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Hydrostatik

Hydrostatik

Die Hydrostatik ist die Lehre der unbewegten, insbesondere der strömungsfreien Flüssigkeiten und Gasen. Mit Strömungen beschäftigt sich dagegen die Hydrodynamik.

Druck und Schweredruck

Der Druck in einer Flüssigkeit an einem Punkt ist in alle Richtungen gleich. Wirkt nur die Schwerkraft, so entspricht der Schweredruck der Summe aus dem (Atmosphären-)Druck an der Oberfläche und dem sich durch das Gewicht der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt ergebenden Druck. Der Schweredruck ist nur von der Tiefe, nicht jedoch von der Gefäßform abhängig. Dies wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet.

hydrostatische Grundgleichung

Zur Herleitung der hydrostatischen Grundgleichung macht man folgende Betrachtung: Im Schwerefeld der Erde g wirkt auf das druckbelastete quaderförmige Volumenelement dV = dx \cdot dy \cdot dz der Dichte \rho , von oben der Druck p(y) . Von unten (aus pos. in die neg. y-Richtung) wirkt ein Gegendruck p(y) + dp . Bild:P_gl_gew_y.gif Zwischen Ober- und Unterseite des Volumenelementes gibt es also einen Druckzuwachs dp, den es zu bestimmen gilt. Hierzu wird das Kräftegleichgewicht in y-Richtung \sum F_ = 0 aufgestellt: \sum F_ = p(y)(dx \cdot dz) + \rho (dx \cdot dy \cdot dz) g - (p(y) + dp)(dx \cdot dz) = 0 dieser Ausdruck läßt sich kürzen zu \rho \cdot dy \cdot g - dp = 0 Umgeschrieben ergibt sich die als "hydrostatische Grundgleichung" bekannte Form: \frac=\rho \cdot g Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass sich dieser Zusammenhang auch als Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichungen aus der Fluidmechanik ergibt. Diese werden mithilfe des Impulssatzes für ein Fluidelement hergeleitet. Aus der hydrostatischen Grundgleichung ergibt sich unter Annahme der Inkompressibilität von Flüssigkeiten (\rho = const.): \int_^ dp = \int_^ (\rho g) dy p(y=h)=\rho \cdot g \cdot h + p(y=0) mit \rho : Dichte der Flüssigkeit g: (Erd)beschleunigung h: Ausdehnung der Flüssigkeitssäule in y-Richtung und p(y=0): Druck an der Oberfläche der Flüssigkeitssäule Bezieht man die Kompressibilität des Fluids in die Berechnung des Drucks mit ein ergibt sich mit der Kompressibilität \kappa = - \frac = 0,5 \frac das folgende Diagramm: Bild:Wasserdruck_kompressibilitaet.png In 12000 m Tiefe ergäbe sich hiermit bei einer Dichte in 0m Tiefe von 1000 kg/m³ eine Abweichung des berechneten realen Drucks vom idealen von ca. 3,5 %. Hierbei bleiben jedoch weiterhin Temperatureffekte ebenso wie andere Einflüsse unberücksichtigt. Unter Ansatz eines entsprechendes Ausdrucks für \rho läßt sich in ähnlicher Weise die barometrische Höhenformel aus der hydrostatischen Grundgleichung entwickeln.

Auftrieb

Wird ein Körper in eine Flüssigkeit gebracht, so ist der Druck an der Unterseite höher als an der Oberseite. Die resultierende Kraft weist nach oben und heißt Auftrieb. Die Auftriebskraft entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip). Ist die durchschnittliche Dichte eines Körpers kleiner als die der Flüssigkeit, so überwiegt die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft. Wirken keine sonstige Kräfte, so steigt der Körper nach oben und schwimmt. Ist die Dichte dagegen größer, sinkt der Körper nach unten, bei gleicher Dichte schwebt er.

Hydraulik

Hydraulische Systeme nutzen die Unabhängigkeit des Druckes von der Gefäßform aus. Wird beispielsweise Wasser durch ein Rohr mit relativ kleinem Querschnitt A1 in ein Gefäß mit großen Querschnitt A2 gedrückt, so ist der Druck p im Rohr gleich dem Druck im Gefäß. Die aufzuwendende Kraft im Rohr ist F1=p·A1. Die Kraft im Gefäß wirkt aber auf die gesamte Querschnittsfläche. Sie ist F2=p·A2 und damit um ein Vielfaches größer. Das hydraulische System wirkt hier als Kraftverstärker. Anwendung findet dieses Prinzip z.B. in der hydraulischen Presse.

Siehe auch


- Formelsammlung Hydrostatik Kategorie:Strömungslehre ko:유체 정역학

Flüssigkeit

Unter einer Flüssigkeit versteht man einen Stoff, welcher einer Formänderung so gut wie keinen, einer Volumenänderung hingegen einen recht großen Widerstand entgegensetzt. Flüssigkeiten sind also volumenbeständig und formunbeständig. Dieser Zustand wird flüssiger Aggregatzustand genannt. Der flüssige Zustand ist nicht allein stoffspezifisch, sondern hängt auch von äußeren Faktoren wie der Temperatur und dem Druck ab. Wechselt eine solche Flüssigkeit ihren Aggregatzustand, so spricht man von einer Phasenumwandlung, wobei der Begriff der Phase selbst einen Überbegriff zum Aggregatzustand darstellt. Mit den Gasen werden die Flüssigkeiten zu den Fluiden zusammengefasst.

Eigenschaften

Die temperaturabhängige Volumenausdehnung einer Flüssigkeit wird durch deren Volumenausdehnungskoeffizienten quantifiziert. Das Kompressionsmodul ist ein Maß für die adiabatische Volumenelastizität, das heißt für die „Zusammendrückbarkeit“ einer Flüssigkeit. Viele Eigenschaften von Flüssigkeiten lassen sich durch Molekulardynamik simulieren. In der Schwerelosigkeit beziehungsweise bei einer Abwesenheit äußerer Kräfte nehmen Flüssigkeiten aufgrund ihrer Oberflächenspannung eine kugelförmige Gestalt an. Flüssigkeiten üben auf die Wand des Gefäßes in dem sie sich befinden einen hydrostatischen Druck aus, zum Beispiel den Wasserdruck. Ruhende Flüssigkeiten sind physikalisch hauptsächlich durch diesen Druck gekennzeichnet. Übt man von außen Druck auf Flüssigkeiten aus, so verteilt sich der Druck gleichmäßig in der ganzen Flüssigkeit. Je tiefer man einen Körper in eine Flüssigkeit taucht, desto größer wird der hydrostatische Druck auf den Körper. Dieser hängt allerdings nicht nur von der Tauchtiefe, sondern auch von der Dichte der Flüssigkeit ab. In strömenden Flüssigkeiten treten zusätzliche Größen auf, welche durch die Fluiddynamik beschrieben werden. Kategorie:Strömungslehre Kategorie:Thermodynamik Kategorie: Eigenschaft ja:液体 ko:액체 ms:Cecair simple:Liquid

Hydrodynamik

Die Hydrodynamik (auch: Fluiddynamik; aus dem Griechischen hýdro = Wasser, dynamikós = kräftig, wirksam) ist ein Teilgebiet der Strömungslehre und beschäftigt sich mit bewegten Flüssigkeiten und Gasen. Untersucht werden z. B. laminare und turbulente Strömungen in offenen und geschlossenen Gerinnen sowie Bewegungen und Kraftverhältnisse in Druckleitungen. Die Aquadynamik beschäftigt sich ausschließlich mit Wasser. Die grundlegende Gleichung der Hydrodynamik ist die Kontinuitätsgleichung
+\mathrm(\rho \mathbf)=0
die aussagt, dass der Massefluss durch eine geschlossene Fläche immer gleich der Veränderung der Masse im Inneren der Fläche sein muss.
Im Allgemeinen wird die Bewegung eines Fluids durch die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben. Im Falle von kleiner Viskosität können die Reibungseffekte vernachlässigt werden und es gilt in guter Näherung die Euler'sche Gleichung
+(\mathbf \nabla)\mathbf=-\nabla\;p
die die Geschwindigkeitsänderung des Fluids an einem Ort mit dem in der Umgebung herrschenden Druck in Verbindung setzt. Sie ist also die Bewegungsgleichung des Fluids bei hoher Reynolds-Zahl. Siehe auch: Hydrostatik Kategorie:Strömungslehre

Druck (Physik)

Der Druck ist eine systemeigene intensive physikalische Zustandsgröße und zudem eine lineare Feldgröße. Sein Formelzeichen ist p (von engl. pressure) und seine abgeleitete SI-Einheit ist das Pascal. Das Formelzeichen darf hierbei nicht mit der Leistung P (von engl. power) beziehungsweise mit dem Impuls p verwechselt werden. Der Druck hat neben seiner Bedeutung als skalare Zustandsgröße in der Physik auch eine eher umgangssprachliche Bedeutung. Man kann etwa Druck auf einen Nagel ausüben, um ihn in ein Holz zu schlagen. Der Druck (eigentlich die Druckspannung) zwischen Holz und Nagel hängt dabei neben von der auf den Nagel ausgeübten Kraft auch von der Größe der Berührungsfläche zwischen Holz und Nagel ab. Je kleiner diese Berührungsfläche ist, desto größer ist der Druck zwischen Nagel und Holz und desto leichter ist es, den Nagel in das Holz zu drücken. Die Druckspannung ist im Gegensatz zum Druck keine skalare Zustandsgröße.

Druck im Allgemeinen

Unter dem Druck p versteht man den Quotienten einer Kraft F (von engl. force) und der Fläche A (von engl. area), auf die diese Kraft senkrecht zur Fläche wirkt (entgegen der Flächennormalen). Hieraus ergibt sich die Gleichung: : p = \frac Der Druck kann in dieser Vorstellung leicht mit der Kraft verwechselt werden: Die Begriffe Druck und Kraft können oft nur schlecht voneinander abgegrenzt werden, da der Effekt der unterschiedlichen Auflageflächen im Alltag meist unscheinbar ist und somit die wirkende Kraft zum resultierenden Druck proportional ist bzw. als solches empfunden oder gar interpretiert wird. Hierzu ein Beispiel: Ein Nagel hat an seiner Spitze eine sehr kleine Auflagefläche, was nach obiger Formel selbst bei einer geringen Kraft zu einem großen Druck führen kann. Diesen spürt man beim Ausüben einer Kraft auf den Nagel, wenn man ihn mit der Spitze auf die Haut drückt. Dreht man den Nagel um und übt die identische Kraft auf ihn aus, so ist der Druck aufgrund der höheren Auflagefläche wesentlich geringer. Dieser Effekt wird jedoch oft einer höheren Kraft zugeschrieben, anstatt der hierfür verantwortlichen geringeren Auflagefläche. Es ist also wichtig, zwischen Druck und Kraft zu unterscheiden, denn abgesehen davon, dass es sich um grundverschiedene Größen handelt, besitzt die Kraft eine Richtung, der Druck hingegen nicht. "Druck ist eine skalare Größe, nur Lehrer und Autoren scheinen dieses im Grunde ihres Herzens nicht zu glauben." (McClelland, 1987) Das obige Konzept ist eine Vereinfachung des allgemeinen Spannungstensors, wie er aus der Mechanik bekannt ist. Siehe auch: Hertzsche Pressung

Druck in Strömungen

Hertzsche Pressung Der Druck in Strömungen setzt sich aus einem statischen und einem dynamischen Anteil zusammen. Während beide Teile von der Dichte abhängen, unterscheiden sie sich dadurch, dass der (hydro)statische Druck, für Fluide mit konstanter Dichte, linear mit der Höhe der Fluidsäule steigt. Zudem ist er von der Erdbeschleunigung, also der Gravitation, abhängig. Der dynamische Anteil hingegen wächst quadratisch mit der Strömungsgeschwindigkeit des Fluids. Das Bild zur Rechten verdeutlicht die Konstanz der Summe aus dynamischem und statischem Anteil in einer reibungsfreien Strömung. Dies ist die Konsequenz aus der Energieerhaltung in der Strömung und für diesen Spezialfall als Gesetz von Bernoulli bekannt.

