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Multiplikation

Multiplikation

Die Multiplikation (v. lat.: multiplicare = vervielfachen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden: : \begin \underbrace\\\\[-4ex] \end = \sum_^b = a \cdot b a und b nennt man Faktoren oder Multiplikanden. Das Ergebnis, gesprochen "a mal b", heißt Produkt. Zum Beispiel schreibt man 3 · 4 für 4 + 4 + 4, und spricht diesen Term als "dreimal vier". Anstelle von 3 · 4 wird manchmal auch 3 × 4 geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen
- , in anderen Texten sollte man es jedoch vermeiden. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x, xy). Zur richtigen Schreibweise siehe Malzeichen. Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produkt-Symbol \prod (Pi) verwenden: : 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_^5 (2i+1) = 10.395 oder auch : \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \; \dots \; \cdot \frac = \prod_^n \frac = \frac Die u.a. in der Stochastik häufig verwendetete Fakultät ist eine besondere Multiplikation natürlicher Zahlen: : 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_^n i = n! Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64 Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als Produkt a·b . Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren. Die umgekehrte Operation zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Rechengesetze

In einem Körper (also insb. \R und \Bbb Q) gelten:
- Assoziativgesetz: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c (siehe Mathematik)
- Kommutativgesetz: a \cdot b = b \cdot a
- Distributivgesetz: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
- neutrales Element: a \cdot 1 = a
- inverses Element: a \cdot a^ = 1
- absorbierendes Element: a \cdot 0 = 0

Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen. Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation). Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Multiplikation mit den Fingern

Nicht nur das Addieren, sondern auch das Multiplizieren, lässt sich in begrenztem Umfang mit den Fingern bewerkstelligen. Hierzu müssen beide Faktoren in ein und derselben Dekadenhälfte liegen, also entweder beide auf Ziffern zwischen 1 bis 5 oder auf Ziffern zwischen 6 bis 0 enden. Im ersten Fall nummeriert man die Finger beginnend beim kleinen Finger mit (d-1)1 bis (d-1)5 für den Daumen durch, wobei d für die Dekade der entsprechenden Zahl steht (also bspw. 11 bis 15 für die 2. Dekade). Danach hält man die zwei Finger, deren Produkt man ausrechnen will, aneinander. Das entsprechende Produkt erhält man, indem man die unteren Fingern zählt und mit (d-1)
- 10 multipliziert, dazu das Produkt der Finger der linken Hand mit den Fingern der rechten Hand und schließlich eine additive Konstante (d-1)
- 2
- 100 hinzuaddiert. Im zweiten Fall nummiert man die Finger von (d-1)6 bis (d)0 durch (also bspw. 16 bis 20). Danach hält man analog zum ersten Fall die beiden Finger der gewünschten Faktoren aneinander, zählt die unteren Finger, aber multipliziert diese jetzt mit d
- 10 und zählt zu diesem das Produkt der oberen Finger hinzu und die additive Konstante ergibt sich als (d-1)
- d
- 100.
- neutrale ElementBeispielsweise erhält man das Produkt 7
- 8 indem man die Zahl der unteren Finger, 5, die 10 (d=1) multipliziert, was 50 ergibt, hierzu das Produkt der oberen Finger 3
- 2=6 hinzuaddiert, was 56 ergibt. Die additive Konstante ist (d-1)
- d
- 100=0.
- neutrale ElementBeim Multiplizieren von 24 und 22 zählt man die unteren Finger auf 6, multipliziert dies mit 20 ((d-1)
- 10=2
- 10) zu 120, addiert dazu das Produkt der unteren Finger 4
- 2=8 und die additive Konstante (d-1)
- 2
- 100=400 und erhält dadurch 528. Besonders geeignet ist dieses Verfahren für das schnelle Errechnen von Quadratzahlen ohne Taschenrechner. Für Faktoren verschiedener Dekaden und Dekadenhälften kann man dieses Verfahren immer noch anwenden, indem man die Faktoren in Summen aufspaltet. Hintergrund für dieses Verfahren ist die Tatsache, dass man solche Produkte schreiben kann als:
(a+x)
- (a+y)=a^2+(x+y)
- a+x
- y
und Produkte der zweiten Dekadenhälfte errechnen kann, indem man die Komplemente der letzten Ziffer bzgl. 10 bildet. Die letzte Ziffer ist dann das Produkt der Komplemente, die Zehner das Komplement der Summe der Komplemente.
- Bsp. 9
- 7

Vedische Multiplikation

Diese Rechenart kommt aus Indien und eignet sich immer dann zu einer "Blitz"multiplikation auch großer Faktoren, wenn diese knapp unter derselben Zehnerpotenz liegen (zu vedisch: s.a. Veda, Vedische Sprache). Dem Rechenweg liegt folgende Beziehung zugrunde: a und b seien zwei Zahlen dicht unterhalb einer Zehnerpotenz 10^n und \bar a bzw. \bar b die Differenzen hierzu. Dann ist :a \cdot b = (10^n - \bar a) \cdot (10^n - \bar b) = (10^n - \bar a - \bar b) \cdot 10^n + \bar a \bar b = (a - \bar b) \cdot 10^n + \bar a \bar b Falls nun \bar a \bar b < 10^n ist, kann man die beiden Zifferfolgen von (a - \bar b) und \bar a \bar b einfach nebeneinander schreiben, um so zur Lösung der Multiplikation zu gelangen. (Achtung: Führende Nullen des zweiten Terms müssen mitgeschrieben werden.) Beispiele: 95
- 97 = 9215 992
- 988 = 980096 Fakt. Diff. Fakt. Diff. a,b zu 100 a,b zu 1000 --------------- ------------------ 95 5 992 8 \
- \
- 97 3 988 12 --------------- ------------------ 92 15 980 096 (95-3) (5
- 3) (992-12) (8
- 12) Natürlich ergibt eine Vertauschung der Faktoren dasselbe Ergebnis, da: (a - \bar b) = (10^n - \bar a - \bar b) = (b - \bar a) ist.

Kuriose Art der Multiplikation (russische Bauernmultiplikation)

A und B seien ganzzahlige Faktoren. Das Produkt P = A · B kann auch auf folgende – scheinbar kuriose – Art ermittelt werden: # Schritt: Dividiere A und die Ergebnisse so lange durch 2, bis sich 1 als Ergebnis einstellt. Dabei wird ein nicht ganzzahliges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl abgerundet und danach die Division durch 2 fortgesetzt. # Schritt: Verdopple B fortlaufend # Schritt: Streiche alle Zeilen, in welchen in der Spalte A eine gerade Zahl steht. # Schritt: Addiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Spalte B. Die erhaltene Summe ist das gesuchte Produkt P. Beispiel: 11 · 3 = ? Spalte A Spalte B 11 · 3 5 6 2 12 gestrichen wegen (2 = gerade) in Spalte A 1 24 _______________________ Summe 33

Das scheinbar Kuriose an dieser Methode ist, dass die Rechnung immer stimmt, obwohl in der Spalte A im allgemeinen Rundungen vorgenommen werden.

Erklärung

In der Spalte A werden Streichungen vorgenommen, wo bei der dezimalen Zahl 11 in der binären Darstellung Nullen stehen: 11(dezimal) = 1011(binär). Dabei ist die Spalte A von unten nach oben zu lesen. Diese Methode ist auch die einfachste Art, dezimale Zahlen in binäre zu transformieren. Die fortlaufenden Verdoppelungen in der Spalte B entsprechen den Zweierpotenzen des binären Zahlensystems, multipliziert mit dem zweiten Faktor. Wo in Spalte A eine Null steht, wird die entsprechende Zahl in B mit 0 multipliziert, daher gestrichen. Alle übrigen Zahlen der Spalte B gehören zum Produkt und werden summiert. Man kann dies auch leicht anders formulieren. :11
- 3 = 3 + 6 + 24\Leftrightarrow 11
- 3 = 3
- (1 + 2 + 8)\Leftrightarrow 11 = 1 + 2 + 8\Leftrightarrow 11 = 2^0 + 2^1 + 2^3 Die letzte Gleichung kommt der binären Darstellung 1011 von 11 gleich.

Verallgemeinerungen

Die bekannte Multiplikation reeller Zahlen kann zur Multiplikation komplexer Zahlen verallgemeinert werden, indem man eine imaginäre Einheit i einführt und die Faktoren in der Form a+bi formal ausmultipliziert. Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition, mit der die Menge eine Abelsche Gruppe bildet, und eine Multiplikation, die assoziativ und distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales Element, nennt man den Ring unitär. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Schiefkörper. Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ, erhält man einen Körper. Mit dieser Multiplikation nicht zu verwechseln sind andere Verknüpfungen, die gemeinhin auch als Produkte bezeichnet werden, z.B. das Skalarprodukt in euklidischen Vektorräumen und das Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum \R^3.

