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IEEE 754

IEEE 754

Die Norm IEEE 754 (ANSI/IEEE Std 754-1985; IEC-60559 - International version) definiert Standarddarstellungen für binäre Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen, insbesondere für Rundungen, fest.

Überblick

In der Norm IEEE 754 werden zwei Grunddatenformate für binäre Gleitkommazahlen mit 32 Bit ("single precision") bzw. 64 Bit ("double precision") Speicherbedarf und zwei erweiterte Formate definiert. In der verwandten Norm IEEE 854 werden nichtbinäre Gleitpunktzahlen definiert. In Entwurf für eine Neufassung von IEEE 754 (IEEE 754r) werden weitere binäre (16, 32, 64, 128 Bit) und dezimale (32, 64, 128 Bit) Formate für Gleitpunktzahlen vorgeschlagen. IEEE 754 und IEEE 854 werden in Zukunft also zusammengeführt. Schließlich gibt es Vorschläge und Implementierungen von weiteren Zahlenformaten, die nach den Prinzipien der IEEE 754 Norm gestaltet sind und deshalb oft als IEEE-Zahlen bezeichnet werden, obwohl das streng genommen falsch ist. Dazu gehören die Minifloats, die für die Ausbildung gedacht sind. Minifloats mit 16 Bit werden aber gelegentlich in der Graphikprogrammierung verwendet. Dazu gehören auch mehrere nicht von IEEE definierte Zahlenformate mit mehr als 64 Bit.

Allgemeines

Die Darstellung einer Gleitkommazahl

x = s \times m \times b^e

besteht aus:
- Vorzeichen s (fast ausnahmslos 1 Bit)
- Exponent e (r Bit)
- Mantisse m (p Bit) Bei normalisierten Gleitkommazahlen (NZ) nach IEEE 754 ist die Basis b = 2. Das Vorzeichen

s = (-1)^S

wird in einem Bit S gespeichert, so dass S = 0 positive Zahlen und S = 1 negative Zahlen markiert. Der Exponent e ergibt sich aus der in den Exponentenbits gespeicherten nichtnegativen Binärzahl E durch Subtraktion eines festen Biaswertes B:

e = E - B

. Schließlich ist die Mantisse

1 \le m < 2

ein Wert, der sich aus den p Mantissenbits M berechnet als

m = 1 + M / 2^p

. Einfacher ausgedrückt, denkt man sich an das Mantissenbitmuster M links 1. angehängt: m = 1.M.
-

s = (-1)^S

e = E - B

m = 1.M = 1 + M / 2^p

Dieses Verfahren ist möglich, weil durch Normalisierung (s.u.) die Bedingung

1 \le m < 2

für alle (darstellbaren) Zahlen immer eingehalten werden kann. Da dann die Mantisse immer links mit 1. beginnt, braucht dieses Bit nicht mehr gespeichert zu werden. Damit gewinnt man ein zusätzliches Bit Genauigkeit. Neben normalisierten Zahlen gibt es in IEEE 754 auch nichtnormalisierte Zahlen (denormalized numbers). Schließlich gibt es spezielle Werte, die Sonderfälle kennzeichnen. Dazu gehört die Zahl 0 in zwei Darstellungen +0 und -0. Dazu gehören zwei Darstellungen für

\infty

, nämlich

+\infty

und

-\infty

. Und dazu gehören spezielle Darstellungen für Nichtzahlen, bezeichnet als NaN (not a number), mit denen explizit Ergebnisse verbotener Operationen markiert werden können. NaNs werden in Signal-NaNs (signaling NaN) für Ausnahmebedingungen und stille NaNs (quiet NaN) unterteilt.

Details

IEEE 754 unterscheidet vier Darstellungen: einfach genaue (single), erweiterte einfach genaue (single extended), doppelt genaue (double) und erweiterte doppelt genaue (double extended) Zahlenformate. Bei den erweiterten Formaten ist nur jeweils eine Mindestbitzahl vorgeschrieben. Die Grundformate sind vollständig definiert. Die Anzahl der Exponentenbits legt den Wertebereich der darstellbaren Zahlen fest (s.u.). Die Anzahl der Mantissenbits legt die Genauigkeit dieser Zahlen fest. Die Anordnung der Bits einer single in einer FPU (floating point unit) zeigt die nachfolgende Abbildung. Die bei einer Rechenanlage konkrete Anordnung der Bits im Speicher kann von diesem Bild abweichen und hängt von der jeweiligen Bytereihenfolge (litte/big endian) und weiteren Rechnereigenheiten ab. Bild:IEEE-754-single1.png Die Anordnung mit Vorzeichen – Exponent – Mantisse in genau dieser Reihenfolge bringt die dargestellten Gleitkommawerte in dieselbe Reihenfolge wie die durch dasselbe Bitmuster darstellbaren Signed-Integer-Werte. Damit können für die Vergleiche von Gleitkommazahlen dieselben Operationen verwendet werden, wie für die Vergleiche von Signed-Integers. Kurz: die Gleitkommazahlen können lexikalisch sortiert werden. Neben diesen beiden Formaten werden "erweiterte Formate" definiert. Es wird aber nicht definiert, wie groß die Genauigkeit dieser Formate ist. Auch wenn in diesem Artikel hauptsächlich das Zahlenformat erörtert wird, liegt die Bedeutung der IEEE 754 Norm auch darin, dass für Gleitkommazahlen genaue Vorschriften für
- Rundung
- arithmetische Operationen
- Wurzelberechnung
- Konversionen
- Ausnahmebehandlung (Exception handling) festgelegt werden

Darstellbare Werte

Sind im Exponent einer Zahl alle Bits gesetzt (= 1) oder alle gelöscht (=0), so hat diese Fließkommazahl eine gesonderte Bedeutung: ;"Unendlich" : Repräsentiert Zahlen, deren Betrag zu groß sind, um dargestellt zu werden. Es wird zwischen +"Unendlich" und –"Unendlich" unterschieden. Die Berechnung von 1.0/0.0 ergibt per Definition ebenfalls +"Unendlich". ;"Keine Zahl" (NaN) : Damit werden ungültige (oder nicht definierte) Ergebnisse dargestellt, z. B. wenn versucht wurde, die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu berechnen. Einige "unbestimmte Ausdrücke" haben als Ergebnis "keine Zahl", zum Beispiel 0.0/0.0 oder "Unendlich" – "Unendlich". Außerdem werden NaNs in verschiedenen Anwendungsbereichen benutzt, um "Kein Wert" oder "Unbekannter Wert" darzustellen. Insbesondere der Wert mit dem Bitmuster 111...111 wird oft für eine "nicht initialisierte Fließkommazahl" benutzt. ; Null : Null repräsentiert die absolute Null. Auch Zahlen, die zu klein sind, um dargestellt zu werden (Unterlauf) werden auf Null gerundet. Ihr Vorzeichen bleibt dabei erhalten. Negative kleine Zahlen werden so zu –0.0 gerundet, positive Zahlen zu +0.0. Beim direkten Vergleich werden jedoch +0.0 und –0.0 als gleich angesehen. ; Denormalisierte Zahl : Ist eine Zahl zu klein, um in normalisierter Form mit dem kleinsten, von Null verschiedenen Exponenten gespeichert zu werden, so werden sie als "Denormalisierte Zahl" gespeichert. Ihre Interpretation ist nicht mehr

\pm 1mantisse \cdot 2^

sondern

\pm 0mantisse \cdot 2^

de

ist dabei der Wert des kleinsten "normalen" Exponenten. Damit lässt sich die Lücke zwischen der kleinsten normalisierten Zahl und Null verkleinern. Denormalisierte Zahlen haben jedoch eine geringere Genauigkeit als normalisierte Zahlen, die Anzahl der signifikanten Stellen in der Mantisse nimmt zur Null hin ab. :Ist das Ergebnis (oder Zwischenergebnis) einer Rechnung kleiner als die kleinste darstellbare Zahl der verwendeten endlichen Arithmetik, so wird es i.A. auf Null gerundet; das nennt man Unterlauf der Gleitkommaarithmetik, englisch Underflow. Da dabei Information verloren geht, versucht man, Unterlauf nach Möglichkeit zu vermeiden. Die denormalisierten Zahlen in IEEE 754 bewirken einen allmählichen Unterlauf, indem "um die 0 herum"

2^

(für 'single') bzw.

2^

(für 'double') Werte eingefügt werden, die alle denselben absoluten Abstand voneinander haben und ohne diese denormalisierten Werte nicht darstellbar wären, sondern zu Unterlauf führen müssten. ; Normalisierte Zahl : In allen anderen Fällen berechnet sich der Wert v der Zahl als

v = (-1)^s \cdot (1m_0m_1m_2\dots) \cdot 2^

. Hierbei ist s das Vorzeichenbit,

m_i

sind die Bits der Mantisse und

e_j

die Bits des Exponenten. Der Wert a ist die Abweichung (engl.: bias), die aus der Tabelle oben entnommen werden kann. :Die Mantisse ist im wesentlichen die ersten n wesentlichen Ziffern der Binärdarstellung der normalisierten Zahl. Die erste wesentliche Ziffer ist die höchstwertige (d.h. am weitesten links stehende) Ziffer, die von 0 verschieden ist. Da eine von 0 verschiedene Ziffer im Binärsystem nur eine 1 sein kann, muss diese erste 1 nicht explizit abgespeichert werden; gemäss der Norm IEEE 754 werden nur die folgenden Ziffern gespeichert, die erste Ziffer ist eine implizite Ziffer oder ein implizites Bit. Dadurch wird gewissermassen 1 Bit Speicherplatz 'gespart'. Als darstellbarer Zahlenbereich ergibt sich:
- single: ±1,18·10^-38 ... ±3,40·10⁺³⁸
- double: ±2,23·10^-308 ... ±1,80·10⁺³⁰⁸

