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Gruppentheorie

Gruppentheorie

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z.B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Rechengesetze für Gruppen). Beispielsweise folgt die Gruppe, die durch das Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/n entsteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element – entsprechend der Null bei der Addition – wäre hier die Nicht-Drehung oder äquivalent die Drehung um einen Winkel von 0°. Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie. Eine Liste von Artikeln zum Thema Gruppentheorie ist die Liste gruppentheoretischer Artikel. Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar.

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Eine Gruppe wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu abstrahieren, also um mit Symbolen statt mit Zahlen selbst zu rechnen. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von abstrakten Dingen oder Symbolen, und einer "Rechenvorschrift" (Verknüpfung), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Ein Beispiel sind die ganzen Zahlen (dies ist dann die Menge) zusammen mit der Addition (dies ist die Verknüpfung). Genauer gesagt: Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung von zwei Elementen dieser Menge, etwa "a + b" oder "a × b". Des weiteren müssen die folgenden Anforderungen erfüllt sein: #Die Reihenfolge beim Ausrechnen ist egal (Assoziativität): a × (b × c) = (a × b) × c #Es gibt ein Element, das nichts tut (Neutrales Element): a × 1 = 1 × a = a #Es gibt ein Spiegelbild (Inverses Element): 1/a hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit a das neutrale Element zu ergeben: a × 1/a = 1/a × a = 1 (Spezialfall: 4. Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, also a × b = b × a gilt (Kommutativität), dann liegt eine abelsche Gruppe vor.) Beispiele für (sämtlich abelsche) Gruppen sind die ganzen Zahlen

\Z

mit der Addition "+" als Verknüpfung und der Null als neutralem Element, oder die rationalen Zahlen

\Bbb Q

ohne Null mit der Multiplikation "×" als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt. ("1/0" ist nicht definiert.)

Mathematische Definition des Gruppenbegriffs

Das Paar (M, ×), wobei M eine Menge und × eine zweistellige Verknüpfung auf M ist, heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind: #Assoziativität: a × (b × c) = (a × b) × c #Neutrales Element: Es existiert ein Element e in M, so dass für alle Elemente gilt a × e = e × a = a. #Inverses Element: Zu jedem Element a in M existiert ein Element, nenne es a^-1, so dass a × a^-1 = a^-1 × a = e. #Ist die folgende Bedingung erfüllt, so spricht man von einer abelschen oder kommutativen Gruppe: Kommutativität: a × b = b × a. Eine amüsante Merkhilfe ist: Eine abelsche Gruppe erfüllt die Gesetze K.A.I. und N.

Abschwächung der Definition

Wir können eine schwächere Definition geben, indem wir die Axiome über neutrales und inverses Element folgendermaßen ersetzen: #Linksneutrales Element: Es existiert ein Element e in M, so dass für alle a in M gilt: e × a = a. #Linksinverses Element: Zu jedem Element a in M existiert ein Element a^-1, so dass a^-1 × a = e. Diese Formulierung erscheint schwächer, ist aber äquivalent: 1. Das linksinverse Element ist auch rechtsinvers, denn für beliebiges a in M gilt a × a^-1 = e × (a × a^-1) = ((a^-1)^-1 × a^-1) × (a × a^-1) = (a^-1)^-1 × (a^-1 × a) × a^-1 = (a^-1)^-1 × (e × a^-1) = (a^-1)^-1 × a^-1 = e. 2. Das linksneutrale Element ist auch rechtsneutral, denn für beliebiges a in M gilt a × e = a × (a^-1 × a) = (a × a^-1) × a = e × a = a.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe

Die Mächtigkeit (Kardinalität) |M| der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung.

Ordnung von Elementen

Ergibt ein Element a der Gruppe nach endlich vielen Multiplikationen mit sich selbst das neutrale Element 1, d. h. es gilt: aⁿ = 1, so nennt man das kleinste derartige n die Ordnung des Elements a. Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt.

Untergruppen

Ist U eine Teilmenge der Trägermenge M und gelten für die Gruppenaxiome, so nennt man U eine Untergruppe von M. Hierzu ein wichtiger Satz: (Satz von Lagrange) Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe M.
Ist beispielsweise |M| eine Primzahl, enthält M nur zwei Untergruppen, nämlich und M.

Nebenklassen

Definiert man auf der Menge M die Relation

\sim

durch:

a \sim b \Leftrightarrow b^a \in U

, erhält man eine Äquivalenzrelation auf M: Die sog. Äquivalenzklasse zu einem Element a in M (d.h. diejenigen Elemente b, so dass zwischen a und b die Relation besteht), ist die Menge

\

und bezeichnet sie durch

a - U

oder kurz

aU

. Da diese Menge alle Elemente von M enthält, die durch Linksverknüpfung mit dem Element a mit sämtlichen Elementen aus U entstehen, heißt sie Linksnebenklasse von U nach dem Element a. Definiert man eine weitere Relation

a \sim b

durch

a \sim b \leftrightarrow ab^ \in U

, so ergibt sich die Menge der zu a äquivalenten Elemente in M als

\

. Diese Menge entsteht also durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus U mit dem Element a; sie wird entsprechend mit U
- a oder kurz Ua bezeichnet und Rechtsnebenklasse von U nach dem Element a genannt. Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen mit der Addition als M. Dann ist die Menge U aller ganzzahligen Vielfachen von drei eine Untergruppe. Bildet man die rechten Nebenklassen, so erhält man folgende Tabelle: U U+1 U+2 U+3=U U+4=U+1 ... ... ... ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ... ... Man sieht, dass diese Tabelle wieder genau alle ganzen Zahlen enthält, wobei keine Zahl zweimal vorkommt. Für endliche Gruppen besagt der Satz von Lagrange: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert mit |U| ergibt |M|. Die Spalten sind genau die Teilungsreste bei der Division durch 3. Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen, ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden Definition:

Normalteiler

Ist für jedes Element b aus M die linke Nebenklasse gleich der rechten, d. h. U × b = b × U, so nennt man U einen Normalteiler von M. Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe M ist jede Untergruppe Normalteiler.

Faktorgruppe

Damit können wir nun unser Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist U ein Normalteiler, dann kann man nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe. Dies geht wie folgt: man nimmt irgendein Element aus der einen Spalte und multipliziert es mit einem beliebigen Element aus der anderen Spalte. Die Spalte, in der das Ergebnis liegt, ist das Ergebnis meiner Multiplikation. Die mit dieser Multiplikation und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von M bezüglich U.

Zyklische Gruppen

Gibt es in M ein Element a, so dass man jedes andere Element als Potenz a^k (mit einer ganzen Zahl k) schreiben kann, so nennt man M eine zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.

Ausblick

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide: Für Halbgruppen wird nur die Assoziativität verlangt. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so spricht man von einem Monoid. Eine andere Verallgemeinerung stellen die Quasigruppen dar.

Anwendung in der Chemie

Die Chemie beschäftigt sich mit Molekülen. Diese lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen haben die Eigenschaften von Gruppen, die sog. Punktgruppen. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Gruppentheorie auch für die Symmetrie von Funktionen gilt also auch für Wellenfunktionen. Dadurch kann der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen erheblich verringert werden. Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs (Symmetrieadaptierten Linearkombinationen aus Atomorbitalen), was in der MO-Theorie und Ligandenfeldtheorie Anwendung findet. Außerdem ist die Gruppentheorie für die IR-Spektroskopie von Bedeutung, IR-, Raman-Eigenschaften, Vorhandensein von Quadrupol- und Octopolmoment können direkt aus der Charaktertafel eines Moleküls abgelesen werden. Moleküle mit mindestens zwei nicht zusammenfallenden Symmetrieachsen haben kein Dipolmoment. Moleküle, die keine Drehspiegelachsen haben sind chiral und daher optisch aktiv. Moleküle, die eine Spiegelachse haben, sind nicht optisch aktiv, auch wenn sie chirale Zentren enthalten, z.B. Meso-Verbindungen. In der Kristallographie kommt die Gruppentheorie in Form von Kristallographischen Raumgruppen vor.

Siehe auch

- Hierarchie mathematischer Strukturen
- Liste gruppentheoretischer Artikel
- Symmetrische Gruppe
- Abelsche Gruppe Kategorie:Gruppentheorie ja:群論 ko:군론 th:กรุป

19. Jahrhundert

Das 19. Jahrhundert begann am 1. Januar 1801 und endete am 31. Dezember 1900. Es gehört zur Epoche der Neuzeit, die um die Jahrhundertwende zum 16. Jahrhundert begonnen hatte.