Siehe auch


- Linearfaktor, Primfaktorzerlegung
- Russische Bauernmultiplikation, Multiplikator, Malzeichen
- Mathematik für die Schule

Weblinks


- [http://www.mathepower.com/schrmal.php Schriftliche Multiplikation wird online vorgerechnet]
- [http://www.mediator-programme.de/erstrechnen/schrmult.htm Freeware-Programm zur Einübung der schriftlichen Multiplikation bei mediator-programme.de] Kategorie:Arithmetik ja:乗法 ko:곱셈 simple:Multiplication th:การคูณ

Latein

Als Latein bzw. Lateinisch (lat. lingua Latina: „lateinische Sprache“) bezeichnet man die Sprache, die ursprünglich vom Volksstamm der Latiner gesprochen wurde, der Bewohner von Latium mit Rom als Zentrum. Innerhalb der indogermanischen Sprachen gehört Latein zur Gruppe der italischen Sprachen. Es bildete die Grundlage für alle heutigen romanischen Sprachen.

Entwicklung

romanischen Sprachen Ursprünglich in Rom und dem umliegenden Gebiet (Latium) gesprochen, wurde Latein später an humanistischen Gymnasien unterrichtet. Neben Griechisch war Latein die Amtssprache des römischen Reiches. Wegen der kulturellen Überlegenheit des Ostens verlor es dabei zeitweise in Nordafrika und selbst in Rom seine Vorrangstellung. So war die Liturgiesprache der römischen Christen bis um 300 das Griechische. In dieser Zeit drangen viele griechische Lehnwörter ins Lateinische ein. Während der Spätantike begannen sich verschiedene Volkssprachen, aus denen im Mittelalter die romanischen Sprachen entstehen sollten, phonetisch und grammatikalisch von der lateinischen Hochsprache wegzuentwickeln. Doch noch im 6. Jahrhundert entstanden hochsprachliche lateinische Werke. Im Oströmischen Reich war Latein bis ins frühe 7. Jahrhundert neben Griechisch eine der beiden Amtssprachen. Im Westen übernahmen die Germanen mit den Grundelementen der spätrömischen Verwaltung auch die lateinische Sprache, die in der Administration bis in die frühe Neuzeit vorherrschend blieb. Seit der Völkerwanderung und der Christianisierung der (zunächst zumeist arianischen) Germanenvölker wurde Latein im Westen des früheren Römischen Reiches und in den römisch-katholischen Folgestaaten die Sprache des Klerus (Kirchenlatein), der Rechtswissenschaft (Glossatoren) und der sich bildenden Hochschulen (studia generalia). Es bildete somit die Schriftsprache, vor allem für das kirchliche und weltliche Urkundenwesen (Diplomatik) im frühen Europa. In völkerrechtlichen Verträgen (z. B. im Westfälischen Frieden von 1648) dominierte Latein bis in das 17. Jahrhundert hinein. Es bildet noch bis ins 20. Jahrhundert den Affixvorrat für die Fachterminologie in den Wissenschaften und verliert durch die fortschreitende Absorption in die englische und andere Sprachen lediglich an direkter, nicht jedoch an indirekter Bedeutung. Es wird noch an vielen Schulen unterrichtet.

Antike

Antike Schreibweise

Die lateinische Sprache wurde ursprünglich als scriptio continua, d. h. als zusammenhängender Fluss von Zeichen ohne Zwischenräume geschrieben. Auch Satzzeichen und Kleinbuchstaben wurden in der Antike nicht verwendet. Auf Wachstafeln war nämlich wenig Platz zum Schreiben, und Papyrus war teuer. Die antiken lateinischen Texte sind für uns heute daher schwer zu lesen. Vergleiche folgendes Beispiel: Alte Schreibweise: AVREAPRIMASATAESTAETASQVAEVINDICENVLLO SPONTESVASINELEGEFIDEMRECTVMQVECOLEBAT POENAMETVSQVEABERANTNECVERBAMINANTIAFIXO AERELEGEBANTVRNECSVPPLEXTVRBATIMEBAT IVDICISORASVISEDERANTSINEVINDICETVTI NONDVMCAESASVISPEREGRINVMVTVISERETORBEM MONTIBVSINLIQVIDASPINVSDESCENDERATVNDAS NVLLAQVEMORTALESPRAETERSVALITORANORANT NONDVMPRAECIPITESCINGEBANTOPPIDAFOSSAE NONTVBADIRECTINONAERISCORNVAFLEXI NONGALEAENONENSISERANTSINEMILITISVSV MOLLIASECVRAEPERAGEBANTOTIAGENTES Heutige Schreibweise: Aurea prima sata est aetas, quae vindice nullo, sponte sua, sine lege fidem rectumque colebat. poena metusque aberant nec verba minantia fixo aere legebantur, nec supplex turba timebat iudicis ora sui, sed erant sine vindice tuti. nondum caesa suis, peregrinum ut viseret orbem, montibus in liquidas pinus descenderat undas, nullaque mortales praeter sua litora norant. nondum praecipites cingebant oppida fossae, non tuba directi, non aeris cornua flexi, non galeae, non ensis erant: sine militis usu mollia securae peragebant otia gentes. Auszug aus Ovids Metamorphosen: Die Schöpfung (Das goldene Zeitalter) Details zu den verwendeten Buchstaben finden sich in dem Artikel Lateinisches Alphabet. Siehe zu diesem Thema auch: Paläografie (dort Lateinische Paläografie), Capitalis, Versalschrift und Majuskel.

Antike Aussprache

Auf die antike Aussprache der lateinischen Sprache wird im Artikel Lateinische Aussprache eingegangen.

Literatur

Mit Antiker Literatur des Lateinischen beschäftigt sich u. a. der Artikel Lateinische Literatur.

Gegenwart

Auch heute ist Latein noch an vielen Gymnasien aller Fachrichtungen zu finden. Etwa ein Drittel aller Gymnasiasten im deutschen Sprachraum lernt Latein als erste, zweite oder dritte Fremdsprache. An humanistischen Gymnasien wird dem Lateinischen, neben dem Griechischen, noch eine herausgehobene Bedeutung zugemessen, was früher auf eine aktive Beherrschung des Lateinischen zielte. Tatsächlich werden auch heute noch für zahlreiche Studiengänge das Latinum oder Lateinkenntnisse gefordert, insbesondere in zahlreichen geisteswissenschaftlichen Fächern. Das Latinum ist als Studienvoraussetzung für die Fächer Medizin und Jura weitestgehend abgeschafft, häufig aber nicht in Fächern wie Anglistik, Philosophie oder sogar Musikwissenschaften. Unabhängig von den Studienanforderungen wird von Befürwortern des Lateins betont, dass das Erlernen der lateinischen Sprache weiterhin Basis für die korrekte Verwendung von Fremdwörtern sei, das Erlernen anderer romanischer Sprachen wesentlich erleichtere und erhebliche Transfer-Effekte für die Denkschulung aufträten. Das Übersetzen lateinischer Texte fördere auf Grund der erheblichen Komplexität vieler lateinischer Sätze auch das logische Denken. Von den Gegnern ist hingegen zu hören, dass die Auseinandersetzung mit jeder Art von Grammatik, egal welcher Sprache, das strukturierte Denken fördere, und dass das Erlernen moderner romanischer Sprachen, welche im Gegensatz zu Latein noch gebraucht werden, mindestens ebenso gut dazu geeignet sei, die zahlreichen lateinischen Lehnwörter im Deutschen korrekt zu verwenden und andere romanische Sprachen zu erlernen. In der Tat sind viele gesamtromanische, also in allen romanischen Sprachen auftretende Wörter nicht im klassischen Latein vorhanden und müssen dann neu gelernt werden: guerra „Krieg“, testa „Kopf“, cavallo „Pferd“, mangiare/manger „essen“, andare
- „gehen“ , boc(c)a/bouche „Mund“, blanco/blanc „weiß“, die Himmelsrichtungen etc. Viele dieser Wörter erklären sich nämlich aus dem umgangssprachlichen oder dem späten Latein oder stammen aus der Soldatensprache, also aus Varietäten, die nicht in der Schule gelehrt werden. Aus deutschen und US-amerikanischen Untersuchungen geht hervor, dass zwischen absolviertem Lateinunterricht und der Beherrschung der englischen Sprache in Schrift und vor allem Wort eine signifikante Korrelation besteht. Ein kausaler Zusammenhang ist allerdings nicht nachgewiesen worden – möglicherweise macht eine hohe sprachliche Begabung eines Kindes die Wahl des als schwierig geltenden Latein wahrscheinlicher. Da auch im modernen Lateinunterricht die Sprachproduktion eindeutig der Rezeption (Leseverstehen) untergeordnet ist, glauben viele, Latein falle Menschen mit ausgeprägter Begabung für Mathematik und formelle Denkvorgänge generell leichter als andere Fremdsprachen, wohingegen Menschen mit ausgeprägter Begabung für intuitives Erlernen von Sprachen andere Fremdsprachen leichter fänden. Dieser Zusammenhang lässt sich allerdings nicht häufig verifizieren: Die Erfahrung zeigt, dass die Schülerleistungen in Latein überwiegend Hand in Hand mit denen in der Muttersprache und anderen Fremdsprachen gehen.