Hydrostatischer Druck

Der hydrostatische Druck übt auf jede Fläche, die mit dem Fluid in Verbindung steht, eine Kraft aus, die zur Größe der Fläche direkt proportional ist. Diese Form des Drucks ist somit eine spezielle Form der elastischen Spannungen, die idealen Flüssigkeiten und Gasen eigen ist: In der idealen, (reibungslosen) Flüssigkeit existieren ausschließlich Normalspannungen, eben dieser hydrostatische Druck. Anders ist es in einer zähen Flüssigkeit, denn hier können auch Tangential- oder Schubspannungen infolge der Reibungskräfte auftreten. Im Mohrschen Spannungskreis stellt sich der hydrostatische Druck daher als einfacher Punkt dar. Beispiele für einen hydrostatischen Druck sind der Wasserdruck und der Luftdruck. Der hydrostatische Druck in einer Fluidsäule der Höhe h (auf einer y-Achse) und der Dichte ρ unter Wirkung der Erdbeschleunigung g, wobei mit p(y=0) der Druck auf der Oberfläche der Fluidsäule gemeint ist, ergibt sich als Sonderfall aus der hydrostatischen Grundgleichung zu : p(y=h) = \rho \cdot g \cdot h + p(y=0)

Hydrodynamischer Druck

Der hydrodynamische, oder auch kürzer dynamische Druck, resultiert aus der kinetischen Energie eines massebehafteten Körpers, welcher sich mit einer Geschwindigkeit - der Fluidgeschwindigkeit - fortbewegt. Er ist daher nach Jakob Bernoulli die Bezeichnung für die Zunahme oder Verminderung des hydrostatischen Drucks, die aufgrund einer Bewegung einer Flüssigkeit auftritt. Im einfachsten Fall kann man sich ein horizontal angebrachtes Rohr vorstellen, das einen veränderlichen Durchmesser besitzt. Dieses wird gleichmäßig von der Flüssigkeit durchströmt, wobei von der Reibung abgesehen werden soll. In jeder Zeiteinheit muss durch jeden Querschnitt dieselbe Flüssigkeitsmenge strömen, und deshalb muss die Geschwindigkeit der Strömung dem Querschnitt umgekehrt proportional sein. Die Geschwindigkeit kann von größeren zu kleineren Querschnitten aber nur zunehmen, wenn der Druck in den kleineren Querschnitten höher ist und umgekehrt. Durch die Strömung entstehen also in größeren Querschnitten hydrodynamische Erhöhungen des Druckes, in kleineren Querschnitten Verminderungen des Drucks, infolge derer die in Ruhe befindlichen Druckverhältnisse - der hydrostatische Druck - verändert werden. Der hydrodynamische Druck ist dabei zwar nicht direkt messbar, wird aber zur Geschwindigkeitsmessung des Fluids verwendet. Es gilt: : p = \frac \ \rho \cdot v^2

Einheiten

Die SI-Einheit des Druckes ist das Pascal mit dem Einheitenzeichen Pa. Ein Pascal entspricht einem Druck von einem Newton pro Quadratmeter: : \mathrm Die üblicherweise in Westeuropa benutzte Druckeinheit Bar entspricht 100000 Pa, 1000 hPa oder 100 kPa. Andere teilweise noch zu findende, aber nicht mehr zulässige Druckeinheiten sind:
- 1 Torr = 1 mm Hg = 1 mm Quecksilbersäule = ca. 133,3 Pa
- 1 Meter Wassersäule (mWS) = 0,1 at = 9,807 kPa
- 1 Technische Atmosphäre (at) = 1 kp/cm² = ca. 98069 Pa
- 1 Physikalische Atmosphäre (atm) = 760 Torr = 101325 Pa = 1013,25 hPa = 101,325 kPa.
- 1 psi = 1 lb.p.sq.in. = 144 lb.p.sq.ft = 1/200 tn.sh.p.sq.in = 1/2240 tn.p.sq.in = 0,07030695796 kp/m² = 6894,757293168 Pa

Gasdruck

Der Gasdruck entsteht als Summe aller durch ein Gas oder Gasgemisch wirkenden Kräfte auf eine Gefäßwand. Stößt ein Gasteilchen an eine Wand, so tauschen diese einen Impuls aus. Diese Impulsübertragung hängt zum einen von der kinetischen Energie des Gasteilchens und von der Richtung des Teilchens auf die Wand ab. Für viele Teilchen addieren sich diese Impulsüberträge zu einer Gesamtkraft. Diese hängt hauptsächlich von der Anzahl der Teilchen ab, die pro Zeiteinheit auf die Wand treffen. Man erhält den Gasdruck auch durch eine Addition aller Partialdrücke der Komponenten der Gasgemisches. Hierbei stellen auch Dampfdruck und Sättigungsdampfdruck Sonderformen des Gasdrucks dar. Der Luftdruck ist ein Beispiel für einen Gasdruck. Die kinetische Gastheorie liefert aus den genannten mechanischen und statistischen Überlegungen die Zustandsgleichung: : p = -\frac die sich für die Thermodynamik auch als Definition des Druckes als intensive Größe anbietet (siehe auch Fundamentalgleichung). Für ein ideales Gas führt dies zur thermischen Zustandsgleichung: : p \cdot V = n \cdot R \cdot T Aus ihr lassen sich verschiedene Formeln für den Gasdruck ableiten: : p = \frac : p =\rho \cdot R_s \cdot T : p = \frac \qquad : p = \frac Aus der kinetischen Gastheorie folgt: : p = \frac Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:
- V - Volumen
- T - Temperatur
- n - Stoffmenge
- m - Gasmasse
- ρ - Dichte
- V - Volumen
- Vm - molares Volumen
- kB - Boltzmannkonstante
- R - Universelle Gaskonstante
- Rs - spezifische Gaskonstante
- \sqrt - quadratisch gemittelte Teilchengeschwindigkeit Der gemittelte Impulsübertrag ist im Produkt aus Gaskonstante und Temperatur der Zustandsgleichung enthalten. Beide Begriffe können durch Kolbenprobeexperimente ineinander überführt werden. Der Gasdruck kann äquivalent zur obigen Definition auch als hydrostatischer Spannungstensor, wie er aus der Mechanik bekannt ist, verstanden werden.

Druckmessgeräte

Hauptartikel: Druckmessgerät

Spezielle Drücke und Anwendungen


- Wasserdruck
- Turgor
- Schalldruck
- Staudruck
- Nenndruck
- Gasbetriebsdruck
- Prüfdruck
- Berstdruck
- Hochdruckphysik

Weblinks


- [http://www.sengpielaudio.com/RechnerDruck.htm Umrechnung aller internationaler Druckeinheiten]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m12_druck.htm Druckeinführung]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m14_schweredruck.htm Versuche und Aufgaben zum Druck] Kategorie:Mechanik Kategorie:Physik Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Tauchen Kategorie:Thermodynamik ja:圧力 ko:압력 ms:Tekanan

Gewicht

Ein Gewicht kann ein Gegenstand sein, der durch seine Masse eine bestimmte Aufgabe erfüllt (Gegengewicht, Briefbeschwerer, Wiegegewicht, …), oder: Das Gewicht (oder besser die Gewichtskraft) eines Objekts ergibt sich in der Physik aus seiner Gravitationsanziehung, die durch die Schwerebeschleunigung gemessen wird. Gemessen wird das Gewicht in der Einheit Newton (N), also der Einheit der Kraft. Die Gewichtskraft \vec G eines Objektes berechnet sich als Produkt seiner schweren Masse m mit der am Ort herrschenden, zum Erdmittelpunkt gerichteten Schwerebeschleunigung \vec g:
\vec G=m\cdot \vec g. Da auf der Erde der Betrag der Schwerebeschleunigung g an jedem Ort (fast¹) identisch ist, wird umgangssprachlich die Masse eines Körpers oft fälschlicherweise als sein Gewicht bezeichnet. Um diesen – im Alltag harmlosen – Widerspruch zu beseitigen, wurde 1960 im SI-System die alte Krafteinheit Kilopond durch das Newton ersetzt (1 kp = 9,80665 N). Obwohl viele Waagen (z. B. Federwaagen) genaugenommen gar nicht die Masse eines Körpers, sondern seine Gewichtskraft messen, sind sie aber dennoch nach (Kilo)gramm skaliert. Dies ist aber gerechtfertigt, weil die Schwerebeschleunigung an allen Orten auf der Erde (fast) konstant und bekannt ist. Somit „rechnet“ eine Federwaage das gemessene Gewicht intern in die angezeigte Masse um. Die Schwerebeschleunigung beispielsweise auf dem Mond ist geringer (1/6 der Erdbeschleunigung: 1/6
- 9,81 m/s² = 1,65 m/s²) als auf der Erde. Dies bedeutet, dass ein Körper, der zuvor auf der Erde gewogen wurde, auf dem Mond zwar nach wie vor dieselbe Masse hat, seine Gewichtskraft jedoch dort geringer ist. Während die Masse eines Körpers (gemessen in Gramm oder Kilogramm) also unabhängig vom Aufenthaltsort immer konstant ist, variiert sein Gewicht (seine Gewichtskraft, gemessen in Newton) je nach seiner Position. So hat zum Beispiel ein 100 kg schwerer Körper auch auf dem Mond die Masse 100 kg, und auch im Bereich der Schwerelosigkeit im Weltraum abseits von Himmelskörpern besitzt dieser Körper die Masse 100 kg. Dagegen beträgt das Gewicht dieses Körpers auf der Erde zwischen ca. 978 und 983 N, je nach Aufenthaltsort, auf dem Mond lediglich ungefähr ein 1/6 der Gewichtskraft auf der Erde und in der Schwerelosigkeit ist das Gewicht in Newton gleich Null. ¹) Die Schwerkraft ändert sich tatsächlich im Erdschwerefeld um bis zu 0,5 % (am Äquator im Mittel 9,7803 m/s², an den Polen 9,8322 m/s², dazu noch der Vertikalgradient von -0,00305 m/s² pro km).

Siehe auch


- Geschichte von Maßen und Gewichten
- Druck
- Federwaage
- Kilogramm
- Waage

Weblinks


- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m10_masse-gew-g.htm Versuche und Aufgaben zum Gewicht (bzw. zur Masse)] Kategorie:Physik ja:重さ ms:Berat

Hydrostatisches Paradoxon

ACHTUNG Dieser Artikel stellt zur Zeit das physikalische Phänomen des hydrostatischen Paradoxons vielleicht falsch dar. Näheres hierzu auf der Diskussionsseite. Das Hydrostatische Paradoxon ist ein physikalisches Prinzip, nach dem der Schweredruck, den Wasser in einem Gefäß auf den Boden des Gefäßes bewirkt, zwar abhängig ist von der Füllhöhe des Wassers in dem Gefäß, aber nicht von der Form des Gefäßes. Um es in eine einfache Form zu bringen: "Gleiche Flüssigkeit - gleiche Füllhöhe - gleiche Bodenfläche - verschiedene Gefäßform --> gleiche Bodendruckkräfte" (siehe hierzu auch Bohl/Elmendorf: Technische Strömungslehre, 13. Aufl., S. 57)

Erläuternde Abbildungen

Paradoxon
- In allen Gefäßen mit demselben Füllstand wirkt in derselben Höhe derselbe Flüssigkeitsdruck auf die Gefäßhülle, unabhängig von der Grundfläche und der Gefäßform.
Paradoxon
- Bei Kommunizierenden Röhren stellt sich derselbe Wasserpegel ein, unabhängig von der Röhrenform.

