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Hyperbel (Mathematik)

Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel (griechisch υπερβολή, iperbolí - die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen) eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Die Hyperbel gehört wie die Parabel und die Ellipse zu den Kegelschnitten.

Definitionen und Begriffe

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene, für die die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten F₁ und F₂, konstant gleich 2a ist. (Dadurch, dass man die gegebene Abstandsdifferenz mit 2a und nicht mit a bezeichnet, vereinfachen sich die Formeln zur Hyperbel ein wenig.) :

hyp = \

bild:Hyperbel_Ortskurve.PNG Den halben Abstand der Brennpunkte bezeichnet man üblicherweise mit e. Die Gerade, die durch die beiden Brennpunkte geht, nennt man reelle Achse oder auch Hauptachse der Hyperbel. Genau zwei Punkte der Hyperbel liegen auf der Hauptachse; diese nennt man Scheitel. Die Scheitel haben zu den Brennpunkten die Abstände e+a bzw. e-a und voneinander den Abstand 2a. (Mit "Hauptachse" im engeren Sinn wird auch oft nur die Strecke bezeichnet, die die beiden Scheitel verbindet.) Die Senkrechte zur Hauptachse durch den Hyperbelmittelpunkt nennt man die Nebenachse oder die imaginäre Achse. Es erweist sich als praktisch, für die Größe

\sqrt

einen eigenen Namen einzuführen; üblicherweise bezeichnet man sie mit dem Buchstaben b (imaginäre Halbachse). Es gilt also a² + b² = e². (Vergleiche dazu Ellipse.) Stimmen bei einer Hyperbel die Größen der Halbachsen (a und b) überein, so spricht man von einer gleichseitigen Hyperbel. Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die numerische Exzentrizität

\varepsilon

verwendet, ein dimensionsloser Wert, der sich aus :

\varepsilon = \frac = \frac

ergibt und stets größer als 1 ist. Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Hyperbel. p lässt sich berechnen durch: :

p = \frac

Die Hyperbel als Kegelschnitt

Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse kleiner als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist.

Eigenschaften

Jede Hyperbel besitzt zwei Asymptoten, also zwei Geraden, denen sich die Punkte der Kurve beliebig annähern. Die beiden Asymptoten verlaufen durch den Mittelpunkt der Hyperbel. Ihr Schnittwinkel gegenüber der Hauptachse ist gegeben durch

\tan\alpha = \frac

. Ist die Hyperbel gleichseitig, so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander. Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand

d = \frac

. Für einen beliebigen Punkt X der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Direktrix gleich der numerischen Exzentrität: :

\mathrm

Asymptote Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Direktrix) sowie eine reelle Zahl

\varepsilon

mit

\varepsilon > 1

vorgeben und eine Hyperbel definieren als Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich

\varepsilon

ist.

Gleichung der Hyperbel

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in "1.Hauptlage" liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1.Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten (e, 0) und (-e, 0), und die Scheitel haben die Koordinaten (a, 0) und (-a, 0). Für einen beliebigen Punkt (x,y) ist der Abstand zum Brennpunkt (e,0) gleich

\sqrt

, zum anderen Brennpunkt

\sqrt

. Der Punkt (x,y) liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich 2a oder gleich -2a ist. Durch algebraische Umformungen (unter Berücksichtigung von a² + b² = e²) kann man zeigen, dass die Gleichung :

\sqrt - \sqrt  = \pm 2a

zur Gleichung :

\frac-\frac = 1

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1.Hauptlage. Daraus ergibt sich, dass jede Hyperbel nach einer geeigneten Koordinatentransformation durch :

t \mapsto (a \cosh t, b \sinh t)

parametrisiert werden kann. (Siehe auch cosh, sinh, Kreis-_und_Hyperbelfunktionen.)

Andere Lage

Eine besonders einfach visualisierbare Hyperbel wird durch die Funktion y = 1/x beschrieben (siehe Abbildung). Für diese Hyperbel ist a= b =

\sqrt

, und ihre Brennpunkte liegen bei

(\sqrt, \sqrt)

und

(-\sqrt, -\sqrt)

Graph der Hyperbel-Funktion 1/x
y = 1 / x

Auch andere Funktionen, wie z.B.

y=\frac

, stellen Hyperbeln dar.

Formelsammlung

Hyperbelgleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :

\frac - \frac = 1

Mittelpunkt

(x_0,y_0)

, Hauptachse parallel zur x-Achse: :

\frac - \frac = 1

Hyperbelgleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :

\left\

Planimetrie

Unter dem Begriff Planimetrie versteht man allgemein die Geometrie in der Ebene. Im Speziellen versteht man darunter die Messung von Flächen in der Ebene. Einfache Flächen wie die eines Kreises oder eines Rechtecks in der Ebene können aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Unregelmäßige Flächen, wie z. B. die Fläche eines Ahornblattes, müssen mit planimetrischen Methoden abgeschätzt oder mit dem Planimeter ausgemessen werden.

Dreiecke

Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.

Gleichschenkliges Dreieck

Wenn in einem Dreieck ABC gilt: AC=BC (Figur 1), dann geht bei einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden durch C das Dreieck in sich über, weil beim Spiegeln alle Winkelweiten erhalten bleiben. Schlussfolgerung: Die Winkel a (Mittelsenkrechte, die Seitenhalbierende und die Höhe der Basis sowie die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze identisch. - Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks auffassen: Jede Seite ist gleichzeitig Schenkel und Basis und jede Ecke ist auch Spitze.

Gleichseitiges Dreieck

besteht aus gleich langen Seiten (jeder Winkel ist 60° groß (180°/3))

Rechtwinkliges Dreieck

Die 2 Katheten bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Satz des Thales

Liegt eine Seite eines Dreiecks auf dem Durchmesser des Umkreises, so ist der Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt, ein rechter Winkel. Umkehrung: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Strecke vom Mittelpunkt der Hypotenuse zum Punkt gegenüber der Hypotenuse halb so groß wie die Hypotenuse.

Dreiecksungleichung

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Länge der dritten Seite.

Flächenberechnung

Allgemein berechnet man die Fläche eines Dreieckes als Fläche eines halben Parallelogramms. A = ½ g h g = Grundlinie h = Höhe d.h.: die Fläche = 2 Seiten - Sinus des eingeschlossenen Winkels Zur Vermeidung von Winkelfunktionen, wenn keine Winkel gegeben sind: Bei gegebenen Seiten a,b,c errechnet man sich zunächst den Umfang U = a + b + c und danach s = U/2. Dann gilt nach der Heronschen Flächenformel A² = s - (s-a) - (s-b) - (s-c) und A als die Quadratwurzel daraus.

Besondere Linien und Punkte

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Seitenmitten und schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierenden halbieren die Innenwinkel und schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.

Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierenden verbinden die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Ecken und schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

Winkel am Kreis

Beispiel: Mittelpunktwinkel = 120° Umfangswinkel = 60° Sehnen-Tangenten-Winkel = 60° - Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind alle gleich groß. - Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel. - Die beiden Sehnen-Tangenten-Winkel gleich Umfangwinkel; halb so groß, wie Mittelpunktwinkel

Strahlensätze

2 Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt werden von 2 Parallelen geschnitten.

1. Strahlensatz

Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander, wie die gleich liegenden Abschnitte auf den anderen.

2. Strahlensatz

Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich die Parallelabschnitte wie zugehörigen Abschnitte ein und desselben Strahls!!

Kongruenz

Ein Dreieck ist dann kongruent mit einem anderen, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen deckungsgleich sind, also die gleiche Form haben. - Ein Dreieck besteht aus 3 Seiten und 3 Winkeln (also 6 Angaben). - 3 Angaben reichen aus, um ein Dreieck mit Zirkel und Geodreieck konstruieren zu können - 5 Kombinationen: SSS, SWS, WSW, WWS, SSW - Wenn 3 Winkel gegebenen sind, kann Dreieck nicht eindeutig gezeichnet werden, weil das Dreieck unendlich oft unterschiedlich groß gezeichnet werden kann. - SSS bedeutet, dass Dreiecke kongruent sind, wenn die Länge der 3 Seiten mit dem anderen Dreieck übereinstimmen. - SWS: Seite-Winkel-Seite: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.

Ähnlichkeit

2 Dreiecke sind ähnlich wenn, - jede Seite Verhältnis - zwei Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichsatz) - in einem Winkel und den anliegen den Seiten übereinstimmen - in zwei Seiten übereinstimmen und der größte Winkel der größten Seite gegenüberliegt - Ähnlichkeit ist nicht gleich Kongruenz

Weblink

- [http://www.in-situ.de/produkte/in_plane.htm Software zur Flächenberechnung] Kategorie:Ebene Geometrie

Griechische Sprache

Griechisch (griechisch ελληνικά) ist eine indogermanische Sprache, die einen eigenen Zweig dieser Sprachfamilie darstellt. Eine nähere Verwandtschaft scheint nur zur antiken makedonischen Sprache bestanden zu haben. Griechisch wird von ca. 16 Millionen Menschen als Muttersprache gesprochen, von denen ca. 10,5 Millionen in Griechenland leben, wo es Amtssprache ist. Die anderen Muttersprachler sind auf 35 andere Staaten verteilt. Auf Zypern ist Griechisch ebenfalls Amtssprache, offiziell neben dem Türkischen. Außerdem ist in einigen südalbanischen und süditalienischen Gemeinden, in denen Angehörige der griechischen Minderheit leben, das Griechische als lokale Amts- und Schulsprache zugelassen. Siehe: Griko in Italien Eine Vielzahl von altgriechischen Wörtern werden darüber hinaus auch in diversen Fachsprachen verwendet und haben Eingang in viele moderne Sprachen gefunden. Die Sprachcodes nach ISO 639 für Neugriechisch (ab 1453) sind el bzw. ell oder gre und für Altgriechisch (bis 1453) grc.

