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Hyperbel

Hyperbel

Die Hyperbel (griechisch υπερβολή, iperwolí - die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen) bezeichnet # in der Literatur eine Übertreibung, siehe Hyperbel (Sprache) # In der Mathematik eine gekrümmte Kurve, die sich aus dem Schnitt einer Ebene mit einem Kegel ergibt (Kegelschnitt), siehe Hyperbel (Mathematik)

Griechische Sprache

Griechisch (griechisch ελληνικά) ist eine indogermanische Sprache, die einen eigenen Zweig dieser Sprachfamilie darstellt. Eine nähere Verwandtschaft scheint nur zur antiken makedonischen Sprache bestanden zu haben. Griechisch wird von ca. 16 Millionen Menschen als Muttersprache gesprochen, von denen ca. 10,5 Millionen in Griechenland leben, wo es Amtssprache ist. Die anderen Muttersprachler sind auf 35 andere Staaten verteilt. Auf Zypern ist Griechisch ebenfalls Amtssprache, offiziell neben dem Türkischen. Außerdem ist in einigen südalbanischen und süditalienischen Gemeinden, in denen Angehörige der griechischen Minderheit leben, das Griechische als lokale Amts- und Schulsprache zugelassen. Siehe: Griko in Italien Eine Vielzahl von altgriechischen Wörtern werden darüber hinaus auch in diversen Fachsprachen verwendet und haben Eingang in viele moderne Sprachen gefunden. Die Sprachcodes nach ISO 639 für Neugriechisch (ab 1453) sind el bzw. ell oder gre und für Altgriechisch (bis 1453) grc.

Geschichte

1453 Die ältesten schriftlichen Zeugnisse der Sprache sind in Linearschrift B geschrieben. Sie begegnen ab dem 14. Jahrhundert v. Chr. - also in mykenischer Zeit - als sehr kurze Texte auf Transportamphoren, wo sie den Inhalt bezeichnen. Längere Texte auf zahlreichen Tontäfelchen, ebenfalls rein praktischer Natur, wurden in den Archiven einiger mykenischer Paläste gefunden. Sie stammen aus dem Beginn des 12. Jahrhundert v. Chr.. Nach Zerstörung der meisten bisher bekannten mykenischen Paläste im 12. Jh. ging die Linearschrift B und damit die Schriftlichkeit der ägäischen Welt nach herrschender Meinung verloren. Zumindest gibt es bisher keine Schriftfunde aus der Zeit der dunklen Jahrhunderte. Gegen Ende der dunklen Jahrhunderte, vermutlich um 800 v.Chr., übernehmen die Griechen das phönizische Schriftsystem, das sie im Grunde auch heute noch benutzen. Eines der bekanntesten frühen Beispiele der neuen alphabetischen Schrift zeigt der sog. Nestor-Becher. In klassischer Zeit ist eine Vielzahl von Dialekten feststellbar, zu den wichtigsten zählen das (noch heute in den Schulen als Altgriechisch gelehrte) Attische, das Ionische, das Dorisch-Nordwestgriechische, das Aeolische und das Arkadisch-Kyprische. Die am Anfang der schriftlichen Überlieferung stehenden homerischen Epen, die Ilias und die Odyssee, sind zum Beispiel in einer künstlerischen Sprachform verfasst, die Worte aus verschiedenen Dialekten benutzte, oft nach den Anforderungen des Metrums, im ganzen jedoch Ionisch mit äolischer Prägung ist. Die politische, wirtschaftliche und kulturelle Vormachtstellung Athens im 5. Jahrhundert v. Chr. machte den dort gesprochenen attischen Dialekt zur Grundlage einer überregionalen Gemeinsprache (Koiné, griechisch κοινή, die Gemeinsame oder Allgemeine), die durch die Eroberungen Alexanders des Großen im 4. Jahrhundert v. Chr. zur Weltsprache und lingua franca aufstieg. Auch im Römischen Reich blieb Griechisch neben Latein Amtssprache, dies auch aufgrund der kulturellen Abhängigkeit der Römer von den Griechen. In der Osthälfte des Reiches war Griechisch bereits seit dem Hellenismus die dominierende Sprache. Der Einfluss fremder Sprachen und der fortbestehenden Dialekte führte immer wieder, insbesondere im 2. Jahrhundert, zu Bemühungen um eine Reinigung der griechischen Sprache unter Rückgriff auf das klassische Attisch. Eine solche bereinigte Form des Altgriechischen wurde nach der Teilung des Römischen Reiches (395) zur Amts- und Literatursprache des oströmischen Reiches, das nach der Abschaffung der lateinischen Amtssprache um 630 endgültig vom römischen zum byzantinischen Reich wurde. Spätestens zu diesem Zeitpunkt versiegt die Produktion literarischer Werke auf Altgriechisch; die Sprache des byzantinischen Reiches weist da schon deutliche Unterschiede in Grammatik und Aussprache auf. Nach der arabischen Eroberung Syriens und Ägyptens blieb Griechisch dort zunächst noch für einige Jahrzehnte Amtssprache, bevor es diese Funktion ab etwa 700 an das Arabische verliert. Während der Besetzung Griechenlands durch das osmanische Reich war der Unterricht in griechischer Sprache offiziell verboten. Jedoch lebte sie im Alltag der Griechen (und vielfach von Priestern heimlich gelehrt) fort, veränderte sich aber aufgrund geringer Schriftkenntnis und mangelnder Gelehrsamkeit relativ stark. Nach der modernen Staatsgründung wurde die so genannte Katharévousa (griechisch καθαρεύουσα, Reinsprache; die Grundlagen wurden von Korais geschaffen) offizielle Unterrichts- und Amtssprache, eine „künstlich“ geschaffene Standardsprache, die den Wortschatz der am klassischen Attisch orientierten Koiné abermals künstlich konservierte, jedoch innerhalb weitgehend neugriechisch geprägter Aussprache- und Grammatikstrukturen. Erst 1976 wurde die Volkssprache (Dimotikí, griechisch δημοτική) endgültig zur Sprache der staatlichen Verwaltung und der Wissenschaft; allerdings sind viele Katharévousa-Worte im Laufe der Zeit wieder in die Dimotikí zurück übernommen worden. Im Verlauf der Jahrtausende hat sich die griechische Sprache vielfach in der Aussprache geändert, die Orthographie blieb jedoch dank vielerlei Bemühungen um eine Reinhaltung der Sprache weitgehend konstant. Die in hellenistischer Zeit in die griechische Schriftsprache eingeführten Akzente und Symbole für Hauchlaute wurden noch bis vor kurzem verwendet. Durch Erlass Nr. 297 des griechischen Präsidenten vom 29. April 1982 wurden der Akzent Gravis, der Akzent Zirkumflex sowie die Hauchzeichen Spiritus asper und Spiritus lenis abgeschafft. Es gibt seitdem in der griechischen Schriftsprache nur noch den Akzent Akut, der die betonte Silbe anzeigt. Die griechische Sprache und Schrift hatte auf die Entwicklung Europas immensen Einfluss: Sowohl das lateinische als auch das kyrillische Alphabet wurde auf der Basis des griechischen Alphabets entwickelt. Die Rückbesinnung auf das im Westen fast vergessene Griechisch, ausgelöst unter anderem durch die Flucht vieler Byzantiner in den Westen nach dem Fall Konstantinopels 1453, war eine der Hauptquellen der Renaissance und des Humanismus (siehe hierzu auch: Philhellenismus). Noch heute werden wissenschaftliche Fachbegriffe gerne unter Rückgriff auf griechische (und lateinische) Wörter geprägt. Das Neue Testament wurde ursprünglich in hellenistischem Griechisch geschrieben und das erste Mal von Erasmus von Rotterdam gedruckt.

