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Integralrechnung

Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert oder im unbestimmten Fall eine Funktion zu. Dieser Vorgang heißt Integration. Funktion Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die inverse Aufgabe (das heißt Gegenteil) zur Differentiation. Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benutzt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.

Integral für kompakte Intervalle

„Kompakt“ bedeutet hier, dass nur Funktionen auf Intervallen der Form

[a,b]

betrachtet werden. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

Motivation

Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereichen der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei Funktionen

f,g

auf einem endlichen Intervall

[a,b]

, deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild). : 595px Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die von
- dem Graphen einer Funktion
- zwei vertikalen Geraden

x=a

und

x=b

- sowie der

x

-Achse begrenzt wird. Aufgrund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung: :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,

gelesen als Integral von $a$ bis $b$ über (oder: von) $f(x)\,\mathrm dx$ .

Integrale negativer Funktionen

Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der

y

-Achse um ein Stück

c

, so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu: : 385px Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite

b-a

und der Höhe

c

, in Formeln :

\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+(b-a)\cdot c.

Betrachtet man eine nach unten beschränkte Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein

c

finden, so dass die Werte von

f(x)+c

alle positiv sind: : 237px Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man :

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx-(b-a)\cdot c,

das heißt, das Integral von

f

ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der

x

-Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem „orientierten“ Flächeninhalt. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen

x

-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals

Hauptartikel: Prinzip von Cavalieri

Axiomatischer Zugang

Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Lauf der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest. Es seien

a reelle Zahl en, und es sei \mathcal F ein Vektorraum von Funktionen [a,b]\to\mathbb R, der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in \mathcal F werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung
: \mathcal F\to\mathbb R, geschrieben
: f\mapsto\int_a^b f(x)\,\mathrm dx, mit den folgenden Eigenschaften:

- Linearität: Für Funktionen

f,g\in\mathcal F

und

\lambda\in\mathbb R

gilt
-

\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx

\int_a^b(\lambda f(x))\,\mathrm dx = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

- Monotonie: Ist

f(x)\geq0

für alle

x\in[a,b]

, so ist
- :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\geq0.

- Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalles: Ist

I\subseteq[a,b]

ein Intervall, und ist ::

\chi_I(x)=\begin1&\mathrm\ x\in I\\0&\mathrm\ x\notin I,\end

: so ist ::

\int_a^b \chi_I(x)\,\mathrm dx

: gleich der Länge des Intervalles

I

Bezeichnungen

a

und

b

heißen Integrationsgrenzen.
-

f(x)

heißt Integrand.
- Die symbolische Variable

x

heißt Integrationsvariable. Ist

x

die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über $x$ . Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt ::

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

: kann man genauso gut ::

\int_a^b f(t)\,\mathrm dt

oder

\int_a^b f(\xi)\,\mathrm d\xi

: schreiben. Um Missverständnisse zu vermeiden sollte darauf geachtet werden, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist. In dem obigen Beispiel wäre es schlecht, die Buchstaben

a

oder

b

zu verwenden, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren.
- Der Bestandteil „

\mathrm dx

“ wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.

Herkunft der Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation

f(x)\;\mathrmx

deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe

f(x)

und der infinitesimalen Breite

\mathrmx

zusammensetzt.

Alternative Schreibweise in der Physik

In der Physik hat sich eine leicht andere Schreibweise für Integrale durchgesetzt. Dort wird statt

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

meistens

\int_a^b \mathrm dx f(x)

geschrieben. Dies hat zwar den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion

f(x)

nicht mehr durch

\int_a^b

und

\mathrm dx

eingeklammert wird, jedoch auch einige Vorteile:
- Der Ausdruck

\int_a^b \mathrm dx

hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.
- Oft tauchen in der Physik Intregrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist oder es wird über mehrere Unbekannte

x_1,x_2,\ldots,x_n

integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise

\int_a^b \mathrm dx f(x)

schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher. Beispiel: :

\int_^\mathrm dt \int_^\mathrm dx_1\int_^\mathrm dx_2\int_^ \mathrm dx_3 \,f(x_1,x_2,x_3,t)

statt :

\int_^\int_^\int_^\int_^ f(x_1,x_2,x_3,t)\,\mathrm dx_3\mathrm dx_2\mathrm dx_1\mathrm dt

Einfache Folgerungen aus den Axiomen

- Ist

f(x)\leq g(x)

für alle

a\leq x\leq b

, so ist ::

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx.

- Bezeichnet man mit

\|f\|_\infty

das Supremum von

f

auf

[a,b]

, so gilt ::

\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\right|\leq (b-a)\cdot\|f\|_\infty.

- Ist

|f(x)-g(x)|<\varepsilon

für alle

a\leq x\leq b

mit einer festen Zahl

\varepsilon>0

, so gilt ::

\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx-\int_a^b g(x)\,\mathrm dx \right|\leq(b-a)\cdot\varepsilon.

: Daraus folgt: Ist

f_n

eine Folge von integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen eine (integrierbare) Funktion

f

konvergiert, so ist ::

\lim_\int_a^b f_n(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

: Mit anderen Worten: Das Integral ist ein stetiges Funktional für die Supremumsnorm.
- Integrale von Treppenfunktionen: Ist

f

eine Treppenfunktion, das heißt, ist

[a,b]

eine disjunkte Vereinigung von Intervallen

I_k

der Längen

L_k

, so dass

f

auf

I_k

konstant mit Wert

c_k

ist, so gilt ::

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\sum_^n L_k\cdot c_k,

: also anschaulich gleich der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke unter dem Funktionsgraphen von

f

Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

In gewisser Hinsicht ist Integration die Umkehrung der Differentiation. Um dies zu präzisieren, wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist

f

eine Funktion, so heißt eine Funktion

F

eine Stammfunktion von

f

, wenn die Ableitung von

F

gleich

f

ist: :

F' = f.\,

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist

f

eine stetige Funktion auf einem Intervall

[a,b]

, und ist

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt :

\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b) - F(a).