Neue Organisationsformen: Der Nationalstaat

Fragt man nach den Organisationsformen, danach in welchen Einheiten sich die Menschen wahrnahmen, dann dürfte dies die große Veränderung sein, die mit den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts eintrat: Der Nationalstaat wurde als neue politische Institution aufgebaut. Er forderte neue Themen, neue Bildungssysteme, neue wirtschaftliche Strukturen, eine neue Vorstellung seitens derer, die in ihm lebten: die Bereitschaft, sich als Bürger zu sehen und sich dementsprechend zu organisieren. Herrschaft geht im 18. Jahrhundert noch von den Herrschaftshäusern und politischen Parteiungen aus, sowie von mächtigen Adeligen, die hinter den Parteiungen stehen. Kriege werden im 18. Jahrhundert dementsprechend wahrgenommen: Regenten wollen sie, und lassen "ihr" Geld in sie fließen. Militärische Niederlagen werden im 18. Jahrhundert nicht als nationale Demütigungen empfunden, sondern als Teil einer von Regenten gestalteten Machtpolitik. Hier entwickelt sich im 19. Jahrhundert eine ganz neue Wahrnehmung. Sie ist vor allem eine Folge der Französischen Revolution und der Napoleonischen Kriege, die von einem ganz neuen Heer getragen werden - einem aus Staatsbürgern zusammengesetzten. Insbesondere Deutschland hat dem französischen Nationalismus zu Beginn des 19. Jahrhunderts wenig entgegenzustellen. Das Heilige Römische Reich ist in Einzelstaaten zersplittert, die von Napoleon gegeneinander ausgespielt werden. Der Reichsverband wird aufgelöst. Deutschlands Intellektuelle fordern in der Reaktion auf die Bedrohung einen Nationalstaat, der erst noch gegründet werden muss, der jedoch auf diesem Weg mit einem ganz neuen Bewusstsein von Staatsbürgerlichkeit ausgestattet wird. Ende des 19. Jahrhunderts sind militärische Niederlagen dann mit enormen nationalen Gesichtsverlusten verbunden. Ein deutsches Heer zieht 1870 durch Frankreich und erzwingt in Versailles, dem traditionelle Ort der von Frankreich ausgehenden Herrschaft ein Eingeständnis der Niederlage, das als nationale Schmach empfunden werden muss (und 1918 eine internationale Gegenantwort, eine verheerende Demütigung Deutschlands nach sich zieht). Nationale Euphorien, wie sie in der Befreiung Griechenlands von den Türken in den 1820ern und im Einigungsprozess Italiens Mitte des 19. Jahrhunderts aufkommen, bleiben ohne Parallele im 18. Jahrhundert - weder die englische Glorious Revolution von 1688 noch die Französische Revolution waren von vergleichbaren nationalen Sentimenten der Vereinigung begleitet. Europas Intellektuelle wie der Romantiker Lord Byron, der bei einem militärischen Kommando in Griechenland stirbt, entwickeln eine romantische Identifikation mit den neuen nationalen Bewegungen, die vom Volk getragen werden müssen, um zu funktionieren. Authentischer als Politik des 18. Jahrhunderts, echter, den Wurzeln näher, erscheint der neue Nationalismus. Das 19. Jahrhundert legte hier Grundsteine für Entwicklungen die im 20. neue Ausprägungen und globale Dimensionen gewinnen sollten. Der Faschismus und der Nationalsozialismus des 20. Jahrhunderts werden sich als national-völkischen Bewegungen manifestieren. Hochtechnisierte und hochgerüsteten Staaten werden sich hier in romantischen Rückbesinnungen auf Völkische Ursprünge definieren und Konflikte globaler Dimensionen austragen, die die Welt neu ordnen werden.

Die Nation als von ihrer Wirtschaft lebende Einheit

Entscheidende Bedeutung für die Ausbildung des Nationalstaates gewinnt im Verlauf des 19. Jahrhunderts die Industrialisierung, die ein Ringen um wirtschaftliche Macht zwischen Europas Nationen auslöst. Im 18. Jahrhundert suchen die Regenten Europas nach Möglichkeiten, ihre Staatshaushalte zu sanieren - Staatshaushalte, die im wesentlichen ihre persönlichen familiären Haushalte sind. Geld leihen sie sich von privaten Finanziers, Steuereinnahmen erhöhen sie, soweit dies geht, im besonderen Fall ziehen sie Geld aus der kursierenden Münze. Es geht aus der Sicht der Haushalte des 17. und 18. Jahrhunderts darum, den Abfluss von Edelmetall ins Ausland verhindern. Infrastrukturmaßnahmen, wie die Ansiedlung von Manufakturen, bleiben im 18. Jahrhundert von den Regenten gesteuerte Maßnahmen. Der Kameralismus entwickelt sich als eigene Wissenschaft der wirtschaftlichen Sanierung eines Territoriums durch den Landesherrn. Mit dem 19. Jahrhundert verändert sich die Sicht auf wirtschaftliche Entwicklungen. Großbritannien wurde als Kolonialmacht und als Land der hier früh einsetzenden Industrialisierung bereits in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts zum Wirtschaftsimperium. Amsterdam verlor seine Stellung als zentraler Handelsplatz. London, die Hauptstadt des Commonwealth übernahm diese Position. Die nationale Einigung Deutschlands geschieht am Ende im 19. Jahrhundert maßgeblich in einem Aufholprozess, der auf dem Gebiet des Nationalismus mit Frankreich konkurriert, wirtschaftlich und militärisch jedoch mit dem industrialisierten und hochgerüsteten Großbritannien. Ohne die Industrialisierung, wie sie England leistete, kann das aufstrebende Preußen, die Kernmacht des neuen deutschen Reichs, Großbritannien keine Flotte entgegenstellen, und ohne eine Flotte wird die neue Nation keine Chance haben, noch Kolonien zu akquirieren. Europas Nationen müssen die Rahmenbedingungen für die Industrialisierung stellen, wollen sie einander gegenüber bestehen. Der wirtschaftliche Konzentrationsprozess wird von neuen Debatten begleitet: Mit der Auseinandersetzung um den Liberalismus geht es im 19. Jahrhundert um die Kernfrage, ob dem Nationalstaat mehr mit einer staatlich gelenkten Wirtschaft gedient ist, oder damit, dass er seinen Bürgern und ihrer Initiative größte Freiheit lässt. Der Kommunismus gewinnt in der Auseinandersetzung zwischen deutschen Debatten und der Realität des englischen Wirtschaftssystems Mitte des 19. Jahrhunderts seine Programmatik. Er prognostiziert, dass mit der neuen wirtschaftliche Integration die Klasse der Arbeiter eigene Kontur gewinnt - eine Klasse, die am Ende das Ende der Nationalstaaten herbeiführen wird, eine Weltherrschaft der Arbeiterklasse, gestützt auf die Produktion, die letztlich von der Arbeiterklasse ausgehen muss. Der Sozialismus strebt Kompromisse mit dem Nationalstaat an, soziale Sicherungssysteme, die Massenarmut verhindern und den Staat stabilisieren.

Europas Nationen im Wettbewerb um Kolonien

Der Kolonialismus des 19. Jahrhunderts geht im wesentlichen bis in das 16. und 17. Jahrhundert zurück, er weist jedoch gänzlich neue Züge auf. Spanien und Portugal nutzten ihr Kolonien vordringlich, um Gold aus ihnen zu beziehen - das Edelmetall war von kurzem Profit, der Goldfluss führte zu einem Preisverfall, weniger jedoch zum Aufbau sich selbst erhaltender wirtschaftlicher Strukturen. Einen zweiten Entwicklungsschub leistete der niederländische Kolonialismus des 17. Jahrhunderts, der Amsterdam zum Weltfinanzort machte. Ihn prägte der Zusammenschluss Amsterdamer Kaufleute in Handelsgesellschaften, die die größere Erschließung von Wirtschaftsräumen zwischenfinanzierten. Importiert wurden aus den Kolonien Handelswaren. Der Reichtum der Niederlande resultierte aus dem Zwischenhandel und der Veredelung von Rohstoffen in Manufakturen des Landes. Was dem niederländischen Kolonialismus fehlte, war die staatliche Deckung, die er in Großbritannien entwickelte. Die Unterwerfung des Mogul-Reichs Mitte des 18. Jahrhunderts mit britischer Militärmacht bedeutet hier am Ende eine Weichenstellung in den Kolonialismus des 19. Jahrhunderts. Private Kapitalgesellschaften bilden das Rückgrat des britischen Kolonialismus. Der Staat deckt sie durch den Aufbau der Nationalbank. In den Kolonien baut der erstarkende Staat Substrukturen seiner selbst auf: Eigene Bildungszentren, eine eigene ständige Armee als Ordnungsmacht, eigene staatliche Strukturen, aus denen im 20. Jahrhundert führende Nationen der Dritten Welt hervorgehen. Der Wettstreit der Nationen um Kolonien wird im 19. Jahrhundert zum zentralen Thema europäischer nationaler Selbstwahrnehmung. Große Projekte wie der Bau des Sueskanals werden zu Kristallisationspunkten des neuen Bewusstseins. Die eigene, europäische Überlegenheit gegenüber dem kolonialen Raum schafft einen Rassismus, der im 18. Jahrhundert nicht bestand, und ein eigenes Feld der Kulturtheorie, in dem es um die Frage geht, unter welcher Bedingung sich Kulturnationen entwickeln.