Grammatik

Altgriechisch

Die ersten Grammatiken des Abendlandes wurden zu hellenistischer Zeit in der philologischen Schule von Alexandria abgefasst. Aristarch von Samotrake schrieb eine tékhne grammatiké des Griechischen. Die vermutlich erste autonome grammatische Schrift ist die tékhne grammatiké des Dionysios Thrax (2. Jh. v.Ch.), welche die Phonologie und Morphologie einschließlich der Wortarten umfasst. Die Syntax ist Gegenstand eines sehr systematischen Werks des zweiten bedeutenden griechischen Grammatikers, des Apollonios Dyskolos (2. Jh. n.Ch.). Angeblich im Jahre 169/8 "importierten" die Römer die griechische Grammatik und adaptierten sie. Die Grammatik des Altgriechischen ist auf den ersten Blick recht ähnlich zum Lateinischen, was Partizipialkonstruktionen und sonstige grammatische Phänomene (AcI etc.) anbelangt, so dass Lateinkenntnisse beim Erlernen des Altgriechischen sehr hilfreich sind – und umgekehrt. Gutes Verständnis der deutschen Grammatik hilft allerdings auch; in vielen Fällen ist das Altgriechische dem Deutschen strukturell ähnlicher als dem Lateinischen, beispielsweise sind die bestimmten Artikel im Griechischen vorhanden, während sie im Lateinischen fehlen. Es gibt auch Fälle, in denen die Ähnlichkeit mit dem Lateinischen eher oberflächlicher Art ist und mehr Verwirrung stiftet als hilft – beispielsweise werden die Zeitformen der Verben im Griechischen oft anders verwendet als im Lateinischen. Im Westen und auch in diesem Artikel werden gewöhnlich lateinische Begriffe (wie Substantiv, Dativ, Aktiv, Person … ) zur Bezeichnung von altgriechischen grammatischen und semantischen Kategorien verwendet, die direkte Übersetzungen der griechischen Definitionen darstellen. In Griechenland werden dagegen bis heute die griechischen Originalbegriffe aus der tékhne grammatiké des Dionysios Thrax verwendet.