Erläuterung der Theorie

Die Theorie ist nur ein Modell zur Beschreibung der Wirklichkeit und gilt nur dann, wenn die Flüssigkeit in einem Gefäß nicht in Bewegung ist. Erscheinungen wie der Kapillareffekt sind nicht berücksichtigt. Druck verursacht eine Kraft auf eine Fläche. In einem verschlossenen Gefäß mit ruhender Flüssigkeit heben sich die Kraft durch die Flüssigkeit und die Gegenkraft der Gefäßwand auf. Die Kraft, die auf die Gefäßwand wirkt, ist gleich der Schwerekräfte der "Flüssigkeitsteilchen" und die Kraft auf ein solches "Flüssigkeitsteilchen", verursacht durch den bei der Öffnung vorherrschenden Luftdruck. Aus jeder gedanklichen horizontalen Querschnittfläche der Flüssigkeit wirkt nur die Schwerekraft eines "Flüssigkeitsteilchen" an der Kraft mit. Die Kraft auf die Gefäßwand ist daher nur abhängig vom Füllstand, der Dichte der Flüssigkeit und dem Luftdruck. In jeder Höhe herrscht ein anderer Druck und damit eine unterschiedliche Kraft auf die Gefäßwand. Erst wenn die Gegenkraft der Gefäßwand die Kraft nicht mehr aufheben kann (Gefäßwand hält der Belastung nicht Stand), beginnt eine resultierende Kraft zu wirken und Flüssigkeit tritt aus. Dann hängt die Kraft und der Druck sehrwohl von der Gefäßform ab, doch dieser Fall ist nicht mehr statisch und deshalb gilt die Theorie für diesen Fall nicht mehr.

Erklärung des Effektes in Kommunizierenden Röhren

Kommunizierenden Röhren Der Trichter und Zylinder entfalten an ihren Bodenflächen jeweils die Gewichtskraft des darüber liegenden Wassers (blau) plus die Kraft durch den Luftdruck (grün). Die Gegenkraft des Wassers der Querröhre (braun) ist bei allen Bodenflächen der nun zusammengesetzten Röhren gleich. Die Kräfte am Randbereich des Trichters wirken auf die Gefäßhülle und diese trotzt der Belastung mit einer ebenso großen Gegenkraft (magenta), da sonst die Hülle brechen würde. Genauso muss die Hülle des Kegels den Kräften entgegenwirken, die auf Grund der geringeren Wassermenge und der daraus resultierenden geringeren Gewichtskraft nur abgeschwächt und nicht aufgehoben werden. An den rechten zwei verschlossenen Röhren sieht man deutlich, dass die Kraft auf die Hülle und die gleiche Gegenkraft der Hülle abhängig von der Höhe sind. Verschließt man den Trichter in der Höhe des Wasserstandes mit einem hauchdünnen Deckel, kann dieser nicht brechen. Setzt man diesen Deckel jedoch etwas tiefer an und entfernt das über ihm liegende Wasser, so bricht dieser, da er die notwendige Gegenkraft nicht aufbauen kann.

Anwendung


- Ein Wasserturm ist ein Reservoir, das höher platziert ist, als die Wasserverbraucher. Der Höhenunterschied bewirkt den hohen Wasserdruck bei den Abnahmestellen.
- Die Schlauchwaage ist ein ideales Instrument zum Abmessen von Höhenunterschieden an weit entfernten Orten. Das Funktionsprinzip beruht auf den Kommunizierenden Röhren: Der Wasserstand ist in beiden senkrecht aufgestellten Enden eines Schlauches gleich hoch.
- Beim Artesischen Brunnen tritt an einem Brunnenloch das Wasser von selbst nach oben,

Wichtige Persönlichkeiten


- Blaise Pascal: Effekt der Kommunizierenden Röhren
- Simon Stevin - Simon Stevin (engl. Wikipedia): Druck in unterschiedlichen Gefäßen

Siehe auch

Literatur


- Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2001, ISBN 3-540-64292-7
- Bohl, Willi/Elmendorf, Wolfgang: Technische Strömungslehre. 13. Auflage. Vogel-Buchverlag, Würzburg, ISBN 3-8343-3029-9

Weblinks


- [http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline/video1/m8_fluide/kommuniroehren1.html Video von Kommunizierenden Röhren]. Kategorie:Paradoxon Kategorie:Mechanik

Dichte

Die Dichte, Formelzeichen: ρ (griechisch: rho), ist eine physikalische Eigenschaft eines Materials. Sie ist über das Verhältnis der Masse m eines Körpers zu seinem Volumen V definiert: :\rho = \frac in Worten: : = \frac Der Kehrwert der Dichte wirdspezifisches Volumen genannt und spielt vor allem in der Thermodynamik der Gase und Dämpfe eine Rolle. Die Dichte sollte nicht mit dem spezifischen Gewicht verwechselt werden, denn diese ist zwar sehr ähnlich zur Dichte, unterscheidet sich aber in einem Punkt: Während bei der Dichte das Volumen im Verhältnis zur Masse steht, geschieht dies beim spezifischen Gewicht mit dem Volumen und der Gewichtskraft. Das Verhältnis der Dichte eines Stoffes zur Dichte im Normzustand wird als Relative Dichte bezeichnet. Bei porösen Stoffen wird zudem zwischen der Rohdichte (Hohlräume inklusive) und der Reindichte (Volumen ohne Hohlräume) unterschieden.

Einheit

Die abgeleitete SI-Einheit der Dichte ist Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m3). Weit verbreitet und besonders bei Feststoffen gebräuchlich ist zudem die Angabe in g/cm3. Weitere in Spezialfällen genutzte Einheiten sind Gramm pro Liter (g/l) und Gramm pro Kubikdezimeter (g/dm3). Hierbei gilt: 1.000 kg/m3 = 1 kg/dm3 = 1 kg/l oder 1 g/cm3 = 1 g/ml. Alle diese Größen stellen die Bezugsdichte von Wasser dar. Wasser hat als Bezugspunkt bei einer Temperatur von 3,98 °C seine größte Dichte (Dichteanomalie) mit 1.000 kg/m3, was einem g/cm3 entspricht. Ein Liter ist definiert als das Volumen, das genau ein Kilogramm Wasser bei seiner höchsten Dichte (bei 3,98 °C ≈ 4 °C) bei Normaldruck einnimmt. Die Abweichung von 1 dm³ ist so gering, dass man im Normalfall 1 l und 1 dm3 als gleich ansehen kann. Für Feststoffe wird die Dichte üblicherweise in g/cm³ bei 20 °C angegeben und für gasförmige Stoffe in g/l bei 0 °C und einem Luftdruck von 1.013,25 hPa = 101.325 Pa (Normalbedingungen).

Beispiel

Die Dichte von Kupfer bestimmt man experimentell wie folgt: Die Stoffprobe wiegt z.B. 35 g. Nun füllt man ein Reagenzglas teilweise mit Wasser; nehmen wir beispielsweise 16 ml. Jetzt lässt man den Stoff eintauchen und liest den Füllstand 17,7 ml des Wasserspiegels ab. Die Differenz der beiden Füllmengen beträgt 1,7 ml. Also kann für die Dichte von Kupfer die Näherung :\rho \approx \approx 20,6 \;\mathrm/\mathrm^3 ermittelt werden.

Eigenschaften

Die Dichte von Flüssigkeiten hängt deutlich von der Temperatur ab, bei Gasen zusätzlich vom Druck. Ein Beispiel hierfür ist die Temperaturabhängigkeit der Luftdichte im unteren Abschnitt. Die Dichte von hygroskopischen Stoffen wie zum Beispiel Holz ist zudem von der Luftfeuchte (Wirkung auf Holzfeuchte) abhängig. Um deren Messergebnisse vergleichen zu können, bezieht man sich auf ein sogenanntes Normalklima. Körper in einer Flüssigkeit, die eine geringere Dichte als diese haben, steigen entsprechend dem archimedischen Prinzip nach oben (Auftrieb), bis sie irgendwann einen Gleichgewichtszustand erreichen (schwimmen). Körper mit größerer Dichte sinken entsprechend nach unten bzw. haben einen höheren Tiefgang als Körper mit geringeren Dichten. Insbesondere kann daher das weniger dichte Eis auf dem Wasser schwimmen und verdrängt dabei genau das Volumen an Wasser, das die gleiche Masse wie das Eis hat. In Gasen gilt entsprechendes. Ein mit Helium gefülltes Luftschiff schwebt in der Luft, da das Helium bei gleichem Druck und gleicher Temperatur eine geringere Dichte als Luft hat. Die dichteste auf der Erde natürlich vorkommende Substanz ist Iridium mit etwa 22.650 kg/m3. Neutronensterne dagegen können eine Dichte von etwa 1014 kg/m3 haben.

Tabellenwerte

Tabellenwerte zur Dichte verschiedene Stoffe sind in folgenden Artikeln zu finden:
- Liste der Dichte fester Stoffe
- Liste der Dichte von Flüssigkeiten
- Liste der Dichte gasförmiger Stoffe

Temperaturabhängigkeit der Luftdichte

Die Wirkung der Temperatur auf die Luftdichte, die Schallgeschwindigkeit und die Schallkennimpedanz ist in folgender Tabelle dargestellt. Der Luftdruck hat auf die Schallgeschwindigkeit keinen Einfluss, auch wenn diese Fehlangabe in vielen Büchern zu finden ist. Größen:
- \vartheta (theta) = Temperatur in °C
- ρ (rho) = Luftdichte oder Dichte der Luft in kg/m3
- c = Schallgeschwindigkeit in m/s
- Z = Schallkennimpedanz in N·s/m3

Messmethoden

Von einem Körper mit exakt bekannter Geometrie kann die Dichte mittels Masse und berechnetem Volumen bestimmt werden. Nach dem Prinzip von Archimedes erfährt ein Körper in der Umgebung einer Flüssigkeit genau so viel Auftriebskraft, wie die von seinem Volumen verdrängte Flüssigkeit an Gewichtskraft ausüben würde. Alle direkten Dichtemessverfahren beruhen noch heute auf diesem Prinzip und können auch auf die Dichtebestimmung von Gasen übertragen werden. Bei bekannter Dichte der Flüssigkeit, lässt sich auch das Volumen des eingetauchten Festkörpers bestimmen und schließlich auch dessen Dichte bestimmen. Beispiel für die Bestimmung der Dichte eines Festkörpers: Das Gewicht des Festkörpers wird an Luft gemessen. Eigentlich müsste man die Messung im Vakuum durchführen, da der Festkörper auch in Luft einen gewissen Auftrieb erfährt. Man erhält m_. Anschließend wird der Festkörper in Wasser eingetaucht und gewogen. Er scheint leichter zu sein als an der Luft. Man erhält m_. Nach dem Prinzip von Archimedes ist die Masse des verdrängten Wassers m_ = m_ - m_. Das Volumen des verdrängten Wassers V_ ist gleich dem Volumen des Festkörpers V_. Es ist bekannt, dass \rho_ für die Dichte des Wassers gilt. Durch Einsetzen und Umformen erhält man folglich: \frac= V_. Im letzten Schritt erhält man somit für die Dichte des Festkörpers: \rho_=\frac Dichten von Flüssigkeiten werden mit einem Aräometer gemessen. Dichten von Festkörpern werden z. B. mit einem Pyknometer gemessen oder über indirekte Bestimmungsverfahren, wie der Isotopenmethode ermittelt. Der Biegeschwinger ermöglicht es mit Hilfe eines mit Messflüssigkeit gefüllten U-Rohres, die Dichte von flüssigen Reinstoffen und binären Mischungen exakt zu ermitteln. Die Dichte von Holz kann man mit einem Resistographen bestimmen.

