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Ikosaeder

Ikosaeder

right Das Ikosaeder (nach griech. eikosáedron = Zwanzigflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer: ein Polyeder (ein Vielflächner) mit
- zwanzig (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
- dreißig (gleich langen) Kanten und
- zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Flächen zusammentreffen ----

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyhedron. Es hat:
- sechs fünfzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
- zehn dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen)
- fünfzehn zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
- fünfzehn Symmetrieebenen (durch einander gegenüber liegende – und parallele – Kanten) und ist
- zentralsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders) Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente. Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle).

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Dodekaeder ist das zum Ikosaeder duale Polyeder (und umgekehrt).
Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
- ein abgestumpftes Ikosaeder mit 20 Sechsecken und 12 Fünfecken : (man erhält es auch, indem man die Ecken eines Ikosaeders abstumpft) : (ähnlich einem Fußball, siehe auch Fulleren)
- ein Ikosidodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken
- ein abgestumpftes Dodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken als Durchschnitte eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder (siehe archimedische Körper) und
- ein Rhombentriakontaeder mit 20+12 = 32 Ecken und 30 Rhomben als Flächen als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder.

Zur Struktur des Ikosaeders

Wie die untenstehende Graphik zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen, dass diese Paare drei kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. (Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind.) Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese sechs Kanten in den sechs Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.
Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke (unter den 20 Flächen des Ikosaeders), die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.
Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!=120 Permutationen dieser fünf Positionen. Bild:Ikosaeder.jpg Die Kanten des Ikosaeders enthalten 12 ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei dieser Fünfecke gehört, und jede Ecke zu fünf. (Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benützen.)

Formeln

Anwendungen

- Viele Viren, darunter HIV, haben eine ikosaedrische Form. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren möglichst klein sein müssen. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht optimal, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt.
- Rudolf von Laban hatte das Ikosaeder für seine Raumharmonielehre intensiv genutzt und beeinflusste damit den modernen Tanz. Dies wird heute in der "Laban Movement Analysis" weiter geführt.
- In vielen Rollenspielen werden Ikosaeder als zwanzigseitige Spielwürfel (W20) verwendet.

Weblinks

- [http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/ikosa.html Herleitungen] Kategorie:Raumgeometrie ja:正二十面体 ko:정이십면체

Platonische Körper

Die platonischen Körper sind eine nach Platon (
- 428/427 v. Chr.; † 348/347 v. Chr.) benannte Gruppe von fünf besonders regelmäßigen konvexen Polyedern, die dadurch charakterisiert sind, dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Sie werden deswegen auch reguläre oder regelmäßige Körper genannt. Ihre Namen stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen: Tetraeder (vier Dreiecke), Hexaeder (das ist der Kubus oder Würfel) (sechs Quadrate), Oktaeder (acht Dreiecke), Dodekaeder (zwölf Fünfecke) und Ikosaeder (zwanzig Dreiecke). Eine etwas allgemeinere Gruppe sind die 13 so genannten semiregulären oder archimedischen Körper. In diesem Artikel liegt der Schwerpunkt hauptsächlich auf den gemeinsamen Eigenschaften und den Beziehungen der Körper untereinander. Eingehender werden die einzelnen Körper bei ihren jeweiligen Einträgen behandelt.

Die fünf platonischen Körper

Grundlegende Eigenschaften

Anzahl der platonischen Körper

Je zwei platonische Körper vom selben Typ sind zueinander ähnlich, d.h., ein platonischer Körper ist durch die Angabe seiner Größe (z.B. durch die Länge seiner Kanten) eindeutig bestimmt. Es ist also gerechtfertigt von dem Tetraeder, dem Hexaeder, dem Oktaeder, dem Dodekaeder und dem Ikosaeder zu sprechen. Es gibt auch nur genau diese fünf Typen von platonischen Körpern. Den Grund dafür zeigen die folgenden Überlegungen: Bei einem konvexen Polyeder ist die Summe der Innenwinkel der an einer Ecke aufeinandertreffenden Flächen kleiner als 360°. Sonst würden sie in einer Ebene liegen, oder es gäbe einwärtsgerichtete Kanten. Andererseits müssen sich an jeder Ecke eines Polyeders mindestens drei Flächen treffen. Sind also bei einem Körper alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können daher an einer Ecke drei, vier oder fünf Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen. Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°) oder regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können davon jeweils drei zusammentreffen (Winkelsumme 270° bei Quadraten bzw. 324° bei Fünfecken). Sechs gleichseitige Dreiecke, vier Quadrate und drei regelmäßige Sechsecke (Innenwinkel 120°) ergeben jeweils genau 360°, sodass keine Ecke im Raum entsteht – es entstehen "nur" reguläre Parkettierungen der Ebene –, und alle anderen Möglichkeiten (vier regelmäßige Fünfecke, drei regelmäßige Siebenecke, etc.) überschreiten diesen Winkel bereits. Bei drei bzw. vier gleichseitigen Dreiecken und bei drei Quadraten pro Ecke ist leicht zu sehen, dass es entsprechende Körper tatsächlich gibt. Beim Ikosaeder und Dodekader ist nicht unmittelbar klar, dass die Vielecke sich lückenlos zusammenschließen. Um dies zu belegen, dienen noch folgende Überlegungen: Ein Ikosaeder - bei dem fünf gleichseitige Dreiecke in einer Ecke zusammenstoßen - kann man wie folgt konstruieren: Man verbindet bei zwei Fünfecken, die parallel zueinander liegen und die gegeneinander verdreht sind, jeweils die verdrehten Ecken so miteinander, dass zehn gleichseitige Dreiecke entstehen (formal ausgedrückt: Man bildet zu einem Fünfeck ein Antiprisma). Setzt man auf die Basis und auf die Deckfläche jeweils eine fünfseitige Pyramide (mit fünf gleichseitigen Dreiecken als Mantel) auf, so erhält man einen Körper mit 12 Ecken und 20 gleichseitigen Dreiecken. Es zeigt sich (z.B. durch Nachrechnen), dass die beiden den Pyramidenspitzen entsprechenden Ecken und die zehn Ecken des Antiprismas kongruent (mit gleichen Flächenwinkeln) sind, also tatsächlich ein völlig regelmäßiges (ein reguläres) Polyeder vorliegt. Das Dodekaeder ergibt sich dann als duales Polyeder. (Ohne diese Überlegung ist es nicht selbstverständlich, dass das Dodekaeder tatsächlich durch ebene Fünfecke realisiert werden kann.) Die fünf oben gezeigten platonischen Körper sind also (bis auf Ähnlichkeit) tatsächlich die einzigen konvexen Körper dieser Art (kongruente regelmäßige Seitenflächen, kongruente Ecken – die Regularität muss nicht vorausgesetzt werden). (Ein vollständiger Beweis unter noch etwas schwächeren Voraussetzungen – für sphärische Polyeder – kann mit der eulerschen Polyederformel geführt werden.) Kurz zusammengefasst: An einer Ecke können drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke zusammenkommen. Auch drei Quadrate oder drei regelmäßige Fünfecke sind möglich. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Weitere Polyeder mit regelmäßigen Vielecken als Seitenflächen ergeben sich nur, wenn Vielecke mit unterschiedlicher Eckenzahl zugelassen werden – dazu gehören unter anderem die archimedischen Körper, sowie Körper, bei denen nicht an jeder Ecke gleich viele Vielecke zusammentreffen.

Dualität

Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen eines platonischen Körpers, so erhält man (mit den Verbindungslinien als Kanten) wieder einen platonischen Körper, und zwar mit demselben Mittelpunkt. Dieser Körper wird als Dualkörper zum Ausgangskörper bezeichnet. :Auf Grund der Konstruktion ist klar, dass jeder Fläche des Ursprungskörpers jeweils eine Ecke des dualen Körpers entspricht. Außerdem entspricht jeder Kante, die zwei Flächen trennt, eine Kante, die zwei Ecken verbindet. Daraus ergibt sich, dass auch jeder Ecke des Ursprungskörpers jeweils eine Fläche des dualen Körpers entspricht. (Man kann sich das so verbildlichen, dass jede Fläche eine Ecke des Ursprungskörpers "abschneidet".) Wiederholt man diese Konstruktion (konstruiert man also den zum Dualkörper dualen Körper), so erhält man einen (verkleinerten) platonischen Körper des Ausgangstyps mit gleichem Mittelpunkt. Dabei bilden Hexaeder und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in (verkleinerter) zentralsymmetrischer Lage befindet (d.h., er "steht auf dem Kopf").