Umwandlung

Für die Umwandlung einer Dezimalzahl in die IEEE 754-Maschinendarstellung geht man folgendermaßen vor. Als Beispiel soll 166,125 umgewandelt werden. # 166,125_dezimal = 10100110,001_binär # Nach Verschiebung des Kommas 10100110,001_binär = 1,0100110001_binär
- 2⁷ Die Bits nach dem Komma (nach der Normalisierung) werden oft auch Fraction Bits genannt. # Die Mantisse erhält man, indem man die 1 und das Komma weglässt: 0100110001. Um auf 23 Bit zu kommen wird (falls nötig) das Ende mit Nullen aufgefüllt 0100110 00100000 00000000 oder korrekt gerundet. Bei der Rundung wird zur nächstgelegenen IEEE-Zahl gerundet, im Zweifelsfall zur nächstgelegenen geraden Darstellung (Bit rechts

0). # Vorzeichen: Hier "0", da es sich um eine positive Zahl handelt. # Charakteristik: 7 (Exponent = Anzahl Stellen, um die das Komma unter 2. nach links verschoben wurde) + 127 (Bias-Wert, da Darstellungsgenauigkeit vom Typ "Single") = 134_dezimal = 10000110_binär # Ergebnis als Maschinenzahl: 0 10000110 0100110 00100000 00000000_binär = 43 26 20 00_hex Wichtig ist es zu beachten, dass Fließkommazahlen nur begrenzte Genauigkeit bieten und es zwangsweise zu Rundungsfehlern kommt. Dies kommt vor allen dann zum Tragen, wenn man viele einzelne Fließkommazahlen aufsummiert. Oft addieren sich hier die Rundungsfehler. Die Zahl 0,1_dezimal z.B. ist 0,000110011001100110011..._binär, also eine Zahl mit periodischen, und somit unendlich langen Nachkommastellen. Viele Programmiersprachen bieten daher Alternative Datentypen für Kaufmännische Anwendungen an, die intern in dezimaler Schreibweise arbeiten, z.B. in Java java.math.BigDecimal. Auch gibt es Programmiersprachen, die für numerische Berechnungen optimiert sind, z.B. Fortran.

Null

Die Zahl ist Null, wenn sowohl Exponent und auch Mantisse gleich Null sind. Das Vorzeichen spielt in diesem Fall keine Rolle.

Unendlich

Nichtzahlen - NaN

IEEE 754 fordert zwei Nichtzahlen: stille NaN (NaNq - quiet) und Signal-NaN (NaNs - signal). Beide stellen explizit keine Zahlen dar. Eine Signal-NaN löst im Gegensatz zu einer stillen NaN eine Ausnahme (Exception) aus, wenn sie als Operand einer arithmetischen Operation auftritt. IEEE 754 ermöglicht dem Anwender das Einstellen von Traps bei Ausnahmebedingungen. Nutzt der Anwender diese Möglichkeit nicht, so wird im allgemeinen statt einer Signal-NaN eine stille NaN erzeugt. Signal-NaN können je nach Rechenanlage uninitialisierten Rechnerspeicher füllen, so dass jedes Verwenden einer uninitialisierten Variable automatisch eine Ausnahme auslöst. Stille NaN ermöglichen den Umgang mit Rechnungen, die kein Ergebnis erzeugen können, wie die Division 0/0. NaN erlauben auch das Abspeichern zusätzlicher Hilfsinformation, z.B. über die Ursache der NaN. Damit wird die Diagnose der Fehlerursache während der Ausnahmebehandlung ermöglicht.

Rundungen

IEEE 754 unterscheidet zunächst zwischen binären Rundungen und binär-dezimalen Rundungen, bei denen geringere Qualitätsforderungen gelten. Bei binären Rundungen muss zur nächstgelegenen darstellbaren Zahl gerundet werden. Wenn diese nicht eindeutig definiert ist (genau in der Mitte zwischen zwei darstellbaren Zahlen) muss in Richtung zur nächstgelegenen geraden Zahl gerundet werden. Damit wird der von Knuth beschriebene statistische Drift in längeren Rechnungen vermieden. Eine zu IEEE 754 konforme Implementierung muss drei vom Programmierer einstellbare Rundungen bereitstellen: Rundung gegen +Unendlich (immer aufrunden), Rundung gegen -Unendlich (immer abrunden) und Rundung gegen 0 (Ergebnis immer betragsmäßig verkleinern).

Operationen

Zu IEEE 754 konforme Implementierungen müssen Operationen für Arithmetik, Berechnung der Quadratwurzel, Konversionen und Vergleiche bereitstellen. Eine weitere Gruppe von Operationen wird im Anhang empfohlen, jedoch nicht verbindlich vorgeschrieben.

Arithmetik und Quadratwurzel

IEEE 754 verlangt von einer (Hardware- oder Software-)Implementierung exakt gerundete Ergebnisse für die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier Operanden sowie der Operation Quadratwurzel eines Operanden. Das heißt, das ermittelte Ergebnis muss gleich demjenigen sein, das bei einer exakten Ausführung der entsprechenden Operation mit anschließender Rundung entsteht. Vor allem für die Subtraktion ist das keine trivial erfüllbare Forderung (siehe Goldberg). Weiter ist die Berechnung des Restes nach einer Division mit ganzzahligem Ergebnis gefordert. Diese Restberechnung ist definiert durch r = x - y
- n, n ganzzahlig, abs (n-x/y) < 1/2 oder abs (n-x/y) = 1/2 und n gerade. Dieser Rest muss ohne Rundung exakt ermittelt werden.

Konversionen

Konversionen werden zwischen allen unterstützten Gleitkommaformaten gefordert. Bei einer Konversion in ein Gleitkommaformat mit kleinerer Genauigkeit muss wie schon unter Arithmetik beschrieben exakt gerundet werden. Zu IEEE 754 konforme Implementierungen müssen Konversionen zwischen allen unterstützten Gleitkommaformaten und allen unterstützen ganzzahligen Formaten bereitstellen. Die ganzzahligen Formate werden in IEEE 754 jedoch nicht genauer definiert. Bei jedem unterstützten Gleitkommaformat muss eine Operation existieren, die diese Gleitkommazahl in die exakt gerundete ganze Zahl im selben Gleitkommaformat konvertiert. Schließlich müssen Konversionen zwischen dem binären Gleitkommaformat und einem Dezimalformat existieren, die genau beschriebenen Mindestqualitätsforderungen genügt.

Vergleiche

Gleitkommazahlen nach IEEE 754 müssen verglichen werden können. Die Norm definiert die notwendigen Vergleichsoperationen und für alle möglichen Sonderfälle (vor allem NaN, Unendlich und 0) die geforderten Ergebnisse. Gegenüber den "schulmathematischen" Vergleichen (kleiner, gleich oder größer) kommt als mögliches Ergebnis nach IEEE 754 vor allem unordered (nicht anordbar) hinzu, wenn einer der Vergleichsoperanden NaN ist. Zwei NaN sind prinzipiell verschieden, auch wenn ihre Bitmuster übereinstimmen.

Empfohlene Operationen

Im Anhang der Norm werden zehn weitere Operationen empfohlen. Da sie in einer Implementierung im Grunde sowieso benötigt werden, läuft diese Empfehlung letztlich darauf hinaus, die Operationen an den Programmierer weiterzugeben. Diese Operationen sind (in C-Schreibweise): Copysign (x, y), Invertsign (x), Scalb (y, N), Logb (x), Nextafter (x, y), Finite (x), Isnan (x), x ≠ y, Unordered (x, y), Class (x). Die Details der Implementierung vor allem wieder bei den Sonderfällen NaN usw. sind ebenfalls vorgeschlagen. Exceptions, Flags und Traps

Anhang

In einem Anhang werden zehn weitere Operationen (siehe dort) nicht verbindlich empfohlen.

Geschichtliches

In der 1960er und frühen 70er Jahren hatte jeder Prozessor sein eigenes Format für Gleitkommazahlen und seine eigene FPU oder Gleitkommasoftware, mit der das jeweilige Format verarbeitet wurde. Dasselbe Programm konnte auf verschiedenen Rechnern unterschiedliche Resultate liefern. Die Qualität der verschiedenen Gleitkommaarithmetiken war logischerweise ebenfalls sehr unterschiedlich. Intel plante um 1976 für seine Mikroprozessoren eine eigene FPU und wollte die bestmögliche Lösung für die zu implementierende Arithmetik. Unter der Federführung der IEEE begannen 1977 Treffen, um FPUs für Gleitkommaarithmetik für Mikroprozessoren zu normieren. Das zweite Treffen fand im November 1977 unter dem Vorsitz von Richard Delp in San Francisco statt. Einer der Teilnehmer war Prof. Kahan. Um 1980 wurde die Anzahl der Vorschläge für die Norm auf zwei reduziert: Der K-C-S Vorschlag (nach seinen Autoren Kahan, Coonen und Stone, 1977) setzte sich letztlich gegen die Alternative von DEC (F-Format, D-Format und G-Format) durch. Ein bedeutender Meilenstein auf dem Weg zur Norm war die Diskussion über die Behandlung des Unterlaufs, der bis dahin von den meisten Programmierern vernachlässigt worden war. Intel implementierte gleichzeitig mit der Entwicklung der Norm die Normvorschläge weitgehend in der Intel FPU 8087, die als Gleitkomma-Coprozessor zum 8088 Verwendung fand. Die endgültige Norm wurde 1985 verabschiedet.

Literatur

IEEE 754: reprinted in SIGPLAN Notices Vol. 22, Nr. 2, Feb. 1987

Siehe auch

- Potenz (Mathematik)
- Mantisse
- Minifloats
- einfache Genauigkeit
- doppelte Genauigkeit
- vierfache Genauigkeit
- Gleitkommazahl

Weblinks

- [http://754r.ucbtest.org/standards/754.txt IEEE 754]
- [http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html Java-Applet zur Umrechnung zwischen Binär- und Dezimaldarstellung von IEEE 754-Fließkommazahlen]
- [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/754story.html Zur Geschichte: An Interview with the Old Man of Floating-Point (Reminiscences elicited from William Kahan by Charles Severance)]
- William Kahan: [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/ieee754.ps IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point-Arithmetic], 1996
- David Goldberg: [http://cch.loria.fr/documentation/IEEE754/ACM/goldberg.pdf What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic], 1991 Kategorie:Computer Kategorie:Normung Kategorie:Numerische Mathematik ja:IEEE754 ko:IEEE 754

Gleitkommazahl

Eine Gleitkommazahl (auch Gleitpunktzahl, fälschlich Fließkommazahl; engl. floating point number) ist eine exakte oder approximative Darstellung einer rationalen Zahl in einem bestimmten Format. Die Menge der Gleitkommazahlen ist eine endliche Teilmenge der rationalen Zahlen, meist erweitert um einige Spezialelemente (+Unendlich, –Unendlich, NaN (=„Not A Number“), –0, usw. siehe unten). Zusammen mit den auf ihnen definierten Operationen bilden die Gleitkommazahlen eine endliche Arithmetik, die vor allem im Hinblick auf numerische Berechnungen mit Computern entwickelt wurde. Dort dienen die Gleitkommazahlen meist als rationale Näherungen für reelle Zahlen.