Rohstoffe, Energiereserven und Industrie

Innerhalb der einzelnen Länder wird die Industrialisierung und die Erschließung der Kohlevorkommen zum Gegenpol des Kolonialismus. Zu verarbeitende Güter werden importiert, Energiereserven müssen im Land für ihre Verarbeitung erschlossen werden. Die Kohlevorkommen Nord und West Englands, Lothringens und des Rheinlands werden der Reihe nach wirtschaftlich nutzbar gemacht. Großbritannien muss sich Ende des 19. Jahrhunderts der wirtschaftlichen Konkurrenz des erstarkten europäischen Kontinents stellen, bevor die USA im 20. Jahrhundert mit einer eigenen Wirtschaftspolitik und Dank ihrer schieren Marktgröße Europas Nationen überholen. Die Erfindung der Dampfmaschine geht in das frühe 18. Jahrhundert zurück. Im Zusammenspiel mit der Erschließung neuer Energievorkommen und dem Rohstoffimport aus den Kolonien erlaubt sie den Aufbau des industrialisierten Europas. Europas Landkarte verändert sich im Prozess. Reich waren im 17. und 18. Jahrhundert vor allem die Herrschaftszentren. Mit der Erschließung von Rohstoffvorkommen werden Regionen, die bislang uninteressant waren, als Wirtschaftsstandorte attraktiv. Das Rheinland und der Raum um Lüttich machen hier Karrieren.

Neue Verkehrsmittel und Medien

Mit der Industrialisierung wird die Eisenbahn und die Dampfschifffahrt aufgebaut - beides Erfindungen, die nötig sind, um die flächendeckende Erschließung von Wirtschaftsräumen überhaupt zu durchzuführen. Auf dem Kontinent erlaubte die Eisenbahn Mitte des 19. Jahrhunderts den Transport von Waren, die verarbeitet werden sollen an die Orte, an denen Rohstoffvorkommen die Energiereserven stellen. Zwischen den Kohleabbaugebieten, den industrialisierten Zentren, und den bestehenden Handelsmetropolen entwickeln sich Verkehrsnetze. Mit der Ausdehnung der wirtschaftlich nutzbaren Fläche wächst die Bevölkerung im 19. Jahrhundert. Zu den neuen Verkehrsmitteln kommt ab Mitte des 19. Jahrhunderts der Aufbau der modernen Telekommunikation. Das erste Transatlantikkabel wird in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts gelegt. Nachrichten können wenig später mit Lichtgeschwindigkeit weltweit transportiert werden - für den Wettstreit zwischen den USA und Europa, der mit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts beginnt, ist das fast die entscheidende Voraussetzung. Mit den neuen Medien nimmt die staatliche Struktur selbst neue Formen an. Herrschaft bedurfte im Mittelalter immer wieder der persönlichen Präsenz des Regenten, der im Bedarfsfall von Pfalz zu Pfalz reiste, um Herrschaftsansprüche zu vor Ort geltend zu machen. Die frühe Neuzeit erlaubte die zentrale Machtausübung, den Absolutismus als neue Herrschaftsform. Eine zentrale Steuer- und Geldpolitik und eine bis an die Landesgrenzen reichende militärische Präsenz sicherten die neue Herrschaftsform wie die neuen Medien des Informationsmarkts: der Druck machte im 17. Jahrhundert Zeitungen allerorten verfügbar. Noch breiteten sich Nachrichten jedoch mit der Geschwindigkeit des Postverkehrs aus, und dieser Informationsfluss ließ bis in das 19. Jahrhundert kaum beschleunigen. Die Kommunikation über die Telegrafie erlaubt Mitte des 19. Jahrhunderts die Produktion von Zeitungen und Journalen, in denen weltweit am selben Tag dieselben Nachrichten verfügbar werden. Die Machtausübung zwischen Regierungszentralen und lokalen Behörden gewinnt Intensität. Das Gefühl jederzeit und an jedem Ort des Landes von den Entscheidungen der Regierung betroffen zu sein, von Entscheidungen die ihre Informationen vorort erheben, schafft ein neues Bewusstsein bei den Bürgern von der übergeordneten staatlichen, das gesamte Gebiet erfassenden Einheit.

Bürgertum und Interessenverbände

Die Beziehungen zwischen dem Einzelnen und dem Staat werden im Verlauf des 19. Jahrhunderts in den Nationalstaaten grundlegend neu organisiert. Das 18. Jahrhundert trug noch immer den Traditionen der Ständegesellschaft Rechnung. Privilegien wurden einzelnen Ständen garantiert. In den Städten wurden Berufsgruppen mit Privilegien ausgestattet. Wirtschaftlichem Wachstum waren im 18. Jahrhundert ganz handfeste Grenzen gesetzt: Die meisten Städte Europas waren im 18. Jahrhundert ummauert. Manufakturen mussten vor den Stadtmauern ohne den Schutz errichtet werden, den die Stadt gewährte. In der Stadt wiederum wurden die einzelnen Handelsbefugnisse vom Rat der Stadt verwaltet und nicht vermehrt. Wer im 18. Jahrhundert in einer Stadt ein neues Geschäft aufmachen wollte, musste in eine Familie mit der Gewerbebefugnis seiner Wahl einheiraten oder eine verwaiste Gewerbebefugnis erwerben. In der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts schleifen die größeren Städte Europas ihre Befestigungsanlagen. Wo die Mauern standen, entstehen Ringstraßen. Wirtschaftliche Ansiedlungen und Villenviertel greifen an den neuen Sternstraßen aus, die die Städte des 19. Jahrhunderts anlegen. Die Voraussetzung dieser Entwicklung war der militärtechnischer Fortschritt: Als sich Städte nicht mehr verteidigen ließen, wurden ihre großen Befestigungsanlagen unnütz, neue Armeen mussten die Landessicherung vornehmen. Mit dem 19. Jahrhundert entwickeln sich die Großstädte Europas zu Wirtschaftszentren. Zutrittsbedingungen zu den Berufen werden liberalisiert. Neuansiedlungen von Unternehmen werden gefördert. Ein neues Verständnis staatsbürgerlicher Initiative und privaten Unternehmertums ist die Folge. Das Bürgertum, das zur treibenden initiativen Kraft wird, benötigt und schafft neue Organisationsformen. Berufsverbände und ein komplexes Geflecht an Gesellschaften und Interessengruppen, die das wirtschaftliche Leben bestimmen und den kulturellen Austausch prägen.

Nation und Bildung

Eines der wichtigsten Probleme, das die Französische Revolution Europas Nationen hinterließ war das der stabilen sozialen Ordnung. Eigene Ideologien nehmen sich im 19. Jahrhundert der zentralen Frage der sozialen Mobilität und ihrer konfliktfreien Gewährleistung an - der Positivismus, der anfänglich der französische Revolution nahe steht und dann mit dem Liberalismus einhergeht, begründet die Soziologie als Wissenschaft des geregelten und für die Menschheit fruchtbaren Zusammenlebens. Der Sozialismus und der Kommunismus knüpfen weiterreichende politische Forderungen an die Entwicklung der Staaten. Eine ganz andere Lösung des Problems sozialer Mobilität richtet sich mit den Bildungssystemen ein. Die Nationen Europas garantieren ihren Bürgern - unabhängig von Schicht und Konfession - gleiche Aufstiegschancen. Statt der Revolution einer Klasse, kann das Individuum versuchen, in privater Initiative sich empor zu arbeiten. Die Chancen dazu muss das Bildungssystem liefern, das allen offen steht. Die Schulpflicht wird eingeführt. Zu sozialer Unruhe führt das neue System dabei gerade nicht: Jeder einzelne kann theoretisch aufsteigen, wenn er den entsprechenden Bildungsweg nimmt. Praktisch haben die finanzstarken Schichten des Bürgertums und des Adels nicht wettzumachende Vorteile, ihren Kindern in den nationalstaatlich organisierten Bildungssytemen die optimalen Startbedingungen zu geben. Arbeiterkinder werden frühzeitig aus der Schulbildung genommen, um für den Familienunterhalt zu sorgen. Mindestens so wichtig für die soziale Stabilisierung werden die nationalen Diskussionsthemen, die in den Schulunterricht eingeführt werden. Sie sorgen für ein tiefergehendes Klassenbewusstsein. Über Kunst, Literatur und Musik spricht man in den oberen Schichten - gebildet. In den unteren Schichten bietet eine populäre Kultur eigene Diskursgegenstände an mit dem Ergebnis, dass eine Vermischung der Schichten für alle Beteiligten unattraktiv wird. Man teilt die Themen nicht, die in den verschiedenen Schichten interessant sind, sobald man Schichten wechselt.