Geschichte

1453 Die ältesten schriftlichen Zeugnisse der Sprache sind in Linearschrift B geschrieben. Sie begegnen ab dem 14. Jahrhundert v. Chr. - also in mykenischer Zeit - als sehr kurze Texte auf Transportamphoren, wo sie den Inhalt bezeichnen. Längere Texte auf zahlreichen Tontäfelchen, ebenfalls rein praktischer Natur, wurden in den Archiven einiger mykenischer Paläste gefunden. Sie stammen aus dem Beginn des 12. Jahrhundert v. Chr.. Nach Zerstörung der meisten bisher bekannten mykenischen Paläste im 12. Jh. ging die Linearschrift B und damit die Schriftlichkeit der ägäischen Welt nach herrschender Meinung verloren. Zumindest gibt es bisher keine Schriftfunde aus der Zeit der dunklen Jahrhunderte. Gegen Ende der dunklen Jahrhunderte, vermutlich um 800 v.Chr., übernehmen die Griechen das phönizische Schriftsystem, das sie im Grunde auch heute noch benutzen. Eines der bekanntesten frühen Beispiele der neuen alphabetischen Schrift zeigt der sog. Nestor-Becher. In klassischer Zeit ist eine Vielzahl von Dialekten feststellbar, zu den wichtigsten zählen das (noch heute in den Schulen als Altgriechisch gelehrte) Attische, das Ionische, das Dorisch-Nordwestgriechische, das Aeolische und das Arkadisch-Kyprische. Die am Anfang der schriftlichen Überlieferung stehenden homerischen Epen, die Ilias und die Odyssee, sind zum Beispiel in einer künstlerischen Sprachform verfasst, die Worte aus verschiedenen Dialekten benutzte, oft nach den Anforderungen des Metrums, im ganzen jedoch Ionisch mit äolischer Prägung ist. Die politische, wirtschaftliche und kulturelle Vormachtstellung Athens im 5. Jahrhundert v. Chr. machte den dort gesprochenen attischen Dialekt zur Grundlage einer überregionalen Gemeinsprache (Koiné, griechisch κοινή, die Gemeinsame oder Allgemeine), die durch die Eroberungen Alexanders des Großen im 4. Jahrhundert v. Chr. zur Weltsprache und lingua franca aufstieg. Auch im Römischen Reich blieb Griechisch neben Latein Amtssprache, dies auch aufgrund der kulturellen Abhängigkeit der Römer von den Griechen. In der Osthälfte des Reiches war Griechisch bereits seit dem Hellenismus die dominierende Sprache. Der Einfluss fremder Sprachen und der fortbestehenden Dialekte führte immer wieder, insbesondere im 2. Jahrhundert, zu Bemühungen um eine Reinigung der griechischen Sprache unter Rückgriff auf das klassische Attisch. Eine solche bereinigte Form des Altgriechischen wurde nach der Teilung des Römischen Reiches (395) zur Amts- und Literatursprache des oströmischen Reiches, das nach der Abschaffung der lateinischen Amtssprache um 630 endgültig vom römischen zum byzantinischen Reich wurde. Spätestens zu diesem Zeitpunkt versiegt die Produktion literarischer Werke auf Altgriechisch; die Sprache des byzantinischen Reiches weist da schon deutliche Unterschiede in Grammatik und Aussprache auf. Nach der arabischen Eroberung Syriens und Ägyptens blieb Griechisch dort zunächst noch für einige Jahrzehnte Amtssprache, bevor es diese Funktion ab etwa 700 an das Arabische verliert. Während der Besetzung Griechenlands durch das osmanische Reich war der Unterricht in griechischer Sprache offiziell verboten. Jedoch lebte sie im Alltag der Griechen (und vielfach von Priestern heimlich gelehrt) fort, veränderte sich aber aufgrund geringer Schriftkenntnis und mangelnder Gelehrsamkeit relativ stark. Nach der modernen Staatsgründung wurde die so genannte Katharévousa (griechisch καθαρεύουσα, Reinsprache; die Grundlagen wurden von Korais geschaffen) offizielle Unterrichts- und Amtssprache, eine „künstlich“ geschaffene Standardsprache, die den Wortschatz der am klassischen Attisch orientierten Koiné abermals künstlich konservierte, jedoch innerhalb weitgehend neugriechisch geprägter Aussprache- und Grammatikstrukturen. Erst 1976 wurde die Volkssprache (Dimotikí, griechisch δημοτική) endgültig zur Sprache der staatlichen Verwaltung und der Wissenschaft; allerdings sind viele Katharévousa-Worte im Laufe der Zeit wieder in die Dimotikí zurück übernommen worden. Im Verlauf der Jahrtausende hat sich die griechische Sprache vielfach in der Aussprache geändert, die Orthographie blieb jedoch dank vielerlei Bemühungen um eine Reinhaltung der Sprache weitgehend konstant. Die in hellenistischer Zeit in die griechische Schriftsprache eingeführten Akzente und Symbole für Hauchlaute wurden noch bis vor kurzem verwendet. Durch Erlass Nr. 297 des griechischen Präsidenten vom 29. April 1982 wurden der Akzent Gravis, der Akzent Zirkumflex sowie die Hauchzeichen Spiritus asper und Spiritus lenis abgeschafft. Es gibt seitdem in der griechischen Schriftsprache nur noch den Akzent Akut, der die betonte Silbe anzeigt. Die griechische Sprache und Schrift hatte auf die Entwicklung Europas immensen Einfluss: Sowohl das lateinische als auch das kyrillische Alphabet wurde auf der Basis des griechischen Alphabets entwickelt. Die Rückbesinnung auf das im Westen fast vergessene Griechisch, ausgelöst unter anderem durch die Flucht vieler Byzantiner in den Westen nach dem Fall Konstantinopels 1453, war eine der Hauptquellen der Renaissance und des Humanismus (siehe hierzu auch: Philhellenismus). Noch heute werden wissenschaftliche Fachbegriffe gerne unter Rückgriff auf griechische (und lateinische) Wörter geprägt. Das Neue Testament wurde ursprünglich in hellenistischem Griechisch geschrieben und das erste Mal von Erasmus von Rotterdam gedruckt.

Grammatik

Altgriechisch

Die ersten Grammatiken des Abendlandes wurden zu hellenistischer Zeit in der philologischen Schule von Alexandria abgefasst. Aristarch von Samotrake schrieb eine tékhne grammatiké des Griechischen. Die vermutlich erste autonome grammatische Schrift ist die tékhne grammatiké des Dionysios Thrax (2. Jh. v.Ch.), welche die Phonologie und Morphologie einschließlich der Wortarten umfasst. Die Syntax ist Gegenstand eines sehr systematischen Werks des zweiten bedeutenden griechischen Grammatikers, des Apollonios Dyskolos (2. Jh. n.Ch.). Angeblich im Jahre 169/8 "importierten" die Römer die griechische Grammatik und adaptierten sie. Die Grammatik des Altgriechischen ist auf den ersten Blick recht ähnlich zum Lateinischen, was Partizipialkonstruktionen und sonstige grammatische Phänomene (AcI etc.) anbelangt, so dass Lateinkenntnisse beim Erlernen des Altgriechischen sehr hilfreich sind – und umgekehrt. Gutes Verständnis der deutschen Grammatik hilft allerdings auch; in vielen Fällen ist das Altgriechische dem Deutschen strukturell ähnlicher als dem Lateinischen, beispielsweise sind die bestimmten Artikel im Griechischen vorhanden, während sie im Lateinischen fehlen. Es gibt auch Fälle, in denen die Ähnlichkeit mit dem Lateinischen eher oberflächlicher Art ist und mehr Verwirrung stiftet als hilft – beispielsweise werden die Zeitformen der Verben im Griechischen oft anders verwendet als im Lateinischen. Im Westen und auch in diesem Artikel werden gewöhnlich lateinische Begriffe (wie Substantiv, Dativ, Aktiv, Person … ) zur Bezeichnung von altgriechischen grammatischen und semantischen Kategorien verwendet, die direkte Übersetzungen der griechischen Definitionen darstellen. In Griechenland werden dagegen bis heute die griechischen Originalbegriffe aus der tékhne grammatiké des Dionysios Thrax verwendet.

Nominale Wörter

Hierzu zählen die Wortarten Substantiv, Adjektiv und Pronomen, die alle dekliniert werden. Auch Partizipien, Verbaladjektive und Infinitive werden dekliniert, sie gelten aber als Zwischenformen (sogenannte Nominalformen des Verbs). Hinsichtlich der Deklination ist folgendes zu benennen:

Numeri

- Singular - Plural - Dual (als Schwundform)

Genera

- (allgemeine) Regeln: - Maskulinum: bei Bezeichnungen für männliche Wesen, Winde, Flüsse und Monate - Femininum: bei Bezeichnungen für weibliche Wesen, Länder, Inseln und Städte - Neutrum: dient unter anderem zur Verkleinerung oder Verächtlichmachung von Wörtern männlichen und weiblichen Geschlechts. - Für den sonstigen Gebrauch lassen sich keine eindeutigen Regeln aufstellen. - Besonderheit des Neutrums: Bei Neutrum-Subjekten steht das Verb, auch wenn das Subjekt im Plural steht, in der 3. Person Singular. Diese Besonderheit besteht deswegen, weil das Griechische im Fall des Neutrums einen echten Plural nicht gebildet hat. Der Plural des Neutrums ist eigentlich ein aus dem Indogermanischen ererbter "kollektiver Singular", d.h. ein Sammelbegriff, der formal ein Singular ist, von der Funktion her aber einem Plural entspricht (wie im Deutschen: der Busch, das Gebüsch). Ferner haben im Neutrum – wie in allen indogermanischen Sprachen – Akkusativ und Nominativ identische Formen. Im Griechischen tritt noch die Form des Vokativs den beiden anderen Kasus als identisch hinzu.

