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Mathematische Kartografie

Mathematische Kartografie

Die mathematische Kartografie gibt die theoretischen Grundlagen für die Abbildung der Erdoberfläche auf eine Kartenebene. Sie beschäftigt sich mit den dabei auftretenden Verzerrungen und ihrer Minimierung und bietet Formeln für die verschiedenen Projektionen.
- Siehe auch Kartenprojektionen, Geometrie, Geodäsie, Kartografie Kategorie:Kartografie

Erdoberfläche

Die Erdoberfläche ist die Grenzschicht zwischen der festen Erdkruste oder den Gewässern auf der einen und der Atmosphäre auf der anderen Seite. Die Erdoberfläche gliedert sich in Festland, Inseln und Meer. Die Geodäsie beschäftigt sich mit der Beschreibung der Form der Erdoberfläche. Die Oberfläche der Erde misst 510 Millionen km². Der Anteil der Landfläche beträgt etwa 144,5 Mio. km² (28%), das Wasser bedeckt ca. 365,5 Mio. km² (72%). Das Land verteilt sich auf 5 Kontinente (mit der Antarktis 6 Kontinente) sowie Polargebiete und Meeresinseln:
- Europa (ohne Island, Nowaja Semlja und atlantische Inseln): 9.700.000 km² mit rund 31.460 km Küsten
- Asien (ohne Polarinseln): 44.142.000 km² mit 57.000 km Küsten
- Afrika (ohne Madagaskar): 29.200.000 km² mit 26.000 km Küsten
- Amerika (ohne Polargebiete): 38.334.000 km² mit 64.500 km Küsten
- Australien (mit Tasmanien): 7.700.000 km² mit 7.500 km Küsten
(Alle Angaben sind grobe Zahlen.) Die mittlere Höhe des trockenen Teils der Erdoberfläche berechnet man auf ungefähr 700 m (Europa 300 m, Asien 880 m, Amerika 610 m, Afrika 660 m, Ozeanien und Australien 300 m). Ihren höchsten Punkt erreicht die Erdoberfläche mit dem Mount Everest bei etwa 8.844 Metern, den tiefsten frei zugänglichen Punkt der Erdoberfläche bildet das Tote Meer, dessen Wasseroberfläche - und Uferbereich - sich ca. 400 Meter unter Normalnull befindet. Die Wasserfläche verteilt sich auf
- den Pazifischen Ozean mit 47%, mittlere Tiefe etwa 3.870 m
- den Atlantischen Ozean mit 24%, mittlere Tiefe etwa 3.380 m
- den Indischen Ozean mit 20%, mittlere Tiefe etwa 3.600 m
- den Arktischer Ozean 4%
- den Südlichen Ozean mit 5% Insgesamt beträgt die mittlere Tiefe der Meere etwa 3.500 m. Siehe auch: Geodäsie, Geowissenschaften, Kontinent, Naturkatastrophe Kategorie:Erde Kategorie:Geographie Kategorie:Geomorphologie

Karte (Kartographie)

Eine Karte ist eine Visualisierungsmöglichkeit räumlichen Wissens. Sie kann zur Orientierung, Planung oder Darstellung von Sachverhalten angewandt werden. Werden mehrere einzelne Karten in loser oder gebundener Form gesammelt, wird dies dann Kartenwerk oder Atlas genannt. Anhand von Kartenmaterial lassen sich Landschaftsveränderungen nachvollziehen. Sie können zusätzliche Informationen über ein Objekt vermitteln. Bei kleiner werdenden Maßstäben können Objekte generalisiert, also zusammengefasst werden. Informationen aus Kartenmaterial gelten als räumlicher Bezug. Karten können auch einen zeitlichen Bezug vermitteln. Mit ihnen kann man gleichfalls Ursachenforschung betreiben.

Bestandteile einer Karte

Eine Karte kann aus vielen verschiedenen Elementen bestehen.
- Kartenbild (auch Blattspiegel, Kartenspiegel oder Kartenfeld)
  - Karteninhalt
  - Kartennetz oder Koordinatennetz (Koordinatensystem)
    - Gradnetz (bei geografischen Koordinaten)
    - Gitternetz (bei kartesischen Koordinaten z.B. UTM oder Gauß-Krüger-Koordinatensystem)
    - Projektionsart (z.B. Flächen- o. Zylinderprojektion; Mercator, Robinson etc.)
  - Kartenrahmen oder Rahmen
    - Blattrandlinie, Kartenfeldbegrenzung, Kartenschnittlinie
    - Koordinatenangaben
    - Blatteckenwerte (Koordinaten der Blattecken)
    - Abschlussnomenklatur (Blattnummern der anschließenden Kartenblätter)
    - Abgangsschrift (Bei Straßen, die am Kartenrand enden, z.B. Musterstadt 15 km)
- Kartenrand
  - Kartenblattbezeichnung evt. in einer Kartusche
    - Kartentitel oder Blattname (z.B. Trier)
    - Kartenwerk (z.B. Topografische Karte 1:50000)
    - Blattnummer oder Nomenklatur (z.B. L 6304)
  - Legende oder Zeichenerklärung
  - Nordpfeil
  - Nebenkarte (überregionale Einordnung der Karte)
  - Maßstab
    - grafisch (Maßstabsleiste)
    - numerisch (z.B. 1:50000)
    - verbaler (z.B. 1 cm in der Karte = 500 m in der Natur)
  - Neigungsmaßstab
  - Blattübersicht (Übersicht über die Nachbarkartenblätter bei Kartenwerken)
  - Kartenautor oder Herausgeber (z.B. Landesvermessungsamt Rheinland-Pfalz)
  - ISBN (z.B. ISBN 389637180)
  - Bearbeitungsvermerk (z.B. 6. Auflage 1996)
  - Copyright