Kulturnationen und Säkularisation

Die Schulbildung und alle nationalen Debatten blieben im 18. Jahrhundert mit religiösen Themen ausgestattet. Die Religionen stellten entscheidend die Öffentlichkeit her, innerhalb derer Diskussionen stattfinden konnten. Europas Landkarte war nicht nur territorial zersplittert, sie war zudem nach den drei Konfessionen geteilt, ohne das dabei ein einheitliches Muster zustande kam. Die Konflikte zwischen den Nationen deckten sich nicht mit der konfessionellen Landkarte. Konflikte einzelner Nationen mit Interessengruppen, die konfessionell gebunden waren, führten in der Regel darum immer sofort auch Konflikte zwischen den Nationen herbei, die sich für die benachteiligten religiösen Gruppen verantwortlicher fühlten. Anfang des 19. Jahrhunderts erfasst eine Säkularisations-Welle Kontinentaleuropa. Die Kirche wird dem Staat untergeordnet. Einzelne Territorien wie Bayern und Württemberg überwinden ihre Zersplitterung in kleine isolierten regionale Gebiete durch spektakuläre Aneignungen kirchlichen Besitzes. Eine Verlagerung gesellschaftlicher Debatten muss die Säkularisation absichern. Die Nation muss die Diskussionen dominieren, will sie die Macht der Kirchen zurückdrängen. Sie tut dies indem sie gerade den Schutz der bürgerlichen Freiheiten anbietet. Der Nationalstaat des 19. Jahrhunderts führt die Gleichberechtigung der Religionen ein, bevor er den Bürgern gänzliche Freiheit des Bekenntnisses einräumt. Von entscheidender Bedeutung wird diese Entwicklung für Europas Juden, die bislang in allen Territorien eine diskriminierte Minderheit waren. Wohl finden sie auch jetzt kaum Zugang zu Positionen in Militär und Politik, doch können sie in Wirtschaft und Bildung zunehmend frei investieren und eine eigene Bedeutung in der Gesellschaft damit entwickeln. Gegenüber den von der Religion dominierten Debatten kommen neue Debatten- und Bildungsgegenstände auf: Nationaltheater werden in den Städten aufgebaut, um der Nationalliteratur einen Raum zu geben. Auf dem Buchmarkt werden die Veränderungen mit einer Umstrukturierung des Angebots greifbar: Die Buchhandlungen des 18. Jahrhunderts boten überwiegend Theologica - kontroverse Theologica, große Lehrwerke, "praktische" Theologie vom Gebetbuch bis zum religiösen Verhaltensratgeber. Im 19. Jahrhundert verliert die Theologie ihre Marktbedeutung, die Belletristik und in dieser die Nationalliteratur nehmen ihren Platz ein. Zusatzdiskussionen kommen auf: Die Kunstdebatte, die jetzt bildende Kunst zum neuen Gegenstand hat, die ernste Musik, die einen eigenen Konzertbetrieb aufbaut. Mit beiden Debattenfeldern wird die nationale Literaturdiskussion um zwei internationale Plattformen erweitert. Alle drei großen Debatten werden im Austausch über die "Kultur" zusammengefasst. Die Frage, was eine Kulturnation auszeichnet, beschäftigte Europas Intellektuelle im Blick auf die "unterentwickelten" Länder Afrikas wie im Wettstreit der europäischen Kulturnationen um nationale Identität. Er findet auf dem Gebiet der Kultur seinen Hauptaustragungsort. Identifizierten sich Großbritannien und Frankreich mit längerer Tradition als Nachfahren Roms, so wählt Deutschland im 19. Jahrhundert einen folgenschweren nationalen Sonderweg. Das Mittelalter wird zur eigenen großen Phase der Nation gemacht. Über das Mittelalter gründet sich die neue Nation auf "germanische" Wurzeln. Als Option war dies bereits in Debatten der Humanisten angelegt. Nun jedoch wird ein spezifischer Nationalcharakter und eine neue Ethik hinzuentwickelt. Deutschland bricht im 19. Jahrhundert mit Idealen des christlichen Humanismus. Das Germanische wird als Gegenkultur aufgebaut, in der das Volk am Ende die Ethik rechtfertigen soll - es wird zur vitalen biologischen Einheit, die die Nation als Organisationsform hervorbringt, und die von der Nation aggressiv gegen Einfluss der Nachbarnationen geschützt werden muss. Von der Romantik geht hier eine Entwicklung in die Philosophie Friedrich Nietzsches, die einen über der Moral stehenden Übermenschen denkbar macht, in den Nationalsozialismus des 20. Jahrhunderts, wo der Übermensch und das Volk rassistische Qualitäten gewinnen gegenüber den "Untermenschen" im Land und "in den slawischen Völkern" des Ostens, deren Unterwerfung und Ausrottung Programm des wirtschaftlich und militärisch modernen Nationalstaates werden - eines Nationalstaats, der die verqueren Traditionsangebote des 19. Jahrhunderts zusammenbringt und der schließlich zum Schutz der "arischen Rasse" schreitet.

Die Literatur, die Kunst und die Musik werden zu Bereichen eines pluralistischen Austauschs

Die Literatur, jetzt definiert als der Bereich der nationalsprachlichen Überlieferung (siehe hierzu eingehender den Artikel Literatur), die Kunst, jetzt definiert als Feld der Dinge, die ob ihrer Ästhetik gewürdigt sein wollen und die Musik werden in Europas Nationen zu privilegierten Debattenfeldern. Die Entwicklung kommt maßgeblich über die Sekundären Diskurse zustande, die sich diesen Produktionen im Feuilleton und an den Schulen und Universitäten annehmen. Eine Neuordnung des Marktes ist die Folge: Hoch stehen die kulturtragenden national gewürdigten Produktionen, niedrig dagegen eine neue kommerzielle Kultur, die im Verlauf des 19. Jahrhunderts zunehmend auf die Vermarktung gegenüber den unteren Schichten als neuem Massenpublikum abzielt. Die hohe Produktion der anspruchsvollen Kunst, Literatur und Musik, die die Kunstausstellungen, die Konzertsäle und die Literaturzeitschriften erobert, wird unter der massiven gesellschaftlichen Würdigung, die sie erfährt, mit der Wende ins 19. Jahrhundert zum Austragungsort aller wichtigen Debatten. Staatstragender Kunst steht dabei eine permanente Revolte der Kunst gegen bestehende Moral und Ästhetik gegenüber. Eine übergreifende Debatte begleitet den Weg der Kunst und der Literatur in die gesellschaftsweiten Diskussionen: Die Debatte, wie weit Kunst sich anderen Zwecken zur Verfügung stellen kann, respektive wie stark der Künster auf der Autonomie der Kunst beharren kann, sich ganz seiner Arbeit verpflichtet fühlen darf - einer Arbeit, auf die der sekundäre Diskurs zukommen muss, und die durchaus nicht einfach nach seinen Ansprüchen gebildet wird. Unter dem Motto L’art pour l’art erweitert die als Ästhetizismus ausgewiesene Option das Spektrum bis dahin bestehender Schulen, die zu unterschiedlichen Interessengruppen unterschiedliche Nähe entwickelten - von der staatsragenden Kunst des akademischen Historismus bis zu den Schulen, die die Kunst in den Dienst sozialer Anliegen stellen. Unterhalb dieser in der hohen Kultur ausgefochtenen Kämpfe entwickelt sich eine breite Produktion, die an kommerziellen Bühnen und im Angebot der Trivialliteratur ein Massenpublikum erobert, bevor dieses mit dem Sport als neuem Ereignislieferanten und einer allgemeinen Massenpresse einen eigenen Status als politische Macht und ganz eigene Medien und in ihnen transportierte Informationen gewinnt.