Beispiele

Wasser Wasser hat eine sehr seltene Eigenschaft, indem es bei 3,98 °C die größte Dichte besitzt (Anomalie des Wassers). Es dehnt sich beim weiteren Abkühlen aus, die abnehmende Dichte bewirkt eine Volumenausdehnung. Hierdurch treten Frostschäden beispielsweise bedingt durch die Frostverwitterung auf. Bei zugefrorenen Seen befindet sich so auch das 3,98 °C warme Wasser am Seeboden, während kälteres Wasser mit geringerer Dichte nach oben steigt. Dies verhindert das Zufrieren von Gewässern bis auf den Grund und ermöglicht es erst den Lebewesen in Seen und Meeren zu überleben. Atmosphäre In der Atmosphäre steigen erwärmte und damit weniger dichte Luftschichten vom Boden auf (Konvektion). Sie kühlen dabei jedoch ab, wobei Wasserdampf kondensieren kann und sich daraufhin Wolken ausbilden. Entsprechend sinken kühlere Luftschichten wieder ab.

Abgeleitete Bezeichnungen

In Analogie werden auch andere Größen pro Raumeinheit als Dichten bezeichnet, zum Beispiel die Teilchendichte, die Ladungsdichte oder die Wahrscheinlichkeitsdichte. Teilweise wird der Begriff Dichte auch für Größen pro Flächeneinheit verwendet (Stromdichte, Strahlungsstromdichte, elektrische und magnetische Flussdichte). Eine spezifische Dichte ist API-Grade für Rohöl. Weitere Analogien (neben den schon genannten):
- Darrdichte
- Fülldichte
- Klopfdichte
- Längendichte
- Pressdichte
- Relative Dichte
- Schüttdichte
- Sinterdichte
- Stopfdichte

Weblinks


- [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-dichteeinheiten.htm Umrechnung von allen Dichte-Einheiten]
- [http://www.engnetglobal.com/tips/convert.asp?catid=9 Umrechnung von Dichte-Einheiten - auch amerikanische und englische Größen]
- [http://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Dichte Mineralienatlas - Dichte]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m11_dichte.htm Versuche und Aufgaben zur Dichte] Kategorie:Werkstoffeigenschaft Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Mineralogie ms:Ketumpatan ja:密度

Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben in der Strömungsmechanik bzw. der Strömungslehre das Verhalten von Strömungen in Flüssigkeiten und Gasgemischen (Fluiden). Sie sind ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Die Gleichungen sind benannt nach dem Franzosen Claude Louis Marie Henri Navier und dem Briten George Gabriel Stokes. Beide hatten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts (1827 bzw. 1845) den Impulssatz für Newtonsche Fluide, wie Wasser, Luft oder viele Öle in differentieller Form gefunden, also die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Druck als Funktion von Ort und Zeit. Der Impulserhaltungssatz ist der Kern der Navier-Stokes-Gleichungen, je nach Art des betrachteten Fluids müssen noch der Massenerhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz zum Schliessen der Gleichungen verwendet werden. In Vektorschreibweise lässt sich die Impulserhaltung schreiben mittels: : \rho \left( + (\mathbf \cdot \nabla) \mathbf \right) = \mathbf -\nabla p + \eta \Delta \mathbf + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf) . Der Vektor \mathbf beschreibt äußere Kräfte wie beispielsweise die Gravitation. Die Stoffkonstanten \lambda und \eta sind als bekannt und konstant im Strömungsfeld vorausgesetzt. In Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung (Erhaltungssatz der Masse) : + \nabla \cdot (\mathbf) = 0 ergibt sich, falls die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes : \nabla \cdot \mathbf = 0, welche ein inkompressibles Fluid charakterisiert und damit ein partielles Differentialgleichungssystem mit vier Gleichungen für die vier Größen Geschwindigkeit \mathbf(x,t)=(u,v,w) und Druck p(x,t), die so genannten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit Dichtevariation.

Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Ist die Dichte sogar immer konstant, vereinfachen sich die Gleichungen unter weiteren Annahmen bezüglich der Stoffkonstanten zu : \left( + (\mathbf \cdot \nabla) \mathbf \right) = \mathbf -\nabla p + \nu \Delta \mathbf, \; \nabla \cdot \mathbf = 0 , wobei der Druck hier nicht der physikalische Druck ist, sondern ein durch die Dichte geteilter. Diese Gleichungen werden in der mathematischen Literatur üblicherweise als die Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet. Sie sind für viele wichtige Fluide gültig, insbesondere für Wasser.

Lösungsansätze

Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen. Mathematiker wie P.-L. Lions (siehe Literaturliste) betrachten im wesentlichen den wichtigen Spezialfall der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Während hier für den zweidimensionalen Fall u.a. von R. Temam und C. Foias bereits weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden konnten, gibt es bislang keine Resultate für den allgemeinen dreidimensionalen Fall, da hier einige fundamentale Einbettungssätze für sog. Sobolevräume nicht mehr eingesetzt werden können. Allerdings gibt es für endliche Zeiten oder spezielle, insbesondere kleine, Anfangsdaten auch im dreidimensionalen Fall - vor allem für schwache Lösungen - Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen. Das Problem des allgemeinen, inkompressiblen Existenzbeweises in drei Dimensionen gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts. In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung (\mathbf \cdot \nabla) \mathbf . Nützlich ist hierbei die Darstellung mit Hilfe der Vortizität \mathbf = \nabla \times \mathbf = rot \mathbf : : (\mathbf \cdot \nabla) \mathbf = \frac \nabla (\|\mathbf\|)^2 + \mathbf \times \mathbf . Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen der zweite Term verschwindet. Dies ist bei der Annahme, daß bei 3-D Strömungen die Wirbel sich immer entlang der Stromline ausbilden (also dem Helmholtz-Wirbelsatz), also \mathbf \| \mathbf der Fall. Diese Annahme trifft aber nicht bei allen realen Strömungen zu. Da die Theorie für praktische Probleme keine Lösungen bereitstellen kann, sind die Navier-Stokes-Gleichungen ein wichtiges Anwendungsfeld der numerischen Mathematik. Der Teilbereich, der sich mit der Konstruktion von numerischen Näherungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen beschäftigt, ist die numerische Strömungsmechanik oder Computational Fluid Dynamics (CFD).

Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Die oben beschriebenen inkompressiblen Gleichungen sind ein Spezialfall der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen (siehe Inkompressibles Fluid). Diese gelten für ein allgemeines ideales Gas. Sie bestehen aus den Gleichungen der Massenerhaltung : \partial_ \hat + \nabla_ \cdot \hat = 0, der Impulserhaltung : \partial_ \hat + \sum_^ \partial_ (\hat \hat + \hat \delta_) = \sum_^ \partial_ \hat_ + \hat \hat_, \qquad i=1,2,3 wobei \delta_ das Kroneckersymbol ist, : \hat_ = \hat [(\partial_ \hat_ + \partial_ \hat_) - \frac \delta_ \sum_^ \partial_ \hat_], \qquad i,j=1,2,3 den viskosen Spannungs-Tensor beschreibt, wobei \hat die dynamische Viskosität und \hat_ die i'te Komponente des Gravitationsvektors ist, und der Energieerhaltung : \partial_ \hat \hat + \nabla_ \cdot (\hat \hat) = \sum_^ \partial_ \left ( \sum_^ \hat_ \hat_ - \hat_ \right) + \hat - \hat \hat \cdot \hat, wobei \hat = \hat + \frac die Enthalpie ist und \hat_ der Wärmefluss ist, der mittels des Wärmeleitkoeffizienten \hat als : \hat_ = -\hat \partial_ \hat geschrieben werden kann. Die totale Energie pro Einheitsmasse \hat ist die Summe von innerer, kinetischer und potentieller Energie: : \hat=\hat + \frac |\hat^| + \hat |\hat|. Wir haben also vier Gleichungen für fünf Variablen und das System wird durch die Zustandsgleichung abgeschlossen: : \hat = (\gamma -1) \hat (\hat - \frac |\hat|^ - \hat |\hat|). Die thermodynamischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden: : \hat = \frac. Schließlich hängen der adiabatische Exponent \gamma und die Gaskonstante \hat durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck \hat_ respektive konstantes Volumen \hat_ durch : \gamma = \frac und : \hat = \hat_-\hat_ zusammen. Unter der Annahme, dass die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, erhält man die Gleichungen für inkompressible Fluide zurück. Die Dächer auf den Variablen sollen darauf hinweisen, dass es sich um dimensionsbehaftete Größen handelt. Eine Entdimensionalisierung liefert diverse dimensionslose Kennzahlen.

Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Werden die Terme zweiter Ordnung, wie Reibung, vernachlässigt (η=0 ; λ=0), so erhält man die Euler-Gleichungen (hier für den inkompressiblen Fall) : \rho \left( + (\mathbf \cdot \nabla) \mathbf \right) = \rho\mathbf -\nabla p . Eine andere Art von Vereinfachungen ist in der Geodynamik üblich, wo der Mantel der Erde (oder anderer terrestrischer Planeten) als eine extrem zähe Flüssigkeit behandelt wird. In dieser Näherung ist die Diffusivität des Impulses, d.h. die kinematische Viskosität, viele Größenordnungen höher als die thermische Diffusivität, und der Trägheitsterm kann vernachlässigt werden; andererseits haben Geomaterialien eine komplizierte Rheologie, die dazu führt, daß die Viskosität nicht als konstant angesehen wird. Für den inkompressiblen Fall ergibt dies: : -\nabla p+ \nabla\cdot\+ \mathbf=0 . Man löst also in diesem Fall die stationäre Stokes-Gleichung. Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet.

Numerische Lösung

Die Navier-Stokes-Gleichungen können direkt numerisch berechnet werden. Jedoch erzwingt die Auflösung der einzelnen Turbulenzen ein sehr feines Gitter, so dass dies eigentlich nur in der Forschung unter Zuhilfenahme von Supercomputern und bei kleinen Reynolds-Zahlen möglich ist. In der Praxis hat sich die Lösung der Reynolds-Gleichungen durchgesetzt. Hier ist jedoch ein Turbulenzmodell nötig, um das Gleichungssystem zu schließen Als Mittelweg gilt die Large Eddy Simulation, die zumindest die großen Wirbel numerisch berechnet und erst die kleinen Skalen über ein Turbulenzmodell simuliert.

Literatur


- Alexander J. Chorin, Jerold E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Third Edition 1998, Springer Verlag
- Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 1 Incompressible Models, 1996, Oxford Science Publications
- Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 2 Compressible Models, 1998, Oxford Science Publications

Weblinks


- [http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/Official_Problem_Description.pdf Beschreibung des Millennium Problems Navier-Stokes-Gleichungen] (pdf-Datei) Kategorie:Physik Kategorie:Strömungslehre Kategorie:Partielle Differentialgleichungen ja:ナビエ-ストークスの式

Kompressionsmodul

Der Kompressionsmodul (Formelzeichen: K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen.

