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Molekülorbital

Molekülorbital

Ein Molekülorbital ist eine Eigenfunktion der Elektronen in einem Molekül. Sie entsteht durch Kombination der Atomorbitale der Bindungspartner in einer chemischen Bindung. Diese Eigenfunktion lässt sich aus der Schrödingergleichung berechnen, was aber wesentlich schwieriger als bei den Atomorbitalen ist, da sich jetzt die Elektronen nicht mehr im zentralsymmetrischen Feld eines einzigen Atomkerns sondern im komplexen Feld von zwei oder mehr Kernen befinden. Deshalb werden für quantitative Betrachtung zwei Näherungsmethoden herangezogen, die, von verschiedenen Ansätzen ausgehend, zu gleichen Ergebnissen führen: Das MO-Verfahren (von engl. molecular orbital) nach Friedrich Hund und Robert Sanderson Mulliken betrachtet alle Elektronen in einem Molekül einem einzigen Molekülorbital zugehörig. Die Veranschaulichung erfolgt durch Elektronenwolken. Das VB-Verfahren (von engl. valence bond) nach Walter Heitler, Fritz London, John C. Slater und Linus Carl Pauling geht von lokalisierten Orbitalen aus, die den Atomorbitalen entsprechen. Die Veranschaulichung erfolgt durch Mesomere Grenzstrukturen. Vereinfacht lässt sich die Entstehung von Molekülorbitalen dadurch erklären, dass in der Bindung die Atomorbitale überlappen und neue Orbitale bilden.

Das Molekülorbital der Sigma-Bindung

Es ist rotationssymmetrisch bezüglich der Bindungsachse und entsteht aus der Überlappung von zwei kugelförmigen s-Orbitalen, zwei Hybrid-Orbitalen oder zwei p-Orbitalen, die parallel zur Bindungsachse ausgerichtet sind und aus Kombinationen dieser Atomorbitale. Beispiele:

Das Molekülorbital der Doppelbindung

Es ist spiegelsymmetrisch bezüglich der Bindungsachse.

sigma-pi-Modell

Beispiel:

tau-Modell

Durch lineare Kombination der Wellenfunktionen der σ- und π-Molekülorbitale ergibt sich die gleichen spiegelsymmetrischen Molekülorbitale wie beim tau-Modell. Auf Grund der Geometrie der Atomorbitale der Bindungspartner lassen sich für beide Modelle Voraussagen machen. Bei Vergleich mit den gemessenen Werten ergibt sich, dass das tau-Modell die Bindungswinkel und die Bindungslängen besser wiedergibt als das sigma-pi-Modell. Letzteres ist aber mathematisch einfacher zu bewältigen und zur Interpretation von Spektren besser geeignet.

Delokalisation

Delokalisation tritt dann auf, wenn ein Molekül mehrere Doppelbindungen hat, die konjugiert sind, also weder unmittelbar aufeinanderfolgen (wie im Propadien) oder durch mindestens ein sp³-hybridisiertes C-Atom von einander isoliert sind (wie im Pentadi-1,4-en). Dann stehen alls p_z-Orbitale parallel und in direkter Nachbarschaft zueinander und es können alle p_z-Orbitale zu einem einzigen Molekülorbital werden. Beispiele:

MO-Verfahren

Es wird angenommen, dass ein Elektron in der Nähe seines Atoms in guter Näherung durch die Φ-Funktion (siehe Atommodell) beschrieben wird. In einfachster Näherung, der LCAO-Nährung (Linear Combination of Atomic Orbitals), bildet man die Molekülorbitale durch lineare Kombination, das ist Addition und Subtraktion der Eigenfunktionen, der Bindungspartner. Beispiel Wasserstoff H₂: Die zur Bindung notwendigen einsamen Elektronen befinden sich jeweils im 1s-Orbital der beiden Atome H_a und H_b, das durch die Eigenfunktionen ψ_a(1s) und Φ_b(1s) beschrieben wird. Die Additionψ_a(1s) + ψ_b(1s) ( σ(1s)ergibt ein rotationssymmetrisches bindendes Molekülorbital mit erhöhter Ladungsdichte zwischen den Kernen der Bindungspartner. siehe auch: Konjugation_(Chemie) - Mesomerie - Aromaten Kategorie:Chemie Kategorie:Chemische Bindung Kategorie:Physikalische Chemie ja:分子軌道

Eigenfunktion

Eigenfunktionen in der Mathematik sind Funktionen, die bei Anwendung eines Operators das Eigenwertproblem dieses Operators lösen. Sei A ein Operator und f eine Funktion. Dann stellen in der Gleichung: :

A(f_n) = a_n f_n

a_n die Eigenwerte des Operators A und f_n die zu ihnen gehörigen Eigenfunktionen dar. Für Nichtmathematiker: Wenn man sich vorstellt, dass eine Funktion durch einen einfachen Pfeil repräsentiert wird, dann kann man die Funktion auf mehrere Arten verändern: Man kann ihn (sie) verschieben, verdrehen und die Länge verändern, und zwar auch in einem einzigen Schritt. Das Werkzeug, das eine solche Veränderung bewirkt, nennt man "Operator". Nun kann man sich vorstellen, dass man mit verschiedenen Werkzeugen auf einen Pfeil einwirkt, oder dass man mit einem Werkzeug verschiedene Pfeile bearbeitet. Einige Zusammenstellungen von Pfeil und Werkzeug haben nun die besondere Eigenschaft, dass sie nur die Länge verändern. Da nun z.B. in der Physik, aber auch in der Technik (Maschinenbau), viele Aufgaben genau auf solche Pfeil/Werkzeug-Kombinationen führen, bietet die Mathematik mit den "Eigenwertproblemen" einen maßgeschneiderten Werkzeugkasten an. Hat man also ein Werkzeug "Operator", das einen Pfeil "Funktion" lediglich um einen Längenfaktor "Wert" verändert, so ist sie "Eigenfunktion" mit "Eigenwert" zum Operator. Ein wichtiges Anwendungsfeld ist die Quantenmechanik. Warum man eine mathematische Funktion als Pfeil darstellen kann, und damit sogar etwas anzufangen ist, ist eine andere Geschichte. Siehe auch: Sturm-Liouville-Problem, Operator (Mathematik) Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Differentialgleichungen

Molekül

Ein Molekül (älter auch: Molekel) ist ein Teilchen, das aus mindestens zwei zusammenhängenden Atomen besteht, welche durch kovalente Bindungen verbunden sind. Moleküle stellen die kleinsten Teilchen dar, die die Eigenschaften des zugrundeliegenden Stoffes haben. Es gibt Moleküle, die aus einem einzigen Element aufgebaut sind (O₂, N₂, P₄ u.v.m), die meisten Moleküle sind aber Verbindungen aus Nichtmetallen mit einem (oder mehr) weiteren Nichtmetallen oder Halbmetallen. Einen etwas größeren Verbund von gleichartigen Atomen nennt man Cluster.

Bindungsart in Molekülen

In Molekülen halten die verbundenen Atome über gemeinsame Elektronenpaare zusammen. Man nennt solche Bindungen auch Atombindung, Elektronenpaarbindung oder kovalente Bindung. Wenn auch die einzelnen Atome keine vollen Elementarladungen haben, also nicht als Ionen vorliegen, kann es durch unsymmetrisch verteilte Bindungselektronenpaare zu Teilladungen kommen. Man unterteilt deshalb die Atombindungen in:
- kovalente Bindung / unpolare Atombindung - Differenz der Elektronegativität der Bindungspartner ist 0. Diese Art der Bindung kommt genau genommen nur bei Elementmolekülen, d.h. bei Molekülen, die nur aus einer Atomart zusammen gesetzt sind, vor. Man fasst im weiteren Sinne allerdings auch Bindungen zwischen Atomen (z.B. zwischen C und H) als kovalente Bindungen auf, deren Differenz der Elektronegativität größer 0 und kleiner 0,4 ist.
- polare Bindung - Differenz der Elektronegativität der Bindungspartner ist größer 0,4 und kleiner 1,8.