Symmetrie

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:
- Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d.h. jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Symmetrie des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden. Man sagt dazu:
- Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken, Kanten und Flächen. Es gilt sogar:
- Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.) Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen (und ihre Untergruppen) gehören zu den diskreten Raumgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper (z.B. der archimedischen Körper). Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle. Aufgrund ihrer symmetrischen Eigenschaften erfüllen alle platonischen Körper die Eigenschaft eines kubischen Kristalls. Ferner haben sie die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können.

Deltaeder

Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosader auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat
- eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
- eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
- eine Kugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen. Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (oder das Zentrum) des platonischen Körpers.

Weitere mathematische Eigenschaften

Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt (z.B. auf die Umkugel), so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten (unter gleichen Winkeln) zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. (In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.) Jede reguläre Parkettierung kann durch das Paar

(p,q)

beschrieben werden, wobei

p

für die Anzahl der Kanten eines Steines und

q

für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper ergeben daher die dualen Paare

(3,4)

und

(4,3)

(3,5)

und

(5,3)

, sowie das selbstduale Paar

(3,3)

. Es sind dies (genau) alle Lösungen der Ungleichung :

\frac + \frac > \frac\ (p,q \in \mathbb N)

Diese Beziehung folgt aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug stellt: : Flächen + Ecken = Kanten + 2 wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist. (Die Anzahl der Flächen ist (2 mal Kanten durch p), die der Ecken (2 mal Kanten durch q) In der Ebene gilt (bei geeigneter Interpretation, nämlich asymptotisch) : Flächen + Ecken = Kanten oder :

\frac + \frac = \frac\ 
(p,q \in \mathbb N)

mit den Lösungen :

(4,4)

(selbstdual), sowie

(3,6)

und dual dazu

(3,6)

, welche für die drei regulären Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, Dreiecke und Sechsecke) stehen, die daher (in diesem Sinn) als Verallgemeinerung der platonischen Körper gelten können, Die Lösungen von :

\frac + \frac < \frac\ (p,q \in \mathbb N)

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Ebene.

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder

Wegen der starken Regelmäßigkeit der platonischen Körper kann man leicht andere Körper von ihnen ableiten, die auch wieder sehr regelmäßig sind. Man muss dazu nur die gleichen Konstruktionen symmetrisch auf Flächen, Kanten oder Ecken anwenden. Ein Beispiel dafür sind die dualen Körper, die sich ja dadurch ergeben, dass man den Mittelpunkt jeder Fläche mit den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen verbindet.

Einbeschreibungen

Es bestehen durchaus noch andere Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubauen. Zum Beispiel erhält man ein Tetraeder, wenn man die Diagonale einer Würfelfläche als eine Kante verwendet, die dazu windschiefe Diagonale auf der gegenüberliegende Fläche als eine andere, und als die anderen vier Kanten die Diagonalen benutzt, die die Enden der beiden verbinden. Ein Oktaeder erhält man, wenn man Flächen durch die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders legt.

Abgestumpfte platonische Körper

Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen halbregulären (archimedischen) Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten Dualkörper. Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen zwar regelmäßige Polygone, aber von unterschiedlicher Seitenzahl, verwendet werden.

Sternkörper

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper. Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.

Geschichtliches

Den Pythagoräern (6.Jh.v.Chr.) waren Tetraeder, Würfel, und Dodekaeder bekannt. Theaitetos (4.Jh.v.Chr.) kannte auch Oktaeder und Dodekaeder, wobei das Oktaeder vermutlich vorher nur deshalb nicht beachtet wurde, weil er als Doppelpyramide gesehen wurde. Der griechische Philosoph Platon (um 300 v.Chr.) hat die Körper später in seinem Werk "Timaios" ausführlich beschrieben und sie den Elementen des platonischen Weltbildes zugeordnet. Sie wurden in Platons Akademie intensiv untersucht und galten dort als Repräsentanten der Elemente, denen sie wie folgt zugeordnet wurden:
- Feuer: Tetraeder
- Wasser: Ikosaeder
- Luft: Oktaeder
- Erde: Würfel
- Geist / Quintessenz oder Äther: Dodekaeder Davon leitet sich auch die alternative Bezeichnung kosmische Körper her. Euklid (um 300 v.Chr.) konstruiert die platonischen Körper im XIII. Buch seiner Elemente. Das "XIV. Buch" (aus dem 2.Jh.v.Chr., Hypsikles) enthält einige Volumenberechnungen, und das "XV. Buch" (aus dem 6.Jh.n.Chr.) enthält weiteres Material zu ihnen. Mit dem Aufkommen der Perspektive beschäftigten sich auch Künstler mit den platonischen Körper (neben anderen regelmäßigen Körpern) und verwendeten sie dazu, ihre Fähigkeiten zu zeigen: u.a. Piero della Francesca, Leonardo da Vinci (Illustrationen zu Divina Proportione von Luca Pacioli), Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer (Perspectiva Corporum Regularium, 1568). Johannes Kepler gelang es (Mysterium Cosmographicum, 1596), die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Diese Interpretation stimmt zwar ziemlich gut mit den damals bekannten ungenauen Werten überein, ihr entspricht aber keine astronomische Gesetzmäßigkeit. Bei der Suche nach solchen Harmonien studiert Kepler in seinem Werk Harmonices Mundi (Weltharmonik) auch systematisch regelmäßige Körper und beschreibt neben den platonischen Körpern unter anderem auch die archimedischen Körper, sowie zwei nichtkonvexe regelmäßige Polyeder, sogenannte Sternkörper.

Platonische Körper jenseits der Mathematik

Die auffällige Regelmäßigkeit macht die platonischen Körper auf vielerlei Art für den Menschen interessant.
- Zusätzlich zum Würfel, der leicht herzustellen ist und der schon seit Jahrtausenden für Glücksspiele verwendet wurde, finden heute auch die anderen platonischen Körper eine Anwendung im Fantasy-Rollenspiel. Dazu sind physikalisch allerdings gleichmäßige Dichteverteilung - also homogenes Material - sowie die gleichartige Beschaffenheit aller Ecken und Kanten die Voraussetzungen.
- Platonische Körper sind seit langem beliebte Objekte für darstellende Künstler. In der modernen Kunst hat sich vor allem M. C. Escher mit ihnen und ähnlichen regelmäßigen Körpern beschäftigt, auch Werke von Salvador Dali thematisieren einige Werke platonische Körper oder ihre Entfaltung.
- Schachteln in regelmäßiger Form werden auch gerne als Verpackung und zum Basteln verwendet. Auch in der Natur können sich vorhandene Regelmäßigkeiten als platonische Körper ausprägen.
- Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Dodekaeder kommen in der Natur als (idealisierte) Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich bei Quasikristallen.
Zum Beispiel bilden Kochsalz und Alaun, das beim Ausfällen mit gewissen anderen Stoffen dotiert ist, Würfelkristalle. Reines Alaun kristallisiert als Oktaeder.
Dabei ist die Abgrenzung zwischen den einzelnen Formen nicht absolut, sondern die interne Symmetrie kann sich in unterschiedlichen Ausprägungen äußern. In der Mineralogie fallen alle platonischen Körper, Pentagondodekaeder, Rhombendodekaeder, Kuboktaeder und ihre Mischformen unter den Begriff kubisch. Nicht wenige Mineralien können dementsprechend mehrere dieser kubischen Formen annehmen. Dazu gehört zum Beispiel Pyrit, das sowohl als Würfel als auch als Oktaeder oder Dodekaeder vorkommt.