Die rechte Seite wird oft abkürzend als :

[F(x)]_a^b

oder

[F(x)]_^

oder

F(x)\Big|_a^b

o.ä. geschrieben. Dieser Zusammenhang ist die hauptsächliche Methode zur expliziten Auswertung von Integralen. Die Schwierigkeit liegt meist im Auffinden einer Stammfunktion. Die bloße Existenz ist theoretisch gesichert: Die Integralfunktion :

x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt

ist eine Stammfunktion von

f

Eigenschaften von Stammfunktionen

- Man kann zu einer Stammfunktion eine Konstante addieren und erhält wieder eine Stammfunktion: Ist

F

eine Stammfunktion zu einer Funktion

f

, und ist

c\in\mathbb R

eine Konstante, so ist

(F+c)'=F'+0=F'=f.

- Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich um eine Konstante: Sind

F

und

G

Stammfunktionen derselben Funktion

f

, so ist

(F-G)'=F'-G'=f-f=0

, also ist die Differenz

F-G

eine Konstante.

Unbestimmtes Integral

Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von

f(x)

bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist

F(x)

eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise :

\int f(x)\,\mathrmx = F(x) + C,

um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von

f

die Form

F(x)+C

mit einer Konstante

C

hat. Man beachte, dass die Schreibweise :

\int f(x)\,\mathrm dx

jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit :

\int cf(x)\,\mathrm dx=c\int f(x)\,\mathrm dx

gemeint, dass :

\int_a^b cf(x)\,\mathrm dx=c\int_a^b f(x)\,\mathrm dx

für beliebige

a,b

gilt.

Bestimmung von Stammfunktionen

siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen Im Gegensatz zur Ableitungsfunktion ist die explizite Berechnung einer Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich. Oft schlägt man Integrale deshalb in Tabellenwerken nach. Zur händischen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.

Partielle Integration

Hauptartikel: Partielle Integration Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet: :

\int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrmx 
= [f(x)\cdot g(x)]_^ - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrmx

Diese Regel ist häufig dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von

f(x)

eine einfachere Funktion entsteht. Beispiel: :

\int_a^b x \cdot \ln \left(x \right) \,\mathrmx

Setzt man :

f(x) = \ln \left(x\right) \,

und

g'(x)=x \,

, so ist :

f '(x) =  \,

und

g(x)= \,

und man erhält :

Integration durch Substitution

Hauptartikel: Integration durch Substitution Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung. Sei

\phi(x) = f( g(x) ) \cdot g'(x)

und

F

eine Stammfunktion von

f

, so ist

\Phi(x) = F( g(x) ) \,

eine Stammfunktion von

\phi \,

, denn es gilt:

\int_a^b f( g(x) ) \cdot g'(x)\,\mathrmx = \int_^ f( z ) \cdot g'(x) \frac = \int_^ f(z)\,\mathrmz=F(z)=\Phi(x)

Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Numerische Berechnung von Integralen

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel (deren Spezialfall als Keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür.

Anwendungen

Mittelwerte stetiger Funktionen

Um den Mittelwert

m

einer gegebenen stetigen Funktion

f(x)

auf einem Intervall

[a,b]

zu berechnen, benutzt man die Formel :

m=\frac\int_a^b f(x) \mathrmx.

Man sieht leicht, dass diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion auch tatsächlich angenommen wird.

Beispiel für den Integralbegriff in der Physik

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung

g

des freien Falls in Mitteleuropa ca. 9,81

m/s^2

. Die Geschwindigkeit

v

eines Körpers zur Zeit

t

lässt sich daher durch die Formel :

v = g \cdot t\,

ausdrücken. Nun soll aber die Wegstrecke

l

berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit

T

zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit

v

des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne

\Delta t

die Geschwindigkeit

v

, die sich aus der Zeit

g \cdot t

ergibt, konstant bleibt. Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums

\Delta t

beträgt daher :

\Delta l = g \cdot t\,\cdot\Delta t

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als :

l = \sum \left( g \cdot t \,\cdot\Delta t \right)

ausdrücken. Wenn man nun die Zeitdifferenz

\Delta t

gegen Null streben lässt, erhält man :

l = \lim_ \left( \sum \left( g \cdot t \,\cdot \Delta t\right)\right) = \int_0^T \left( g \cdot t\;\mathrmt\,\right) =\, \frac g 2 \cdot T^2

Umgekehrt lässt sich aus der Bewegungsgleichung :

l = \frac g 2 \cdot t^2\,

durch Differenzieren die Gleichung :

v = g \cdot t\,

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Differenzieren :

a = g\,

für die Beschleunigung herleiten.

Konstruktionen

Cauchy-Integral

Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion

f

, die gleichmäßiger Limes einer Folge

t_n

von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\lim_\int_a^b t_n(x)\,\mathrm dx,

wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird. Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen

f

, für die sich

[a,b]

in endlich viele Intervalle

I_k

unterteilen lässt, so dass

f

auf

I_k

die Einschränkung einer stetigen oder monotonen Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall

\bar I_k

ist. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

Riemann-Integral

Hauptartikel: Riemann-Integral Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme. Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme läßt sich durch das Produkt aus der – ebenfalls von Riemann eingeführten – totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist. Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden. Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation

Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet. Das Riemann-Integral kann nicht bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, zum Beispiel Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie

\sin\left(\frac1\right)

oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1] angewendet werden. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

Lebesgue-Integral

Hauptartikel: Lebesgue-Integral

Integrale für nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale

Das Integral war oben stets über kompakten Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Definitionslücken verläuft je nach gewählter Konstruktion etwas unterschiedlich. In der Lebesgue-Theorie ergibt sich die Verallgemeinerung vollkommen natürlich, in der Riemann-Theorie muss man mit Grenzwerten von Integralen über kompakte Bereiche arbeiten; man spricht in diesem Zusammenhang von uneigentlichen Integralen. Beispiele sind das Integral :

\int_^\infty e^\,\mathrmx

, wo beide Grenzen nicht in die Stammfunktion eingesetzt werden können oder :

\int_0^1 \frac\,\mathrmx

, wo der Integrand für 0 nicht definiert ist. Die uneigentlichen Integrale werden dann wie folgt definiert, wobei wir annehmen, dass der Integrand an der Stelle b nicht ausgewertet werden kann: :

A = \int_a^b f(x)\,\mathrmx = \lim_ \int_a^ f(x)\,\mathrmx

, falls der Grenzwert existiert. Es wird also wie im eigentlichen Fall die Stammfunktion berechnet, das Integral ausgewertet und dann der Grenzwert für

b'\to b

berechnet. Sind beide Grenzen uneigentlich wie bei der Gaußsche Glockenkurve, wird das Integral in zwei Teile aufgeteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt.