Modernes Latein

Auch heute werden deutsch-lateinische Lexika aufgrund neulateinischen Wortgutes herausgegeben, z. B. das „lexicon auxiliare“ oder das vom Vatikan herausgegebene „lexicon recentis latinitatis“, welches erst im Jahre 2004 eine Neubearbeitung erfuhr. Der finnische Rundfunksender YLE (Yleisradio) verbreitet Wochennachrichten in neulateinischer Sprache. Radio Bremen veröffentlicht regelmäßig die Nuntii Latini in schriftlicher und gesprochener Version. Seit April 2004 veröffentlicht auch die deutschsprachige Redaktion bei Radio Vatikan Nachrichten auf Lateinisch. Dabei handelt es sich um ursprünglich deutsche Meldungen. Gero P. Weishaupt übersetzt sie für die Redaktion ins Lateinische. Sehr beliebt ist auch die lateinische Fassung der Asterix-Comics, die der deutsche Altphilologe Graf v. Rothenburg (Rubricastellanus) verfasst hat. Der Autor Nikolaus Groß, beruflich seit zehn Jahren Deutsch-Lektor in der südkoreanischen Hauptstadt, hat 2004 eine komplett latinisierte Übertragung von Patrick Süskinds Das Parfum im Brüsseler Verlag der Fundatio Melissa, einem überregionalen Verein zur Pflege des gesprochenen Lateins, veröffentlicht. Dem Buch ist mit dem „Glossarium Fragrantiae“ eine größere Liste aktualisierter Neuschöpfungen beigegeben. Vom selben Wortartisten existiert des weiteren ein Buch über den Baron Mynchusanus (Münchhausen). 2003 erschien bereits der erste Teil der Harry Potter-Bücher von J. K. Rowling auf Latein (Harrius Potter et Philosophi Lapis). Daneben gibt es noch viele weitere Übersetzungen „klassischer“ Werke ins Lateinische, so zum Beispiel Karl Mays Winnetou III, oder Der kleine Prinz (Regulus) von St. Exupéry. Durch das Internet ist die Verfügbarkeit alter lateinischer Texte sowie das Entstehen neuer lateinischer Texte erheblich begünstigt worden. Inzwischen gibt es sogar lateinische Fassungen von Popsongs. Daneben entstehen auch neue Popsongs in lateinischer Sprache, etwa Cursum Perficio, gesungen von Enya, Liberatio, eines von vielen lateinischen Musikstücken der Gruppe „Krypteria“, oder bei Gruppen der Dark Wave bzw. Gothic (Jugendkultur). Roma Ryan hat neben Cursum Perficio für Enya noch weitere Songs in lateinischer Sprache verfasst. In Internetforen wie Grex Latine Loquentium kommunizieren Teilnehmer aus vielen Ländern ausschließlich in Latein. In der klassischen beziehungsweise neoklassischen Musik findet Latein ebenfalls Verwendung. So hat etwa der niederländische Komponist Nicholas Lens auf seinem Werk Flamma Flamma ein lateinisches Libretto vertont, für sein Werk Terra Terra hat Lens selbst ein Libretto in lateinischer Sprache verfasst. Nicht zu vergessen sind auch die zahlreichen Vertonungen lateinischer Gedichte wie z. B. von Jan Novák. Carl Orff unterlegte mehreren seiner Vokal-Kompositionen Texte in Latein oder Griechisch. Igor Strawinski ließ das nach Sophokles von Jean Cocteau in französischen Versen verfasste Libretto zu „Ödipus Rex“ von Jean Daniélou ins Lateinische übersetzen. Das Lehrbuch Lingua Latina per se illustrata des dänischen Autors Hans H. Ørberg hat die bisher hauptsächlich für den Unterricht in modernen Sprachen eingesetzte einsprachige Lehrmethode auf den altsprachlichen Unterricht übertragen. Das Lehrbuch erfreut sich in verschiedenen Ländern einer steigenden Beliebtheit.

Latein in den Wissenschaften

In der Biologie erfolgt die Namensbildung der wissenschaftlichen Namen lateinisch und griechisch, wobei neuere Vorschläge vorsehen, die Regeln nur aus der lateinischen Sprache zu entnehmen. In der Medizin sind die anatomischen Fachbegriffe lateinisch, für die einzelnen Organe wird zusätzlich auch latinisiertes Griechisch verwendet. Die Krankheitsbezeichnungen leiten sich aus dem Griechischen ab. Zahlreiche Sprichwörter haben einen lateinischen Ursprung und sind teilweise auch in der deutschen Übersetzung zu geflügelten Worten geworden. In den Rechtswissenschaften existieren verschiedene lateinische Lehrsätze und Fachbegriffe (Latein im Recht). Auch in der Geschichtswissenschaft spielt vor allem Latein weiterhin eine große Rolle. In der Meteorologie werden lateinische Begriffe in der Wolkenklassifikation eingesetzt.

Latein in der katholischen Kirche

Latein ist neben Italienisch die Amtssprache des Vatikanstaats. Die katholische Kirche veröffentlicht alle amtlichen Texte von weltkirchlicher Bedeutung in Latein. Das gilt für die liturgischen Bücher, den Katechismus, den Codex des kanonischen Rechts sowie die päpstlichen Rechtsvorschriften (canones, decretales) und Rundschreiben (Enzykliken). Bis zum zweiten Vatikanischen Konzil (1962–1965) war Latein die offizielle Gottesdienstsprache und ist dies (laut Sacrosanctum Concilium) offiziell noch heute, wobei andere Sprachen jedoch gleichfalls erlaubt sind. Tatsächlich werden nur noch sehr wenige Gottesdienste in Latein gehalten. Der gegenwärtig amtierende Papst Benedikt XVI. bevorzugt bei seinen Messen aber das Lateinische vor dem Italienischen. Siehe auch: Lateinische Kirche

Referenzlisten


- Lateinische Präpositionen
- Liste lateinischer Ortsnamen
- Liste lateinischer Präfixe
- Liste lateinischer Redewendungen
- Liste lateinischer Suffixe
- Liste von lateinischen Palindromen
- Lateinische Zahlwörter

Siehe auch


- Grammatik des Lateinischen
- Lateinische Aussprache
- Lateinische Sprichwörter
- Küchenlatein
- Vulgärlatein
- Mittellatein
- Lateinische Literatur
- Sprachen im Römischen Reich
- Jägerlatein
- Panlatinismus

Weblinks


- [http://www.commtec.de/wb/ Wörterbuch Latein-Deutsch-Latein auxilium online (mit Download-Möglichkeit)]
- [http://www.latein-pagina.de/iexplorer/stil.htm Lateinische Stilblüten]
- [http://www.thelatinlibrary.com/ The Latin Library – klassische Texte im Original]
- [http://www.albertmartin.de/latein/ Latein-Deutsch-, Deutsch-Latein-Wörterbuch mit hilfreichen Extras]
- [http://www.radiobremen.de/online/latein/ Nuntii latini bei Radio Bremen]
- [http://www.latein-pagina.de/ Latein-Pagina]
- [http://www.antikeundeuropa.de/Alte_Sprachen_heute/alte_sprachen_heute.html Alte Sprachen heute]
- [http://www.fh-augsburg.de/~harsch/a_chron.html Sammlung lateinischer Texte/bibliotheca Augustana]
- [http://www.music.indiana.edu/tml/ Lateinische Musiktraktate im Original]
- [http://www.lateinservice.de/index.htm Die deutsche Latein-Seite]
- [http://www.alcuinus.net/GLL/ Grex Latine Loquentium (Internetforum in lateinischer Sprache)]
- [http://www.kreienbuehl.ch/lat/ Latein und Altgriechisch Site]
- [http://www.latein24.de/ Übersetzungen vieler klassischer lateinischer Texte bei Latein24.de] Kategorie:Einzelsprache
- als:Latein ja:ラテン語 ko:라틴어 simple:Latin language th:ภาษาละติน zh-min-nan:Latin-gí

Grundrechenarten

Die vier Grundrechenarten der Mathematik sind: ;Addition (Zusammenzählen +) : Summand plus Summand ist gleich Summe ;Subtraktion (Abziehen -) : Minuend minus Subtrahend ist gleich Differenz ;Multiplikation (Malnehmen
- ) : 1.Faktor mal 2.Faktor ist gleich Produkt
Multiplikand mal Multiplikand ist gleich Produkt ;Division (Teilen /) : Dividend durch Divisor ist gleich Quotient Bei allen Grundrechenarten werden mindestens zwei Operanden mit einem Operator verknüpft, um ein Ergebnis zu erhalten. Die Beherrschung der Grundrechenarten gehört zu den während der Schulzeit von jedem Schüler zu erwerbenden Grundfertigkeiten Lesen, Schreiben und Rechnen. Die Grundrechenarten werden im Mathematik-Unterricht der Grundschule während der ersten vier Schuljahre behandelt und eingeübt, auch in Form von Textaufgaben (Sachaufgaben). Sie werden beim Übergang in eine weiterführende Schule (Hauptschule, Realschule, Gymnasium) vorausgesetzt und sind gegebenenfalls Gegenstand von Aufnahmeprüfungen. Einfache Aufgaben aller vier Grundrechenarten sollten im Kopf (Kopfrechnen) gelöst werden können. Die vier Grundrechenarten werden in der Theorie vom mathematischen Körper auf eine formelle Grundlage gestellt.