Idee

Bei Gleitkommazahlen ist nicht die absolute Anzahl von Stellen konstant, sondern die Anzahl wesentlicher oder signifikanter Stellen. Gleitkommaarithmetik wird auch als „linksbündige“, Festkommaarithmetik dagegen als „rechtsbündige“ Arithmetik bezeichnet wegen des unterschiedlichen Umgangs mit großen Resultaten bzw. Zwischenresultaten von Berechnungen. Die Gleitkommadarstellung wurde von Konrad Zuse für seine Computer Z1 und Z3 erfunden. Im Gegensatz zur Festkommadarstellung wird bei der Gleitkommadarstellung die Zahl geteilt in eine Mantisse und einen Exponenten zu einer bestimmten, festen Basis, wodurch bei gleichem Speicherplatzbedarf ein größerer Wertebereich als bei Festkommadarstellung abgedeckt werden kann. Das heißt, dass man eine Zahl a ≠ 0 durch zwei Zahlen m und e solcherart darstellen kann, dass a = m · b^e gilt. Zur Darstellung von Gleitkommazahlen wählt man eine beliebige natürliche Zahl b>1 als Basis (auch: Radix) und eine Präzision p, die angibt, wieviele Ziffern gespeichert werden sollen. Die Zahl m wird Mantisse genannt und ist eine Zahl mit p Stellen der Form ±z,zzz...zzz . Hierbei steht z stellvertretend für eine Ziffer zwischen 0 und b – 1. Eine Mantisse m heißt normalisiert, wenn ihre erste Ziffer ungleich Null ist. Die Normalisierung wird meist so definiert, dass entweder

\frac \le m < 1

(d.h.

m \in \left[\frac, 1 \right[

) oder

1 \le m < b

(d.h.

m \in \left[1, b \right[

) ist, d.h. dass die erste wesentliche, d.h. von 0 verschiedene Ziffer unmittelbar links bzw. unmittelbar rechts vom Komma stehen muss. Dies wird durch Anpassung des (ganzzahligen) Exponenten e erreicht. Bei Darstellungen von Gleitkommazahlen, die ein Vorzeichenbit verwenden, wird außerdem verlangt, dass die Mantisse positiv ist. e ist eine ganze Zahl und wird Exponent genannt. (Siehe auch: Logarithmus) Beispiel: Eine Gleitkommazahl mit vier dezimalen Stellen (b = 10, p = 4) kann dazu verwendet werden, 4,321 oder 0,00004321 darzustellen. Es wird allerdings in Kauf genommen, dass bei einer derartigen Darstellung Zahlen gerundet werden. So wird etwa aus 432,123 der Wert 432,1, und aus 43.212,3 der Wert 43.210.

Darstellung

Bild:IEEE-754-single1.png
Bitdarstellung des IEEE 754 „Single“ Datentyps Binäre Gleitkommazahlen werden analog zur wissenschaftlichen Schreibweise von Dezimalzahlen dargestellt. In der wissenschaftlichen Schreibweise wird die Zahl 0,00001234 als 1,234·10^-5 geschrieben, oder die Zahl 123.400 als 1,234·10⁵. Dabei ist die wissenschaftliche Schreibweise normalisiert: in der Mantisse wird die erste wesentliche Ziffer links vom Dezimal-Komma geschrieben, alle anderen Ziffern rechts davon. Für die Darstellung als Gleitkommazahl wird eine Zahl in drei Teile aufgespalten. Ein Vorzeichenbit zeigt dabei negative Werte der Mantisse an. Für die Mantisse wird eine gewisse Anzahl von Bits festgelegt, sie wird im Binärsystem gespeichert. Ebenso wird der Exponent als gewisse Anzahl von Bits gespeichert. Das gebräuchliche IEEE-Format für Gleitkommazahlen verwendet eine normalisierte Darstellung der Mantisse. Dadurch ist die Position des Kommas implizit bekannt. Ebenso ist die Basis b = 2 implizit durch die binäre Codierung aller Zahlen bekannt.

Hidden Bit

Bei der Darstellung normalisierter Mantissen im Binärsystem kann ein Bit eingespart werden. Da die erste Stelle einer normalisierten Zahl immer ungleich 0 ist, ist diese Stelle im Binärsystem immer gleich 1. Das heißt, dass diese erste Eins nicht explizit gespeichert werden muss, da dies implizit bekannt ist. Das erwähnte IEEE-Format für Gleitkommazahlen macht von dieser Einsparungsmöglichkeit Gebrauch. Allerdings bedeutet die Verwendung eines derartigen Hidden Bit, dass die Null nicht mehr direkt als Gleitkommazahl gespeichert werden kann. Für die Darstellung der Null wird deshalb eine bestimmte Bitfolge reserviert.

Darstellung negativer Exponenten

Exponenten können ebenso wie die Mantisse negativ sein. Meist werden negative Exponenten jedoch nicht im Zweierkomplement dargestellt, sondern in der so genannten Biased-Darstellung. Dabei wird zum eigentlichen Exponenten eine festgelegte Zahl, der Bias (engl. für Ausrichtung oder Vorspannung), addiert. Bei einem Bias von 127 wird aus einem Exponenten e = –1 etwa 126, aus e = –127 wird 0 und aus e = 7 wird 134. Die negativen Werte werden also durch Addition des Bias in den positiven Bereich verschoben. Der Vorteil der Biased-Darstellung besteht darin, dass auf diese Weise ein Größer/Kleiner-Vergleich zwischen zwei Gleitkommazahlen erleichert wird. Es genügt, die Ziffernfolgen em, also jeweils Exponent e gefolgt von Mantisse m, lexikografisch miteinander zu vergleichen. Eine Gleitkomma-Subtraktion mit anschließendem Vergleich auf Null wäre weitaus aufwändiger. Der Nachteil der Biased-Darstellung gegenüber der Zweierkomplement-Darstellung besteht darin, dass nach einer Addition zweier Biased-Exponenten der Bias subtrahiert werden muss, um das richtige Ergebnis zu erhalten.

Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik

Die oben erwähnten Beispiele sind im Dezimalsystem angegeben, das heißt mit einer Basis b = 10. Computer verwenden stattdessen das Binärsystem mit einer Basis b = 2. Gleitkommazahlen werden in Computern normalerweise als Folgen von 32 Bit („einfache Genauigkeit“) oder 64 Bit („doppelte Genauigkeit“) dargestellt. Manche Prozessoren erlauben auch längere Gleitkommazahlen, so kennen die von der Intel x86 Serie abgeleiteten Prozessoren (u.a. Intel Pentium und AMD Athlon) eine Gleitkommazahldarstellung mit 80 Bit für Zwischenergebnisse. Manche Systeme erlauben auch Gleitkommazahlen mit 128 Bit. Einige ältere Systeme verwendeten auch noch andere Längen wie z.B. 40 Bit. Die IEEE hat die Darstellung von Gleitkommazahlen in ihrem Standard IEEE 754 reglementiert; beinahe alle modernen Prozessoren folgen diesem Standard. Ausnahmen sind einige IBM-Großrechnersysteme, die VAX-Architektur und einige Supercomputer, etwa von Cray sowie die Java Virtual Machine mit den Java-Typen float und double sowie den zugehörigen Wrapper-Klassen Float und Double. (vgl. hierzu z.B. die Darstellung von William Kahan unter [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf].) Die tatsächliche Darstellung im Computer besteht also aus einem Vorzeichen-Bit, einigen Mantissen-Bits und einigen Exponenten-Bits. Wobei die Mantisse meist normiert ist und Zahlen im Intervall [1; 2[ darstellt. (Da in diesem Intervall das erste Bit mit der Wertigkeit Eins stets gesetzt ist, wird es meist implizit angenommen und nicht gespeichert.) Der Exponent wird meist im Biased-Format, oder auch im Zweierkomplement dargestellt. Des weiteren werden zur Darstellung besonderer Werte (Null, Unendlich, Keine Zahl) meist einige Exponentenwerte, z.B. der größtmögliche und der kleinstmögliche Exponent, reserviert. Eine Zahl f wird demzufolge als f = s · m · 2^e dargestellt, wobei s Element von ist. Durch die unterschiedliche binäre Darstellung der Zahlen kann es in beiden Systemen zu Artefakten kommen, das heißt, Zahlen die unmittelbar „rund“ erscheinen, z. B. als 12.45 ausgegeben werden, haben in Wirklichkeit bei der Berechnung nur einen bitmäßig dargestellten Wert von 12.44999999900468785. Dies kann in nachfolgenden Berechnungen zu unvorhergesehenen Ab- oder Aufrundungsfehlern führen. Die oben erwähnten Artefakte sind im Binärsystem unvermeidlich, da viele Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, im Binärsystem periodische Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind. Sie könnten nur durch die Verwendung von BCD-kodierten Festkommazahlen vermieden werden. Binäre Gleitkommazahlen werden jedoch nach wie vor aus verschiedenen Gründen eingesetzt.

Gleitkommazahlen in der Mathematik

In der Mathematik ist eine Gleitkommazahl ein Tupel

\left(d, [e_, e_], l \right)

, wobei

d

die Basis,

\left[ e_, e_ \right]

den Bereich des Exponenten und

l

die Länge der Mantisse darstellt. Damit ist eine reelle Zahl x ≠ 0 darstellbar durch ein a und ein e, so dass:

a = \sum_^l a_i \cdot d^

und

x = a d^e

mit

e\in \left[e_, e_ \right]

. Hiermit ist eine mathematische Betrachtung des Rundungsfehlers möglich. Die obige Darstellung realisiert eine Projektion

fl:\mathbb\to \mathcalx \in \mathbb|\exists a, e: x = a d^e\mathcal

und damit ist der Rundungsfehler definiert als

\frac \le \epsilon := \frac  d^

. Bei double-Werten entspricht

\epsilon

gerade

2^

(ungefähr

22 \cdot 10^

Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)

Hier werden die genauen Rechenschritte vorgestellt, um eine Dezimalzahl in eine binäre Gleitkommazahl vom Typ Single nach IEEE 754 umzuwandeln. Dazu müssen nacheinander die drei Werte (Vorzeichen

v

(1bit), Mantisse

m

und Exponent

e

) berechnet werden, aus denen sich die Zahl

x

zusammensetzt:

x = (-1)^v \cdot m \cdot 2^e

Vorzeichen Je nachdem, ob die Zahl positiv oder negativ ist, ist das Vorzeichen

v

+1 oder -1. Ein positives Vorzeichen wird mit einem Vorzeichenbit 0 gespeichert, negative Zahlen werden durch eine 1 im Vorzeichenbit gekennzeichnet. Alle weiteren Berechnungen erfolgen mit dem Betrag der Zahl. Exponent Als nächstes wird der Exponent gespeichert. Beim IEEE single-Datentyp sind dafür 8 Bit vorgesehen. Der Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse einen Wert zwischen 1 und 2 erhält:

e = \left \lfloor \log_2(x) \right \rfloor

Wenn hierbei ein Wert für den Exponenten heraus kommt, der kleiner –126 oder größer 127 ist, kann die Zahl mit diesem Datentyp nicht gespeichert werden. Statt dessen wird die Zahl als 0 (Null) oder als „unendlich“ abgespeichert. Der Wert für den Exponenten wird jedoch nicht direkt gespeichert, sondern um einen Bias-Wert erhöht, um negative Werte zu vermeiden. Bei IEEE single ist der Bias-Wert 127. Somit werden die Exponentenwerte –126...+127 als so genannte „Charakteristik“ zwischen 1...254 gespeichert. Die Werte 0 und 255 als Charakteristik sind reserviert für die speziellen Zahlenwerte „Null“, „Unendlich“ und „NaN“. Mantisse Die Mantisse wird nun in den verbleibenden 23 Bit abgespeichert:

m = \left( \frac - 1 \right) \cdot 2^

Zahlenbeispiel mit der Zahl 11,25 Zahl = +11,25 Vorzeichen = positiv -> 0_binär

\mathrm = \left \lfloor \log_2(1125) \right \rfloor = \left \lfloor 3.49 \right \rfloor = 3

--> 3 + 127 = 130 -> 10000010_binär

\mathrm = \left( \frac - 1 \right) \cdot 2^ = (140625 - 1) \cdot 2^ = 3407872

-> 01101000000000000000000_binär Damit ergibt sich folgende single Variable: 0 10000010 01101000000000000000000 Umkehrung Will man aus einer Gleitkommazahl im Maschinenwort eine Dezimalzahl errechnen so kann man dies mit folgender Formel recht schnell erledigen:

Z=(-1)^\cdot(1,0+M)\cdot B^E

Der Exponent E errechnet sich wie folgt:

E=C-(\fracB^-1)

Wobei B hier für die Basis (Digitalrechner: B=2), VZ für das Vorzeichen, C für die Charakteristik, E für den Exponenten, e für den Exponenten reservierte Bitstellen und M für die Mantisse steht.

Siehe auch

- Minifloats
- einfache Genauigkeit
- doppelte Genauigkeit
- vierfache Genauigkeit
- Integer (Datentyp) Kategorie:Numerische Mathematik ja:浮動小数点数 ko:부동소수점

IEEE 854

Die Norm IEEE 854 (ANSI/IEEE Std 854-1987) definiert Standarddarstellungen für basis-unabhängige Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen, insbesondere für Rundungen, fest. Als Basis ist nur einer der beiden Werte 2 oder 10 erlaubt. IEEE 854 ist eine Verallgemeinerung von IEEE 754 Kategorie:Computer

Weblinks

- [http://754r.ucbtest.org/standards/854.txt IEEE 854] Kategorie:Normung Kategorie:Numerische Mathematik

Minifloat

Als Minifloats bezeichnet man Zahlen in einem Gleitkommaformat mit nur wenigen Bits. Minifloats sind für numerische Rechnungen nicht geeignet, werden jedoch gelegentlich für Spezialzwecke oder in der Ausbildung eingesetzt. Minifloats mit 16 Bit werden auch als halbgenaue Zahlen (als Gegensatz zu einfach und doppelt genauen Zahlen) bezeichnet. Es gibt auch Minifloats mit 8 Bit und weniger. Viele Minifloats werden nach den Prinzipien der IEEE 754-Norm definiert und enthalten spezielle Werte für NaN und unendlich. Normalisierte Zahlen sind dann mit einem Exzess-Exponenten gespeichert. In der geplanten Revision von IEEE 754 (IEEE754r) sind Minifloats mit 16 Bit vorgesehen. Minifloats werden manchmal zur Darstellung ganzer Zahlen verwendet. Werden gleichzeitig die IEEE 754-Prinzipien zugrundegelegt, so muss die kleinste denormalisierte Zahl gleich eins sein. Daraus ergibt sich der zu verwendende Exzess-Wert (Bias).

Beispiel

Ein Minifloat in einem Byte (8 Bit) mit 1 Vorzeichenbit, 4 Exponentenbits und 3 Mantissenbits soll zur Darstellung ganzer Zahlen nach IEEE 754-Prinzipien konstruiert werden. Dazu muss im wesentlichen der Biaswert sinnvoll festgelegt werden. Der (noch) unbekannte Exponent (gespeicherter Wert e - Biaswert b) wird vorläufig mit x bezeichnet. Zahlen in anderen Systemen werden mit ...() gekennzeichnet: 5 = 101(2) = 10(5). Das Bitmuster wird nur durch Leerezeichen in seine Bestandteile gegliedert.

Darstellung der Null

0 0000 000 = 0

Denormalisierte Zahlen

Die Mantisse wird mit 0. ergänzt: 0 0000 001 = 0.001(2)
- 2^x = 0.125
- 2^x = 1 (kleinste denormalisierte Zahl) ... 0 0000 111 = 0.111(2)
- 2^x = 0.875
- 2^x = 7 (größte denormalisierte Zahl)

Normalisierte Zahlen

Die Mantisse wird mit 1. ergänzt: 0 0001 000 = 1.000(2)
- 2^x = 1
- 2^x = 8 (kleinste normalisierte Zahl) 0 0001 001 = 1.001(2)
- 2^x = 1.125
- 2^x = 9 ... 0 0010 000 = 1.000(2)
- 2^(x+1) = 1
- 2^(x+1) = 16 = 1.6e1 0 0010 001 = 1.001(2)
- 2^(x+1) = 1.125
- 2^(x+1) = 18 = 1.8e1 ... 0 1110 000 = 1.000(2)
- 2^(x+13) = 1.000
- 2^(x+13) = 65536 = 6.5e4 0 1110 001 = 1.001(2)
- 2^(x+13) = 1.125
- 2^(x+13) = 73728 = 7.3e4 ... 0 1110 110 = 1.110(2)
- 2^(x+13) = 1.750
- 2^(x+13) = 114688 = 1.1e5 0 1110 111 = 1.111(2)
- 2^(x+13) = 1.875
- 2^(x+13) = 122880 = 1.2e5 (größte Normalisierte Zahl) (Die Darstellungen rechts berücksichtigen die Genauigkeit, denn natürlich kann man mit drei Bit keine fünf oder sechs Stellen speichern.)

Unendlich

0 1111 000 = unendlich

Nichtzahlen

0 1111 xxx = NaN

Herleitung

Wenn die kleinste denormalisierte Zahl gleich eins sein soll, muss nach der zweiten Zeile x = 3 sein. Daraus folgt ein Exponenten-Bias (Exzess-Wert) von -2. Vom gespeicherten Exponent muss jeweils -2 subtrahiert werden (+2 addiert werden), um zum rechnerischen Exponenten x zu kommen.

Diskussion dieses Beispiels

Der Vorteil solcher ganzzahliger Minifloats in einem Byte ist der wesentlich größere Wertebereich von -122880 ... 122880 gegenüber Darstellungen im Zweierkomplement mit -128 .. 127. Dafür sinkt die Genauigkeit rapide ab, da stets nur 4 signifikante Bitstellen existieren. Dementsprechend groß sind die Lücken im Bereich der größten normalisierten Zahlen. Diese Minifloat-Darstellung kann nur 242 verschiedene Zahlen darstellen (sofern man +0 und -0 als verschieden ansieht), da es 14 verschiedene Bitmuster gibt, die keine Zahl darstellen (NaN). Interessant ist die Übereinstimmung der Bitmuster von Minifloatzahlen und Integer-Zahlen zwischen 0 und 16. Erst das Bitmuster 00010001 wird als Minifloat 18, jedoch als Integerzahl 17 interpretiert. Für negative Zahlen stimmt diese Übereinstimmung jedoch nicht mehr, da negative Integer-Zahlen üblicherweise im Zweierkomplement repräsentiert werden.

Siehe auch

- Gleitkommazahl
- IEEE 754
- IEEE 754r

Web Links

- http://www-nw.uni-regensburg.de/~.brf09510.rz.uni-regensburg.de/minifloat/mf.png Graphische Darstellung von Minifloats. Kategorie:Datentyp Kategorie:Numerische Mathematik

Doppelte Genauigkeit

In der Informatik ist doppelte Genauigkeit (engl. double precision oder auch nur double) eine Bezeichnung für ein Zahlenformat, das zwei Speichereinheiten im Rechner belegt. Damit sind die genauen Details abhängig vom System und dessen Speicherarchitektur. Speziell für Mikroprozessoren mit byteweisem Speicher wurde der IEEE 754-Standard entworfen, der 8 Byte (64 Bit) für dieses Zahlenformat vorschreibt. Die Bezeichnung ist nicht für Gleitpunktzahlen vorbehalten, sondern auch für ganze Zahlenformate anwendbar. siehe auch
- Minifloats
- einfache Genauigkeit
- vierfache Genauigkeit
- Gleitkommazahl Kategorie:Numerische Mathematik

Quadratwurzel

Unter der Quadratwurzel einer Zahl

x

versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl

x

ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus

x

ist

\sqrt

. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Möglich wäre auch die ausführlichere Schreibweise

\sqrt[2]

. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken.

x^

ist gleichwertig zu

\sqrt

. Beispiel: Wegen

3^2 = 3 \cdot 3 = 9

gilt

\sqrt = 9^ = 3

. Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:
- Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl

\sqrt

keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2).
- Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen

(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9

auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9. Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel

\sqrt(b^2-4ac)

anstelle von

\sqrt

. Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Definition: Die Quadratwurzel

\sqrt

einer nicht-negativen reellen Zahl

x

ist diejenige nicht-negative reelle Zahl

r

, deren Quadrat

r^2 = r \cdot r

gleich

x

ist. Das oben erwähnte Problem, dass

\sqrt

nicht definiert sein könnte, tritt im Bereich der reellen Zahlen für

x \ge 0

nicht auf. Auch die Eindeutigkeit ist gewährleistet, da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden.

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:
- Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
- Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam. Beispiel (Näherungswert für

\sqrt

):
Aus

1^2 = 1 < 2

und

2^2 = 4 > 2

folgt, dass

\sqrt

zwischen 1 und 2 liegen muss.
Daher probiert man

11^2

12^2

usw. durch.
Aus

14^2 = 196 < 2

und

15^2 = 225 > 2

erkennt man, dass

\sqrt

zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss.
Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:

\sqrt = 141421356\ldots

- Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet, da es schnell konvergiert.
- Die Taylorreihen-Entwicklung von

\sqrt

mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Reihe konvergiert für

|x| < 1

punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion. :

\sqrt=1 +
\sum_^\infty 
x^n

=  1 + \fracx - \fracx^2 + \frac x^3 - \frac x^4 + \dots

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Für eine komplexe Zahl

z

gibt es keine sinnvolle Möglichkeit, die Eindeutigkeit von

\sqrt

zu erzwingen. Man kann also für

z \ne 0

nur von den beiden Quadratwurzeln der Zahl

z

sprechen. Diese ergeben sich aus :

\sqrt = \sqrt = \pm \left(
\sqrt 
+ i \cdot \mathrm(y) \cdot \sqrt
\right)

Dabei steht sign(

y

) für das Vorzeichen von

y

und :

\left| z \right|
= \left| x+iy \right|
= \sqrt

für den Betrag von

z

. Ist

z

in Polarkoordinaten gegeben, dann hat die Quadratwurzel die Darstellung :

\sqrt = \sqrt = \sqrt e^,

wobei

n

die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Bei der Lösung mit

n = 0

wird das Argument (in der komplexen Zahlenebene also der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der reellen Achse; sein Tangens ist das Verhältnis von Imaginär- zu Realteil) halbiert. Die andere Lösung (für

n = 1

) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung am Ursprung. Beispiel (Quadratwurzeln aus

z = -1+i\sqrt

): Zunächst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt. :

r = |-1+i\sqrt| = \sqrt = \sqrt = \sqrt = 2

\tan\varphi = \frac = -\sqrt

\varphi = \frac \pi

(2. Quadrant!) Eine der Wurzeln ergibt sich aus :

w_1 = \sqrt \cdot e^ = \sqrt \cdot e^

= \sqrt \cdot \left( \cos(\frac \pi) + i \sin(\frac \pi) \right)
= \sqrt \cdot \left( \frac + i \cdot \frac\sqrt \right).

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

w_2 = -w_1 = \sqrt \cdot \left( -\frac - i \cdot \frac\sqrt \right)

center

Quadratwurzeln modulo n

Auch im Restklassenring

\mathbb / n \mathbb

lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt

q

eine Quadratwurzel von

x

, wenn gilt: :

q^2 \equiv x \;\mathrm\; n

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln. Um die Quadratwurzeln von

x

modulo

n

zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor: Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung von

n

: :

n = p_1^ \cdot p_2^ \cdots p_^

und bestimmt die Lösungen modulo der jeweiligen Primpotenzen

p^m

. Diese Lösungen setzt man schließlich mit dem Chinesischen Restsatz zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Für Primzahlen

p

ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu

x

so: Um zu testen, ob

x

überhaupt eine Quadratwurzel in

\mathbb / p \mathbb

hat, verwendet man das Legendre-Symbol :

\left(\frac\right) \equiv x^\mod p

denn es gilt: :

\left(\frac\right) = 
\left\

1960

Ereignisse

Politik

- 1. Januar: Max Petitpierre wird Bundespräsident der Schweiz
- 1. Januar: Das Atomgesetz zur friedlichen Kernenergieverwendung tritt in Deutschland in Kraft
- 1. Januar: Währungsreform in Frankreich, 1 Franc hat den Wert von 100 alten Franc
- 1. Januar: Das erste US-amerikanische Atom-U-Boot, das mit Mittelstreckenraketen bestückt ist, wird in den Dienst gestellt
- 1. Januar: Ost-Kamerun (Kamerun) erhält die Unabhängigkeit von Frankreich
- 12. Januar: Die Tätigkeit der Parteien in Indonesien werden drastisch eingeschränkt
- 20. Januar: Aufnahme diplomatischer Beziehungen zwischen Honduras und Deutschland
- 27. Januar-1. Februar: Besuch des britischen Premierministers Harold Macmillan in Südafrika; er warnt vor der Fortsetzung der bisherigen Rassentrennungspolitik; dies wird als Einmischung in die inneren Angelegenheiten Südafrikas zurückgewiesen
- 2. Februar: Guinea wird Mitglied in der UNESCO
- 6. März: Im Kanton Genf (Schweiz) erhalten nach einer Volksabstimmung die Frauen das Stimmrecht
- 17. März-26. April: Tagung der UNO-Seerechtskonferenz in Genf mit 88 Ländern
- 21. März: Im südafrikanischen Township Sharpeville werden 69 Schwarze bei einer Demonstration erschossen (Sharpeville-Massaker)
- 30. März: Die Regierung von Südafrika verbietet den Afrikanischen Nationalkongress sowie die Panafrikanische Bewegung zunächst für ein Jahr
- 1. April: Der UNO-Sicherheitsrat fordert Südafrika auf, die Rassentrennung zu beenden
- 2. April: Unterzeichnung des Vertrags über die Unabhängigkeit Madagaskars (Madagassische Republik). In Kraft am 26. Juni
- 8. April: Unterzeichnung des deutsch-niederländischen Ausgleichsvertrags über die endgültigen Grenzverlauf nach dem 2. Weltkrieg; die von den Alliierten 1949 unter niederländische Verwaltung gestellten Gebiete Elten und Selfkant fallen an Deutschland zurück
- 27. April: Der südkoreanische Staatspräsident Syngman Rhee tritt nach Vorwürfen des Wahlbetrugs auf Druck der USA zurück
- 27. April: Togo wird von Frankreich unabhängig
- 1. Mai: Abschuss eines US-Aufklärungsflugzeugs vom Typ U-2 über Swerdlowsk durch sowjetische Streitkräfte. Bekanntgegeben am 5. Mai
- 1. Mai: Einweihung des DDR-Überseehafens Rostock
- 3. Mai: Das Übereinkommen zur Errichtung der EFTA tritt in Kraft
- 5. Mai: Ahmadou Ahidjo wird erster Präsident der Republik Kamerun
- 7. Mai: Der Oberste Sowjet wählt Leonid Breschnew zum neuen Vorsitzenden seines Präsidiums, nachdem K. J. Woroschilow zurückgetreten war
- 11. Mai: Der israelische Geheimdienst Mossad ergreift Adolf Eichmann in Buenos Aires
- 27. Mai: Das türkische Militär putscht unter Führung von General Cemal Gürsel gegen die Regierung von Adnan Menderes, der hingerichtet wird. Eine neue Verfassung, die liberaler ist als die vorherige, wird verabschiedet, garantiert aber keine erweiterten Rechte für Kurden. Der kurdische Separatismus (türkisch: „Kürtcülük“) wird zum Staatsverbrechen erklärt
- Mai: Ein von Argentinien aus unternommener Putschversuch gegen das Regime von General Alfredo Stroessner in Paraguay scheitert nach kurzer Zeit
- 5. Juni: In einer Volksabstimmung in Kambodscha stimmen mehr als 99 % (1,3 Mio.) für den Prinzen Norodom Sihanouk; er verfolgt eine neutralistische Politik (für ein kommunistisches Kambodscha stimmen lediglich 78 Wahlberechtigte)
- 23. Juni: Der Sicherheitsrat der UN fordert Israel auf, eine angemessene Wiedergutmachung gegenüber Argentinien vorzunehmen, nachdem es in der Eichmann-Entführung dessen Souveränität verletzt hatte. Die Entschließung macht klar, dass sie nicht als Entschuldigung der Verbrechen Eichmanns angesehen werden darf
- 26. Juni: Madagaskar wird von Frankreich unabhängig
- 26. Juni: Unabhängigkeit von Somaliland (vormals British Somaliland)
- 1. Juli: Unabhängigkeit von Italienisch-Somaliland (südliches Somalia)
- 1. Juli: Vereinigung von Somaliland und Italienisch-Somaliland zu Somalia
- 14. Juli: Der Konvent der Demokratischen Partei der USA wählt Senator John F. Kennedy zum Präsidentschaftskandidaten für die im November stattfindenden Wahlen; als Kandidat für den Vizepräsidenten wird Lyndon B. Johnson aufgestellt
- 15. Juli: Ho Chi Minh wird als Präsident von Nordvietnam wiedergewählt
- 21. Juli: Erste weibliche Regierungschefin der Welt wird Sirimavo Bandaranaike als Ministerpräsidentin von Ceylon (heute Sri Lanka)
- 28. Juli: Der Konvent der Republikanischen Partei der USA wählt Richard M. Nixon zum Kandidaten für die Präsidentschaftswahlen, als Kandidat für den Vizepräsidenten wird UNO-Botschafter Henry Cabot Lodge aufgestellt
- 1. August: Wegen Streitigkeiten um Niederländisch-Neuguinea dürfen holländische Schiffe keine Häfen in Indonesien mehr anlaufen
- 1. August: Dahomey (ab 1975 Benin) wird von Frankreich unabhängig
- 3. August: Die Republik Niger wird von Frankreich unabhängig
- 5. August: Obervolta (ab 1984 Burkina Faso) wird von Frankreich unabhängig
- 7. August: Côte d'Ivoire wird von Frankreich unabhängig
- 11. August: Die Republik Tschad wird von Frankreich unabhängig
- 13. August: Die Zentralafrikanische Republik wird von Frankreich unabhängig
- 15. August: Die Republik Kongo erlangt ihre Unabhängigkeit von Frankreich
- 16. August: Zypern erlangt seine Unabhängigkeit von Großbritannien
- 17. August: Die Republik Gabun erhält ihre Unabhängigkeit von Frankreich
- 20. August: Senegal wird als Republik von Frankreich unabhängig
- 30. August: Die Regierung der DDR verbietet Bürgern der Bundesrepublik Deutschland die Einreise für die Dauer von fünf Tagen; es finden verschärfte Kontrollen an den Zonengrenzen statt
- 8. September: Staatsstreich in Laos, neuer Führer des Landes wird Suvanna Phuma
- 9. September: Bürger der Bundesrepublik Deutschland dürfen ab sofort nicht mehr ohne besondere Aufenthaltsgenehmigung nach Ost-Berlin einreisen. Im Gegenzug erhalten Einwohner der DDR kein Visum mehr für Reisen außerhalb der Ostblock-Länder
- 14. September: Gründung der OPEC in Bagdad. Die Gründungsmitglieder sind Iran, Irak, Kuwait, Saudi-Arabien und Venezuela
- 14. September: Portugal wird Mitglied der OEEC (Vorläufer der OECD)
- 20. September: Die Zentralafrikanische Republik, Zypern, Somalia, Niger, Madagaskar, Kamerun, die Republik Kongo, Gabun, Obervolta, Côte d'Ivoire, Zaire und Dahomey (Benin) werden Mitglied der Vereinten Nationen
- 22. September: Mali wird unabhängige Republik (vorher Föderation mit Senegal)
- 28. September: Die Republiken Senegal und Mali werden Mitglied bei den Vereinten Nationen
- 1. Oktober: Nigeria wird von Großbritannien unabhängig
- 7. Oktober: Nigeria wird Mitglied bei den Vereinten Nationen
- 11. Oktober: Kulturabkommen zwischen Deutschland und Kolumbien. In Kraft seit dem 18. November 1965
- 13. Oktober: Vor der UNO-Vollversammlung trommelt UdSSR-Chef Nikita Chruschtschow mehrmals mit seinem Schuh auf das Pult, um Ruhe im Plenarsaal zu bewirken
- 18. Oktober: Dahomey (Benin) wird Mitglied in der UNESCO
- 27. Oktober: Côte d'Ivoire wird Mitglied in der UNESCO
- 28. Oktober - In Bonn wird der Bundestagsabgeordnete Alfred Frenzel (SPD) der Spionage für die Tschechoslowakei verdächtigt und verhaftet.
- 7. November: Mali wird Mitglied in der UNESCO
- 10. November: Madagaskar, Niger und Senegal werden Mitglieder in der UNESCO
- 11. November: Kamerun und die Zentralafrikanische Republik werden Mitglieder in der UNESCO
- 14. November: Obervolta (Burkina Faso) und Nigeria werden Mitglieder in der UNESCO
- 15. November: Somalia wird Mitglied in der UNESCO
- 16. November: Gabun wird Mitglied in der UNESCO
- 17. November: Togo wird Mitglied in der UNESCO
- 18. November: Kuwait wird Mitglied in der UNESCO
- 25. November: Kongo und Zaire werden Mitglieder in der UNESCO
- 28. November: Mauretanien wird von Frankreich unabhängig
- 13. Dezember: Gründung der Europäischen Organisation für Flugsicherung (Eurocontrol)
- 14. Dezember: Gründung der Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklungshilfe OECD (vorher OEEC) in Paris
- 19. Dezember: Tschad wird Mitglied in der UNESCO
- 31. Dezember: Max Brauer (SPD) tritt als Erster Bürgermeister von Hamburg zurück

Wissenschaft und Technik

- 9. Januar: Gamal Abdel Nasser eröffnet die Arbeiten am Assuan-Staudamm
- 25. Januar: Jacques Piccard sinkt mit seinem Tauchboot auf die Rekordtiefe von 10.916 m
- 29. September - Der erste österreichische Kernforschungsreaktor geht in Seibersdorf bei Wien mit einer 5.000 Kilowatt-Leistung in Betrieb.
- Das SI-System wird beschlossen
- Die Antibabypille kommt auf den amerikanischen Markt und erfreut sich schnell großer Beliebtheit bei den amerikanischen Frauen

Kultur

- 22. Mai: Uraufführung der Kinderoper Der Mann im Mond von Cesar Bresgen am Schauspielhaus Nürnberg
- 15. August: Uraufführung der Oper Le Mystère de la Nativité von Frank Martin bei den Salzburger Festspielen
- 22. September: Uraufführung der Oper Rosamunde Floris von Boris Blacher im Städtischen Opernhaus Berlin

Katastrophen

- 6. Januar: Bolivia, North Carolina, USA. Eine Douglas DC-6B der National Airlines explodierte in der Luft, nachdem ein Selbstmörder eine Bombe gezündet hatte. Alle 34 Personen starben
- 18. Januar: Nähe Charles City, Virginia, USA. Absturz einer Vickers Viscount 745-D der Capital Airlines. Alle 50 Menschen an Bord starben
- 25. Februar: Rio de Janeiro, Brasilien. Zusammenstoß einer Transportmaschine der U.S. Navy und eines Verkehrsflugzeugs, einer Douglas DC-3 der Brazilian Real. Alle 61 Personen beider Flugzeuge starben
- 29. Februar: Erdbeben der Stärke 5,7 in Agadir, Marokko, 10.000 bis 15.000 Tote
- 17. März: Tell-City, Indiana, USA. Ein Electra-Jet, auf dem planmäßigen Flug von Minneapolis nach Miami, explodierte in der Luft. Alle 63 Personen fanden den Tod
- 25. März: Der L'Oros-Staudamm bei Fortaleza im Bundesstaat Ceará, Nordost-Brasilien bricht vor seiner Fertigstellung und verursacht eine Flutwelle, die rund 1000 Todesopfer fordert
- 15. Mai: Im Sudan, Afrika, stürzte eine Douglas DC-4 der Swissair ab. Alle 12 Menschen starben
- 22. Mai: Erdbeben der Stärke 9,5 in Chile, 4.000 bis 5.000 Tote
- 18. Juli: Kopenhagen, Dänemark. Eine Verkehrsmaschine stürzte Sekunden nach dem Start, 40 m vom Strand entfernt, ins Meer. Alle 9 Menschen an Bord starben
- 4. Oktober: Boston Harbor, Massachusetts, USA. Ein Verkehrsflugzeug stürzte ab und explodierte kurz nach dem Start. 62 Menschen starben, 10 Menschen konnten gerettet werden
- 6. Oktober: Mackay, Australien. Eine Fokker F-27 der australischen Fluggesellschaft Trans Australia Airlines stürzte ins Meer. Alle 29 Personen starben
- 16. Dezember: Brooklyn, New York, USA. Eine Douglas DC-8, auf dem Flug von Chicago nach Idlewild und eine Super Constellation der TWA, auf dem Flug von Dayton, im Anflug auf den Flughafen LaGuardia, kollidierten im Nebel über New York City. 134 Personen starben, ein Kind wurde gerettet
- 17. Dezember: Flugzeugabsturz in München. Die zweimotorige Convair 346 beschädigte beim Absturz die St. Pauls-Kirche und setzte eine Straßenbahn in Brand. Alle 20 Personen an Bord sowie 32 Fahrgäste der Straßenbahn starben

Sport

Einträge von Leichtathletik-Weltrekorden siehe unter der jeweiligen Disziplin unter Leichtathletik.
- 6. Januar: Max Bolkart gewinnt als erster westdeutscher Skispringer die Internationale Vierschanzentournee
- 18. bis 28. Februar: VIII. Olympische Winterspiele in Squaw Valley, USA
- 25. August bis 11. September: XVII. Olympische Sommerspiele in Rom
- Fußball-EM in Frankreich: Die Sowjetunion gewinnt das Finale gegen Jugoslawien (2:1 n. V.)
- 15. November: New York, New York: Basketballspieler Elgin Baylor erzielt mit 71 Punkten gegen die New York Knicks einen neuen NBA-Rekord
- 24. November: Boston, Massachusetts: Basketballspieler Wilt Chamberlain holt 55 Rebounds in einem Spiel
- 13. Mai Erstbesteigung des Dhaulagiri, des siebenthöchsten Berges der Erde

Geboren

- 1. Januar: Axel Wintermeyer, deutscher Jurist und Politiker
- 2. Januar: Naoki Urasawa, japanischer Mangaka
- 3. Januar: Marla Glen, US-amerikanische Sängerin
- 4. Januar: Michael Stipe, US-amerikanischer Sänger und Musiker (R.E.M.)
- 5. Januar: Bettina Tietjen, deutsche Fernsehmoderatorin
- 5. Januar: Hans Stangassinger, ehemaliger deutscher Rennrodler
- 8. Januar: Dave Weckl, Schlagzeuger
- 9. Januar: Matthias Pöhm, bekannt als Rhetorik- und Erfolgstrainer
- 10. Januar: Claudia Losch, deutsche Leichtathletin und Olympiasiegerin
- 10. Januar: Ise Thomas, deutsche Politikerin
- 11. Januar: Stefan Gasser, deutscher Richter am deutschen Bundessozialgericht
- 14. Januar: Andrea Fischer, deutsche Politikerin
- 16. Januar: Dirk Rühmann, deutscher Krimi-Schriftsteller
- 17. Januar: Andreas Jung, deutscher Schauspieler
- 18. Januar: Mark Rylance, US-amerikanischer/englischer Schauspieler
- 20. Januar: Paul Francis Luke King, britischer Sänger und Songwriter
- 20. Januar: Falk Boden, deutscher Radrennfahrer
- 20. Januar: Ján Figeľ, slowakischer Politiker und EU-Kommissar
- 20. Januar: Jeff „Tain“ Watts, US-amerikanischer Jazz-Schlagzeuger
- 20. Januar: Will Wright, US-amerikanischer Computerspiel-Entwickler
- 22. Januar: Michael Hutchence, Sänger der australischen Rockband INXS († 1997)
- 22. Januar: Marcos Kyprianou, zypriotischer Politiker und EU-Kommissar
- 27. Januar: Reinhold Lopatka, österreichischer Politiker, Generalsekretär
- 28. Januar: Robert von Dassanowsky, US-amerikanischer Kultur- und Filmhistoriker
- 29. Januar: Greg Louganis, US-amerikanischer Kunstspringer und Olympiasieger
- 3. Februar: Joachim Löw, deutscher Fußballtrainer
- 7. Februar: Klaus J. Behrendt, deutscher Fernsehschauspieler
- 7. Februar: James Spader, US-amerikanischer Schauspieler
- 8. Februar: Alfred Gusenbauer, Politiker
- 10. Februar: Robert Addie, britischer Schauspieler († 2003)
- 11. Februar: Johannes Groß (Tenor), Opernsänger und Tenor
- 13. Februar: Artur Jussupow, deutscher Schachspieler russischer Herkunft
- 13. Februar: Pierluigi Collina, Fußballschiedsrichter
- 13. Februar: Peter Baartmans, Pianist und Komponist
- 14. Februar: Meg Tilly, US-amerikanische Schauspielerin, Tänzerin und Autorin
- 16. Februar: Andreas Homoki, deutscher Regisseur und Theaterleiter
- 16. Februar: Reiner Maurer, ehemaliger deutscher Fußballspieler und aktuell Fußballtrainer
- 18. Februar: Dirk Brossé, belgischer Komponist und Dirigent
- 18. Februar: Greta Scacchi, italienische Filmschauspielerin
- 18. Februar: Gazebo, italienischer Musiker
- 19. Februar: Andrew Mountbatten-Windsor, Duke of York, drittes Kind von Königin Elisabeth II
- 19. Februar: Theo Hameder, Rettungssanitäter und Träger des Bundesverdiestkreuzes
- 20. Februar: Hardy Mertens, niederländischer Komponist und Dirigent
- 23. Februar: Gloria von Thurn und Taxis,
- 25. Februar: Heiko Fischer, Eiskunstläufer († 1989)
- 26. Februar: Hannes Jaenicke, deutscher Schauspieler
- 27. Februar: Andrés Gómez, ecuadorianischer Tennisspieler
- 29. Februar: Cheb Khaled, Vertreter der algerischen Volks- und Populärmusik Raï
- 1. März: Armin Reutershahn, deutscher Fußballtrainer
- 2. März: Peter F. Hamilton, britischer Science-Fiction-Autor
- 2. März: Frank Rohde, deutscher Fußballspieler
- 3. März: Andreas Thiel, deutscher Handball-Torwart
- 4. März: Mykelti Williamson, US-amerikanischer Schauspieler
- 5. März: David Tibet, Musiker, Maler, Sänger
- 7. März: Siegfried Wentz, deutscher Leichtathlet
- 7. März: Danny Tenaglia, DJ und Musikproduzent
- 7. März: Ivan Lendl, tschechischer Tennisspieler
- 8. März: Ilme Schlichting, deutsche Biophysikerin
- 8. März: Birgit Lechtermann, deutsche TV-Moderatorin
- 8. März: Finn Carter, US-amerikanische Schauspielerin
- 8. März: Jeffrey Eugenides, US-amerikanischer Schriftsteller
- 9. März: Linda Fiorentino, US-amerikanische Schauspielerin
- 13. März: Adam Clayton, Bassist
- 13. März: Jurij Andruchowytsch, ukrainischer Schriftsteller, Dichter, Essayist und Übersetzer
- 17. März: Thomas Strobl, deutscher Politiker und MdB
- 17. März: Thomas Kempe, Fußballspieler
- 20. März: Henning Heske, deutscher Lyriker und Essayist
- 20. März: Uwe Fahrenkrog-Petersen, deutscher Musikproduzent und Komponist
- 21. März: Ayrton Senna, Formel-1-Rennfahrer und dreifacher Formel-1-Weltmeister († 1994)
- 21. März: Hansrüedi Zbinden, Walliser Entertainer
- 22. März: Annette Ramelsberger, deutsche Journalistin
- 23. März: Yōko Tawada, japanische Schriftstellerin
- 24. März: Nena, deutsche Popmusikerin
- 24. März: Klaus Kern, deutscher Physiker
- 24. März: Yasser Seirawan, US-amerikanischer Schachmeister
- 25. März: Markus Maria Profitlich, deutscher Comedian und Schauspieler
- 25. März: Peter Seisenbacher, österreichischer Judoka
- 26. März: Axel Prahl, deutscher Filmschauspieler
- 26. März: Jennifer Grey, US-amerikanische Schauspielerin
- 27. März: Hans Pflügler, deutscher Fußballspieler
- 28. März: Heidi Wiesler, deutsche Skirennläuferin
- 28. März: Eric-Emmanuel Schmitt, französischer Schriftsteller
- 29. März: Marina Sirtis, britische Schauspielerin
- 30. März: Bill Johnson, US-amerikanischer Skirennläufer
- 31. März: Popa Chubby, Bluesmusiker
- 1. April: Reijo Ruotsalainen, finnischer Eishockeyspieler
- 1. April: Shanna McCullough, Pornodarstellerin und Produzentin
- 2. April: Linford Christie, britischer Leichtathlet
- 4. April: Hugo Weaving, australischer Schauspieler
- 5. April: Peter Kurth, deutscher Politiker
- 7. April: Norbert Schramm, deutscher Eiskunstläufer
- 8. April: Birgit Friedmann, deutsche Leichtathletin
- 13. April: Rudi Völler, deutscher Fußballspieler
- 13. April: Olaf Ludwig, deutscher Radsportler
- 14. April: Norbert Rier, südtiroler Musiker
- 15. April: Philipp von Belgien, belgischer Thronfolger, Herzog von Brabant
- 15. April: Susanne Bier, dänische Regisseurin
- 15. April: Pedro Delgado, ehemaliger spanischer Radrennfahrer
- 16. April: Sonja Leidemann, deutsche Politikerin
- 16. April: Rochus Hahn, deutscher Comic- und Drehbuchautor
- 16. April: Pierre Littbarski, deutscher Fußballspieler und Trainer
- 16. April: Rafael Benitez, spanischer Fußballtrainer
- 17. April: Jörg Michael Peters, Weihbischof in Trier und Titularbischof von Fordongianus auf Sizilien
- 18. April: Neo Rauch, deutscher Künstler
- 18. April: Jelena Schupijewa, ukrainische Leichtathletin und Olympionikin
- 20. April: Debbie Flintoff-King, australische Leichtathletin und Olympiasiegerin
- 22. April: Michael Gahler, deutscher Europaabgeordneter
- 22. April: Rolf Sethe, deutscher Jurist
- 24. April: Friðrik Karlsson, Gittarist
- 26. April: Roger Andrew Taylor, Schlagzeuger der Popgruppe Duran Duran
- 28. April: Walter Zenga, ehemaliger italienischer Fußballspieler (Torwart)
- 29. April: Bernhard Setzwein, Autor
- 3. Mai: Kathy Cook, britische Leichtathletin und Olympionikin
- 3. Mai: Steffen Schleiermacher, Komponist, Pianist, Dirigent
- 6. Mai: Anne Parillaud, französische Filmschauspielerin
- 6. Mai: John Flansburgh, US-amerikanischer Musiker
- 7. Mai: Eric Lobron, deutscher Schachmeister
- 7. Mai: Almudena Grandes, spanische Schriftstellerin
- 8. Mai: Franco Baresi, italienischer Fußballspieler
- 8. Mai: Dagmar Dimitroff, Künstlerin († 1990)
- 10. Mai: Harald Meller, deutscher Archäologe
- 10. Mai: Gerry Kley, deutscher Politiker
- 10. Mai: Bono, irischer Sänger und Musiker (U2)
- 10. Mai: Merlene Ottey, slowenisch-jamaikanische Leichtathletin
- 11. Mai: Jürgen Schult, deutscher Leichtathlet
- 12. Mai: Lisa Martin, australische Leichtathletin und Olympionikin
- 13. Mai: Maggie Mae, deutsche Schlagersängerin
- 13. Mai: Claus Dieter Classen, deutscher Rechtswissenschaftler
- 13. Mai: Benjamin Völz, deutscher Synchronsprecher
- 14. Mai: Anne Clark, Sängerin und Songschreiberin
- 14. Mai: Simonetta Sommaruga, Schweizer Politiker
- 18. Mai: Yannick Noah, ehemaliger französischer Profi-Tennisspieler
- 18. Mai: Jari Kurri, finnischer Eishockeyspieler
- 20. Mai: John Billingsley, US-amerikanischer Schauspieler
- 21. Mai: Jeffrey Dahmer, Mörder († 1994)
- 22. Mai: Michael Haase, Diplom-Mathematiker und Astrophysiker
- 24. Mai: Kristin Scott Thomas, britische Schauspielerin
- 26. Mai: Doug Hutchison, US-amerikanischer Schauspieler und Produzent
- 27. Mai: Emir Mutapcic, Basketball-Spieler und -Trainer
- 30. Mai: Christoph M. Ohrt, deutscher Schauspieler
- 1. Juni: Lutz Stratmann, deutscher Politiker
- 1. Juni: Wladimir Jewgenjewitsch Krutow, Eishockeyspieler
- 2. Juni: Tony Hadley, britischer Popsänger
- 2. Juni: Olga Bondarenko, russische Leichtathletin und Olympiasiegerin
- 3. Juni: Anett Pötzsch, Eiskunstläuferin
- 6. Juni: Steve Vai, US-amerikanischer Gitarrist und Komponist
- 7. Juni: Steffen Seibert, deutscher Fernsehjournalist
- 8. Juni: Mick Hucknall, britischer Musiker, Gründer der Band Simply Red
- 9. Juni: Eva Dahlgren, Sängerin und Autorin
- 11. Juni: Sissy Raith, ehemalige deutsche Fußballspielerin und aktuell Fußballtrainierin
- 12. Juni: Hagen Stamm, deutscher Wasserballer
- 17. Juni: Uwe Niesig, deutscher Künstler
- 18. Juni: Martin Rivoir, deutscher Politiker und MdL
- 19. Juni: Martin Schwanholz, deutscher Politiker und MdB
- 20. Juni: Silke Möller, deutsche Leichtathletin
- 21. Juni: Andreas Knebel, deutscher Leichtathlet
- 22. Juni: Erin Brockovich, US-amerikanische Umweltaktivistin
- 27. Juni: Steffen Reiche, ehemaliger Bildungsminister von Brandenburg
- 30. Juni: Andreas Schmidt (Bariton), deutscher Bassbariton
- 30. Juni: Jack McConnell, Premierminister von Schottland
- 1. Juli: Marie-Luce Waldmeier, französische Skirennläuferin
- 1. Juli: Mikael Håfström, schwedischer Drehbuchautor und Regisseur
- 1. Juli: Lynn Jennings, US-amerikanische Leichtathletin und Olympionikin
- 4. Juli: Richard Garriott, Computerspiel-Entwickler
- 4. Juli: Roland Ratzenberger, Formel 1 Pilot († 1994)
- 5. Juli: Pruitt Taylor Vince, US-amerikanischer Schauspieler
- 6. Juli: Valerie Brisco Hooks, US-amerikanische Leichtathletin und Olympiasiegerin
- 9. Juli: Matthias Roeingh, Gründer der Musik- und Tanzveranstaltung Love Parade in Berlin
- 10. Juli: Karl Leo, deutscher Physiker
- 12. Juli: Corynne Charby, französische Schauspielerin und Sängerin
- 15. Juli: Dennis Storhøi, norwegischer Film- und Theater-Schauspieler
- 17. Juli: Dawn Upshaw, US-amerikanische Sängerin (Sopran)
- 18. Juli: Lazaros Voreadis, griechischer Schiedsrichter
- 19. Juli: Joachim Wuermeling, deutscher Europaabgeordneter
- 19. Juli: Atom Egoyan, kanadisch-armenischer Regisseur
- Abkürzung für Floating Point Unit, auch Floating Point Processing Unit. Dies ist ein Begriff aus der Computertechnik und bezeichnet eine spezielle CPU, die der Verarbeitung von Gleitkommazahlen dient. Gleitkommazahlen Solch eine FPU arbeitet in der Regel als Koprozessor mit einer "normalen" CPU zusammen. Die FPU kann als externer Chip in einem eigenen Gehäuse sitzen (z. B. Intel 8087), oder in einen bestimmten Bereich mit auf einer CPU. Frühe Prozessoren verfügten oft über keine eingebauten Mechanismen zur Behandlung von Gleitkommazahlen. Diese mussten dann über Software realisiert werden, oder über einen zusätzlichen Koprozessor. Mit den sinkenden Kosten in der Produktion von Prozessoren sind heutzutage FPUs in den CPUs integriert. Die Anwesenheit einer FPU ermöglicht einen erheblichen Leistungssprung für gleitkommaintensive Berechnungen. Mittels Software realisierte Gleitkommaberechnung ist im Vergleich zu einer mittels FPU realisierten Berechnung sehr langsam, da FPUs über eine auf diesen Aufgabenbereich optimierte Prozeßverarbeitung verfügen. Die meisten FPUs stellen Operationen für die Grundrechenarten, Logarithmus-, Wurzel- und Potenzrechnung und trigonometrische Funktionen zur Verfügung. Kategorie:Rechnerarchitektur ja:FPU

San Francisco

San Francisco (deutsch veraltet San Franzisko) ist eine Stadt im US-Bundesstaat Kalifornien in den Vereinigten Staaten von Amerika.

Geografie

Geografische Lage

Die Stadt liegt an der nördlichen Spitze der San-Francisco-Halbinsel, welche die Bucht von San Francisco bildet und wird im Westen vom Pazifik, im Norden vom Golden Gate und im Osten von der Bucht begrenzt. Im Süden liegen die 300 m hohen Twin-Peaks, die von den Spanischen Missionaren auf Grund ihres Aussehens „Los Pechos de la Chola“, zu deutsch „Die Brüste des Indianermädchens“, genannt wurden. San Francisco ist auch berühmt für seine Hügel, die bis 30m hoch sind. Es befinden sich 42 Stück im ganzen Stadtgebiet. Wegen der teils sehr steilen Straßen wurden die Cable Cars von Andrew Smith Hallidie entwickelt. Die "Bell of the Bay", wie sie auch liebevollgenannt wird, ist eine der bedeutendsten Hafenstädte an der Westküste Nordamerikas. In der Bucht von San Francisco liegt die bekannte, nur noch als Museum dienende Gefängnisinsel Alcatraz. Mit 744.230 Einwohnern ist es die viertgrößte Stadt Kaliforniens.

Geologie

Die Nähe der Stadt zur San-Andreas-Verwerfung ergibt ein erhöhtes Risiko für Erdbeben. Am 18. April 1906 fand das bislang schwerste Erdbeben statt. Es tobte von San Juan Bautista bis Eureka und hatte eine Stärke von 7,8 auf der Richterskala. Infolge von Bränden wurde damals ein Großteil von San Francisco zerstört. Richterskala Das Loma-Prieta-Erdbeben von 1989 war bis heute das letzte große Beben in der Region. Es hatte erhebliche Auswirkungen auf Teile der Stadt. Viele Straßen und Freeways wurden beschädigt. Der Embarcadero Freeway, an der nördlichen Seite der Stadt, ist dem Beben vollständig zum Opfer gefallen und wurde abgerissen. Außerdem wurde ein Major League Baseball-Spiel der World Series zwischen den San Francisco Giants und den Oakland Athletics unterbrochen. Experten befürchten zudem ein noch größeres Erdbeben als das von 1906. Oakland Athletics

Stadtgliederung

Siehe dazu auch die Administrative Gliederung von San Francisco. Wie in vielen amerikanischen Städten gibt es ein Japantown und ein Chinatown. Die Chinatown von San Francisco bildet eines der größten Chinesenviertel außerhalb der Volksrepublik China. Auch gibt es eine vietnamesische Gemeinde im Stadtteil Tenderloin, Filipinos in Crocker Amazon, ein italienische Gemeinde in North Beach, ein French Quarter, eine irische und russische Gemeinde im Richmond District. Der ursprüngliche hispanische Mission District ist einer der ältesten Stadtteile, er war einer der 21 Missionen, die durch die spanischen Missionare gegründet wurden. Russian Hill bezieht seinen Namen von russischen Trappergräbern, welche man während des Goldrausches entdeckt hatte. Haight-Ashbury erlangte in den 1960er seine Berühmtheit als eine der prominentesten Ansammlungen von Hippies. Das Castro steht für die größte Konzentration von Homosexuellen in Amerika. Die größte afro-amerikanische Gemeinde befindet sich südöstlich der Bayview und Hunters Point. Richmond, an der Westseite der Stadt nördlich des Golden Gate Parks, ist im Wesentlichen von asiatischen Einwanderen geprägt. Südlich der Market Street, die als eine der wenigen Straßen quer verläuft, liegt der Stadtteil Soma (South of Market), bekannt für seine Galerien und Kunstaktivitäten. Golden Gate Park

Klima

Die Lage an der Küste des P

IEEE 754

Überblick

Allgemeines

Details

Darstellbare Werte

Umwandlung

Die Zahl ist Null, wenn sowohl Exponent und auch Mantisse gleich Null sind. Das Vorzeichen spielt in diesem Fall keine Rolle.

Zu IEEE 754 konforme Implementierungen müssen Operationen für Arithmetik, Berechnung der Quadratwurzel, Konversionen und Vergleiche bereitstellen. Eine weitere Gruppe von Operationen wird im Anhang empfohlen, jedoch nicht verbindlich vorgeschrieben.

Arithmetik und Quadratwurzel

Konversionen

Vergleiche

Empfohlene Operationen

In einem Anhang werden zehn weitere Operationen (siehe dort) nicht verbindlich empfohlen.

IEEE 754: reprinted in SIGPLAN Notices Vol. 22, Nr. 2, Feb. 1987

- Potenz (Mathematik) - Mantisse - Minifloats - einfache Genauigkeit - doppelte Genauigkeit - vierfache Genauigkeit - Gleitkommazahl

Gleitkommazahl

Idee

Darstellung

Hidden Bit

Darstellung negativer Exponenten

Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik

Gleitkommazahlen in der Mathematik

Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)

Siehe auch

IEEE 854

Weblinks

Minifloat

Beispiel

Darstellung der Null

Denormalisierte Zahlen

Normalisierte Zahlen

Unendlich

Nichtzahlen

Herleitung

Diskussion dieses Beispiels

Siehe auch

Web Links

Doppelte Genauigkeit

Quadratwurzel

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Quadratwurzeln modulo n

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

1960

Ereignisse

Politik

Wissenschaft und Technik

Kultur

Katastrophen

Sport

Geboren

San Francisco

Geografie

Geografische Lage

Geologie

Stadtgliederung

Klima

- Potenz (Mathematik)
- Mantisse
- Minifloats
- einfache Genauigkeit
- doppelte Genauigkeit
- vierfache Genauigkeit
- Gleitkommazahl