Mehrdimensionale Integration

Integration von vektorwertigen Funktionen

Die Integration von Funktionen

[a,b]\to\mathbb R^m

erfolgt komponentenweise.

Wegintegrale

Hauptartikel: siehe Kurvenintegral

Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve

Ist

\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n

ein Weg, also eine stetige Abbildung, und

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m

eine Funktion, so ist das Wegintegral von

f

entlang

\gamma

definiert als :

\int_\gamma f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(\gamma(t))\,\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt.

Ist f = 1, so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve

\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2

(physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit: :

L(\gamma)=\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt=\int_a^b\sqrt\,\mathrm dt.

Reelle Wegintegrale: Mit Skalarprodukt

In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form betrachtet:

f

ist eine Funktion

\mathbb R^n\to\mathbb R^n

, und es wird das Integral :

\int_\gamma f(x)\cdot\mathrm dx = \int_a^b\langle f(\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\,\mathrm dt

betrachtet.

Komplexe Wegintegrale

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

Integration über mehrdimensionale Bereiche

Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion

f

operiert, nicht die Zahlengerade

\mathbb

, sondern der

n

-dimensionale Euklidische Raum

\mathbb^n

ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen

V

darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind: :

\int_V \mathrm^n r\,f \left(\vec \right) 
= \iiint \mathrmx\, \mathrmy\, \mathrmz\, f\left(x,y,z\right)

:::

= \int \mathrmx \left(\int \mathrmy \left(\int \mathrmz\, f\left(x,y,z\right)\right)\right)

. Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in

x

y

und

z

muss man aus der Begrenzung des Volumens

V

ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik betrachtet man auch mehrdimensionale Integrale die über den gesamten, unbeschränkten

n

-dimensionalen Raum laufen. Die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens

V

überall 0 ist. Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im mehrdimensionalen ist der Transformationssatz. Sei

\Omega \subset \mathbb^d

offen und

\Phi: \Omega \to \mathbb^d

eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante

\det(D\Phi(x)) \neq 0

für alle

x \in \Omega

gilt. Dann ist :

\int_ f(y)\, \mathrmy = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrmx

Beispiel: Berechnung von Rauminhalten

Als Beispiel berechnen wir das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion

f(x,y) = x^2+y

über dem Einheitsquadrat

[0,1]\times[0,1]

. Wir benutzen dazu zwei Integrale, eines für die x- und eines für die y-Koordinate: :

\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\;\mathrmx\;\mathrmy = \int_0^1\int_0^1 (x^2+y)\;\mathrmx\;\mathrmy =\int_0^1 \left[ \fracx^3 + yx \right]_^1\;\mathrmy

= \int_0^1 \left( \frac+y \right) \mathrmy = \left[ \fracy+\fracy^2 \right]_^1 = \frac.

Oberflächenintegrale

Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration nicht über ein Volumen, sondern über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben. Diese werden durch so genannte Karten beschrieben.

Integration über ein Kartengebiet

Sei M eine d-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des

\mathbb^n

und U ein Kartengebiet in M, also eine offene Teilmenge in M, für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des

\mathbb^d

abbildet. Ferner sei

\gamma :\Omega \to U

eine Parametrisierung von U, also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die

\Omega

homöomorph auf

\gamma (\Omega)

abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet U folgerndermaßen definiert:

\int_U f ds := \int_ f(\gamma(u)) \cdot \sqrt \mathrm du

wobei

g^(u) = \det ((\gamma '(u))^T \cdot \gamma '(u))

die so genannte Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben geschrieben Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im wesentlichen aus dem Transformationssatz.

Integration über eine Untermannigfaltigkeit

Ist eine Zerlegung der 1 gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.

Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes

Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über die Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen: Zum einen der gaußsche Integralsatz, nach dem Volumenintegrale über eine Divergenz dasselbe sind wie Oberflächenintegrale über das Vektorfeld: Sei

V \subset \mathbb^n

kompakt mit abschnittsweise glattem Rand

\partial V

. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld

\vec v

. Sei ferner

\vec F

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von

V

. Dann gilt

\int_V \operatorname \vec F \; \mathrm dV = \oint_ \vec F \cdot \mathrm d \vec S

mit der Abkürzung

\mathrm d \vec S = \vec v \mathrm dS

. Zum zweiten der Satz von Stokes, der eine grundlegende Aussage der Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums schreiben lässt als: Ist M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes

\mathbb^3

, so gilt, wobei

\operatorname\;\mathbf

die Rotation eines Vektorfeldes F beschreibt:

\int_ (\operatorname\;\mathbf) \cdot \mathrm\mathbf
= \oint_ \mathbf \cdot \mathrm\mathbf

Verallgemeinerungen

Maßtheorie

Hauptartikel: Maßtheorie

Integration auf Mannigfaltigkeiten

Siehe: Differentialform#Integral_von_Differentialformen

Beispiel: Berechnung von Oberflächen

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie.

Geschichte

Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert v. Christus entwickelte Eudoxos von Knidos nach einer Idee von Antiphon die Exhaustionsmethode, die darin bestand, einen Körper durch regelmäßige Polygone auszufüllen und konnte so Fläche und Volumen einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes verbesserte diesen Ansatz und so gelang ihm die exakte Integration einer Parabel, alles ohne Benutzung eines Grenzwertbegriffs. Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 16. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ebenen Schnitte miteinander übereinstimmen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli zurück. Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte Augustin Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.