Wissenschaften

Massiv zeichnen sich die skizzierten Veränderungen im Wissenschaftsbetrieb ab: Bis in das 18. Jahrhundert hinein wurden die Wissenschaften an kirchlichen und landesherrlichen Institutionen unterrichtet. Die Fächer Theologie, Jurisprudenz, Medizin und Philosophie teilten den Wissenschaftsbetrieb unter sich auf. Nationale Akademien der Wissenschaften kamen mit dem 17. Jahrhundert ins Spiel und gaben der "Gelehrtenrepublik" neue Dachstrukturen. Die Naturwissenschaften blieben jedoch bis in das späte 18. Jahrhundert trotz der spektakulären Erkenntnisse seit Galilei und Newton eine Domäne für Liebhaber. Es gibt für sie im 18. Jahrhundert keinen wirtschaftlichen Nutzen und keine Berufe, in denen sie sich auszahlen könnten. Die Sicht auf die Naturwissenschaften ändert sich im 18. Jahrhundert maßgeblich durch die Leistungen der Royal Society, die als Wissenslieferantin den Aufbau der Kolonien begleitet. Die Verbesserung der Navigation und ihr dienend der Zeitmessung, die Sammlung geographischer Informationen gehören zu den ersten Angeboten der auf die Naturwissenschaften ausgerichteten wissenschaftlichen Gesellschaft. Verbesserungen landwirtschaftlicher Anbauverfahren, die am Ende wirtschaftliche Profite abwerfen, kommen als Errungenschaft der Wissenschaften im späten 18. Jahrhundert in die Diskussion. Mit der Industrialisierung wird in den Nationen Europas diskutierbar, dass technische Universitäten aufgebaut werden müssen, um Grundlagenwissen zu produzieren. Das alte Gefüge der Wissenschaften wird aufgebrochen:
- Die Naturwissenschaften beliefern die technischen Wissenschaften mit Erkenntnis,
- die Ingenieurwissenschaften greifen in die Praxis aus,
- die Geisteswissenschaften werden aufgebaut, um die großen gesellschaftlichen Debattengegenstände mit hierarchisierbaren Diskussion auszustatten: Die Geschichte, die Literatur, die Kunst, die Musik werden Bereiche des Universitätsbetriebs,
- Sozialwissenschaften kommen im 19. Jahrhundert hinzu, behalten aber einen Außenseiterstatus.

Europa und die Welt

Der Nationalstaat wurde in der größeren Perspektive die Einheit, die die weltweite Expansion mit neuer Koordinationskraft übernehmen konnte. Afrika hatte dem europäischen Konzept ethnische Kulturen entgegenzustellen und wurde am härtesten von der neuen Entwicklung getroffen: Europas Nationen teilten Afrika unter sich auf und schufen eigene Pseudonationen in Afrika: Gebiete, deren Grenzen mit dem Lineal auf der Landkarte gezogen wurden, Gebiete wie sie in Europa Nationen praktisch gewesen wären, die lange in einzelne Machtdomänen zersplittert waren. In Afrika konnten die Nationen ihre eigenen Organisationsstrukturen auf in ihren Augen kaum vorhandene Organisationsstrukturen aufsetzen, ein Problem, das Sprengkraft im 20. Jahrhundert entfaltete, als dieselben künstliche geschaffenen Einheiten in "Unabhängigkeiten" entlassen wurden, die letztlich alles andere als Unabhängigkeit erlaubten. Anders entfaltete sich der Nationalismus in Asien: Hier traf Europa im 18. Jahrhundert auf politische Einheiten, die ganz wie europäische Einheiten organisiert waren. Das Kaiserreich China schien europäischen Beobachtern überlegen in seiner Organisation, hier hatte man einen vollendet zentral organisierten Staat aufgebaut. Indien schien Europa dagegen unterlegen: das Moghul-Imperium blieb das Projekt einer einzelnen Dynastie, die am Ende in blutigen Erbschaftsquerelen unterging. Großbritannien, Frankreich und Dänemark suchten das Machtvakuum zu nutzen, das sich Mitte des 18. Jahrhunderts in Indien abzeichnete, Großbritannien blieb dabei erfolgreich. Mit dem 19. Jahrhundert und dem Aufbau der europäischen Nationalstaaten errangen diese eine überlegene Organisationsstruktur: die Integration wirtschaftlicher, militärischer Macht unter dem Dach einer zentralen Außenpolitik staatlicher Deckung. Die Nationen Europas handelten am Ende untereinander ihre Machtansprüche aus. Die Länder Asiens mussten den Weg eigener Nationalstaatlichkeit wählen. Japan ging ihn mit der Revolution der 1860er als einzige asiatische Nation erfolgreich mit einer Übernahme politischer Strukturen von Großbritannien und einer Übernahme des Bildungssystems insbesondere von Deutschland. Der Aufbau einer Militärmacht und einer Wirtschaftsmacht folgte mit verheerenden Konsequenzen für die benachbarten asiatischen Nationen. Die unterlegenen Nationen Asiens gerieten mit dem 20. Jahrhundert in Europas Machtgeschiebe, und gewannen erst hier die Chance, Gegengewichte zur europäischen und amerikanischen Macht als aufsteigende Nationen aufzubauen.

Sich verändernde Wahrnehmungen: Entwicklungen werden ein zentrales Thema

Bestimmte Worte waren dem 18. Jahrhundert weitgehend fremd. Das Wort "Entwicklung" gehört zu ihnen. "Veränderung" ist das Wort, das sich im frühen 18. Jahrhundert überall dort findet, wo man im 19. Jahrhundert Entwicklungsthesen sucht. Eine Veränderung kann in einem Menschen vorgehen, er fasst einen neuen Entschluss, wird von einer neuen Stimmung erfasst, verändert sich von da auf grundlegend. Veränderungen, Revolutionen, sind im 18. Jahrhundert nicht minder in allen historischen Prozessen gesucht. Reiche gehen unter, andere werden gegründet. Man geht im 18. Jahrhundert davon aus, dass Kultur des Entschlusses bedarf. Adam entschied sich, erwachsen auf die Welt gekommen, am ersten Tag seiner Existenz, die Dinge zu benennen und aus einer einfachen Kombination von Vorstellungen die wesentlichen Erfindungen wie Schiffe, Häuser, und Städte zu begründen. Der historischer Raum war für das 18. Jahrhundert kurz. Auf die Weltschöpfung folgten etwa 1600 Jahre bis zur Sintflut, dann um das Jahr 2300 v. Chr. kam es mit der erneuten Besiedelung der Welt durch die drei Söhne Noahs zum Aufbau der jetzige Kulturräume - 1000 Jahre später war dieses Werk abgeschlossen, die Antike Welt lag so besiedelt vor, wie die ersten antiken Schriftsteller und die Schreiber des Alten Testaments sie wahrnahmen. Europa rühmte sich seiner Aufklärung gerade da es von einer kurzen Geschichte ausging, die verworrenen langen Regentenreihen mied, mit denen die Chinesen etwa ihre Geschichte ausstatteten. Die Welt müsste, so europäische Aufklärer im 18. Jahrhundert, von antiken Ruinen übersät sein, wäre die Welt älter und schon länger von Menschen besiedelt. Zur kurzen Weltgeschichte gehört das Individuum, das Kultur jederzeit und aus dem beliebigen Entschluss hervorbringt, ein Indivduum, mit dem das 19. Jahrhundert bricht.

Geschichte als Entwicklungsraum

Die Geschichte der Welt und der Menschheit wird bereits mit der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts länger. Versteinerungen, Fossile, erfordern neue geologische Theorien - bislang hatte man sie ohne weiteres als Beweis der Sintflut gesehen. Die Bibel wird im ersten Anlauf durch Auslegungen verteidigt, die den Schöpfungsmythos symbolisch lesen. Aus den einzelnen Tagen werden Jahrtausende der Entwicklung. Der Zunehmende Kontakt mit außereuropäischen Kulturen macht es Ende des 18. Jahrhunderts denkbar, dass kulturelle Entwicklungen lange menschheitsgeschichtliche Prozesse voraussetzen. Gleichzeitig entwickelt gerade die Romantik des frühen 19. Jahrhunderts eine große Begeisterung für die "Naturvölker", deren eigene Kultur der hohen westlichen Zivilisation in manchen Aspekten plötzlich überlegen scheint. Das 19. Jahrhundert zeigt sich begeistert von Kulturunterschieden, von der Option, dass gerade sehr lange Entwicklungen zu dem Zivilisationsstand führten, der in Europa herrscht. Die Andersartigkeit der Antike und des Mittelalters werden Untersuchungsgegenstände. Kulturelle Fremdheit wird produziert und im Historismus gegenüber der Vergangenheit in Anschlag gebracht. Maler des 17. und 18. Jahrhunderts hatten historische Szenen zumeist nur geringfügig mit fremdem Zeitkolorit versehen, der aktuelle Orient inspirierte dabei. Maler des 19. Jahrhunderts entdecken fremde Ästhetiken. Die Gotik wird als eigene Ästhetik konstruiert und von den Romantikern in großen Gemälden inszeniert. Die Antike findet eine neue, archäologische Forschung, in der es um die Rekonstruktion fremder Sitten, und vergangener Formen des Zusammenlebens geht. Die Sprachwissenschaft des 18. Jahrhunderts kannte keine Sprachentwicklungen, sie ging von Sprüngen und Neuschöpfungen aus. Anders die Sprachwissenschaft, die im 19. Jahrhundert aufkommt und die Entwicklungsgesetze postuliert und untergegangene Sprachstufen wie das Indogermanische rekonstruiert. Einen tiefen Einschnitt bedeutet für die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das Aufkommen der Evolutionstheorie und des Darwinismus. Die Abstammung des Menschen vom Affen ist weniger als Bruch mit der biblischen Überlieferung problematisch - von ihr hatte man sich an den entscheidenden Stellen bereits getrennt. Die Verwandtschaft des Menschen mit dem Affen wird vielmehr als provokante Kulturthese wahrgenommen. Sie kratzt am Selbstverständnis, mit dem sich die Menschen in den Nationen Europas als Kulturträger feiern, bevor ein eigener Rassismus sich von derselben These abspaltet: Die Theorie, die weiße Rasse könnte in der Evolution eine höhere Entwicklungsstufe erreicht haben, als die anderen Rassen der Welt.