Definition

Der Kompressionsmodul ist definiert als: :K := - \frac = - \frac Das negative Vorzeichen entsteht aus der Forderung, dass sich bei einem Druckzuwachs eine Abnahme der Größe dV/V ergibt, dabei aber K positiv bleiben soll. Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist Pascal bzw. Newton/Quadratmeter. Der Kompressionsmodul ist eine Materialkonstante, die von der Temperatur und vom Druck abhängig ist. Die Einheit des Kompressionsmodul ist das Pascal. Der Zahlenwert stellt den Druck dar, bei dem das Volumen 0 erreicht, wenn das Kompressionsmodul zu höheren Drücken nicht ansteigen würde. Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:
- V - Volumen
- dp - infinitesimale Druckänderung
- dV - infinitesimale Volumenänderung
- dV/V - relative Volumenänderung

Kompressionsmodul von Festkörpern

Man kann sie hierbei auch aus anderen Materialkonstanten errechnen: :K = \frac wobei:
- E - Elastizitätsmodul
- µ - Poissonzahl

Kompressibilität von Flüssigkeiten und Gasen

Oft wird bei Gasen und Flüssigkeiten der Kehrwert des Kompressionsmoduls, die Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ), auch Kompressibilitätskoeffizient, verwendet. :\kappa = \frac = - \frac = - \frac = - \frac \left( \frac \right)_. Siehe auch: Kompression, thermischen Zustandsgleichung

Beispiel

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10°C unter Normaldruck 2,08×109 Pa. Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität \kappa = - \frac = 0,5 \frac das folgende Diagramm: Bild:Wasserdruck_kompressibilitaet.png In 12000 m Tiefe ergäbe sich hiermit bei einer Dichte von 1000 kg/m³ in 0 m Tiefe eine Abweichung des berechneten realen Drucks vom idealen von ca. 3,5 %. Hierbei bleiben jedoch weiterhin Temperatureffekte ebenso wie andere Einflüsse unberücksichtigt. Kategorie:Thermodynamik Kategorie:Festigkeitslehre

Temperatur

Die Temperatur ist eine physikalische Zustandsgröße, die vom Menschen als Wärme beziehungsweise Kälte empfunden wird. Hohe Temperaturen bezeichnet man als heiß, niedrige als kalt. Tatsächlich jedoch beschreibt die Temperatur die mittlere kinetische Energie pro Teilchen, sie ist eine makroskopische und damit phänomenologische Größe und verliert bei Betrachtungen auf Teilchenebene ihren Sinn.

Wärmeleitung und Temperaturempfinden

Stehen zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in Wärmekontakt, so wird nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik solange Energie vom wärmeren zum kälteren Körper übertragen, bis beide im thermischen Gleichgewicht stehen und die gleiche Temperatur angenommen haben. Es gibt dabei drei Möglichkeiten der Wärmeübertragung: # Wärmeleitung # Konvektion # Wärmestrahlung Der Mensch kann Temperaturen nur im Bereich um 30 °C fühlen. Genau genommen nimmt man nicht Temperaturen wahr, sondern die Größe des Wärmestroms durch die Hautoberfläche, weshalb man auch von einer gefühlten Temperatur spricht. Dies hat für das Temperaturempfinden einige Konsequenzen:
- Temperaturen oberhalb der Oberflächentemperatur der Haut fühlen sich warm an, solche unterhalb empfinden wir als kalt
- Materialien mit hoher Wärmeleitfähigkeit, wie Metalle, führen zu höheren Wärmeströmen und fühlen sich deshalb wärmer beziehungsweise kälter an, als Materialien mit niedrigerer Wärmeleitfähigkeit, wie Holz oder Polystyrol
- Bei gleich kalter Außentemperatur ist die gefühlte Temperatur bei Wind durch den Windchill niedriger als bei Windstille
- Der Mensch kann Lufttemperatur von überlagerter Wärmestrahlung nicht unterscheiden, was auch ganz allgemein gilt und unter anderem dazu führt das Lufttemperaturen immer im Schatten gemessen werden
- Gleiche Temperatur wird von den beiden Händen als unterschiedlich wahrgenommen, wenn diese selbst unterschiedliche Oberflächentemperatur aufweisen Genaugenommen gilt dies nicht nur für das menschliche Empfinden, auch in vielen technischen Anwendungen ist nicht die Temperatur von Bedeutung, sondern der Wärmestrom. So hat die Atmosphäre der Erde oberhalb 1000 km Temperaturen von mehr als 1000 °C, dennoch verglühen deshalb keine Satelliten. Auf Grund der geringen Teilchendichte ist der Energieübertrag minimal.

Temperatur, thermische Energie und der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik

Die formalen Eigenschaften der Temperatur werden in der Thermodynamik behandelt und dort über die Entropie S und die innere Energie U definiert. Man bezeichnet die Temperatur hier als eine systemeigene, intensive Zustandsgröße. Im eindimensionalen Fall in x-Richtung kann man die Temperatur über folgende Gleichung definieren: :\frac = \frac Bei einer sehr großen Ansammlung von Teilchen und dem Vorliegen eines idealen Gases, kann man die Maxwell-Boltzmann-Verteilung anwenden und in der Folge die Temperatur wie folgt definieren: : T := \frac Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:
- M - Molmasse
- R - universelle Gaskonstante
- \sqrt - quadratisch gemittelte Teilchengeschwindigkeit (hier zum Quadrat) Die Temperatur ist damit ein Maß für den durchschnittlichen ungerichteten, also zufälligen, Bewegungsenergieanteil (kinetische Energie) einer Ansammlung von Teilchen. Die Teilchen sind hierbei die Luftmoleküle bzw. die Moleküle oder Atome eines Gases, einer Flüssigkeit oder eines Festkörpers. In der statistischen Mechanik steht die Temperatur mit der Energie pro Freiheitsgrad in Zusammenhang. Im idealen Gas aus einatomigen Molekülen sind das drei Translationsfreiheitsgrade pro Molekül und bei mehratomigen Gasen können weitere Rotationsfreiheitsgrade hinzu kommen. Bei Gasen kann man diesen Zusammenhang zwischen Temperatur und Teilchengeschwindigkeit nach obiger Beziehung sogar quantitativ angeben. Eine Verdopplung der Temperatur auf der Kelvin-Skala führt bei idealen Gasen zu einer Erhöhung der quadratisch gemittelte Teilchengeschwindigkeit um den Faktor 2½ = 1,414. Zwei unterschiedliche Gase haben dann die gleiche Temperatur, wenn das Produkt aus der Molmasse des jeweiligen Gases und dem Quadrat der quadratisch gemittelten Teilchengeschwindigkeit gleich groß ist. Im thermischen Gleichgewicht nimmt jeder Freiheitsgrad der Materie (Bewegung, potenzielle Energie, Schwingungen, elektronische Anregungen etc.) eine der Temperatur entsprechende Menge an Energie auf. Wieviel genau muss aus der kanonischen Verteilung (Boltzmannkonstante) berechnet werden und ist durch das Verhältnis von Energie zu Temperatur mal Boltzmannkonstante kB bestimmt. Bei der kontinuierlichen (klassischen) kinetischen Energie ist dies genau kBT/2. Die Boltzmannkonstante ergibt einen Zusammenhang zwischen Energie und Temperatur, welcher 11.606,7 Kelvin pro Elektronenvolt beträgt. Bei Raumtemperatur (300 Kelvin) ergibt dies 0,0258472 eV. Die durchschnittliche kinetische Energie der Teilchen ist abhängig von der Molekülmasse bzw. Molmasse. Dabei sind die schweren Teilchen jedoch auch langsamer. Bei idealen Gasen gleichen sich Massenerhöhung und Geschwindigkeitsernierdrigung gegenseitig aus, was zum Gesetz von Avogadro führt. Die thermische Energie ist jedoch wie die Temperatur selbst nur ein Mittelwert innerhalb eines Vielteilchensystems und ihr Zusammenhang mit der Teilchengeschwindigkeit lässt sich ebenfalls aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung ableiten: : \overline = \frac m \overline Das thermische Gleichgewicht hat eine wichtige Eigenschaft, welche in der Thermodynamik zur Formulierung des Nullten Hauptsatzes führt. Wenn ein System A sich mit einem System B sowie B sich mit einem System C im thermischen Gleichgewicht befinden, so befindet sich auch A mit C im thermischen Gleichgewicht. Das thermische Gleichgewicht ist damit transitiv, was es möglich macht die empirische Temperatur θ einzuführen. Diese ist so definiert, dass zwei Systeme genau dann die gleiche empirische Temperatur haben, wenn sie sich im thermischen Gleichgewicht befinden.

Messung der Temperatur

Messung durch Kontakt

Die Temperaturmessung erfolgt mit Hilfe von Thermometern oder anderen wärmesensitiven Messgeräten. Bei Messungen mit massebehafteten Sensoren ist der Wärmeleitung besonders Rechnung zu tragen: Man muss genügend lange warten, bis diese Temperatur-Angleichung im Rahmen der gewünschten Messgenauigkeit eingetreten ist. Andererseits können dabei andere Einflüsse wirksam werden (z.B. Wärmestrahlung, eigener Atem). Die Messgenauigkeit wird bei den feinsten Methoden durch die Brownsche Molekularbewegung begrenzt, bei der Lufttemperatur aber meist durch lokale Turbulenzen. Die Temperaturerfassung durch Kontakt ist in vier Teilbereiche aufzuteilen: #die mechanische Erfassung mittels #
- Gas- oder Flüssigkeitsthermometer (z.B. traditionelle Quecksilber- oder Alkoholthermometer) #
- Bimetallthermometer #
- Temperaturmessfarben (auch thermochromatische Farben; Farbumschlag bei einer bestimmten Temperatur) #
- Seeger-Kegel (Formkörper, die ihre Festigkeit und dadurch ihre Kontur bei einer bestimmten Temperatur ändern) #die resistiven Temperaturaufnehmer (Widerstandsthermometer) #die Thermoelemente #die indirekte, erfahrungsgestützte Messung über tabellierte Stoffdaten (zum Beispiel umgekehrte Schmelzpunktbestimmung) Schmelzpunktbestimmung

Messung durch elektromagnetische Strahlung

Die Temperatur kann indirekt durch die Wärmestrahlung mit einem Pyrometer gemessen werden. Durch diese ist auch eine Thermografie möglich, also eine Farbanzeige oder Hell-Dunkel Darstellung der Temperatur von Flächen und Räumen wie im Bild zur Linken, welches einem Kaffeeautomaten zeigt. Gut erkennbar ist hierbei auch die thermische Spiegelung. Eine andere Art der Temperaturmessung durch elektromagnetische Strahlung auch anderer Wellenlängenbereiche bieten die Bolometer. Siehe hierzu auch Messgeräte, Messtechnik, Messung und Kategorie Temperaturmessung

Temperaturskalen und ihre Einheiten

SI-Einheit

Die SI-Einheit der thermodynamischen Temperatur (Formelzeichen: T) ist Kelvin (Einheitenzeichen: K). Ein Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von Wasser, bei dem dessen feste, flüssige und gasförmige Phase koexistieren. Der Nullpunkt der Kelvinskala liegt beim absoluten Nullpunkt. Es ist üblich und nützlich Temperaturdifferenzen immer in Kelvin anzugeben.

Nicht-SI-Einheiten

Die empirische Temperatur (Formelzeichen: \vartheta; gelegentlich auch t), auch als Celsiustemperatur bezeichnet, da in Grad Celsius (Einheitenzeichen: °C) angegeben, ergibt sich damit aus der thermodynamischen Temperatur durch : \vartheta/^\circ\mathrm = T/\mathrm-273,\!15 . Temperaturdifferenzen können vom Prinzip her auch in Grad Celsius angegeben werden, das den gleichen Skalenabstand aufweist wie die Kelvin-Skala, dessen Nullpunkt sich aber auf den Gefrierpunkt von Wasser beim Normaldruck (mittlerer Luftdruck auf Meereshöhe) bezieht. Der so festgelegte Gefrierpunkt liegt gerade 0,01 K unterhalb der Temperatur des Tripelpunktes von Wasser. In den USA ist die Fahrenheit-Skala mit der Einheit Grad Fahrenheit (Einheitenzeichen: °F) immer noch sehr gebräuchlich. Die absolute Temperatur auf Fahrenheit-Basis wird mit Grad Rankine (Einheitenzeichen: °Ra) bezeichnet. Die Rankine-Skala hat den Nullpunkt wie die Kelvin-Skala beim absoluten Temperaturnullpunkt, im Gegensatz zu dieser jedoch die Skalenabstände der Fahrenheit-Skala.