Zwischenmolekulare Kräfte (sortiert nach abnehmender Stärke)

Zwischen den Molekülen können verschiedene Kräfte wirken, die sich zum Beispiel auf die Siede- und Schmelztemperatur und die Löslichkeitseigenschaften auswirken können.
- Wasserstoffbrückenbindung
- Dipol-Dipol-Kräfte
- van-der-Waals-Kräfte

Darstellung

Der Aufbau eines Moleküls kann auf verschiedene Arten beschrieben werden. Die Summenformel eignet sich für einfache Moleküle, insbesondere anorganische Moleküle, z.B. H₂O für Wasser oder NH₃ für Ammoniak. Sie enthält die Atomsymbole der im Molekül enthaltenen Elementsorten, deren Anzahl über einen Index (die tiefgestellte Zahl) angegeben ist. Die Wirkung von Intermolekularen Kräften ist auch bei kleineren Molekülen von der räumlichen Struktur der Moleküle abhängig. Zur Beschreibung dieser Struktur dient die VSEPR-Theorie. Bei komplexeren Molekülen, wie sie vor allem in der organischen Chemie vorkommen, liefert eine Summenformel oft keine ausreichende Beschreibung, da es verschiedene Moleküle mit der gleichen Summenformel (Isomere) geben kann. Deshalb wird dazu die Strukturformel verwendet, die den Aufbau graphisch darstellt. In einigen Fällen, spiegelbildlich gebauten Molekülen, den Enantiomeren, gibt auch die Strukturformel nicht ausreichend Aufschluss über die nach außen wirksame Struktur. Hier werden Fischer- und Haworth-Projektion verwendet. Bei hochkomplexen Molekülen wie Proteinen oder polymeren Kohlenhydraten spielt die räumliche Darstellung eine noch größere Rolle. Man versucht, räumliche Darstellungen über Farbgebung zu erreichen (Bsp.: Hämoglobin). Man spricht dann - je nach Ebene - von der Primärstruktur (bei Proteinen durch die Abfolge der Aminosäuren definiert), der Sekundärstruktur (Auffaltung zu einer Helix oder einem Faltblatt), der Tertiärstruktur (Auffaltung der Sekundärstruktur zu Kugeln oder Fasern ) und der Quartärstruktur. (siehe hierzu: Protein)

Siehe auch:

- Chemische Bindung
- Atombindung
- Ionenbindung
- Molekularphysik
- Molekülbaukasten
- Ölfleckversuch Kategorie:Chemie Kategorie:Genetik Kategorie:Atomphysik als:Molekül ja:分子 ko:분자 simple:Molecule th:โมเลกุล Kategorie:Chemie

Atomorbital

Orbitale sind Einelektronen-Wellenfunktionen (meist mit

\psi

abgekürzt) in der Quantenmechanik. Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion

\left|\psi\right|^2

wird als Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons interpretiert, das sie beschreibt. Im Wellenmodell existieren keine Kreisbahnen, wie im Atommodell von Niels Bohr und auch keine anderen, definierten Bahnen (Trajektorien). Viel mehr brachten Entwicklungen der Quantenmechanik die Erkenntnis, dass der genaue Aufenthaltsort der Elektronen aufgrund der Unschärferelation Werner Heisenbergs nicht exakt, sondern nur ihre Verteilung stochastisch beschrieben werden kann. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen asymptotisch gegen null geht und sich bis ins Unendliche erstreckt, wählt man als Orbital den Aufenthaltsraum, in dem sich das betrachtete Elektron mit ca. 90% Wahrscheinlichkeit aufhält. Man erhält damit Räume, die ungefähr der Größe der Atome entsprechen. Die Begrenzungsflächen sind Flächen gleicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Isoflächen).

Klassifikation

Orbitale werden anhand der vier Quantenzahlen n, l, m_l und s klassifiziert, manchmal auch durch n, l, j und m_j, wobei gilt:
- n (Hauptquantenzahl, Wertebereich: n = 1, 2, 3, ...) beschreibt das Hauptenergieniveau, welches ein Elektron besitzt. Es entspricht gewissermaßen der Schale n des bohrschen Atommodells. Die Hauptquantenzahl beschreibt einen Bereich, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons sehr hoch ist. Je größer n wird, desto weiter entfernt vom Atomkern bewegt sich das Elektron, zudem erhöht sich dessen kinetische Energie. Die maximale Anzahl der Elektronen in einer Schale ist definiert als

2n^2

.
- l (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpulsquantenzahl, Wertebereich: l = 0, 1, ..., (n-1)) beschreibt den Bahndrehimpuls des Elektrons :

|L|=\hbar \cdot \sqrt

und damit die "Form" des Orbitals. Häufig findet man in der Literatur die Buchstaben s,p,d,f,g als Bezeichnung für die Nebenquantenzahl, abgeleitet aus den englischen Adjektiven für die korrespondierenden Spektrallinien: sharp, principal, diffuse, fundamental (danach wird alphabetisch fortgesetzt). Die Anzahl der Unterschalen ist gleich der Hauptquantenzahl, für n = 3 sind also drei Unterschalen möglich l = 0, 1, 2. Die Anzahl der Orbitale pro Unterschale ist auf 2l + 1 begrenzt.
- m_l (Magnetquantenzahl, Wertebereich: m_l = -l, -(l-1), ...0,... +(l-1), +l) beschreibt die räumliche Ausrichtung, die das Orbital bezüglich eines äußeren Magnetfeldes einnimmt. Die resultierenden Orbitale sind energetisch gleich, nur wenn von Außen ein Magnetfeld angelegt wird, lassen sie sich unterscheiden. Für die Projektion des Drehimpulsvektors auf die Richtung des Magnetfeldes gilt: :

L_z=\hbar \cdot m

- s (Spin(magnet)quantenzahl, s = +1/2 oder s = -1/2) Ihre Existenz deutet man als Eigenrotation der Elektronen. So kann ein Orbital zwei Elektronen aufnehmen die einen gegenläufigen Spin besitzen (Pauli-Prinzip). Die Spinquantenzahl wird auch mit m_s bezeichnet. :Für jede Drehimpulsquantenzahl existiert eine magnetische Quantenzahl, so gibt es die Quantenzahlen m_l (Wertebereich -l, ..., +l) und m_s (mögliche Werte +1/2 und -1/2). Oft wird der Bahndrehimpuls und der Spin zum Gesamtdrehimpuls eines Elektrons mit der Quantenzahl j addiert (Wertebereich |l-s|, |l-s|+1, ..., l+s), die zugehörige magnetische Quantenzahl ist dann m_j.

Charakteristische Formen

Pauli-Prinzip Die Orbitale zu den verschiedenen l Zahlen haben charakteristische (grobe) Formen, die auch bei höheren n-Werten qualitativ erhalten bleiben. Jedem l wird aus historischen Gründen ein bestimmter Buchstabe zugeteilt: (Die Bezeichnungen s, p, d und f stammen aus der Spektroskopie und dienen nur der Bezeichnung. Ein g-Orbital mit l=4 tritt theoretisch für ein Atom mit der Ordnungsnummer 121 auf. Die Bezeichnung folgt wie auch beim nachfolgenden h-Orbital, l=5 dem Alphabet.) Die Orbitale charakterisieren streng genommen nur die möglichen Eigenzustände der Elektronen-Wellen, wie sie in Einelektronensystemen, wie z.B. Wasserstoffatom H oder Heliumionen He⁺, Lithiumionen Li²⁺ usw. vorkommen. Die zu den Orbitalen gehörigen Wellenfunktionen (siehe auch Kugelflächenfunktionen) ergeben sich aus der stationären Schrödingergleichung eines Einelektronensystems. Trotz dieser Einschränkung reicht allerdings die Kenntnis der groben Form der Orbitale, die auch in Mehrelektronensystemen erhalten bleibt, um viele qualitative Fragen zum Aufbau von Stoffen zu beantworten. Es ist dabei zu beachten, dass die in der Literatur dargestellten Orbitale oft nicht die Eigenzustände des Drehimpulsoperators sind. Zum Beispiel wird von den Eigenzuständen von

L_z

(Drehimpuls in z-Richtung) nur der eine Eigenzustand für den Eigenwert m=0 dargestellt und als p_z bezeichnet. Die mit p_x und p_y bezeichneten Orbitale sind nicht die entsprechenden Eigenzustände für m=-1 und m=1 sondern Superpositionen dieser Eigenzustände. (Sie sind Eigenzustände von L_x bzw. L_y, die aber nicht mit L_z kommutieren!) Für die Schlussfolgerungen ist das kein Problem, solange die entsprechenden Wellenfunktionen orthogonal sind.

Quantentheorie

Aus der nichtrelativistischen Quantentheorie ergeben sich die Orbitale nach folgender Rechnung. Die Wechselwirkung zwischen Elektron und Atomkern wird vereinfacht durch das Coulombpotential beschrieben, der Atomkern wird als fix angenommen. Der Hamiltonoperator für das Einelektronensystem ist

\hat = \frac + V(R)

Da der Hamiltonoperator mit dem Drehimpulsoperator kommutiert, bilden

H

L^2

und

L_z

ein vollständiges System kommutierender Operatoren. Es gibt also gemeinsame Eigenzustände dieser drei Operatoren. Die Zustände sind durch die drei zugehörigen Quantenzahlen n, l und m bestimmt. Die Schrödingergleichung lässt sich in einen Radiusabhängigen und einen Winkelabhängigen Teil teilen. Die Eigenfunktionen sind das Produkt der Kugelfunktionen (Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators)

Y_(\vartheta,\varphi)

und einem radialen Anteil

\phi_(r)

Hybridisierung

Einige Symmetrien von chemischen Bindungen scheinen den charakteristischen Formen der Orbitale zu widersprechen. Diese Bindungssymmetrien werden erst durch die Bildung von Hybrid-Orbitalen verständlich.