Weblinks

- [http://www.walter-fendt.de/m11d/platon.htm Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets]
- [http://www.3quarks.com/GIF-Animations/PlatonicSolids/index-de.html]
- [http://www.saar.de/~luci/Raumzahl/PlatonischesMobile.html]
- [http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/ Platonische Körper aus Flechtstreifen]
- [http://www.hom.shuttle.de/hom/spg/roep-032.htm Pentagondodekaeder bei den Kelten und Römern]
- [http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/~rockstroh/Platon.htm Platonische Körper, LernUmgebung vom Lehrstuhl für Mathematik und ihrer Didaktik, Universität Bayreuth]
- [http://www.polytope.de/plat4.html Vierdimensionale Platonische Polychora]
- [http://www.niclasundco.de/index.php?id=66 Bastelbögen für platonische Körper zum Ausdrucken]
- [http://www.polyedergarten.de Polyedergarten] Kategorie:Raumgeometrie ko:정다면체

Polyeder

] Ein Polyeder, auch Vielflächner oder Ebenflächner genannt, ist ein Körper, der durch ebene Polygone begrenzt wird. Die wichtigsten Polyeder sind Prismen, Pyramiden, Pyramidenstümpfe und Prismatoide. Bekannte Ebenflächner aus dem Alltag sind Schränke und Regale (in der üblichen Bauweise), Fenster und Türen, Radiergummis, etc. Keine Polyeder sind Kugel, Kegel, Flaschen, Stifte, Tortenstücke, etc. Für konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz: e + f = k + 2, wobei e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flächen und k die Anzahl der Kanten ist. Ein Polyeder heißt regelmäßig oder regulär, wenn es durch lauter deckungsgleiche (=kongruente) regelmäßige Polygone begrenzt wird; dann treffen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Polygonen zusammen, d.h. auch die Ecken sind deckungsgleich. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder. Diese heißen auch platonische Körper. Siehe auch: Planarer Graph, Archimedischer Körper Kategorie:Raumgeometrie ja:多面体 ko:다면체

Kongruenz (Geometrie)

In der Geometrie sind zwei Flächen kongruent (deckungsgleich) (von lat. congruens = übereinstimmend, passend), wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt, d.h. zur Deckung gebracht werden können. Kongruenzabbildungen sind Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung und die Verknüpfungen dieser Abbildungen.
Die Kongruenz ebener geometrischer Figuren lässt sich anschaulich so deuten: Man kann die eine Figur mit der Schere ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide genau übereinander liegen.

Beispiel

Kongruente und nichtkongruente Figuren Die ersten beiden Figuren sind kongruent. Die dritte hat zwar die gleiche Form, ist aber kleiner. Sie ist daher ähnlich zu der ersten und zweiten Figur, aber nicht kongruent. Die letzte Figur ist weder kongruent noch ähnlich zu den ersten dreien. Die Menge aller Kongruenzen einer Figur bildet deren Punktgruppe. In der Stereometrie (Raum-Geometrie) spricht man bei Polyedern gegebenenfalls auch von der Kongruenz von Ecken, falls zwei Ecken dieselbe Anzahl von Kanten und Flächen mit denselben Winkeln (in derselben Reihenfolge) vereinigen; dabei müssen nicht nur die Winkel in den Seitenflächen des Polyeders gleich sein, sondern auch alle Winkel zwischen entsprechenden Kantenpaaren. Die eine Ecke muss sich ggf. durch eine Kongruenzabbildung in die andere überführen lassen. Siehe auch: Kongruenzsätze im Dreieck Kategorie:Euklidische Geometrie ja:合同

Symmetrie

Symmetrie leitet sich vom altgriechischen symmetria her und bedeutet "Ebenmaß". Allgemeiner formuliert handelt es sich dabei um eine wechselseitige Entsprechung von Teilen eines Ganzen in Bezug auf Größe, Form, Farbe und Anordnung. Ein Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es gegenüber bestimmten Transformationen (Symmetrieoperationen) invariant, d.h. im Erscheinungsbild unverändert ist.

Mathematik

Die Begriffe Symmetrie und symmetrisch werden in der Mathematik in mehreren Bedeutungen verwendet.
- Symmetrie in der Geometrie
- Symmetrie von Relationen (Mengenlehre)
- Symmetrische Gruppe (Algebra)
- Symmetrische Matrix
- siehe auch: Glossar mathematischer Attribute#symmetrisch

Informatik

In der Informatik gibt es die symmetrische Verschlüsselung sowie das Symmetrische Multiprocessing.

Physik

- Symmetrie (Physik)
- Supersymmetrie

Chemie

- Punktgruppen - Enthalten geometrische Symmetrieoperationen, die jeweils einen Punkt identisch lassen

Musik

In der Kompositionslehre der Musik bezeichnet die Symmetrie die Wiederholung einer Sequenz in umgekehrter Reihenfolge der Töne oder Akkorde. Siehe auch: Krebs (Musik), Umkehrung (Musik)

Tontechnik

Siehe Symmetrische Signalübertragung

Symmetrie in der Sprachwissenschaft/Philosophie

Die Symmetrie ist neben der Analogie ein grundlegendes Konzept des menschlichen Denkens. Während die Analogie für die Übertragung eines Prinzips in einen anderen Zusammenhang steht (Wie der Herr, so das Gescherr), steht die Symmetrie für ein entgegengesetztes Prinzip im gleichen Zusammenhang (Wie man in den Wald ruft, so schallt es heraus).

Biologie

In der Biologie ist die Symmmetrie ein wichtiges Bauprinzip und auch Klassifizierungsmerkmal. Radiärsymmetrie (Achsensymmetrie):
- Hohltiere
- Stachelhäuter (hier sekundäres Merkmal)
- Rosenblüte Bilateralsymmetrie (Ebenensymmetrie):
- Bilateria
- Orchideenblüte

Kunst und Kultur

Symmetrie findet sich seit Jahrtausenden in zahllosen von Menschen hergestellten Dingen. Symmetrie gilt häufig als ästhetisch und findet sich in Handwerk, Industriedesign und Architektur sowie in den bildenden Künsten.

Öffentlicher Personenverkehr

Aus betrieblichen Gründen sind Fahrpläne nach Möglichkeit so ausgelegt, dass Bahnen derselben Linie einander etwa zur vollen Stunde begegnen (Nullsymmetrie).

Weblinks

- [http://www.neues-weltbild.de/awm.htm Symmetrien der Wirklichkeit] Kategorie: Geometrie ja:対称性

Quasikristall

In Quasikristallen sind die Atome bzw. Moleküle in einer scheinbar regelmäßigen, in Wahrheit aber aperiodischen Struktur angeordnet. Entdeckt wurden sie 1982 von Dan Shechtman.

Muster in Quasikristallen

In einem normalen Kristall sind die Atome bzw. Moleküle in einer periodischen Struktur angeordnet. Diese wiederholt sich dreidimensional, ähnlich wie Honigwaben. Jede Zelle ist von Zellen umgeben, die ein identisches Muster bilden. In einem Quasikristall ist sind die Atome bzw. Moleküle nur quasiperiodisch angeordnet. Lokal befinden sich die Atome in einer regelmäßigen Struktur, im globalen Maßstab aber ist die Struktur aperiodisch, jede Zelle ist von einem jeweils anderen Muster umgeben. Besonders bemerkenswert an den Quasikristallen ist, dass sie eine fünfzählige Symmetrie ermöglichen. In einem normalen Kristall sind nur 1-, 2-, 3-, 4-, und 6-zählige Symmetrien möglich. Das ergibt sich daraus, dass der Raum nur auf diese Art mit kongruenten Teilen gefüllt werden kann. Vor der Entdeckung der Quasikristalle nahm man an, dass eine fünfzählige Symmetrie nie auftreten könne, weil es nicht möglich sei, den Raum entsprechend periodisch zu füllen. Die Entdeckung der Quasikristalle halfen dabei, neu zu definieren, was das Wesen eines Kristalls ausmache. Quasikristalle haben keine periodischen Strukturen, aber sie besitzen scharfe Beugungspunkte. Es gibt eine große Ähnlichkeit zwischen den Quasikristallen und der Penrose-Parkettierung, die Roger Penrose bereits vor der Entdeckung der Quasikristalle erfunden hatte. Wenn man ein Quasikristall geeignet schneidet, findet man, dass die Oberfläche genau das Muster der Penrose-Parkettierung zeigt.