Siehe auch

- Algebraische Integration
- Mathematik für die Schule
- Stieltjesintegral
- Stochastische Integration
- Binomisches Integral
- d3x-Schreibweise

Literatur

- Schulbücher:
- Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
- Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Aufl. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3-528-67224-2
- Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
- Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. 3. Auflage. Springer Verlag,1995
- Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. 1. Auflage. Binomi Verlag, 1993,
- Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
- Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000
- Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1

Weblinks

- http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html – Visualisierungen zum Thema Integral
- [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Trig/ B. Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe] – Erstdefinition des Riemann-Integrals, Seite 12 ff.
- [http://integrals.wolfram.com/ Der Integrator – Englische Seite zur Berechnung von Integralen]
- [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/integral/integral.htm Einführung in die Integralrechnung für Schüler] Kategorie:Maßtheorie ja:積分

Differentialrechnung

Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differenzialrechnung ist die Berechnung von lokalen Veränderungen von Funktionen. Hierzu dient die Ableitung, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt. Die Differentialrechnung ist zur Bildung von mathematischen Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie deren nachfolgender Analyse in vielen Fällen ein unverzichtbares Hilfsmittel. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate, in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z.B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.). Dieser Artikel erklärt außerdem die Begriffe Differenzenquotient, Differenzialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung und totale Ableitung.

Einleitung

Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt – wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat. In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion

f

für jedes

x

an, wie sich

f(x)

verändert, wenn sich

x

um einen infinitesimal kleinen Betrag

\mathrmx

ändert. In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Geschichte

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der nahe liegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als Null), aber beliebig kleinen Intervall. Die technische Schwierigkeit bestand darin, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. So löste Fermat um 1640 das Tangentenproblem für Polynome. Hierbei schrieb er bereits eine Ableitung hin, jedoch ohne Betrachtung von Grenzwerten und ohne niederzuschreiben, was die mathematischen Rechtfertigungen für sein Vorgehen waren. Zur selben Zeit wählte Descartes einen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei Punkten, es sei denn der Kreis berührt die Kurve. Dann war es ihm für spezielle Kurven möglich, die Steigung der Tangente zu bestimmen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonard Euler, der den Funktionsbegriff prägte. Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen Zahlen, die aber größer als Null sind. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von Bischof Berkley in der polemischen Schrift The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. Anfang des 19. Jahrhunderts ging Augustin Louis Cauchy davon ab und definierte die Ableitung in der heute üblichen, logisch strengen Weise als Grenzwert von Sekantensteigungen ("Differenzenquotienten"). Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts gegeben.

Definition

Hinführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion

x \to f(x)

in einem Punkt

x_0

. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an

f

über einem endlichen Intervall

[x_0, x_0 + \Delta x]

: :Sekantensteigung =

\frac

. Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation

y

für

f(x)

kann man die Sekantensteigung abgekürzt als

\frac

schreiben. : Ableitung einer Funktion Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zum Beispiel als Durchschnittsgeschwindigkeit: :"Auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9:43 Uhr (

x_0

) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand

f(x_0)

= 198 km). Um 11:04 Uhr (

x_0 +\Delta x

) war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand

f(x_0+\Delta x)

=341 km). In einer Stunde und 21 Minuten (

\Delta x

) habe ich somit 143 km (

\Delta y

) zurückgelegt. Meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug somit 143 km/1,35 h = 105,9 km/h (

\Delta y / \Delta x

)." Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl

\Delta x

als auch

\Delta y

gegen Null. Der Quotient

\Delta y / \Delta x

bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation

Eine Funktion, die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet (

f:U \to \mathbb

), heißt differenzierbar an der Stelle

x_0 \in U

, falls der Grenzwert :

\lim_ \frac   = \lim_ \frac

(mit

h = x - x_0

) existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von

f

nach

x

an der Stelle

x_0

und wird als :

f\, '(x_0)

oder

\frac (x_0)

oder

\frac

notiert. Die Terme

\mathrmx

und

\mathrmy

heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vgl. Einleitung). In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale. Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt. Newton benutzte einen Punkt über der abzuleitenden Größe, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist. Die Notation mit Apostroph (

f \, '

) geht auf Lagrange zurück, der sie 1797 in seinem Buch Théorie des fonctions analytiques einführte. Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat:
Eine Funktion heißt in einem Punkt

x_0

differenzierbar, falls eine Konstante

L

existiert, so dass :

\lim_ \frac=0

. Der Zuwachs der Funktion

f

, wenn man sich von

x_0

nur wenig entfernt, lässt sich also durch

Lh

sehr gut approximieren, man nennt die Ableitung

L

deswegen auch die Linearisierung von

f

. Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen. Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig. Die Umkehrung gilt jedoch überraschender Weise nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernhard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist; Karl Weierstraß veröffentlichte 1861 als erster eine derartige Funktion. Ein bekanntes Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Ableitung als eine Funktion

Die Ableitung der Funktion

f

an der Stelle

x_0

, bezeichnet mit

f\,'(x_0)

, beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle

x_0

. Nun wird

x_0

im Allgemeinen nicht die einzige Stelle sein, an der

f

differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl

x

aus dem Definitionsbereich von

f

die Ableitung an dieser Stelle (also

f\,'(x)

) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion

f\,'

, deren Definitionsbereich eine Teilmenge des Definitionsbereiches von

f

ist.

f\,'

heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von

f

. Beispielsweise hat die Quadratfunktion

f: \, x \mapsto x^2

an einer beliebigen Stelle

x_0

die Ableitung

f\,'(x_0) = 2 x_0

. Daher ist die zugehörige Ableitungsfunktion

f\,'

gegeben durch

f\,': \, x \mapsto 2x

. Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion

e^x

und ihre Vielfachen. Ist die Ableitung stetig, dann heißt

f

stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung

C(\Omega)

des Raums der auf der Menge

\Omega

stetigen Funktionen wird der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit

C^1(\Omega)

abgekürzt.