Die Zukunft als neues Thema

Die utopischen Entwürfe des 16. und des 17. Jahrhunderts kamen bezeichnenderweise alle ohne die Zukunft als Projektionsfläche aus. Utopia, wie es Thomas Morus entwarf, war ein fiktives Eiland. Großbritannien konnte, den Entschluss vorausgesetzt, sofort einen vergleichbaren Staat einrichten. Zukunftsprospekte bleiben im 17. und 18. Jahrhundert selten. Die Memoirs of the Twentieth Century mit denen Samuel Madden 1731 sich in der Phantasie der Romanwelt bis in das Jahr 1999 wagt zeichnen eine kaum veränderte Welt des frühen 18. Jahrhunderts. Welche Erfindungen sollten noch kommen, so musste sich der Autor des frühen 18. Jahrhunderts fragen, wo doch alle Erfindungen in jedem Moment möglich waren. Mit der Ausdehnung der Vergangenheit wird in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts die Zukunft zum Raum, in dem eine neue Menschheit leben könnte. Louis-Sébastien Mercier wagt sich hier 1770 mit seinem Roman L'An 2440 in eine aufgeklärtere Zukunft, die sich erheblich von der Gegenwart unterscheidet. Im 19. Jahrhundert kommen technologische Phantasien auf, die Science Fiction entsteht mit Welten, in denen die Wissenschaften und die Technik für ganz neue Formen des Zusammenlebens sorgen. Politische Richtungen und philosophische Schulen entwickeln ein dem gleichkommendes Interesse an der Zukunft als Raum politischer Zielsetzungen. Der Positivismus geht im frühen 18. Jahrhundert aus den Erfahrungen der französischen Revolution und den Diskussionen der neuen Naturwissenschaften hervor. Sein Gründer Auguste Comte konzipiert einen Siegeszug der Wissenschaften, der am Ende das menschliche Zusammenleben revolutionieren soll. Die Soziologie wird als Wissenschaft aufgebaut, um das Zusammenleben zu erforschen und Modelle eines bestmöglichen Zusammenlebens zu entwickeln. Der Positivismus selbst wird zum wissenschaftlichen Ersatz der Religionen ausgebaut. Ihn trägt die größere Kulturthese, nach der die Menschheit sich über die Religion zu den Wissenschaften entwickeln muss, die am Ende als Produzenten des Fortschritts das beste Zusammenleben ermöglichen. Gegenüber dem Positivismus positioniert sich Mitte des 19. Jahrhunderts der Marxismus mit dem Kommunismus. Statt einer fließenden kulturellen Entwicklung fordert er den Bruch, die Weltrevolution, einen Siegeszug der benachteiligten Klassen, die den neuen Lebensstandard des 19. Jahrhunderts als billige austauschbare Arbeitskräfte ermöglichen. Zukunftsprognosen bestimmen die Debatten des 19. Jahrhunderts neben historischen Entwicklungsthesen, die dieselben Zukunftsprognosen beweisen müssen. Gerade die Zeit, die davon ausgeht, dass alle Entwicklungen langsam verlaufen, produziert im Gegenzug extrem beschleunigte Entwicklungen. Die Welt, wie sie zu Beginn des 19. Jahrhunderts aussah, unterschied sich in vielem nicht von der Welt des Mittelalters - Informationen benötigten ebenso lange auf ihren Wegen durch Europa wie Jahrhunderte zuvor, die Verkehrsmittel waren dieselben, in Dörfern und Städten lebte man ähnlich. Ende des 19. Jahrhunderts sind Europas Metropolen weitgehend elektrifiziert, Schienennetze verbinden sie miteinander, Informationen werden ohne Zeitverzug elektronisch vermittelt. Reisegeschwindigkeiten sind durch den Zugverkehr verkürzt. Die Dampfschifffahrt verbindet die Kontinente. Die Wirtschaft ist Ende des 19. Jahrhunderts weltweit eng vernetzt. Im 20. Jahrhundert wird sie ihre erste weltweite Katastrophe erleben.

Das Individuum als Entwicklungsraum

Bis in das 18. Jahrhundert war vor allem die Religion für das Individuum und sein Innenleben zuständig. Die Medizin entwickelte grundlegende Theorien zu bestimmten Gemütsverstimmungen, die sie auf Ungleichgewichte im Säftehaushalt zurückbezog. Eine Wissenschaft der Psychologie brachte das 18. Jahrhundert nicht hervor. Sie entsteht in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts durch die Konzeption eines neuen Individuums, das sich durch persönliche Schwächen definiert und "sympathisch", wörtlich attraktiv für Mitgefühl, macht. Attraktivität lag im frühen 18. Jahrhundert in der Bereitschaft, die eigene Reputation zu verteidigen. Im späten 18. Jahrhundert werden zartfühlende Helden attraktiv, die das Verständnis ihrer Umwelt einfordern, deren Schutz verlangen. Eine eigene Wissenschaft entwickelt sich mit dem neuen Individuum. Sie kümmert sich um dessen Bildung, die nun zur entscheidenden Prämisse späterer Chancen im gemeinen Leben wird. Die Erziehung wird mit der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts zum zentralen Thema - eine Erziehung, die die Möglichkeiten ausbilden muss, die im Individuum je nach seinen persönlichen Fähigkeiten schlummern. Für Persönlichkeitsprobleme werden im Verlauf des 19. Jahrhunderts in der Folge eigene Humanwissenschaften zuständig. Die Medizin erforscht persönliche Anlagen. Grundsätzliche Fragen gelten der Asozialität, die womöglich vererbbar ist, zumindest aber Zeichen einer Degeneration sein muss, für die das Individuum oder die Gesellschaft Verantwortung tragen. Der Strafvollzug wird auf Korrektion ausgerichtet. Die Erziehungsanstalten werden auf die Formung des Menschen verpflichtet. Geistige und körperliche Ertüchtigung werden Themen. Die Abhärtung und Sport kommen in Mode - beides Lebensbereiche die im frühen 18. Jahrhundert noch undenkbar waren. Das späte 19. und frühe 20. Jahrhundert werden am Ende zur Epoche der modernen Psychologie - der Wissenschaft, die Fehlentwicklungen in Dispositionen und schlecht verarbeiteten Erfahrungen aufspürt. Mit ihr ist der Zustand erreicht, an dem das Individuum der Theorie nach über sich weniger weiß als die neuen Humanwissenschaften, die Daten erheben, klassifizieren, Schädel vermessen, Krankengeschichten sammeln - ein komplexes Inventar an Interaktionen eingerichtet haben, mit denen die Wissenschaften dem Individuum begegnen. Eigene Phantasien setzte das im 18. Jahrhundert frei - von der Frankensteinphantasie bis zur Phantasie der positivistische wohlgeordneten Welt. Neue Phantasien werden dies im 20. Jahrhundert freisetzen: Die von Zwangsstaaten, die dem Individuum keinen eigenen Entwicklungsraum mehr lassen werden.