Geometrische Interpretation

Man kann ein periodisches Muster um einen bestimmten Abstand so verschieben, dass jedes verschobene Atom genau die Stelle eines entsprechenden Atoms im originalmuster einnimmt. In einem quasiperiodischen Muster ist so eine Verschiebung nicht möglich, egal, welchen Abstand man wählt. Allerdings kann man jeden beliebigen Ausschnitt, egal welche Größe er hat, so verschieben, dass er deckungsgleich mit einem entsprechenden Ausschnitt ist. Es gibt eine merkwürdige Beziehung zwischen periodischen und nichtperiodischen Mustern. Jedes quasiperiodische Muster aus Punkten kann aus einem periodischen Muster einer höheren Dimension geformt werden. Um zum Beispiel einen dreidimensionalen Quasikristall zu erzeugen, kann man mit einer periodischen Anordnung von Punkten in einem sechsdimensionalen Raum beginnen. Der dreidimensionale Raum sei ein linearer Unterraum, der den sechsdimensionalen Raum in einem bestimmten Winkel durchdringt. Wenn man jeden Punkt des sechsdimensionalen Raumes, der sich innerhalb eines bestimmten Abstandes zum dreidimensionalen Unterraum befindet, auf den Unterraum projiziert und der Winkel eine irrationale Zahl darstellt, wie zum Beispiel der Goldene Schnitt, dann entsteht ein quasiperiodisches Muster. Jedes quasiperiodische Muster kann auf diese Weise erzeugt werden. Jedes Muster, das man auf diese Weise erhält, ist entweder periodisch oder quasiperiodisch. Dieser geometrische Ansatz ist nützlich, um physikalische Quasikristalle zu analysieren. In einem Kristall sind Kristallfehler Stellen, an denen das periodische Muster gestört ist. In einem Quasikristall sind das Stellen, wo der dreidimensionale Unterraum gebogen, gefaltet oder gebrochen ist wenn er den höherdimensionalen Raum durchdringt.

Weblinks

- [http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt/quasi17.htm Matthias Hullin: Quasikristalle: Entdeckung, Materialien, Eigenschaften]
- [http://www.uni-marburg.de/zv/news/archiv/muj-00-6/600-06.html Marburger UniJournal 6/2000, S. 6: Verbotene Kristalle / Eine mathematische Idee stand am Anfang einer neuen Werkstoffklasse]
- [http://tech-www.informatik.uni-hamburg.de/personal/hendrich/penrose/penrose.html Penrose-Parkett] von Norman Hendrich, Fachbereich Informatik, Universität Hamburg Category:Kristallographie ja:準結晶

Fußball (Sportgerät)

Ein Fußball ist ein Ball, der im gleichnamigen Ballspiel verwendet wird (siehe Fußball). Fußball Fußball] Ein Fußball besteht aus zwölf Fünfecken und 20 Sechsecken. Aus geometrischer Sicht ist ein Fußball ein Ikosaeder, dessen zwölf Ecken zu Fünfecken plattgedrückt wurden – oder ein Dodekaeder, dessen 20 Ecken zu Sechsecken geplättet wurden. Ein Fußball besitzt somit die volle Symmetrie eines Ikosaeders (Ikosaedergruppe). Nach den Regeln des DFBs ist ein Ball regelgerecht, wenn er
- kugelförmig ist
- aus Leder oder einem anderen geeigneten Material gefertigt ist
- einen Umfang zwischen mindestens 68 und höchstens 70 cm hat
- zu Spielbeginn mindestens 410 und höchstens 450 Gramm wiegt und
- sein Druck 0,6-1,1 Atmosphären beträgt, was 600-1100 g/qcm auf Meereshöhe entspricht Die Kohlenstoffmodifikation Buckminster-Fulleren C₆₀ besteht aus Molekülen, die sich aus 60 Kohlenstoffatomen zusammensetzen und die Struktur eines Fußballs haben. Bekannt ist der Effetball, der auf dem Magnus-Effekt beruht.

Geschichte

Bis Ende der 1960er Jahren bestand der Fußball aus (Kuh-)Leder und war mit einer Schweinsblase gefüllt. Der Nachteil war, dass er sich bei Regen mit Wasser vollsog und so schwerer wurde. In den 1930er Jahren erfanden Argentinier die Blase mit Ventil. Zuvor hielt ein Netz den Ball zusammen, was beim Kopfball Probleme bereitete. Bestand der Ball ursprünglich aus Lederstreifen, so wurde bei der Fußballweltmeisterschaft 1970 in Mexiko der Ball mit den Fünf- und Sechsecken geboren. Der Telstar war der erste offizielle Ball einer Fußball-WM, bei den vorherigen Weltmeisterschaften stellte immer der Gastgeber das Spielgerät. Mit dem Azteca, der erstmals bei der Weltmeisterschaft 1986 eingesetzt wurde, wiederum in Mexiko, wurde wieder eine neue Evolutionsstufe bei Fußbällen erreicht. Der Azteca war der erste Fußball, der statt aus Leder aus Kunststoff bestand und somit weitestgehend gegen Nässe unempfindlich war und somit ein gleichbleibendes Gewicht und Spielbarkeit garantierte. Die jüngste Entwicklungsstufe bei Fußbällen ist der Roteiro, der für die Fußballeuropameisterschaft 2004 in Portugal entwickelt wurde. Dieser Ball besteht aus mehreren Kunststoffschichten und ist nicht mehr genäht sondern geklebt. Heute ist der Ball stabil und kann auch bei einem harten Schuss nicht platzen oder Luft verlieren, was früher Probleme bereitete und das Spielende festlegte. Circa 80% der Weltproduktion an Fußbällen (mehr als 40 Millionen Stück/Jahr) stammen aus dem Gebiet um die Stadt Sialkot, Region Punjab, Pakistan. Die Fussbälle werden bis auf ein paar Ausnahmen (Faire Fussbälle, siehe Fair Trade) von äußerst schlecht bezahlten Näherinnen hergestellt. Oft auch von Kindern unter 14 Jahren. Offizielle Bälle der Fußball-Weltmeisterschaften (ab 1970): Laut eines aktuellen Werbeprospekts der Quelle AG ist der Name des WM-2006-Balls mit einem Geheim-Schriftzug überzogen. An der Kante erkennt man ein 'T' hervorspitzen. Genaueres wird erst nach der Auslosung am 9. Dezember in Leipzig bekannt gegeben. Der Name Santiago ist ziemlich unwahrscheinlich, da dies der erste Name eines Balles der Firma Adidas im Jahr 1963 war. Die Daten stammen aus einer Pressemitteilung von Adidas.

Weblinks

[http://www.dfb.de/dfb-info/regeln/fussballregeln/regel/regel02.html DFB-Regeln zum Ball] Kategorie:Sportgerät Kategorie:Fußball ja:サッカーボール

Fulleren

Mit Fulleren (Pl.: Fullerene) wird eine spezielle Gruppe von ausschließlich aus Kohlenstoff bestehenden Makromolekülen der Zusammensetzung

C_

bezeichnet, die gleichfalls die dritte Element-Modifikation des Kohlenstoffs (neben Diamant und Graphit) darstellen. Die erste Veröffentlichung zu Fullerenen erfolgte am 14. November 1985 in der Zeitschrift Nature. (HW Kroto, JR Heath, SC O’Brien, RF Curl, RE Smalley, Nature 318, 162 - 163 (14 November 1985); Dafür bekamen Robert F. Curl jr. (USA), Sir Harold W. Kroto (England) und Richard E. Smalley (USA) 1996 den Nobelpreis für Chemie. Die bekanntesten und stabilsten Vertreter haben die Summenformeln

C_

C_

C_

C_

C_

C_

C_

C_

C_

. Das mit Abstand am besten erforschte ist

C_

, das zu Ehren des Architekten Buckminster Fuller Buckminster-Fulleren genannt wurde, da es den von ihm konstruierten geodätischen Kuppeln ähnelt. Es besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, die zusammen ein abgestumpftes Ikosaeder (Archimedischer Körper) bilden. Da ein Fußball die gleiche Struktur hat, wird es auch Fußballmolekül (oder auf Englisch Bucky Ball) genannt. Fußball Fußball

Herstellung

Graphit wird unter Schutzgas mit einer Widerstandsheizung oder am Lichtbogen verdampft. Dabei entstehen kleine Kohlenstoff-Moleküle wie

C_2

C_4

und

C_6

die bei Abkühlung wieder zu größeren Einheiten zusammentreten. Im Ruß, der nach Abkühlung zurückbleibt, werden die Fullerene, aber auch Kohlenstoff-Nanoröhren gefunden. Durch Chromatographie können die Bestandteile des Rußes aufgetrennt und die Fullerene isoliert werden. Literatur: Joachim Dettmann: Fullerene - Die Buckyballs erobern die Chemie. Birkhäuser Verlag, Basel/Boston/Berlin, 1994

Eigenschaften

Die Fullerene sind braun-schwarze Pulver von metallischem Glanz. Sie lösen sich in organischen Lösungsmitteln unter charakteristischer Färbung. An der Luft zersetzen sich die Fullerene langsam unter Bildung von Graphit. Graphit

Struktur und Stabilität

Graphit Alle bekannten Fullerene bestehen aus 12 Fünfecken, die von einer unterschiedlichen Anzahl an Sechsecken umgeben sind. Durch die Unmöglichkeit, eine Ebene mit Fünfecken vollständig zu bedecken, ergibt sich die sphärische Wölbung (Bild 3).

