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Impedanz

Impedanz

Die Impedanz Z, auch Wechselstromwiderstand, ist der (komplexe) Quotient aus der Wechselspannung U und der Wechselstromstärke I. : \underline Z = Impedanz hat die Einheit Ohm. Der Wechselstromwiderstand setzt sich zusammen aus einem Realteil, dem Wirkwiderstand R und einem Imaginärteil, dem Blindwiderstand X. In Polarkoordinaten braucht man Betrag und Phase. Der Betrag der Impedanz wird als Scheinwiderstand Z bezeichnet, die Phase mit \varphi. : \underline Z = R + \mathrmX : \underline Z = Z \ e^ Der Kehrwert der Impedanz ist die Admittanz Y (komplexer Leitwert).
Bei Hochfrequenz-Kabeln wird die (bauartbedingte) Kennimpedanz als Wellenwiderstand bezeichnet. Er beträgt bei Koaxialkabeln 50 Ohm bis 100 Ohm und bei symmetrischen (Zweidraht-)Leitungen 150 Ohm bis 300 Ohm
Lautsprecher haben stark frequenzabhängige komplexe Impedanzen – es wird jedoch der mittlere Realteil angegeben (z. B. 4 Ohm oder 8 Ohm)
Bei Antennen nennt man die Eingangsimpedanz auch Fußpunktwiderstand, er sollte bei der Frequenz, für die die Antenne vorgesehen ist, real sein und mit der Impedanz des Kabels übereinstimmen (z. B. 60 Ohm oder 240 Ohm)

Die Quellimpedanz eines Hochfrequenz-Senders sollte möglichst gut mit der Kabel- und Antennenimpedanz übereinstimmen, da es sonst zu Reflexionen an den Enden des Kabels kommt, die den Sender beschädigen oder zerstören können.
Dagegen muss die Quellimpedanz eines NF-Verstärkers sehr viel kleiner als diejenige der Lautsprecher sein, um deren Eigenresonanzen zu bedämpfen.
Reale und imaginäre Fehlanpassungen können durch Anpassungsnetzwerke behoben werden. Das können Transformatoren, Kapazitäten, Induktivitäten, sog. π-Filter oder Leitungsstücke geeigneter Impedanz und Länge sein.

Siehe auch

| Wirkwiderstand | Blindwiderstand | Eingangswiderstand | Ausgangswiderstand | Admittanz | Dämpfungsfaktor | Phasenverschiebung | akustische Impedanz | Wellenimpedanz | Anpassung | Abschlusswiderstand | Quellwiderstand | Impedanzwandler | Ohmsches Gesetz | Lastwiderstand | Innenwiderstand | Außenwiderstand | Spannungsanpassung | Impedanzspektroskopie | Kategorie:Theoretische Elektrotechnik Kategorie:Elektronik Kategorie:Elektrotechnik ja:インピーダンス

Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Wurzeln negativer Zahlen berechnet werden können. Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl i als Lösung der Gleichung x^2 = -1\,. Diese Zahl i wird auch als imaginäre Einheit bezeichnet. Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf den italienischen Mathematiker Raffaele Bombelli und somit ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit i als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Komplexe Zahlen werden meist in der Form a+b\cdot \mathrm\, dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei \mathrm i^2 stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt. Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurswissenschaften als äußerst nützlich erwiesen hat. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol \mathbb verwendet.

Definition

Als komplexe Zahlen bezeichnet man die Zahlen der Form a+b\cdot\mathrm (bzw. in verkürzter Notation a+b\,\mathrm), für die die Addition durch :(a+b\,\mathrm)+(c+d\,\mathrm)=(a+c)+(b+d)\,\mathrm und die Multiplikation durch :(a+b\,\mathrm)\cdot(c+d\,\mathrm)=(ac-bd) + (ad+bc)\cdot\mathrm festgelegt wird. Die imaginäre Einheit \mathrm ist dabei eine nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft \mathrm^2=-1. Man nennt a den Realteil und b den Imaginärteil von a + b\,\mathrm.

Zur Notation


- Die a+b\,\mathrm-Notation wird auch als kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene (s. weiter unten).
- In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechselungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher wird in diesem Bereich der Buchstabe j verwendet [z.B. Taschenbuch der Hochfrequenztechnik Bd.1..3; Meinke, Grundlach, 1992 ].
- In der Physik wird zwischen i für Wechselstrom und i für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechselungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewendet. Siehe auch: komplexe Wechselstromrechnung
- Komplexe Zahlen werden häufig auch unterstrichen dargestellt, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Konstruktion der komplexen Zahlen und Begründung der "a+bi"-Schreibweise

So einfach die obige Definition der komplexen Zahlen anmutet, ist es doch folgender axiomatischer Zugang zu den komplexen Zahlen, der erst die Legitimation der "a+bi"-Schreibweise begründet.

Axiomatische Definition

Die axiomatische Definition nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit i: Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum \R^2 der geordneten reellen Zahlenpaare z=(a,b) wird neben der Addition :(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) (das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch :(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c - b \cdot d,\, a \cdot d + b \cdot c) definiert. Nach dieser Festlegung schreibt man \Bbb C=\R^2, und (\mathbb, +, \cdot) wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.

Erste Eigenschaften


- Die Abbildung \R\to\Bbb C,\,a\mapsto (a,0) ist eine Körpereinbettung von \R in \Bbb C, vermöge derer wir die reelle Zahl a mit der komplexen Zahl (a,0) identifizieren.
- Die Zahl 0=(0,0) ist das Nullelement von \Bbb C.
- Die Zahl 1=(1,0) ist das Einselement von \Bbb C.
- Das multiplikative Inverse (Reziproke) zu z=(a,b)\neq 0 ist z^ = \left(\frac,\,\frac\right).

Begründung der "a+bi"-Notation (algebraischen Form)

Durch \mathrm=(0,1) wird die imaginäre Einheit i festgelegt; für diese gilt \mathrm^2=-1. Jede komplexe Zahl z=(a,b)\in\Bbb C besitzt die eindeutige Darstellung der Form :z = (a,b) = (a,0)+(b,0)\cdot (0,1) = a + b\,\mathrm mit a,b\in\R; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Rechenregeln in der algebraischen Form

Addition, Subtraktion

Analog zur Addition :(a + b \, \mathrm) + (c + d \, \mathrm) = (a + c) + (b + d) \, \mathrm funktioniert auch die Subtraktion :(a + b \, \mathrm) - (c + d \, \mathrm) = (a - c) + (b - d) \, \mathrm.

Multiplikation

Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil": : (a+b\cdot \mathrm) \cdot (c+d\cdot \mathrm) = (a\cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot \mathrm

Division

Der Quotient zweier komplexer Zahlen a+b\,\mathrm und c+d\,\mathrm mit c+d\mathrm\neq 0 lässt sich berechnen, indem man den Bruch mit dem komplex konjugierten c-d \,\mathrm des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell: : \frac = \frac = \frac+\frac\cdot\mathrm

Rechenbeispiele

Addition: : (3+2\mathrm) + (5+5\mathrm) = (3+5) + (2+5)\mathrm = 8 + 7\mathrm Subtraktion: : (5+5\mathrm) - (3+2\mathrm) = (5-3) + (5-2)\mathrm = 2 + 3\mathrm Multiplikation: : (2+5\mathrm) \cdot (3+7\mathrm) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm = -29 + 29\mathrm Division: : = \cdot = = =

Weitere Eigenschaften


- Der Körper \Bbb C der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von \R, andererseits ein zweidimensionaler \R-Vektorraum.
- Die Körpererweiterung \Bbb C:\R ist vom Grad [\Bbb C:\R]=2; genauer ist \Bbb C isomorph zum Quotientenkörper \R[X]/(X^2+1), wobei X^2+1 das Minimalpolynom von \mathrm über \R ist. Ferner bildet \Bbb C bereits den algebraischen Abschluss von \R.
- Als \R-Vektorraum besitzt \Bbb C die Basis \. Daneben ist \Bbb C wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler \Bbb C-Vektorraum mit Basis \.
- \mathrm und -\mathrm sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 + 1 = 0. In diesem Sinne kann \mathrm als "Wurzel aus -1" aufgefasst werden.
- \Bbb C ist im Gegensatz zu \R kein geordneter Körper, d.h. es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche Ordnungsrelation "<" auf \Bbb C.

Komplexe Zahlenebene

geordneter Körper Während sich die Menge \mathbb der reellen Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge \mathbb der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) veranschaulichen. Dies entspricht der "doppelten Natur" von \Bbb C als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl z = (a,b) = a+b\,\mathrm besitzt dann die horizontale Koordinate a und die vertikale Koordinate b. Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polardarstellung weiter unten klarer werden wird. Besonders in der Physik wird die geometrisch anschauliche Ebene häufig als die komplexe Zahlenebene aufgefasst und der Notation der komplexen Zahlen der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben.

Polarform und Exponentialform

Jede komplexe Zahl z=a+b\,\mathrm kann in der Form :z = r \cdot e^ = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm \cdot \sin \varphi) dargestellt werden.
- Die Darstellung r \cdot (\cos \varphi + \mathrm \cdot \sin \varphi) heißt Polarform oder trigonometrische Form.
- Die Darstellung r \cdot e^ mit Hilfe der komplexen e-Funktion heißt auch Exponentialform. Vermöge der Eulerschen Identität sind Polarform und Exponentialform bedeutungsgleich. Für die Polarform gibt es auch die alternative Schreibweise :r \cdot\operatorname\,\varphi=r\, (\cos \varphi + \mathrm \cdot \sin \varphi). In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei r der euklidischen Vektorlänge (d.h. dem Abstand zum Ursprung 0) und \varphi dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl z. Üblicherweise wird r der Betrag oder Modul von z (Schreibweise |z|) genannt, \varphi wird ein Argument (oder auch Winkel oder Phase) von z genannt. Da \varphi und \varphi+2\pi demselben Winkel entsprechen, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man \varphi meist auf das Intervall (-\pi;\pi] ein und spricht dann von dem Argument von z\neq 0; der Zahl 0 ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen. Alle Werte e^ bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen vom Betrag 1.

Komplexe Konjugation

Intervall] Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteil b einer komplexen Zahl z = a+b\,\mathrm um, erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl \bar z=a-b\,\mathrm (manchmal auch z^
- geschrieben). Die Konjugation \Bbb C\to\Bbb C,\,z\mapsto \bar z ist ein Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.h. für alle y,z\in\Bbb C gilt :\overline=\bar y+\bar z,\quad \overline=\bar y\cdot \bar z. In der Polardarstellung hat die komplex konjugierte Zahl \bar z bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von z. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet. Das Produkt einer komplexen Zahl z=a+\mathrmb mit ihrer komplex Konjugierten \bar z ergibt das Quadrat des Betrages: : z\cdot\bar z = (a+\mathrmb) (a-\mathrmb) = a^2 + b^2.

Umrechnungsformeln

Von der algebraischen Form zur Polarform

Für z=a+\mathrmb in algebraischer Form ist : r = |z| = \sqrt   ; für z\neq 0 wird das Argument wie folgt bestimmt: : \varphi = \begin\arctan\frac&\mathrm\ a>0\\ \arctan\frac ba+\pi&\mathrm\ a<0,b\geq0\\ \arctan\frac ba-\pi&\mathrm\ a<0,b<0\\ \pi/2&\mathrm\ a=0,b>0\\ -\pi/2&\mathrm\ a=0,b<0 \end ::=\begin\arccos\frac ar&\mathrm\ b\geq0\\ \arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm\ b<0 \end Die Berechnungsvariante über den Arcustangens benötigt ihre Fallunterscheidungen, da der Sonderfall a=0 extra behandelt werden muss und da der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall [0, 2\pi] annimmt. Die Verwendung der arccos-Version kommt mit weniger Fallunterscheidungen aus, da nur das Problem der doppelten Winkel zu behandeln ist. Die neueren Programmiersprachen stellen aber meist eine ArcTan-Funktion zur Verfügung, die den Wert je nach Vorzeichen von a und b dem passenden Quadranten zuordnet (häufig mit Namen atan2).

Von der Polarform zur algebraischen Form

: a = r \cdot \cos\varphi : b = r \cdot \sin\varphi

Multiplikation und Division in der Polarform

Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert: : r\cdot (\cos \varphi + \mathrm\cdot\sin \varphi ) \;\cdot\; s \cdot (\cos \psi + \mathrm \cdot \sin \psi) = r \cdot s \cdot \left[ \cos (\varphi+\psi) + \mathrm \cdot \sin (\varphi+\psi) \right] Bei der Division wird der Betrag des Divisors durch den Betrag des Dividenden geteilt, und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert: : \frac = \frac \cdot \left[ \cos (\phi-\psi) + \mathrm \cdot \sin (\phi-\psi) \right]

Multiplikation in der Exponentialform

Hier werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert: : (r\cdot e^) \cdot (s \cdot e^) = (r \cdot s) \cdot e^

Wurzeln

Beim Rechnen mit Wurzeln ist größte Vorsicht angebracht, da die bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen hier nicht gelten. Egal, welchen der beiden möglichen Werte \mathrm i oder -\mathrm i man für \sqrt festlegt, erhält man z.B. : 1 = \sqrt = \sqrt \neq \sqrt \cdot \sqrt = -1.

Pragmatische Rechenregeln

Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:
- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
- Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
- Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert.
- Beim Radizieren (Wurzel ziehen) komplexer Zahlen werden ihre Beträge radiziert und ihre Argumente (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer n-ten Wurzel entstehen n Lösungen, die im Winkel von 2\pi/n um den Ursprung der Gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik)

Geschichtliches

Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z.B. schon in der um 820 n.Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sind, blieb man nicht stehen. In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501-1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung: : x(10-x)=40 oder x^2-10x+40=0 keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung : x_ = - \frac\pm\sqrt für p und q die Werte (-10) und 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre dem sich ergebenden Ausdruck : \sqrt oder \sqrt einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach den selben Regeln rechnen dürfte, wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke : 5 + \sqrt oder 5 - \sqrt in der Tat eine Lösung darstellen. Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl \alpha und einer beliebigen reellen Zahl \beta zusammengesetzten Zahl : \alpha + \sqrt oder \alpha - \sqrt hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert. Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahl die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen Geómetrie von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf. Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum erstem mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat. Da das Rechnen mit diesen als "sinnlos" angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man um so überraschter, dass dieses "Spiel" sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten. So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnisvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la répresentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessels (1785-1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit, die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, so dass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten. Als erster definierte Augustin Louis Cauchy 1821 in seinem Lehrbuch Cours d'analyse eine Funktion komplexer Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie. Allgemeine Beachtungen fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern. Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der "imaginären" Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen.

Anwendung

Die komplexen Zahlen in der Physik

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht wegzudenken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen. In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x4 = ict durch eine 4. Raumkoordinate x4, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit : M = x12 + x22 + x32 + x42, die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen Autoren in Lehrbüchern verwendet, die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der Ausdruck x = (x,y,z,ict) wird auch als Vierervektor bezeichnet. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit reellen Vierervektoren durchgesetzt, eingebettet in einen Formalismus, der direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition der zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen verwendet, z.B. x = (ct,x,y,z) oder y = (x,y,z,ct). Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x4 = ict letztlich noch offen ist. Es gilt jedoch als unwahrscheinlich, dass die noch zu entdeckende Theorie der Quantengravitation, die die beiden Säulen des derzeitigen physikalischen Theoriengebäudes, nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie, vereinigen würde, ohne komplexe Zahlen auskommen würde. Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen. Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund. In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar - der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durchs Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung - das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im allgemeinen nicht aus. Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integrale im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie.

Komplexe Zahlen in der reinen Mathematik

Ein wichtiges Anwendungsgebiet in der reinen Mathematik ist die analytische Zahlentheorie. Man nutzt aus, dass die ganzen und die rationalen Zahlen, die eines der Hauptstudienobjekte der Zahlentheorie sind, in den komplexen Zahlen liegen. Die so gewonnene Freiheit erlaubt die Anwendung analytischer Methoden, die ggf. Rückschlüsse auf die ganzen und rationalen Zahlen zulassen. Ferner liefern die komplexen Zahlen die Ausgangsbasis für die sog. komplexe Geometrie, d.h. das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. Dieses Gebiet ist schon für sich genommen sehr wichtig. Außerdem liefern Aussagen der komplexen Geometrie oft Hinweise auf Zusammenhänge in der algebraischen Geometrie, welche sehr ähnliche Gebilde studiert.

Verwandte Themen


- Gaußsche Zahlen
- Eisenstein-Zahlen
- Zahlensystem

Weblinks


- [http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen Wikibooks: Komplexe Zahlen]
- [http://www.komplexe-zahlen.de Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt]
- [http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_5.html Rechnen mit komplexen Zahlen]
- [http://www.walter-fendt.de/m11d/komplz.htm Java-Applet zur geometrischen Deutung]
- [http://schmidiaut.sc.funpic.de/Komplex_0.9/ Calc und Excel Tabellen zum rechnen von komplexen Zahlen] Kategorie:Zahlen ja:複素数 ko:허수 th:จำนวนเชิงซ้อน

Wechselspannung

Wechselstrom bezeichnet elektrischen Strom, der seine Richtung (Polung) periodisch und in steter Wiederholung ändert. Weltweit wird die elektrische Energieversorgung am häufigsten mit Wechselstrom vorgenommen. Die Gründe für diese Bevorzugung sind die einfache Erzeugung, die verlustarme Fern-Übertragung hochgespannten Wechselstroms, einfache Motoren mit hohem Wirkungsgrad durch verkettete Dreiphasen-Wechselstrom-Systeme, daneben ist in der Nachrichtentechnik grösstenteils hochfrequenter Wechselstrom unverzichtbar.

Erzeugung

Form

NachrichtentechnikDie einfachste denkbare Form von Wechselstrom entsteht durch ständig wechselnde Umpolung einer Gleichstromquelle, woraus sich der Verlauf einer Rechteck-Impuls-Wechselstromes ergibt. Um technisch sinnvoll nutzbar zu sein, müsste die Umpolung mit genügend hoher Wiederholungsrate und ohne Unterbrechungslücken beim Umschalten erfolgen. Die verbreitetste Form des Wechselstromes ist jedoch der „sinusförmige Wechselstrom“. Er hat seinen Namen daher, daß die Momentanwerte über eine vollständige Periode mit einer positiven und einer negativen Halbwelle exakt den Werten der Sinus-Winkelfunktion über einen Vollkreis (0 - 360°) entsprechen, die grafische Darstellung ergibt dabei die typische „Sinuskurve“. Trotz seines komplizierten Verlaufs ist er technisch weit einfacher herzustellen als Rechteck-Impuls-Wechselstrom. Dreht man eine Leiterschleife mit konstanter Drehbewegung in einem ruhenden Magnetfeld, so durchlaufen die beiden Seiten der Leiterschleife nacheinander jeweils erst von links dann von rechts durch das magnetische Feld, wodurch erst zu-, dann wieder abnehmend ein Stromimpuls erst in die eine, dann in die andere Richtung induziert wird. induziert In industriellen Generatoren werden statt einer Leiterschleife Spulen mit vielen Windungen und statt einem Magnetpolpaar mehrere Polpaare verwendet. Damit können hohe Spannungen und genügend hohe Frequenzen des so generierten Wechselstromes erzeugt werden. Sinusförmiger Wechselstrom kann daneben auch mit computergesteuerter Leistungselektronik aus Gleichstrom erzeugt werden, z.B. in Wechselrichtern bei der Einspeisung von Solarstrom ins Stromnetz. Neben diesen gibt es zahlreiche weitere Varianten des Wechselstromes, siehe Spannungsform.

Mehrphasiger Wechselstrom / "Drehstrom"

In der Praxis werden statt nur eines Wechselstroms in den Generatoren drei separate Wechselstrom-“Phasen“ erzeugt durch die Anordnung von 3 Spulen, die gleichmässig um den Kreisumfang verteilt sind. In den Spulen entstehen dann einzelne Wechselspannungen, die zeitlich um jeweils eine Drittelperiode (oder 120° bei einem Kreisumlauf) gegenüber den anderen Spulenspannungen versetzt ist. Die einzelnen Phasen des industriellen Wechselstroms lassen sich unabhängig voneinander als Einzelsystem bei Kleinverbrauchern nutzen. Für Motorantriebe bietet jedoch die Nutzung der drei zeitlich gegeneinander verschobenen Phasenströme grosse Vorteile. Leitet man diese Spannungen in einen Motor mit 3 im Kreis versetzten Spulen, so entsteht wieder ein rotierendes Magnetfeld, das einen einfachen Kurzschlußläufer in Rotation versetzt.

Frequenzbereiche

Der normale Netzwechselstrom hat in Deutschland und anderen europäischen Staaten eine Frequenz von 50 Hz, weltweit häufig auch von 60 Hz. Mehrere europäischen Eisenbahnen, u.a. die Deutsche Bahn AG nutzen eine (Bahn-)Netzfrequenz von 16,7 Hz (früher genau 16 2/3 Hz), die mit den damals überwiegend verwendeten Kommutatormotoren besser genutzt werden konnte. Für Funkübertragungen und andere Zwecke werden hochfrequente Wechselströme mit Frequenzen im Kilohertz- oder Megahertz-Bereich benutzt. Hochfrequente Wechselströme (300 - 3.000 kHz) mit sehr geringer Stromstärke werden u. a. in der medizinischen Therapie als Diathermieströme eingesetzt. Sie werden für zur Erwärmung bestimmter tief liegender Gewebeabschnitte verwendet. Man zählt Ströme bis 20.000 Hz zur Niederfrequenz, die Mittelfrequenz reicht bis 300.000 Hz, die Hochfrequenz bis 300 MHz, anschließend beginnt die Höchstfrequenz.

Rechengrößen

Frequenz und Periode

Die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit (hier 1 Sekunde) nennt man Frequenz, gemessen in Hertz. Eine Periode ist die Wiederholung gleicher Zustände eines physikalischen Systems in regelmäßigen Zeitabständen (Periodendauer T). Bei einem Wechselstrom ist eine Periode z. B. die aufeinanderfolgende positive und eine negative Halbwelle. Die Periodendauer T errechnet sich aus dem Kehrwert der Frequenz f :T = \frac. Der in Deutschland übliche Wechselstrom hat eine Periodendauer von :T_= \frac = 1/50~ = 20~. Für Berechnungen wird die Dauer einer Periode auch mit der sogenannten Winkelgeschwindigkeit : \omega beschrieben: : \omega = 2 \cdot \pi \cdot f Bei einem Wechselstrom mit einer Frequenz von 50 Hz: : \omega = 50~ \cdot 2 \cdot \pi = 100 \cdot \pi ~\approx 31416~/; Einheit: rad je Sekunde Wenn es sich um eine Maschine mit nur zwei Polen handelt, läuft sie von der Mitte eines N-Pol über den nahegelegenen S-Pol zur nächsten N-Pol-Mitte. Damit ist eine Periode, also 360 elektrische Grade zurückgelegt.

Effektivwert

Durch den sinusförmigen Verlauf von Strom und Spannung ergeben sich Probleme bei der Berechnung der erzielten Wirkung. So lässt sich z.B. die Leistungsaufnahme eines Widerstandes, die gleich seiner thermischen Leistungsabgabe ist, nicht mehr so einfach mit P=U
- I errechnen. Denn mit welcher Spannung kann man arbeiten, wenn sie sich doch kontinuierlich ändert? Das Ergebnis wäre die Momentanleistung, die allerdings meist nicht interessiert. Deshalb vergleicht man die Wirkung mit der, die ein Gleichstrom erzielt hätte. Der Effektivwert einer Wechselspannung entspricht also dem Wert einer Gleichspannung, die den gleichen Effekt bringt. Misst man einen sinusförmigen Wechselstrom (mit dem Scheitelwert \hat i, auch i_ genannt) mit einem Gleichstrommessinstrument, so zeigt dieses den sog. Effektivwert Ieff, einen zeitlichen, quadratischen Mittelwert an, der bei einem Sinusstrom durch I_\mathrm = gegeben wird. Entsprechend nennt man U_\mathrm = den Effektivwert der sinusförmigen Wechselspannung. Solange die Amplitude gleich ist, bleibt der Effektivwert bei allen Frequenzen (sinusförmiger Verlauf) gleich. Bei nichtsinusförmigen Strömen ergeben sich andere Mittelwerte. Die allgemeine Formel für die Effektivgröße A_ einer Wechselgröße A(t) ist: :A_=\sqrt Ein Rechteckwechselstrom, also zeichnerisch ein Paar von gleich großen Rechteckimpulsen, die alternierend über/unter der Zeitachse liegen, ist I_ = \hat i . Falls nichts anderes gesagt wird, sind bei Wechselströmen / Wechselspannungen immer die Effektivwerte gemeint.

Wechselstromwiderstände

Jedes elektrische Gerät stellt gegenüber dem Strom einen Widerstand dar, der je nach Art des Gerätes ein "ohmscher", als Kondensator ein "kapazitiver" oder als Spule ein "induktiver" Widerstand sein kann. Kondensatoren und Spulen verhalten sich während der fortlaufenden Spannungsänderung bei Wechselstrom anders als bei Gleichstrom. Sie bewirken im Allgemeinen eine Phasenverschiebung zwischen dem Strom- und Spannungverlauf.
- Phasenverschiebung Kondensator bei Wechselstrom: Bei Gleichstrom lässt ein Kondensator nur für die Dauer des Aufladens einen Strom fließen, danach bildet er eine Unterbrechung des Stromkreises, weil das zwischen den Kondensatorplatten befindliche Dielektrikum ein elektrischer Isolator ist. Bei Wechselstrom ergibt sich am Kondensator, infolge des ständigen Umladens der metallischen Platten, ein Stromfluss, der durch den Widerstand X_C = 1/(\omega \cdot C) begrenzt wird. C ist dabei die Kapazität des Kondensators in Farad, \omega = 2 \cdot \pi \cdot f die Kreisfrequenz der angelegten Spannung. Der 90 ° vorauseilende Strom lädt den Kondensator und baut damit die Spannung an den "Platten" des Kondensators auf. Der Strom fließt zunächst, und daraus resultiert der Spannungsanstieg am Kondensator.
- Farad Induktivität bzw. Drosselspule bei Wechselstrom: Bei einer verlustlosen Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus, weil durch Selbstinduktion (siehe Lenzsches Gesetz) in der Spule eine Spannung erzeugt wird, die den Strom um den Phasenwinkel φ später ansteigen lässt. Der induktive Widerstand, den die Spule dem Strom entgegensetzt, ist durch X_L =\omega \cdot L gegeben. Die Induktivität wird in Henry [Vs/A ]angegeben.
- Berechnung der Wechselstromschaltung mit komplexen Zahlen: Zur Berechnung weiterer Wechselstromschaltungen ist es zweckmäßig Zeigerdiagramme oder komplexe Zahlen (siehe komplexe Wechselstromrechnung) zu verwenden. Auf diesem Wege ergibt sich beispielsweise für den Wechselstromwiderstand (die Impedanz) einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand X0, induktivem Widerstand XL und kapazitivem Widerstand XC die Formel: : \underline Z = X_0 + \mathrm \cdot (X_L - X_C) :Z = \sqrt bzw. für eine Reihenschaltung aus einem Widerstand, einer idealen Spule und einem idealen Kondensator: :Z = \sqrt der zugehörige Phasenwinkel \varphi errechnet sich zu : \tan = \frac.

Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung

Impedanz Für den Fall des von einem Gleichstrom I durchflossenen ohmschen Widerstandes bei gleichbleibender Spannung U gilt für die Leistung P:
\ P = U \cdot I
Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) zeitabhängig (t) ändern. Damit gelten:
P(t) = U(t) \cdot I(t)
Strom und Spannung erreichen an einem ohmschen Widerstand stets gleichzeitig einen Minimal- und einen Maximalwert, und gehen gleichzeitig durch den Nullpunkt. Die augenblickliche Leistung ist daher rechnerisch unter dieser Bedingung immer positiv. Da der Stromfluß durch einen ohmschen Widerstand stets „wirksam“ in Wärme umgesetzt wird, wird die damit verbundene Leistung als „Wirkleistung“ bezeichnet. Die stets im positiven Bereich verlaufende Kurvenform zeigt das Bild wie nebenstehend. Gleichstrom Gleichstrom Wenn Spulen bzw. eine Induktivität oder Kondensatoren in einer Schaltung enthalten sind, entstehen durch die Phasenverschiebung kapazitive oder induktive Blindleistungen, die entweder fast rein oder in Kombination mit der Wirkleistung auftreten. Das Zeigerdiagramm zeigt die zeitlich verschobenen Verläufe dieser Leistungsanteile. Da bei induktiver oder kapazitiver Belastung die Phasenlage des Stromes stets um 90 Grad gegenüber der Spannung verschoben ist, ist auch die Blindleistung um 90 Grad gegenüber der Wirkleistung verschoben. Die aus der Wirkleistung P und Blindleistung Q zusammengesetzte Scheinleistung S läßt sich durch eine geometrische Behandlung mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen: :S = U_\mathrm \cdot I_\mathrm = \sqrt Die Scheinleistung wird in VA (Voltampere) angegeben. Siehje auch: Zeigerdiagramm, Komplexe Wechselstromrechnung

Leistungsfaktor

Der Term \cos \varphi wird Leistungsfaktor, Wirkfaktor oder Verschiebungsfaktor genannt. Er ist der Quotient aus Wirk- und Scheinleistung (\cos \varphi = P/S) oder Cosinus der Phasenverschiebung. Für die Wirkleistung (Einheit: W (Watt)) ergibt sich dann bei sinusfömigem Wechselstrom und -spannunng: : P = I_\mathrm \cdot U_\mathrm \cdot \cos \varphi = \frac \cdot \hat i \cdot \hat u \cdot \cos \varphi Für die Blindleistung (Einheit: var), die zum Aufbau der elektrischen und magnetischen Felder in einem Stromkreis benötigt wird, ergibt sich: :Q = I_\mathrm\cdot U_\mathrm \cdot \sin \varphi Der Idealwert des Leistungsfaktors ist \cos \varphi = 1 , d. h.\varphi = 0^\circ bei einer Phasenverschiebung von \varphi = 0^\circ. Dann sind Spannung und Strom in Phase und der Anteil an der Generator-Nennleistung (in kVA) kann vollständig als Wirkleistung ausgeschöpft werden. Dies ist aber nur mit rein ohmschen Verbrauchern erreichbar, in der Praxis beträgt der Wert rund 0,8, da Haushalte und Gewerbe immer auch Motoren mit induktiven Anteilen neben den nahezu rein ohmisch wirkenden Koch-/Heizgeräten einsetzen. Der Term \sin \varphi wird Blindfaktor genannt. Er errechnet sich aus: :\sin \varphi = \sqrt = Der Blindfaktor gibt das Verhältnis der Verbraucher-Blindleistung zur Generator-Nennleistung an. Würden die Verbraucher nur Blindleistung verbrauchen (\sin \varphi = 1), wäre der Generator mechanisch völlig unbelastet (Reibungsverluste, Stromwärmeverluste und Lüfterverluste unberücksichtigt), es wäre dazu auch keine Antriebsenergie nötig. Diese (extreme) Betriebsweise wird als Phasenschieberbetrieb bezeichnet, die Antriebsturbine oder ähnliches deckt nur die mechanischen und elektrischen Verluste ab. Außer der Ersparnis der Primärenergie für die Erzeugung der Blindleistung, werden alle Einrichtungen eines Kraftwerkes daran beteiligt. International wird Wechselstrom häufig auf Englisch mit Alternating Current, bzw. dem Kürzel AC bezeichnet.

Literatur


- Klaus Lunze: Theorie der Wechselstromschaltungen Verlag Technik, 1991, ISBN 3-3410-0984-1
- Paul Vaske: Berechnung von Wechselstromschaltungen, 1985, ISBN 3-5192-0065-1
- Heinz Rieger: Wechselspannung, Wechselstrom. Publicis Corporate Publishing, Oktober 1992, ISBN 3-8009-4036-1

Weblinks


- [http://www.zum.de/dwu/depotan/apem111.htm www.zum.de] - Animierte Veranschaulichung von Wechselgrößen
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph12/materialseiten/m03_wechselstrom.htm Versuche und Aufgaben zum Wechselstrom] Kategorie:Elektrotechnik ja:交流

Wechselstrom

Wechselstrom bezeichnet elektrischen Strom, der seine Richtung (Polung) periodisch und in steter Wiederholung ändert. Weltweit wird die elektrische Energieversorgung am häufigsten mit Wechselstrom vorgenommen. Die Gründe für diese Bevorzugung sind die einfache Erzeugung, die verlustarme Fern-Übertragung hochgespannten Wechselstroms, einfache Motoren mit hohem Wirkungsgrad durch verkettete Dreiphasen-Wechselstrom-Systeme, daneben ist in der Nachrichtentechnik grösstenteils hochfrequenter Wechselstrom unverzichtbar.

Erzeugung

Form

NachrichtentechnikDie einfachste denkbare Form von Wechselstrom entsteht durch ständig wechselnde Umpolung einer Gleichstromquelle, woraus sich der Verlauf einer Rechteck-Impuls-Wechselstromes ergibt. Um technisch sinnvoll nutzbar zu sein, müsste die Umpolung mit genügend hoher Wiederholungsrate und ohne Unterbrechungslücken beim Umschalten erfolgen. Die verbreitetste Form des Wechselstromes ist jedoch der „sinusförmige Wechselstrom“. Er hat seinen Namen daher, daß die Momentanwerte über eine vollständige Periode mit einer positiven und einer negativen Halbwelle exakt den Werten der Sinus-Winkelfunktion über einen Vollkreis (0 - 360°) entsprechen, die grafische Darstellung ergibt dabei die typische „Sinuskurve“. Trotz seines komplizierten Verlaufs ist er technisch weit einfacher herzustellen als Rechteck-Impuls-Wechselstrom. Dreht man eine Leiterschleife mit konstanter Drehbewegung in einem ruhenden Magnetfeld, so durchlaufen die beiden Seiten der Leiterschleife nacheinander jeweils erst von links dann von rechts durch das magnetische Feld, wodurch erst zu-, dann wieder abnehmend ein Stromimpuls erst in die eine, dann in die andere Richtung induziert wird. induziert In industriellen Generatoren werden statt einer Leiterschleife Spulen mit vielen Windungen und statt einem Magnetpolpaar mehrere Polpaare verwendet. Damit können hohe Spannungen und genügend hohe Frequenzen des so generierten Wechselstromes erzeugt werden. Sinusförmiger Wechselstrom kann daneben auch mit computergesteuerter Leistungselektronik aus Gleichstrom erzeugt werden, z.B. in Wechselrichtern bei der Einspeisung von Solarstrom ins Stromnetz. Neben diesen gibt es zahlreiche weitere Varianten des Wechselstromes, siehe Spannungsform.

Mehrphasiger Wechselstrom / "Drehstrom"

In der Praxis werden statt nur eines Wechselstroms in den Generatoren drei separate Wechselstrom-“Phasen“ erzeugt durch die Anordnung von 3 Spulen, die gleichmässig um den Kreisumfang verteilt sind. In den Spulen entstehen dann einzelne Wechselspannungen, die zeitlich um jeweils eine Drittelperiode (oder 120° bei einem Kreisumlauf) gegenüber den anderen Spulenspannungen versetzt ist. Die einzelnen Phasen des industriellen Wechselstroms lassen sich unabhängig voneinander als Einzelsystem bei Kleinverbrauchern nutzen. Für Motorantriebe bietet jedoch die Nutzung der drei zeitlich gegeneinander verschobenen Phasenströme grosse Vorteile. Leitet man diese Spannungen in einen Motor mit 3 im Kreis versetzten Spulen, so entsteht wieder ein rotierendes Magnetfeld, das einen einfachen Kurzschlußläufer in Rotation versetzt.

Frequenzbereiche

Der normale Netzwechselstrom hat in Deutschland und anderen europäischen Staaten eine Frequenz von 50 Hz, weltweit häufig auch von 60 Hz. Mehrere europäischen Eisenbahnen, u.a. die Deutsche Bahn AG nutzen eine (Bahn-)Netzfrequenz von 16,7 Hz (früher genau 16 2/3 Hz), die mit den damals überwiegend verwendeten Kommutatormotoren besser genutzt werden konnte. Für Funkübertragungen und andere Zwecke werden hochfrequente Wechselströme mit Frequenzen im Kilohertz- oder Megahertz-Bereich benutzt. Hochfrequente Wechselströme (300 - 3.000 kHz) mit sehr geringer Stromstärke werden u. a. in der medizinischen Therapie als Diathermieströme eingesetzt. Sie werden für zur Erwärmung bestimmter tief liegender Gewebeabschnitte verwendet. Man zählt Ströme bis 20.000 Hz zur Niederfrequenz, die Mittelfrequenz reicht bis 300.000 Hz, die Hochfrequenz bis 300 MHz, anschließend beginnt die Höchstfrequenz.

Rechengrößen

Frequenz und Periode

Die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit (hier 1 Sekunde) nennt man Frequenz, gemessen in Hertz. Eine Periode ist die Wiederholung gleicher Zustände eines physikalischen Systems in regelmäßigen Zeitabständen (Periodendauer T). Bei einem Wechselstrom ist eine Periode z. B. die aufeinanderfolgende positive und eine negative Halbwelle. Die Periodendauer T errechnet sich aus dem Kehrwert der Frequenz f :T = \frac. Der in Deutschland übliche Wechselstrom hat eine Periodendauer von :T_= \frac = 1/50~ = 20~. Für Berechnungen wird die Dauer einer Periode auch mit der sogenannten Winkelgeschwindigkeit : \omega beschrieben: : \omega = 2 \cdot \pi \cdot f Bei einem Wechselstrom mit einer Frequenz von 50 Hz: : \omega = 50~ \cdot 2 \cdot \pi = 100 \cdot \pi ~\approx 31416~/; Einheit: rad je Sekunde Wenn es sich um eine Maschine mit nur zwei Polen handelt, läuft sie von der Mitte eines N-Pol über den nahegelegenen S-Pol zur nächsten N-Pol-Mitte. Damit ist eine Periode, also 360 elektrische Grade zurückgelegt.

Effektivwert

Durch den sinusförmigen Verlauf von Strom und Spannung ergeben sich Probleme bei der Berechnung der erzielten Wirkung. So lässt sich z.B. die Leistungsaufnahme eines Widerstandes, die gleich seiner thermischen Leistungsabgabe ist, nicht mehr so einfach mit P=U
- I errechnen. Denn mit welcher Spannung kann man arbeiten, wenn sie sich doch kontinuierlich ändert? Das Ergebnis wäre die Momentanleistung, die allerdings meist nicht interessiert. Deshalb vergleicht man die Wirkung mit der, die ein Gleichstrom erzielt hätte. Der Effektivwert einer Wechselspannung entspricht also dem Wert einer Gleichspannung, die den gleichen Effekt bringt. Misst man einen sinusförmigen Wechselstrom (mit dem Scheitelwert \hat i, auch i_ genannt) mit einem Gleichstrommessinstrument, so zeigt dieses den sog. Effektivwert Ieff, einen zeitlichen, quadratischen Mittelwert an, der bei einem Sinusstrom durch I_\mathrm = gegeben wird. Entsprechend nennt man U_\mathrm = den Effektivwert der sinusförmigen Wechselspannung. Solange die Amplitude gleich ist, bleibt der Effektivwert bei allen Frequenzen (sinusförmiger Verlauf) gleich. Bei nichtsinusförmigen Strömen ergeben sich andere Mittelwerte. Die allgemeine Formel für die Effektivgröße A_ einer Wechselgröße A(t) ist: :A_=\sqrt Ein Rechteckwechselstrom, also zeichnerisch ein Paar von gleich großen Rechteckimpulsen, die alternierend über/unter der Zeitachse liegen, ist I_ = \hat i . Falls nichts anderes gesagt wird, sind bei Wechselströmen / Wechselspannungen immer die Effektivwerte gemeint.

Wechselstromwiderstände

Jedes elektrische Gerät stellt gegenüber dem Strom einen Widerstand dar, der je nach Art des Gerätes ein "ohmscher", als Kondensator ein "kapazitiver" oder als Spule ein "induktiver" Widerstand sein kann. Kondensatoren und Spulen verhalten sich während der fortlaufenden Spannungsänderung bei Wechselstrom anders als bei Gleichstrom. Sie bewirken im Allgemeinen eine Phasenverschiebung zwischen dem Strom- und Spannungverlauf.
- Phasenverschiebung Kondensator bei Wechselstrom: Bei Gleichstrom lässt ein Kondensator nur für die Dauer des Aufladens einen Strom fließen, danach bildet er eine Unterbrechung des Stromkreises, weil das zwischen den Kondensatorplatten befindliche Dielektrikum ein elektrischer Isolator ist. Bei Wechselstrom ergibt sich am Kondensator, infolge des ständigen Umladens der metallischen Platten, ein Stromfluss, der durch den Widerstand X_C = 1/(\omega \cdot C) begrenzt wird. C ist dabei die Kapazität des Kondensators in Farad, \omega = 2 \cdot \pi \cdot f die Kreisfrequenz der angelegten Spannung. Der 90 ° vorauseilende Strom lädt den Kondensator und baut damit die Spannung an den "Platten" des Kondensators auf. Der Strom fließt zunächst, und daraus resultiert der Spannungsanstieg am Kondensator.
- Farad Induktivität bzw. Drosselspule bei Wechselstrom: Bei einer verlustlosen Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus, weil durch Selbstinduktion (siehe Lenzsches Gesetz) in der Spule eine Spannung erzeugt wird, die den Strom um den Phasenwinkel φ später ansteigen lässt. Der induktive Widerstand, den die Spule dem Strom entgegensetzt, ist durch X_L =\omega \cdot L gegeben. Die Induktivität wird in Henry [Vs/A ]angegeben.
- Berechnung der Wechselstromschaltung mit komplexen Zahlen: Zur Berechnung weiterer Wechselstromschaltungen ist es zweckmäßig Zeigerdiagramme oder komplexe Zahlen (siehe komplexe Wechselstromrechnung) zu verwenden. Auf diesem Wege ergibt sich beispielsweise für den Wechselstromwiderstand (die Impedanz) einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand X0, induktivem Widerstand XL und kapazitivem Widerstand XC die Formel: : \underline Z = X_0 + \mathrm \cdot (X_L - X_C) :Z = \sqrt bzw. für eine Reihenschaltung aus einem Widerstand, einer idealen Spule und einem idealen Kondensator: :Z = \sqrt der zugehörige Phasenwinkel \varphi errechnet sich zu : \tan = \frac.

Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung

Impedanz Für den Fall des von einem Gleichstrom I durchflossenen ohmschen Widerstandes bei gleichbleibender Spannung U gilt für die Leistung P:
\ P = U \cdot I
Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) zeitabhängig (t) ändern. Damit gelten:
P(t) = U(t) \cdot I(t)
Strom und Spannung erreichen an einem ohmschen Widerstand stets gleichzeitig einen Minimal- und einen Maximalwert, und gehen gleichzeitig durch den Nullpunkt. Die augenblickliche Leistung ist daher rechnerisch unter dieser Bedingung immer positiv. Da der Stromfluß durch einen ohmschen Widerstand stets „wirksam“ in Wärme umgesetzt wird, wird die damit verbundene Leistung als „Wirkleistung“ bezeichnet. Die stets im positiven Bereich verlaufende Kurvenform zeigt das Bild wie nebenstehend. Gleichstrom Gleichstrom Wenn Spulen bzw. eine Induktivität oder Kondensatoren in einer Schaltung enthalten sind, entstehen durch die Phasenverschiebung kapazitive oder induktive Blindleistungen, die entweder fast rein oder in Kombination mit der Wirkleistung auftreten. Das Zeigerdiagramm zeigt die zeitlich verschobenen Verläufe dieser Leistungsanteile. Da bei induktiver oder kapazitiver Belastung die Phasenlage des Stromes stets um 90 Grad gegenüber der Spannung verschoben ist, ist auch die Blindleistung um 90 Grad gegenüber der Wirkleistung verschoben. Die aus der Wirkleistung P und Blindleistung Q zusammengesetzte Scheinleistung S läßt sich durch eine geometrische Behandlung mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen: :S = U_\mathrm \cdot I_\mathrm = \sqrt Die Scheinleistung wird in VA (Voltampere) angegeben. Siehje auch: Zeigerdiagramm, Komplexe Wechselstromrechnung

Leistungsfaktor

Der Term \cos \varphi wird Leistungsfaktor, Wirkfaktor oder Verschiebungsfaktor genannt. Er ist der Quotient aus Wirk- und Scheinleistung (\cos \varphi = P/S) oder Cosinus der Phasenverschiebung. Für die Wirkleistung (Einheit: W (Watt)) ergibt sich dann bei sinusfömigem Wechselstrom und -spannunng: : P = I_\mathrm \cdot U_\mathrm \cdot \cos \varphi = \frac \cdot \hat i \cdot \hat u \cdot \cos \varphi Für die Blindleistung (Einheit: var), die zum Aufbau der elektrischen und magnetischen Felder in einem Stromkreis benötigt wird, ergibt sich: :Q = I_\mathrm\cdot U_\mathrm \cdot \sin \varphi Der Idealwert des Leistungsfaktors ist \cos \varphi = 1 , d. h.\varphi = 0^\circ bei einer Phasenverschiebung von \varphi = 0^\circ. Dann sind Spannung und Strom in Phase und der Anteil an der Generator-Nennleistung (in kVA) kann vollständig als Wirkleistung ausgeschöpft werden. Dies ist aber nur mit rein ohmschen Verbrauchern erreichbar, in der Praxis beträgt der Wert rund 0,8, da Haushalte und Gewerbe immer auch Motoren mit induktiven Anteilen neben den nahezu rein ohmisch wirkenden Koch-/Heizgeräten einsetzen. Der Term \sin \varphi wird Blindfaktor genannt. Er errechnet sich aus: :\sin \varphi = \sqrt = Der Blindfaktor gibt das Verhältnis der Verbraucher-Blindleistung zur Generator-Nennleistung an. Würden die Verbraucher nur Blindleistung verbrauchen (\sin \varphi = 1), wäre der Generator mechanisch völlig unbelastet (Reibungsverluste, Stromwärmeverluste und Lüfterverluste unberücksichtigt), es wäre dazu auch keine Antriebsenergie nötig. Diese (extreme) Betriebsweise wird als Phasenschieberbetrieb bezeichnet, die Antriebsturbine oder ähnliches deckt nur die mechanischen und elektrischen Verluste ab. Außer der Ersparnis der Primärenergie für die Erzeugung der Blindleistung, werden alle Einrichtungen eines Kraftwerkes daran beteiligt. International wird Wechselstrom häufig auf Englisch mit Alternating Current, bzw. dem Kürzel AC bezeichnet.

Literatur


- Klaus Lunze: Theorie der Wechselstromschaltungen Verlag Technik, 1991, ISBN 3-3410-0984-1
- Paul Vaske: Berechnung von Wechselstromschaltungen, 1985, ISBN 3-5192-0065-1
- Heinz Rieger: Wechselspannung, Wechselstrom. Publicis Corporate Publishing, Oktober 1992, ISBN 3-8009-4036-1

Weblinks


- [http://www.zum.de/dwu/depotan/apem111.htm www.zum.de] - Animierte Veranschaulichung von Wechselgrößen
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph12/materialseiten/m03_wechselstrom.htm Versuche und Aufgaben zum Wechselstrom] Kategorie:Elektrotechnik ja:交流

Wirkwiderstand

] Der Wirkwiderstand R (ohmscher Widerstand) ist ein elektrischer Widerstand der keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom verursacht und in dem nur Wirkleistung umgesetzt wird. In ihm wird allein die Wirkung des elektrischen Strömungsfeldes berücksichtigt. In der komplexen Wechselstromrechnung bezeichnet der Wirkwiderstand R den Realteil des komplexen Widerstandes Z. :R = Re \ :R = Z \cos \varphi = \cos \varphi Siehe auch: Elektrischer Widerstand, Impedanz, Blindwiderstand, Scheinwiderstand, Phasenverschiebung Kategorie:Theoretische Elektrotechnik

Polarkoordinate

Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (einem Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben bild:Ebene_polarkoordinaten.PNG :Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergeben sich : x = r cos ( φ ) und : y = r sin ( φ ) als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man : \det\frac=\begin \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end=r

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Polar zu kartesisch lässt sich folgendermaßen umrechnen: :x=r\,\cos\varphi :y=r\,\sin\varphi Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln: :r=\sqrt :\varphi = \begin\arccos\frac & \mathrm\ y\geq0 \\[,5em] -\arccos\frac xr & \mathrm\ y < 0\end Einige Programmier- und Skriptsprachen benutzen eine bivariate "Arkustangens"-Funktion atan2(y,x), die den korrekten Wert für φ für jedes gegebene x und y findet.

Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems. ::bild:Zylinderkoordinaten.PNG Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich : x = r cos ( φ ), : y = r sin ( φ ) und : z = h als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung sondern von der z-Achse. Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante: : \det\frac=\begin \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end=r Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV: :\mathrmV=r \,\mathrmr\, \mathrm\varphi \, \mathrmh

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

:x=r\,\cos\varphi :y=r\,\sin\varphi :z=h \quad :r=\sqrt :\varphi =\arctan\frac + \pi u_0(-x) \, \sgn y :h=z \quad : \begindx\\dy\\dz\end= \begin \cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&r\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end\cdot \begindr\\d\varphi\\dh\end : \begindr\\d\varphi\\dh\end= \begin \frac&\frac&0\\ \frac&\frac&0\\ 0&0&1 \end\cdot \begindx\\dy\\dz\end

Kugelkoordinaten

Kreiskoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen Winkel für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel der Geraden zwischen Ursprung und Punkt und der Ebene x,y. ::bild:Kugelkoordinaten.PNG Für eine genauere Erklärung, siehe Kugelkoordinaten.

Weitere Artikel zum Thema

Siehe auch: Koordinate, geografische Koordinaten, Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Box-Muller-Verfahren Kategorie:Geometrie ja:極座標系 ko:극좌표

Scheinwiderstand

Der Scheinwiderstand Z ist der Betrag der (komplexen) Impedanz Z und der Quotient aus den Effektivwerten von Spannung und Strom. : Z = Strom] Es handelt sich hierbei um eine Rechengröße, da sie nur scheinbar den Widerstand eines elektrischen Zweipols angibt und die Phasenverschiebung \varphi zwischen Spannung und Strom unberücksichtigt lässt. In der komplexen Wechselstromrechnung ist der Scheinwiderstand Z die geometrische Summe aus Wirkwiderstand R und Blindwiderstand X. : Z = |\underline Z| = \sqrt oder mit komplexen Zahlen : : \underline Z = (R + jX) Siehe auch: Impedanz, Wirkwiderstand, Blindwiderstand Kategorie:Theoretische Elektrotechnik

Kabel

Ein Kabel ist ein Verbund mehrerer Litzen oder isolierter Drähte. Dieser Verbund wird durch eine zusätzliche Isolation, den Kabelmantel, zusammengehalten. Zweck eines Kabels ist die (möglichst verlustarme) Durchleitung elektrischer Ströme für die Energieversorgung oder Datenübermittlung, bei Glasfaserkabeln von Licht für die reine Nachrichtenübermittlung.

Primäre Unterscheidungsmerkmale

Licht

Die Leiteranzahl

Die Anzahl der Strom führenden Drähte (auch Adern genannt) im Kabel. Bei mehradrigen Kabeln ist immer jede einzelne Ader von einem eigenen Isolator ummantelt (die "Adernisolierung"), während eine äußere Ummantelung alle Adern umgibt (der "Kabelmantel"):
- Für den Transport von Gleichstrom und Wechselstrom kommen zweiadrige Kabel zum Einsatz. Für Gleichstrom sind die Farben der Adernisolation meist rot für Plus (+) und schwarz für Minus (-), für Wechselstrom meist braun (bei Neuinstallationen) oder schwarz für Außenleiter und blau für Neutralleiter. Beim in Deutschland üblichen Hausnetz (230 V Wechselspannung) kommt noch eine dritte Ader zum Einsatz. Der grün-gelbe Schutzleiter, dieser führt direkt auf Erde und dient dazu, gefährliche Berührungsspannungen an leitfähigen Gehäuse- oder Bedienteilen zu verhindern. In älteren Verkabelungen (Altbau) findet man auch noch sehr oft die alten Kabelfarben wieder. Diese waren Rot für den Schutzleiter, Grau für den Neutralleiter und Schwarz für den Außenleiter.
- Kabel für Drehstrom bei Niederspannung sind fünfadrig: Für den Stromtransport werden vier Adern benötigt, drei für die Außenleiter (in der Regel braun, schwarz und grau), eine vierte als Neutralleiter (blau) und eine fünfte für den Schutzleiter (grün-gelb). Bei symmetrischer Belastung (zum Beispiel durch einen Elektromotor) ist der Neutralleiter nicht nötig, hier reicht ein vieradriges Kabel aus.
- Kabel für hochgespannten Drehstrom sind dreiadrig. Für Spannungen über 50 kV werden drei einpolige Kabel verwendet.
- Kabel für hochgespannten Gleichstrom sind meist einpolig. Es gibt auch zweipolige Kabel für hochgespannten Gleichstrom. Mitunter werden auch zweipolige Kabel einpolig betrieben, in dem sie an ihren Enden parallelgeschaltet werden, wie bei der HGÜ Kontek.
- Kabel für EDV und Nachrichtentechnik haben (je nach Einsatzzweck) eine unterschiedliche Adernanzahl (2 – mehrere tausend Adern). Außerdem wird nach der Art der Adernverseilung unterschieden (zum Beispiel lagenverseilt, paarverseilt, Sternvierer).
- Kabel für nieder- und hochfrequente Signale in Form von Koaxialkabeln.

Das Material der Adern


- In fast allen elektrischen Kabeln kommen reine Metalle mit möglichst niedrigem spezifischen Widerstand (zum Beispiel Kupfer und Aluminium) zum Einsatz. Verarbeitet wird dieses Metall je nach Flexibilität und Beanspruchung entweder ein-, mehr-, fein- oder feinstdrätig.
- für besondere Anforderungen werden auch versilberte Kupferdrähte, verkupferte Eisendrähte oder Mischlitzen aus Stahl- und Kupferdrähten gefertigt
- Für Sonderfälle kommen Supraleiter als Drahtmaterial zum Einsatz, das allerdings unter seine Sprungtemperatur abgekühlt werden muss, indem ein geeignetes Kühlmittel durch Kanäle im Kabel gepumpt wird.
- In den Kabeln der Kommunikationsnetze kommen neben Kupferadern auch Glasfasern (Glasfaserkabel = Lichtwellenleiter-Kabel) zum Einsatz

Das Material der Adernisolation

Die Adernisolation soll einen möglichst hohen Spezifischen elektrischen Widerstand haben und muss auch Überspannungen standhalten. Oft muss sie auch einen möglichst geringen dielektrischen Verlustfaktor haben.
- früher verwendete man oft Papier als Isolation
- um die Feuchteempfindlichkeit zu verringern und die Durchschlagsfestigkeit zu erhöhen, kann man das Papier mit Öl tränken
- der häufigste Isolationswerkstoff heutiger Energie- und Signalkabel ist Polyvinylchlorid (PVC)
- eine Möglichkeit, die Einsatztemperatur PVC-isolierter Kabel zu erhöhen, ist die Elektronenstrahl-Vernetzung
- Breitband-Signalkabel, Hochfrequenzkabel und auch Telefonleitungen sind oft mit Polyethylen (PE) isoliert
- Kabel für extrem hohe Anforderungen werden mit PTFE (Teflon) isoliert (z.B. Triebwerksbereich in Flugzeugen)
- für flexible, thermisch und mechanisch hoch beanspruchte Kabel wird Gummi als Isolation verwendet
- Silikongummi wird bei hohen Temperaturen und hohen Spannungen eingesetzt

Das Material der Ummantelung

Der Kabelmantel schützt das Kabel vor äußeren Einflüssen.
- Blei war lange Zeit ein häufig verwendeter Werkstoff für die Ummantelung papierisolierter Kabel.
- Heute kommen meist Kunststoffe wie PVC oder Polyethylen zum Einsatz. Die meisten dieser Kunststoffe sind sehr kostengünstig, aber vielfach brennbar. PVC erzeugt zusätzlich beim Verbrennen giftige Gase wie Chlorwasserstoff und Dioxine; siehe dazu Brandverhalten von Kabel und Leitungen. Deshalb kommen in modernen Gebäude mit großen Personenansammlungen, wie zum Beispiel in Bahnhöfen, Flughäfen, Museen, Kongreßhallen und Kaufhäusern, halogenfreie Kabel und Leitungen zum Einsatz.
- für flexible, hoch beanspruchte Kabel wird Gummi als Mantel verwendet
- In der Nachrichtentechnik (insbesondere aber bei Netzwerkkabeln für die EDV) werden die Kabelmäntel vielfach mit einer Schirmung aus Metallfolie oder Kupferdrahtgeflecht versehen, um die elektromagnetischen Eigenschaften des Kabels zu verbessern. Siehe Twisted-Pair-Kabel
- Seit der Entwicklung von Frequenzumrichtern müssen in der Industrie auch von diesen ausgehende Energieleitungen, zum Beispiel für Motoren, abgeschirmt werden, um Störabstrahlungen zu vermeiden. Siehe Elektromagnetische Verträglichkeit.
- Erd- und Seekabel sind mit zahlreichen Bewehrungen (Stahldrahtgeflecht, Stahlblech) als Schutz und zur Erhöhung ihrer mechanischen Stabilität versehen. Um Beschädigungen des Mantels frühzeitig zu erkennen, werden in der Nachrichtentechnik hochkanalige Kabel mit Druckluft gefüllt und der Kabelinnendruck wird automatisch überwacht. Für die meisten Einsatzzwecke werden Kabel nach internationalen Normen hergestellt, die vielfach auch Kürzel für bestimmte Kabelklassen definieren. Siehe dazu Harmonisierte Typenkurzzeichen von Leitungen.

Art der Verlegung/Beanspruchung

Die Beanspruchungsbedingungen eines Kabels bestimmen wesentlich seine Konstruktion, z.B.:
- Verlegung auf dem Meeresgrund Seekabel: starke Bewehrung, zugfest
- unterirdische Verlegung (Erdkabel): sichere Ummantelung, evtl. Bewehrung
- oberirdisch im Außenbereich: Ultraviolett-stabiler Mantel
- für bewegliche Geräte: feindrähtige Adern, evtl. Gummi-Isolation
- mechanische Beanspruchung durch Kanten: Gewebe, Lackgewebe, Lackglasfasergewebe
- in brandgefährdeten Räumen: halogenfreie schwer entflammbare Isolation
- Einfluss von Kohlenwasserstoffen: Ölfeste Werkstoffe
- hohe Temperaturen oder Erwärmung: Gummi, Silikongummi, PTFE

Hochfrequenz- und Signalkabel

Bei HF- und Signalkabeln spielt auch die Impedanz Z sowie die dielektrische Güte des Isolationswerkstoffes eine Rolle.

Für Hochfrequenz und Breitband-Signalübertragung werden (auch für hohe Übertragungsleistungen) meist Koaxialkabel verwendet. Diese haben prinzipiell kein nach außen dringendes magnetisches Feld und - bei geschlossenem Mantelleiter - auch kein außerhalb auftretendes elektrisches Feld. Sie sind daher störsicher. Koaxialkabel haben Impedanzen von 50...75 Ohm.

Früher verwendete man für Antennenleitungen auch sog. Stegleitungen (Z = 240 Ohm) . Sie bestehen aus zwei symmetrisch angeordneten, mit einem Isolierstoffsteg verbundenen Adern. Diese Kabel sind aufgrund der nach außen dringenden Felder störempfindlicher, weisen jedoch eine geringere Dämpfung auf.

Als Signalleitungen werden oft mehradrige, geschirmte oder ungeschirmte Kabel mit Querschnitten von 0,14 bis 0,5 mm2 verwendet.

Zur Übertragung hoher Datenraten werden sog. twisted-pair-Kabel verwendet:
ein oder mehrere Adernpaare sind miteinander verdrillt jeweils in separaten Abschirmungen geführt.

Bandkabel ("Hosenträgerkabel") bestehen aus eine Vielzahl parallel liegender Adern und werden besonders innerhalb von Computern als Signalleitungen verwendet.

Funktionserhalt

Bei sicherheitsrelevanten Systemen, wie Sicherheitsbeleuchtungsanlagen, Brandmeldeanlagen oder Alarmierungsanlagen fordern einschlägige Vorgaben in bestimmten Bereichen Kabel und Leitungen mit integriertem Funktionserhalt. Unter Alarmierungsanlagen sind hier keine Alarmanlagen im Sinne von Einbruchmeldetechnik gemeint, für solche Systeme ist in der Regel kein Funktionserhalt notwendig. Vielmehr handelt es sich um Anlagen gem. DIN VDE 0828 oder DIN (V) VDE 0833-4, die durch akustische Signalisierung anwesende Personen bei Gefahren warnen und zur Gebäuderäumung veranlassen. In Deutschland ist dieser Sachverhalt in der DIN 4102 und der Bundesland-spezifischen Umsetzung der "Muster-Leitungsanlagen-Richtlinie" MLAR geregelt. Das bedeutet, dass die Verkabelung bei Brandeinwirkung für eine festgelegte Zeit funktionsfähig bleiben muss. In dieser Zeit darf weder der Isolationswiderstand so klein werden, dass es zu einem Stromfluss zwischen den Leitern kommt, noch darf der Widerstand des Leiters so ansteigen, dass der Stromfluss behindert würde. Mit anderen Worten dürfen weder Kurzschluss noch Unterbrechung auftreten. Diese Eigenschaften werden durch einen speziellen Aufbau der Leitung sowie besondere Materialien für die Isolierung erreicht. Die Leitungen sind von außen durch ihren orangefarbenen Mantel sowie durch einen kennzeichnenden wiederholten Aufdruck zu erkennen. Gebräuchliche Zeiten für den erforderlichen Funktionserhalt sind 30 Minuten oder 90 Minuten (E30; E90). Geraten diese Leitungen nach Ablauf des Zeitraumes in Brand, weisen sie eine höhere Brandlast als normale Leitungen, wie NYM oder I-Y(St)Y auf. Um einen wirksamen Funktionserhalt zu erzielen, ist neben der Leitung auch das Leitungsführungssystem und die Umgebung zu betrachten. Die verschiedenen Formen der Leitungsführungssysteme (Kabelrinne, Stahlpanzerrohr, Einzelbefestigung) haben gemein, dass sie ebenfalls für die entsprechende Dauer einem Feuer standhalten und gemeinsam mit der Leitung eine "geprüfte Leitungsanlage" ergeben. Entsprechend geprüfte Kombinationen werden durch die Hersteller im Prüfzertifikat benannt. Die Installationsumgebung ist so zu gestalten, dass die Kabel und Leitungen während der Brandeinwirkung nicht durch berstende oder herabfallende Teile beeinträchtigt oder zerstört werden.

"Kabelsalat"

Schwer zu lösende Knoten in Kabeln werden als Kabelsalat bezeichnet. Um Kabelsalat zu vermeiden ist es wichtig das Kabel ordentlich zusammenzulegen. Hierbei ist darauf zu achten, dass das Kabel stets in gleicher Richtung wie seine Adern (nicht in sich verdreht) zusammenlegt wird. Dies erreicht man dadurch, dass man das Kabel durch die Handfläche gleiten lässt und es mit den Fingern in die richtige Lage dreht. Meistens strebt das Kabel von sich aus in diese Lage. Diesen Vorgang nennt man auch aufschießen. Das Wort aufschießen wiederum kommt aus der Seefahrer-Sprache (Aufschießen einer Leine).

Siehe auch


- Stromleitung
- Drehstromleitung
- Leitungsgebundene Telekommunikationsverfahren
- Telefonkabel
- Lüsterklemme
- Kabelschuh
- Würgenippel
- Kabelbruch
- Verkürzungsfaktor
- Verlängerungsleitung
- Strukturierte Verkabelung Kategorie:Kabel

Wellenwiderstand

Der Wellenwiderstand ist die Eigenschaft einer physikalischen Welle in einem Medium, die man sich anschaulich etwa als die Härte oder Weichheit vorstellen kann, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. An Stellen, an denen sich der Wellenwiderstand abrupt ändert, kommt es zu Reflexionen (und es entstehen oft stehende Wellen). Die Extremfälle solcher Änderungen des Wellenwiderstandes sind offene und geschlossene Enden. Hierzu lassen sich folgende Analogien finden: In allen diesen Fällen findet eine nahezu vollständige Reflexion statt. Je nach Abschluss findet dabei ein Phasensprung von 180° statt oder nicht.

Beispiele ohne komplette Reflexion

Beispiele für Änderungen des Wellenwiderstandes ohne komplette Reflexion:
- Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf dem Wasser auf.
- Zwei Koaxialkabel mit unterschiedlichen Geometrien werden zusammengelötet.
- Das Ende eines zum Schwingen angeregten Seiles ist mit Gewichten beschwert oder mit einer Feder an einem festen Punkt befestigt.

Beispiele für reflexionsfreie Abschlüsse


- Ein Hohlleiter wird mit einem Exponentialtrichter abgeschlossen - es gibt es an dieser Stelle einen kontinuierlichen Übergang vom Wellenwiderstand im Hohlleiter zu demjenigen des freien Raumes.
- Der Quellwiderstand eines Senders stimmt mit der Impedanz des Kabels (z.B. 50 Ohm) und der Antenne (ebenfalls 50 Ohm) überein.
- Schalltrichter eines Grammofones

Elektromagnetische Wellen

Der Wellenwiderstand ist eine Kenngröße von längshomogenen Leitungen (= mind. 2 Leiter), wie Hohlleitern oder Kabeln, welche zur Beschreibung der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen auf Leitungen sehr nützlich ist. Die Berücksichtigung des Ausbreitungsverhaltens ist immer dann wichtig, wenn die übertragenen Signale hochfrequent sind im Vergleich zur Signallaufzeit auf der Leitung (bzw. hochfrequente Anteile enthalten). Das ist z.B. der Fall bei
- hohen Frequenzen (z.B. Koaxialkabel in der HF-Technik oder Digitalsignale mit steilen Flanken)
- langen Leitungen (z.B. 50-Hz-Hochspannungsnetze) Für verzerrungsfreie Leitungen ist der Wellenwiderstand eine reelle Grösse (z.B. 50 Ω). Für andere Leitungenarten kann er durch einen komplexen Widerstand beschrieben werden (eher selten verwendet). Der Wellenwiderstand ist unabhängig von der Leitungslänge. Der Wellenwiderstand ist nicht zu verwechseln mit dem Leitungswiderstand, der die (Wärme-)Verluste beschreibt, wenn die Leitung von einem Strom durchflossen wird.

Abschluss

Den Wellenwiderstand als Bauteil gibt es nicht. "Mit dem Wellenwiderstand abschliessen" bedeutet, dass man am entsprechenden Ende der Leitung z.B. einen Widerstand (Bauteil) mit dem Wert des Wellenwiderstandes der Leitung einbaut. Schickt man einen Spannungsimpuls in eine Leitung, die am anderen Ende nicht abgeschlossen ist, tritt dort eine Reflexion auf - vergleichbar mit einem akustischen Echo. Entspricht die Quellenimpedanz der Signalquelle nicht dem Wellenwiderstand der Leitung, wird das "Echo" auch am anderen Ende reflektiert usw.
Die Übereinstimmung der Impedanzen von Quelle, Last und Wellenwiderstand ist deshalb fast immer erwünscht, um Reflexionen zu vermeiden. Den Wellenwiderstand eines Kabels kann man sich als Eingangswiderstand einer endlos langen Leitung vorstellen.
Je enger die Leiter beieinander sind, je dicker sie sind und je größer die Kapazität zwischen ihnen, desto geringer ist der Wellenwiderstand.

Messen

Man kann den Wellenwiderstand z.B. ermitteln, indem man den Wechselstromwiderstand der offenen Leitung (Z_0) und den Wechselstromwiderstand der kurzgeschlossenen Leitung (Z_) misst. Der Wellenwiderstand (Z_) ist dann: : Z_ = \sqrt Der Wellenwiderstand lässt sich auch aus der Geometrie des Leiters und der Isolierung berechnen:
Für koaxiale (asymmetrische) Leiter gilt: : Asymmetrische Leitung : Z_ = \frac\cdot \lg \left( \frac\right)
(mit \varepsilon_: Dielektrizitätskonstante des Isolationsmaterials)

Für symmetrische Leiter gilt: : Symmetrische Leitung : Z_=\frac\cdot\lg\left(\frac\right)

Auch dem freien Raum lässt sich ein Wellenwiderstand zuordnen:

Akustische Wellen

Akustische Wellen erfahren in verschiedenen Medien unterschiedliche "Widerstände"; das ist die "Kennimpedanz" dieser Werkstoffe.

Siehe auch


- Abschlusswiderstand
- Leitungstheorie
- Fehlanpassung Kategorie:Theoretische Elektrotechnik Kategorie:Physik Kategorie:Wellenlehre

Lautsprecher

Ein Lautsprecher ist ein Gerät, das elektrische Impulse in Schallimpulse wandelt. Lautsprecher sind verbreitet in vielfältigsten Formen, sie finden sich unter anderm in Boxen und in Kopfhörern. Hier wird der der Lautsprecher auch als Treiber bezeichnet.

Geschichte des Lautsprechers

Kopfhörer Bereits am 26. Oktober 1861 stellte der Volksschullehrer Johann Philip Reis das von ihm erfundene Telefon beim Physikalischen Verein in Frankfurt vor. Es gelang ihm aber nicht, seiner Umwelt die Bedeutung seiner Erfindung zu vermitteln. Als um 1870 Thomas Alva Edison die ersten Experimente mit seinem Phonographen durchführte und Alexander Graham Bell - nach eigenem Bekunden - auf der Erfindung von Reis aufbauend das Telefon zur Marktreife weiterentwickelte, ahnte wohl keiner der Beteiligten, dass die Schallwandler, die sie ganz nebenbei erfunden hatten, Vorläufer eines Bauteils waren, das mehr als ein Jahrhundert später immer noch gut für kontroverse Diskussionen sein sollte und dessen technischer Horizont in der Morgendämmerung des dritten Jahrtausends gerade erst zu erahnen ist. Die mechanischen Lautsprecher von Thomas Alva Edison und Emile Berliner kamen noch ohne elektrischen Strom aus. Werner von Siemens hat 1878 ein Patent erhalten für den noch heute gebräuchlichen elektrodynamischen Lautsprecher. Diese Konstruktion war schon sehr ausgereift, mit feststehendem (Hufeisen-)Magnet, beweglicher Schwingspule und beweglicher NAWI-Membran. Sein Pech war das Fehlen geeigneter Verstärker. Als Begründer der modernen Lautsprecher gilt in England der an der Universität Birmingham lehrende Physikprofessor Sir Oliver Lodge, der im Jahre 1898 die Gesetze des Elektromagnetismus anwandte, um eine Versuchsanordnung aufzubauen, die durch elektrischen Strom hervorgerufene Laute erzeugt. Für die im heutigen Sinne naturgetreue Wiedergabe von Klängen taugte der primitive elektromagnetische Lautsprecher mit feststehender Spule und beweglichem Eisenkern natürlich noch nicht, aber immerhin war ein Anfang gemacht. 27 Jahre sollte es noch dauern, bis die erste Funkausstellung in Berlin im Jahre 1925 mit dem Blatthaller den ersten elektrodynamischen Lautsprecher präsentierte, eine abenteuerliche Konstruktion von gut einem Meter Länge, die ein feststehendes Magnetsystem und einen beweglichen stromdurchflossenen Leiter besaß. Im gleichen Jahr hatten Edward Kellog und Chester Rice von der amerikanischen Firma Western Electric den elektrodynamischen Lautsprecher entwickelt, wie er im Prinzip heute noch in weit über 90 Prozent aller Lautsprecherboxen eingebaut wird. Er besitzt eine bewegliche Schwingspule, die mit einer Konusmembran verbunden ist und sich im Takt des durch sie hindurchfließenden Stroms von dem sie umgebenden Magnetfeld gewissermaßen abstößt. Größtes Problem war in dieser Zeit der äußerst geringe Lautsprecher-Wirkungsgrad, der riesige Hörner zur Schallverstärkung erforderlich machte. Bei der Kinobeschallung, für die diese Hornlautsprecher eingesetzt wurden, waren die enormen Abmessungen aber kein Problem. Eine andere technische Klippe galt es erst noch zu umschiffen: Dauermagnete mit ausreichender Kraft (magnetischer Induktion bzw. magnetischem Fluss) gab es zu Anfang des 20. Jahrhunderts noch nicht, und deshalb erzeugten damals Elektromagnete das erforderliche Magnetfeld. Der Brite Paul G. A. H. Voigt zählt zu den Pionieren der Lautsprecher mit Permanentmagnet; nachdem er mit seiner 1927 gegründeten Firma Lowther Voigt Ltd. zunächst Schallwandler mit "Energized Magnet" hergestellt hatte, präsentierte er im Jahr 1936 den ersten Prototypen eines Lautsprechers mit "Permanent Magnet". Aber erst die Militärforschung des zweiten Weltkriegs erbrachte leistungsfähige Magnetmaterialien aus Legierungen von Metallen der Seltenen Erden, die ab 1945 die Lautsprecher mit Feldspule auf breiter Front verdrängten. Die Ära des modernen Lautsprechers beginnt mit den Arbeiten des Australiers Neville Thiele und des Amerikaners Richard Small, die ab 1951 die Wechselwirkungen zwischen dem Lautsprecher und seinem Gehäuse auf eine theoretisch fundierte Grundlage stellten (Thiele-Small-Parameter) und die Voraussetzungen dafür erarbeiteten, dass relativ kleine Lautsprecherboxen heute erstaunlich tiefe Frequenzen abstrahlen können. So verwundert es nicht, dass die Mehrzahl der heute aktiven Lautsprecherhersteller sich erst in den sechziger und frühen siebziger Jahren gründeten.

Antriebsformen

Thiele-Small-Parameter Thiele-Small-Parameter Schallwandler können auf unterschiedliche Weise angetrieben werden. Die überwiegende Bauform ist dabei der elektrodynamische Lautsprecher mit zentralem Antrieb. Elektrostatische und magnetostatische Lautsprecher werden auf Grund der großen strahlenden Flächen auch als Flächenstrahler bezeichnet. Deren Merkmale sind die bipolare Abstrahlung sowie hohe Bündlungsfaktoren schon bei mittleren Frequenzen.

Elektrodynamischer Lautsprecher

Bei elektrodynamischen Lautsprechern wird die Membran durch die Wechselwirkung zwischen elektrischem Strom und einem magnetischen Gleichfeld angetrieben. Elektrodynamische Lautsprecher nutzen als Kraftquelle die Lorentzkraft aus. Dazu bedarf es einem möglichst konstanten Statorfeldes, meist durch einen Permanentmagneten gebildet, mit der magnetischen Induktion \vec B und einer Leiterschleife der Länge \vec l, durch die der elektrische Strom \vec I fließt (Achtung: l und I nicht verwechseln!) Dabei entsteht eine Kraft \vec F von :: \vec F = \left(\vec B \times \vec l\right) \cdot \vec I Um die Kraft zu maximieren, muss man die drei Größen \vec B, \vec l und \vec I orthogonal (senkrecht) aufeinander stellen und sie müssen überall die gleiche Orientierung haben. \vec B \times \vec l ist eine wichtige Konstante, sie beschreibt das Umsetzungsverhältnis von Strom in Kraft, häufig als Bl bezeichnet. Der klassische elektrodynamische Lautsprecher hat eine zentrale Schwingspule, andere Formen arbeiten mit dezentralen Antrieben. Diese werden als Magnetostaten bezeichnet und sind eine Form von Flächenstrahlern. magnetischen Induktion Eine stromdurchflossene Spule (Schwingspule, engl. Voice coil) befindet sich im magnetischen Gleichfeld eines Permanentmagneten (oder Elektromagneten) (Magnet). Die Spule befindet sich auf einem Schwingspulenträger, der wiederum an der Membran (Cone) befestigt ist. Die Membran besteht aus äußeren Bereichen (fehlen weitgehend bei Kalotten) und inneren Bereichen (häufig als Abdeckkappe/Staubkappe (engl. Dust Cap) bezeichnet, obwohl dieser Bereich essentiell für die Wiedergabe am oberen Frequenzende ist). Spule und Membran können sich im Magnetfeld vorzugsweise in der Richtung senkrecht zur Membran hin- und herbewegen. Eine Zentrierspinne (engl. Spider) und die Sicke (engl. Surround) sind für die Rückführung der Membran in die Ruhelage sowie für die Zentrierung der Schwingspule verantwortlich. Die Sicke verhindert weiterhin einen direkten Luftaustausch zwischen Vorder- und Rückseite. Leitet man einen Wechselstrom durch diese Spule, so wird durch die Lorentzkraft eine Kraft auf die Membran ausgeübt, die diese zum Schwingen veranlasst.

Magnetostatischer Lautsprecher

Unter Magnetostaten versteht man Lautsprecher, deren Antrieb nicht in Form einer Schwingspule lokal konzentriert ist, sondern auf der ganzen Membran verteilt ist (Folien-Magnetostaten) oder selbst die Membran (klassisches Bändchen) darstellt. Magnetostatischer Lautsprecher finden vor allem im oberen Frequenzbereich als Hochtöner oder teilweise als Mitteltöner Anwendung (z.B. bei einigen Modellen der Firma Elac), es gibt aber auch schrankgroße Vollbereichsmagnetostaten (Lautsprecher(-gehäuse)) bei z.B. Magnepan bzw. Vollbereichsmagnetostaten mit zusätzlichem Subwoofer für die ganz tiefen Frequenzen. Bändchen-Magnetostaten Als Membranmaterial findet bei Bändchen meist Aluminium Anwendung. Es hat (abgesehen von einigen Alkali- und Erdalkali-Metallen) die höchste massespezifische elektrische Leitfähigkeit und weist durch die Bildung einer Oxidschicht einen gewissen Eigenschutz vor Umwelteinflüssen auf. Zusätzliche Beschichtungen können trotzdem sinnvoll sein. Entgegen allgemeiner Meinung kommt es bei Bändchen-Magnetostaten zu signifikanten Partialschwingungen, sobald die Wellenlänge des Schalls in Luft kleiner als der halbe Leiterbahnenabstand wird. Für 17 kHz sind daher maximal Abstände von 1 cm zulässig. Zum Erreichen einer horizontalen Abstrahlung ist das Bändchen vertikal orientiert, dabei ist zum Erreichen einer breiteren Abstrahlung unter gleichzeitiger Reduzierung von Boden- und Deckenreflexionen deutlich höher als breit (Hochtöner 25 mm x 80 mm, Mitteltöner 60 mm x 200 mm) und häufig leicht konvex gekrümmt. Diese Krümmung sowie eine häufig anzutreffende leichte Strukturierung geben der sehr dünnen (ca. 10 µm, Schokoladenpapier ist dagegen schon Blech) und sehr empfindlichen Membran eine gewisse mechanische Stabilität. Diese Folie wird vertikal von elektrischen Strom durchflossen und befindet sich in einem starken Magnetfeld (Statorfeld) eines Permanentmagneten, dessen Feldlinien horizontal verlaufen. Die resultierende Lorentzkraft bewegt die Membran vor und zurück und führt zur Schallabstrahlung. Man unterscheidet Eintakt- und Gegentaktaufbau. Beim Eintaktaufbau weist das Statorfeld große Asymmetrien auf, die schon bei mittleren Schwingungsamplituden zu [http://de.wikipedia.org/wiki/Lautsprecher#Nichtlineare_Wiedergabefehler Nichtlinearitäten] führen, beim Gegentaktaufbau ist allerdings auch der Frontschall durch den Magneten zu führen, was vor allem bei höheren Frequenzen zu Fehlern im Frequenzgang führt. Blick von oben (# Magnetmaterial, N Nordpol, S Südpol, -- Bändchen) Eintaktaufbau: #### ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## #### Magnet mit akustischen Durchbrüchen ### ### ####N ------------------------------ S#### Gegentaktaufbau: #### ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## #### Magnet mit akustischen Durchbrüchen ### ### ####N ------------------------------ S#### ### ### #### ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## #### Magnet mit akustischen Durchbrüchen Auf Grund der geringen Leiterlänge ist die Impedanz sehr niedrig (0,2 Ohm bis max. 1 Ohm), es sind entweder spezielle High Current-Verstärker oder Transformatoren notwendig. Vergrößerungen der Impedanz sind durch die fehlenden Freiheitsgrade der Topologie (es gibt keine isolierenden Membranteile) sehr begrenzt. Folien-Magnetostaten Die Membran ist eine Kunstoffolie, auf der Leiterbahnen aufgebracht sind. Auch hier ist Aluminium üblich. Die Impedanz liegt im normalen Bereich zwischen 4 und 8 Ohm, da mit dieser Technik längere und dünnere Leiterbahnen möglich sind. Es sind deutlich mehr Bauformen als bei Bändchen-Magnetostaten möglich. Folien sind deutlich robuster als Bändchen, auf denen die Landung einer Stubenfliege schon Schäden verursachen kann. Allerdings gibt es häufig Probleme mit der Dauerhaftigkeit der Verbindung der Leiterbahnen mit der Folie. JET-Strahler Auch Air-Motion-Transformer (AMT) Blick von oben (# Magnetmaterial, N Nordpol, S Südpol, +-+ Membran, ox Leiterbahnen) #### ## ## ## ## ## ## ## ####### #### SS SS SS SS SS SS SS SS #### Magnet mit akustischen Durchbrüchen ### +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ ### ### o x o x o x o x o x o x ### gefaltete Membran mit Alu-Mäander NNN--+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +--NNN SSSSSS SSS SS S S SS SSS SSSSSS geblechte Pole mit akustischen Durchbrüchen ### +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ ### ### o x o x o x o x o x o x ### gefaltete Membran mit Alu-Mäander ###--+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +--### NNNNNN NNN NN N N NN NNN NNNNNN Typ Heil AMT 4-Pi-Strahler Rotationssymmetrisch, vertikaler Schnitt durch die Achse (# Magnetmaterial, N Nordpol, S Südpol, +-+ Membran, ox Leiterbahnen) Symmetrieachse | ######### ##################### N#######################N o ##################### x o ##################### x o ##################### x o ##################### x o ##################### x o ##################### x o ##################### x o ##################### x S#######################S ######################### Die Folie ist vertikal leicht geriffelt, damit die Membran atmen kann. Prinzip, welches bei Magnepan verwendet wird (Eintaktaufbau) NNN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NNN Magnet mit akustischen Durchbrüchen ##-x--o--x--o--x--o--x--o--x--o--x--o--x--o--x--o-## Membran mit Alu-Mäander Das Magnetfeld weist starke Inhomogenitäten auf, schon bei mittleren Membranauslenkungen kommt es zu starken Verzerrungen. Ein SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS Magnet mit akustischen Durchbrüchen NN-x-SS-o-NN-x-SS-o-NN-x-SS-o-NN-x-SS-o-NN-x-SS-o-NN Membran mit Alu-Mäander verringert zwar diese Inhomogenitäten, der nun große Abstand zwischen den einzelnen Bahnen führt aber in der Praxis schon im Präsensbereich zu starken Partialschwingungen. Weitere Möglichkeiten Gegentaktaufbau: NNN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NNN Magnet mit akustischen Durchbrüchen ##-x--o--x--o--x--o--x--o--x--o--x--o--x--o--x--o-## Membran mit Alu-Mäander NNN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NN SS NNN Magnet mit akustischen Durchbrüchen JET-Gegentaktaufbau: ### S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S ### Magnet mit akustischen Durchbrüchen ### +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-### ### o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o ### gefaltete Membran mit Alu-Mäander ###-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ ### ### N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N ### Magnet mit akustischen Durchbrüchen

Elektrostatischer Lautsprecher

Elektrostatischer Lautsprecher nutzen nicht die Lorentzkraft (F = I \cdot l \times B), sondern die elektrostatische Anziehungskraft (F = Q \cdot U/d, Q = C \cdot U \Longrightarrow F = C \cdot U^2/d). Wie man sieht, ist die Kraft nicht linear zum Strom, sondern quadratisch zur Spannung. Zum Erreichen einer brauchbaren Wiedergabe ist damit eine Vorspannung notwendig. Die Vorspannung führt dazu, dass Eintaktlösungen durch Ruhekräfte instabil sind. Daher sind nur Gegentaktlösungen machbar. Weiterhin weisen Kraft und Feld in die gleiche Richtung, was zu eine einzigen Lösung führt: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = feste, mechanisch stabile Gitterelektrode 1 --------------------------------------------- dünne, schwingfähige, elektrisch leitfähige Membran = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = feste, mechanisch stabile Gitterelektrode 2 Die Ansteuerung erfolgt folgendermaßen. Die beiden Gitterelektroden werden vorgespannt (z.B. mit +2000 V und -2000 V, meist durch zusätzliches Netzteil erzeugt). Die Tonfrequenzwechselspannung wird an die Membran angelegt und darf sich zwischen diesen beiden Vorspannungen bewegen. Diese hohe Spannung wird entweder durch (hier sehr sinnvolle) Röhrenverstärker erzeugt oder mittels Transformator (z.B. von 20 V auf 1000 V) hochtransformiert. Die Membran muss weiterhin mechanisch vorgespannt werden, da die Ruhelage labil ist (bei Magnetostaten ist sie indifferent). Kraft auf die Elektrode in der Ruhelage:
- Vorspannung: U
- NF-Spannung: U_b
- Abstand zwischen einer GE und Membran: d
- Spannung zwischen GE1 und Membran: U_1 = U + U_b
- Spannung zwischen GE2 und Membran: U_2 = U - U_b
- Kapazität zwischen einer GE und Membran: C = \epsilon \cdot A / d
- Kraft zwischen GE1 und Membran: F_1 = \epsilon \cdot A/d^2 \cdot (U + U_b)^2
- Kraft zwischen GE2 und Membran: F_2 = \epsilon \cdot A/d^2 \cdot (U - U_b)^2
- Resultierende Kraft auf die Membran: F = 4 \cdot U \cdot U_b \cdot \epsilon \cdot A/d^2 Die entstehenden Kräfte sind verglichen mit elektrodynamischen Lautsprechern (in denen bei Vollaussteuerung Werte bis 50 N üblich sind), sehr klein. Werte von U = 2000 V, U_b=1000 V, d = 4 mm, A = 1,5 m \times 0,4 m = 0,6 m² führen zu gerademal F = 2,6 N. Wirkungsgrad und Endschalldruck von Elektrostaten (ohne Horn) sind sehr begrenzt. Trotz Gegentaktansteuerung erzeugen größere Schwingamplituden hörbaren Klirr (die beiden Abstände zu den festen Elektroden sind nicht mehr identisch, damit heben sich quadratische Anteile nicht mehr wie in der Rechnung oben heraus). Das Designproblem ist, dass für größere Schwingamplituden notwendige größere Abstände der Elektroden den Wirkungsgrad drastisch reduzieren. Im Bassbereich kommt als weiteres Problem hinzu, dass es durch Druckausgleich zwischen Vorder- und Rückseite zum Akustischen Kurzschluss kommt, was die Basswiedergabe weiter verringert und die Schwingsamplitude weiter erhöht. Daher ist dieses Wandlerprinzip für die Basswiedergabe nicht sonderlich geeignet und wird häufig im Bass von zusätzlichen elektodynamischen Wandlern unterstützt.

Ferroelektrischer Lautsprecher

Ferroelektrische Lautsprecher verwenden den inversen piezoelektrischen Effekt eines Ferroelektrikums, um eine elektrische Spannung in mechanische Schwingungen zu verwandeln. Wenn man eine tonfrequente Spannung an ein geeignetes Ferroelektrikum anlegt, beginnt dieser im Rhythmus der Spannung sich zu verformen. Diese Verformungen des Ferroelektrikum werden auf eine Membran übertragen. Diese schwingende Membran strahlt (direkt oder über ein Horn) Schallwellen ab. Ferroelektrische Lautsprecher stellen für den Verstärker eine weitgehend kapazitive Last dar (deswegen wird die Belastbarkeit nicht, wie bei anderen Lautsprechern in Watt, sondern in Volt angegeben), die durch Masse und Elastizität des Ferroelektrikums sich ergebende Resonanzfrequenz begrenzt das Arbeitsbereich nach unten. Daher haben Ferroelektrische Lautsprecher eine eingebaute 6 dB-Weiche und man kann sie ohne Frequenzweiche betreiben. Zusätzliche Weichen erhöhen aber auch hier die Belastbarkeit. Typische Ferroelektrische Lautsprecher haben Resonanzfrequenzen im Bereich zwischen 1 und 5 kHz, für Ultraschallanwendungen auch bis 50 kHz. Auf Grund dieser Tatsache kann diese Lautsprecherart nur für den Mittel-Hochtonbereich (1 kHz\ldots100 kHz) verwendet werden. Aufgrund zahlreicher Resonanzmoden von ferroelektrischen Lautsprechern und ihrer geringen inneren Dämpfung, sind diese für Hifi-Anwendungen ungeeignet. Betreffs maximaler Belastbarkeit gibt es 3 begrenzende Faktoren:
- Spannungsfestigkeit: Oberhalb einer maximal zulässigen Spannung kommt es zu Durchschlägen des Ferroelektrikums, welches zur Zerstörung führt. Bei gängigen piezoelektrischen Lautsprechern beträgt die Belastbarkeit typischerweise um die 25 Volt.
- Temperaturerhöhung: Durch dielektrische Verluste kommt es zu Temperaturerhöhungen. Ab einer gewissen Grenzbelastung kommt es zu Strukturschäden im Lautsprecher. Weiterhin sind die Parameter eines Ferroelektrischen Lautsprecher stark temperaturabhängig, je nach Material verliert das Ferroelektrikum zwischen 80°C und 150°C vollständige seine ferroelektrischen Eigenschaften.
- mechanische Zerstörung: Eine Polarität der Ansteuerspannung führt zu Zugkräften im Ferroelektrikum, welches diesen bei Überschreitung einger Grenzkraft zerstört. Die entgegengesetzte Polarität, die Druckkräfte verursacht, ist meist um einen Faktor von 10 belastbarer. Dies kann man durch Gegentaktansteuerung ausnutzen. Diese Ansteuerung ist aber aufwendig und ist daher kaum in Lautsprechern zu finden, da Ferroelektrische Lautsprecher eher eine Domaine von Billiglautsprechern ist.

Magnetischer Lautsprecher

Magnetische Lautsprecher wurden häufig in der Anfangszeit der Audiotechnik verwendet, sind aber heutzutage fast ausgestorben. Ein überlagertes Gleichfeld und das NF-Wechselfeld treibt eine ferromagnetische Membran an. ####