Ereignisse

Überblick

Den wichtigsten organisatorischen Modernisierungsschub bringt in Frankreich die Französische Revolution. Mit den Napoleonischen Kriegen sehen sich zwei Jahrzehnte später Europas Nationen gezwungen, adäquate Organisationsstrukturen zu entwickeln. Napoléon Bonaparte verbreitet zu Beginn des 19. Jahrhunderts in seinen Eroberungsfeldzügen die Ideen der Französischen Revolution europaweit Der Code Civil, die bürgerlichen Gesetzesgrundlagen werden in seinem zeitweiligen Herrschaftsbereich ausgebreitet. Trotz seiner letztlichen Niederlage und dem Versuch der europäischen Fürsten, mit der Politik der Restauration nach dem Wiener Kongress von 1815, die bürgerlichen Fortschritte rückgängig zu machen, bleiben die neuen Ideen von nationaler Einheit und liberaleren Rechten in den Gesellschaften Europas, vor allem unter den intellektuellen Eliten festgesetzt. Der deutsche Sprachraum ist zu Beginn des 19. Jahrhunderts politisch zersplittert. Deutsche Intellektuelle sehen im deutschen Nationalstaat die einzige Option, bürgerliche Freiheiten zu erlangen sowie eine Organisationsstruktur aufzubauen, die sich gegenüber Frankreich und Großbritannien verteidigen kann. Der Nationalstaat unter Führung der Gebildeten scheitert 1849. Die wirtschaftliche Entwicklung lässt in den meisten Territorien zu wünschen übrig. Preußen nutzt in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die militärische Vormachtstellung, um die politische Vereinigung von oben herab durchzusetzen. Eine eigene Sozialstaatlichkeit wird unter Bismarck von oben herab eingeführt. Großbritannien ist seit 1703 vereinigt und verfügt seit der Glorious Revolution über eine funktionale Machtaufteilung zwischen König, Parlament und Parteiensystem. Modernisierungsschübe, wie sie Frankreich nahm, folgen in Großbritannien glimpflich, insbesondere da die wachsende Prosperität Konflikte in der Klassengesellschaft entschärft. Großbritannien kann seine Vorreiterrolle als Wirtschaftsmacht bis an das Ende des Jahrhunderts verteidigen. Der katholische Mittelmeerraum kam mit der Neuzeit in ein technologisches Hintertreffen gegenüber den nördlicheren Nationen. Das 19. Jahrhundert bringt Griechenland und Italien nationale Bewegungen und den Aufbau moderner staatlicher Strukturen. Die USA haben 1776 die nationale Unabhängigkeit errungen, bleiben jedoch bis Mitte des 19. Jahrhunderts technologisch rückständig. Hiefür ist sowohl die Sklaverei verantwortlich, die Aufbau einer industrialisierten Gesellschaft lange entbehrlich macht wie die Ausrichtung des Südens auf eine agrarische Produktion. Einen technologischen Schub brachte der Bürgerkrieg Mitte des 19. Jahrhunderts mit sich. Die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts steht insbesondere in den Nordstaaten unter dem Zeichen einer wirtschaftlichen Aufholjagd. Der Kapitalismus findet mit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in den Vereinigten Staaten von Amerika dank der schieren Größe des Wirtschaftsraums, dem Bevölkerungszuwachs (vor allem durch Immigration) und der sehr viel freieren Entwicklungsmöglichkeiten (im gesellschaftlich nicht durch Traditionen gehinderten Kulturraum eine eigene Ausprägung - jene die es den USA im 20. Jahrhundert erlauben sollten die Führungsrolle als Weltmacht zu übernehmen. Eigene Kolonien bauten die USA dabei nicht auf, als zukunftweisend erwies sich dagegen eine Politik gegenüber dem "Hinterhof" der USA - die zweite Erschließung Südamerikas durch amerikanische Konzerne. Südamerika prosperierte in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts zunehmend durch europäische Emigranten, die die wirtschaftliche Erschließung vorantrieben, bleibt jedoch im der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts hinter Nordamerika zurück. Afrika und Asien geraten im 19. Jahrhundert in ein epochales Abseits, aus dem Ende des 19. Jahrhunderts allein Japan als zukünftige Wirtschafts- und Militärmacht heraustritt.

Klima

- Die Kleine Eiszeit endet.
- Das Jahr 1816 geht als Jahr ohne Sommer in die Klimageschichte ein: der Ausbruch eines Vulkans in Indonesien im April 1815 hat zur Folge, dass in Nordamerika und Europa im Juli und August Temperaturen unter Null Grad herrschen.

Europa

- Kaiser Napoléon Bonaparte von Frankreich erobert Anfang des 19. Jahrhunderts große Teile Europas. Er reformiert viele Fürstentümer mit dem Code Civil und exportiert damit einige Errungenschaften der französischen Revolution, bis nach dem Scheitern des Russlandfeldzuges sein Niedergang beginnt.
- 1806 endet das Heilige Römische Reich deutscher Nation. Unter der Federführung Napoleons werden die nordwestdeutschen Staaten zum Rheinbund zusammengeschlossen.
- In den Befreiungskriegen werden die napoleonischen Truppen besiegt (Völkerschlacht bei Leipzig). Napoleon wird auf die Mittelmeerinsel Elba verbannt, von wo er 1815 nach Frankreich zurück kehrt und die Macht für kurze Zeit zurück erobert.
- Napoleon wird 1815 in der Schlacht bei Waterloo endgültig besiegt. Als Gefangener Englands wird er auf die Atlantikinsel St. Helena verbannt; der Wiener Kongress leitet die Restaurationszeit ein. (siehe: Metternich, Vormärz, Heilige Allianz, Karlsbader Beschlüsse, Biedermeier)
- Im Wiener Kongress 1815 wird das politische Europa neu geordnet. Die Staaten des vormaligen Heiligen Römischen Reichs in den Grenzen von 1783 mit Ausnahme von Belgien formen den Deutschen Bund als losen Zusammenschluss unabhängiger deutscher Fürstentümer einschließlich der mächtigen Monarchien Preußen und Österreich.
- Auf Initiative Russlands wird im September 1815 zusammen mit Österreich und Preußen die Heilige Allianz gegründet, der sich in kurzer Zeit fast alle europäischen Staaten anschließen. Das Bündnis hat eine europäische Friedensordnung und die Durchsetzung der Restauration in den europäischen Fürstentümern zum Ziel. Es zerfällt erst in Folge des Pariser Friedens von 1856, als nach dem Krimkrieg die Mächtekonstellation in Europa wieder neu geordnet wird.
- Europäer erobern und kolonisieren große Teile von Afrika and Asien.
- Massenauswanderungswellen von Europa in die USA in Folge von Hungersnöten (vor allem in Irland) oder von politischer Unterdrückung und Verfolgung.
- Politische Revolutionen und Verfassungsreformen in Europa beschränken die Monarchien zugunsten demokratischer beziehungsweise liberaler Reformen. (siehe: Julirevolution 1830 in Frankreich, Februarrevolution 1848 in Frankreich, Märzrevolution 1848 in den Staaten des Deutschen Bundes, in Ungarn, Österreich, den italienischen Staaten unter anderem )
- Im Krimkrieg von 1853 bis 1856 versucht Russland gegen das Osmanische Reich seinen Machteinfluss auf das östliche Mittelmeer und den Balkan auszudehnen. Russland unterliegt letztlich gegen die alliierten Armeen der Osmanen, Großbritanniens, Frankreichs und Sardinien-Piemonts beim Kampf um Sewastopol. Durch den Frieden von Paris 1856 zerbricht die Heilige Allianz zwischen Preußen, Österreich und Russland. Die europäische Mächtekonstellation wird neu strukturiert. Preußen erlangt die Dominanz im Deutschen Bund. Österreichs machtpolitischer Einfluss in Europa wird nachhaltig geschwächt, was unter anderem zum Erstarken der italienischen Einigungsbewegung (Risorgimento) unter sardinischer Dominanz führt.
- Nach der Niederlage Frankreichs im deutsch-französischen Krieg und dem Sturz von Kaiser Napoleon III. kommt es in Paris zur ersten proletarisch-sozialistischen Revolution, der Pariser Kommune, die nach kurzer Zeit niedergeschlagen wird.
- 1871 wird in Folge der deutschen Einigungskriege, zuletzt nach dem Sieg des von Preußen dominierten Norddeutschen Bundes über Frankreich das deutsche Kaiserreich unter Kaiser Wilhelm I. als kleindeutsche Variante (ohne Österreich) ausgerufen.
- Der deutsche Reichskanzler Otto von Bismarck schafft mit einem komplexen internationalen Bündnissystem ein europäisches Sicherheitssystem, das einige Jahrzehnte stabil bleibt. Innenpolitisch ist er mit den Sozialistengesetzen und dem Kulturkampf etwas weniger erfolgreich. Den Wahlerfolgen der Sozialdemokraten stellt Bismarck eine für die Zeit relativ moderne Sozialgesetzgebung entgegen.
- 1861 kommt es zur Vereinigung der italienischen Fürstentümer als Königreich Italien unter sardinischer Führung. Viktor Emanuel II. wird zum italienischen König ausgerufen. 1870 kommt es nach der Einnahme Roms und dem Sieg über den Kirchenstaat nach einer über ein halbes Jahrhundert andauernden Epoche verschiedener Aufstände, Revolutionen und Kriege in Italien zur Vollendung der italienischen Einigung (siehe: Risorgimento)
- Karl Marx verfasst 1848 zusammen mit Friedrich Engels das Kommunistische Manifest, das die Arbeiter zur revolutionären Überwindung des Kapitalismus mobilisieren soll. Die Arbeiterbewegung beginnt sich in Arbeitervereinen und Gewerkschaften zu organisieren. Ab Mitte des Jahrhunderts werden am Marxismus orientierte sozialistische und sozialdemokratische Parteien gegründet. (siehe: Kommunistische Partei)
- Briefmarken werden in Großbritannien und bald darauf in vielen anderen Ländern eingeführt.
- Die Inquisition wird in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts beendet. Danach existiert beim Vatikan aber noch bis 1965 die Kongregation des heiligen Offiziums. Dies ist die Nachfolgeinstitution der heiligen Inquisition.