Siehe auch

- Atommodell
- Molekülorbital

Weblinks

- [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital.html Erklärung des Orbitalmodells mit Abbildungen der Orbitale] ([http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_s.html s], [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_p.html p], [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_d.html d], [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_f.html f])
- [http://n.ethz.ch/student/simonbr/physik_simulationen_hatom.html Java-Applet zur bildlichen Darstellung der Wasserstoff-Orbitale] (geht evtl. nur auf Windows-Systemen)
- [http://www.hydrogenlab.de 3d-Darstellung der Orbitale des Wasserstoffatoms]
- [http://netchemie.de/netchemie/index.php?c=peri Animierte p-Valenzorbitale im Netchemie PSE]
- [http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/index.html 3d-Darstellungen von Orbitalen] Kategorie:Atomphysik Kategorie:Chemie Kategorie:Physikalische Chemie

Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustands eines Quantensystems. Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger zuerst als Wellengleichung aufgestellt, danach durch Werner Heisenberg äquivalent als Operatorgleichung dargestellt. Als „Bewegungsgleichung der Quantenmechanik“ bildet sie noch heute das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Ein einfacheres Verständnis der Theorie bildet das Gedankenexperiment Schrödingers Katze.

Die Gleichung

Die Schrödingergleichung lautet bei Abwesenheit eines Magnetfeldes für ein einzelnes Teilchen (etwa ein Elementarteilchen oder ein Atom) im Potenzial V (beispielsweise das Gravitations-Potenzial), dessen Zustand durch die (skalare, oft wie hier durch den griechischen Buchstaben Psi ausgedrückte) Wellenfunktion ψ beschrieben ist: :

\mathrm\cdot\hbar\cdot\frac\psi(\mathbf,t) \;=\; - \frac\cdot\nabla^2\psi(\mathbf,t) + V(\mathbf,t)\cdot\psi(\mathbf,t)

. Dabei ist
- m die Masse des Teilchens,
-

\mathbf\in\R^3

der Ort sowie

\nabla

die partielle Ableitung nach dem Ort (Nabla-Operator),
- t die Zeit sowie

\frac

die partielle Ableitung nach der Zeit,
-

\mathrm

die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen,
-

\hbar=

(sprich „Ha-Quer“) mit dem Planckschen Wirkungsquantum

h

(einer Naturkonstante, die in der „klassischen“ Physik nicht vorkommt). Bei einem freien Teilchen gilt V(r,t) = 0. Mittels des Hamilton-Operators H lässt sich die Schrödingergleichung genauso gut als :

\mathrm\hbar\cdot\frac \psi(\mathbf,t) = \hat H \psi(\mathbf,t)

mit :

\hat H = \frac\cdot(-\mathrm\hbar\nabla)^2 + V(\mathbf,t)

schreiben.

Herleitung

Die Schrödingergleichung entsteht nach dem Korrespondenzprinzip aus der klassischen Energiegleichung (Gesamte Energie ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie) :

E = \frac + V(\mathbf,t)

durch Ersetzung der klassischen Größen Energie, Impuls und Ort durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren (in der Orts-Darstellung) :

E \rightarrow \hat E = \mathrm\hbar\cdot\frac

\mathbf\rightarrow \mathbf = -\mathrm\hbar\cdot\nabla

\mathbf\rightarrow \mathbf = \mathbf

und anschließendes Anwenden auf die unbekannte Funktion ψ : :

0 = \left(\hat E - \frac - V(\mathbf,t)\right)\psi(\mathbf,t)

. Ein anderer Ansatz zur Herleitung der Schrödingergleichung geht wie folgt: Analog zu ebenen Lichtwellen können Teilchen im Extremfall als De-Broglie-Welle aufgefasst werden: :

\psi(\mathbf,t) = \operatorname\cdot \exp \left(\frac\cdot(E\cdot t - \mathbf\cdot\mathbf)\right)

; für V(r,t) = 0 genügt nun diese Welle der Schrödingergleichung. Wie man an beiden Ansätzen sieht, bleibt dabei die Natur von ψ erst einmal unbekannt; sein quadrierter Betrag

|\psi|^2

lässt sich aber physikalisch als Amplitude der Wahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens verstehen. Bemerkung: Selbstverständlich lässt sich die Schrödingergleichung eigentlich nicht aus der klassischen Physik herleiten; denn die Quantenmechanik ist eine Verallgemeinerung der klassischen Physik. Schrödinger hat vielmehr aus den zu seiner Zeit bereits bekannten quantenmechanischen Phänomenen von Teilchen (unter Berücksichtigung gewisser physikalischer Prinzipien) eine diese Phänomene beschreibende Gleichung konstruiert.

Eigenschaften

ψ ist stets eine komplexwertige Funktion (falls der linke Ausdruck nicht identisch 0 ist). Weil die Schrödingergleichung bezüglich ψ linear und homogen ist, ist für eine gegebene Lösung ψ auch jedes skalare Vielfache

k\cdot\psi

mit einer komplexen Konstante

k\in\Bbb C

eine Lösung. Aufgrund dieser Mehrdeutigkeit ist es sinnvoll und üblich, nur normierte Lösungen im Sinne der Normierungs-Bedingung :

\int_^ |\psi|^2(\mathbf,t)\;\mathrm^3r = 1

zu betrachten. Allerdings ist nicht jede Lösung einer Schrödingergleichung normierbar. Sofern existent, ist diese normierte Lösung bis auf einen Phasenfaktor der Form

\exp(\mathrm\cdot K)

für ein reelles K, der aber physikalisch bedeutungslos ist, eindeutig bestimmt. Für eine normierte Lösung wird

|\psi|^2(\mathbf,t) = \psi^ - \cdot\psi

als Wahrscheinlichkeits-Dichte dafür, dass sich das Teilchen am Ort

\mathbf

zum Zeitpunkt t befindet, gedeutet. Damit erhält auch die gewählte Normierungsbedingung ihre sinnvolle Interpretation.

Lösung der Schrödingergleichung

Im Falle eines wirklich zeitabhängigen Hamiltonoperators H = H(r,t) hat man eine Anfangswert-Aufgabe zu lösen: Kennt man die Masse m des Teilchens, das von außen angelegte Potenzial V(r,t), die Anfangs-Bedingung ψ(r,0) = gegeben sowie die Rand-Bedingungen zu ψ für t > 0, so erhält man mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung als Lösung die Wellen-Funktion ψ(r,t) für den betrachteten Raum für alle Zeiten t > 0. Im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators H = H(r) und fester Ränder (also insbesondere zeitunabhängiger Potenziale V = V(r)) stellt die Wellenfunktion ψ = ψ(r,t) dagegen einen sogenannten stationären Zustand (oder eine Überlagerung aus diesen) dar, und man hat dann eine Randwertaufgabe zu lösen: Bringt man den Ansatz der Separation der Variablen

\psi(\mathbf,t) = \psi(\mathbf)\cdot \chi(t)

in die Schrödingergleichung ein, so erhält man mit der reellen Konstanten E die Gleichung :

\psi(\mathbf,t) = \psi(\mathbf)\cdot \exp()

und weiter die zeitunabhängige Schrödingergleichung :

\hat H(\mathbf)\psi(\mathbf) = E\cdot \psi(\mathbf)

. Zusammen mit mit homogenen und linearen Rand-Bedingungen an ψ(r) bildet die zeitunabhängige Schrödingergleichung eine sogenannte Eigenwertaufgabe, bei der Energieeigenwerte E und Eigenfunktionen ψ(r) zu bestimmen sind. Ein einfaches Beispiel solch einer Eigenwertaufgabe bildet ein Elektron ohne Potenzial in einem Kasten. Aus der so gefundenen Wellenfunktion ergeben sich sämtliche physikalischen Eigenschaften des Teilchens. Beispielsweise wird der klassische Wert

\mathbf(t)

durch den mittleren Ort des Teilchens zur Zeit t, nämlich :

\mathbf(t)\rightarrow \langle\mathbf\rangle(t) = \int_^ \mathbf\cdot|\psi|^2(\mathbf,t) \mathrm^3r

ersetzt, während zum Beispiel der klassische Wert des Impulses durch folgenden Mittelwert ersetzt wird: :

\mathbf(t)\rightarrow \langle\mathbf\rangle(t) = \int_^ \psi^ - (\mathbf,t)(-\mathrm\hbar\cdot\nabla)\psi(\mathbf,t) \mathrm^3r

. Im Prinzip (!) wird eine beliebige klassische Messgröße f(r,p,t) durch eine Mittelung des zugehörigen Operators über den Raum, in dem sich das Teilchen befinden kann, ersetzt: :

f(\mathbf(t),\mathbf(t),t)\rightarrow \langle\hat f\rangle(t) = \int_^ \psi^ - (\mathbf,t)f(\mathbf,\mathbf,t)\psi(\mathbf,t) \mathrm^3r

. Man nennt den Ausdruck den Erwartungswert von f. Der Erwartungswert der Energie ist gleich .

Ausblicke und Erläuterungen

Die Schrödingergleichung ist im Gegensatz zu den klassischen Kraftgleichungen eine partielle Differentialgleichung. Während ein klassisches Teilchen durch eine exakte Bahn

\mathbf(t)

bestimmt ist, wird die Dynamik des quantenmechanischen Teilchens durch das quantenmechanische Feld ψ beschrieben. Die klassische newtonsche Bewegungsgleichung :

m\cdot\frac(t) = - \nabla V(\mathbf(t),t)

wird also in der Quantenmechanik durch die Schrödingergleichung ersetzt. In der Quantenmechanik ist darum ein exakter Aufenthaltsort (im Allgemeinen) nicht definierbar; anschaulich sagt man, das Teilchen sei über dem Raum »verschmiert«. Im Grenzfall, dass die Breite des Wellenpakets genügend klein ist, kann mit Hilfe der Schrödingergleichung die newtonsche Gleichung hergeleitet werden. Die oben angegebene Schrödingergleichung ist diejenige in der sogenannten Ortsdarstellung. In der von einer bestimmten Basis (wie dem Ort) unabhängigen Form lautet die Schrödingergleichung mit dem 'ket' |t>: :

\mathrm\hbar\cdot\frac|t\rangle = \frac|t\rangle + V(\mathbf,t)|t\rangle

, wobei hier die Operatoren

\mathbf

und

\mathbf

ebenfalls als basisunabhängig anzusehen sind. Beide Gleichungen sind gleichwertig. In der Schrödingergleichung kommen die Wellenfunktion und die Operatoren im sogenannten Schrödingerbild vor. Bei Verwendung der Wellenfunktion und der Operatoren im Heisenbergbild ergibt sich die Heisenberggleichung. Beide Gleichungen sind physikalisch gleichwertig. Die Schrödingergleichung ist einerseits deterministisch; das heißt, die Physik des Teilchens ist genau bestimmt; insbesondere ist die Schrödingergleichung nicht »irgendwie unvollständig«. Andererseits ist deren Lösung ψ jedoch eine statistische Größe; ψ macht folglich lediglich eine Aussage über die Gesamtheit aller gleichartigen Versuchsanordnungen. Im Allgemeinen hat dies zur Folge: Wenn man an zwei physikalisch identischen Systemen jeweils dieselbe Messung (etwa die des Ortes des Teilchens zur selben Zeit) durchführt, dann können beide Messwerte (im Gegensatz zur klassischen Physik) verschieden ausfallen. Die Schrödingergleichung enthält mit dem Planckschen Wirkungsquantum h eine Größe, die zuvor von Max Planck für Lichtquanten gefunden wurde. Durch die Schrödingergleichung wurde sie auch zur Beschreibung von Teilchen wie Elektronen herangezogen. Mit der Formulierung der Schrödingergleichung wurde die widersprüchliche Konstruktion des bohrschen Atommodells überwunden. Das heißt, mit der Schrödingergleichung war man zum ersten Mal in der Lage, das Wasserstoffatom in guter Näherung zu berechnen, ohne dabei die Gesetze der Elektrodynamik verletzen zu müssen. Die Schrödingergleichung hat jedoch folgende grundlegende Mängel: Sie weiß nichts vom Eigendrehimpuls (Spin) des Teilchens; außerdem ist sie nicht lorentzinvariant (sondern 'nur' galilei-invariant). Eine diesbezügliche Weiterentwicklung der Schrödingergleichung stellt beispielsweise für Elektronen die relativistische Diracgleichung dar, die allerdings auch wesentlich schwieriger zu handhaben ist.

Hamiltonoperator für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld

Falls das Teilchen eine elektrische Ladung besitzt (zum Beispiel ein Elektron oder Proton ist), so verallgemeinert sich bei Anwesenheit eines äußeren elektromagnetischen Feldes der Hamiltonoperator (in der Orts-Darstellung) zu :

\hat H = \frac\cdot \left(-\mathrm\hbar\nabla - \frac\cdot\mathbf(\mathbf,t)\right)^2 + q\cdot\Phi(\mathbf,t) + V(\mathbf,t)

, wobei hier q die elektrische Ladung des Teilchens (q = -e bei Elektronen), c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,

\mathbf

das sogenannte Vektorpotenzial und Φ das skalare Potenzial bezeichnen. Die sich so ergebende Schrödingergleichung tritt an die Stelle der klassischen Lorentzgleichung. Für das äußere elektrische Feld

\mathfrak

und das magnetische Feld

\mathfrak

bestehen folgende Beziehungen: :

\mathfrak(\mathbf,t) = -\nabla\Phi(\mathbf,t) - \frac\cdot\frac(\mathbf,t)

\mathfrak(\mathbf,t) = \nabla \times \mathbf(\mathbf,t)

. Somit wirkt das äußere elektromagnetische Feld (

\mathfrak, \mathfrak

) (über die Schrödingergleichung) auf das Feld ψ. Umgekehrt beeinflusst grundsätzlich die Wellenfunktion ψ das äußere elektromagnetische Feld in folgender Weise: Aus ψ und q berechnen sich die elektrische Stromdichte und die Ladungsdichte des Teilchens. Es erzeugt so ein eigenes elektromagnetisches Feld, das auf alle anderen Ladungen und Ströme, welche ja auch das äußere Feld verursachen, zurückwirkt. Die Schrödingergleichung berücksichtigt nicht die Wechselwirkung des Eigendrehimpulses (Spin) des Teilchens mit dem äußeren Magnetfeld. Beispielsweise ist für ein Elektron bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfeldes die (wesentlich kompliziertere) Pauli-Gleichung zu benutzen, falls die Wechselwirkung zwischen Spin und Magnetfeld nicht vernachlässigbar ist.

Lagrangedichte der Schrödingergleichung

Die Lagrangedichte der Schrödingergleichung lautet :

\mathcal(\psi,\vec\psi, \dot) = i\hbar\, \psi^\dot - \frac \vec\psi^\cdot\vec\psi - V(\vec)\,\psi^\psi

Anwendungen

Die Schrödingergleichung läßt sich für einige einfache Potenziale exakt lösen, z.B.:
- das Teilchen im Kasten
- das Teilchen im kugelsymmetrischen Potenzial (Wasserstoffatom)
- die Potenzialbarriere (ergibt Tunneleffekt)
- das harmonische Potenzial
- das Wasserstoffatom (Coulombpotenzial) Schon beim H₂⁺-Ion ist eine exakte Lösung nicht mehr möglich. Daher muss für mehr als zwei Teilchen, zum Beispiel bei Mehrelektronensystemen, die Schrödingergleichung vereinfacht oder approximativ gelöst werden. Eine mögliche Vereinfachung ist die Born-Oppenheimer-Approximation, aber auch die Störungstheorie kann gute Näherungen liefern. Ist trotz der Vereinfachung eine analytische Lösung immer noch unmöglich, wie z.B. bei den meisten Atomen und allen Molekülen, so müssen iterative Näherungsverfahren verwendet werden. Im Bereich der Theoretischen Chemie wird hierfür oft die Hartree-Fock-Methode verwendet.

Eine Analogie der eindimensionalen Schrödingergleichung zur Wellengleichung

Erwin Schrödinger nahm 1926, gestützt auf die Untersuchungen de Broglies an, dass alle Quantenobjekte „Wellennatur“ haben. Mathematisch müsste man sie demnach durch eine Wellenfunktion

\Psi(\vec x,t)

(Psi-Funktion) eindeutig beschreiben können. Insbesondere sollte ein freies Teilchen (also

V(x)=0

nach de Broglie durch eine ebene Welle mit Kreisfrequenz

\omega = E/\hbar

und Wellenzahl

\vec k = \vec p/\hbar

beschrieben werden. Eine solche Welle hat die Gestalt :

\Psi(x,t) = \mathrm^

. Nun gilt für die oben angegebene Welle :

\vec\nabla\Psi(\vec x, t) = \mathrm\vec k\Psi(\vec x, t)

\frac\Psi = -\mathrm\omega\Psi(\vec x, t)

Zusammen mit den de Broglie-Formeln für Energie und Impuls ergeben sich also die Operatorgleichungen :

-\mathrm\hbar\vec\nabla\Psi(\vec x, t) = \vec p\Psi(\vec x, t)

\mathrm\hbar\frac\Psi(\vec x, t) = E \Psi(x,t)

Außerdem muss die Newtonsche Energieimpuls-Beziehung für freie Teilchen gelten: :

E = \frac

Multipliziert man beide Seiten mit

\psi(\vec x, t)

, dann können die beiden Operatorgleichungen für Energie und Impuls verwendet werden, und man erhält: :

\mathrm\hbar\frac\Psi(\vec x, t) = -\frac\Psi(\vec x, t)

Das ist die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen. Nimmt man an, dass die Operatorgleichungen auch für Teilchen im Potential gelten, so erhält man aus der vollen Newtonschen Energieimpuls-Beziehung: :

E = \frac + V(x)

auf dieselbe Weise die volle Schrödingergleichung. Ist ein System zeitlich nicht veränderlich (Elektron im Kasten, Wasserstoffatom ...), so kann man die Gleichung stark vereinfachen. Dies gelingt mittels des sog. Separationsansatzes (Separation der Zeit): :

\Psi(\vec x,t)=\psi(\vec x) \cdot \phi(t)

Setzt man diese Funktion in die Schrödingergleichung ein, dann wirkt die Zeitableitung nur auf

\phi

und der zeitunabhängige Hamiltonoperator nur auf

\psi

. Teilt man die Schrödingergleichung auf beiden Seiten durch die Wellenfunktion, erhält man daher :

\frac = \frac

Da die linke Seite nicht von

\vec x

sondern nur von

t

abhängt, die rechte Seite aber nur von

\vec x

und nicht von

t

, müssen beide Seiten konstant sein, damit die Gleichung erfüllt werden kann. Diese Konstante ist die Energie E der Wellenfunktion. Somit erhält man die beiden Gleichungen :

\mathrm\hbar\frac\phi(t) = E\phi(t)

\hat H\psi(\vec x) = E\psi(\vec x)

Die erste Gleichung hat die bis auf eine Normierungskonstante eindeutige Lösung :

\phi(t) = \mathrm^

Die zweite Gleichung ist die zeitunabhängige oder stationäre Schrödingergleichung. Sie ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung und kann auf viele quantenmechanische Probleme angewendet werden.

Hamiltonoperator für Moleküle

Der Hamiltonoperator

H

für ein System (Molekül) aus N Elektronen und M Atomkernen mit Kernladungszahlen

Z_\mu

setzt sich aus fünf Termen zusammen:
- der kinetischen Energie der Elektronen

T_e

- der kinetischen Energie der Atomkerne

T_k

- der potentiellen Energie der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen

V_

- der potentiellen Energie der Wechselwirkungen zwischen den Atomkernen

V_

- der potentiellen Energie der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen und Atomkernen

V_

Es ist üblich, den Hamiltonoperator nicht in SI-Einheiten, sondern in sogenannten atomaren Einheiten zu schreiben, da dies die folgenden Vorteile birgt:
- Da Naturkonstanten nicht mehr explizit auftauchen, sind die Ergebnisse in atomaren Einheiten einfacher hinzuschreiben und unabhängig von der Genauigkeit der involvierten Naturkonstanten. Die in atomaren Einheiten berechneten Größen lassen sich dennoch einfach in SI-Einheiten zurückrechnen.
- Numerische Lösungsverfahren der Schrödingergleichung verhalten sich angenehmer, da die zu verarbeitenden Zahlen wesentlich näher bei der Zahl 1 liegen, als dies in SI-Einheiten der Fall ist. Der Hamiltonoperator ergibt sich zu :

H = T_e + T_k + V_ + V_ + V_

mit
-

T_e = - \frac \sum_^N \Delta_i

,
-

T_k = - \frac \sum_^N \frac\Delta_\mu

,
-

V_ = \sum_^\sum_^N \frac

,
-

V_ = \sum_^\sum_^M \frac

,
-

V_ = - \sum_^N \sum_^M \frac

. Hierbei ist

\Delta

der Laplace-Operator,

i

und

j

die Indizes über die Elektronen,

\mu

bzw.

\nu

die Indizes über die Atomkerne,

r_

der Abstand zwischen dem i-ten und dem j-ten Elektron,

R_

der Abstand zwischen dem

\mu

-ten und dem

\nu

-ten Atomkern und

R_

der Abstand zwischen dem

i

-ten Elektron und dem

\mu

-ten Atomkern,

Z_

die Kernladungszahl des

\mu

-ten Atomkerns. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung ergibt sich dann zu

H \Psi = E \Psi

, wobei allerdings in der Praxis die Gesamtschrödingergleichung mit Hilfe der Born-Oppenheimer-Näherungen in eine elektronische Schrödingergleichung (mit festen Kernkoordinaten) und eine Kernschrödingergleichung aufgeteilt wird. Die Lösung der Kernschrödingergleichung setzt dabei die Lösung der elektronischen Schrödingergleichung für alle (relevanten) Kerngeometrien voraus, da die elektronische Energie als Funktion der Kerngeometrie dort eingeht. Die elektronische Schrödingergleichung ergibt sich formal durch setzen von

T_k = 0

. Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Partielle Differentialgleichungen ja:シュレーディンガー方程式 ko:슈뢰딩거 방정식

Friedrich Hund

Friedrich Hund (
- 4. Februar 1896 in Karlsruhe; † 31. März 1997 in Göttingen) war ein deutscher Physiker. Nach dem Studium der Mathematik, Physik und Geographie in Marburg und Göttingen war er ab 1925 als Privatdozent für Theoretische Physik in Göttingen, Professor in Rostock (1927), Leipzig (1929), Jena (1946), Frankfurt am Main (1951) und ab 1957 wieder in Göttingen tätig. Er stellte 1925 die Hundsche Regel auf, eine empirische Regel in der Atomphysik. Es wurden mehr als hundert Aufsätze und Schriften von ihm veröffentlicht. In der Molekülphysik und -spektroskopie unterscheidet man nach Hund die so genannten (Hundschen) Kopplungsfälle (a) - (e), je nach der Art und Weise, in der die verschiedenen quantenmechanischen Drehimpulse (Elektronenspin, Bahndrehimpuls, Rotation) zum Gesamtdrehimpuls koppeln (Vektoraddition). 1974 erhielt Hund den Otto-Hahn-Preis für Chemie und Physik.

Literatur (Auswahl)

- Versuch einer Deutung der großen Durchlässigkeit einiger Edelgase für sehr langsame Elektronen, Dissertation, Universität Göttingen 1923
- Linienspektren und periodisches System der Elemente, Habil.Schrift, Universität Göttingen 1927
- Theoretische Physik, 1956
- Grundbegriffe der Physik, 1969
- Geschichte der Quantentheorie, 2. Aufl., 1975
- Geschichte der physikalischen Begriffe, 1956, 2. Aufl. (2 Bände), 1978 Hund, Friedrich Hund, Friedrich Hund, Friedrich Hund, Friedrich Hund, Friedrich Hund, Friedrich Hund, Friedrich

Weblinks

-
- http://www.teleschach.de/teleschach/f_hund.htm

Atommodell

Ein Atommodell ist ein Modell, das auf der Grundlage beobachtbarer Eigenschaften der Materie und experimentell ermittelter Daten den Aufbau der Atome beschreibt. Die Modelle der Atomphysik konnten im Laufe der Zeit immer mehr Beobachtungen erklären, wurden aber auch komplizierter. Heute ist man in der Lage, Atome mit Hilfe der Quantenmechanik zu beschreiben. Auf die Frage, wie man sich denn ein Atom nun vorzustellen habe, antwortete der Physiker Werner Heisenberg: "Versuchen Sie es gar nicht erst!" Dies ist heute aktueller denn je, da neuere Atommodelle nur noch mit mathematischen Formeln darzustellen sind.

Voraussetzungen

Voraussetzung für die Entwicklung von Atommodellen war die Entdeckung der Atome und die Entdeckung, dass auch diese aus kleineren Teilchen aufgebaut sind.
- Leukipp, Demokrit (ca. 500 v.Chr.): Alle Stoffe bestehen aus definierten kleinsten Teilchen den Atomen von Atomos Teilchen des Unteilbaren
- Daniel Sennert (1618): Gesetz der Erhaltung der Elemente. Bei einer chemischen Reaktion gehen Elemente weder verloren, noch werden Elemente neu geschaffen.
- Robert Boyle (1661): Elemente sind bestimmte primitive und einfache, völlig unvermischte Körper, sie enthalten keine anderen Körper, sie sind Zutaten, aus denen alle perfekt gemischten Körper zusammengesetzt sind und in welche diese letzlich zerlegt werden.
- Antoine Laurent de Lavoisier (1785): Gesetz der Erhaltung der Masse. Die Summe der Massen der Edukte ist stets gleich der Summe der Massen der Produkte.
- Jeremias Benjamin Richter (1791/92): Gesetz der äquivalenten Proportionen. Erste experimentelle Hinweise auf Atome gibt es erst Ende des 18. Jahrhunderts, als John Dalton sein Gesetz der multiplen Proportionen findet. Aufgrund seiner Atomhypothese sagt er das Gesetz der konstanten Proportionen voraus, welches von Joseph-Louis Proust 1799 formuliert wird. Siehe auch: Atomphysik

Daltons Atomhypothese (1808)

#Materie besteht aus kleinsten kugelförmigen Teilchen oder Atomen. #Diese Atome sind unteilbar und können weder geschaffen noch zerstört werden. #Alle Atome eines chemischen Elements sind untereinander gleich, sie unterscheiden sich jedoch nur in der Masse von denen anderer. #Diese Atome können chemische Bindungen eingehen und aus diesen auch wieder gelöst werden. #Das Teilchen einer Verbindung wird aus einer bestimmten, stets gleichen Anzahl von Atomen der Elemente gebildet, aus denen die Verbindung besteht. Meist wurden Atome als feste Kugeln angenommen. Dies änderte sich erst, als Joseph John Thomson 1897 das Elektron entdeckte, dieses wurde 1874 erstmals von George Johnstone Stoney vorausgesagt und 1891 namentlich benannt.

Atommodelle

Dynamidenmodell (1903)

1903] Nach dem Dynamidenmodell bestehen Atome zum größten Teil aus leerem Raum zwischen kleinen, rotierenden elektrischen Dipolen, den Dynamiden. Die atomare Massezahl ist gleich der Zahl der Dynamiden in dem Atom. Das Modell blieb weitgehend unbekannt.

Thomsonsches Atommodell (1903)

Nach dem Thomsonschen Atommodell besteht das Atom aus einer gleichmäßig verteilten positiven Ladung und negativ geladenen Elektronen, die sich darin bewegen. Dieses Modell wird auch als Plumpudding-Modell oder zu deutsch Rosinenkuchenmodell bezeichnet.

Rutherfordsches Atommodell (1911)

1911] Nach dem Rutherfordschen Atommodell (nach Ernest Rutherford) besteht das Atom aus einem positiv geladenen Atomkern, der nahezu die gesamte Masse des Atoms beinhaltet und einer Atomhülle, in der die Elektronen um den Kern kreisen. Dieses Modell wurde entworfen, weil geladene Teilchen Atome weitgehend störungsfrei passieren können.

Bohrsches Atommodell (1913)

1913] Nach dem Bohrschen Atommodell (nach Niels Bohr) besteht das Atom aus einem positiv geladenen Kern und Elektronen, die diesen auf diskreten konzentrischen Bahnen umkreisen.

diskret]

Bohr-Sommerfeldsches Atommodell (1916)

Das Bohr-Sommerfeldsche Atommodell ist eine Erweiterung des bohrschen Atommodells durch Arnold Sommerfeld. In ihm sind auch bestimmte Ellipsenbahnen um den Atomkern zugelassen.

Orbitalmodell (1928)

Nach dem Orbitalmodell besteht das Atom aus einem Kern, der von Orbitalen umgeben ist. Die Form der Orbitale ist durch die räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen gegeben. Im strengen Sinn ist ein Orbital eine Lösung der Schrödingergleichung.

Didaktische Modelle

Schalenmodell

Im Schalenmodell wird ein positiv geladener Atomkern von Kugelschalen umgeben, in denen sich die Elektronen befinden. Nur die jeweils äußerste Schale ist für die chemischen Eigenschaften des Elements verantwortlich. Über die Bewegung der Elektronen wird keine Aussage gemacht. Das Schalenmodell ist
- eine Erweiterung des Bohrschen Atommodells: Elektronen kreisen um den Atomkern wie die Planeten um die Sonne und
- eine Vereinfachung des Orbitalmodells: der Aufenthaltsort der Elektronen kann nur durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion - die sog. Wellenfunktion als Lösung der Schrödingergleichung - bestimmt werden. Die Wellenfunktion kann durch sog. Wahrscheinlichkeitswolken oder -schalen visualisiert werden. Schrödingergleichung

Kugelwolkenmodell

Das Kugelwolkenmodell (Kimballsches Atommodell) ist ein in der Schule häufig verwendetes Atommodell, mit dem sich viele Phänomene (Atombindung, Molekülbau) erklären lassen. Es stellt einer Erweiterung des Schalenmodells dar und ist eine Vereinfachung gegenüber dem genaueren Orbitalmodell.

Punktteilchen und inkompressible Kugeln

In einigen Fällen können Atome als Punkte ohne Ausdehnung genähert werden (z. B. ideales Gas), in anderen als Kugeln mit bestimmtem Volumen (z. B. Van-der-Waals-Gas).

Kern und Hülle

Der Radius des Atomkerns ist etwa um den Faktor 10.000 kleiner als der Radius der Atomhülle. Wenn man also vom Radius eines Atoms spricht, dann ist immer der Außen-Radius der Atomhülle gemeint (im anderen Falle spricht man vom Kernradius). Der Atomradius schwankt zwischen 0,3·10^-10 m und 2,62·10^-10 m. Der Atomkern wird aus Protonen und Neutronen gebildet. Er enthält fast die gesamte Masse des Atoms (mehr als 99,9%) und ist positiv geladen. Die Anzahl der Protonen bestimmt die Zugehörigkeit zu einem bestimmten Element. Sein Radius beträgt ungefähr 10^-14 m
Bei Atomen mit der gleichen Anzahl Protonen, aber unterschiedlich vielen Neutronen im Kern spricht man von Isotopen des jeweiligen Elements. Die Atomhülle wird von den Elektronen gebildet. Sie kompensiert durch ihre negative Ladung, die Ladung des positiven Atomkerns, sodass das Atom nach außen neutral ist. Enthält die Hülle mehr oder weniger Elektronen als der Kern Protonen, so spricht man von einem Ion.

Modelle des Atomkerns

Es gibt auch Modelle, die sich ausschließlich mit dem Atomkern beschäftigen.

Tröpfchenmodell (1936)

Das Tröpfchenmodell beschreibt den Atomkern als Tröpfchen einer geladenen Flüssigkeit. Mit diesem klassischen Modell kann etwa die Kernspaltung gut erklärt werden.

Schalenmodell (1949)

Das Schalenmodell des Atomkerns wurde synchron von Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer und J. Hans D. Jensen im Jahre 1949 postuliert. Es führt den Aufbau der Atomkerne auf quantenmechanische Gesetzmäßigkeiten (Pauli-Prinzip, ) zurück. Im Gegensatz zu dem Tröpfchenmodell ist das Schalenmodell ein Modell, das Nukleonen eine relative Bewegungsunabhängigkeit zugesteht.

Weblinks

- [http://stshome.de/elektronik/atom-modell/ Einfach erklärtes Atom Modell zum Thema Elektronik]
- [http://www.chemieseite.de/allgemein/node4.php Übersicht über die Atommodelle] Planetenmodell, Schalenmodell, Wellenmechanisches Modell, Schrödingergleichung und Ansichten der Orbitale
- [http://home.germany.net/101-92989/atom/atom.htm Geschichte der kleinsten "unteilbaren" Teilchen] Erstaunlich gute Einführung des Leistungskurses der 12. Klasse des Georg-Forster-Gymnasiums.
- [http://www.csmate.colostate.edu/cltw/cohortpages/viney/atomhistory.html Sehr einfache Übersicht der Entwicklung des Atommodells auf Englisch]
- [http://netchemie.de/netchemie/index.php?c=peri Animierte Darstellung aller Atome nach dem Bohrmodell]
- [http://www.physics.uc.edu/~sitko/CollegePhysicsIII/28-AtomicPhysics/AtomicPhysics.htm Atomic Physics - eine englische Einleitung] Kategorie:Atomphysik

Walter Heitler

Walter Heinrich Heitler (
- 2. Januar 1904 in Karlsruhe; † 15. November 1981 in Zürich) war ein deutscher Physiker. 1926 promovierte er bei Karl Ferdinand Herzfeld in München. Gemeinsam mit Fritz London legte er 1927 ein Modell für die covalente Bindung im Wasserstoff-Molekül vor, mit dem die Grundlage für die Valenzbindungstheorie der Quantenchemie gelegt wurde. 1968 wurde Walter Heitler mit der Max-Planck-Medaille der Deutschen Physikalischen Gesellschaft ausgezeichnet.

Literatur

- Elementare Wellenmechanik. - Braunschweig : Vieweg, 1961. - 2. Aufl.
- Naturwissenschaft ist Geisteswissenschaft. - Zürich : Verl. die Waage, 1972
- The quantum theory of radiation. - Oxford : Univ. Pr., 1950. - 2. ed
- Wahrheit und Richtigkeit in den exakten Wissenschaften. - Wiesbaden : Steiner, 1972
- Die Natur und das Göttliche - Zug : Klett & Balmer, 1975 - 2. Aufl.
- Der Mensch und die naturwissenschaftliche Erkenntnis - Braunschweig : Vieweg, 1961
- Gottesbeweise? und weitere Vortraege - Zug : Klett & Balmer, 1977.
- Naturphilosophische Streifzüge - ? : Vieweg, 1973(?)

Weblinks

- Heitler, Walter Heitler, Walter Heitler, Walter Heitler, Walter Heitler, Walter

John C. Slater

John Clarke Slater (
- 22. Dezember 1900 in Oak Park, Illinois, † 1976) war ein US-amerikanischer Physiker und theoretischer Chemiker. Seine Beiträge zur Quantentheorie gelten als die theoretische Grundlage, die die Entwicklung des Transistors und des Radars ermöglicht haben. Slater hat an der Harvard University (Ph. D., 1923) und der Cambridge University u.a. bei Niels Bohr studiert, danach hat er in Leipzig und Zürich gearbeitet. Er war er von 1930 bis 1966 Professor für Physik am Massachusetts Institute of Technology (MIT).

Weblinks

- [http://www.chemie.uni-bremen.de/stohrer/biograph/slater.htm Kurzbiographie (dt.)] Slater, John C. Slater, John C. Slater, John C. ja:ジョン・クラーク・スレイター

Mesomerie

Als Mesomerie (Resonanz) wird die Erscheinung bezeichnet, dass die in einem Molekül oder mehratomigen Ion vorliegenden Bindungsverhältnisse nicht durch eine einzige Strukturformel dargestellt werden können, sondern nur durch mehrere fiktive Grenzformeln. Keine dieser Grenzformeln beschreibt die Bindungsverhältnisse und damit die Verteilung der Elektronen in ausreichender Weise. Die tatsächliche Elektronenverteilung des Moleküls bzw. Ions liegt zwischen den von den Grenzformeln angegebenen Elektronenverteilungen. Dies wird durch den Mesomeriepfeil (Resonanzpfeil):Mesomeriepfeil symbolisiert, der nicht mit dem ein chemisches Gleichgewicht symbolisierenden Doppelpfeil

\;\overrightarrow\;

verwechselt werden darf. Der Begriff der Mesomerie wurde 1933 von Christopher Kelk Ingold eingeführt. Ein Beispiel für eine solche mesomere Verbindung ist das Benzol. Auch alle anderen Aromaten sind mesomere Verbindungen. Mesomerie des Benzols Gemäß der Oktettregel sind diejenigen Moleküle besonders stabil, bei denen jedes Atom von acht Valenzelektronen umgeben ist. Für das Benzol lassen sich zwei Strukturformeln aufstellen, bei denen dies der Fall ist (s. Abbildung). Allerdings müssten die durch Doppelbindungen miteinander verbundenen Kohlenstoffatome geringere Abstände haben als jene, die nur durch eine einfache Atombindung miteinander verbunden sind. Das ist aber nicht der Fall. Der Bindungsabstand zwischen den Kohlenstoffatomen beträgt einheitlich 0,139 nm. Im Benzolring bilden von den vier Valenzelektronen jedes Kohlenstoffatoms je zwei die Bindungen zu den benachbarten Kohlenstoffatomen und eines die Bindung zum Wasserstoffatom aus. Die verbleibenden sechs Elektronen bilden nicht wie in den Grenzformeln dargestellt die Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, sondern sind delokalisiert und bilden je eine negative ringförmige Landungswolke (Orbital) ober- und unterhalb des nahezu ebenen Sechsringes, in denen sie gleichmäßig verteilt sind. Daraus ergibt sich eine um 151 kJ/mol geringere Bindungsenergie und damit eine größere Stabilität gegenüber den hypothetischen Grenzformeln (Cyclohexatrien) mit stabilisierten Doppelbindungen. Der wirkliche Zustand eines Moleküls, also der Zwischenzustand zwischen den Grenzstrukturen wird als mesomerer Zustand bezeichnet. Die Energiedifferenz zwischen den Grenzstrukturen und dem tatsächlichen mesomeren Zustand, die in vielen Fällen abgeschätzt werden kann, wird als Mesomerie- oder Resonanzenergie bezeichnet. siehe auch: Mesomerer Effekt - Konjugation_(Chemie) Kategorie:Chemie

Hybrid-Orbital

Ein Hybrid-Orbital ist ein Orbital, das rechnerisch aus einer Linearkombination der Wellenfunktionen der grundlegenden Atomorbitale entsteht. Diesen Modellierungsvorgang nennt man Hybridisierung der Orbitale.

Mechanismus

Atomorbitale Die durch Quadrierung der Wellenfunktion der jeweiligen Elektronen erzeugten Orbitale stimmen nicht immer mit den aufgrund chemischer Eigenschaften zu vermutenden Formen überein. So stellt man fest, dass das Kohlenstoffatom in der äußeren Elektronenschale zwei s- und zwei p-Elektronen besitzt. Dementsprechend müssten diese Orbitale bei den C-H-Bindungen im Methan zu unterschiedlichen Bindungen führen. Tatsächlich stellt man aber fest, dass die vier Bindungen gleichartig und nicht unterscheidbar sind. Dies kann man durch sp³-Hybridisierung erklären: Das doppelt besetzte, kugelförmige s-Orbital wird mit den drei einfach beziehungsweise nicht besetzten hantelförmigen p-Orbitalen zu vier gleichen, kegelförmigen sp³-Hybridorbitalen kombiniert, die mit je einem Elektron besetzt sind. Diese richten sich tetraedrisch im Raum aus und bilden mit den s-Elektronen des Wasserstoffs gleiche Atombindungen. Das so entstandene Modell entspricht den beobachteten Eigenschaften des Methans. Karbokationen (Carbeniumionen) sind grundsätzlich sp²-hybridisiert, damit das leere Orbital 100% p-Charakter hat und somit kein s-Anteil "verschwendet" wird (-> Bentsche Regel).

Physikalische Interpretation

Bentsche Regel Orbitale ergeben sich als Lösung des Einelektronenproblems (Wasserstoffatom) in der Quantenmechanik. Dabei ist aufgrund des Zentralfeldes des Atomkerns der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Ausserdem sind die Lösungen der Schrödingergleichung ab der 2. Schale bezüglich des Drehimpulses entartet. Das bedeutet, jede Überlagerung von Wellenfunktionen der gleichen Schale mit unterschiedlichem Drehimpuls ist wieder eine Lösung und beschreibt somit ein mögliches Orbital. Somit ergeben sich beispielsweise die sp³- und sp²-Hybridorbitale als Überlagerung von s- und p- Orbitalen. Die Hybridorbitale bilden wie alle an Atombindungen beteilige Orbitale durch Mischung mit den Orbitalen der Nachbarmoleküle Molekülorbitale.

Beispiele

siehe auch

Molekülorbital, Chemische Bindung, Komplexchemie Kategorie:Atomphysik Kategorie:Physikalische Chemie Kategorie:Chemische Bindung ja:混成軌道

Spektrum

Ausgehend von der ursprünglichen Bezeichnung für die Darstellung der Spektralfarben in Abhängigkeit von der Wellenlänge bzw. der Frequenz hat der Begriff Spektrum eine komplexere Bedeutung erlangt. Im Besonderen werden unterschieden:
- allgemein: Die Gesamtheit der
- Teilgebiete (Sparten) eines Gebietes (der Wissenschaft, des Handels, der Arbeit, der Forschung u. a. ...)
- Bestandteile eines Gemisches (von Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern, Komponenten u. a.)
- in der Physik und Physikalischen Chemie das Ergebnis der Messwertverteilung einer Messgröße, speziell der Wellenlänge oder der Frequenz. Beispiele:
- das elektromagnetische Spektrum, speziell das Lichtspektrum
- das Linienspektrum (Absorptionsspektrum und Emissionsspektrum)
- eine Energie-Intensitätsverteilung eines Teilchenstromes, zum Beispiel ein Elektronenspektrum
- das Schallspektrum (siehe Akustik, Synthesizer, Vocoder, Formant, Vokaldreieck)
- das Massenspektrum eines Teilchenstrahls
- in der Nautik: Das Spektrum der Energiedichte von Schwerewellen als Seegangsspektrum, Brandungsspektrum
- in der Mathematik:
- in der Funktionalanalysis: siehe Spektrum (Operatortheorie)
- in der kommutativen Algebra: siehe Spektrum eines Ringes
- in der algebraischen Geometrie: siehe Spektrum einer Algebrengarbe
- in der Linearen Algebra die Menge der Eigenwerte: siehe Eigenwertproblem
- in der Politik das politische Spektrum
- die Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft ja:スペクトル ko:스펙트럼

Propadien

Propadien ist das Dien des Propan und gehört deshalb zu den Alkenen. Es hat die Summenformel C₃H₄. Die endständigen CH₂ Gruppen liegen mit dem mittleren C-Atom jeweils in einer Ebene, sind aber um 90° gegeneinander gedreht. Der Trivialname ist Allen. Kategorie:Chemische Verbindung Kategorie:Dien Strukturformel: Bild:Propandien.PNG

Eigenfunktion

A(f_n) = a_n f_n

Mesomerie

\;\overrightarrow\;

Aromaten

Aromaten (aromatische Verbindungen) sind zyklische organische Verbindungen mit einer bestimmten elektronischen Struktur. Die physikalischen und chemischen Eigenschaften unterscheiden sich aufgrund dieser spezifischen Bindungsstruktur deutlich von den Aliphaten. Zur Unterscheidung zwischen Aromat und Aliphat dienen die Aromatizitätskriterien.

Aromatizitätskriterien

Historische Definitionen

- Aromaten sind dem Benzol verwandte Verbindungen mit oft angenehmem, aromatischem Geruch. Von diesem typischen "Duft" kommt die Bezeichnung Aromat. Diese Definition ist natürlich zu unpräzise (da subjektiv) und antiquiert (da bei Aromaten mit hohem Molekulargewicht oder stark polaren Substituenten kein Geruch wahrnehmbar ist).
- Aromaten sind mehrfach ungesättigte Verbindungen, die gegenüber der Addition an der Doppelbindung relativ reaktionsträge sind und die stattdessen relativ leicht direkt an einer Doppelbindung eine Substitution eingehen. Diese Namensbestimmung, die eine experimentelle Unterscheidung erlaubt, war beispielsweise im 20. Jahrhundert gültig, schon bevor die Struktur- und Bindungsverhältnisse geklärt waren. Heute wird in der Regel eine allgemeinere Definition über die elektronische Struktur bevorzugt. Die angegebenen Eigenschaften - kurz: Substitution statt Addition - sind natürlich dennoch charakteristische und sehr wichtige Merkmale.
- Das Bindungssystem der Aromaten zeigt eine besondere Stabilität, die zum Beispiel durch den Vergleich der Hydrierungsenthalpie als Resonanzenergie bestimmt werden kann.
- Die Resonanzfrequenz der Wasserstoffatome im Kernresonanzexperiment ist charakteristisch (kleine oder gar negative delta-Werte, physikalische Eigenschaft!).

Definition der Aromaten

Notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzungen für einen Aromaten:
- Ein zyklisches Molekül, das heißt es hat mindestens einen Ring, der in vielen Fällen ein Benzolring ist.
- Ein vollständig über den Ring konjugiertes Doppelbindungs-System.
Das sind entweder
- mehrere Doppelbindungen, die bei Kohlenwasserstoffen jeweils durch genau eine Einfachbindung getrennt sind (Im Sonderfall der Arine kann auch eine Dreifachbindung auftreten.) oder
- eine oder mehrere Doppelbindungen, die durch positiv oder negativ geladene Kohlenstoffatome oder durch Heteroatome getrennt sind. Gleichbedeutend und kürzer lautet diese Bedingung:
- alle Atome des Rings sind

sp^2

-hybridisiert (Siehe auch: Orbital). Ein Aromat liegt dann vor, wenn auch die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Das Doppelbindungssystem ist planar; in Ausnahmefällen sind leichte Abweichungen von der Ebene gestattet. Zum Beispiel ist in einigen Cyclophanen die Benzoleinheit in einem Winkel von bis zu 30° bootförmig deformiert.
- Die Zahl der delokalisierten Elektronen muss der Hückel-Regel genügen, das heißt im konjugierten Elektronensystem müssen 2 oder 6 oder 10 oder 14... Elektronen vorliegen: Die Hückel-Regel wird meist durch die Formel (4n + 2) π-Elektronen (n = 0,1,2,3...), delokalisiert über alle Ringatome des Systems, wiedergegeben. Zyklisch konjugierte π-Systeme mit 4n π-Elektronen (n = 1,2,3...) heissen Antiaromaten Die Grundstruktur vieler aromatischer Verbindungen ist das Benzol C₆H₆. (Die Hückel-Regel ist hier mit n=1 erfüllt: Benzol besitzt 6 π-Elektronen.) Das Benzol wird daher als einer der einfachsten aromatischen Kohlenwasserstoffe angesehen - insbesondere da die besonderen Eigenschaften aromatischer Verbindungen am Benzol und dessen Derivaten entdeckt wurde. Benzol ist gegenüber einem hypothetischen (das heißt nicht herstellbaren) Cyclohexatrien mit lokalisierten Doppelbindungen stabiler und damit weniger reaktiv. Da laut Hückel-Regel auch ein planares, zyklisch konjugiertes System mit 2π-Elektronen als Aromat gilt, sind auch Cyclopropenium-Salze Aromaten:
Bild:Cyclopropenyl.png Dieses Molekül ist deutlich kleiner als Benzol, da hier n = 0 ist, während beim Benzol n = 1 ist.

Reaktionen von Aromaten

Additionsreaktionen am Aromatenkern sind nur schwer zu erreichen. Überwiegend herrschen Substitutionsreaktionen vor, beispielsweise
- Elektrophile, aromatische Substitution (zum Beispiel Sulfonierung, Nitrierung)
- Nukleophile, aromatische Substitution (selten) Für die Zweitsubstitution am Aromaten gelten spezielle Regeln, die von den bereits vorhandenen Substituenden abhängig sind.

Einteilung der Aromaten

Kriterien

Es gibt eine gewaltige Zahl (mehrere Millionen sind bekannt) verschiedenster aromatischer Verbindungen. Sie können nach verschiedenen Kriterien in Gruppen eingeteilt werden:
- Wie alle chemische Verbindungen, bei denen zwischen organisch (enthält Kohlenstoffatome) und anorganisch unterschieden wird, können auch die Aromaten entsprechend in organisch und anorganisch unterteilt werden. Ein anorganischer Aromat ist beispielsweise das Borazol B₃N₃H₆, das sich formal vom Benzol C₆H₆ ableiten lässt, indem man die Kohlenstoffatome abwechselnd durch Stickstoffatome oder Boratome ersetzt.
- Ringsysteme, die nur aus Kohlenstoffatomen bestehen, nennt man Carbocyclen. Benzol C₆H₆ und Naphthalin C₁₀H₈ gehören demnach zu den Carbocyclen. Heteroaromaten enthalten dagegen wie alle Heterocyclen im Ringsystem selbst andere Atome wie etwa Stickstoff, zum Beispiel im Aromaten Pyridin C₅H₅N. (Pyridin leitet sich formal vom Benzol ab, indem eine C-H -Atomgruppe durch N ersetzt wird.)
- Carbocyclische Aromaten (=mit Kohlenstoffatom-Aromatengerüst) können in (aromatische) Kohlenwasserstoffe und substituierte Aromaten unterteilt werden (entsprechend der Einteilung der organischen Verbindungen). Benzol C₆H₆ und Toluol C₆H₅-CH₃ sind Kohlenwasserstoffe, Phenol C₆H₅-OH und Trinitrotoluol TNT C₆H₂(NO₂)₃(CH₃) sind daraus durch Substitution abgeleitete Verbindungen.
- Es weitere Einteilung erfolgt nach der Zahl der aromatischen Zyklen: Die einfachste aromatische Verbindung, das Benzol besteht aus genau einem Ring. Naphthalin C₁₀H₈ ist ein Bicyclus, es enthält zwei aromatische Ringe.
- Aromaten mit mehreren Ringen können eingeteilt werden in solche, bei denen die Ringe gemeinsame Atome haben (kondensierte oder annelierte Ringe), wie im Naphthalin C₁₀H₈, oder solche, mit separaten (isolierten) Ringen, beispielsweise Biphenyl C₆H₅-C₆H₅.
- Eine weitere Einteilung kann nach der Zahl der Ringatome des aromatischen Systems erfolgen. Typisch sind sechs Ringatome, etwa beim Benzol C₆H₆. Um einen geschlossenen Ring zu bilden, sind mindestens drei Atome nötig, und dementsprechend existieren Aromaten mit drei, vier, fünf - etwa beim C₅H₅^- Cyclopentadien-Anion, sieben oder mehr Atomen.
- Nach der Ladung des aromatischen Systems, zum Beispiel ist das Cyclopentadien-Anion einfach negativ geladen.

Beispiele aromatischer Verbindungen

Kohlenwasserstoffe

Aromatische Kohlenwasserstoffe werden Arene genannt. Beispiele dafür sind:
- Benzol C₆H₆
- Toluol (Methylbenzol) C₆H₅-CH₃
- Xylol (Dimethylbenzol) CH₃-C₆H₄-CH₃
- Mesitylen (Trimethylbenzol) C₆H₃(CH₃)₃ Kohlenwasserstoffe mit mehreren Ringen werden polycyclische aromatische Kohlenwasserstoffe genannt, das sind zum Beispiel:
- Naphthalin C₁₀H₈ (2 Ringe; zwei mal Sechsring)
- Azulen C₁₀H₈ (2 Ringe; Fünf-/Siebenring )
- Anthracen C₁₄H₁₀ (3 Ringe)

Aromatische Ionen

- Cyclopentadienyl-Anion
Bild:Cyclopentadienyl.png

Vom Benzol durch Substitution abgeleitete Derivate

- Phenol C₆H₅-OH
- Nitrobenzol C₆H₅-NO₂
- Anilin (Aminobenzol) C₆H₅-NH₂
- Chlorbenzol C₆H₅-Cl
- Hydrochinon HO-C₆H₄-OH
- Pikrinsäure (2,4,6-Trinitrophenol) C₆H₂(OH)(NO₂)₃

Heteroaromaten

Pikrinsäure
- Furan C₄H₄O (Fünfring mit Sauerstoffatom)
- Thiophen C₄H₄S (Fünfring mit Schwefelatom)
- Pyridin C₅H₅N (Sechsring mit Stickstoffatom)
- Pyrrol C₄H₄NH (Fünfring mit Stickstoff-und Wasserstoffatom)

Antiaromaten

- Cyclobutadien

Siehe auch

- Konjugation_(Chemie)
- Metallocen
- Heteroaromaten

Weblinks

- [http://www.oci.uni-hannover.de/ak-duddeck/pdf/pdf-inhalte/aromaten.pdf PDF zum Thema "Aromatizität - Hückel-Regel"] Kategorie:Stoffgruppe Kategorie:Kohlenwasserstoffe ja:芳香族炭化水素

Kategorie:Chemische Bindung

In dieser Kategorie sind alle Arten chemischer Bindungen und damit zusammenhängende Begriffe (z.B. Bindungsenergie) eingeordnet. Kategorie:Chemie

Kategorie:Physikalische Chemie

Kategorie:Chemie

Whinny Hill

Whinny Hill is a street in the city of Durham, in England, on a hill of the same name. It is in the south-east of the city and runs north-south from Durham Prison and the Durham City Cricket Grounds, on the banks of the River Wear, to the roundabout on the Stockton-on-Tees road near the University of Durham science site. Durham's first passenger station was built at the north end of Whinny Hill, on the site of what is now Durham Magistrates' Court and Ustinov College. Category:Durham

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Quantentheorie des einatomigen idealen Gases
A Bose-Einstein condensate is a phase of matter formed by bosons cooled to temperatures very near to absolute zero. The first such condensate was produced by Eric Cornell and Carl Wieman in 1995 at the . Further comments should be made on the appropriate discussion page (such as the article's talk page or on a Votes for Undeletion nomination). No further edits should be made to this page.