Kasussystem

Von den acht Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen fünf erhalten: Nominativ, Akkusativ, Genitiv, Dativ und Vokativ. Die Funktionen der nicht erhaltenen Kasus des Indogermanischen haben sich im Griechischen auf den Dativ und den Genitiv verteilt. Die Aufteilung ähnelt der der deutschen Sprache. Grundfunktionen der Kasus: - Akkusativ - echter Akkusativ (direktes Objekt) - adverbial: Lativ (Richtung, Ausdehnung, Dauer) - Genitiv - echter Genitiv (Bereich) - Separativ (Herkunft) - Dativ - echter Dativ (indirektes Objekt) - Soziativ (Gemeinschaft) - Instrumental (Mittel) - Lokativ (Ort, Zeit)

Verben

Tempussystem

Es gibt im Altgriechischen vier Tempusstämme: Präsensstamm, Aoriststamm, Perfektstamm, Futurstamm; wovon die ersten drei ein System bilden. Das Altgriechische besitzt aber kein ausgebildetes Tempussystem. Die Tempusstämme drücken Aspekte aus; – die subjektive Betrachtungsweise, das heißt die Art, wie der Sprechende den Verbalinhalt auffasst. Deswegen ist der Begriff Tempusstamm genaugenommen nicht richtig; besser zu sagen wäre Aspektstamm. Der Aspekt des Präsensstamms ist durativ (linear, iterativ oder konativ). Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt der Verlauf oder das Andauern einer Handlung ausgedrückt. Beispiele: - νοσειν = (krank sein = ) krank darniederliegen - (απο)θνησκειν = sterben ( = im Sterben liegen) Der Aspekt des Aoriststamms ist punktuell. Das bedeutet, es wird der bloße Vollzug einer Handlung vermeldet. (Die Bezeichnung punktuell wird benutzt, um den Gegensatz zum linearen Präsensstamm auszudrücken. Der Aoriststamm ist die Normalform und benennt eine Handlung oder ein Ereignis, ohne ausdrücken zu wollen, ob diese Handlung in Wirklichkeit punktuell oder linear war/ist.) Bei diesem Aspekt wird in der Sprachpraxis gern ein bestimmter Punkt des Verbalbegriffs ins Auge gefasst, nämlich der Abschluss (effektiv) oder der Beginn (ingressiv) einer Handlung. Beispiele: - ingressiv: νοσησαι = krank werden oder erkranken - effektiv: (απο)θανειν = sterben (als Moment des Dahinscheidens) Der Aspekt des Perfektstamms ist resultativ. Das bedeutet, es wird mit diesem Aspekt ein (erreichter) Zustand oder einfach ohne jede nähere Bestimmung die Qualität einer Sache ausgedrückt. Beispiele: - τεθνηκεναι (τεθναναι) = (gestorben und nun) tot sein - πεποιθεναι = vertrauen Mit der Handhabung dieser drei Aspekte stellt der Griechischsprechende aber die zeitlichen Bezüge her, die von den Aspekten selbst nicht ausgedrückt werden. Die Aspekte gelten nun generell, während es eine direkt zeitliche Bedeutung nur im Indikativ gibt (bis auf das Futur. siehe unten). Die Vergangenheit wird mit Hilfe der Nebentempora, die nur im Indikativ auftauchen, gebildet. Das sind im Präsensstamm das Imperfekt, im Perfektstamm das Plusquamperfekt und im Aoriststamm der Aorist. (Der Aoriststamm ist der älteste Tempusstamm und hat ein Haupttempus im Indikativ nie ausgebildet.) Der vierte Tempusstamm des Altgriechischen, der Futurstamm, ist eine jüngere Entwicklung und hat in der Tat in allen Modi zeitliche Bedeutung. Übersicht über die Tempusformen im Indikativ:

Modussystem

Es gibt im Altgriechischen vier Modi: Indikativ, Optativ, Konjunktiv, Imperativ. Die Funktionen, die diese Formen syntaktisch erfüllen, sind sehr vielfältig. Hier kann nur eine grundsätzliche Bestimmung ihrer Bedeutung vorgenommen werden. Der Modus bringt die geistige Einstellung des Sprechenden gegenüber dem Verbalinhalt zu Ausdruck. Mit dem Indikativ drückt der Sprecher aus, dass ihm ein Vorgang oder Zustand als wirklich (real) erscheint. In den anderen Modi drückt der Sprecher aus, dass ihm der Vorgang oder Zustand nur als vorgestellt gilt. Der Imperativ drückt einen Befehl aus. Der Konjunktiv drückt einen Willen (Voluntativ) oder eine Erwartung (Prospektiv) aus. (Er hat also leicht futurische Bedeutung, was umgekehrt für das Futur in Bezug auf den Konjunktiv auch gilt). Der Optativ drückt einen Wunsch (Kupitiv) oder eine Möglichkeit (Potentialis) aus.

Genera Verbi (eigentlich und für das Griechische besser: Diathese)

Von den drei Genera Verbi sind zwei (Aktiv und Medium) aus dem Indogermanischen geerbt. Das Passiv ist eine jüngere Entwicklung. Das Aktiv drückt einfach eine Tätigkeit aus. Das Medium drückt aus, dass das Subjekt an der Handlung beteiligt ist, oder an ihr interessiert ist, dass also eine nähere Beziehung zwischen Subjekt und Handlung besteht (transitives Medium). Ferner kann es ausdrücken, dass das Subjekt von seiner eigenen Handlung betroffen ist (intransitives Medium). Der Begriff Medium soll in etwa ausdrücken, dass diese Form zwischen Aktiv und Passiv stehe. Das ist jedoch weder sprachgeschichtlich, noch morphologisch richtig. Das Passiv ist im Griechischen der Grenzfall des Mediums, denn: Das Passiv drückt die Wirkung einer Handlung auf das Subjekt aus, die nicht von ihm ausgeht. Insofern die Handlung nur noch auf das Subjekt wirkt, ohne von ihm auszugehen, bildet es den Grenzfall des Mediums. (Außerhalb des Futur- und Aoriststamms hat das Passiv keine eigenständige Form. Formal übernimmt dort das Medium neben der eigenen Funktion auch die des Passivs, was nur aus dem syntaktischen Zusammenhang, oder bei genauer Kenntnis der Beschaffenheit des entsprechenden Verbums zu unterscheiden ist.) Beispiele: Aktiv: er löst (etwas) transitives Medium: er löst (etwas) für sich intransitives Medium: er löst sich, er lässt sich lösen Passiv: er wird gelöst (von jdm.)

Numeri

- Singular - Plural - Dual (als Schwundform)

Personen

Erste Person (ich / wir), zweite Person (du / ihr), dritte Person (er, sie, es, Substantiv im Singular / sie, Substantiv im Plural). Die Personalpronomen des Nominativ werden wie in vielen anderen indogermanischen Sprachen meist ausgelassen, wenn sie nicht besonders betont werden sollen. Es muss also nicht zwangsläufig ein das Subjekt ausdrücklich nennendes Bezugswort (Pronomen oder Substantiv) beim Verb stehen – die Endung reicht aus, um die Person und damit das Subjekt zu identifizieren.

Neugriechisch (Dimotiki)

Die neugriechische Sprache hat einen Großteil der altgriechischen Grammatik vereinfacht, ist aber immer noch eine stark flektierende Sprache. Sie ist eine der wenigen indogermanischen Sprachen, die eine synthetische (also nicht mit Hilfsverben konstruierte) Diathese behalten hat. Der Dativ ist bis auf wenige Formen wie εν τάξει (en táxei //) ("in Ordnung") verloren gegangen und wird meist durch die Konstruktion eis (eigentl. in... hinein) + Akkusativ ersetzt. Andere wichtige Änderungen der Grammatik sind der Verlust des Optativs (wird durch den Konjunktiv ersetzt), des Infinitivs (wird durch Nebensätze ersetzt "Ich will kaufen" -> "Ich will, dass ich kaufe") und des Duals (wird durch den Plural ersetzt), die Verkleinerung der Anzahl von Deklinationen und der verschiedenen Formen in jeder Deklinaton, der neue Modalpartikel θα (aus θέλω να ("ich will, dass...") > θε' να > θα) für das Futur und Konditional, die Einführung von Hilfsverben, die Reduzierung der Partizipien auf zwei, ein aktives und ein passives, die Erweiterung des Futurs auf die Aspektunterscheidung zwischen Präsens/Imperfekt und Aorist, der Verlust der dritten Person Imperativ, außer in Archaismen wie ζήτω! ('Lang lebe!'); neue Pronomen für die 2. Person Plural, da die alten wegen der Lautveränderung akustisch nicht mehr von denen der 1. Person Plural zu unterscheiden waren; und der Vereinfachung des Systems der Präfixe, wie bei der Augmentation und Reduplikation. Das Phonemsystem der neugriechischen Sprache: Vokale geschlossen halbgeschlossen offen Alle Vokale werden kurz ausgesprochen. laut IPA Konsonanten p t k b d g v δ z γ f θ s χ m n l r

Siehe auch

- Griechisches Alphabet - Liste griechischer Präfixe - Liste griechischer Suffixe - griechische Präpositionen - Liste griechischer Magischer Quadrate - Namenforschung - Griechische Zahlen - griechische Zahlwörter - Griechische Phrasen und Redewendungen

Literatur

- Geschichte: - Francisco R. Adrados: Geschichte der griechischen Sprache von den Anfängen bis heute. Tübingen/Basel 2002 - Hans Eideneier: Von Rhapsodie zu Rap. Aspekte der griechischen Sprachgeschichte von Homer bis heute. Tübingen 1999 - etymologische Wörterbücher (altgriechisch): - Pierre Chantraine: Dictionnaire étymologique de la langue grecque : histoire des mots. 4 Bände. Paris 1968-80 (Neuauflage 1999) - Hjalmar Frisk: Griechisches etymologisches Wörterbuch. 3 Bände. Heidelberg 1973 - Alois Vanicek: Griechisch-lateinisches etymologisches Wörterbuch. Leipzig 1877 (Nachdruck 1972) - Wörterbücher (altgriechisch): - Wilhelm Gemoll: Griechisch–Deutsches Schul- und Handwörterbuch bei Oldenburg Schulbuchverlag. ISBN 3-486-13401-9 - Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache in 4 Bänden. Braunschweig 1842 ff. (3. Aufl. 1880; Nachdruck 1954) - Grammatiken (altgriechisch): - Eduard Bornemann (u. Mitw. v. Ernst Risch): Griechische Grammatik. Frankfurt a.M. 1978 - Adolf Kaegi: Kurzgefasste griechische Schulgrammatik. Berlin 1884 (seither ständig nachgedruckt), ISBN 3-615-70100-3 - Historische Grammatik: - Helmut Rix: Historische Grammatik des Griechischen. Laut- und Formlehre. Darmstadt 1992

Weblinks

- [http://www.geocities.com/kurogr/ Wörterbuch Mykenisches Griechisch - klassisches Altgriechisch - Englisch (PDF)] - [http://www.fh-augsburg.de/~harsch/graeca/Auctores/g_alpha.html griechische Texte in der Bibliotheca Augustana] - [http://info.uibk.ac.at/c/c6/c604/pdf/Hajnal/Griech.Dial.pdf Die Vorgeschichte der griechischen Dialekte] - Ein Aufsatz über Entstehen und Geschichte der altgriechischen Dialekte. - [http://kypros.org/LearnGreek/ Online-Kurs vom zypriotischen Rundfunk CyBC, 105 Lektionen à 30 Min., engl., Real Audio] - [http://www.kreienbuehl.ch/lat/ Latein und Altgriechisch Site] - [http://www.chairete.de/ Materialen zum Altgriechischen, Autoren] - [http://www.altesprachen.de/heureka/heureka.htm Altesprachen.de] - [http://www.geocities.com/Athens/Agora/6594/inhalt.html Altgriechisch] (Ziemlich umfangreicher Einstiegskurs) - [http://www.combib.de/infoseiten/griechisch/griechisch.html Aussprachehilfe zum neutestamentlichen Griechisch] (Deutsche Schulaussprache, nicht Originalaussprache!) - [http://www.gottwein.de/grueb/gr000.htm Altgriechischer Online-Sprachkurs] - [http://www.gottwein.de/ Navicula Bacchi] (exzellente Seite rund um die Klassische Philologie mit sehr vielen Unterrichtsmaterialien) - [http://www.archiv-vegelahn.de/nachschlagwerke_griechisch.html Bibliographie - Griechisch] - Kategorie:Indogermanisch Kategorie:Einzelsprache als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Kurve

Der Ausdruck Kurve bezeichnet - in der Mathematik - eine gekrümmte oder gerade Linie in der Ebene oder im Raum (siehe Weg (Mathematik)) - einen Funktionsgraphen (siehe auch Kurvendiskussion) - in der algebraischen Geometrie eine algebraische Kurve - umgangssprachlich eine Biegung - Biegung in einer Straße, z. B. in Form einer Klotoide - einen Sitzblock in einem Stadion (Fankurve)

Symmetrie (Geometrie)

Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (von griechisch syn (=zusammen) und metron (=Maß)) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch bestimmte Umwandlungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selber abbildet, heißt Symmetrieoperation. Zwei verschiedene geometrische Objekte können zueinander symmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Symmetrieoperation existiert, die das eine Objekt in das andere überführt. Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es unterschiedliche Symmetrien.