Temperaturskalen

Eine Temperaturskala ist eine Methode der Angabe einer Temperatur in einer Skala und damit der Bestimmung der jeweiligen Messtemperatur in Bezug zu einem Vergleichswert. Zu ihrer Erstellung werden immer mindestens zwei Fixpunkte benötigt. Diese legt man bei bestimmten temperaturabhängigen Eigenschaftsänderungen von Stoffen oder auch anderen Messergebnissen fest. Die häufigsten Fixpunkte sind hierbei der absolute Temperaturnullpunkt, sowie der Schmelzpunkt und Siedepunkt von Wasser. Ausgehend von diesen Fixpunkten wählt man einen Gradabstand für die Größe des Intervalls zwischen zwei Graden und kann auf diese Weise eine Maßeinheit für die Temperatur definieren. Es ist dabei jedoch wichtig, dass der Temperaturbereich zwischen den gewählten Fixpunkten einen konstanten Anstieg aufweist, da man ansonsten unterschiedlich große Gradabstände erhält, je nachdem ob die betrachtete Temperatur näher oder ferner von einem der Fixpunkte liegt. Die bekanntesten Temperaturskalen mit ihren verschiedenen Charakteristika sind in den folgenden Tabellen dargestellt. Die heute gültige Temperaturskala ist die "International Temperature Scale of 1990" (ITS-90). :¹ Einige Werte dieser Tabelle sind gerundet :² Übliche Körpertemperatur ist 36.8 °C ± 0.7 °C, oder 98.2 °F ± 1.3 °F Ein Programm zur automatischen Temperaturumrechnung ist in den Weblinks zu finden.

Ausgewählte Temperaturen

Spezifische Stoffwerte können den entsprechenden Artikel wie beispielsweise Siedepunkt und Schmelzpunkt entnommen werden. Ein Vergleich der Größenordnung von Temperaturen der Kelvin-Skala ist gesondert dargetellt.

Siehe auch


- Kategorie Schwellenwerte der Temperatur
- Absolute Temperatur
- Kritische Temperatur
- Curie-Temperatur
- Debye-Temperatur
- Boyle-Temperatur
- Dopplertemperatur
- Oberflächentemperatur
- Rekristallisationstemperatur
- Potenzielle Temperatur
- Virtuelle Temperatur
- Temperaturresistenz
- Tagesmitteltemperatur
- Wärmekapazität

Weblinks


- [http://www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general/units.html#temp Temperatur-Umrechnung]
- [http://www.temp-web.de/modules.php?name=Content&pa=showpage&pid=26 Informationen rund um die Temperatur]
- [http://www.its-90.com/ Website der ITS-90 (engl.)]
- [http://www.marco-burmeister.de/index_frameaufbau.html?helferlein_temperatur_grad Umrechnungen zw. den Temperaturskalen Celsius, Fahrenheit, Kelvin, Rankine, Réaumur (Online)] Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Thermodynamik Kategorie:Temperaturmessung ja:温度 ko:온도 th:อุณหภูมิ

Barometrische Höhenformel

in Abhängkeit von der Höhe.]] Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Dynamik innerhalb der Atmosphäre (Wetter) nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann. Ganz grob und vereinfacht kann angenommen werden, dass in der Nähe des Meeresspiegels der Luftdruck um ein hPa pro 8 m abnimmt.

Hydrostatische Grundgleichung

Die Änderung von Druck und Dichte der Atmosphäre mit der Höhe wird durch die hydrostatische Grundgleichung beschrieben. Zur Herleitung betrachte man ein quaderförmiges Volumenelement mit der Grundfläche A und der kleinen Höhe \mathrmh, welches Luft der Dichte \rho enthält. Die von oben auf die Grundfläche wirkende Kraft setzt sich zusammen aus der vom Atmosphärendruck p auf die Oberseite ausgeübten Kraft p \cdot A und der Gewichtskraft \mathrmm \cdot g = \rho \, \mathrmV \cdot g = \rho g \, \mathrmh \cdot A der im Volumen \mathrmV = A \mathrmh enthaltenen Luftmasse \mathrmm. Von unten wirkt auf die Grundfläche nur die vom Atmosphärendruck ausgeübte Kraft. Der Atmosphärendruck ist in dieser Höhe um den Betrag \mathrmp größer als der auf die Oberseite wirkende Druck; die ausgeübte Kraft ist daher (p + \mathrmp) \cdot A. Im hydrostatischen Gleichgewicht sind alle Luftströmungen zur Ruhe gekommen. Damit das Gleichgewicht erhalten und das betrachtete Volumenelement auch weiterhin in Ruhe bleibt, muss die Summe aller darauf wirkenden Kräfte null sein: :p \cdot A + \rho g \, \mathrmh \cdot A + (p + \mathrmp) \cdot A = 0 Kürzen und Umstellen liefert :\frac = -\rho g Nach dem idealen Gasgesetz lässt sich die Dichte \rho ausdrücken als \rho = \frac, so dass sich schließlich ergibt: Dabei ist M die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg mol-1), g die Schwerebeschleunigung (9,807 m s-2), R die universelle Gaskonstante (8,314 J kg-1 mol-1) und T die absolute Temperatur. Die hydrostatische Grundgleichung gibt an, um welchen Betrag \mathrmp sich der Atmosphärendruck ändert, wenn sich die Höhe um einen kleinen Betrag \mathrmh ändert. Wie das negative Vorzeichen zeigt, ist \mathrmp negativ, wenn \mathrmh positiv ist; der Druck wird mit zunehmender Höhe also geringer. So nimmt beispielsweise bei mittlerem Luftdruck auf Meereshöhe (p = 1013 hPa) bei einer Temperatur von 288 K (= 15 °C) der Druck auf einem Meter Höhenunterschied um 0,12 hPa beziehungsweise auf 8,3 Metern Höhenunterschied um 1 hPa ab. Der Höhenunterschied, der einem Druckunterschied von 1 hPa entspricht, ist die barometrische Höhenstufe. In größeren Höhen (kleineres p) und bei höheren Temperaturen T verändert sich der Luftdruck langsamer, die barometrische Höhenstufe nimmt zu. Benötigt werden in der Regel explizite Werte für Druck und Dichte auf vorgegebenen Höhen. Daraus lassen sich bei Bedarf auch die Druckunterschiede für größere Höhenunterschiede ablesen. Die gesuchte Lösung der Grundgleichung erhält man durch Trennung der Variablen :\frac = - \frac \, \mathrmh und anschließende Integration zwischen den gesuchten Höhen beziehungsweise den zugehörigen Drücken: :\int_^ \frac = - \int_^\frac \, \mathrmh. Integration der linken Seite ergibt \ln\left(\frac\right). Zur Integration der rechten Seite muss die Höhenabhängigkeit von g und T bekannt sein. Die Schwerebeschleunigung g kann für nicht zu große Höhen als konstant angesehen werden. Die Temperatur T variiert in komplizierter und kaum vorhersagbarer Weise mit der Höhe. Es müssen daher vereinfachende Annahmen über den Temperaturverlauf T(h) getroffen werden.

Isotherme Atmosphäre

Die in einführender Literatur und im Schulunterricht meist zitierte klassische barometrische Höhenformel gilt für den Spezialfall, dass die Temperatur T in jeder Höhe gleich, die Atmosphäre also isotherm ist.

Herleitung aus der hydrostatischen Grundgleichung

Die Integration der hydrostatischen Grundgleichung liefert bei konstantem T: Durch Einführung der so genannten Skalenhöhe h_s = \frac vereinfacht sich die Höhenformel zu Mit jeder Höhenzunahme um h_s nimmt der Luftdruck um den Faktor e \approx 27 ab. Die Skalenhöhe ist daher ein natürliches Maß für die Höhe der Atmosphäre und den Druckverlauf in ihr. Sie beträgt in der hier angenommenen Modellatmosphäre bei einer Temperatur von 15 °C etwa 8,4 km. Für die Dichte gilt entsprechend: Für einen bergab wandernden Beobachter nimmt der Luftdruck ständig zu, da eine immer schwerere Luftsäule auf ihm lastet. Die Zunahme verläuft exponentiell, da die Luft kompressibel ist: für jeden Meter Höhenunterschied nimmt die Gewichtskraft der auf einer Messfläche lastenden Luftsäule um das Gewicht des auf dieser Strecke hinzukommenden Säulenvolumens zu. Dieses Gewicht hängt aber von der Dichte der Luft und diese wiederum vom Luftdruck ab. Der Luftdruck wächst also um so schneller, je höher er bereits ist. Ändert sich eine Größe stets um einen Betrag, der der Größe selbst proportional ist, so geschieht die Änderung exponentiell.

Herleitung aus der statistischen Mechanik

In einem Teilchensystem, das sich bei der Temperatur T im thermischen Gleichgewicht befindet (das also insbesondere überall dieselbe Temperatur aufweist) und dessen Teilchen die kontinuierlich oder diskret verteilten Energieniveaus E_j einnehmen können, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen gerade auf dem Energieniveau E_j befindet, gegeben durch die Boltzmann-Verteilung :P_j = \frac. Dabei ist k_ die Boltzmann-Konstante und Z ein Normierungsfaktor (die so genannte Zustandssumme), der sicherstellt, dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist. Besteht das System aus N Teilchen, so ist die Anzahl der Teilchen auf dem Energieniveau E_j im Mittel n_j = N P_j. Ein Gasteilchen der Masse m hat im Schwerefeld der Erde die potentielle Energie E_ = m g h und wegen seiner Temperatur im Mittel die thermische Energie E_, insgesamt also die Energie E(h) = m g h + E_. Betrachtet man zwei gleich große Volumenelemente auf den Höhen h_0 beziehungsweise h_1, so haben die Teilchen auf der Höhe h_1 eine um den Betrag m g \Delta h höhere Energie. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im höheren Volumenelement anzutreffen, verhält sich daher zur Wahrscheinlichkeit, es im tieferen Volumenelement anzutreffen wie :\frac = \frac = e^ = e^. Für eine hinreichend große Anzahl N von Teilchen verhalten sich die Teilchendichten n(h) wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten :\frac = \frac = e^ , und wegen des idealen Gasgesetzes folgt für den Druck p(h) = n(h) \, k_ T dasselbe Verhältnis :\frac = e^ = e^ = e^, wobei man die molare Masse M und die Gaskonstante R erhält, indem man die Teilchenmasse m beziehungsweise die Boltzmann-Konstante k_ mit der Avogadro-Zahl multipliziert.

Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf

Herleitung

Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Der einfachste Ansatz zur Berücksichtigung einer solchen Veränderlichkeit geht von einer linearen Abnahme mit der Höhe aus. Für die Temperatur T(h) gilt also :T(h) = T(h_0) - a \cdot (h - h_0), wobei a der (positiv zu nehmende) Betrag des vertikalen Temperaturgradienten ist, der angibt, um wieviele Kelvin die Lufttemperatur pro Meter Höhenunterschied abnimmt. Das Integral über die rechte Seite der Grundgleichung lautet damit :-\int_^ \frac\, \mathrmh = -\int_^ \frac\, \mathrmh = - \frac \int_^ \frac \, \mathrmh. Wegen :\int \frac \, \mathrmx = - \frac \, \ln(b - ax) ist die Lösung des Integrals :- \frac \ln( \, (T(h_0) + a h_0) - a h) \vert_^ = - \frac \ln\left(\frac\right), so dass insgesamt aus dem Integral über die Grundgleichung :\ln\left(\frac\right) = + \frac \, \frac \ln\left(\frac\right) die barometrische Höhenformel für linearen Temperaturverlauf folgt: :p(h_1) = p(h_0) e^, oder wegen e^ = x^y: Für die Dichte gilt entsprechend Der Exponent ist hier um 1 vermindert, weil der Zusammenhang zwischen Dichte und Druck temperaturabhängig ist. Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt. Dabei wird zunächst die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Dann werden, mit der untersten Schicht beginnend, Temperatur und Druck an der Obergrenze der jeweiligen Teilschicht berechnet und für die Untergrenze der darüber liegenden Schicht eingesetzt. Auf diese Weise entsteht induktiv das Modell für die gesamte Atmosphäre.