C_

hat Ikosaeder-Symmetrie. Die Fullerene mit mehr als 60 C-Atomen weichen zwangsläufig von der Kugelform ab,

C_

etwa ist ein Ellipsoid. Die Stabilität eines Fullerens ist dann am größten,
- wenn die Fünfecke nicht aneinander grenzen, sondern nur von Sechsecken umgeben sind (Fünfeckregel),
- wenn der aromatische Charakter ausgeprägt ist (siehe Aromatizität),
- und/oder (?) wenn es eine magische Zahl (60,70,76 usw.) an C-Atomen besitzt Literatur: Joachim Dettmann: Fullerene - Die Buckyballs erobern die Chemie. Birkhäuser Verlag, Basel/Boston/Berlin, 1994

Reaktionen von $C_$

Fullerene bieten drei Ansatzpunkte für chemische Modifikationen. Durch Additionsreaktionen an die ungesättigten Valenzen erhält man exohedrale Addukte. Das Ersetzen von Kohlenstoffatomen aus der Käfighülle durch z.B. Stickstoffatome zum

C_N

bezeichnet man als substitutionelles Doping. Schließlich bieten Käfigstrukturen noch die Möglichkeit, Atome oder Verbindungen in den Hohlraum einzubringen. Verbindungen dieser Art bezeichnet man als endohedrale Komplexe. Zur Kennzeichnung endohedraler Komplexe hat sich in der Literatur die Schreibweise X@

C_

durchgesetzt, bei der sich ein Atom oder Cluster X im Inneren eines Fullerenkäfig aus

n

-Kohlenstoffatomen befindet.

C_

besitzt einen Hohlraum mit einem Durchmesser von 700 pm, in den Metall- und Nichtmetallatome eingelagert werden können. Ein Beispiel ist die Einlagerungsverbindung des Heliums, die mit der Notation He@

C_

korrekt bezeichnet wird. He@

C_

wird erhalten, wenn Graphit in einer Helium-Atmosphäre verdampft wird. Weiterhin kann

C_

die für Aromaten aber auch Alkene typischen Reaktionen wie Hydrierung, Halogenierung, Ozonolyse und Birch-Reduktion eingehen. Jedoch findet in der Regel keine vollständige Umsetzung aller Doppelbindungen statt; nur mit Fluor kann die Zusammensetzung

C_F_

erreicht werden. Weitere interessante Verbindungen sind die ionischen Alkalimetall-Fulleride:

C_

kann mit Natrium und Kalium reduziert werden. Dabei entstehen Verbindungen der Zusammensetzung

MC_

M_2C_

und

M_3C_

(M = Na, K).

KC_

kristallisiert im Natriumchlorid-Gitter. In

K_3C_

liegt das

C_\!^

-Anion vor und bildet eine kubisch-dichteste Kugelpackung;

K^+

ist in die Tetraeder- und Oktaeder-Lücken eingebaut.

K_3C_

ist ein Hochtemperatur-Supraleiter. In der Gruppe von Anton Zeilinger an der Universität Wien (siehe Weblink ) wurde die Interferenz von

C_

-Molekülen am Gitter beobachtet und damit die Bedeutung des Welle-Teilchen-Dualismus für makroskopische Objekte gezeigt. Die Nanopartikel stellen Gefahren für die Umwelt dar, die zum Teil noch nicht erforscht sind. Nachgewiesen wurden folgende Auswirkungen:
- Wasserflöhe sterben nach dem Kontakt mit Buckyballs.
- Fische bekommen nach dem Kontakt Gehirnstörungen.

Weblinks

- [http://www.chem.ox.ac.uk/inorganicchemistry3/C/C60.html 3D Strukturformel]
- [http://www.quantum.univie.ac.at/research/matterwave/c60/index.html Wave-particle duality of C60]
- [http://www.chemlin.de/chemie/fullerene.htm ChemLin (umfangreiche Linkliste)] Kategorie:Stoffgruppe Kategorie:Nanowerkstoff ja:フラーレン

Archimedische Körper

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von sehr regelmäßigen geometrischen Körpern, die den platonischen Körpern ähneln. Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 archimedische Körper. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Ecken eines solchen Körpers nicht voneinander unterschieden werden können. Die archimedischen Körper sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der alle diese Körper bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckt hatte.

Definition

informelle Beschreibung

Die archimedischen Körper sind konvexe Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke sind. Die charakteristische Eigenschaft der archimedischen Körper ist, dass sich alle Ecken des Körpers zueinander völlig gleich verhalten (Uniformität der Ecken). Dabei treten einige einfache Fälle auf, die man schon unter anderen Namen kennt, nämlich Prismen, Antiprismen und die fünf platonischen Körper. Diese werden nicht als archimedische Körper bezeichnet. Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und war in der Vergangenheit nicht immer einheitlich.

exakte Definition

Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen: :Die Drehgruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken. Das bedeutet anschaulich: :Zu jedem Paar

(a,b)

von Ecken des Polyeders ist es möglich, das Polyeder so zu drehen, dass die Ecke

a

dort zu liegen kommt, wo zuvor die Ecke

b

war, und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind. Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen:
- Die fünf platonischen Körper.
- Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-Ecken und n Quadraten bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl n größer gleich drei existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und zwei Quadrate zusammen. Im Fall

n=4

ergibt sich ein Würfel, also ein platonischer Körper.
- Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-Ecken und 2n Dreiecken bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl n größer gleich drei existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und drei Dreiecke zusammen. Im Fall

n=3

ergibt sich ein Oktaeder, also ein platonischer Körper. Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.

Eigenschaften

- Unterscheidet man nicht zwischen ähnlichen Körpern, so existieren genau 13 archimedische Körper. Von zwei dieser Körper existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben.
- Weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, gilt: Alle Kanten eines archimedischen Körpers haben die gleiche Länge.
- Aus der globalen Uniformität der Ecken folgt die lokale Uniformität der Ecken: ::An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn abgelesen die selben Typen von Polygonen zusammen.
- Aus der lokalen Uniformität der Ecken folgt jedoch im Allgemeinen nicht die globale Uniformität. Ein Gegenbeispiel liefert das Pseudo-Rhombenkuboktaeder.
- Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden. Bei vielen archimedischen Körpern deutet auch der Name darauf hin. Mit Abstumpfen eines Körpers ist hier gemeint, dass dem Körper beliebige Stücke weggeschnitten werden, dabei aber die Flächen des Körpers — in aller Regel verkleinert — als Flächen des abgestumpften Körpers erhalten bleiben.
- Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden.

Die einzelnen archimedischen Körper

Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder

das Pseudo-Rhombenkuboktaeder Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen existiert, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller's solid oder als Johnson-Körper

J_

bezeichnet. In jeder Ecke dieses Körpers stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen. Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird.

Literatur

- Paul Adam/Arnold Wyss: Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, ISBN 3-77250965-7

Weblinks

- [http://www.polytope.de/arch4.html Vierdimensionale Archimedische Polychora] Kategorie:Raumgeometrie ko:아르키메데스의 다면체

Orthogonal

Orthogonalität bezeichnet in der Mathematik das Konzept des Senkrechtstehens.

Elementargeometrie

In der Elementargeometrie heißen zwei Geraden orthogonal oder senkrecht zueinander, wenn sie einen rechten Winkel, d.h. einen Winkel von 90° einschließen.

Orthogonale Vektoren

Allgemein gelten zwei Vektoren aus einem reellen Vektorraum, für den ein positiv definites inneres Produkt (oder Skalarprodukt) definiert ist, als orthogonal zueinander, wenn das innere Produkt der beiden Vektoren gleich 0 ist. Diese Vektorräume können zum Beispiel der

\mathbb^2

und der

\mathbb^3

sein, aber auch Funktionenräume. Eine Menge von Vektoren nennt man orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immer linear unabhängig und bildet deshalb eine Basis der linearen Hülle dieser Menge. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren die Norm 1 besitzen, nennt man die Menge ein Orthonormalsystem. Ist der Vektorraum endlichdimensional, so besitzt er immer eine Orthonormalbasis; diese lässt sich durch das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren bestimmen.