Symmetrien im Eindimensionalen

Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie bezüglich eines einzelnen Punktes sowie die Symmetrie bezüglich Translation (Verschiebung).

Symmetrien im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt-, Achsen-, Rotationssymmetrie und Radiärsymmetrie (Drehsymmetrie) unterschieden werden.

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie, axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, die bei Dingen auftritt, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt sind. gespiegelt Verschiedenes: - Dreiecke können eine oder drei Symmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten zur Basis. Gleichseitige Dreiecke haben drei Symmetrieachsen. - Vierecke können eine, zwei oder sogar vier Symmetrieachsen besitzen: - Mindestens eine Symmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale). - Mindestens zwei Symmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen). - Das Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist somit vier Symmetrieachsen auf. - Kreise weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie bezüglich jedes Durchmessers symmetrisch sind.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen

Kreise Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie bezüglich der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Es muss nur die Gültigkeit der Beziehung

f(-x) = f(x)

gezeigt werden. Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente

x

und

-x

übereinstimmen müssen. Als Beispiel soll die Gleichung einer einfachen quadratischen Funktion dienen:

f(x) \, = \, x^2-1

Anwendung des genannten Kriteriums ergibt:

f(-x) \, = \, (-x)^2-1 = x^2-1 = f(x)

Der Graph (eine Parabel) ist also tatsächlich symmetrisch bezüglich der y-Achse. Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung

x = a

, wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist: :

f(2a-x) \, = \, f(x)

Beispiel einer achsensymmetrischen Funktion

Graph der Funktion f mit der Gleichung

y = f(x) = x^2 - 4x + 3

; Achsensymmetrie bezüglich der Geraden mit der Gleichung

x = 2

f(2a-x) = f(2 \cdot 2 - x) = f(4-x) = (4-x)^2 - 4(4-x) + 3

\; = (16-8x+x^2) - (16-4x) + 3 = 16-8x+x^2-16+4x+3

\; = x^2-4x+3 = f(x)

Damit ist die Vermutung der Achsensymmetrie bestätigt.

Punktsymmetrie

Koordinatensystem Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft geometrischer Objekte. Ein geometrisches Objekt (z.B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Gelegentlich spricht man auch von einer zentralen Symmetrie. Obwohl eine solche Spiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie. Die folgende Abbildung zeigt einige punktsymmetrische Figuren. Zwei verschiedene Objekte können zueinander punktsymmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Punktspiegelung existiert, die das eine Objekt in das andere überführt. Verschiedenes:
- Ein Dreieck kann nicht in sich punktsymmetrisch sein, wohl aber zwei Dreiecke zueinander.
- Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
- Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
- Zwei Kreise mit identischem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Quadrat Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden: :

f(2a-x) \, = \, 2b - f(x)

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt

P = (a|b)

vor. Die genannte Bedingung ist gleichwertig zu :

f(a+h) + f(a-h) \, = \, 2 b \quad

(für beliebiges h). Im Spezialfall

P = (0|0)

vereinfacht sich diese Gleichung: :

f(-x) \, = \, -f(x)

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor, das heißt

f

ist eine gerade Funktion.

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

gerade Funktion geg.:

f(x) = 2 x^5

f(-x) = 2 \cdot -x^5

f(-x) = -2x^5\qquad | \cdot (-1)

-f(-x) = 2x^5 = f(x)

→ Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0|0)

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Punkt P = (0|2)

gerade Funktion geg.:

f(x) = 2 x^5 + 2

P = (a|b) = (0|2)

also

a = 0

und

b = 2

- f(-x+2a) + 2b = - f(-x) + 4 = - ( 2(-x)^5 + 2) + 4

- f(-x+2a) + 2b = 2x^5+2 = f(x)

→ Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zu

P = (0|2)

Symmetrien im Dreidimensionalen

Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht die Flächensymmetrie im Dreidimensionalen, der Punktsymmetrie die Achsensymmetrie (Drehsymmetrie um 180°).

Natur

Der Aufbau der meisten höheren Lebewesen ist mehr oder weniger annähernd spiegelsymmetrisch (bei niederen Lebensformen findet sich oft Achsensymmetrie, diese bilden somit einen angenäherten Rotationskörper). Auch der Mensch verfügt über eine vertikale Symmetrieebene. Diese Symmetrie ist dabei jedoch nicht vollständig, so ist der Aufbau der inneren Organe nicht spiegelsymmetrisch. Auch die scheinbar zueinander symmetrischen Körperteile wie Augen, Ohren, Arme, Beine, Brüste etc. weisen untereinander immer mehr oder weniger große Lage-, Form- und Größenunterschiede auf.

Symmetrien in mehr als drei Dimensionen

In Räumen mit n Dimensionen gibt es entsprechend den obigen Beispielen n verschiedene Symmetrien.

Translationssymmetrie

Symmetrie gegenüber einer (Parallel-)Verschiebung (Translationssymmetrie)

Rotationssymmetrie

Ein Objekt ist rotationssymmetrisch, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine Achse, bzw. im Zweidimensionalen einen Punkt, das Objekt auf sich selbst abbildet. Solche Objekte sind Rotationskörper. Rotationssymmetrie um jede beliebige Achse durch den selben Punkt wird auch als Kugelsymmetrie bezeichnet, z. B. sind Sterne annähernd kugelsymmetrisch, da deren Eigenschaften (wie z. B. die Dichte) zwar nicht überall gleich sind, aber nur vom Abstand zum Mittelpunkt abhängen.

Kombinationen

Aus der Möglichkeit Symmetrieoperationen zu kombinieren lassen sich die symmetrischen Grundoperationen herleiten: # Identität (Null-Operation, keine Veränderung) # Rotation (Drehung) # Rotation - Inversion (Drehspiegelung) # Translation (Verschiebung) # Gleitspiegelung

Siehe auch

Symmetriegruppe

Weblinks

Kategorie:Geometrie ja:対称性

Parabel (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Parabel (v. griech.: παραβολή parawolí = (wörtlich) das Daneben-Gehende; der Vergleich, v. altgriech.: paraballein = nebeneinanderstellen) ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Erzeugenden des Kegels ist. (Wenn die Ebene selbst eine Tangentialebene des Kegels ist, erhält man eine degenerierte Parabel, die einfach eine Gerade ist.) Außerdem stellen die Funktionsgraphen von quadratischen Funktionen Parabeln dar.

Darstellungsformen

Neben der Definition als Kegelschnitt gibt es noch weitere Möglichkeiten eine Parabel festzulegen: Eine Parabel ist die Menge aller Punkte X, deren Abstand zu einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer Geraden (der Leitgeraden l) gleich ist. :

par = \left\

Jener Punkt, der genau in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel A der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird Achse der Parabel genannt. Sie ist auch die einzige Symmetrieachse. Eine Parabel Das Koordinatensystem wird im Folgenden so festgelegt, daß

A=(0,0)

und

F=(0,f)

. Für jeden Punkt

P=(x,y)

auf der Parabel gilt dann

\overline=\overline

und damit :

\sqrt=y+f

. Hieraus folgt unmittelbar der funktionale Zusammenhang zwischen

x

und

y

für alle Punkte

P

: :

y=x^2 \frac

Jede quadratische Funktion der Form

y=ax^2

ist somit eine Parabel mit dem Brennpunkt

f=\frac

Eigenschaften

Da die Parabel nur von einem Parameter abhängig ist (dem Abstand von Leitgerade und Brennpunkt

2f

bzw. dem Parameter

a

in der Gleichung), sind alle Parabeln zueinander ähnlich. Die Unterschiede in der Krümmung entstehen nur durch das Vergrößerungsverhältnis. Parabeln können als Grenzfall der Ellipse angesehen werden, wenn ein Brennpunkt fix ist, und der andere beliebig weit in eine Richtung entfernt wird. Wird ein Strahl, der parallel zur Achse einfällt, an der Parabel gespiegelt, so geht der resultierende Strahl durch den Brennpunkt, und umgekehrt. Diese Eigenschaft hat auch ein Rotationsparaboloid, also die Fläche, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht; sie wird häufig in der Technik verwendet (siehe Parabolspiegel). Beweis: Die Steigung der Tangente an die Parabel im Punkt

P

ergibt sich aus der Ableitung von

ax^2

und ist

2ax

. Die Nullstelle dieser Tangente liegt bei

\frac

und bildet somit den Punkt

G=(\frac,0)

. Dieser liegt also genau in der Mitte zwischen

F

und

Q=(x,-f)

. Damit wird das gleichschenkliche Dreieck

\Delta FPQ

in 2 kongruente Dreiecke zerlegt. Die Reflexion an der Parabel entspricht der Reflexion an der Tangente. Der Einfallswinkel

\angle GPQ

ist gleich dem Ausfallswinkel

\angle FPG

. Damit treffen alle Strahlen auf

F

. Jedes Teilchen, das sich in einem gleichförmigen Gravitationsfeld ohne Einwirkung anderer Kräfte bewegt (zum Beispiel ein Baseball, wenn man den Luftwiderstand ignoriert), folgt einer parabelförmigen Bahn (Wurfparabel).

Parabeln als Funktionsgraphen

Manchmal werden alle Graphen von Polynomfunktionen als Parabeln bezeichnet. Zum Beispiel ist der Graph eines Polynoms von Grad 4 eine Parabel 4. Ordnung. Mit der Definition der Parabel als Kegelschnitt stimmen nur Parabeln zweiter Ordnung, also f(x) = ax², überein. Polynomfunktion

Besondere Parabeln

Im Gebäude der Fakultät für Mathematik und Informatik an der Technischen Universität München wurde in der Magistrale eine Parabelrutsche installiert. Diese Rutsche besteht aus zwei Teilen und zeigt die Form einer Parabel.