Typische Temperaturgradienten

Wie Messungen der Temperaturprofile in der Atmosphäre zeigen, ist die Annahme einer linearen Temperaturabnahme im Mittel eine gute Näherung, wenn auch im Einzelfall deutliche Abweichungen auftreten können, zum Beispiel bei Inversionswetterlagen. Die Hauptursache für die Temperaturabnahme mit der Höhe ist die Erwärmung der unteren Luftschichten durch die von der Sonne aufgeheizte Erdoberfläche, während die oberen Luftschichten Wärme in den Weltraum abstrahlen. Dazu kommen trockenadiabatische oder feuchtadiabatische Temperaturänderungen einzelner aufsteigender oder absinkender Luftpakete und zusätzliche Modifikationen durch Vermischungsvorgänge zwischen Luftmassen unterschiedlicher Herkunft. In Warmluftmassen und bei Aufgleitvorgängen nimmt der Temperaturgradient Werte um 0,3 bis 0,5 K pro 100 m an, in einbrechender Kaltluft meist um 0,6 bis 0,8 K pro 100 m, im Mittel über alle Wetterlagen 0,65 K pro 100 m. In Tallagen können häufige Bodeninversionen den mittleren Temperaturgradienten auf 0,5 K pro 100 m senken, in den Wintermonaten sogar auf 0,4 K pro 100 m. Die beschriebenen Verhältnisse sind auf die Troposphäre beschränkt. In der Stratosphäre nimmt die Temperatur deutlich langsamer ab, meist nimmt sie sogar wieder zu, vor allem wegen der Absorption von UV-Strahlung in der Ozonschicht. Für einen Temperaturgradienten von 0,65 K pro 100 m nimmt der Exponent Mg/Ra den Wert 5,255 an: :p(h_1) = p(h_0) \left( 1 - \frac \right)^ In dieser Form bietet sich die Höhenformel für den häufigen Fall an, dass Temperatur und Luftdruck auf einer der beiden Höhen bekannt sind, nicht aber der zur Zeit bestehende Temperaturgradient. Es ergibt sich folgende Tabelle für die Höhen- und Temperaturabhängigkeit der barometrischen Höhenstufe:

Internationale Höhenformel

Setzt man die Referenzhöhe h_0 auf Meereshöhe und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur 15 °C = 288,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa, Temperaturgradient 0,65 K pro 100 m), so erhält man die Internationale Höhenformel für die Troposphäre (gültig bis 11 km Höhe): :p(h) = 101325 \left( 1 - \frac \right)^ \mathrm Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird.

Allgemeiner Fall

Die Lösung der hydrostatischen Grundgleichung lautet allgemein :\ln\left( \frac\right) = - \int_^\frac \, \mathrmh, beziehungsweise :p(h_1) = p(h_0) \, e^ mit noch zu lösendem Integral.

Virtuelle Temperatur

Die Gaskonstante R ist eine Naturkonstante und kann vor das Integral gezogen werden. Die mittlere molare Masse der Atmosphärengase M ist, sofern vom stark variablen Wasserdampfgehalt abgesehen wird, innerhalb der Troposphäre ebenfalls praktisch konstant und kann auch vor das Integral gezogen werden. Die unterschiedlichen Skalenhöhen der verschieden schweren Atmosphärengase würden in einer ruhenden Atmosphäre zwar zu einer teilweisen Entmischung führen, so dass sich schwerere Komponenten in den unteren Schichten und leichtere Komponenten in den höheren Schichten anreichern würden; die durch das Wettergeschehen bedingte intensive Durchmischung der Troposphäre verhindert dies jedoch. Der veränderliche Wasserdampfgehalt sowie verallgemeinert auch sonstige gerinfügige Änderungen von M (vor allem in den höheren Atmosphärenschichten) kann durch Verwendung der entsprechenden virtuellen Temperatur T_v anstelle der tatsächlichen Temperatur T berücksichtigt werden. Für M kann daher der Wert für trockene Luft in Meereshöhe eingesetzt werden.

Geopotentielle Höhen

Die Schwerebeschleunigung g nimmt mit der Höhe ab, was bei großen Höhendifferenzen oder hohen Genauigkeitsanforderungen berücksichtigt werden muss. Eine variable Schwerebeschleunigung im Integranden würde die Integration allerdings erheblich erschweren. Dies lässt sich umgehen durch Verwendung geopotentieller statt geometrischer Höhen. Man denke sich dazu eine Testmasse m bei variablem g von Meereshöhe auf die Höhe h gehoben. Weil g mit der Höhe abnimmt, ist die dabei gewonnene potentielle Energie \Delta E_ kleiner als wenn g stets den Meereshöhenwert g_0 hätte. Die geopotentielle Höhe h_p ist die Höhe, gemessen in geopotentiellen Metern, die rechnerisch zu überwinden ist, um der Masse bei stets konstanter Schwerebeschleunigung g_0 dieselbe potentielle Energie \Delta E_ zuzuführen (mit anderen Worten: h_p ist das durch g_0 dividierte Schwerepotential. Flächen gleicher geopotentieller Höhe sind Äquipotentialflächen im Schwerefeld). Für die zu einer geometrischen Höhe h gehörige geopotentielle Höhe h_p soll also gelten: :\Delta E_ = \int_0^h m g(h) \, \mathrmh = m g_0 \cdot h_p, woraus folgt: :g(h) \, \mathrmh = g_0 \, \mathrmh_p. Für das Verhältnis der Schwerebeschleunigung g in der Höhe h zur Schwerebeschleunigung g_0 auf Meereshöhe gilt, da das Gravitationsfeld quadratisch mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt abnimmt: :\frac = \left(\frac\right)^2, mit dem Erdradius R_E. Integration von :\mathrmh_p = \frac \, \mathrmh = \left(\frac\right)^2 \mathrmh liefert :\int_0^ \mathrmh_p = \int_0^h \left(\frac\right)^2 \mathrmh :\Leftrightarrow \ h_p = \frac. R_E ist dabei auf den Wert 6356 km zu setzen. Gegebenenfalls muss außerdem noch berücksichtigt werden, dass die Schwerebeschleunigung auf Meereshöhe g_0 von der geographischen Breite abhängt. Auf diese Weise müssen nur einmal vor der Rechnung die gewünschten geometrischen Höhen in geopotentielle Höhen umgerechnet werden; in der Höhenformel kann dann statt der veränderlichen Schwerebeschleunigung einfach der konstante Meereshöhenwert verwendet werden. Für nicht zu große Höhen ist der Unterschied zwischen geometrischen und geopotentiellen Höhen gering und oft vernachlässigbar: Mit der Schwerebeschleunigung auf Meereshöhe g_0, den geopotentiellen Höhen h_ und h_ und der virtuellen Temperatur T_v vereinfacht sich die allgemeine Höhenformel zu :p(h_1) = p(h_0) \, e^. Es bleibt das Integral über 1/T_v zu lösen, wozu nur noch das Temperaturprofil T_v(h_p) bekannt sein muss. Es kann in der realen Atmosphäre zum Beispiel durch Radiosonden-Aufstiege bestimmt werden. Für vereinfachte Modellatmosphären mit konstanter oder linear veränderlicher Temperatur ergeben sich wieder Höhenformeln des eingangs behandelten Typs.

Anwendungen

Reduktion auf Meereshöhe

Theorie

Der von einem Barometer gemessene Luftdruck hängt sowohl vom meteorologischen Zustand der Atmosphäre als auch von der Standorthöhe ab. Sollen die Angaben verschiedener Barometer in einem größeren Gebiet für meteorologische Zwecke untereinander verglichen werden (zum Beispiel um die Lage eines Tiefdruckgebiets oder einer Front zu bestimmen), so muss der Einfluss der Standorthöhen aus den Messdaten entfernt werden. Zu diesem Zweck werden die gemessenen Druckwerte auf eine gemeinsame Bezugshöhe, üblicherweise Meereshöhe, umgerechnet. Diese Umrechnung geschieht mittels einer Höhenformel. Das Umrechnen wird auch als Reduktion bezeichnet (auch wenn der Zahlenwert größer wird), da der Messwert dabei von unerwünschten Störeffekten befreit wird. Das Ergebnis ist der auf Meereshöhe reduzierte Luftdruck. Je nach Genauigkeitsanforderungen muss eine geeignete Höhenformel benutzt werden. Bei geringeren Ansprüchen kann zum Beispiel aus der Höhenformel für konstante Temperatur ein fester Umrechnungsfaktor abgeleitet werden, wozu eine repräsentative Temperatur zu wählen ist: :p_0 = p(h) \, e^ Für eine Standorthöhe von 500 m und bei Verwendung einer Jahresmitteltemperatur von 6 °C ergibt sich z.B. ein Reduktionsfaktor von 1,063, mit dem die gemessenen Werte zu multiplizieren sind. Bei etwas höheren Ansprüchen sollte zumindest die aktuelle Lufttemperatur berücksichtigt werden. Deren Einfluss zeigt folgendes Beispiel, in dem ein auf 500 m Höhe gemessener Luftdruck von 954,3 hPa mit der Höhenformel für linearen Temperaturverlauf (a = 0,0065 K/m) unter Annahme verschiedener Stationstemperaturen T(h) auf Meereshöhe reduziert wird: :p_0 = p(h) \, \left( \frac \right)^ Verwendung einer falschen Temperatur kann also durchaus zu Abweichungen von einigen hPa führen. Falls eine höhere Genauigkeit gewünscht ist, aktuelle Lufttemperaturen zur Verfügung stehen und Genauigkeit sowie Kalibrierung des verwendeten Barometers den Aufwand rechtfertigen, sollte die Reduktion stets unter Verwendung der aktuellen Lufttemperatur erfolgen. Als Höhenformel bietet sich die Variante für linearen Temperaturverlauf an. Es kann aber ebenso gut die Variante für konstanten Temperaturverlauf verwendet werden, sofern die auf halber Stationshöhe herrschende aktuelle Temperatur eingesetzt wird: :p_0 = p(h) \, e^ Diese Variante ist zwar theoretisch etwas weniger genau, da sie die Veränderlichkeit der Temperatur mit der Höhe ignoriert, während die lineare Variante diese zumindest ansatzweise berücksichtigt. Bei den für Wetterstationen üblicherweise vorkommenden Höhen und Temperaturen sind die Unterschiede jedoch völlig unbedeutend. Die vom Deutschen Wetterdienst empfohlene Reduktionsformel entspricht der Variante mit konstantem Temperaturverlauf. Aus der auf Standorthöhe gemessenen Temperatur wird mit Hilfe des Standard-Temperaturgradienten die Temperatur auf halber Standorthöhe geschätzt. Die Luftfeuchte findet Berücksichtigung durch Übergang zur entsprechenden virtuellen Temperatur. mit Falls keine gemessene Luftfeuchte zur Verfügung steht, kann E auch gemäß folgender Approximation geschätzt werden, welche auf langjährigen Mittelwerten von Temperatur und Feuchte beruht: :t(h) < 9,1 \,^\mathrm: \tilde E = 56402 \cdot (-00916 + e^) :t(h) \ge 9,1 \,^\mathrm: \tilde E = 182194 \cdot (10463 - e^)