Komplexe Differenzierbarkeit

Bisher wurde nur von reellen Funktionen gesprochen. Für Differenzierbarkeit von Funktionen mit komplexen Argumenten wird einfach die Definition mit der Linearisierung verwandt. Überraschenderweise ist die Bedingung hier viel einschränkender als im reellen: So ist beispielsweise die Betragsfunktion nirgendwo komplex differenzierbar. Gleichzeitig ist jede in einer Umgebung einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch beliebig oft differenzierbar, es existieren also alle höheren Ableitungen.

Berechnung von Ableitungen

Wenn man die Ableitung einer Funktion berechnet, sagt man, man differenziert diese Funktion; diese Tätigkeit heißt Differentiation. Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B.

x^n

\sin(x)

,...) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann

\Delta x

gegen Null gehen. Allerdings vollzieht der typische Mathematikanwender diese Berechnung nur ein paar wenige Male in seinem Leben nach. Später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig und schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk (z. B. im Bronstein-Semendjajew oder unserer Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) nach.

Beispiel für die elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion

Gesucht sei die Ableitung von

f(x) = x^3

. Dann berechnet man den Differenzenquotienten als :

\frac 
       = \frac
       = \frac

= \frac

= \frac

= 3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2

und erhält im Limes

\Delta x \to 0

die Ableitung :

f'(x_0)
       = \lim_(3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2)
       = 3 x_0^2 .

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

f (x) = |x|

ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar: Für

x > 0

gilt

f(x)=x

und damit :

\lim_ \frac   
  = \lim_\frac  = 1

. Für

x < 0

gilt dagegen

f(x)=-x

und folglich :

\lim_ \frac   
  = \lim_\frac  = -1

. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert.

f

ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar (an allen anderen Stellen aber sehr wohl!). : Bild:Abs_x.PNG Betrachtet man den Graphen von

f

, so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph keine "Knicke" enthält. Ein typisches Beispiel für nirgends differenzierbare stetige Funktionen, deren Existenz zunächst schwer vorstellbar erscheint, sind fast alle Pfade der Brownschen Bewegung. Diese wird zum Beispiel zur Modellierung der Charts von Aktienkursen benutzt.

Beispiel für eine nicht überall stetig differenzierbare Funktion

Aktienkursen Beachte: Selbst wenn

f

überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion :

f(x) =
  \begin
    x^2\cos \left( \frac \right) & x\ne 0\\
    0 & x=0
  \end

in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung :

f'(x) =
  \begin
    2x\cos \left(\frac \right) + \sin \left(\frac \right) & x\ne 0\\
    0 & x=0
  \end

ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Ableitungen zusammengesetzter Funktionen (z. B.

\sin(2x)

oder

x^2 \cdot \exp(-x^2)

) führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln (siehe unten) auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück. Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien

f

g

und

h

(im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen,

n

und

a

reelle Zahlen, dann gilt:

Der Fundamentalsatz der Analysis

Die wesentliche Leistung von Leibniz war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt. Er besagt: Ist

I\subset\mathbb R

ein Intervall,

f:I\to\mathbb R

eine stetige Funktion und

a\in I

ein beliebiger Punkt, so ist die Funktion :

F:I\to\mathbb R,\; x\mapsto \int_a^x f(t)\,dt

stetig differenzierbar, und ihre Ableitung ist

F\,'=f

. Hiermit ist also eine Anleitung zum Integrieren gegeben: Wir suchen eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist. Dann gilt: :

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ein weiterer zentraler Satz der Differentialrechnung ist der Mittelwertsatz, der von Cauchy bewiesen wurde. Es sei

f: [a,b] \to \mathbb

eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall

[a,b]

(mit

a < b

) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion

f

im offenen Intervall

(a,b)

differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein

x_0 \in (a,b)

, sodass

f'(x_0) = \frac

gilt.

Mehrfache Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion

f

wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von

f

als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein. Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts

\mathbf(t)

nach der Zeit

t

die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Wenn Politiker sich erfreut über den "Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl" äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die unangenehme Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren. Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden: :

f

= f^ = \frac , : $f = f^ = \frac$ , ... Naheliegenderweise wird die Multi-Apostroph-Schreibweise bei niedrigen, die eine oder andere Zahlen-Schreibweise bei hohen Ableitungen bevorzugt. Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen $f\,^$ legt man außerdem fest, dass $f\,^=f'$ und $f\,^=f$ .
Taylor-Reihen und Glattheit
Ist $f$ eine im Intervall $I$ ( $n+1$ )-mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle $a$ und $x$ aus $I$ die Darstellung der so genannten Taylor-Formel: : $f(x) = T_ (x) + R_ (x)$ mit dem so genannten $n$ -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle $a$ : $T_(x)
=
\sum_^n \left( (x-a)^k \right)
=
f(a) + \frac(x-a) + \frac(x-a)^2 + \ldots
+ \frac(x-a)^n$ und dem so genannten ( $n+1$ )-ten Restglied : $R_(x)
=
\frac\int_a^x (x-t)^n f^(t) dt$ . Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylor-Formel erweitert werden auf die Taylor-Reihe von $f$ mit Entwicklungspunkt $a$ : : $f(a)
+ f'(a) (x-a)
+ \frac (x-a)^2
+ \ldots
+ \frac (x-a)^n
+ \ldots
= \sum_^\infty \frac (x-a)^n$ . Es stellt sich allerdings heraus, dass die Existenz aller Ableitungen nicht ergibt, dass $f$ sich durch die Taylor-Reihe darstellen lässt. Anders ausgedrückt: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt. Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion so oft differenzierbar ist, wie nötig um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.
Anwendung: Berechnung von Minima und Maxima
Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich im Spezialfall monotoner Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. In diesem Abschnitt nehmen wir das Polynom : $= \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x$ als Beispiel. Die Abbildung zeigt den Verlauf von $f(x)$ , $f'(x)$ und $f$ (x) . Bild:Einekurvendiskussionmod.png

Waagerechte Tangenten

Besitzt eine Funktion

f(x):I \to \mathbb

in einem inneren Punkt

c

des zusammenhängenden Intervalls

I

ihren größten oder kleinsten Wert, also für alle

x

dieses Intervalls gilt

f(c)>f(x)

oder

f(c) und existiert darüber hinaus die Ableitung im Punkt c, so kann die Ableitung dort nur gleich Null sein f'(c)=0 .

Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass die Funktion eine parallel zur x -Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt. Folglich ist die Steigung Null an der Stelle x=c .

Lediglich die notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal- oder Minimalwertes einer Funktion in einem Intervall ist durch den Satz von Fermat gegeben. Deswegen kann es sich um einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt handeln.

Wesentlich ist die Bedingung, der Differenzierbarkeit der Funktion im Punkt x=c für den Satz von Fermat. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert.

Im Beispiel ist
: = f'(x) wird 0 bei x=1 und x=3 .

Die zweite Ableitung f

(x) beschreibt die Steigung von $f'(x)$ , also die Änderung der Steigung von $f(x)$ . Ist $f$ (x)>0 , so ändert sich

f'(x)

von negativen zu positiven Werten, also liegt ein lokales Minimum von

f(x)

vor. Im Falle

f

(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet ein lokales Maximum von $f(x)$ . Im Beispiel ist $f$ (1) = -2 und

f

(3)=2 . Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie Wendepunkte, Sattelpunkte, Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen wird im Artikel Kurvendiskussion beschrieben.
Ein Beispiel für angewandte Differentialrechnung
Kurvendiskussion In der Mikroökonomie werden beispielsweise verschiedene Arten von Produktionsfunktionen analysiert, um daraus Erkenntnisse für makroökonomische Zusammenhänge zu gewinnen. Hier ist vor allem das typische Verhalten einer Produktionsfunktion von Interesse: Wie reagiert die abhängige Variable Output $y$ (produzierte Menge eines Gutes), wenn der Input $x$ (Produktionsfaktor, z.B. Arbeit oder Kapital) um eine (infinitesimal) kleine Einheit erhöht wird? Ein Grundtyp einer Produktionsfunktion ist etwa die neoklassische Produktionsfunktion. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass der Output bei jedem zusätzlichen Input steigt, dass aber die Zuwächse abnehmend sind. Es sei beispielsweise für einen Betrieb die Produktionsfunktion : $y = f(x) = \sqrt\ \mathrm\ x \ge 100$ ::(gezeichnet ist $y = f(x) = 10\sqrt = \sqrt\ \mathrm\ x \ge 100$ ) maßgebend. Die erste Ableitung dieser Funktion ergibt unter Anwendung der Kettenregel : $\frac = \frac()^ \cdot 400 = \frac$ . Da der Wurzelausdruck der ersten Ableitung nur positiv werden kann, sieht man, dass der Ertrag bei jedem zusätzlichen Input steigt. Die zweite Ableitung ergibt : $\frac = 200 \left(-\frac \right) ()^ \cdot 400 = -\frac$ . Sie wird für alle Inputs negativ, also fallen die Zuwächse. Man könnte also sagen, das bei steigendem Input der Output unterproportional steigt.
Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen
Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also mit einer reellen oder komplexen Zahl als Argument) zu Grunde. Funktionen, die Vektoren auf Vektoren oder Vektoren auf Zahlen abbilden, können ebenfalls eine Ableitung haben. Allerdings ist eine Tangente an die Funktion in diesen Fällen nicht mehr eindeutig bestimmt, da es viele verschiedene Richtungen gibt. Hier ist also eine Erweiterung des bisherigen Ableitungsbegriffs notwendig.
Partielle Ableitungen
Wir betrachten zunächst eine Funktion, die von $\mathbb^n\to\mathbb$ geht. Ein Beispiel ist die Temperaturfunktion: Wir messen in Abhängigkeit vom Ort die Temperatur in unserem Zimmer, um zu beurteilen, wie effektiv die Heizung ist. Bewegen wir das Thermometer in eine bestimmte Richtung, bemerken wir eine Veränderung der Temperatur. Diese ist die so genannte Richtungsableitung. Die Richtungsableitungen in spezielle Richtungen, nämlich die der Koordinatenachsen, nennt man auch die partiellen Ableitungen. Insgesamt lassen sich für eine Funktion in $n$ Variablen insgesamt $n$ partielle Ableitungen errechnen: : $k = \frac$ : $= \lim_
\frac;\quad
i \in [1; n]$ Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Gradient oder Nablavektor anschreiben. Partielle Ableitungen können wieder differenzierbar sein und lassen sich dann in der so genannten Hesse-Matrix anordnen. Analog zum eindimensionalen Fall sind die Kandidaten für Extremstellen da, wo die Ableitung Null ist, also der Gradient verschwindet. Ebenfalls analog benutzt man die zweite Ableitung, also die Hesse-Matrix, zur Bestimmung des exakt vorliegenden Falles. Im Gegensatz zum eindimensionalen ist allerdings die Formenvielfalt in diesem Falle größer. Mittels einer Hauptachsentransformation der durch eine mehrdimensionale Taylor-Entwicklung im betrachteten Punkt gegebenen quadratischen Form lassen sich die verschiedenen Fälle klassifizieren.
Implizite Differentiation
Ist eine Funktion $x \mapsto y(x)$ durch eine implizite Gleichung $F\left(x,y\left(x\right)\right) = 0$ gegeben, so folgt aus der verallgemeinerten Kettenregel, die für Funktionen mehrerer Variablen gilt: $F_x + F_yy' = 0\mathsf$ . Für die Ableitung der Funktion $y$ ergibt sich daher: : $y' = -\frac$ mit $F_x = \frac , F_y = \frac; F_y \neq 0$ .
Totale Differenzierbarkeit
Eine Funktion $f:U \subset \mathbb^n \to \mathbb^m$ , wobei $U$ eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt $x_0 \in U$ total differenzierbar (manchmal auch nur differenzierbar), falls eine lineare Abbildung $L: \, \mathbb^n \to \mathbb^m$ existiert, sodass : $\lim_ \frac=0$ gilt. Für den eindimensionalen Fall stimmt diese Definition mit der oben angegebenen überein. Die lineare Abbildung $L$ ist bei Existenz eindeutig bestimmt, hängt also insbesondere nicht von der verwendeten Norm ab. Die Tangente wird also durch die lokale Linearisierung der Funktion abstrahiert. Die Matrixdarstellung der ersten Ableitung von $f$ nennt man Jacobi-Matrix. Es handelt sich um eine $n \times m$ -Matrix, im Fall $m=1$ erhalten wir den oben beschriebenen Gradienten. Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang: Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein. Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt $x_0$ nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit. Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von $x_0$ stetig, dann ist die Funktion in $x_0$ auch total differenzierbar.
Wichtige Sätze

- Satz von Schwarz: Die Differentiationsreihenfolge ist bei der Berechnung von partiellen Ableitungen höherer Ordnung unerheblich, wenn alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung (einschließlich) stetig sind.
- Satz von der impliziten Funktion: Funktionsgleichungen sind lösbar, falls die Jacobi-Matrix bezüglich bestimmter Variablen invertierbar ist.
Verallgemeinerungen

- In vielen Anwendungen ist es wünschenswert, Ableitungen auch für stetige oder sogar unstetige Funktionen bilden zu können. So kann beispielsweise eine sich am Strand brechende Welle durch eine partielle Differentialgleichung modelliert werden, die Funktion der Höhe der Welle ist aber noch nicht einmal stetig. Zu diesem Zweck verallgemeinerte man Mitte des 20. Jahrhunderts den Ableitungsbegriff auf den Raum der Distributionen und definierte dort eine schwache Ableitung. Eng verbunden damit ist der Begriff des Sobolew-Raums.
- In der Differentialgeometrie werden gekrümmte Flächen untersucht. Hierzu wird der Begriff der Differentialform benötigt.
- Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen $f: U\subset X \to Y$ , $U \subset X$ offen mit $X, Y$ Banachräume, übertragen. $f$ heißt in $x_0 \in U$ differenzierbar, wenn ein stetiger linearer Operator $L \in \mathcal L(X,Y)$ existiert, so dass :: $\lim_ \frac = 0$ .
Differentialgleichungen
Die wichtigste Anwendung der Differentialrechnung neben dem Bestimmen von Maxima und Minima ist in der mathematischen Modellierung physikalischer Vorgänge. Wachstum, Bewegung oder Kräfte haben alle mit Ableitungen zu tun, ihre formelhafte Beschreibung muss also Differentiale enthalten. Typischerweise führt dies auf Gleichungen, in denen Ableitungen einer unbekannten Funktion auftauchen, eben genau Differentialgleichungen. Beispielsweise verknüpft das Newtonsche Bewegungsgesetz : $\mathbf(t) = m \mathbf(t) = m \ddot \mathbf = m\frac$ die Beschleunigung $\mathbf$ eines Körpers mit seiner Masse $m$ und der auf ihn einwirkenden Kraft $\mathbf$ . Das Grundproblem der Mechanik lautet deshalb, aus einer gegebenen Beschleunigung auf die Ortsfunktion eines Körpers zurückzuschließen. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die im allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft – je nach Anwendungsfall – von der Zeit $t$ oder/und vom Ort $\mathbf$ abhängen kann. Da viele Anwendungen mehrdimensional sind, sind dort partielle Ableitungen sehr wichtig, mit denen sich partielle Differentialgleichungen formulieren lassen. Mathematisch kompakt werden diese mittels Differentialoperatoren beschrieben und analysiert.
Literatur

- Schulbücher:
- Differentialrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
- Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2004. ISBN 3-528-67224-2
- Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 6. Aufl. 2005. ISBN 3-528-47231-6
- Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995
- Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. Binomi Verlag, 1. Auflage, 1993,
- Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (z.B. Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
- Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Wiley-VCH, Band 1, 3. Auflage, 2000
- Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 1
- Klaus Weltner: "Mathematik für Physiker" Band 1
Weblinks

- [http://www.walter-fendt.de/m14d/sektang.htm Interaktive Veranschaulichung der Sekanten- und Tangentensteigung]
- [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ableitung/index.htm Anschauliche Erklärung von Ableitungen]
- [http://www.mmnetz.de/huseyin/ableitungsregeln.pdf Übersicht über die wichtigsten Ableitungsregeln mit Herleitungen]
- [http://www.mathematik-wissen.de/differentialrechnung.htm Erklärung der Differentialrechnung für Schüler] Kategorie:Analysis ja:微分 ko:미분 simple:Derivative th:อนุพันธ์

Analysis

Die Analysis (von griechisch ανάλυσις = Auflösung, vom altgriechischen Verb ἀναλύειν, analyein = auflösen; im heutigen Griechisch in der volkstümlicheren Form ανάλυση) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen. Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt. Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Differentialrechnung

Bei einer Geraden :

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte

(x_0, y_0)

und

(x_1, y_1)

auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch :

m = \frac

. Bei Funktionen wie z.B.

f(x) = x^2

kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da die Kurve eben keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt

(x_0, f(x_0))

eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle

x_0

berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle

x_1

ganz nahe bei

x_0

und legt eine Gerade durch die Punkte

(x_0, f(x_0))

und

(x_1, f(x_1))

, so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s.o.) :

m = \frac

. Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle

x_1

immer weiter an

x_0

annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben :

f'(x_0) = \lim_\frac

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in

x_0

. Der Ausdruck

\lim_

bedeutet, dass x immer weiter an

x_0

angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und

x_0

unendlich klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen

x_0

“. Die Bezeichnung

\lim

steht für Limes. :

f^\prime (x_0)

ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle

x_0

, wenn der Grenzwert

f^\prime (x_0)

existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über. :

\int_^ f(x)\, dx :=  \lim_ \frac \sum_^ f\left(a+i \frac\right)

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird. In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander. :

\left(\int f(x) dx\right)= \int\left(f(x)\right)dx = f(x)

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt nicht die grundlegenden Konzepte, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

Weitere Gebiete der Analysis

- Funktionen mit komplexen Veränderlichen (Komplexe Analysis oder auch Funktionentheorie)
- Differentialgleichungen
- Variationsprobleme
- Unendlichdimensionale Funktionenräume (Funktionalanalysis)
- Vektoranalysis
- harmonische Analysis
- Nichtstandardanalysis

Literatur

- Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
- Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
- Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
- Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Weblinks

! ar : تحليل رياضي ja:解析学

Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt). Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet. In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: :y = 2x + 3 oder y = x². Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet. Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt: :Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat: :
- f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt. :
- zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist. Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert: :Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt. Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen

f\colon A \to B

(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt

f \subseteq A \times B

,
- : "Funktion f von A nach B"
-

f\colon x \mapsto f(x)

(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt

(x,y) \in f

.
- : "x wird abgebildet auf f von x"
- : "x wird f von x zugeordnet"
- : "y ist f von x"
- : "y ist das Bild von x unter der Abbildung f". Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f:R->R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel:

f: \mathbb \to \mathbb,\;\; x \mapsto f(x)=x^2

Die Nachfolger-Funktion:

s:\mathbb \to \mathbb ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1

Wichtige Begriffe

- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) =
- Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = . Man sagt auch Faser von y.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = .
- Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
- Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

- Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
- Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
- Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.
- Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

- Beschränktheit
- Differenzierbarkeit
- Glattheit
- Integrierbarkeit
- Konvergenz
- Monotonie
- Stetigkeit
- Konvexität
- Holomorphie
- Homogenität

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion
- Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
- homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
- allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
- Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
- Potenzfunktion
- Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder

f(x) = \sum_^n a_i\cdot x^i

- Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
- Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
- Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
- Exponentialfunktion
- Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
- Logarithmus
- Kreis- und Hyperbelfunktionen
- Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
- Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
- Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
- Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
- Spezielle Funktionen
- Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
- Elliptische Funktion
- Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
- Bessel-Funktion
- Legendre-Polynome
- Kugelflächenfunktionen
- Harmonische Funktion
- Hurwitzpolynom
- sonstige Funktionen
- Logistische Funktion
- Gaußsche Glockenkurve
- Lorentzkurve
- Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind

- Betragsfunktion
- Maximumfunktion und Minimumfunktion
- Gaußsche Ganzzahlfunktion
- Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen

- Charakteristische Funktion
- Vorzeichenfunktion
- Primitiv-rekursive Funktion
- Ackermannfunktion
- Phifunktion
- Zahlentheoretische Funktion
- Deltafunktion
- Fehlerfunktion
- Lokal konstante Funktion

Siehe auch

- Funktionsschar
- Funktion höherer Ordnung
- Mathematik für die Schule
- Satz von der impliziten Funktion
- Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes Kategorie:Analysis Kategorie:Mengenlehre ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Koordinatensystem

Mit Hilfe eines Koordinatensystems lassen sich die Positionen von Punkten im Raum angeben. Die Position im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, Koordinaten genannt, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Abstände, Flächen, Körper) angeben. Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf. Der Punkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über Normalnull (genauer: Ortsabhängigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten wie (Längengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Während sich in solchen Fällen die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anbietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt. variabel Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensystemen orthogonal. Beispiele:
- geradlinige Koordinatensysteme: ::Vektorraum
- geradlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::Kartesisches Koordinatensystem
- krummlinige Koordinatensysteme: ::Elliptische Koordinaten
- krummlinige orthogonale Koordinatensysteme: ::ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten ::räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) ::Toruskoordinaten

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Null Null Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie. Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden. Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig. Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten. Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:
- Geographisches Koordinatensystem
- Soldner Koordinatensystem
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
- Baryzentrische Koordinaten
- bewegte Koordinatensysteme
- rotierende Koordinatensysteme

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen. Da eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

Weblinks

- http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/i.html - Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
- http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/lexikon/K/koordinatensystem.html - Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln) Kategorie:Geometrie ja:座標 ko:좌표계

Stammfunktion

siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten: : $F'(x) \, = \, f(x)$ Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch $G(x) = F(x)+C$ definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen. Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen: : $\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a)$ Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:
- Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
- Volumenberechnung für Rotationskörper Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen. Für jede integrierbare Funktion $f: \, [a,b] \to \mathbb$ ist eine Integralfunktion F definiert durch : $F(x) = \int_a^x f(t) \mathrmt.$ Diese Funktion ist stetig, und falls auch f stetig ist, ist F nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von f. Ist jedoch f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c,d aus [a,b] : $\int_c^d f(t) \mathrmt = F(d)-F(c),$ aber F ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von f.
Verallgemeinerung
Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch auf komplexe Funktionen übertragen. Kategorie:Analysis ja:不定積分

Algorithmus

Unter einem Algorithmus versteht man allgemein eine genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer bestimmten Art von Problemen. Im täglichen Leben lassen sich leicht Beispiele für Algorithmen finden: Zum Beispiel ist ein Kochrezept ein Algorithmus – zumindest dann, wenn alle Angaben genau genug sind und es für alle Teilaufgaben, wie Braten, Rühren, etc., ebenfalls Algorithmen gibt. Auch Reparatur- und Bedienungsanleitungen oder Hilfen zum Ausfüllen von Formularen sind in der Regel Algorithmen. Ein weiteres, etwas präziseres Beispiel sind Waschmaschinenprogramme. Algorithmen können in Programmablaufplänen nach DIN 66001 oder ISO 5807 grafisch gezeichnet werden.

Geschichte

Das Wort Algorithmus ist eine Abwandlung oder Verballhornung des Namens von Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi (
- ca. 783, † ca. 850), dem Autor des Buchs Hisab al-dschabr wa-l-muqabala (825, Regeln zur Wiederherstellung und Reduktion), durch das die Algebra im Westen verbreitet wurde. Die lateinische Fassung beginnt mit „Dixit Algorithmi...“ (Algorithmus sprach...), womit der Autor gemeint war. Das Wort Algebra stammt ebenfalls (al-Jabr – „Einrenkung“) aus dem Titel des Buches. Ursprünglich stand das Wort Algorism nur für die Regeln zur Arithmetik mit arabischen Ziffern. Heute steht es für alle geregelten Prozeduren, mit denen Prob