Siehe auch

- Quadratische Funktion
- Mathematik für die Schule
- Paraboloid

Weblinks

- http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html Mathworld - Parabel (engl.)
- http://home.telebel.de/~kuweber/Parabel/Parabel.html Animierte Parabel (Java-Applet erzeugt mit Geogebra) Kategorie:Geometrie ja:放物線

Kegelschnitt

In der Mathematik versteht man unter einem Kegelschnitt eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines unendlichen Kegels bzw. Doppelkegels mit einer Ebene schneidet. Häufig wird auch der englische Begriff Conic (cone-plane intersection) verwendet.

Klassifikation der Kegelschnitte

Ebene Es können folgende Figuren entstehen:
- ein Punkt, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene größer als der Öffnungswinkel ist
- eine Gerade, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene gleich dem Öffnungswinkel ist
- zwei sich schneidende Geraden, wenn die Schnittebene durch die Spitze geht und der Winkel zwischen Achse und Ebene kleiner als der Öffnungswinkel ist
- ein Kreis, wenn die Schnittebene senkrecht (orthogonal) auf der Kegelachse steht
- eine Ellipse, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene größer als der Öffnungswinkel ist
- eine Parabel, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene gleich dem Öffnungswinkel ist
- eine Hyperbel, wenn der Winkel zwischen Achse und Ebene kleiner als der Öffnungswinkel ist

Die allgemeine Kegelschnittgleichung

Im ebenen kartesischen Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Gleichung (mit den Variablen x und y) immer ein Kegelschnitt. Umgekehrt können alle Kegelschnitte durch solche Gleichungen beschrieben werden. Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet also :

a x^2 + 2 b x y + c y^2 + 2 d x + 2 e y + f \, = \, 0,

wobei der Faktor 2 bei den Koeffizienten b, d und e aus Gründen der Zweckmäßigkeit verwendet wird. Der Typ des Kegelschnitts ergibt sich aus den im Folgenden definierten Determinanten

\Delta

und

\delta

sowie der Summe S: :

\Delta \, = \, \begin a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end; \qquad \delta \, = \, \begin a & b \\ b & c \end = ac-b^2; \qquad S \, = \, a + c

- Für

\delta > 0

und

\Delta \cdot S < 0

handelt es sich um eine Ellipse. Gilt zusätzlich

a = c

und

b = 0

, so ist diese Ellipse sogar ein Kreis.
- Gelten die Bedingungen

\delta < 0

und

\Delta \ne 0

, so ergibt sich eine Hyperbel, die im speziellen Fall

a + c = 0

gleichseitig (rechtwinklig) ist.
- Unter den Voraussetzungen

\delta = 0

und

\Delta \ne 0

beschreibt die Gleichung eine Parabel. Soweit es sich um eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel handelt, bedeutet die Bedingung

b = 0

, dass die Achsen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Im allgemeinen Fall lässt sich der Drehwinkel gegenüber der achsenparallelen Lage durch :

\tan (2 \alpha) \, = \, \frac

berechnen. Folgerungen aus der allgemeinen Kegelschnittsgleichung:
- Ein Kegelschnitt ist durch fünf Punkte eindeutig festgelegt.
- Zwei verschiedene Kegelschnitte schneiden einander höchstens in vier Punkten. Besonders elegant wird die Kegelschnittgleichung unter Verwendung homogener Koordinaten: Alle Punkte

X

, die auf dem Kegelschnitt mit der Matrix

C

liegen, erfüllen die homogene Kegelschnitt-Gleichung: :

X^T C X = 0 , \qquad C = \begin a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end,  \qquad  X =
  \begin
    x \\
    y \\
    w 
  \end

Die Matrix C definiert hierbei den Kegelschnitt vollständig und wird daher oft selbst auch als Conic bezeichnet. Für alle X, die die obige Gleichung nicht erfüllen, gibt das Vorzeichen des Ergebnisses darüber Aufschluß, ob der Punkt innerhalb/außerhalb (bzw. auf welcher Seite) des Conics liegt. Wie viele andere Objekte der projektiven Geometrie auch, ändert eine Skalierung der Matrix nichts an den Objekteigenschaften, die Multiplikation mit einem negativen Wert ändert allerdings die Interpretation von innen und außen. Die oben beschriebenen Kegelschnitte sind sogenannte Punkt-Conics, d.h. alle Punkte, die auf der Kurve liegen, erfüllen die Gleichung. Invertiert man nun die Matrix C, gelangt man zum Dualen Conic (oder Linien-Conic) :

D \ = \ C^

Alle Geraden G (in homogener Darstellung), die Tangenten an den Punkt-Conic sind, erfüllen die Gleichung :

G^T \ D \ G = 0

Die Conic-Matrix ist eine implizite Form der Kurve oder der Menge von Tangenten. Man kann sehr leicht prüfen, ob ein Punkt X auf dem Kegelschnitt liegt oder nicht, aber die Form liefert keine Parametrisierung zum "Entlanglaufen". Das bedeutet, dass, gegeben die Matrix, es nicht direkt möglich ist, einen Punkt zu finden, der auf dem Objekt liegt, dafür muss man den Kegelschnitt in eine explizite Form überführen.

Anwendungen und Beispiele

Eine Anwendung finden die Kegelschnitte in der Astronomie, da die Bahnen der Himmelskörper genäherte Kegelschnitte sind. Auch in der Optik werden sie verwendet - als Rotationsellipsoid für Autoscheinwerfer, als Paraboloid oder Hyperboloid für Spiegelteleskope usw.

Geschichtliches

Der griechische Mathematiker Menaichmos untersuchte an Platons Akademie die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells. Er fand dabei heraus, dass sich das delische Problem auf die Bestimmung des Schnittpunkts zweier Kegelschnitte zurückführen lässt. Euklid schrieb vier Bücher über Kegelschnitte, die uns aber nicht erhalten sind. Die gesamten Kenntnisse der antiken Mathematiker über die Kegelschnitte fasste Apollonios von Perge in seinem achtbändigen Werk "Konika" zusammen. Die Beschreibung von Kegelschnitten durch Koordinatengleichungen wurde von Fermat und Descartes eingeführt.

Siehe auch

Korbbogen, Kurve, Himmelsmechanik, Zweikörperproblem, projektive Geometrie.

Weblinks

- http://www.unet.univie.ac.at/~a9907818/kegelsch.htm
- [http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/kegelnam.htm Graphische Darstellung der Kegelschnitte und Namensgebung] Kategorie:Geometrie ja:円錐曲線

Definition

Eine Definition (lat. de ab, weg; finis Grenze, also Definitio = Abgrenzung) ist die Verdichtung von Merkmalen zu einem Begriff, dessen Sachverhalt (Definiendum) danach auf Eigenschaften (Definiens) zurückgeführt wird. Kurz: Eine Definition ist eine sprachliche Verkürzung eines Sachverhalts. Jede Definitionskette lässt sich nur auf eine natürliche Sprache und die in dieser Sprache verständlichen Grundaussagen zurückführen.

Wissenschaftstheoretische Klassifikation

Nominal- vs. Realdefinitionen

Die in der Wissenschaftstheorie meist an erster Stelle gennannte, traditionelle Klassifikation von Definitionen ist die Unterscheidung zwischen Nominal- und Realdefinition. Während die Nominaldefinitionen einen neuen Begriff aus alten zusammenstellt, zerlegt die Realdefinition einen gängigen Begriff in seine Merkmale. Während Nominaldefinitionen besonders der Domäne der Strukturwissenschaften zuzuordnen sind, lassen sich Realdefinitionen vor allem in den Geistes-, Natur- und Sozialwissenschaften finden. Da in diesen meist die (notwendigerweise) vagen und ambigen bereits vorhandenen Begriffe der natürlichen Sprache begründet werden, empfiehlt sich für Realdefinitionen der treffendere Ausdruck der Begriffsexplikation oder -zerlegung.

Identitäten vs. Gebrauchsdefinitionen

Man spricht von Gebrauchsdefinition (oder Kontextdefinition), weil das Definiendum darin nur so definiert wird, wie man es innerhalb von Sätzen gebraucht. Fällt beispielsweise eine allgemeine Definition des Prädikates "'adäquat"' schwer, so lässt sich leicht definieren, dass die Aussage "'X ist ein adäquater Kalkül"' genau dann wahr ist, wenn X ein Kalkül ist der vollständig und korrekt ist. Adäquatheit wurde damit nur im Kontext "'Kalkül"' definiert, und die Frage wann überhaupt etwas adäquat ist, beziehungsweise welche Dinge unter diesen Begriff fallen, stellt sich nicht. Dieser ontologische Unterschied erspart beispielsweise der modernen Mathematik die philosophische Frage nach dem Wesen der Zahl (empirisch, psychologistisch, oder logisch). Die mathematischen Axiome sagen nicht was eine Zahl ist, sondern wann sich etwas Zahl nennen darf und welche arithmetischen Eigenschaften dann für diese gelten. Dass zum Beispiel die Gruppenaxiome gerade davon leben, dass sie verschiedenste Interpretationen erlauben, widerspricht zudem der klassischen Anschauung, Definitionen müßten eindeutig sein.

Totale versus Partielle Definitionen

Während in totalen Definitionen Definiendum und Definiens äquivalent sind, gilt dies in partiellen Definitionen nur für einen Teilbereich, das heißt nur für den Fall, dass eine Vorbedingung erfüllt ist. Operationale Definitionen sind häufig partiell. In ihnen ist die Vorbedingung die Operation mit der man die zu definierende Eigenschaft überprüft. Die zugehörige Gattung der Dispositionsbegriffe wie "wasserlöslich" beschreibt keine Eigenschaften die direkt ablesbar sind, sondern ist an eine (Prüf-)bedingung geknüpft. Zum Beispiel: "Wenn man den Gegenstand in Wasser gibt, dann löst er sich auf".

Explizite vs. Rekursive Definitionen

Eine im Zusammenhang mit Definitionen stets genannte Regel ist die, dass das Definiendum im Definiens selbst nicht vorkommen darf. Unter Beachtung dieser Regel entstehenden die sogenannten Explizitdefinitionen. Wie die Definition der Ackermannfunktion jedoch zeigt, kann eine Definition einer Funktion unter direkter oder indirekter Rückführung auf Terme mit ebendieser Funktion eben doch zweckmäßig sein. Diese Fälle erfordern vielmehr eine genauere Betrachtung und die Angabe spezieller Kriterien zur Vermeidung von Zyklen. Im Einzelnen geschieht dies, indem sich die stufenweise Elemination des Definiendums auf die natürlichen Zahlen abbilden lassen muß.

