitet werden können. Das erste ist die Forderung nach Konsistenz, das zweite die nach Vollständigkeit des formalen Systems. Bei der klassischen Aussagenlogik, mit der wir es hier zu tun haben, ist dieses Problem gelöst. Das hängt damit zusammen, dass sich auf dieser Ebene der Logik auch keine Paradoxien formulieren lassen.

Syntax

Formale Definition aussagenlogischer Formeln Sei V eine abzählbar unendliche Menge mit der Eigenschaft: V \cap \ = \empty Nenne V die Menge der atomaren Formeln. Eine aussagenlogische Formel wird definiert als Wort über dem Alphabet V \cup \und induktiv definiert:
- Alle atomaren Formeln F \in V sind Formeln.
- Ist F eine Formel, so ist auch \neg F eine Formel.
- Sind F und G zwei Formeln, so sind auch (F \wedge G) und (F \vee G) Formeln.
- Kein anderes Wort (das sich nicht über diese Definition herleiten lässt) ist eine aussagenlogische Formel.
- \neg F heißt Negation von F
- (F \wedge G) heißt Konjunktion (und) von F und G
- (F \vee G) heißt Disjunktion (oder) von F und G

Abkürzungen


- (F_1 \Rightarrow F_2) = ( \neg F_1 \vee F_2 ) (Implikation oder Subjunktion wenn ... dann..., wobei zu berücksichtigen ist, dass diese Äquivalenz bei der intuitionistischen Interpretation der Subjunktion nicht gilt! Siehe auch Dialogische Logik)
- (F_1 \Leftrightarrow F_2) = ( F_1 \wedge F_2 ) \vee ( \neg F_1 \wedge \neg F_2 ) (Äquivalenz oder Bijunktion ... genau dann wenn ...)

Semantik/Aussagen

Als Aussagen gelten Sätze, die als wahr oder falsch bestimmt werden können. Diese werden als logische Aussagen bezeichnet. Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit dem korrekten Folgern, d.h. dem Schließen von Voraussetzungen (Prämissen) auf eine Schlussfolgerung (Konklusion). In der klassischen Aussagenlogik muss der Aussage dabei entweder wahr oder falsch zugeordnet werden, d.h. es gibt nur zwei Werte (Zweiwertigkeitsprinzip, tertium non datur). Bei der Wahl einer aussagenlogischen Sprache sind wir frei. Jede Auswahl unter den 16 verschiedenen Operatoren, die es gibt, können zu einer Definition einer aussagenlogischen Sprache herangezogen werden. Darunter sind zwei, die bereits jeweils einzeln semantisch vollständig sind: NAND (Nicht-Und, die negierte Konjunktion) und NOR (Nicht-Oder, die negierte Disjunktion). Generell kann man mit Hilfe des Postschen Vollständikeitskriteriums herausfinden, ob die Auswahl an Operatoren vollständig für die Aussagenlogik sind. Wenn eine solche Auswahl minimal ist, heißt sie auch Basis für die Aussagenlogik. Aussagen, die immer, d.h. für alle Belegungen ihrer Variablen, wahr sind (z. B. p oder ¬p), heißen Tautologien, Aussagen, die für alle Belegungen falsch sind (z. B. p und ¬p), heißen Kontradiktionen. Die Aussagenlogik ist eine Ausprägung der Booleschen Algebra. Der nächst komplexere Logikformalismus ist die Prädikatenlogik.

Erfüllbarkeit

Die Feststellung, ob eine Aussage/Formel erfüllbar - oder eine Tautologie ist, ist für allgemeine Formeln nicht effizient lösbar. Bei einer Formel mit n atomaren Formeln sind 2^n Belegungen zu überprüfen (mittels Brute Force und Wahrheitstabellen). Das Erfüllbarkeitsproblem ist NP-vollständig, auch für Formeln in KNF (Konjunktive Normalform). Eine Formel heißt erfüllbar, wenn es mindestens eine Interpretation gibt die ihre Wahrheitswerte auf wahr abbildet. Eine Formel heißt allgemeingültig (oder Tautologie), wenn alle mögliche Interpretationen auf wahr abgebildet werden. Eine Formel heißt widerlegbar, wenn es mindestens ein Interpretationsbelegung gibt, die ihre Wahrheitswerte auf falsch abbildet. Eine Formel heißt unerfüllbar, wenn alle mögliche Interpretationen auf falsch abgebildet werden. Es gibt allerdings optimierte Algorithmen, die dieses Problem relativ schnell, d.h. in polynomial beschränkter Rechenzeit, für Horn-Formeln lösen können. Eine ausführliche Beschreibung findet sich im Artikel Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik.

Siehe auch


- Elementaraussage
- Prädikatenlogik
- Wahrheitstabelle
- Schlussregel
- Boolesche Funktion
- Wahrheitswertefunktion
- Formelsammlung Logik Kategorie:Logik

Literatur


- Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. Leipzig 2003 ISBN 3-937219-02-1 th:แคลคูลัสเชิงประพจน์

Basisstation

Als Basisstation bezeichnet man z.B. den Teil eines Funktelefons, der mit einem Kabel an das Festnetz angeschlossen ist. Die Aufgabe der Basisstation besteht darin, die Signale aus der Telefondose in Funksignale umzuwandeln und an die Empfangsteile zu übermitteln. Oft ist die Basisstation gleichzeitig eine Ladestation. Bei den meisten Funktelefonen hat die Basisstation mittlerweile einen integrierten Anrufbeantworter. Kategorie:Telekommunikation

Karl Marx

Karl Heinrich Marx (
- 5. Mai 1818 in Trier; † 14. März 1883 in London) war Philosoph, politischer Journalist und Kritiker der bürgerlichen Ökonomie. Ökonomie

Überblick

Ökonomie Ökonomie Marx gilt als bedeutendster Vordenker der frühen Arbeiterbewegung zusammen mit Friedrich Engels, der wichtige Anregungen zur Kritik der politischen Ökonomie gab und nach Marx' Tod dessen letzte Arbeiten veröffentlichte. In seinem Hauptwerk Das Kapital, einer empirisch mathematischen Wirtschaftstheorie, analysiert Marx die allgemeinen Grundgesetze der modernen kapitalistischen Produktionsweise, der Warenzirkulation und der Geldzirkulation. In seiner Analyse zeigt er weiter die grundlegenden Abhängigkeiten und Machtverhältnisse der Gesellschaftsmitglieder in einer kapitalistischen Gesellschaft auf. Das Kapital kann von zwei Standpunkten aus betrachtet werden. Erstens, vom Standpunkt des Kapitaleigners, der die dargestellten Gesetzmäßigkeiten und Verhältnisse zum Aufbau und zur Verbesserung seiner Wirtschaft und Produktion nutzt. Zweitens, vom Standpunkt des Angestellten, der damit die Verhältnisse versteht und sich gegen eine Unterdrückung wehren kann. Beide Standpunkte sind in ihren Grundlagen hier er