Praxis

Deutschen Wetterdienst Die hier erhobenen Genauigkeitsanforderungen an gemessenen Luftdruck und Barometerhöhe werden für einen Amateurmeteorologen in der Regel nicht zu erfüllen sein. Bei den Barometern von Hobby-Wetterstationen wird durchaus mit systematischen Fehlern von mindestens ein bis zwei hPa zu rechnen sein. Einer solchen Unsicherheit entspricht über die barometrische Höhenstufe eine Unsicherheit der Standorthöhe von zehn bis zwanzig Metern. Der Ehrgeiz, die Standorthöhe genauer bestimmen zu wollen, führt höchstwahrscheinlich nicht zu einem genaueren Ergebnis. In diesem Lichte wäre auch die Notwendigkeit oder Überflüssigkeit einer Berücksichtigung der Luftfeuchte zu betrachten. Gegebenenfalls empfiehlt es sich, nicht die reale Standorthöhe zu verwenden, sondern eine fiktive Höhe, welche die beste Übereinstimmung des reduzierten Luftdrucks mit den Angaben eines nahe gelegenen Referenzbarometers (offizielle Wetterstation, Flughafen, usw.) erzielt. Durch eine solche Kalibrierung lässt sich ein eventueller systematischer Fehler des Barometers größtenteils kompensieren. Hierzu ist es zweckmäßig, zunächst eine genäherte Höhe zur Reduktion zu verwenden und die eigenen Ergebnisse über einen längeren Zeitraum (vor allem auch bei verschiedenen Temperaturen) mit den Referenzangaben zu vergleichen. Wird ein systematischer Unterschied festgestellt, kann mit Hilfe einer geeigneten Höhenformel die Höhendifferenz berechnet werden, welche ausgehend von der genäherten Standorthöhe die reduzierten Höhen um den gewünschten Betrag verschiebt. Die auf diese Weise korrigierte Höhe wird dann für künftige Reduktionen verwendet. Wird die Temperatur bei der Reduktion nicht berücksichtigt, sollte beim Kalibrieren die Situation bei einer repräsentativen Temperatur zugrunde gelegt werden. Kalibrierung Einfache Wohnzimmerbarometer werden in der Regel so eingestellt, dass sie unmittelbar den reduzierten Luftdruck anzeigen. Meist geschieht dies durch eine Schraube auf der Gehäuserückseite, mit der sich die Vorspannung der Druckdosenfeder ändern lässt. Die Kalibrierung entspricht also einer Verschiebung der Anzeigeskala. Das ist streng genommen nicht korrekt. Wie die Höhenformeln zeigen, muss die Reduktion durch Multiplikation mit einem Kalibrierfaktor erfolgen und nicht durch bloße Addition einer Konstanten: Der reduzierte Luftdruck ändert sich um etwas mehr als ein hPa, wenn sich der Luftdruck auf Standorthöhe um ein hPa ändert. Die Skala müsste also zusätzlich zur Verschiebung auch leicht gestreckt werden. Der dadurch verursachte Fehler ist jedoch geringer als der Fehler, der dadurch entsteht, dass diese Geräte den Temperatureinfluss auf die Reduktion ignorieren. Da sie keine Eingabemöglichkeit für die Standorthöhe haben, kann eine Kalibrierung nur durch Vergleich mit einem Referenzbarometer erfolgen, wodurch wiederum gleichzeitig systematische Nullpunktsfehler des Instruments vermindert werden. Die Kalibrierung muss für den Standort des Barometers (oder einen Ort vergleichbarer Höhe) erfolgen. Es hat keinen Zweck, das Gerät beim Händler »richtig einstellen« zu lassen, wenn es dann an einem völlig anderen Ort aufgehängt wird. Wenn das Barometer dazu dient, aus Luftdruckänderungen eine kurzfristige Wettervorhersage abzuleiten, ist eine genaue Kalibrierung weniger wichtig.

Grenzen

Generell ist bei der Reduktion von Luftdruckmessungen zu bedenken, dass die dabei rechnerisch addierte Luftsäule für die meisten Standorte in Wirklichkeit nicht existieren kann und es daher auch keinen „wahren“ Wert für den „Meereshöhendruck am Standort“ geben kann, der durch hinreichend aufwendiges Rechnen präzise angenähert werden könnte. Die Reduktionsformeln beruhen zum Teil lediglich auf Konventionen und dienen, abgesehen von speziellen wissenschaftlichen Anwendungen, hauptsächlich dazu, die Messwerte der Wetterstationen so weit wie möglich untereinander vergleichbar zu machen. Ein Beispiel zur Fiktivität der addierten Luftsäule: Über ebenem Gelände, auf dem kalte Luft nicht abfließt, kann sich in klaren Nächten wegen der Wärmeabstrahlung des Erdbodens die bodennahe Luft merklich abkühlen (Bodeninversion). Eine dort befindliche Wetterstation wird diese verringerte Temperatur registrieren und mit dem üblichen Temperaturgradienten rechnerisch nach unten fortsetzen. Befände sich das Gelände aber auf Meereshöhe, so wäre jene Luft wegen des nun fehlenden Erdbodens gar nicht abgekühlt und die nun tatsächlich existierende Luftsäule hätte eine deutlich höhere Temperatur als die rechnerische. Die Rechnung hat also eine zu hohe Dichte der addierten Luftsäule angenommen und ergibt einen höheren reduzierten Luftdruck als er bei der selben Wetterlage herrschen würde, falls das gesamte Gelände auf Meereshöhe läge.

Barometrische Höhenmessung

Die Höhenabhängigkeit des Luftdrucks kann auch zur Höhenmessung verwendet werden. Barometrische Höhenmessungen sind schnell und relativ einfach durchzuführen, in ihrer Genauigkeit jedoch begrenzt. Ein für die Höhenbestimmung ausgelegtes Barometer bezeichnet man als Höhenmesser oder Altimeter. Die Vorgehensweise richtet sich nach Verwendungszweck und Genauigkeitsansprüchen.

Luftfahrt

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Wandern

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Vermessung

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Siehe auch

Barometrische Höhenmessung - Standardatmosphäre - Kinetische Gastheorie - Luft - Hochdruckgebiet - Tiefdruckgebiet - Wind - Formelsammlung Hydrostatik Kategorie:Thermodynamik Kategorie:Meteorologie

Archimedisches Prinzip

Das Archimedische Prinzip wurde vor über 2000 Jahren vom altgriechischen Gelehrten Archimedes entdeckt. Es lautet: Die Auftriebskraft eines Körpers ist genau so groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. Ein Gegenstand wirkt also leichter, wenn er z. B. in Wasser getaucht wird. Die Masse des Körpers bleibt dieselbe, jedoch gleichen sich die Auftriebs- und die Gewichtskraft gegenseitig aus, wodurch die Gewichtskraft scheinbar abnimmt. Wasser Das Archimedische Prinzip gilt in allen Fluiden, d. h. in Flüssigkeiten und Gasen. Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb. Da die Dichte eines Schiffes geringer ist als die Dichte von Wasser (die Dichte des Wassers steigt mit zunehmender Tiefe), schwimmt es auf der Oberfläche. Ballone und Luftschiffe machen sich diese Eigenschaft zu Nutze, um fliegen zu können. Hierbei werden sie mit einem Gas gefüllt, dessen Dichte geringer ist, als die der umgebenden Luft. Diese Gase sind bei Luftschiffen und vielen Ballonen von Natur aus weniger dicht als Luft (z. B. Wasserstoff oder Helium); in Heißluftballons wird die Luftfüllung mit Hilfe von Gasbrennern erwärmt, wodurch ihre Dichte abnimmt.

Erklärung des Phänomens

Ursache für die Auftriebskraft ist der Druckunterschied zwischen der Ober- und der Unterseite eines eingetauchten Körpers. Die Kräfte, die auf die Seitenflächen einwirken, spielen keine Rolle, da sie sich gegenseitig stets aufheben. Das heißt, es wirkt auf die unteren Teile der Oberfläche eines eingetauchten Körpers eine größere Kraft als auf die oberen Teile der Oberfläche. Es herrscht folglich ein Druckunterschied. Da jedes physikalische System stets bestrebt ist, einen Druckausgleich zu erzielen, wird sich der Körper solange aufwärts bewegen, bis sich alle auf ihn einwirkenden Kräfte ausgleichen. Im rechtsoben stehenden Beispiel gehen wir davon aus, dass ein Würfel (folglich mit den Kantenlängen 20x20x20cm) 10cm tief in Wasser eingetaucht ist

Herleitung "klassisch"

1~ = 1~\frac Auf die untere Fläche A_ wirkt die Kraft F_ = 2943~\frac \cdot 004~^2 = \underline auf die obere Fläche A_ wirkt dagegen die Kraft F_ = 981~\frac \cdot 004~^2 = \underline. Die Differenz der beiden Kräfte beträgt 78,48 N. Also ist der Auftrieb dieses Körpers 78,48 Newton.

Herleitung nach Archimedes

Nach Archimedes gilt Folgendes: F_=F_. Bezogen auf das Beispiel können wir schreiben: \begin F_ &=& V_ \cdot \rho_\cdot g \\ \ &=& 8000~^3 \cdot 1 \frac\cdot981\cdot10^\frac \\ \ &=& 7848~\end Wir sehen, dass beide Methoden zum selben Ergebnis führen.

Steigen, Sinken, Schweben

Damit der Körper die in der Grafik beschriebene Position einnimmt, muss seine Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers (78,48 N) sein. Dann heben sich alle auf den Körper wirkenden Kräfte auf und dieser kommt zum Stillstand. Nach der Formel m=F_\cdot g^ muss der Körper 8000 g schwer sein. Des Weiteren hätte er nach \rho = \frac eine Dichte von 1. (Wasser hat ebenfalls eine Dichte von 1)
Wir können also folgende Regel formulieren:

- Wenn \rho_=\rho_ ist, dann schwebt der Körper.
- Wenn \rho_<\rho_ ist, dann steigt der Körper.
- Wenn \rho_>\rho_ ist, dann sinkt der Körper. Die Körper steigen oder sinken, bis der Gewichtskraft eine betragsmäßig gleich große Kraft entgegenwirkt. Dies kann beim Sinken eine sich ändernde Dichte des Fluids oder auch der Boden des Bechers bewirken. Ein Körper steigt oft solange, bis er die Oberfläche durchbricht. In diesem Fall gilt: V_ \cdot \rho_ = V_ \cdot \rho_.

Die Entdeckung des Archimedischen Prinzips

Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre, oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte. Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief Heureka (Ich habe es gefunden). Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen vollen Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren und somit bei gleichem Gewicht voluminöser war, musste sie aus einem leichteren Material, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein. Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert. Obwohl der Legende nach auf dieser Geschichte die Entdeckung des Archimedischen Prinzips beruht, würde der Versuch von Archimedes auch mit jeder anderen Flüssigkeit funktionieren. Das Interessanteste am Archimedischen Prinzip, nämlich die Entstehung des Auftriebs und damit die Berechnung der Dichte des Fluids, spielt in dieser Entdeckungsgeschichte gar keine Rolle.

Physikalische Herleitung

Wirkt auf eine Fläche \vec (mit Flächeninhalt |\vec| und Normalenvektor \vec/|\vec|) von einer Seite ein konstanter Druck p_A, so ist der nach unten (bzw. nach oben, bei negativem Vorzeichen) wirkende Kraftanteil F_A = - (\vec_z \cdot \vec) p_A wobei \vec_z ein nach unten zeigender Einheitsvektor ist. Das Archimedische Prinzip gilt nur genau dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist. Für Flüssigkeiten wie z. B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der in eine Flüssigkeit der Dichte \rho eintaucht. In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe A