Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Punkt Ciężkości

Punkt ciężkości

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy. Jeżeli podzielić dane ciało na dowolnie małe elementy m_k, każdy odległy od środka układu współrzędnych o wektor \vec r_k, to środek masy ciała można określić przez wektor: \vec r_0= Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapiasana w postaci wyrażeń całkowych wiąże środek masy z rozkładem gęstości \rho w przestrzeni za pomocą zależności: \vec r_0= \int_V \rho \vec r d V przy czym:
\vec r_0 to wektor środka masy;
M=\int_V \rho dV
M to masa ciała;
V to objętość ciała;
\rho=\rho(x,y,z) to funkcja gęstości ciała

Zobacz też


- Przegląd zagadnień z zakresu matematyki
- Środek masy Kategoria:Geometria Kategoria:mechanika ja:重心

Punkt (geometria)

Punkt to jedno z podstawowych pojęć geometrii. Najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. W geometrii euklidesowej, geometrii Riemanna i geometrii Łobaczewskiego punkt wprowadzany jest jako pojęcie pierwotne i dlatego nie jest definiowany. Punkty występują jednak w opisach relacji między prostymi (prosta to kolejne pojęcie pierwotne tych geometrii), np. w geometrii euklidesowej: dwie nierównoległe proste przecinają się w jednym punkcie. W geometrii kartezjańskiej punkt wprowadzany jest jako para (dla dwóch wymiarów) albo ogólniej n-tka (dla n wymiarów) liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi punktu. Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki Kategoria:Geometria

Grawitacja

Grawitacja nazywana czasami ciążeniem powszechnym to jedno z oddziaływań podstawowych wyróżnianych przez fizykę. Oddziaływanie grawitacyjne jest zależne od masy posiadanej przez poszczególne ciała i od odległości między nimi. Oddziaływanie grawitacyjne jest dużo słabsze niż oddziaływanie elektromagnetyczne, czy słabe albo silne w skalach odległości z którymi mamy do czynienia na co dzień. Jednak ciążenie jako jedyne może wpływać na ciała bardzo od siebie oddalone. Grawitacja jest oddziaływaniem, które sprawia, że obiekty astronomiczne tworzą się z rozrzedzonych obłoków gazu wypełniających Wszechświat. Ciążenie powoduje zapadanie się tych struktur i powstawanie galaktyk, gwiazd i planet. W codziennym życiu ciążenie objawia się nam w postaci przyspieszenia ziemskiego. Jabłka oraz inne przedmioty spadają, bo działa na nie grawitacja. W skali astronomicznej ciążenie wyjaśnia, dlaczego planety krążą wokół Słońca, a Księżyc dookoła Ziemi. Grawitacja zawsze powoduje przyciąganie, a nigdy odpychanie. Grawitacja może utrzymać w równowadze tak burzliwe procesy takie jak reakcje termojądrowe w jądrze Słońca. W szczególnym przypadku ciążenie może spowodować zapadanie się gwiazd i powstawianie czarnych dziur. Najnowsze pomiary kosmologiczne wskazują, że Wszechświat rozszerza się coraz szybciej. W tej skali hipotetyzuje się na temat istnienia rzekomego odpychania, które mogłoby być silniejsze od przyciągania grawitacyjnego obiektów astronomicznych jednak nie wiadomo jakie mogłyby być źródła takiego oddziaływania, ani jaki ma charakter. Grawitacja w skali Wszechświata działa inaczej niż w naszym otoczeniu i współcześnie budowane modele kosmologiczne usiłują sprostać opisowi tych zagadnień. Fizycy podejmują próby stworzenia kwantowej teorii grawitacji, która będzie mogła wyjaśnić współczesne obserwacje kosmologiczne.

Wstęp

Najważniejszą cechą grawitacji jest jej powszechność. Ciążenie działa tak samo na wszystkie ciała niezależnie od ich natury. Jednym czynnikiem wpływającym na grawitację jest masa/energia wpływających na siebie obiektów. Nie można w żaden sposób zakłócić, ani odizolować żadnego ciała od wpływu ciążenia. energia We współczesnej fizyce grawitację opisuje Ogólna teoria względności. Oddziaływanie grawitacyjne jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni przez rozmaite formy materii lub energii. Obecność ciężkich obiektów zmienia przestrzeń w dwojaki sposób. W naszym otoczeniu najważniejszym skutkiem grawitacji, jest dylatacja czasu. Na powierzchni Ziemi zegary działają wolniej niż w przestrzeni kosmicznej. Wartość opóźnienia wydaje się niewielka, ale jej wpływ na ruch ciał jest bardzo duży. Dylatacja czasu powoduje powstawanie siły skierowanej do środka naszej planety. W pobliżu tak potężnych źródeł grawitacji jak czarne dziury zakrzywienie czasoprzestrzeni jest największe. Oprócz dylatacji czasu widoczne staje się odejście od geometrii euklidesowej (przyjmowanej intuicyjnie przez człowieka). Większość najbardziej egzotycznych zjawisk opisywanych przez ogólną teorię względności staje się widoczna właśnie w takich warunkach.

Mechanika klasyczna

Poglądy starożytnych

Już u zarania cywilizacji ludzie zaobserwowali, że przedmioty puszczone spadają. Codziennie doświadczenie mówi nam, że obiekty cięższe znajdą się na ziemi wcześniej niż te lżejsze. Jeżeli zrzucimy z pewnej wysokości kulkę oraz piórko, to piórko spadnie później. Co więcej istnieją obiekty takie jak np. balony, które pozornie łamią prawo grawitacji unosząc się do góry. Podobne codzienne obserwacje przekonały greckiego filozofa Arystotelesa, że proces spadania jest zależny od natury przedmiotu. Pogląd ten zawarł w swoich dziełach dotyczących fizyki wydanych w latach 355-322 p.n.e. Starożytni w żaden sposób nie kojarzyli ze sobą opadania ciał na ziemi, z ruchami planet w "niebiosach". Zachowanie ciał astralnych opisywał model geocentryczny, który nie pozwalał na dostrzeżenie jakichkolwiek analogii pomiędzy przyciąganiem i torami ciał niebieskich. Istniało powszechne przekonanie, że ziemia i niebo rządzą się całkowicie odmiennymi prawami.

Renesans

W roku 1543 Kopernik zaproponował heliocentryczny model Układu Słonecznego. Słońce znajdowało się w środku, a planety poruszały się po kołowych orbitach. W roku 1584 Giordano Bruno zaproponował zasadę według, której zarówno ziemią jak i niebem rządzą te same powszechne prawa. W roku 1604 Galileusz podważył wywodzące się ze starożytności idee dotyczące spadania ciał. Jego zdaniem pozorne różnice między ciążeniem działającym na różne obiekty są skutkiem zjawisk takich jak opór, albo wypieranie. W podręcznikach podaje się, że Galileusz wykonał szereg eksperymentów z kulami o różnych masach zrzucanymi z wieży lub staczającymi się po równi pochyłej. Wielu współczesnych historyków nauki sądzi, że ten wielki uczony dowiódł niezależności przyspieszenia ziemskiego od natury ciała w sposób czysto spekulatywny. Galileusz działał zgodnie z powszechnie uznawaną w jego czasach scholastyczną metodą analizy zjawisk. Badacz ten wyobraził sobie dwie spadające cegły. Gdyby ich przyspieszenie zależało od masy, wówczas każda z cegieł oddzielnie spadałaby inaczej, niż gdyby połączyć je luźnym sznurkiem. Galileusz doszedł do wniosku, że założenie zależności przyspieszenia od masy ciała prowadzi do logicznej sprzeczności. Połączenie ciał sznurkiem nie zmienia ich fizycznych własności. W latach 1609-18 niemiecki astronom Jan Kepler sformułował prawa dotyczące ruchu orbitalnego. Zgodnie z nimi planety kreślą w przestrzeni wielkie elipsy. Sformułował też prawo wiążące średni promień orbity z okresem obiegu:

Prawo powszechnego ciążenia

elipsy r. pod tytułem Phisophie Naturalis Principia Mathematica]] Dnia 5 czerwca roku 1686 Newton wydał dzieło, w którym przedstawił spójną teorię grawitacji opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca. Dla uproszczenia załóżmy, że dwie planety poruszają się po kołowej orbicie. Prawo Keplera przyjmie dla nich postać: :\left (\frac\right)^3=\left (\frac\right)^2 (1), gdzie: R_1,R_2 – promienie orbit, T_1, T_2 – okresy obiegu planet. Zgodnie z rachunkiem wektorowym ciało poruszające się po okręgu jest poddane przyspieszeniu: :a=\frac (2), gdzie: a – przyspieszenie, v – prędkość, R – promień okręgu, co według drugiej zasady dynamiki oznacza, że musi działać na nie siła dośrodkowa: :F_d=\frac (3), gdzie m_b to masa bezwładnościowa ciała. Przy ruchu planet ta siła dośrodkowa jest równa sile grawitacyjnej F_g. Prędkość orbitalna może być wyliczona jako: :v=\frac (4) Jeżeli podstawimy zalezność (4) do (3) to otrzymamy: :F_g=\frac (5), Stosunek sił grawitacyjnych dla planet można rozpisać jako: :\frac=\frac (5), Jeżeli teraz do równania (5) podstawimy (1) to pozbędziemy się okresów obiegu: :\frac=\frac (5), Otrzymana zależność oznacza tyle, że stosunek sił grawitacyjnych jest proporcjonalny do odwrotności stosunku kwadratów odległości. Jeżeli planeta jest dwa razy dalej od Słońca, to siła grawitacji jest cztery razy mniejsza. Kiedy ciało ma dwa razy mniejszą masę, wtedy siła jest dwa razy mniejsza. Newton uznał, że ta sama siła powoduje ruch planet po orbitach oraz spadanie jabłka z drzewa. W ten sposób ten wielki fizyk położył podwaliny pod mechanikę klasyczną. W tym ujęciu grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą. Prawo powszechnego ciążenia głosi, że: Matematycznie związek ten wyraża się wzorem: ::F^ =G \frac e^i, gdzie: G – stała grawitacji, m_1,m_2 – masy ciał, x – wektor łączący środki mas obu ciał, a r jest długością tego wektora, e^i=\frac jest wektorem jednostkowym (e e =1) łączącym środki mas obu ciał. Siła F=F^i e^i jest wektorem a jej wartość (długość tego wektora F=F e) jest równa: ::F = G \frac. stała grawitacji Masy grawitacyjne m_1 i m_2 nie muszą być równe masom bezwładnościowym występującym w II zasadzie dynamiki Newtona. Zaobserwowana równość tych wartości oznacza, że ruch ciała w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy. Postulat ten jako pierwszy wysunął Galileusz. Równoznaczność mas bezwładnościowych i grawitacyjnych, zupełnie przypadkowa z punktu widzenia mechaniki klasycznej, jest podstawą ogólnej teorii względności. Jednoznaczność masy bezwładnościowej i grawitacyjnej czekała na potwierdzenie eksperymentalne aż do roku 1798. Angielski fizyk Henry Cavendish jako pierwszy wykonał doświadczenia z wykorzystanie oscylujących mas, dzięki którym określił wartość stałej grawitacyjnej G z błędem 1%. W tym samym eksperymencie potwierdził też równoznaczność masy grawitacyjnej i bezwładnościowej. Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych stałych fizycznych. Obecnie jej wartość zmierzono jako równą: ::G ≈ 6,6732 (±0,0031)×10-11m3kg-1s-2. Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. praca wykonywana w tym polu nie zależy od drogi po jakiej przemieszczają się ciała, tylko od różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym. Możliwe jest zatem zdefiniowanie funkcji U, która opisuje potencjał pola grawitacyjnego. Spełnia ona następującą zależność: ::F^ =-\frac, Korzystając z tego równania można obliczyć energię potencjalną pola grawitacyjnego.

Grawitacja na powierzchni Ziemi

Kiedy znajdujemy się na powierzchni naszej planety, odległość od środka ciężkości Ziemi jest dużo większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet). W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjny jest jednorodne. Korzystając z zależności na siłę grawitacyjną można obliczyć, że przedmiot o masie m na powierzchni naszej planety działa siła Fg: gdzie Mz ≈ 5,9736×1024 kg – masa Ziemi, rz ≈ 6373,14 km , a zgodnie z drugą zasadą dynamiki: Podstawiając zależność na siłę można obliczyć przyspieszenie ziemskie g: W praktyce wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od wielu czynników. Umowna wartość g (dodaje się indeks "n" w celu zaznaczenia, że jest to przyspieszenie "normalne") to: Spadający człowiek porusza się z przyspieszeniem ziemskim tylko przez kilka sekund. Potem opór powietrza staje się na tyle znaczący, że równoważy siłę grawitacji. Punkt równowagi odpowiada zwykle 200 km/h. Spadochron zwiększa siłę oporu powietrza i prędkość odpadania stabilizuje się na dużo mniejszej wartości. Na Księżycu brak atmosfery powoduje, że wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem. Podczas lotów programu Apollo astronauci przeprowadzili pokazy ze zrzucaniem różnych przedmiotów, które transmitowała telewizja. Brak atmosfery hamującej ruch pojazdu powoduje, że lądowanie na Srebrnym Globie wymaga dużych zasobów paliwa rakietowego. Spadochrony w próżni nie są skuteczne.

Grawitacja w ogólnej teorii względności

W Ogólnej Teorii Względności stworzonej przez Alberta Einsteina opis grawitacji polega na określeniu związku pomiędzy tensorem metrycznym opisującym lokalne stosunki długości i interwałów czasowych w czasoprzestrzeni a energią zawartą w określonym obszarze czasoprzestrzeni. Punktem wyjścia dla teorii jest uogólnienie zasady względności Galileusza, o równoważności opisu zjawisk fizycznych w dowolnych układach inercjalnych, na dowolne także nieinercjalne układy odniesienia. Próba takiego zapisania praw mechaniki, aby ich postać matematyczna była identyczna w dowolnym układzie odniesienia, prowadzi do utożsamienia grawitacji i sił bezwładności, masy grawitacyjnej i bezwładnej i w końcu do równań pola grawitacyjnego łączących krzywiznę przestrzeni z tensorem energii-pędu oraz tensorem metrycznym. Można powiedzieć, że w ogólnej teorii względności grawitacja jest konsekwencją zakrzywienia czasoprzestrzeni. Zakrzywienie to opisuje tensor metryczny g_ definiujący w czasoprzestrzeni odległość między dwoma punktami o współrzędnych x^ i x^+ dx^ Sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń opisana jest przez element długości: Funkcje \nu (r) i \lambda (r) określa rozwiązanie równań Einsteina. Funkcja \nu (r) definiuje potencjał grawitacyjny U (r) gdzie: U (r)=m_2 \varphi (r). Równania Einsteina są skomplikowane. Maja one otwarty charakter w tym sensie, że geometria przestrzeni zależy od gęstości energii w rozpatrywanych obszarach, zaś ilość materii i jej przestrzenny rozkład (a więc i gęstość energii) zależy od geometrii. Równania Einsteina nie pozwalają traktować żadnej z tych wielkości jako bardziej podstawowej, co sprawia, że uzyskiwanie rozwiązań tych równań nie jest trywialne i zwykle możliwe jest jedynie dla wyjątkowo symetrycznych konfiguracji jak rozwiązanie Schwarzschilda z symetrią kulista i bez materii. Rozwiązanie Schwarzschilda dla układu w próżni (np. poza gwiazdą) prowadzi do: gdzie r_g\ jest promieniem grawitacyjnym definiującym rozmiar horyzontu zdarzeń czarnej dziury. W ujęciu ogólnej teorii względności postuluje się, że źródłem grawitacji jest tensor energii-pędu. Nawet cząstki pozbawione masy spoczynkowej (foton) doznają wpływu wynikającego z zakrzywienia przestrzeni a więc oddziaływują grawitacyjnie. Generalnie, źródłem grawitacji są wszelkie postacie energii dające wkład do wyżej wymienionego tensora energii pędu: masy, gęstość energii promieniowania i ciśnienia. W szczególności wkład ciśnienia jest identyczny z wkładem masy czyli wzrost ciśnienia powoduje wzrost sił przyciągających nie zaś jak podpowiada nam intuicja, spadek.

Grawitacja a mechanika kwantowa

Niestety, współczesna fizyka nie jest w stanie połączyć (zunifikować) Ogólnej Teorii Względności z mechaniką kwantową. Oznacza to, że żadna ze współczesnych teorii nie opisuje poprawnie ruchu cząstki o niewielkiej masie poruszającej się z prędkością porównywalną z prędkością światła w silnym polu grawitacyjnym np. w pobliżu lub we wnętrzu czarnej dziury. Ogólna teoria względności załamuje się również w momencie Wielkiego Wybuchu jak i zaraz po nim. Brak jest prawidłowego opisu zjawisk zachodzących w bardzo małych objętościach porównywalnych z długością Plancka. Jakkolwiek zjawiska te z punktu widzenia przeciętnego człowieka wydają się być dosyć odległe od zjawisk jakie obserwujemy na co dzień, to jednak poprzez ich związek z kosmologią, wyniki uzyskane na tych polach mają bezpośredni wpływ na obraz zjawisk jak najbardziej powszechnych. Nie oznacza to oczywiście, że nie podejmuje się ciągle prób opisania grawitacji w zgodzie z zasadami mechaniki kwantowej. Postęp w tej dziedzinie jest znaczący i obejmuje sformułowanie wielu teorii: od takich, które analizują kwantowanie w przestrzeniach zakrzywionych, poprzez teorie pola posługujące się algebrą grassmanowską aż do teorii superstrun, nie będącej teorią pola. Wszystkie te teorie dają jakiś wgląd w możliwą naturę kwantowej grawitacji. Jednak brak jest spójnej teorii pozwalającej w dodatku na przewidywanie wyników doświadczeń, która unifikowałaby Ogólną Teorię Względności i mechanikę kwantową.

Literatura


- Schuster "Ogólna teoria Względności"

Zobacz też


- antygrawitacja
- fale grawitacyjne
- grawiton
- oddziaływania podstawowe
- oddziaływanie elektromagnetyczne
- oddziaływanie silne
- oddziaływanie słabe
- potencjał
- przegląd zagadnień z zakresu astronomii Kategoria:Fizyka ja:重力

Wektor

Wektor – w fizyce i technice pojęcie wektora związane jest z wielkością, której można przypisać dość ogólnie rozumianą "wartość" i "kierunek" w przestrzeni, niekoniecznie trójwymiarowej. W matematyce pojęcie to uległo daleko idącej generalizacji i związane jest z pojęciem przestrzeni wektorowej. Ten artykuł omawia rozmaite aspekty pojęcia wektora w przestrzeni trójwymiarowej. Typowym przykładem wektora jest siła – ma ona zawsze pewną wartość, kierunek i zwrot w przestrzeni trójwymiarowej (liczba wymiarów nie ma tu większego znaczenia), a kilka różnych sił przyłożonych do tego samego obiektu daje w wyniku siłę wypadkową zgodnie z regułą równoległoboku. Innym przykładem wektora jest prędkość poruszającego się punktu – by określić ją w pełni należy jak poprzednio podać jej wartość (zwaną czasem szybkością), kierunek oraz zwrot wektora. Określenie "ucieka z szybkością 180 km/h autostradą A1 w kierunku Gdańska" niesie ze sobą te właśnie informacje – mamy tu wartość (180 km/h), kierunek (autostrada A1) i zwrot (na Gdańsk). Brak którejkolwiek z nich powoduje, że opis ruchu nie jest pełny. Bardziej formalnie, wektor to wielkość, której współrzędne zmieniają się w określony sposób przy obrót prostokątnego układu współrzędnych. W języku geometrii różniczkowej wektor jest elementem przestrzeni stycznej do danej rozmaitości różniczkowej w jej danym punkcie. Uogólnieniem pojęcia wektora jest tensor.

Definicje

Stwierdzenie, że wektor charakteryzuje się wartością, kierunkiem i zwrotem z matematycznego punktu widzenia oznacza, że jego składowe zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych w ten sam sposób jak współrzędne punktów przestrzeni. Jeżeli A jest macierzą obrotu, a x oznacza współrzędne dowolnego punktu przestrzeni, to w obróconym układzie współrzędnych współrzędne te będą równe x′ = A · x – jeśli składowe danej wielkości w "starym" i "nowym" (obróconym) układzie współrzędnych związane są ze sobą analogiczną zależnością v′ = A · v, to jest ona wektorem. Ogólniej, wektor jest tensorem kontrawariantnym rzędu jeden. Przykładami wektorowych wielkości fizycznych są obok prędkości i siły: pęd, przemieszczenie, przyspieszenie, pole elektryczne. Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest wyraźna różnica: wielkości skalarne takie jak odległość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, czy masa są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość. W fizyce oprócz wektorów występują również pseudowektory (lub wektory osiowe). Są to wielkości, których składowe podczas obrotów niewłaściwych układu współrzędnych zmieniają znak na przeciwny. Przykładem są tu pole magnetyczne, moment siły i moment pędu. Rozróżnienie na wektory i pseudowektory jest czasami zaniedbywane – nabiera ono znaczenia dopiero, gdy rozważa się własności symetrii równań opisujących zjawiska. Prostym sposobem odróżnienia wektora od pseudowektora jest przedstawienie wybranego zjawiska w zwierciadle. Wektory odbijają się tak jak obrazy a pseudowektory zmieniają zwrot.

Reprezentacja wektorów

W druku wektory oznacza się najczęściej czcionką pogrubioną: a, b, ... Inne sposoby oznaczania wektorów to umieszczanie strzałki nad literą \vec lub (rzadziej) podkreślanie: a; używa się również znaku tyldy pod symbolem. Wartość wektora a (odpowiednik długości w matematyce) oznacza się symbolem ||a|| i często nazywa jego normą. Wektory często reprezentuje się graficznie jako strzałki:
Image:vectorAB.png
Tutaj punkt A nazywa się początkiem lub punktem zaczepienia wektora, natomiast punkt B jego końcem. Długość strzałki powinna być związana z wartością wektora, a jej kierunek z kierunkiem wektora. Strzałkę reprezentującą wektor z rysunku powyżej można zapisać jako \vec lub AB. Mimo swej poglądowości, reprezentacja graficzna jest niewygodna jeśli chodzi o działania na wektorach. W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej każdy wektor można przedstawić jednoznacznie jako kombinację liniową wzajemnie prostopadłych wektorów jednostkowych (tj. od wartości – długości – równej 1). Dla n=3 wektory te mają standardowe oznaczenia: wektor jednostkowy równoległy do osi OX oznaczamy symbolem i, równoległy do osi OY symbolem j, a równoległy do osi OZ symbolem k. Zatem, dowolny wektor a w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R3 można jednoznacznie zapisać jako: :\mathbf=a_1\mathbf+a_2\mathbf+a_3\mathbf. Liczby rzeczywiste al nazywamy współrzędnymi wektora i są one jednoznacznie wyznaczone przez sam wektor a, który wobec tego zapisuje się często w postaci kolumnowej: : = \begin a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end lub wierszowej : = \begin a_1 & a_2 & a_3 \\ \end

Długość wektora

Długość (wartość) wektora a = a1i + a2j + a3k to liczba równa: :\left|\left|\mathbf\right|\right|=\sqrt Wzór ten jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia Pitagorasa obowiązującego w geometrii euklidesowej.

Wektor zerowy

Dla pełności teorii wygodnie jest przyjąć istnienie tak zwanego wektora zerowego. Jest to wektor o nieokreślonym kierunku i zwrocie oraz długości równej 0. Dodanie (lub odjęcie) wektora zerowego do innego wektora nie zmienia tego wektora.

Równość wektorów

Dwa wektory uznajemy za równe, gdy mają tę samą wartość, kierunek i zwrot. W przypadku wektorów zaczepionych dodatkowym warunkiem jest równość punktów zaczepienia. Dla przykładu, wektory: i + 2j + 3k zaczepiony w punkcie (1,0,0) i i+2j+3k zaczepiony w punkcie (0,1,0) są równe, ale jeśli traktować je jako wektory zaczepione – nie.

Suma i różnica wektorów

Niech a=a1i + a2j + a3k i b=b1i + b2j + b3k będą dwoma wektorami. Ich sumę określamy jako: :\mathbf+\mathbf =(a_1+b_1)\mathbf +(a_2+b_2)\mathbf +(a_3+b_3)\mathbf Graficzną interpretacją dodawania wektorów jest tak zwana reguła równoległoboku: grafika:Wektory sumr.png lub reguła trójkąta: grafika:Wektory sumt.png Różnicę wektorów a i b określamy następująco: :\mathbf-\mathbf =(a_1-b_1)\mathbf +(a_2-b_2)\mathbf +(a_3-b_3)\mathbf Geometrycznie: grafika:Wektory rozr.png według reguły równoległoboku i grafika:Wektory rozt.png według reguły trójkąta.

Mnożenie przez skalar

Wektor można pomnożyć przez skalar – czyli w naszej sytuacji liczbę rzeczywistą. Jeżeli a jest wektorem, a r skalarem, to iloczynem ra wektora a przez skalar r nazywamy wektor: :r\mathbf=(ra_1)\mathbf +(ra_2)\mathbf +(ra_3)\mathbf Jego długość równa jest |r||a|, kierunek taki sam jak kierunek wektora a, a zwrot zgodny ze zwrotem a, gdy r>0 i przeciwny do zwrotu a, gdy r<0. Tak określone mnożenie spełnia podstawowe własności algebraiczne – jest między innymi łączne i rozdzielne.

Wersor

Wersorem, albo wektorem jednostkowym, nazywamy dowolny wektor o długości równej 1. Z każdym wektorem niezerowym wektorem a, można stowarzyszyć pewien wersor, który jest zgodnie z nim skierowany. Mianowicie, łatwo sprawdzić, że wektor: :\mathbf=\frac=\frac\mathbf+\frac\mathbf+\frac\mathbf Ma długość jeden i jest skierowany zgodnie z wektorem a.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów a i b (zwany czasem iloczynem wewnętrznym) jest liczbą, określoną jak następuje: :\mathbf\cdot\mathbf =\left|\mathbf\right|\left|\mathbf\right|\cos(\theta) gdzie θ jest miarą kąta pomiędzy wektorami a i b. Jeśli Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne wektorów a i b wygląda następująco: Sens geometryczny iloczynu skalarnego jest następujący: jeśli narysować a i b jako zaczepione w jednym punkcie, to a·b jest iloczynem długości wektora a i rzutu równoległego wektora b na kierunek wektora a. Na przykład, w fizyce, praca wykonana nad ciałem przez siłę F jest iloczynem skalarnym wektora tej siły i wektora o jaki przesunęła ona ciało.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy wektorów a i b (zwany też iloczynem zewnętrznym) jest wektorem określonym następująco: :\mathbf\times\mathbf =\left|\mathbf\right|\left|\mathbf\right|\sin(\theta)\mathbf gdzie θ jest miarą kąta między wektorami a i b, a n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b oraz skierowanym tak, by orientacja układu wektorów a, b i a×b była zgodna z orientacją wersorów osi układu współrzędnych. W praktyce powszechnie wykorzystuje się układ współrzędnych zorientowany prawoskrętnie – oznacza to, że wersory i, j, k osi układu skierowane są zgodnie z kierunkami wyznaczonymi przez kciuk, palec wskazujący i palec środkowy (w tej właśnie kolejności) prawej dłoni. Chcąc zatem wyznaczyć kierunek iloczynu a×b należy ustawić kciuk zgodnie z kierunkiem wektora a i palec wskazujący zgodnie z kierunkiem wektora b, a wówczas palec środkowy wskaże kierunek wektora a×b. Zauważmy, że tak określony iloczyn wektorowy nie jest przemienny, to znaczy mnożąc b przez a otrzymamy inny wynik! Dokładniej, :a×b = – b×a. Wynika stąd, że a×b jest pseudowektorem. Geometrycznie długość wektora a×b można interpretować jako pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Podane tu określenie iloczynu wektorowego ma sens jedynie w geometrii trójwymiarowej, choć daje się uogólnić na więcej wymiarów.

Iloczyn mieszany wektorów

Iloczyn mieszany jest działaniem, które trójce wektorów a, b, c przypisuje liczbę oznaczaną (abc) i określoną następująco: :(\mathbf\ \mathbf\ \mathbf) =\mathbf\cdot(\mathbf\times\mathbf) Główne zastosowania iloczynu mieszanego są trojakie. Przede wszystkim, wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wyraża objętość równoległościanu rozpiętego na danych wektorach. Dalej, iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo zależne. I wreszcie, iloczyn mieszany jest liczbą dodatnią, wtedy i tylko wtedy, gdy trójka wektorów zorientowana jest zgodnie z trójką wersorów i, j, k osi układu współrzędnych. Jeżeli wektory a, b, c dane są przez swoje współrzędne w postaci kolumnowej, to iloczyn mieszany tych wektorów równy jest wyznacznikowi macierzy kwadratowej utworzonej z wektorów.

Uogólnienia

W matematyce wektor oznacza element pewnej przestrzeni wektorowej. Tak rozumiane wektory są w pełni określone wyłącznie przez swoje własności formalne i mogą one być bardzo różnorodnymi obiektami: ciągami, macierzami lub przekształceniami przestrzeni. Najogólniejszym schematem dla tak rozumianego wektora jest funkcja funkcjami. W szczególności, tak rozumianymi wektorami są również tensory.

Linki zewnętrzne


- [http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf Online vector identities] (pdf) Kategoria:Geometria Kategoria:Algebra liniowa ko:벡터 ja:ベクトル (数学)

Funkcja (matematyka)

W matematyce funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje dokładnie jeden element zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, jego elementy argumentami, zaś zbiór Y - przeciwdziedziną funkcji. Element y zbioru Y, który jest przypisany danemu x ze zbioru X nazywamy obrazem x, albo wartością funkcji dla argumentu x.

Definicja formalna

W teorii mnogości funkcja definiowana jest jako podzbiór f iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y, który spełnia następujące dwa warunki: # dla dowolnego x ze zbioru X istnieje y ze zbioru Y taki, że x f y. \forall x \in X : \exists y \in Y: x f y. # jeśli zachodzą warunki x f y oraz x f z, to y = z. \forall (x,y) \in f: x f y \wedge x f z \implies y = z. # Czyli: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny. Zbiorem wartości funkcji nazywamy f :X \to Y zbiór tych wszystkich y \in Y, dla których istnieje taki argument x \in X, że f(x)= y. W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator itd. są synonimami. Na funkcje można nakładać dodatkowe warunki, takie jak różnowartościowość, surjektywność, wzajemną jednoznaczność czy ciągłość. Funkcje można rozpatrywać jako osobne obiekty i wykonywać na nich działania, takie jak dodawanie, mnożenie, składanie.

Zobacz też


- relacja,
- wykres funkcji,
- funkcja jednej zmiennej,
- multifunkcja,
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki.
- Kategoria:Teoria mnogości ko:함수 (수학) ja:関数 (数学) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Indeks:

Indeks

A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - Ł - M - N - O - P - R - S - Ś - T - U - W - Z - Ź - Zobacz też

Zagadnienia

A

abakus - aksjomat - aksjomat ciągłości - aksjomat indukcji - aksjomat wyboru - aksjomat wyłączonego środka - aksjomaty oddzielania - aksjomaty przeliczalności - aksjomaty Zermelo-Fraenkela - algebra (dział matematyki) - algebra (struktura algebraiczna) - algebra Boole'a - algebra homologiczna - algebra liniowa - algebra ogólna - algebra uniwersalna - algebra zbiorów - algorytm - algorytm ekspansji - algorytm Euklidesa - algorytm genetyczny - algorytm Kruskala - algorytm Prima - algorytm Runge-Kutta - alternatywa - alternatywa Fredholma - alternatywa rozłączna - amplituda - amplituda punktu - analiza - analiza funkcjonalna - analiza harmoniczna - analiza matematyczna - analiza przedziałowa - antygraniastosłup - antylogarytm - apotema - aproksymacja - aproksymacja jednostajna - aproksymacja średniokwadratowa - arcus cosinus - arcus cotangens - arcus sinus - arcus tangens - area cosinus - area cotangens - area funkcje - area sinus - area tangens - argument liczby zespolonej - arytmetyka - arytmetyka liczb kardynalnych - arytmometr - asteroida - asymptota - automatyczne dowodzenie twierdzeń - automorfizm - automorfizm Frobeniusa
   (wróć do indeksu)

B

baza (przestrzeń liniowa) - baza (topologia) - baza ortonormalna - beczka (analiza funkcjonalna) - beczka (bryła geometryczna) - biegun - biegunowy układ współrzędnych - bifurkacja - bijekcja - binormalna - body nieciągłości - brachistochrona - brute force - bryła - bryła spójna - bryła jednospójna - bryła niewypukła - bryła wielospójna - bryła wypukła - brzeg (geometria) - Busy Beaver
   (wróć do indeksu)

C

całka - całka Bochnera - całka Denjoy-Perrona - całka eliptyczna - całka Eulera - całka funkcji po łuku - całka Henstocka-Kurzweila - całka krzywoliniowa - całka Lebesgue'a - całka Newtona-Leibniza - całka nieoznaczona - całka niewłaściwa - całka okrężna - całka oznaczona - całka podwójna - całka Poissona - całka potrójna - całka powierzchniowa - całka Riemanna - całka Stieltjesa - całka zależna od parametru - całka zbieżna bezwzględnie - całkowanie - całkowanie przez części - całkowanie przez podstawienie - cecha - cecha logarytmu - centralne twierdzenie graniczne - centrum grupy - charakter grupy - charakter reprezentacji grupy - charakterystyka ciała - charakterystyka rodziny krzywych - charakterystyki równania - chińskie twierdzenie o resztach - ciała globalne - ciała lokalne - ciała Zp - ciało - ciało algebraicznie domknięte - ciało doskonałe - ciało (formalnie) rzeczywiste - ciało nieskończone - ciało proste - ciało radykalnie domknięte - ciało rozdzielczo domknięte - ciało rozkładu wielomianu - ciało skończone - ciało ułamków - ciało zbiorów - ciało zupełne - ciąg - ciąg arytmetyczny - ciąg Cauchy'ego - ciąg Fibonacciego - ciąg geometryczny - ciąg harmoniczny - ciąg kompozycyjny grupy - ciąg malejący - ciąg monotoniczny - ciąg niemalejący - ciąg nieograniczony - ciąg nierosnący - ciąg ograniczony - ciąg podstawowy - ciąg rekurencyjny - ciąg rosnący - ciąg skończony - ciąg stały - ciąg ściśle rosnący - ciąg ściśle malejący - ciągłość - ciągłość funkcji - ciągłość funkcji w punkcie - ciągłość jednostajna - CoNP zupełny - continuum - cosecans - cosecans hiperboliczny - cosinus - cosinus całkowy - cosinus hiperboliczny - cosinusy kierunkowe - cosinusoida - cotangens - cotangens hiperboliczny - cotangensoida - cyfra - cyfry rzymskie - cyfry wartościowe - cykloida - cyrkiel (przyrząd) - cysoida Dioklesa - czasza kuli - częstość - częściowy porządek - część całkowita - część ułamkowa - część wspólna - czołowa postać normalna - czworokąt - czworościan - czworościan foremny - czworościan ścięty - czynnik - czynnik całkujący - czynnik pierwszy - czynnik normujący
   (wróć do indeksu)

D

decyl - decymetr - dedukcja - dedukcja naturalna - definicja - dekompozycja - delta Diraca - deltoid - dendryt - deska Galtona - diagonalizacja - diagram Venna - długość geograficzna - dobry porządek - dodawanie - dodawanie macierzy - domknięcie - domknięcie algebraiczne - domknięcie pierwiastnikowe - domknięcie radykalne - domknięcie rozdzielcze - dopełnienie - dowód - drgania harmoniczne - droga całkowania - druga pochodna - drzewo - drzewo binarne - duże O - dwumian Newtona - dwudziestościan foremny - dwudziestościan ścięty - dwunasto-dwudziestościan - dwunasto-dwudziestościan rombowy mały - dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki - dwunastościan foremny - dwunastościan przycięty - dwunastościan ścięty - dwusieczna - dylemat więźnia - dysjunkcja - dysjunkcyjna postać normalna - dysjunkcyjny operator binarny - dystrybuanta - dystrybucja - dywan Sierpińskiego - dywergencja - dywizor - działanie dwuargumentowe - działanie łączne - działanie przemienne - dziedzina funkcji - działanie grupy na zbiorze - dzielenie - dzielna - dzielnik - dziesiętny system liczbowy
   (wróć do indeksu)

E

eksponenta - ekstremum - ekstrapolacja - element liniowy powierzchni - element maksymalny - element minimalny - element neutralny - element osobliwy - element pola kierunkowego - elipsa - elipsoida - elipsoida obrotowa - entier - entropia - entropia rozkładu - entropia warunkowa - entropia zmiennej losowej - epicykloida - epitrochoidy - estymator - estymator największej wiarygodności - estymator nieobciążony - ewoluta - ewolwenta
   (wróć do indeksu)

F

falki - falki Haara - fałsz - figura geometryczna - figura jednospójna - figura niewypukła - figura płaska - figura spójna - figura wielospójna - figura wypukła - figury podobne - figury przystające - figury rozłączne - filozofia matematyki - forma kwadratowa - forma preneksowa - forma zdaniowa - forma zdaniowa tożsamościowa - forma zdaniowa sprzeczna - formuła logiczna - fraktal - funkcja - funkcja algebraiczna - funkcja analityczna - funkcja aproksymująca - funkcja autokorelacyjna - funkcja bazowa - funkcje Bessela - funkcja beta - funkcja błędu - funkcja boolowska - funkcja całkowalna - funkcja całkowita wymierna - funkcja całkowo-wykładnicza - funkcja celu - funkcja charakterystyczna - funkcja charakterystyczna zbioru - funkcja ciągła - funkcja częściowa - funkcja Diraca - funkcja Dirichleta - funkcja entier - funkcja eta - funkcja dodatnio jednorodna - funkcja gamma - funkcja Greena - funkcja Hamiltona - funkcja harmoniczna - funkcja holomorficzna - funkcja homograficzna - funkcja impulsowa - funkcja interpolacyjna - funkcja jednej zmiennej - funkcja jednokrotna - funkcja jednostajnie ciągła - funkcja jednoznaczna - funkcja kwadratowa - funkcja Lamberta - funkcja liniowa - funkcja logarytmiczna - funkcja Macdonalda - funkcja malejąca - funkcja matematyczna - funkcja mierzalna - funkcja mocy testu - funkcja monotoniczna - funkcja modularna - funkcja na - funkcja niemalejąca - funkcja nieograniczona - funkcja nieparzysta - funkcja nierosnąca - funkcja niewymierna - funkcja odwrotna - funkcja ograniczona - funkcja okresowa - funkcja parzysta - funkcja pierwotna - funkcja potęgowa - funkcja prosta - funkcja przedziałami liniowa - funkcja przestępna - funkcja Ramanujana - funkcja rekurencyjna - funkcja Riemanna - funkcja zeta Riemanna - funkcja rosnąca - funkcja różniczkowalna - funkcja różnowartościowa - funkcja silnie monotoniczna - funkcja skalarna - funkcja skokowa Heaviside'a - funkcja stała - funkcja ściśle malejąca - funkcja ściśle rosnąca - funkcja totalna - funkcje trygonometryczne - funkcja tworząca prawdopodobieństwa - funkcja unormowana - funkcja uwikłana - funkcja W Lamberta - funkcja walcowa - funkcja Webera - funkcja wektorowa - funkcja wielowartościowa - funkcja wielu zmiennych - funkcja wklęsła - funkcja wykładnicza - funkcja wymierna - funkcja wymierna ułamkowa - funkcja wypukła - funkcja wzajemnie jednoznaczna - funkcja zakłócająca - funkcja zdaniowa - funkcja złożona - funkcje cyklometryczne - funkcje elementarne - funkcje eliptyczne - funkcje harmoniczne - funkcje hiperboliczne - funkcje hiperboliczne odwrotne - funkcje kołowe - funkcje kuliste - funkcje Laplace'a - funkcja Legendre'a - funkcje liniowo niezależne - funkcje odwrotne do trygonometrycznych - funkcje ortogonalne - funkcje ortonormalne - funkcje specjalne - funkcje Sturma - funkcje trygonometryczne - funkcje tworzące - funkcje własne - funkcje wzajemnie odwrotne - funkcje zależne - funkcje zbieżne jednostajnie - funkcje zmiennych losowych - funkcjonał liniowy - funktor zdaniotwórczy
   (wróć do indeksu)

G

gddy - geometria - geometria absolutna - geometria algebraiczna - geometria analityczna - geometria euklidesowa - geometria Łobaczewskiego - geometria Riemanna - gęstość brzegowa - gęstość warunkowa - gęstość wektora losowego - gęstość widma - gęstość zbioru - gęstość zmiennej losowej - gra - gra istotna - gra nieistotna - gra o sumie stałej - gra o sumie zerowej - gracz racjonalny - gradient - graf - graf planarny - graf skierowany - graniastosłup - granica ciągu - granica funkcji - granica jednostronna - granica niewłaściwa - granica w nieskończoności - grupa - grupa abelowa - grupa cykliczna - grupa diedralna - grupa jednokładności - grupa liniowa - grupa obrotów - grupa permutacji - grupa podobieństw - grupa prosta - grupa przekształceń - grupa rozwiązalna - grupa superrozwiązalna - grupa symetrii - grupa translacji
   (wróć do indeksu)

H

harmonika - helikoida - hesjan - heurystyka - hiperbola - hiperbola równoosiowa - hiperbole sprzężone - hiperboloida - hiperboloida dwupowłokowa - hiperboloida jednopowłokowa - hiperboloida obrotowa - hipocykloida - hipoteza continuum - hipoteza Goldbacha - hipoteza nieparametryczna - hipoteza parametryczna - hipoteza prosta - hipoteza Riemanna - hipoteza statystyczna - hipoteza złożona - hipotrochoida - holomorf grupy - homeomorfizm - homomorfizm
   (wróć do indeksu)

I

iloczyn - ideał (teoria pierścieni) - ideał (teoria zbiorów uporządkowanych) - ideał główny - ideał maksymalny - ideał pierwszy - ideał ułamkowy - idel - iloczyn kartezjański - iloczyn mieszany wektorów - iloczyn prosty grup - iloczyn skalarny - iloczyn skalarny funkcji - iloczyn wektora przez skalar - iloczyn wektorowy - iloczyn zbiorów - iloczyn zdarzeń - iloraz - iloraz różnicowy - implikacja - implikant funkcji boolowskiej - indeks siły - indeksowanie termów - indukcja logiczna - indukcja matematyczna - indukcja strukturalna - indukcja pozaskończona - infimum - injekcja - integrator - interpolacja - interpolacja kwadratowa - interpolacja liniowa - interpolacja paraboliczna - interpolacja trygonometryczna - interpolacja wielomianowa - intuicjonizm - inwersja - iterowany dylemat więźnia - izometria - izometria parzysta - izometria nieparzysta - izomorfizm
   (wróć do indeksu)

J

jakobian - jądro iterowane - jądro rozwiązujące - jądro równania całkowego - jądro symetryczne - jądro zamknięte - jednokładność - jednomian - jednostka urojona - jedynka trygonometryczna - język - język bezkontekstowy - język formalny - język kontekstowy - język regularny - język rekursywnie przeliczalny - język rekursywny
   (wróć do indeksu)

K

K-algebra - kalkulator - kardioida - kartezjański układ współrzędnych - kąt - kąt bryłowy - kąt dwuścienny - kąt liniowy - kąt między dwiema krzywymi - kąt między dwiema prostymi - kąt między prostą i płaszczyzną - kąt nutacji - kąt ostry - kąt płaski - kąt precesji - kąt prosty - kąt przyległy - kąt skierowany - kąt środkowy - kąt trójścienny - kąt wewnętrzny - kąt wielościenny - kąt wpisany - kąt zewnętrzny - kąty Eulera - kąty naprzemianległe - kierująca - klasa - klasa (matematyka) - klasa abstrakcji (klasa równoważności) - klasyczna statystyka matematyczna - klasyczny rachunek logiczny - klauzula - klauzula dualna - klauzula Horna - klika - klin - klotoida - kod Graya - kolineacja perspektywiczna - koło - koło krzywizny - koło opisane - koło wielkie - koło wpisane - kombinacja - kombinacja liniowa wektorów - kombinatoryka - komutator (matematyka) - komutant grupy - konchoida - kongruencja - koniunkcja - koniunkcyjna postać normalna - koniunkcyjny operator binarny - konserwatyzm kątów - kontrtautologia - konwersja alfa - kowariancja - kostka boolowska - krata - krawędź - kres dolny - kres górny - krotka - kryptografia - kryteria dostateczne zbieżności całek - kryteria zbieżności szeregów - kryterium d'Alemberta - kryterium całkowe - kryterium Cauchy'ego - kryterium Jermakowa - kryterium porównawcze (dla szeregów nieujemnych) - kryterium Pringsheima - kryterium Weierstrassa (jednostajnej zbieżności szeregów) - krzywa (także lista krzywych) - Krzywa Béziera - krzywa całkowa - krzywa całkowa osobliwa - krzywa drgań tłumionych - krzywa Gaussa - krzywa Jordana - krzywa logarytmiczna - krzywa przestępna - krzywa rozkładu normalnego - krzywa stożkowa - krzywa typu hiperbolicznego - krzywa wykładnicza - krzywizna Gaussa - krzywizna krzywej - kula - kula opisana - kula wpisana - kurtoza - kwadrat (algebra) - kwadrat (geometria) - kwadrat jednostkowy - kwadrat logiczny - kwadratura koła - kwantyfikator - kwantyfikator egzystencjalny - kwantyfikator ogólny - kwantyfikator szczegółowy - kwantyl - kwartyl - kwaterniony - kryterium Leibniza
   (wróć do indeksu)