Grundrechenarten in der Informatik

Die Schulmathematik geht mit der Definition der Herkunft von mathematischen Objekten meist sehr leger um. Oft wird nicht angegeben, aus welcher Menge Zahlen stammen. Beispielsweise ist die Zahl 3 Element der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen (mit Imaginärteil 0). Der Term 3 / 5 ist mathematisch nicht wohldefiniert bis angegeben wird aus welcher Menge 3 und 5 stammen und welche Operation bei "/" durchgeführt werden soll. Stammen z.B. 3 und 5 aus der Menge der natürlichen Zahlen ist der Term nur dann sinnvoll, wenn "/" die Division ohne Rest darstellt. In der Informatik werden die Grundrechenarten durch so genannte Operatoren in Programmiersprachen realisiert. Diese werden durch einen Compiler in Maschinenbefehle übersetzt. Die Ausführung von Rechenoperationen in der Datenverarbeitung erzwingt eine Typisierung von Daten. Der mit Abstand am häufigsten verwendete Datentyp ist dabei eine "ganze Zahl" repräsentiert durch 31 Bit und ein Vorzeichenbit (in C int, in Pascal integer). Für diesen Datentyp realisiert der Operator "/" in den meisten Programmiersprachen dann auch die Division ohne Rest. Manche Programmiersprachen vermeiden diese "Unklarheit" und führen ein eigenes Schlüsselwort ein, so z.B. Pascal das Schlüsselwort DIV. Alle Prozessoren realisieren die Grundrechenarten plus die Modulo-Operation für ganze Zahlen (int) als direkte Hardwarefunktion. Um reelle Zahlen darzustellen, wird oft ein Fließkomma-Datentyp (in C float, in Pascal real) verwendet (hier gibt es übrigens auch eine Modulo-Operation). Die Grundrechenarten werden für diesen Datentyp wiederum als Operatoren in Hochsprachen angeboten. Für viele Programmiersprachen existiert aber keine direkte Abbildung der Grundrechenarten für komplexe Zahlen und Matrixen als Operator. Einige Programmiersprachen erlauben es aber das Operatorsymbole für Datentypen überladen werden (z.B. C++). Die Restbildung wird in der Schulmathematik nicht als eigene Operation aufgefasst. Man schreibt 7 / 3 = 2 Rest 1. Dies ist mathematisch schlampig, da der binäre Operator "/" hier zwei Ergebnisse liefert und damit eine Funktion (mit zwei Eingabewerten und zwei Rückgabewerten) ist: "/": N X X -> N X N. Daher wird in vielen Programmiersprachen zusätzlich der Modulo-Operator definiert (C: %, Pascal: mod). Oftmals wird auch eine Funktion definiert und implementiert die (effizient) beide Operation ausführt: void DivMod(int a, b:int; int &e, &r) Viele Prozessoren bieten diese Operation als direkten Befehl der Hardware an.

Grundrechenarten in der Algebra

Streng algebraisch betrachtet gibt es keine Subtraktion oder Divison als eigenständige mathematische Operation! Vielmehr werden in der Algebra Gruppen so definiert, dass für jedes Element X der zugrundeliegenden Menge bzgl. der Operation "+" ein inverses Element (bezeichnet durch "-X") existieren muss, für das gilt X+(-X)=0 wobei 0 das neutrale Element der Gruppe ist (0 + X = X für alle X). Seien also A und B Elemente der Menge der ganzen Zahl, dann stellt die folgende Gleichung tatäschlich eine Additionsoperation dar: A - B = A + (-B) Bsp: "3 - 5" = 3 + -5 = 3 + (-(3+2)) = 3 + (-3 + -2) = (3 + -3) + -2 = 0 + -2 = -2. Analog geht man für die Definition der Multiplikation und Division vor (s. Körper (Algebra)). Bei Vektorräumen wird das Skalarprodukt eingeführt. Dies ist aber nicht mit der Multiplikation auf Körpern zu vergleichen, da es auf zwei Elementen eines Vektorraums ausgeführt wird und diese auf ein Element des zugrundeliegenden Körpers abbildet. Insbesondere folgt daraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen keine Gruppe bzgl. der Additon bilden (Beweis: für das Element 1 existiert keine inverses Element). Daher lassen sich natürliche Zahlen nicht "subtrahieren". In der Grundschulausbildung wird trotzdem der Begriff der "Subtraktion" gelehrt ohne das negative Zahlen eingeführt werden. Dies ist mathematisch fragwürdig, da sich dabei z.B. die Gleichung 3 - 5 (wobei sowohl 3 als auch 5 als natürliche Zahlen interpretiert werden) nicht lösen lässt. Pädagogisch hat sich diese Vorgehensweise aber wohl bewährt. Als einfaches Beispiel für die Notwendigkeit einer allgemeingültigen algebraischen Definition kann die Gruppe basierend auf der Menge der Zahlen (0, 1, 2) bzgl. der Additon modulo 3 verwendet werden. Durch einfaches Nachrechenen können Sie feststellen das "-1" dort 2 ist! (1 + "-1") mod 3 = (1 + 2) mod 3 = 3 mod 3 = 0 q.e.d. Es muss strikt zwischen dem Gruppenoperator "Addtion" und den Rechenverfahren "Addtion" und "Subtraktion" unterschieden werden! Kategorie:Arithmetik Kategorie:Algebra

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet.

Bezeichnungen und Konventionen für die Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen, Formelzeichen :\mathbb enthält je nach Definition die positiven ganzen Zahlen, also :\mathbb = \ oder die nichtnegativen ganzen Zahlen, also :\mathbb = \ Für diese beiden verschiedenen Konventionen gibt es sowohl historische als auch praktische Gründe. Die Definition ohne die Null steht in der älteren Tradition, da die natürlichen Zahlen ohne die Null lange Zeit die einzigen bekannten Zahlen waren: In Europa wurde erst ab dem 13. Jahrhundert mit der Null gerechnet. In manchen Gebieten der Mathematik wie der Zahlentheorie, in denen die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht, ist aufgrund der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation die Definition ohne Null häufiger anzutreffen. Aber beispielsweise in der mathematischen Logik, der Mengenlehre oder in der theoretischen Informatik vereinfacht die Definition mit Null die Darstellung. Im Zweifelsfall bietet es sich an, die DIN-Norm 5473 zu befolgen: Dort ist die Null eine natürliche Zahl. Das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen wurde von der französischen Mathematikergruppe Nicolas Bourbaki als \mathbf eingeführt. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, variierte man es im Tafelbild zu dem Strichbuchstaben \mathbb. Im Laufe der Zeit wurde dieses gegenüber dem fett gedruckten \mathbf charakteristischere Symbol zunehmend auch im Drucksatz benutzt und hat sich mittlerweile fast völlig durchgesetzt, so dass heute einheitlich das Symbol \mathbb für die natürlichen Zahlen verwendet wird. Die gleiche Entwicklung fand auch bei den anderen Doppelstrich-Symbolen wie beispielsweise \mathbb und \mathbb statt. Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen. In Texten, in denen das Symbol \mathbb für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null verwendet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol \mathbb_0 oder \mathbb \cup \ für die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null benutzt.
Falls jedoch das Symbol \mathbb für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet wird, wird meist \mathbb^+, \mathbb^
- , \mathbb_ oder \mathbb \setminus \ für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 geschrieben.

Peano-Axiome

Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es letztlich egal, ob man auch die Null als natürliche Zahl bezeichnet oder nicht. Im folgenden wird jedoch zugunsten der Verständlichkeit nur davon ausgegangen, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Die behandelten Axiome und Rechenregeln lassen sich analog aber auch auf 1, 2, 3, ... (ohne 0) anwenden. Wichtig ist, dass es ein Startelement gibt und zu jedem Element einen Nachfolger, denn die natürlichen Zahlen hängen eng mit dem Prinzip der mathematischen Induktion zusammen. Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt. # 0 ist eine natürliche Zahl # Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist. # Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist. # Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m' # Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.) Peano verwendet dabei die Begriffe 0, Zahl und Nachfolger. Bertrand Russell wies darauf hin, dass man damit nicht nur die natürlichen Zahlen, sondern jedes beliebige (abzählbare) Zahlensystem definieren kann. Man definiere z.B. 7/16 als 0 und erzeuge einen Nachfolger durch Addition von 1/16. Das letzte Axiom nennt man auch das Induktionsaxiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Peano-Axiome zu formalisieren. Eine (wenn auch nicht die Beste, da hier der Mengenbegriff vorausgesetzt wird) ist die folgende: # 0 \in \mathbb # \forall n: n \in \mathbb \rightarrow n' \in \mathbb # \forall n: \lnot (n' = 0) # \forall n \forall m: n' = m' \rightarrow n = m # \forall X: ((X(0) \land \forall n: X(n) \rightarrow X(n')) \rightarrow \forall n: X(n)) Hiervon ausgehend, werden auf \mathbb die Addition und Multiplikation definiert. Man setzt #n + 0 := n #n + m' := (n + m)' und dann #n \cdot 0 := 0 #n \cdot m' := (n \cdot m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 := 0', ergibt sich n'=n+1. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut eines Artikels auf [http://www.mathematik.ch/mathematiker/axiome_von_peano.php mathematik.ch]). Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, sah aber keine Notwendigkeit, deren Existenz zu beweisen. John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d.h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen. 0 := \varnothing
1 = 0' := \ = \
2 = 1' := \ = \
.
.
.
n' := \ = n \cup \ Zur Erklärung: 1 ist die Menge, die nur die leere Menge (=\varnothing) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst! Die leere Menge (oder 0) enthält kein Element; die Menge 1 hingegen enthält genau ein Element. Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das so genannte Unendlichkeitsaxiom.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Als Alternative kann man beim Körper der reellen Zahlen (\mathbb,+,,0,1) axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von \mathbb definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge. Eine Teilmenge M von \mathbb heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: # 0 ist Element von M # Ist x Element von M, so ist auch x+1 Element von M Dann ist \mathbb der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von \mathbb.