Amerika

- Im mexikanisch-amerikanischen Krieg gewinnen die USA große Teile des heutigen Südwestens der USA zu ihrem Territorium hinzu. Schon vorher hatte Napoleon Louisiana an die USA verkauft. In der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts erwerben die USA Alaska von Russland.
- In den briti

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate

- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur

- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks

- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Vieleck

Ein Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos = Winkel) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Einfach gesagt erhält man ein Polygon, wenn man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken so miteinander verbindet, dass eine geschlossene Figur entsteht. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind Beispiele für besondere Polygone.

Mathematische Definition

Ein Polygon ist eine geschlossene Figur, die durch ein Tupel

P := \left( P_1, P_2, ... , P_n \right) , P_i \in \mathbb^m, 1 \le i \le n

von n Punkten (die Eckpunkte oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird. Die Strecken

\overline  \left(i=1, ..., n-1 \right)

und

\overline

bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken

\overline

zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen. Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:
- Das Polygon hat mindestens 3 paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
- Die Kanten schneiden (berühren) sich nur in den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.
- Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch $P_n,P_1,P_2$ und $P_,P_n,P_1$ gelten als angrenzende Eckpunkte. In einigen Fällen wird die Kante $\overline$ nicht mitgezählt und das Polygon als offen bezeichnet, falls $P_n \ne P_1$ ist.
Mathematische Beziehungen
In einem nicht überschlagenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel : $\alpha_1+...+\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$ Und bei einem gleichwinkligen Polygon der Winkel : $\alpha = \frac \cdot 180^\circ$
Typische Polygone

- Dreieck
- Viereck
- Drachenviereck
- Parallelogramm
- Quadrat
- Raute
- Rechteck
- Trapez
- Fünfeck (=Pentagon)
- Sechseck (=Hexagon)
- Siebeneck (=Heptagon)
- Achteck (=Oktogon)
Spezielle Typen
Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein; hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck bezeichnet. Ein reguläres n-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius $r_u$ und einen Inkreis mit Radius $r_i$ . Die Länge jeder Seite wird mit $a$ bezeichnet, die Seitenanzahl mit $n$ . Daraus ergeben sich folgende Formeln:
- Flächeninhalt:
$A \ = \ \frac\, a\, r_i \ = \
\frac\, r_u^2 \, \sin \ = \
\frac n a^2 \cot \frac=\frac$
- Inkreisradius:
$r_i = \frac \cot \frac=\frac$
- Umkreisradius:
$r_u = \frac=\frac$ Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein. Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone. Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
Berühmte Vielecke

- das Pentagon
- das Pentagon in Kronach,
- die Veste Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss
- Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form auch als Hexagon bezeichnet.
- das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Dom
Polygone in der Computergraphik
Aachener Dom In der Computergrafik sind Polygone meist Vielecke, aus denen durch komplexe Grafikroutinen eine 3D-Landschaft zusammengesetzt wird. Flächen, umgrenzt von geschlossenen Linien, werden dabei verwendet, um räumliche Elemente zu beschreiben. Die Repräsentation erfolgt in Vektorform. Um Cyberwelten besonders echt wirken zu lassen, ist also eine gehörige Portion mathematisches Know-how vonnöten. Mit Hilfe spezieller 3D-Grafiksoftware (http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:3D-Grafiksoftware Kategorie:3D-Grafiksoftware) kann ein Polygon aus beliebigen einzelnen Eckpunkten und Kanten/Segmenten zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu einem einfachen Polygon geschlossen wird, verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw. das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet. Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten, Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skalieren oder Scheren des Polygons in einem Kontextmenü. Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden. Je zahlreicher und kleiner die Polygone sind, desto realistischer kann die künstliche Bildschirmwelt wirken. Die technische Grafik-Leistung eines Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Anzahl der gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe. Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und plastischer wirkt die Grafik im Spiel. Voraussetzung für eine "wirklichkeitsnahe" Wiedergabe am Bildschirm ist ein schneller Prozessor, denn je schneller der Prozessor, desto mehr Polygone können in den vier Dimensionen der Raumzeit berechnet werden. Die PlayStation 2 kann theoretisch 70 Millionen Polygone pro Sekunde verarbeiten.
Siehe auch

- Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel
- Satz von Pick (für Polygone auf dem Gitter)
- Mathematik für die Schule, Portal:Mathematik
Weblinks

- [http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/geo/polygon.htm Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone]
- [http://www.konradlischka.de/nhproben285.htm In siebzig Millionen Polygonen um die Welt]
- [http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/VisPolygon/ Sichtbarkeit in einfachen Polygonen]
- [http://www.gris.uni-tuebingen.de/projects/grdev/doc/html/german/1.3.3.html Rasterung von Polygonen] Kategorie:3D-Computergrafik Kategorie:Geometrische Figur ja:多角形

Addition

Die Addition (v. lat. addere = hinzufügen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Unter Addieren versteht man das "Zusammenzählen" beim Rechnen. Das Zeichen für die Addition ist das Pluszeichen "+". Zum Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als "zwei plus drei gleich fünf" bzw. "zwei und drei ergibt fünf". Die zwei oder mehr Zahlen, die addiert werden, heißen Summanden; das Ergebnis heißt Summe. Es gelten folgende elementare Rechengesetze (

x

y

und

z

sind reelle Zahlen):
- Assoziativgesetz (der Addition):

(x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z

- Kommutativgesetz (der Addition):

x + y = y + x

- Das neutrale Element ist 0:

x + 0 = x

- Das inverse Element zu

x

ist

-x

Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion (Abziehen). Sie wird oft als Addition mit einer negativen Zahl aufgefasst. Um beliebig addieren und subtrahieren zu können, muss man die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitern.

Addition in verschiedenen Mengen

Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt. Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Eigenschaften haben:
- Sie sind assoziativ und kommutativ
- Sie erfüllen zusammen mit einer Multiplikation das Distributivgesetz In den meisten Fällen ergibt die Addition zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe. Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf den natürlichen Zahlen, wegen der, wie oben erwähnt, fehlenden Inversen (negative Zahlen). Die Addition auf den natürlichen Zahlen definiert sich folgendermaßen:
-

a + 0 = a  \quad\quad \forall a \in \mathbb

a + b^ = (a + b)^ \quad\quad \forall  a, b \in  \mathbb

a^

bedeutet hier den Nachfolger von a (also a+1; aber dieser Ausdruck wird hier ja gerade erst definiert).

Schriftliche Addition

Die Schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren erlernt wird. In dem heutzutage vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei nur zwei Teiltechniken zu erlernen: Die Addition einstelliger Zahlen und das Handhaben der Überträge.

Verfahren

Die zu addierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man nur die letzten Ziffern der Zahlen addiert und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so werden die anderen Stellen in die weitere Addition mit einbezogen. Nun wird die vorletzte Ziffer unter Berücksichtigung der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder wird die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als Zehnerstelle des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet. Dieser Vorgang wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.

Beispiel

69 193 482 9+3+2=14 ergibt als Einerstelle 4 und als Übertrag 1-. 1- 69 193 482 4 1+6+9+8=24 ergibt als Zehnerstelle 4 und als Übertrag 2--. Anschließend erzeugt 2+1+4=7 die Hunderterstelle. 2-- 1- 69 193 482 744 Geübte Kopfrechner können sich durch Umsortieren und Rechnen mit zweistelligen Unterteilungen viel Rechenzeit sparen. Wer z. B. weiß, dass sich 23+77 und 65+35 jeweils zu 100 ergänzen, wird in der folgenden Rechnung die zweite und dritte Zeile tauschen: 365 123 235 277 1000

Weitere Notationsmöglichkeiten

Summen können auch mittels des Summensymbols

\Sigma

(nach dem großen griechischen Buchstaben Sigma) notiert werden. :

\sum_^n x_i = x_m + x_ + x_ + ... + x_ + x_n

Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall

i

) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier:

m

bzw. 2) durch die Verbindung mit einem Gleichheitszeichen zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summe über alle möglichen

i

. Über dem Sigma steht der Endwert (hier:

n

bzw. 6). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Zum Beispiel: :

\sum_^6 i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 90

Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, wird diese unendliche Reihe genannt. Man schreibt dafür als Unter- bzw. Obergrenze das Symbol für minus bzw. plus Unendlich:

-\infty

bzw.

\infty

. Der Umgang mit diesem Symbol, sowie einige häufig vorkommende Summen, werden im Artikel Summe beschrieben.

Weblinks

- [http://www.mathepower.com/schradd.php Schriftliche Addition online]
- [http://www.mathematik-wissen.de/schriftliches_addieren.htm Schriftliches Addieren (Erklärung) (dt.)]