Orthogonale Funktionen

In Funktionenräumen mit Skalarprodukt, wie Hilberträumen, ist die Definition orthogonaler Funktionen analog, so lassen sich beispielsweise orthogonale Polynome bestimmen und auch orthogonale Basen. Allerdings sind viele interessante Räume wie der L2-Raum unendlichdimensional, siehe dazu Hilbertraumbasis. In der Quantenmechanik bilden auch die Zustände eines Systems einen Vektorraum. Entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.

Orthogonale Matrizen

Eine quadratische, reelle Matrix

A \isin K^

nennt man orthogonale Matrix, wenn ihre Spalten aus orthonormalen (nicht orthogonalen!) Vektoren bestehen, falls also

A^ \cdot A = I_n

(bzw.

A^=A^

) gilt. Die Entsprechung bei den komplexen Zahlen ist die unitäre Matrix.

Orthogonale Projektion

nennt man jene Abbildungen eines Urbildes (meist der Kugel) auf eine Ebene, die parallele Strahlen senkrecht auf die Projektionsebene aufweisen. Projiziert wird also aus dem Unendlichen. Für perspektive Projektionen ist dies gleichbedeutend mit der Abbildung üblicher Mondkarten der Vorder- und Rückseite. Orthogonale (oder orthografische) Projektionen der Mond- oder der Erdkugel haben aber orthogonale Breiten- und Längenkreise nur bei Polarprojektionen. Die äquatorialen und schiefachsigen Abbildungen weisen auch im Schnitt der Koordinatenlinien große Winkelverzerrungen auf. Kategorie:Geometrie Kategorie:Lineare Algebra __NOTOC__

Fünfeck

Ein Fünfeck (griech. pentagon) ist ein geometrisches Objekt. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (= Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Mathematische Zusammenhänge

Sofern nichts anderes gesagt wird, ist meist von einem ebenen Fünfeck die Rede. Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Summe seiner Innenwinkel beträgt stets 540° und ergibt sich aus der Formel: :

\sum (n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

Der Winkel im ebenen Fünfeck beträgt :

\alpha =\frac \cdot 180^\circ = \frac \cdot 180^\circ = 108^\circ

Punkte

Formel für die Flächenberechnung

Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Ecken aufgespannten Dreiecks. :

A=5 \cdot \frac \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac = \frac \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ

Allgemein mit dem Umkreisradius r_u :

A=\frac\cdot r_u^2 \sqrt

Geometrie des Fünfecks

Punkte Das reguläre Fünfeck besitzt einen Innenwinkel von 108° (siehe Grafik). Die Ebene lässt sich nicht mit regulären Fünfecken lückenlos und überdeckunsfrei bedecken. Jedoch lässt sich aus 12 regulären Fünfecken im Raum ein reguläres Dodekaeder aufspannen. Die Diagonalen des Fünfecks bilden das Pentagramm (fünfzackiger Stern), in dessen Inneren sich wiederum ein - kopfstehendes - regelmäßiges Fünfeck befindet, welches seinerseits ein kopfstehendes Pentagramm beinhaltet. Dieses Muster kann in beide Richtungen (nach innen und außen) unendlich weitergeführt werden. Der spitze Winkel im "Zacken" des Pentagramms misst 36°, also ein Drittel des 108°-Winkels des Fünfecks. Diese 108° finden sich ihrerseits im stumpfen Außenwinkel des Pentagramms wieder, so dass auch hier weitere Fünfecke gebildet werden können, was dann ein sehr komplexes Muster ergeben kann. siehe auch: Arabesken

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Arabesken Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seiner Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Goldenen Schnittes Die Erläuterung zu nebenstehender Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung). # Einen Kreis mit beliebigem Radius r um den Mittelpunkt M schlagen (blau) und die Mittelsenkrechten (rot) einzeichnen. # Einer der 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Kreis wird als A bezeichnet. # Mit dem selben Radius r um A einen weiteren Kreis (gelb) schlagen, der den anderen zweifach schneidet. # Die Schneidepunkte der beiden Kreise ergeben die Punkte B und C. # Die Gerade BC zeichnen, sie schneidet die Gerade AM im Punkt D. # Den Kreis (grün) um D mit Radius (DE) zeichnen, er schneidet die Gerade AM im Punkt F. # Der Kreis (orange) um E mit Radius (EF) schneidet den blauen Kreis in G (und J, der nicht eingezeichnet ist) # (Mit 2 weiteren Kreisen um G und J können die nicht eingezeichneten fehlenden Eckpunkte H und I konstruiert werden.) Die Strecke E bis F entspricht der Seitenlänge des zu konstruierenden Fünfecks.

Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat sehr häufig die Form eines Fünfeckes. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass sich eine so geformte Festung besonders leicht mit Feuerwaffen verteidigen lässt. Anschauliche Beispiele sind die vollständig erhaltene Festung Bourtange in den Niederlanden und die nur noch teilweise vorhandene Zitadelle der Festung Wesel.
Auch das Pentagon nutzt das Fünfeck als Grundriss und spielt damit auf diesen alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an. (Bei den bis zum 11. September 2001 möglichen Pentagonführungen wurde ein anderer Grund für die Formwahl genannt: Das Pentagon sollte ursprünglich an anderer Stelle errichtet werden und die Form war durch die 5 um das vorgesehene Grundstück verlaufende Straßen vorgegeben. Allerdings konnte am vorgesehenen Platz nicht gebaut werden und weil man in Zeitnot war, wurden der Einfachheit halber die Pläne nicht mehr geändert.) Kategorie:Geometrische Figur ja:五角形 th:รูปห้าเหลี่ยม

Virus

Als Virus (Singular: das Virus, umgangssprachlich auch: der Virus; Plural: Viren; von lat. virus – "Schleim, Saft, Gift") bezeichnet man in der Biologie genetische Elemente in Form von Nukleinsäuren, die als Fremdbestandteile in Zellen von Lebewesen ("Wirtszellen") unabhängig von deren eigenen Nukleinsäuren mit Hilfe der Replikationseinrichtungen dieser Zellen repliziert werden. Virus-Nukleinsäuren sind entweder Desoxyribonukleinsäuren (DNA) oder Ribonukleinsäuren (RNA).
Viren kommen in zweierlei Formen vor:
- als Nukleinsäure in den Wirtszellen,
- als freie Partikel außerhalb von Zellen, eine zur Verbreitung geeignete Form.
Ein Viruspartikel außerhalb von Zellen bezeichnet man als Virion (Plural Viria, Virionen oder Virions). Virionen bestehen aus einem Nukleinsäuremolekül, das von einer Proteinhülle (Kapsid) umgeben ist. Bei einigen Viren besitzen die Virionen außer einer Proteinhülle noch weitere äußere Bestandteile, zum Beispiel eine Lipoproteinhülle. Es gibt also Viren bzw. Virionen sowohl mit wie auch ohne Hülle. Viren haben keinen eigenen Stoffwechsel und können sich nicht selbst replizieren. Im Wesentlichen ist ein Virus also eine Nukleinsäure, auf der die Informationen zur Steuerung des Stoffwechsels einer Wirtszelle enthalten sind, insbesondere zur Replikation der Virus-Nukleinsäure und zur weiteren Ausstattung der Viruspartikel (Virionen). Wenn Viren einmal ihre Wirtszellen verlassen haben, stellen sie in der Regel rasch jegliche Aktivität ein. Ob Viren als Lebewesen bezeichnet werden können, ist abhängig von der Entscheidung für eine der unterschiedlichen Definitionen von Leben (siehe unten: Kontroversen). Eine einzige, unwidersprochene und damit allgemein anerkannte Definition diesbezüglich gibt es bislang nicht. Daher findet sich auch unter Wissenschaftlern keine Einigkeit in der Beantwortung dieser Frage. Hinsichtlich der Einordnung von Viren zu den Parasiten bestehen ebenfalls verschiedene Ansichten. Ein Teil der Wissenschaftler betrachtet sie als solche, da sie einen Wirtsorganismus infizieren, um seinen Stoffwechsel für ihre eigene Vermehrung zu benutzen. Diese Forscher definieren also Viren als obligat intrazelluläre Parasiten (Lebensform, die zwangsläufig nur innerhalb einer Zelle ein Parasit ist), die aus einem Genom, einem Kapsid und evtl. einer Membranhülle bestehen und zur Replikation eine Wirtszelle benötigen. Das bedeutet, dass Viren zwar spezifische genetische Informationen besitzen, aber nicht den für ihre Replikation notwendigen Synthese-Apparat. Unabhänging von diesen bislang unentschiedenen Gesichtspunkten passen sich Viren im Laufe der Evolution ihrem Reservoirwirt, Hauptwirt an, um ihn nicht durch die Krankheitsfolgen zum eigenen Nachteil zu zerstören. Gewisse Viren befallen Zellen von Pflanzen, Menschen, Tieren oder anderen Eukaryoten. Viren, die Bakterien als Wirte nutzen, werden Bakteriophagen genannt. Eine typische Virusinfektion bei Säugetieren ist eine zyklische Allgemeininfektion oder eine Lokalinfektion an den Atemwegen oder am Darm. Viren sind deutlich kleiner als Bakterien, jedoch etwas größer als Viroide. Unterscheidbare Variationen von Viren nennt man Serotypen. Image:Virion.png|Virus Aufbau von Viren Image:NIAID-west-Nile.jpg|West Nile virus