Einführung der natürlichen Zahlen nach Russell (historisch)

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz von Bertrand Russell ist aus heutiger Sicht als Definition der natürlichen Zahlen aufgrund von mengentheoretischen Schwierigkeiten unbrauchbar. Beispielsweise ist die unten definierte natürliche Zahl 1 keine Menge, sondern eine echte Klasse; infolgedessen ist es unmöglich, über die Gesamtheit der so definierten natürlichen Zahlen zu sprechen, da echte Klassen selbst weder Elemente von Mengen noch von Klassen sein können. Die natürlichen Zahlen können jeweils als Gesamtheit der Objekte der jeweiligen Kardinalität definiert werden. So definiert Russell zunächst:
- Eine Menge wird einer anderen Menge äquivalent genannt, wenn es eine ein-eindeutige Beziehung gibt, deren Bereich aus der einen Menge besteht, während die andere Menge den inversen Bereich bildet. Es gelten für diesen Äquivalenzbegriff die Äquivalenzeigenschaften, so dass die auf diese Weise entstehenden Äquivalenzklassen als Repräsentanten für die natürlichen Zahlen dienen können:
- Die Zahl einer Menge ist die Menge aller ihr äquivalenten Mengen. Mit diesem Zahlbegriff sind sogar beliebige Kardinalitäten von Mengen beschrieben. (Heute nennt man diese Zahlen Kardinalzahlen.) Für die natürlichen Zahlen müssen wir uns auf die endlichen Mengen beschränken. Die endlichen Mengen fasst Russell schrittweise zusammen:
- Die Zahl 0 ist die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist. (Man bedenke: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen vorkommt und umgekehrt. Daher gibt es nur eine einzige leere Menge.) Russell definiert jetzt Nachfolger und Vorgänger von Zahlen:
- Sei A eine Menge und x ein Element, das in A nicht vorkommt. Der Nachfolger der Zahl der Elemente von A ist die Zahl der Elemente von A\cup\.
- Sei A eine nichtleere Menge und x ein Element von A, dann heißt die Zahl der Elemente von A\setminus\ der Vorgänger von der Zahl von A. Damit hat Russell jetzt das notwendige Handwerkszeug zusammen und kann definieren, was die endlichen Zahlen sind:
- a) 0 ist endlich.
- b) Eine Zahl ungleich 0 ist endlich, wenn sie einen Vorgänger hat, der endlich ist. (Diese Definition endlicher Mengen ist aus heutiger Sicht nicht haltbar, da ihre Präzisierung entweder den Begriff der natürlichen Zahl verwenden oder eine mengentheoretisch unzulässige Konstruktion verwenden muss. Dies ließe sich jedoch durch Verwendung des Begriffes der Dedekind-Endlichkeit umgehen.) Schließlich legt Russell fest:
- Eine natürliche Zahl ist etwas, was Zahl einer endlichen Menge ist. Russell erwähnt, dass er in seiner Begriffsbildung Gedanken von Gottlob Frege benutzt hat.

Primzahlen

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar. Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl außer der Null besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. sie lässt sich, von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen, auf genau eine Art als Produkt von Primzahlen darstellen. Produkte mit nur einem oder gar keinem Faktor sind dabei zugelassen. Gemäß mathematischer Konvention hat das sogenannte leere Produkt aus Null Faktoren den Wert 1, und stellt damit die Primfaktorzerlegung der 1 dar.

Verwandte Themen


- Ordinalzahlen
- Zahlensystem
- Liste besonderer Zahlen

Siehe auch


- Zahlentheorie

Literatur


- Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. 1919
- Johannes Lenhard u. Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. ISBN 3-7873-1602-7 Kategorie:Zahlen ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Addieren

Die Addition (v. lat. addere = hinzufügen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Unter Addieren versteht man das "Zusammenzählen" beim Rechnen. Das Zeichen für die Addition ist das Pluszeichen "+". Zum Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als "zwei plus drei gleich fünf" bzw. "zwei und drei ergibt fünf". Die zwei oder mehr Zahlen, die addiert werden, heißen Summanden; das Ergebnis heißt Summe. Es gelten folgende elementare Rechengesetze (x, y und z sind reelle Zahlen):
- Assoziativgesetz (der Addition): (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z
- Kommutativgesetz (der Addition): x + y = y + x
- Das neutrale Element ist 0: x + 0 = x
- Das inverse Element zu x ist -x Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion (Abziehen). Sie wird oft als Addition mit einer negativen Zahl aufgefasst. Um beliebig addieren und subtrahieren zu können, muss man die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitern.

Addition in verschiedenen Mengen

Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt. Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Eigenschaften haben:
- Sie sind assoziativ und kommutativ
- Sie erfüllen zusammen mit einer Multiplikation das Distributivgesetz In den meisten Fällen ergibt die Addition zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe. Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf den natürlichen Zahlen, wegen der, wie oben erwähnt, fehlenden Inversen (negative Zahlen). Die Addition auf den natürlichen Zahlen definiert sich folgendermaßen:
- a + 0 = a \quad\quad \forall a \in \mathbb
- a + b^ = (a + b)^ \quad\quad \forall a, b \in \mathbb a^ bedeutet hier den Nachfolger von a (also a+1; aber dieser Ausdruck wird hier ja gerade erst definiert).

Schriftliche Addition

Die Schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren erlernt wird. In dem heutzutage vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei nur zwei Teiltechniken zu erlernen: Die Addition einstelliger Zahlen und das Handhaben der Überträge.

Verfahren

Die zu addierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man nur die letzten Ziffern der Zahlen addiert und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so werden die anderen Stellen in die weitere Addition mit einbezogen. Nun wird die vorletzte Ziffer unter Berücksichtigung der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder wird die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als Zehnerstelle des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet. Dieser Vorgang wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.

Beispiel

69 193 482 9+3+2=14 ergibt als Einerstelle 4 und als Übertrag 1-. 1- 69 193 482 4 1+6+9+8=24 ergibt als Zehnerstelle 4 und als Übertrag 2--. Anschließend erzeugt 2+1+4=7 die Hunderterstelle. 2-- 1- 69 193 482 744 Geübte Kopfrechner können sich durch Umsortieren und Rechnen mit zweistelligen Unterteilungen viel Rechenzeit sparen. Wer z. B. weiß, dass sich 23+77 und 65+35 jeweils zu 100 ergänzen, wird in der folgenden Rechnung die zweite und dritte Zeile tauschen: 365 123 235 277 1000

Weitere Notationsmöglichkeiten

Summen können auch mittels des Summensymbols \Sigma (nach dem großen griechischen Buchstaben Sigma) notiert werden. : \sum_^n x_i = x_m + x_ + x_ + ... + x_ + x_n Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall i) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier: m bzw. 2) durch die Verbindung mit einem Gleichheitszeichen zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summe über alle möglichen i. Über dem Sigma steht der Endwert (hier: n bzw. 6). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Zum Beispiel: : \sum_^6 i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 90 Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, wird diese unendliche Reihe genannt. Man schreibt dafür als Unter- bzw. Obergrenze das Symbol für minus bzw. plus Unendlich: -\infty bzw. \infty. Der Umgang mit diesem Symbol, sowie einige häufig vorkommende Summen, werden im Artikel Summe beschrieben.