Notwendigkeit von wissenschaftlichen Definitionen

- Die Notwendigkeit einer wissenschaftlichen Definition ergibt sich in der Regel dann, wenn im Laufe des wissenschaftlichen Erkenntnisgewinnes Hypothesen und Theorien aufgestellt oder Modelle konstruiert werden, welche von verschiedenen Wissenschaftlern nachvollzogen und diskutiert werden sollen. Um den Kriterien der Wissenschaftlichkeit zu genügen, muss deshalb Einvernehmen über die Bedeutung der verwendeten Begriffen herrschen.
- Definitionen bewirken durch ihren abkürzenden Charakter eine leichtere Formulierung und ein leichteres Verständnis von Theorien
- Zwar sind, wie sich formal beweisen lässt Definitionen notwendiger Weise weder wahr, noch falsch, jedoch tragen sie durch den Auswahlprozess beim Definieren bereits Erkenntnis mit sich.

Definitionsregeln und -anforderungen

Die klassischen Definitionsregeln gehen auf Aristoteles zurück (Vergleiche Analytica Posteriora, Organon) (zitiert nach Kondakow 1983, S. 81): # Ein Begriff wird durch seine nächste Gattung und den Artunterschied definiert (Praecisio definitionis). (veraltet) # Der Artunterschied muss ein Merkmal oder eine Gruppe von Merkmalen sein, die nur dem vorliegenden Begriff zukommen und bei anderen Begriffen fehlen, die zur selben Gattung gehören. (veraltet) # Eine Definition muss angemessen sein, d.h. weder zu weit noch zu eng gefasst sein. # Eine Definition darf keinen Zirkelschluss enthalten. # Eine Definition darf keine logischen Widersprüche enthalten. # Eine Definition darf nicht nur negativ bestimmt sein # Eine Definition darf keine Mehrdeutigkeiten enthalten. Anstatt dieser größtenteils überholten Anforderungen sind die inzwischen entscheidenden formalen Kriterien an Definitionen Eliminierbarkeit und Nicht-Kreativität. Eliminierbar ist ein Begriff dann, wenn er innerhalb einer Theorie vollständig zu Gunsten seines Definiens ersetzt werden kann, ohne den Wahrheitswert der Theorie zu beeinflussen. Nicht-Kreativität bedeutet, dass unter Hinzunahme der Definition zu einer Theorie nichts erschlossen werden kann, was nicht bereits ohne jene Definition erschließbar wäre. Eine weitere klassische Form der Definition ist die unter Angabe eines genus proximus (Gattung) und einer diferenzia specifica (Spezifisches Abgrenzungskriterium). Während man lange Zeit glaubte es handle sich dabei um eine universelle Form, zeigt bereits das einfache Beispiel "Ein Skandinavier ist ein Mensch der aus Dänemark, Norwegen oder Schweden kommt", dass sinnvolle Definitionen diesem Schema nicht folgen müssen. Im praktischen Betrieb der (nicht-formal-)Wissenschaften, erweisen sich folgende Anforderungen als sinnvoll:
- Die Anzahl unterschiedlicher Interpretationsmöglichkeiten soll so weit wie möglich reduziert werden.
- Trotzdem soll eine Definition so einfach wie möglich sein.
- Eine Definition ist um so besser, je schärfer die Grenzen zu anderen Begriffen gezogen sind.
- Es dürfen nur Begriffe verwendet werden, die schon als Allgemeinbegriff eindeutig sind oder die bereits innerhalb der jeweiligen Wissenschaft definiert sind.
- Eine Definition soll möglichst keine Ausnahmeregelungen enthalten.
- Definitionen sind weder wahr noch falsch, Realdefinitionen sollten jedoch (nach Carnap) die 4 Kriterien zur Adäquatheit erfüllen:
- # Ähnlichkeit von Explikat und Explikandum
- # Exaktheit des Explikats
- # Fruchtbarkeit für das Aufstellen vieler Gesetze
- # Einfachheit der Definition selbst und der resultierenden Gesetze

Beispiele

- Realdefinition: "Eine Definition ist die genaue Bestimmung eines Begriffes durch Beschreibung und/oder Erklärung seines Inhalts."
- Nominaldefinition: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern."
- Gebrauchsdefinition:: "Die natürliche Zahl n ist Primzahl

:\iff

n besitzt genau zwei natürliche Teiler"
- Rekursive Definition: Ackermannfunktion
- Empirische Definition, besser: empirische Analyse: "Der Mensch ist ein ungefiederter Zweibeiner."

Zitate

"Omnia determinatio negatio est." (deutsch: Jede Begriffsbestimmung ist eine Abgrenzung.) (Spinoza) "Was man überhaupt sagen kann, das kann man auch klar und verständlich sagen" (Ludwig Wittgenstein) ”Wir sind unfähig, die Begriffe, die wir gebrauchen, klar zu umschreiben - nicht, weil wir ihre Definition nicht wissen, sondern weil sie keine wirkliche ”Definition” haben. Die Annahme, daß sie eine solche Definition haben müssen, wäre wie die Annahme, daß ballspielende Kinder grundsätzlich nach strengen Regeln spielen.” (Ludwig Wittgenstein) „Alle Definitionen sind wissenschaftlich von geringem Wert.“ Friedrich Engels, Anti-Dühring, MEW 20, 77. „Definitionen sind für die Wissenschaft wertlos, weil stets unzulänglich. Die einzig reelle Definition ist die Entwicklung der Sache selbst, und diese ist aber keine Definition mehr.“ Friedrich Engels, 20, 578. "[...] als die Creme der im Südwesten tätigen Archäologen zur gleichen Zeit an einem Ort versammelt war und zwei unschätzbare Tage damit verbrachte, die Frage: "wann ist ein Kiva kein Kiva" zu diskutieren. Nicht nur konnten sie sich nicht über diese negative Behauptung einigen, sondern, was viel schlimmer war, sie entschieden auch nie im positiven Sinne, was ein Kiva war. Und das - es mag zu ihrer Schande und ihrem Unbehagen berichtet werden- zu einer Zeit, als jeder Mann, jede Frau und jedes Kind unter ihnen sofort einen Kiva erkannte, soweit ihn überhaupt ein Auge erblicken konnte." Ann Morris, zitiert nach C. W. Ceram in "Der erste Amerikaner". Siehe auch: Prädikat (Logik), Terminus, Terminologie

Literatur

- N. Kondakow: Wörterbuch der Logik (2. Aufl.). Leipzig 1983
- Lothar Schmidt (Auswahl, 1971): Schlagfertige Definitionen. Von Aberglaube bis Zynismus - ISBN 3-499-16186-9
- Wolfgang Stegmüller: Hauptströmungen der Gegenwartsphilosophie, Eine kritische Einführung. Stuttgart, 1989.

Weblinks

- http://achimwagenknecht.de/Definitionslehre/diephysi.htm
- http://www.phillex.de/def.htm
- Definitionen [http://www.uni-erfurt.de/sprachwissenschaft/personal/lehmann/CL_Lehr/Begriffe/Begriffe_Definition.html] (Eine gründliche Einführung in den Begriff der "Definition") ! Kategorie:Wissenschaftstheorie ja:定義 simple:Definition

Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik oder Topologie werden auf der Mengenlehre aufgebaut. Darüber hinaus gibt es wichtige Verbindungen zur Prädikatenlogik.

Geschichte

Naive Mengenlehre

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition von 1877 ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die Mengenlehre auf der Grundlage dieser Definition wurde später als naive Mengenlehre bezeichnet. Sie führt zu Widersprüchen, insbesondere dann, wenn Mengen eingeführt werden, die sich selbst als Element enthalten. Am bekanntesten ist die Russellsche Antinomie.

Typentheorie

Zur Vermeidung dieser Widersprüche hat Russell selbst einen stufenweisen Aufbau der Mengenlehre vorgeschlagen und hierfür 1903, zusammen mit Whitehead die Typentheorie entwickelt. Danach hat eine Menge stets einen höheren Typ als ihre Elemente. Aussagen wie "diese Menge enthält sich selbst als Element" lassen sich in dieser Theorie gar nicht formulieren. Die Typentheorie wurde später zu einer axiomatischen Theorie ausgebaut. Sie lässt sich als widerspruchsfrei nachweisen. Ihre sprachlichen Mittel sind jedoch nicht stark genug, um die gesamte Mathematik darauf aufzubauen.

Typenfreie axiomatische Mengenlehre

Andere Versuche, die Mengenlehre axiomatisch aufzubauen, greifen auf eine typenfreie Prädikatenlogik zurück. Grundbegriffe sind hier nur noch
- eine einzige Art von Objekten und
- die Elementbeziehung zwischen diesen. Das bekannteste System dieser Art ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, deren Grundlagen 1908 von E. Zermelo gelegt wurden. Die endgültige Fassung erfolgte 1922 aufgrund einer Arbeit von A. Fraenkel. Dieses System wird oft als "ZF" zitiert. Noch von Zermelo wurde das - nicht ganz unumstrittene - Auswahlaxiom hinzugefügt. In dieser Form wird es als "ZFC" (C für choice - englisch: Auswahl) bezeichnet. Die überwiegende Mehrheit der Mathematiker betrachtet heute ZFC als eine geeignete Grundlage für die moderne Mathematik. Die einzige Grundrelation in ZF oder ZFC ist

\in

(gesprochen: Element von), z.B. x

\in

M, wenn x als Element in M enthalten ist. Die Existenz von "Urelementen", die keine Mengen sind, wird in dieser Theorie nicht postuliert. Die Axiome sind so formuliert, dass die bekannten Widersprüche der Cantorschen Mengenlehre vermieden werden. Wichtig sind hier vor allem das Fundierungsaxiom und das Aussonderungsaxiom, die es unmöglich machen, die Russellsche Antinomie zu formulieren. Einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt es jedoch nicht. Im Rahmen einer Mathematik, die auf der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre basiert, lässt sich ein solcher Beweis auch grundsätzlich nicht führen (Gödelscher Unvollständigkeitssatz).