Kartenuntergliederung

Nach Maßstab

Man teilt Landkarten auch nach der Größe ihrer Darstellung (Maßstab) ein. Dabei wird eine Karte mit kleiner Maßstabszahl als großmaßstäblich bezeichnet, weil sie ein (kleines) Gebiet groß darstellt; entsprechend ist eine Karte mit großer Maßstabszahl kleinmaßstäblich, eine Karte 1:5000 hat also einen größeren Maßstab als eine Karte 1:25.000. Vom Maßstab ist auch die Genauigkeit der Karte abhängig. Zu unterscheiden sind:
- Pläne, haben einen Maßstab bis 1:5000
- Topografische Karten haben im Maßstab von 1:5000 bis 1:100.000
- Topografische Übersichtskarten haben im Maßstab zwischen 1:200.000 bis 1:1.000.000
- geografische Karten haben einen Maßstab von 1:1.000.000 bis zu noch kleinere Maßstäben Karten sind im wesentlichen maßstäbliche Darstellungen der Erdoberfläche. Im Gegensatz zu Plänen werden bei Karten jedoch auch Generalisierungsmethoden und symbolische Darstellungen eingesetzt. Das kann dazu führen, dass Karten in einzelnen Bereichen nicht exakt maßstäblich oder nicht lagerichtig sind. Beispiele:
- In einem engen Tal ist nicht genug Platz, um Fluss, Eisenbahn und Straße lagerichtig darzustellen. Daher werden Bahnlinie und Straße nicht genau ihrer tatsächlichen Lage eingezeichnet
- Eine Straße wird durch eine symbolische Doppellinie gezeichnet. Die Breite der Straße kann nicht maßstäblich aus der Karte herausgemessen werden.

Nach Inhalt

Generalisierungsmethoden] In der Kartografie untergliedert man Karten nach Thema:
- topografische Karten habe das Thema Topografie
- thematische Karten stellen andere Themen in den Mittelpunkt Eine scharfe Trennung der topografischen und von den thematischen Karten ist aber nicht möglich, da auch die Topografie des Georaums ein Thema ist.

Nach Georaum

Karten können auch nach dem auf ihnen abgebildeten Georaum geordnet werden:
- Land
  - Weltkarte
  - Landkarte
  - Stadtkarte
- Wasser
  - Seekarte
  - Flusskarte
- Himmel
  - Sternkarte

Nach Nutzergruppe


- Fachkarten
- Blindenkarte
- Schulkarte (siehe auch Stumme Karte)

Der Blattschnitt

Wenn ein größeres Gebiet kartografisch erfasst werden soll, das nicht auf einem Kartenblatt Platz findet, so wird dieses auf mehrere Blätter aufgeteilt. Dabei wird häufig ein regelmäßiges Raster verwendet, durch das diese Aufteilung vorgenommen wird. Dieses kann mit dem Gitter der Geografischen Koordinaten oder dem Koordinatnsystem der Kartenabbildung in der Ebene zusammenfallen. Dieses Raster wird als Blattschnitt bezeichnet. Siehe auch: Kartengenauigkeit,

Geschichte

Kartengenauigkeit Ab Mitte des 19. Jahrhunderts wurden topografische Karten gedruckt. Erste Aufnahmen wurden in Deutschland 1855 gemacht. Seit den 1970er Jahren hat die Speicherung von Karteninformationen auf elektronischen Datenträgern zugenommen. Siehe auch: Abschnitt Geschichte im Artikel Kartografie

Berühmte Karten


- vorchristliches Kartenwerk von Anaximander und Hekataios
- Ebstorfer Weltkarte
- Karte des Piri Reis
- Tabula Peutingeriana
- Vinland-Karte
- Dufourkarte
- Liniennetzplan der Londoner U-Bahn (Der erste Liniennetzplan mit dieser neuen Art der Darstellung.)

Kartenherstellung

Die ersten Karten wurden in Tontafel oder Tierknochen geritzt. Später konnte man sie auf Papyrus oder Pergament zeichnen, aber eine Vervielfältigung war eine mühsame Arbeit. Erst nach der Einführung der Drucktechnik im 15. Jahrhundert konnten höhere Stückzahlen gedruckt werden. Von der Karte wurde je nach Technik eine Vorlage geschaffen, die dann im Druckprozess vervielfältigt wurde. Durch verbesserte Verfahren konnten immer feinere Elemente in die Karte aufgenommen werden und auch der Mehrfarbdruck eingesetzt werden.

Holzschnitt

Der Holzschnitt, im Beginn der Kartografie noch oftmaliger Anwendung, ist aus derselben fast gänzlich verdrängt worden. Der Zeit nach reichen Holzschnitt und Kupferstich bis in das letzte Viertel des 15. Jahrhundert zurück.

Kupferstich

In ersterer Beziehung liefert der Kupferstich in Bezug auf Schärfe und Tiefe des Strichs sowie Weichheit und Feinheit der Ausführung unstreitig die schönsten Karten, durch galvanisch erzeugte Hilfsplatten unterstützt, auch in beliebiger Menge; Korrekturen sind nicht schwierig auszuführen, namentlich auf den Hochplatten, doch erfordern sie mehr Zeitaufwand und Kosten.

Stahlstich

Der Stahlstich, eingeführt ca. 1820, eignet sich für sehr große Auflagen von der Mutterplatte, wird aber, seit der Kupferstich sich die Galvanoplastik dienstbar gemacht hat, der Schwierigkeit der Plattenkorrekturen wegen kaum noch angewandt.