Nominale Wörter

Hierzu zählen die Wortarten Substantiv, Adjektiv und Pronomen, die alle dekliniert werden. Auch Partizipien, Verbaladjektive und Infinitive werden dekliniert, sie gelten aber als Zwischenformen (sogenannte Nominalformen des Verbs). Hinsichtlich der Deklination ist folgendes zu benennen:
Numeri

- Singular
- Plural
- Dual (als Schwundform)
Genera

- (allgemeine) Regeln:
  - Maskulinum: bei Bezeichnungen für männliche Wesen, Winde, Flüsse und Monate
  - Femininum: bei Bezeichnungen für weibliche Wesen, Länder, Inseln und Städte
  - Neutrum: dient unter anderem zur Verkleinerung oder Verächtlichmachung von Wörtern männlichen und weiblichen Geschlechts.
- Für den sonstigen Gebrauch lassen sich keine eindeutigen Regeln aufstellen.
- Besonderheit des Neutrums: Bei Neutrum-Subjekten steht das Verb, auch wenn das Subjekt im Plural steht, in der 3. Person Singular. Diese Besonderheit besteht deswegen, weil das Griechische im Fall des Neutrums einen echten Plural nicht gebildet hat. Der Plural des Neutrums ist eigentlich ein aus dem Indogermanischen ererbter "kollektiver Singular", d.h. ein Sammelbegriff, der formal ein Singular ist, von der Funktion her aber einem Plural entspricht (wie im Deutschen: der Busch, das Gebüsch). Ferner haben im Neutrum – wie in allen indogermanischen Sprachen – Akkusativ und Nominativ identische Formen. Im Griechischen tritt noch die Form des Vokativs den beiden anderen Kasus als identisch hinzu.
Kasussystem
Von den acht Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen fünf erhalten: Nominativ, Akkusativ, Genitiv, Dativ und Vokativ. Die Funktionen der nicht erhaltenen Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen auf den Dativ und den Genitiv verteilt. Die Aufteilung ähnelt der der deutschen Sprache. Grundfunktionen der Kasus:
- Akkusativ
  - echter Akkusativ (direktes Objekt)
  - adverbial: Lativ (Richtung, Ausdehnung, Dauer)
- Genitiv
  - echter Genitiv (Bereich)
  - Separativ (Herkunft)
- Dativ
  - echter Dativ (indirektes Objekt)
  - Soziativ (Gemeinschaft)
  - Instrumental (Mittel)
  - Lokativ (Ort, Zeit)