Präzisierung der Cantorschen Mengenlehre

Auch Mathematiker, die nicht auf eine Axiomatisierung der Mengenlehre aufbauen wollten, mussten dafür sorgen, dass die bekannten Widersprüche ausgeschlossen werden. Als Beispiel sollen hier die Definitionen von Erich Kamke dargestellt werden, dessen "Mengenlehre" seit 1928 in zahlreichen Auflagen erschienen ist und als eine Standard-Einführung angesehen werden kann: Kamke zitiert die Cantorsche Definition und erläutert dann: :(a) "Es sei

\mathfrak

eine wohldefinierte Eigenschaft(…), die mindestens einem 'Ding' zukommt oder eine Aussage, die für mindestens ein Ding wahr ist…"; :: An späterer Stelle führt Kamke dazu aus: "Damit ist der Mengenbegriff auf einen Begriff ähnlicher Allgemeinheit zurückgeführt, dessen genaue Festlegung keineswegs einfacher ist(…) Jedenfalls gibt es Eigenschaften, die nach übereinstimmender Meinung eine Menge einwandfrei festlegen, z.B. die Menge der natürlichen Zahlen(…). Wir wollen immer annehmen, dass von solchen einwandfreien Mengen ausgegangen wird." - Das Kamke-Zitat geht dann weiter: :"(…)ferner sei die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft

\mathfrak

eine wohlbestimmte Gesamtheit(…)" :: Dazu gibt er die Anmerkung: "Ob das zutrifft, ist mit der auch sonst in der Mathematik üblichen Sorgfalt zu untersuchen", und fährt dann fort: :(b) "Durch den Akt der Definition wird die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft

\mathfrak

als ein neues 'Ding' eingeführt und 'Menge' M oder M(m) genannt;(…) Als Konsequenz hieraus ergibt sich laut Kamke: :"Da durch die Bildung einer Menge ein neues Ding, ein neuer Begriff geschaffen werden soll(…), ist die Menge als verschieden vom jedem ihrer Elemente anzusehen(…) Hiernach sind folgende 'Mengen' sinnlos, da in sich selbst widerspruchsvoll: :(α) jede Menge, die sich selbst als Element enthält; :(β) die Menge aller Mengen, da sie sich selbst als Element enthalten müsste; :(γ) Die Menge aller Mengen, die sich nicht als Element enthalten (Russell), da sie nach dem Vorangehenden nichts als die in (β) genannte Menge ist." Hier wird also ansatzweise ein hierarchischer Mengenbegriff verwendet (ähnlich wie in der Typentheorie). Die Rechtfertigung seiner Vorgehensweise sieht Kamke darin, dass für "ernste unlösbare Widersprüche (…) irgendwelche Anzeichen" nicht vorliegen. Allerdings hat eine solche Einschränkung des Mengenbegriffs zur Folge, dass es nun durchaus "bestimmte wohlunterschiedene Objekte (…) unseres Denkens" gibt, die sich auch begrifflich "zu einem Ganzen" zusammenfassen lassen, ohne dass wir dieses Ganze als "Menge" bezeichnen dürften. (Die Gesamtheit aller Mengen ist ein Beispiel, die Gesamtheit der Kardinalzahlen ein anderes). Das ist ganz gegen Cantors Intention. Wenn solche "Un-Mengen" mit einbezogen werden sollen, wird zuweilen der Begriff Klasse verwendet.

Rückwirkungen auf die Mathematik als Wissenschaft. Bourbaki

Cantors Konzept wurde von den Mathematikern des späten 19. Jahrhunderts keineswegs als revolutionär angesehen. Der Ruf der Logik als mathematischer Disziplin war schlecht. Verallgemeinerungen auf diesem Niveau galten als überflüssig und, als dabei gar noch Antinomien auftraten, als lästig. Poincaré spottete: "Die Logik ist gar nicht mehr steril - sie zeugt jetzt Widersprüche." Im Verlauf des ersten Drittels des 20. Jahrhunderts setzte sich dann, zunächst hauptsächlich bei jungen Mathematikern, die Ansicht durch, dass Mengenlehre eine entscheidend wichtige Grundlage für die Strukturierung der Mathematik sei. Paradoxerweise erfolgte diese Aufwertung parallel zu der Erkenntnis, dass die aufgetretenen Probleme grundsätzlicher Natur und prinzipiell unlösbar sind (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Was von den Spezialisten als Grundlagenkrise der Mathematik begriffen wurde, wurde von der Mehrheit der Mathematik Schaffenden kaum beachtet. Kennzeichnend für diese Auffassung ist das Unternehmen einer Gruppe von Mathematikern, die unter dem Pseudonym Bourbaki die gesamte Mathematik auf der Grundlage der Mengenlehre einheitlich neu darstellen wollte. Die Entscheidung zwischen den möglichen Grundlegungen fiel pragmatisch aus: Zermelos typenfreies Axiomensystem schien damals leichter zu handhaben als Russells Typentheorie. Jenes wird heute ganz überwiegend als Grundlage der Mathematik betrachtet.

Rückwirkungen auf die Schulmathematik. "Neue Mathematik"

Gegen Ende der 1960er Jahre wurden Grundbegriffe der Mengenlehre in den Schulunterricht eingeführt. Insbesondere in den Eingangsklassen der Grundschulen fand eine grundlegende Veränderung des Rechenunterrichts statt, der von nun an als Mathematikunterricht aufgefasst wurde. Die zum Teil sicher überzogene Betonung des Mengenbegriffs wurde bald wieder zurückgenommen.

Kategorientheorie

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Mengenlehre und Informatik

Als Grundlage der Informatik reicht die typenfreie Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel allein nicht aus, da sie hochgradig unkonstruktiv ist, also den Begriff des Algorithmus kaum erfasst. Aus diesem Grunde wurden seit den 1970er Jahren konstruktive Kalküle entwickelt, die Klassifizierungskonzepte wie Datentypen usw. beinhalten. Es wird behauptet, dass diese Theorien im Hinblick auf Universalität und Anwendungsbereich der klassischen Mengentheorie gleichkommen.

Die Überarbeitung des geschichtlichen Teils ist (von sprachlichen Korrekturen abgesehen) jetzt abgeschlossen. Der folgende Teil des Artikels wird nun gründlich überarbeitet und ist derzeit noch im Rohbau.

Definitionen

Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie die selben Elemente enthalten. Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal: :::

A=B \iff \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)

Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass x ∈ A genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann: :::

A = \

Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) die selbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich dieser Form formulieren: "Sind

\

und

\

die gleiche Menge?".

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit

\varnothing

oder auch

\

bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede "andere" leere Menge enthält die selben Elemente (nämlich keine), ist also gleich

Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. B wird dann zuweilen auch Obermenge von A genannt. Formal: :

\subseteq  :\Longleftrightarrow \forall x  \left(  \in A \rightarrow x \in B \right)

.
- Echte Teilmenge: A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden. Die Relation "ist Teilmenge von" bildet eine Halbordnung. Die Relation "echte Teilmenge" ist eine strenge Halbordnung. Es gibt zwei Notationen:
-

\subseteq

für "Teilmenge" und

\subset

für "echte Teilmenge" oder
-

\subset

für "Teilmenge" und

A \subsetneq B

für "echte Teilmenge". In diesem Artikel wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet.

Schnittmenge

Halbordnung Gegeben ist eine Menge U von Mengen. Die Schnittmenge von U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind. Formal: :::

\bigcap U := \

. Ist U eine Paarmenge, also

U\,=\

, so schreibt man für

\bigcap U

gewöhnlich :::

\cap := \

und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen

verallgemeinern. Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen: Die Elemente der Menge

U

, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit

A_\lambda

bezeichnet. Es wird eine "Indexmenge"

\Lambda

eingeführt, sodass

U = \

ist. Die Schnittmenge

\bigcap U

wird dann geschrieben als: :::

\bigcap_ A_\lambda := \

, also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen

A_\lambda

enthalten sind.

Vereinigungsmenge

Dies ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal: :::

\bigcup U := \

. Für

U\,=\

schreibt man wieder :::

\cup := \

und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das "oder" ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet. Unter Verwendung der Indexmenge

\Lambda

schreibt man: :::

\bigcup_ A_\lambda := \

Differenz und Komplement

duale
- Komplement:

\complement:=\

bezeichnet das Komplement von

A

\mathbb

, das ist die Menge aller Elemente von

\mathbb

, die nicht in A liegen.

- Differenzmenge:

\setminus  = \

(A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B
- symmetrische Differenz:

\, \triangle \,  := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)

ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen
- Mächtigkeit:

\left| A \right|

bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge

A

, also die Anzahl der Elemente von

A

. Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit. Diese werden als Kardinalzahlen bezeichnet.
- Potenzmenge: Die Potenzmenge

\mathcal \left(  \right)

ist die Menge aller Teilmengen von

.
- Produktmenge oder kartesisches Produkt
- Die zweistellige Produktmenge

A\times B := \

ist die Menge aller geordneten Paare, die sich aus den Mengen

A

und

B

bilden lassen.
- Die Produktmenge beliebig vieler Mengen

\prod_ A_\lambda := \

ist die Menge aller Abbildungen, die einem Indexelement

\lambda

ein Element der Menge

A_\lambda

zuordnen.

Anmerkungen

- Für die Bezeichnung des Komplements einer Menge

A

gibt es einige Varianten: Es wird gelegentlich auch durch

\overline

A^C

oder

A^'

symbolisiert.
- Die Potenzmenge einer Menge

A

wird mitunter auch mit

2^A

bezeichnet. Diese Notation ist durch die Eigenschaft

|\mathcal(A)| = 2^

einer endlichen Menge A motiviert, welche unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen dann auch für beliebige unendliche Mengen gilt.
-

\in

\subset

und

\subseteq

sind Relationen. Die Negation dieser Relationen kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch

\notin

. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von

x\in A

auch

A\ni x

, anstelle von

A\subseteq B

auch

B\supseteq A

und anstelle von

A\subset B

auch

B\supset A

geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.
- Die leere Menge kann – wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen

\varnothing

und

\

sind verschieden.
- Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.
- Für eine endliche, nicht leere Indexmenge

\Lambda = \

gilt

\bigcap_ A_\lambda = A_ \cap A_ \cap \cdots \cap A_

und

\bigcup_ A_\lambda = A_ \cup A_ \cup \cdots \cup A_

. Die Definitionen für den zweistelligen Fall und den Fall beliebig vieler Mengen sind also zueinander konsistent.
- Es gilt

\bigcap_ A_\lambda = \bigcap\

und

\bigcup_ A_\lambda = \bigcup\

.
- Für den leeren Schnitt liefert die Definition

\bigcap_ A_\lambda = \bigcap\varnothing = \mathbb

, für die leere Vereinigung

\bigcup_ A_\lambda = \bigcup\varnothing = \varnothing

und für die leere Produktmenge

\prod_ A_\lambda = \varnothing

- Die Mengen

\left(A_\times A_\right) \times A_

und

A_\times \left( A_ \times A_ \right)

sind nicht gleich, aber durch die Bijektion

((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))

zueinander isomorph. In der Regel wird deshalb nicht zwischen diesen beiden Mengen unterschieden. Diese Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktengen aus einer endlichen Anzahl

n

von Mengen

A_: i\in\mathbb,1\leq i\leq n

mit der Menge der n-Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit

A_\times A_\times \cdots \times A_

zu bezeichnen.
- Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen:
- Anstelle des n-fachen endlichen Mengenprodukts

A\times A\times\cdots\times A

schreibt man auch

A^n

.
- Das unendliche Mengenprodukt

\prod_ A

ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen

\Lambda\rightarrow A

. In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise

A^\Lambda

benutzt.
- Die Mengen

A_\times A_

und

\prod_A_\lambda

sind nicht gleich, aber durch die Bijektion

(a,b)\mapsto f_

mit

f_:\\to \mathbb

\lambda_1\mapsto a

\lambda_2\mapsto b

zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge

\Lambda = \

in der Regel auch nicht zwischen

\prod_ A_\lambda

und

A_\times A_\times \cdots \times A_

unterschieden wird.

Beispiele

Wir betrachten die Mengen

\mathbb = \

A = \

und

B = \

. Es gelten:
-

2\in A

2\notin B

A\subseteq\mathbb

B\subseteq\mathbb

\mathbb\subseteq\mathbb

A\subset\mathbb

B\subset\mathbb

A\cap B = \

A\cup B = \mathbb

\complement = \

\complement = \

\complement=\varnothing

\complement=\mathbb

A\setminus B = \

B\setminus A = \

\mathbb\setminus A = \

A\setminus\mathbb = \varnothing

A\triangle B = \

A\triangle\mathbb = \

B\triangle\mathbb = \

\left| \mathbb\right|

= 3,

\left| A\right|

= 2,

\left|\varnothing\right|

= 0,

\left|\\right|

= 1
-

\mathcal \left(A\right) = \

\mathcal \left(\mathbb\right) = \

A\times B = \

A\times\ = \

A^2 = \

\^3 = \

\varnothing\notin\varnothing

\varnothing\in\

\mathcal \left(\varnothing\right) = \

\mathcal \left(\\right) = \

A\times\varnothing = \varnothing\times A = \varnothing

\mathbb^+\subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge

\mathcal\left(\mathbb\right)

ist bezüglich der Relation

\subseteq

partiell geordnet, denn für alle

A,B,C\subseteq\mathbb

gilt:
- Reflexivität:

A\subseteq A

- Antisymmetrie: Aus

A\subseteq B

und

B\subseteq A

folgt

A = B

- Transitivität: Aus

A\subseteq B

und

B\subseteq C

folgt

A\subseteq C

Die Mengen-Operationen Schnitt

\cap

und Vereinigung

\cup

sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:
- Kommutativgesetz:

A \cup B = B \cup A

A \cap B = B \cap A

- Assoziativgesetz:

\left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)

\left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)

- Distributivgesetz:

A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)

A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)

- De Morgansche Gesetze:

\complement( A \cup B) = \complement \cap \complement

\complement = \complement \cup \complement

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Distributivgesetze:

(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)

(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)

A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)

und

A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)

- Assoziativgesetze:

(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)

und

A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Kommutativgesetz:

A \triangle B = B \triangle A

- Assoziativgesetz:

(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)

- Distributivgesetz:

(A \triangle B) \cap C = (A \cap C) \triangle (B \cap C)

A \triangle \varnothing = A \quad A \triangle A = \varnothing

Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.

Siehe auch

- Tabelle mathematischer Symbole
- Universum (Mathematik)

Weblinks

- [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/03EXX.html Mathematical Atlas Artikel]
- [http://planetmath.org/encyclopedia/SetTheory.html PlanetMath Artikel]
- [http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html Mathe Online]
- http://plaz.upb.de/lehrerbildung/plan/plan.php?id=sw0306 ja:集合論

Punkt (Geometrie)

Der Punkt stellt das grundlegende Element der axiomatischen Geometrie dar. Ein solcher Punkt wird als ein nulldimensionales Objekt ohne jede Ausdehnung verstanden, über das nichts weiter ausgesagt werden kann. Sämtliche anderen geometrischen Objekte lassen sich als Mengen von Punkten definieren. So stellt etwa eine Gerade in der euklidischen Geometrie eine eindimensionale Punktmenge, eine Fläche eine zweidimensionale Punktmenge usw. dar. Die Menge aller Punkte ist also gerade die Menge derjenigen Objekte, aus denen sich andere Objekte in der axiomatisch festgelegten Weise herleiten lassen. Umgekehrt werden alle Objekte, die keine Punkte sind, über Punkte oder aus Punkten konstruierte Objekte definiert. Diese zyklische Definition lässt sich innerhalb einer Geometrie nicht auflösen. Euklid definierte den Punkt in seinen Elementen als etwas, was keine Teile hat. Mit dieser Definition gelang es ihm in gewisser Weise, die beschriebene zyklische Definition zu verankern. Für die euklidische Geometrie wäre diese Festlegung jedoch keineswegs nötig - sie leistet der Anschauung lediglich eine Hilfestellung. Die Formulierung lässt sich auch im Lichte der damaligen philosophischen Kontroverse zwischen Atomismus und Plenismus verstehen, wobei Euklid hier für die Mathematik eine atomistische Position bezieht. Von Oskar Perron stammt die Bemerkung: "Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt." (Nichteuklidische Elementargeometrie der Ebene, Stuttgart 1962) In der projektiven Geometrie wird der Begriff Punkt erweitert durch den Fernpunkt. Als Punkt bezeichnet man auch in anderen Bereichen der Mathematik die Elemente gewisser mathematischer Strukturen, siehe dazu die folgenden Artikel: # Topologischer Raum # Raum (Mathematik) # Vektorraum Kategorie:Geometrie ja:点 ko:점 (기하)

Ebene (Mathematik)

Eine Ebene ist in der Mathematik ein zweidimensionaler Vektorraum. Meist meint man die in der Geometrie verwendete euklidische Ebene, die ein zweidimensionaler euklidischer Raum ist. Zur Beschreibung einer Ebene (Ebenengleichung) gibt es verschiedene Möglichkeiten:
- Koordinatendarstellung :

a_1 \cdot x+a_2 \cdot y+a_3 \cdot z=b

- Parameterform :

\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot\vec v

(ein Punkt und zwei Richtungen)
- Normalform :

( \vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0

- Hessesche Normalform :

\vec r \cdot \vec n_0 = d

(ein Punkt und eine Richtung senkrecht zur Ebene)
- Achsenabschnittsform :

+  +  = 1

- drei Punkte, die in der Ebene liegen

Ebenen im 3-dimensionalen Raum

kartesische Koordinaten

Die x-y-Ebene, die y-z-Ebene und die z-x-Ebene sind Schnitte oder Abbildungen des dreidimensionalen Raums, bei denen die jeweils im Namen vorkommenden Achsen des kartesischen Koordinatensystems sichtbar sind. Sie sind in der Regel unendlich weit ausgedehnt.

Polarkoordinaten

Genauso lassen sich in Polarkoordinaten Ebenen bilden. Man kann es mit einer Torte erklären:
- Die r-z-Ebene beschreibt die Ebene, die ein Tortenstück von der geschnittenen Seite zeigt. (Man sieht die Sahnefüllung und die Teigschichten). Damit kann man sehr gut rotationssymetrische Körper darstellen und z. B. dreidimensionale Felder, Kräfte, etc. vereinfacht berechnen. (Eine Rotation dieser Ebene um die Z-Achse um 2π ergibt dann den rotationssymmetrischen Körper.) Die r-z-Ebene ist in z-Richtung unendlich weit ausgedent, in r-Richtung jedoch nur von r=0 bis ∞, deshalb ist sie eigentlich nur eine Halbebene. Würde man die ganze Torte in 2 Hälften schneiden, wäre alles links von der Mitte eine Spiegelung der rechten Seite, deshalb werwendet man nur eine Halbebene.
- Die r-φ-Ebene (auch Drehebene) sieht man die Torte von oben, oder man schneidet mit dem Messer von oben etwas ab und sieht den Schnitt durch eine Schicht von oben. Sie ist unendlich weit ausgedehnt und unterscheidet sich nicht von einer Ebene in kartesischen Koordinaten, wenn man sie zu einer x-y-Ebenen umdefiniert (die Z-Achse zeigt dann weiterhin aus der Ebenen heraus). Die r-φ-Ebene kann z. B. zur zweidimensinalen Darstellung und Berechnung eines Elektromotors verwendet werden.
- Der φ-z-Ebene kommt eine geringere Bedeutung zu. Sie würde z. B. den abgewickelten Rand der Torte zeigen und liegt in den Intervallen z=[-∞,∞] und φ=[0,2π]. ---- Siehe auch Planiversum, Spurgerade, Affine Ebene Kategorie: Geometrie ja:平面

Differenz

Der Ausdruck Differenz bezeichnet im Allgemeinen einen Unterschied auf der Grundlage eines expliziten Vergleichsmaßstabs. Im Besonderen versteht man darunter: #In der Mathematik das Ergebnis einer Subtraktion. #in der Systemtheorie, siehe Differenz (Systemtheorie) #in der Philosophie, siehe Differenz (Philosophie) und Différance #in der Psychologie die Unterscheidung zwischen dem Ich und dem Anderen, siehe Differenz (Psychologie) # Sprachwissenschaft: Ferdinand_de_Saussure#Zeichen_und_Bedeutung: Bedeutung ist was relatives # Sprachwissenschaft: Michail Michailowitsch Bachtin: Bedeutung existiert nur im Dialog mit dem anderen (vgl. Anderheit) #Anthropologie: Claude_Levi-Strauss#Zentrale_Themen: Kultur basiert auf Differenz #Psychoanalyse: das Subjekt ist niemals vollständig: Ödipuskomplex, Spiegelstadium

Siehe auch

- Einheit
- Abweichung simple:Difference

Ellipse

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Definitionen und Begriffe

Kegelschnitten

Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte

P

der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten

F_1

und

F_2

gleich 2a ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte

F_1

und

F_2

heißen Brennpunkte. :

E = \

Scheitel und Achsen

Die Punkte

S_1

und

S_2

mit größtem Abstand zum Mittelpunkt

M

heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie

\overline

heißt Hauptachse bestehend aus den zwei großen Halbachsen

\overline

und

\overline

. Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln

S_3

und

S_4

, welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen

\overline

und

\overline

definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit

b

bezeichnet: :

\left|\overline\right| = \left|\overline\right| = b

Haupt- und Nebenachse sind zueinander