Verschiedene Virentypen

Die Größe von Viren liegt zwischen 10 nm und 400 nm. Damit sind fast alle Viren nur unter dem Elektronenmikroskop erkennbar. Eine Ausnahme bilden Pockenviren, die unter dem Lichtmikroskop als kleine Partikel sichtbar werden, ebenso das erst 2003 entdeckte Mimivirus, mit 400 nm (eine Untersuchung von 2004 nennt den Wert 800 nm) das größte bisher bekannte Virus. Zum Vergleich: Tabakmosaikvirus (300 nm), Bakteriophagen (200 nm), Herpesviren (200 nm), Masernviren (180 nm), Tollwutviren (180 nm), Grippeviren (100 nm), Adenoviren (90 nm), Rötelnviren (80 nm) und Poliovirus (25 nm). Die Struktur der Proteinhülle, und damit die Virusart, kann u. a. nach Kristallisation durch Röntgenbeugung entschlüsselt werden. Das Gewicht bei Viren der Pockenschutzimpfung beträgt nach einer Messung amerikanischer Forscher 10 fg. Es ist allerdings noch (2005) umstritten, ob es sich um einen Virus oder eine höhere Stufe von Leben handelt. Nach ihrer Erbinformation unterscheidet man zwischen DNA-Viren und RNA-Viren. Die für den Menschen sehr bedeutenden Retroviren, wie beispielsweise HIV, sind RNA-Viren. Die Erbinformation kann einzelsträngig oder doppelsträngig, segmentiert oder unsegmentiert, und linear oder zirkular sein. Viren haben entweder eine Lipoproteinhülle oder sind hüllenlos. Das Proteinkapsid kann unterschiedliche Form haben, zum Beispiel ikosaederförmig, isometrisch, helikal, geschoßförmig. Die Lipidhülle stammt von der Wirtszelle und dient zur Tarnung vor dem Immunsystem. Umhüllte Viren sind besser geeignet, chronische oder latente Infektionen hervorzurufen (wie z. B. HIV, chronische Hepatitis B, C oder D, oder Herpes). Sie werden aber leicht deaktiviert, wenn die Hülle austrocknet oder chemisch durch Seife oder Gallensäuren angegriffen wird. Deshalb werden umhüllte Viren meist durch Tröpfcheninfektion übertragen und infizieren dann den Atemtrakt (Lokalinfektion). Manche erzeugen von dort aus auch eine zyklische Allgemeininfektion (Kinderkrankheiten: Masern, Mumps, Röteln, Ringelröteln, Drei-Tage-Fieber, Windpocken). Manche werden sogar nur durch mehr oder weniger direkten Blutkontakt übertragen. Dabei spielt dann auch die Replikationsrate eines Virus (Viruslast), also die Zahl der Kopien pro Milliliter Blut, eine Rolle. Hepatitis B ist ein sehr stark replizierendes Virus, hier können Blutspritzer auf der scheinbar intakten Haut genügen, um durch Mikro-Läsionen einzudringen. HIV wird hauptsächlich durch Geschlechtsverkehr übertragen. Bei Hepatitis C dagegen ist selbst das sehr selten, es wird u. a. durch infizierte Spritzen übertragen. Hüllenlose Viren können sehr umweltstabil sein und sowohl Austrocknung als auch Desinfektionsmittel überstehen. Hygienische Maßnahmen, wie beispielsweise Händewaschen oder Putzen, dienen hier eher dazu, möglichst viele Viren wegzuschwemmen. Teilweise lässt sich Übertragung innerhalb eines Haushalts aber kaum vermeiden. Hüllenlose Viren werden deshalb leicht per Kontaktinfektion bzw. Schmierinfektion übertragen und infizieren den Darm, meist als Lokalinfektion, seltener als zyklische Allgemeininfektion (zum Beispiel Poliovirus). Sie bleiben nicht chronisch. Siehe auch: Virusklassifikation

Vermehrung

Ein Virus selbst ist zu keinen Stoffwechselvorgängen fähig, daher braucht es Wirts zellen zur Fortpflanzung. Der Replikationszyklus eines Virus beginnt im Allgemeinen, wenn sich ein Virion an eine Wirtszelle anheftet und sein Erbmaterial, die Nukleinsäure, ins Zellinnere bringt. Das Erbmaterial des Virus, seine Nukleinsäure, wird anschließend in der Wirtszelle vervielfältigt und die Hüllproteine sowie gegebenenfalls weitere Bestandteile der Virionen werden anhand der Gene des Virusgenoms ebenfalls von der Wirtszelle synthetisiert. So können in der Zelle neue Virionen gebildeten werden, die freigesetzt werden, indem entweder die Zellmembran aufgelöst wird (Zell-Lyse, lytische Virusvermehrung), oder indem sie sezerniert werden, wobei Anteile der Zellmembran als Bestandteil der Virushülle mitgenommen werden. Eine weitere Möglichkeit ist der Einbau des Virus-Genoms in das des Wirtes. Dies ist der Fall bei temperenten Viren, wie zum Beispiel dem Phagen Lambda. Die Auswirkung der Virusvermehrung auf die Wirtszelle nennt man Zytopathischer Effekt. Es gibt verschiedene Arten des zytopathischen Effekts: Zelllyse, Pyknose (Polioviren), Zellfusion (Masernvirus, HSV, Parainfluenzavirus), intranucleäre Einschlüsse (Adenoviren, Masernvirus), intraplasmatische Einschlüsse (Tollwutvirus, Pockenvirus)

Viren und Viruskrankheiten (Auswahl)

Beim Menschen können eine Vielzahl von Krankheiten durch Viren verursacht werden, u. a. durch:

Behüllte Viren

Unbehüllte Viren:

Doppelsträngige DNA-Viren = dsDNA

- Adenoviridae
- Adenoviren - Schnupfen, Erkältungen, Durchfall
- Papovaviridae
- Papovaviren
- Humane-Papilloma-Viren
- diverse Humane-Papilloma-Viren (HPV) - Warzen
- Kondyloma-Virus (HPV 6) - Feigwarzen
- Kondyloma-Virus (HPV 11) - Feigwarzen
- Humanes-Papilloma-Virus (HPV 16 /18 /30 ...) - Zervixkarzinom = Gebärmutterhalstumor/ -Krebs
- Polyomaviren

Einzelsträngige DNA-Viren = ssDNA

- Parvoviridae
- Erythroviren
- Parvovirus B19 - Ringelröteln
- Dependoviren
- Adenoassoziiertes Virus-2 (AAV-2)
- Adenoassoziiertes Virus-3 (AAV-3)
- Adenoassoziiertes Virus-5 (AAV-5)

Doppelsträngige RNA-Viren = dsRNA

- Reoviren
- Rotaviren - Gastroenteritis=Durchfall
- Orbiviren
- Colorado-Tick-Virus - Colorado-Tick-Fieber

Einzel(+)-Strang-RNA-Viren = ss(+)RNA

- Picornaviridae
- Rhinoviren
- Humanes Rhinovirus (HRV), 1A, 1B-100 - Schnupfen, Erkältungen
- Aphthoviren
- Maul-und-Klauenseuche-Virus - Maul- und Klauenseuche beim Tier, auch in milder Form auf den Menschen übertragbar
- Enteroviren
- Poliovirus (1-3) - Kinderlähmung
- Coxsackievirus (CVA), A1-22,24
- Coxsackievirus (CVB), B1-6 - grippale Infekte, virale Meningitis, Myokarditis
- Echoviren - grippale Infekte, Gastroenteritis=Durchfall, Meningoenzephalitis
- Humane Enteroviren - grippale Infekte, Gastroenteritis=Durchfall
- Cardioviren
- Enzephalomyocarditisvirus (EMCV) - Enzephalomyocarditis
- Mengovirus - Encephalomyocarciitis
- Theiler Murines Enzephalomyelitisvirus (TMEV) - Enzephalomyelitis
- Vilyuisk Humanes Enzephalomyelitisvirus (VHEV) - Enzephalomyelitis
- Hepatoviren
- Hepatitis-A-Virus (HAV) - Hepatitis A
- Caliciviridae
- Caliciviren
- Hepatitis-E-Virus (HEV) - Hepatitis E
- SRSV = small rounded structured viruses
- Norwalk-Virus - Gastroenteritis=Durchfall
- Noroviren - Gastroenteritis=Durchfall
- Sapoviren - Gastroenteritis=Durchfall
- Vesiviren
- Lagoviren
- Astroviridae
- Astroviren
- Human-Astro-Virus - Gastroenteritis=Durchfall Bei Tieren siehe unter Maul- und Klauenseuche, Stomatitis vesicularis, Blauzungenkrankheit, Rinder-, Schweine-, Hühnerpest und Tollwut Bei Pflanzen siehe unter Blattrollkrankheit

Therapie mit Viren

Aktuell wird verstärkt an Therapien geforscht, bei denen Viren zur Heilung von Krankheiten eingesetzt werden. Diese Forschungen konzentrieren sich hierbei vor allem auf zwei Bereiche, einmal die Bekämpfung von Tumoren und zum anderen wird versucht, antibiotikaresistente Bakterien durch die Viren abzutöten. In der Forschung zur Bekämpfung von Krebs werden vor allem adeno-assoziierte Viren eingesetzt. Das Grundprinzip dieser Therapie ist, dass die verwendeten (harmlosen) Viren als spezifischen Wirt die Tumorzellen haben. Sind die Tumorzellen dann mit diesen infiziert, vermehren sich die Viren in den Tumorzellen und zerstören sie dabei (s. lytische Vermehrung von Viren). Durch die Vermehrung der Viren wird der Vorgang der Infizierung der restlichen Tumorzellen beschleunigt. (Die bisher durchgeführten Tests sind positiv verlaufen). Das Grundprinzip bei der Bekämpfung von resistenten Bakterien ist das gleiche, nur dass hier eben andere Viren verwendet werden, welche die Bakterien als spezifischen Wirt erkennen. Auch hier sind erste Tests erfolgreich verlaufen.

Virologie

Die Virologie (von lateinisch virus: Gift und griechisch logos: Lehre) beschäftigt sich mit Viren, deren Eigenschaften und Vermehrung, sowie der Prävention und Behandlung von Viruserkrankungen. Die erste bekannte Anwendung des Wissens über Viren findet sich bereits 1000 Jahre v. Chr. in China. Dort wurde der Schorf der Wunden von Pockenkranken, welche die Krankheit überlebt hatten, zu Staub gemahlen und inhaliert, um vor Pocken zu schützen (impfen). Im Jahre 1796 benutzte Edward Jenner ein ähnliches Verfahren, um den 8jährigen James Phipps gegen Pocken zu impfen. Die moderne Virologie nutzt vor allem molekularbiologische und molekulargenetische Untersuchungsverfahren und beschäftigt sich mit der Gestalt und Größe, dem Aufbau, der chemischen Zusammensetzung und dem Nachweis von Viren, des weiteren mit ihrer Vermehrung, ihrer Übertragung und ihren krankheitsauslösenden Eigenschaften. Erforscht werden auch die Wechselwirkungen der Viren mit ihren Wirtszellen. Die Virologie versucht ferner, die Vielzahl der existierenden Viren zu klassifizieren. Siehe auch: Virusinfektion - Virostatikum - Prion

Entwicklung

Viren sind vermutlich später als andere Lebewesen (falls man Viren zu den Lebewesen zählt) entstanden, da sie auf letztere angewiesen sind. Entstehungsmechanismen lassen sich im Zusammenhang mit Plasmiden oder Transposonen verstehen. Für eine späte Entstehung spricht auch, dass Viren, die Eukaryoten befallen, das alternative Splicing der Eiweißsynthese nutzen. Dementsprechend besitzt ihr Erbgut variante Introns und Exons.

Kontroversen

Umstritten ist ein möglicher evolutionsgeschichtlicher Einfluss von Viren auf komplexe Organismen. Dieser ist in der Mikrobiologie unumstritten. Mechanistisch würde dadurch eine sprunghafte Evolution (so genannter Punktualismus), ein Gegenkonzept zum Neodarwinismus (vertreten durch Richard Dawkins), logisch erscheinen. Eine empirische Beweisführung dürfte sich allerdings schwierig gestalten. Die Diskussion diesbezüglich wird in der wissenschaftlichen Gemeinschaft jedoch wenig eifrig geführt. Wie schon oben dargestellt ist in der Wissenschaft weiterhin grundsätzlich umstritten, ob Viren Lebewesen sind oder nicht. Sie zeigen zwar Eigenschaften des Lebens, wie Vermehrung, Vererbung, Evolution und Kommunikation, jedoch fehlen ihnen die restlichen Lebensmerkmale wie eigenständige Vermehrung (sie brauchen Wirtszellen), eigener Stoffwechsel und Differenzierung. Eine Entscheidung in dieser Frage ist davon abhängig, welcher der verschiedenen Definitionen von Leben man den Vorzug gibt. Auch die Wissenschaft hat sich bislang nicht auf eine einzige, unwidersprochene und damit allgemein anerkannte Definition diesbezüglich einigen können.

Literatur

- Stephen S. Morse, The Evolutionary Biology of Viruses (1994) ISBN 0781701198
- Modrow, Susanne/Falke, Dietrich, Molekulare Virologie (2. Aufl. 2003) ISBN 382741086X
- Levine, Arnold J., Viren - Diebe, Mörder und Piraten Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg
- Doerfler, Walter, Viren, Fischer Taschenbuch Verlag (2002), ISBN 3-596-15369-7

Weblinks

- [http://www.biokurs.de/skripten/bs11-6.htm Viren]
- [http://www.biokurs.de/skripten/13/bs13-9.htm Genetik von Bakterien und Viren: Bau und Vermehrung von Viren, Transduktion]
- [http://www.vetvir.unizh.ch/Lehre/pdf_files/VIR0405Taxonomie.pdf Veterinärmedizinische Virentaxonomie]
- [http://www.clinical-virology.org UK Clinical Virology Network] (Infos zu allen humanpathogenen Viren)
- [http://www.tulane.edu/~dmsander/garryfavweb.html All the Virology on the WWW] (Ein umfangreicher Site, mit vielen Verweisen)
- [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/ICTVdb/ICTVdBintro.htm The Universal Virus Database] (Daten zu allen bekannten Viren)
- [http://www.vu-wien.ac.at/i123/allgemeininfo.html Allgemeine Virologie]
- [http://www.g-f-v.org/ Gesellschaft für Virologie]
- [http://science.howstuffworks.com/virus-human.

Ikosaeder

Symmetrie

Beziehungen zu anderen Polyedern

Zur Struktur des Ikosaeders

Formeln

Anwendungen

Weblinks

Platonische Körper

Die fünf platonischen Körper

Grundlegende Eigenschaften

Anzahl der platonischen Körper

Dualität

Symmetrie

Deltaeder

Berührende Kugeln

Weitere mathematische Eigenschaften

Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder

Einbeschreibungen

Abgestumpfte platonische Körper

Sternkörper

Geschichtliches

Platonische Körper jenseits der Mathematik

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Polyeder

Kongruenz (Geometrie)

Beispiel

Symmetrie

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Symmetrie in der Sprachwissenschaft/Philosophie

Biologie

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Quasikristall

Muster in Quasikristallen

Geometrische Interpretation

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Geschichte

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Literatur

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Orthogonal

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Fünfeck

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Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau

Virus

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Vermehrung

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Behüllte Viren

Doppelsträngige DNA-Viren = dsDNA

Reaktionen von $C_$