Weblinks


- [http://www.mathepower.com/schradd.php Schriftliche Addition online]
- [http://www.mathematik-wissen.de/schriftliches_addieren.htm Schriftliches Addieren (Erklärung) (dt.)] Kategorie:Arithmetik ja:加法 simple:Addition

Variable

Eine Variable ist eine Größe, die verschiedene Werte annehmen kann. Sie ist also in ihrer Größe veränderlich oder variabel. Variablen werden auch Platzhalter oder Unbekannte genannt. Sie kommen in Formeln,Termen und in Gleichungen vor. Der Begriff Variable wird vor allem in den Ingenieur- und Naturwissenschaften, insbesondere in der Mathematik, der Physik, der Chemie und in der Informatik benutzt. Das Gegenteil einer Variablen ist die Konstante, also ein fester, unveränderlicher Wert. Die Kreiszahl Pi = 3,14... ist beispielsweise keine Variable, sondern eine Konstante. Physikalische Größen wie die Temperatur oder der Druck sind dagegen typische Variablen. Weitere Beispiele für Variable:
- x, y, z im kartesischen Koordinatensystem
- t bei einer Grenzwertbetrachtung mit dem Limes.
- n bei natürlichen Zahlen In einer Gleichung, zum Beispiel einer physikalischen Formel, betrachtet man oft, wie sich eine Variable verändern muss (die abhängige Variable), um die Gleichung zu erfüllen, wenn man eine andere Variable ändert (die unabhängige Variable). Hat man beispielsweise bei einem gleichförmig bewegten Körper die konstante Geschwindigkeit gegeben, dann kann man untersuchen, wie sich die zurückgelegte Wegstrecke (die abhängige Variable) bei Veränderung der Zeit (der unabhängigen Variablen) verhält. Umgekehrt kann auch untersucht werden, nach welcher Zeit (als abhängige Variable) eine bestimmte vorgegebene Strecke (als unabhängige Variable) zurückgelegt wurde.

Siehe auch


- Variable (Programmierung)
- Metasyntaktische Variable
- linguistische Variable

Weblinks


- http://www.informatik.uni-stuttgart.de/ifi/bs/lehre/ei1/1999/htm/var1.htm (erklärt die Unterschiede der Bedeutung von Variablen in der Mathematik, Physik und Informatik) Kategorie:Mathematik Kategorie:Logik ja:変数

Griechisches Alphabet

Das griechische Alphabet bezeichnet die Schrift sowohl im modernen Griechenland, auf Zypern und unter Auslandsgriechen (Neugriechisch) als auch im weiteren griechischen Kulturraum der Antike und des Mittelalters (Altgriechisch). Neben dem Griechischen wird noch Koptisch mit einem um einige Buchstaben erweiterten griechischen Alphabet geschrieben.

Geschichte

Koptisch

Vorläufer

Das erste griechische Alphabet war die kretisch-mykenische Silbenschrift Linear B (14.-12. Jhd. v. Chr), die jedoch während der so genannten „dunklen Jahrhunderte“ (12. - 9. Jhd. v. Chr.) wieder in Vergessenheit geriet.

Entstehung

Das klassische griechische Alphabet hat sich allerdings nicht aus dem Linear B, sondern aus dem phönizischen Alphabet entwickelt. Bei der Adaption der älteren, phönizischen Konsonantenschrift bestand die Schwierigkeit, dass das Griechische keine wurzelflektierende Sprache wie die semitischen Sprachen war, sondern die Vokale wesentlicher Bestandteil des Wortstammes waren. Zudem besaß das Griechische deutlich mehr Vokal-Phoneme. Daher war die vokallose, phönizische Schrift im Griechischen häufig mehrdeutig. Also wurden Zeichen, die für die griechische Sprache nicht benötigt wurden oder die Halbvokale waren, für Vokale benutzt oder zu eigenen Vokalzeichen entwickelt. Es bildeten sich regionale Alphabete mit jeweils unterschiedlichen Zeichen. Von diesen wurde das milesische Alphabet aus der ionischen Stadt Milet 403 v. Chr. unter dem Archonten Eukleides in Athen amtlich eingeführt.

Entwicklung

Das griechische Alphabet wurde ursprünglich von rechts nach links geschrieben, später furchenwendig, d. h. abwechselnd links- und rechtsläufig, bis mit der Einführung des milesischen Alphabets die rechtsläufige Richtung verbindlich wurde. Zunächst gab es nur die heutigen Großbuchstaben, die ohne Wortzwischenräume oder Satzzeichen geschrieben wurden. Im 3. Jahrhundert v. Chr. entwickelte Aristophanes von Byzanz in Alexandrien die Tonzeichen zur Unterscheidung Intonation. Diese ursprünglich als Lesehilfe gedachten Akzente benöigte man für poetische und Theatertexte, zumal der dezentralisierende Akzent einem zentralisierenden zu weichen begann. Die Minuskeln entwickelten sich erst in byzantinischer Zeit, wohl in Syrien im 9. Jahrhundert aus einer Vereinfachung der Alltagsschrift (Kursive). Noch im 12. Jahrhundert wanderte das nicht ausgesprochene Iota unter den vorangehenden Vokal (Iota subscriptum). Diese Schirft blieb auch für das Neugriechische zunächst verbindlich, obwohl viele Unterscheidungen phonetisch nicht mehr benötigt wurden. Erst 1982 vereinfachte man das Alphabet, in dem man den Spiritus abschaffte und statt der drei Akzente einen einzigen, reinen Betonungsakzent einführte.

Weiterentwicklungen aus der griechischen Schrift

Das lateinische Alphabet geht über das altitalische Alphabet auf eine westgriechische Variante zurück, die von den Römern übernommen wurde. Die kyrillische Schrift entwickelte sich in byzantinischer Zeit aus der griechischen Schrift.

Entwicklung einzelner Zeichen

Zeichen vor der Klassischen Schrift

Einige Zeichen aus dem phönizischen Alphabet existierten in älteren Formen des griechischen Alphabets, aber nach lautlichen Änderungen im Griechischen fielen sie als Buchstaben weg, wurden aber wegen einer gewünschten Zahlzuordnung vereinzelt weiter verwendet.
- das Digamma (δίγαμμα, Ϝ ϝ) - ging (wie das ypsilon) aus dem 6. Buchstaben des phönizischen Alphabets hervor und bezeichnete ursprünglich das stimmhafte [w]. Die Bezeichnung Digamma ("Doppelgamma") ist jünger und bezieht sich auf die Form, die wie zwei aufeinandergelegte Gammata (Γ) aussieht.
- das Qoppa (κόππα, Ϙ ϙ) - entsprach dem semitischen [q]
- das Sampi (Ϡ, ϡ) - entsprach dem phönitisch/semitischen Buschstaben Zade
- das Heta - Als sich der phönizische Buchstabe Η für das griechische [ɛ:] etabliert hatte, wurde zu Wiedergabe des [h]-Lautes der Buchstabe halbiert. So entstand ein Buchstabe, der etwa wie die linke Hälfte von Η aussah und sich später zum Spiritus asper (s. u.) entwickelte.

Phönizische Konsonanten werden griechische Vokale

Durch die Entwicklung der Vokalbuchstaben wurde die griechische Schrift zur ersten Schrift, die die Phoneme einer Sprache annähernd vollständig wiedergab.
- Aus dem phönizischen ʔaleph, das den Glottisschlag bezeichnete, wurde für den a-Laut das griechische Alpha (Α).
- Aus dem phönizischen hē, das das h bezeichnete, wurde zunächst das (im Anlaut behauchte) Eta (Η), später wurde daraus der Buchstabe für das kurze, im Anlaut unbehauchte Epsilon (Ε) weiterentwickelt. Für den h-Anlaut und den Glottisschlag, die im Griechischen sehr wohl Phoneme waren, wurden in Athen zunächst die linke und rechte Hälfte des Η verwendet, später entwickelten sich daraus die Spiritus.
- Aus dem phönizischen jôdh (j) entwickelte sich das griechische i, das Iota (Ι).
- Das phönizische ʕajin, das den dem Griechischen fremden laryngalen Verschlusslaut wiedergab, diente als Buchstabe für das o (Omikron - Ο). Aus ihm wurde später das lange ("große") Omega (Ω) gebildet.
- Der phönizische Halbvokal waw (w) wurde (konsonantisch) zum Digamma, gleichzeitig wurde ein Buchstabe für das griechische u (upsilon), später ü (Ypsilon - Υ) daraus entwickelt.

Genuin griechische Buchstaben

Einige Buchstaben entwickelten sich in Griechenland aus Bedürfnissen der griechischen Sprache, ohne direkt auf phönizische Zeichen zurückzugehen:
- Phi (Φ φ), ursprünglich zur Bezeichnung des behauchten p
- Chi (Χ χ), ursprünglich für ks, später für das behauchte k
- Psi (Ψ ψ), ursprünglich für das behauchte k, später für ps

Spiritus asper und Spiritus lenis

Als ab der Spätantike zunehmend Nichtmuttersprachler und Sprecher von Dialekten ohne einen solchen Laut die klassische Aussprache schulisch erlernen mussten, wurde der h-Laut am Wortanfang durch einen Spiritus asper angedeutet, der Knacklaut dagegen durch einen Spiritus lenis. Beispiele:
- Spiritus asper (᾽): ῥυθμός rhythmós (Tempo), Ἡφαίστος Hephaístos (Gott)
- Spiritus lenis (῾): ἐγώ egó (ich), Ἔρως Éros (Liebe)

Akzente

Da das originale Altgriechisch eine Tonsprache war, wurden auch für die Bezeichnung der Töne drei verschiedene Zeichen erfunden:
- der Akut (´) für den Hochton, Bsp. Διοτίμα Diotíma
- der Gravis (`) für den Tiefton, Bsp. καὶ αὐτὸς τιμῶ kaì autòs timô (auch ich-selbst ehre)
- der Zirkumflex (῀) für den Steig- und Fallton, Bsp. Φαῖδρος Phaîdros Im modernen Griechisch (das keinen h-Laut und auch keinen Knacklaut mehr hat und auch keine Tonsprache mehr ist) wurden diese Zeichen vor einigen Jahrzehnten schließlich abgeschafft, mit Ausnahme des Akut, der heute in mehrsilbigen Wörtern die betonte Silbe kennzeichnet. Im modernen Griechisch, das sich lautlich noch weiter verändert hat, könnten eigentlich noch eine Reihe weiterer inzwischen gleich klingender Buchstaben abgeschafft werden, hier war die überlieferte Rechtschreib-Tradition allerdings bisher stärker.