L

laplasjan - las - lemat Kuratowskiego-Zorna - lemat Lindenbauma - lemat Riemanna - lemniskata - liczba - liczba Eulera - liczba gamma - liczba kardynalna - liczba Mersenne'a - liczba pi - liczba sprzężona - liczba urojona - liczba złota - liczby algebraiczne - liczby Bernoulliego - liczby całkowite - liczby dodatnie - liczby Fermata - liczby Mersenne'a - liczby naturalne - liczby niedodatnie - liczby nieparzyste - liczby nieujemne - liczby niewymierne - liczby p-adyczne - liczby parzyste - liczby pierwsze - liczby porządkowe - liczby pseudopierwsze - liczby przestępne - liczby rzeczywiste - liczby Sierpińskiego - liczby ujemne - liczby urojone - liczby wymierne - liczby względnie pierwsze - liczby zespolone - liczby złożone - linia geodezyjna - linia łamana - linia łańcuchowa - linia prosta - linia siły pola wektorowego - linia środkowa - linia śrubowa - linie krzywizny - linie wirowe pola - liść Kartezjusza - logarytm - logarytm binarny - logarytm całkowy - logarytm dziesiętny - logarytm naturalny - logika - logika matematyczna - logika modalna - logika rozmyta - logika wielowartościowa - lok Agnesi
   (wróć do indeksu)

Ł

Łańcuch (teoria mnogości) - łączność działań - łuk (matematyka) - łuk elementarny - łuk krzywej
   (wróć do indeksu)

M

macierz - macierz blokowa - macierz diagonalna - macierz dołączona - macierz jednostkowa - macierz Jordana - macierz główna układu równań - macierz kwadratowa - macierz odwrotna - macierz osobliwa - macierz podstawowa - macierz przekształcenia liniowego - macierz rozszerzona układu równań - macierz trójkątna - macierz unitarna - maksimum - małe twierdzenie Fermata - mantysa - mantysa logarytmu - masa bryły - maszyna RAM - maszyna Turinga - matematyka - matematyka dyskretna - matroid - mediana - metajęzyk - metalogika - metoda analizy starożytnych - metoda Cauchy'ego (rozwiązywania równania różniczkowego) - metoda graficzna obliczania całki - metoda Gaussa - metoda Greena (rozwiązywania zagadnienia brzegowego) - metoda Hilberta (konstrukcji wartości i funkcji charakterystycznych) - metoda Karnaugh - metoda Lagrange'a (znajdowania ekstremów warunkowych) - metoda Monte Carlo - metoda najmniejszych kwadratów - metoda największej wiarygodności - metoda Newtona (przybliżonego rozwiązywania równań) - metoda numeryczna - metoda Ostrogradskiego - metoda przeciętnych - metoda przybliżeń Nyströma - metoda rozdzielania zmiennych - metoda równań równoważnych - Kategoria:Matematyka zh-min-nan:Category:Kí-hô-ha̍k ko:분류:기하학 ja:Category:幾何学

Kategoria:Mechanika

kategoria:fizyka kategoria:technika

Aerobik

Aerobik (ang. aerobics z gr. aér, aéros - powietrze + bíos - życie), to grupa ćwiczeń gimnastycznych, wykonywanych do muzyki. Aerobik powstał jako dyscyplina rekreacyjna, stając się z czasem również dyscypliną sportową, w któej odbywają się regularnie Mistrzostwa Świata. Kategoria:Gimnastyka ja:エアロビクス

Reklama szkoy policealne seo narkotyki wydarzenia










































:: RELATED NEWS ::
SS Lazio
SS Lazio, fotbollsklubb i Rom SS Lazio blev en mycket känd klubb i Sverige i samband med att Sven-Göran Eriksson var tränare för laget. Eriksson ledde laget till seger i Cupvinnarcupen och klubbens första ligatiteln på 26 år 2000. Klubben har länge spelat i Serie A och derbyna mot AS Roma tillhör de hetaste i Europa. Idag har klubben lägre ambitioner efter en ekonomisk kollaps i början av 2

Kisan Mazdoor Mandal
Kisan Mazdoor Mandal (Bonde- och Arbetarsamling), ett politiskt parti i Indien som existerade kring 1951. KMM vann 12 255 röster (5,42%) men inga mandat i dåvarande Bhopal i delstatsvalet 1951 (5,42%). Sitt bästa resultat fick KMM i Jahangirabad, där partiets kandidat Shakir Ali Khan fick 2 581 (43,41%). I valet till den första
Klassisk
Klassisk (latin classicus, av classis, klass) är beteckning för något som tillhör den grekiska eller romerska antiken eller är avsedd att sprida ljus över denna ("klassisk litteratur", "klassiska språk", "klassisk filologi", "klassiska studier") eller som söker sina förebilde

Hindu Democratic Front
Hindu Democratic Front, politisk allians bildad i den indiska delstaten Uttar Pradesh i september 2001. HDF grundades av f.d. BJP-parlamentarikern Devendra Bahadur Rai. Bharatiya Jan Sangh, Akhil Bharathiya Hindu Mahasabha, Wellandkanalen (Welland Canal) är en vattenkanal i Nordamerika med en längd av 43,4 km från Port Colborne, Ontario över Eriesjön till Port Weller, Ontario och har slutligen sitt utlopp i Ontariosjön. Gen
Pripps
Pripps, tidigare svenskt bryggeri som lever kvar som ett känt inhemskt svenskt varumärke. Pripps ingår numera i den danska bryggerikoncernen Carlsbergs bolag Carlsberg Sverige. Pripps startades i Göteborg och växte under 1900-talet till att bli Sveriges största bryggeri, bland annat genom att köpa upp mindre bryggerier. Man har numera ingen tillverkning i staden man en gång började i. <
All Rights Reserved 2005 wikimiki.org