Verben

Tempussystem
Es gibt im Altgriechischen vier Tempusstämme: Präsensstamm, Aoriststamm, Perfektstamm, Futurstamm; wovon die ersten drei ein System bilden. Das Altgriechische besitzt aber kein ausgebildetes Tempussystem. Die Tempusstämme drücken Aspekte aus; – die subjektive Betrachtungsweise, das heißt die Art, wie der Sprechende den Verbalinhalt auffasst. Deswegen ist der Begriff Tempusstamm genaugenommen nicht richtig; besser zu sagen wäre Aspektstamm. Der Aspekt des Präsensstamms ist durativ (linear, iterativ oder konativ). Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt der Verlauf oder das Andauern einer Handlung ausgedrückt. Beispiele:
- νοσειν = (krank sein = ) krank darniederliegen
- (απο)θνησκειν = sterben ( = im Sterben liegen) Der Aspekt des Aoriststamms ist punktuell. Das bedeutet, es wird der bloße Vollzug einer Handlung vermeldet. (Die Bezeichnung punktuell wird benutzt, um den Gegensatz zum linearen Präsensstamm auszudrücken. Der Aoriststamm ist die Normalform und benennt eine Handlung oder ein Ereignis, ohne ausdrücken zu wollen, ob diese Handlung in Wirklichkeit punktuell oder linear war/ist.) Bei diesem Aspekt wird in der Sprachpraxis gern ein bestimmter Punkt des Verbalbegriffs ins Auge gefasst, nämlich der Abschluss (effektiv) oder der Beginn (ingressiv) einer Handlung. Beispiele:
- ingressiv: νοσησαι = krank werden oder erkranken
- effektiv: (απο)θανειν = sterben (als Moment des Dahinscheidens) Der Aspekt des Perfektstamms ist resultativ. Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt ein (erreichter) Zustand oder einfach ohne jede nähere Bestimmung die Qualität einer Sache ausgedrückt. Beispiele:
- τεθνηκεναι (τεθναναι) = (gestorben und nun) tot sein
- πεποιθεναι = vertrauen Mit der Handhabung dieser drei Aspekte stellt der Griechischsprechende aber die zeitlichen Bezüge her, die von den Aspekten selbst nicht ausgedrückt werden. Die Aspekte gelten nun generell, während es eine direkt zeitliche Bedeutung nur im Indikativ gibt (bis auf das Futur. siehe unten). Die Vergangenheit wird mit Hilfe der Nebentempora, die nur im Indikativ auftauchen, gebildet. Das sind im Präsensstamm das Imperfekt, im Perfektstamm das Plusquamperfekt und im Aoriststamm der Aorist. (Der Aoriststamm ist der älteste Tempusstamm und hat ein Haupttempus im Indikativ nie ausgebildet.) Der vierte Tempusstamm des Altgriechischen, der Futurstamm, ist eine jüngere Entwicklung und hat in der Tat in allen Modi zeitliche Bedeutung. Übersicht über die Tempusformen im Indikativ:
Modussystem
Es gibt im Altgriechischen vier Modi: Indikativ, Optativ, Konjunktiv, Imperativ. Die Funktionen, die diese Formen syntaktisch erfüllen, sind sehr vielfältig. Hier kann nur eine grundsätzliche Bestimmung ihrer Bedeutung vorgenommen werden. Der Modus bringt die geistige Einstellung des Sprechenden gegenüber dem Verbalinhalt zu Ausdruck. Mit dem Indikativ drückt der Sprecher aus, dass ihm ein Vorgang oder Zustand als wirklich (real) erscheint. In den anderen Modi drückt der Sprecher aus, dass ihm der Vorgang oder Zustand nur als vorgestellt gilt. Der Imperativ drückt einen Befehl aus. Der Konjunktiv drückt einen Willen (Voluntativ) oder eine Erwartung (Prospektiv) aus. (Er hat also leicht futurische Bedeutung, was umgekehrt für das Futur in Bezug auf den Konjunktiv auch gilt). Der Optativ drückt einen Wunsch (Kupitiv) oder eine Möglichkeit (Potentialis) aus.
Genera Verbi (eigentlich und für das Griechische besser: Diathese)
Von den drei Genera Verbi sind zwei (Aktiv und Medium) aus dem Indogermanischen geerbt. Das Passiv ist eine jüngere Entwicklung. Das Aktiv drückt einfach eine Tätigkeit aus. Das Medium drückt aus, dass das Subjekt an der Handlung beteiligt ist, oder an ihr interessiert ist, dass also eine nähere Beziehung zwischen Subjekt und Handlung besteht (transitives Medium). Ferner kann es ausdrücken, dass das Subjekt von seiner eigenen Handlung betroffen ist (intransitives Medium). Der Begriff Medium soll in etwa ausdrücken, dass diese Form zwischen Aktiv und Passiv stehe. Das ist jedoch weder sprachgeschichtlich, noch morphologisch richtig. Das Passiv ist im Griechischen der Grenzfall des Mediums, denn: Das Passiv drückt die Wirkung einer Handlung auf das Subjekt aus, die nicht von ihm ausgeht. Insofern die Handlung nur noch auf das Subjekt wirkt, ohne von ihm auszugehen, bildet es den Grenzfall des Mediums. (Außerhalb des Futur- und Aoriststamms hat das Passiv keine eigenständige Form. Formal übernimmt dort das Medium neben der eigenen Funktion auch die des Passivs, was nur aus dem syntaktischen Zusammenhang, oder bei genauer Kenntnis der Beschaffenheit des entsprechenden Verbums zu unterscheiden ist.) Beispiele: Aktiv: er löst (etwas) transitives Medium: er löst (etwas) für sich intransitives Medium: er löst sich, er lässt sich lösen Passiv: er wird gelöst (von jdm.)
Numeri

- Singular
- Plural
- Dual (als Schwundform)
Personen
Erste Person (ich / wir), zweite Person (du / ihr), dritte Person (er, sie, es, Substantiv im Singular / sie, Substantiv im Plural). Die Personalpronomen des Nominativ werden wie in vielen anderen indogermanischen Sprachen meist ausgelassen, wenn sie nicht besonders betont werden sollen. Es muss also nicht zwangsläufig ein das Subjekt ausdrücklich nennendes Bezugswort (Pronomen oder Substantiv) beim Verb stehen – die Endung reicht aus, um die Person und damit das Subjekt zu identifizieren.

Neugriechisch (Dimotiki)

Die neugriechische Sprache hat einen Großteil der altgriechischen Grammatik vereinfacht, ist aber immer noch eine stark flektierende Sprache. Sie ist eine der wenigen indogermanischen Sprachen, die eine synthetische (also nicht mit Hilfsverben konstruierte) Diathese behalten hat. Der Dativ ist bis auf wenige Formen wie εν τάξει (en táxei //) ("in Ordnung") verloren gegangen und wird meist durch die Konstruktion eis (eigentl. in... hinein) + Akkusativ ersetzt. Andere wichtige Änderungen der Grammatik sind der Verlust des Optativs (wird durch den Konjunktiv ersetzt), des Infinitivs (wird durch Nebensätze ersetzt "Ich will kaufen" -> "Ich will, dass ich kaufe") und des Duals (wird durch den Plural ersetzt), die Verkleinerung der Anzahl von Deklinationen und der verschiedenen Formen in jeder Deklinaton, der neue Modalpartikel θα (aus θέλω να ("ich will, dass...") > θε' να > θα) für das Futur und Konditional, die Einführung von Hilfsverben, die Reduzierung der Partizipien auf zwei, ein aktives und ein passives, die Erweiterung des Futurs auf die Aspektunterscheidung zwischen Präsens/Imperfekt und Aorist, der Verlust der dritten Person Imperativ, außer in Archaismen wie ζήτω! ('Lang lebe!'); neue Pronomen für die 2. Person Plural, da die alten wegen der Lautveränderung akustisch nicht mehr von denen der 1. Person Plural zu unterscheiden waren; und der Vereinfachung des Systems der Präfixe, wie bei der Augmentation und Reduplikation. Das Phonemsystem der neugriechischen Sprache: Vokale geschlossen halbgeschlossen offen Alle Vokale werden kurz ausgesprochen. laut IPA Konsonanten p t k b d g v δ z γ f θ s χ m n l r

Siehe auch


- Griechisches Alphabet
- Liste griechischer Präfixe
- Liste griechischer Suffixe
- griechische Präpositionen
- Liste griechischer Magischer Quadrate
- Namenforschung
- Griechische Zahlen
- griechische Zahlwörter
- Griechische Phrasen und Redewendungen

Literatur


- Geschichte:
  - Francisco R. Adrados: Geschichte der griechischen Sprache von den Anfängen bis heute. Tübingen/Basel 2002
  - Hans Eideneier: Von Rhapsodie zu Rap. Aspekte der griechischen Sprachgeschichte von Homer bis heute. Tübingen 1999
- etymologische Wörterbücher (altgriechisch):
  - Pierre Chantraine: Dictionnaire étymologique de la langue grecque : histoire des mots. 4 Bände. Paris 1968-80 (Neuauflage 1999)
  - Hjalmar Frisk: Griechisches etymologisches Wörterbuch. 3 Bände. Heidelberg 1973
  - Alois Vanicek: Griechisch-lateinisches etymologisches Wörterbuch. Leipzig 1877 (Nachdruck 1972)
- Wörterbücher (altgriechisch):
  - Wilhelm Gemoll: Griechisch–Deutsches Schul- und Handwörterbuch bei Oldenburg Schulbuchverlag. ISBN 3-486-13401-9
  - Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache in 4 Bänden. Braunschweig 1842 ff. (3. Aufl. 1880; Nachdruck 1954)
- Grammatiken (altgriechisch):
  - Eduard Bornemann (u. Mitw. v. Ernst Risch): Griechische Grammatik. Frankfurt a.M. 1978
  - Adolf Kaegi: Kurzgefasste griechische Schulgrammatik. Berlin 1884 (seither ständig nachgedruckt), ISBN 3-615-70100-3
- Historische Grammatik:
  - Helmut Rix: Historische Grammatik des Griechischen. Laut- und Formlehre. Darmstadt 1992

Weblinks


- [http://www.geocities.com/kurogr/ Wörterbuch Mykenisches Griechisch - klassisches Altgriechisch - Englisch (PDF)]
- [http://www.fh-augsburg.de/~harsch/graeca/Auctores/g_alpha.html griechische Texte in der Bibliotheca Augustana]
- [http://info.uibk.ac.at/c/c6/c604/pdf/Hajnal/Griech.Dial.pdf Die Vorgeschichte der griechischen Dialekte] - Ein Aufsatz über Entstehen und Geschichte der altgriechischen Dialekte.
- [http://kypros.org/LearnGreek/ Online-Kurs vom zypriotischen Rundfunk CyBC, 105 Lektionen à 30 Min., engl., Real Audio]
- [http://www.kreienbuehl.ch/lat/ Latein und Altgriechisch Site]
- [http://www.chairete.de/ Materialen zum Altgriechischen, Autoren]
- [http://www.altesprachen.de/heureka/heureka.htm Altesprachen.de]
- [http://www.geocities.com/Athens/Agora/6594/inhalt.html Altgriechisch] (Ziemlich umfangreicher Einstiegskurs)
- [http://www.combib.de/infoseiten/griechisch/griechisch.html Aussprachehilfe zum neutestamentlichen Griechisch] (Deutsche Schulaussprache, nicht Originalaussprache!)
- [http://www.gottwein.de/grueb/gr000.htm Altgriechischer Online-Sprachkurs]
- [http://www.gottwein.de/ Navicula Bacchi] (exzellente Seite rund um die Klassische Philologie mit sehr vielen Unterrichtsmaterialien)
- [http://www.archiv-vegelahn.de/nachschlagwerke_griechisch.html Bibliographie - Griechisch]
- Kategorie:Indogermanisch Kategorie:Einzelsprache als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Kegelschnitt

In der Mathematik versteht man unter einem Kegelschnitt eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines unendlichen Kegels bzw. Doppelkegels mit einer Ebene schneidet. Häufig wird auch der englische Begriff Conic (cone-plane intersection) verwendet.

Klassifikation der Kegelschnitte

Ebene Es können folgende Figuren entstehen:
- ein Punkt, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene größer als der Öffnungswinkel ist
- eine Gerade, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene gleich dem Öffnungswinkel ist
- zwei sich schneidende Geraden, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene kleiner als der Öffnungswinkel ist
- ein Kreis, wenn die Schnittebene senkrecht (orthogonal) auf der Kegelachse steht
- eine Ellipse, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene größer als der Öffnungswinkel ist
- eine Parabel, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene gleich dem Öffnungswinkel ist
- eine Hyperbel, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene kleiner als der Öffnungswinkel ist

Die allgemeine Kegelschnittgleichung

Im ebenen kartesischen Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Gleichung (mit den Variablen x und y) immer ein Kegelschnitt. Umgekehrt können alle Kegelschnitte durch solche Gleichungen beschrieben werden. Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet also :a x^2 + 2 b x y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f \, = \, 0, wobei der Faktor 2 bei den Koeffizienten b, d und e aus Gründen der Zweckmäßigkeit verwendet wird. Der Typ des Kegelschnitts ergibt sich aus den im Folgenden definierten Determinanten \Delta und \delta sowie der Summe S: :\Delta \, = \, \begin a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end; \qquad \delta \, = \, \begin a & b \\ b & c \end = ac-b^2; \qquad S \, = \, a + c
- Für \delta > 0 und \Delta \cdot S < 0 handelt es sich um eine Ellipse. Gilt zusätzlich a = c und b = 0, so ist diese Ellipse sogar ein Kreis.
- Gelten die Bedingungen \delta < 0 und \Delta \ne 0, so ergibt sich eine Hyperbel, die im speziellen Fall a + c = 0 gleichseitig (rechtwinklig) ist.
- Unter den Voraussetzungen \delta = 0 und \Delta \ne 0 beschreibt die Gleichung eine Parabel. Soweit es sich um eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel handelt, bedeutet die Bedingung b = 0, dass die Achsen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Im allgemeinen Fall lässt sich der Drehwinkel gegenüber der achsenparallelen Lage durch :\tan (2 \alpha) \, = \, \frac berechnen. Folgerungen aus der allgemeinen Kegelschnittsgleichung:
- Ein Kegelschnitt ist durch fünf Punkte eindeutig festgelegt.
- Zwei verschiedene Kegelschnitte schneiden einander höchstens in vier Punkten. Besonders elegant wird die Kegelschnittgleichung unter Verwendung homogener Koordinaten: Alle Punkte X , die auf dem Kegelschnitt mit der Matrix C liegen, erfüllen die homogene Kegelschnitt-Gleichung: : X^T C X = 0 , \qquad C = \begin a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end, \qquad X = \begin x \\ y \\ w \end Die Matrix C definiert hierbei den Kegelschnitt vollständig und wird daher oft selbst auch als Conic bezeichnet. Für alle X, die die obige Gleichung nicht erfüllen, gibt das Vorzeichen des Ergebnisses darüber Aufschluß, ob der Punkt innerhalb/außerhalb (bzw. auf welcher Seite) des Conics liegt. Wie viele andere Objekte der projektiven Geometrie auch, ändert eine Skalierung der Matrix nichts an den Objekteigenschaften, die Multiplikation mit einem negativen Wert ändert allerdings die Interpretation von innen und außen. Die oben beschriebenen Kegelschnitte sind sogenannte Punkt-Conics, d.h. alle Punkte, die auf der Kurve liegen, erfüllen die Gleichung. Invertiert man nun die Matrix C, gelangt man zum Dualen Conic (oder Linien-Conic) : D \ = \ C^ Alle Geraden G (in homogener Darstellung), die Tangenten an den Punkt-Conic sind, erfüllen die Gleichung : G^T \ D \ G = 0 Die Conic-Matrix ist eine implizite Form der Kurve oder der Menge von Tangenten. Man kann sehr leicht prüfen, ob ein Punkt X auf dem Kegelschnitt liegt oder nicht, aber die Form liefert keine Parametrisierung zum "Entlanglaufen". Das bedeutet, dass, gegeben die Matrix, es nicht direkt möglich ist, einen Punkt zu finden, der auf dem Objekt liegt, dafür muss man den Kegelschnitt in eine explizite Form überführen.

Anwendungen und Beispiele

Eine Anwendung finden die Kegelschnitte in der Astronomie, da die Bahnen der Himmelskörper genäherte Kegelschnitte sind. Auch in der Optik werden sie verwendet - als Rotationsellipsoid für Autoscheinwerfer, als Paraboloid oder Hyperboloid für Spiegelteleskope usw.

Geschichtliches

Der griechische Mathematiker Menaichmos untersuchte an Platons Akademie die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells. Er fand dabei heraus, dass sich das delische Problem auf die Bestimmung des Schnittpunkts zweier Kegelschnitte zurückführen lässt. Euklid schrieb vier Bücher über Kegelschnitte, die uns aber nicht erhalten sind. Die gesamten Kenntnisse der antiken Mathematiker über die Kegelschnitte fasste Apollonios von Perge in seinem achtbändigen Werk "Konika" zusammen. Die Beschreibung von Kegelschnitten durch Koordinatengleichungen wurde von Fermat und Descartes eingeführt.

Siehe auch

Korbbogen, Kurve, Himmelsmechanik, Zweikörperproblem, projektive Geometrie.

Weblinks


- http://www.unet.univie.ac.at/~a9907818/kegelsch.htm
- [http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/kegelnam.htm Graphische Darstellung der Kegelschnitte und Namensgebung] Kategorie:Geometrie ja:円錐曲線

Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel (griechisch υπερβολή, iperbolí - die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen) eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Die Hyperbel gehört wie die Parabel und die Ellipse zu den Kegelschnitten.

Definitionen und Begriffe

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene, für die die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten F1 und F2, konstant gleich 2a ist. (Dadurch, dass man die gegebene Abstandsdifferenz mit 2a und nicht mit a bezeichnet, vereinfachen sich die Formeln zur Hyperbel ein wenig.) : hyp = \ bild:Hyperbel_Ortskurve.PNG Den halben Abstand der Brennpunkte bezeichnet man üblicherweise mit e. Die Gerade, die durch die beiden Brennpunkte geht, nennt man reelle Achse oder auch Hauptachse der Hyperbel. Genau zwei Punkte der Hyperbel liegen auf der Hauptachse; diese nennt man Scheitel. Die Scheitel haben zu den Brennpunkten die Abstände e+a bzw. e-a und voneinander den Abstand 2a. (Mit "Hauptachse" im engeren Sinn wird auch oft nur die Strecke bezeichnet, die die beiden Scheitel verbindet.) Die Senkrechte zur Hauptachse durch den Hyperbelmittelpunkt nennt man die Nebenachse oder die imaginäre Achse. Es erweist sich als praktisch, für die Größe \sqrt einen eigenen Namen einzuführen; üblicherweise bezeichnet man sie mit dem Buchstaben b (imaginäre Halbachse). Es gilt also a2 + b2 = e2. (Vergleiche dazu Ellipse.) Stimmen bei einer Hyperbel die Größen der Halbachsen (a und b) überein, so spricht man von einer gleichseitigen Hyperbel. Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die numerische Exzentrizität \varepsilon verwendet, ein dimensionsloser Wert, der sich aus :\varepsilon = \frac = \frac ergibt und stets größer als 1 ist. Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Hyperbel. p lässt sich berechnen durch: :p = \frac

Die Hyperbel als Kegelschnitt

Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse kleiner als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist.

Eigenschaften

Jede Hyperbel besitzt zwei Asymptoten, also zwei Geraden, denen sich die Punkte der Kurve beliebig annähern. Die beiden Asymptoten verlaufen durch den Mittelpunkt der Hyperbel. Ihr Schnittwinkel gegenüber der Hauptachse ist gegeben durch \tan\alpha = \frac. Ist die Hyperbel gleichseitig, so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander. Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand d = \frac. Für einen beliebigen Punkt X der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Direktrix gleich der numerischen Exzentrität: :\mathrm Asymptote Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Direktrix) sowie eine reelle Zahl \varepsilon mit \varepsilon > 1 vorgeben und eine Hyperbel definieren als Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich \varepsilon ist.

Gleichung der Hyperbel

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in "1.Hauptlage" liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1.Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten (e, 0) und (-e, 0), und die Scheitel haben die Koordinaten (a, 0) und (-a, 0). Für einen beliebigen Punkt (x,y) ist der Abstand zum Brennpunkt (e,0) gleich \sqrt, zum anderen Brennpunkt \sqrt. Der Punkt (x,y) liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich 2a oder gleich -2a ist. Durch algebraische Umformungen (unter Berücksichtigung von a2 + b2 = e2) kann man zeigen, dass die Gleichung :\sqrt - \sqrt = \pm 2a zur Gleichung :\frac-\frac = 1 äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1.Hauptlage. Daraus ergibt sich, dass jede Hyperbel nach einer geeigneten Koordinatentransformation durch :t \mapsto (a \cosh t, b \sinh t) parametrisiert werden kann. (Siehe auch cosh, sinh, Kreis-_und_Hyperbelfunktionen.)

Andere Lage

Eine besonders einfach visualisierbare Hyperbel wird durch die Funktion y = 1/x beschrieben (siehe Abbildung). Für diese Hyperbel ist a= b = \sqrt, und ihre Brennpunkte liegen bei (\sqrt, \sqrt) und (-\sqrt, -\sqrt). Auch andere Funktionen, wie z.B. y=\frac, stellen Hyperbeln dar.

Formelsammlung

Hyperbelgleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\frac - \frac = 1 Mittelpunkt (x_0,y_0), Hauptachse parallel zur x-Achse: :\frac - \frac = 1

Hyperbelgleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\left\

-972

11. Joerhonnert v. Chr. | 10. Joerhonnert v. Chr. | 9. Joerhonnert v. Chr. -977 | -976 | -975 | -974 | -973 | -972 | -971 | -970 | -969 | -968 | -967
---- Dës Säit befaasst sech mam Joer 972 v. Chr.

Evenementer

Konscht & Kultur

Wëssenschaft & Technik

Gebuer

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Category:Joer (10. Jh. v. Chr.)

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Gijzelingspoging Juliana
In het voorjaar van 1975 beraamden Zuid-Molukkers een gijzeling van koningin Juliana. Op 3 maart van dat jaar werden twee Zuid-Molukse jongeren door de politie aangehouden in de buurt van Lunteren terwijl ze reden in een auto met wapens en munitie. Ze waren van plan om met een gehuurde vrachtauto de poort van Paleis Soestdijk te rammen en daarna met 37 andere
Diploma
Een diploma is een bewijs van afsluiting van een opleiding of een bewijs van het beheersen van leerstof en/of praktische ervaring. Het diploma wordt meestal behaald door middel van een examen. Dit kan, afhankelijk van het diploma, een praktijk- of theorie-examen zijn, of zelfs een combinatie van deze twee.
Meestal wordt er van een diploma gesproken wanneer iemand een opleiding heeft afgerond zoals de vmbo, havo, kip (vogel), vogel die behoort tot de hoenderachtigen
- kip (munteenheid), munteenheid van Laos
- kippen (techniek), een techniek om de balk van een ligger zijdelings uit te buigen.
- Kip caravans, Nederlandse fabrikant van caravans Daarnaast maakt
Beb Vuyk
Beb (Elisabeth) Vuyk (11 februari 1905, Rotterdam - 24 augustus 1991, Blaricum) was een Nederlands schrijfster van Indonesische komaf.

Prijzen


- 1942 - Franse kaas die gemaakt wordt van de melk van geiten die gehouden worden op de Causses du Quercy, een gebied dat grotendeels in het departement Lot valt, plus een enkele gemeente in de aangrenzende departementen Aveyron, Dordogne, Corrèze en 1951 ingesteld door S. Goudeket, weduwnaar van Marianne Philips (1886-1951). De prijs werd voor het laatst toegekend in 1975.

Gelauwerden


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Lucy B. en C.W. van der Hoogt-prijs
De jaarlijkse Lucy B. en C.W. van der Hoogt prijs is ingesteld door de Maatschappij der Nederlandse Letterkunde. De Maatschappij werd daartoe in staat gesteld door een schenking van het echtpaar Van der Hoogt. Van 1925 tot 1939 heette deze prijs de C.W. van der Hoogtprijs en was een voortzetting van de Haagsche Postprijs, die ingesteld werd in 1921 na een schenking van het
C.W. van der Hoogtprijs
De jaarlijkse Lucy B. en C.W. van der Hoogt prijs is ingesteld door de Maatschappij der Nederlandse Letterkunde. De Maatschappij werd daartoe in staat gesteld door een schenking van het echtpaar Van der Hoogt. Van 1925 tot 1939 heette deze prijs de C.W. van der Hoogtprijs en was een voortzetting van de Haagsche Postprijs, die ingesteld werd in 1921 na een schenking van het
C.W. van der Hoogt-prijs
De jaarlijkse Lucy B. en C.W. van der Hoogt prijs is ingesteld door de Maatschappij der Nederlandse Letterkunde. De Maatschappij werd daartoe in staat gesteld door een schenking van het echtpaar Van der Hoogt. Van 1925 tot 1939 heette deze prijs de C.W. van der Hoogtprijs en was een voortzetting van de Haagsche Postprijs, die ingesteld werd in 1921 na een schenking van het
Haagsche Postprijs
De jaarlijkse Lucy B. en C.W. van der Hoogt prijs is ingesteld door de Maatschappij der Nederlandse Letterkunde. De Maatschappij werd daartoe in staat gesteld door een schenking van het echtpaar Van der Hoogt. Van 1925 tot 1939 heette deze prijs de C.W. van der Hoogtprijs en was een voortzetting van de Haagsche Postprijs, die ingesteld werd in 1921 na een schenking van het
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