Diakritische Zeichen


- Das Trema (¨) dient zur Trennung von Vokalen, die üblicherweise einen Diphthong bilden, Bsp. Ἀχαΐα Achaía (Achaia)
- Das stumme Iota (ι) wurde als Iota subscriptum (ι) ab dem 12. Jahrhundert unter den voran gehenden Vokal gesetzt, Bsp. τῇ tê, (Dativ des bestimmten Artikels femininum, der)

Zeichentabelle

Die originale altgriechische Aussprache ist für eine Reihe von Buchstaben umstritten. Die Tabelle zeigt daher die von Erasmus von Rotterdam etablierte Ausspracheweise des Altgriechischen, die im Schulunterricht westlicher Länder seither üblich ist. Erasmus rekonstruierte die Aussprache mit Hilfe von bereits in der Antike ins Lateinische übernommenen griechischen Wörtern sowie der in Westeuropa überlieferten Aussprache des Lateinischen. In Griechenland selbst wird heute für alle Texte, auch für altgriechische, die neugriechische Aussprache verwendet; auch in anderen orthodoxen Ländern ist eher die neugriechische als die westliche Aussprache Grundlage für die Aussprache griechischer Wörter.
dient dem Zeilenumbruch, bitte nicht entfernen
Das Griechische kennt einige Diphthonge und einige Graphemverbindungen für besondere Kombinationen von Konsonanten:
dient dem Zeilenumbruch, bitte nicht entfernen

Weblinks


- [http://www.elo-formel-datenbank.de/Elektrotechnik/Allgemeines/Griechisches_Alphabet.htm Verwendung in der Elektrotechnik und Physik]
- [http://www.unicode.org/charts/PDF/U0370.pdf Unicode Code Charts Greek and Coptic] (PDF)
- [http://www.unicode.org/charts/PDF/U1F00.pdf Unicode Code Charts Greek Extended] (PDF)
- [http://ncnever.free.fr/translit/ Direkte Transliteration Lateinisch ↔ Griechisch]

Siehe auch


- Linear B, Griechische Zahlen, Griechische Sprache
- ISO 8859-7
- Benennung von Sternen nach griechischen Buchstaben
- Wikipedia: Lautschrift, Griechische Sonderzeichen, Altgriechisch mit Unicode-Schriften Kategorie:Alphabet Kategorie:Griechische Sprache als:Griechisches Alphabet ja:ギリシア文字 ko:그리스 문자 th:อักษรกรีก

Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Definition

Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen n\in\N_0 ist :n! = \prod_^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n

Beispiele


- 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6
- 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120
- 0! = 1 (hier liegt das leere Produkt vor)

Bemerkungen


- Der Wert 0!=1 ist die Definition eines Produktes mit null Faktoren.
- Die Fakultät ist nur für nichtnegative ganze Zahlen definiert.
- n! = n\cdot (n-1)! folgt direkt aus der Definition. Zusammen mit der Eigenschaft 0!=1 liefert dies eine rekursive Charakterisierung der Fakultät.
- Die Zahl n! wächst mit steigendem n sehr schnell an. So ist 69! bereits eine Zahl mit 99 Dezimalstellen. Eine Beschreibung des Wachstumsverhaltens ist durch die Stirling-Formel gegeben, die damit auch zur näherungsweisen Berechnung der Fakultät benutzt werden kann.

Bedeutung für die Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil n! als die Zahl der Möglichkeiten interpretiert werden kann, n Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls X eine n-elementige Menge ist, so ist n! auch die Zahl der bijektiven Abbildungen X\to X.

Beispiel

Problem: Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wieviele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen? Lösung: Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Verwandte Begriffe


- Eine Verallgemeinerung der Fakultät für nicht natürlichzahlige Argumente kann mithilfe der Gammafunktion beschrieben werden, die für komplexe Zahlen z mit \mathrm\,z>0 durch ::\Gamma(z)=\int_0^\infty t^e^ \,\mathrmt : definiert ist. Aus der Funktionalgleichung \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) und \Gamma(1)=1 folgt :: \Gamma(n+1) = n! für nichtnegative ganze Zahlen n. : Die Gammafunktion kann als meromorphe Funktion auf die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden.
- Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient :: =\frac.
- Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, ist die Taylorreihe einer Funktion; insbesondere finden sich Fakultäten in den Potenzreihen der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion.
- Eine relativ selten verwendete Begriffsbildung ist die Doppelfakultät, die als das Produkt :: n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots = \begin n \cdot (n-2) \cdots 2 & \mathrm\ n\ \mathrm\\ n \cdot (n-2) \cdots 1 & \mathrm\ n\ \mathrm\end : definiert ist.
- Die Subfakultät !n ist auf der Fakultät aufbauend definiert.

Numerische Berechnung

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist. So arbeiten in der Regel Taschenrechner. Die größte Fakultät, die ein handelsüblicher Taschenrechner noch ausrechnen kann ist dabei 69!, da 70! > 10100 schon außerhalb des verfügbaren Zahlenbereiches steht. Wenn nun n sehr groß ist, kann man n! ziemlich gut durch die Stirling-Formel abschätzen: :n!\sim \sqrt\left(\frac\right)^n Dabei bedeutet \sim, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für n\to\infty gegen 1 konvergiert.

Weblinks


- [http://factorielle.free.fr Seite über Fakultäten mit Programmen]
- [http://www.madeasy.de/2/prgfaku.htm Kleines Visual Basic Programm] mit Quelltext und Abbildung zur Fakultätsberechnung
- [http://www.jonelo.de/java/bigal_de.html Freies und plattformunabhängiges Programm], auch zur unbegrenzten Berechnung von Fakultäten (mit Java-Quelltext) Kategorie:Kombinatorik ja:階乗 ko:계승 th:แฟกทอเรียล

Potenz (Mathematik)

Potenzieren ist eine mathematische Rechenoperation, die sich zur Multiplikation analog wie diese zur Addition verhält. Es handelt sich also um eine "Kurzschreibweise" für wiederholtes Multiplizieren: : \begin \underbrace&=a^b\\ \end a nennt man die Basis (Grundzahl) und b den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz. Hierbei ist a eine reelle und b (vorerst) eine natürliche Zahl. Ist b=0, so wird a^0=1 festgelegt. Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (z.B. in einem ASCII-Text), verwendet man oft a^b, gelegentlich auch a
  - b. Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt (2^3 = 8 \not= 9 = 3^2), gibt es zwei Umkehrrechenarten:
- das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart x^a = b zu lösen
- das Logarithmieren für Gleichungen des Typs a^x = b. Es gibt auch Erweiterungen des Potenzierens für nichtganzzahlige Exponenten, siehe dazu den Abschnitt nicht ganzzahlige Exponenten.

Rechenregeln

Sind a und b reelle Zahlen und n, r und s natürliche Zahlen, so gilt:
- \left(a\cdotb\right)^n = a^n\cdotb^n
- \left(\frac\right)^n = \frac,\quad b\neq 0
- a^r \cdot a^s = a^
- a^ = \frac,\quad a\neq 0
- \frac = a^,\quad a\neq 0
- \left(a^r\right)^s = a^
- a^0 = 1

nicht ganzzahlige Exponenten

Sind n und m ganze Zahlen (n \ne 0), sowie a eine positive, reelle Zahl, dann definiert man: :a^ = \sqrt[n] Ausdrücke wie \sqrt[6] sind zwar auch definiert, jedoch ist (-27)^ undefiniert, da man \frac kürzen kann zu \frac, aber \sqrt[6] = 3 ungleich \sqrt[3] = -3 ist. siehe auch Wurzel (Mathematik) Potenzen positiver reeller Zahlen mit beliebigen reellen Exponenten sind so definiert: :a^b := \exp(b \cdot \ln a) Dabei ist \exp die Exponentialfunktion und \ln der natürliche Logarithmus.

Potenzen komplexer Zahlen

Ist a + b i = r \cdot e^ mit reellen Zahlen a, b, r > 0 und \varphi, dann gilt : (a+b\;i)^n = (r \cdot e^)^n = r^n \cdot e^ = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi)) Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen nicht eindeutig. Es ergeben sich n verschiedene n-te Wurzeln einer komplexen Zahl a + b i \ne 0: : (a+b\;i)^ = (r \cdot e^)^ = \left\ Potenzen beliebiger komplexer Zahlen mit beliebigen reellen oder sogar komplexen Exponenten lassen sich zwar durch die Formel a^b := \exp (b \cdot \ln a) definieren. Da jedoch der komplexe Logarithmus unendlich viele Werte annimmt, hat man unendlich viele verschiedene Potenzen.

Besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden die Zehnerpotenzen, also die Potenzen mit der Basis 10 (das sind 1, 10, 100, 1000, ...) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, ...). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht 2^ = 1.024 Bytes. Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis e \approx 2,71828, der so genannten Eulerschen Zahl.

Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen

Zweierpotenzen entsprechen dem Prozess der wiederholten Verdoppelung. Das Anwachsen dieser Zahlenfolge überrascht bei Praxisbeispielen oft. Beispiel 1: Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa 7 Mal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42 Mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond. Beispiel 2: Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern, vier Großeltern, acht Urgroßeltern, usw. Verfolgt man diesen Ahnenbaum 70 Generationen zurück (ins Jahr Christi Geburt), so stammt jeder heutige Mensch von 2^ = 1.180.591.620.717.411.303.424 Menschen aus dieser Zeit ab, was weit mehr als die damalige Weltbevölkerung ist. Beispiel 3: Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende. Bei Schneeballsystemen, z.B. so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern z.B. eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

0 hoch 0

In der oben gegebenen Definition wurde a^0=1 gesetzt, also ist insbesondere :0^0=1. Da 0^x für alle positiven x den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Dagegen sprechen aber die folgenden Argumente:
- Formeln wie (x+y)^n=\sum_^nx^ky^ (binomischer Satz) gelten dann nicht allgemein.
- In allgemeineren Situationen kann es vorkommen, dass es Zahlen a,b\not=0 gibt, für die ab=0 gilt (man spricht dann von Nullteilern). Dann folgt aus den Potenzregeln 1=a^0b^0=(ab)^0=0^0.
- Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl w kann man Funktionen f,g angeben, so dass f(a)=g(a)=0 und ::\lim_f(x)^=w :gilt. Grenzwertargumente sind zur Festlegung von 0^0 also ungeeignet.
- Die stetige Fortsetzung von f(x) = x^x in x=0 ist eindeutig: ::\lim_ x^x = 1

siehe auch


- Wurzel (Mathematik)
- Logarithmus
- Exponentialfunktion
- Binomische Formeln
- geometrische Reihe
- Potenzfunktion Kategorie:Arithmetik ja:冪乗

Reelle Zahlen

] Die Menge der Reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen. Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen. Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet. Reelle Zahlen werden als Maß für kontinuierliche Größen wie der Länge gebraucht; z.B. hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 die Länge \sqrt. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol \mathbb (auch \mathbf) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ wurde gewählt, weil sie im Gegensatz zu den imaginären Zahlen eine reale (=„reele“) Entsprechung haben. Die reellen Zahlen und Funktionen von \mathbb nach \mathbb sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:
- die Kreiszahl π (pi),
- die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z.B. √2, aber nicht √4 = 2. Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, daß sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine Periode bilden. Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise e und π.

Mächtigkeiten

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste x_1,x_2,x_3,\ldots reeller Zahlen unvollständig ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen. Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt. Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet. Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper. Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft. Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert. # Die reellen Zahlen sind ein Körper # Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: ## es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Trichotomie) ## aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität) ## aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition) ## aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation) # Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von \mathbb besitzt ein Supremum Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charaktisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d.h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:
- die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
- das Archimedische Axiom:
- :Sind a und b positive reelle Zahlen, dann gibt es ein n \in \mathbb, so dass na > b ist.
- das Vollständigkeitsaxiom:
- :Die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:
- das Intervallschachtelungsaxiom:
- :Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer. Durch jedes dieser Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Verwandte Themen


- Eine näherungsweise Darstellung reeller Zahlen im Computer erfolgt durch Gleitkommazahlen.
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Rechteck

Ein Rechteck ist ein (ebenes) gleichwinkeliges Viereck, also ein Viereck, dessen vier Innenwinkel rechte Winkel sind. rechte Winkel Für jedes Rechteck gilt:
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
- Der Schnittpunkt der Diagonalen ist Mittelpunkt des Umkreises. Aus diesem Grund ist jedes Rechteck auch ein Sehnenviereck.
- Es ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) der Rechtecksseiten. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.
- Es ist punktsymmetrisch (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Diagonalenschnittpunkts.
- Es ist konvex. Beim Rechteck handelt es sich um einen Spezialfall des Parallelogramms (gleichwinkeliges Parallelogramm) und damit auch des Trapezes. Quadrate sind spezielle Rechtecke mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Rechteck). Die Formel für die Diagonalenlänge beruht auf dem Satz des Pythagoras. Der Umkreisradius ergibt sich durch Halbierung der Diagonalenlänge. Ein Rechteck heißt perfekt, falls man es mit Quadraten lückenlos und überschneidungsfrei überdecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß sind. Es ist nicht einfach, eine solche Zerlegung zu finden. Eine solche Zerlegung eines Rechtecks in 9 Quadrate wurde 1925 von Morón gefunden. Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen: 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 18. Kategorie:Vierecksgeometrie

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein Element.) Eine Funktion, deren Umkehrfunktion existiert, wird auch als invertierbar bezeichnet.

Schreibweise

Wenn f: A → B eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet f -1: B → A die Umkehrfunktion. Dabei ist das -1 nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen. Der Funktionswert f -1(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x in A, das die Gleichung f(x) = y erfüllt.

Beispiele


- A := sei die Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und B := . Die Funktion f : A → B, die jedem Buchstaben seine Ordnungszahl im Alphabet zuordnet, ist bijektiv und f -1 : B → A ist gegeben durch f -1(n) = „der n-te Buchstabe im Alphabet“.
- Sei f: R → R die Funktion mit f(x) = 3x + 2. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch f -1(y) = (y - 2)/3.
- Sei R0+ = [0, ∞) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und f : R0+ → R0+ mit f(x) = x2 eine eingeschränkte Quadrat-Abbildung. Dann ist f bijektiv und die Umkehrfunktion f -1 : R0+ → R0+ ist gegeben durch
f^(x) = \sqrt.
- Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.
- Die Umkehrfunktionen von Einschränkungen der trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) auf geeignete Definitions- und Zielbereiche (auf denen diese Einschränkungen bijektiv sind) heißen Arkusfunktionen: Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos) und Arkustangens (arctan).
- Die Umkehrungen geeigneter Einschränkungen der Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh), Cosinus Hyperbolicus (cosh) und Tangens Hyperbolicus (tanh) heißen Areafunktionen: Areasinus Hyperbolicus (arsinh), Areacosinus Hyperbolicus (arcosh) und Areatangens Hyperbolicus (artanh).

Eigenschaften


- Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d.h.
  (f -1)-1 = f.
- Ist f: A → B eine Bijektion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
  f(f -1(x)) = x für alle x aus B,
  f -1(f(x)) = x für alle x aus A.
Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen lässt sich dies auch so schreiben:
  f o f -1 = idB
  f -1 o f = idA.
- Sind f: A → B und g: B → A zwei Funktionen mit den Eigenschaften
  f(g(x)) = x für alle x aus B,
  g(f(x)) = x für alle x aus A,
dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f.
- Sind die Funktionen f : A → B und g : B → C bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung g o f : A → C. Die Umkehrfunktion von g o f ist dann f -1 o g -1.
- Eine Funktion f : A → A kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Es gilt dann f o f = idA und man nennt f ein Involution.
- Ist f: A → B eine Bijektion, wobei A und B Teilmengen von R sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von f an der Diagonalen y = x spiegelt.
- Ist f: R → R differenzierbar, f'(x) \neq 0 und y := f(x), dann gilt die folgende Umkehrregel:
(f^)'(y)=\frac. Kategorie:Mengenlehre

Dividieren

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung :b · x = a (lies: b mal x gleich a) erfüllt. Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"): :x = a : b Die auftretenden Terme heißen wie folgt: :Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend. :Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor. :Das Ergebnis der Division heißt Quotient. Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient a / b als Lösung der Gleichung b · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b = 0 entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für a gleich 0). Da also der Quotient "a / 0" nicht eindeutig definiert ist (entweder gar nicht oder mit mehreren Werten) wird er nicht definiert. Siehe dazu auch den Artikel Null. Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz. Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen): :a : b :a ÷ b :a / b :\frac Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge: Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a \ne 0 eine Zahl x = \frac, so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage 0 = a und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung a \ne 0 erhalten. Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x = \frac, so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung x \cdot 0 = 0 führen, also zu einer Gleichung, die für jedes x richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für \frac.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten. Siehe auch: Gruppe, Ring, Schiefkörper, Divisionsalgebra Kategorie:Arithmetik ja:除法 simple:Division th:การหาร

Körper (Algebra)

Ein Körper (engl.: field) ist eine mathematische Struktur aus einer Menge K und zwei Verknüpfungen, die einige wichtige Eigenschaften erfüllen. Diese beiden Verknüpfungen werden Addition („+“) und Multiplikation („\cdot“) genannt; dennoch können sie sich von den üblichen Grundrechenarten erheblich unterscheiden. Die Bezeichnung wurde Anfang des 19. Jahrhunderts von Richard Dedekind eingeführt.

Formale Definition

Ein kommutativer