Lithografie

Die Lithografie datiert vom Anfang des 19. Jahrhunderts. Billiger produziert die Lithografie in Verbindung mit dem Steindruck mittels Schnellpresse, welcher die weitestgehende Ausnutzung von farbigem Druck gestattet. Im 19.Jahrhundert hat die Lithografie in Verbindung mit der Buchdruckpresse glänzende Erfolge erreicht. Indem lithografisch gravierte Karten durch Überdruck auf Zink (Chemigrafie oder Zinkografie) in Hochdruckplatten verwandelt werden, um in der Buchdruckpresse zur Benutzung zu gelangen. Auch bei dieser Art der Vervielfältigung kann farbiger Druck in ausgedehntestem Maß zur Verwendung kommen, doch ist das Verfahren nur bei sehr großen Auflagen von Vorteil, da umfassendere Korrekturen stets eine Erneuerung der Druckplatten erforderlich machen.

Weitere Reproduktionsverfahren

Kartenabdrücke jeder Art können auch durch das anastatische Verfahren reproduziert werden, doch wird man nur noch selten zu demselben greifen, seitdem man mit Hilfe der Fotografie in technischer Beziehung weit günstigere Resultate zu erlangen vermag. Denn durch Fotolithografie und Heliografie können Originalzeichnungen unmittelbar auf Stein oder Kupfer übertragen, auch je nach Wunsch verkleinert oder vergrößert werden.

Typografische Herstellung

Die typografische Herstellung (d. h. der Buchdruck mit beweglichen Lettern) von Landkarten ist öfters schon versucht (1478, 1777, 1839, 1862) und wieder verlassen worden.

Gravur

Bis in die 1990er Jahre galten die Gravierutensilien, der Leuchttisch und die Tuschefeder als Werkzeug des Kartografen. Damit konnte er die einzelnen Folien gravieren und retuschieren, die zur Herstellung der Druckplatten benötigt wurden.

Computerbasierte Herstellung

Doch die fortschreitende Entwicklung der Computertechnik ermöglichte dann den Umstieg von der analogen zur digitalen Kartenherstellung. Anfangs wurden im starken Maße Grafikprogramme (z. B. Freehand von Macromedia) eingesetzt. Im Zuge der Entwicklung kamen auch kartografische Spezialprogramme (z. B. Themak von GraS) auf den Markt. Heute werden die meisten Karten mit Hilfe von Geoinformationssystemen (z. B. ArcGIS) auf Grundlage von Geobasisdaten (beispielsweise ATKIS) und anderen Geodaten hergestellt. Die Geodäsie und die Fernerkundung liefern die Daten, die von den Kartografen dann in Karten umgesetzt werden.

Kartennutzung

Karten dienen zur Orientierung und Navigation zu Lande, im Wasser und in der Luft. Weiterhin werden sie zur Planung eingesetzt. Dabei kann man mit ihnen Entfernungen, Winkel oder Flächen messen beziehungsweise schätzen. Als Hilfsmittel können dabei dienen Kompass, Streckenteiler, Planimeter, Kurvimeter oder Lineal. Eine Karte kann je nach der zu Grunde gelegten Projekton entweder flächentreu, längentreu oder winkeltreu sein. Alle drei genannten Attribute in einer Darstellung weist nur der Globus auf. Allen Seekarten liegt eine winkeltreue Projektion zu Grunde. Diese Projektion nennt man auch Mercatorprojektion. Hier werden die beiden polnahen Regionen genauso lang wie der Äquator als Linie dargestellt. Alle Längen- und Breitengrade sind Geraden und verlaufen parallel zueinander. Auf diese Weise kann die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten als gerade Linie dargestellt werden, obwohl man auf dem Globus eine Kurve beschreibt. Diese Kartendarstellung kann deshalb nicht längentreu sein.

Sonstiges


- Es gibt einen Schmetterling mit dem Namen Landkärtchen.
- Jede Landkarte lässt sich mit 4 Farben färben, so dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Siehe auch Vier-Farben-Satz.

Siehe auch


- amtliche Karte
- Kartogramm
- kognitive Karte
- Mappa Mundi
- Portulan
- Reliefkarte
- Wikipedia:Karten

Literatur


- Gerald Sammet: Der vermessene Planet; GEO-Verlag, 350 Seiten, - Sehr schön bebildert Entwicklungsgeschichte der Karten

Weblinks


- Webkataloge und Suchmaschinen
  - [http://www.maps.ethz.ch/map_catalogue.html Katalog von Karten im Web] der ETH Zürich:
  - [http://oddens.geog.uu.nl/index.php Oddens’ Bookmarks] Umfangreiche Linksammlung zu Karten und Kartografie (engl.)
  - [http://www.landkartenindex.de/ LandkartenIndex.de] Karten Online Weltweit
  - [http://www.geometa.info geometa.info] Die Suchmaschine für Geodaten, Geodienste und Karten
- Online-Karten
  - [http://www.weltkarte.com Weltkarte.com] Online Weltkarten, Landkarten und Stadtpläne aus aller Welt.
  - [http://www.welt-atlas.de Welt-Atlas.de] Über 600 Karten aus aller Welt kostenlos online ansehen mit Informationen über die gezeigten Gebiete.
  - [http://www.planiglobe.com planiglobe] Interaktive Kartenerstellung.PostScript oder Illustrator Version downloaden, weltweite Abdeckung, gratis und lizenzkostenfrei
  - [http://www.routenplaner24.de/ Routenplaner24] Strassenkarten und Stadtpläne mehrerer europäischer Länder
  - [http://www.pdfkarte.de pdfkarte] Weltkarte und Kartenausschnitte zum Export als PDF
  - [http://www.lib.utexas.edu/maps/ Perry-Castañeda Library Map Collection] (engl.) sehr umfangreiche Online-Kartensammlung
  - [http://www.multimap.com/ Mulitmap]
  - [http://www.freeroute.de/ FreeRoute.de]
  - [http://www.mapquest.de Mapquest]
  - [http://maps.mygeo.info maps.mygeo.info] - Freie Public Domain Landkarten der Welt
  - [http://www.kartenwelten.de/index.php?id=downloadseite&no_cache=1 Karten im Vektorformat zur freien Weiterverarbeitung] (Welt, Europa, Deutschland und einige deutsche Großstädte
  - [http://www.freeworldmaps.net/ www.freeworldmaps.net] - Free World Maps
  - [http://map.search.ch/ map.search.ch] - Landkarte der Schweiz (Luftaufnahmen inkl. Strassenkarte)
  - [http://www.swissinfo-geo.org/ www.swissinfo-geo.org] - GIS der Schweiz, Ausschnitte aus Karten der Swisstopo
- GIS-Daten
  - [http://arcdata.esri.com/data_downloader/DataDownloader?part=10200 GIS Data Downloader] GIS-Daten weltweit, detaillierte Daten nicht überall verfügbar (engl.)
- Stadtpläne
  - [http://www.stadtplandienst.de Stadtplandienst.de]
  - [http://www.stadtplan.de/v_1_1/ Stadtplan.de]
  - [http://www.stadtplan.net Stadtplan.net]
  - [http://www.freemaps.de/ FreeMaps.de]
- Historische Karten
  - [http://www.dhm.uni-greifswald.de/ Digital Historical Maps (DHM)] - über 7000 historische Karten Schwedens, Dänemarks und Deutschlands
  - [http://www.ieg-maps.uni-mainz.de/ Server für digitale historische Karten (IEG-MAPS)]
  - [http://www.henry-davis.com/MAPS/ Große Sammlung historischer Karten von der Antike bis zur Neuzeit]
  - [http://historic-cities.huji.ac.il/ Sammlung historischer Stadtpläne und -ansichten der Universität Jerusalem] (engl.)
  - [http://www.davidrumsey.com/ David Rumsey Historical Map Collection] - frei zugängliche Kartensammlung von 1700-1950
  - [http://www.karten.hdbg.de/ Historische Karten] - aus den Ausstellungen des Hauses der Bayerischen Geschichte
- 3D
  - http://worldwind.arc.nasa.gov/index.html - NASA World Wind - interaktiver Globus in 3D Kategorie:Kartografie Kategorie:Dokument ja:地図

Formel

Der Begriff Formel (v. lat. formula; dim. v. forma = Form) bezeichnet #eine feste Art sprachlichen Ausdrucks (Grußformel, die Formel des Eides, eine liturgische Formel, eine magische Formel) #eine Folge von Buchstaben, Zahlen, Strichen oder Worten zur verkürzten Bezeichnung eines mathematischen, physikalischen oder chemischen Sachverhalts. Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die sie verwendende Fachgruppe vorab über die Bedeutung der einzelnen Formelelemente und über die richtige Grammatik verständigt hat. Eine Formel ist dann eine präzise Art, Informationen oder eine allgemeine Mengenbeziehung auszudrücken, zum Beispiel eine mathematische Formel, chemische Formel, logische Formel, empirische Formel (siehe auch Gleichung). Einzelbeispiele: Binomische Formel, Stirling-Formel, Rydberg-Formel #ein kurzgefasster Satz oder Ausdruck, in dem sich ein gedanklicher Zusammenhang erhellend fassen lässt (auf eine feste Formel bringen) #im Motorsport eine auf eine Formel festgelegte Rennwagenklasse (vgl. Formelsport, Formel 1, Formel GP2). #im Segelsport eine auf eine Formel festgelegte Konstruktionsklasse ja:公式

Projektion

Eine Projektion ist die Abbildung eines Urbildes auf eine geometrische Projektionsfläche bzw. auf eine ideelle Vorstellungsebene. Das Wort kommt vom lat. proiectus, dem Partizip von proicere (hinauswerfen, hinwerfen). In den einzelnen Fachgebieten bedeutet Projektion:
- In der Mathematik eine idempotente, lineare Abbildung, siehe Projektion (Mathematik)
- In der Geometrie (Projektion (Geometrie)) die Abbildung eines zwei- oder dreidimensionalen Gegenstandes auf eine zweidimensionale Fläche (projektive Geometrie)
- In der Informatik die Auswahl von Attributen aus einer Relation, siehe Projektion (Informatik)
- In der Geodäsie und Kartografie
  - allgemein die Abbildung eines Urbildes auf eine Projektionsfläche, und
  - speziell das Abbilden der Erdoberfläche auf eine Ebene - siehe Kartenprojektion und Landkarte
- In der Optik die Abbildung eines Objekts oder Bildes in eine Bildebene - siehe Projektor, Fotoapparat, Teleskop und Mikroskop
  - speziell das Sichtbarmachen eines Lichtbildes oder Kinofilmes auf einer großen Fläche (Leinwand, Bildschirm) - siehe Diaprojektion und Filmprojektion
- In der Chemie das Abbilden eines Moleküls in der Zeichenebene, z. B. durch Fischer-Projektion, Haworth-Projektion oder Newman-Projektion
- In der Astronomie das Abbilden eines hellen Himmelskörpers durch das Okular eines Fernrohrs auf Fotofilm oder (bei der Sonne) auf weißes Papier - siehe auch Astrofotografie, Okularprojektion
- In der Germanistik die Ableitung und Darstellung von Wort- und Satz-Bedeutungen im Rahmen der Transformationsgrammatik
- In der Religionsphilosophie die Ableitung der Existenz Gottes aus menschlichen Wünschen, bzw. die Übertragung anthropomorpher Elemente auf Gott
- in der Anatomie des Zentralnervensystems eine Verbindung durch Nervenfasern zu einem übergeordneten Abschnitt des Gehirns, siehe Projektionsneuron
- In der Psychoanalyse die unbewusste Verlagerung eigener Wünsche, Gefühle oder Vorstellungen auf andere Personen oder Objekte -- im Unterschied zur Übertragung - siehe Projektion (Psychologie)
- Die Erarbeitung eines Projektes, meist "Projektieren" genannt

Geometrie

Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt; sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Nichtfachtleute nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

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Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
- Geordnete Geometrie
- Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von sogennanten Fernpunkten macht eine affine Geoemetrie zu einer projektiven.
- Euklidische Geometrie:
- Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den nichteuklidischen Geometrien.
- Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien. In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
- Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
- Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
- Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
- Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
- Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr unterschiedliche Dinge. Während etwa Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie sehr große und weitreichende Gebiete aktueller mathematischer Forschung darstellen, ist die Fraktale Geometrie zwar in der Öffentlichkeit ungleich populärer, jedoch um einige Größenordnungen insignifikanter.
- Differentialgeometrie
- Vektor- und Tensorrechnung
- Analytische Geometrie
- Quantengeometrie
- Stochastische Geometrie und Integralgeometrie
- Fraktale Geometrie
- Algebraische Geometrie
- Geometrische Topologie
- Algorithmische Geometrie (computational geometry)
- Kombinatorische Geometrie
- Planimetrie, Trigonometrie, ...
- Mathematische Kartografie

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie. Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:
- [http://www.geogebra.at GeoGebra] (kostenlos)
- GEONExT (kostenlos)
- [http://www.dynageo.de EUKLID DynaGeo] (shareware)
- Cabri-Geometre
- Geometer's Sketchpad
- [http://cinderella.de/de/download Cinderella] (kostenlos)
- [http://www.z-u-l.de Z.u.L.] (kostenlos) uvm. Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619) Dynamische Geometrie In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen. Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.
Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie, und wurde vor allem im angelsächsichen Raum noch lange als Schulbuch verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist). Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam. In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.
- Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
- im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
- Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur


- Euklid: Die Elemente.
- H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
- Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch


- Geometrie/Geometrische Figuren
- Mathematik für die Schule

Weblinks


- http://www.rittershofer.de/mathe/geo/index.htm
- http://education.ti.com/deutschland/produkte/prosupport/faqs/cabri_000.html
- http://www.geogebra.at/
- http://cinderella.de
- http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/ ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Geodäsie

Geodäsie (griechisch γη = Erde, δαιζω = ich teile). Nach der klassischen Definition von F.R. Helmert ist die Geodäsie die "Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche". Dies umfasst die Bestimmung der geometrischen Figur der Erde, ihres Schwerefeldes und der Orientierung der Erde im Weltraum (Erdrotation). Die Geodäsie zerfällt in die höhere Geodäsie (Erdmessung und Landesvermessung) und die niedere Geodäsie (Katastervermessung) (s.u.). In der wissenschaftlichen Systematik stellt die Geodäsie einerseits das Bindeglied zwischen Astronomie und Geophysik dar, andrerseits sind viele ihrer Verfahren den Ingenieurwissenschaften zuzuordnen. Im englischen Sprachraum wird dem durch eine Unterscheidung zwischen Geodesy und Surveying Rechnung getragen. In der Mathematik verwendet man den Begriff "geodätisch" für lokal kürzeste Verbindungen zwischen Punkten auf gekrümmten Flächen, siehe Geodäte.

Kurze Geschichte der Geodäsie

Ihren Ursprung hat die Geodäsie in der Notwendigkeit, Land aufzuteilen, Eigentumsgrenzen zu definieren und Landesgrenzen zu dokumentieren. Die Geschichte der Geodäsie reicht bis in das alte Ägypten zurück. Bemerkenswert war die Gradmessung des Eratosthenes zwischen Alexandria und Syene (heutiges Assuan) um 240 v. Chr.. Sie ergab den Erdumfang zu 252.000 Stadien, was dem wahren Wert trotz der unsicheren Entfernung auf etwa 10 Prozent nahekam. Er schätzte den Erdumfang um 240 v. Chr. aus dem um 7,2° unterschiedlichen Sonnenstand. Wichtige Marksteine der frühen Geodäsie waren die Entwicklung von Messinstrumenten im Arabien des 11. Jahrhunderts und in Nürnberg, sowie die Erfindung der Winkelfunktionen (Indien, Peuerbach), des Messtisches und der Triangulation (Snellius um 1615). Ab etwa 1700 verbesserten sich die Landkarten durch exakte Rechenmethoden und die beginnende großräumige Erdmessung, die 1740 mit der Bestimmung der ellipsoidischen Erdradien durch die Franzosen Bouguer und Maupertuis einen ersten Höhepunkt erlebte. Um die Ergebnisse verschiedener Projekte und Landesvermessungen besser kombinieren zu können, entwickelten Roger Joseph Boscovich, Carl Friedrich Gauß et al. schrittweise die Ausgleichsrechnung, die auch präzisen Bezugssystemen und der Vermessung des Weltraums zugute kam. Für die Geodäsie des 19. und 20. Jahrhunderts waren die wichtigsten Stationen:
- die Einführung des Meters, des Greenwicher Nullmeridians und ab 1950 eines globalen Zeitsystems mit Funktechnik und Quarzuhren
- die Geoid- und Schweremessung und Querverbindungen zur Geophysik
- Erhöhung der Messgenauigkeit auf etwa das Hundertfache (dm => mm pro km), wozu Weiterentwicklungen von Theodolit und Winkelmessung, die beginnende Distanzmessung und zuletzt die EDV beitrugen
- Ab 1960 der zunehmende Einsatz von Erdsatelliten mit der Möglichkeit interkontinentaler Messungen: die GPS-Systeme
- Radioastronomie (VLBI) als Basis hochpräziser Referenzsysteme ITRF, ETRS für globale Geodäsie und für die Geodynamik der Erdkruste.

Grundlagen und Teilgebiete

Die Geodäsie liefert mit ihren Vermessungsergebnissen (z.B. aus Kataster- und Landesvermessung, Ingenieurgeodäsie, Photogrammetrie und Fernerkundung) die Grundlagen für zahlreiche andere Fachgebiete und Tätigkeiten:
- im Bereich der Geo- und Naturwissenschaften z.B. für die Astronomie, Physik und Ozeanografie, für Geoinformatik und Kataster, für Landkarten (neben topografischenn auch thematische Karten) der Geologie, Geophysik und Kartografie, sowie für verschiedenste Dokumentationen, etwa der Archäologie.
- in der Technik vor allem für Bauwesen und Architektur, für verschiedene Ziviltechniker, den Ingenieurbau, die Funk- und Geotechnik und diesbezügliche Datenbanken oder Informationssysteme. Die so genannte Höhere Geodäsie (Mathematische Geodäsie, Erdmessung und Physikalische Geodäsie) beschäftigt sich unter anderem mit der mathematischen Erdfigur, präzisen Referenzssystemen und der Bestimmung von Geoid und Erdschwerefeld. Zur Geoidbestimmung werden verschiedene Messverfahren verwendet: Gravimetrie, geometrische und dynamische Methoden der Satellitengeodäsie und die Astrogeodäsie. Die Kenntnis der Schwere ist nötig, um ein genaues Höhensystem zu etablieren - z.B. bezüglich Normalnull der Nordsee (NN, Amsterdamer Pegel) oder der Adria. Das wichtigste Höhensystem in Deutschland ist das Haupthöhennetz DHHN.
Das Geoid (bzw. sein Gradient, die Lotabweichung) dient auch zur Definition und Reduktion lokaler Messungen und Koordinaten auf der Erdoberfläche. Zur Triangulierung und für längere Verbindungslinien nähert man den Meeresspiegel durch ein Referenzellipsoid an und berechnet sie mittels "geodätischer Linien, die auch in der Mathematik (Differentialgeometrie), der Navigation und beim Aufspannen leichter Gewölbe Anwendung finden. Das Geoid und Schwerefeld sind ferner für die Angewandte Geophysik und zur Berechnung von Satellitenbahnen wichtig. Ebenfalls der Höheren Geodäsie ist jener Bereich der Landesvermessung zuzuordnen, bei dem es um regionale Vermessungen und ihre Bezugssysteme geht. Diese Aufgaben wurden früher terrestrisch gelöst, nun aber zunehmend mit dem GPS und anderen Satellitenmethoden.
Eine interessante Anwendung von Geodäsie ist auch die Geodätische Kuppel, bei der man die Kugeloberfläche in Dreiecke unterteilt, um dadurch effiziente und stabile architekturale Kuppeln zu bauen. Die so genannte Niedere oder Allgemeine Geodäsie widmet sich vor allem der Aufnahme von Lageplänen und digitaler Modelle für technische Projekte. Dazu gehören auch Bauplanung und Dokumentation, die Aufnahme des Geländes, die Katastervermessung und Bereiche des Facility Management. Wenn sich im Laufe der Zeit die Eigentumsverhältnisse der Grundstücke verkompliziert haben (durch Teilung beim Kauf und Verkauf oder Vererbung), dann wird eine sog. Bodenordnung notwendig. Ihr wichtigstes Instrument ist die Flurbereinigung, in Österreich Melioration genannt. Mit Ingenieurvermessung bezeichnet man die technische, nicht amtliche Vermessung (z.B. Gebäudeabsteckungen, Ingenieurnivellements, Einrichtung von Großmaschinen etc.) Bei der Erfüllung geodätischer Aufgaben im Untertage- und auch Übertage-Bergbau spricht man von Markscheidewesen oder Bergvermessung. Zu den Spezialgebieten der Geodäsie zählen auch die Seevermessung und hydrografische Profile von Flüssen, die ozeanografische Altimetrie mit Satelliten sowie Kooperationen im Bereich der Navigation.

Bedeutende Geodäten


- George Biddell Airy, London
- al-Ma'mun, Bagdad
- Johann Jacob Baeyer, Berlin
- Karl Maximilian von Bauernfeind, München
- Friedrich Wilhelm Bessel, Königsberg
- Roger Joseph Boscovich, Rom/Berlin/Paris
- Pierre Bouguer, Frankreich/Peru
- Heinrich Bruns, Berlin
- Alexander Ross Clarke, London
- Lorand Eötvos, Ungarn
- Eratosthenes, Alexandria
- George Everest, Großbritannien, Indien
- Carl Friedrich Gauß, Braunschweig/Göttingen
- Friedrich Robert Helmert, Potsdam
- Hipparchos, Nikaia
- Idrisi, Arabien/Sizilien
- Pierre-Simon Laplace, Paris
- Adrien Marie Legendre, Paris
- Henri Poincaré, Paris
- J. H. Pratt, London
- Ptolemäus u. Posidonius, Alexandria
- Heinrich Christian Schumacher
- Johann Georg von Soldner, München
- George Gabriel Stokes, England

Bedeutende Geodäten nach etwa 1900


- Kurt Arnold, Potsdam
- C. F. Baeschlin, Zürich
- W. Bowie, USA
- Kurt Bretterbauer, Wien
- Junyong Chen, Wuhan China
- Yongling Chen, Wuhan China
- Eduard Dolezal, Wien
- Wilhelm Embacher, Innsbruck
- Richard Finsterwalder, München/Hannover
- Irene Fischer, USA
- Erik Grafarend, Stuttgart
- Erwin Groten, Dtl.
- John Fillmore Hayford, USA
- Weikko A. Heiskanen, Finnland
- Siegfried Heitz, Bonn
- Friedrich Hopfner, Wien
- L. Hradilek, Tschechosl.
- W. K. Hristow, Bulgarien
- Sir Harold Jeffreys, London
- W. Jordan, Dtl.
- Karl Jung, Dtl.
- Heribert Kahmen, Hannover/Wien
- William Kaula, USA
- Max Kneissl, München
- Karl-Rudolf Koch, Bonn
- Yoshihide Kozai, Boston
- Th. N. Krassowski, Russland
- Karl Ledersteger, Wien
- A. Marussi, Florenz
- M. S. Molodenski, Russland
- Helmut Moritz, Graz
- Theodor Niethammer, Schweiz
- Wolfgang Pillewizer, Dresden/Wien
- Karl Ramsayer, Stuttgart
- Christoph Reigber, Potsdam
- Karl Rinner, Dtl. und Graz
- Reiner Rummel, München
- Hellmut Schmid, Schweiz
- Rudolf Sigl, München
- L. Tanni, Helsinki
- Wolfgang Torge, Hannover
- F. A. Vening Meinesz, NL
- Helmut Wolf, Bonn
- Patrick Schönstedt, Pinneberg
- David Holler, Scheifling

Geodäten in der Literatur


- K. (Das Schloß (Romanfragment) von Franz Kafka)
- Hauke Haien (Der Schimmelreiter von Theodor Storm)
- Der Landvermesser (Bunte Steine - Kalkstein von Adalbert Stifter
- Old Shatterhand (Winnetou 1. Teil von Karl May)
- Vermessungsrat a.D. Stürenburg (in Stürenburg-Geschichten von Arno Schmidt)

Geodätische Referenzsysteme


- DHDN (Deutsches Hauptdreiecksnetz)
- DHHN (Deutsches Haupthöhennetz)
- DHSN (Deutsches Hauptschwerenetz)
- MGI Österr.Netz Erster Ordnung (siehe auch Hermannskogel)
- Schweregrundnetz von Österreich, Schweiz u. a.
- WGS84 (World Geodetic System) Ellipsoid (1984 definiert)
- ETRS'89 (European Terrestial Reference System 1989)
- ITRS (International Terrestrial Reference System)

Mess- und Rechenmethoden der Geodäsie


- Richtungs- und Winkelmessung
- Distanzmessung (EDM), Doppler- und Inertialnavigation
- Höhenmessung (trigonometrisch, barometr., Altimetrie)
- Photogrammetrie (terrestrisch, Aero-F.) und Satelliten-Fernerkundung
- Gravimetrie (Schweremessung) und Gradiometrie
- satellitengeodätische Messungen und Modelle.

Messverfahren im Detail (alphabetisch)


- Absteckung
- Astronomische Ortsbestimmung
- GNSS (Global Navigation Satellite System): Differential GPS (DGPS)
- Fernerkundung
- Freie Standpunktwahl oder Freie Stationierung
- relative und absolute Gravimetrie
- Gradiometrie
- Laserscanning
- Netzmessung
- Nivellement
- Polarpunktaufnahme
- Polygonierung (Polygonzug)
- Profilaufnahme
- Pseudoranging zu Satelliten
- Rückwärtsschnitt, Vorwärtsschnitt, Bogenschnitt
- SLR (Satellite Laser Ranging)
- SST (Satellite to Satellite Tracking)
- Spiegeln, Staffeln
- Triangulation, Trilateration
- VLBI (Very Long Baseline Interferometrie)

Rechenverfahren und Rechenhilfsmittel der Geodäsie


- Geodätisches Rechnen an PC und programmierbaren Taschenrechnern
  - geodätische Software, Vermessungs-Software
  - Helmert-Transformation und räumliche Methoden der Koordinaten-Transformation (z.B. 7-Parameter-Transformation bei GPS-Netzen)
- Rechenmodelle für Messgeräte-Kalibrierung, Eichung und Metrologie
  - Ausgleichungsrechnung und statistische Prüfmethoden
- Mathematische Geodäsie und kartografische Projektionen
- Koordinaten-Datenbanken, digitale Terrainmodelle (DTM), digitale Verschneidungs-Programme
  - digitaler Kataster und Grundbuch, Facility Management
- Geoinformationssysteme (GIS) und LIS und andere raumbezogene Datenbanken wie z.B. der Leitungskataster
- IGS, International GPS Service) für genaue Satellitenbahnen und DGPS
  - SAPOS und andere Regionaldienste für Satellitenpositionierung.

Wichtige Messinstrumente


- Theodolit
- Tachymeter
- Nivellier
- Gravimeter
- GNSS-Empfänger (GPS und GLONASS, Galileo-Empfänger)
- Laserscanner
- Messkammer (Photogrammetrie)

Spezial- und Hilfsgeräte der Geodäsie


- Basislatte
- Bussolentachymeter
- Distanzer, EDM-Aufsatz
- Doppelpentagonprisma oder Doppelwinkelprisma
- Fluchtstab oder Fluchtstange
- Kombinationsempfänger für GPS und ähnliche Verfahren (GLONASS, Galileo)
- Kreiselkompass
- LaserDisto
- Lasertracker
- Lattenrichter
- optisches Lot
- Meridianrichtungskreisel
- Messband oder Maßband
- Messlatte
- Nivelliergerät
- Prisma bzw. Reflektor
- Schlagschnur
- Schlauchwaage
- Senkblei (Senkel, Schnurlot, mechanisches Lot)
- Sextant
- Stativ (Holz, Metall)
- Tachymeter (analog und digital)
- Vermarkungsmaterial
- historische Geräte der Antike:
  - Groma
  - Chorobates
  - Dioptra
- historische Geräte der Neuzeit:
  - Messtisch
  - Kippregel

Ergebnisse Geodätischer Arbeiten


- Festpunktfelder für Lage, Höhe und Schwere
- Lage- und Höhenkoordinaten von Objektpunkten und Vermessungspunkten
- Dimensionen und Ausrichtung von Objekten
- Deformationen von Objekten (siehe Geodynamik und Geotechnik)
- Karten und Pläne
- unmaßstäbliche Darstellungen, z.B. Perspektive Ansichten
- Orthofotos
- Daten für Geo-Informationssysteme
- Digitale Geländemodelle
- Visualisierung technischer Objekte.

Organisationen für die Amtliche Vermessung


- Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (Deutschland)
- Landesvermessungsämter (Deutschland)
- Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen BEV Wien (für Österreich)
- Bundesamt für Landestopografie (swisstopo)
- Öffentlich bestellte Vermessungsingenieure (Deutschland außer Bayern)

Literatur


- Astronomische und Physikalische Geodäsie. Band 5 "Handbuch der Vermessungskunde", Karl Ledersteger, Verlag J.B.Metzler, Stuttgart 1969
- Geodäsie / Geodesy, Wolfgang Torge, DeGruyter, Berlin 1975 u.~1990
- Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen, Bertold Witte u. Hubert Schmidt, ISBN 3-87907-418-6, Wichmann 5.Aufl., Heidelberg 1989/2004
- Lehrbuch Vermessung-Grundwissen, Bettina Schütze, Andreas Engler, Harald Weber, ISBN 3-936203-00-8
- Auswertung geodätischer Überwachungsmessungen, Walther Welsch, Otto Heunecke u. Heiner Kuhlmann. In Handbuch Ingenieurgeodäsie (Hsg. M.Möser, G.Müller, H.Schlemmer & H.Werner, ISBN 3-87907-295-7, Wichmann Heidelberg 2000
- Das Porträt der Erde, Geschichte der Kartografie. Vitalis Pantenburg, Stuttgart 1970.

Weblinks


- [http://www.geoinf.de Das Studium der Geodäsie in Deutschland]
- [http://www.dgfi.badw.de/ Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut (DGFI) in München]
- [http://www.katasteramt.de www.katasteramt.de]
- [http://www.tu-dresden.de/fghgipg/Forschung/Forschung-frame.html Planetare Geodäsie an der TU Dresden]
- [http://www.pimath.de/geo/verzeichnis.html Die Gestalt der Erde (Geschichte, Ellipsoid-Formeln, Geoid) usw.]
- [http://www.lverma-forum.nrw.de/viewforum.php?f=9 WBVK e.V. - Forum des Vereins zur Förderung der Weiterbildung im Vermessungswesen und der Kartographie]
- [http://www.adv-online.de/ Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV)]
- [http://www.ipi.uni-hannover.de/html/lehre/lehrveranstaltungen/vermbau/ Übersicht der Messverfahren, Uni Hannover]
- [http://www.vermessungsseiten.de Messverfahren und -Instrumente, Jobelmann-Schule]
- http://www.gih.uni-hannover.de/gihwww/geschichte/professoren/daten/

> Forschungsbiografien der Hannv.Geodäsie-Professoren] Hochschule Neubrandenburg (Studiengänge Vermessungswesen und Geoinformatik): http://www.hs-nb.de/vermessung/home.html[http://www.beispiel.de Link-Text]

Geodätische Institute im deutschsprachigen Raum:


- Aachen: [http://www.gia.rwth-aachen.de/ Das Geodätische Institut der] RWTH Aachen
- Berlin: [http://www.igg.tu-berlin.de/ Institut für Geodäsie und Geoinformationstechnik der] TU Berlin
- Bonn: [http://www.gib.uni-bonn.de/ Geodätisches Institut der] Universität Bonn
- Braunschweig: [http://www.tu-bs.de/institute/geodae Institut für Geodäsie und Photogrammetrie der] TU Braunschweig
- Darmstadt: [http://www.tu-darmstadt.de/fb/bi/geod/index.htm Geodätisches Institut der] TU Darmstadt
- Dresden: [http://wwwgi.geo.tu-dresden.de/ Geodätischen Institut der] TU Dresden
- Graz: [http://www.cis.tugraz.at/ivm/index.htm Institut für Ingenieurgeodäsie und Messsysteme der] Technische Universität Graz
- Hannover: [http://www.gih.uni-hannover.de/ Geodätisches Institut der] Universität Hannover
- Karlsruhe: [http://www.gik.uni-karlsruhe.de/ Geodätisches Institut der] Universität Karlsruhe (TH)
- München: [http://www.geo.bv.tum.de/ Lehrstuhl Geodäsie der] TU München
- München: [http://www.bauv.unibw-muenchen.de/institute/inst9/ Geodätisches Institut der UniBw]
- Stuttgart: [http://www.uni-stuttgart.de/gi/index.de.html Geodätisches Institut der] Universität Stuttgart
- Stuttgart: [http://www.uni-stuttgart.de/iagb Institut für Anwendungen der Geodäsie im Bauwesen der] Universität Stuttgart
- Wien: [http://info.tuwien.ac.at/geodaesie/ Institut für Geodäsie und Geophysik der] TU Wien
- Zürich: [http://www.igp.ethz.ch/ Geodetic Metrology and Engineering Geodesy] an der ETH Zürich Labor für Instrumentenkunde und Kalibrierung der Hochschule Neubrandenburg: http://www.hs-nb.de/vermessung/slabore/IK/index.html[http://www.beispiel.de Link-Text]

Institute für Markscheidewesen (Geodäsie im Bergbau) im deutschsprachigen Raum:


- Freiberg: [http://www1.tu-freiberg.de/~wwwmage/index.html Institut für Markscheidewesen und Geodäsie] an der Technische Universität Bergakademie Freiberg
- Clausthal-Zellerfeld: [http://www.igmc.tu-clausthal.de/ Institut für Geotechnik und Markscheidewesen] an der Technischen Universität Clausthal
- Aachen: [http://www.ifm.rwth-aachen.de/cms/front_content.php Institut für Markscheidewesen,Bergschadenkunde und Geophysik im Bergbau] an der RWTH Aachen
- Leoben: [http://www.unileoben.ac.at/institute/markkd.htm Institut für Markscheide- und Bergschadenkunde] an der Montanuniversität Leoben ! Kategorie:Geowissenschaft ja:測地学

Kategorie:Kartografie

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Category:Clarendon County, South Carolina

Category:South Carolina counties

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