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Innenwinkel

Innenwinkel

Als Innenwinkel einer (geschlossenen) geometrischen Figur bezeichnet man einen durch zwei Seiten eingeschlossenen Winkel, der innerhalb der Figur liegt. So ein Winkel liegt immer an einer Ecke. Als Innenwinkelsumme einer Figur bezeichnet man die Summe ihrer Innenwinkel. Entsprechend ist die Außenwinkelsumme definiert als Summe der Außenwinkel. Ein n-Eck (z.B. Dreieck, Viereck) hat n Ecken und damit n Innenwinkel. Deren Summe ist (n-2) \cdot 180^\circ.
- Innenwinkelsumme des Dreiecks: 180°

- Innenwinkelsumme des Vierecks: 360° Siehe auch: Winkelsumme, Mathematik für die Schule, Portal:Mathematik Kategorie:Ebene Geometrie

Geometrie

Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt; sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Nichtfachtleute nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

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Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
- Geordnete Geometrie
- Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von sogennanten Fernpunkten macht eine affine Geoemetrie zu einer projektiven.
- Euklidische Geometrie:
- Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den nichteuklidischen Geometrien.
- Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien. In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
- Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
- Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
- Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
- Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
- Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr unterschiedliche Dinge. Während etwa Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie sehr große und weitreichende Gebiete aktueller mathematischer Forschung darstellen, ist die Fraktale Geometrie zwar in der Öffentlichkeit ungleich populärer, jedoch um einige Größenordnungen insignifikanter.
- Differentialgeometrie
- Vektor- und Tensorrechnung
- Analytische Geometrie
- Quantengeometrie
- Stochastische Geometrie und Integralgeometrie
- Fraktale Geometrie
- Algebraische Geometrie
- Geometrische Topologie
- Algorithmische Geometrie (computational geometry)
- Kombinatorische Geometrie
- Planimetrie, Trigonometrie, ...
- Mathematische Kartografie

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie. Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:
- [http://www.geogebra.at GeoGebra] (kostenlos)
- GEONExT (kostenlos)
- [http://www.dynageo.de EUKLID DynaGeo] (shareware)
- Cabri-Geometre
- Geometer's Sketchpad
- [http://cinderella.de/de/download Cinderella] (kostenlos)
- [http://www.z-u-l.de Z.u.L.] (kostenlos) uvm. Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619) Dynamische Geometrie In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen. Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.
Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie, und wurde vor allem im angelsächsichen Raum noch lange als Schulbuch verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist). Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam. In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.
- Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
- im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
- Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur


- Euklid: Die Elemente.
- H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
- Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch


- Geometrie/Geometrische Figuren
- Mathematik für die Schule

Weblinks


- http://www.rittershofer.de/mathe/geo/index.htm
- http://education.ti.com/deutschland/produkte/prosupport/faqs/cabri_000.html
- http://www.geogebra.at/
- http://cinderella.de
- http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/ ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Winkel (Geometrie)

Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Definition

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen) Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen. Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden. Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.
- Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
- Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt. In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung anders herum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden. Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder \angle ABC

Arten von Winkeln

; spitzer Winkel : kleiner ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0g, 100g) = (0, ½·π); ; rechter Winkel : gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100g = ½·π; ; stumpfer Winkel : größer ¼ und kleiner ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100g, 200g) = (½·π, π); ; gestreckter Winkel : gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200g = π; ; überstumpfer Winkel : größer ½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200g, 400g) = (π, 2·π); ; Vollwinkel : 360° = 400g = 2·π.

Rechter Winkel

Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel. Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Vollwinkel

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die physikalische Größe ebener Winkel. Die Einheit Vollwinkel besitzt kein Einheitenzeichen. Dezimale Vielfache oder Teile dürfen nicht mit SI-Vorsätzen gebildet werden. : Beziehungen: 1 Vollwinkel = 360° = 2 \pi rad Historisches Es ist versucht worden, durch Normung für den Vollwinkel das Einheitenzeichen "pla" (von lateinisch: plenus angulus) einzuführen, doch ist dieser Versuch im Entwurfsstadium stecken geblieben. Früher war auch der "rechte Winkel" bzw. "Rechter" eine gesetzliche Einheit.

Gebräuchliche Winkelmaße


- Grad (Einheit, dargestellt als °, entweder dezimal unterteilt oder in Minuten und Sekunden)
  - Rechter Winkel = 90°
  - Vollwinkel = 360°
- Radiant (Einheitenzeichen: rad), siehe auch unter : Arcus und Bogenmaß
  - Rechter Winkel = \frac rad
  - Vollwinkel = 2π rad
- Gon (veraltete Bezeichnung Neugrad) (Einheit dargestellt als gon)
  - Rechter Winkel = 100 gon
  - Vollwinkel = 400 gon
- Vollwinkel (besitzt kein Einheitenzeichen)
  - 90° = 0,25 Vollwinkel Winkelgrad = 180:π·Bogenmaß z. B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad

Spezielle Winkelpaare

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechen Winkel (90°) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel. : Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel. : Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei weitere parallele Geraden h und h', so bezeichnet man die Winkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf der selben Seite von g aber auf unterschiedlichen Seiten von h und h' liegen, als Nachbar- oder E-Winkel. : Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°. Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf der selben Seite von g aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von h und h' liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden h und h' parallel. Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die folgenden Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Stufenwinkel oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei parallele Geraden h und h', so heißen die Winkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf der selben Seite von g und beide entweder ober- oder unterhalb von h bzw. h' liegenheißen , Stufen- oder F-Winkel. : Stufenwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von g und jeweils ober- oder unterhalb von h und h' gleich groß sind, so sind die Geraden h und h' parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei parallele Geraden h und h', so heißen die Winkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h bzw. h' liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. : Wechselwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h bzw. h' gleich groß sind, so sind die Geraden h und h' parallel.

Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln

Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen. Die Aussage, jeder Winkel kann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal gedrittelt werden, gilt im Allgemeinen nicht!

Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels)

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke. Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muss diese ein Stück verlängert werden. Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke. Nun bestimme man die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinde diese Schnittpunkte durch eine Gerade. Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Zirkel als eben, steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis. Nun verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet die gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt. Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Die Schnittpunkte liegen genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke. Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto genauer wird es.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)

Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Radius größer ist als die Hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert.

Konstruktion eines 60 Grad Winkels

Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und tragen ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein. Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad. Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon))

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck. Dies liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betragen. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Konstruktion eines 72 oder 54 Grad Winkels

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren. Hierfür sticht man in den Punkt beim zu addierenden Winkel ein und schlägt einen Bogen, so dass er die Schenkel des Winkels schneidet. Der Radius des Bogens muss im Zirkel behalten werden; man schlägt nun einen Kreis (oder je nach Winkelgröße auch nur einen abzuschätzenden Bogen) um den Punkt bei dem Winkel, zu dem man addieren möchte, so dass dieser einen Schenkel ebendieses Winkels schneidet. Daraufhin sticht man in den Schnittpunkt des Bogens mit einem der Schenkel des zu addierenden Winkels ein und spannt diesen bis zum anderen Schenkel. Dieser Abstand wird wieder beibehalten, man schlägt nun einen Kreis um den Schnittpunkt des Bogens mit dem Schenkel des Winkels, zu dem man addieren möchte. Der Schnittpunkt der beiden Bögen wird mit dem Punkt beim Winkel, zu dem man addieren möchte, verbunden, und erhält so die Summe der beiden Ausgangswinkel. Ebenso verhält es sich mit der Subtraktion eines Winkels, nur dass hierbei der Winkel eben nicht an den Winkel zusätzlich angetragen wird, sondern so, dass der neue Schenkel zwischen die Ausgangsschenkel des Winkels, von dem man subtrahieren möchte, liegt.

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende. Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Folgerung

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen.

Winkelmessung


- mit dem Geodreieck
- mit dem Theodolit
- mit dem Goniometer
- mit dem Sextanten
- historisch
  - mit dem Jakobsstab

Weblinks


- [http://www.vermessungsseiten.de/kiel/vetheode.htm Erklärung der Winkelmessung mit dem Theodolit] Kategorie: Geometrie ja:角度 ko:각도 simple:Angle

Summe

In der Mathematik ist eine Summe das Ergebnis einer Addition.

Wortgeschichte und -bedeutungen

Das Wort Summe wurde im Mittelhochdeutschen vom lateinischen summa entlehnt. Summa war bis in das 19te Jahrhundert neben Summe gebräuchlich. Das lateinische summa geht auf den Superlativ summus (zu superus, superior), der das oberste, höchste, größte bezeichnet, zurück. Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gesamtheit oder einen Inbegriff. In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag unhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.

Summe als Ergebnis einer Addition

In dem mathematischen Term :2+3 heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden. Der gesamte Term wird als die "Summe von 2 und 3" bezeichnet. Man kann eine Summe von mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel :4+7+1. Aufgrund der Assoziativität der Addition muss dabei nicht angegeben werden, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt, dass (4+7)+1 = 4+(7+1) ist und die Summe kann auch ohne Klammern geschrieben werden. Aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition ist auch die Reihenfolge der Summanden egal, d.h. es ist zum Beispiel :4+7+1 = 7+4+1. Wird n -mal die gleiche Zahl a addiert, dann kann die Summe auch als Produkt n \cdot a geschrieben werden.

Summe einer Folge, Reihe

Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als :1+2+...+100 angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die Auslassungspunkte ersetzt wurden. So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie 2+3=5 zu Buchstabenrechnungen wie 2+x=y übergeht, so kann man z.B. die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel n , die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre n =100 . Da beliebig große n zugelassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle n Summanden durch n verschiedene Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstaben z.B. a gewählt und um einen Index ergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte 1, 2, ... an. Die Summanden heißen dementsprechend a_1,\ a_2, \dots . Die Summanden bilden somit eine Zahlenfolge (siehe Folge (Mathematik)). Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen n die Summe der ersten n Glieder der Zahlenfolge als : s_n = a_1 +a_2 + \dots + a_n schreiben. Wenn man für n verschiedene Werte 1, 2, ... einsetzt, bilden die s_1 ,\ s_2 , \dots ihrerseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet. Beispiel: Für die Folge der Quadratzahlen ist a_1 =1 , a_2 =4 , a_3=9 . Ganz allgemein gilt :a_n=n^2. Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit s_1=1 , s_2=5 , s_3=14 . Eine Summationsformel besagt nun für beliebige n : :s_n=\frac. Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel Der kleine Gauß :1+2+...+n = \frac finden sich in der Formelsammlung Algebra. Der Beweis solcher Formeln erfolgt über vollständige Induktion.

Notation mit dem Summenzeichen

Summen über endliche oder unendliche Reihen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden: :\sum_^a_k = \sum_a_k = a_m + a_ + \dots + a_n Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Sigma, gefolgt von einem Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier k ) bezeichnet wird. Dieser Index heißt Lauf- oder Zählvariable. Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des \Sigma angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten: Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier: m und n ), oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable gestellt (hier: m). Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Für m=n besteht die Summe aus einem einzigen Summanden a_n . Es hat sich als nützlich erwiesen, für n=m-1 folgende Konvention einzuführen: :\sum_^a_k := 0\ (leere Summe). In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die Einsteinsche Summationskonvention, der zufolge das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Für Doppelsummen gilt in der mathematischen Physik die Konvention, dass ein Apostroph am Summenzeichen :\sum_ \dots = \sum_ \dots\, besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen. Zur Bezeichnung von Zählvariablen werden meistens die Buchstaben i , j und k verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden. Beim Programmieren entspricht das Summenzeichen einer For - next Schleife mit Aufsummierung des Ergebnisses aus jedem Schleifendurchgang. Siehe auch:
- http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren

Unendliche Summen

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel :\sum_^ a_j = \sum _ a_j = a_1 + a_2 + a_3 + \dots mit unendlich vielen Summanden ungleich Null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden, um den entsprechenden Grenzwert zu finden. Eine solche Summe wird unendliche Reihe genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol für Unendlichkeit ( \infty ). Siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik). Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die ∞ als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe :\sum_ \left[\frac\right] = \left[\frac\right] + \left[\frac\right] + \left[\frac\right] + \dots für Primzahlen p und der Ganzzahl-Funktion [x] , zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich Null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor p in der Primfaktorzerlegung von n! vorkommt.)

Verwandte Begriffe

Die disjunkte Vereinigung von Mengen hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit der Addition von Zahlen; sind beispielsweise X und Y endliche Mengen, so ist die Anzahl der Elemente von X\sqcup Y gleich der Summe der Elementanzahlen von X und Y. Das kartesische Produkt ist distributiv über dieser Summenbildung: : X\times(Y\sqcup Z)\cong(X\times Y)\sqcup(X\times Z). Die aus kategorieller Sicht analoge Konstruktion für Vektorräume oder abelsche Gruppen wird als direkte Summe bezeichnet; allgemein spricht man von einem Koprodukt. Kategorie:Arithmetik Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Menge

Vieleck

Ein Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos = Winkel) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Einfach gesagt erhält man ein Polygon, wenn man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken so miteinander verbindet, dass eine geschlossene Figur entsteht. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind Beispiele für besondere Polygone.

Mathematische Definition

Ein Polygon ist eine geschlossene Figur, die durch ein Tupel P := \left( P_1, P_2, ... , P_n \right) , P_i \in \mathbb^m, 1 \le i \le n von n Punkten (die Eckpunkte oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird. Die Strecken \overline \left(i=1, ..., n-1 \right) und \overline bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken \overline zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen. Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:
- Das Polygon hat mindestens 3 paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
- Die Kanten schneiden (berühren) sich nur in den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.
- Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch P_n,P_1,P_2 und P_,P_n,P_1 gelten als angrenzende Eckpunkte. In einigen Fällen wird die Kante \overline nicht mitgezählt und das Polygon als offen bezeichnet, falls P_n \ne P_1 ist.

Mathematische Beziehungen

In einem nicht überschlagenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel : \alpha_1+...+\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ Und bei einem gleichwinkligen Polygon der Winkel : \alpha = \frac \cdot 180^\circ

Typische Polygone


- Dreieck
- Viereck
  - Drachenviereck
  - Parallelogramm
  - Quadrat
  - Raute
  - Rechteck
  - Trapez
- Fünfeck (=Pentagon)
- Sechseck (=Hexagon)
- Siebeneck (=Heptagon)
- Achteck (=Oktogon)

Spezielle Typen

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein; hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck bezeichnet. Ein reguläres n-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius r_u und einen Inkreis mit Radius r_i. Die Länge jeder Seite wird mit a bezeichnet, die Seitenanzahl mit n. Daraus ergeben sich folgende Formeln:
- Flächeninhalt:
A \ = \ \frac\, a\, r_i \ = \ \frac\, r_u^2 \, \sin \ = \ \frac n a^2 \cot \frac=\frac
- Inkreisradius:
r_i = \frac \cot \frac=\frac
- Umkreisradius:
r_u = \frac=\frac Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein. Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone. Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

Berühmte Vielecke


- das Pentagon
- das Pentagon in Kronach,
  - die Veste Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss
- Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form auch als Hexagon bezeichnet.
- das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Dom

Polygone in der Computergraphik

Aachener Dom In der Computergrafik sind Polygone meist Vielecke, aus denen durch komplexe Grafikroutinen eine 3D-Landschaft zusammengesetzt wird. Flächen, umgrenzt von geschlossenen Linien, werden dabei verwendet, um räumliche Elemente zu beschreiben. Die Repräsentation erfolgt in Vektorform. Um Cyberwelten besonders echt wirken zu lassen, ist also eine gehörige Portion mathematisches Know-how vonnöten. Mit Hilfe spezieller 3D-Grafiksoftware (http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:3D-Grafiksoftware Kategorie:3D-Grafiksoftware) kann ein Polygon aus beliebigen einzelnen Eckpunkten und Kanten/Segmenten zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu einem einfachen Polygon geschlossen wird, verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw. das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet. Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten, Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skalieren oder Scheren des Polygons in einem Kontextmenü. Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden. Je zahlreicher und kleiner die Polygone sind, desto realistischer kann die künstliche Bildschirmwelt wirken. Die technische Grafik-Leistung eines Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Anzahl der gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe. Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und plastischer wirkt die Grafik im Spiel. Voraussetzung für eine "wirklichkeitsnahe" Wiedergabe am Bildschirm ist ein schneller Prozessor, denn je schneller der Prozessor, desto mehr Polygone können in den vier Dimensionen der Raumzeit berechnet werden. Die PlayStation 2 kann theoretisch 70 Millionen Polygone pro Sekunde verarbeiten.

Siehe auch


- Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel
- Satz von Pick (für Polygone auf dem Gitter)
- Mathematik für die Schule, Portal:Mathematik

Weblinks


- [http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/geo/polygon.htm Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone]
- [http://www.konradlischka.de/nhproben285.htm In siebzig Millionen Polygonen um die Welt]
- [http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/VisPolygon/ Sichtbarkeit in einfachen Polygonen]
- [http://www.gris.uni-tuebingen.de/projects/grdev/doc/html/german/1.3.3.html Rasterung von Polygonen] Kategorie:3D-Computergrafik Kategorie:Geometrische Figur ja:多角形

Viereck

Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten). Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat. Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder "echten") Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als 2 Eckpunkte auf einer Geraden liegen. Für jedes Viereck gilt:
- Die Winkelsumme (genauer: die Innenwinkelsumme) in einem (nicht überschlagenen) Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π. : (Bei überschlagenen Vierecken gibt es kein "innen" und kein "außen", und daher auch keine Innenwinkel!)
- Es ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen) Ebene (Raumfüller).

Spezielle Vierecke


- Trapez: Viereck mit (mindestens) zwei parallelen Seiten.
- Parallelogramm: Viereck, bei dem je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind.
- Rechteck: Viereck mit vier gleich großen (Innen-)Winkeln (90°, siehe rechter Winkel)
- Deltoid (Drachenviereck): Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Diagonale durch die andere halbiert wird. <

> Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die jeweils gleich lang sind.
- Rhombus (Raute): Viereck mit vier gleich langen Seiten
- Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten <

> Rhombus mit vier gleichen Winkeln
- Sehnenviereck: Viereck mit einem Umkreis (Die vier Seiten sind Sehnen des Umkreises.)
- Tangentenviereck: Viereck mit einem Inkreis (Die vier Seiten sind Tangenten an den Inkreis.) Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten u.a. folgende Mengenrelationen:
(Dabei steht jeder Begriff X synonym für Menge aller X) Die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, zum Beispiel:
Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ Konvexes_Viereck
Quadrat = Rechteck ∩ Raute
Quadrat = Drachenviereck ∩ gleichschenkliges Trapez
Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
Gleichschenkliges_Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

Klassifikation

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:
- nach Eigenschaften des Inneren:
  - konvex
  - nicht konvex
- nach Symmetrie-Eigenschaften:
  - eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid
  - beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Rhombus
  - eine Seitensymmetrale: gleichschenkeliges Trapez
  - zwei Seitensymmetralen: Rechteck
  - vier Symmetrieachsen: Quadrat
  - zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
  - vierzählige Symmetrie: Quadrat
- nach der Länge der Seiten:
  - zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
  - zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid
  - gleichseitiges Viereck: Rhombus
  - die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck
- nach der Größe der Winkel:
  - zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
  - zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkeliges Trapez
  - gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
  - die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck
- nach der Lage der Seiten:
  - ein Paar paralleler Seiten: Trapez
  - zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
  - die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck
- nach der Lage Ecken:
  - die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Formeln

:Innenwinkelsumme ist 360°: \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ :\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2 :A=\frac e f \sin \theta :A=\frac\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta :A=\frac\sqrt Ein Viereck kann unter anderem durch geeignete Kombinationen folgender Angaben (fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke) beschrieben werden :
- Winkel an den Ecken (Innenwinkel)
- Länge der Seiten
- Länge der Diagonalen
- Umfang
- Fläche

Siehe auch


- Ungleichungen in Vierecken
- Mathematik für die Schule Kategorie:Vierecksgeometrie ja:四角形 ko:사각형 th:รูปสี่เหลี่ยม

Winkelsumme

Mit der Winkelsumme ist meistens die Summe der Innenwinkel eines Polygons (Vielecks) gemeint. Liegt das Polygon in einer euklidischen Ebene, ist die Winkelsumme durch die Formel (n-2)
- 180° gegeben, wobei n für die Zahl der Ecken des Polygons steht. Daraus ergibt sich für die Winkelsumme für
- das Dreieck (n=3) 180°,
- das Viereck (n=4) 360°,
- das Fünfeck (n=5) 540° usw. In einer nicht-euklidischen Ebene mit positiver Krümmung, beispielsweise auf der Oberfläche einer Kugel, beträgt die Winkelsumme stets mehr als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom Äquator, vom Nullmeridian und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°. In einer nicht-euklidischen Ebene mit negativer Krümmung, zum Beispiel auf einer Sattelfläche, beträgt die Winkelsumme stets weniger als die angegebenen Werte. Kategorie:Geometrie

Portal:Mathematik

---- Mathematik ja:Wikipedia:ウィキポータル/数学

Ambrogio Stefani da Fossano

Ambrogio Borgognone (c. 1470s - 1523/1524) was an Italian painter of the Milanese school, whose real name was Ambrogio Stefani da Fossano. He was approximately contemporary with Leonardo da Vinci, but represented, at least during a great part of his career, the tendencies of Lombard art anterior to the arrival of that master, the tendencies which he had adopted and perfected from the hands of his predecessors Foppa and Zenale. We are not precisely informed of the dates either of the death or the birth of Borgognone, who was born at Fossano in Piedmont, and whose appellation was due to his artistic affiliation to the Burgundian school. His fame is principally associated with that of one great building, the Certosa, or church and convent of the Carthusians at Pavia, for which he worked much and in many different ways. It is certain, indeed, that there is no truth in the tradition which represents him as having designed, in 1473, the celebrated facade of the Certosa itself. His residence there appears to have been of eight years duration, from 1486, when he furnished the designs of the figures of the virgin, saints and apostles for the choir-stalls, executed in tarsia or inlaid wood work by Bartolommeo Pola, till 1494, when he returned to Milan. Only one known picture, an altar-piece at the church San Eustorgio, can with probability be assigned to a period of his career earlier than 1486. For two years after his return to Milan he worked at the church of San Satiro in that city. From 1497 he was engaged for some time in decorating with paintings the church of the Incoronata in the neighboring town at Lodi. Our notices of him thenceforth are few and far between. In 1508 he painted for a church in Bergamo; in 1512 his signature appears in a public document of Milan; in 1524 - and this is our last authentic record - he painted a series of frescoes illustrating the life of St Sisinius in the portico of San Simpliciano at Milan. Without having produced any works of signal power or beauty, Borgognone is a painter of marked individuality. He holds an interesting place in the most interesting period of Italian art. The National Gallery, London, has two fair examples of his work: the separate fragments of a silk banner painted for the Certosa, and containing the heads of two kneeling groups severally of men and women; and a large altar-piece of the marriage of St Catherine, painted for the chapel of Rebecchino near Pavia. But to judge of his real powers and peculiar ideals, his system of faint and clear coloring, whether in fresco, tempera or oil; his somewhat slender and pallid types, not without something that reminds us of northern art in their Teutonic sentimentality as well as their Teutonic fidelity of portraiture; the conflict of his instinctive love of placidity and calm with a somewhat forced and borrowed energy in figures where energy is demanded, his conservatism in the matter of storied and minutely diversified backgrounds to judge of these qualities of the master as they are, it is necessary to study first the great series of his frescoes and altar-pieces at the Certosa, and next those remains of later frescoes and altarpieces at Milan and Lodi, in which we find the influence of Leonardo and of the new time mingling with, but not expelling, his first predilections.

References


- Bergognone, Ambrogio

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